MATLAB软件在机械优化设计中的应用_王春香

第21卷第7期2004年7月机　械　设　计JOURNAL OF MACHIN E DESIGNVol.21　No.7J ul. 2004 MA TLAB软件在机械优化设计中的应用Ξ王春香,冯慧忠(内蒙古科技大学机械工程学院,内蒙古包头　014010)摘要:应用MA TLAB软件,对已有的优化实例进行求解,并加以研究和分析,着重说明如何利用MA TLAB优化工具箱中的函数fmincon,来解决单目标多变量约束非线性优化问题的思路和方法,并给出了示例目标函数、约束函数图形显示,以及求优的MA TLAB程序。

关键词:MA TLAB;优化;机械设计;软件中图分类号:TH122 文献标识码:A 文章编号:1001-2354(2004)07-0052-03 MA TLAB是美国MathWorks公司推出的一套功能强大的工程计算软件,它将计算与可视化集成到一个灵活的计算环境中,并提供了大量的内置函数,在解决广泛的工程问题时,可以直接利用这些函数获得数值解,故被广泛地应用于自动控制、数理统计、数值分析、流体力学和机械设计等许多工程领域。

鉴于目前国内关于探讨MA TLAB软件在工程机械优化问题和机械优化设计教学领域中应用的例子并不多见,加之出于教学和研究的需要,近年来对运用MA TLAB软件,如何解决实际工程优化问题和优化设计教学中的问题进行了初步的探索和研究。

限于篇幅,仅列举一简单实例,重点说明如何用MA TLAB,以及它的优化工具箱提供的功能来解决某些机械优化问题。

关于MA TLAB及其优化工具箱功能的详细情况,请参见文献[1～4]。

1　采用Matlab软件进行优化分析1.1　优化问题示例有一圆形的等截面销轴,一端固定在机架上,另一端受集中载荷P=10kN和转矩M=100N.m的作用,其简化模型如图1所示。

由于结构的需要,轴的长度l≥8cm,已知销轴材料的许用弯曲应力[σw]=120MPa;许用切应力[τ]=80MPa;允许挠度[f]=0.01cm;密度ρ=7.8t/m3;弹性模量E=2×105MPa。

现要求设计这根销轴,在满足使用要求的前提下,使其质量最轻[5]。

图1　等截面销轴受力简图1.1.1　数学模型的建立优化设计追求的指标为销轴质量Q最轻,Q的计算式为:Q(X)=Q(x1,x2)=14πx21x2ρ=14πd2lρ=0.00613d2l式中:设计变量X=[x1,x2]T=[d,l]T。

显然,d、l越小,Q值越小。

但二者的取值要受强度、刚度及结构尺寸等各种使用要求的限制,将以上各限制条件整理后可得:(1)抗弯强度条件:σmax=Pl0.1d3≤[σw] d3-8.33l≥0(2)抗扭强度条件:τmax=M0.2d3≤[τ] d3-6.25≥0(3)刚度条件:f max=Pl33EJ=64Pl33Eπd4≤[f] d4-0.34l3≥0(4)结构尺寸限制:l≥l min l-8≥0据此,可写出优化设计的数学模型为:min Q(X)=0.00613d2l X=[x1,x2]=[d,l]Ts.t　d3-8.33l≥0d3-6.25≥0d4-0.34l3≥0l-8≥0这是一个单目标非线性二维约束优化问题。

1.1.2　求优结果为了便于对采用不同手段得到的优化结果进行比较,以及确认MA TLAB分析结果的可信度,特意选择了已经采用其它方法得到最优结果的例子(引自文献[5],并假定其结果正确),最优方案为:d3= 4.309cm,l3=8cm,Q3=0.911kg。

1.2　采用MA TLAB软件对优化问题示例的分析1.2.1　约束函数的性态分析应用MA TLAB语言编程:[x,y]=meshgrid(linspace(0,17,19),linspace(0,11,19));　%根据函数的定义划分网格区域Q=0.006133y.^23x;mesh(x,y,Q);　%通过三维网格模拟目标函数图形xlabel(′l′);ylabel(′d′);zlabel(′Q′);　%标注三坐标轴title(′目标函数的图像′)　%标注图形名称Ξ收稿日期:2003-09-25;修订日期:2004-01-30作者简介:王春香(1962-),女,内蒙古包头人,副教授,硕士,主要研究方向:机械优化设计方法及CAD/CAM/CAI技术。

运行程序可画出目标函数的三维图形,如图2所示。

图2　函数Q =0.00613d 2l 的图像同理,可作如下编程:ezplot (′x^3-8.333y ′,[0,10,0,20])　%弯曲强度条件的图形hold on y =0∶0.01∶20;x =6.25^(1/3);plot (x ,y ,′k -′)　%扭转强度条件的图形hold onezplot (′x^4-0.343y ^3′,[0,10,0,20])　%刚度条件的图形hold on x =0∶0.01∶10;y =8;plot (x ,y ,′k -′)　%长度边界条件的图形title (′各约束函数的图像′)text (6.5,11,′可行域′)hold off执行程序绘出各约束函数的图形,如图3所示。

从图2可以看出:目标函数的图像规则,即性态好,对于多数优化方法均适用;但由图3可行域的构成分析可知:d 3-6.25≥0(即抗扭强度条件)不是起作用约束,设计时可不予考虑。

图3　设计变量的可行域1.2.2　应用MA TLAB 软件的优化工具箱对优化问题示例求解a.取设计变量的初值为:x 0=[4　10]t首先,编写目标函数的m 文件:Objfun.m ,返回x 处的函数值f 。

function f =Objfun (x )f =0.006133x (1)^23x (2);b.因设计约束含3个非线性约束,故需编写一个描述非线性约束的m 文件:NonLinConstr.mfunction [c ,ceq]=NonLinConstr (x )c (1)=-x (1)^3+8.333x (2);c (2)=-x (1)^3+6.25;c (3)=-x (1)^4+0.343x (2)^3;ceq =[];c.设置线性约束的系数:A =[0　-10　0];b =[-8　0];d.给定变量的初值,并且调用优化函数:x 0=[4　10];A =[0　-10　0];b =[-8　0];1b =zeros (2,1);options =optimset (′Display ′,′iter ′,′LargeScale ′,′off ′);[x ,fval ,exitflag ,output ]=fmincon (′Objfun ′,x0,A ,b ,[],[],lb ,[],′NonLinConstr ′,options )e.计算结果:x = %最后的优化结果:　4.0543　8.0000%d 3=4.0543,l 3=8cm fval =%优化后的最小质量0.8061%Q min =0.8061kg exitflag =%算法退出处条件 1output = iterations ∶7 %函数调用次数 funcCount ∶29%函数评价次数 stepsize ∶1%步长 Algorithm ∶′medium -scale :SQP ,Quasi -Newton ,line -search ′　%算法 firstorderopt ∶[] cgiterations ∶[]由上可知,最优方案为:d 3= 4.0543cm ,l 3=8cm ,Q=0.8061kg1.2.3　优化结果的分析与比较采用MA TLAB 优化工具箱的求优结果与原优化方案的比较,请参见表1。

比较2种优化结果表明:MA TLAB 的优化方案不仅是可信的,而且可使销轴的质量更小(即优化数据朝着对设计有利的方向变化,这与作者采用MA TLAB 所进行的其它已知优化案例验证分析所得到的结论趋势一致),减轻质量的比率η为:η=原方案质量-现优化质量现优化质量=0.911-0.86010.8601=13%表1　优化结果的比较d /cml /cmQ /kg原来的优化方案 4.30980.911MATLAB 的优化结果 4.054380.80611.2.4　MA TLAB 的优化求解步骤归纳总结使用MA TLAB 软件求解如上示例(以及综合所做的其它大量的优化题目)的过程和经验分析后得知,求解时的一般步骤:(1)判断优化问题的类型。

分析时要区分:①单目标与多目标问题;②线性与非线性问题;③是否为线性规划问题等几种情况。

(2)根据优化问题的类型来选定优化函数。

例如,本例属352004年7月王春香,等:MA TLAB 软件在机械优化设计中的应用研究于单目标多变量非线性约束优化问题,故选定fmincon 优化模块。

(3)为优化模块fmincon 提供输入参数。

比如初值、等式约束、不等式约束、变量的上下限,编制目标函数的程序(也可以用inline 函数直接定义,不编制函数模块),对于含有非线性约束的问题,需要编制非线性约束的函数模块。

(4)根据目标函数的性态,预设优化选项,即options 的设置。

(5)在所有的输入参数定义后,调用优化函数进行优化程序调试。

(6)根据优化过程的具体提示信息,修改优化选项的设置,直到达到满足优化函数fmincon 所需的优化条件为止。

(7)对所得优化数据和结果进行分析和评价(图表的绘制、数据的曲线模拟及可信度分析等)。

2　结论(1)应用MA TLAB 优化工具箱内置的函数模块fmincon ,不仅可以很好地解决单目标多变量约束非线性优化问题,而且能够大大提高设计的准确度和可靠性,并且使设计的效率比以往大大提高。

(2)利用MA TLAB 软件强大的图形模拟功能,可以直观显示各约束函数的图形,即可准确画出可行域,据此不仅便于直观地排除非有效约束、简化优化问题,而且更重要的是有助于从事优化设计教学和研究者对于问题的理解和判断。

(3)由于MA TLAB 软件具有强大的图形,数值计算功能及较高的编程效率,故它是一种能够用来解决机械优化设计教学和工程优化问题研究的十分强大而有效的工具。

具有以往采用其它编程方法或手段解决优化问题所不能比拟的优点。

参考文献[1]　苏金明,阮沈勇.MATLAB 6.1应用指南[M ].北京:电子工业出版社,2002.[2]　姚东,王爱民.Matlab 命令大全[M ].北京:人民邮电出版社,2000.[3]　施阳.Matlab 语言工具箱———toolbox 实用指南[M ].西安:西北工业大学出版社,1999.[4]　Edward B Magrab ,等.MATLAB 原理与工程应用[M ].高会生,李新叶,胡智奇,等译.北京:电子工业出版社,2002.[5]　陈立周.机械优化设计方法[M ].北京:冶金工业出版社,1997.[6]　袁亚湘,孙文榆.最优化理论与方法[M ].北京:科学出版社,1999.(上接第8页)4　结论K BE 作为未来整个CAX 软件业和制造业发展的核心内容,现在已经显示出其强大的应用前景。