函数模型及其应用 2018-2019学年上学期高一数学人教版(必修1)Word版含解析
函数模型的应用-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课课件
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专题3.2 函数模型及其应用 2018-2019学年高一数学人教版(必修1)Word版含解析
一、几类不同增长的函数模型1．常见的函数模型（1）一次函数模型：y kx b =+（,k b 均为常数，0k ≠），也称线性函数模型．其增长特点是直线上升，增长速度______．（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数模型2y ax bx c =++（,,a b c 均为常数，0a <）；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数模型2y ax bx c =++（,,a b c 均为常数，0a >）．（3）指数函数模型：x y ab c =+（,,a b c 均为常数，0a ≠，0b >，1b ≠）．其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度_____，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．（4）对数函数模型：log a y m x n =+（,,m n a 为常数，0,0,1m a a ≠>≠）．其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度______，即增长速度平缓．（5）幂函数模型：ny ax b =+（,,a b n 为常数，0,1a n ≠≠）．其增长速度介于指数增长和对数增长之间．2．几类函数模型的增长差异一般地，在区间(0,)+∞上，尽管函数(1)x y a a =>，log (1)a y x a =>和(0)n y x n =>都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，(1)x y a a =>的增长速度越来越快，会超过并远远大于(0)n y x n =>的增长速度，而log (1)a y x a =>的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个0x ，使得当0x x >时，就有log (1,0)n x a x x a a n <<>>．3．指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较 函数性质()1x y a a =>()log 1a y x a => ()0n y x n =>在（0，＋∞）上的增减性单调递增单调递增 单调递增 增长速度 先慢后快，指数爆炸先快后慢，增长平缓 介于指数函数与对数函数之间，相对平稳 图象的变化随x 的增大，图象与y 轴接近平行 随x 的增大，图象与x 轴接近平行 随n 值变化而各有不同名师提醒选取上述三个增长函数模型时，应注意：（1）当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．二、函数模型的应用用框图表示如下：建模 审题、转化、抽象 问题 解决 解模 运算还原函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．其中，建立函数模型解决实际问题是常见形式． 解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； 实际问题数学问题数学问题答案实际问题结论（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．K 知识参考答案：一、1．（1）不变 （3）越来越快 （4）越来越慢1．线性函数、指数函数、对数函数、幂函数的增长速度不同的函数增长模型能刻画现实世界中不同的变化规律：（1）线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；（2）指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；（3）对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；（4）幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．【例1】某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案．在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：0.25y x =，7log 1y x =+， 1.002x y =，其中哪个模型符合公司的要求？【解析】借助计算器或计算机作出函数5y =，0.25y x =，7log 1y x =+， 1.002x y =的部分图象，如图所示．观察图象发现，在区间[]101000，上，模型0.25y x =， 1.002x y =的图象都有一部分在直线5y =的上方，只有模型7log 1y x =+的图象始终在5y =的下方，这说明只有按模型7log 1y x =+进行奖励，才符合公司的要求．【名师点睛】除了根椐函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断，还可以根据图象进行判断． 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．2．一次函数模型的应用利用一次函数模型解决实际问题时，需注意：（1）常用待定系数法求一次函数的解析式．（2）当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数．【例2】A 地某校准备组织学生及学生家长到B 地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上．根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元．已知学生家长与教师的人数之比为2:1，从A 到B 的火车票价格（部分）如下表所示： 运行区间公布票价 学生票 上车站 下车站 一等座二等座 二等座 A B81（元） 68（元） 51（元） （1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？（2）由于各种原因，二等座火车票只能买x 张（x 小于参加社会实践的人数），其余的需买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y 与x 之间的函数关系式．（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？【解析】（1）设参加社会实践的老师有m 人，学生有n 人，则学生家长有2m 人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座火车票，依题意得：()813170106835111220m n m n ⎧+=⎨⨯+=⎩，解得10180m n =⎧⎨=⎩，则220m =． 答：参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人．（3）由（2）知，当180210x ≤<时，1313950y x =-+，由此可见，当209x =时，y 的值最小，最小值为11233元，当180x =时，y 的值最大，最大值为11610元．当0180x <<时，3017010y x =-+，由此可见，当179x =时，y 的值最小，最小值为11640元，当1x =时，y 的值最大，最大值为16980元．所以按（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元．3．二次函数模型的应用在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．【例3】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数)(x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）)()(x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）【解析】（Ⅰ）由题意，当020x ≤≤时，()60v x =；当20200x ≤≤时，设()v x ax b =+．再由已知得20002060a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得132003a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 故函数()v x 的表达式为60,020()1(200),202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩． （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020()1(200),202003x x f x x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩． 当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，()f x 在区间[0,20]上取得最大值60201200⨯=．当20200x <≤时，2111000010000()(200)(100)3333f x x x x =-=--+≤， 当且仅当100x =时，等号成立．所以，当100x =时，()f x 在区间(20,200]上取得最大值100003． 综上，当100x =时，()f x 在区间[0,200]上取得最大值1000033333≈． 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．【名师点睛】在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围．4．用函数模型解决增长（衰减）率类问题（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为()1xy N p =+（其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间）的形式．求解时可利用指数运算与对数运算的关系．（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可．【例4】为保护生态环境，某市某山区自2015年起开始实行退耕还林．已知2014年底该山区森林覆盖面积为a 亩．（1）设退耕还林后，森林覆盖面积的年自然增长率为2%，写出该山区的森林覆盖面积y （亩）与退耕还林年数x （年）之间的函数关系式，并求出2019年底时该山区的森林覆盖面积．（2）如果要求到2024年底，该山区的森林覆盖面积至少是2014年底的2倍，就必须还要实行人工绿化工程．请问2024年底要达到要求，该山区森林覆盖面积的年平均增长率不能低于多少？（参考数据：1.024=1.082，1.025=1.104，1.026=1.126，lg 2=0.301，lg 1.072=0.0301）（2）设年平均增长率为p ．由题意得10(1)2a p a +≥，两边取常用对数得10lg(1)lg 2p +≥，∴10lg(1)0.301p +≥，∴lg(1)0.0301p +≥，即lg(1)lg1.072p +≥，∴1 1.072p +≥，∴0.072p ≥．故森林覆盖面积的年平均增长率不能低于7．2%．【名师点睛】设原来的基础数为N ，增长率为p ，则对应于时间x 的总数或总产值、总利润等的y ，可以用(1)x y N p =+表示．解决平均增长率的问题都会用到这个函数式．需注意，指数x 是基数所在时间后所跨过的时间间隔数．【例5】我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度 I 用瓦/米2 （2W /m ）表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平1L 表示，它们满足以下公式：1010lg I L I =⋅ （单位为分贝，10L ≥，其中120110I -=⨯2W /m ，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端）．回答以下问题：（1）树叶沙沙声的强度是12110-⨯2W /m ，耳语的强度是10110-⨯2W /m ，恬静的无线电广播的强度。
2018年秋高中数学人教A版必修一课件3.2.2函数模型的应用实例.pptx
思维辨析
当堂检测
变式训练1甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销 售的统计规律:每生产产品x(单位:百台),其总成本为G(x)(单位:万 元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元 (总成本=固定成本+生产成本),销售收入R(x)=
-0.4������ 2 + 4.2������,0 ≤ ������ ≤ 5, 11,������ > 5. 假定该产品产销平衡(即生产的产品 都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题: (1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本). (2)甲厂生产多少台新产品时,可使盈利最多?
一
二
2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行? 提示:第一步:分析、联想、转化、抽象; 第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题; 第三步:解答数学问题,求得结果; 第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答. 而这四步中,最为关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建 立妥当,所有的问题即可在此基础上迎刃而解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:(1)由题意得G(x)=2.8+x.
-0.4������ 2 + 3.2������-2.8,0 ≤ ������ ≤ 5, ∴f(x)=R(x)-G(x)= 8.2-������,������ > 5. (2)当x>5时,∵函数f(x)单调递减, ∴f(x)<8.2-5=3.2(万元). 当0≤x≤5时,函数f(x)=-0.4(x-4)2+3.6, 当x=4时,f(x)有最大值为3.6万元. 故当工厂生产4百台时,可使赢利最大为3.6万元.
2018-2019年高中数学人教A版必修1课件 第3章 3.2 3.2.2 函数模型的应用实例
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
课 时 分 层 作 业
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自 主 预 习 • 探 新 知
4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营 运的利润 y 与营运年数 x(x∈N)为二次函数关系(如图 325)，则客车有营运利 润的时间不超过________年．
合 作 探 究 • 攻 重 难
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
课 时 分 层 作 业
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自 害昆虫的繁殖， 引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物， 已知该动物的繁殖数量 y(只)与引入时间 x(年)的关系为 y＝alog2(x＋1)，若该动 物在引入一年后的数量为 100 只，则第 7 年它们发展到( A．300 只 B．400 只 D．700 只 C．600 只 )
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
课 时 分 层 作 业
图 325
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自 主 预 习 • 探 新 知
10 [设二次函数 y＝a(x－6)2＋11，又过点(4,7)， 所以 a＝－1，即 y＝－(x－6)2＋11. 解 y≥0，得 6－ 11≤x≤6＋ 11，∴0<x<10.]
1t h T－Ta＝(T0－Ta)× 2 其中
Ta 表示
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用 88℃热水冲的速溶咖啡，放在 24℃的房 间中，如果咖啡降温到 40℃需要 20 min，那么降温到 32℃时，需要多长时间？ 【导学号：37102386】
函数模型及其应用第二课时课件高一上学期数学人教A版(2019) (1(完整版)3
第四步：再转译为具体问题作出解答。
解决实际应用问题的基本步骤：
实际问题
读
抽
懂
象
问
概
题
括
数学问题
演推 算理
实际问题的解 还 原 说 明
数学问题的解
互动交流,探求新知 例5.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案 供你选择，这三种方案的回报如下：
x [3,5]
(2) y 3x 20 x [3, 5]
3.教材P154练习1。
4.课外活动：收集一些社会生活中普遍使用的一次函 数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度 进行比较；有时同一个实际问题可以建立多个函数模 型，怎样选用合理的函数模型？
课 堂小结
阅读、理解、审题
选择自变量写出函数解析式，确定函数模型 利用数据表格、函数图象，讨论模型
方案一
方案二
y/元 增加量/元 y/元 增加量/元
三种函方数的案增三长差异。
y/元
增加量/元
1 40 0
10
0.4
2 40 0 3 40 0 4 40 0
5 40
6 40 0 7 40 0 0
8 40 0
9 40 0 ………
30 40
0
20 10
30 10
40 10
50
60 10
70
10 10
80 10
来吗?
累计回报表
天数
方案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一
40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
函数模型及其应用-2018-2019学年高一数学人教版必修1必刷题
函数模型及其应用-2018-2019学年高一数学人教版必修1必刷题1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是A．m11B．m12C． 1 D． 1【答案】D2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为A．y＝0.2x（0≤x≤4 000）B．y＝0.5x（0≤x≤4 000）C．y＝－0.1x＋1 200（0≤x≤4 000）D．y＝0.1x＋1 200（0≤x≤4 000）【答案】C【解析】由题意得y＝0.3（4 000－x）＋0.2x＝－0.1x＋1 200．故选C．3．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费（不足1千米按1千米计价）；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算（不足1千米按1千米计价）．陈先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是A．[5,6）B．（5,6]C．[6,7）D．（6,7]【答案】B【解析】若按x千米（x∈Z）计价，则6＋（x－2）×3＋2×3＝24，得x＝6．故实际行程应属于区间（5,6]．故选B．4．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1【答案】B【解析】在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象（图略），在区间（2,4）内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.故选B．5．有一组实验数据如下表所示：下列所给函数模型较适合的是A．y＝log a x（a>1）B．y＝ax＋b（a>1）C．y＝ax2＋b（a>0）D．y＝log a x＋b（a>1）【答案】C6．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f（x）的图象大致为【答案】D【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a（1＋0.104）y，故y＝log1.104x（x≥1），函数为对数函数，所以函数y＝f（x）的图象大致为D中图象，故选D．7．某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为A．200副B．400副C．600副D．800副【答案】D【解析】由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．故选D．8．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i（x）（其中i∈{1,2,3,4}）和时间x（x>1）的函数关系分别是f1（x）＝x2，f2（x）＝4x，f3（x）＝log2x，f4（x）＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是A．f1（x）＝x2B．f2（x）＝4xC．f3（x）＝log2x D．f4（x）＝2x【答案】D9．下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是 A ．y ＝1100e xB ．y ＝100ln xC ．y ＝x 100D ．y ＝100·2x【答案】A【解析】指数爆炸式形如指数函数．又e>2，∴1100e x 比100·2x增大速度快．10．下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是A ．y ＝50B ．y ＝1 000xC ．y ＝2x －1D ．y ＝11 000ln x 【答案】C【解析】指数函数模型增长速度最快，故选C ．11．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，则汽车离开A 地的距离x 关于时间t （小时）的函数解析式是 A ．x ＝60tB ．x ＝150－50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150－50t ，t >3.5D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150，2.5＜t ≤3.5150－t －，3.5＜t ≤6.5【答案】D【解析】显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数．故选D ． 12．以下是三个变量y 1，y 2，y 3随变量x 变化的函数值表：其中，关于x 呈指数函数变化的函数是________． 【答案】y 113．某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t （年）的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年后产量保持不变． 其中说法正确的序号是________． 【答案】②③【解析】由t ∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α（0<α<1），反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3,8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停产，所以②③正确． 14．若a >1，n >0，那么当x 足够大时，a x ，x n，log a x 的大小关系是________．【答案】a x >x n>log a x【解析】∵a >1，n >0，∴函数y 1＝a x ，y 2＝x n，y 3＝log a x 都是增函数．由指数函数、对数函数、幂函数的变化规律可知，当x 足够大时，a x >x n >log xa ．15．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间（1，＋∞）上增长较快的一个是________．【答案】y ＝x 2【解析】当x 变大时，x 比ln x 增长要快，∴x 2要比x ln x 增长的要快．16．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭（除燃料外）的质量m 千克的函数关系式是v ＝2 000·ln（1＋Mm）．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒． 【答案】e 6－1【解析】当v ＝12 000时，2 000·ln（1＋M m ）＝12 000，∴ln （1＋M m ）＝6，∴M m＝e 6－1．17．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8100元的计算机15年后的价格应降为________元．18．如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y （元）与通话时间t （分钟）之间的函数关系图象，根据图象填空：（1）通话2分钟，需付的电话费为________元； （2）通话5分钟，需付的电话费为________元；（3）如果t ≥3，则电话费y （元）与通话时间t （分钟）之间的函数关系式为________． 【答案】（1）3.6 （2）6 （3）y ＝1.2t （t ≥3） 【解析】（1）由图象可知，当t ≤3时，电话费都是3.6元． （2）由图象可知，当t ＝5时，y ＝6，即需付电话费6元．（3）当t ≥3时，y 关于x 的图象是一条直线，且经过（3，3.6）和（5,6）两点，故设函数关系式为y ＝kt ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝3.6，5k ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.2，b ＝0.故y 关于t 的函数关系式为y ＝1.2t （t ≥3）．19．今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2【答案】C【解析】从表格中看到此函数为单调增函数，排除B ，增长速度越来越快，排除A 和D ，故选C ． 20．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么 A ．人可在7秒内追上汽车B ．人可在10秒内追上汽车C ．人追不上汽车，其间距最少为5米D ．人追不上汽车，其间距最少为7米21．三个变量y 1，y 2，y 3，随着变量x 的变化情况如下表：则关于x 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 A ．y 1，y 2，y 3 B ．y 2，y 1，y 3 C ．y 3，y 2，y 1 D ．y 1，y 3，y 2【答案】C22．下面对函数f （x ）＝12log x 、g （x ）＝1()2x ，与h （x ）＝x －12在区间（0，＋∞）上的衰减情况说法正确的是A ．f （x ）衰减速度越来越慢，g （x ）衰减速度越来越快，h （x ）衰减速度越来越慢B ．f （x ）衰减速度越来越快，g （x ）衰减速度越来越慢，h （x ）衰减速度越来越快C ．f （x ）衰减速度越来越慢，g （x ）衰减速度越来越慢，h （x ）衰减速度越来越慢D ．f （x ）衰减速度越来越快，g （x ）衰减速度越来越快，h （x ）衰减速度越来越快 【答案】C【解析】观察函数f （x ）＝12log x 、g （x ）＝1()2x 与h （x ）＝x －12在区间（0，＋∞）上的图象如图.可知：函数f （x ）的图象在区间（0,1）上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间（1，＋∞）上，递减较慢，且越来越慢；同样，函数g （x ）的图象在区间（0，＋∞）上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h （x ）的图象在区间（0,1）上递减较快，但递减速度变慢；在区间（1，＋∞）上，递减较慢，且越来越慢．故选C ．23．若x ∈（0,1），则下列结论正确的是A ．2x>12x >lg x B ．2x>lg x >12xC ．12x >2x>lg xD ．lg x >12x >2x【答案】A【解析】结合y ＝2x，y ＝12x 及y ＝lg x 的图象易知，当x ∈（0,1）时，2x>12x >lg x .故选A ．24．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f （n ）＝12n （n ＋1）（2n ＋1）吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年． 【答案】7【解析】由题意知，第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量分别为a n ＝f （n ）－f （n －1）＝12n （n ＋1）（2n ＋1）－12n （n －1）（2n －1）＝3n 2（n ∈N *），令3n 2≤150，得1≤n ≤52⇒1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．25．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样．其中，正确信息的序号是________．【答案】①②③26．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x呈指数函数变化的变量是________．【答案】y227．一水池有2个进水口，1个出水口，两个进水口的进水速度如图甲、乙所示，出水口的排水速度如图丙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丁所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．其中一定正确的论断序号是________．【答案】①②【解析】从0点到3点，两个进水口的进水量为9，故①正确；由排水速度知②正确；4点到6点可以是不进水，不出水，也可以是开一个进水口（速度快的）、一个排水口，故③不正确．28．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地，汽车离开A地的距离x随时间t变化的关系式是__________．【答案】x=600 2.51502.5 3.5 503253.5 6.5t ttt t≤≤⎧⎪<≤⎨⎪-+<≤⎩，，，29．（2016•四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年【答案】B【解析】设从2015年开始第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得()11200130112%200, 1.12130n n --⨯+>∴>， 两边取常用对数得200(1)lg1.12lg,130n ->lg 2lg1.30.30.111 3.8,5lg1.120.05n n --∴->==∴≥， 故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B ．。
4.5.3 函数模型的应用(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
我们先用信息技术计算一下三种方案所得
回报的增长情况(如下表).
例析
再画出三个函数的图象.
函数图象是分析问题的好帮
手.为了便于观察，用虚线连
接离散的点.
例析
由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函
数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、
(2)利用(1)中的模型计算1951~1958年各年末得人口总数.查阅国家统计局网站
公布的我国在1951~1958年间各年末得实际人口总数，检验所得模型与实际人口
数据是否相符.
解(2)：分别取 = 1，2， ⋯ ，8，由 = 55196 0.021876 可得我国在1951~1958年
间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，使得我国1951~1958年各年末的实
尔萨斯人口增长模型，有67207 = 55196 9 ，
由计算工具得： ≈ 0.021876.
因此我国在1950~1959期间得人口增长模型为 = 55196 0.021876 ， ∈ [0,9].
例析
例3.(1)中的模型： = 55196 0.021876 ， ∈ [0,9].
由表和图可以看出，所得模型
与1951~1958年的实际人口数
据基本吻合.
例析
例3.(1)中的模型： = 55196 0.021876 ， ∈ [0,9].
(3)以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？
解(3)：将 = 130000代入 = 55196 0.021876 ，由计算工具得 ≈ 39.15.
第四章
指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
4.5.3函数模型的应用 课件 高一上学期数学人教A版(2019)必修一
指数函数
a>1
0<a<1
例1 人口增长模型
人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的 变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据。早在1798年， 英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型 ，
其中 表示经过的时间， 表示 表示人口的年平均增长率.
时的人口数，
人口增长模型
（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末 的人口总数分别为55196万和67207万。根据这些数据，用马尔萨斯 人口增长模型建立我国1950-1959年间的具体人口增长模型。
人口增长模型
（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到 13亿？
思考
事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿 对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？
因为人口基数较大，人口增长过快， 与我国经济发展水平产生较大矛盾 所以我国从20世纪70年代逐步实施计划生育政策（年增长率变化） 不符合马尔萨斯人口增长模型的条件(年增长率不变) 自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况
58940
6024 3
5748 2
58796
6026 6
1955 1956 1957
6157 6
62938
6433 0
6146 5
62828
6456 3
1958
6575 3
6599 4
人口增长模型
（2）利用（1）中的模型计算1951-1958年各年末的人口总数。查 阅国家统计局网站公布的我国在1951-1958年间各年末的实际人口 总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符。
函数模型及其应用 2018-2019学年上学期高一数学人教版(必修1)Word版含解析
10月26日 函数模型及其应用高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★★☆☆学霸推荐1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用 A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数D ．对数型函数2．我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番，设平均每年的增长率为x ，则 A ．(1＋x )19＝4 B ．(1＋x )20＝3 C ．(1＋x )20＝2D ．(1＋x )20＝43．某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数()y f x =的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效.设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为A ．午10：00B ．中午12：00C ．下午4：00D ．下午6：004．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量 （单位：千瓦时） 高峰电价 （单位：元/千瓦时）50及以下的部分0.568超过50至200的部分 0.598 超过200的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量 (单位：千瓦时) 低谷电价 （单位：元/千瓦时）50及以下的部分 0.288 超过50至200的部分 0.318 超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式，该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）5．某种出口产品的关税税率t ，市场价格x （单位:千元）与市场供应量p （单位：万件）之间近似满足关系式：2(1)()2kt x b p --=，其中k 、b 均为常数.当关税税率为75﹪时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件. （1）试确定k 、b 的值；（2）市场需求量q （单位：万件）与市场价格x 近似满足关系式：2x q -=.当p q =时，市场价格称为市场平衡价格.当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值.6．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施.方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问：（1）工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明.（2）若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？7．某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿市场售价P(单位:元/102 kg)与上市时间t(单位:天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系,西红柿种植成本Q(单位:元/102kg)与上市时间t(单位:天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；（2）若市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的纯收益最大?2．【答案】D【解析】设2000年的工农业总产值为a ，到2020年翻两番，则工农业总产值为4a ，即(1＋x )20＝4．故选D ． 3．【答案】C【解析】当[]0,4x ∈时,设1y k x =,把()4,320代入,得180k =,∴80y x =.当[]4,20x ∈时,设2y k x b =+，把()()4,320,20,0代入，得224320200k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得220400k b =-⎧⎨=⎩，∴400y =-20x .。
精做08函数模型及其应用 2018-2019学年高一数学人教版(必修1)Word版含解析
1．某人根据经验绘制了2018年春节前后，从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y（千克）随时间x（天）变化的函数图象，如图所示，则此人在1月30日大约卖出了多少千克西红柿？2．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M＝lg A－lg A0．其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．（1）假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；（2）5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？【解析】（1）M＝lg A－lg A0＝lg AA0＝lg200.002＝4．即这次地震的震级为4级．（2）⎩⎪⎨⎪⎧5＝lg A 5－lg A 0，8＝lg A 8－lg A 0，lg A 8A 5＝3，A 8A 5＝1 000，即我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍．3．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x 元与日销售量y 件之间有如下关系：销售单价x （元） 30 40 45 50 日销售量y （件）603015（1）在所给坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对（x ，y ）对应的点，并确定x 与y 的一个函数关系式y ＝f （x ）；（2）设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出销售单价x 为多少时，才能获得最大日销售利润．【解析】实数对（x ，y ）对应的点如图所示，由图可知y 是x 的一次函数．4．目前某县有100万人，经过x 年后为y 万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题： （1）写出y 关于x 的函数解析式；（2）计算10年后该县的人口总数（精确到0.1万人）；（3）计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万（精确到1年）．【解析】（1）当x ＝1时，y ＝100＋100×1.2%＝100（1＋1.2%）；当x ＝2时，y ＝100（1＋1.2%）＋100（1＋1.2%）×1.2%＝100（1＋1.2%）2；当x ＝3时，y ＝100（1＋1.2%）2＋100（1＋1.2%）2×1.2%＝100（1＋1.2%）3；……故y 关于x 的函数解析式为y ＝100（1＋1.2%）x（x ∈N *）．5．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元，某月甲、乙两用户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x ，3x 吨．（1）求y 关于x 的函数；（2）若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费． 【解析】（1）当甲用户的用水量不超过4吨，即5x ≤4时，乙用户的用水量也不超过4吨，即：y ＝（5x ＋3x ）×1.80＝14.4x ；同理可得当45＜x ≤43时，y ＝20.4x －4.8； 当x >43时，y ＝24x －9.6．∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ， ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤45，20.4x －4.8， ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＜x ≤43，24x －9.6， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x >43.（2）由于y ＝f （x ）在各段区间上均单调递增，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45<26.40；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<26.40； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.40， 得x ＝1.5．∴甲用户用水量为5x ＝7.5（吨），付费y 1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70（元）． 乙用户用水量为3x ＝4.5（吨），付费y 2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70（元）．6．某公司研发出一款新产品，批量生产前先同时在甲、乙两城销售30天进行市场调查．调查结果发现：甲城的日销售量f （t ）（单位：件）与天数t 的对应关系服从图①所示的函数关系，乙城的日销售量g （t ）（单位：件）与天数t 的对应关系服从图②所示的函数关系，每件产品的销售利润h （t ）（单位：元）与天数t 的对应关系服从图③所示的函数关系，图①是抛物线的一部分．（1）设该产品的销售时间为t （0≤t ≤30）天，日销售利润为Q （t ）（单位：元），求Q （t ）的解析式；（2）若在30天的销售中，日销售利润至少有一天超过2万元，则可以投入批量生产，该产品是否可以投入批量生产?请说明理由． 【解析】（1）f （t ）=－110t 2+4t ，0≤t ≤30； g （t ）=40152901530t t t t ≤≤⎧⎨-+<≤⎩，，，；h （t ）=200102001030t t t ≤≤⎧⎨<≤⎩，，，．由题可知，Q （t ）=[f （t ）+g （t ）]h （t ）， ∴当0≤t ≤10时，Q （t ）=214410t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭20t =－2t 3+160t 2；。
高一数学人教A版2019必修第一册.3函数模型的应用(1)-PPT全文课件(共53ppt)
一 新课引入
我们知道函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的 变化规律需要不同的函数模型来刻画，面临一个实际问题，该如 何选择恰当的函数模型来刻画它呢？我们将用两节课的时间继续 学习函数模型的应用，这节课我们主要探究利用已知的函数模型 解决实际问题．
二 新课讲解
例1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口变化的 规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在 1798 年，英国经济 学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模 型
追问 1：我国自 1950 年起的人口增长模型中人口初始量 y 是多少？ 0
依题意是 1950 年末的人口总数是 55196 万．
高一数学人教A版2019必修第一册.3函 数模型 的应用 (1)-PP T全文 课件（ 共53ppt ）【完 美课件 】
追 问 2 ： 如 果 1950 记 为 第 1 年 ， 1959 年 是 第 几 年 ？ 1950 年 到 1959年经过了几年？
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解：（1）设 1950 年至 1959 年我国人口年平均增长率为r ，
有Hale Waihona Puke 6720755196e9r ，
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追问１：设死亡生物体内碳 14 的初始含量为k ，年衰减率为 p (0 p1)， 生物死亡的年数为 x，死亡生物体内碳 14 含量为 y，则 y与 x间有何种对应关
系？
y与 x间对应关系为 yk(1 p)x(kR,k 0;0 p1,x0)．
新人教A版高中数学(必修1)3.2《函数模型及其应用》word教案2篇
课题：§3.2.1几类不同增长的函数模型教学目标：知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．教学重点：重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．难点怎样选择数学模型分析解决实际问题．教学程序与环节设计：实际问题引入，激发学生兴趣．归纳一般的应用题的求教学过程与操作设计：第10课时 函数模型及其应用1．x 、y 分别表示问题中的变量；2．建立函数模型：将变量y 表示为x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是：例1. 如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB=a ，BC=b （b ＜a ）,在AB ，AD ，CD ，CB 上分别截取AE ，AH ，CG ，CF 都等于x ，当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？并求出最大面积.解： 设四边形EFGH 的面积为S ，则S △AEH =S △CFG =21x 2,S △BEF =S △DGH =21（a-x ）（b-x ），∴S=ab-2［x 212+21（a-x ）（b-x ）］=-2x 2+（a+b ）x=-2（x-)4b a +2+,8)(2b a +由图形知函数的定义域为{x|0＜x ≤b}.又0＜b ＜a,∴0＜b ＜2b a +,若4ba +≤b,即a ≤3b 时，则当x=4b a +时，S 有最大值8)(2b a +;若4ba +＞b,即a ＞3b 时，S （x ）在（0,b ］上是增函数，此时当x=b 时，S 有最大值为-2(b-4b a +)2+8)(2b a +=ab-b 2,综上可知，当a ≤3b 时，x=4ba +时，四边形面积S max =8)(2b a +,当a ＞3b 时，x=b 时，四边形面积S max =ab-b 2.变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.解：设每个提价为x 元（x ≥0），利润为y 元，每天销售总额为（10+x ）（100-10x ）元， 进货总额为8（100-10x ）元， 显然100-10x ＞0,即x ＜10,则y=（10+x ）（100-10x ）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360 (0≤x ＜10).当x=4时，y 取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.例2. 据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度 v （km/h ）与时间t （h ）的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T （t ，0）作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t （h ）内沙尘暴所经过的路程s （km ）.（1）当t=4时，求s 的值；（2）将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由. 解：（1）由图象可知： 当t=4时，v=3×4=12, ∴s=21×4×12=24.（2）当0≤t ≤10时，s=21·t ·3t=23t 2，当10＜t ≤20时，s=21×10×30+30（t-10）=30t-150；当20＜t ≤35时，s=21×10×30+10×30+(t-20)×30-21×(t-20)×2(t-20)=-t 2+70t-550.综上可知s=[](](]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈-+-∈-∈.35,20,55070,20,10,15030,10,0,2322t t t t t t t (3)∵t ∈［0，10］时，s max =23×102=150＜650.t ∈（10，20］时，s max =30×20-150=450＜650.∴当t ∈（20，35］时，令-t 2+70t-550=650. 解得t 1=30,t 2=40,∵20＜t ≤35,∴t=30，所以沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城.变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台， 需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R （x ）=5x-22x （万元）(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？ （3）年产量是多少时，工厂才不亏本？ 解：（1）当x ≤5时，产品能售出x 百台； 当x ＞5时，只能售出5百台，故利润函数为L （x ）=R （x ）-C （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--⨯≤≤+--).5(25.012),50(5.0275.4)5()25.05.0()2555()50()25.05.0()25(222x x x x x x x x x x x(2)当0≤x ≤5时，L （x ）=4.75x-22x -0.5，当x=4.75时，L(x)max =10.781 25万元. 当x ＞5时，L （x ）=12-0.25x 为减函数，此时L （x ）＜10.75(万元）.∴生产475台时利润最大.（3）由⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤≤.025.0125,05.0275.4,502x ，x x x x 或得x ≥4.75-5562.21=0.1(百台）或x ＜48(百台).∴产品年产量在10台至4 800台时，工厂不亏本.例3. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x ，3x 吨. （1）求y 关于x（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费. 解：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨， y=（5x+3x ）× 1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4 即3x ≤4且5x ＞4,y=4×1.8+3x ×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8. 当乙的用水量超过4即3x ＞4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6，所以y=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤≤)34(6.924).3454(8.44.20)540(4.14x x x x x x (2)由于y=f(x)当x ∈［0，54］时,y ≤f （54）＜26.4;当x ∈（54，34］时，y ≤f （34）＜26.4;当x ∈（34,+∞）时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,所以甲户用水量为5x=7.5付费S 1=4×1.8+3.5×3=17.70（元); 乙户用水量为3x=4.5付费S 2=4×1.8+0.5×3=8.70（元).变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？ 以下数据供计算时使用：数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000对数lgN 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0 数N 3.000 5.000 12.48 13.11 13.78 对数lgN0.477 10.699 01.096 21.117 61.139 2解：（1）设每年人口平均增长率为x ，n 年前的人口数为y ，则y ·(1+x)n=60，则当n=40时，y=30，即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2， 两边取对数，则40lg(1+x)=lg2， 则lg （1+x ）=402lg =0.007 525，∴1+x ≈1.017，得x=1.7%.（2）依题意，y ≤12.48（1+1%）10得lgy ≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2,∴y ≤13.78，故人口至多有13.78亿.答 每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.解决函数应用问题应着重注意以下几点：1．阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；2．建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域； 3．求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.4．还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.。
函数模型及其应用新人教A版必修1优秀教案资料
3.2函数模型及其应用新人教A版必修1优秀教案3.2.1几类不同增长的函数模型整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幕函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题•课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的•三维目标1•借助信息技术，禾U用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幕函数的增长差异•2•恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题•3•让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幕函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同•教学难点：应用函数模型解决简单问题•课时安排2课时教学过程第1课时几类不同增长的函数模型导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01 cm, 一块砖的厚度大约为10 cm ,请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n=20时它们的厚度•你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n 次的厚度：f(n)=0.01 2n(cm),n 块砖的厚度:g(n)=10n(cm),f(20) ~ 105 m,g(20)=2 m. 也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幕函数的图象性质，本节我们通过实例比较它们的增推进新课新知探究提出问题①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.②正方形的边长为x,面积为y,把y表示为x的函数.③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y,把y表示为x的函数.④分别用表格、图象表示上述函数.⑤指出它们属于哪种函数模型•⑥讨论它们的单调性.⑦比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型•活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路•①总价等于单价与数量的积•②面积等于边长的平方•③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、….④列表画出函数图象•⑤引导学生回忆学过的函数模型•⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性•⑦让学生自己比较并体会•⑧另外还有与对数函数有关的函数模型•讨论结果：①y=x.②y=x2.③y=(1+5%)x,④如下表x123456y=x1234562y=x149162536xy=(1+5%) 1.05 1.01 1.16 1.22 1.28 1.34⑤它们分别属于：y=kx+b(直线型),y=ax2+bx+c(a工抛物线型)，y=ka x+b(指数型)•⑥从表格和图象得出它们都为增函数•⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y=(1+5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数•⑧另外还有与对数函数有关的函数模型形如y=log a x+b,我们把它叫做对数型函数•应用示例思路1例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番•请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再回答•教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(x € N*)进行描述；方案二可以用函数y=10x(x € N*)进行描述；方案三可以用函数y=0.4 *-1(x € N*)进行描述•三个模型中，第一个是常函数，后两个都是递增函数模型•要对三个方案作出选择，就要对它的增长情况图 3-2-1-4由表和图（3214）可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方 案二与方案三的函数的增长情况很不相同•可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变， 而方案三是 指数增长”其增长量”是成倍增加的，从第 7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的•从每天所得回报看，在第 1〜3天，方案一最多；在第 4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第 5〜8天方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过 2亿元.天数 回捲/元12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -一- 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 -——二10 30 60 100 150 210180 360450550660_ -0.41.22.8612.425.250.8102 204.4 409.2 818.8因此，投资1〜6天，应选择方案一；投资 7天，应选择方案一或方案二；投资 8〜10天,应选择方案二；投资 11天（含11天）以上，则应选择方案三• 针对上例可以思考下面问题：① 选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数 ② 课本把两种回报数都列表给出的意义何在？ ③ 由此得出怎样结论•答案:①选择哪种方案依据的是累积回报数•X 天 万案一万案二 万案三 y/元 增加量/元 y/元增加量/元 y/元 增加量/元1 40100.42 40 0 20 10 0.8 0.43 40 0 30 10 1.6 0.84 40 0 40 10 3.2 1.65 40 0 50 10 6.4 3.26 40 0 60 10 12.8 6.47 40 0 70 10 25.6 12.8 8 40 0 80 10 51.2 25.69 40 0 90 10 102.4 51.2 104010010204.8102.430 40 0300 10 214748364.8107374182.4再作出三个函数的图象（3-2-1-4）.t ^=0.4^2*-1 J 进行分析•我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况y4(>20mSD604020I』------- 芒 --------- 尸40②让我们体会每天回报数增长变化•③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.变式训练某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通使用者先缴50元基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；神州行不交月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x 分钟，两种通讯业务的费用分别为y i元和y2元，那么(1) 写出y i、y2与X之间的函数关系式；(2) 在同一直角坐标系中画出两函数的图象；(3) 求出或寻求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；(4) 若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算.思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据.(1)全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；⑵运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；(3)可利用方程组求解，也可以根据图象回答；(4)寻求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大.解：(1)y1=50 + 0.4x(x >,0)y2=0.6x(x > 0).(2) 图象如图(3-2-1-5)所示.」M元200图3-2-1-5(3) 根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250,所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同.(4) 当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值，即选取全球通更合算.另解：当y1=200 时有0.4x + 50=200, A X1=375 ；七1000 1000当『2=200 时有0.6X=200,X2= .显然375> ,3 3A选用全球通更合算.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型例2某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润X(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log 7X+1,y=1.002 x,其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%,由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是只需在区间］10,1000 ］上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果图3-2-1-6观察函数的图象，在区间］10,1 000］上，模型y=0.25x,y=1.002X的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log 7X+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7X+1进行奖励时才符合公司的要求.下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x，它在区间］10,1 000］上递增，而且当x=20时，y=5,因此，当x>20时，y>5,所以该模型不符合要求；对于模型y=1.002x,由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805, 806)内有一个点X。
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10月26日 函数模型及其应用
高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★★☆☆
学霸推荐
1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用 A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数
D ．对数型函数
2．我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番，设平均每年的增长率为x ，则 A ．(1＋x )19
＝4 B ．(1＋x )20
＝3 C ．(1＋x )20＝2
D ．(1＋x )20
＝4
3．某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数()y f x =的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效.设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为
A ．午10：00
B ．中午12：00
C ．下午4：00
D ．下午6：00
4．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
高峰月用电量 （单位：千瓦时） 高峰电价 （单位：元/千瓦时）
50及以下的部分
0.568
超过50至200的部分 0.598 超过200的部分
0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量 (单位：千瓦时) 低谷电价 （单位：元/千瓦时）
50及以下的部分 0.288 超过50至200的部分 0.318 超过200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式，该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）
5．某种出口产品的关税税率t ，市场价格x （单位:千元）与市场供应量p （单位：万件）之间近似满足关系式：2
(1)()2kt x b p --=，其中k 、b 均为常数.当关税税率为75﹪时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件. （1）试确定k 、b 的值；
（2）市场需求量q （单位：万件）与市场价格x 近似满足关系式：2x q -=.当p q =时，市场价格称为市场平衡价格.当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值.
6．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施.
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗为30000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问：
（1）工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？
通过计算加以说明.
（2）若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
7．某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿市场售价P(单位:元/102 kg)与上市时间t(单位:天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系,西红柿种植成本Q(单位:元/102kg)与上市时间t(单位:天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.
（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；。