2019届高考数学(理科)一轮复习达标检测(五十五) 推理3方法——类比、归纳、演绎
2019版理科数学一轮复习高考帮课件第15章 推理与证明(2019高考帮·数理)精选ppt版本
类比推理
(1)通过观察个别对象发现某些相同 一般 性质; 步骤 (2)从已知的相同性质中推出一个明
确的一般性命题(猜想).
(1)找出两类对象之间的相似性 或一致性; (2)用一类对象的性质去推测另 一类对象的性质,得出一个明确 的命题(猜想).
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理科数学 第十五章：推理与证 明
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命题分析预测 1.分析预测 从近五年的考查情况来看,本章是高考的热点,一般以选择题 或填空题的形式考查合情推理和演绎推理, 分值5分;直接证明、间接证明 和数学归纳法一般以函数、不等式、数列等为背景进行考查,题型以解答 题为主,综合性较强. 2.学科素养 本章主要考查考生的逻辑推理能力.
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理科数学 第十五章：推理与证 明
考点1 合情推理与演绎推理 考点2 直接证明与间接证明 考点3 数学归纳法
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考点1 合情推理与演绎推理（重点）
1.合情推理 合情推理包括归纳推理和类比推理,二者区别如下:
归纳推理
类比推理
由某类事物的部分对象具有某些特征 由两类对象具有某些类似特征
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理科数学 第十五章：推理与证 明
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理科数学 第十五章：推理与证 明
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考法2 类比推理 考法指导 类比推理应用的题型及相应方法 (1)类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助 定义. (2)类比性质:对于由一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质提出的类 比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的 转化过程. (3)类比方法:一些处理问题的方法类似,可以把这种方法类比应用到其他问 题中,注意知识的迁移.
高考高三数学一轮热点由已知到未知的推理技巧与方法
高考高三数学一轮热点、难点一网打尽第56讲由已知到未知的推理技巧与方法考纲要求:1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用．2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．基础知识回顾:一、合情推理1．归纳推理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．2．类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．3．合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理二、演绎推理1．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．“三段论”是演绎推理的一般模式(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．应用举例:类型一、归纳推理1、形的推理例1．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．2、式的推理例2．已知f(x)＝x1＋x，x≥0，若f1(x)＝f(x)，f n＋1(x)＝f(f n(x))，n∈N＋，则f2 014(x)的表达式为__________________.例3．观察下列不等式1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74……照此规律，第五个不等式为__________．3、数的推理例4．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________．点评：运用归纳推理时的一般步骤：首先，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后，把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后，对所得出的一般性命题进行检验．在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明．类型二、类比推理例5．已知点A(x 1，ax 1)，B(x 2，ax 2)是函数y ＝a x(a>1)的图象上任意不同两点，依据图象(图略)可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论ax 1＋ax 22>a x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A(x 1，sin x 1)，B(x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x(x ∈(0，π))的图象上任意不同两点，则类似地有________成立．例6．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．点评：(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．类型三、演绎推理例7．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .点评：演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成方法、规律归纳:类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．比如 ：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象； ③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象； ④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．实战演练:1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( ) A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确2．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q >1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( ) A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7 B ．b 4＋b 8<b 5＋b 7 C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8D ．b 5·b 8<b 4·b 73．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第( ) A ．22项 B ．23项 C ．24项D ．25项4．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( ) A ．(7,5) B ．(5,7) C ．(2,10)D ．(10,1)5．观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n 个式子是( ) A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(2n －1)＝n 2 B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(2n －1)＝(2n －1)2 C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)26.对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB→＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0，将它类比到空间情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有__________． 7.将全体正整数排成一个三角形数阵 12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15…根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是________．8.把正整数排列成如下图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三a，若a n=2015，则n _________.角数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列{}n9．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°c os 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋co s248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．10．观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；…照此规律，当n∈N*时，＝________.C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－1。
2018年高考数学总复习(五十五) 推理3方法——类比、归纳、演绎 含答案
高考达标检测（五十五）推理3方法——类比、归纳、演绎一、选择题1．(2017·日照二模)下面几种推理过程是演绎推理的是( )A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．某校高三年级共有10个班，一班有51人，二班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D．在数列{a n}中，a1＝1，a n＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n－1＋1a n－1(n≥2)，计算a2，a3，a4，由此推测通项a n解析：选A 演绎推理是由一般到特殊的推理，显然选项A符合；选项B属于类比推理；选项C、D是归纳推理．2．(2017·重庆检测)演绎推理“因为对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)是增函数，而函数y＝log12x是对数函数，所以y＝log12x是增函数”所得结论错误的原因是( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．大前提和小前提都错误解析：选A 因为当a＞1时，y＝log a x在定义域内单调递增，当0＜a＜1时，y＝log a x 在定义域内单调递减，所以大前提错误．故选A.3．(2016·辽宁丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为( ) A．(3,9) B．(4,8)C．(3,10) D．(4,9)解析：选D 因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．故选D.4．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选D 若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选D.5．(2016·银川二模)将正整数排列如下：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则图中数2 016出现在( )A．第44行第81列B．第45行第81列C．第44行第80列D．第45行第80列解析：选D 由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1 936,452＝2 025，且1 936＜2 016＜2 025，所以2 016在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2 016－1 936＝80，故2 016在第45行第80列，选D.6．(2017·上海师大附中检测)若数列{a n}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m 使得a m＜n成立，记这样的m的个数为(a n)*，则得到一个新数列{(a n)*}．例如，若数列{a n}是1,2,3，…，n，…，则数列{(a n)*}是0,1,2，…，n－1，….已知对任意的n∈N*，a n＝n2，则((a n)*)*＝( )A．2n B．2n2C．n D．n2解析：选D 对任意的n∈N*，a n＝n2，则(a1)*＝0，(a2)*＝(a3)*＝(a4)*＝1，(a5)*＝(a6)*＝…＝(a9)*＝2，(a10)*＝(a11)*＝…＝(a16)*＝3，…，所以((a1)*)*＝1，((a2)*)*＝4，((a3)*)*＝9，…，由此猜想((a n)*)*＝n2，故选D.7．(2017·广州模拟)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5 … 2 013 2 014 2 015 2 0163 5 7 9 …………4 027 4 029 4 0318 12 16 ……………… 8 0568 06020 28 …………………… 16 116………………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )A．2 017×22 013B．2 017×22 014C．2 016×22 015D．2 016×22 014解析：选B 当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20； 当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21； 当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22； 当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23； 归纳推理得，当第一行为2 016个数时，最后一行仅一个数，为2 017×22 014.故选B.8．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则a 2＋b 2＝c 2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝ ∠COA ＝90°，S 为顶点O 所对面的面积，S 1，S 2，S 3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则下列选项中对于S ，S 1，S 2，S 3满足的关系描述正确的为( )A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23 B ．S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3解析：选A 如图，作OD ⊥ BC 于点D ，连接AD ， 由立体几何知识知，AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋14BC 2·OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12OC ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·OD 2 ＝S 21＋S 22＋S 23. 二、填空题9．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ， 又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sinA ＋B ＋C3＝3sinπ3＝332.答案：33210．(2016·湛江一模)如图，已知点O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，并延长交对边于A 1，B 1，C 1则OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＝1，类比猜想：点O 是空间四面体A BCD 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，DO ，并延长分别交平面BCD ，ACD ，ABD ，ABC 于点A 1，B 1，C 1，D 1，则有____________．解析：猜想：若O 为四面体A BCP 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，DO ，并延长分别交平面BCD ，ACD ，ABD ，ABC 于点A 1，B 1，C 1，D 1，则OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1.用等体积法证明如下：OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝V O BCD V A BCD ＋V O CAD V B CAD ＋V O ABD V C ABD ＋V O ABCV D ABC＝1. 答案：OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1 11．有一个游戏：将标有数字1,2,3,4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片； 乙说：甲或丙拿到标有2的卡片； 丙说：标有1的卡片在甲手中； 丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为________．解析：由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片，由乙的预测不正确可得乙拿到标有2的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有4的卡片，故丙拿到标有1的卡片，即甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为4,2,1,3.答案：4, 2, 1, 3 12．已知cosπ3＝12，cos π5cos 2π5＝14， cosπ7cos 2π7cos 3π7＝18， ……(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________； (2)若数列{a n }中，a 1＝cosπ3，a 2＝cos π5cos 2π5， a 3＝cos π7cos2π7cos 3π7，…， 前n 项和S n ＝1 0231 024，则n ＝________.解析：(1)从题中所给的几个等式可知，第n 个等式的左边应有n 个余弦相乘，且分母均为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，n π，右边应为12n ，故可以猜想出结论为cosπ2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *)． (2)由(1)可知a n ＝12n ，故S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n＝2n－12n ＝1 0231 024，解得n ＝10.答案：(1)cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *)(2)10 三、解答题13．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数， ∴sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ， 同理可得sin B ＞cos C ，sin C ＞cos A ， ∴sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos60°－2α2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.。
2019年高考数学(理科)一轮复习达标检测(五十五) 推理3方法——类比、归纳、演绎
高考达标检测（五十五）推理3方法——类比、归纳、演绎一、选择题1．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③④解析：选A根据题意，依次分析4个推理：对于①，在推理过程中由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理；对于②，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理；对于③，不是合情推理，对于④，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理，所以是合情推理的是①②④.2．已知①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形．由①②③组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是() A．正方形是平行四边形B．平行四边形的对角线相等C．正方形的对角线相等D．以上均不正确解析：选C由演绎推理三段论可得，“平行四边形的对角线相等”为大前提，“正方形是平行四边形”为小前提，则结论为“正方形的对角线相等”．3．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()13 5 791113151719212325272931………A．731 B．809C．852 D．891解析：选B由题意知，前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.4．某校高二(1)班每周都会选出两位“迟到之星”，在“迟到之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，小谭说：“小赵说的对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是() A．小赵、小谭B．小马、小宋C．小马、小谭D．小赵、小宋解析：选A小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”是假话，否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，是真话；小谭说：“小赵说的对”，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“迟到之星”是小赵和小谭．5．将正整数排列如下：123 45678910111213141516…则图中数2 018出现在()A．第44行第83列B．第45行第83列C．第44行第82列D．第45行第82列解析：选D由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1 936,452＝2 025，且1 936＜2 018＜2 025，所以2 018在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2 018－1 936＝82，故2 018在第45行第82列，选D.6．单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数，则f(n)＝()A．3n2－3n＋1 B．3n2－3n＋2C．3n2－3n D．3n2－3n－1解析：选A由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，…因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.又f(1)＝3×12－3×1＋1＝1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.7．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5 … 2 015 2 016 2 017 2 0183 57 9 …………4 031 4 033 4 03581216 ……………… 8 0648 0682028 …………………… 16 132………………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为()A．2 019×22 015B．2 019×22 016C．2 018×22 017D．2 018×22 016解析：选B当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20；当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21；当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22；当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23；归纳推理得，当第一行为2 018个数时，最后一行仅一个数，为2 019×22 016.8．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O -ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA ＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S ，S 1，S 2，S 3满足的关系描述正确的为( )A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23B ．S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3解析：选A 如图，作OD ⊥ BC 于点D ，连接AD ，由立体几何知识知，AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2) ＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋14BC 2·OD 2 ＝⎝⎛⎭⎫12OB ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12OC ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12BC ·OD 2 ＝S 21＋S 22＋S 23.二、填空题9．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ， 又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sinA ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332. 答案：332 10．(2018·湛江一模)如图，已知点O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，并延长交对边于A 1，B 1，C 1则OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＝1，类比猜想：点O 是空间四面体A -BCD 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，DO ，并延长分别交平面BCD ，ACD ，ABD ，ABC 于点A 1，B 1，C 1，D 1，则有____________．解析：猜想：若O 为四面体A -BCD 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，DO ，并延长分别交平面BCD ，ACD ，ABD ，ABC 于点A 1，B 1，C 1，D 1，则OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1. 用等体积法证明如下：OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝V O -BCD V A -BCD ＋V O -CAD V B -CAD ＋V O -ABD V C -ABD ＋V O -ABC V D -ABC＝1. 答案：OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1 11．(2017·北京高考)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (ⅰ)男学生人数多于女学生人数；(ⅱ)女学生人数多于教师人数；(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．解析：令男学生、女学生、教师人数分别为x ，y ，z ，则z ＜y ＜x ＜2z .①若教师人数为4，则4＜y ＜x ＜8，当x ＝7时，y 取得最大值6.②当z ＝1时，1＝z ＜y ＜x ＜2，不满足条件；当z ＝2时，2＝z ＜y ＜x ＜4，不满足条件；当z ＝3时，3＝z ＜y ＜x ＜6，y ＝4，x ＝5，满足条件．所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12.答案：6 1212．已知cos π3＝12， cos π5cos 2π5＝14， cos π7cos 2π7cos 3π7＝18， ……(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________；(2)若数列{a n }中，a 1＝cos π3，a 2＝cos π5cos 2π5， a 3＝cos π7cos 2π7cos 3π7，…， 前n 项和S n ＝1 0231 024，则n ＝________. 解析：(1)从题中所给的几个等式可知，第n 个等式的左边应有n 个余弦相乘，且分母均为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，n π，右边应为12n ， 故可以猜想出结论为cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *)． (2)由(1)可知a n ＝12n ，故S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－12n ＝2n －12n ＝1 0231 024，解得n ＝10. 答案：(1)cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *) (2)10三、解答题13．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .证明：∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ， ∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ， 同理可得sin B ＞cos C ，sin C ＞cos A ，∴sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .14．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，向按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求f (6)的值；(2)求f (n )的表达式；(3)求证：当n ≥2时，1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＜32. 解：(1)f (1)＝1，f (2)＝1＋4＝5，f (3)＝1＋4＋8＝13，f (4)＝1＋4＋8＋12＝25，f (5)＝1＋4＋8＋12＋16＝41，f (6)＝1＋4＋8＋12＋16＋20＝61.(2)∵f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，由上式规律得出f (n ＋1)－f (n )＝4n .∴f (n )－f (n －1)＝4×(n －1)，f (n －1)－f (n －2)＝4×(n －2)，f (n －2)－f (n －3)＝4×(n －3)，……f (2)－f (1)＝4×1，∴f (n )－f (1)＝4[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＝2(n －1)·n ，∴f (n )＝2n 2－2n ＋1.(3)证明：当n ≥2时，1f (n )－1＝12n 2－2n ＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ， ∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n. 由于g (n )＝32－12n为递增数列， 即有g (n )≥g (1)＝1，且g (n )＜32， 故1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＜32.1．为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”“书法社”“汉服社”，还满足如下条件：(1)甲同学没有加入“楹联社”；(2)乙同学没有加入“汉服社”；(3)加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；(4)加入“汉服社”的那名同学在高一年级；(5)乙同学不在高三年级．则甲同学所在的社团是()A．楹联社B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断解析：选C假设乙在高一，则由(4)知乙加入“汉服社”，与(2)矛盾，结合(5)知，乙在高二年级．根据(3)，可得乙加入“书法社”．根据(1)可知甲同学没有加入“楹联社”，可得甲同学所在的社团是汉服社.2．已知13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，则n＝()A．8 B．9C．10 D．11解析：选C∵13＋23＝32＝(1＋2)2，13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，……∴13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝n2(n＋1)24.∵13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，∴n2(n＋1)24＝3 025，∴n2(n＋1)2＝(2×55)2，∴n(n＋1)＝110，解得n＝10.。
2019版高考数学(理科 课标版)一轮复习考点突破训练：第十五章 推理与证明
第十五章推理与证明考点1合情推理与演绎推理1.[2017宁夏银川市、吴忠市部分重点中学3月联考]“杨辉三角” 是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是杨辉三角数阵,记a n为图中第n行各个数之和,则a5+a11的值为()A.528B.1 020C.1 038D.1 0402.[2017太原市高三三模][数学文化题]我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”.它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1+中“ ”即代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程1+=x(x>0)求得x=.类比上述过程,则=()A.3B.C.6D.23.甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否游览过西岳华山时,甲说:我没有游览过;乙说:丙游览过;丙说:丁游览过;丁说:我没游览过.在以上的回答中只有一人回答正确且只有一人游览过华山.根据以上条件,可以判断游览过华山的人是.考点2直接证明与间接证明4.“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:-<a”,若用分析法证明,索的因应是()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<05.[2014山东,4,5分]用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根6.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,求证:f(x+)为偶函数.7.是否存在常数C,使不等式+≤C≤+对任意正数x,y恒成立?试证明你的结论. 考点3数学归纳法8.若用数学归纳法证明1+2+3+…+n3=,则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上() A.k3+1 B.(k+1)3 C. D.(k3+1)+(k3+2)+(k3+3 +…+ k+1)3答案1.D a1=1,a2=2,a3=4=22,a4=8=23,a5=16=24, ,所以a n=2n-1,a5+a11=24+210=1 040,故选D.2.A令=x(x>0),两边平方,得3+2=x2,即3+2x=x2,解得x=3,x=-1(舍去),故=3,选A.3.甲假设甲游览过华山,则甲、乙、丙说的都是假话,丁说的是真话,符合题意.4.C-<a⇔b2-ac<3a2⇔(a+c)2-ac<3a2⇔a2+2ac+c2-ac-3a2<0 ⇔-2a2+ac+c2<0⇔2a2-ac-c2>0 ⇔(a-c)(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)>0.故选C.5.A至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.故选A.6.由函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,可知f(x+1)=f(-x).将x换成x-代入上式可得f(x-+1)=f [-(x-)],即f(x+)=f(-x+),由偶函数的定义可知f(x+)为偶函数.7.令x=y=1,得≤C≤,∴若存在满足题意的常数C,则C=.下面证明当C=时,题设不等式恒成立.∵x>0,y>0,∴要证+≤,只需证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y),即证x2+y2≥2xy,此式显然成立.∴+≤.再证+≥.同理,只需证3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y),即证x2+y2≥2xy,此式显然成立.∴+≥.综上所述,存在常数C=,使得不等式+≤C≤+对任意正数x,y恒成立. 8.D当n=k时,等式左端=1+2+…+k3,当n=k+1时,等式左端=1+2+…+k3+(k3+1)+(k3+2)+(k3+3 +…+ k+1)3,增加了(k3+1)+(k3+2)+(k3+3 +…+ k+1)3.。
(北师大版理)2019届高考数学复习课件：归纳与类比
1
2
3
4
5
6
解析
答案
题组三 易错自纠 4.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1) 是奇函数，以上推理 A.结论正确 C.小前提不正确 √ B.大前提不正确 D.全不正确
2.类比推理 由于 两类不同对象 ________ 的其他特征，推断 一类对象 具有某些类似的特征，在此基础上 ，根据
另一类对象
也具有类似的其他特征，我们把这种推理
过程称为类比推理.简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理. 类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d； B：具有属性a′，b′，c′； 结论：B具有属性d′. (a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)
1 2 3 4 5 6
(4)“ 所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍 数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.( √ ) (5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N＋). ( × ) (6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( × )
1234源自56题组二 教材改编 2.已知在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2， a3，a4后，猜想an的表达式是 A.an＝3n－1 B.an＝4n－3 D.an＝3n－1
√
C.an＝n2
解析
a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，
第十三章 推理与证明、算法、复数
2019高三数学(北师大版理科)一轮课件7.3 归纳与类比精选ppt版本
关键能力
-20-
考点1 考点2 考点3 考点4
对点训练 2(1)已知在等差数列{an}中,有������11+������121+0…+������20 =
������1+������2+30…+������30,则在等比数列{bn}中,会有类似的结论:
.
(2)设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为 (r别1,)则1为0 S������11r,1S=���2������1,���S2+23…���,������S���+;���4类������,���2四0比=面这体30个A������结1B���C���论2D…可的������3知体0 ,积四为面V体,内AB切C球D的半四径个为面R,则的面积分 关闭 由R=等比数列的性质知 b1b3.0=b2b29=…=b11b20,所以10 b11b12…b20 =
好;乙看到丙的成绩则知道自己的成绩.又丁看到甲的成绩,所以丁也知道 关闭
自D 己的成绩,故选D.
解析 答案
必备知识
-9-
知识梳 理
考点自 测
12345
5.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比
为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它
们的体积比为
.
关闭
由平面图形的面积类比立体图形的体积得出:在空间内,若两个正四面体 的棱长的比为1∶2,则它们的底面积之比为1∶4,对应高之比为1∶2,所以
论:B具有属性d'.(a,b,c,d与a',b',c',d'相似或相同)
必备知识
-3-
高考数学总复习高考研究课(三)推理3方法_类比、归纳、演绎课件理
故nS＋n＋11 ＝2·Snn，(小前提)
故nSn
是以
2
为公比，1
为首项的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义)
数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝n＋n 2Sn(n∈N*)． 证明：(2)Sn＋1＝4an.
[证明] 由(1)可知nS＋n＋11 ＝4·nS－n－11 (n≥2)， ∴Sn＋1＝4(n＋1)·nS－n－11 ＝4·n－n－1＋1 2·Sn－1 ＝4an(n≥2)．(小前提) 又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴对于任意正整数 n，都有 Sn＋1＝4an.(结论)
________．
[解析] 等差数列的三项之和类比等比数列的三项之积，
等 差 数 列 中 (m － n)ap 类 比 等 比 数 列 中 的
b
m－n p
，
因
此
有
bmp －n·bnm－p·bpn－m＝1.
[答案] bmp －n·bnm－p·bnp－m＝1
(2)(2017·贵州六校联考) 在平面几何中：△ABC 的∠C 内角平分
2．观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……
照此规律，第 n 个等式可为________________．
解析：观察规律可知，第 n 个式子为 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2 ＝(－1)n＋1nn2＋1. 答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1nn2＋1
高考研究课(三) 推理 3 方法——类比、归纳、演绎
[全国卷5年命题分析]
考点 推理判断
考查频度 5年2考
高考理科数学一轮复习合情推理与演绎推理专题练习题
课时作业39 合情推理与演绎推理一、选择题1．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( A )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理解析：(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 1＝1，S n ＝n 2a n ，试归纳猜想出S n 的表达式为( A ) A ．S n ＝2nn ＋1B ．S n ＝2n －1n ＋1C ．S n ＝2n ＋1n ＋1D ．S n ＝2n n ＋2解析：S n ＝n 2a n ＝n 2(S n －S n －1)，∴S n ＝n 2n 2－1S n －1，S 1＝a 1＝1，则S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85.∴猜想得S n ＝2nn ＋1.故选A. 3．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是( C )A ．n (n ＋1)B ．n n －12C ．n n ＋12D ．n (n －1)解析：由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( B )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m ＋4k与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.5．(2019·山西孝义调研)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y＋2z ＋3＝0的距离为( B )A ．3B ．5 C.5217D ．3 5解析：类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5，故选B.6．给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝( A )A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)解析：由前4行的特点，归纳可得：若a nm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm＝(m，n－m＋1)．7．(2019·惠州市调研考试)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( B ) A ．33 B ．34 C ．36D ．35解析：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.二、填空题8．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，观察上述结果，可归纳出的一般结论为f (2n )≥n ＋22(n ∈N *)．解析：本题考查归纳推理．由归纳推理可得f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)．9．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是33.解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个……由此可得第n 次操作后，三角形共有4＋3(n －1)＝3n ＋1个．当3n ＋1＝100时，解得n ＝33.10．在正项等差数列{a n }中有a 41＋a 42＋…＋a 6020＝a 1＋a 2＋…＋a 100100成立，则在正项等比数列{b n }中，类似的结论为20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100.解析：结合等差数列和等比数列的性质，类比题中的结论可得，在正项等比数列{b n }中，类似的结论为20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100.11．(2019·安徽界首模拟)埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单分数和的形式．例如25＝13＋115可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9,11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145……按此规律，211＝16＋166；2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12(n ＝5,7,9,11，…)． 解析：27＝14＋128表示两个面包分给7个人，每人13，不够，每人14，余14，再将这14分成7份，每人得128，其中4＝7＋12，28＝7×7＋12；29＝15＋145表示两个面包分给9个人，每人14，不够，每人15，余15，再将这15分成9份，每人得145，其中5＝9＋12，45＝9×9＋12，按此规律，211表示两个面包分给11个人，每人15，不够，每人16，余16，再将这16分成11份，每人得166，所以211＝16＋166，其中6＝11＋12，66＝11×11＋12.由以上规律可知，2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12.12．(2019·潍坊市统一考试)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、……、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、……、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，……、癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的( C )A ．己亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年解析：由题意知2014年是甲午年，则2015到2020年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年．13．(2019·福建宁德一模)我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有( C )A ．58B ．59C ．60D ．61解析：小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33＋25＋20－(8＋6＋5)＋1＝60.故选C.14．(2019·安徽质量检测)某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了( C )A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇解析：若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C镇，根据④可知不去D 镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，再根据②知去D镇，再根据④知去C镇，再根据③可知不去B镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇．故选C.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·益阳、湘潭调研考试)《数书九章》中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．若把这段文字写成公式，即S＝14[c2a2－c2＋a2－b222]，现有周长为22＋5的△ABC满足sin A sin B sin C＝(2－1)5(2＋1)，用上面给出的公式求得△ABC的面积为( B )A.32B.34C.52D.54解析：由正弦定理得sin A sin B sin C＝a b c＝(2－1)5(2＋1)，可设三角形的三边分别为a＝(2－1)x，b＝5x，c＝(2＋1)x，由题意得(2－1)x＋5x＋(2＋1)x＝(22＋5)x＝22＋5，则x＝1，故由三角形的面积公式可得△ABC的面积S＝1 4[2＋122－12－3＋22＋3－22－522]＝34，故选B.16．(2019·重庆市质量调研)某学生的素质拓展课课表由数学、物理和体育三门学科组成，且各科课时数满足以下三个条件：①数学课时数多于物理课时数；②物理课时数多于体育课时数；③体育课时数的两倍多于数学课时数．则该学生的素质拓展课课表中课时数的最小值为12.解析：解法1：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x，y，z ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，y －z ≥1，2z －x ≥1，x ，y ，z ∈N *，则该学生的素质拓展课课表中的课时数为x ＋y ＋z .设x ＋y ＋z ＝p (x －y )＋q (y －z )＋r (2z －x )＝(p －r )x ＋(－p ＋q )y ＋(－q ＋2r )z ，比较等式两边的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧p －r ＝1，－p ＋q ＝1，－q ＋2r ＝1，解得p ＝4，q ＝5，r ＝3，则x ＋y ＋z ＝4(x －y )＋5(y－z )＋3(2z －x )≥4＋5＋3＝12，所以该学生的素质拓展课课表中的课时数的最小值为12.解法2：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x ，y ，z ，则2z >x >y >z .由题意，知z 的最小值为3，由此易知y 的最小值为4，x 的最小值为5，故该学生的素质拓展课课表中的课时数x ＋y ＋z 的最小值为12.。
2019届高三数学(理科)一轮复习计划表
章（单元）名称
节名称
计划复习时间
课时
第一章集合与常用逻辑用语
第一节集合
9。1-9。6
4
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
9。7-9。8
4
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
9。9—9。12
4
第二章函数、导数及其应用
第一节函数及其表示
9。13—15
3。30—3。31
2
第二节排列与组合
4。1—4.2
3
第三节二项式定理
4.3—4.4
3
第四节随机事件的概率
4.5-4.6
3
第五节古典概型
4。7—4.8
3
第六节几何概型
4。9—4.10
3
第七节离散型随机变量及其分布列
4。11—4。12
4
第八节n次独立重复试验与二项分布
4.13—4。15
4
第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布
10。29-10.30
4
第三节三角函数的图像和性质
11.5—11。6
4
第四节函数y=Asin（ωx+φ）的图像及三角函数模型的简单应用
11。7—11。8
4
第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式
11。9—11.10
4
第六节简单的三角恒等变换
11。12—11。14
4
第七节正弦定理和余弦定理
11。15—11.17
5
第四章平面向量、复数
第一节平面向量的概念及其线性运算
11.18—11。20
4
第二节平面向量基本定理及其向量坐标运算
高考数学一轮总复习数学推理与证明题经典题目
高考数学一轮总复习数学推理与证明题经典题目数学推理与证明题是高考数学中的一种重要题型，对学生的逻辑思维和推理能力提出了较高的要求。
在高考中，这类题目常常考查学生的分析和推理能力，对于学生而言，掌握一定的解题技巧和方法是非常重要的。
本文将为大家介绍一些经典的高考数学推理与证明题，帮助大家加深对这一题型的理解和应对能力。
一、数列推导与证明题数列是高考数学中经常出现的题型，其推导与证明题目主要考查学生的数学归纳法和推理能力。
下面我们来看一个经典的数列推导与证明题。
例题1: 已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+1/n，证明该数列单调递增。
解析: 首先我们将证明该数列是递增的，即an+1≥an。
当n=1时，根据题目条件有a2=a1+1/1=3/1=3，显然3≥2，满足条件。
假设当n=k时，an+1≥an成立，即ak+1≥ak。
当n=k+1时，根据题目条件有a(k+1)+1=a(k+1)+1/(k+1)=ak+1+1/(k+1)。
由假设条件可得a(k+1)+1≥ak+1+1/(k+1)≥ak+1。
综上所述，根据数学归纳法，可证明该数列是递增的。
通过这个例子，我们可以看到数学归纳法在数列推导与证明题中的重要性。
在解这类题目时，我们要善于利用归纳法的思想，合理运用数学推理的方法。
二、平面几何推理与证明题平面几何推理与证明题是高考数学中的又一个重要考点，其解题过程需要注意严谨的逻辑推理和几何图形的分析。
下面我们来看一个经典的平面几何推理与证明题。
例题2: 在平面直角坐标系xOy中，点A(a，0)，B(b，0)与C(0，c)所构成的三角形ABC为正三角形，证明ab=3c²。
解析: 首先我们知道如果三角形ABC为正三角形，则其三个内角均为60°。
利用点A、B和C的坐标可以得到三条边的长度分别为√((a-b)²+c²)，|a-b|和√(a²+b²)。
2019高三数学北师大版理科一轮：课时规范练34 归纳与
课时规范练34归纳与类比基础巩固组1.下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;③某次考试张军成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是100分;④三角形的内角和是180°,四边形的内角和是360°,五边形的内角和是540°,由此得出n边形的内角和是(n-2)·180°.A.①②B.①③C.①②④D.②④2.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是()A.使用了归纳推理B.使用了类比推理C.使用了“三段论”,但推理形式错误D.使用了“三段论”,但小前提错误3.(2017北京市丰台一模,理8)在一次猜奖游戏中,1,2,3,4四扇门里摆放了a,b,c,d四件奖品(每扇门里仅放一件).甲同学说:1号门里是b,3号门里是c;乙同学说:2号门里是b,3号门里是d;丙同学说:4号门里是b,2号门里是c;丁同学说:4号门里是a,3号门里是c.如果他们每人都猜对了一半,那么4号门里是()A.aB.bC.cD.d〚导学号21500738〛4.①已知a是三角形一边的长,h是该边上的高,则三角形的面积是1ah,如果把扇形的弧长l,半径r分2lr;②由1=12,1+3=22,1+3+5=32,可得到别看成三角形的底边长和高,可得到扇形的面积为121+3+5+…+2n-1=n2,则①②两个推理过程分别属于()A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理5.(2017河北石家庄质检)某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策,每辆机动车每周一到周五都要限行一天,周末(周六和周日)不限行.某公司有A,B,C,D,E五辆车,保证每天至少有四辆车可以上路行驶.已知E 车周四限行,B 车昨天限行,从今天算起,A,C 两车连续四天都能上路行驶,E 车明天可以上路,由此可知下列推测一定正确的是( ) A.今天是周六B.今天是周四C.A 车周三限行D.C 车周五限行6.从1开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为( )A.2 011B.2 012C.2 013D.2 0147.下列推理是归纳推理的是( )A.A ,B 为定点,动点P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P 的轨迹为椭圆B.由a 1=a ,a n =3n-1,求出S 1,S 2,S 3,猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C.由圆x 2+y 2=r 2的面积πr2,猜想出椭圆x 2a 2+y 2b2=1的面积S=πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 8.已知数列{a n },{b n }满足a 1=12,a n +b n =1,b n+1=b n1-a n2,n ∈N +,则b 2 018= .9.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .10.下面图形由小正方形组成,请观察图①至图④的规律,并依此规律,写出第n 个图形中小正方形的个数是 .11.(2017四川成都高三一诊,理15)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异”.“势”即是高,“幂”是面积.意思是:如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理,如图所示,在平面直角坐标系中,图①是一个形状不规则的封闭图形,图②是一个上底为1的梯形,且当实数t 取[0,3]上的任意值时,直线y=t 被图①和图②所截得的两线段长始终相等,则图①的面积为 .〚导学号21500739〛12.36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为36=22×32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2×3+2×32)+(22+22×3+22×32)=(1+2+22)(1+3+32)=91,参照上述方法,可求得100的所有正约数之和为.综合提升组13.(2017河北衡水中学三调,理9)来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人,刚好碰在一起,他们除懂本国语言外,每人还会说其他三国语言中的一种,有一种语言是三人都会说的,但没有一种语言人人都懂,现知道:①甲是日本人,丁不会说日语,但他俩都能自由交谈;②四人中没有一个人既能用日语交谈,又能用法语交谈;③甲、乙、丙、丁交谈时,找不到共同语言沟通;④乙不会说英语,当甲与丙交谈时,他都能做翻译.针对他们懂的语言,正确的推理是()A.甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B.甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C.甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D.甲日法、乙英德、丙法德、丁法英14.(2017北京海淀期末,理8)已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心),两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域,小圆盘上所写的实数分别记为x1,x2,x3,x4,大圆盘上所写的实数分别记为y1,y2,y3,y4,如图所示.将小圆盘逆时针旋转i(i=1,2,3,4)次,每次转动90° ,记T i(i=1,2,3,4)为转动i次后各区域内两数乘积之和,例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1.若x1+x2+x3+x4<0,y1+y2+y3+y4<0,则以下结论正确的是()A.T1,T2,T3,T4中至少有一个为正数B.T1,T2,T3,T4中至少有一个为负数C.T1,T2,T3,T4中至多有一个为正数D.T1,T2,T3,T4中至多有一个为负数15.类比“两角和与差的正弦公式”的形式,对于给定的两个函数:S(x)=a x-a-x,C(x)=a x+a-x,其中a>0,且a≠1,下面正确的运算公式是()①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y);③2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);④2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).A.①②B.③④C.①④D.②③16.如图所示,将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来,2在第一个拐弯处,4在第二个拐弯处,7在第三个拐弯处,……,则在第二十个拐弯处的正整数是.〚导学号21500740〛创新应用组17.(2017山东临沂一模,理12)对于大于1的自然数m的三次方幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,……仿此,若m3的“分裂数”中有一个是31,则m的值为.18.(2017河北邯郸一模)已知三个命题p,q,m中只有一个是真命题,课堂上老师给出了三个判断:A:p是真命题;B:p或q是假命题;C:m是真命题.老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的,则三个命题p,q,m中的真命题是.参考答案课时规范练34归纳与类比1.C①是类比推理,②④是归纳推理,③是非合情推理.2.C因为大前提的形式:“有些有理数是无限循环小数”,不是全称命题,所以不符合三段论的推理方式,所以推理形式错误,故选C.3.A根据题意,若甲同学猜对了1-b,则乙同学猜对了3-d,丙同学猜对了2-c,丁同学猜对了4-a;若甲同学猜对了3-c,则乙同学猜对了2-b,丙同学猜对了4-b,这与2-b相矛盾.综上所述4号门里是a,故选A.4.A①由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处,此种推理为类比推理;②由特殊到一般,此种推理为归纳推理,故选A.5.B因为每天至少有四辆车可以上路行驶,E车明天可以上路,E车周四限行,所以今天不是周三;因为B车昨天限行,所以今天不是周一,也不是周日;因为A,C两车连续四天都能上路行驶,所以今天不是周五,周二和周六,所以今天是周四,故选B.6.B根据题干图所示的规则排列,设第一层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9,第三层的五个数为a+14,a+15,a+16,a+17,a+18,这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104.由9a+104=2012,得a=212,是自然数.故选B.7.B从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和S n,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理,故选B.8.2018 2019由题意b1=1-a1=12,b n+1=b n1-(1-b n)2=12-b n.∴b2=23,b3=34,b4=45,…,∴b n=nn+1,则b2018=20182019.9.1和3由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾.综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.10.n(n+1)2由题图知第n个图形的小正方形个数为1+2+3+…+n=n(n+1)2.11.92类比祖暅原理可得两个图形的面积相等,梯形面积为S=12(1+2)×3=92,所以图①的面积为92.12.217类比36的所有正约数之和的方法,有:100的所有正约数之和可按如下方法得到:因为100=22×52,所以100的所有正约数之和为(1+2+22)(1+5+52)=217.可求得100的所有正约数之和为217.13.A由条件①知丁会说日语,故B错误;由条件②知会说日语和法语的不能是同一人,故D错误;由条件③知四人不能有共同懂的语言,故C错误;只有A符合题意,故选A.14.A根据题意可知:(x1+x2+x3+x4)(y1+y2+y3+y4)>0,又(x1+x2+x3+x4)(y1+y2+y3+y4)去掉括号即得:(x1+x2+x3+x4)(y1+y2+y3+y4)=T1+T2+T3+T4>0,所以可知T1,T2,T3,T4中至少有一个为正数,故选A.15.B经验证易知①②错误.依题意,注意到2S(x+y)=2(a x+y-a-x-y),S(x)C(y)+C(x)S(y)=2(a x+y-a-x-y),因此有2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);同理有2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).16.211观察题图可知,第一个拐弯处2=1+1,第二个拐弯处4=1+1+2,第三个拐弯处7=1+1+2+3,第四个拐弯处11=1+1+2+3+4,第五个拐弯处16=1+1+2+3+4+5,发现规律:拐弯处的数是从1开始的一串连续正整数相加之和再加1,在第几个拐弯处,就加到第几个正整数,所以第二十个拐弯处的正整数就是1+1+2+3+…+20=211.17.6∵23=3+5,是从3开始的2个奇数的和;33=7+9+11,是从5的下一个奇数7开始的3个奇数的和;……而31之前(包括31)除了1以外的奇数有15个,又2+3+4+5=14,∴63=31+33+35+37+39+41.故m的值应为6.18.m①若A是错误的,则p是假命题,q是假命题,m是真命题,满足条件;②若B是错误的,则p与q至少有一个是真命题.又m是真命题,不满足条件;③若C是错误的,则p是真命题,p或q不可能是假命题,不满足条件.故真命题是m.。
专题42 合情推理与演绎推理(测试)-2019年高考数学(理)名师揭秘之一轮总复习(原卷版)
【学习目标】1．结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．2．通过具体实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．【知识要点】1．合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理．当前提为真时，结论可能为真的推理叫__________．数学中常见的合情推理有：_______________________．(1)根据某类事物的部分对象具有的某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为___________(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为___________ (简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2．演绎推理(1)定义：演绎推理是根据_____________________ (包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)演绎推理的一般模式——“三段论”①大前提——已知的一般性的原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．【高考模拟】一、单选题1．下表中的数表为“森德拉姆筛”（森德拉姆，东印度学者），其特点是每行每列都成等差数列．在上表中，2017出现的次数为（）A．18 B．36 C．48 D．722．某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下面叙述正确的是A．乙的记忆能力优于甲的记忆能力B．乙的创造力优于观察能力C．甲的六大能力整体水平优于乙D．甲的六大能力中记忆能力最差3．如图①，一块黄铜板上插着三根宝石针，在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干金片．若按照下面的法则移动这些金片：每次只能移动一片金片；每次移动的金片必须套在某根针上；大片不能叠在小片上面．设移完片金片总共需要的次数为，可推得．如图②是求移动次数的程序框图模型，则输出的结果是①②A．1022 B．1023 C．1024 D．10254．小明今年17岁了，与他属相相同的老师的年龄可能是（）A．26 B．32 C．36 D．415．已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民.若乙的年龄比农民的年龄大；丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是（）A．甲是军人，乙是工人，丙是农民B．甲是农民，乙是军人，丙是工人C．甲是农民，乙是工人，丙是军人D．甲是工人，乙是农民，丙是军人6．某次比赛结束后，记者询问进入决赛的甲、乙、丙、丁四名运动员最终冠军的获得者，甲说：我没有获得冠军；乙说：丁获得了冠军；丙说：乙获得了冠军；丁说：我没有获得冠军，这时裁判过来说：他们四个人中只有一个人说的是假话，则获得冠军的是A．甲B．乙C．丙D．丁7．一同学在电脑中打出若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2012个圈中的●的个数是（）A．B．C．D．8．有一段演绎推理：“对数函数是减函数；已知是对数函数，所以是减函数”，结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误9．设的三边长分别为、、,的面积为，内切圆半径为，则；类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为、、、，内切球半径为，四面体的体积为，则（）A．B．C．D．10．有三个人，甲说：“我不是班长”，乙说：“甲是班长”，丙说：“我不是班长”.已知三个人中只有一个说的是真话，则班长是（）A．甲B．乙C．丙D．无法确定11．下面几种推理过程是演绎推理的是（）A．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得凸多边形内角和是D．在数列中，，（），由此归纳出的通项公式12．南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积．”（即：S＝，a＞b＞c），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何?”则该三角形田面积为A．82平方里B．84平方里C．85平方里D．83平方里13．定义一种运算“”：对于自然数n满足以下运算性质：，，则等于A．n B．C．D．14．已知，，，，…，，则推测（）A．1033 B．199 C．109 D．2915．在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2=BD•BC．拓展到空间，在四面体A﹣BCD中，AD⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在△BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（）A．B．C．D．16．在推理“因为指数函数是减函数，而是指数函数，所以是减函数。
2019年高考数学一轮复习专题10.4推理与证明练
专题10.4 推理与证明1.若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系.【答案】P<Q2.给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0a＝c”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2 a＝c，b＝d”；③“a，b∈R，则a－b＞0a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0a＞b”；④“若x∈R，则|x|＜1－1＜x＜1”类比推出“若z∈C，则|z|＜1－1＜z＜1”．其中类比结论正确的个数为.【答案】2【解析】类比结论正确的有①②.3.请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足，那么.证明：构造函数，因为对一切实数x，恒有，所以，从而得，所以.根据上述证明方法，若n个正实数满足时，你能得到的结论为.（不必证明）【答案】【解析】构造因为恒成立，∴，即，∴，即.4.已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：；已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为____________．这个数列的前项和的计算公式为_____________________________________．【解析】在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；；5.由中可猜想出的第个等式是_____________6.设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是____________．【答案】③【解析】 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1， 但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b >2，则a ， b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.7.已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x2＋1的图像上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图像上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为__________．【答案】c n ＞c n ＋1。
2019版高考数学一轮复习训练： 基础与考点过关 第七章 推理与证明
第七章 推理与证明第1课时 合情推理与演绎推理1. 已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，类比这些等式，若6＋a b ＝6ab(a ，b 均为正数)，则a ＋b ＝________． 答案：41解析：观察等式2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，第n 个应该是n ＋1＋n ＋1（n ＋1）2－1＝(n ＋1)n ＋1（n ＋1）2－1，则第5个等式中a ＝6，b ＝a 2－1＝35，a ＋b ＝41.2. 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体PABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________．答案：127解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若存在正整数m ，n(m<n)，使得S m ＝S n ，则S m ＋n ＝0.类比上述结论，设正项等比数列{b n }的前n 项积为T n .若存在正整数m ，n(m<n)，使T m ＝T n ，则T m ＋n ＝________．答案：1解析：因为T m ＝T n ，所以b m ＋1b m ＋2…b n ＝1，从而b m ＋1b n ＝1，T m ＋n ＝b 1b 2…b m b m ＋1…b n b n ＋1…b n ＋m －1b n ＋m ＝(b 1b n ＋m )·(b 2b n ＋m －1)…(b m b n ＋1)·(b m ＋1b n )＝1.4. 观察下列等式： 21＋2＝4；21×2＝4；32＋3＝92；32×3＝92；43＋4＝163；43×4＝163；…，根据这些等式，可以得出一个关于自然数n 的等式，这个等式可以表示为________________．答案：n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n×(n ＋1)(n∈N *)解析：由归纳推理得n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1＋（n 2＋n ）n ＝（n ＋1）2n ， n ＋1n×(n ＋1)＝（n ＋1）2n ，所以得出结论n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n×(n ＋1)(n∈N *)． 5. 设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c.类比这个结论可知：四面体PABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体PABC 的体积为V ，则r ＝________．答案：3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：由类比推理可知r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.1. 归纳推理(1) 归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理． (2) 归纳推理的思维过程大致如图实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论(3) 归纳推理的特点① 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围．② 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．③ 归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2. 类比推理(1) 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理．(2) 类比推理的思维过程大致如图观察、比较―→联想、类推―→猜测新的结论3. 演绎推理(1) 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．(2) 主要形式是三段论式推理． (3) 三段论的常用格式为 M — P(M 是P)① S_—_M(S 是M)② S — P(S 是P)③ 其中，①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般原理，对特殊情况作出的判断．[备课札记], 1 归纳推理), 1) 观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， ……据此规律，第n 个等式可为________________．答案：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析：等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个等式有4项，第3个等式有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；等式右边的特征：第1个等式有1项，第2个等式有2项，第3个等式有3项，故第n 个等式有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n.变式训练观察下列三角形数阵： 1 13 15 17 19 111 113 115 117 119 ……按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为______．答案：1243解析：前15行共有15×（15＋1）2＝120(个)数⇒所求为a 122＝12×122－1＝1243., 2 类比推理), 2) 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积S △ABC ＝12(a ＋b ＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________________”．答案：V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r解析：三角形面积类比为四面体的体积⇒三角形的边长类比为四面体四个面的面积⇒内切圆半径类比为内切球半径⇒二维图形中的12类比为三维图形中的13⇒得出结论．运用分割法思想，设四面体ABCD 的内切球的球心为O ，连结OD ，OA ，OB ，OC ，将四面体分成四个三棱锥，则V ABCD ＝V OABC ＋V OABD ＋V OBCD ＋V OACD ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r.备选变式（教师专享）设a ，b ，c 是直角三角形的三边长，斜边上的高为h ，c 为斜边长，则给出四个命题：① a ＋b>c ＋h ；② a 2＋b 2<c 2＋h 2；③ a 3＋b 3>c 3＋h 3；④ a 4＋b 4<c 4＋h 4.其中真命题是________(填序号)，进一步类比得到的一般结论是____________________．答案：②④ a n ＋b n <c n ＋h n (n∈N *) 解析：在直角三角形ABC 中，a ＝csin A ，b ＝ccos A ，ab ＝ch ，所以h ＝csin Acos A ．于是a n ＋b n ＝c n (sin n A ＋cos n A)，c n ＋h n ＝c n (1＋sin n Acos nA)．a n ＋b n －c n －h n ＝c n (sin n A ＋cos n A －1－sin n Acos n A)＝c n (sin n A －1)(1－cos nA)＜0，所以a n ＋b n ＜c n ＋h n., 3 演绎推理), 3) 设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n∈N *)；②b n ≤M (n∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界” 数列．(1) 若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2) 判断(1)中的数列{S n }是否为“特界” 数列，并说明理由． 解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－n 2＋9n.(2) {S n }为“特界”数列．理由如下： 由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝（S n ＋2－S n ＋1）－（S n ＋1－S n ）2＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1<0，得S n ＋S n ＋22<S n ＋1，故数列{S n }满足条件①；而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814(n∈N *)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }满足条件②. 综上，数列{S n }是“特界”数列． 变式训练数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n∈N *)．证明：(1) 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2) S n ＋1＝4a n .证明：(1) ∵ a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ，∴ (n ＋2)S n ＝n(S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n＋1)S n .故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(2) 由(1)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列，所以S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n≥2)，即S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n≥2)．又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1， 所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .1. (2017·课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息推断，下列结论正确的是________．(填序号)① 乙可以知道四人的成绩； ② 丁可以知道四人的成绩； ③ 乙、丁可以知道对方的成绩； ④ 乙、丁可以知道自己的成绩． 答案：④解析：由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则知道自己的成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，故选④.2. (2016·全国Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是__________．答案：1和3 解析： 由题意可知丙不拿2和3.若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意；若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.3. (2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ① 男学生人数多于女学生人数； ② 女学生人数多于教师人数；③ 教师人数的两倍多于男学生人数．(1) 若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________； (2) 该小组人数的最小值为________． 答案：(1) 6 (2) 12解析：设男学生数，女学生数，教师数分别为a ，b ，c ，则2c>a>b>c ，a ，b ，c ∈N *. (1) 8>a>b>4⇒b max ＝6.(2) c min ＝3，6>a>b>3⇒a ＝5，b ＝4⇒a ＋b ＋c ＝12.4. 已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形： a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A(s ，t)表示第s 行的第t 个数，则A(11，12)＝________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 解析：该三角形数阵每行所对应元素的个数为1，3，5，…，那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A(11，12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112. 5. 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是从一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，……，依此规律得到n 级分形图．n 级分形图中共有________条线段．答案：(3×2n －3)(n∈N *)解析：从分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图中有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律，n 级分形图中的线段条数为(3×2n －3)(n∈N *)．1. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，有11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则运用归纳推理得到第11行第2个数(从左往右数)为________．答案：1110解析：由“莱布尼茨调和三角形”中数的排列规律，我们可以推断：第10行的第一个数为110，第11行的第一个数为111，则第11行的第二个数为110－111＝1110.2. 有一个游戏，将标有数字1，2，3，4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为____，____，____，____．答案：4 2 1 3解析：由于4个人预测不正确，其各自的对立事件正确，即甲：乙、丙没拿到3；乙：甲、丙没拿到2；丙：甲没拿到1；丁：甲没拿到3.综上，甲没拿到1，2，3，故甲拿到了4，丁拿到了3，丙拿到了1，乙拿到了2.3. 观察下列等式： 13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，则第n 个等式为________．答案：13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）22解析：因为13＝12，13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，由此可以看出左边是连续的自然数的立方和，右边是左边的连续的自然数的和的平方，照此规律，第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）22. 4. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上通过画点或用小石子来表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1) b 2 018是数列{a n }的第________项； (2) b 2k －1＝________．(用k 表示)答案：(1) 5 045 (2) 5k （5k －1）2解析：(1) a n ＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2，b 1＝4×52＝a 4，b 2＝5×62＝a 5，b 3＝9×（2×5）2＝a 9，b 4＝（2×5）×112＝a 10，b 5＝14×（3×5）2＝a 14，b 6＝（3×5）×162＝a 15，…b 2 018＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182×5⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182×5＋12＝a 5 045.(2) 由(1)知b 2k －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×5－1⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×52＝5k （5k －1）2.5. 某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是__________．(填序号)① 今天是周六；② 今天是周四； ③ A 车周三限行；④ C 车周五限行． 答案：②解析：因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E 车明天可以上路，E 车周四限行，所以今天不是周三；因为B 车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A ，C 两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，所以①错误，②正确．因为B 车昨天限行，即B 车周三限行，所以③错误．因为从今天算起，A 、C 两车连续四天都能上路行驶，所以④错误．1. 合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新的结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路和方法．2. 合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想．3. 演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论，数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．4. 合情推理仅是符合情理的推理，得到的结论不一定正确，而演绎推理得到的结论一定正确(在前提和推理形式都正确的前提下)．[备课札记]第2课时 直接证明与间接证明(对应学生用书(文)、(理)104～105页)1. 已知向量m ＝(1，1)与向量n ＝(x ，2－2x)垂直，则x ＝________． 答案：2解析：m ·n ＝x ＋(2－2x)＝2－x.∵ m ⊥n ，∴ m ·n ＝0，即x ＝2.2. 用反证法证明命题“如果a>b ，那么3a>3b ”时，假设的内容应为______________． 答案：3a ＝3b 或3a<3b解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即3a ＝3b 或3a<3b. 3. 6－22与5－7的大小关系是______________． 答案：6－22>5－7解析： 由分析法可得，要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22，即证13＋242>13＋410，即42>210.因为42>40，所以6－22>5－7成立．4. 定义集合运算：A·B＝{Z|Z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B}，设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{sin α，cos α}，则集合A·B 的所有元素之和为________．答案：0解析：依题意知α≠k π＋π4，k ∈Z .① α＝k π＋3π4(k∈Z )时，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫22，－22，A ·B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，22，－22； ② α＝2k π或α＝2k π＋π2(k∈Z )时，B ＝{0，1}，A ·B ＝{0，1，－1}； ③ α＝2k π＋π或α＝2k π－π2(k∈Z )时，B ＝{0，－1}，A ·B ＝{0，1，－1}；④ α≠k π2且α≠k π＋3π4(k∈Z )时，B ＝{sin α，cos α}，A ·B ＝{0，sin α，cosα，－sin α，－cos α}．综上可知，A ·B 中的所有元素之和为0.5. 设a ，b 为两个正数，且a ＋b ＝1，则使得1a ＋1b≥μ恒成立的μ的取值范围是________．答案：(－∞，4]解析：∵ a＋b ＝1，且a ，b 为两个正数，∴ 1a ＋1b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝4.要使得1a ＋1b≥μ恒成立，只要μ≤4.1. 直接证明(1) 定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法． (2) 一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒A ⇒B ⇒C ⇒…⇒本题结论．(3) 综合法① 定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法．② 推证过程已知条件⇒…⇒…⇒结论(4) 分析法① 定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止．这种证明方法称为分析法．② 推证过程结论⇐…⇐…⇐已知条件2. 间接证明(1) 常用的间接证明方法有反证法、正难则反等． (2) 反证法的基本步骤① 反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．② 归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.,1 直接证明(综合法和分析法)), 1) 对于定义域为[0，1]的函数f(x)，如果同时满足： ① 对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0； ② f(1)＝1；③ 若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f(x 1＋x 2)≥f(x 1)＋f(x 2)成立，则称函数f(x)为理想函数．(1) 若函数f(x)为理想函数，求证：f(0)＝0；(2) 试判断函数f(x)＝2x(x∈[0，1])，f(x)＝x 2(x∈[0，1])，f(x)＝x (x∈[0，1])是否为理想函数？(1) 证明：取x 1＝x 2＝0，则x 1＋x 2＝0≤1，∴ f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴ f (0)≤0. 又对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0，∴ f (0)≥0.于是f(0)＝0.(2) 解：对于f(x)＝2x ，x∈[0，1]，f(1)＝2不满足新定义中的条件②， ∴ f(x)＝2x(x∈[0，1])不是理想函数．对于f(x)＝x 2，x ∈[0，1]，显然f(x)≥0，且f(1)＝1.对任意的x 1，x 2∈[0，1]，x 1＋x 2≤1，f(x 1＋x 2)－f(x 1)－f(x 2)＝(x 1＋x 2)2－x 21－x 22＝2x 1x 2≥0，即f(x 1＋x 2)≥f(x 1)＋f(x 2)．∴ f(x)＝x 2(x∈[0，1])是理想函数．对于f(x)＝x (x∈[0，1])，显然满足条件①②. 对任意的x 1，x 2∈[0，1]，x 1＋x 2≤1，有f 2(x 1＋x 2)－[f(x 1)＋f(x 2)]2＝(x 1＋x 2)－(x 1＋2x 1x 2＋x 2)＝－2x 1x 2≤0，即f 2(x 1＋x 2)≤[f(x 1)＋f(x 2)]2.∴ f(x 1＋x 2)≤f(x 1)＋f(x 2)，不满足条件③. ∴ f(x)＝x (x∈[0，1])不是理想函数．综上，f(x)＝x 2(x∈[0，1])是理想函数，f(x)＝2x(x∈[0，1])与f(x)＝x (x∈[0，1])不是理想函数．备选变式（教师专享）设首项为a 1的正项数列{a n }的前n 项和为S n ，q 为非零常数，已知对任意正整数n ，m ，S n ＋m ＝S m ＋q mS n 总成立．求证：数列{a n }是等比数列．证明：因为对任意正整数n ，m ，S n ＋m ＝S m ＋q mS n 总成立，令n ＝m ＝1，得S 2＝S 1＋qS 1，则a 2＝qa 1.令m ＝1，得S n ＋1＝S 1＋qS n ①， 从而S n ＋2＝S 1＋qS n ＋1 ②，②－①得a n ＋2＝qa n ＋1(n≥1)，综上得a n ＋1＝qa n (n≥1)，所以数列{a n }是等比数列．, 2) 已知m>0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 证明：因为m>0，所以1＋m>0，所以要证原不等式成立，只需证明(a ＋mb)2≤(1＋m)(a 2＋mb 2)，即证m(a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b)2≥0，而(a －b)2≥0显然成立， 故原不等式得证． 变式训练已知函数f(x)＝3x－2x ，试求证：对于任意的x 1，x 2∈R ，均有f （x 1）＋f （x 2）2≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 证明：要证明f （x 1）＋f （x 2）2≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，只要证明（3x 1－2x 1）＋（3x 2－2x 2）2≥3x 1＋x 22－2·x 1＋x 22，因此只要证明3x 1＋3x 22－(x 1＋x 2)≥3x 1＋x 22－(x 1＋x 2)，即证明3x 1＋3x 22≥3x 1＋x 22，因此只要证明3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2，由于x 1，x 2∈R 时，3x 1>0，3x 2>0,由基本不等式知3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2显然成立，故原结论成立．, 2 间接证明(反证法)), 3) 设{a n }是公比为q 的等比数列． (1) 推导{a n }的前n 项和公式；(2) 设q≠1，求证：数列{a n ＋1}不是等比数列．(1) 解：设{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， 因为{a n }是公比为q 的等比数列，所以当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1.当q≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， ①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n， ②①－②得，(1－q)S n ＝a 1－a 1q n，所以S n ＝a 1（1－q n）1－q ，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q ≠1.(2) 证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k∈N *，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1， a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，因为a 1≠0，所以2q k ＝q k －1＋q k ＋1.因为q≠0，所以q 2－2q ＋1＝0，所以q ＝1，这与已知矛盾．所以假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列． 变式训练已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． (1) 解：当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2，两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2) 证明：反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p<q<r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p＋1 ①.因为p<q<r ，所以r －q ，r －p∈N *.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立． 所以假设不成立，原命题得证．1. 用反证法证明命题“a，b ∈R ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，假设的内容是____________．答案：a ，b 中没有一个能被5整除解析：“至少有n 个”的否定是“最多有n －1个”，故应假设a ，b 中没有一个能被5整除．2. 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)且a ＜c ，b ＜c ，1a ＋9b＝1.若以a ，b ，c 为三边构造三角形，则c 的取值范围是________．答案：(10，16)解析：要以a ，b ，c 为三边构造三角形，需要满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，而a<c ，b<c ，所以a ＋b>c 恒成立．而a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥16，∴ c<16.又1a >1c ，1b >1c ，∴ 10c <1a ＋9b＝1，∴ c>10，∴ 10<c<16.3. 已知a>0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a＋1a＋ 2.因为a>0，故只需要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需要证4⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．4. 若f(x)的定义域为[a ，b]，值域为[a ，b](a<b)，则称函数f(x)是[a ，b]上的“四维光军”函数．(1) 设g(x)＝12x 2－x ＋32是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b 的值．(2) 是否存在常数a ，b(a>－2)，使函数h(x)＝1x ＋2是区间[a ，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解：(1) 由题设得g(x)＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为直线x ＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b ，即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3.因为b>1，所以b ＝3. (2) 假设函数h(x)＝1x ＋2在区间[a ，b] (a>－2)上是“四维光军”函数，因为h(x)＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以有⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝b ，h （b ）＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾，故不存在．1. 用反证法证明结论“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”，应假设______________．答案：三角形的三个内角都大于60°解析：“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”即“三个内角至少有一个小于等于60°”，其否定为“三角形的三个内角都大于60°”．2. 凸函数的性质定理：如果函数f(x)在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .已知函数y ＝sinx 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．答案：332解析：∵ f(x)＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A ，B ，C ∈(0，π)，∴ f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，∴ sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.3. 定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f(x 1)－f(x 2)|≤k|x 1－x 2| 成立，则称函数f(x)在定义域D 上满足利普希茨条件．若函数f(x)＝x (x≥1)满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为________．答案：12解析：若函数f(x)＝x (x≥1)满足利普希茨条件，则存在常数k ，使得对定义域[1，＋∞)内的任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f(x 1)－f(x 2)|≤k|x 1－x 2| 成立，设x 1>x 2，则k≥x 1－x 2x 1－x 2＝1x 1＋x 2.而0<1x 1＋x 2<12，所以k 的最小值为12.4. 设函数f(x)＝x 3＋11＋x ，x ∈[0，1]．求证：(1) f(x)≥1－x ＋x 2；(2) 34＜f(x)≤32.证明：(1) 因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ）＝1－x 41＋x ，由于x ∈[0，1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f(x)≥1－x ＋x 2.(2) 由0≤x≤1得x 3≤x ，故f(x)＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝（x －1）（2x ＋1）2（x ＋1）＋32≤32，所以f(x)≤32.由(1)得f(x)≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1924＞34，所以f(x)＞34. 综上，34＜f(x)≤32.5. 已知数列{a n }满足a 1＝12，3（1＋a n ＋1）1－a n ＝2（1＋a n ）1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n≥1)，数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n≥1)．(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 求证：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．(1) 解：由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )．令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n .又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.故1－a 2n ＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1⇒a 2n ＝1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.又a 1＝12>0，a n a n ＋1<0，故a n ＝(－1)n －11－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. b n ＝a 2n ＋1－a 2n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. (2) 证明：用反证法证明．假设数列{b n }中存在三项b r ，b s ，b t (r<s<t)按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只能有2b s ＝b r ＋b t 成立．即2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫23s －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫23r －1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫23t －1，两边同乘3t －121－r，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s.由于r<s<t ，则上式左边为奇数，右边为偶数， 故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．[备课札记]第3课时 数学归纳法(对应学生用书(理)106～107页)1. (选修22P 94习题7改编)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n∈N *，n>1)时，第一步应验证________．答案：1＋12＋13<2解析：∵ n∈N *，n>1，∴ n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13.2. (选修22P 90练习3改编)用数学归纳法证明不等式“2n >n 2＋1对于n≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取为________．答案：5解析：当n≤4时，2n ≤n 2＋1；当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，所以n 0应取为5.3. (选修22P 103复习题13改编)在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n(2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为________________．答案：a n ＝1（2n －1）（2n ＋1）解析：当n ＝2时，13＋a 2＝(2×3)a 2，∴ a 2＝13×5；当n ＝3时，13＋115＋a 3＝(3×5)a 3，∴ a 3＝15×7；当n ＝4时，13＋115＋135＋a 4＝(4×7)a 4，∴ a 4＝17×9；故猜想a n ＝1（2n －1）（2n ＋1）.4. (选修22P 103复习题14改编)比较n n ＋1与(n ＋1)n (n∈N *)的大小时会得到一个一般性的结论，用数学归纳法证明这一结论时，第一步要验证________．答案：当n ＝3时，n n ＋1＝34＞(n ＋1)n ＝43解析：当n ＝1时，n n ＋1＝1＞(n ＋1)n ＝2不成立；当n ＝2时，n n ＋1＝8＞(n ＋1)n＝9不成立；当n ＝3时，n n ＋1＝34＞(n ＋1)n ＝43，结论成立．5. (选修22P 105本章测试13改编)已知a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 2，a 3，a 4，a 5的值分别为________________．由此猜想a n ＝________．答案：37，38，39，310 3n ＋5解析：a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1212＋3＝37＝32＋5，同理a 3＝3a 2a 2＋3＝38＝33＋5，a 4＝39＝34＋5，a 5＝310＝35＋5，a 1＝31＋5＝12，符合以上规律． 故猜想a n ＝3n ＋5.1. 由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2. 对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n 取第1个值n 0时，命题成立；然后假设当n ＝k(k∈N *，k ≥n 0)时命题成立；证明当n ＝k ＋1时，命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法．3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下： (1) 归纳奠基：证明取第一个自然数n 0时命题成立；(2) 归纳递推：假设n ＝k(k∈N *，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立； (3) 由(1)(2)得出结论．[备课札记], 1 证明等式), 1) 用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n （2n ＋2）＝n 4（n ＋1）(n∈N *)．证明：① 当n ＝1时，左边＝12×1×（2×1＋2）＝18，右边＝14（1＋1）＝18，左边＝右边，所以等式成立．② 假设n ＝k(k∈N *)时等式成立，即有 12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＝k 4（k ＋1）， 则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＋12（k ＋1）[2（k ＋1）＋2]＝k 4（k ＋1）＋14（k ＋1）（k ＋2）＝k （k ＋2）＋14（k ＋1）（k ＋2）＝（k ＋1）24（k ＋1）（k ＋2）＝k ＋14（k ＋2）＝k ＋14（k ＋1＋1）. 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②可知，对于一切n∈N *等式都成立．变式训练用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n∈N *)．证明：① 当n ＝1时，等式左边＝1－12＝12＝右边，等式成立．② 假设当n ＝k(k∈N *)时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么，当n ＝k ＋1时，有1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，等式对任何n∈N *均成立．, 2 证明不等式), 2) 用数学归纳法证明不等式：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (1)2>1(n∈N *且n>1)．证明：① 当n ＝2时，12＋13＋14＝1312>1成立．② 设n ＝k 时，1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2>1成立．由于当k>1时，k 2－k －1>0，即k(2k ＋1)>k 2＋2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1（k ＋1）2＝(1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2)＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1k 2＋2k ＋1－1k >1＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1k 2＋2k ＋1－1k>1＋1k （2k ＋1）＋1k （2k ＋1）＋…＋1k （2k ＋1）－1k ＝1＋2k ＋1k （2k ＋1）－1k＝1.综合①②可知，原不等式对n∈N *且n>1恒成立． 备选变式（教师专享）用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n∈N *，n ≥2)．证明：① 当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．② 假设n ＝k 时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k.当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2<2－1k ＋1（k ＋1）2<2－1k ＋1k （k ＋1）＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1，命题成立． 由①②知原不等式对n∈N *，n ≥2恒成立．, 3 数列问题), 3) 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n∈N *)． (1) 计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2) 证明(1)中的猜想．(1) 解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴ a 1＝1；当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴ a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴ a 3＝74；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4，∴ a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n∈N *)．(2) 证明：① 当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．② 假设n ＝k(k≥1且k∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，所以2a k ＋1＝2＋a k .所以a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k.所以当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②知猜想a n ＝2n－12n －1(n∈N *)成立．变式训练在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝λa n ＋λn ＋1＋(2－λ)2n (n∈N *，λ>0)． (1) 求a 2，a 3，a 4；(2) 猜想{a n }的通项公式，并加以证明．解：(1) a 2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22，a 3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，a 4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.(2) 由(1)可猜想数列{a n }的通项公式为a n ＝(n －1)λn ＋2n. 下面用数学归纳法证明：① 当n ＝1，2，3，4时，等式显然成立，② 假设当n ＝k(k≥4，k ∈N *)时等式成立，即a k ＝(k －1)·λk ＋2k，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝λa k ＋λk ＋1＋(2－λ)2k ＝λ(k －1)·λk ＋λ2k ＋λk ＋1＋2k ＋1－λ2k＝(k －1)λk ＋1＋λk ＋1＋2k ＋1＝[(k ＋1)－1]λk ＋1＋2k ＋1， 所以当n ＝k ＋1时，猜想成立．由①②知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n －1)λn ＋2n (n∈N *，λ>0)．, 4 综合运用), 4) 设集合M ＝{1，2，3，…，n}(n ∈N ，n ≥3)，记M 的含有三个元素的子集个数为S n ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n .(1) 分别求T 3S 3，T 4S 4，T 5S 5，T 6S 6的值；(2) 猜想T nS n关于n 的表达式，并加以证明．解：(1) 当n ＝3时，M ＝{1，2，3}，S 3＝1，T 3＝2，T 3S 3＝2；当n ＝4时，M ＝{1，2，3，4}，S 4＝4，T 4＝2＋2＋3＋3＝10，T 4S 4＝52，T 5S 5＝3，T 6S 6＝72.(2) 猜想T n S n ＝n ＋12.下面用数学归纳法证明：① 当n ＝3时，由(1)知猜想成立．② 假设当n ＝k(k≥3)时，猜想成立，即T k S k ＝k ＋12，而S k ＝C 3k ，所以T k ＝k ＋12C 3k .则当n ＝k ＋1时，易知S k ＋1＝C 3k ＋1，而当集合M 从{1，2，3，…，k}变为{1，2，3，…，k ，k ＋1}时，T k ＋1在T k 的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，(k －1)个k ，所以T k ＋1＝T k ＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k(k －1) ＝k ＋12C 3k ＋2(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2k )＝k ＋12C 3k ＋2(C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ) ＝k －22C 3k ＋1＋2C 3k ＋1＝k ＋22C 3k ＋1＝（k ＋1）＋12S k ＋1，即T k ＋1S k ＋1＝（k ＋1）＋12. 所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 综上所述，猜想成立． 备选变式（教师专享）已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线． (1) 分别求出凸四边形，凸五边形，凸六边形的对角线的条数； (2) 猜想凸n 边形的对角线条数f(n)，并用数学归纳法证明．解：(1) 凸四边形的对角线条数为2条；凸五边形的对角线条数为5条，凸六边形的对角线条数为9条．(2) 猜想：f(n)＝n （n －3）2(n≥3，n ∈N *)．证明如下：当n ＝3时，f(3)＝0成立；设当n ＝k(k≥3)时猜想成立，即f(k)＝k （k －3）2，则当n ＝k ＋1时，考察k ＋1边形A 1A 2…A k A k ＋1，①k 边形A 1A 2…A k 中原来的对角线都是k ＋1边形中的对角线，且边A 1A k 也成为k ＋1边形中的对角线；②在A k ＋1与A 1，A 2，…，A k 连结的k 条线段中，除A k ＋1A 1，A k ＋1A k 外，都是k ＋1边形中的对角线，共计有f(k ＋1)＝f(k)＋1＋(k －2)＝k （k －3）2＋1＋(k －2)＝k 2－3k ＋2k －22＝k 2－k －22＝（k ＋1）（k －2）2＝（k ＋1）（k ＋1－3）2(条)，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 综上，得f(n)＝n （n －3）2对任何n≥3，n ∈N *都成立．1. (2017·苏锡常镇二模)已知f n (x)＝C 0nx n －C 1n(x －1)n＋…＋(－1)k C k n (x －k)n＋…＋(－1)n C n n (x －n)n ，其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n.(1) 试求f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的值；(2) 试猜测f n (x)关于n 的表达式，并证明你的结论．解：(1) f 1(x)＝C 01x －C 11(x －1)＝x －x ＋1＝1，f 2(x)＝C 02x 2－C 12(x －1)2＋C 22(x －2)2＝x 2－2(x 2－2x ＋1)＋(x 2－4x ＋4)＝2，f 3(x)＝C 03x 3－C 13(x －1)3＋C 23(x －2)3－C 33(x －3)3＝x 3－3(x －1)3＋3(x －2)3－(x －3)3＝6. (2) 猜想：f n (x)＝n ！.证明：① 当n ＝1时，猜想显然成立；② 假设n ＝k 时猜想成立，即f k (x)＝C 0k x k －C 1k (x －1)k ＋C 2k (x －2)k ＋…＋(－1)k C k k (x －k)k＝k ！，则n ＝k ＋1时，f k ＋1(x)＝C 0k ＋1x k ＋1－C 1k ＋1(x －1)k ＋1＋C 2k ＋1(x －2)k ＋1＋…＋(－1)k ＋1C k ＋1k ＋1(x －k －1)k ＋1＝xC 0k ＋1·x k －(x －1)C 1k ＋1(x －1)k ＋(x －2)C 2k ＋1(x －2)k ＋…＋(－1)k (x －k)C k k ＋1(x －k)k＋(－1)k ＋1C k ＋1k ＋1(x －k －1)k ＋1＝x[C 0k ＋1x k －C 1k ＋1(x －1)k ＋C 2k ＋1(x －2)k ＋…＋(－1)k C k k ＋1·(x －k)k]＋[C 1k ＋1(x －1)k －2C 2k ＋1(x －2)k ＋…＋(－1)k ＋1·kC k k ＋1(x －k)k ]＋(－1)k ＋1C k ＋1k ＋1(x －k －1)k ＋1＝x[C 0k x k －(C 0k ＋C 1k )(x －1)k ＋(C 1k ＋C 2k )(x －2)k ＋…＋(－1)k (C k －1k ＋C k k )(x －k)k]＋(k ＋1)[C 0k (x －1)k －C 1k (x －2)k ＋…＋(－1)k ＋1C k －1k (x －k)k ]＋(－1)k ＋1C k ＋1k ＋1(x －k －1)k ＋1＝x[C 0k x k －C 1k (x －1)k ＋C 2k (x －2)k ＋…＋(－1)k C k k (x －k)k ]－x[C 0k (x －1)k －C 1k (x －2)k＋…＋(－1)k －1C k －1k (x －k)k ＋(－1)k C k k (x －k －1)k ]＋(k ＋1)[C 0k (x －1)k －C 1k ·(x －2)k ＋…＋(－1)k＋1C k －1k (x －k)k ＋(－1)k C k k (x －k －1)k]＝xk ！－xk ！＋(k ＋1)k ！＝(k ＋1)！. ∴ 当n ＝k ＋1时，猜想成立．综上所述，猜想成立．2. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…. (1) 求a 1，a 2；(2) 猜想数列{S n }的通项公式，并给出证明．解：(1) 当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16. (2) 由题设知(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0. ①由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1，2，3，….下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ) n＝1时已知结论成立.(ⅱ) 假设n ＝k(k∈N *)时结论成立，即S k ＝k k ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立．综上，由(ⅰ)、(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．3. 已知x 1，x 2，…，x n ∈R ＋，且x 1x 2…x n ＝1.求证：(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x n )≥(2＋1)n.证明：(数学归纳法)① 当n ＝1时，2＋x 1＝2＋1，不等式成立．② 假设n ＝k 时不等式成立，即(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x k )≥(2＋1)k成立． 则n ＝k ＋1时，若x k ＋1＝1，则命题成立；若x k ＋1>1，则x 1，x 2，…，x k 中必存在一个数小于1，不妨设这个数为x k ，从而(x k －1)(x k ＋1－1)<0，即x k ＋x k ＋1>1＋x k x k ＋1.同理可得x k ＋1<1时，x k ＋x k ＋1>1＋x k x k ＋1.所以(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x k )(2＋x k ＋1) ＝(2＋x 1)(2＋x 2)…[2＋2(x k ＋x k ＋1)＋x k x k ＋1] ≥(2＋x 1)(2＋x 2)…[2＋2(1＋x k x k ＋1)＋x k x k ＋1]＝(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x k x k ＋1)(2＋1)≥(2＋1)k ·(2＋1)＝(2＋1)k ＋1. 故n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②及数学归纳法原理知原不等式成立．4. 已知函数f 0(x)＝x(sin x ＋cos x)，设f n (x)为f n －1(x)的导数，n ∈N *. (1) 求f 1(x)，f 2(x)的表达式；(2) 写出f n (x)的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1) 因为f n (x)为f n －1(x)的导数，所以f 1(x)＝f 0′(x)＝(sin x ＋cos x)＋x(cos x －sin x)＝(x ＋1)cos x ＋(x －1)(－sin x)，同理，f 2(x)＝－(x ＋2)sin x －(x －2)cos x.(2) 由(1)得f 3(x)＝f 2′(x)＝－(x ＋3)cos x ＋(x －3)sin x ， 把f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)分别改写为f 1(x)＝(x ＋1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋(x －1)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，f 2(x)＝(x ＋2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π2＋(x －2)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π2，f 3(x)＝(x ＋3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π2＋(x －3)·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π2，猜测f n (x)＝(x ＋n)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2＋(x －n)·cos(x ＋n π2) (*)．下面用数学归纳法证明上述等式．① 当n ＝1时，由(1)知，等式(*)成立； ② 假设当n ＝k 时，等式(*)成立，即f k (x)＝(x ＋k)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋(x －k)cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2.则当n ＝k ＋1时，f k ＋1(x)＝f k ′(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋(x ＋k)cos(x ＋k π2)＋cos(x ＋k π2)＋(x －k)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＝(x ＋k ＋1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋[x －(k ＋1)]⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＝[x ＋(k ＋1)]sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k ＋12π＋[x －(k ＋1)]·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k ＋12π，即当n ＝k ＋1时，等式(*)成立．综上所述，当n∈N *时，f n (x)＝(x ＋n)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋n π2＋(x －n)cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2成立．1. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15. (1) 求a 1，a 2，a 3的值；(2) 求数列{a n }的通项公式．解：(1) 由题意知S 2＝4a 3－20，∴ S 3＝S 2＋a 3＝5a 3－20. 又S 3＝15，∴ a 3＝7，S 2＝4a 3－20＝8. 又S 2＝S 1＋a 2＝(2a 2－7)＋a 2＝3a 2－7， ∴ a 2＝5，a 1＝S 1＝2a 2－7＝3. 综上知，a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.(2) 由(1)猜想a n ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明． ① 当n ＝1时，结论显然成立；② 假设当n ＝k(k≥1)时，a k ＝2k ＋1，则S k ＝3＋5＋7＋…＋(2k ＋1)＝k[3＋（2k ＋1）]2＝k(k ＋2)．又S k ＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，∴ k(k ＋2)＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，解得2a k ＋1＝4k ＋6， ∴ a k ＋1＝2(k ＋1)＋1，即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知，∀n ∈N *，a n ＝2n ＋1. 2. 由下列式子： 1>12； 1＋12＋13>1； 1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32；1＋12＋13＋…＋115>2； …猜想第n 个表达式，并用数学归纳法给予证明．解：可以猜得第n 个式子是1＋12＋13＋14＋…＋12n －1＞n2(n≥1，n ∈N )．用数学归纳法证明如下：① 当n ＝1 时，1>12；② 假设当n ＝k(n≥1，n ∈N )时，命题成立，即1＋12＋13＋14＋…＋12k －1>k2.当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1>k 2＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1,\s\do4(2k ))＞k 2＋12·2k ＋12·2k ＋…＋12·2k ,\s\do4(2k )) ＝k 2＋2k2·2k ＝k 2＋12＝k ＋12. 所以，对一切n≥1，n ∈N 命题都成立．3. 已知f(n)＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g(n)＝32－12n2，n ∈N *.(1) 当n ＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系； (2) 猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．解：(1) 当n ＝1时，f(1)＝1，g(1)＝32－12×12＝1，所以f(1)＝g(1)；当n ＝2时，f(2)＝1＋123＝98，g(2)＝32－12×22＝118，所以f(2)<g(2)； 当n ＝3时，f(3)＝1＋123＋133＝251216，g(3)＝32－12×32＝139，所以f(3)<g(3)． (2) 由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明． ① 当n ＝1时，不等式显然成立．② 假设当n ＝k(k∈N *)时不等式成立．即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2，那么，当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝f(k)＋1（k ＋1）3<32－12k 2＋1（k ＋1）3.因为12（k ＋1）2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k 2－1（k ＋1）3＝k ＋32（k ＋1）3－12k 2＝－3k －12（k ＋1）3k2＜0，所以f(k ＋1)<32－12（k ＋1）2＝g(k ＋1)．由①②可知，对一切n∈N *，都有f(n)≤g(n)成立．4. 已知数列{a n }的各项都是正数，且满足：a 0＝1，a n ＋1＝12·a n ·(4－a n )，n ∈N .(1) 求a 1，a 2；(2) 证明：a n <a n ＋1<2，n ∈N .解：(1) a 0＝1，a 1＝12a 0·(4－a 0)＝32，a 2＝12·a 1(4－a 1)＝158.(2) 用数学归纳法证明：。
2019年高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第4节归纳与类比学案理北师大版
第四节 归纳与类比［考纲传真］（教师用书独具）1. 了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理， 体会合情推理在数学发现中的作用 2 了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联 系和差异.（对应学生用书第99页）［基础知识填充］1. 归纳推理* Y 根据一类事物中部分事物具有某种属性, 推断该类事物中每一个都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理. 2. 类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征， 推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理. 3. 归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确.［基本能力自测］1.（思考辨析）判断下列结论的正误.（正确的打“V”，错误的打“X”）（1）归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.（ ）（2） 在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合 适.（） （3）归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.（ ）y/XZTk At（4）由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理. （ ）［答案］⑴ X （2） X （3） X （4） V2. （教材改编）已知数列｛刘中，a 1= 1，n 》2时，a n = a n — 1+ 2n - 1，依次计算a 2，a 3，a 4后,猜想a n 的表达式是（）RA . a n = 3n — 1 /V. jb B. a n = 4n —3C .2a n = nD. n —1 a n = 3C [ a 1 = 1， a 2= 4， a 3= 9， a 4 = 16, 猜想a = n 2.]3.数列 2,5,11,20，x, 47，- •冲的x 等于（ )A .28B. 32C .33D. 27B ［5 — 2= 3,11 — 5 = 6,20 — 11 = 9,推出 x — 20= 12,所以 x = 32.］4.在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1 : 2，则它们的面积比为1 : 4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1 : 2，则它们的体积比为 _________ .双基自主测评I理自测巩固基础知识1S 1 h 1 V T 3"h 1: 3S2h2 =S/ 瓦5.观察下列不等式 ,131 +22<2,11171 +夕+ 32 +产 4，照此规律，第五个不等式为1 ：8 ［这两个正四面体的体积比为=1 : 8.]1 1 1 1 1 11 1 + 22+ 32 + 42+ 52+62< 6［先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为 4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右 边分子为分母的2倍减1,分母即为所对应项数，故应填111111+22+壬+孑+尹左v11 6」 题型分类突破I 典钢剖析槨（对应学生用TWiT归纳推理◎角度1与数字有关的.■ EB] (2018 •兰州实战模拟)观察下列式子：1,1 + 2 + 1,1 + 2 + 3+ 2 + 1,1 + 2 + 3+ 4 + 3 + 2 + 1,…，由以上可推测出一个一般性结论： — ________.n 2 [因为 1 — 1 — 12'1 + 2+ 1 — 4— 22,1 + 2 + 3+ 2 + 1 — 9— 32,1 + 2+ 3 + 4 + 3+ 2+ 12 2对于 n € N +,则 1 + 2 + •••+ n +•••+ 2 + 1◎角度2与式子有关的推理X已知 f (x ) — = , x >0,若 f 1(X )— f (x ) , f n + 1( x ) — f ( f n ( x )), n € N+,贝Uf (X )的表达式为 ________ .【导学号：79140205】◎角度3与图形有关的推理写出第n 个图形中小正方形的个数是 __________Eb⑴ (2) ⑶图 6-4-1总个数为 n( n + 1) (n € N+).]［规律方法］归纳推理问题的常见类型及解题策略1与数字有关的等式的推理•观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解 •2与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解 3与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论， 并用赋值检验法验证其真伪性.14 x x 427 x⑵已知x €(0,2),观察下列各式：X +->2, X +£=2+ 2+x 2>3, x +卫=3+x x 27a 小二+二 + 飞＞4,…，类比得 X +FA n +1(n € N+),贝U a = .3 3 x x(3)(2018 •郑州第二次质量预测 )平面内凸四边形有 2条对角线，凸五边形有5条对 角线，f 2 019( x )=x1 +2 019x[f i (X )=xi +x ，f 2(x ) x ^1+ xx,f 3(x)=1 + 2x x 1+ 2xx1 + 3x ，…， f n + 1(x ) = f ( f n ( x ))x1 +nx ，归纳可得f 2 019 (x )=x1 +2 019x.]的图形由小正方形组成，请观察图(1)至图⑷ 的规律，并依此规律,n ( n + 1)2(n € N +) ［由题图知第n 个图形的小正方形个数为1+ 2+ 3 +•••+ n .所以［跟踪训练］1(1)数列2， 12 12 3 3, 3, 4, 4, 4，1 2 m + 1，m + 1…，活，…的第20项是(535 A.- B- C~ 8 47如图6-4-1 (4)6依次类推，凸十三边形的对角线条数为() A. 42 B. 65C. 143D. 169nm(1) C (2) n (n € N +)(3) B [(1)数列 在数列中是第 1 + 2 + 3 + …+ m =17+ 1m ( rm i i)5 5项，当m = 5时，即三是数列中第15叽则第20项是y 故选C.2 6 7⑵ 第一个式子是n = 1的情况，此时a = 11= 1；第二个式子是 n = 2的情况，此时a =22= 4；第三个式子是 n = 3的情况，此时 a = 33 = 27,归纳可知a = n n .IW2Jfa i + a 2 +••:+ a n I(1)若数列｛a n ｝是等差数列，则数列｛b n ｝ b n= ----------------------- -」一性质可知，若正项数列｛6｝是等比数列，且｛d n ｝也是等比数列,凸多边形 4 5 6 7 8对角线条数22+ 32+ 3 + 42+ 3+ 4 + 52 +3 + 4+ 5+ 6•…(3)可以通过列表归纳分析得到. 所以凸13边形有2 + 3 + 4+-+ 11= 笃10= 65条对角线.故选 B.]也是等差数列，类比这则d n 的表达式应为(A. C l + C 2+，・・+C n d n =C.n nn nC l+ C 2+-+ Cnd n=------------------B.,C 1 • C 2 • d n =nCnD. d n = -C 2 .................. C n⑵ 在平面几何中，△ ABC 的/ C 的平分线 .J'A T J论类比到空间：在三棱锥 A -BCD 中 (如图 AB 相交于E ,则得到类比的结论是ZM/JAC AECE 分 AB 所成线段的比为茁匪把这个结6-4-2)，平面DEC 平分二面角 ACDB 且与AE S\ ACD⑴ D (2)EB =S BCD[(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故d n 的表达式为 d n =• C 2 .......... C n .•类比推理法二：若｛a n｝是等差数列，则a1 + a2+…+ a n = na1 + ~~2 d,（n — 1） d d•••b n = a i + （2丿 d =@n + a i — @ ,即｛b n ｝为等差数列；若｛G ｝是等比数列，则 n (n — 1)为等比数列，故选 D.AE S ^ACD⑵ 由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得——.］EB BCD［规律方法］类比推理的常见情形与处理方法1常见情形：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比 和与积、乘与乘方，差与除，除与开方 I 数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等•2处理方法：进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提 出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键［跟踪训练］给出下面类比推理（其中Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集）:① “若 a, b €R,则 a — b = 0? a = b ” 类比推出“若 a , c € C ,则 a — c = 0? a = c ”； ② “若 a , b ,c ,d € R,则复数 a + b i = c + d i ? a = c , b = d ” 类比推出“若 a , b ,c ,d € Q 贝U a + b 2 = c + d 2? a = c , b = d ”；③ “若 a , b €R ,贝U a — b >0? a >b ” 类比推出“若 a , b € C,贝U a — b >0? a >b ”； ④ “若 x € R,则 |x |<1? — 1<x <1 ” 类比推出“若 z € C,则 |z |<1 ? — 1<z <1”. 其中类比结论正确的个数为（ ）A. 1 B . 2C. 3D. 4n —1n 1 +2 +…+ ( n —1)C n = c i ・ q,•- d n =寸。
2019届高考数学一轮必备考情分析学案：2018-2019合情推理与演绎推理》(含解析)
13.1合情推理与演绎推理考情分析1．从近年来的新课标高考来看，高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档题为主．2．演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题．基础知识1、归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理。
归纳推理的步骤：（1）通过观察特例发现某些相似性（2）把这种相似性推广为一个明确表达的一般性2、 演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。
演绎推理又称逻辑推理，它是必真推理，是从一般到特殊的推理，只要前提条件正确，推理过程准确无误，结论必然真实，数学中的证明主要是通过演绎推理来进行的。
3、三段论推理：在推理中：若b c ⇒，而a b ⇒，则a c ⇒这种推理规则叫三段论推理，它包括“（1） 大前提已知的一般原理（2）小前提所研究的特殊情况（3） 结论根据一般原理，对特殊情况做出判断。
4、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理。
类比推理就是由特殊到特殊的推理。
5、反证法:假设原6、应用反证法证明数学（1）分清注意事项1.在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．2.(1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．(2)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．题型一 归纳推理【例1】►观察下列等式：可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝________(n ∈N *，用含有n 的代数式表示)．解析 第二列等式的右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15，∵1,3,6,10,15，…第n 项a n 与第n －1项a n －1(n≥2)的差为：a n －a n －1＝n ，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得，a n ＝a 1＋2＋3＋…＋n ，其中a 1＝1，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ，即a n ＝＋2，∴a 2n ＝14n 2(n ＋1)2. 答案 14n 2(n ＋1)2【变式1】 已知经过计算和验证有下列正确的不等式：3＋17＜210，7.5＋12.5＜210，8＋2＋12－2＜210，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m ，n 都成立的条件不等式________．解析 观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是210，因此对正实数m ，n 都成立的条件不等式是：若m ，n ∈R ＋，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n ＜210.答案 若m ，n ∈R ＋，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n ＜210题型二 类比推理【例2】在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________”．解析 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r. 答案 V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r. 【变式2】 已知命题：“若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b(m ＜n ，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝b·n－a·m n －m ”．现已知数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)为等比数列，且b m ＝a ，b n ＝b(m ＜n ，m ，n ∈N *)，若类比上述结论，则可得到b m ＋n＝________.答案 a·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a n n －m题型三 演绎推理[:【例3】►数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N ＋)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n(S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n≥2)，[: ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)∴对于任意正整数n，都有S n＋1＝4a n.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)【变式3】已知函数f(x)＝ 2x－12x＋1(x∈R)．(1)判定函数f(x)的奇偶性；(2)判定函数f(x)在R上的单调性，并证明．解(1)对∀x∈R有－x∈R，并且f(－x)＝2－x－12＋1＝1－2x1＋2＝－2x－12＋1＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)法一f(x)在R上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈R，并且x1＞x2，[:f(x1)－f(x2)＝2x1－12x1＋1－2x2－12x2＋1＝1－2＋－2－1＋1＋2＋＝1－2x21＋2＋.∵x1＞x2，∴2x1＞2x2＞0，即2x1－2x2＞0，又∵2x1＋1＞0,2x2＋1＞0.∴1－2x21＋2＋＞0.∴f(x1)＞f(x2)．[:∴f(x)在R上为单调递增函数．法二f′(x)＝2x＋1ln xx＋2＞0∴f(x)在R上为单调递增函数．巩固提高1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )．A．28 B．32 C．33 D．27解析从第2项起每一项与前一项的差构成公差为3的等差数列，所以x＝20＋12＝32.答案 B2．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是( )．A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．答案 A3．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b)2类比，则有(a ＋b)2＝a 2＋2a·b＋b 2.其中结论正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ③正确．答案 B 4．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )．A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错[:数理化]解析 “指数函数y ＝a x是增函数”是本推理的大前提，它是错误的，因为实数a 的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．答案 A5．设函数f(x)＝x x ＋2(x>0) 观察：f 1(x)＝f(x)＝x x ＋2， f 2(x)＝f(f 1(x))＝x 3x ＋4， f 3(x)＝f(f 2(x))＝x 7x ＋8， f 4(x)＝f(f 3(x))＝x 15x ＋16，…… 根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n≥2时，f n (x)＝f(f n －1(x))＝________.解析 根据题意知，分子都是x ，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…可知f n (x)的分母中常数项为2n ，分母中x 的系数为2n －1，故f n (x)＝x n －＋2n . 答案 x n －＋2n .。
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高考达标检测（五十五）推理3方法——类比、归纳、演绎一、选择题1．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③④解析：选A根据题意，依次分析4个推理：对于①，在推理过程中由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理；对于②，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理；对于③，不是合情推理，对于④，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理，所以是合情推理的是①②④.2．已知①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形．由①②③组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是() A．正方形是平行四边形B．平行四边形的对角线相等C．正方形的对角线相等D．以上均不正确解析：选C由演绎推理三段论可得，“平行四边形的对角线相等”为大前提，“正方形是平行四边形”为小前提，则结论为“正方形的对角线相等”．3．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()13 5 791113151719212325272931………A．731 B．809C．852 D．891解析：选B由题意知，前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.4．某校高二(1)班每周都会选出两位“迟到之星”，在“迟到之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，小谭说：“小赵说的对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是() A．小赵、小谭B．小马、小宋C．小马、小谭D．小赵、小宋解析：选A小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”是假话，否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，是真话；小谭说：“小赵说的对”，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“迟到之星”是小赵和小谭．5．将正整数排列如下：123 45678910111213141516…则图中数2 018出现在()A．第44行第83列B．第45行第83列C．第44行第82列D．第45行第82列解析：选D由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1 936,452＝2 025，且1 936＜2 018＜2 025，所以2 018在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2 018－1 936＝82，故2 018在第45行第82列，选D.6．单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n 幅图的蜂巢总数，则f(n)＝()A．3n2－3n＋1 B．3n2－3n＋2C．3n2－3n D．3n2－3n－1解析：选A由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，…因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.又f(1)＝3×12－3×1＋1＝1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.7．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5 … 2 015 2 016 2 017 2 0183 57 9 …………4 031 4 033 4 03581216 ……………… 8 0648 06820 28 …………………… 16 132………………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )A ．2 019×22 015B ．2 019×22 016C ．2 018×22 017D ．2 018×22 016解析：选B 当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20；当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21；当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22；当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23；归纳推理得，当第一行为2 018个数时，最后一行仅一个数，为2 019×22 016.8．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则a 2＋b 2＝c 2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O - ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝90°，S 为顶点O 所对面的面积，S 1，S 2，S 3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则下列选项中对于S ，S 1，S 2，S 3满足的关系描述正确的为( )A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23B ．S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3解析：选A 如图，作OD ⊥ BC 于点D ，连接AD ，由立体几何知识知，AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2) ＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋14BC 2·OD 2 ＝⎝⎛⎭⎫12OB ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12OC ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12BC ·OD 2 ＝S 21＋S 22＋S 23.二、填空题9．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ， 又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332. 答案：33210．(2018·湛江一模)如图，已知点O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，并延长交对边于A 1，B 1，C 1则OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＝1，类比猜想：点O 是空间四面体A -BCD 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，DO ，并延长分别交平面BCD ，ACD ，ABD ，ABC 于点A 1，B 1，C 1，D 1，则有____________．解析：猜想：若O 为四面体A -BCD 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，DO ，并延长分别交平面BCD ，ACD ，ABD ，ABC 于点A 1，B 1，C 1，D 1，则OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1. 用等体积法证明如下：OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝V O -BCD V A -BCD ＋V O -CAD V B -CAD ＋V O -ABD V C -ABD ＋V O -ABC V D -ABC＝1. 答案：OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1 11．(2017·北京高考)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (ⅰ)男学生人数多于女学生人数；(ⅱ)女学生人数多于教师人数；(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．解析：令男学生、女学生、教师人数分别为x ，y ，z ，则z ＜y ＜x ＜2z .①若教师人数为4，则4＜y ＜x ＜8，当x ＝7时，y 取得最大值6.②当z ＝1时，1＝z ＜y ＜x ＜2，不满足条件；当z ＝2时，2＝z ＜y ＜x ＜4，不满足条件；当z ＝3时，3＝z ＜y ＜x ＜6，y ＝4，x ＝5，满足条件．所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12.答案：6 1212．已知cos π3＝12， cos π5cos 2π5＝14， cos π7cos 2π7cos 3π7＝18， ……(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________；(2)若数列{a n }中，a 1＝cos π3，a 2＝cos π5cos 2π5， a 3＝cos π7cos 2π7cos 3π7，…， 前n 项和S n ＝1 0231 024，则n ＝________. 解析：(1)从题中所给的几个等式可知，第n 个等式的左边应有n 个余弦相乘，且分母均为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，n π，右边应为12n ， 故可以猜想出结论为cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *)． (2)由(1)可知a n ＝12n ，故S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－12n ＝2n －12n ＝1 0231 024，解得n ＝10.答案：(1)cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *) (2)10三、解答题13．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .证明：∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ， ∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，同理可得sin B ＞cos C ，sin C ＞cos A ，∴sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .14．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，向按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求f (6)的值；(2)求f (n )的表达式；(3)求证：当n ≥2时，1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＜32. 解：(1)f (1)＝1，f (2)＝1＋4＝5，f (3)＝1＋4＋8＝13，f (4)＝1＋4＋8＋12＝25，f (5)＝1＋4＋8＋12＋16＝41，f (6)＝1＋4＋8＋12＋16＋20＝61.(2)∵f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，由上式规律得出f (n ＋1)－f (n )＝4n .∴f (n )－f (n －1)＝4×(n －1)，f (n －1)－f (n －2)＝4×(n －2)，f (n －2)－f (n －3)＝4×(n －3)，……f (2)－f (1)＝4×1，∴f (n )－f (1)＝4[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＝2(n －1)·n ，∴f (n )＝2n 2－2n ＋1.(3)证明：当n ≥2时，1f (n )－1＝12n 2－2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ， ∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n. 由于g (n )＝32－12n为递增数列， 即有g (n )≥g (1)＝1，且g (n )＜32， 故1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＜32.1．为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”“书法社”“汉服社”，还满足如下条件：(1)甲同学没有加入“楹联社”；(2)乙同学没有加入“汉服社”；(3)加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；(4)加入“汉服社”的那名同学在高一年级；(5)乙同学不在高三年级．则甲同学所在的社团是( )A ．楹联社B ．书法社C ．汉服社D ．条件不足无法判断解析：选C 假设乙在高一，则由(4)知乙加入“汉服社”，与(2)矛盾，结合(5)知，乙在高二年级．根据(3)，可得乙加入“书法社”．根据(1)可知甲同学没有加入“楹联社”，可得甲同学所在的社团是汉服社.2．已知13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3 025，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C ∵13＋23＝32＝(1＋2)2，13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，……∴13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝n 2(n ＋1)24. ∵13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3 025，∴n 2(n ＋1)24＝3 025，∴n 2(n ＋1)2＝(2×55)2， ∴n (n ＋1)＝110，解得n ＝10.。