任务一 Z变换
信号与系统 z变换
信号与系统 z变换信号与系统是电子信息学科中的一门重要课程，其中的z变换是信号与系统分析的一种重要工具。
本文将介绍信号与系统中的z变换原理及应用。
一、z变换原理z变换是一种离散域的数学变换，它将离散时间序列转换为复平面上的函数。
在信号与系统中，我们常常需要对信号进行分析和处理，而z变换提供了一种方便且有效的方式。
它将离散时间序列变换为z域函数，从而可以对信号进行频域分析。
z变换的定义是：X(z) = ∑[x(n)·z^(-n)]，其中x(n)为离散时间序列，z为复变量。
通过z变换，我们可以将离散时间序列的差分方程转化为代数方程，从而简化信号与系统的分析和计算。
此外，z变换还具有线性性质和时移性质，使得我们可以方便地进行信号的加权叠加和时间偏移操作。
二、z变换的应用1. 系统的频域分析：z变换将离散时间序列转换为z域函数，可以方便地进行频域分析。
通过计算系统的传递函数在z域中的值，我们可以得到系统的频率响应，从而了解系统对不同频率信号的响应特性。
2. 系统的稳定性判断：通过z变换，可以将系统的差分方程转化为代数方程。
我们可以通过分析代数方程的根的位置，判断系统的稳定性。
如果差分方程的根都在单位圆内，说明系统是稳定的。
3. 离散时间系统的滤波设计：z变换为我们提供了一种方便的方法来设计离散时间系统的滤波器。
通过在z域中对滤波器的传递函数进行分析和调整，我们可以设计出满足特定需求的滤波器。
4. 信号的采样与重构：在数字信号处理中，我们常常需要对连续时间信号进行采样和重构。
通过z变换，我们可以将连续时间信号转换为离散时间信号，并在z域中进行处理。
然后再通过z逆变换将离散时间信号重构为连续时间信号。
5. 离散时间系统的时域分析：z变换不仅可以进行频域分析，还可以进行时域分析。
通过z变换，我们可以将离散时间系统的差分方程转换为代数方程，并通过对代数方程的分析，得到系统的时域特性。
z变换是信号与系统分析中非常重要的工具。
第六章(1) Z变换
常用序列的z变换：a为正实数 在反因果序列中，令b
ak (k) z
za
(a)k (k) z
za
z a z a
令a=1，则单位阶跃序列的z
为正实常数，则有
bk (k 1) z
zb
(b)k (k 1) z
zb
z b z b
变换：
(k) z
k 0
解（1）单位序列的z变换
F (z) (k)zk (k)zk 1
k
k0
即 (k) 1
可见，其单边、双边z变换相等。由于其z变换 是与z无关的常数1，因而在z的全平面收敛。
(2) f (k) {1 2 3 2 1}
k 0 序列f(k)的双边z变换为：
bk (k 1) z z b
zb
若已知 Fz,则 其原函数不唯一.如:
Fz z
z2
f k 2k k 或 f k 2k k 1
因此,Z变换必须标明收敛域,才和它的原函数一一对应.
***对于有限长序列，其双边z变换在整个z平面 （可能除z=0或∞外）收敛。
k
k
取上式的双边拉普拉斯变换，考虑到：
Lb[ (t kT )] eksT 其双边拉普拉斯变换为：
F (s) Lb[ fs (t)] f (kT )eksT 令z e sT k
上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示，即
F (s) Lb[ fs (t)] f (kT )eksT 令z e sT k
F ( z )
f
k
(k)zk
z2
04第四讲 Z 变 换
这是一个环状区域.如果Rx->Rx+ ,则无公共收敛区域,X(z)无 收敛域,也即在Z平面的任何地方都没有有界的X(z)值,因此就不 存在Z变换的解析式, 这种Z变换就没有什么意义.
第2章 Z变换 例1-9 x(n)=a|n|, a为实数,求其Z变换及收敛域. 解 这是一个双边序列,其Z变换为
X ( z) =
n
(1-54)
式中,z是一个复变量,它所在的复平面称为Z平面.我们常用Z [x(n)]表示对序列x(n)进行Z变换,也即
Z [ x(n)] = X ( z )
(1-55)
第2章 Z变换 这种变换也称为双边Z变换,与此相应的单边Z变换的定义如下:
X ( z ) = ∑ x ( n) z n
n =0
n
= ∑a z
n =0
∞
n n
1 = ∑ (az ) = 1 az 1 n =0
1 n
∞
|z|>|a| 这是一个无穷项的等比级数求和,只有在|az-1|<1即|z|>|a|处收敛 如图1-24所示.故得到以上闭合形式的表达式,由于 ,
故在z=a处有一极点(用"×"表示),在z=0处有一个零点(用"○" 表示),收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部.
∞
(1-56)
这种单边Z变换的求和限是从零到无穷,因此对于因果序列, 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的.单边Z变换只有在少 数几种情况下与双边Z变换有所区别.比如,需要考虑序列的起 始条件,其他特性则都和双边Z变换相同.本书中如不另外说明, 均用双边Z变换对信号进行分析和变换.
第2章 Z变换 2. Z变换的收敛域 变换的收敛域 显然,只有当式(1-54)的幂级数收敛时,Z变换才有意义. 对任意给定序列x(n),使其Z变换收敛的所有z值的集合称为 X(z)的收敛域. 按照级数理论,式(1-54)的级数收敛的充分必要条件是满 足绝对可和的条件,即要求
z变换
1730年，英国数学家棣莫弗（De Moivre 1667-175 4)将生成函数（generation function)的概念引入概 率理论中。
19世纪拉普拉斯（place)至20世纪的沙尔 （H.L.Seal)等人贡献。
20世纪50，60年代z变换成为重要的数学工具。
z变换的地位与作用：类似于连续系统中的拉普拉 斯变换。
则当 1时，级数收敛；
当 1时，级数发散。
（常用序列的收敛域参见p.52表8-1）
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二、几类序列的Z变换收敛域
1、有限长序列 此序列只在有限的区间(n1n n2)具有非零的有
限值，此时，Z变换为：
n2
X(z)= x(n)z-n nn1
1）上n1处<0处,n收2>敛0时。，即除收z敛=域及为z：=0外，X(z)在z平面
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一、 Z变换的收敛域
收敛域(ROC:region of convergence)：
对任意给定的有界序列x(n), 使其z变换定义式级数收敛的所有z值集合
收敛域的说明： 单边变换中序列与变换式、收敛域唯一对应； 双边变换中序列与变换式、收敛域不唯一对应。
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Z变换的收敛域
z Rx1
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几类序列的Z变换收敛域
3、左边序列
此序列是无始有终的序列，即当(n>n2时,x(n)=0), 此序列的Z变换为：
n2
X(z)= x(n)z-n n
其收敛域为:
z Rx2
则该级数收敛.其中Rx
是级数的收敛半径.
z变换在信号处理中的作用
z变换在信号处理中的作用信号处理是一门研究如何对信号进行采集、分析、处理和解释的学科。
在信号处理中，z变换是一种重要的数学工具，它在时域和频域之间建立了一个桥梁，为信号的分析和处理提供了有效的方法。
本文将探讨z变换在信号处理中的作用和应用。
一、z变换的基本概念z变换是一种将离散时间信号从时域转换到z域的方法。
它将离散时间信号表示为z的幂级数，其中z是一个复变量。
z变换可以将离散时间信号转换为复平面上的函数，从而方便了信号的分析和处理。
二、z变换的作用1. 信号的频谱分析：z变换可以将时域信号转换为z域函数，通过分析z域函数的极点和零点，可以得到信号的频谱特性。
这有助于我们研究信号的频率成分和频谱分布，从而了解信号的频谱特性。
2. 系统的稳定性分析：z变换可以将离散时间系统的差分方程转换为z域的传递函数，通过分析传递函数的极点，可以判断系统的稳定性。
这对于设计和分析数字滤波器等离散时间系统非常重要。
3. 信号的滤波和增强：z变换可以将时域滤波器转换为z域传递函数，通过改变传递函数的特性，可以实现信号的滤波和增强。
通过选择合适的传递函数，我们可以改变信号的频率响应，从而实现对信号的滤波和增强。
4. 信号的压缩和重构：z变换可以将时域信号转换为z域函数，通过对z域函数的采样和重构，可以实现信号的压缩和重构。
这在信号传输和存储中非常有用，可以将信号进行压缩以节省带宽和存储空间，并在需要时进行重构。
5. 信号的预测和插值：z变换可以通过对z域函数的分析，预测和插值信号。
通过对z域函数的插值，我们可以根据已知的离散时间信号推断出未知的信号值，从而实现信号的插值和重建。
三、z变换的应用z变换在信号处理中有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 数字滤波器设计：z变换可以将时域滤波器转换为z域传递函数，通过设计传递函数来实现滤波器的设计和优化。
2. 语音信号处理：z变换可以用于语音信号的压缩、降噪、增强和识别等方面，提高语音信号的质量和可靠性。
z变换期末总结
z变换期末总结首先，我将总结 Z 变换的基本概念和特性。
Z 变换是一种离散域信号处理工具，它将离散时间信号转化为 Z 域的函数。
Z 域上的运算与连续时间域上的拉普拉斯变换类似，可以进行信号的加法、乘法、卷积等运算。
Z 变换的定义为：\[ X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\]其中，X(z) 为离散时间信号 x[n] 的 Z 变换，z 为复变量。
通过 Z 变换，我们可以将离散时间信号转化为分式表达式，从而方便地分析和设计数字滤波器。
Z 变换具有许多重要的特性和性质。
首先是线性性质，在时域上线性系统对应于 Z 变换域上的线性运算。
其次是平移性质，即时间域上的延时对应于 Z 变换域上的乘以 z 的幂。
然后是共轭对称性质，在实序列的 Z 变换中，X(z) 的共轭一定存在。
最后是时域与 Z 变换域的对应关系，通过 Z 变换和逆 Z 变换可以在时域和 Z 变换域之间相互转换。
其次，我将总结 Z 变换的应用。
Z 变换广泛应用于数字滤波器的分析与设计。
通过 Z 变换，我们可以将差分方程表示的数字滤波器转化为 Z 变换域上的传递函数表达式，从而方便地分析滤波器的频域特性、稳定性和实现方法。
在滤波器设计中，我们可以通过变换域的频率响应来选择合适的滤波器类型，并通过对频率响应的要求来确定滤波器的参数。
此外，Z 变换还可以用于系统的稳定性分析与控制设计。
通过 Z 变换，我们可以将离散时间系统转化为 Z 平面上的传递函数，从而方便地分析系统的稳定性和控制性能。
在控制系统设计中，我们可以通过对系统零点和极点的分布进行分析，来优化系统的稳定性和动态响应。
最后，我将总结我在学习 Z 变换过程中遇到的困难与解决方法。
在初次接触 Z 变换时，我对其概念和运算规则不够清晰，导致在推导过程和习题解答中经常出现错误。
为此，我通过多次阅读课本和参考资料，结合老师的讲解和示例，慢慢理解了 Z 变换的基本概念和运算规则。
z变换的基本知识
z变换基本知识1 z变换定义连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。
一个连续信号的拉普拉斯变换是复变量的有理分式函数；而微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为的代数方程，从而可以大大简化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。
因此，拉普拉斯变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。
计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了z变换。
连续信号通过采样周期为T的理想采样开关采样后，采样信号的表达式为（1）对式（1）作拉普拉斯变换（2）从式（2）可以看出，是的超越函数，含有较为复杂的非线性关系，因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。
为此，引入了另一个复变量“z”，令（3）代入式（2）并令，得（4）式（4）定义为采样信号的z变换，它是变量z的幂级数形式，从而有利于问题的简化求解。
通常以表示。
由以上推导可知，z变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信号作的变量置换。
的z变换的符号写法有多种，如等，不管括号内写的是连续信号、离散信号还是拉普拉斯变换式，其概念都应该理解为对采样脉冲序列进行z变换。
式（1），式（2）和式（3）分别是采样信号在时域、域和z域的表达式，形式上都是多项式之和，加权系数都是，并且时域中的域中的及z域中的均表示信号延迟了拍，体现了信号的定时关系。
在实际应用中，采样信号的z变换在收敛域内都对应有闭合形式，其表达式是z的有理分式（5）或的有理分式（6）其分母多项式为特征多项式。
在讨论系统动态特征时，z变换写成零、极点形式更为有用，式（5）可改写为式（7）（7）2 求z变换的方法1）级数求和法根据z变换定义式（4）计算级数和，写出闭合形式。
例1求指数函数的z变换。
解连续函数的采样信号表达式为对应的z变换式为上式为等比级数，当公比时，级数收敛，可写出和式为。
例2求单位脉冲函数的z变换。
信号处理PPT Z变换
Z [ x(n)] = X ( z ), Rx − <| z |< Rx + d X ( z ), Rx − <| z |< Rx + 则 Z [ n ⋅ x(n)] = − z ⋅ dz
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例3
利用微分性质求下面z变换的逆z变换x(n).
X (z) = log(1+ az−1)
解：首先将X(z)对z进行微分得
dX ( z) − az −2 = dz 1+ az −1
z >| a |
根据微分性质，有 dX ( z) az−1 Z [nx(n)] = −z = dz 1+ az−1 az−1 z−1 但 Z −1[ ] = aZ −1[ ] = a(−a)n−1u(n −1) 1+ az−1 1− (−az)−1
Y (z) = X (z)H (z) = 1− z 1− az
−1 −1
| z |> 1
由于收敛域为 | z |> 1， 可知序列必定是因果序列。 用围线积分求逆Z变换得 1 z n+1 −1 y(n) = Z [ X (z)H(z)] = ∫c (z −1)(z − a) dz 2πj 在围线内有两个极点z=a和z=1，从而求得 zn+1 zn+1 1 an+1 1− an+1 y(n) = Re s[ ,1] + Re s[ , a] = + = u(n) (z −1)(z − a) (z −1)(z − a) 1− a a −1 1− a
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10、 10、卷积和性质
若
Z [ x(n)] = X ( z ), Rx − <| z |< Rx + Z [h(n)] = H ( z ), Rh − <| z |< Rh +
z变换总结
z变换总结什么是z变换z变换是一种在信号处理和控制系统中广泛使用的数学工具，用于在z平面上对离散信号进行分析和处理。
它可以将一个离散时间序列转换为复平面上的函数，从而使得离散信号的频域特性能够被研究和分析。
z变换的公式表示如下：$$ X(z) = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}{x(n) \\cdot z^{-n}} $$其中，X(z)是信号的z变换，x(n)是离散时间信号。
z变换的性质z变换具有一些重要的性质，这些性质有助于简化信号处理过程，并且在频域分析中提供了有用的工具。
线性性质z变换是线性的，即对于任意常数a和b，满足以下等式：$$ a \\cdot X_1(z) + b \\cdot X_2(z) = a \\cdot \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}{x_1(n) \\cdot z^{-n}} + b \\cdot \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}{x_2(n) \\cdot z^{-n}} $$移位性质当信号在时间域中发生平移时，其在z变换中的表示也会相应地发生平移。
假设信号x(n)的z变换为X(z)，那么对于平移k个单位的信号x(n−k)，其z变换为$z^{-k} \\cdot X(z)$。
延时性质信号在时间域中的延时操作可以通过z变换的乘法操作来表示。
假设信号x(n)的z变换为X(z)，那么对于延时k个单位的信号x(n+k)，其z变换为$z^{k}\\cdot X(z)$。
单位样本响应性质单位样本是一个离散时间信号，只在n=0处取值为1，其它时刻均为0。
单位样本的z变换表示为X(z)=1。
倒置性质信号在时间域中的倒置操作可以通过z变换的操作来表示。
假设信号x(n)的z变换为X(z)，那么倒置后的信号x(−n)的z变换为X(z−1)。
z变换与傅里叶变换的关系z变换是傅里叶变换的离散形式，通过在z平面上进行积分，可以将离散信号转换为连续信号，从而进行频域分析。
信号与系统z变换
信号与系统z变换信号与系统是电子工程领域中的重要基础学科，主要研究信号的传输、变换和处理方法。
在实际应用中，我们常常需要对信号进行分析和处理，以提取有用的信息或改善信号的质量。
信号可以是各种形式的信息载体，比如声音、图像、视频等。
通过采集和传输设备，我们可以将这些信号转换为电信号，然后利用信号与系统理论进行处理和分析。
信号与系统的核心概念是时域和频域。
时域描述了信号随时间的变化情况，频域则描述了信号在频率上的特性。
这两个视角可以相互转换，帮助我们更好地理解信号的本质和行为。
在信号与系统中，Z变换是非常重要的工具。
它可以将离散时间信号转换为复变量的函数，从而使得我们可以在频域中对信号进行分析和处理。
Z变换广泛应用于数字信号处理、控制系统等领域。
Z变换的定义如下：给定一个离散时间信号x(n)，其Z变换X(z)定义为：X(z) = ∑[x(n) * z^(-n)], -∞ < n < ∞其中，z为复变量，n为离散时间。
Z变换可以看作是傅里叶变换在离散时间下的推广，它将时域信号转变为频域的表达形式。
Z变换的性质有很多，其中一些常见的性质包括线性性、时移性、频移性、时域尺度反转和频域微分等。
这些性质可以帮助我们简化信号处理的过程，提高计算效率。
在实际应用中，我们可以利用Z变换对信号进行滤波、频谱分析和系统建模。
使用Z变换，我们可以将复杂的离散时间系统转化为简单的代数表达式，从而更加方便地进行分析和设计。
总的来说，信号与系统中的Z变换是一种重要的工具，它为我们分析和处理离散时间信号提供了便利。
通过深入理解Z变换的概念和性质，我们可以更好地掌握信号与系统的基本原理，进而应用于实际工程中，为各类系统设计和信号处理问题提供解决方案。
Z变换 PPT课件
[x(n) Z k1dZ]
c
c n
由柯西定理
c
Z
k 1dZ
2j
0
n
c
k 0(or n m)
k 0(or n m)
得： X (Z )Z m1dZ 2jx(m)
Z逆变换
c
x(n)
1
X (Z )Z n1dZ
Res[X (Z)Z n1在c内的奇点]
x(n n1) 0
n n1
Z
比值值判 x(n 1)z (n1) x(n) z n
1
左边序列
某圆内 0? Z Rx2
X (z)
n2
x(n)z n
x(n n2) 0
Z
n
根值值判Z
1
lim n
n
x(n) R3x2
§4.1 Z变换及收敛域—2.收敛域
az 1
a2 z 2
...
a n
z
...
1 z 1 (a z) z a
a 1 or ROC : z a
z
X2(z)
x2 (n)zn
n
1
(a
n
)z
n
n
(a1z)m
m1
n0
A (n) A,
X (z) 分解为： 多项式 +
真分式
Y(Z) + N'(Z)/D(Z)
X (Z ) A BZ CZ 2 ... kZ hZ ... Z a Z b
信号中z变换
信号中z变换信号处理中的Z变换是一种重要的分析工具和数学工具，用于解析离散时间信号和系统。
它是时域和频域之间的转换工具，可以将离散时间域信号转换为Z域中的复频率函数。
在掌握Z 变换之前，我们首先需要了解离散时间信号和系统的基本概念。
离散时间信号是在离散时间点上取样的连续时间信号。
在数学上，离散时间信号可以表示为序列的形式，例如{x[n]}或{x(n)}，其中n表示时间的离散取样点，x[n]表示在该时刻的取样值。
离散时间系统是对离散时间信号进行处理或变换的数学操作或函数。
Z变换是对离散时间序列进行分析和处理的重要工具。
它将离散时间序列表示为复频率函数的形式，其中复频率可以是复平面内的任意点。
在Z变换中，离散时间序列可以看作是离散时间信号在Z域中的投影。
Z域中的复频率函数可以提供离散时间序列的频域特性和系统的频率响应等信息。
Z变换的定义如下：X(z) = ∑[x[n]*z^(-n)], n在负无穷到正无穷之间其中，X(z)表示信号x[n]的Z变换，z是复变量，n是离散时间序列的索引。
Z变换的性质和定理是分析离散时间信号和系统的重要工具。
一些常用的Z变换性质和定理如下：1. 线性性质：Z变换是线性的，即对于任意常数a和b以及两个离散时间信号x[n]和y[n]，有X(az[n] + by[n]) = aX(z) +bY(z)。
2. 移位性质：如果对离散时间序列进行延迟或提前操作，Z变换会乘以复杂指数。
即如果x[n]的Z变换为X(z)，那么x[n-k]的Z变换为z^(-k)X(z)。
3. 首值定理：Z变换中的z=1对应于取样序列的初始值。
4. 终值定理：当离散时间序列x[n]在无穷处稳定时，可以通过计算Z变换的极限z→1来得到序列最终处的值。
5. 正弦和余弦定理：正弦信号和余弦信号在Z变换中可以表示为复变量z的多项式形式。
6. 初值定理：如果信号序列x[n]是因果的，那么它的Z变换X(z)在z=∞处收敛。
z变换
1. z平面与s平面的映射关系
微型计算机控制技术
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2.采样控制系统的零、极点
微型计算机控制技术
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3. 采样控制系统稳定的充要条件
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七、采样控制系统的稳态误差
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六、系统的稳定性分析
• 采样控制系统的稳定性是系统分析的前提。 从z平面与s平面的映射入手，讨论z平面与 s平面稳定域的映射关系，进而讨论采样控 制系统的稳定条件及判定方法。
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• 最少拍无波纹系统设计需要满足稳态误差为零的条件、稳 定性条件和无波纹条件。 • 改进的最少拍系统设计可采用阻尼因子法和非最少拍有限 拍控制方法。 • 针对被控对象含有纯滞后环节的情况可采用达林算法。在 使用达林算法过程中，需要注意振铃现象。
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7.2 微机控制系统的设计步骤 一、系统总体方案设计 （一）确定控制任务 （二）硬件软件功能分配与协调 （三）接口设计 （四）通道设计
控制算法选择原则: （五）控制台设计 对于一般简单的生产过程常采用P、PI或 二、微型计算机选择 PID控制； （一）微型计算机系统构成方案选择 对于快速随动系统，可选用最少拍控制； 对具有纯滞后的控制对象，可选用纯滞后补 （二）微型计算机系统性能指标选择 偿或大林控制算法； 三、控制算法设计 对具有时变、非线性特性的控制对象以及难 以建立数学模型的控制对象，可选用模糊控 四、硬件设计 制； 五、软件设计 其他有特殊要求的还可以考虑随机控制、智 能控制等控制算法。 六、系统联调
Z变换知识点范文
Z变换知识点范文Z变换是其变量为离散信号的连续复平面变换。
它在离散系统分析中扮演着重要的角色，具有广泛的应用。
下面是一些关于Z变换的知识点：1.Z变换的定义：Z变换将一个离散序列表示为复平面上的函数，通过对序列各个元素进行加权求和来定义。
给定一个序列x[n]，它的Z变换为X(z)，表示为X(z)=Z{x[n]}。
2.Z变换的收敛域：Z变换中的收敛域是指Z平面上的有效区域，其中Z变换收敛并且定义良好。
对于一个离散序列x[n]，它的Z变换收敛域由序列的性质决定。
3.常见的Z变换公式：Z变换有一些常见的公式，包括前向差分公式、后向差分公式、Z域的微分公式、Z域的积分公式等等。
这些公式可以用来简化复杂的序列计算，方便分析和设计离散系统。
4.Z域和频域之间的关系：Z变换可以将一个离散序列从时间域转换到Z域，相当于从时域到频域的变换。
在Z域中，可以分析序列的频率响应和系统的稳定性等。
5.Z变换的性质：Z变换具有一些重要的性质，包括线性性质、时移性质、尺度性质、卷积定理等。
这些性质可以用于简化Z变换的计算和分析。
6.倒Z变换：倒Z变换是Z变换的逆变换，将一个函数从Z域转换回时域。
通过倒Z变换可以还原离散序列的时间信息。
7.离散传输函数和Z变换：离散系统可以用传输函数来描述，传输函数是输入和输出之间的关系。
通过Z变换可以得到离散传输函数的Z域表达式，从而进行系统的分析和设计。
8.Z变换在离散系统设计中的应用：Z变换在离散系统设计中有广泛的应用，包括信号滤波、频率域分析、系统稳定性分析等。
通过Z变换，可以方便地进行离散系统的建模和分析。
9.Z变换和傅里叶变换的关系：10.递归和非递归系统的Z变换表示：递归系统和非递归系统在Z域中有不同的表示方法。
递归系统的传输函数是有理多项式，而非递归系统的传输函数是多项式。
总之，Z变换是离散信号处理中的重要工具，可以用来描述和分析离散系统。
通过Z变换，可以方便地进行系统的建模、分析和设计，有助于了解离散信号的频率特性、系统的稳定性等。
什么是z变换
什么是z变换
z变换
◆z变换在离散系统中的作用，与拉氏变换在连续系统中的作用非常相似。
￡
若设，并将写成F(Z),则得
F(z)就叫做的z变换，并且以表示的z变换。
在z变换中，只考虑采样时的信号值。因此，f(t)的z变换与f*(t)的z变换有相同的结果。即:
(7-4)
因为F(z)只取决于f(t)在t=kT(k=0,1,2,…)上的数值，所以F(z)的z反变换，只给出了f(t)在采样瞬间的信息。
注意:只要函数z变换的无穷级数F(z)，在z平面某个区域内收敛，则在
应用时，就不需要指出F(z)的收敛域。
例7-2 求下列函数的z变换........
f(t)=0(t＜0)
f(t)=eωt(t≥0)
解：
例7-3 求下列函数的z变换........
f(t)=0(t＜0)
f(t)=sinωt(t≥0)
解：
7
ω/(s2+ω2)
sinωt
zsinωT/(z2-2zcosωT+1)
8
s/(s2+ω2)
cosωt
z(z-cosωt)/(z2-2zcosωT+1)
9
1/(s+a)2
Te-at
TzeaT/(z-eaT)2
10
ω/[(s+a)2+ω2]
e-atsinωt
zeaTsinωT/(z2-2ze-aTcosωt+e-2aT)
⒉部分分式法
当给定某连续函数f(t)的拉氏变换F(s)时，欲求其z变换，可利用本法，因为许多函数F(s)利用部分分式可以化成如下形式：
通过其中的每一项拉氏反变换得到原函数f(t)为：
Z变换
f * t f nT t nT
n 0
其拉氏变换式为
L f * t F * s f nT e nTs
n 0
注意：
（1）z变换是对连续函数f*(t)采样后的采样函数f (S)的拉氏变换, 或用变量正z表示，则对取z正变换f*(t)表示为Z[F*(T)]=F(Z)。所以 f (Z)不是也不可能对连续函数f (t)取z变换。由于z变换只是在采样 点上的信号起作用，所以有时也简写成
用部分式分发求z变换之外,还有z变换的留数计算法。
三、Z反变换 如果已知Z变换式，要求其原函数。这一变换过程通常称作Z反 变换记为Z-1[F(z)]=ƒ*(t)。Z反变换一般有三种方法：因式分解法、 长除法和反演积分法。现分别阐述如下: 1、因式分解法（部分分式法） 先将变换式写成 的希望展开式，最后逐项查表或用计算的方法求其反变换。下面举 例来说明其具体处理方法。 7—3
上式的z变换为 F ( z ) z
a 2 2 s a 1 1 1 1 2 j 1 e jaT z 1 2 j 1 e jaT z 1
(sin aT ) z 1 z sin aT 2 1 (2 cos aT ) z 1 z 2 z 2 z cos aT 1
教学学时：2学时
第三节
Z变换
系统的分析中,采用微分方程和拉氏变换作为数学工具.而在采 样系统中则是用差分方程和z变换来描述与分析系统.所谓z变换,它 是由拉氏变换而来,属于一种线性坐标变换,它将差分方程化为代数 方程.是分析采样系统的主要数学工具。 一、Z变换的定义： f (t)经采样后的采样函数
Z f t nT Z F Z
n
第1章z变换
N 1
RN (n) (n m) (n) (n 1) ... [n (N 1)] m0
4）实指数序列 x(n) anu(n) a 为实数
5）复指数序列
x(n) e( j0 )n en e j0n
en[cos(0n) jsin( 0n)] en cos(0n) jen sin( 0n) 0 为数字域频率
jIm[ z]
零点：z 0
极点：z a,a1
a Re[z] 0 1/a
＊结论：
1 X(z)
x(n) x(n N ) n
则称序列x(n)是周期性序列，且其周期为N。
例： x(n) sin( n) sin[ (n 8)]
4
4
因此，x(n)是周期为8的周期序列
＊讨论一般正弦序列的周期性
x(n) Asin(0n )
x(n N) Asin[0(n N) ] Asin(0n 0N)
2 z变换的收敛域与零极点
对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值 的集合称为X(z)的收敛域。
级数收敛的充要条件：满足绝对可和，即
x(n)zn M
n
令X (z) P(z) Q(z)
收敛域内 不能包含极点
则X(z)的零点：使X(z)=0的点，
即P(z) 0和当Q(z)阶次高于P(z)时 Q(z)
会运用部分分式展开法求z反变换
理解z变换的主要性质
第一章 z变换
时域分析方法 变换域分析方法：
连续时间信号与系统： Laplace变换 Fourier变换
离散时间信号与系统： z变换 Fourier变换
1.1离散时间信号—序列
序列：对模拟信号xa (t) 进行等间隔采样，采样间隔为T，
第十章 z变换
收敛域为|z|>1/2。
10.2 z变换的收敛域
性质1：X(z)的ROC是在z平面内以圆点为中心的圆环。 Im(z) Im(z) Re(z) Re(z) Im(z)
Re(z)
性质2：ROC内不包括任何极点。 Im(z)
在极点处，X(z)为无穷大。
×
Re(z)
性质3：如果x[n]是有限长序列，那么ROC就是整个z 平面，可能去除z=0和/或z=∞。
2
X (re jw )(re jw ) n dw
2 j
Im(z)
X ( z ) z n1dz
积分路径
xa
1 Re(z)
Unit circle
二、部分分式展开法 设X(z)的部分分式展开式具有如下形式：
Ai X ( z) 1 a i z 1 i 1
m
Z { Ai /(1 ai z )}
X 2 ( z)
X 3 ( z)
n
x2 [ n ] z
X 4 ( z)
n n
x3[n]z n
n
[n 1]z n z
ROC :| z | ROC :| z | 0
n
[n 1]z n z -1
Im(z)
x 1 a Re(z) Unit circle
例 考虑信号x[n] = -anu[-n-1]
X ( z ) a u[ n 1]z
n n n n n
a n z nn Nhomakorabea1
a z 1 (a 1 z ) n
n 1 n 0
第二章Z变换讲义教材
[(1 a 2 ) / a 3 ]z 2
因此得出
x ( n ) 1 a a 2 a 2 1 a 2 a 3 1 1 a 1 a n u ( n ) 1 a n 1 u ( n 1 )
２．３ Ｚ变换的性质和定理
１、线性
线性就是要满足比例性和可加性，若
３、左边序列
左边序列只有在n≤ n２时，序列值有值，n＞ n２时， 序列值全为零，即
其Ｚ变换为
x(n) x(n)0
nn2 nn2
n 2
0
n 2
X (z) x(n )z n x(n )z n x(n )z n
n
n
n 1
是Z的正幂级数， 其收敛域为０ <|Z|< RX＋
有限长序列，其收 敛域为有限Z平面
第二章 Ｚ变换
信号与系统的分析方法有时域分析法和变换域 分析法。
连续时间系统中，其变换域方法是拉普拉斯变 换和傅立叶变换；
离散时间系统中，其变换域方法是Z变换和离 散傅立叶变换。对求解离散时间系统而言，Z变换是 个极重要的数学工具，它可以将描述离散系统的差 分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。
❖ 例：求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。
Z [u (n )] z , z 1
| z | 1
Z [u (n 3)] u (n 3) z n z n
n
n3
z 3 1 z 1
z 2 ,
z 1
| z | 1
Z [ x (n )] X ( z ) Z [u (n )] Z [u (n 3)]
<|Z|<∞
若RX-是收敛域的最小半径， 则右边序列Ｚ变换的收敛域
Rx0
Re[z]
第5章Z变换
基本要求
Z变换
1、深刻理解Z变换的定义，收敛域和基本 性质 2、会根据Z变换的定义和性质求一些常用 序列的Z变换 3、深刻理解Z变换与拉普拉斯变换的关系 4、正确理解Z变换的性质的应用条件 5、能用幂级数展开法、部分分式法及留数
法求Z反变换
1
第五章
5.1
5.2
Z变换
Z变换及其收敛域
Z反变换
2
5.1
Z变换及其收敛域
一、由抽样信号的拉氏变换引出Z变换
设xs(t)是连续信号x(t)的理想抽样信号，
则
xs (t ) x(t ) T (t ) x(nT ) (t nT )
n 0
其中T为抽样时间 对上式两边取拉氏变换，得到：
X S ( s) xs (t )e dt
在一个收敛半径Rx2，级数在以原点为中心、
Rx2为半径的圆内绝对收敛
综合此两项，左边序列的收敛域为
jIm[z]
0 z Rx 2
0
Re[z]
16
3、收敛域的形式
双边序列
这类序列是指当n为任意值时，x(n)皆有值的序列，可 看作一个左边序列和一个右边序列之和。 其Z变换为
X ( z)
n
nz
n
z 2 ( z 1)
4、指数序列 a nu(n)
的Z变换
n n
z a u( n ) a u( n ) z
n n 0
(az )
n 0
1 n
当
az
1
1 ，级数收敛
1 z z a u(n ) 1 za 1 az
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例 求F(z)反变换f (t) 。 0.5z F (z) = (z–1)(z–0.5)
单击此处编辑母版标题样式 *
F(z) 0.5 1 1 – 解： = = z z–1 z–0.5 (z–1)(z–0.5)
z – z F(z)= z–1 z–0.5 即 • 单击此处编辑母版副标题样式 k k = 0,1,2 · f ( kT )=1 – 0.5 · · 则
z
3
1 1 e aT z 1
z z e aT
| ze at | > 1
（3）单位脉冲函数
• 单击此处编辑母版副标题样式
f (kT ) (kT )
f (t ) (t )
k 0
F ( z ) f ( kT ) z k 1
2015/10/20 6
2015/10/20
7
（5）正弦函数
单击此处编辑母版标题样式
e jkT e jkT f (kT ) 2j
e jt e jt f (t ) sin t 2j
F ( z ) f (kT ) z
k 0 k
1 1 1 [ ] jT 1 jT 1 2 j 1 e z 1 e z
k 0 k1 1
例 求 的Z变换 • 1(t+2T) 单击此处编辑母版副标题样式
z 2 0 1 Z [ 1 ( t 2 T )] z z [ f ( 0 ) z f ( T ) z ] 解： z 1 z3 z2 z z 1
2
2015/10/20
14
4．位移定理
1 1 = s – s+1 z–e –T
z z • 单击此处编辑母版副标题样式 – F (z)=
z(1–e –T ) = (z–1)(z–e–T )
2015/10/20 10
15:
单击此处编辑母版标题样式
例 求F(s)的z变换F(z)。 1 F (s)= 2 s (s+1) 1 解： F (s)= 2 s (s+1) 1 1 1 = s2 – s + s+1
f(k)
2015/10/20
22
单击此处编辑母版标题样式
2．差分方程 如果方程中除了含有f(k)以外，还有f(k) 描述线性连续系统的数学模型是微分方程， 的差分,则此方程称为差 分方程。 而描述线性离散系统的 数学模型是差分方程。 用差分方程来近似表示微分方程，称为离散 差分方程的一般表达式为： 化。 (n ≥ m)
· · 可知： f (0) = c0 , f (T ) = c1 , f (2T ) = c2 , · · · 得： f (kt)=c0δ(t)+c1δ(t –T)+c2δ(t–2T)+ ·
2015/10/20 18
单击此处编辑母版标题样式 2．部分分式法
将F(z)展开成若干简单的部分分式之和，然后分别 求出部分分式的z反变换，最后根据z变换线性性质求 得原对应序列 。其基本步骤如下： (1)将F(z)除以z，得F(z) /z； • 单击此处编辑母版副标题样式 (2)将F(z) /z展开为部分分式； (3) 将展开的部分分式乘以z，即得到F(z)的部分分式表 示式； (4) 对各部分分式进行z反变换； (5) 写出原序列f(k) 。
k 0 • 单击此处编辑母版副标题样式
|z|>1
2015/10/20 5
单击此处编辑母版标题样式 （2）指数函数
f (t ) e at
F ( z ) f (kT ) z
k 0 k
f (kT ) eakT
1 e
aT
z e
1
2 aT
z e
2
3aT
f (kT ) (t kT )e dt f (kT )e kTs
st k 0 k 0
2015/10/20
2
单击此处编辑母版标题样式 Ts 引入新变量 z e
f (kT )e 则： F ( s ) k 0
kTs
F ( z ) f (kT ) z k
单击此处编辑母版标题样式
若Z[f(t)]=F(z)，则位移定理为：
Z[ f (t )e
例 求te-aT 的Z 变换。
aT
] F ( ze
aT
)
• 单击此处编辑母版副标题样式 aT
解： Z[te–aT
T ze ]= (zeaT–1)2
2015/10/20
15
单击此处编辑母版标题样式 5．初值定理
k
z ( z cos t ) 2 z 2 z cos t 1
8
常用函数的Z变换
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版副标题样式
2015/10/20
9
例 求F(s)的z变换F(z)。
1 F ( s) s( s 1)
单击此处编辑母版标题样式
解：
1 F (s)= s(s+1) z– 1
t z 1 z 1 1
2015/10/20
16
单击此处编辑母版标题样式
四、Z反变换 从函数F *(z)求出原函数f* (t)的过程。 记作： Z -1[ F* (z) ] = f * (t) 由于 F(z) 只含有连续函数 f(t) 在采样时刻的信息， • 单击此处编辑母版副标题样式 因而通过z反变换只能求得连续函数在采样时刻的数 值。求反变换一般有两种方法。
• 单击此处编辑母版副标题样式
k 0
2015/10/20
4
单击此处编辑母版标题样式
(1) 单位阶跃函数
f (t) = 1(t)
f (kT) = 1(kT) =1
F ( z ) f (kT ) z k 1 z 1 z 2 z 3 1 z 1 1 z z 1
nf (k)= =f (k+2 )▽ -2f = [( fk+1 (k)-)+ f(f(k) k-1)] =▽f (k令： ) -△ ▽T f(k-1 一阶前向差分定义为： n 阶后向差分定义为： = 1)] s n-1f (k+1) -△n-1f(k) nf n-1 △ △ f (k) ▽ = ff (k+1 ( k) f= ) – ▽ f n-1 (k )( k)f(k-1) (k )-2 (k1)ff ( k2) ▽ n阶前向差分定义为：
• 单击此处编辑母版副标题样式 z
Tz z – F (z)= + 2 (z–1) z– 1 z–e –T
2015/10/20
11
单击此处编辑母版标题样式 三、Z变换的基本定理
z变换的基本定理为z变换的运算提供了方便。 1. 线性定理 若Z[f1(t)]=F1 (z)， Z[f2(t)]=F2 (z)，则线性定理为：
z 1 sin t z sin t 1 2 • 单击此处编辑母版副标题样式 1 2(cos t ) z z z 2 2 z cost 1
e jt e jt 同理： f (t ) cost 2j
k 0 2015/10/20
F ( z ) f (kT ) z
k 0
F(z)为f*(t)的Z变换，记作：
*(t) ] F ( z ) = Z [ f • 单击此处编辑母版副标题样式
2015/10/20
3
单击此处编辑母版标题样式 二、求Z变换的方法
1．级数求和法
根据定义式展开
F ( z ) f (kT ) z k f (0) z 0 f (T ) z 1 f (2T ) z 2
f * (t) = f (0)δ(t)+ f (T)δ(t –T ) +f(2T)δ(t –2T)+ · · ·
2015/10/20 20
单击此处编辑母版标题样式
例 求F(z)反变换f*(t) 。 (–e-aT)z F (z)= (z–1)(z–e-aT)
解:
(1–e-aT) F(z) 1 – 1 z = (z–1)(z–e-aT) = z – 1 z–e-aT
2015/10/20
17
1．幂级数展开法
单击此处编辑母版标题样式
用长除法把F(z)按降幂展成幂级数，然后求得f(kT)，
即
b0zm + b1zm–1 + · · · + bm F (z)= a0zn +a1zn–1 + · · · + an
(m ≤ n )
按Z-1的升幂级数展开，即
0 1 2
• 单击此处编辑母版副标题样式 F (z)=c +c z–1+c z –2+ · · ·
2015/10/20 1
一、Z变换的定义 单击此处编辑母版标题样式
st 连续函数f(t)的拉氏变换为 F ( s) 0 f (t )e dt
f (t ) (t kT ) 离散函数： f (t ) k 0
对离散函数求拉氏变换
st •) 单击此处编辑母版副标题样式 F (s [ f ( t ) ( t kT )] e dt 0 k 0 0
z z – F(z)= z – 1 z–e-aT • 单击此处编辑母版副标题样式 k= 0,1,2 · · · f * (t )= Σ (1–e-akT )δ(t–kT) k=0 f (kT)=1–e-akT 8
2015/10/20
21
单击此处编辑母版标题样式 五、差分方程及其求解
1.差分的定义
△f(k) 二阶前向差分定义为： 差分： 一阶后向差分定义为： 2f (k) =△[△f(k)] △ ▽f (k) = f(k)- f(k-1) ▽f(k) 离散函数两数之差 … =△[f (k+1) -f(k)] 二阶后向差分定义为： 差分又分为前向差 t 0 k-1 k k+1 单击此处编辑母版副标题样式 =▽ △2 f• k+1 )△ (kf )(k)] f(( k) = ▽ [f ▽ 分和后向差分。