陕西省户县五竹初级中学北师大版九年级上册数学课件：47相似三角形的性质(共17张PPT)
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九年级北师大版数学上册课件：4.7 相似三角形的性质(共24张PPT)
自主解答：解：图 1 的加工方法合理． 设图 1 加工桌面长 x m， ∵FD∥BC，∴Rt△AFD∽Rt△ACB， ∴AF∶AC＝FD∶BC， 即(4－x)∶4＝x∶3， 12 解得 x＝ . 7
设图 2 加工桌面长 y m，如图过点 C 作 CM⊥AB，垂足是点 M，与 GF ∴CN∶CM＝GF∶AB， ∴(CM－y)∶CM＝y∶AB. y· CM ∴AB＝ . CM－y 由面积相等可求得 CM＝2.4，
• 知识点1 相似三角形重要线段的应用 • 【例 1】 现有一块直角三角形木板，它的两条 直角边分别为3 m和4 m．要把它加工成面积最 大的正方形桌面，甲、乙二人加工方法分别如 图1和图2所示．请运用所学知识说明谁的加工 方法符合要求．
• 思路点拨：根据相似三角形的性质，相似三角 形的对应边成比例；相似三角形的对应高的比 等于相似比，求解即可．
2．若 CD 和 C′D′是它们的对应角平分线，△BDC 与△ B′D′C′的关系是
相似
， 理由是： 两角分别相等的两个三
CD BC 角形相似．所以 ＝ ＝ k . C′D′ B′C′
【思考】 若 CD 和 C′D′是它们的对应中线， △BDC 与△B′D′C′ 有怎样的关系？CD 与 C′D′的比是多少？
相似比＝ 面积比
【辨一辨】 1．相似三角形高的比等于相似比．( × ) 2．相似三角形对应角平分线的比等于相似比．( √ ) 3．相似三角形中线的比等于相似比．( × ) 4．两个相似三角形的相似比为 2，则它们的面积比为 4.(√ ) 5．相似三角形周长比等于相似比．( √ ) 6．两相似三角形的面积比等于周长比的平方．( √)
2018/5/28
识记基础
理解重难
1.相似三角形对应线段的比 重点：掌握相似三角形对应线段的 (对应高的比、对应角平分线 比(对应高的比、 对应角平分线的比、 的比、对应中线的比)等于相 对应中线的比)等于相似比． 似比． 难点：理解并掌握相似三角形周长
设图 2 加工桌面长 y m，如图过点 C 作 CM⊥AB，垂足是点 M，与 GF ∴CN∶CM＝GF∶AB， ∴(CM－y)∶CM＝y∶AB. y· CM ∴AB＝ . CM－y 由面积相等可求得 CM＝2.4，
• 知识点1 相似三角形重要线段的应用 • 【例 1】 现有一块直角三角形木板，它的两条 直角边分别为3 m和4 m．要把它加工成面积最 大的正方形桌面，甲、乙二人加工方法分别如 图1和图2所示．请运用所学知识说明谁的加工 方法符合要求．
• 思路点拨：根据相似三角形的性质，相似三角 形的对应边成比例；相似三角形的对应高的比 等于相似比，求解即可．
2．若 CD 和 C′D′是它们的对应角平分线，△BDC 与△ B′D′C′的关系是
相似
， 理由是： 两角分别相等的两个三
CD BC 角形相似．所以 ＝ ＝ k . C′D′ B′C′
【思考】 若 CD 和 C′D′是它们的对应中线， △BDC 与△B′D′C′ 有怎样的关系？CD 与 C′D′的比是多少？
相似比＝ 面积比
【辨一辨】 1．相似三角形高的比等于相似比．( × ) 2．相似三角形对应角平分线的比等于相似比．( √ ) 3．相似三角形中线的比等于相似比．( × ) 4．两个相似三角形的相似比为 2，则它们的面积比为 4.(√ ) 5．相似三角形周长比等于相似比．( √ ) 6．两相似三角形的面积比等于周长比的平方．( √)
2018/5/28
识记基础
理解重难
1.相似三角形对应线段的比 重点：掌握相似三角形对应线段的 (对应高的比、对应角平分线 比(对应高的比、 对应角平分线的比、 的比、对应中线的比)等于相 对应中线的比)等于相似比． 似比． 难点：理解并掌握相似三角形周长
北师大版九年级数学上册4.7相似三角形的性质课件1 (共22张PPT)
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课堂练习(2)
6、如图，已知DE∥BC ，BD=3AD，S△ABC =48 ，求：△ADE的面积。
解：∵ DE∥BC ∴ ∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB ∴ △A DE ∽△ABC ∴ BD=3AD ∴ 相似比k=AD:AB=1:2
∴ S△ADE =1/4 S△ABC =12
如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为
原来的__1_0_0__0_0______倍；
如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为
原来的______1_0________倍。
4、△ABC∽△A′B′C′，AC: A′ C′=4:3。
〔1〕假设△ABC的周长为24cm，那么△A′B′C′的周
长为 18 cm；
边：对应边成比例
角：对应角相等 问：什么是相似比？ 相似比=对应边的比值=
相似三角形对应边上的高
有什么关系呢？
右图△A B C ， AD为 BC 边上的高。
A′
则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得
△A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′ D′ 。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？AD
4.7相似三角形的性质
识别
特征 对应边上的高
课后小结
对应边上的中线
对应角的角平分线
周长 面积
课堂练习(1) (2)
相似三角形的识别
问：相似三角形的识别方法有哪些？
证三组对应 边成比例
证二组对 应角相等
证二组对应 边成比例， 且夹角相等
BACK
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边或延
长线相交,所构成的三角形与原三角形相似
〔2〕与〔1〕的相似比＝____2__:1__________，
课堂练习(2)
6、如图，已知DE∥BC ，BD=3AD，S△ABC =48 ，求：△ADE的面积。
解：∵ DE∥BC ∴ ∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB ∴ △A DE ∽△ABC ∴ BD=3AD ∴ 相似比k=AD:AB=1:2
∴ S△ADE =1/4 S△ABC =12
如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为
原来的__1_0_0__0_0______倍；
如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为
原来的______1_0________倍。
4、△ABC∽△A′B′C′，AC: A′ C′=4:3。
〔1〕假设△ABC的周长为24cm，那么△A′B′C′的周
长为 18 cm；
边：对应边成比例
角：对应角相等 问：什么是相似比？ 相似比=对应边的比值=
相似三角形对应边上的高
有什么关系呢？
右图△A B C ， AD为 BC 边上的高。
A′
则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得
△A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′ D′ 。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？AD
4.7相似三角形的性质
识别
特征 对应边上的高
课后小结
对应边上的中线
对应角的角平分线
周长 面积
课堂练习(1) (2)
相似三角形的识别
问：相似三角形的识别方法有哪些？
证三组对应 边成比例
证二组对 应角相等
证二组对应 边成比例， 且夹角相等
BACK
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边或延
长线相交,所构成的三角形与原三角形相似
〔2〕与〔1〕的相似比＝____2__:1__________，
北师大版九年级上册数学第四章《相似三角形的性质(1)》课件
2x＝1
200 7
(mm)．
答：加工成的矩形零件的边长分别为6070 mm 和
1 200 7 mm.
课 堂 练习
1．两个相似三角形的相似比为 1 , 则对应高
2
的比为_________, 则对应中线的比为_________.
2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的 角平分线的比为______.
它们相似吗？如何证明？
新知探索
探究：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对 应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
对应高的比等于相似比k
它们的对应中线
是否也等于相似比k？
新知探索
问题2：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，分别作 △ABC和△A′B′C′对应中线AD和A′D′．AD和A′D′的比是多少？
分析：本题考查相似三角形性质的应用．解答本题需要设出所
求矩形零件的某一边长，然后借助△AEH∽△ABC求解．
解：设矩形 EFGH 为加工成的矩形零件，边 FG 在 BC
上，则点 E、H 分别在 AB、AC 上，△ABC 的高 AD 与边
EH 相交于点 P，设矩形的边 EH 的长为 x mm.
因为 EH∥BC，所以△AEH∽△ABC.所以AADP＝EBHC. 所以3030－ 002x＝20x0，解得 x＝6700(mm)，
证明：∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠B＝∠B′,
AB BC AB BC
BD1BC,BD1BC,
2
2
BD
1 BC 2
BC
AB
BD 1BC BC AB
2
∴△ABD∽△A′B′D′
AD AB k AD AB
分析：对应中线在哪两个三角形中，
2019年秋北师大版九年级上学期数学课件：4.7 相似三角形的性质(共26张PPT)
5.（台州中考）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、
AC上，且
，则S△ADE∶S四边形BCED的
值为（ B）
6.（南通中考）若△ ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相 似比为1∶2，则△ABC与△DEBC上的中点，连接AM交BD
于点F，则S△BMF∶S△DFA= 1∶4 .
新识探究
如图：
△ ABC∽△ A′B′C′ 相似比为1：2，AD 是BC上高， A′D′是
B′C′上高。
A
D B
C B'
A'
D' C'
（1） △ABD与 △A′B′D′相似吗？说明理由。
AD
A′D′
新识探究
A′ A
解 ：（1）△ABD∽△ A′B′D′
理由： ∵ △ABC∽△ A′B′C′ ∴ ∠B =∠ B′
对应高的比等于_相__似__比_____
对应中线__相__等_ 对应中线的比等__相__似__比___
对应角平分线_相__等_ 对应角平分线的比等于相__似__比___
周长_相__等__
周长的比___相__似__比_________
面积__相__等__
面积的比__相__似__比__的__平__方____
知识点二
3.（张家界中考）已知△ABC与△A1B1C1相似，且面积 比为4∶25，则△ABC与△A1B1C1的相似比为 .
4.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，
DE∥BC，且AD= 周长的比为 .
1 3
AB，则△ADE的周长与△ABC的
点点对接
例1：如图所示，△ABC中，BC=18，高AD=16，它的内 接矩形的两邻边EF∶FM=5∶9，长边MF在BC边上，求 矩形EFMN的面积.
最新北师大版数学九上《相似三角形的性质(1)》教学课件
第四章 图形的相似
第7节 相似三角形的性质（一）
同学们:还记得相似三角形的定义吗?还记得相似 多边形的对应边、对应角有什么关系吗？
• 相似三角形的对应边成比例、对应角相等。
在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对 应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相 似三角形的其他性质.
探究活动一： 探究相似三角形对应高的比.
A A/
B
DE
C
B/
D/ E/
C/
相似三角形性质定理：
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比, 对应中线的比都等于相似比。
∵△ABC∽△A′B′C′
∴
AB AC BC AF AD AE k A' B' A'C' B'C' A' F ' A' D' A' E'
A A/
B F DE
C
B/ F‘ D/ E/
(3)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ (4)据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？
探究活动二： 类比探究相似三角形对应中线的比、 对应角平分线的比
如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD平 分∠BAC，A’D’平分∠B’A’C’；E、E’分别为BC、B’C’的中 点。试探究AD与 A’D‘的比值关系，AE与A’E’呢？
40 x x . 40 60
解得,x=24. 所以正方形PQRS的边长为24cm.
课本例题
练习：（课本108页随堂练习2）
两个相似三角形中一组对应角平分线的长 分别是2cm和5cm，求这两个三角形的相似比。 在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短 的中线是3cm，那么较长的中线多长？
第7节 相似三角形的性质（一）
同学们:还记得相似三角形的定义吗?还记得相似 多边形的对应边、对应角有什么关系吗？
• 相似三角形的对应边成比例、对应角相等。
在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对 应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相 似三角形的其他性质.
探究活动一： 探究相似三角形对应高的比.
A A/
B
DE
C
B/
D/ E/
C/
相似三角形性质定理：
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比, 对应中线的比都等于相似比。
∵△ABC∽△A′B′C′
∴
AB AC BC AF AD AE k A' B' A'C' B'C' A' F ' A' D' A' E'
A A/
B F DE
C
B/ F‘ D/ E/
(3)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ (4)据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？
探究活动二： 类比探究相似三角形对应中线的比、 对应角平分线的比
如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD平 分∠BAC，A’D’平分∠B’A’C’；E、E’分别为BC、B’C’的中 点。试探究AD与 A’D‘的比值关系，AE与A’E’呢？
40 x x . 40 60
解得,x=24. 所以正方形PQRS的边长为24cm.
课本例题
练习：（课本108页随堂练习2）
两个相似三角形中一组对应角平分线的长 分别是2cm和5cm，求这两个三角形的相似比。 在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短 的中线是3cm，那么较长的中线多长？
北师大版数学九年级上：4.7《相似三角形的性质(1)》ppt课件
(1)△ACD与△A'C'D'相似吗?为什么?如果
相似,指出它们的相似比;
(2)如果CD=1.5 cm,那么模型房的房梁立
柱有多高?
解:(1)相似.理由如下:
∵ AC = AB = BC , AC AB BC
∴△ABC∽△A'B'C', ∴∠A=∠C'A'D',
又∵∠ADC=∠A'D'C'=90°,
3
h3
3
（补充例题）如图所示,已知 △ABC∽△A'B'C'.△ABC与△A'B'C'的相似 比为k.
(1)若∠BAD = 1∠BAC,∠B' A'D' = 1∠B' A'C',则 AD AD等于多少?
3
3
AD
(2)若BE = 1 BC, B'E' = 1 B'C',则 AE 等于多少?
3
3
AE
解 : (1) AD AD = k. (2) AF = k.
•
10、低头要有勇气，抬头要有低气。1 9:50:37 19:50:3 719:50 5/10/20 21 7:50:37 PM
•
11、人总是珍惜为得到。21.5.1019:50: 3719:5 0May-2 110-Ma y-21
•
12、人乱于心，不宽余请。19:50:3719 :50:371 9:50M onday, May 10, 2021
九年级数学上 新课标 [北师]
第4章 图形的相似
学习新知
检测反馈
钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图
北师大版九年级数学上册 (相似三角形的性质)图形的相似课件(第1课时)
A．2：3 C．4：9
B．3：2 D．9：4
目标测试
3.如果两个相似三角形对应高的比为5：4，那么这两个相 似三角形的相似比为 5：4 ． 4.如图，△ABC∽△A1B1C1，那么它们的相似比是 2 : 1 ．
目标测试
5.已知一个三角形的三边长分别为5，8，7，则另一个与之相似 的三角形的三边长可以是 10,16,14 ．（任写一组即可）
A1B1 B1C1 A1C1 A1B1
知识讲解
分别作△ABC和△A1B1C1的高CD，C1D，1
△ABC∽△A1B1C，1
C
CD AB k C1D1 A1B1
（相似三角形对应高的比等于相似比）A D
S△ABC
1 AB CD 2
AB CD k 2.
S△A1B1C1
1 2
A1B1
C1D1
课堂总结
本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出 了相似三角形中特殊线段的性质：
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对 应中线的比都等于相似比.
目标测试
1.如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的 对应中线之比是（ B ）
A．1：2 C．1：8
B．1：4 D．1：16
目标测试
2．△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2：3，则对应 边上的高的比等于（ A ）
九年级数学北师版·上册
第四章 图形的相似
相似三角形的性质
第1课时
新课引入 如图，小王依据图纸上的△ABC，以1:2的比例建造了模
型房的房梁△A1B1C1，CD和C1D1分别是它们的立柱.
（1）△ACD与△A1C1D1相似吗？为什么？如果相似， 指出它们的相似比. 相似；三边对应成比例；相似比为1:2. （2）如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
北师大初中数学九上《4.7 相似三角形的性质》PPT课件 (1)
A
若△ADE∽ △ABC,则 ∠DAE=∠BAC, ∠ADE=∠ A BC, ∠AED=∠ACB,
D
E
AD AE DE . AB AC BC
B
E A
若△ABC∽ △DEC,则
C
∠A=∠D, ∠B=∠E,
D
∠ACB=∠DCE,
AB AC BC . DE DC CE
B
C
开启 智慧
内涵与外延
△ACD∽ △ABC
AC BC AB CD.
△CBD∽ △ABC 老师的建议:上面红色字表示出的关系
△ACD∽
△CBD.
式,是几个重要的结论,若能理解记忆 并运用,将会促进能力的提高.
思
例题欣赏P129
考 分
• 如图所示,在等腰△ABC中,底
析A
边BC=60cm,高 AD=40cm,四
边形PQRS是正方形.
关系? • 如图, △ABC∽△A′B′C′,相
A
D B A′
D′ B′
似比是k(如3∶4). • (1)△ABC与△A′B′C′的面
积如何表示?
S ABC
1 AB CD 2
AB CD
S ABC
1 AB CD
AB CD
2
• (2)△ABC与△A′B′C′的面 积的比是多少?
如图, 已知△ABC, DE ∥ BC, 交AB,AC A
或其延长线于D,E,则有如下结论:
DE
结论1:平行于三角形一边直线
截其它两边(或其延长线),所截 得的三角形与原三角形相似;
B
AC
如图:在△ABC中,
BC
如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC.
若△ADE∽ △ABC,则 ∠DAE=∠BAC, ∠ADE=∠ A BC, ∠AED=∠ACB,
D
E
AD AE DE . AB AC BC
B
E A
若△ABC∽ △DEC,则
C
∠A=∠D, ∠B=∠E,
D
∠ACB=∠DCE,
AB AC BC . DE DC CE
B
C
开启 智慧
内涵与外延
△ACD∽ △ABC
AC BC AB CD.
△CBD∽ △ABC 老师的建议:上面红色字表示出的关系
△ACD∽
△CBD.
式,是几个重要的结论,若能理解记忆 并运用,将会促进能力的提高.
思
例题欣赏P129
考 分
• 如图所示,在等腰△ABC中,底
析A
边BC=60cm,高 AD=40cm,四
边形PQRS是正方形.
关系? • 如图, △ABC∽△A′B′C′,相
A
D B A′
D′ B′
似比是k(如3∶4). • (1)△ABC与△A′B′C′的面
积如何表示?
S ABC
1 AB CD 2
AB CD
S ABC
1 AB CD
AB CD
2
• (2)△ABC与△A′B′C′的面 积的比是多少?
如图, 已知△ABC, DE ∥ BC, 交AB,AC A
或其延长线于D,E,则有如下结论:
DE
结论1:平行于三角形一边直线
截其它两边(或其延长线),所截 得的三角形与原三角形相似;
B
AC
如图:在△ABC中,
BC
如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC.
北师大版九年级数学上册课件：4.7相似三角形的性质
∴ △ASR∽△ABC.
S
ER
(两角分别相等的两个三角形相
似)
B
P DQ C
（2）∵ △ASR∽△ABC.
A
∴
S
ER
(相似三角形对应高的比等于相似比)
B
P DQ
C 设正方形PQRS的边长为xcm,
则AE=(40-x)cm,
解得,x=24. 所以正方形PQRS的边长为24cm.
归纳总结
师友归纳
师友相互总结本节课有哪些收获
∵△ABC∽△A′B′C′ ∴
A B F DE
A/
C
B/ F‘ D/ E/
C/
变式拓展探究： 如果把角平分线、中线变为对应角的
三等分线、四等分线、…n等分线，对 应边的三等分线、四等分线、…n等分 线，那么它们也具有特殊关系吗？
你能得到哪些结论？
相似三角形对应角的n等分线的比,对应 边的n等分线的比都等于相似比。
师友释疑:
相Байду номын сангаас三角形对应高的比
相似三角形对应中线的比、对应角平分线 的比
师友探究：
互助探究
相似三角形对应高的比.
(1)试写出△ABC与△A’B’C’的对应边之间
的关系，对应角之间的关系。
(2)△ACD与△A’C’D’相似吗？为什么？如
果相似，指出它们的相似比。
类比探究相似三角形对应中线的比、 对应角平分线的比
在数学的天地里，重要的不是 我 知道什么，而是我 怎么知 道什么。
—— 达哥拉斯
第四章 图形的相似
第7节 相似三角形的性质（一）
教学目标
知识与技能：经历探索相似三角形中对应线段 比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。 利用相似三角形的性质解决一些实际问题. 过程与方法：培养学生的探索精神和合作意识； 通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识. 在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的 思维品质. 情感态度与价值观：在探索过程中发展学生积极的情 感、价值观，体现解决问题策略的多样性.
新北师大版九年级数学上册《相似三角形的性质(一)》课件
A A/
B
DE
C
B/ D/ E/
C/
相似三角形性质定理：
相似三角形对应高的比,对应角平分线 的比,对应中线的比都等于相似比。
∵△ABC∽△A′B′C′
∴ AB AC BC AF AD AE k A' B' A'C' B'C' A'F' A' D' A' E'
A A/
B F DE
C
B/ F‘ D/ E/
2022/5/52022/5/5 • 16、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年5月2022/5/52022/5/52022/5/55/5/2022 17、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
You made my day!
我们，还在路上……
第四章 图形的相似
第7节 相似三角形的性质（一）
回顾与反思 ☞
同学们:还记得相似三角形的定义吗?还记得 相似多边形的对应边、对应角有什么关系吗？
相似三角形的对应边成 比例、对应角相等。
在两个相似三角形中是否只有对应角相等、 对应边成比例这个性质呢？本节课我们将 研究相似三角形的其他性质.
探究活动一： 探究相似三角形对应高的比.
A
S
ER
∴ AE SR
AD BC
(相似三角形对应高的比等
于相似比)
B P D Q C 设正方形PQRS的边长为xcm,
则AE=(40-x)cm,
40 x x
.
40
60
解得,x=24.
所以正方形PQRS的边长为24cm.
三：学以致用
B
DE
C
B/ D/ E/
C/
相似三角形性质定理：
相似三角形对应高的比,对应角平分线 的比,对应中线的比都等于相似比。
∵△ABC∽△A′B′C′
∴ AB AC BC AF AD AE k A' B' A'C' B'C' A'F' A' D' A' E'
A A/
B F DE
C
B/ F‘ D/ E/
2022/5/52022/5/5 • 16、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年5月2022/5/52022/5/52022/5/55/5/2022 17、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
You made my day!
我们，还在路上……
第四章 图形的相似
第7节 相似三角形的性质（一）
回顾与反思 ☞
同学们:还记得相似三角形的定义吗?还记得 相似多边形的对应边、对应角有什么关系吗？
相似三角形的对应边成 比例、对应角相等。
在两个相似三角形中是否只有对应角相等、 对应边成比例这个性质呢？本节课我们将 研究相似三角形的其他性质.
探究活动一： 探究相似三角形对应高的比.
A
S
ER
∴ AE SR
AD BC
(相似三角形对应高的比等
于相似比)
B P D Q C 设正方形PQRS的边长为xcm,
则AE=(40-x)cm,
40 x x
.
40
60
解得,x=24.
所以正方形PQRS的边长为24cm.
三：学以致用
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A
A
SE R
B P DQ C
如图，△ABC的高AD与边SR相交于点E . 设正方
解：
形的边长为x ∵SR∥BC,
mm
.
（相似三角形判定的
∴ △ASR∽△ABC． 预备定理）.
A
∴解得AAx =DE84088(0mxmBS)R.C12x0．（高相的似比三等角于形相的似对比应）.S
E
R
答：加工成的正方形零件的边长为48mm.
求证:1)∠BAD =∠BCG. 2)△DEG∽△CEA .
证明:1) ∵∠BDG=∠A=90°,∠B= ∠ B ,
∴ △BAC∽△BDG .
∴ ∴ ∴
BA BC
BD BG
.
△BBBDAAD∽BBGC△.BCG
.
∴ ∠BAD = ∠BCG.
A
G
F
E
B
D
C
图6
证明: 2) 由1) ∠BCG =∠BAD,
9 6
6 DC
,
∴
DC
66 9
4(cm).
变式3 如图5，PD⊥BC于D, BA⊥PC于
A, 则图中相似三角形共有___6__对.
分析：易证△BAC、△BDG、 △PAG、
△PDC彼此都是相似三角形.
P
AA
G
F
B
D EC
图图5 3
分离基本图 形
变式4 如图6，△BAC中，∠BAC=90 ° GD⊥BC于D, AD交GC于E .
S
AC 2 相似比的平方）
ABC
(以下解略)
性质定理：
小结
1.
相似三角形对应高的比等于相似比
相似三角形对应角分
线的比与相似比有什
2.相似三角么形关周系长?的比等于相似比,
相似三角形对应中线
面积的比的等比于和相相似似比比的有平什方么
关系?
B P DQ C
已知：△ABC 中,∠A=90 °，四边
形DEFG为正方形，G、F分别在AB、AC 上，D、E在BC上.
1、图中有多少个直角三角形？
2、这些直角三角形中哪些三角形是相似的？
答：
1、有4个，他们是 △BAC,△BDG, △FEC,△GAF
A
G
F
2、△BAC,△BDG, △FEC, △GAF彼此都是相似三角形. B
∵∠DEC =∠GEA,
∴△DEC ∽△GEA,
∴
DE EC
EEGA,
∴
DE EG
EC EA
.
∵∠DEG =∠CEA,
∴△DEG∽△CEA .
A
G
F
E
B
D EC
图5
练习 如图7, △BAC中，AB=AC,BD⊥AC
于D.
求证: BC 2 2CD CA.
A
分析:如何处理结论中的2
是解答此题的关键. 根据
练习: (1)△ABC中,MN∥BC,AD⊥BC,
AM MB
3 2
则
MN BC
3
_5____;
AE _3____; AD 5
A
CAMN __3___;
CABC
5
SAMN __9___;
S ABC
25
M EN
BD
C
议一议:
如图,四边形ABCD与四边形A’B’C’D’相似,
且相似比为k,它们周长的比、面积的
C
(A)1：2 (B)1：3 (C)1；4 (D)1：5
变式2 AD是Rt △ABC斜边上的高.
1)已知BD=9cm, AD=6cm,求DC; 2)已知BC=25cm, AC=15cm,求DC.
解1) ∵ △ABC是直角三角形
AD是斜边BC上的高,
∴ △BAD∽△ACD.
∴
BD AD
AD DC
,
即
例.如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，
AE AD 3 已知△ABC的面积为100cm2 ，
AC AB 5
A 求四边形BCDE的面积.
解：∵ AE AD 3 ，∠A=∠A AC AB 5
E D
∴ (△两边AD对E∽应△成比AB例C ,且夹角相B等,两三角形相似C)
∴
S ADE
AE 2 （相似三角形面积的比等于
D
CB
CA
,
或
1 2
CB
CA
.
2CD CB CD CB
考虑作一条线段等于2CD
B
C
图7
或 1 BC 或2CA, 再证明两个三角形相似. 2
例.判断正误： 1）如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的
10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍。 2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，
那么它的三边也都扩大为原来的9倍。
2、若两个相似三角形的相似比是3:5,其中第一
个三角形的周长为21cm,则第二个三角形的
周长为 35 cm.
3、如果把一个三角形每条边的长都扩大为原来
的5倍，那么它的周长扩大为原来的5 倍，
而面积扩大为原来的 25 倍。 4、如图，已知△ABC∽△ADE，
且BC=2DE，则△ADE与四
A D
E
边形BCDE的面积比为（ B ） B
比与相似比如成有果五什把边么C四形关边，系形你? 换刚
D
才的结论是否仍 然成立呢? D’
C’
A
B A’
B’
相似多边形的性质: 相似多边形的周长比等于 相似比 ， 面积比等于 相似比_的___平__方___.
如图, △ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC＝120mm，高 AD＝80mm，要把它加工成正 方形零件，使正方形的一边在 BC上，其余两 个顶点分别在 AB、AC 上 ，这个正方形零件 的边长是多少？
D EC 图2
小结
相似多边形的性质: 相似三角形对应高的比,周长的比都等于
相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形周长的比等于相似比. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.
自我测试
1、两个矩形相似,它们的对角线之比是1:3,那么
它们的相似比是1_:_3_,周长比是____,面积比是____
A
SE R
B P DQ C
如图，△ABC的高AD与边SR相交于点E . 设正方
解：
形的边长为x ∵SR∥BC,
mm
.
（相似三角形判定的
∴ △ASR∽△ABC． 预备定理）.
A
∴解得AAx =DE84088(0mxmBS)R.C12x0．（高相的似比三等角于形相的似对比应）.S
E
R
答：加工成的正方形零件的边长为48mm.
求证:1)∠BAD =∠BCG. 2)△DEG∽△CEA .
证明:1) ∵∠BDG=∠A=90°,∠B= ∠ B ,
∴ △BAC∽△BDG .
∴ ∴ ∴
BA BC
BD BG
.
△BBBDAAD∽BBGC△.BCG
.
∴ ∠BAD = ∠BCG.
A
G
F
E
B
D
C
图6
证明: 2) 由1) ∠BCG =∠BAD,
9 6
6 DC
,
∴
DC
66 9
4(cm).
变式3 如图5，PD⊥BC于D, BA⊥PC于
A, 则图中相似三角形共有___6__对.
分析：易证△BAC、△BDG、 △PAG、
△PDC彼此都是相似三角形.
P
AA
G
F
B
D EC
图图5 3
分离基本图 形
变式4 如图6，△BAC中，∠BAC=90 ° GD⊥BC于D, AD交GC于E .
S
AC 2 相似比的平方）
ABC
(以下解略)
性质定理：
小结
1.
相似三角形对应高的比等于相似比
相似三角形对应角分
线的比与相似比有什
2.相似三角么形关周系长?的比等于相似比,
相似三角形对应中线
面积的比的等比于和相相似似比比的有平什方么
关系?
B P DQ C
已知：△ABC 中,∠A=90 °，四边
形DEFG为正方形，G、F分别在AB、AC 上，D、E在BC上.
1、图中有多少个直角三角形？
2、这些直角三角形中哪些三角形是相似的？
答：
1、有4个，他们是 △BAC,△BDG, △FEC,△GAF
A
G
F
2、△BAC,△BDG, △FEC, △GAF彼此都是相似三角形. B
∵∠DEC =∠GEA,
∴△DEC ∽△GEA,
∴
DE EC
EEGA,
∴
DE EG
EC EA
.
∵∠DEG =∠CEA,
∴△DEG∽△CEA .
A
G
F
E
B
D EC
图5
练习 如图7, △BAC中，AB=AC,BD⊥AC
于D.
求证: BC 2 2CD CA.
A
分析:如何处理结论中的2
是解答此题的关键. 根据
练习: (1)△ABC中,MN∥BC,AD⊥BC,
AM MB
3 2
则
MN BC
3
_5____;
AE _3____; AD 5
A
CAMN __3___;
CABC
5
SAMN __9___;
S ABC
25
M EN
BD
C
议一议:
如图,四边形ABCD与四边形A’B’C’D’相似,
且相似比为k,它们周长的比、面积的
C
(A)1：2 (B)1：3 (C)1；4 (D)1：5
变式2 AD是Rt △ABC斜边上的高.
1)已知BD=9cm, AD=6cm,求DC; 2)已知BC=25cm, AC=15cm,求DC.
解1) ∵ △ABC是直角三角形
AD是斜边BC上的高,
∴ △BAD∽△ACD.
∴
BD AD
AD DC
,
即
例.如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，
AE AD 3 已知△ABC的面积为100cm2 ，
AC AB 5
A 求四边形BCDE的面积.
解：∵ AE AD 3 ，∠A=∠A AC AB 5
E D
∴ (△两边AD对E∽应△成比AB例C ,且夹角相B等,两三角形相似C)
∴
S ADE
AE 2 （相似三角形面积的比等于
D
CB
CA
,
或
1 2
CB
CA
.
2CD CB CD CB
考虑作一条线段等于2CD
B
C
图7
或 1 BC 或2CA, 再证明两个三角形相似. 2
例.判断正误： 1）如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的
10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍。 2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，
那么它的三边也都扩大为原来的9倍。
2、若两个相似三角形的相似比是3:5,其中第一
个三角形的周长为21cm,则第二个三角形的
周长为 35 cm.
3、如果把一个三角形每条边的长都扩大为原来
的5倍，那么它的周长扩大为原来的5 倍，
而面积扩大为原来的 25 倍。 4、如图，已知△ABC∽△ADE，
且BC=2DE，则△ADE与四
A D
E
边形BCDE的面积比为（ B ） B
比与相似比如成有果五什把边么C四形关边，系形你? 换刚
D
才的结论是否仍 然成立呢? D’
C’
A
B A’
B’
相似多边形的性质: 相似多边形的周长比等于 相似比 ， 面积比等于 相似比_的___平__方___.
如图, △ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC＝120mm，高 AD＝80mm，要把它加工成正 方形零件，使正方形的一边在 BC上，其余两 个顶点分别在 AB、AC 上 ，这个正方形零件 的边长是多少？
D EC 图2
小结
相似多边形的性质: 相似三角形对应高的比,周长的比都等于
相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形周长的比等于相似比. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.
自我测试
1、两个矩形相似,它们的对角线之比是1:3,那么
它们的相似比是1_:_3_,周长比是____,面积比是____