2020高考数学(理)一轮复习课时作业24解三角形应用举例 含解析
2019版数学一轮高中全程复习方略课时作业24解三角形应用举例+Word版含解析.docx
课时作业24解三角形应用举例［授课提示：对应学生用书第218页］一、选择题1. （2018-武汉三中月考）如图，两座灯塔力和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔/在观察站南偏 西40。
方向上，灯塔〃在观察站南偏东60。
方向上，则灯塔/在灯塔〃的（）A. 北偏东10。
方向上B. 北偏西10。
方向上C ・南偏东80。
方向上D.南偏西80。
方向上解析：由条件及题图可知，ZA = ZABC=40°f 因为ZBCD=60。
,所以ZCBD = 30。
，所以ZDB4 = 10。
,因此灯塔/在灯塔B 南偏西80。
方向上.答案：D2•如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km, 速度为1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30。
，经过1 min 后乂看到山顶 的俯角为75。
，则山顶的海拔高度为（精确到0」km ）（）A. 11.4 kmC ・ 6.5 kmD ・ 5.6 km解析:AB = 1 000X 1 000X 60— ，・ AB ・ ano-50000 ••5C_sin45o ，sin30— 3^2 •I 航线离山顶 〃 学°Xsin75°al 1.4 km.・・・山高为18-11.4=6.6 km. 答案：B3.某船开始看见灯塔在南偏东30。
方向，后来船沿南偏东60。
的方向航行15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（）A. 5 kmB. 10 kmC ・ 5、/3 kmD ・ 5y ［2 km解析：作出示意图（如图），点/为该船开始的位置，点3为灯塔的位置，点 C 为该船后来的位置，所以在△ ABC 中，有Z 必C=60。
一30。
= 30。
，5=120°, AC=15,北东ill. B.由正弦定理，得sinl20° = sin30°'15X*即BC=p~=5羽，即这时船与灯塔的距离是5筋km.2答案：C4.在四边形ABCD中，Z5=ZC= 120°, /B=4, BC=CD=2,则该四边形的面积等于（）A. 7^3B. 6^3C.5^3D.V3解析：如图，取中点G,连接QG,则DG//BC, ZAGD=\20°・分别过C作QG的垂线，可求得BE=CF=书,DG=4, 所以四边形面积s=S^AGD + S四边形G〃cQ=*GXDGXsinl20o+*X（DG + BC）X BE=5y[3.答案：C5.如图，在离地面高400 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15。
2020届高考数学一轮复习第四篇三角函数与解三角形专题4.4三角函数的图像和性质练习(含解析)
专题4.4 三角函数的图象与性质【考试要求】1.能画出三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质. 【知识梳理】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )【微点提醒】 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√【解析】 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条.(2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 【教材衍化】2.(必修4P46A2，3改编)若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2【答案】 A【解析】 最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 3.(必修4P47B2改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )【解析】 由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )， 所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 【真题体验】4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2【答案】 C【解析】 由题意T ＝2π2＝π.5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B.1C.35D.15【答案】 A【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________. 【答案】 －π6【解析】 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 【考点聚焦】考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 【答案】(1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【解析】 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 【规律方法】1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式. 2.简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z 【解析】 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， 所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 【规律方法】 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π【解析】 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π.考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z【解析】 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c【答案】 A【解析】 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π【答案】 A【解析】 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.【规律方法】1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( ) A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增 (2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)(一题多解)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.【答案】 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32【解析】 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32. 考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( )A.－π6B.π6C.－π3D.π3【答案】 (1)B (2)A【解析】 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ).∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.【规律方法】 1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B.关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5 【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33， 所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. (2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω(k ∈Z )，所以ω＝2k ＋1(k ∈Z ). 又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9. 【规律方法】1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C.π D.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 【答案】 (1)C (2)D【解析】 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z . f (x )＝sin x cos x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确. C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x ＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.【反思与感悟】1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.【易错防范】1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.3.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k ∈Z .【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π【答案】 C【解析】 ∵y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π. 2.(2019·石家庄检测)若⎝⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8 【答案】 C【解析】 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6. 3.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C.2D.3【答案】 B【解析】 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 4.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2【答案】 C【解析】 依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2. 5.若f (x )为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上满足：对任意x 1<x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则f (x )可以为( ) A.f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2 B.f (x )＝|sin(π＋x )| C.f (x )＝－tan xD.f (x )＝1－2cos 22x 【答案】 B 【解析】 ∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2＝－sin x 为奇函数，∴排除A ；f (x )＝－tan x 为奇函数，∴排除C ；f (x )＝1－2cos 22x ＝－cos 4x 为偶函数，且单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2，k π2＋π4(k ∈Z )，排除D ；f (x )＝|sin(π＋x )|＝|sin x |为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增. 二、填空题6.(2019·烟台检测)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________. 【答案】 5π6【解析】 因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6. 7.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 【解析】 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， 得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )， 所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ). 8.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.【答案】 23【解析】 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 三、解答题9.(2018·北京卷)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ， 所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6. 要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 故实数m 的最小值为π3. 10.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 【答案】见解析【解析】(1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )【答案】 D【解析】 因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ).12.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A.ω＝23，φ＝π12B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24 【答案】 A【解析】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )， 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 13.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ) 【解析】 因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 14.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1. (2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π. 又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2. ∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2， ∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23. 【新高考创新预测】15.(思维创新)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.【答案】 π2【解析】 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2.。
一轮复习课时训练§4.5：解三角形应用举例
第四章§5：解三角形应用举例(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间50钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为A．16 B．17 C．18 D．192．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 3 km，那么x的值为A． 3 B．23C．3或2 3 D．33．台风中心从A地以每小时v千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，城市B处在危险区内的时间为1小时，则v 等于A．10 B．20C．25 D．304．如图，在山脚测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为______ mA．1 000 B．1 0002C．1 000 3 D．2 0005．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为A．20(2＋6)海里/小时B．20(6－2)海里/小时C．20(6＋3)海里/小时D．20(6－3)海里/小时二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了20分钟，从D沿着DC走到C用了30分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为___米．7．在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30 m，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进10 3 m，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为________．8．如图所示，三座建筑物AB，CD，EF在同一竖直平面内，在建筑物CD顶端观察B，F两点俯角都为60°，且AC＝4，CE＝2，则BF的值________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分）2010年8月23日，宁夏中卫市美利工业园区内的三雅精细化工厂发生爆炸，宁夏中卫市消防支队官兵迅速赶到现场安排了两支水枪，现场的示意图如右，D是着火点，A，B分别是水枪位置，已知AB＝152米，在A处看到着火点的仰角为60°，∠ABC＝30°，∠BAC＝105°，求两支水枪的喷射距离至少是多少？10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）如图，在某港口A处获悉，其正东方向20海里B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30°据港口海里的C处，救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船．(1)求接到救援命令时救援船距渔船的距离；(2)试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(已知cos49°＝21 7)参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：如图，由题意知AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos ∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos120°＝4＋9＋6＝19，∴BC ＝19.答案：D2．解析：如图，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°， 由正弦定理BC sin ∠CAB ＝AC sin30°，得∠CAB ＝60°或120°.当∠CAB ＝60°时，∠ACB ＝90°，AB ＝23；当∠CAB ＝120°时，∠ACB ＝30°，AB ＝ 3.答案：C3．解析：如图，BD ＝BE ＝30时，DE 为台风影响城市B 的距离． 又∵∠BAE ＝45°，AB ＝40，∴CB ＝202，∴DE ＝2CE ＝2BE 2－BC 2＝2900－800＝20.∴v ＝20.答案：B4．解析：DC ＝ASsin ∠SAC ＝1 000sin30°＝500(m)．又在△ASB 中，∠BAS ＝15°，∠ABS ＝30°，AS ＝1 000，∴由正弦定理得BS ＝ASsin15°sin30°＝2 000sin15°. 在Rt △BSD 中，BD ＝BSsin75°＝2 000sin15°sin75°＝2 000sin15°cos15°＝500(m)， ∴BC ＝DC ＋BD ＝1 000(m)．答案：A5．解析：由题意知SM ＝20，∠SNM ＝105°，∠NMS ＝45°，∴∠MSN ＝30°，∴MN sin30°＝20sin105°， ∴MN ＝10sin105°＝10(6－2)， ∴货轮航行的速度v ＝10(6－2)12＝20(6－2)海里/小时． 答案：B二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：由已知得CD ＝1 500，OD ＝1 000，∠CDO ＝60°，由余弦定理得OC 2＝OD 2＋DC 2－2OD·CD·cos ∠CDO ＝1 750 000， ∴OC ＝5007.答案：50077．解析：如图，依题意有PB ＝BA ＝30，PC ＝BC ＝10 3.在三角形BPC 中，由余弦定理可得cos2θ＝(103)2＋302－(103)22×103×30＝32， 所以2θ＝30°，4θ＝60°，在三角形PCD 中可得PD ＝PC·sin4θ＝103·32＝15(m)． 答案：15 m8．解析：由已知得∠BDC ＝∠FDC ＝30°，又∵AC ＝4，CE ＝2，∴BD ＝8，DF ＝4.则由余弦定理得BF 2＝BD 2＋DF 2－2BD·DF·cos ∠BDF ＝64＋16－32＝48. ∴BF ＝4 3.答案：43三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分）解：在△ABC 中，可知∠ACB ＝45°，由正弦定理得：AB sin ∠ACB ＝AC sin ∠ABC，解得AC ＝15. 又∵∠CAD ＝60°，∴AD ＝30，CD ＝153，sin105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24， 由正弦定理得：AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC，解得BC ＝15(6＋2)2， 由勾股定理可得BD ＝BC 2＋CD 2＝155＋ 3.综上可知两支水枪的喷射距离至少分别为30米，155＋3米．10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)由题意得：△ABC 中，AB ＝20，AC ＝10，∠CAB ＝120°， ∴CB 2＝AB 2＋AC 2－2AB·ACcos ∠CAB ，即CB 2＝202＋102－2×20×10cos120°＝700，BC ＝107， 所以接到救援命令时救援船距渔船的距离为107海里．(2)△ABC 中，AB ＝20，BC ＝107，∠CAB ＝120°， 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠CAB， 即20sin ∠ACB ＝107sin ∠120°， ∴sin ∠ACB ＝217. ∵cos49°＝sin41°＝217， ∴∠ACB ＝41°，故救援船应沿北偏东71°的方向救援．。
(江苏专用)高考数学一轮复习 第五章 三角函数、解三角形 第24课 二倍角的三角函数教师用书-人教版
第24课 二倍角的三角函数[最新考纲]内容要求AB C 二倍角的正弦、余弦及正切√1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．二倍角公式的变形及逆用 (1)公式C 2α的变形： ①sin 2α＝12(1－cos 2α)；②cos 2α＝12(1＋cos 2α)．(2)公式的逆用：①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2； ②sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对∀α∈R ，sin 2α＝2sin α均不成立．( ) (2)sin2π8－cos 2π8＝cos π4＝22.( ) (3)sin α＋cos α＝1＋sin 2α.( ) (4)等式1＋cos α＝2sin 2α2对∀α∈R 均成立．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．下列各式中值为32的是________．(填序号) ①2sin 15°cos 15°；②cos 215°－sin 215°；③2sin 215°－1；④sin 215°＋cos 215°. ② [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32，2sin 215°－1＝－cos 30°＝－32， sin 215°＋cos 215°＝1.]3．若sin α＝255，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan 2α＝________.－43 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝255，∴cos α＝1－sin 2α＝55， ∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43.] 4．(2017·某某模拟)若tan α＝3，则sin 2α1＋cos 2α＝________.3 [sin 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α2cos 2α＝tan α＝ 3.] 5．(教材改编)函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________．－2 [函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.]应用倍角公式求值(2017·某某模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． [解] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2， ∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3·sin π3＝12.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π. 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.[规律方法] 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．如本题中⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，从而先利用诱导公式变换函数名，进而逆用二倍角公式求值．[变式训练1] (2017·某某、某某二模)已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值. 【导学号：62172133】 [解] (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2.(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2sinπ6＝43＋310.应用倍角公式化简(1)化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(1)22cos α[原式＝2sin αcos α－2cos 2α22sin α－cos α＝22cos α.](2)原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin 22x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .[规律方法]1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练2] 化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α＝________.12 [法一：原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.]三角变换的简单应用已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值. 【导学号：62172134】[解] (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．[变式训练3] 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．[解](1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32.因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．[思想与方法]1．三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换．2．利用三角函数值求角要考虑角的X 围．3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决．[易错与防X]1．利用辅助角公式a sin x ＋b cos x 转化时，一定要严格对照和差公式，防止弄错辅助角．2．计算形如y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的X 围和x 的X 围混淆．课时分层训练(二十四)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于________．16 [因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.]2．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.【导学号：62172135】3 [∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.]3．(2016·全国卷Ⅲ改编)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝________.45 [∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ. 又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.]4．已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.－75[cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α.∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45.∴原式＝－75.]5．(2017·某某模拟)已知sin(α－45°)＝－210且0°<α<90°，则cos 2α的值为________. 【导学号：62172136】725 [∵sin(α－45°)＝－210， ∴sin α－cos α＝－15，∴2sin αcos α＝2425，∴sin α＋cos α＝1＋sin 2α＝75，∴sin α＝35，cos α＝45.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725.]6．(2016·某某高考改编)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是________．π [法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.]7．(2017·某某模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________. 【导学号：62172137】－78 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－78.]8．化简2＋2cos 8＋21－sin 8＝________. －2sin 4 [2＋2cos 8＋21－sin 8 ＝21＋cos 8＋21－2sin 4cos 4＝2×2cos 24＋2sin 4－cos 42＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.] 9．(2017·某某模拟)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为________．－1718 [∵3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴3×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α≠0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，即sin α＋cos α＝26， ∴sin 2α＝－3436＝－1718.]10．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝______________.2－156[∵cos 4α－sin 4α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．∴sin 2α＝53. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝cos 2αcos π3－sin 2αsin π3 ＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53 ＝2－156.] 二、解答题11．(2017·某某期中)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期； (2)若f (x )＝－1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x 的值．[解](1)因为f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2＝32sin 2x －cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )＝－1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝－1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12. 12．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值； (2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. [解](1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4 ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α. 又因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－45， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12×35－32×45 ＝10＋32－4620. B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x 2(x ∈R )的最大值等于________． 92 [由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2≤94＋4＋2＝92.] 2．如图241，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________．图241 513 [由题意得|OB |＝|OC |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513， ∴3cos 2α2－sin α2·cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.] 3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值． [解]∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13＞0， ∴0＜α＜π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＞0， ∴0＜2α＜π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－3π4. 4．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域． [解] (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. 故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.。
2020版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第1讲课后作业理含解析
第3章 三角函数、解三角形 第1讲A 组 基础关1.集合{α⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当＝2n (n ∈)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时上式表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当＝2n ＋1(n ∈)时，2n π＋5π4≤α≤2n π＋3π2，此时上式表示的范围与5π4≤α≤3π2表示的范围一样.2.下列各选项中正确的是( ) A.sin300°>0B ．cos(－305°)<0 C.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3>0D ．sin10<0答案 D解析 因为300°＝360°－60°， 所以300°是第四象限角，故sin300°<0； 因为－305°＝－360°＋55°，所以－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0； 因为－22π3＝－8π＋2π3所以－22π3是第二象限角，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3<0.因为3π<10<7π2，所以10是第三象限角， 所以sin10<0.3.若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A.sin α<tan α<cos α B ．cos α<sin α<tan α C.sin α<cos α<tan α D ．tan α<sin α<cos α答案 C解析 作出α的正弦线MP ，余弦线OM 和正切线AT ，如图所示．由图可知MP <OM <AT ，所以sin α<cos α<tan α.4.若α＝·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(，m ∈)，则角α与β的终边的位置关系是( ) A.重合 B ．关于原点对称 C.关于轴对称 D ．关于y 轴对称答案 C解析 θ与－θ的终边关于轴对称，α与θ终边相同，β与－θ终边相同，所以α与β的终边关于轴对称.5.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是( ) A.1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错误；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错误；③正确；由于sinπ6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错误；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错误．综上可知只有③正确.6.点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 答案 A解析 由题意得2π3的终边与单位圆的交点是Q ，由任意角三角函数的定义可知，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.7.已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A.－12 B ．－32 C.12 D.32答案 C解析 由点P (－8m ，－6sin30°)在角α的终边上，且cos α＝－45，知角α的终边在第三象限，则m >0，又cos α＝－8m8m 2＋9＝－45，所以m ＝12.8.－2019°角是第________象限角，与－2019°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________．答案 二 141° －219°解析 因为－2019°＝－6×360°＋141°，所以－2019°角的终边与141°角的终边相同．所以－2019°角是第二象限角，与－2019°角终边相同的最小正角是141°.又141°－360°＝－219°，故与－2019°角终边相同的最大负角是－219°.9.(2018·北京通州区一模)在平面直角坐标系Oy 中，角α以O 为始边，终边位于第四象限，且与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，则sin α＝________.答案 －32解析 ∵角α以O 为始边，终边位于第四象限，且与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，∴y ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32，∴sin α＝y ＝－32.10.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．答案 (－2,3]解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. B 组 能力关1.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A.第一象限角 B ．第二象限角 C.第三象限角 D ．第四象限角答案 B解析 因为θ是第三象限角，所以2π＋π<θ<2π＋3π2，∈，所以π＋π2<θ2<π＋3π4，∈，所以θ2为第二或第四象限角，又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，所以cos θ2＜0，所以θ2是第二象限角. 2.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )A.π3B.π2 C.3 D. 2 答案 C解析 设圆的半径为R ，由题意可知，圆内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长为3R .所以该圆弧所对圆心角的弧度数为3R R＝ 3.3.已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( ) A.若α，β是第一象限的角，则cos α>cos βB.若α，β是第二象限的角，则tan α>tan βC.若α，β是第三象限的角，则cos α>cos βD.若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 答案 D解析 由三角函数线可知选D.4.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式：弧田面积＝12(弦×矢＋矢×矢)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为2π3，弦长为40 3 m 的弧田．其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为________平方米．(其中π≈3，3≈1.73)( )A.15 B ．16 C ．17 D ．18 答案 B解析 因为圆心角为2π3，弦长为40 3 m ，所以圆心到弦的距离为20，半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为12×(403×20＋20×20)＝4003＋200，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为12×2π3×402－12×20×403＝1600π3－4003，因此两者之差为1600π3－4003－(4003＋200)≈16.5.已知角α的终边经过点P (，－2)(≠0)，且cos α＝36，则sin α＋1tan α的值是________．答案 －66＋5或－66－ 5解析 ∵P (，－2)(≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36，∴cos α＝x x 2＋2＝36. ∵≠0，∴＝±10. ∴r ＝2 3.当＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数的定义，有sin α＝－223＝－66，1tan α＝10－2＝－5，∴sin α＋1tan α＝－66－ 5.当＝－10时，同理可求得 sin α＋1tan α＝－66＋ 5.6.已知圆O 与直线l ′相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l ′向右，Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是________．答案 S 1＝S 2解析 如图所示，因为直线l ′与圆O 相切，所以OA ⊥AP ，设AQ ︵的长为l ，所以S 扇形AOQ ＝12·l ·r ＝12·l ·OA ，S △AOP ＝12·OA ·AP ，因为l ＝AP ，所以S 扇形AOQ ＝S △AOP ，即S 扇形AOQ －S 扇形AOB ＝S △AOP －S 扇形AOB ， 所以S 1＝S 2.。
2020年新高考数学复习实际问题中的解三角形问题专题解析
无解
一解
两解
一解
一解
无解
7.三角形常用的面积公式
1
1
1
1
abc
(1)S＝2a·ha(ha 表示 a 边上的高)．(2)S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA＝ 4R .
1 (3)S＝2r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
应用举例: 类型一、测量高度问题
【例 1】如图，一山顶有一信号塔 CD （ CD 所在的直线与地平面垂直），在山脚 A 处测得塔尖 C 的仰角为 ，沿倾斜角为 的山坡向上前进 l 米后到达 B 处，测得 C 的仰角为 .
3 海里.
(1)求 两点间的距离；(精确到 0.01)
(2)某一时刻，我国一渔船在 点处因故障抛锚发出求教信号.一艘 国舰艇正从点 正东 10 海里的点 处以
18 海里/小时的速度接近渔船，其航线为
(直线行进)，而我东海某渔政船正位于点 南偏西 方向
20 海里的点 处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行 8 海里至点 处，再折向点 直线航行，航
实战演练:
1．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在 A 处测得山顶 P 在北偏东150 BAC 150 方向上，匀速向北航
行 20 分钟到达 B 处，测得山顶 P 位于北偏东 600 方向上，此时测得山顶 P 的仰角 600 ，若山高为 2 3 千米，
2020版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时作业24课件文新人教A版
(2)由余弦定理可得(2 3)2＝a2＋22－2×2acos120°＝a2＋2a＋4， 又 a>0，所以解得 a＝2，所以 S△ABC＝12absinC＝ 3，所以△ABC 的面积为 3。
能力提升组
13．在△ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 S△
ABC＝2 3，a＋b＝6，acosB＋c bcosA＝2cosC，则 c 等于(
12．(2019·惠州市调研考试)已知△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0。
(1)求角 C 的大小； (2)若 b＝2，c＝2 3，求△ABC 的面积。
解 (1)因为 2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0， 所以由正弦定理可得 2cosC(sinAcosC＋sinCcosA)＋sinB＝0， 所以 2cosCsin(A＋C)＋sinB＝0， 即 2cosCsinB＋sinB＝0， 又 0°<B<180°，所以 sinB≠0，所以 cosC＝－12， 又 0°<C<180°，所以 C＝120°。
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析 由已知11＋＋ccooss22CB＝22ccooss22CB＝ccooss22BC＝bcccoossCB，所以ccoossCB＝bc或ccoossCB ＝0，即 C＝90°或ccoossCB＝bc。当 C＝90°时，△ABC 为直角三角形。当ccoossCB＝ bc时，由正弦定理，得bc＝ssiinnBC，所以ccoossCB＝ssiinnBC，即 sinCcosC＝sinBcosB， 即 sin2C＝sin2B。因为 B，C 均为△ABC 的内角，所以 2C＝2B 或 2C＋2B ＝180°，所以 B＝C 或 B＋C＝90°，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 故选 D。
2020届高三理数一轮讲义：4.7-解三角形应用举例(含答案)
第7节解三角形应用举例知识梳理1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.[微点提醒]1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)东北方向就是北偏东45°的方向.()(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( ) (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )2.如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A.50 2 mB.50 3 mC.25 2 mD.2522 m3.如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一条直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB ＝________.4.(2019·雅礼中学月考)如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东80°D.南偏西80°5.(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________.6.(2018·福州模拟)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin ∠BAC＝223，AB＝32，AD＝3，则BD的长为________.考点一求距离、高度问题角度1测量高度问题【例1－1】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.【训练1】如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB等于()A.5 6B.15 3C.5 2D.15 6角度2 测量距离问题【例1－2】 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC ，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 km ，AC ＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B 点出发到达C 点)【训练2】 海轮“和谐号”从A 处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A 处北偏东45°的方向，且与A 相距10海里的C 处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为________小时.考点二 测量角度问题【例2】 已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？⎝ ⎛⎭⎪⎫参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°＝3314【训练3】 如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 等于( )A.30°B.45°C.60°D.75°考点三 正(余)弦定理在平面几何中的应用【例3】 (2019·洛阳二模)如图，已知扇形的圆心角∠AOB ＝2π3，半径为42，若点C 是AB ︵上的一动点(不与点A ，B 重合).(1)若弦BC ＝4(3－1)，求BC ︵的长；(2)求四边形OACB 面积的最大值.【训练4】 (2019·成都诊断)如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝π2，B ＝2π3，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝2π3，EC ＝7.(1)求sin ∠BCE 的值；(2)求CD 的长.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为()A. 6 kmB. 2 kmC. 3 kmD.2 km2.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B 不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()A.①②B.②③C.①③D.①②③3.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A.102海里B.103海里C.203海里D.202海里4.(2019·深圳模拟)一架直升飞机在200 m高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°，则塔高为()A.4003m B.40033m C.20033m D.2003m5.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A.240(3－1)mB.180(2－1)mC.120(3－1)mD.30(3＋1)m二、填空题6.如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.7.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.8.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________.三、解答题9.如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的高度为多少米？(取2＝1.4，3＝1.7)10.在△ABC中，A＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C 处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为()A.210(6＋2)米B.1406米C.2102米D.20(6－2)米12.校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌时长为50 s ，升旗手应以________m/s 的速度匀速升旗.13.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________km 2.14.如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长.。
2020年高考数学(理)一轮复习讲练测 专题4.7 解三角形及其应用(练) 含解析
2020年高考数学（理）一轮复习讲练测专题4.7 解三角形及其应用1．（陕西省华阴市2018-2019学年度期末）在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，若sin cos cos a b cA B C==，则ABC ∆是( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．任意三角形【答案】C【解析】由正弦定理得：sin sin sin a b c A B C ==，又sin cos cos a b c A B C==， sin cos ,sin cos B B C C ∴==，于是,42B C A ππ+==，即ABC ∆是等腰直角三角形故选C 。
2．（江苏省宿迁市2018-2019学年期末）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c o s c o s a Bb A=，则ABC ∆形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D 【解析】 ∵cos cos a Bb A=， ∴由正弦定理可得sin cos sin cos A BB A=， ∴sinAcosA ＝sinBcosB ， ∴sin2A ＝sin2B ， ∴2A ＝2B 或2A+2B ＝π， ∴A ＝B 或A+B ＝2π， ∴△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形，故选D 。
3．（江西省高安中学2018-2019学年期末）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos sin sin B A C =，则ABC △的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】C【解析】△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2cos sin sin 2cos sin sin()sin cos cos sin B A C B A A B A B A B =⇒=+=+cos sin cos sin 0sin()0B A A B A B -=⇒-=角A ，B ，C 为△ABC 的内角A B ∠=∠故选C 。
人教版2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业24 正弦定理和余弦定理(含答案)
课时作业24 正弦定理和余弦定理1．(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( A )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在△ABC 中，设A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得13＝9＋b 2－2×3b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1(负值舍去)，即AC ＝1，故选A ．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( A )A ．725 B ．－725 C ．±725D ．2425解析：∵8b ＝5c ，∴由正弦定理，得8sin B ＝5sin C ． 又∵C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin2B ，∴8sin B ＝10sin B cos B ． ∵sin B ≠0，∴cos B ＝45， ∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( C )A ．3B ．932C ．332D ．3 3解析：c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，② 由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C ．4．(2019·湖南衡阳调研)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，若2sin C ＝sin A ＋sin B ，cos C ＝35且S △ABC ＝4，则c ＝( A )A ．463 B ．4 C ．263D ．5解析：因为2sin C ＝sin A ＋sin B ， 所以由正弦定理可得2c ＝a ＋b ，①由cos C ＝35可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－165ab ，② 又由cos C ＝35，得sin C ＝45， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝2ab5＝4， ∴ab ＝10.③由①②③解得c ＝463，故选A ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( C )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形 解析：∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac ，∴b ＝C ．又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．6．(2019·合肥质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( C )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：由余弦定理得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2.即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c ＝2，整理得c ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π.7．(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝217，c ＝3_.解析：由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b a sin A ＝217，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－2c －3＝0，解得c ＝3(舍负)．8．(2019·烟台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 2.解析：因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°. 由正弦定理，得1sin A ＝3sin60°，解得sin A ＝12， 因为0°＜A ＜120°，所以A ＝30°， 此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32.9．(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为9__.解析：依题意画出图形，如图所示．易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ， 即12c sin60°＋12a sin60°＝12ac sin120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c ＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”．10．(2019·梅州质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，且sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为π6.解析：由sin C ＝23sin B 得，c ＝23b ， ∴a 2－b 2＝3bc ＝3b ·23b ＝6b 2，∴a 2＝7b 2. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝32，又∵0<A <π，∴A ＝π6.11．(2019·贵阳质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6. 由sin A sin B ＝cos 2C2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1， 解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中，由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2， 解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B ，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A .又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0，所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A＝sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98.因为0＜A ＜π4，所以0＜sin A ＜22， 因此22＜－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98. 由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤22，98.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB →·BC →＞0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( B )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32解析：由b 2＋c 2－a 2＝bc 得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，则A ＝π3，由AB →·BC→＞0知，B 为钝角， 又asin A ＝1，则b ＝sin B ，c ＝sin C ，b ＋c ＝sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32sin B ＋32cos B ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6， ∵π2＜B ＜2π3，∴2π3＜B ＋π6＜5π6，∴12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＜32，b ＋c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.14．(2019·山东济宁模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝23c ，则tan(A －B )的最大值为( A )A ．255B ．55C ．33D ． 3解析：由a cos B －b cos A ＝23c 及正弦定理可得， sin A ·cos B －sin B cos A ＝23sin C ＝23sin(A ＋B )＝ 23sin A cos B ＋23cos A sin B ，即13sin A cos B ＝53sin B cos A ，得tan A ＝5tan B ， 从而可得tan A ＞0，tan B ＞0，∴tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝4tan B 1＋5tan 2B ＝41tan B ＋5tan B ≤425＝255，当且仅当1tan B ＝5tan B ，即tan B ＝55时取得等号， ∴tan(A －B )的最大值为255，故选A ．15．(2019·广东七校联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，则△ABC 3.解析：法1 ∵A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ， ∴32＝sin2B ＋sin(B －C )，即sin A ＝sin2B ＋sin(B －C )，又sin A ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos B ＋sin B cos C －cos B sin C ，即cos B sin C ＝sin B cos B ．当cos B ＝0时，可得B ＝π2，C ＝π6， ∴S △ABC ＝12ac ＝12×2×2×tan π6＝233； 当cos B ≠0时，sin B ＝sin C ，由正弦定理可知b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形， 又∵A ＝π3，∴a ＝b ＝c ＝2，∴S △ABC ＝34a 2＝ 3. 综上可知△ABC 的面积为3或233.法2 由已知及A ＋B ＋C ＝π可得32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝sin2B ，即sin2B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝32， ∴sin2B －32cos2B －12sin2B ＝32， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＝32.∵A ＝π3，∴0＜B ＜23π，∴－π3＜2B －π3＜π， ∴2B －π3＝π3或2π3，∴B ＝π3或π2. 当B ＝π2时，C ＝π6，∴S △ABC ＝12×2×2×tan π6＝233；当B ＝π3时，△ABC 是边长为2的等边三角形， ∴S △ABC ＝34a 2＝34×4＝ 3. 综上可知，△ABC 的面积为3或233.16．(2019·河南信阳模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ．(1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值． 解：(1)∵(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ， ∴根据正弦定理，知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ， 即b 2＋c 2－a 2＝－bC ．∴由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12. 又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)根据a ＝3，A ＝23π及正弦定理可得 b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2， ∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ．∴S ＝12bc sin A ＝12×2sin B ×2sin C ×32＝3sin B sin C ．∴S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B ·cos C ＝3cos(B －C )．故当⎩⎨⎧B ＝C ，B ＋C ＝π3，即B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B ·cos C 取得最大值 3.。
2020高考数学总复习第三章三角函数、解三角形课时作业24解三角形应用举例课件文新人教A版
解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°， 所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔 A 在灯塔 B 的南 偏西 80°.
2．(2019·许昌调研)如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察 站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°，灯塔 B
解得 x＝420. 答：A，C 两地的距离为 420 米． (2)在 Rt△ACH 中， AC＝420，∠CAH＝30°. 所以 CH＝AC·tan∠CAH＝140 3米． 答：该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140 3米．
12．如图所示，在一条海防警戒线上的点 A，B，C 处各有一 个水声监测点，B，C 两点到点 A 的距离分别为 20 km 和 50 km. 某时刻，B 收到发自静止目标 P 的一个声波信号，8 s 后 A，C 同 时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是 1.5 km/s.
＝
x2＋2022－x·20x－122＝3x＋5x32.
同理，在△PAC 中，AC＝50，
cos∠PAC＝PA2＋2PAAC·A2－C PC2＝
x2＋25x·0520－x2＝2x5.
因为 cos∠PAB＝cos∠PAC，
所以3x＋32＝25，解得 5x x
x＝31.
(2)作 PD⊥AC 于点 D，在△ADP 中，
在△AMC 中，由正弦定理得siMn4C5°＝s2in0306°， 解得 MC＝40 3(m)． 在 Rt△CMD 中，CD＝40 3×sin60°＝60(m)， 故通信塔 CD 的高为 60 m.
2020版广西高考人教A版数学(理)一轮复习考点规范练：24 解三角形 Word版含解析
考点规范练24 解三角形基础巩固1.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知a=,b=2,A=60°,则c=( )3 A. B.1 C. D.2123,得3=4+c 2-2×2×c×,整理,得c 2-2c+1=0,解得c=1.故选B .122.在△ABC 中,已知a cos A=b cos B ,则△ABC 的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形a cos A=b cos B ,∴sin A cos A=sin B cos B ,∴sin 2A=sin 2B ,∴A=B 或2A+2B=180°,即A=B 或A+B=90°,∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选D .3.(2018广东中山质检)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,a=1,c cos A+a cos C=2b cos B ,△ABC 的面积S=,则b 等于( )3A. B.4 C.3 D.1315,2sin B cos B=sin C ·cos A+sin A cos C=sin(A+C )=sin B ,∴cos B=,∴B=.12π3又S=ac ·sin B=×1×c×,121232=3∴c=4.又b 2=a 2+c 2-2ac cos B=1+16-2×1×4×=13,12∴b=.134.如图,两座相距60 m 的建筑物AB ,CD 的高度分别为20 m,50 m,BD 为水平面,则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )A.30°B.45°C.60°D.75°AD=20 m,AC=30 m,又CD=50 m,所以在△ACD 中,由余弦定理,105得cos ∠CAD==AC 2+AD 2-CD 22AC ·AD =(305)2+(2010)2-5022×305×2010,又0°<∠CAD<180°,6 0006 0002=22所以∠CAD=45°,所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.5.在△ABC 中,A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos A+a cos B=c 2,a=b=2,则△ABC 的周长为( )A.7.5B.7C.6D.5b cos A+a cos B=c 2,a=b=2,∴由余弦定理可得b×+a×=c 2,整理可得2c 2=2c 3,b 2+c 2-a 22bc a 2+c 2-b 22ac解得c=1,则△ABC 的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D .6.设△ABC 的三内角A ,B ,C 成等差数列,sin A ,sin B ,sin C 成等比数列,则这个三角形的形状是( )A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形△ABC 的三内角A ,B ,C 成等差数列,∴B=.π3∵sin A ,sin B ,sin C 成等比数列,∴sin 2B=sin A sin C ,由正弦定理得b 2=ac.在△ABC 中,由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos ,π3∴ac=a 2+c 2-ac ,∴(a-c )2=0,∴a=c.∴△ABC 为等边三角形.7.已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足=sin A-sin B ,则∠(sin A -sin C )(a +c )b C= .△ABC 中,∵=sin A-sin B ,(sin A -sin C )(a +c )b ∴=a-b.∴a 2+b 2-c 2=ab ,(a -c )(a +c )b∴cos C=.∴C=.a 2+b 2-c 22ab =12π38.在△ABC 中,B=120°,AB=,A 的角平分线AD=,则AC= .23,可知,AB sin ∠ADB =AD sin B 即,故∠ADB=45°.2sin ∠ADB =332所以A=180°-120°-45°,故A=30°,则C=30°,所以三角形ABC 是等腰三角形.所以AC=2122sin 60°=.69.如图,为了测量两山顶D ,C 间的距离,飞机沿水平方向在A ,B 两点进行测量,在A 位置时,观察D 点的俯角为75°,观察C 点的俯角为30°;在B 位置时,观察D 点的俯角为45°,观察C 点的俯角为60°,且AB= km,则C ,D 之间的距离为 .3△ABD 中,∵∠BAD=75°,∠ABD=45°,∴∠ADB=60°,由正弦定理可得,即,AB sin ∠ADB =AD sin ∠ABD 3sin60°=AD sin45°∴AD=(km),3sin45°sin60°=2由题意得∠ABC=120°,∠BAC=∠BCA=30°,∴BC=AB= km,∴AC=3 km,3在△ACD 中,由余弦定理得CD 2=AC 2+AD 2-2AC ·AD sin ∠DAC=5,即CD= km .510.已知岛A 南偏西38°方向,距岛A 3 n mile 的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10 n mile/h 的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h 能截住该走私船?(参考数据:sin38°=5314,sin22°=3314)C 处截住走私船,D 为岛A 正南方向上的一点,缉私艇的速度为x n mile/h,则BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos 120°,解得BC 2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin ∠ABC=,AC sin ∠BAC BC =5×327=5314所以∠ABC=38°.又∠BAD=38°,所以BC ∥AD.故缉私艇以14 n mile/h 的速度向正北方向行驶,恰好用0.5 h 截住该走私船.能力提升11.已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c.若b 2+c 2-a 2=bc ,且b=a ,则下列关系一定不成33立的是( )A.a=cB.b=cC.2a=cD.a 2+b 2=c 2b 2+c 2-a 2=bc ,3∴cos A=,b 2+c 2-a 22bc =32∴A=30°.∵b=a ,∴sin B=sin A=,3332∴B=60°或B=120°.当B=60°时,C=90°,此时△ABC 为直角三角形,得到a 2+b 2=c 2,2a=c ;当B=120°时,C=30°,此时△ABC 为等腰三角形,得到a=c ;故选B .12.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若,b=4,则△ABC 的面积的最大值为( )2a -c b =cos Ccos B A.4 B.2 C.2 D.333在△ABC 中,,2a -c b =cos Ccos B ∴(2a-c )cos B=b cos C.∴(2sin A-sin C )cos B=sin B cos C.∴2sin A cos B=sin C cos B+sin B cos C=sin(B+C )=sin A.∴cos B=,即B=.由余弦定理可得16=a 2+c 2-2ac cos B=a 2+c 2-ac ≥2ac-ac=ac ,12π3故ac ≤16,当且仅当a=c 时取等号,因此,△ABC 的面积S=ac sin B=ac ≤4,故选A .1234313.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,如果△ABC 的面积等于8,a=5,tan B=-,那么43= .a +b +csin A +sin B +sin C△ABC 中,∵tan B=-,∴sin B=,cos B=-.434535又S △ABC =ac sin B=2c=8,∴c=4,12∴b=.a 2+c 2-2ac cos B =65∴.a +b +c sin A +sin B +sin C =b sin B =565414.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知sin(A+C )=8sin 2.B 2(1)求cos B ;(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin 2,故sin B=4(1-cos B ).B 2上式两边平方,整理得17cos 2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.1517(2)由cos B=得sin B=,1517817故S △ABC =ac sin B=ac.12417又S △ABC =2,则ac=.172由余弦定理及a+c=6得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=(a+c )2-2ac (1+cos B )=36-2×=4.172×(1+1517)所以b=2.高考预测15.△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ,若4S=b 2+c 2-a 2.3(1)求角A ;(2)若a=2,b=2,求角C.3∵△ABC 中,b 2+c 2-a 2=4S=4bc sin A=2bc ·sin A ,33·123∴cos A=sin A ,∴tan A=,b 2+c 2-a 22bc =333∵0<A<π,∴A=.π6(2)∵a=2,b=2,A=,3π6∴由得sin B=,a sin A =b sin B b sin A a =23×122=3∵0<B<,且B>A ,∴B=,∴C=.5π6π3或2π3π2或π6。
2020届高考数学一轮复习：课时作业24《正弦定理和余弦定理》(含解析)
课时作业24 正弦定理和余弦定理1．(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( A )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在△ABC 中，设A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得13＝9＋b 2－2×3b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1(负值舍去)，即AC ＝1，故选A ．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( A )A ．725B ．－725C ．±725D ．2425解析：∵8b ＝5c ，∴由正弦定理，得8sin B ＝5sin C ．又∵C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin2B ，∴8sin B ＝10sin B cos B ．∵sin B ≠0，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725. 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( C )A ．3B ．932C ．332D ．3 3解析：c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C ．4．(2019·湖南衡阳调研)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，若2sin C ＝sin A ＋sin B ，cos C ＝35且S △ABC ＝4，则c ＝( A )A ．463B ．4C ．263D ．5解析：因为2sin C ＝sin A ＋sin B ，所以由正弦定理可得2c ＝a ＋b ，① 由cos C ＝35可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－165ab ，② 又由cos C ＝35，得sin C ＝45，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝2ab 5＝4，∴ab ＝10.③由①②③解得c ＝463，故选A ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( C )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形 解析：∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝a c ，∴b ＝C ．又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．6．(2019·合肥质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( C )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：由余弦定理得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2.即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c＝2，整理得c ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝c sin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π.7．(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝217，c ＝3_.解析：由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b a sin A ＝217，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－2c －3＝0，解得c ＝3(舍负)．8．(2019·烟台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 2.解析：因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°.由正弦定理，得1sin A ＝3sin60°，解得sin A ＝12，因为0°＜A ＜120°，所以A ＝30°，此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32.9．(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为9__.解析：依题意画出图形，如图所示．易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin60°＋12a sin60°＝12ac sin120°，∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c ＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”．10．(2019·梅州质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，且sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为π6. 解析：由sin C ＝23sin B 得，c ＝23b ，∴a 2－b 2＝3bc ＝3b ·23b ＝6b 2，∴a 2＝7b 2.则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝32， 又∵0<A <π，∴A ＝π6.11．(2019·贵阳质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C 2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小；(2)求△ABC 的面积．解：(1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C 2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1， 解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中，由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2， 解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B ，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A . 又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0，所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98. 因为0＜A ＜π4，所以0＜sin A ＜22，因此22＜－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98. 由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤22，98.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB →·BC →＞0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( B ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32 解析：由b 2＋c 2－a 2＝bc 得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，则A ＝π3，由AB →·BC →＞0知，B 为钝角， 又a sin A ＝1，则b ＝sin B ，c ＝sin C ，b ＋c ＝sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32sin B ＋32cos B ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6， ∵π2＜B ＜2π3，∴2π3＜B ＋π6＜5π6，∴12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＜32，b ＋c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 14．(2019·山东济宁模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝23c ，则tan(A －B )的最大值为( A )A ．255B ．55C ．33D ． 3解析：由a cos B －b cos A ＝23c 及正弦定理可得，sin A ·cos B －sin B cos A ＝23sin C ＝23sin(A ＋B )＝23sin A cos B ＋23cos A sin B ，即13sin A cos B ＝53sin B cos A ，得tan A ＝5tan B ，从而可得tan A ＞0，tan B ＞0，∴tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝4tan B 1＋5tan 2B ＝41tan B ＋5tan B ≤425＝255，当且仅当1tan B ＝5tan B ，即tan B ＝55时取得等号，∴tan(A －B )的最大值为255，故选A ．15．(2019·广东七校联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，则△ABC 3. 解析：法1 ∵A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，∴32＝sin2B ＋sin(B －C )，即sin A ＝sin2B ＋sin(B －C )，又sin A ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos B ＋sin B cos C －cos B sin C ，即cos B sin C ＝sin B cos B ．当cos B ＝0时，可得B ＝π2，C ＝π6，∴S △ABC ＝12ac ＝12×2×2×tan π6＝233；当cos B ≠0时，sin B ＝sin C ，由正弦定理可知b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，又∵A ＝π3，∴a ＝b ＝c ＝2，∴S △ABC ＝34a 2＝ 3.综上可知△ABC 的面积为3或233.法2 由已知及A ＋B ＋C ＝π可得32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π ＝sin2B ，即sin2B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －23π＝32， ∴sin2B －32cos2B －12sin2B ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＝32. ∵A ＝π3，∴0＜B ＜23π，∴－π3＜2B －π3＜π， ∴2B －π3＝π3或2π3，∴B ＝π3或π2.当B ＝π2时，C ＝π6，∴S △ABC ＝12×2×2×tan π6＝233；当B ＝π3时，△ABC 是边长为2的等边三角形，∴S △ABC ＝34a 2＝34×4＝ 3.综上可知，△ABC 的面积为3或233.16．(2019·河南信阳模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ．(1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值． 解：(1)∵(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ，∴根据正弦定理，知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bC ．∴由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)根据a ＝3，A ＝23π及正弦定理可得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2， ∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ．∴S ＝12bc sin A ＝12×2sin B ×2sin C ×32＝3sin B sin C ．∴S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B ·cos C ＝3cos(B －C )．故当⎩⎨⎧ B ＝C ，B ＋C ＝π3，即B ＝C ＝π6时， S ＋3cos B ·cos C 取得最大值 3.。
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两点在河的两岸，一测量者在
50 m，∠ACB＝
B．50 3 m
]如图，两座灯塔
在观察站南偏西40°方向上，灯塔
在灯塔B的(
如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底
BCD＝15°，∠BDC
60°，则塔高AB
m
m
)，点A为该船开始的位置，点为该船后来的位置，所以在△
AC＝15，
＝BC
，
400 m的热气球上，观测到山顶，已知∠BAC＝60°
山东省，湖北省部分中学质量检测
海底某处有一条海防警戒线，在警戒线上的点
＝150，AC＝200，根据题意可知
C ＝β，因为cos(α－β)＝2425，所以sin(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫24252＝725. 在三角形ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得150sin β＝200
sin α，
得4sin β＝3sin α，所以4sin β＝3sin[β＋(α－β)]＝3[sin βcos(α－cos βsin(α－β)]＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫2425sin β＋7
25cos β，整理得4sin β＝3cos β.
34
某学校的平面示意图如图中的五边形区域为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，
面积的最大值．
BD，在△BCD
BD＝33
10km.
，求电视塔的高度．
高为x m，则在
中，∠ADB＝30°
中，由余弦定理得，
CD·cos120°，
能最快追上走私船？最少要花多少时间？
t时后在D处追上走私船，
＝10t.
－1，AC＝2，∠。