最新的初中数学竞赛专题培训()：面积问题与面积方法
数学竞赛专题讲座---面积问题与面积方法
面积问题与面积方法
姓名：
例1△ABC中三边长分别为a,b,c,对应边上的高分别为h a=4,h b=5,hc=3．求a∶b∶c．
例2如图1－51,ABCD的面积为64平方厘米(cm2),E,F分别为AB,AD的中点,求△CEF的面积．
例4用面积方法证实：三角形两边中点连线平行于第三边．
例5如图1－54．在△ABC中,E是AB的中点,D是AC上的一点,且AD∶DC=2∶3,BD与CE交于F, S△ABC=40,求S AEFD．
例6如图1-55所示．E,F分别是ABCD的边AD,AB上的点,且BE=DF,BE与DF交于O．求证：C点到BE的距离等于它到DF的距离．
练习：
1．如图1－56所示．在△ABC中,EF∥BC,且AE∶EB=m,求证：AF∶FC=m．
2．如图 1－57所示．在梯形 ABCD中, AB∥CD．假设△DCE的面积是△DCB 的面积的四分之一,问：△DCE的面积是△ABD的面积的几分之几？
3．如图1－58所示．P为△ABC内一点,AP,BP,CP分别与对边交于D,E,F,把△ABC分成六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．
4．如图1－59所示．P为△ABC内任意一点,三边a,b,c的高分别为h a,h b,h c,且P到a,b,c的距离分别为t a,t b,t c．
5．如图1－60所示．在梯形ABCD中,两腰BA,CD的延长线相交于O,OE∥DB,OF ∥AC且分别交直线BC于E,F．求证：BE=CF．
6．如图1－61所示．P是△ABC的AC边的中点,PQ⊥AC交AB延长线于Q,BR ⊥AC于R．
求证：。
面积与面积解题——初一数学竞赛系列讲座(3)
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饼 例２ 如图４１， （）在半径为４ｍ的圆０ ｃ
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中， ＡＢ 弦 上Ｃ 于 Ｎ ， Ｄ ＡＢ， Ｄ 把 圆分 成 四块 ， Ｃ 圆心
０ 落在 ｆ块 中 ，Ｍ上Ｃ 于 Ｍ ， ｏＭ一１ｃ 点 Ｍ Ｏ Ｄ 且 ｍ，
１ ．平行 该 底边 上 ｈ（ ｈ为
的高 ）
２ 三角形面积 一去ｎ （ ． ；ｎ为三角形的底边长， ｈ为该底边上的高） ３ ．梯形面积一去（ ＋ｂｈ—ｍｈ 口６ｍ分别为上底、 口 ） ；（，， 下底、 中位
线 的长 ， ｈ为高 ） ４ ．圆的 面积 一 ７ ；ｒ 圆 的半径 ） ｃ （为 ５ ．扇 形面 积 一 ．（ 为 圆的半 径 ， 为扇形 的 圆心 角的度 数 ） ｒ
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解 得 ， 一 １ 故 ５ ｅ 一 ． △
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Ｋ △ ｓ 眦 一 ，则 ５ ｃ Ｈ 一 ２ △ ，５ ｎ Ｈ ＝ 一 ．由 ５ 一 △ｅ ＝ ＝ △
２ ＡＢ 得 方 程 一 一 ２× ３ ． 得 ， 一 １ 故 ，ＦＨ ＝ ５ 一 Ｓ ＣＨ 解 ５６ ＝ △ ＝
九年级培优专题：面积问题与面积方法
九年级面积问题与面积方法积表示有关的几何量；其次把几何量之间的关系转化为面积关系，然后通过面积变形，得到原问题的解决方法。
面积方法解题有时更具有直观性、通用性和简洁性，因此在国内外数学竞赛试题中经常出现面积问题。
1.三角形的面积公式（1）12a S ah =； （2）S =pr （p 为三角形半周长，r 为内切圆半径）；（3）4abc S R=（R 为外接圆半径）； （4）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===；（5）S =p 为半周长）（海仑公式）。
2.四边形的面积公式设四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的夹角为θ，则1sin .2ABCD S AC BD θ=3.多边形的面积（1）设P 为多边形内一点，则122312n PA A PA A A A A S S S ∆∆=++多边形1.n PA A S ∆+（2）设多边形有内切圆，半径为r ，则12n A AA S pr =多边形（p 为半周长）。
4.等积变换的基本定理共高模型；共边模型；燕尾模型；共角模型；相似比与面积比等等例1：如图五边形ABCDE 中，∠ABC =∠AED =90°，AB =CD =AE = BC ＋DE =1，求五边形A BCDE 的面积。
例2：如图，将△ABC 的三个顶点与一个内点连结起来，所得三条连线把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图上标明，试求ABC S ∆．例3：如图，在△ABC 中，P 为BC 边上任意一点，PE ∥BA ，PF ∥CA .若1ABC S ∆=，证明：BPF S ∆，PCE S ∆，和PEAF S 中至少有一个不小于4.9例4：如图，已知△PQR 与△P'Q'R'是两个全等的正三角形，六边形ABCDEF 的边长分别记为：AB ＝1a ，BC ＝1b ，CD ＝2a ，DE =2b ，EF ＝3a ，FA ＝3b ，求证：222222123123a a a b b b ++=++例5：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，并且AB >AC ，在斜边BC 上取一点D ，使BD =AB ，过D 作直线平分△ABC 的面积，且与AB 的交点为E ，求证：BE 、DE 都等于BC 的一半。
数学竞赛中的面积问题与面积方法（一）
数学竞赛中的面积问题与面积方法（一）
四川泸州朱勇
数学中高考与竞赛试题中常常会出现三角形面积问题，本文将给大家介绍一些面积问题的处理方式。
便于解题，考生应掌握如下三角形面积公式：
下面来看几个面积问题
这个试题抓等底（或等高)的两个三角形的面积比等于其上高（或是底）的长的比，我们再来看一个试题
方法1
方法2
这些处理方式可固化为经典“模型”，我们再来看看下边这个试题。
方法1
方法2
古人云：“道不远人”，道理、真理往往是最基础、最朴素的！。
初中数学竞赛专题培训(22)：面积问题与面积方法
word格式-可编辑-感谢下载支持初中数学竞赛专题培训第二十二讲面积问题与面积方法几何学的产生，源于人们测量土地面积的需要．面积不仅是几何学研究的一个重要内容，而且也是用来研究几何学的一个有力工具．下面，我们把常用的一些面积公式和定理列举如下．(1)三角形的面积(i)三角形的面积公式b＋c)是半周长，r是△ABC的内切圆半径．(ii)等底等高的两个三角形面积相等．(iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比；两个等高三角形的面积之比等于底边之比；两个三角形面积之比等于底、高乘积之比．(iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方．(2)梯形的面积梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半．(3)扇形面积其中r为半径，l为弧长，θ为弧l所对的圆心角的度数，α是弧度数．1．有关图形面积的计算和证明解因为CD⊥AB，AC=CB，且△ABD内接于半圆，由此可得所以，阴影部分AEFBDA的面积是例2已知凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为S1=5，S2=10，S3=6．求△ABO 的面积(图2-128)．解首先，我们证明△ABC与△ACD的面积比等于BO与DO的比．过B，D分别作AC的垂线，垂足为E，F．于是Rt△BEO由题设设S△AOB=S，则所以例3 如图2-129，AD，BE，CF交于△ABC内的一点P，并将△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．分析如果能把未知的两个小三角形的面积求出，那么△ABC 的面积即可得知．根据例1，这两个面积是不难求出的．解设未知的两个小三角形的面积为x和y，则即又即①÷②得再由②得x=56．因此S△ABC＝84＋70＋56＋35＋40＋30=315．例4 如图2-130，通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平形四边形部分的面积为S1，S2，S3，求△ABC的面积．解为方便起见，设S△QDG=S′1，S△QIE=S′2，S△QFH=S′3，则所以同理可得从①，②，③中可以解得所以word格式-可编辑-感谢下载支持例5在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形：将单位正方形的每一条边n等分，然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来．如果小正方形(图中阴影部分)的面积恰解如图2-131，过F作BC的平行线交BG于H，则∠GHF=∠CED，∠FGH=∠DCE=90°，故n2-n-90=0，所以n=10．2．利用面积解题有的平面几何问题，虽然没有直接涉及到面积，然而若灵活地运用面积知识去解答，往往会出奇制胜，事半功倍．例6 在△ABC内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c 的距离依次为x，y，z．求证：ax+by+cz是一个常数．证如图2-132，连结PA， PB，PC，把△ABC分成三个小三角形，则S△ABC＝S△PAB＋S△PCB＋S△PCA所以 ax＋by＋cz=2S△ABC，即ax＋by＋cz为常数．说明若△ABC为等边三角形，则此即正三角形内一点到三边的距离和为常数，此常数是正三角形的高．例7如图2-133，设P是△ABC内任一点，AD，BE，CF是过点P且分别交边BC，CA，AB于D，E，F．求证：证首先，同例2类似，容易证明说明本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决．例8如图2-134，已知D，E，F分别是锐角三角形ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值．解由上题知去分母整理得3(xy+yz＋zx)＋36(x+y＋z)＋324=xyz+6(xy＋yz＋zx)+36(x+y＋z)＋216，所以 xyz=108-3(xy＋yz＋zx)=24．练习二十二1．填空：________．(2)一个三角形的三边长都是整数，周长为8，则这个三角形的面积是________．(3)四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=1，则四边形ABCD的面积是______．(4)梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于O．若S△ABO=p2，S△CDO=q2，则S ABCD=____．△ABC=40．若BE，CD相交于F，则S△DEF=______．2．E，F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，若△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是3，4，5，求△AEF的面积．3．已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的最大值．4．在凸五边形ABCDE中，S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB=1，CE与AD相交于F，求S△CFD．5．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S1=30，S2=6，求△ADC的面积S．6．设P是△ABC内一点，AD，BE，CF过点P并且交边BC，CA，AB于点D，E，F．求证：7．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC 边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE．。
八年级数学竞赛例题专题讲解：面积法
八年级数学竞赛例题专题讲解：面积法阅读与思考平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角．所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法．有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快．用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果．下列情况可以考虑用面积法：（1）涉及三角形的高、垂线等问题；（2）涉及角平分线的问题．例题与求解【例1】如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为______________．(全国初中数学联赛试题) 解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手．等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？【例2】如图，△AOB中，∠O＝，OA＝OB，正方形CDEF的顶点C在DA上，点D在OB上，点F在AB上，如果正方形CDEF的面积是△AOB的面积的，则OC：OD等于( )A．3：1 B．2：1C．3：2 D．5：3解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决．【例3】如图，在□ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE＝DF，BE与DF交于G，求证：∠BGC＝∠DGC.（长春市竞赛试题）解题思路：要证∠BGC＝∠DGC，即证CG为∠BGD的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口．【例4】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D、E、F.求证：（1）；（2）.（南京市竞赛试题）解题思路：过P点作平行线，产生比例线段.【例5】如图，在△ABC中，E，F，P分别在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一点D，且，求的值.解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值.（黄冈市竞赛试题）【例6】如图，设点E，F，G，H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，且（是正数），求四边形EFGH的面积．（河北省竞赛试题）解题思路：连对角线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比．线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧．转化的基本知识有：(1) 等高三角形面积比，等于它们的底之比；(2) 等底三角形面积比，等于它们的高之比；(3) 相似三角形面积比，等于它们相似比的平方．能力训练1．如图，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD的中点，BM⊥EC，垂足为M，则BM＝______.（福建省中考试题）2．如图，矩形ABCD中，P为AB上一点，AP＝2BP，CE⊥DP于E，AD＝，AB＝，则CE＝__________.（南宁市中考试题）第1题图第2题图第3题图3．如图，已知八边形ABCDEFGH中四个正方形的面积分别为25，48，121，114，PR＝13，则该八边形的面积为____________.（江苏省竞赛试题） 4. 在△ABC中，三边长为，，，表示边上的高的长，，的意义类似，则(＋＋)的值为____________. （上海市竞赛试题）5．如图，△ABC的边AB＝2，AC＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别表示以AB，BC，CA为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值是__________.（全国竞赛试题） 6．如图，过等边△ABC内一点P向三边作垂线，PQ＝6，PR＝8，PS＝10，则△ABC的面积是 ( )．A. B.C.D.（湖北省黄冈市竞赛试题）第5题图第6题图第7题图7．如图，点D是△ABC的边BC上一点，若∠CAD＝∠DAB＝，AC＝3，AB＝6，则AD的长是( )．A．2 B. C.3 D.8．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN，BN，DM，CM划分四边形所成的7个区域的面积分别为，，，，，，，那么恒成立的关系式是( )．A.+=B.+=C.+= D．+=9．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为，，，△ABC的高为．若点P在一边BC上（如图1），此时，可得结论：＋＋＝.请直接用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内（如图2）、点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立，，，与之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．（黑龙江省中考试题）10.如图，已知D，E，F分别是锐角△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD、BE、CF相交于P点，AP＝BP＝CP＝6，设PD＝，PE＝，PF＝，若，求的值．（“希望杯”邀请赛试题）11.如图，在凸五边形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求证：AE∥BD.（加拿大数学奥林匹克试题）12.如图，在锐角△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的三等分点. P，Q，R分别是△ADF，△BDE，△CEF的三条中线的交点.(1) 求△DEF与△ABC的面积比；(2) 求△PDF与△ADF的面积比；(3) 求多边形PDQERF与△ABC的面积比.13．如图，依次延长四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，使，若，求的值．（上海市竞赛试题）14.如图，一直线截△ABC的边AB，AC及BC的延长线分别交于F，E，D三点，求证：．（梅涅劳斯定理）15．如图，在△ABC中，已知，求的值.（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）。
初一下培优(面积问题)
面积的计算和面积法一、计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积一定掌握以下与面积相关的重要知识：1.常有图形的面积公式；2.等积定理：等底等高的两个三角形面积相等；3.夹在平行线间的距离到处相等4.等比定理：(1)同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积之比等于等于对应底之比.(2)相像三角形的面积之比等于对应线段之比的平方.熟习以下基本图形、基本结论：S1 S2S1 S3S2S1S4 3 S2S11 S3 SS S2 S2 S4S3二、用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采纳不一样方法或从不一样角度去计算，便可获得一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式便可获得求解或求证的结果．以下状况能够考虑用面积法：（1）波及三角形的高、垂线等问题；（2）波及角均分线的问题面积法：1、如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1， 3， 5，则这个等边三角形的高为______________．2、如图，在□ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE＝ DF， BE与 DF交于 G，求证：∠ BGC＝∠ DGC.（到角两边距离相等的点，在这个角的角均分线上）计算图形的面积3、如图，△ ABC 内三个三角形的面积分别为5，8，10，四边形 AEFD 的面积为x，则x＝________.AE F D5810B4、以下图，ABC 、 BCD 、CDA 的面积分别为49、27 和 14，则AOD的面积为多少？A5 ．以下图，在矩形 ABCD 中， E 是 AD 中点， F 是 CE 中点，S BDF的面积为多少？ABC例1 图CDOB6cm 2 , 则矩形ABCD E DFC6、如图，P为平行四边形ABCD内一点，且S PAB5 , S PAD 2 .则S PAC__________ .DCPA B7、如图，矩形ABCD中，点 E、 F、 G、 H、分别在边 AB、 BC、 CD、 DA 上。
竞赛讲座 07面积问题和面积方法
竞赛讲座07--面积问题和面积方法基础知识1．面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用．设△ABC ，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，a h 为a 的高，R 、r 分别为△ABC 外接圆、内切圆的半径，)(21c b a p ++=．则△ABC 的面积有如下公式： （1）a ABC ah S 21=∆； （2）A bc S ABC sin 21=∆ （3）))()((c p b p a p p S ABC ---=∆ （4）pr c b a r S ABC =++=∆)(21 （5）Rabc S ABC 4=∆ （6）C B A R S ABC sin sin sin 22=∆（7）)sin(2sin sin 2C B C B a S ABC +=∆ （8）)(21a c b r S a ABC -+=∆ （9）)2sin 2sin 2(sin 212C B A R S ABC ++=∆ 2．面积定理（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；（2）两个全等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（6）共边比例定理：若△PAB 和△QAB 的公共边AB 所在直线与直线PQ 交于M ，则QM PM S S QAB PAB ::=∆∆；（7）共角比例定理：在△ABC 和△C B A '''中，若A A '∠=∠或︒='∠+∠180A A ，则CA B A AC AB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆． 3．张角定理：如图，由P 点出发的三条射线PC PB PA ,,，设α=∠APC ，β=∠CPB ，︒<+=∠180βαAPB ，则C B A ,,三点共线的充要条件是：PCPA PB )sin(sin sin βαβα+=+． 例题分析例1．梯形ABCD 的对角线BD AC ,相交于O ，且m S AOB =∆，n S COD =∆，求ABCD S 例2．在凸五边形ABCDE 中，设1=====∆∆∆∆∆EAB DEA CDE BCD ABC S S S S S ，求此五边形的面积．例3．G 是△ABC 内一点，连结CG BG AG ,,并延长与AB CA BC ,,分别交于F E D ,,，△AGF 、△BGF 、△BGD 的面积分别为40，30，35，求△ABC 的面积．例4．R Q P ,,分别是△ABC 的边BC AB ,和CA 上的点，且1====RC QR PQ BP ，求△ABC 的面积的最大值．例5．过△ABC 内一点引三边的平行线DE ∥BC ，FG ∥CA ，HI ∥AB ，点I H G F E D ,,,,,都在△ABC 的边上，1S 表示六边形DGHEFI 的面积，2S 表示 △ABC 的面积．求证：2132S S ≥． 例6．在直角△ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，过△ABD 的内心与△ACD 的内心的直线分别交边AB 和AC 于K 和L ，△ABC 和△AKL 的面积分别记为S 和T ．求证：T S 2≥．例7．锐角三角形ABC 中，角A 等分线与三角形的外接圆交于一点1A ，点1B 、1C 与此类似，直线1AA 与B 、C 两角的外角平分线将于一点0A ，点0B 、0C 与此类似．求证：（1）三角形000C B A 的面积是六边形111CB BA AC 的面积的二倍；（2）三角形000C B A 的面积至少是三角形ABC 的四倍．例8．在△ABC 中，R Q P ,,将其周长三等分，且Q P ,在边AB 上，求证：92>∆∆ABC PQRS S ． 例9．在锐角△ABC 的边BC 边上有两点E 、F ，满足CAF BAE ∠=∠，作AB FM ⊥，AC FM ⊥（N M ,是垂足），延长AE 交△ABC 的外接圆于点D ，证明四边形AMDN 与△ABC 的面积相等．三．面积的等积变换等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题．例10．凸六边形ABCDEF 内接于⊙O ，且13+===DC BC AB ，1===FA EF DE ，求此六边形的面积．例11．已知ABC ∆的三边c b a >>，现在AC 上取AB B A ='，在BA 延长线上截取BC C B ='，在CB 上截取CA A C ='，求证：C B A ABC S S '''∆∆>．例12．C B A '''∆在ABC ∆内，且ABC ∆∽C B A '''∆，求征：ABC AB C CA B BC A S S S S ∆'∆'∆'∆=++ 例13．在ABC ∆的三边AB CA BC ,,上分别取点F E D ,,，使EA CE DC BD 3,3==，FB AF 3=，连CF BE AD ,,相交得三角形PQR ，已知三角形ABC 的面积为13，求三角形PQR 的面积．例14．E 为圆内接四边形ABCD 的AB 边的中点，AD EF ⊥于F ，BC EH ⊥于H ，CD EG ⊥于G ，求证：EF 平分FH ．例15．已知边长为,,,c b a 的ABC ∆，过其内心I 任作一直线分别交AC AB ,于N M ,点，求证：bc a IN MI +≤． 例16．正△PQR ≅正△R Q P '''，1a AB =，1b BC =，2a CD =，2b DE =， 3a EF =，3b FA =．求证：232221232221b b b a a a ++=++．例17．在正ABC ∆内任取一点O ，设O 点关于三边AB CA BC ,,的对称点分别为C B A ''',,，则C C B B A A ''',,相交于一点P ．例18．已知CE AC ,是正六边形ABCDEF 的两条对角线，点N M ,分别内分ACCE ，且使k CECN AC AM ==，如果N M B ,,三点共线，试求k 的值． 例19．设在凸四边形ABCD 中，直线CD 以AB 为直径的圆相切，求证：当且仅当BC ∥AD 时，直线AB 与以CD 为直径的圆相切． 训练题1．设A B C ∆的面积为102cm ，F E D ,,分别是CA BC AB ,,边上的点，且,3,2cm DB cm AD ==若DBEF ABE S S =∆，求ABE ∆的面积．2．过ABC ∆内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将ABC ∆分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为321,,S S S ，求三角形ABC ∆的面积．3．在ABC ∆的三边CA BC AB ,,上分别取不与端点重合的三点L K M ,,，求证：AML ∆，CLK BKM ∆∆,中至少有一个的面积不大于ABC ∆的面积的41． 4．锐角ABC ∆的顶角A 的平分线交BC 边于L ，又交三角形的外接圆于N ，过L 作AB 和AC 边的垂线LK 和LM ,垂足是M K ,，求证：四边形AKNM 的面积等于ABC ∆的 面积． 5．在等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上取一点D ，使BC DC 31=，作AD BE ⊥交AC 于E ，求证：EC AE =．6．三条直线n m l ,,互相平行，n l ,在m 的两侧，且m l ,间的距离为2，n m ,间的距离为1，若正ABC ∆的三个顶点分别在n m l ,,上，求正ABC ∆的边长．7．已知321P P P ∆及其内任一点P ，直线P P i 分别交对边于i Q （3,2,1=i ），证明：在332211,,PQ P P PQ P P PQ P P 这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2． 8．点D 和E 分别在ABC ∆的边AB 和BC 上，点K 和M 将线段DE 分为三等分，直线BK 和BM 分别与边AC 相交于点T 和P ，证明：AC TP 31≤． 9．已知P 是ABC ∆内一点，延长CP BP AP ,,分别交对边于C B A ''',,，其中x AP =，w C P B P A P z CP y BP ='='='==,,，且3,23==++w z y x ，求xyz 之值．10．过点P 作四条射线与直线l l ',分别交于D C B A ,,,和D C B A '''',,,，求证：C BD A D C B A BC AD CD AB ''⋅''''⋅''=⋅⋅． 11．四边形ABCD 的两对对边的延长线分别交L K ,，过L K ,作直线与对角线BD AC ,的延长线分别F G ,，求证：KGLG KF LF =． 12．G 为ABC ∆的重心，过G 作直线交AC AB ,于F E ,，求证：GF EG 2≤．。
面积问题与面积方法
面积问题与面积方法面积是几何学中的一个重要概念，它描述的是二维平面上的一个区域的大小。
面积问题是与面积相关的数学问题，可以通过不同的面积方法来解决。
面积是一个物体所占据的平面区域的大小。
一般来说，平面上的物体可以被划分为无数个小的矩形、三角形或其他形状的小块，这些小块的面积可以通过不同方法来计算。
以下将介绍几种常见的面积计算方法。
1.矩形面积方法：矩形是最简单的平面图形之一，其面积可以通过公式A=l×w来计算，其中A代表面积，l代表矩形的长度，w代表矩形的宽度。
根据这个公式，我们可以得出一个矩形的面积。
2.三角形面积方法：三角形是另一个常见的平面图形，其面积可以通过两个边长和夹角来计算。
如果已知三角形的底边长度b和对应的高h，可以使用公式A=0.5×b×h计算三角形的面积。
3.梯形面积方法：梯形是一个具有两个平行边的四边形，其面积可以通过两个平行边的长度和梯形的高来计算。
如果已知梯形的上底长a、下底长b和高h，可以使用公式A=0.5×(a+b)×h计算梯形的面积。
4.圆形面积方法：以上介绍了几种常见的面积方法，但实际上还有更多的面积计算方法，例如多边形的面积计算、不规则图形的面积计算等。
不同的图形有不同的面积计算方法，因此在解决面积问题时需要灵活运用不同的方法。
除了基本的面积计算方法外，还有一些面积问题需要通过一些特殊的技巧来解决。
例如，在解决复杂图形的面积问题时，可以通过将图形分割为较简单的几何图形来计算每个部分的面积，然后将这些部分的面积相加得到整个图形的面积。
这种方法被称为分割法。
另一个常见的面积问题是求解一个围成的区域的面积。
例如，给定一条曲线的方程，可以通过求解曲线与坐标轴之间的交点，然后计算每个小的矩形或三角形的面积，并将它们相加得到整个区域的面积。
面积问题在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，设计师需要计算房间的面积以确定材料的用量；在农业中，农民需要计算土地的面积以确定农作物的种植面积；在地理学中，需要计算地图上国家或城市的面积以了解其大小等。
中考数学专题训练12：面积问题和面积方法
中考数学专题训练12-13：面积问题和面积方法【考点分析】1．三角形的面积公式： (1)11sin 22ABC a S ah ab C D ==. (2)海伦—秦九韶公式： ))()((c p b p a p p S ABC ---=∆，其中p 表示三角形半周长. (3) pr c b a r S ABC =++=∆)(21,其中，r 表示三角形的内切圆半径. 2．与面积有关的结论：（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；（2）两个全等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（6）共边定理：若△PAB 和△QAB 的公共边AB 所在直线与直线PQ 交于M ，则QM PM S S Q AB PAB ::=∆∆；3.面积法：把同一个图形的面积，通过不同的方法各算一次，将会得到一个等式.根据这一基本思想，可以用来构造方程，求解未知数.例1. 在梯形ABCD 中，DC //AB ，M 为腰BC 上的中点,求证：12ADM ABCD S S D =.例2.从△ABC 的各顶点作三条平行线AD 、BE 、CF ，各与对边或延长线交于D 、E 、F ，求证：△DEF 的面积＝2△ABC 的面积.例3.求证：三角形的一边端点到该边中线所在直线的距离相等.例4.求证：等边三角形内部一点到三角形的三边距离相等.例5. 如图，C 是线段AB 上的一点，△ACD 、△BCE 都是等边三角形，AE 、BD 相交于O .求证：∠AOC =∠BOC .例6. 在△ABC 中，已知AB >AC ，∠A 的平分线交BC 于D ,求证：BD >CD .例7.（角平分线定理）AD 是∠ABC 的平分线，求证：AB BDAC DC = .例8.△ABC 的中线AD 、BE 相交于点G ，求证AG =2GD .例9. Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a、b为两直角边，斜边AB上的高为h，求证：222111ab h+=.例10.梯形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过O作EF∥AB交两腰于E、F，求证：EO=FO.例11.平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，求证：AO=CO.例12. 如图，△ABC中，AE＝CE，BC＝CD，求证：ED＝3EF.例13. 在△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且CE:AC=1：3，CD和BE交于G，求△ABC和四边形ADGE的面积比.224ba+，是一个三角形的三条边的长，求这个三角形的AAB C DEF【巩固练习】1. 在矩形ABCD中，△AMD的面积为15，△BCN的面积为20，则四边形MFNE的面积为______.2. 图中的三十六个小等边三角形的面积都等于1,则△ABC的面积为______.3.求证：（1）等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和是一个定值.（2）等腰三角形底边延长线上任一点到两腰的距离之差是一个定值.4. 如图，D在B C上，E在AD上，若△ABE、△BDE、△CDE的面积分别是16、7、5.求△AEC的面积.5. 如图，平行四边形ABCD中，EF∥AC分别交CD、AD于E、F.连接AE、BE、BF、CF.问与△BCE面积相等的三角形还有几个？分别是哪几个？6. 已知：在平行四边形ABCD中，AC为对角线，点E、F在AB、BC上，且EF∥AC.求证：S△AED=S△CFD.7. 在△ABC 内部或边界上任取一点P ，记P 到三边a ，b ，c 的距离依次为x ，y ，z ．求证：ax+by+cz 是一个常数．8. P 是△ABC 内任一点，AD ，BE ，CF 过点P 且交边BC ，CA ，AB 于D ，E ，F ． 求证：PD PE PF AD AE CF++=1.9. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC ＝60°，点E 、F 分别在直线AB 、射线OC 上，EF 的垂直平分线与∠AOC 的角平分线相交于点G ，若OE ＝7，OF ＝9，则OG ＝_________________．10. 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＋∠C ＝120°，AD ＝3，BC ＝7，则梯形ABCD 面积的最大值为__________．A BC D ABC D O11. 已知A （－3，0），B （0，－4），P 为反比例函数y ＝ 12 x（x ＞0）图象上的动点，PC ⊥x 轴于C ，PD ⊥y 轴于D ，则四边形ABCD 面积的最小值为___________．12. 在平面直角坐标系中，已知点A （2，4），B （4，2），C （1，1），点P 在x 轴上，且四边形ABOP 的面积是△ABC 的面积的2倍，则点P 的坐标为________________．13. 已知抛物线y ＝x 2－( m －1)x －m －1与x 轴交于A 、B 两点，顶点为为C ，则△ABC 的面积的最小值为__________．14. 如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE ＝6，EF ＝8，FC ＝10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为_______________．。
初中数学重点梳理：面积问题与面积方法(二)
面积问题与面积方法知识定位能够用正确的方法求解几何的有关面积，并且能够巧算面积，化难为易，化复杂为简单；要熟练的应用几何求几何面积的几种模式，其中主要有等积变换模型、鸟头定理（共角定理）模型、蝴蝶定理模型、相似模型、燕尾定理模型。
知识梳理1、 等面积变化模型：（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如下图12::S S a b =（3）夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
（4）正方形的面积等于对角线长度平方的一半；（5）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；2、鸟头定理（共角定理）模型：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
（1）共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
（2）如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△1S 2S3、蝴蝶定理模型：任意四边形中的比例关系。
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
① 1243::S S S S =1324S S S S ⨯=⨯ ② ()()1243::AO OC S S S S =++ 4、相似模型：相似三角形：相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； （2）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
初中数学竞赛专题选讲-面积法
初中数学竞赛专题选讲面积法一、内容提要1. 因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。
运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用的方法，简称面积法。
2. 面积公式（略）3. 两个三角形的面积比定理① 等高（底）的两个三角形的面积比，等于它们对应的底（高）的比 ② 有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比③ 相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方④ 有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线段的比（内分比或外分比）。
如图△ABC 和△ADC 有公共边第三顶点连线BD 被公共边AC内分或外分于点M ，则MDBM S ADC ABC ＝△△S外分定理④是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比二、例题例1. 求证有一个30度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项已知：菱形ABCD 中， ∠DAC ＝ 求证：AB 2＝AC ×BD证明：作高DE ，∵∠DAE ＝30∴DE ＝21AD ＝21AB S 菱形ABCD ＝AB ×DE ＝21AB 2S 菱形ABCD ＝AC ×BD ， ∴AB 2＝AC ×BDDC B C A C例2. 求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值已知：△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，D 是形内任一点，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，DG ⊥AB ，E ，F ，G 是垂足求证：DE ＋DF ＋DG 是一个定值证明：连结DA ，DB ，DC ，设边长为a,S △ABC ＝S △DBC ＋S △DCA ＋S △DAB21ah a ＝21a （DE ＋DF ＋DG ） ∴DE ＋DF ＋DG ＝h a∵等边三角形的高h a 是一个定值， ∴DE ＋DF ＋DG 是一个定值本题可推广到任意正n 边形,其定值是边心距的n 倍例3. 已知：△ABC 中，31===CA CF BC BE AB AD 求：ABCDEF S △△S 的值 解：∵△ADF 和△ABC 有公共角A∴ABC ADF S △△S ＝AC AB AF AD ⋅⋅＝AC AB AC 32AB 31⋅⋅＝92， 同理92S ABC BED ＝△△S ， ABC CFE S S △△＝92， ∴ABC DEF S △△S ＝31 （本题可推广到：当m AB AD 1=，n BC BE 1=，=CA CF p 1时， ABCDEF S △△S ＝mnp np mp mn p n m mnp ---+++） 例4. 如图Rt △ABC 被斜边上的高CD 和直角平分线CE 分成3个三角形，已知其中两个面积的值标在图中，求第三个三角形的面积x 。
专题2：面积问题与面积方法(讲义)
专题二：面积问题与面积方法主讲教师：贺航飞引例1证明：（维维安尼定理）“面积法”∵21231()2ABC PBC PAB PACS S S S a h h h ∆∆∆∆=++=++= ∴123h h h ++=。
引例2：一个不规则四边形ABCD （面积为S ），如图1所示．在每条边上都取三等分点，再把两双对边上的三等分点连起来，成井字形．求中间四边形MNOP 的面积．解：S MNOP =19S 第一步，S ABCD = 3S KLGH = 3S EFIJ ； S KLGH =∆LGH+∆LKH=12(∆LBH+∆LHD)=12(S ABCD -∆ABL -∆CDH)=12( S ABCD -13S ABCD )=13S ABCD 第二步，M, N 与P, O 分别是LG 与KH 的三等分点；2133BEJC BEJC GEJ S JCG GEB S JCB CEB ∆=-∆-∆=-∆-∆2112()()3333BEJC BEJC BEJC S S BEJ S JCE JCE BEJ =--∆--∆=∆+∆同理，1233LEJ DEJ AEJ ∆=∆+∆，∴2GEJ LEJ ∆=∆，点M 为LG 的三等分点；第三步，由第一步知S KLGH =3S MNOP ，∴S MNOP =19S ．【知识内容】一、三角形面积问题设∆ABC ，a , b, c 分别为角A, B, C 的对边，h a 为a 边上的高，R, r 分别为∆ABC 外接圆、内切圆半径，半周长1()2p a b c =++．则∆ABC 的面积有如下公式：⑴12ABC a S ah ∆=；⑵1sin 2ABC S ab C ∆=； ⑶ABC S rp ∆=；⑷ABC S ∆= ⑸22sin sin sin ABC S R A B C ∆=； ⑹4ABC abcS R∆=；⑺1()2ABC a S r b c a ∆=+-；（r a 旁切圆半径） ⑻21(sin 2sin 2sin 2)2ABCS R A B C ∆=++； ⑼2sin sin 2sin()ABCa B CS B C ∆=+．F E 图1二、常见面积定理⑴一个图形的面积等于它的各部分面积之和； ⑵两个全等形的面积相等；⑶等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底即两底和相等）的面积相等； ⑷相似三角形面积比等于相似比的平方；⑸等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；A PB A Q B ∆∆⑻共角定理：若∠ABC 和∠A ’B ’C ’相等或互补，则'''''''ABC A B C S A B B C ∆∆=⋅．【典型例题】1．面积分割（等积法）：①多边形可以分割成若干个三角形，其面积保持不变． ②同高三角形的面积比等于底之比．例1：如图2，正方形边长为10，一条长为9的线段AB ，端点在这正方形的两条邻边上．在A 下面3处作水平线，在B 左边2处作垂直线，分别得到C 、D ．求四边形ABCD 的面积．解：分割，S ABCD ＝53．例2：凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于K ．如果面积和AKB CKD BKC DKA S S S S ∆∆∆∆+=+，那么K 是AC 或BD 的中点．2BA图2证明：∵AKB AKD AKBKC DKC KC∆∆==∆∆， ∴(1)()0KCAKB CKD BKC DKA AKB DKA AK∆+∆-∆-∆=-∆-∆= 故10KCAK-=，此时K 为AC 中点；或者AKB DKA ∆=∆，此时K 为BD 中点。
(完整版)初一下培优(面积问题)
面积的计算和面积法一、计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识：1.常见图形的面积公式；2.等积定理：等底等高的两个三角形面积相等；3.夹在平行线间的距离处处相等4.等比定理：(1) 同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积之比等于等于对应底之比.(2) 相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方. 熟悉下列基本图形、基本结论：二、用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果． 下列情况可以考虑用面积法：（1）涉及三角形的高、垂线等问题； （2）涉及角平分线的问题 面积法：1、如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的高为______________．2、 如图，在□ABCD 中，E 为AD 上一点，F 为AB 上一点，且BE ＝DF ，BE 与DF 交于G ， 求证：∠BGC ＝∠DGC .（到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上）S 1S 4S 1S 2S 3S 1S 2S 3S 4S 2S 3S 1S 2S 3S 2S 1EB CAD计算图形的面积3、如图，△ABC 内三个三角形的面积分别为5，8，10，四边形AEFD 的面积为x ，则x ＝________.4、 如图所示，ABC ∆、BCD ∆、CDA ∆的面积分别为49、27和14，则AOD ∆的面积为多少？5．如图所示，在矩形ABCD 中，E 是AD 中点，F 是CE 中点，,62cm S BDF =∆则矩形ABCD 的面积为多少？例1图C ODCBA6、如图，P 为平行四边形ABCD 内一点，且5=PAB S ∆,2=PAD S ∆.则.__________=PAC S ∆7、如图，矩形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 、分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上。
初中数学竞赛：面积问题与面积方法
(4)梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于O．若S△ABO=p2，S△CDO=q2，则SABCD=____．
△ABC=40．若BE，CD相交于F，则S△DEF=______．
所以
同理可得
从①，②，③中可以解得
所以
例5在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形：将单位正方形的每一条边n等分，然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来．如果小正方形(图中阴影部分)的面积恰
解如图2-131，过F作BC的平行线交BG于H，则∠GHF=∠CED，∠FGH=∠DCE=90°，故
证首先，同例2类似，容易证明
说明本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决．
例8如图2-134，已知D，E，F分别是锐角三角形ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值．
5．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S1=30，S2=6，求△ADC的面积S．
6．设P是△ABC内一点，AD，BE，CF过点P并且交边BC，CA，AB于点D，E，F．求证：
7．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE．
初中数学竞赛：面积问题与面积方法
几何学的产生，源于人们测量土地面积的需要．面积不仅是几何学研究的一个重要内容，而且也是用来研究几何学的一个有力工具．
初中数学竞赛教程及练习之面积法附答案
面积法一、内容提翼.因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。
运用面积公式及有关面积性质定理解答儿何题是常用的方法，简称面积法。
.面积公式（略）两个三角形的面积比定理.等高（底）的两个三角形的面积比，等于它们对应的底（高）的比.有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比.相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方.有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线段的比（内分比或外分比K a A如图△ABC和AADC有公共边AC,氽M内分BD o第三顶点连线BD被公共边AC/l\/\内分或外分于点M,//X.则』空十尸汶4。
‘△ADC MD定理④是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比二、例题.求证有一个30度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项已知：菱形ABCD中，ZDAC=30°求证：ab2=acxbd证明：作高DE,VZDAE=30°.•.de=L ad=L ab S22S菱形abcd=ACXBD./.AB2=ACXBD.求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值已知：AABC中，AB=BC=AC,D是形内任一点,DE±BC.DF_LAC,DG±AB,E, F.G是垂足求证：DE+DF+DG是一个定值证明：连结DA,DB.DC,设边长为a,‘△abc=S mbc+S adca+S adabC lah a=-J-a(DE+DF+DG)22.•.DE+DF+DGf...等边三角形的高h,是一个定值，...DE+DF+DG是一个定值本题可推广到任意正n边形，其定值是边心距的n倍f aAD BE CF 1已知：AABC 中，——=——=——=-AB BC CA 3求：萨虬的值'△ABCBE （本题可推广到:1—,---=—，m BC n 竺=顼CA p'△DEh mn P + "1 + 〃 + p - mn - nip - np )S A abc mnP如图RtAABC 被斜边上的高CD 和直角平分线CE 分成3个三角形，已知其中两个面积的值标在图中，求第三个三角形的面积X 。
初中数学-面积问题与面积方法
面积问题与面积方法[赛点突破]1．利用面积关系解决几何问题，古已有之，最典型的例子就是勾股定理的许多采用面积割补的证明。
在数学竞赛中，有些问题是要求出指定图形的面积，也有些问题从表面上看似乎不直接涉及到面积，但若用等积变换与面积法去解答，往往会收到事半功倍的效果。
在运用等积变换与面积法时，常常用到以下的公式和定理。
2．ABC ∆中，设a h 为a 边上的高，R 、r 分别为ABC ∆外接圆、内切圆的半径,1()2p a b c ，则11sin 22ABCa Sah ab C ()()()rp p p a p b p c22sin sin sin 4abcR A B CR三角形的面积公式形式多样，注意根据问题需要灵活选取。
3．(1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（2）等底（或等高）的三角形的面积比等于其所对应的高(或底）的比。
4．共角定理若ABC 与'''A B C 相等或互补，则'''''''ABC A B C S AB BCS A B B C 。
5．共边定理如图，若直线AB 与PQ 相交于M ，则PAB QABS PMSQM。
ABPQMABPM Q[范例解密]例1 已知：如图，P 是△ABC 中BAC 平分线上的任一点,过C 作CE ∥PB 交AB 的延长线于E ，过B 作BF ∥PC 交AC 的延长线于F.求证：BECF 。
分析：利用角平分线性质得到距离相等,结合等底等高的两个三角形面积相等，将问题转化为等积问题。
证明：连结PE 、PF ∵ CE ∥PB,BF ∥PC ∴ ,= =PBEPBCPCFPBCS S SS∴ =PBE PCFSS又∵ P 是BAC 平分线上的点∴ P 到BE 及CF 的距离相等即PBE 的边BE 上的高等于PCF 的边CF 上的高∴ BE CF评注：解决本题的关键是运用“平行得等积”。
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初中数学竞赛专题培训第二十二讲面积问题与面积方法
几何学的产生，源于人们测量土地面积的需要．面积不仅是几何学研究的一个重要内容，而且也是用来研究几何学的一个有力工具．
下面，我们把常用的一些面积公式和定理列举如下．
(1)三角形的面积
(i)三角形的面积公式
b＋c)是半周长，r是△ABC的内切圆半径．
(ii)等底等高的两个三角形面积相等．
(iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比；两个等高三角形的面积之比等于底边之比；两个三角形面积之比等于底、高乘积之比．
(iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
(2)梯形的面积
梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半．
(3)扇形面积
其中r为半径，l为弧长，θ为弧l所对的圆心角的度数，α是弧度数．
1．有关图形面积的计算和证明
解因为CD⊥AB，AC=CB，且△ABD内接于半圆，由此可得
所以，阴影部分AEFBDA的面积是
例2已知凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为S1=5，S2=10，S3=6．求△ABO 的面积(图2-128)．
解首先，我们证明△ABC与△ACD的面积比等于BO与DO的比．过B，D分别作AC的垂线，垂足为E，F．于是Rt△
BEO
由题设
设S△AOB=S，则
所以
例3 如图2-129，AD，BE，CF交于△ABC内的一点P，并将△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．
分析如果能把未知的两个小三角形的面积求出，那么△ABC 的面积即可得知．根据例1，这两个面积是不难求出的．
解设未知的两个小三角形的面积为x和y，则
即
又
即
①÷②得
再由②得x=56．因此
S△ABC＝84＋70＋56＋35＋40＋30=315．
例4 如图2-130，通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平形四边形部分的面积为S1，S2，S3，求△ABC的面积．
解为方便起见，设
S△QDG=S′1，S△QIE=S′2，S△QFH=S′3，则
所以
同理可得
从①，②，③中可以解得
所以
例5在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形：将单位正方形的每一条边n等分，然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来．如果小正方形(图中阴影部分)
的面积恰
解如图2-131，过F作BC的平行线交BG于H，则∠GHF=∠CED，∠FGH=∠DCE=90°，故
n2-n-90=0，
所以n=10．
2．利用面积解题
有的平面几何问题，虽然没有直接涉及到面积，然而若灵活地运用面积知识去解答，往往会出奇制胜，事半功倍．
例6 在△ABC内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c 的距离依次为x，y，z．求证：ax+by+cz是一个常数．
证如图2-132，连结PA， PB，PC，把△ABC分成三个小三角形，则
S△ABC＝S△PAB＋S△PCB＋S△PCA
所以 ax＋by＋cz=2S△ABC，
即ax＋by＋cz为常数．
说明若△ABC为等边三角形，则
此即正三角形内一点到三边的距离和为常数，此常数是正三角形的高．
例7如图2-133，设P是△ABC内任一点，AD，BE，CF是过点P且分别交边BC，CA，AB于D，E，F．求证：
证首先，同例2类似，容易证明
说明本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决．
例8如图2-134，已知D，E，F分别是锐角三角形ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值．
解由上题知
去分母整理得
3(xy+yz＋zx)＋36(x+y＋z)＋324
=xyz+6(xy＋yz＋zx)+36(x+y＋z)＋216，
所以 xyz=108-3(xy＋yz＋zx)=24．
练习二十二
1．填空：
________．
(2)一个三角形的三边长都是整数，周长为8，则这个三角形的面积是________．
(3)四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=1，则四边形ABCD的面积是______．
(4)梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于O．若S△ABO
=p2，S△CDO=q2，则S ABCD=____．
△ABC
=40．若BE，CD相交于F，则S△DEF=______．
2．E，F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，若△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是3，4，5，求△AEF的面积．
3．已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且
BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的最大值．
4．在凸五边形ABCDE中，S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB=1，CE与AD相交于F，求S△CFD．
5．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S1=30，S2=6，求△ADC的面积S．
6．设P是△ABC内一点，AD，BE，CF过点P并且交边BC，CA，AB于点D，E，F．求证：
7．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC 边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE．。