8 线性规划

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线性规划知识点

线性规划知识点

线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法,用于求解线性约束条件下的最优解问题。

它在运筹学、管理科学、经济学等领域有着广泛的应用。

线性规划的目标是通过线性目标函数的最小化或最大化,找到使得一系列线性约束条件得到满足的最优解。

二、基本概念1. 线性规划模型线性规划模型由目标函数和约束条件组成。

目标函数是需要最小化或最大化的线性函数,约束条件是一系列线性不等式或等式。

2. 可行解可行解是满足所有约束条件的解。

在线性规划中,可行解构成了一个可行域,即满足所有约束条件的解的集合。

3. 最优解最优解是使得目标函数取得最小或最大值的可行解。

在线性规划中,最优解可以是有限的,也可以是无穷的。

4. 线性规划的标准形式线性规划的标准形式包括以下特点:- 目标函数为最小化形式;- 所有约束条件为等式形式;- 变量的取值范围为非负数。

1. 图形法图形法是线性规划最直观的解法之一。

它通过绘制变量的可行域图形,找到目标函数的最优解。

2. 单纯形法单纯形法是一种迭代算法,通过不断地移动解的位置来逐步逼近最优解。

它是线性规划中应用最广泛的解法之一。

3. 对偶理论对偶理论是线性规划中的重要概念之一。

它通过将原始问题转化为对偶问题,从而得到原始问题的最优解。

四、线性规划的应用线性规划在实际生活中有着广泛的应用,以下是一些常见的应用领域:1. 生产计划线性规划可以用于确定最佳的生产计划,以最小化生产成本或最大化利润。

2. 运输问题线性规划可以用于解决运输问题,如货物的最佳配送方案、最短路径等。

3. 金融投资线性规划可以用于优化投资组合,以最大化投资收益或最小化风险。

4. 资源分配线性规划可以用于确定最佳的资源分配方案,如人力资源、物资等。

尽管线性规划在许多问题中有着广泛的应用,但它也存在一些局限性:1. 线性假设线性规划的基本假设是目标函数和约束条件都是线性的,这限制了它在处理非线性问题上的应用。

2. 离散性问题线性规划通常适用于连续变量的问题,对于离散变量的问题,它的应用受到限制。

线性规划知识点总结

线性规划知识点总结

线性规划知识点总结线性规划(Linear Programming)是一种优化问题的数学方法,用于在一定的约束条件下,寻找一个线性目标函数的最优解。

线性规划常被应用于经济、生产、管理等领域,旨在优化资源的利用,实现目标的最大化或最小化。

本文将对线性规划的基本概念、问题建模、解决方法以及应用领域进行总结。

一、基本概念1.1 目标函数目标函数是线性规划的核心部分,通常用来衡量系统的效益。

它是一个关于决策变量的线性函数,其形式可以是最大化或最小化。

1.2 约束条件约束条件用来限制决策变量的取值范围,确保问题的解满足实际情况。

约束条件可以是等式约束或不等式约束,也可以包含多个条件。

1.3 决策变量决策变量是问题中的未知数,决策者需要根据实际情况确定其取值范围,以达到最优解。

二、问题建模2.1 目标函数的确定根据实际问题确定目标函数,并明确最大化或最小化的目标。

2.2 约束条件的设定根据问题的实际情况,将约束条件转化为线性等式或不等式,并将其表示成一组数学表达式。

2.3 决策变量的确定根据问题的要求,确定决策变量的取值范围,可用数学符号表示。

三、解决方法3.1 图形法图形法是线性规划中最直观的解法,适用于二维或三维线性规划问题。

通过绘制等式或不等式的图形,找出目标函数的最优解。

3.2 单纯形法单纯形法是一种高效的解法,适用于多维线性规划问题。

通过构建初始可行解,通过迭代计算,逐步接近最优解。

3.3 整数规划整数规划是线性规划的扩展,要求决策变量取值为整数。

其求解方法包括分支定界法、割平面法等。

四、应用领域4.1 生产与运作管理线性规划可用于生产计划、物流优化、资源调度等问题,通过最优化资源利用,降低成本、提高效益。

4.2 金融领域线性规划被广泛应用于证券组合优化、资产配置、风险管理等领域,帮助投资者做出最佳投资决策。

4.3 能源与环境管理线性规划用于能源生产、污染物排放控制等问题,通过均衡能源利用,降低环境影响。

每日一题型 8 线性规划之最优解无数

每日一题型 8 线性规划之最优解无数

每日一题型 8 线性规划之最优解无数 面对线性规划中的最优解无数多时,建议同学们采用的方法是让目标函数分别与可行域边界平行,平移注意y 轴截距的变化,是否满足最优解是在边界的线段上取得?例1.已知实数x ,y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,y ≤1,2x -2y +1≤0,若目标函数z =mx -y (m ≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个,则实数m 的值为 ( )A .1 B.12 C .-12D .-1解析:作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示,由图可知当直线y =mx -z (m ≠0)与直线2x -2y +1=0重合,即m=1时,目标函数z =mx -y 取最大值的最优解有无穷多个.答案:A例2.(2015·盐城调研)已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +4y -13≤0,2y -x +1≥0,x +y -4≥0,且有无穷多个点(x ,y )使目标函数z =x +my 取得最小值,则m =________.解析:作出线性约束条件表示的平面区域,如图阴影部分所示.若m =0,则z =x ,目标函数z =x +my 取得最小值的最优解只有一个,不符合题意.若m ≠0,则目标函数z =x +my 可看作斜率为-1m的动直线y =-1m x +zm.若m <0,则-1m>0,数形结合知使目标函数z=x +my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个.若m >0,则-1m<0,数形结合可知,当动直线与直线AB 重合时,有无穷多个点(x ,y )在线段AB 上,使目标函数z =x +my 取得最小值,即-1m=-1,则m =1.综上可知,m =1.答案 1下面看两道练习题:1.x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y -2≤0,x -2y -2≤0,2x -y +2≥0.若z =y-ax 取得最大值的最优解不唯一...,则实数a 的值为( )A.12或-1 B .2或12 C .2或1 D .2或-12.变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥-1,x -y ≥2,3x +y ≤14,若使z =ax +y 取得最大值的最优解有无数个,则实数a 的取值集合是________。

线性规划知识点总结

线性规划知识点总结

线性规划知识点总结一、概述线性规划(Linear Programming,简称LP)是一种数学优化方法,用于解决线性约束下的最优化问题。

它的基本思想是通过线性目标函数和线性约束条件,找到使目标函数取得最大(或最小)值的变量取值。

二、基本概念1. 目标函数:线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数,称为目标函数。

目标函数通常表示为z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn,其中c1, c2, ..., cn为常数,x1,x2, ..., xn为决策变量。

2. 决策变量:决策变量是问题中需要决策的变量,用于表示问题的解。

决策变量通常用x1, x2, ..., xn表示。

3. 约束条件:约束条件是对决策变量的限制条件,用于限定解的可行域。

约束条件通常表示为a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1, a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2, ..., am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm,其中a11, a12, ..., amn为常数,b1, b2, ..., bm为常数。

4. 可行解:满足所有约束条件的解称为可行解。

5. 最优解:在所有可行解中,使目标函数取得最大(或最小)值的解称为最优解。

三、线性规划的解法线性规划问题可以通过以下几种方法求解:1. 图形法:对于二维线性规划问题,可以通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线图,找到最优解。

2. 单纯形法:单纯形法是一种迭代算法,通过不断移动到更优的解来寻找最优解。

它从一个可行解开始,每次迭代都朝着更优的方向移动,直到找到最优解或证明问题无解。

3. 对偶理论:线性规划问题可以通过对偶理论转化为对偶问题,并通过求解对偶问题来获得原始问题的最优解。

4. 整数线性规划:当决策变量需要取整数值时,问题称为整数线性规划。

整数线性规划问题通常比线性规划问题更难求解,可以使用分支定界法等方法进行求解。

八种经典线性规划例题(超实用)

八种经典线性规划例题(超实用)

线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件,并作出可行域,进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型,除此之外,还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则z=x+2y 的取值范围是 ( )A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、(3,5]解:如图,作出可行域,作直线l :x+2y =0,将l 向右上方平移,过点A (2,0)时,有最小值 2,过点B (2,2)时,有最大值6,故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为 ( )A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解:如图,作出可行域,△ABC 的面积即为所求,由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC 的面积即可,选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|+|y|≤2的点(x ,y )中整点(横纵坐标都是整数)有( ) A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个解:|x|+|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界),容易得到整点个数为13个,选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩,使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则a 的值为 ( ) A 、-3 B 、3 C 、-1 D 、1解:如图,作出可行域,作直线l :x+ay =0,要使目标函数z=x+ay (a>0)取得最小值的最优解有无数个,则将l 向右上方平移后与直线x+y =5重合,故a=1,选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是( )A 、13,1B 、13,2C 、13,45D 、5解:如图,作出可行域,x 2+y 2是点(x ,y )到原点的距离的平方,故最大值为点A (2,3)到原点的距离的平方,即|AO|2=13,最小值为原点到直线2x +y -2=0的距离的平方,即为45,选 C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x -y +m|<3表示的平面区域包含点(0,0)和(-1,1),则m 的取值范围是 ( ) A 、(-3,6) B 、(0,6) C 、(0,3) D 、(-3,3)解:|2x -y +m|<3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0<m <3,选 C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率,这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

第8课线性规划(经典例题练习、附答案)

第8课线性规划(经典例题练习、附答案)

第8课线性规划(经典例题练习、附答案)第8课线性规划◇考纲解读①从实际情境中抽象出⼆元⼀次不等式组;②了解⼆元⼀次不等式的⼏何意义,能⽤平⾯区域表⽰⼆元⼀次不等式组;③从实际情境中抽象出⼀些简单的⼆元线性规划问题,并能加以解决.◇知识梳理1.平⾯区域①⼆元⼀次不等式0Ax By C ++>在平⾯直⾓坐标系中表⽰0Ax By C ++=某⼀侧所有点组成的__________.②在直线的某⼀侧取⼀特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C >0表⽰直线哪⼀侧的平⾯区域.(特殊地,当C ≠0时,常把_______作为此特殊点)王新敞③在坐标系中画不等式0Ax By C ++>所表⽰的平⾯区域时,把直线0Ax By C ++=画成虚线,表⽰区域__________边界直线.④在坐标系中画不等式0Ax By C ++≥所表⽰的平⾯区域时,把直线0Ax By C ++=画成实线,表⽰区域____________边界直线.2.线性规划:①求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题,统称为________问题②满⾜线性约束条件的解(x ,y )叫做__________,由所有可⾏解组成的集合叫做__________.(类似函数的定义域);③使⽬标函数取得最⼤值或最⼩值的可⾏解叫做____________ 线性规划问题⼀般⽤图解法,其步骤如下:(1)根据题意,设出变量x 、y ;(2)找出线性约束条件;(3)确定线性⽬标函数z =f (x ,y );(4)画出可⾏域(即各约束条件所⽰区域的公共区域);(5)利⽤线性⽬标函数作平⾏直线系f (x ,y )=t (t 为参数);(6)观察图形,找到直线f (x ,y )=t 在可⾏域上使t 取得欲求最值的位置,以确定最优解,给出答案◇基础训练1.(2008⼭东青岛)若y x z y y x x y y x +=??-≥≤+≤2,11,则满⾜约束条件的最⼤值为()A .2B .3C .4D .52. (2008佛⼭⼀模)在平⾯直⾓坐标系中,不等式组0401x y x y x +≥??-+≥??≤?表⽰的平⾯区域⾯积是().A .3B .6C .92D .9 3.设实数x , y 满⾜的最⼤值是则x y y y x y x ,03204202??≤->-+≤-- _________4.(2008⼭东济宁)已知点(,)P x y 的坐标满⾜条件41x y y x x +≤??≥??≥?,点O 为坐标原点,那么||PO 的最⼤值等于_______,最⼩值等于____________.◇典型例题例1.已知实数x ,y 满⾜不等式组22021x y x y +-≥??≤??≤?,求22z x y =+-⼤值和最⼩值.例2.为迎接2008年奥运会召开,某⼯艺品加⼯⼚准备⽣产具收藏价值奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该⼚所⽤的主要原料为A 、B 两种贵重⾦属,已知⽣产⼀套奥运会标志需⽤原料A 和原料B 的量分别为4盒和3盒,⽣产⼀套奥运会吉祥物需⽤原料A 和原料B 的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元,奥运会吉祥物每套可获利1200元,该⼚⽉初⼀次性购进原料A 、B 的量分别为200盒和300盒.问该⼚⽣产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该⼚⽉利润最⼤,最⼤利润为多少?◇能⼒提升1.(2007⼴州⼆模)已知⽅程2x bx 10(b R 0)a a a +-=∈>、且有两个实数根,其中⼀个根在区间(1,2)内,则a -b 的取值范围为()A .()+∞-1,B .()1,-∞-C .()1,∞-D .()1,1-2.给出平⾯区域(包括边界)如图所⽰,若使⽬标函数(0)z ax y a =+>取得最⼤值的最优解有⽆穷多个,则a 的值为() A .14 B .35 C .4 D .533.(2008佛⼭⼆模)已知A 为xOy 平⾯内的⼀个区域.命题甲:点20(,){(,)|0}360x y a b x y x x y -+≤??∈≥??+-≤?;命题⼄:点A b a ∈),(.如果甲是⼄的充分条件,那么区域A的⾯积的最⼩值是(). A .1 B .2 C .3 D .44.(2008深圳⼆模)当点(,)M x y 在如图所⽰的三⾓形ABC 内(含边界)运动时,⽬标函数z kx y =+取得最⼤值的⼀个最优解为(1,2),则实数k 的取值范围是()A .(,1][1,)-∞-+∞B .[1,1]-C .(,1)(1,)-∞-+∞D .(1,1)-5.实数x ,y 满⾜不等式组00220y x y x y ≥??-≥??--≥?若ωω则,11+-=x y 的取值范围是 . 6.(2008韶关⼆模)某车间⽣产甲、⼄两种产品,已知制造⼀件甲产品需要A 种元件5个,B 种元件2个,制造⼀件⼄种产品需要A 种元件3个,B 种元件3个,现在只有A 种元件180个,B 种元件135个,每件甲产品可获利润20元,每件⼄产品可获利润15元,试问在这种条件下,应如何安排⽣产计划才能得到最⼤利润?2)第8课线性规划◇知识梳理1. ①平⾯区域,②原点,③不包括,④包括. 2. ①线性规划,②可⾏解,③最优解。

线性规划

线性规划
线性规划
线性规划是一类最简单的优化问题,同时也是 具有普遍实际意义的一类优化问题。
线性规划模型的一般形式为:
max(min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
s.t.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0
约束条件 每套钢架所需的三种长度的元钢数目是相 同的,而100套钢架需要三种长度的元钢都是 100根,因此有
长度为2.9m的元钢数: x1 2 x2 x4 x6 100 长度为2.1m的元钢数:2 x3 2 x4 x5 x6 3 x7 100 长度为1.5m的元钢数:3 x1 x2 2 x3 3 x5 x6 4 x8 100
车床B上的加工台时限制: x1 2 x2 8
车床C上的加工台时限制: 4 x1
车床D上的加工台时限制:
16
4 x2 12
非负条件:x1 , x2 0
第三步——明确目标函数 利润最大: max : z 2 x1 3 x2 该问题的数学模型为:
返回
结束
线性规划
目标函数:
max z 2 x2 3 x2
该问题所涉及的因素以及之间的数量关系可 以用表1-1表示
返回 结束
线性规划
产品 单位产品所需资源 资源
A1 A2 An
可供应的资源量
B1 B2 Bm
单位产品所得利润
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n a m 1 a m 2j 1

线性规划

线性规划
xij 0
x12 x13
线性规划的典型实例
运输问题
数学模型
10x11 min f s.t. x11 x12 x 21 x 22 x11 x 21 x12 x13 x ij x 22 x 23 0 (i 1, 2; j 12x12 9x13 x13 35 x 23 55 26 38 26 1, 2, 3) 8x 21 11x 22 13x 23
基本解不是线性规划问题的解,而是仅满足约束方程组的解
线性规划问题中解的概念
可行解、可行域
上面的分析仅考虑了约束方程组Ax=b,下面进一步考虑线性规划问题的非负 约束。我们称既满足约束方程组Ax=b,又满足非负约束x≥0的解为线性规划 问题的可行解,即可行解满足线性规划问题的所有约束。可行解的集合称为可 行域,记作:
下面将分步骤详细分析如何获得这个线性规划问题的解,同时介绍在这类问题 中的几个概念
线性规划问题中解的概念
基本解
如果线性规划问题的解存在,则它必定是满足Ax=b的有限多个“基本解”中 选出的,那么我们的第一个任务就是找出满足方程Ax=b的基本解 假设独立方程的个数为m个,故Ax=b的系数矩阵A的秩为m,于是A中必有m 个列向量是线性无关的,不妨假设A中的前m个列向量线性无关,则这m个列 向量可以构成矩阵A的m阶非奇异子矩阵,用矩阵B表示:
D x | Ax b, x 0
基本可行解
特别的,若线性规划问题的基本解能够满足线性规划问题中的非负约束,即:
xB B 1b 0
则称该解xB为基本可行解,简称基可行解,称B为可行基。基可行解的数量不 m 会超过 C n 个。显然,基本可行解一定是可行解,基可行解是可行域中一种特 殊的解
最优解

线性规划知识点

线性规划知识点

线性规划知识点一、什么是线性规划线性规划是一种数学优化方法,用于解决在给定约束条件下的线性目标函数的最优化问题。

线性规划的目标函数和约束条件都是线性的,因此可以通过线性代数的方法进行求解。

线性规划在实际问题中有广泛的应用,如生产计划、资源分配、运输问题等。

二、线性规划的基本要素1. 目标函数:线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数,通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ,其中 Z 为目标函数值,c₁, c₂, ..., cₙ 为系数,x₁,x₂, ..., xₙ 为决策变量。

2. 决策变量:决策变量是问题中需要决策的变量,通常表示为x₁, x₂, ..., xₙ。

决策变量的取值决定了目标函数的值。

3. 约束条件:约束条件限制了决策变量的取值范围。

约束条件可以是等式约束或不等式约束,通常表示为 a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁,a₂₁x₁ +a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂,...,aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ,其中 a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ 为系数,b₁, b₂, ..., bₙ 为常数。

4. 非负约束:线性规划中通常要求决策变量的取值非负,即 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ...,xₙ ≥ 0。

三、线性规划的解法线性规划可以通过不同的方法进行求解,常见的方法包括图形法、单纯形法和内点法。

1. 图形法:图形法适用于二维或三维的线性规划问题。

首先将目标函数和约束条件转化为几何形式,然后在坐标系中绘制约束条件的图形,最后通过图形的分析找到最优解点。

2. 单纯形法:单纯形法是一种通过迭代寻找最优解的方法。

该方法从一个可行解开始,通过不断移动到相邻的可行解来逐步接近最优解。

单纯形法的核心是单纯形表,通过表格的变换和计算来确定下一个迭代点,直到找到最优解。

3. 内点法:内点法是一种通过迭代寻找最优解的方法。

线性规划知识点

线性规划知识点

线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法,用于解决线性目标函数和线性约束条件下的最优化问题。

它在各个领域都有广泛的应用,包括生产计划、资源分配、运输问题等。

本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用案例。

二、基本概念1. 目标函数:线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数,称为目标函数。

目标函数通常表示为Z=c1x1+c2x2+...+cnxn,其中ci为系数,xi为决策变量。

2. 约束条件:线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件,通常表示为a1x1+a2x2+...+anxn≤b,其中ai为系数,b为常数。

3. 可行解:满足所有约束条件的解称为可行解。

4. 最优解:在所有可行解中,使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。

三、模型建立1. 决策变量:根据实际问题确定需要优化的变量,例如生产数量、销售数量等。

2. 目标函数:根据问题要求确定目标函数的形式,并确定系数。

3. 约束条件:根据问题要求确定约束条件的形式,并确定系数和常数。

4. 非负约束:线性规划中的决策变量通常要求非负,即xi≥0。

四、求解方法1. 图形法:对于二维线性规划问题,可以通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线来求解最优解。

2. 单纯形法:对于高维线性规划问题,可以使用单纯形法进行求解。

单纯形法是一种迭代算法,通过不断调整基变量和非基变量的取值,逐步接近最优解。

3. 整数规划:当决策变量需要为整数时,可以使用整数规划方法进行求解。

整数规划通常比线性规划更加复杂,求解时间也更长。

五、应用案例1. 生产计划:某公司有两种产品A和B,每单位产品A需要2小时加工时间和3小时装配时间,每单位产品B需要1小时加工时间和2小时装配时间。

公司每天有8小时的加工时间和10小时的装配时间可用。

产品A的利润为100元,产品B 的利润为80元。

如何安排生产计划,使利润最大化?2. 资源分配:某公司有三个项目需要分配资源,每个项目需要的资源量不同。

线性规划的十种类型

线性规划的十种类型

线性规划的十种类型线性规划是一种优化问题的数学方法,其目标是找到一组决策变量的最佳值,以使目标函数在一组约束条件下达到最大(最小)值。

线性规划问题可以分为以下十种类型。

1.单目标线性规划:在单目标线性规划中,只有一个目标函数需要最大化或最小化。

例如,最大化营销利润或最小化生产成本。

2.多目标线性规划:多目标线性规划包含两个或更多个目标函数,需要在多个目标之间进行权衡。

例如,同时最大化销售额和最小化生产成本。

3.约束线性规划:在约束线性规划中,问题除了目标函数外,还有一些约束条件需要满足。

例如,生产项产品所需的原材料数量不能超过供应商的可用数量。

4.混合整数线性规划:在混合整数线性规划中,决策变量可以为实数或整数。

该问题既包含线性约束条件,又包含整数约束条件。

例如,在生产计划中考虑到机器的整数需求。

5.二次线性规划:在二次线性规划中,目标函数为二次函数,但约束条件为线性函数。

例如,在市场分析中,为了最大化利润,需要考虑产品价格和销售量之间的二次关系。

6.敏感性分析:敏感性分析用于确定目标函数和约束条件的变化情况下,最优解如何随之变化。

例如,在成本或需求变化时,优化生产或库存计划。

8.资源分配:资源分配问题涉及到如何最优地分配有限资源,以满足不同的需求。

例如,在项目管理中,如何分配时间、金钱和人力资源以最大化项目成功。

9.增益线性规划:增益线性规划是在优化问题中引入风险和不确定性的一种方法。

例如,在金融领域,如何在市场波动和风险条件下最大化回报。

10.竞争性线性规划:竞争性线性规划涉及到多个参与者之间的竞争和博弈。

例如,在拍卖和竞标过程中,如何确定最佳投标策略以赢取项目并最大化利润。

以上是线性规划的十种类型,每种类型都涉及不同的问题和应用领域。

线性规划的方法可以帮助企业、组织和个人做出最佳的决策,以实现其目标并最大化效益。

线性规划知识点总结

线性规划知识点总结

线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法,用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它的目标是找到一组决策变量的值,使得目标函数达到最大或者最小值。

线性规划广泛应用于经济学、管理学、工程学等领域,可以匡助决策者做出最优的决策。

二、基本概念1. 决策变量:线性规划中需要决策的变量,通常用x1、x2、x3等表示。

2. 目标函数:线性规划的优化目标,可以是最大化或者最小化一个线性函数。

3. 约束条件:对决策变量的限制条件,通常是一组线性不等式或者等式。

4. 可行解:满足所有约束条件的决策变量的取值组合。

5. 最优解:使得目标函数达到最大或者最小值的可行解。

三、标准形式线性规划问题可以通过将其转化为标准形式来求解,标准形式包含以下要素:1. 目标函数:通常是最大化或者最小化一个线性函数。

2. 约束条件:一组线性不等式或者等式。

3. 非负约束条件:决策变量的取值必须大于等于零。

四、线性规划的求解方法线性规划可以使用多种方法进行求解,常见的方法有:1. 图形法:适合于二维线性规划问题,通过绘制等式和不等式的图形来确定最优解。

2. 单纯形法:适合于多维线性规划问题,通过迭代计算来寻觅最优解。

3. 内点法:适合于大规模线性规划问题,通过迭代计算来寻觅最优解。

4. 整数规划法:适合于决策变量为整数的线性规划问题,通过搜索算法来寻觅最优解。

五、线性规划的应用线性规划在实际应用中有广泛的应用,以下是一些常见的应用场景:1. 生产计划:确定最优的生产数量和产品组合,以最大化利润或者满足需求。

2. 运输问题:确定最优的运输方案,以最小化运输成本或者最大化运输效率。

3. 资源分配:确定最优的资源分配方案,以最大化资源利用率或者满足需求。

4. 投资组合:确定最优的投资组合,以最大化收益或者最小化风险。

5. 作业调度:确定最优的作业调度方案,以最小化作业完成时偶尔最大化资源利用率。

六、线性规划的局限性线性规划虽然在许多问题中有广泛的应用,但也存在一些局限性:1. 线性假设:线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的,不适合于非线性问题。

线性规划讲义

线性规划讲义

线性规划讲义引言概述:线性规划是一种数学优化方法,用于解决在给定约束条件下最大化或最小化线性目标函数的问题。

它在各个领域都有广泛的应用,如生产计划、资源分配、运输问题等。

本文将从五个大点来详细阐述线性规划的相关概念和应用。

正文内容:1. 线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义和形式线性规划是一种数学模型,其目标函数和约束条件均为线性函数。

一般形式为:最大化(或最小化)目标函数 Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn,其中x1, x2, ..., xn为决策变量,c1, c2, ..., cn为常数。

约束条件一般为:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1,a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2,...,am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm,其中a11, a12, ..., amn为系数,b1, b2, ..., bm为常数。

1.2 线性规划的可行解和最优解可行解是指满足所有约束条件的解,而最优解是在所有可行解中使目标函数达到最大(或最小)值的解。

线性规划问题的解空间是一个多面体,最优解通常位于多面体的顶点。

1.3 线性规划的图解法和单纯形法线性规划问题可以通过图解法和单纯形法求解。

图解法适用于二维或三维问题,通过画出目标函数和约束条件的图形,找到最优解所在的区域。

单纯形法适用于高维问题,通过一系列的迭代计算,逐步接近最优解。

2. 线性规划的应用领域2.1 生产计划线性规划可以用于确定最佳的生产计划,以最大化利润或最小化成本。

通过考虑生产能力、资源约束和市场需求等因素,可以确定最优的生产数量和产品组合。

2.2 资源分配线性规划可以用于确定最佳的资源分配方案,以最大化资源利用率或最小化资源浪费。

通过考虑资源供应量、需求量和优先级等因素,可以实现资源的有效调配。

2.3 运输问题线性规划可以用于解决运输问题,如货物的调度和路径规划。

线性规划基本知识

线性规划基本知识

线性规划基本知识线性规划是一种数学优化方法,用于在给定限制条件下最大或最小化线性目标函数。

它是现代数学、工程学和运筹学的基础之一,被广泛应用于制造业、金融、交通、物流等领域。

本文将介绍线性规划的基础知识,包括线性规划问题的表达方式、标准形式、单纯形法求解以及对偶理论等。

一、线性规划问题的表达方式线性规划问题的表达方式通常包含以下部分:1. 决策变量:表示求解问题时需要确定的变量,通常用x1、x2、......、xn表示。

2. 目标函数:表示优化的目标,通常是一个线性函数,用c1x1+c2x2+......+cnxn表示。

3. 约束条件:表示限制决策变量的取值范围,通常是线性等式或不等式,用a11x1+a12x2+......+a1nxn≤b1、a21x1+a22x2+......+a2nxn≤b2、......、am1x1+am2x2+......+amnxn≤bm 表示。

其中,决策变量x1、x2、......、xn的取值范围可以是非负实数集合、整数集合或者其他特定取值范围。

二、线性规划的标准形式通常情况下,线性规划问题都可以通过一些变换,转化为标准形式进行求解。

标准形式的线性规划问题包括以下三个部分:1. 最大化或最小化的目标函数2. 约束条件,所有约束条件都是小于等于号3. 决策变量的取值范围,所有决策变量都是非负实数三、单纯形法求解线性规划问题单纯形法是线性规划问题最常用的求解方法之一,它是一种迭代的过程,通过一系列基本变换(基本可行解、进入变量、离开变量、更新表格)逐步接近最优解。

单纯形法求解线性规划问题的步骤如下:1. 将线性规划问题转化为标准形式。

2. 确定一个初始可行解。

3. 计算第一行表格的系数,并找出最小的系数所在的列,作为进入变量。

4. 确定离开变量,通过将所有正数元素对应的值除以对应进入变量的系数,找到最小的元素所在的行,作为离开变量所在行。

5. 更新表格,完成一次迭代。

6. 重复第三至第五步,直至得到最优解或者确定问题无可行解或是无界问题。

线性规划

线性规划
Байду номын сангаас步骤
线性规划在 实际生活中 的应用案例
投资决策
投资目标:最大化收益或最小化风险 投资策略:选择投资项目、分配投资资金、设定投资期限等
投资风险:市场风险、利率风险、汇率风险等 投资评估:使用线性规划模型评估投资方案,比较不同方案的优劣
B
题转化为几何问题,从而找到最
优解。
C
图解法的基本步骤包括:确定可 行域、找出最优解、验证最优解。
图解法适用于求解线性规划问题
D
的特殊情况,如线性规划问题的
约束条件为线性等式或不等式。
单纯形法
基本思想: 通过迭代求 解线性规划 问题的最优

步骤:确定初 始基,计算目 标函数值,更 新基,重复以 上步骤直到找
线性规划的优缺点
优点: 缺点:
适用于解决线性 问题
计算速度快,易 于实现
结果精确,易于 解释
只能解决线性问 题,不适用于非
线性问题
计算复杂度高, 对于大规模问题
可能难以求解
结果可能不唯一, 需要进一步分析 才能得到最优解
图解法
A
图解法是一种直观、形象的求解 线性规划问题的方法。
图解法通过画图,将线性规划问
划问题
迭代求解:通过 迭代公式,更新
当前点
重复步骤b-d, 直到找到最优解
生产计划
线性规划在生产计划中 的应用
线性规划可以帮助确定 最优的生产方案
线性规划可以优化生产 成本和生产效率
线性规划可以帮助解决 生产过程中的约束问题
资源分配
线性规划在 资源分配中
的应用
线性规划的 目标函数和
约束条件
线性规划的 求解方法和

线性规划的对偶理论(NO8)

线性规划的对偶理论(NO8)

AX b
(P)
s.t
X
0
minW Yb YA C
(D) s.t Y 0
从上述性质中,可看到原问题与对偶问题的解必然是下列三种情况之一: ①原问题与对偶问题都有最优解,且CX=Yb; ②一个问题具有无界解,则它的对偶问题无可行解; ③两个问题均无可行解。
7
(5)(互补松驰性定理),若X*、Y*分别是原问题和对偶问题的可行
max Z 2x1 x2 x3
2x1 x2 2
s.t.3x1 x2 x3 4
x1
,
x2 ,
x3
0
目标函数 无界
其对偶问题为:
min W 2 y1 4 y2
2 y1 3 y2 2
s.t
.
y1
y2 1 y2 1
y1 , y2 , y3 0
无可行解
6
max Z CX
3
一、对偶问题的基本定理
对偶问题的基本定理
MaxZ=CX
MinW=Yb
AX b
X
0
YA C Y 0
(1)(弱对偶定理)若X(0)是原问题的可行解,Y(0)是对偶
问题的可行解, 则有 证明:
C X(()) Y(0) b
CX (0) YAX(0) Y ( AX (0) ) Yb
(2)(最优性定理),若X(0) 、 Y(0)分别是互为对偶问题 LP和DP的可行解,且C X(0) = Y(0) b,则X(0) 、 Y(0)分别是 它们的最优解
4
(3)(强对偶定理)若互为对偶问题之一有最优解,则另一 问题必有最优解,且它们的目标函数值相等。
证明:设X*是原问题的最优解,对应的最优基是B,引入松弛
变量Xs后化为标准形式

八种经典线性规划例题最全总结(经典)

八种经典线性规划例题最全总结(经典)

线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件,并作出可行域,进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型,除此之外,还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则z=x+2y的取值范围是()A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、(3,5]解:如图,作出可行域,作直线l:x+2y=0,将l向右上方平移,过点A(2,0)时,有最小值2,过点B(2,2)时,有最大值6,故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为()A、4B、1C、5D、无穷大解:如图,作出可行域,△ABC的面积即为所求,由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可,选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|+|y|≤2的点(x,y)中整点(横纵坐标都是整数)有()A、9个B、10个C、13个D、14个解:|x|+|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界),容易得到整点个数为13个,选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩,使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则a的值为()A、-3B、3C、-1D、1解:如图,作出可行域,作直线l:x+ay=0,要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则将l向右上方平移后与直线x+y=5重合,故a=1,选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则z=x2+y2的最大值和最小值分别是()A、13,1B、13,2C、13,45D、5解:如图,作出可行域,x2+y2是点(x,y)到原点的距离的平方,故最大值为点A(2,3)到原点的距离的平方,即|AO|2=13,最小值为原点到直线2x+y-2=0的距离的平方,即为45,选 C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x-y+m|<3表示的平面区域包含点(0,0)和(-1,1),则m的取值范围是()A、(-3,6)B、(0,6)C、(0,3)D、(-3,3)解:|2x-y+m|<3等价于230 230x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330mm+>⎧⎨-<⎩,故0<m<3,选 C七、比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率,这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

第八章 线性规划

第八章 线性规划

四、线性规划中的几个特殊问题
• (二)多余的约束条件 • 有时,有一个或几个约束条件是不需要的。 有时,有一个或几个约束条件是不需要的。 例如: 例如: • A:X1+2X2≤50 (约束条件 ) 约束条件A) : • B:X1+X2≤40 (约束条件 ) 约束条件B) : • C:5X1+6X2≤300 (约束条件 ) 约束条件C) : • X1≥0,X2≥0 , • 由于约束条件 是非绷紧的,这一约束条件 由于约束条件C是非绷紧的 是非绷紧的, 所代表的资源的机会成本为零。 所代表的资源的机会成本为零。
隅角点 原点 e f g h
决策变量 QA QB 0 0 15 30 30 0 30 25 10 0
利润 0 30 70 100 90
三、有约束条件下的成本最低化
(一)构造问题 成本最低化问题的基本数据 饲料 A 每吨价格 100 B 200
每吨饲料的营养单位数 每期需要的最 低单位数 A B 蛋白质 钙 碳水化合物 1 3 1 1 1 6 40 60 60
五、对偶问题
• (二)解对偶问题 • 解对偶问题的方法和前面讲过的完全一样,即定 解对偶问题的方法和前面讲过的完全一样, 义可行域,确定每个隅角决策变量的值, 义可行域,确定每个隅角决策变量的值,用每一 组的值评价目标函数并选择能使目标函数值最小 的那一组的值。 的那一组的值。 • 因为原问题中约束条件 是不绷紧,所以机器 的 因为原问题中约束条件X是不绷紧 所以机器X的 是不绷紧, 工时的机会成本是零( )。因此 工时的机会成本是零(即Cx=0)。因此,问题可 )。因此, 简化为: 简化为: • 求min:C=80Cy+60Cz : • 要求满足:2Cy+2Cz≥3 要求满足: • 2Cy≥1;Cy,Cz≥0 ; , • 解之: Cz=1,Cy=0.5,则C=100 解之: , ,

8 《线性规划》0934第二章2.4退化问题 2.6单纯形法的几何意义=第八次课

8 《线性规划》0934第二章2.4退化问题 2.6单纯形法的几何意义=第八次课

2.6 单纯形法的几何意义
一、基本概念
1、凸集和凸组合
(3)、凸组合(P63):
线段 x
(1 )
凸组合
x
(2)


x
x (1 ) x
(1 )
x
(2)
,0 1

◆两个点的凸组合:当 0 1 时,称向量 (1 ) x 为x(1)与x(2)的凸组合。 ◆k个点的凸组合: 设x
2.4 退化情形的处理
二、退化问题中避免基循环的方法
P48 Beale例子 ——用Bland法则求解
解: B3=( p3,p2,p7 )对应的单纯形表见表2-18 。 基 进基 由表2-18可知, x4 、x5的 检验数均为正数,由Bland 规则,取x4为进基变量。
进基的选择也符合:最 大检验数规则。
2、最优解在什么位置获得? ——在边界,而且是在某个顶点获得。 顶点——基可行解
2.6 单纯形法的几何意义
一、基本概念
1、凸集和凸组合
(1)、直线段:
设x
(1 ) (2)
,x
R
n
,称集合 x
(1 )
x (1 ) x
(1 )
x
(2)
,0 1

为Rn中的直线段, 记为 x
2.4 退化情形的处理
二、退化问题中避免基循环的方法
方法:摄动法、字典序法、布兰德规则
可确保不出现 基的循环
定理2.7(P50) 对任一线性规划问题LP用单纯形法求解时,按 Bland规则确定进基变量和离基变量,便不会出现基的循环。
规则1、当有多个检验数是正数时,选对应变量中下标最小者 为进基变量。 与普通单纯形法:有区别 ( 2 .3 9 ) 确定进基变量为xr 。 即由 m in j | 0 r

线性规划的解法

线性规划的解法

线性规划的解法线性规划(Linear Programming)是数学优化的一个重要分支,旨在寻求一组最优解,以满足一系列线性约束条件。

在实际问题中,线性规划方法被广泛应用于资源分配、生产调度、运输计划等领域。

本文将介绍线性规划的解法及其应用。

一、线性规划问题的描述与模型建立线性规划问题可以用数学模型来描述,一般表示为:$max\{c^Tx | Ax \leq b, x \geq 0\}$其中,$c$表示目标函数的系数向量,$x$表示决策变量的值向量,$A$和$b$分别表示约束条件的系数矩阵和常数向量。

解决线性规划问题的关键是确定目标函数和约束条件,以及求解最优解的方法。

二、单纯形法(Simplex Method)单纯形法是解决线性规划问题最常用的方法之一,由乔治·丹尼格(George Dantzig)于1947年提出。

该方法基于下面的原理:从一个顶点出发,沿着边界不断移动到相邻的顶点,直到找到目标函数的最大(或最小)值。

具体而言,单纯形法的步骤如下:1. 将线性规划问题转化为标准形式(如果不满足标准形式)。

2. 选择一个初始基本可行解。

3. 判断当前解是否为最优解,若是,则结束;否则,进行下一步。

4. 选择一个进入变量和一个离开变量,即确定下一个顶点。

5. 进行变量的调整,即计算新的基本可行解。

6. 重复3-5步,直到找到最优解。

三、内点法(Interior Point Method)内点法是另一种常用的线性规划求解方法,其优点是能够在多项式时间内找到最优解。

与单纯形法相比,内点法不需要从一个顶点移动到相邻的顶点,而是通过在可行域内搜索,在每次迭代中逐渐接近最优解。

内点法的基本思路是通过寻找原问题的拉格朗日对偶问题的最优解来解决线性规划问题。

它通过引入一个额外的人工变量,将原问题转化为一个等价的凸二次规划问题,并通过迭代的方式逐步逼近最优解。

四、应用举例线性规划方法在各个领域都有广泛的应用。

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8.3 线性规划问题的图解法
对于n=2的线性规划问题,可以用图解法求解,以便较为直观地了解 多变量线性规划的一般性质。 例:生产安排问题 某工厂生产甲乙两种产品,其产量分别为 x1 , x2 个单位,每天可用资 源限制、单位产品资源消耗及单位产品产值如表所示。
资源 名称 总量 消耗系数 甲产品 乙产品 原料A 1575kg 5kg/单位产量 3kg/单位产量 原料B 1500kg 4kg/单位产量 5kg/单位产量 工时 420分钟 1分钟 /单位产量 2分钟 /单位产量 产值系数 (元/单位产量) 13元/单位产量 11元/单位产量
问题:每天应生产甲乙两种产品(即 x1 , x2)各多少,使总产值 f ( x ) 13 x1 11 x2 最大?
此问题数学模型为:
max f ( x ) max(13 x1 11 x2 )
s.t .
x2
(1)
500 400 300
(2) (3)
(1) (2) x1 2 x2 420 4 x1 5 x2 1500 (3) x2 0 x1 0 ,
定理:线性规划的可行域是凸集。
(4) 定理:线性规划的目标函数极值如果存在,一定在可行域多边形 (多面体)的顶点上达到(最优顶点)。 基本可行解 —— 可行域多边形(多面体)顶点的解称为基本可行解。 (更严格的定义后面将作介绍) x 0 有可行解,则一定存在 (5) 基本可行解的存在定理:如果 Ax B, 基本可行解。其中A是 m n 矩阵,rank(A)=m。
八. 线性规划 (Linear Programming)
引 言
线性规划讨论的是最优化问题。 最优化理论所研究的对象是静态系统,即与时间无关的系 统,与前面各章所讨论的最优控制问题不同。 最优化理论和算法要解决的问题是: 在可选的方案中哪个方案最优(目标函数极值); 怎样找出最优方案。 与最优控制理论相同,最优化理论也是泛函极值理论发展 的一个重要分支,20世纪40年代起逐渐形成单独的学科。 最优化理论和算法内容非常丰富,主要包括:线性规划、 整数规划、非线性规划、几何规划、 动态规划、随机规划、 网络决策等,而最基本的内容是线性规划和非线性规划。
j R
其中R是非基变量下标集, z j C B B p j
1
j R
从上式可见,当 x j ( j R ) 取值相同时, z j c j 越大(正数),目标函数 值下降越多。 因此选 zk ck max( z j c j ) 对应的非基变量(这里假定 z k ck 0)由 零变为正数,而其它非基变量仍为零,有Ax=b的解为 x B B 1 b B 1 pk x k b y k x k
在x点处目标函数值为
xB f Cx ( C B , C N ) C B x B C N x N xN C B ( B 1b B 1 Nx N ) C N x N C B B 1b (C B B 1 N C N ) x N f 0 (C B B 1 p j c j ) x j f 0 ( z j c j ) x j
B称为基矩阵,或简称为基。 xB的各分量称为基变量,基变量的全体xB1,xB2,……,xBm称为一组基。 xN的各分量称为非基变量。 x B B 1 b 1 若 B b 0 ,则称 x 为约束条件Ax=b,x≥0的基本可 xN 0 行解,并称B为可行基矩阵。 若 B 1b 0 ,则基变量取值均为正数 ——非退化基本可行解 若 B 1b 0 ,且至少一个分量为0 ——退化的基本可行解
设目标函数等值线方程为
13 x1 11 x2 变化时等值线 x 2 1 13 x1 在
11
x2
500 400 300
(1)
(3)
(2)
11 平面上平移,等值线法向量 n (13,11)T
也是目标函数的梯度,指向目标函 数增大的方向,因此沿此方向移动 等值线,目标函数值将增大。
(6) 若有两个以上的顶点是最优解,则这些顶点的凸组合也都是最优解。 (7) 基本可行解数是有限的。因此解线性规划的问题可从可行解域 减少为基本可行解数,进行有限步迭代总可以找到最优解。 (8) 线性规划的几种特殊情况 。 ① 约束条件与变量数不等 如上例中约束条件多于变量数,则有2个有效约束,1个松驰 约束。 ② 目标函数与可行域一边平行,最优解不唯一。 x max f ( x ) max(18 x1 10 x2 ) 例:
1 其中 b 和 yk 均为m维列向量, b B 1b ,y k B pk 。
jR
将xB写成分量形式,并考虑xN中某一元素由0转为非0,有 x B1 b1 y1k x y b B2 2k 2 x k , x N 0 0 x k 0 0 0T xB x y b Bm m mk 则在新的点目标函数值为 f f 0 ( z k ck ) x k 。
x2
1
此时有解, 0 * x 1
0 1
x1 0 , x2 0
x2
x1
f ( x* ) 1
例(b) : max f ( x ) x1 x2 1 s.t . x2 x1 2 2 x 2 x1 4
x1 0 , x2 0
4
此时无解。
x1
0
4
x2
或表示为 Bx B Nx N b 因而有
x B B 1 b B 1 Nx N
xN的分量是自由未知变量,它们取值不同,方程组的解就不同。 x B B 1 b 当 x N 0 时,解为 x 。 xN 0
x B B 1 b 定义: x 为Ax=b的一个基本解。 x 0 N
2
s .t .
9 x1 5 x 2 45
7 x1 9 x 2 63 x1 0 , x2 0
10 8
6 4 2 0 2 4 6 8 10
x1
③ 可行域无界 例(a) : max f ( x ) x2 2 x1 s .t . x1 x 2 1
x1 3 x 2 3
(2) 基本可行解的转换
令 f = Cx ,为目标函数。 记 A = ( p1, p2,……,pn), pi为m维列向量。 将A分解成 (B, N) (可能经列调换),使B为基矩阵,N为非基矩阵。 1 B b (0) 设x 为基本可行解,此处目标函数值为 0 1 B b 1 (0) f 0 Cx ( C B , C N ) CB B b 0 其中,CB是C中与基变量对应的分量组成的m维行向量,CN为C中 与非基变量对应的n-m维行向量。 下面要从x(0)出发,求一个改进的基本可行解。 xB 设 x 为任一可行解,则由Ax=b得 x B B 1b B 1 Nx N xN
200 100
b
a0Leabharlann 100 200d300
x1 c
400 500
将等值线一直移动到约束条件构成 的多边形边缘,即多边形顶点d处, 270 x d 得目标函数极大值,即极值点为 75 最优解为 max f ( x ) f ( xd ) 13 270 11 75 4335
(1)基本可行解的严格定义
上面标准形式中,设A的秩为m,则可设 A=[B, N],其中B为m阶可 逆方阵。这种做法不失一般性。 xB x 又记 x ,x B 的分量与B中列对应,x N的分量与N中列对应. N 则有 Ax b [ B, N ]
xB b xN
(2) 线性规划标准形式
一般线性规划问题总可以表示为:
( or max) i 1
min c i x i
n
(8-2-1)
ji
s .t .
a
i 1
n
xi b j ,
j 1,2,3, , m
(8-2-2)
j 1,2,3, , m
x i 0,
i 1,2,3, , n;
b j 0,
(8-2-3) (8-2-1’) (8-2-2’) (8-2-3’)
或用矩阵形式表示为:
( or max)
min Cx
s.t .
Ax B
x 0;
B0
其中A为 m ╳ n 维矩阵,C为n维行向量,B为m维列向量。
任何其他形式的线性规划问题均可转换成以上标准形式。 例如,若有 b j 0 可在相应等式两边乘(-1)(非负化);
,用 若无 x i 0 限制,可令 x i x i x i ,其中x i , x i 0 x i , x i 代替 xi ; 若非 Ax B ,而是Ax B 或 Ax B,可引入 x n 1 , x n 2 , x n m , 在每个不等式中加入或减去一个松驰变量,使其转化为等式 标准形式,而在目标函数中则令松驰变量的系数为零。
5 x1 3 x 2 1575
b
200 100
由约束条件,可在 x1 x2平面上作 出5条直线 x2 0 围 其中由(1)、(2)和 x1 0 , 成的多边形满足所有的约束条件 多边形顶点为
a
0 100 200
d
300
c
400
500
x1
325 0 0 270 c , , a ,b d 0 75 210 0
10
两个约束矛盾, 无解。
0 10
x1 0 , x2 0
x1
8.5 单纯形方法(Simplex Method)
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