高初中教材衔接课程6
初高中数学衔接教材6
3．1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图3.1-1），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3A B A B B C B C == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图 3.1-2，123////l l l ，有AB DE BC EF =.当然，也可以得出AB DEAC DF=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.例1 如图3.1-2， 123////l l l ， 且2,3,4,AB BC DF ===求,DE EF . 解 1232////,,3A B D E l l l B C E F \==Q 28312,.235235DE DF EF DF ====++例2 在ABC 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，求证：AD AE DEAB AC BC==. 证明（1） //,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠ADE ∴ ∽ABC ，.AD AE DEAB AC BC∴== 证明（2） 如图3.1-3，过A 作直线//l BC ，////,l DE BC AD AEAB AC∴=. 过E 作//EF AB 交AB 于D ，得BDEF ，图3.1-1图3.1-2因而.DE BF =//,.AE BF DE EF AB AC BC BC∴== .AD AE DE AB AC BC ∴==从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3 已知ABC ，D 在AC 上，:2:1AD DC =，能否在AB 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在BD 上. 解 假设能找到，如图3.1-4，设EC 交BD 于F ，则F 为EC 的中点，作//EG AC 交BD 于G .//,EG AC EF FC = ，∴EGF CDF ≅ ，且EG DC =，1//,2EG AD BEG BAD ∴ ，且1,2B E E G B A A D == E ∴为AB 的中点. 可见，当E 为AB 的中点时，EC 的中点在BD 上.我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.例4 在ABC V 中，AD 为BAC Ð的平分线，求证：AB BDAC DC=. 证明 过C 作CE //AD ，交BA 延长线于E ，//,.BA BDAD CE AE DC\=QQ AD 平分,,BAC BAD DAC 衆?由//AD CE 知,,BADE DAC ACE ?行=,,EACE AE AC \??即AB BDAC DC\=. 例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.练习11．如图 3.1-6，123////l l l，下列比例式正确的是图3.1-3 图3.1-4 图3.1-5（ ）A ．ADCE DF BC = B ．ADBCBE AF = C ．CEAD DF BC = D.AFBEDF CE= 2．如图 3.1-7，//,//,DE BC EF AB 5,AD cm =3,2,DB cm FC cm ==求BF .3．如图，在ABC V 中，AD 是角BAC 的平分线，AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD 的长.4．如图，在ABC V 中，BAC Ð的外角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，求证：A B B DA C D C =.5．如图，在ABC V 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使BD =CE ，DE 延长线交BC 的延长线于F .求证：DF ACEF AB=.3.1．2．相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？ 例5 如图3.1-11，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，BAC CDB ? ，求证：图3.1-6图3.1-7 图3.1-8 图3.1-9 图3.1-10DAC CBD ? .证明 在OAB V 与ODC V 中，,,AOB DOC OAB ODC ?行=\OAB V ∽ODC V ， OA OB OD OC \=，即OA OD OB OC =. 又OAD V 与OBC V 中，AOD BOC ? ，\OAD V ∽OBC V ， \DAC CBD ? .例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC 中，BAC Ð为直角，AD BC D ^于.求证：（1）2AB BD BC = ，2AC CD CB = ；（2）2AD BD CD =证明 （1）在Rt BAC V 与Rt BDA V 中，B B ? ，BAC \V ∽BDA V ，2,.BA BCAB BD BC BD BA \== 即同理可证得2AC CD CB = .（2）在Rt ABD V 与Rt CAD V 中，90o CCADBAD ?-? ，Rt ABD \V ∽Rt CAD V ，2,.AD DCAD BD DC BD AD\== 即 我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.例7 在ABC V 中，,,AD BC D DE AB E DF AC F ^^^于于于，求证：A E AB A F AC ? . 证明 AD B C ^Q ，\ADB V 为直角三角形，又DE AB ^，由射影定理，知2AD AE AB = . 同理可得2AD AF AC = .AE AB AF AC \? . 例8 如图3.1-14，在ABC V 中，D 为边BC 的中点，E 为边AC 上的任意一点，BE 交AD 于点O .某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：图3.1-11图3.1-12图3.1-13（1） 当11211AE AC ==+时，有22321AO AD ==+.（如图3.1-14a ） （2） 当11312AE AC ==+时，有22422AO AD ==+.（如图3.1-14b ） （3） 当11413AE AC ==+时，有22523AO AD ==+.（如图3.1-14c ） 在图3.1-14d 中，当11AE AC n=+时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AOAD的一般结论，并给出证明（其中n 为正整数）. 解：依题意可以猜想：当11AE AC n =+时，有22AO AD n=+成立. 证明 过点D 作DF //BE 交AC 于点F ，Q D 是BC 的中点，\F 是EC 的中点， 由11AE AC n =+可知1AE EC n =，22,.2AE AE EF n AF n\==+. 2.2AO AE AD AF n\==+ 想一想，图3.1-14d 中，若1AO AD n =，则?AEAC= 本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史.练习21．如图3.1-15，D 是ABC V 的边AB 上的一点，过D 点作DE //BC 交AC 于E .已知AD ：DB =2：3，则:A D E B C D ES S V 四边形等于（ ） 图3.1-14A ．2:3B ．4:9C ．4:5D ．4:212．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________.3．已知：ABC V 的三边长分别是3，4，5，与其相似的'''A B C V 的最大边长是15，求'''A B C 的面积'''A B C S V .4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.（1） 请判断四边形EFGH 是什么四边形，试说明理由；（2） 若四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 满足什么条件时，EFGH 是菱形？是正方形？5．如图3.1-17,点C 、D 在线段AB 上，PCD V 是等边三角形，（1） 当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时，ACP V ∽PDB V ？（2） 当ACP V ∽PDB V 时，求APB Ð的度数.习题3.1 A 组1．如图3.1-18，ABC V 中，AD =DF =FB ，AE =EG =GC ，FG =4，则（ ）A ．DE =1，BC =7B ．DE =2，BC =6 C ．DE =3，BC =5D ．DE =2，BC =82．如图3.1-19，BD 、CE 是ABC V 的中线，P 、Q 分别是BD 、CE 的中点，则:PQ BC 等于（ ） A ．1：3 B ．1：4 C ．1：5 D ．1：6图3.1-15 图3.1-16 图3.1-17 图3.1-183．如图3.1-20，ABCD Y 中，E 是A B 延长线上一点，DE 交BC 于点F ，已知BE ：AB =2：3，4BEF S =V ，求CDF S V .4．如图3.1-21，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE AC ^交AC 于F ，过F 作FG //AB 交AE 于G ，求证：2AG AF FC = .B 组1．如图3.1-22，已知ABC V 中，AE ：EB =1：3，BD ：DC =2：1，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+的值为（ ） A ．12 B ．1 C ．32 D ．22．如图3.1-23，已知ABC V 周长为1，连结ABC V 三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ） A ．12002 B ．12003 C ．200212 D ．2003123．如图3.1-24，已知M 为ABCD Y 的边AB 的中点，CM 交BD 于点E ，则图中阴影部分的面积与ABCD Y 面积的比是（ ） A ．13 B ．14 C ．16 D ．5124．如图3.1-25，梯形ABCD 中，AD //BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF //AD .图3.1-19 图3.1-20图3.1-22 图3.1-23 图3.1-24 图3.1-21（1） 求证：OE =OF ；（2） 求OE OEAD BC+的值； （3） 求证：112AD BC EF+=.C 组1．如图3.1-26，ABC V 中，P 是边AB 上一点，连结CP . （1） 要使A C P V ∽ABC V ，还要补充的一个条件是____________.（2） 若ACP V ∽ABC V ，且:2:A PP B =，则:B C P C =_____.2．如图 3.1-27，点E 是四边形ABCD 的对角线BD 上一点，且B AC BD C D A ?? . （1） 求证：BE AD CD AE ? ；（2） 根据图形的特点，猜想BCDE可能等于那两条线段的比（只须写出图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想.3．如图3.1-28，在Rt ABC V 中，AB =AC ，90o A?，点D 为BC 上任一点，DF AB ^于F ，DE AC ^于E ，M 为BC 的中点，试判断MEF V 是什么形状的三角形，并证明你的结论.4．如图3.1-29a ，,,AB BD CD BD ^^垂足分别为B 、D ，AD 和BC 相交于E ，EF BD ^于F ，我们可以证明111AB CD EF+=成立. 图3.1-25图3.1-26 图3.1-27 图3.1-28若将图3.1-29a 中的垂直改为斜交，如图3.1-29 b ，//,AB CD AD BC 、相交于E ，EF//AB 交BD 于F ，则：（1） 111AB CD EF +=还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2） 请找出,ABD BCD S S V V 和EBD S V 之间的关系，并给出证明.第二讲 三角形与圆3.1 相似形 练习11．D2．设510,,,283DE AD x BF x x BC AB x ==∴==+ ，即103BF =. 3．535,.49AB BD BD cm AC DC ==∴=4．作//CF AB 交AD 于F ，则A B B DC FD C=，又A F C F A EF A ∠=∠=∠得,AC CF =AB BDAC DC∴=. 5．作//EG AB 交BC 于G ，,,EG CECEG CAB AB AC∴= 即,AC CE DB AB EG EG ==DF ACEF AB∴=.练习2 1．C2．12，183．2'''115346,()654.25ABC A B C S S =⨯⨯=∴=⨯= 4．（1）因为1////,2EH BD FG 所以EFGH 是平行四边形；（2）当A C B D =时，EFGH 为菱形；当,AC BD AC BD =⊥时，EFGH 为正方形.5．（1）当2CD AC BD =⋅时，ACP PDB ；（2）120oAPB ∠=.图3.1-29习题3.1 A 组1．B 2.B 3.9CDF S =4．BF 为直角三角形ABC 斜边上的高，2BF AF FC =⋅，又可证,AG BF =2AG AF FC ∴=⋅.B 组1．C 2.C 3.A4．（1）//,,EO AE DE OF AD BC EO OF BC AB DC BC ∴==== .（2） 1.OE OE AE BEAD BC AB AB +=+=（3）由（2）知1112.AD BC OE EF+== C 组1.(1)2AC AP AB =⋅或ACP B ∠=∠.(2):BC PC =2．（1）先证AEB ADC ，可得BE AE CD AD =；（2）,BC AB ADADE ACB DE AE AC∴== . 3．连AD 交EF 于O ，连OM ，ABC 为等腰直角三角形，且AEDF 为矩形，OM ∴为Rt AMD 斜边的中线，11,22OM AD EF ==MEF ∴ 为直角三角形.又可证BMF AME ≅ ，得MF ME =，故MEF 为等腰直角三角形.4．（1）成立，1111,.EF EF FD BF AB CD BD BD AB CD EF +=+=∴+= （2）111ABD BCD EBDS S S += ，证略.。
初高中数学衔接教学课程讲义----第6节函数的定义
初高中数学衔接课讲义——函数第六讲 函数的定义【映射】1.定义一般地，设B A ,是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射.记作“f （对应关系）：A （原象）B →（象）”2.映射的特性（1）存在性：对集合A 中任一个元素a ，在集合B 中都存在元素b 与之对应；（2）唯一性：集合A 中的任一元素在集合B 中的对应元素是唯一的；（3）封闭性：集合A 中任一个元素的对应元素都必须在集合B 中；（4）确定性：非空集合B A ,及对应关系都是确定的；（5）方向性：集合A 到集合B 的对应与集合B 到集合A 的对应所确定的映射是不同的.3.一一映射的概念如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合A 中的任何一个元素在集合B 中都有象，集合B 中的每一个元素在A 中都有象，那么就说两个集合之间存在着一一对应关系，并把这个映射叫做一一映射.【提示】（1）函数一定是映射，但是映射不一定是函数.（2）在函数中，B A ,是两个数集，即B A ,中的元素都是实数，但在映射中，B A ,中的元素不一定是实数.【例题1】下列对应是映射的有__________.【例题2】下列各个对应中,构成映射的是（ ）A.B. C. D.【例题3】下列不能表示}40|{≤≤=x x P 到}20|{≤≤=y y Q 的映射的是（ ） A.x y x f 21:=→ B.x y x f 31:=→ C.x y x f 23:=→ D.x y x f =→:【例题4】若),y x （在映射f 作用下的象是),xy y x +（，则()3,2-在f 作用下的象是_________；()3,2-在f 作用下的原象是__________.【例题5】设集合A 和B 都是实数集，映射B A f →:把集合A 中的元素x 映射到集合B 中的元素13+-x x ，则在映射f 下，象1的原象组成的集合是（ ） A.}1{B.}210{--，，C.}0{D.}11{0-，，【例题6】设},|),{(R y R x y x B A ∈∈==，),(),(:b y kx y x f +→是从集合A 到集合B 的映射，若B 中元素）（2,6在映射f 下对应A 中元素)13(，，则=k _________，=b __________.【函数的定义】设集合B A 、是两个非空数集，对于A 中的任意数x ，按照某种关系的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 与它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做的定义域，与x 的值相对应)(x f 的值叫做函数值，所有函数值构成的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的值域.【提示】（1）B A 、都是非空数集，故定义域（或值域）为空集的函数是不存在的.（2）B 不一定是函数的值域，如函数12+=x y 可称为实数集到实数集的函数，但函数的值域不是实数集R .（3）函数三要素的定义域、对应关系和值域.其中对应关系是核心，定义域是根本.（4）函数符合)(x f 的含义：)(x f 表示一个整体，一个函数，而符号“f ”可以看作是对“x ”施加的某种法则（或运算）.【例题1】判断正误：（1）函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应； （ ）（2）函数的定义域可以为空集； （ ）（3）定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定； （ ）（4）若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素； （ ）（5）对于不同的x ， y 的值也不同； （ ）（6）函数23)(x x x f +=，则2)1(=f ; （ ）【例题2】已知函数213)(+++=x x x f ，求))3((),3(--f f f 的值.【例题3】函数6)(+=x x f ，则=)3(f __________.【例题4】函数1)1()(3099-+-=x xx f ，则=-)2(f __________.【例题5】已知函数213)(+++=x x x f ，当0>a 时，求)1(),(-a f a f 的值.【例题6】下列图象能表示函数图象的是（ ）A.B. C. D.【例题7】下列图中能作为函数图象的是（ ）A.B. C. D.【例题8】下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）A.B. C. D.【例题9】图中能作为函数图象的是（ ）A. B. C. D.【例题10】)(x f y =定义在[]3,2-上，则函数)(x f y =图象与直线2=x 的交点个数有（ ）A.0个B.1个C.2个D.不能确定【例题11】函数)(x f y =的图象与直线1=x 的公共点数目是（ ）A.1B.0C.0或1D.1或2【课堂练习】【练习】设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n+2，则在映射f 下，象20的原象是（ ）A.2B.3C.4D.5【练习】判断下列说法是否正确：（1）表达式相同的两个函数是相同函数；（ ） （2）定义域、值域均相同的函数是同一函数； （ ） （3）函数的定义域、值域均是无限集； （ ）【练习】关于函数)(x f y =与函数)1(+=x f y 的叙述一定正确的是（ ）A.定义域相同B.对应关系相同C.值域相同D.三要素都不可以不同【练习】下列图形可以表示为以}10|{≤≤=x x M 为定义域，以}10|{≤≤=x x N 为值域的函数是（ ）A.B. C. D.【练习】函数11)(22+-=x x x f ，则=)21()2(f f （ ） A.1B.-1C.53 D.53-【练习】设|||1|)(x x x f --=，则=)]21([f f （ ） A.21-B.0C.21D.1初高中数学衔接课讲义——函数第六讲 函数的定义 【映射】4.定义一般地，设B A ,是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射.记作“f （对应关系）：A （原象）B →（象）”5.映射的特性（1）存在性：对集合A 中任一个元素a ，在集合B 中都存在元素b 与之对应；（2）唯一性：集合A 中的任一元素在集合B 中的对应元素是唯一的；（3）封闭性：集合A 中任一个元素的对应元素都必须在集合B 中；（4）确定性：非空集合B A ,及对应关系都是确定的；（5）方向性：集合A 到集合B 的对应与集合B 到集合A 的对应所确定的映射是不同的.6.一一映射的概念如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合A 中的任何一个元素在集合B 中都有象，集合B 中的每一个元素在A 中都有象，那么就说两个集合之间存在着一一对应关系，并把这个映射叫做一一映射.【提示】（1）函数一定是映射，但是映射不一定是函数.（2）在函数中，B A ,是两个数集，即B A ,中的元素都是实数，但在映射中，B A ,中的元素不一定是实数.【例题1】下列对应是映射的有__________.答案：①④【例题2】下列各个对应中,构成映射的是（ ）A.B. C. D.答案：B 【例题3】下列不能表示}40|{≤≤=x x P 到}20|{≤≤=y y Q 的映射的是（ ） A.x y x f 21:=→ B.x y x f 31:=→ C.x y x f 23:=→ D.x y x f =→: 答案：B【例题4】若),y x （在映射f 作用下的象是),xy y x +（，则()3,2-在f 作用下的象是_________；()3,2-在f 作用下的原象是__________.答案：），（61-; ），）或（（133,1-- 【例题5】设集合A 和B 都是实数集，映射B A f →:把集合A 中的元素x 映射到集合B 中的元素13+-x x ，则在映射f 下，象1的原象组成的集合是（ ） A.}1{B.}210{--，，C.}0{D.}11{0-，，答案：D【例题6】设},|),{(R y R x y x B A ∈∈==，),(),(:b y kx y x f +→是从集合A 到集合B 的映射，若B 中元素）（2,6在映射f 下对应A 中元素)13(，，则=k _________，=b __________.答案：2； 1【函数的定义】设集合B A 、是两个非空数集，对于A 中的任意数x ，按照某种关系的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 与它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做的定义域，与x 的值相对应)(x f 的值叫做函数值，所有函数值构成的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的值域.【提示】（1）B A 、都是非空数集，故定义域（或值域）为空集的函数是不存在的.（2）B 不一定是函数的值域，如函数12+=x y 可称为实数集到实数集的函数，但函数的值域不是实数集R .（3）函数三要素的定义域、对应关系和值域.其中对应关系是核心，定义域是根本.（4）函数符合)(x f 的含义：)(x f 表示一个整体，一个函数，而符号“f ”可以看作是对“x ”施加的某种法则（或运算）.【例题1】判断正误：（1）函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应； （ ）（2）函数的定义域可以为空集； （ ）（3）定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定； （ ）（4）若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素； （ ）（5）对于不同的x ， y 的值也不同； （ ）（6）函数23)(x x x f +=，则2)1(=f ; （ ） 答案：（1）√ （2）× （3）√ （4）√ （5）× （6）√【例题2】已知函数213)(+++=x x x f ，求))3((),3(--f f f 的值. 解析：由题意可得：123133)3(-=+-++-=-f 1221131)1())3((+=+-++-=-=-∴f f f 答案：12;1+- 【例题3】函数6)(+=x x f ，则=)3(f __________.答案：3 【例题4】函数1)1()(3099-+-=x x x f ，则=-)2(f __________.解析：由题意可得：当2-=x 时，()()01299≠--，()[]112099=--∴ ()8121)2(3-=--+=-∴f 答案：8-【例题5】已知函数213)(+++=x x x f ，当0>a 时，求)1(),(-a f a f 的值. 解析：由题意可得：当0>a 时，213213)(+++=+++=a a a a a f 11221131)1(+++=+-++-=-a a a a a f 答案：213)(+++=a a a f ; 112)1(+++=-a a a f 【例题6】下列图象能表示函数图象的是（ ）A.B. C. D.答案：C 【例题7】下列图中能作为函数图象的是（ ）A.B. C. D.答案：D 【例题8】下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）A.B. C. D.答案：B 【例题9】图中能作为函数图象的是（ ）A.（1）、（2）B.（1）、（3）C.（2）、（4）D.（3）、（4）答案：A【例题10】)(x f y =定义在[]3,2-上，则函数)(x f y =图象与直线2=x 的交点个数有（ ）A.0个B.1个C.2个D.不能确定答案：B【例题11】函数)(x f y =的图象与直线1=x 的公共点数目是（ ）A.1B.0C.0或1D.1或2答案：C【课堂练习】【练习】设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n+2，则在映射f 下，象20的原象是（ ）A.2B.3C.4D.5答案：C【练习】判断下列说法是否正确：（4）表达式相同的两个函数是相同函数；（ ） （5）定义域、值域均相同的函数是同一函数； （ ） （6）函数的定义域、值域均是无限集； （ ） 答案：（1）× （2）× （3）×【练习】关于函数)(x f y =与函数)1(+=x f y 的叙述一定正确的是（ ）A.定义域相同B.对应关系相同C.值域相同D.三要素都不可以不同答案：C【练习】下列图形可以表示为以}10|{≤≤=x x M 为定义域，以}10|{≤≤=x x N 为值域的函数是（ ）A.B. C. D.答案：C 【练习】函数11)(22+-=x x x f ，则=)21()2(f f （ ） A.1B.-1C.53 D.53- 解析：由题意可得：531212)2(22=+-=f ,53121121)21(22-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=f∴15353)21()2(-=-=f f . 答案：B【练习】设|||1|)(x x x f --=，则=)]21([f f （ ） A.21-B.0C.21 D.1 解析：由题意可得：0|21||121|)21(=--=f ，1|0||10|)0()]21([=--==∴f f f . 答案：D。
初高中数学衔接课程(6)——高中数学必修一集合概念
初高中数学衔接课程（6）高中数学必修一集合与函数概念第一节、集合概念1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set）。
集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A、集合B……集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）,简称元。
集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
如a、b、c、p、q……2.集合中元素具的有几个特征⑴确定性－因集合是由一些元素组成的总体，当然，我们所说的“一些元素”是确定的．⑵互异性－即集合中的元素是互不相同的，如果出现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个，即集合中的元素是不重复出现的．⑶无序性－即集合中的元素没有次序之分．例1、指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
（1）我国的直辖市；（2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数（4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。
例2， A={1,3},问3，5哪个是A的元素？2 B={素质好的人}能否表示成为集合？3 C={2，2，4}表示是否正确？4 D={太平洋，大西洋}E={大西洋，太平洋}集合 D ,E是不是表示相同的集合？3常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R4、元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作：a A例如，我们A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A4∉A ，等等。
例3．用“∈”或“∉”符号填空：（1）8 N ； （2）0 N ；（3）-3 Z ； （4）2 Q ； （5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。
【例4】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17 A ； －5 A ； 17 B .解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈；由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉；由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈.练习1、1、以下四种说法正确的( )(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}(B){a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合(C)“我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不确定2、 已知2是集合M={ }中的元素，则实数为( )(A) 2 (B)0或3 (C) 3 (D)0,2,3均可3、0 }0{ ∅第二节 集合的表示方法1.集合的表示方法我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。
初升高数学衔接教材(完整)
第一讲 数与式1、 绝对值(1)绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离．2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>，去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。
②()(0)f x a a >>，去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
（2)利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1。
求不等式354x -<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x ->+的解集例4。
求不等式｜x ＋2｜＋｜x －1|＞3的解集．例5。
解不等式｜x －1|＋|2－x ｜＞3－x ．例6。
已知关于x 的不等式｜x －5|＋｜x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习解下列含有绝对值的不等式：（1）13x x -+-＞4+x（2）｜x +1｜<｜x －2| （3）｜x －1｜+|2x +1|<4 (4）327x -<（5)578x +>3、因式分解 乘法公式（1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ (3)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （4)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）2672x x ++（3)22()x a b xy aby -++； (4)1xy x y -+-．2．提取公因式法例2.分解因式:（1）()()b a b a -+-552(2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+4．分组分解法例4.（1)x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+- 5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c （a ≠0）的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ,则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-; （2）2244x xy y +-．练习(1）256x x -- （2）()21x a x a -++ （3）21118x x -+（4)24129m m -+ （5)2576x x +- (6）22126x xy y +-(7）()()3211262+---p q q p (8）22365ab b a a +- (9)()22244+--x x（10）1224+-x x （11）by ax b a y x 222222++-+-（12）91264422++-+-b a b ab a （13）x 2－2x －1（14) 31a +； （15）424139x x -+;（16）22222b c ab ac bc ++++； （17)2235294x xy y x y +-++-第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 （1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有：（1） 当Δ＞0时,方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a; （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．(2）根与系数的关系（韦达定理)如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -,x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1。
初高中数学衔接数学校本课程教材
课程名称初高中数学衔接年级：九年级学科：初中物理姓名：目录总论 (2)第一讲：垂径定理.........................................................8. 第二讲：直径所对的圆周角 (10)第三讲：因式分解（部分）与解方程（组） (12)第四讲：函数图像的平移 (14)第五讲：一元二次方程的根与系数的关系 (18)第六讲：二次函数c=2（c+bxy+ax,是常数，0a,ba (20)≠总论经过紧张的中考，暑期之后初三的同学们就要迎接紧张充实的高中生活。
为了迎接高中的数学学习应该做些什么？良好的开端是成功的一半。
我们今天主要谈一下从初中到高中的数学学科的衔接问题。
很多同学还没有接触高中知识，我们既不谈那一个个知识点，也不谈那一个个大家耳熟能详的学习方法，主要讲讲为什么要做好衔接以及从精神上、认识上如何去准备。
一、为何要做好初高中衔接？从初中升入高中，大家普遍觉得上升了一个门槛。
教学实践证明，踏好这个门槛，实现这个转折确实需要衔接。
其原因是：1.环境的改变对学生有影响。
初中学校与高中学校的教学理念不完全相同，学校之间的差异或大或小，高一新生来自不同的学校，差异性较大。
大家熟悉以前的校园、以前的人际关系、以前的各项规章制度及纪律要求。
但进入新校园后，校园环境不同了，同学不同了，新学校有新学校的规章制度及具体纪律要求。
对于这些变化，要使学生尽快融入新的集体、新的学校，这就必须做好衔接工作。
对高一新生来讲，各方面可以说是全新的，新的同学、新的老师、新的管理措施与教育理念……学生有一个由陌生到熟悉的适应过程。
另外，经过紧张的中考复习，考取了自己理想的高中，必有些学生产生“松口气”想法，如初三辛苦了，在高一休息一下，待高二认真一些、高三冲刺，使得高中入学后无紧迫感。
也有些学生有畏惧心理，他们在入学前，就比较头疼数学，高中数学课一开始也确是些难理解的抽象概念，如映射、函数、立体几何等，使他们从开始就处于怵头无趣的被动局面。
2023年数学初升高衔接课(八中云校) - 前六天定稿.pdf
2023年暑假数学初升高衔接课教学安排日期教学计划作业练才是硬道理（一）7月3日第一课：“缘”在高中一路同“学”第二课：多项式的乘法7月4日第三课：耐克函数与耐克兄弟练才是硬道理（二）第四课：基本不等式初步练才是硬道理（三）7月5日第五课：因式分解的多种方法（一）第六课：因式分解的多种方法（二）7月6日第七课：根式与分式（一）练才是硬道理（四）第八课：根式与分式（二）7月7日第九课：一元二次方程练才是硬道理（五）第十课：二元二次方程7月8日第十一课：分式方程练才是硬道理（六）第十二课：无理方程7月9日休息休息练才是硬道理（七）7月10日第十三课：解不等式（一）第十四课：解不等式（二）练才是硬道理（八）7月11日第十五课：二次函数的图象及性质第十六课：二次函数的应用练才是硬道理（九）7月12日第十七课：平行线分线段成比例定理与射影定理第十八课：角平分线性质定理与面积法练才是硬道理（十）7月13日第十九课：三角形的“四心”第二十课：圆幂定理练才是硬道理（十一）7月14日第二十一课：集合的概念第二十二课：集合间的基本关系7月15日第二十三课：集合的基本运算（一）练才是硬道理（十二）第二十四课：集合的基本运算（二）学生姓名：第三部分——怎么能学好数学(1)初高中差异性(2)学不好的原因：1.用背诵的方法“学”数学——只看不做2.听懂了≠学会了≠做对了——只做不思3.忽略历史遗留问题——明日复明日4.“抄”笔记、“抄”错题——外表的美丽5.没有接纳数学的自信——兴趣是最好的老师(3)成功的学习路径：一看、二听、三记、四练、五思、六忆。
(4)微信交流高中数学学习方法：结束语希望我们再今后的日子里……数学告诉你，每天努力多一点，人生将大不同时时坚持事事落实笑到最后（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。
（2）从具体出发，选取适当的分类标准。
（3）划分只是手段，分类研究才是目的。
（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性。
2024版夏老师的初高中数学衔接课程(完整版)
夏老师的初高中数学衔接课程(完整版)目录•课程介绍与背景•初中数学知识点回顾•高中数学知识点引入•初高中数学知识衔接点分析•典型例题解析与讨论•学习方法与技巧分享01课程介绍与背景填补知识空白适应教学要求提升学习兴趣初高中数学衔接的重要性初中数学与高中数学在知识点上存在较大差异，通过衔接课程可以帮助学生填补这一知识空白，为高中数学学习打下坚实基础。
高中数学相对于初中数学难度增加，对学生的思维能力、创新能力等要求更高。
通过衔接课程，学生可以逐步适应高中数学的教学要求，提高学习效果。
衔接课程可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，激发学生的学习兴趣和自信心，为未来的数学学习奠定良好基础。
课程目标与内容课程目标通过本课程的学习，学生将能够熟练掌握初中数学与高中数学的衔接知识点，提高数学思维能力、创新能力和解决问题的能力。
课程内容本课程主要包括数与式、方程与不等式、函数与图像、几何与图形等方面的知识，通过讲解、练习、测试等多种方式帮助学生掌握相关知识点。
01020304讲解与演示练习与讨论测试与反馈多媒体辅助教学教学方法与手段通过教师的详细讲解和演示，帮助学生理解和掌握相关知识点。
通过大量的练习和讨论，提高学生的数学思维和解决问题的能力。
利用多媒体技术，如PPT 、视频等辅助教学，提高教学效果和学生的学习兴趣。
通过定期的测试和反馈，及时了解学生的学习情况，针对问题进行调整和改进。
02初中数学知识点回顾整数、有理数、无理数和实数的概念和性质代数式的化简和因式分解分式的运算和化简一元一次方程、一元二次方程的解法和应用0102030405平面几何的基本概念和性质，如点、线、面、角、三角形等平行线和相交线的性质及判定四边形的性质和判定，包括平行四边形、矩形、菱形和正方形等相似三角形和全等三角形的性质和判定圆的基本性质和定理，如切线长定理、割线定理等01020304概率的基本概念和性质，包括事件的关系和运算、概率的加法公式和乘法公式等随机事件的概率计算，包括古典概型和几何概型等统计图表的认识和制作，如条形图、折线图、扇形图等数据的收集、整理和描述，包括平均数、中位数、众数、方差等统计量的计算和应用概率与统计初步03高中数学知识点引入集合与函数集合的基本概念包括元素与集合的关系、集合的表示方法、集合间的关系（子集、真子集、相等）等。
初高中衔接课教案数学
初高中衔接课教案数学
教学内容：初高中数学知识的延伸和拓展
教学目标：通过本节课的学习，学生能够理解初中数学知识与高中数学知识之间的联系，掌握基本的数学概念和解题方法，为高中数学学习奠定良好的基础。
教学重点：初中数学知识与高中数学知识之间的联系，基本数学概念的巩固和延伸
教学难点：初中数学知识在高中数学学习中的应用
教学过程：
一、复习初中数学知识（15分钟）
1. 让学生回顾初中数学的相关知识点，包括代数、几何、概率等内容。
2. 通过简单的练习题考查学生对初中数学知识的掌握情况。
二、初高中数学知识的联系（20分钟）
1. 介绍初中数学与高中数学之间的关系和联系，引导学生思考初中知识在高中学习中的作用和重要性。
2. 通过案例分析和实例讲解，让学生理解初中数学知识在高中学习中的应用。
三、数学概念的延伸和拓展（20分钟）
1. 给学生讲解一些高中数学的基本概念和方法，如函数、导数、积分等。
2. 带领学生进行练习和讨论，巩固新学的数学概念。
四、练习与拓展（20分钟）
1. 出一些综合性的练习题，让学生运用所学知识解题。
2. 引导学生思考和讨论如何运用初中数学知识解决高中数学问题。
五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，让学生巩固所学知识，为下节课的学习做好准备。
教学反思：通过这堂课的教学，学生能够清晰地了解初高中数学知识之间的联系，并能够运用初中知识解决高中数学问题。
同时，学生也意识到数学是一个有机整体，不同知识点之间存在内在联系，需要系统性地学习和掌握。
初中高中衔接课数学教案
初中高中衔接课数学教案
教学目标：
1. 了解初中数学和高中数学之间的联系和延伸。
2. 掌握基本的高中数学概念和方法。
3. 提高解决问题的能力和思维逻辑。
教学内容：
本课程主要包括以下内容：
1. 高中数学基本概念和方法。
2. 初中数学和高中数学的延伸联系。
3. 解题方法和策略。
教学步骤：
一、导入
1. 通过讨论初中数学和高中数学的异同点，引导学生思考数学知识的延伸和发展。
2. 提出本节课的学习目标和重点。
二、讲解
1. 介绍高中数学的基本概念和方法，如函数、导数、积分等。
2. 分析初中数学和高中数学之间的联系和延伸，引导学生理解并掌握新的数学知识。
三、练习
1. 给学生提供一些高中数学的练习题，让他们尝试应用新知识解决问题。
2. 引导学生讨论解题方法和策略，培养他们的思维能力和逻辑推理能力。
四、总结
1. 结合本节课的内容，总结初中高中数学的衔接和延伸关系。
2. 引导学生思考数学学习的重要性和方法，鼓励他们持续提高自己的数学能力。
五、作业布置
布置相关练习题和思考题，巩固本节课的内容并扩展学生的数学思维。
教学反思：
通过本节课的教学，学生可以更好地理解初中高中数学之间的联系和延伸关系，提高解题能力和思维逻辑。
同时，也可以帮助学生明确数学学习的重要性和方法，激发他们对数学学习的兴趣和热情。
希望学生能够认真学习，勇于思考，不断提高自己的数学水平。
人教版新高一初升高数学《根与系数的关系(韦达定理)》专题知识衔接预习过关讲义
2021-2022新高一初高中衔接辅导课程（解析版） 衔接教材06 根与系数的关系（韦达定理）知识点讲解1.一元二次方程的根我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a -+=①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a -±；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根12b x a -+=，22b x a-=，则有122222b b b bx x a a a a -+---+=+==-；221222(4)42244b b b b ac ac cx x a a a a a-+---=⋅===．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．3.一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则1x =，2x =∴| x 1－x 2|＝=||a ==． 于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|Δ＝b 2－4ac ）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论． 经典例题解析例1判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0；（2）x 2－ax －1＝0； （3）x 2－ax ＋(a －1)＝0；（4）x 2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12a x =，22a x -=．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2， 所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1；②当a ≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )，所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x =21x =②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1； ③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题． 例2已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35．所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7．解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65，∴x 1＝－35．由（－35）＋2＝－5k ，得k ＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7．例3已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4．∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21，化简，得m 2－16m －17＝0， 解得m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m ＝17． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可。
初升高衔接教材数学
初升高衔接教材数学初升高衔接教材数学是针对初中升高中阶段编写的数学教材，旨在帮助学生适应高中数学的难度和深度，掌握高中数学的基础知识和基本技能，提高数学思维能力。
以下是初升高衔接教材数学的一些重点内容：1. 函数：函数是高中数学的重要概念之一，也是初升高衔接的重点之一。
学生需要了解函数的定义、性质、图像和基本运算，掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等常见函数的性质和图像，为后续学习打下基础。
2. 代数：高中代数相对于初中代数更加深入和复杂，需要学生掌握更高级的代数知识和技能，如解一元二次方程、因式分解、分式运算等。
学生需要适应高中数学的符号运算和代数表达方式，提高代数思维能力。
3. 平面几何：平面几何是初中数学的重要内容之一，但高中数学的平面几何更加深入和复杂。
学生需要掌握基本的几何知识和技能，如三角形的性质、全等三角形、相似三角形、解直角三角形等。
同时，还需要了解一些基本的几何定理和证明方法，为后续学习打下基础。
4. 解析几何：解析几何是高中数学的重要内容之一，也是初升高衔接的重点之一。
学生需要了解平面直角坐标系、点的坐标、直线的方程等基本概念，掌握一次函数、二次函数、圆的方程等解析几何的应用。
同时，还需要了解一些解析几何的基本定理和证明方法，为后续学习打下基础。
5. 数学思想方法：高中数学注重培养学生的数学思想方法，如数形结合、分类讨论、转化与化归等。
学生需要了解这些数学思想方法的基本概念和应用，掌握这些方法在解题中的应用技巧，提高数学思维能力。
总之，初升高衔接教材数学需要注重培养学生的数学基础知识和基本技能，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
通过系统的学习和练习，学生可以更好地适应高中数学的难度和深度，为后续的学习打下坚实的基础。
初中、高中数学衔接课课件
转化与化归思想在初 中数学中的应用
在初中数学中，转化与化归思想经常 用于解决一些看似复杂或陌生的问题 。例如，通过将多边形问题转化为三 角形问题、将分式方程转化为整式方 程等，可以帮助学生更好地理解和解 决问题。
转化与化归思想在高 中数学中的应用
在高中数学中，转化与化归思想的应 用更加深入和广泛。例如，在解析几 何中将曲线方程转化为标准形式、在 数列中将递推关系转化为通项公式等 都需要运用到转化与化归思想。掌握 转化与化归思想对于提高学生数学解 题能力和培养创新思维具有重要意义 。
数形结合思想在高中数学中的应用
在高中数学中，数形结合思想的应用更加深入和广泛。例如，在解析几何、立体几何、三角函数等领域
中，许多问题都需要通过数形结合来找到解决方案。掌握数形结合思想对于提高学生数学解题能力和培
养空间想象能力具有重要意义。
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转化与化归思想在解题中体现
转化与化归思想概述
转化与化归是一种将复杂问题转化为 简单问题、将陌生问题转化为熟悉问 题的思想方法。通过转化与化归，可 以帮助学生更好地理解和解决问题， 提高解题效率。
解析式的影响。
2024/1/26
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利用导数研究函数单调性和极值问题
2024/1/26
导数的概念与计算
01
理解导数的定义和几何意义，掌握基本初等函数的导数公式和
导数的四则运算法则。
函数的单调性
02
利用导数判断函数的单调性，理解函数单调性与导数符号的关
系。
函数的极值
03
掌握函数极值的定义和判定方法，理解函数极值与导数零点的
6
02
数与代数基础衔接
2024/1/26
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整数、有理数及无理数概念拓展
数学初高中衔接教案精华
数学初高中衔接教案精华
教学目标：通过本节课的学习，使学生能够顺利过渡到高中数学的学习，并掌握一些高中
数学的基础知识。
教学内容：初中数学与高中数学的连接，包括函数、方程、不等式等基础知识。
教学重点：函数的概念和性质、方程的解法、不等式的解法。
教学难点：初步接触高中数学的抽象性和深度，需要学生进行逻辑推理和思维的跳跃。
教学过程：
1.导入：通过一个生活中的实际问题引入函数的概念，引发学生的兴趣和思考。
2.讲解：介绍函数的定义和性质，帮助学生建立起对函数概念的正确理解。
3.练习：让学生通过练习掌握函数的应用，提高他们解决问题的能力。
4.导入：引入方程的概念，让学生通过实例掌握解方程的方法。
5.讲解：介绍不等式的性质和解法，帮助学生建立起对不等式概念的正确理解。
6.练习：让学生通过练习掌握不等式的应用，提高他们解决问题的能力。
7.总结：对本节课的内容进行总结，强调初中数学与高中数学之间的衔接，帮助学生更好
地过渡到高中数学的学习。
教学反思：本节课主要是帮助学生顺利过渡到高中数学的学习，因此在教学过程中要注重
培养学生的解决问题的能力和逻辑思维能力，让他们逐渐适应高中数学的学习节奏和内容。
同时要关注学生的学习情况，根据实际情况调整教学策略，确保每个学生都能够理解和掌
握本节课的内容。
初高中数学衔接教材
初高中数学衔接教材一、现有初高中数学知识存在以下“脱节”：1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
二、初高中数学衔接目录：前言第一讲数与式的运算（两课时）第二讲因式分解（两课时）第三讲一元二次方程根与系数的关系（一课时）第四讲不等式（两课时）第五讲二次函数的最值问题（一课时）第六讲简单的二元二次方程组（一课时）第七讲分式方程和无理方程的解法（一课时）第八讲直线、平面与常见立体图形（一课时）第九讲直线与圆，圆与圆的位置关系（一课时）初高中数学衔接教材初高中衔接从观念开始----致即将毕业的初三同学一、初、高中的比较和初中数学相比，高中数学的内容多，抽象性、理论性强，高中很注重自学能力的培养的，高中不会像初中那样老师一天到晚盯着你，在高中一定要注重自学能力的培养，谁的自学能力强，那么在一定的程度上影响着你的成绩以及你将来你发展的前途。
初高中数学衔接教材(已整理)
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*初高中数学衔接教材编者的话现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。
而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。
高中则在使用。
另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。
新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。
本书当然也没有详尽列举出来。
初升高数学衔接课程学习
初高中数学衔接教材目录1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.４分式1．2 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2．2 二次函数2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法2.3.2 一元二次不等式解法3．1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理3.1.2相似形3.2 三角形3.2.1 三角形的“四心”3.2.2 几种特殊的三角形3．3圆3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系3.3.2 点的轨迹1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1 解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，\点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式 ‘由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4． 练 习 1．填空：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________.2．选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++ =61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；（3）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式一般地，形如(0)a a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 232a a b b +++，22a b +等是无理式，而22212x x ++，222x xy y ++，2a 等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a 与a ，36+与36-，2332-与2332+，等等． 一般地，a x 与x ，a x b y +与a x b y -，a x b +与a x b -互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)a b ab a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．二次根式2a 的意义2a a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1将下列式子化为最简二次根式：（1）12b ； （2）2(0)a b a ≥； （3）64(0)x y x <．解： （1）1223b b =； （2）2(0)a b ab a b a ==≥；（3）633422(0)x y xy x y x ==-<．例2 计算：3(33)÷-．解法一：3(33)÷-＝333-＝3(33)(33)(33)⋅+-+＝33393+- ＝3(31)6+＝312+．解法二：3(33)÷-＝333-＝33(31)-＝131-＝31(31)(31)+-+＝312+． 例3 试比较下列各组数的大小：（1）1211-和1110-； （2）264+和226－. 解： （1）∵1211(1211)(1211)11211112111211--+-===++，1110(1110)(1110)11110111101110--+-===++， 又12111110+>+， ∴1211-＜1110-．（2）∵226(226)(226)2226,1226226===－－+－++ 又 4＞22，∴6＋4＞6＋22， ∴264+＜226－. 例4 化简：20042005(32)(32)+⋅-． 解：20042005(32)(32)+⋅-＝20042004(32)(32)(32)+⋅-⋅-＝2004(32)(32)(32)⎡⎤+⋅-⋅-⎣⎦＝20041(32)⋅- ＝32-． 例 5 化简：（1）945-； （2）2212(01)x x x+-<<．解：（1）原式5454=++22(5)2252=+⨯⨯+2(25)=-25=-52=-．（2）原式=21()x x -1x x=-， ∵01x <<，∴11x x>>， 所以，原式＝1x x-．例 6 已知3232,3232x y -+==+-，求22353x xy y -+的值 ． 解： ∵223232(32)(32)103232x y -++=+=-++=+-，323213232xy -+=⋅=+-，∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练 习 1．填空： （1）1313-+＝__ ___；（2）若2(5)(3)(3)5x x x x --=--，则x 的取值范围是_ _ ___； （3）4246543962150-+-=__ ___； （4）若52x =，则11111111x x x x x x x x +--++-+=++-+--______ __． 2．选择题：等式22x xx x =--成立的条件是 （ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<3．若22111a ab a -+-=+，求a b +的值．4．比较大小：2－ 3 5－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： A A MB B M⨯=⨯； A A MB B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质． 2．繁分式像ab c d+，2m n pm n p +++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1 若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值．解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++，∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩解得 2,3A B ==．例2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+． （1）证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，∴111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．（2）解：由（1）可知1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910=-+-++-1110=-＝910．（3）证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＝111111()()()23341n n -+-++-+ ＝1121n -+，又n ≥2，且n 是正整数，∴1n ＋1 一定为正数，∴1112334(1)n n +++⨯⨯+＜12．例3 设ce a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值． 解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2)＝0，∴e ＝12＜1，舍去；或e ＝2．∴e ＝2． 练 习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)；2．选择题：若223x y x y -=+，则xy＝ （ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45（D ）653．正数,x y 满足222x y xy -=，求x y x y-+的值．4．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．习题1．1 A 组1．解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值． 3．填空：（1）1819(23)(23)+-＝________；（2）若22(1)(1)2a a -++=，则a 的取值范围是________； （3）111111223344556++++=+++++________．B 组1．填空：（1）12a =，13b =，则2223352a ab a ab b -=+-____ ____； （2）若2220x xy y +-=，则22223x xy y x y++=+__ __；2．已知：11,23x y ==，求y y x y x y--+的值． C 组1．选择题：（1）若2a b ab b a ---=---，则 （ ）（A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<（2）计算1a a-等于 （ ） （A ）a - （B ）a （C ）a -- （D ）a -2．解方程22112()3()10x x x x +-+-=．3．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯． 4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++＜14．1.1.1．绝对值1．（1）5±；4± （2）4±；1-或3 2．D 3．3x －181.1.2．乘法公式 1．（1）1132a b -（2）11,24（3）424ab ac bc -- 2．（1）D （2）A1.1.3．二次根式1． （1）32- （2）35x ≤≤ （3）86- （4）5．2．C 3．1 4．＞1.1.4．分式 1．12 2．B 3． 21- 4．99100 习题1．1A 组1．（1）2x <-或4x > （2）－4＜x ＜3 （3）x ＜－3，或x ＞3 2．1 3．（1）23- （2）11a -≤≤ （3）61-B 组1．（1）37 （2）52，或－15 2．4．C 组1．（1）C （2）C 2．121,22x x == 3．36554．提示：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++1．2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-． 解： （1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++． 或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或－1 －2 x x 图1．2－1 －1 －2 1 1 图1．2－2－2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4 －1 1x y图1．2－5222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0，则解得112x =-+，212x =--，∴221x x +-=(12)(12)x x ⎡⎤⎡⎤--+---⎣⎦⎣⎦=(12)(12)x x +-++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(222)x y =-+，1(222)x y =--，∴2244x xy y +-=[2(12)][2(12)]x y x y +-++．练 习 1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）2223x x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+． 3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状． 4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．1.2分解因式1． B2．（1）(x ＋2)(x ＋4) （2）22(2)(42)a b a ab b -++ （3）(12)(12)x x ---+ （4）(2)(22)y x y --+．习题1．2 1．（1）()()211a a a +-+ （2）()()()()232311x x x x +-+-（3）()()2b c b c a +++ （4）()()3421y y x y -++- 2．（1）51351322x x ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()()2525x x ---+； （3）2727333x y x y ⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （4）()3(1)(15)(15)x x x x -+---+． 3．等边三角形4．(1)()x a x a -++2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a -+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b aca-±-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b aca-±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根2142a a x ++=， 2242a a x -+=．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，所以，①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；②当a≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，所以①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根111x a=+-，211x a=--；②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝ba-，x1·x2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)程x2＋px＋q＝0的两根，出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－35．所以，方程的另的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m ＝17． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元大方向个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x ，y ， 则 x ＋y ＝4， ①xy ＝－12． ② 由①，得 y ＝4－x ， 代入②，得x (4－x )＝－12，即 x 2－4x －12＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝6．∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x 2－4x －12＝0 的两个根．解这个方程，得x 1＝－2，x 2＝6． 所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷． 例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158．说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则，2242b b ac x a---=，∴| x 1－x 2|＝2224424222b b ac b b ac b aca a a-+------=24||||b ac a a -∆==．于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝||a ∆（其中Δ＝b 2－4ac ）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论． 例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围． 解：设x 1，x 2是方程的两根，则x 1x 2＝a －4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ② 由①得 a ＜4，由②得 a ＜174．∴a 的取值范围是a ＜4．练 习 1．选择题：（1）方程222330x kx k -+=的习题2.1 A 组1．选择题:（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 （2）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－12．填空:（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．B 组1．选择题:若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（ ）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0 2．填空:（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于 ．（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ．3．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．4．－1 提示：(x 1－3)( x 2－3)＝x 1 x 2－3(x 1＋x 2)＋9习题2．12．（1）2006 提示：∵m ＋n ＝－2005，mn ＝－1，∴m 2n ＋mn 2－mn ＝mn (m ＋n －1)＝－1×(－2005－1)＝2006．（2）－3 提示；∵a ＋b ＝－1，ab ＝－1，∴a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3＝a 2(a ＋b )＋b 2(a ＋b )＝(a ＋b )( a 2＋b 2)＝(a ＋b )[( a ＋b ) 2－2ab ]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．3．（1）∵Δ＝(－k )2－4×1×(－2)＝k 2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根． （2）∵x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2，∴2k ＞－2，即k ＞－1．4．（1）| x 1－x 2|＝24||b ac a -，122x x +＝2b a -；（2）x 13＋x 23＝333abc b a -． 5．∵| x 1－x 2|＝164242m m -=-=，∴m ＝3．把m ＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m ＝3．C 组1．（1）B （2）A（3）C 提整数的实数k 的整数值为－2，－3和－5．（3）当k ＝－2时，x 1＋x 2＝1，① x 1x 2＝18， ② ①2÷②，得1221x x x x +＋2＝8，即16λλ+=，∴2610λλ-+=， ∴322λ=±． 4．（1）Δ＝22(1)20m -+>；（2）∵x 1x 2＝－24m ≤0，∴x 1≤0，x 2≥0，或x 1≥0，x 2≤0．①若x 1≤0，x 2≥0，则x 2＝－x 1＋2，∴x 1＋x 2＝2，∴m －2＝2，∴m ＝4．此时，方程为x 2－2x －4＝0，∴115x =+，215x =-．②若x 1≥0，x 2≤0，则－x 2＝x 1＋2，∴x 1＋x 2＝－2，∴m －2＝－2，∴m ＝0．此时，方程为x 2＋2＝0，∴x 1＝0，x 2＝－2．5．设方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝a ， 由一根大于1、另一根小于1，得(x 1－1)( x 2－1)2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关？为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 先列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … x 2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 2x 2…18822818从表中不难看出，要得到2x 2的值，只要把相应的x 2的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a＋224b a )＋c －24b a224()24b b ac a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向图2.2-2xyO －1y ＝2x 2y ＝2(x ＋1)2y ＝2(x ＋1)2＋1 y ＝x 2y ＝2x 2图2.2-1 xO y例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表所示：x /元130 150 165 y /件70 50 35 若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于设每天的利润为z （元），则z ＝(－x +200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000 ＝－(x －160)2＋1600，∴当x ＝160时，z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x +2b )224bc +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x 2的图像，所以，240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得b ＝－8，c ＝14． 解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像． 由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．例4 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论． 解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；（4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题． 练 习 1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ） （A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2 （C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2 （ ）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题（1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝ ，n ＝ ．（2）已知二次函数y ＝x 2+(m －2)x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝ 时，函数图象经过原点．（3）函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x ＝ 时，函数取最 值y ＝ ；当x 时，y 随着x 的增大而减小． 3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象． （1）y ＝x 2－2x －3； （2）y ＝1＋6 x －x 2．4．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：（1）x ≤－2；（2）x ≤2；（3）－2≤x ≤1；（4）0≤x ≤3．2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： y ① x y O －2 a a 24图2.2－6 x y O a －2 2 4 a 2②－2 x y O a a 2 4 ③1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx ＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ba-，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b cx xa a++)= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x －x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a =-+<， ∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴21(32)1a -=-+，解得a ＝－2．∴二次函数的解析式为22(2)1y x =--+，即y ＝－2x 2＋8x －7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)， 展开，得 y ＝ax 2＋2ax －3a ，顶点的纵坐标为2212444a a a a--=-， 由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2， ∴|－4a |＝2，即a ＝12±． 所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+． 分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式． 解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1． 又顶点到x 轴的距离为2， ∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2， 由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－12，或a ＝12． 所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2． 说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 解：设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得22,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？练 习 1．选择题:（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定（2）函数y ＝－12(x ＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ）（A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2) 2．填空：（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y ＝a(a ≠0) ．（2）二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 ． 3．根据下列条件，求二次函数的解析式．（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； （2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．2.2.3 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1．平移变换问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可． 例1 求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式： （1）向右平移2个单位，向下平移1个单位； （2）向上平移3个单位，向左平移2个单位． 分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式． 解：二次函数y ＝2x 2－4x －3的解析式可变为 y ＝2(x －1)2－1， 其顶点坐标为(1，－1)． （1）把函数y ＝2(x －1)2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y ＝2(x －3)2－2． （2）把函数y ＝2(x －1)2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y ＝2(x ＋1)2＋2．2．对称变换问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题． 例2 求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：y x ＝－1。
初升高 初中、高中衔接课(教)
初中、高中衔接课第1课时因式分解学习目标 1.理解提取公因式法、分组分解法.2.掌握十字相乘法.3.对于复杂的问题利用因式分解简化运算.知识点一常用的乘法公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.(2)立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3.(3)立方和公式：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.(4)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.(5)三数和平方公式：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.(6)完全立方公式：(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3.知识点二因式分解的常用方法(1)十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数，即运用乘法公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab的逆运算进行因式分解.(2)提取公因式法：当多项式的各项有公因式时，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积形式的方法.(3)公式法：把乘法公式反过来用，把某些多项式因式分解的方法.(4)求根法：若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)就可分解为a(x－x1)(x－x2).(5)试根法：对于简单的高次因式，可以通过先试根再分解的方法分解因式.如2x3－x－1，试根知x＝1为2x3－x－1＝0的根，通过拆项，2x3－x－1＝2x3－2x2＋2x2－2x＋x－1提取公因式后分解因式.1.a3＋b3＝(a＋b)(a2＋ab＋b2).(×)2.a2＋2ab＋b2＋c2＋2ac＋2bc＝(a＋b＋c)2.(√)3.a3－3a2b－3ab2＋b3＝(a－b)3.(×)4.多项式ax2＋bx＋c(a≠0)一定可以分解成a(x－x1)·(x－x2)的形式.(×)突破一配方法因式分解例1把下列关于x的二次多项式分解因式：(1)x2＋2x－1；(2)x2＋4xy－4y2.解(1)原式＝(x＋1)2－2＝(x＋1－2)(x＋1＋2).(2)原式＝x2＋4xy＋4y2－8y2＝(x＋2y)2－8y2＝(x＋2y＋22y)(x＋2y－22y).反思感悟这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解.当然，本题还有其它方法，请大家试验.跟踪训练1分解因式x2＋6x－16.解x2＋6x－16＝x2＋2×x×3＋32－32－16＝(x＋3)2－52＝(x＋3＋5)(x＋3－5)＝(x＋8)(x－2).突破二十字相乘法因式分解命题角度1形如x2＋(p＋q)x＋pq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和.x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝x(x＋p)＋q(x＋p)＝(x＋p)(x＋q).因此，x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.我们也可以用一个图表，此方法叫做十字相乘法.例2把下列各式因式分解：(1)x2－3x＋2；(2)x2＋4x－12；(3)x2－(a＋b)xy＋aby2；(4)xy－1＋x－y.解(1)如图1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2).今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x用1表示(如图2所示).(2)由图3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6).(3)由图4，得x2－(a＋b)xy＋aby2＝(x－ay)(x－by).(4)xy－1＋x－y＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y＋1)(如图5).反思感悟十字相乘法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项，其实质是乘法公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab的逆运算.跟踪训练2把下列各式因式分解：(1)x2＋xy－6y2；(2)(x2＋x)2－8(x2＋x)＋12.解(1)x2＋xy－6y2＝(x＋3y)(x－2y).(2)(x2＋x)2－8(x2＋x)＋12＝(x2＋x－6)(x2＋x－2)＝(x＋3)(x－2)(x＋2)(x－1).命题角度2形如一般二次三项式ax2＋bx＋c型的因式分解我们知道，(a1x＋c1)(a2x＋c2)＝a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2.反过来，就得到：a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把a1，a2，c1，c2写成a1a2×c1c2，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)·(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上一行，a2，c2位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，也叫做十字相乘法.例3把下列各式因式分解：(1)12x2－5x－2；(2)5x2＋6xy－8y2.解(1)12x2－5x－2＝(3x－2)(4x＋1).3 4×－2 1(2)5x2＋6xy－8y2＝(x＋2y)(5x－4y).1 5×2y －4y反思感悟用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法“凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法“凑”，先“凑”绝对值，然后调整，添加正、负号.跟踪训练3 把下列各式因式分解： (1)6x 2＋5x ＋1；(2)6x 2＋11x －7； (3)42x 2－33x ＋6；(4)2x 4－5x 2＋3.解 (1)(2x ＋1)(3x ＋1).(2)(2x －1)(3x ＋7). (3)(6x －3)(7x －2).(4)2⎝⎛⎭⎫x ＋62⎝⎛⎭⎫x －62(x ＋1)(x －1).1.分解因式x 2－3x ＋2为( )A.(x ＋1)(x ＋2)B.(x －1)(x －2)C.(x －1)(x ＋2)D.(x ＋1)(x －2) 答案 B2.分解因式x 2－x －1为( ) A.(x －1)(x ＋1) B.(x ＋1)(x －2)C.⎝⎛⎭⎫x －1＋52⎝⎛⎭⎫x －1－52 D.⎝⎛⎭⎫x ＋1－52⎝⎛⎭⎫x －1＋52 答案 C3.分解因式：m 2－4mn －5n 2＝________. 答案 (m ＋n )(m －5n )4.分解因式：(a －b )2＋11(a －b )＋28＝________. 答案 (a －b ＋4)(a －b ＋7)5.分解因式：x 2－y 2－x ＋3y －2＝____________. 答案 (x ＋y －2)(x －y ＋1)一、选择题1.计算(－2)100＋(－2)101的结果是( ) A.2 B.－2 C.－2100 D.2100 答案 C解析 (－2)100＋(－2)101 ＝(－2)100＋(－2)×(－2)100 ＝(－2)100 ×(1－2)＝－(－2)100 ＝－2100 ，故选C. 2.边长为a ，b 的长方形周长为12，面积为10，则a 2b ＋ab 2的值为( ) A.120 B.60 C.80 D.40 答案 B解析 ∵边长为a ，b 的长方形周长为12，面积为10，∴a ＋b ＝6，ab ＝10，则a 2b ＋ab 2＝ab (a ＋b )＝10×6＝60.故选B.3.下列各式中，能运用两数和(差)的平方公式进行因式分解的是( ) A.x 2＋4x B.a 2－4b 2 C.x 2＋4x ＋1 D.x 2－2x ＋1 答案 D解析 x 2＋4x ＝x (x ＋4)，故A 项错误；a 2－4b 2＝(a ＋2b )(a －2b )，故B 项错误；x 2＋4x ＋1不能分解，故C 项错误；x 2－2x ＋1＝(x －1)2，故D 项正确.故选D. 4.将代数式x 2＋4x －5因式分解的结果为( ) A.(x ＋5)(x －1) B.(x －5)(x ＋1) C.(x ＋5)(x ＋1) D.(x －5)(x －1) 答案 A解析x2＋4x－5＝(x＋5)(x－1)，故选A.5.要在二次三项式x2＋()x－6的括号中填上一个整数，使它能按公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)分解因式，那么这些数只能是()A.1，－1B.5，－5C.1，－1,5，－5D.以上答案都不对答案C解析－6可以分成：－2×3,2×(－3)，－1×6,1×(－6)，括号中填上的整数应该是－6的两个因数的和，即1，－1,5，－5.故选C.6.已知多项式x2＋bx＋c因式分解的结果为(x－1)(x＋2)，则b＋c的值为()A.－3B.－2C.－1D.0答案C解析∵(x－1)(x＋2)＝x2＋2x－x－2＝x2＋x－2，∴b＝1，c＝－2，∴b＋c＝－1.故选C.7.下列变形正确的是()A.x3－x2－x＝x(x2－x)B.x2－3x＋2＝x(x－3)－2C.a2－9＝(a＋3)(a－3)D.a2－4a＋4＝(a＋2)2答案C解析x3－x2－x＝x(x2－x－1)，故A项错误；x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)，故B项错误；a2－9＝(a＋3)(a－3)，故C 项正确；a2－4a＋4＝(a－2)2，故D项错误.故选C.8.若2m＋n＝25，m－2n＝2，则(m＋3n)2－(3m－n)2的值为()A.200B.－200C.100D.－100答案B解析∵2m＋n＝25，m－2n＝2，∴(m＋3n)2－(3m－n)2＝[(m＋3n)＋(3m－n)][(m＋3n)－(3m－n)]＝(4m＋2n)(－2m＋4n)＝－4(2m＋n)(m－2n)＝－4×25×2＝－200.故选B.二、填空题9.因式分解：ax＋ay＋bx＋by＝______________________.答案(a＋b)(x＋y)解析ax＋ay＋bx＋by，＝(ax＋ay)＋(bx＋by)，＝a(x＋y)＋b(x＋y)，＝(a＋b)(x＋y).10.因式分解：(x＋y)2－2y(x＋y)＝_________________________________________________.答案(x＋y)(x－y)解析原式＝(x＋y)(x＋y－2y)＝(x＋y)(x－y).11.分解因式：(a2＋1)2－4a2＝__________________.答案(a＋1)2(a－1)2解析(a2＋1)2－4a2＝(a2＋1＋2a)(a2＋1－2a)＝(a＋1)2(a－1)2.三、解答题12.分解因式：(1)x2＋6x＋8；(2)x2－x－6.解(1)x2＋6x＋8＝(x＋2)(x＋4).(2)x 2－x －6＝(x ＋2)(x －3). 13.分解因式：x 2－2xy －8y 2.解 x 2－2xy －8y 2＝(x －4y )(x ＋2y ).14.若x (x ＋1)＋y (xy ＋y )＝(x ＋1)·M ，则M ＝_______________________________________. 答案 x ＋y 2解析 ∵x (x ＋1)＋y (xy ＋y )＝(x ＋1)·M ， ∴x (x ＋1)＋y 2(x ＋1)－(x ＋1)·M ＝0， ∴(x ＋1)(x ＋y 2－M )＝0， ∵x ≠－1，∴x ＋y 2－M ＝0，即M ＝x ＋y 2.15.分解因式：(1)(x －y )2＋4(x －y )＋3； (2)m (m ＋2)(m 2＋2m －2)－3. 解 (1)令A ＝x －y ，则原式＝A 2＋4A ＋3＝(A ＋1)(A ＋3)，所以(x －y )2＋4(x －y )＋3＝(x －y ＋1)(x －y ＋3). (2)令B ＝m 2＋2m ， 则原式＝B (B －2)－3 ＝B 2－2B －3＝(B ＋1)(B －3)，所以原式＝(m 2＋2m ＋1)(m 2＋2m －3) ＝(m ＋1)2(m －1)(m ＋3).第2课时 二次函数、二次方程及简单的一元二次不等式学习目标 理解和掌握二次函数的图象和性质，理解和掌握一元二次方程的相关知识并能熟练解出一元二次方程，借助于二次函数的图象会解简单一元二次不等式.知识点一 一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，用配方法将其变形为⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2. (1)当b 2－4ac >0时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实数根：x 1,2＝－b ±b 2－4ac2a ；(2)当b 2－4ac ＝0时，右端是零.因此，方程有两个相等的实数根：x 1,2＝－b2a；(3)当b 2－4ac <0时，右端是负数.因此，方程没有实数根.由于可以用b 2－4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此，把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，表示为Δ＝b 2－4ac . 知识点二 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a ，所以：x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ＋－b －b 2－4ac2a＝－ba ，x 1x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ·－b －b 2－4ac 2a＝(－b )2－(b 2－4ac )2(2a )2＝4ac 4a 2＝c a .一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”.定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.知识点三 二次函数的图象与性质 仅讨论y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的情况： 1.x 的取值范围为一切实数.2.y 的取值范围为⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ 当x ＝－b2a 时，y 取得最小值4ac －b 24a.3.二次函数的三种表达方式： ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋bx ＋c ；y ＝a (x －x 1)(x －x 2)；y ＝a (x －h )2＋k .4.对称轴x ＝－b 2a (图象关于x ＝－b2a 对称). 5.(1)当x 1<x 2≤－b2a 时，则y 1>y 2.(2)当x 2>x 1≥－b2a时，则y 1<y 2.6.Δ>0 Δ＝Δ<0有相异两实根x ,＝1.方程ax 2＋bx ＋c ＝0如果有实数根，则Δ＝b 2－4ac ≥0.( × )2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在x ＝－b2a时取得最值.( √ )3.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等实数根，则ax 2＋bx ＋c >0的范围为x >x 2或x <x 1.( × )突破一 一元二次方程的相关知识的应用例1 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值.解 设x 1，x 2是方程的两根，由根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4.∵x 21＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3x 1·x 2＝21，即[－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21， 化简得，m 2－16m －17＝0， 解得m ＝－1，或m ＝17.当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ>0，满足题意；当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293<0，不合题意，舍去. 综上，m ＝－1.反思感悟 (1)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大于21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可. (2)在今后的解题过程中，如果仅仅由根与系数的关系解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零.因为，根与系数的关系成立的前提是一元二次方程有实数根.跟踪训练1 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根， (1)求|x 1－x 2|的值；(2)求1x 21＋1x 22的值；(3)x 31＋x 32.解 ∵x 1和x 2是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴x 1＋x 2＝－52，x 1x 2＝－32.(1)∵|x 1－x 2|2＝x 21＋x 22－2x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫－522－4×⎝⎛⎭⎫－32 ＝254＋6＝494， ∴|x 1－x 2|＝72.(2)1x 21＋1x 22＝x 21＋x 22x 21·x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2(x 1x 2)2 ⎝⎛⎭⎫－522－2×⎝⎛⎭⎫－32⎝⎛⎭⎫－322＝254＋394＝379.(3)x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)(x 21－x 1x 2＋x 22) ＝(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2－3x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎫－52×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－522－3×⎝⎛⎭⎫－32＝－2158. 突破二 二次函数的图象与性质例2 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值.解 (1)当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2,4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；(2)当－2<a <0时，由图①可知，当x ＝－2时，函数取最大值4；当x ＝a 时，函数取最小值a 2； (3)当0≤a <2时，由图②可知，当x ＝－2时，函数取最大值4；当x ＝0时，函数取最小值0； (4)当a ≥2时，由图③可知，当x ＝a 时，函数取最大值a 2；当x ＝0时，函数取最小值0.反思感悟 在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论.此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题.跟踪训练2 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大(或减小)？画出该函数的图象，并指出y >0时x 的取值范围. 解 ∵y ＝－3x 2－6x ＋1 ＝－3(x ＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x ＝－1；顶点坐标为(－1,4)；当x ＝－1时，函数取最大值y ＝4，无最小值；当x <－1时，y 随着x 的增大而增大；当x >－1时，y 随着x 的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A (－1,4)，与x 轴交于点B ⎝⎛⎭⎫23－33，0和C⎝⎛⎭⎫－23－33，0，与y 轴的交点为D (0,1)，过这四点画出图象(如图所示).由图象可知，y >0时x 的取值范围为－23－33<x <23－33. 突破三 一元二次不等式的解法 例3 求不等式4x 2－4x ＋1>0的解. 解 因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，所以方程4x 2－4x ＋1＝0的解是x 1＝x 2＝12，所以原不等式的解为x <12或x >12.反思感悟 (1)在求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象.(2)当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式. 跟踪训练3 求不等式－3x 2＋6x >2的解. 解 不等式可化为3x 2－6x ＋2<0， ∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，∴x 1＝1－33，x 2＝1＋33，∴不等式－3x 2＋6x >2的解为1－33<x <1＋33.1.不等式9x 2－6x ＋1≤0的解为( )A.全体实数B.无解C.x ≠13D.x ＝13答案 D解析 原不等式可化为(3x －1)2≤0，所以3x －1＝0，所以x ＝13，故选D.2.不等式－4x 2＋4x <－15的解为( )A.－32<x <52B.－52<x <32C.x >52或x <－32D.x >32或x <－52答案 C解析 原不等式可化为4x 2－4x －15>0，即(2x －5)(2x ＋3)>0，解得x >52或x <－32，故选C.3.函数y ＝x 2－2x ，当－1≤x ≤t 时，该函数的最大值为3，则t 的最大值为__________. 答案 3解析 令y ＝3，则x 2－2x ＝3，解得x ＝－1或3.由图可知，t 的最大值为3.4.方程x 2－ax ＋1＝0的两根为x 1，x 2，若|x 1－x 2|＝ 5.则a ＝________. 答案 ±3解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝a ，x 1·x 2＝1，又|x 1－x 2|＝5，所以(x 1－x 2)2＝5，所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5，即a 2－4＝5，解得a ＝±3.5.不等式ax 2＋bx ＋1>0的解为－12<x <13，则a ＋b ＝________.答案 －7解析 依题意－12，13是方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根且a <0，所以⎩⎨⎧－b a ＝－12＋13，1a ＝⎝⎛⎭⎫－12×13，解得a ＝－6，b ＝－1 所以a ＋b ＝－7.一、选择题1.若关于x 的方程(a ＋1)x 2－3x －2＝0是一元二次方程，则a 的取值范围是( ) A.a ≠0 B.a ≠－1 C.a ＞－1 D.a ＜－1 答案 B解析 根据题意，得a ＋1≠0，解得a ≠－1.故选B.2.若一元二次方程x 2－2x ＋1－a ＝0无实根，则a 的取值范围是( ) A.a ＜0 B.a ＞0C.a ＜34D.a ＞34答案 A解析 ∵一元二次方程x 2－2x ＋1－a ＝0无实根，∴Δ＝(－2)2－4×1×(1－a )＜0，解得a ＜0，故选A. 3.若m ，n 是一元二次方程x 2＋x －2＝0的两个根，则m ＋n －mn 的值是( ) A.－3 B.3 C.－1 D.1 答案 D解析 ∵m ，n 是一元二次方程x 2＋x －2＝0的两个根，∴m ＋n ＝－1，mn ＝－2，则m ＋n －mn ＝－1－(－2)＝1，故选D.4.不等式2x 2－x －1>0的解是( )A.－12＜x ＜1 B.x ＞1C.x ＜1或x ＞2D.x ＜－12或x ＞1答案 D解析 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1＞0得(2x ＋1)(x －1)＞0，解得x ＞1或x ＜－12.5.关于二次函数y ＝－2x 2＋1，下列说法中正确的是( ) A.它的开口方向是向上B.当x ＜－1时，y 随x 的增大而增大C.它的顶点坐标是(－2,1)D.当x ＝0时，y 有最大值是2 答案 B解析 ∵二次函数y ＝－2x 2＋1，a ＝－2，∴该函数图象开口向下，故选项A 错误，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故选项B 正确，它的顶点坐标为(0,1)，故选项C 错误，当x ＝0时，y 有最大值1，故选项D 错误，故选B.6.若二次函数y ＝x 2－mx 的对称轴是x ＝－3，则关于x 的方程x 2＋mx ＝7的解是( ) A.x 1＝0，x 2＝6 B.x 1＝1，x 2＝7 C.x 1＝1，x 2＝－7 D.x 1＝－1，x 2＝7 答案 D解析 ∵二次函数y ＝x 2－mx 的对称轴是x ＝－3，∴－－m 2＝－3，解得m ＝－6，∴关于x 的方程x 2＋mx ＝7可化为x 2－6x －7＝0， 即(x ＋1)(x －7)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝7. 故选D.7.y ＝ax 2＋ax －1对于任意实数x 都满足y ＜0，则a 的取值范围是( ) A.a ≤0 B.a ＜－4 C.－4＜a ＜0 D.－4＜a ≤0 答案 D解析 当a ＝0时，y ＝－1＜0成立.当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2＋4a ＜0，解得－4＜a ＜0，综上可知－4＜a ≤0时，对任意实数x 都有y <0. 二、填空题8.已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <0的解为1<x <2，则关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1>0的解为________________________________________________________________________.答案 x <12或x >1解析 ∵x 2＋ax ＋b <0的解为1<x <2， ∴1,2是x 2＋ax ＋b ＝0的两根.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝1＋2，b ＝1×2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2， 代入所求不等式，得2x 2－3x ＋1>0.由2x 2－3x ＋1>0，得(2x －1)(x －1)>0，得x <12或x >1.9.函数y ＝－x 2＋1，当－1≤x ≤2时，函数y 的最小值是________. 答案 －3解析 y ＝－x 2＋1的图象开口向下，且对称轴为x ＝0. 当x <∵－1＜0，∴当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x <0时，y 随x 的增大而增大， ∵当x ＝－1时，y ＝－1＋1＝0； 当x ＝2时，y ＝－4＋1＝－3， ∴函数y 的最小值为－3.10.不等式x 2－5x ＋6≤0的解为________________. 答案 2≤x ≤3解析 ∵x 2－5x ＋6≤0，∴(x －2)(x －3)≤0. ∴2≤x ≤3.11.x 1，x 2是方程x 2＋2x －3＝0的两个根，则代数式x 21＋3x 1＋x 2＝________. 答案 1解析∵x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根，∴x21＋2x1－3＝0，即x21＋2x1＝3，x1＋x2＝－2，则x21＋3x1＋x2＝x21＋2x1＋x1＋x2＝3－2＝1.三、解答题12.画出函数y＝2x2－4x－6的草图.解y＝2x2－4x－6＝2(x2－2x)－6＝2(x2－2x＋1－1)－6＝2[(x－1)2－1]－6＝2(x－1)2－8.函数图象的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x＝1.令y＝0得2x2－4x－6＝0，即x2－2x－3＝0，∴x＝－1或x＝3，故函数图象与x轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0).画法步骤：(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)，(－1,0)，(3,0)，画出直线x＝1；(2)连线：用光滑的曲线连点(1，－8)，(－1,0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x＝1对称，即得函数y ＝2x2－4x－6的草图，如图所示.13.已知关于x的一元二次方程x2－2(k－1)x＋k2－1＝0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1＋x2|＝2x1x2，求k的值.解(1)Δ＝[－2(k－1)]2－4(k2－1)＝4k2－8k＋4－4k2＋4＝－8k＋8.∵原方程有两个不相等的实数根，∴－8k＋8＞0，解得k＜1，即实数k的取值范围是k＜1.(2)由根与系数的关系，x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2－1，∵|x1＋x2|＝2x1x2，∴|2(k－1)|＝2k2－2，∵k＜1，∴2－2k＝2k2－2，化简得k2＋k－2＝0，∴k＝1(舍)或k＝－2，∴k＝－2.14.将抛物线y＝(x－1)2＋1向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为()A.y＝(x－2)2＋1B.y＝x2＋1C.y＝(x＋1)2＋1D.y＝(x－1)2答案B解析将抛物线y＝(x－1)2＋1向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为y＝(x－1＋1)2＋1＝x2＋1，即y＝x2＋1.故选B.15.解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.解原不等式变形为(x－2a)(x＋a)<0.(1)若a>0，则－a<x<2a，此时不等式的解为－a<x<2a；(2)若a<0，则2a<x<－a，此时不等式的解为2a<x<－a；(3)若a＝0，则原不等式即为x2<0，此时无解.。