多元统计分析第五章课件第二部分
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《多元统计分析》课件
数据预处理和清洗
1
数据清洗
解决缺失值、异常值和重复数据问题。
2
标准化处理
对数据进行标准化、归一化和正态化处理。
3
变量选择
学习如何选择影响结果的重要变量。
描述性统计分析
1 中心趋势分析
运用平均值、中位数和众数等指标揭示数据的集中情况。
2 离散程度分析
探索数据的离散程度，如标准差和方差。
3 分布形态分析
识别数据分布的形态，如正态分布和偏态分布。
相关分析
线性相关
学习如何评估变量之间的 线性关系。
非线性相关
探索变量之间的非线性关 系，如曲线和曲面拟合。
相关系数
了解相关系数的计算方法 及其解释。
统计显著性检验
1
假设检验
学习如何根据样本数据推断总体参数。
2
置信区间
了解如何估计总体参数的范围。
3
显著性水平
确定显著性水平及其对推断的影响。
回归分析
线性回归
构建线性回归模型来预测因变量。
回归诊断
评估回归模型用。
多元方差分析
单因素设计
比较多个组之间的差异。
多重比较
确定组之间的具体差异。
二因素设计
考虑两个自变量对因变量的 影响。
《多元统计分析》PPT课件
探索多元统计分析的定义、概念和应用。从数据预处理到分析模型选择，帮 助解决实际问题。了解多元统计软件和未来发展方向。
数据结构和类型
结构
探索多元数据的各种结 构，包括矩阵、向量和 表格。
类型
了解多元数据的分类， 如连续型、离散型、定 类型和定序型。
示例
使用实际案例来展示多 元数据的结构和类型。
《多元统计分析》课件
采用L1正则化，通过惩罚项来选择最重要 的自变量，实现特征选择和模型简化。
比较
应用场景
岭回归适用于所有自变量都对因变量有影 响的情况，而套索回归更适用于特征选择 和模型压缩。
适用于数据集较大、自变量之间存在多重 共线性的情况，如生物信息学数据分析、 市场细分等。
主成分回归与偏最小二乘回归
主成分回归
适用于自变量之间存在多重 共线性的情况，同时要求高 预测精度，如金融市场预测 、化学计量学等。
06 多元数据的典型相关分析
典型相关分析的基本思想
01
典型相关分析是一种研究多个 随机变量之间相关性的多元统 计分析方法。
02
它通过寻找一对或多个线性组 合，使得这些线性组合之间的 相关性达到最大或最小，从而 揭示多个变量之间的关系。
原理
基于最小二乘法原理，通过最小化预 测值与实际值之间的平方误差来估计 回归系数。
应用场景
适用于因变量与自变量之间存在线性 关系的情况，如预测房价、股票价格 等。
注意事项
需对自变量进行筛选和多重共线性诊 断，以避免模型的不稳定性和误差。
岭回归与套索回归
岭回归
套索回归
是一种用于解决多重共线性的回归方法， 通过引入一个小的正则化项来稳定系数估 计。
层次聚类
01
步骤
02
1. 将每个数据点视为一个独立的集群。
2. 计算任意两个集群之间的距离或相似度。
03
层次聚类
01 3. 将最相近的两个集群合并为一个新的集群。 02 4. 重复步骤2和3，直到满足终止条件（如达到预
设的集群数量或最大距离阈值）。
03 应用：适用于探索性数据分析，帮助研究者了解 数据的分布和结构。
第五章多元统计课件
第五章多元统计课件第五章假设检验与区间估计5.1 假设检验概述假设检验问题是统计推断的⼀类重要问题。
在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不知其参数的情况，为了推断总体的某些求知特征，提出某些关于总体的假设。
例如，提出总体服从正态分布的假设，⼜如，对于正态总体提出数据等于⼀个常数的假设等。
我们可以根据样本对所提出的假设作出是接受，还是拒绝的决策。
假设检验是作出这⼀决策的过程。
⼀、假设检验的步骤处理假设检验的步骤如下： 1、根据实际问题的要求，提出原假设（Null Hypothesis ）和备择假设（Alternative Hypothesis ）。
2、给定显著性⽔平α以及样本容量n 。
3、确定检验统计量以及拒绝域的形式。
4、按照00(|P H H α≤拒绝为真)求出拒绝域。
5、取样，根据样本观测值作出决策，是接受原假设还是拒绝原假设。
⼆、假设检验的基本概念1、两类错误假设检验是根据⼀定概率显著⽔平对总体特征进⾏推断。
否定了原假设，并不等于已证明原假设不真；接受了原假设，也不等于已证明原假设是真实的。
0H 0H 0H 0H 原假设在客观上只有两种可能性：真、假。
样本值0H 12(,,,)n x x x 也只有两种可能性：属于拒绝域C、不属于拒绝域C。
则在观察到样本值12(,,,)n x x x 时只可能有下列四种情况：(1) 原假设为真，⽽样本值0H 12(,,,)n x x x 属于拒绝域C； (2) 原假设为真，⽽样本值0H 12(,,,)n x x x 不属于拒绝域C； (3) 原假设为假，⽽样本值0H 12(,,,)n x x x 属于拒绝域C； (4) 原假设为假，⽽样本值0H 12(,,,)n x x x 不属于拒绝域C；显然在（2）、（3）情形下，对原假设的表态与客观实际相符。
⽽在（1）、（4）情形下，表态犯了错误，即与客观实际不符。
在情形（1）下出现的错误是把本来真实的看法进⾏了否定，这种“以真为假”的错误叫做第⼀类错误。
多元统计分析课件第五章_聚类分析
（3）按（5.12）计算新类与其它类的距离。 （4）重复（2）、（3）两步，直到所有元素。并成一类为
止。如果某一步距离最小的元素不止一个，则对应ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ些
最小元素的类可以同时合并。
【例5.1】设有六个样品，每个只测量一个指标，分别是1， 2，5，7，9，10，试用最短距离法将它们分类。
（1）样品采用绝对值距离，计算样品间的距离阵D（0） ，见 表5.1
一、系统聚类的基本思想
系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成 类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品 （或变量）总能聚到合适的类中。系统聚类过程是：假设总 共有n个样品（或变量），第一步将每个样品（或变量）独 自聚成一类，共有n类；第二步根据所确定的样品（或变量） “距离”公式，把距离较近的两个样品（或变量）聚合为一 类，其它的样品（或变量）仍各自聚为一类，共聚成n 1类； 第三步将“距离”最近的两个类进一步聚成一类，共聚成n 2类；……，以上步骤一直进行下去，最后将所有的样品 （或变量）全聚成一类。为了直观地反映以上的系统聚类过 程，可以把整个分类系统画成一张谱系图。所以有时系统聚 类也称为谱系分析。除系统聚类法外，还有有序聚类法、动 态聚类法、图论聚类法、模糊聚类法等，限于篇幅，我们只 介绍系统聚类方法。
在生物、经济、社会、人口等领域的研究中，存在着大量量 化分类研究。例如：在生物学中，为了研究生物的演变，生 物学家需要根据各种生物不同的特征对生物进行分类。在经 济研究中，为了研究不同地区城镇居民生活中的收入和消费 情况，往往需要划分不同的类型去研究。在地质学中，为了 研究矿物勘探，需要根据各种矿石的化学和物理性质和所含 化学成分把它们归于不同的矿石类。在人口学研究中，需要 构造人口生育分类模式、人口死亡分类状况，以此来研究人 口的生育和死亡规律。
止。如果某一步距离最小的元素不止一个，则对应ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ些
最小元素的类可以同时合并。
【例5.1】设有六个样品，每个只测量一个指标，分别是1， 2，5，7，9，10，试用最短距离法将它们分类。
（1）样品采用绝对值距离，计算样品间的距离阵D（0） ，见 表5.1
一、系统聚类的基本思想
系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成 类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品 （或变量）总能聚到合适的类中。系统聚类过程是：假设总 共有n个样品（或变量），第一步将每个样品（或变量）独 自聚成一类，共有n类；第二步根据所确定的样品（或变量） “距离”公式，把距离较近的两个样品（或变量）聚合为一 类，其它的样品（或变量）仍各自聚为一类，共聚成n 1类； 第三步将“距离”最近的两个类进一步聚成一类，共聚成n 2类；……，以上步骤一直进行下去，最后将所有的样品 （或变量）全聚成一类。为了直观地反映以上的系统聚类过 程，可以把整个分类系统画成一张谱系图。所以有时系统聚 类也称为谱系分析。除系统聚类法外，还有有序聚类法、动 态聚类法、图论聚类法、模糊聚类法等，限于篇幅，我们只 介绍系统聚类方法。
在生物、经济、社会、人口等领域的研究中，存在着大量量 化分类研究。例如：在生物学中，为了研究生物的演变，生 物学家需要根据各种生物不同的特征对生物进行分类。在经 济研究中，为了研究不同地区城镇居民生活中的收入和消费 情况，往往需要划分不同的类型去研究。在地质学中，为了 研究矿物勘探，需要根据各种矿石的化学和物理性质和所含 化学成分把它们归于不同的矿石类。在人口学研究中，需要 构造人口生育分类模式、人口死亡分类状况，以此来研究人 口的生育和死亡规律。
应用多元统计分析.ppt
多元统计分析研究 的对象就是多 维随机向量.
第一章
§1.1
绪
论
引言--多元分析的研究对象和内容
研究的内容既包括一元统计学中某 些方法的直接推广，也包括多个随机 变量特有的一些问题。
多元统计分析是一类范围很广 的理论和方法。
第一章
§1.1
绪
论
引言--多元分析的研究对象和内容
就以学生成绩为例，我们可以研究很多 问题：用各科成绩的总和作为综合指标来 比较学生学习成绩的好坏(如成绩好的与成 绩差的，又如文科成绩好的与理科成绩好 的）；研究各科成绩之间的关系（如物理 与数学成绩的关系，文科成绩与理科成绩 的关系）；……等等。所有这些都属于多 元统计分析的研究内容。
课程其它事项
教学软件: R 课程主页: 课程评估:
作业 : 期中 : 期末 :
10% 40% 50%
答疑时间: 周二 9:30—11:30
第一章
§1.1
绪
引 言
论
在实际问题中，很多随机现象涉及到 的变量不止一个，而经常是多个变量，而 且这些变量间又存在一定的联系。我们常 常需要处理多个变量的观测数据。例如考 察学生的学习情况时，就需了解学生在几 个主要科目的考试成绩。 下表给出从某年级随机抽取的12名学 生中5门主要课程期末考试成绩。
0 . 1025 X 0 . 2852 X 4 12 Z1是12个变量的线性组合，且系数都是正数， 数值有大有小。显然数值大的变量对综合指标 （主成分）的贡献大；数值小的变量对综合指 标（主成分）的贡献小。
教育学-主成分分析在学生学习成绩排序中的应用
12个原始变量（课程）提供的信息各为多少？用什 么量来表达？最经典的方法是用变量的方差Var(Xi)为 多少来表达。 如果某课程全班学生的成绩都差不多，比如都是80 分左右，则这门课程在学生成绩的排序中不起什么作 用。这反映在原始变量的线性组合Z1 （第一主成分） 上该变量对应的系数会很小（如0.1025). 如果另一门课程全班学生的成绩相差很大，有的 100分，有的只有30多分，则这门课程在学生成绩的 排序中起的作用很大。这反映在原始变量的线性组合 Z1 （第一主成分）上该变量对应的系数会很大（比如 0.4525).
《多元统计分析》PPT课件
类别 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
.38
.11
3.27
.55
2
.19
.05
2.25
.33
2
.32
.07
4.24
.63
2
.31
.05
4.45
.69
2
.12
.05
2.52
.69
2
-.02
.02
2.05
.35
2
.22
.08
2.35
.40
2
.17
.07
1.80
待判， 如d 2 ( y,G1) d 2 ( y,G2 )
d 2 (y,G2 ) d 2 (y,G1)
(y 2 ) 1(y 2 ) (y 1) 1(y 1)
y1y 2y12 212
(y1y
2y
（2）计算
ˆ S1 S2 n1 n2 2
（3）计算类的均值 1, 2
（4）计算
ˆ
1,
1
2
,
1
2
2
（5）计算 判别函数的系数 1(1 2 )
判别函数的常数项（
1
2
2）
1 ( 1
2
)
（6）生成判别函数，将检验样本代入，得分，判类。
变量
均值向量 优秀 一般
资金利润率 13.5 5.4 劳动生产率 40.7 29.8 产品净值率 10.7 6.2
协方差矩阵
68.39 40.24 21.41
40.24 54.58 11.67
多元统计分析讲义(第五章)
多元统计分析讲义(第五章)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.MarchEquation Chapter 1 Section 1《多元统计分析》Multivariate Statistical Analysis主讲：统计学院许启发（）统计学院应用统计学教研室School of Statistics2004年10月第五章因子分析【教学目的】1．让学生了解因子分析的背景、基本思想；2．掌握因子分析的基本原理与方法；3．掌握因子分析的操作步骤和基本过程；4．学会应用因子分析解决实际问题。
【教学重点】1．因子旋转与因子得分；2．因子分析与主成分分析的联系与区别。
§1 概述一、引言1．问题提出（研究背景）在上一章，已经介绍了一种简化数据结构的方法——主成分分析法。
其基本目的是从尽可能多地占有原始数据的总变差出发来构造少数变量的线性组合变量——综合变量。
本章来讨论另外一种简化数据结构的方法——因子分析，它不同于主成分分析，可以看成是其推广形式。
在经济学、人口学、社会学、心理学、教育学等领域中，有许多基本特征，例如：“态度”、“认识”、“爱好”、“能力”、“智力”等，实际上是不可直接观测的量。
但是这些基本特征常常对事物的结果起着决定性作用。
比如学生通过考试得到英语、高等数学、大学物理、计算机、统计学、多元统计、数理统计、经济学等课程的成绩。
把每门课的成绩看作一个变量，显然这些变量必定受到一些共同因素的影响，比如全面智力，或者细分一点，如逻辑思维能力，形象思维能力和记忆力等，都是影响这些课程成绩的公共因素。
另外，每门课程的成绩还可能受自己特点因素的影响，如英语的语言能力、大学物理的动手实验能力、高等数学的推理能力等。
2．因子分析的产生1904年Charles Spearman发表《对智力测验得分进行统计分析》一文，标志着因子分析方法的产生。
第5部分 多元统计分析的SPSS实现演示文稿ppt
实际上两个函数式计算的是各观测值在各个维度上的坐标，这 样就可以通过这两个函数式计算出各样品观测值的具体空间位 置。
表4.2（a） 未标准化的典型判别函数系数
3. Functions at Group Centroids（给出组重心处的Fisher判 别函数值）
如表4.2 (b) 所示，实际上为各类别重心在空间中的坐标位置。 这样，只要在前面计算出各观测值的具体坐标位置后，再计算 出它们分别离各重心的距离，就可以得知它们的分类了。
3
15 28.07 2.01 0.07 3.02 81.22 68.3
3
待判 50.22 6.66 1.08 22.54 170.6 65.2
.
待判 34.64 7.33 1.11 7.78 95.16 69.3
.
待判 33.42 6.22 1.12 22.95 160.31 68.3
.
待判 44.02 15.36 1.07 16.45 105.3 64.2
Fisher’s：给出Bayes判别函数的系数。（注意：这个选项不是 要给出Fisher判别函数的系数。这个复选框的名字之所以为 Fisher’s，是因为按判别函数值最大的一组进行归类这种思想 是由Fisher提出来的。这里极易混淆，请读者注意辨别。）
Unstandardized：给出未标准化的Fisher判别函数（即典型判 别函数）的系数（SPSS默认给出标准化的Fisher判别函数系 数）。
图4.4 Classify…子对话框
5. 单击Save按钮，指定在数据文件中生成代表判别分组结果 和判别得分的新变量，生成的新变量的含义分别为：
Predicted group membership：存放判别样品所属组别的值；
表4.2（a） 未标准化的典型判别函数系数
3. Functions at Group Centroids（给出组重心处的Fisher判 别函数值）
如表4.2 (b) 所示，实际上为各类别重心在空间中的坐标位置。 这样，只要在前面计算出各观测值的具体坐标位置后，再计算 出它们分别离各重心的距离，就可以得知它们的分类了。
3
15 28.07 2.01 0.07 3.02 81.22 68.3
3
待判 50.22 6.66 1.08 22.54 170.6 65.2
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待判 34.64 7.33 1.11 7.78 95.16 69.3
.
待判 33.42 6.22 1.12 22.95 160.31 68.3
.
待判 44.02 15.36 1.07 16.45 105.3 64.2
Fisher’s：给出Bayes判别函数的系数。（注意：这个选项不是 要给出Fisher判别函数的系数。这个复选框的名字之所以为 Fisher’s，是因为按判别函数值最大的一组进行归类这种思想 是由Fisher提出来的。这里极易混淆，请读者注意辨别。）
Unstandardized：给出未标准化的Fisher判别函数（即典型判 别函数）的系数（SPSS默认给出标准化的Fisher判别函数系 数）。
图4.4 Classify…子对话框
5. 单击Save按钮，指定在数据文件中生成代表判别分组结果 和判别得分的新变量，生成的新变量的含义分别为：
Predicted group membership：存放判别样品所属组别的值；
《应用多元统计分析》第五版PPT(第五章)-简化版(JMP13.1)
1 2
μiΣ 1μi , i
1, 2,
, k ，判别规则简化为
24
x l ,
若Ilx
cl
max
1ik
Iix
ci
这里Ii′x+ci为线性判别函数。 ❖ 当组数k=2时，可将上式写成
x x
1 2
, ,
若I1x c1 I2 x c2 若I1x c1 I2 x c2
❖ 它等价于(5.2.3)式的判别规则：
16
出现误判率低估的原因
❖ 同样的样本信息被重复使用。判别函数自然对构造 它的样本数据有更好的适用性，以致出现偏低的误 判率。
17
❖ (2)划分样本
➢ 将整个样本一分为二，一部分作为训练样本，用于构造 判别函数，另一部分用作验证样本，用于对该判别函数 进行评估。误判概率用验证样本的被误判比例来估计， 其估计是无偏的。
判别规则为
x l,
若d
2
x,
l
min
1ik
d
2
x,
i
❖ 该判别规则不受变量单位的影响。
❖ 若Σ1=Σ2=⋯=Σk=Σ，则上述判别规则可简化。
d2(x,πi)=(x−μi)′Σ−1(x−μi)=x′Σ−1x−2μi′Σ−1x+μi′Σ−1μi
=x′Σ−1x−2(Ii′x+ci)
其中 Ii
Σ 1 μi , ci
第五章 判别分析
❖ §5.1 引言 ❖ §5.2 距离判别 ❖ §5.3 贝叶斯判别 ❖ §5.4 费希尔判别
1
判别分析的目标
❖ 目标1（预测方面）：分类（或分配）。 在已知历史上用某些方法已把研究对象分成若干组 （亦称类或总体）的情况下，来判定新的观测样品 应归属的组别。
《多元统计分析2》ppt课件
元素之间亲疏关系的统计量，然后根据这种 统计量把元素分成假设干类。常用的聚类统 计量有间隔 系数和相似系数２类。间隔 系数
一般用于对样品分类，而相似系数一般用于 对变量聚类。间隔 的定义很多，如极端间隔 、 明考斯基间隔 、欧氏间隔 、切比雪夫间隔 等。
相似系数有相关系数、夹角余弦、列联络数 等。
用VARCLUS过程实现变量聚类分析
┌ Z1=b11x1+b12x2+…+b1mxm │ Z2=b21x1+b22x2+…+b2mxm │…………………………… └ Zm=bm1x1+bm2x2+…+bmmxm
〔2〕
┌ Z1=c11x1+c12x2+…+c1mxm │ Z2=c21x1+c22x2+…+c2mxm 〔3〕 │ …………………………… └ Zm=cm1x1+cm2x2+…+cmmxm
２．旋转后的因子模型
xi=∑bijGj+CiUi 〔i=1，2，…，m；j=1，2，…，p；p<m〕
３．因子得分模型
Gj=∑dijxi 〔i=1，2，…，m；j=1，2，…，p； p<m〕。
第３章 对应分析
第１节 方法的概述
主成分分析、因子分析、变量聚类分析 都是研究变量之间的互相关系。有时，在某 些实际问题中，既要研究变量之间的关系、 还要研究样品之间的关系。不仅如此，人们 往往还希望能在同一个直角坐标系内同时表 达出变量与样品两者之间的互相关系。实现 这一目的的方法，称为对应分析。
因子分析〔Factor Analysis〕就是要找出 某个问题中可直接测量的、具有一定相关性 的诸指标，如何受少数几个在专业上有意义， 又可直接测量到，且相对独立的因子支配的 规律，从而可用诸指标的测定值来间接确定 诸因子的状态。
一般用于对样品分类，而相似系数一般用于 对变量聚类。间隔 的定义很多，如极端间隔 、 明考斯基间隔 、欧氏间隔 、切比雪夫间隔 等。
相似系数有相关系数、夹角余弦、列联络数 等。
用VARCLUS过程实现变量聚类分析
┌ Z1=b11x1+b12x2+…+b1mxm │ Z2=b21x1+b22x2+…+b2mxm │…………………………… └ Zm=bm1x1+bm2x2+…+bmmxm
〔2〕
┌ Z1=c11x1+c12x2+…+c1mxm │ Z2=c21x1+c22x2+…+c2mxm 〔3〕 │ …………………………… └ Zm=cm1x1+cm2x2+…+cmmxm
２．旋转后的因子模型
xi=∑bijGj+CiUi 〔i=1，2，…，m；j=1，2，…，p；p<m〕
３．因子得分模型
Gj=∑dijxi 〔i=1，2，…，m；j=1，2，…，p； p<m〕。
第３章 对应分析
第１节 方法的概述
主成分分析、因子分析、变量聚类分析 都是研究变量之间的互相关系。有时，在某 些实际问题中，既要研究变量之间的关系、 还要研究样品之间的关系。不仅如此，人们 往往还希望能在同一个直角坐标系内同时表 达出变量与样品两者之间的互相关系。实现 这一目的的方法，称为对应分析。
因子分析〔Factor Analysis〕就是要找出 某个问题中可直接测量的、具有一定相关性 的诸指标，如何受少数几个在专业上有意义， 又可直接测量到，且相对独立的因子支配的 规律，从而可用诸指标的测定值来间接确定 诸因子的状态。
多元统计分析课件PPT 2 联合分析
效用的加法模型
• 假设一种产品或服务有m 种属性,每种属性有n 种水平,则通常所用的模型可表示为:产品i ,j ,. . . n的总效用= 因子1 水平i 的效用+ 因子2 水平j 的效用+ ⋯+ 因子m 水平n 的效用。
• 假设产品是因子1 的水平i ,因子2 的水平j , ⋯,因 子m 的水平n 组合而成。
关于联合分析的初步总结(2)
• 仍存在的问题:
请同学们先讨论一下,你认为这一方法还有 哪些问题:可如何做改善? 1.实践中受测者排序困难（曹政，统计08） 2.加法模型的合理性（曹政，统计08） 3.效用弥补的合理性（徐特，统计08） 4.只适用少量因素及水平的情形。（万俊，统计 08）
作业
本章后P44练习的第4题
(1) 计算各因子水平的秩（rank）
• B - G栏是在不同受测体中相同因子水平的 秩;
• H 栏指各因子水平的平均秩,比如因子1 水平 1 的平均秩为(1 + 3 + 2 + 16 + 13 +6) / 6 = 6. 833 ;
（2）计算秩( rank) 的偏差及其平方和
• I 栏指各因子水平平均秩的偏差,由于我们一 共选16549.02取了18 个水平,因此各因子水 平的期望秩应为(1 + 2 + ⋯+ 18) / 18 = 9. 5 ,也 就是说全部因子水平的期望秩为9.5 ,则I =H 9. 5;
数据收集方法示例
联合分析的分析过程 —以整体轮廓法为例
• 所带来的现实问题与解决办法 调查中若采取因子设计,将有729 种组合,受
测者无法对729 种组合作出理性判断并一一排 序。
此时我们需要找到一个合适的子集来代替 全集,并要求保持全集的某些性质.通常采用对 称正交设计(一个因子中的每个水平出现相同的 次数,且水平与属性间无相关关系)
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序号 ⋮ 595 596 597 598 599 600 601 602
股票名称 ⋮ 康美药业 潜江制药 浏阳花炮 浪潮软件 兆维科技 PT农商社 三佳模具 雄震集团
ˆ* f 1
⋮ -0.701 -0.706 -0.709 -0.713 -0.728 -0.751 -0.776 -0.817
ˆ* f 2
其中 X X , X ,, X
* * 的标准化值，
i=1,2,⋯,p，经计算： ˆ * 0.217 x* 0.216 x* 0.145 x* 0.138 x* 0.054 x* f
1 1 2 3 4 5 * * * * * 0.032 x6 0.066 x7 0.066 x8 0.254 x9 0.246 x10
⋮ 0.231 -0.430 0.146 1.625 2.511 0.516 0.527 1.175
ˆ* f 3
⋮ 1.624 2.085 0.655 -1.313 -1.366 0.510 0.385 -1.407
10
⋮
上海汽车
⋮
3.834
⋮
1.293
⋮
-0.666
⋮
603
604
中软股份
天地科技
-1.023
j 1
j
j 1
j
(3) 取m，使
ˆ 1, j 1,, m; ˆ 1, j m 1,, p j j
§8.5 因子得分
在因子分析模型 X AF ε 中，如果不考虑特殊因子的影响， 当 m p 且 A 可逆时，我们可以非常方便地从每个样品的指标 取值 X 计算出其在因子 F 上的相应取值： F = A1 X ，即该样 品在因子 F 上的“得分”情况，简称为该样品的因子得分。 但是因子分析模型在实际应用中要求 m p ，因此，不能精确 计算出因子的得分情况，只能对因子得分进行估计。估计因子 得分的方法也有很多， 1939 年 Thomson 给出了一个回归的方法， 称作汤姆森回归法。 该方法假设公共因子可在对 p 个原始变量作回归，即
ˆ2 h i
x1* ：主营业务收入
* x2 ：主营业务利润 * x3 ：利润总额 * x4 ：净利润 * x5 ：每股收益 * x6 ：每股净资产 * x7 ：净资产收益率 * x8 ：总资产收益率 * x9 ：资产总计 * x10 ：股本
0.659 0.835 0.886 0.888 0.666 0.391 0.527 0.581 0.747 0.636 0.488
ˆ * 0.109 x* 0.043 x* 0.116 x* 0.144 x* 0.235 x* f 2 1 2 3 4 5
* * * * * 0.165 x6 0.381x7 0.371x8 0.086 x9 0.016 x10
ˆ * 0.100 x* 0.098 x* 0.004 x* 0.037 x* 0.216 x* f 3 1 2 3 4 5
x10：股本
上述十个指标的样本相关矩阵列于表4.2。
表4.2
x1 x1 x2 x3 1.000 0.723 0.427 1.000 0.743 x2 x3
十个财务指标的样本相关矩阵
x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
1.000
x4
x5 x6 x7 x8
0.407
0.171 0.149 0.096 0.066
0.622
0.768
0.619
0.574
0.485
0.567
0.500
0.125
0.002
0.138
-0.066
0.067
0.033
0.058
0.051
1.000
0.861 1.000
从相关矩阵出发，选择主成分法，相关矩阵的前三个特征值为 ˆ 4.879, ˆ 2.574, ˆ 0.929 1 2 3 累计贡献率为83.82%，取因子数m=3，相应结果列于表4.3。
0.129 0.182 0.167 0.135 0.447 0.951 0.004 0.087 0.028 -0.228 0.838
0.672 0.826 0.786 0.796 0.934 0.951 0.832 0.899 0.877 0.808
所解释的总方 差的累计比例
主成分法估计载荷矩阵的基本步骤：
表4.3
变量
m=3时的主成分解
因子载荷 f1 f2 −0.472 −0.346 0.003 0.037 0.692 0.367 0.670 0.703 −0.564 −0.596 0.745 f3 0.121 0.097 −0.037 −0.082 0.109 0.814 −0.325 −0.260 0.019 −0.219 0.838 共性方差
例8 沪市604家上市公司2001年财务报表中有这样十
个主要财务指标(数据可从前言中提及的作者网页上下
载 )：
x1：主营业务收入(元) x6：每股净资产(元)
x2：主营业务利润(元) x7：净资产收益率(%)
x3：利润总额(元)
x4：净利润(元)
x8：总资产收益率(%)
x9：资产总计(元)
x5：每股收益(元)
ˆ； 1、计算样本相关阵 R
ˆ , , ˆ 及相应的标准正交特征向 ˆ 的特征值 2、计算 R 1 p 量 a1 , , a p
3、给定公共因子数m (<p)，因子载荷阵的估计为
ˆ A
4、特殊因子方差阵的估计：
ˆa, ˆ a , , ˆ a 1 1 2 2 m m
2 p
0.697
0.325 0.228 0.177 0.204
0.982
0.539 0.284 0.362 0.455
1.000
0.559 0.274 0.402 0.500 1.000 0.585 0.776 0.849 1.000 0.218 0.290 1.000 0.833 1.000
x9
x10
0.748
ˆ b b X b X （ j 1,, m ） F j j0 j1 1 jp p
如果 F j , X i 都标准化了，回归的常数项为零，即 b j 0 0 。
由 因 子 载 荷 的 统 计 意 义 可 知 道 ， 对 于 任 意 的 i 1,, p ，
j 1,m 都有 aij rX i , Fj E ( X i Fj )
ˆ* f 3
5.750
5.165 4.059 3.420 3.234 3.178 3.160 2.752 2.619 2.593 ⋮
序号
股票名称
ˆ* f 1
⋮
-0.571 7.446 -0.525 -0.185 0.797 8.580 2.275 -0.390 5.341 6.175
ˆ* f 2
⋮
1.145 -2.089 0.042 -0.012 1.755 -2.704 0.797 0.278 0.835 -1.251
ˆ* f 1
8.580 7.446 6.924 6.175 5.341 4.101 4.022 3.996 3.873
ˆ* f 2
-2.704 -2.089 1.513 -1.251 0.835 2.596 0.954 -2.027 -0.964
ˆ* f 3
-2.168 -1.861 -0.044 -2.804 -2.220 0.640 3.160 1.907 -1.598
表5.3
序号 股票名称
按每股价值因子得分 fˆ3* 的排序
ˆ* f 1
0.877
-0.581 -0.523 -0.224 0.047 0.206 4.022 -0.699 -0.264 2.401 ⋮
ˆ* f 2
1.366
-0.061 0.124 0.061 0.747 0.100 0.954 0.088 0.604 -0.750 ⋮
于是
ˆ bX F 1 1 ˆ BX AR 1 X F F ˆ m bm X
即得因子得分的估算公式
ˆ AR1 X F
其中 R 是 X 的相关系数矩阵。
ˆ* A ˆ * R ˆ 1 X * 例9 在例8中，用回归法得到的因子得分为 f
广汇股份 兆维科技 长江通讯 天地科技 申能股份 上港集箱 中远航运 创业环保 ⋮
4.101
0.517 -0.728 -0.657 -1.023 3.248 2.992 -0.588 0.797 ⋮
2.596
2.534 2.511 2.369 2.355 2.158 2.112 1.957 1.755 ⋮
ˆ , , ˆ diag
2 1
2 ˆ2 ˆ ij ˆ 1 j 1 a , 其中 1 h i 2 i m
主成分法相当于用前m个主成份去表示m个潜在的因子。
公共因子个数的确定方法： (1) 取m，使R-AAT接近对角阵； m p ˆ ˆ 85% (2) 取m，使
E[ X i (b j1 X 1 b jp X p )]
b j1E ( X i X 1 ) b jp E ( X i X jp )
b j1ri1 b jp rip
记
b11 b12 b b22 21 B bm1 bm 2 b1 p b2 p ，则上式可写成矩阵形式为 bmp A RB ，或 B AR1
* * * * * 0.876 x6 0.229 x7 0.157 x8 0.008 x9 0.255 x10
表5.1