安徽省合肥168中学2014-2015学年高二数学上学期期中试题理

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安徽省合肥168中学14—15学年上学期高二期中考试数学(理)(附答案)

合肥一六八中学2014-2015学年第一学期高二年级期中考试数学(理科)试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题卷的表格里。

） 1. 下列命题正确的是( )A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行D ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行答案：D2. 设βα、是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( ) A ．若βαα⊥⊥,l ，则β⊂l B ．若βαα//,//l ，则β⊂l C ．若βαα//,⊥l ，则β⊥l D ．若βαα⊥,//l ，则β⊥l 答案：C3. 已知直线l ：01=++ny mx 平行于直线m ：0534=++y x ，且l 在y 轴上的截距为13，则n m ,的值分别为( )A ．4,3B ．－4,3C ．－4，－3D ．4，－3 答案：C4. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( ) A ．28＋65 B ．30＋6 5 C ．56＋12 5 D ．60＋ 125答案：B5.经过点P(1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )A.x ＋2y －6＝0B.2x ＋y －6＝0C.x －2y ＋7＝0D.x －2y －7＝0答案 BAEB CF A'B'C'V V 12第12题6. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为( ) A.π344 B. π9484 C. π481 D. π16 答案：B7.已知10<<x ，10<<y ，则22222222)1()1()1()1(y x y x y x y x -+-++-+-+++的最小值为( )A.22B. 2C. 2D.8答案：A8．如图，在三棱柱'''ABC A B C -中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面''EB C F 将三棱柱分成体积为1V 、2V 的两部分，那么12:V V 为（） A ．3：2 B ．7：5 C ．8：5 D ．9：5 答案：B9.设R m ∈，过定点A 的动直线0=+my x 和过定点B 的动直线03=+--m y mx 交于点),(y x P ，则||||PB PA +的取值范围是( ) A ．]52,5[ B ．]52,10[C ．]54,10[D ．]54,52[答案：B10．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a 、b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实数根，且0≤c≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( )A.12，24B.2，22 C.2，12D.22，12答案：D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2014-2015年安徽省合肥一中、168中学高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

2014-2015学年安徽省合肥一中、168中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求1．（4分）在直角坐标系中，直线x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞03．（4分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）已知椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10B．20C．2D．45．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．4B．6C．8D．126．（4分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AA1=AB=AD=1，∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°，则直线AC1与平面ABCD所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．7．（4分）椭圆上的点到直线的最大距离是（）A．3B．C．D．8．（4分）已知抛物线y2=4x上两个动点B、C和点A（1，2），且∠BAC=90°，则动直线BC必过定点（）A．（2，5）B．（﹣2，5）C．（5，﹣2）D．（5，2）二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分9．（4分）若圆C与圆（x+2）2+（y﹣1）2=1关于原点对称，则圆C的标准方程是．10．（4分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．则异面直线OB与MD所成角余弦值为．11．（4分）已知P为棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为．12．（4分）光线由点P（2，3）射到直线x+y=﹣1上，反射后过点Q（1，1），则反射光线所在直线方程．13．（4分）在三棱锥P﹣ABC中，给出下列四个命题：①如果PA⊥BC，PB⊥AC，那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；②如果点P到△ABC的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的内心；③如果棱PA和BC所成的角为60°，PA=BC=2，E、F分别是棱PB、AC的中点，那么EF=1；④如果三棱锥P﹣ABC的各条棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共48分14．（6分）如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在线段AM上，点N在CM上，且满足=2，•=0，点N的轨迹为曲线E．求曲线E的方程．15．（8分）圆锥SO的侧面展开图为如图所示的半径为4的半圆，半圆中∠ASC=45°．①圆锥SO的体积；②在圆锥母线SC上是否存在一点E，使得SC⊥平面OEA，若存在，求此时SE～EC的值；若不存在，说明理由．16．（12分）如图ABCD为正方形，VD⊥平面ABCD，VD=AD=2，F为VA中点，E 为CD中点．①求证：DF∥平面VEB；②求平面VEB与平面VAD所成二面角的余弦值；③V、D、C、B四点在同一个球面上，所在球的球面面积为S，求S．17．（10分）在平面直角坐标系中，已知：A（3，0），B（0，4），O为坐标原点，以点P为圆心的圆P半径为1．①点P 坐标为P（1，2），试判断圆P与△OAB三边的交点个数；②动点P在△OAB内运动，圆P与△OAB的三边有四个交点，求P点形成区域的面积．18．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x=（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2=r2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，是否存在实数r使得∠AOB始终为90°．若存在，求出r的值；若不存在，说明理由．2014-2015学年安徽省合肥一中、168中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求1．（4分）在直角坐标系中，直线x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：直线x+y﹣3﹣0的斜率等于﹣，设此直线的倾斜角为θ，则tanθ=﹣，又0≤θ＜π，∴θ=，故选：C．2．（4分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞0【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题．∴命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是：“对任意的x∈R，2x＞0”．故选：D．3．（4分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选：B．4．（4分）已知椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10B．20C．2D．4【解答】解：∵椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，∴a=∴|AB|+|BF 2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=4．故选：D．5．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．4B．6C．8D．12【解答】解：由三视图复原几何体，如图它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，这个几何体的体积：V==4故选：A．6．（4分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AA1=AB=AD=1，∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°，则直线AC1与平面ABCD所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，根据条件知，A1点在底面ABCD上的射影在∠BAD平分线即AC上，设该射影为E，同样设C1在底面ABCD上的射影为F，F在AC延长线上；过E作EG⊥AB，垂足为G，并连接A1G；则A1G⊥AB，A1G=1•sin60°=，AG=1；又在Rt△AEG中，∠EAG=30°；∴，AE=；∴在Rt△A1GE中，；∴，；连接BD交AC于O，则BD⊥AC，∴；∴，AF=；∴在Rt△AC1F中，；由前面知∠C1AF是直线AC1与平面ABCD所成的角；∴cos∠C1AF=．故选：B．7．（4分）椭圆上的点到直线的最大距离是（）A．3B．C．D．【解答】解：设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）则点P到直线的距离d=；故选：D．8．（4分）已知抛物线y2=4x上两个动点B、C和点A（1，2），且∠BAC=90°，则动直线BC必过定点（）A．（2，5）B．（﹣2，5）C．（5，﹣2）D．（5，2）【解答】证明：设B（，a），C（，b），而A（1，2），∴∠BAC=90°，则，由于∠BAC=90°，得（﹣1，a﹣2）•（﹣1，b﹣2）=0．整理得ab+2a+2b+20=0．而过BC的直线的斜率为：=．∴过BC的直线方程为y﹣b=（x﹣），整理得4x+ab﹣（a+b）y=0，即4x﹣（a+b）y﹣2a﹣2b﹣20=0．化为4x﹣20﹣（a+b）（y+2）=0．可得直线恒过定点（5，﹣2）．∴直线必过定点（5，﹣2）．故选：C．二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分9．（4分）若圆C与圆（x+2）2+（y﹣1）2=1关于原点对称，则圆C的标准方程是（x﹣2）2+（y+1）2=1．【解答】解：设圆C上任意一点P的坐标为（x，y），根据题意可得P关于原点对称的点P'在圆（x+2）2+（y﹣1）2=1上，∵P（x，y）与P'关于原点对称，得P'（﹣x，﹣y），∴由点P'在圆（x+2）2+（y﹣1）2=1上，可得（﹣x+2）2+（﹣y﹣1）2=1．化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1，即为圆C的方程．故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2=110．（4分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．则异面直线OB与MD所成角余弦值为．【解答】解：如图，取AB中点N，连接MN，又M为OA的中点，∴MN∥OB，则∠DMN为异面直线OB与MD所成角，∵底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，可得DM=，MN=，DN=．在△DMN中，cos∠DMN=．故答案为：．11．（4分）已知P为棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为2．【解答】解：由题意画出图形如图，因为=cos，是向量在上的投影，所以当P在C1位置时，投影最大，的最大值为：==2．故答案为：2．12．（4分）光线由点P（2，3）射到直线x+y=﹣1上，反射后过点Q（1，1），则反射光线所在直线方程4x﹣5y+1=0．【解答】解：设点P 关于直线x+y=﹣1的对称点为（a，b），则解得a=﹣4，b=﹣3 即对称点（﹣4，﹣3）则反射光线所在直线方程故答案为：4x﹣5y+1=013．（4分）在三棱锥P﹣ABC中，给出下列四个命题：①如果PA⊥BC，PB⊥AC，那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；②如果点P到△ABC的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的内心；③如果棱PA和BC所成的角为60°，PA=BC=2，E、F分别是棱PB、AC的中点，那么EF=1；④如果三棱锥P﹣ABC的各条棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于．其中正确命题的序号是①②④．【解答】解：①过P作PH⊥底面ABC，H为垂足，若PA⊥BC，PB⊥AC，由PH⊥底面ABC，所以AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正确．②设PH⊥底面ABC，如果点P到△ABC的三边所在直线的距离都相等，则H是△ABC的内心，正确．③如果棱PA和BC所成的角为60°，PA=BC=2，E、F分别是棱PB、AC的中点，取AB的中点G，连接EG，FG，可得EG=FG=1，∠EGF=60°或120°，运用余弦定理可得EF=1或；不正确．④如果三棱锥P﹣ABC的各条棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于，正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共5小题，共48分14．（6分）如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在线段AM上，点N在CM上，且满足=2，•=0，点N的轨迹为曲线E．求曲线E的方程．【解答】解：，，所以NP为线段AM的垂直平分线，|NA|=|NM|，，所以动点N的轨迹是以C（﹣1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，…..（3分）且长轴长为，焦距2c=2，所以，c=1，b2=1，曲线E的方程为．…．（6分）15．（8分）圆锥SO的侧面展开图为如图所示的半径为4的半圆，半圆中∠ASC=45°．①圆锥SO的体积；②在圆锥母线SC上是否存在一点E，使得SC⊥平面OEA，若存在，求此时SE～EC的值；若不存在，说明理由．【解答】解：①由题意，圆锥底面半径为2，高，∴…（3分）②若在圆锥母线SC上存在一点E，使得SC⊥平面OEA，∵OA⊥OC，SO⊥OA，∴AO⊥面SOC，∴AO⊥SC，则只需使SC⊥OE即可；…（5分）在Rt△SOC中可求得此时SE=3，EC=1，在圆锥母线SC上存在一点E，当SE：EC=3：1时，使得SC⊥平面OEA．…（8分）16．（12分）如图ABCD为正方形，VD⊥平面ABCD，VD=AD=2，F为VA中点，E 为CD中点．①求证：DF∥平面VEB；②求平面VEB与平面VAD所成二面角的余弦值；③V、D、C、B四点在同一个球面上，所在球的球面面积为S，求S．【解答】①证明：取VB的中点O，连接OE，OF，则因为F为VA中点，所以OF∥AB，OF=AB，因为E为CD中点，所以DE=CD，因为AB∥CD，所以OF∥DE，OF=DE，所以四边形OFDE是平行四边形，所以OE∥DF，因为OE⊄平面VEB，DF⊂平面VEB所以DF∥平面VEB；（4分）==，②解：△VBE中，BE=VE=，VB=2，S△VBE因为S==2，△VAD所以平面VEB与平面VAD所成二面角的余弦值为；（8分）③解：因为V、D、C、B四点在同一个球面上，所以VB是球的直径，VB=2，所以S=4π×3=12π．（12分）17．（10分）在平面直角坐标系中，已知：A（3，0），B（0，4），O为坐标原点，以点P为圆心的圆P半径为1．①点P 坐标为P（1，2），试判断圆P与△OAB三边的交点个数；②动点P在△OAB内运动，圆P与△OAB的三边有四个交点，求P点形成区域的面积．【解答】解：①直线AB的方程为4x+3y﹣12=0，P到AB的距离为=＜1，∴圆P与直线AB相交，点P坐标为P（1，2），圆P与OB相切，与OA相离，∴圆P与△OAB三边的交点个数为3个；②直线AB的方程为4x+3y﹣12=0，当x=1时，y=这样上方的平行四边形的面积为；当y=1时，x=，这样右方的平行四边形的面积为；正方形面积为1，三个扇形正好为半径为1的半圆∴最终结果为三个四边形面积之和减去半圆，即面积为．18．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x=（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2=r2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，是否存在实数r使得∠AOB始终为90°．若存在，求出r的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得，解得，∴b2=c2﹣a2=2，∴所求双曲线C的方程为．…..（4分）（Ⅱ）点P（x0，y0）（x0y0≠0）在圆x2+y2=r2上，圆在点P（x0，y0）处的切线方程为，化简得．…..（5分）由消去y得①②…..（8分）若存在实数r 使得∠AOB始终为900则有，而，又，x1x2+y1y2===0，…..（10分）而时①化为，x0y0≠0，，，综上所述存在使得∠AOB始终为90°…..（12分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

安徽省合肥一中高二数学上学期期中试卷理(含解析)

2015-2016学年安徽省合肥一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个选项正确，请将正确的选项填入答题卡中，答错或不答不得分）1．下列结论中正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线2．直线2x﹣y+k=0与4x﹣2y+1=0的位置关系是（）A．平行 B．不平行C．平行或重合D．既不平行也不重合3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l4．已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=8 C．（x﹣4）2+（y﹣1）2=6 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=55．图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（）A．20+3πB．24+3πC．20+4πD．24+4π6．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设圆中过点（2，5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣27．已知一个正方体的所有棱与空间的某一平面成角为α，则cosα的值为（）A．B．C．D．8．已知A（2，0）、B（0，2），从点P（1，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．3 B．2 C． D．29．已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A．3 B． C．D．210．已知圆（x﹣3）2+（y+5）2=36和点A（2，2）、B（﹣1，﹣2），若点C在圆上且△ABC的面积为，则满足条件的点C的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36π B．64π C．144πD．256π12．如图，点P（3，4）为圆x2+y2=25的一点，点E，F为y轴上的两点，△PEF是以点P为顶点的等腰三角形，直线PE，PF交圆于D，C两点，直线CD交y轴于点A，则cos∠DAO 的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将每小题对的答案填在答题卡中，答错或不答不得分）13．设直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为θ，则sin2θ=．14．过点（1，）的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当优弧所对的圆心角最大时，直线l的斜率k= ．15．如图，在直角三角形SOC中，直角边OC的长为4，SC为斜边，OB⊥SC，现将三角形SOC 绕SO旋转一周，若△SOC形成的几何体的体积为V，△SOB形成的体积为，则V= ．16．已知正四面体ABCD的棱长为9，点P是三角形ABC内（含边界）的一个动点满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，则点P到面DCA的距离最大值为．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22，每题12分，共70分.请写出详细地解答步骤或证明过程）17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4．现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG．（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；（2）求多面体CDEFG的体积．18．已知两直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点为P．（1）直线l过点P且与直线5x+3y﹣6=0垂直，求直线l的方程；（2）圆C过点（3，1）且与l1相切于点P，求圆C的方程．19．如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．20．已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，AD=2，PD=2，AB=PB=4，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）E是侧棱PC上一点，记=λ，当PB⊥平面ADE时，求实数λ的值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过A（0，2），O（0，0），D（t，0）（t＞0）三点，M是线段AD上的动点，l1，l2是过点B（1，0）且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于点E，l2交圆C于P、Q两点．（1）若t=|PQ|=6，求直线l2的方程；（2）若t是使|AM|≤2|BM|恒成立的最小正整数，求三角形EPQ的面积的最小值．2015-2016学年安徽省合肥一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个选项正确，请将正确的选项填入答题卡中，答错或不答不得分）1．下列结论中正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；数学模型法；空间位置关系与距离；简易逻辑；立体几何．【分析】根据棱锥，圆锥的几何特征，逐一分析四个答案的真假，可得结论．【解答】解：正八面体的各个面都是三角形，但不是三棱锥，故A错误；以锐角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥形成的组合体，故B错误；正六棱锥圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母棱锥的侧棱长一定大于底面多边形的边长，故C错误；圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线，故D正确；故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了棱锥和圆锥的几何特征，熟练掌握棱锥和圆锥的几何特征，是解答的关键．2．直线2x﹣y+k=0与4x﹣2y+1=0的位置关系是（）A．平行 B．不平行C．平行或重合D．既不平行也不重合【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系．【专题】计算题．【分析】化简方程组得到2k﹣1=0，根据k值确定方程组解的个数，由方程组解得个数判断两条直线的位置关系．【解答】解：∵由方程组，得2k﹣1=0，当k=时，方程组由无穷多个解，两条直线重合，当k≠时，方程组无解，两条直线平行，综上，两条直线平行或重合，故选 C．【点评】本题考查方程组解得个数与两条直线的位置关系，方程有唯一解时，两直线相交，方程组有无穷解时，两直线重合，方程组无解时，两直线平行．3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l【考点】平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．【解答】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．4．已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=8 C．（x﹣4）2+（y﹣1）2=6 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；圆的标准方程．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得【解答】解：由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：D【点评】本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．5．图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（）A．20+3πB．24+3πC．20+4πD．24+4π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由几何体的三视图，知该几何体的上半部分是棱长为2的正方体，下半部分是半径为1，高为2的圆柱的一半，由此能求出该几何体的表面积．【解答】解：由几何体的三视图，知该几何体的上半部分是棱长为2的正方体，下半部分是半径为1，高为2的圆柱的一半，∴该几何体的表面积S=5×22+π×12+=20+3π．故选A．【点评】本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设圆中过点（2，5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率．【专题】计算题．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由（2，5）在圆内，故过此点最长的弦为直径，最短弦为与这条直径垂直的弦，所以由圆心坐标和（2，5）求出直线AB的斜率，再根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线CD的斜率，进而求出两直线的斜率和．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∴圆心坐标为（3，4），∴过（2，5）的最长弦AB所在直线的斜率为=﹣1，又最长弦所在的直线与最短弦所在的直线垂直，∴过（2，5）最短弦CD所在的直线斜率为1，则直线AB与CD的斜率之和为﹣1+1=0．故选A【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，直线斜率的计算方法，以及两直线垂直时斜率满足的关系，其中得出过点（2，5）最长的弦为直径，最短弦为与这条直径垂直的弦是解本题的关键．7．已知一个正方体的所有棱与空间的某一平面成角为α，则cosα的值为（）A．B．C．D．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】探究型；数形结合；转化思想；综合法；空间角．【分析】由棱A1A，A1B1，A1D1与平面AB1D1所成的角相等，知平面AB1D1就是与正方体的12条棱的夹角均为α的平面．由此能求出结果．【解答】解：因为棱A1A，A1B1，A1D1与平面AB1D1所成的角相等，所以平面AB1D1就是与正方体的12条棱的夹角均为α的平面．设棱长为：1，∴sinα==，∴cosα=．故选：B．【点评】本题考查直线与平面所成的角的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．8．已知A（2，0）、B（0，2），从点P（1，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．3 B．2 C． D．2【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】数形结合；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】设点P关于y轴的对称点P′，点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|P′P″|．【解答】解：点P（1，0）关于y轴的对称点P′坐标是（﹣1，0），设点P关于直线AB：x+y﹣2=0的对称点P″（a，b）∴，解得，∴光线所经过的路程|P′P″|==，故选：C．【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为|P′P″|的长度，属于中档题．9．已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A．3 B． C．D．2【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题；转化思想．【分析】先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1，由圆的性质知：S四边形PACB=2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2，∴S△PBC的最小值=1=rd（d是切线长）∴d最小值=2圆心到直线的距离就是PC的最小值，∵k＞0，∴k=2故选D．【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，是中档题．10．已知圆（x﹣3）2+（y+5）2=36和点A（2，2）、B（﹣1，﹣2），若点C在圆上且△ABC 的面积为，则满足条件的点C的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】圆的标准方程．【分析】由已知得|AB|=5，C到AB距离是1，直线AB的方程为4x﹣3y﹣2=0，圆心到AB距离d==5＜6，直线AB和圆相交，由此能求出满足条件的点C的个数．【解答】解：∵点A（2，2）、B（﹣1，﹣2），若点C在圆上且△ABC的面积为，∴|AB|=5，∴△ABC的高h==1，即C到AB距离是1，直线AB的方程为，即4x﹣3y﹣2=0，圆心到AB距离d==5＜6，∴直线AB和圆相交，过AB做两条距离1的平行线，∵6﹣5=1，∴一条相切，∴满足条件的点C的个数有3个．故选：C．【点评】本题考查满足条件的点的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．11．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36π B．64π C．144πD．256π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．12．如图，点P（3，4）为圆x2+y2=25的一点，点E，F为y轴上的两点，△PEF是以点P 为顶点的等腰三角形，直线PE，PF交圆于D，C两点，直线CD交y轴于点A，则cos∠DAO 的值为（）A．B．C．D．【考点】圆方程的综合应用．【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的求值；直线与圆．【分析】要求cos∠DAO的值，由于A为一动点，故无法直接解三角形求出答案，我们可以构造与∠DAO相等的角，然后进行求解，过P点作x轴平行线，交圆弧于G，连接OG根据等腰三角形性质及垂径定理，结合同角或等角的余角相等，我们可以判断∠DAO=∠PGO，进而得到结论．【解答】解：过P点作x轴平行线，交圆弧于G，连接OG．则：G点坐标为（﹣3，4），PG⊥EF，∵PEF是以P为顶点的等腰三角形，∴PG就是角DPC的平分线，∴G就是圆弧CD的中点．∴OG⊥CD，∴∠DAO+∠GOA=90°．而∠PGO+∠GOA=90°．∴∠DAO=∠PGO∴cos∠DAO=cos∠PGO=．故选B．【点评】本题考查的知识点是三角函数求值，其中利用等腰三角形性质及垂径定理，结合同角或等角的余角相等，构造与∠DAO相等的角∠PGO，是解答本题的关键．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将每小题对的答案填在答题卡中，答错或不答不得分）13．设直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为θ，则sin2θ=．【考点】三角函数的化简求值；直线的倾斜角．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；直线与圆．【分析】由直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为θ，利用直线的斜出tanθ=，再由万能公式sin2θ=，能求出结果．【解答】解：∵直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为θ，∴tanθ=，∴sin2θ===．故答案为：．【点评】本题考查正弦值的求法，是基础题，解题时要注意直线的倾斜角和万能公式的合理运用．14．过点（1，）的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当优弧所对的圆心角最大时，直线l的斜率k= ．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系，及直线与圆的相关性质，要处理本题我们先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由优弧所对的圆心角最大，劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．【解答】解：如图示，由图形可知：点A（1，）在圆（x﹣2）2+y2=4的内部，圆心为O（2，0），要使得优弧所对的圆心角最大，则劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l ⊥OA，所以k=﹣=．故答案为：．【点评】垂径定理及其推论是解决直线与圆关系时常用的定理，要求大家熟练掌握，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．相关推论，过圆内一点垂直于该点直径的弦最短，且弦所对的劣弧最短，优弧最长，弦所对的圆心角、圆周角最小．15．如图，在直角三角形SOC中，直角边OC的长为4，SC为斜边，OB⊥SC，现将三角形SOC 绕SO旋转一周，若△SOC形成的几何体的体积为V，△SOB形成的体积为，则V= ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】旋转一周后，△SOC形成的几何体为底面半径为4的圆锥，△SOB形成的几何体为两个同底的圆锥，根据他们的体积关系求出B到SO的距离，再根据相似三角形解出SO的长，代入体积公式计算．【解答】解：过B作BA⊥SO于点A，则V=π42•SO=SO，=•π•BA2•SA+•π•BA2•OA=•π•BA2•SO．∴BA=2，∴BA是△SOC的中位线，即A是SO的中点，∵SO⊥SC，∴△SAB∽△BAO，∴，即SA•AO=AB2=4，∵SA=AO，∴SA=AO=2，∴SO=2SA=4，∴V=SO=．故答案为．【点评】本题考查了旋转体的体积，求出AB的长是关键．16．已知正四面体ABCD的棱长为9，点P是三角形ABC内（含边界）的一个动点满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，则点P到面DCA的距离最大值为2．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】设动点P到面DAB、面DBC、面DCA的距离分别为h1，h2，h3，由正四面体ABCD的棱长为9，求出每个面面积S=，高h=3，由正四面体ABCD的体积得到h1+h2+h3=3，再由满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，能求出点P到面DCA的距离最大值．【解答】解：设动点P到面DAB、面DBC、面DCA的距离分别为h1，h2，h3，∵正四面体ABCD的棱长为9，每个面面积为S==，取BC中点E，连结AE．过S作SO⊥面ABC，垂足为O，则AO==3，∴高h=SO==3，∴正四面体ABCD的体积V==S（h1+h2+h3），∴h1+h2+h3=3，∵满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，∴h 1+h2+h3=3h2=3，∴，h2+h3=2，∴点P到面DCA的距离最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查点到平面的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、正四面体性质等知识点的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22，每题12分，共70分.请写出详细地解答步骤或证明过程）17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4．现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG．（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；（2）求多面体CDEFG的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）判断四边形CDEF为矩形，然后证明EG⊥GF，推出CF⊥EG，然后证明平面DEG ⊥平面CFG．（2）在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于H，求出GH，说明GH⊥平面CDEF，利用求出体积．【解答】解：（1）证明：因为DE⊥EF，CF⊥EF，所以四边形CDEF为矩形，由AD=5，DE=4，得AE=GE==3，由GC=4，CF=4，得BF=FG==4，所以EF=5，在△EFG中，有EF2=GE2+FG2，所以EG⊥GF，又因为CF⊥EF，CF⊥FG，得CF⊥平面EFG，所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG，即平面DEG⊥平面CFG．（2）解：在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于H，则GH==，因为平面CDEF⊥平面EFG，得GH⊥平面CDEF，=16．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查逻辑推理能力，计算能力．18．已知两直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点为P．（1）直线l过点P且与直线5x+3y﹣6=0垂直，求直线l的方程；（2）圆C过点（3，1）且与l1相切于点P，求圆C的方程．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）联立方程组，求出直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点，再求出直线l 的斜率，可得直线l的方程；（2）设圆方程为标准方程，求出圆心与半径，即可求得圆的方程．【解答】解：（1）联立方程组，解得x=0，y=2，∴直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点P（0，2），又∵直线5x+3y﹣6=0的斜率为﹣，∴直线l的斜率为，∴直线l的方程为y﹣2=（x﹣0），化为一般式可得3x﹣5y+10=0．（2）设圆方程为标准方程（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，∴a2+（b﹣2）2=（a﹣3）2+（b﹣1）2==r2，∴a=1，b=0，∴圆的方程为（x﹣1）2+y2=5．【点评】本题考查直线、圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC 的中点．（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】根据题中的条件可建立以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴的空间直角坐标系然后利用空间向量进行求解：（1）根据建立的空间直角坐标系求出然后再利用向量的夹角公式cos=求出cos＜＞然后根据cos＜＞≥0则异面直线BE与AC所成角即为＜＞，若cos＜＞＜0则异面直线BE与AC所成角即为π﹣＜＞进而可求出异面直线BE与AC所成角的余弦值．（2）由（1）求出和平面ABC的一个法向量然后再利用向量的夹角公式cos=求出cos＜，＞再根据若cos＜，＞≥0则直线BE和平面ABC的所成角为﹣＜，＞，若cos＜，＞＜0则直线BE和平面ABC的所成角为＜，＞﹣然后再根据诱导公式和cos＜，＞的值即可求出直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．【解答】解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系．则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…（3分）∴，∴COS＜＞==﹣…（5分）所以异面直线BE与AC所成角的余弦为…（6分）（2）设平面ABC的法向量为则知知取，…（8分）则…（10分）故BE和平面ABC的所成角的正弦值为…（12分）【点评】本题主要考察了空间中异面直线所成的角和直线与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难．解题的关键是首先正确的建立空间直角坐标系然后可将异面直线所成的角转化为所对应的向量的夹角或其补角而对于利用向量法求线面角关键是正确求解平面的一个法向量！20．已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系．【专题】创新题型；开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈[﹣，]∪{﹣， }时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为[﹣，]∪{﹣， }．【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，AD=2，PD=2，AB=PB=4，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）E是侧棱PC上一点，记=λ，当PB⊥平面ADE时，求实数λ的值．【考点】直线与平面垂直的性质；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥BD，利用平面PBD⊥平面ABCD，交线为BD，可得AD⊥平面PBD，从而AD⊥PB；（Ⅱ）作EF∥BC，交PB于点F，连接AF，连接DF，△PBD中，由余弦定理求得，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABD中，∵AD=2，AB=4，∠BAD=60°，∴由余弦定理求得．∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．∵平面PBD⊥平面ABCD，交线为BD，∴AD⊥平面PBD，∴AD⊥PB．…6分（Ⅱ）解：作EF∥BC，交PB于点F，连接AF，由EF∥BC∥AD可知A，D，E，F四点共面，连接DF，所以由（Ⅰ）的结论可知，PB⊥平面ADE当且仅当PB⊥DF．在△PBD中，由PB=4，，，余弦定理求得，∴在RT△PDF中，PF=PDcos∠BPD=3，因此．…12分．【点评】本题考查立体几何有关知识，考查线面、面面垂直，考查运算能力，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过A（0，2），O（0，0），D（t，0）（t＞0）三点，M是线段AD上的动点，l1，l2是过点B（1，0）且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于点E，l2交圆C于P、Q两点．（1）若t=|PQ|=6，求直线l2的方程；（2）若t是使|AM|≤2|BM|恒成立的最小正整数，求三角形EPQ的面积的最小值．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）求出圆心坐标与半径，设直线l2的方程y=k（x﹣1），利用PQ=6，可得圆心到直线的距离d==，即可求直线l2的方程；（2）设M（x，y），由点M在线段AD上，得2x+ty﹣2t=0，由AM≤2BM，得（x﹣）2+（y+）2≥，依题意，线段AD与圆（x﹣）2+（y+）2=至多有一个公共点，故，由此入手能求出△EPQ的面积的最小值．【解答】解：（1）由题意，圆心坐标为（3，1），半径为，则设直线l2的方程y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∴圆心到直线的距离d==，∴k=0或，（3分）当k=0时，直线l1与y轴无交点，不合题意，舍去．∴k=时直线l2的方程为4x﹣3y﹣4=0．（6分）（2）设M（x，y），由点M在线段AD上，得，2x+ty﹣2t=0．由AM≤2BM，得（x﹣）2+（y+）2≥．（8分）依题意知，线段AD与圆（x﹣）2+（y+）2=至多有一个公共点，故，解得或t≥．因为t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，所以t=4．所以圆圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．①当直线l2：x=1时，直线l1的方程为y=0，此时，S DEPQ=2；（10分）②当直线l2的斜率存在时，设l2的方程为y=k（x﹣1），k≠0，则l1的方程为y=﹣（x﹣1），点E（0，），∴BE=，又圆心到l2的距离为，∴PQ=2，∴S△EPQ=••2=≥．∵＜2，。

2014-2015学年安徽合肥168中学高三理科数学一模模拟试卷

2014-2015学年安徽合肥168中学高三理科数学一模模拟试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}A=1,2,3，(){},|,,,B x y x A y B x y A =∈∈+∈则B 中所含元素的个数为 ()A. 2B.3C.4D.62.若1=1i++z ()i 其中是虚数单位，()z =则A. B. C.1 D.23.如果随机变量ξ~()21,N δ，且P ()13ξ≤≤0.4,=则()()1P ξ≤-=A. 0.1B.0.2C.0.3D.0.4 4.22",0,,0"x y R x y x y ∈+=若且则全为()的否命题是.A 22,0,,0x y R x y x y ∈+≠若且则全部为22.,0,,0B x y R x y x y ∈+≠若且则不全为为.C 22,,00x y R x y x y ∈+=若且全为，则 .D 22,,00x y R x y x y ∈+≠若且不全为，则5.()()()2,11,a b x y a b ==-+若平面向量和垂直，则的最小值为A. B.5 C. D. 6.{}()()2645,1,n n a n N n S S a a *∈===设S 为等差数列的前项和，且则.A 1- .B 0 .C 1 .D 27. 执行如图中的程序框图，若输出的结果为21,则判断框中应填（） A. i < 5 B. i <6 C. i < 7 D. i < 88.设2 0(4sin cos ),n x x dx π=+⎰则二项式1()n x x-的展开式中x 的系数为（）A ．4B ．10C ．5D ．69. 点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上的一点，其右焦点为(,0)F c ，若M 为线段FP 的中点, 且M 到坐标原点的距离为8c，则双曲线的离心率e 的取值范围是 ( ) A ．(]1,8 B ．41,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．45(,)33D ．(]2,310. 如图，在三棱锥ABC P -中,PC PB PA ,,两两互相垂直，且2,2,3===PC PB PA ,设M 是底面三角形ABC 内俯视一动点，定义：),,()(p n m M f =，其中p n m ,,分别表示三棱锥PAC M PBC M PAB M ---,,的体积，若)4,,1()(y x M f =，且81≥+yax 恒成立，则正实数a 的最小值是（） A . 22- B .2122- C.4249- D. 246-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上 11.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+++≥≥0,12,0k y x x y x （k 为常数），若目标函数y x z +=2的最大值是311，则实数k 的值是 . 12. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 13.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右焦点为,F 若以F 为圆心的圆05622=+-+x y x 与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ .14. 已知角ϕ的终边经过点)1,1(-P ，点),(),,(2211y x B y x A 是函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 图象上的任意两点，若2)()(21=-x f x f 时，21x x -的最小值为3π，则)2(πf 的值是 ▲ . 15. 已知定义在R 上的偶函数()y f x =满足:(4)()(2)f x f x f +=+,且当[0,2]x ∈ 时,()y f x =单调递减,给出以下四个命题: ①(2)0f =;②4x =-为函数()y f x =图像的一条对称轴; ③函数()y f x =在[8,10]单调递增;④若关于x 的方程()f x m =在[6,2]--上的两根12,x x,则128x x +=-. 以上命题中所有正确的命题的序号为_______________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++ （1）求角A 值；（2）求C B cos sin 3-的最大值.17.（本小题满分12分）如图，斜三棱柱111C B A ABC -，已知侧面C C BB 11与底面ABC 垂直且∠BCA =90°，∠160B BC =，1BB BC ==2，若二面角C B B A --1为30°，（Ⅰ）证明:1111AAC C BB C C ⊥面平面及求1AB 与平面11AAC C 面所成角的正切值；（Ⅱ）在平面B B AA 11内找一点P ，使三棱锥C BB P 1-为正三棱锥，并求此时1111P AA C C P BB C CV V --的值。

安徽省合肥168中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学理 Word版含答案

(第 14 题图) 答案：2 15 15.在平面直角坐标系中，如果 x 与 y 都是整数，就称点 ( x, y ) 为整点，下列命题中正确的是_____________ （写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果 k 与 b 都是无理数，则直线 y kx b 不经过任何整点； ③直线 l 经过无穷多个整点，当且仅当 l 经过两个不同的整点； ④如果 k 与 b 都是有理数,则直线 y kx b 经过无穷多个整点； ⑤存在恰经过一个整点的直线. 【答案】①③⑤
第12题
B' V2 B
答案：B
9.设 m R ，过定点 A 的动直线 x m y 0 和过定点 B 的动直线 mx y m 3 0 交于点 P( x, y) ，则 | PA | | PB | 的取值范围是( ) A． [ 5,2 5] 答案：B B． [ 10,2 5 ] C． [ 10,4 5 ] D． [2 5,4 5 ]
三、解答题(本大题共 6 题，计 75 分。请将正确答案写在答题卷的相应位置) 16.(本题 12 分).已知 E、F、G、H 为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点，
且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH∥BD.
A E B F H D G C
证明： EH FG, EH 面 BCD ， FG 面 BCD
答案：B
)B．30＋6 5 D源自60＋ 12 55.经过点 P(1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为 ( A.x＋2y－6＝0 C.x－2y＋7＝0 答案 B B.2x＋y－6＝0 D.x－2y－7＝0 )
6. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 6，底面边为 4，则该球的表面积为( )

安徽省合肥168中高二数学上学期期中试卷理(含解析)

2014-2015学年安徽省合肥168中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题卷的表格里．）1．下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行D．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行2．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β3．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（）A． 4和3 B．﹣4和3 C．﹣4和﹣3 D． 4和﹣34．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A． 28+6 B． 30+6 C． 56+12 D． 60+125．经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（）A． x+2y﹣6=0 B． 2x+y﹣6=0 C． x﹣2y+7=0 D． x﹣2y﹣7=06．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为（）A． B． C． D． 16π7．已知0＜x＜1，0＜y＜1，则的最小值为（）A． B． C． 2 D． 88．如图，在三棱柱ABC﹣A'B'C'中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB'C'F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2为（）A． 3：2 B． 7：5 C． 8：5 D． 9：59．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）A． [，2] B． [，2] C． [，4] D． [2，4]10．设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将正确答案填在答题卷的相应位置．）11．直线l：ax+（a+1）y+2=0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是．12．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2cm2，则原平面图形的面积为．13．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2cm的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为cm2．14．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知BC⊥AD，BC=2，AD=6，AB+BD=AC+CD=10，则三棱锥D ﹣ABC的体积的最大值是．15．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④如果k与b都是有理数，则直线y=kx+b经过无穷多个整点；⑤存在恰经过一个整点的直线．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH∥FG．求证：EH∥BD．17．如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．18．如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD⊥平面DEF（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．19．已知直线l：y=3x+3．（1）求点P（5，3）关于直线l的对称点P′的坐标；（2）求直线l1：x﹣y﹣2=0关于直线l的对称直线l2的方程；（3）已知点M（2，6），试在直线l上求一点N使得|NP|+|NM|的值最小．20．如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB 的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．2014-2015学年安徽省合肥168中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题卷的表格里．）1．下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行D．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析： A，B，C列举所有情况，D考虑线面平行的性质定理及平行公理即可．解答：解：对于A，两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交、异面都有可能，故不正确；对于B，一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故不正确；对于C，两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，故不正确；对于D，由a∥α得，经过a的平面与α相交于直线c，则a∥c，同理，设经过a的平面与β相交于直线d，则a∥d，由平行公理得：c∥d，则c∥β，又c⊂α，α∩β=b，所以c ∥b，又a∥c，所以a∥b．故选：D．点评：本题主要考查了空间线面位置关系，要求熟练掌握相应的定义和定理，注意定理成立的条件．2．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．解答：解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．3．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（）A． 4和3 B．﹣4和3 C．﹣4和﹣3 D． 4和﹣3考点：两条直线平行的判定；直线的截距式方程．专题：待定系数法．分析：由直线在y轴上的截距为，可得=，解出 n，再由直线平行可得=≠，求出 m．解答：解：由题意得=，n=﹣3，直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，∴=≠，∴m=﹣4．故选 C．点评：本题考查直线在y轴上的截距的定义，两直线平行的性质．4．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A． 28+6 B． 30+6 C． 56+12 D． 60+12考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．解答：解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底==10，S后=，S右==10，S左==6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选：B．点评：本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．5．经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（）A． x+2y﹣6=0 B． 2x+y﹣6=0 C． x﹣2y+7=0 D． x﹣2y﹣7=0考点：直线的斜截式方程．专题：计算题．分析：设出直线方程的截距式，把经过的点P（1，4）的坐标代入得a与b的等式关系，把截距的和a+b变形后使用基本不等式求出它的最小值．解答：解：设直线的方程为+=1（a＞0，b＞0），则有+=1，∴a+b=（a+b）×1=（a+b）×（+）=5++≥5+4=9，当且仅当=，即a=3，b=6时取“=”．∴直线方程为2x+y﹣6=0．故选B．点评：本题考查直线方程的截距式，利用基本不等式求截距和的最小值，注意等号成立的条件需检验．6．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为（）A． B． C． D． 16π考点：球的体积和表面积．专题：球．分析：根据正四棱锥P﹣ABCD与外接球的关系求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，∵底面边长为4，∴AE=，PE=6，∴侧棱长PA==，PF=2R，根据平面几何中的射影定理可得PA2=PF•PE，即44=2R×6，解得R=，则S=4πR2=4π（）2=，故选：B点评：本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，根据条件求出球的半径是解决本题的关键．7．已知0＜x＜1，0＜y＜1，则的最小值为（）A． B． C． 2 D． 8考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用四个和式的几何意义求得答案．解答：解：根号表示点（x，y）与原点（0，0）之间的距离，根号表示点（x，y）与点（0，1）之间的距离，表示点（x，y）与点（1，0）之间的距离，表示点（x，y）与点（1，1）之间的距离，∴函数就是四个距离之和，满足条件0＜x＜1，0＜y＜1的点（x，y）位于矩形内，则距离之和的最小值就是此矩形的对角线长的2倍，等于．故选：A．点评：本题考查了函数值的求法，考查了数学转化思想方法，关键是转化为几何意义，是中档题．8．如图，在三棱柱ABC﹣A'B'C'中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB'C'F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2为（）A． 3：2 B． 7：5 C． 8：5 D． 9：5考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由已知中平面EB'C'F将三棱柱分成一个棱台（体积为V1）和一个不规则几何体，（体积为V2），我们根据棱柱体积公式，和棱台的体积公式，结合组合体的体积求法，分别计算出V1，V2的表达式，即可得到答案．解答：解：设S△AEF=x，则S△ABC=S△A1B1C1=4x，S□EFBC=3xV1：V2=（4x+2x+x）：4x﹣[（4x+2x+x）]=7：5故选B点评：本题考查的知识点是棱柱的体积，棱台的体积，组合体的体积，其中分析出面EB'C'F 将三棱柱分成一个棱台（体积为V1）和一个不规则几何体，（体积为V2），是解答本题的关键．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）A． [，2] B． [，2] C． [，4] D． [2，4]考点：两条直线的交点坐标；函数最值的应用．专题：直线与圆．分析：可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10．三角换元后，由三角函数的知识可得．解答：解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），∵动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0的斜率之积为﹣1，始终垂直，P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．设∠ABP=θ，则|PA|=sinθ，|PB|=cosθ，由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]∴|PA|+|PB|=（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴sin（θ+）∈[，1]，∴2sin（θ+）∈[，2]，故选：B．点评：本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题．10．设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）A． B． C． D．考点：两条平行直线间的距离．专题：计算题．分析：利用方程的根，求出a，b，c的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值．解答：解：因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，所以a+b=﹣1，ab=c，两条直线之间的距离d=，∴d2==，因为0≤c≤，所以≤1﹣4c≤1，即d2，所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是．故选C．点评：本题考查平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查计算能力．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将正确答案填在答题卷的相应位置．）11．直线l：ax+（a+1）y+2=0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是{a|a＜﹣或a＞0} ．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：当a=﹣1时，符合题意；当a≠﹣1时，只需＜0或＞1即可，解不等式综合可得．解答：解：当a+1=0即a=﹣1时，直线无斜率，倾斜角为90°，满足倾斜角大于45°；当a+1≠0即a≠﹣1时，直线的斜率＜0或＞1即可解不等式可得a＜﹣1或﹣1＜a＜﹣或a＞0综上可得a的取值范围为：{a|a＜﹣或a＞0}故答案为：{a|a＜﹣或a＞0}点评：本题考查直线的倾斜角，涉及不等式的解集和分类讨论，属基础题．12．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2cm2，则原平面图形的面积为8cm2．考点：平面图形的直观图．专题：空间位置关系与距离．分析：首先，根据所给的图形中∠BAD=45°，得到原图形为一个直角梯形，然后，根据高之间的关系进行求解．解答：解：根据题意，得∠BAD=45°，则原图形为一个直角梯形，上下底面的边长和BC、AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，∴原平面图形的面积为8cm2．故答案为：8cm2．点评：本题重点考查了斜二侧画法、平面图形的面积的求解方法等知识，属于中档题．解题关键是准确理解斜二侧画法的内涵，与x轴平行的线段长度保持不变，与y轴平行的线段的长度减少为原来的一半．13．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2cm的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为2cm2．考点：由三视图求面积、体积．专题：作图题；综合题．分析：根据题意，画出图形，结合题目所给数据，求出正视图的三边的长，可求其面积．解答：解：这个正四面体的位置是AC放在桌面上，BD平行桌面，它的正视图是和几何体如图，则正视图 BD=2，DO=BO=，∴S△BOD=，故答案为：2．点评：本题考查由三视图求面积，考查空间想象能力逻辑思维能力，是中档题．14．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知BC⊥AD，BC=2，AD=6，AB+BD=AC+CD=10，则三棱锥D﹣ABC的体积的最大值是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．分析：过BC作与AD垂直的平面，交AD于E，过E作BC的垂线，垂足为F，则V=S△BCE×AD，进而可分析出当BE取最大值时，EF取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值，利用椭圆的几何意义及勾股定理，求出EF的最大值，可得答案．解答：解：过BC作与AD垂直的平面，交AD于E过E作BC的垂线，垂足为F，如图所示：∵BC=2，AD=6，则三棱锥D﹣ABC体积V=S△BCE×（AE+DE）=V=S△BCE×AD=×•BC•EF×AD=2EF故EF取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值即BE取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值在△ABD中，动点B到A，D两点的距离和为10，故B在以AD为焦点的椭圆上，此时a=5，c=3，故BE的最大值为b==4此时EF==故三棱锥D一ABC的体积的最大值是故答案为：点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，其中将求棱锥体积的最大值，转化为求椭圆上动点到长轴的距离最远是解答的关键．15．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤（写出所有正确命题的编号）．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④如果k与b都是有理数，则直线y=kx+b经过无穷多个整点；⑤存在恰经过一个整点的直线．考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：①举一例子即可说明本命题是真命题；②举一反例即可说明本命题是假命题；③假设直线l过两个不同的整点，设直线l为y=kx，把两整点的坐标代入直线l的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l上，利用同样的方法，得到直线l经过无穷多个整点，得到本命题为真命题；④根据③为真命题，把直线l的解析式y=kx上下平移即不能得到y=kx+b，所以本命题为假命题；⑤举一例子即可得到本命题为真命题．解答：解：①令y=x+，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以本命题正确；②若k=，b=，则直线y=x+经过（﹣1，0），所以本命题错误；设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入直线l方程得：y1=kx1，y2=kx2，两式相减得：y1﹣y2=k（x1﹣x2），则（x1﹣x2，y1﹣y2）也在直线y=kx上且为整点，通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，又通过上下平移得到y=kx+b不一定成立．则③正确，④不正确；⑤令直线y=x恰经过整点（0，0），所以本命题正确．综上，命题正确的序号有：①③⑤．故答案为：①③⑤点评：此题考查学生会利用举反例的方法说明一个命题为假命题，要说明一个命题是真命题必须经过严格的说理证明，以及考查学生对题中新定义的理解能力，是一道中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH∥FG．求证：EH∥BD．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题．分析：先由EH∥FG，得到EH∥面BDC，从而得到EH∥BD．解答：证明：∵EH∥FG，EH⊄面BCD，FG⊂面BCD∴EH∥面BCD，又∵EH⊂面ABD，面BCD∩面ABD=BD，∴EH∥BD点评：本题主要考查线面平行的判定定理，是道基础题．17．如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．考点：两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：根据三角形的性质解A点，再解出AC的方程，进而求出BC方程，解出C点坐标．逐步解答．解答：解：点A为y=0与x﹣2y+1=0两直线的交点，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∴k AB==1．又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0，∴k AC=﹣1．∴直线AC的方程是y=﹣x﹣1．而BC与x﹣2y+1=0垂直，∴k BC=﹣2．∴直线BC的方程是y﹣2=﹣2（x﹣1）．由y=﹣x﹣1，y=﹣2x+4，解得C（5，﹣6）．∴点A和点C的坐标分别为（﹣1，0）和（5，﹣6）点评：本题可以借助图形帮助理解题意，将条件逐一转化求解，这是上策．18．如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD⊥平面DEF（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）利用线面垂直的判定定理进行证明是解决本题的关键，在平面DEF中找两条相交直线与AD垂直，利用60°角菱形的特征可以发现AD⊥DE，通过取出AD的中点构造一个平面可以证明AD⊥EF；（2）利用（1）中的结论找到二面角P﹣AD﹣B的平面角是解决本题的关键，求角往往要利用三角形中的余弦定理．解答：解：（1）取AD的中点G，连接PG，BG，在△ABG中，根据余弦定理可以算出BG=，发现AG2+BG2=AB2，可以得出AD⊥BG，又DE∥BG∴DE⊥AD，又PA=PD，可以得出AD⊥PG，而PG∩BG=G，∴AD⊥平面PBG，而PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB，又PB∥EF，∴AD⊥EF．又EF∩DE=E，∴AD⊥平面DEF．（2）由（1）知，AD⊥平面PBG，所以∠PGB为二面角P﹣AD﹣B的平面角，在△PBG中，PG=，BG=，PB=2，由余弦定理得cos∠PGB=，因此二面角P﹣AD﹣B的余弦值为．点评：本题考查立体几何中基本的线面关系，考查线面垂直的判定方法，考查二面角的求法，训练了学生基本的空间想象能力，考查学生的转化与化归思想，解三角形的基本知识和学生的运算能力，属于基本的立体几何题．19．已知直线l：y=3x+3．（1）求点P（5，3）关于直线l的对称点P′的坐标；（2）求直线l1：x﹣y﹣2=0关于直线l的对称直线l2的方程；（3）已知点M（2，6），试在直线l上求一点N使得|NP|+|NM|的值最小．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）设点P的对称点为P'（a，b），由中点坐标公式和两直线垂直的条件列方程，解出即可；（2）首先求出两直线的交点，再由点关于直线对称的求法求出对称点，再由直线方程的形式，即可得到；（3）可由（1）的结论，连接P'M，交直线l于N，连接NP，再由三点共线的知识，即可求出N．解答：解：（1）设点P的对称点为P'（a，b），则，解得：，即点P'的坐标为（﹣4，6）；（2）解方程组得，即两直线l与l的交点坐标为因为直线l与l2关于直线l对称，所以直线l2必过点，又由（1）可知，点P（5，3）恰好在直线l上，且其关于直线l的对称点为P'（﹣4，6），所以直线l2必过点P'（﹣4，6），这样由两点式可得：，即7x+y+22=0；（3）由（1）得P'（﹣4，6），连接P'M，交直线l于N，连接NP，则|NP|+|NM|=|NP'|+|NM|=|P'M|最小，设出N（x，3x+3），则由P'，M，N共线，可得，，解得，x=1，则可得N（1，6）．点评：本题考查点关于直线对称、直线关于直线对称，以及运用：求最值，考查直线方程的知识，考查运算能力，属于中档题．20．如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB 的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（Ⅰ）根据两个点是两条边的中点，得到这条线是两条边的中位线，得到这条线平行于PC，根据线面平行的判定定理，得到线面平行．（Ⅱ）根据四个点是四条边的中点，得到中位线，根据中位线定理得到四边形是一个平行四边形，根据两条对角线垂直，得到平行四边形是一个矩形．（Ⅲ）做出辅助线，证明存在点Q到四面体PABC六条棱的中点的距离相等，根据第二问证出的四边形是矩形，根据矩形的两条对角线互相平分，又可以证出另一个矩形，得到结论．解答：证明：（Ⅰ）∵D，E分别为AP，AC的中点，∴DE∥PC，∵DE⊄平面BCP，∴DE∥平面BCP．（Ⅱ）∵D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，∴DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF∴四边形DEFG为平行四边形，∵PC⊥AB，∴DE⊥DG，∴四边形DEFG为矩形．（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由（Ⅱ）知DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN，与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM=QN=EG，∴Q为满足条件的点．点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查三角形中位线定理，考查平行四边形和矩形的判定及性质，本题是一个基础题．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．考点：二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）运用线面垂直的判定和性质定理即可得证CD⊥AE；（2）运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到PD⊥平面ABE；（3）过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，由（2）知AE⊥平面PCD，则AM⊥PD，则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．通过解三角形AEM，即可得到所求值．解答：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE；（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD∴PA⊥AB，又AD⊥AB，AD∩PA=A∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD∴AB⊥PD，由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形．∴AC=AB∴PA=PC∵E是PC中点∴AE⊥PC由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD∴AE⊥PD，又AB⊥PD，AB∩AE=A∴PD⊥平面ABE；（3）解：过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，由（2）知AE⊥平面PCD，则AE⊥PD，则PD⊥平面AEM，∴AM⊥PD，则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．设AC=a，AD==，PA=A，PD==a，AM===，在Rt△AEM中，AE=a，EM===a，则tan∠AME===．点评：本题考查线面垂直的性质和判定定理及运用，考查空间二面角的求法，考查运算和推理能力，属于中档题．21。

安徽省合肥市第一六八中学高二数学上学期期中试卷理(宏志班)

高二数学试题（宏志班）一、选择题（共60 题，每题 5 分。

每题仅有一个正确选项。

）1．已知 a、 b 是两条平行直线，且a∥平面β，则 b 与β的地点关系是（）A．平行B．订交C． b 在平面β内D．平行或b在平面β 内2．在以下命题中，不是公义的是（）A．平行于同一条直线的两条直线相互平行B．假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内C．空间中，假如两个角的两边分别对应平行，那么这两角相等或互补D．假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．假如 ac＞ 0，bc＞ 0，那么直线ax+by+c=0 不经过（）A．第一象限B．第二象限 C ．第三象限D．第四象限4．直线（ a2+1） x﹣y+1=0（此中 a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A． [0 ，]B．[，） C ．（，] D ．[，π）5．一个几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为（）A．12πB．24πC．D．72π6．半径为 5 的球内有一个高为8 的内接正四棱锥，则这个球与该内接正四棱锥的体积之比为（）A．B．C．D．7．三棱柱ABC﹣A'B'C ′的全部棱长都等于2，并且AA' ⊥平面ABC， M是侧棱BB′的中点，则直线 MC′与 A′B所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．8．直线 l 过点 P（ 1， 0），且与以 A（ 2，1），为端点的线段总有公共点，则直线l斜率的取值范围是（）A．B．C．D．[1，+∞）9．在正方体ABCD﹣ A1B1C1D1中， E 是棱 CC1的中点， F 是四边形BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，以下说法正确的个数是（）①点 F 的轨迹是一条线段②A1F 与 D1E 不行能平行③ A1F 与 BE是异面直线④当 F 与 C1不重合时，平面 A1FC1不行能与平面 AED1平行A． 1B．2C． 3D． 410．在平面直角坐标系中，记 d 为点 P（cosθ， sin θ）到直线x﹣ my﹣2=0 的距离．当θ、m变化时， d 的最大值为（）A． 1B．2C． 3D． 411．生于瑞士的数学巨星欧拉在1765 年发布的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同向来线上，并且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半．”这就是有名的欧拉线定理．设△ABC中，设O、H、 G 分别是外心、垂心和重心，以下四个选项错误的选项是（）A． HG=2OG B．+ + =C．设 BC边中点为D，则有 AH=3OD D． S△ABG=S△BCG=S△ACG12．如图 1，直线 EF 将矩形纸A BCD分为两个直角梯形ABFE和 CDEF，将梯形 CDEF沿边 EF翻折，如图 2，在翻折的过程中（平面ABFE和平面 CDEF不重合）下边说法正确的选项是（）A．存在某一地点，使得CD∥平面 ABFEB．存在某一地点，使得DE⊥平面 ABFEC．在翻折的过程中，BF∥平面 ADE恒成立D．在翻折的过程中，BF⊥平面 CDEF恒成立二、填空题（共20 分，每题 5 分）13 、已知直线l1: ax 2 y 60 与l2: x a 1 y a210 平行，则实数 a 的取值是________14．球的半径为 5cm，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为6cm和 8cm，则这两个平面之间的距离是cm．15.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平川降雨量是________寸．( 注：① 平川降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；② 一尺等于十寸 )16．在正方体ABCD﹣ A1B1C1D1中， E 为棱 AB上一点，且AE=1， BE=3，以 E 为球心，线段EC的长为半径的球与棱A1D1， DD1分別交于F， G两点，则△ AFG的面积为 ________三、解答题（共70 分，每题必需要有必需的解答过程）17.（ 10 分）设直线l的方程为 ( a＋ 1) x＋y＋ 2－a＝ 0 ( a∈R)．(1)若 l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程；(2)若 l 不经过第二象限，务实数 a 的取值范围．18. （ 12 分）在平面直角坐标系xOy中，OBC的边BC所在的直线方程是l : x y 3 0 ，（ 1）假如一束光芒从原点O 射出，经直线 l 反射后，经过点(3, 3) ，求反射后光芒所在直线的方程；（ 2）假如在OBC 中，BOC 为直角，求OBC 面积的最小值．19. （ 12 分）如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截获得的几何体，截面为ABC，已知 A1B1＝B1C1＝2，∠ A1B1C1＝90°， AA1＝4， BB1＝ 3， CC1＝ 2，求：( Ⅰ ) 该几何体的体积；( Ⅱ ) 截面 ABC的面积．20（ 12 分） . 如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，极点 P 在平面 ABC内的正投影为点D，D 在平面 PAB内的正投影为点E，连结 PE并延伸交AB 于点 G．（Ⅰ）证明：G是 AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点 E 在平面 PAC内的正投影F，并求四周体PDEF的体积．21.（ 12 分）如图，四周体 ABCD中，△ ABC是正三角形，△ ACD是直角三角形，∠ ABD=∠ CBD，AB=BD．（1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC；（2）过 AC的平面交 BD于点 E，若平面 AEC把四周体 ABCD分红体积相等的两部分，求二面角D﹣ AE﹣C 的余弦值．22. （ 12 分）如图，在三棱锥中，是正三角形，为此中心.面面，，，是的中点，.（ 1）证明：面；（ 2）求与面所成角的正弦值.合肥一六八中学2018— 2019 学年第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）参照答案一．选择题题号123456789101112答案D C A B C B A B C C C C二、填空题13.－ 114. 1 或 715. 316. 4三、解答题17. （ 1） 3x＋y＝0 或x＋y＋ 2＝ 0；（2）a≤－ 1.y01x03 18（ 1）设点O对于直线l的对称点为A(x0, y0)，由题意应有x0，解得y0y0，x030322所以点 A(3,3) ．由于反射后光芒经过点A(3,3)和点 (3, 3)，所以反射后光芒所在直线的方程为 x 3．（2）设OD为OBC 的一条高，则3，设 BOD(0) ，可得|OD |22|BC ||BD|| DC | | OD | tan θ| OD |，所以OBC 的面积S1|BC||OD | tan θ21(| OD | tan θ| OD |) | OD |12| OD | tan θ| OD ||OD | |OD |29，当且仅2tan θ2tan θ2当时，等号成立．49 ．所以，OBC 面积的最小值是219.（Ⅰ）过 C 作平行于 A1B1C1的截面 A2B2C，交 AA1， BB1分别于点 A2， B2.由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝ 90°可知 B2C⊥平面 ABB2A2，则该几何体的体积V＝＝× 2×2×2＋× ×(1 ＋ 2)×2× 2＝6，（Ⅱ）在△ ABC中， AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝ 2 .则 S△ABC＝×2×＝20.（Ⅰ）证明：∵ P﹣ ABC为正三棱锥，且 D为极点 P 在平面 ABC内的正投影，∴ PD⊥平面 ABC，则 PD⊥ AB，又 E 为 D 在平面 PAB内的正投影，∴ DE⊥面 PAB，则 DE⊥ AB，∵ PD∩DE=D，∴ AB⊥平面 PDE，连结 PE并延伸交 AB于点 G，则 AB⊥PG，又 PA=PB，∴ G是 AB 的中点；（Ⅱ）在平面 PAB内，过点 E 作 PB的平行线交 PA于点 F， F 即为 E 在平面 PAC内的正投影．∵正三棱锥 P﹣ ABC的侧面是直角三角形，∴ PB⊥PA， PB⊥PC，又 EF∥PB，所以 EF⊥ PA，EF⊥ PC，所以 EF⊥平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC内的正投影．连结 CG，由于 P 在平面 ABC内的正投影为 D，所以 D是正三角形 ABC的中心．由（Ⅰ）知， G是 AB的中点，所以 D在 CG上，故 CD= CG．由题设可得PC⊥平面 PAB， DE⊥平面 PAB，所以 DE∥ PC，所以 PE= PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得 DE=2， PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四周体PDEF的体积 V=× DE× S△PEF=× 2×× 2× 2=．21.（ 1）证明：如下图，取 AC的中点 O，连结 BO，OD．∵△ ABC是等边三角形，∴ OB⊥ AC．△ ABD与△ CBD中， AB=BD=BC，∠ ABD=∠CBD，∴△ ABD≌△ CBD，∴ AD=CD．∵△ ACD是直角三角形，∴ AC是斜边，∴∠ ADC=90°．∴DO= AC．2222∴ DO+BO=AB=BD．∴∠ BOD=90°．∴ OB⊥OD．又 DO∩AC=O，∴ OB⊥平面ACD．又 OB? 平面 ABC，∴平面 ACD⊥平面 ABC．（2）解：设点 D， B 到平面 ACE的距离分别为 h D， h E．则= ．∵平面 AEC把四周体 ABCD分红体积相等的两部分，∴===1．∴点 E 是 BD的中点．成立如下图的空间直角坐标系．不如取AB=2．则 O（ 0，0，0），A（ 1，0，0），C（﹣ 1，0，0），D（ 0，0，1），B（ 0，，0），E．=（﹣ 1， 0， 1），=，=（﹣ 2，0， 0）．设平面 ADE的法向量为=（ x，y，z），则，即，取=．同理可得：平面ACE的法向量为=（ 0， 1，）．∴ cos===﹣．∴二面角D﹣ AE﹣C 的余弦值为．22. （ 1）连结，由于是正三角形的中心，所以在上且，又，所以在中有，所以，又平面，平面，所以平面.（ 2）解法一：作交的延伸线于，作交的延伸线于，由面面知面，所以，又，所以所以面,所以面面，作，则面连结，则为与面所成角，∴，即所求角的正弦值为.解法二：以中点为原点，成立如下图的空间直角坐标系.∵，∴，，，，∴，，，.设面的法向量为，则安徽省合肥市第一六八中学高二数学上学期期中试卷理(宏志班)取，∴，即所求角的正弦值为.-11-。

安徽省合肥市第一六八中学2014-2015学年高二下学期期末(暨新高三升学)考试数学(理)试卷 Word版含答案

数学试卷（理科）本试卷分第I卷（客观题）和第II卷（主观题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题，共50分）选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号写在答题卡的相应位置.） 1．设复数满足，则=A．B．C．D． 2．设是两个非零向量，则“”是“夹角为钝角”的 A．充分不必要条件 B必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件执行如右图所示的程序框图,若输出的值为22，那么输入的值等于 A．6 B．7 C．8 D．9 4. 某几何体的三视图（单位：）如右图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是( ) A. B. C. D. 5.已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，若，则等于( )A、－14B、448C、－1024D、－16 6.若函数的图象在上恰有一个极大值和一个极小值，则的取值范围是( ) A、B、C、D、 7. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=( ) A. B. C. 3 D. 2 8. 某次联欢会要安排个歌舞类节目，个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（） A． B． C． D．已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和）则 A．B． C．D．(x≠-2),下列关于函数（其中a为常数）的叙述中：①a>0，函数g（x）一定有零点；②当a＝0时，函数g（x）有5个不同零点；③a∈R，使得函数g（x）有4个不同零点；④函数g（x）有6个不同零点的充要条件是0。

安徽省合肥168中学1415学年度高二上学期期末——数学(理)数学(理)

安徽省合肥168中学2014—2015学年度上学期期末考试高二数学理试题考试时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷（选择题满分50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线和互相垂直，则（）A ．B ．C ．或D ．或2．已知圆的一条斜率为的切线为，且与垂直的直线平分该圆，则直线的方程为（） A ． B ． C ． D ．3．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如右图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（）A ．B ．C ．D ．4．下面说法正确的是（） A ．命题“01,2≥++∈∃x x R x 使得”的否定是“01,2≥++∈∀x x R x 使得”B ．实数是成立的充要条件C ．设为简单命题，若“”为假命题，则“”也为假命题D ．命题“若，则”的为真命题5．若是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线，；②存在一个平面，；③存在两条平行直线，且，；④存在两条异面直线．那么可以是的充分条件有（） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个6．正三棱柱中，底面边长为，若异面直线与所成的角为，则该三棱柱的侧棱长为（）． A ．或 B ． C ． D ． 7．已知命题函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为，命题不等式对一切正实数均成立．如果，命题“”为真命题，命题“”为假命题，则实数的取值范围为（）． A ． B ． C ． D ．无解 8．已知抛物线上的一定点和两个动点、，当时，点的横坐标的取值范围是（） A ． B ． C ．33(,3][1,)(,)22-∞-+∞ D ． 9．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．10．过椭圆上一点作圆的两条切线，为切点，过的直线与轴、轴分别交于两点，为坐标原点，则的面积的最小值为( )A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题满分100分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若，则此球的表面积为．12．已知双曲线的方程为，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线的上支上，则的最小值为．13．一个棱长为的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为．14．已知平面上点22{(,)|(2cos )(2sin )16()}P x y x y R ααα∈-+-=∈，则满足条件的点在平面上所组成的图形的面积为．15．已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作 ①若点，线段:30(35)l x y x --=≤≤，则； ②设是长为的定线段，则集合所表示的图形面积为；③若，，，，线段，，则到线段，距离相等的点的集合12{|(,)(,)}{(,)|0}D P d P l d P l x y x ====； ④若，，，，线段，，则到线段，距离相等的点的集合2212{|(,)(,)}{(,)|0}D P d P l d P l x y x y ===-=．其中正确的有．三、解答题：（本大题共6小题，共75分。

安徽省合肥一六八中高二数学上学期期中试卷文(含解析)

2015-2016学年安徽省合肥一六八中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共60题，每题5分．每题仅有一个正确选项．）1．下列说法中正确的是( )A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形2．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A．120°B．150°C．180°D．240°3．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A．21+B．18+C．21 D．184．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A．2+B．C．D．1+5．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α、β，下列命题中正确命题个数为( )①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l⊥m则α⊥β③若l⊥n，m⊥n，则l∥m④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥αA．1 B．2 C．3 D．46．设四面体ABCD各棱长均相等，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则△SQD 在四面体的面BCD上的射影可能是( )A．B．C．D．7．设a，b，c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA•x+ay+c=0与bx ﹣sinB•y+sinC=0的位置关系是( )A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直8．直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是( )A． B．∪（，π）D．15．三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC 的体积为V2，则=__________．16．光线由点A（﹣1，4）射出，遇到直线l：2x﹣3y﹣6=0后被反射，已知点在反射光线上，则反射光线所在的直线方程为__________．三、解答题（共70分，每题需有必要的解答过程）17．四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．18．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x负半轴于A，交y正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．19．已知点P到两定点M（﹣1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，，点F 是PD的中点，点E在CD上移动．（1）求三棱锥E﹣PAB体积；（2）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面PAC的关系，并说明理由；（3）求证：PE⊥AF．21．（13分）如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使AD=AE．（Ⅰ）求证：BC∥平面DAE；（Ⅱ）求四棱锥D﹣AEFB的体积．22．（13分）如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=1，EF∥BD．（1）设EF=λBD，是否存在实数λ，使B F∥平面ACE；（2）求证：平面EAC⊥平面BDEF（3）当EF=BD时，求几何体ABCDEF的体积．2015-2016学年安徽省合肥一六八中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共60题，每题5分．每题仅有一个正确选项．）1．下列说法中正确的是( )A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【考点】棱柱的结构特征．【专题】综合题．【分析】通过棱柱的定义以及棱柱的基本性质，判断四个选项的正误，A满足定义，B、C、D 可以找出反例．【解答】解：棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，相邻的公共边互相平行，有这些面围成的几何体是棱柱；可以判断A正确；B不正确，例如正六棱柱的相对侧面；C不正确，只有直棱柱满足C的条件；D不正确，例如长方体．故选A【点评】本题是基础题，考查棱柱的定义，棱柱的基本性质，考查基本知识掌握的情况．2．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A．120°B．150°C．180°D．240°【考点】扇形面积公式；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，求出侧面展开图扇形的弧长，可求其圆心角．【解答】解：圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，设圆锥底面半径为1，则圆锥母线长为2，圆锥的侧面展开图扇形的弧长是圆锥底面周长为2π，该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角：π，即180°故选C．【点评】本题考查圆锥的侧面展开图，及其面积等知识，考查空间想象能力，是基础题．3．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A．21+B．18+C．21 D．18【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，几何体的表面积为：S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底==21+．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状．4．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A．2+B．C．D．1+【考点】斜二测法画直观图．【专题】计算题；作图题．【分析】原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．【解答】解：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选A【点评】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，属基础知识的考查．5．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α、β，下列命题中正确命题个数为( )①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l⊥m则α⊥β③若l⊥n，m⊥n，则l∥m④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥αA．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】①利用线面平行的判定定理即可得出；②利用面面垂直的判定定理即可判断出；③利用线线的位置关系即可得出；④利用面面垂直的性质定理即可得出．【解答】解：①若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，因此不正确；②若l⊥α，m⊥β且l⊥m，利用面面垂直的判定定理可得：α⊥β，正确；③若l⊥n，m⊥n，则l∥m、相交或为异面直线，因此不正确；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，利用面面垂直的性质定理即可得出：n⊥α，因此正确．综上可知：只有②④正确．故选：B．【点评】本题综合考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，熟练掌握判定定理及其性质定理是解决问题的关键，属于基础题．6．设四面体ABCD各棱长均相等，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则△SQD 在四面体的面BCD上的射影可能是( )A．B．C．D．【考点】平行投影及平行投影作图法．【专题】探究型；空间位置关系与距离．【分析】确定S在面BDC上的射影在平面ADC内部，即可判断正确选项．【解答】解：因为Q为BC上异于中点和端点的任一点，所以S在面BDC上的射影在平面ADC内部，Q在BC上，D为顶点，所以△SDQ在面BDC上的射影为图C，故选：C．【点评】本题考查平行投影以及平行投影的作图方法，考查空间想象能力．7．设a，b，c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA•x+ay+c=0与bx ﹣sinB•y+sinC=0的位置关系是( )A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直【考点】正弦定理的应用；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题．【分析】要寻求直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系，只要先求两直线的斜率，然后由斜率的关系判断直线的位置即可．【解答】解：由题意可得直线sinA•x+ay+c=0的斜率，bx﹣sinB•y+sinC=0的斜率∵k1k2===﹣1则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0垂直故选C．【点评】本题主要考察了两直线的位置关系中的垂直关系的判断，主要是通过直线的斜率关系进行判断，解题中要注意正弦定理的应用．8．直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是( )A． B．∪（，π）D．故E是BC的中点，所以PA与底面ABC所成角为∠PAE，等边三角形PBC中，PE=，直角三角形ABC中，AE=BC=，又PA=1，∴三角形PAE中，tan∠PAE==∴∠PAE=，则PA与底面ABC所成角为．【点评】本题考查直线与平面成的角的求法．15．三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC 的体积为V2，则=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离；立体几何．【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比．【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，∴==．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题．16．光线由点A（﹣1，4）射出，遇到直线l：2x﹣3y﹣6=0后被反射，已知点在反射光线上，则反射光线所在的直线方程为13x﹣26y+85=0．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆．【分析】求出点（﹣1，4）关于直线l1：2x+3y﹣6=0的对称点的坐标，利用两点式方程求出入射光线所在的直线方程．【解答】解：设点（﹣1，4）关于直线l1：2x﹣3y﹣6=0的对称点的坐标为（a，b），则，解得：a=，b=﹣，又由反射光线经过点B（3，），故反射光线的方程为：=﹣，即：13x﹣26y+85=0，故答案为：13x﹣26y+85=0．【点评】对称点的坐标的求法：利用垂直平分解答，本题是通过特殊直线特殊点处理，比较简洁，考查计算能力．三、解答题（共70分，每题需有必要的解答过程）17．四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥平面BDC，即可求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明四边形EFGH是平行四边形，EF⊥HG，即可证明四边形EFGH是矩形．【解答】（Ⅰ）解：由题意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD=DC=2，AD=1，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V==；（Ⅱ）证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH．同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x负半轴于A，交y正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．【考点】过两条直线交点的直线系方程．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）直线l过定点，说明定点的坐标与参数k无关，故让k的系数为0 可得定点坐标．（2）求出A、B的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的k值，从而得到直线方程．【解答】解：（1）证明：由已知得k（x+2）+（1﹣y）=0，∴无论k取何值，直线过定点（﹣2，1）．（2）令y=0得A点坐标为（﹣2﹣，0），令x=0得B点坐标为（0，2k+1）（k＞0），∴S△AOB=|﹣2﹣||2k+1|=（2+）（2k+1）=（4k++4）≥（4+4）=4．当且仅当4k=，即k=时取等号．即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣y+1+1=0．即x﹣2y+4=0【点评】本题考查过定点的直线系方程特征，以及利用基本不等式求式子的最小值．19．已知点P到两定点M（﹣1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程．【考点】直线的一般式方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】设P的坐标为（x，y），由题意点P到两定点M（﹣1，0）、N（1，0）距离的比为，可得，结合两点间的距离，化简整理得x2+y2﹣6x+1=0，又由点N到PM的距离为1，即|MN|=2，可得直线PM的斜率，进而可得直线PM的方程，并将方程代入x2+y2﹣6x+1=0整理得x2﹣4x+1=0，解可得x的值，进而得P的坐标，由直线的方程代入点的坐标可得答案．【解答】解：设P的坐标为（x，y），由题意有，即，整理得x2+y2﹣6x+1=0，因为点N到PM的距离为1，|MN|=2所以PMN=30°，直线PM的斜率为直线PM的方程为将代入x2+y2﹣6x+1=0整理得x2﹣4x+1=0解得，则点P坐标为或或直线PN的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．【点评】本题考查直线的方程，注意结合题意，选择直线方程的合适的形式，进行整理变形、求解．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，，点F是PD的中点，点E在CD上移动．（1）求三棱锥E﹣PAB体积；（2）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面PAC的关系，并说明理由；（3）求证：PE⊥AF．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）求出底面ABE的面积，求出高PA，即可求三棱锥E﹣PAB体积；（2）点E为CD的中点，推出EF||PC，证明EF∥平面PAC即可；（3）证明AF垂直平面PDC内的两条相交直线CD，PD，即可证明AF⊥平面PDC，从而证明PE⊥AF．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴．（2）当点E为BC的中点时，EF||平面PAC．理由如下：∵点E，F分别为CD、PD的中点，∴EF||PC．∵PC⊂平面PAC，EF⊂平面PAC∴EF||平面PAC（3）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD∴CD⊥PA∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD∵AF⊂平面PAD∴AF⊥DC∵PA=AD，点F是PD的中点∴AF⊥PD，又CD∩PD=D∴AF⊥平面PDC∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．21．（13分）如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使AD=AE．（Ⅰ）求证：BC∥平面DAE；（Ⅱ）求四棱锥D﹣AEFB的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）先根据面面平行的判定定理，证得面CBF∥面DAE，又BC⊂面CBF，根据面面平行的性质可知BC∥平面DAE；（Ⅱ）取AE的中点H，连接DH，根据线面垂直的判定定理可得EF⊥平面DAE，根据线面垂直的性质可知EF⊥DH，再根据，则DH⊥面AEFB，根据体积公式即可求出四棱锥D﹣AEFB的体积．【解答】解：（Ⅰ）∵CF∥DE，FB∥AE，BF∩CF=F，AE∩DE=E∴面CBF∥面DAE，又BC⊂面CBF，所以BC∥平面DAE（Ⅱ）取AE的中点H，连接DH，∵EF⊥ED，EF⊥EA∴EF⊥平面DAE又DH⊂平面DAE∴EF⊥DH，∵∴DH⊥面AEFB，所以四棱锥D﹣AEFB的体积【点评】本题主要考查棱锥的体积公式和线面平行的判定定理的应用．考查对定理的掌握情况和对基础知识的综合运用．22．（13分）如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=1，EF∥BD．（1）设EF=λBD，是否存在实数λ，使BF∥平面ACE；（2）求证：平面EAC⊥平面BDEF（3）当EF=BD时，求几何体ABCDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法．【分析】（1）存在．证明四边形EFBO是平行四边形，可得BF∥EO，使BF∥平面ACE；（2）利用面面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面BDEF；（3）几何体的体积V ABCDEF=2V A﹣BDEF=2×S BDEF•AO【解答】（1）解：存在．证明：记AC与BD的交点为O，则DO=BO=BD，连接EO，∵EF∥BD，当时，即EF=BD，∴EF∥BO且EF=BO，则四边形EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵EO⊂面ACE，BF⊄面ACE，∴BF∥平面ACE；…4’（2）证明：∵ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴ED⊥AC．∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又ED∩BD=D，∴AC⊥平面BDEF，又AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDEF；…8’（3）解：∵ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD，又∵EF∥BD且EF=BD，∴BDEF是直角梯形，又∵ABCD是边长为2的正方形，BD=2，EF=，∴梯形BDEF的面积为=，由（1）知AC⊥平面BDEF，∴几何体的体积V ABCDEF=2V A﹣BDEF=2×S BDEF•AO=2×=2．…13’【点评】本题主要考查空间直线与平面，面面垂直的判定以及空间几何体的体积，要求熟练掌握相应的判定定理．。

合肥市第一六八高二数学上学期期末考试试卷理(20190228094235)

合肥一六八中学高二年级2014-2015学年第一学期期末考试理科数学试卷考试时间： 120分钟总分：150分第Ⅰ卷（选择题满分50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线20ax y a 和(21)0a x ay a 互相垂直，则a （）A ．1B ．31C ．1或0D ．51或312．已知圆22:20C x x y 的一条斜率为1的切线为1l ，且与1l 垂直的直线2l 平分该圆，则直线2l 的方程为（）A ．10x yB ．10x yC ．10x yD ．10x y 3．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如右图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（） A ．7452 B ．(1245)C ．15454D ．(1345)4．下面说法正确的是（）A ．命题“01,2x x R x 使得”的否定是“01,2x x R x 使得”B ．实数x y 是22x y 成立的充要条件C ．设,p q 为简单命题，若“q p ”为假命题，则“q p ”也为假命题D ．命题“若cos 1，则0”的为真命题5．若,是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a ，,a a ；②存在一个平面，，；③存在两条平行直线,,,a b a b ，且//a ，//b ；④存在两条异面直线,,,a b a ,//,//b a b ．那么可以是//的充分条件有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．正三棱柱111ABC A B C 中，底面边长为2，若异面直线1AB 与1BC 所成的角为60，则该1312合肥一六八中学高二年级2014-2015学年第一学期期末考试理科数学试卷考试时间： 120分钟总分：150分第Ⅰ卷（选择题满分50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线20ax y a 和(21)0a x ay a 互相垂直，则a （）A ．1B ．31C ．1或0D ．51或312．已知圆22:20C x x y 的一条斜率为1的切线为1l ，且与1l 垂直的直线2l 平分该圆，则直线2l 的方程为（）A ．10x yB ．10x yC ．10x yD ．10x y 3．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如右图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（） A ．7452 B ．(1245)C ．15454D ．(1345)4．下面说法正确的是（）A ．命题“01,2x x R x 使得”的否定是“01,2x x R x 使得”B ．实数x y 是22x y 成立的充要条件C ．设,p q 为简单命题，若“q p ”为假命题，则“q p ”也为假命题D ．命题“若cos 1，则0”的为真命题5．若,是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a ，,a a ；②存在一个平面，，；③存在两条平行直线,,,a b a b ，且//a ，//b ；④存在两条异面直线,,,a b a ,//,//b a b ．那么可以是//的充分条件有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．正三棱柱111ABC A B C 中，底面边长为2，若异面直线1AB 与1BC 所成的角为60，则该1312合肥一六八中学高二年级2014-2015学年第一学期期末考试理科数学试卷考试时间： 120分钟总分：150分第Ⅰ卷（选择题满分50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线20ax y a 和(21)0a x ay a 互相垂直，则a （）A ．1B ．31C ．1或0D ．51或312．已知圆22:20C x x y 的一条斜率为1的切线为1l ，且与1l 垂直的直线2l 平分该圆，则直线2l 的方程为（）A ．10x yB ．10x yC ．10x yD ．10x y 3．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如右图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（） A ．7452 B ．(1245)C ．15454D ．(1345)4．下面说法正确的是（）A ．命题“01,2x x R x 使得”的否定是“01,2x x R x 使得”B ．实数x y 是22x y 成立的充要条件C ．设,p q 为简单命题，若“q p ”为假命题，则“q p ”也为假命题D ．命题“若cos 1，则0”的为真命题5．若,是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a ，,a a ；②存在一个平面，，；③存在两条平行直线,,,a b a b ，且//a ，//b ；④存在两条异面直线,,,a b a ,//,//b a b ．那么可以是//的充分条件有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．正三棱柱111ABC A B C 中，底面边长为2，若异面直线1AB 与1BC 所成的角为60，则该1312合肥一六八中学高二年级2014-2015学年第一学期期末考试理科数学试卷考试时间： 120分钟总分：150分第Ⅰ卷（选择题满分50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线20ax y a 和(21)0a x ay a 互相垂直，则a （）A ．1B ．31C ．1或0D ．51或312．已知圆22:20C x x y 的一条斜率为1的切线为1l ，且与1l 垂直的直线2l 平分该圆，则直线2l 的方程为（）A ．10x yB ．10x yC ．10x yD ．10x y 3．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如右图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（） A ．7452 B ．(1245)C ．15454D ．(1345)4．下面说法正确的是（）A ．命题“01,2x x R x 使得”的否定是“01,2x x R x 使得”B ．实数x y 是22x y 成立的充要条件C ．设,p q 为简单命题，若“q p ”为假命题，则“q p ”也为假命题D ．命题“若cos 1，则0”的为真命题5．若,是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a ，,a a ；②存在一个平面，，；③存在两条平行直线,,,a b a b ，且//a ，//b ；④存在两条异面直线,,,a b a ,//,//b a b ．那么可以是//的充分条件有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．正三棱柱111ABC A B C 中，底面边长为2，若异面直线1AB 与1BC 所成的角为60，则该1312合肥一六八中学高二年级2014-2015学年第一学期期末考试理科数学试卷考试时间： 120分钟总分：150分第Ⅰ卷（选择题满分50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线20ax y a 和(21)0a x ay a 互相垂直，则a （）A ．1B ．31C ．1或0D ．51或312．已知圆22:20C x x y 的一条斜率为1的切线为1l ，且与1l 垂直的直线2l 平分该圆，则直线2l 的方程为（）A ．10x yB ．10x yC ．10x yD ．10x y 3．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如右图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（） A ．7452 B ．(1245)C ．15454D ．(1345)4．下面说法正确的是（）A ．命题“01,2x x R x 使得”的否定是“01,2x x R x 使得”B ．实数x y 是22x y 成立的充要条件C ．设,p q 为简单命题，若“q p ”为假命题，则“q p ”也为假命题D ．命题“若cos 1，则0”的为真命题5．若,是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a ，,a a ；②存在一个平面，，；③存在两条平行直线,,,a b a b ，且//a ，//b ；④存在两条异面直线,,,a b a ,//,//b a b ．那么可以是//的充分条件有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．正三棱柱111ABC A B C 中，底面边长为2，若异面直线1AB 与1BC 所成的角为60，则该1312合肥一六八中学高二年级2014-2015学年第一学期期末考试理科数学试卷考试时间： 120分钟总分：150分第Ⅰ卷（选择题满分50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线20ax y a 和(21)0a x ay a 互相垂直，则a （）A ．1B ．31C ．1或0D ．51或312．已知圆22:20C x x y 的一条斜率为1的切线为1l ，且与1l 垂直的直线2l 平分该圆，则直线2l 的方程为（）A ．10x yB ．10x yC ．10x yD ．10x y 3．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如右图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（） A ．7452 B ．(1245)C ．15454D ．(1345)4．下面说法正确的是（）A ．命题“01,2x x R x 使得”的否定是“01,2x x R x 使得”B ．实数x y 是22x y 成立的充要条件C ．设,p q 为简单命题，若“q p ”为假命题，则“q p ”也为假命题D ．命题“若cos 1，则0”的为真命题5．若,是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a ，,a a ；②存在一个平面，，；③存在两条平行直线,,,a b a b ，且//a ，//b ；④存在两条异面直线,,,a b a ,//,//b a b ．那么可以是//的充分条件有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．正三棱柱111ABC A B C 中，底面边长为2，若异面直线1AB 与1BC 所成的角为60，则该1312合肥一六八中学高二年级2014-2015学年第一学期期末考试理科数学试卷考试时间： 120分钟总分：150分第Ⅰ卷（选择题满分50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线20ax y a 和(21)0a x ay a 互相垂直，则a （）A ．1B ．31C ．1或0D ．51或312．已知圆22:20C x x y 的一条斜率为1的切线为1l ，且与1l 垂直的直线2l 平分该圆，则直线2l 的方程为（）A ．10x yB ．10x yC ．10x yD ．10x y 3．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如右图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（） A ．7452 B ．(1245)C ．15454D ．(1345)4．下面说法正确的是（）A ．命题“01,2x x R x 使得”的否定是“01,2x x R x 使得”B ．实数x y 是22x y 成立的充要条件C ．设,p q 为简单命题，若“q p ”为假命题，则“q p ”也为假命题D ．命题“若cos 1，则0”的为真命题5．若,是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a ，,a a ；②存在一个平面，，；③存在两条平行直线,,,a b a b ，且//a ，//b ；④存在两条异面直线,,,a b a ,//,//b a b ．那么可以是//的充分条件有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．正三棱柱111ABC A B C 中，底面边长为2，若异面直线1AB 与1BC 所成的角为60，则该1312合肥一六八中学高二年级2014-2015学年第一学期期末考试理科数学试卷考试时间： 120分钟总分：150分第Ⅰ卷（选择题满分50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线20ax y a 和(21)0a x ay a 互相垂直，则a （）A ．1B ．31C ．1或0D ．51或312．已知圆22:20C x x y 的一条斜率为1的切线为1l ，且与1l 垂直的直线2l 平分该圆，则直线2l 的方程为（）A ．10x yB ．10x yC ．10x yD ．10x y 3．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如右图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（） A ．7452 B ．(1245)C ．15454D ．(1345)4．下面说法正确的是（）A ．命题“01,2x x R x 使得”的否定是“01,2x x R x 使得”B ．实数x y 是22x y 成立的充要条件C ．设,p q 为简单命题，若“q p ”为假命题，则“q p ”也为假命题D ．命题“若cos 1，则0”的为真命题5．若,是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a ，,a a ；②存在一个平面，，；③存在两条平行直线,,,a b a b ，且//a ，//b ；④存在两条异面直线,,,a b a ,//,//b a b ．那么可以是//的充分条件有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．正三棱柱111ABC A B C 中，底面边长为2，若异面直线1AB 与1BC 所成的角为60，则该1312合肥一六八中学高二年级2014-2015学年第一学期期末考试理科数学试卷考试时间： 120分钟总分：150分第Ⅰ卷（选择题满分50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线20ax y a 和(21)0a x ay a 互相垂直，则a （）A ．1B ．31C ．1或0D ．51或312．已知圆22:20C x x y 的一条斜率为1的切线为1l ，且与1l 垂直的直线2l 平分该圆，则直线2l 的方程为（）A ．10x yB ．10x yC ．10x yD ．10x y 3．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如右图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（） A ．7452 B ．(1245)C ．15454D ．(1345)4．下面说法正确的是（）A ．命题“01,2x x R x 使得”的否定是“01,2x x R x 使得”B ．实数x y 是22x y 成立的充要条件C ．设,p q 为简单命题，若“q p ”为假命题，则“q p ”也为假命题D ．命题“若cos 1，则0”的为真命题5．若,是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a ，,a a ；②存在一个平面，，；③存在两条平行直线,,,a b a b ，且//a ，//b ；④存在两条异面直线,,,a b a ,//,//b a b ．那么可以是//的充分条件有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．正三棱柱111ABC A B C 中，底面边长为2，若异面直线1AB 与1BC 所成的角为60，则该1312合肥一六八中学高二年级2014-2015学年第一学期期末考试理科数学试卷考试时间： 120分钟总分：150分第Ⅰ卷（选择题满分50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线20ax y a 和(21)0a x ay a 互相垂直，则a （）A ．1B ．31C ．1或0D ．51或312．已知圆22:20C x x y 的一条斜率为1的切线为1l ，且与1l 垂直的直线2l 平分该圆，则直线2l 的方程为（）A ．10x yB ．10x yC ．10x yD ．10x y 3．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如右图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（） A ．7452 B ．(1245)C ．15454D ．(1345)4．下面说法正确的是（）A ．命题“01,2x x R x 使得”的否定是“01,2x x R x 使得”B ．实数x y 是22x y 成立的充要条件C ．设,p q 为简单命题，若“q p ”为假命题，则“q p ”也为假命题D ．命题“若cos 1，则0”的为真命题5．若,是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a ，,a a ；②存在一个平面，，；③存在两条平行直线,,,a b a b ，且//a ，//b ；④存在两条异面直线,,,a b a ,//,//b a b ．那么可以是//的充分条件有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．正三棱柱111ABC A B C 中，底面边长为2，若异面直线1AB 与1BC 所成的角为60，则该1312教学课件合肥一六八中学高二年级2014-2015学年第一学期期末考试理科数学试卷考试时间： 120分钟总分：150分第Ⅰ卷（选择题满分50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线20ax y a 和(21)0a x ay a 互相垂直，则a （）A ．1B ．31C ．1或0D ．51或312．已知圆22:20C x x y 的一条斜率为1的切线为1l ，且与1l 垂直的直线2l 平分该圆，则直线2l 的方程为（）A ．10x yB ．10x yC ．10x yD ．10x y 3．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如右图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（） A ．7452 B ．(1245)C ．15454D ．(1345)4．下面说法正确的是（）A ．命题“01,2x x R x 使得”的否定是“01,2x x R x 使得”B ．实数x y 是22x y 成立的充要条件C ．设,p q 为简单命题，若“q p ”为假命题，则“q p ”也为假命题D ．命题“若cos 1，则0”的为真命题5．若,是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a ，,a a ；②存在一个平面，，；③存在两条平行直线,,,a b a b ，且//a ，//b ；④存在两条异面直线,,,a b a ,//,//b a b ．那么可以是//的充分条件有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．正三棱柱111ABC A B C 中，底面边长为2，若异面直线1AB 与1BC 所成的角为60，则该1312。

安徽省合肥168中学高二上学期期中考试数学理

合肥一六八中学2014-2015学年第一学期高二年级期中考试数学(理科)试卷命题人：汪克亮审题人：黄小娟时长：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题卷的表格里。

）1. 下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行D．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行答案：D2.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是( )A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则答案：C3.已知直线：平行于直线：，且在y轴上的截距为13，则的值分别为( )A．4,3 B．－4,3 C．－4，－3 D．4，－3答案：C4. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A．28＋65B．30＋6 5C．56＋12 5 D．60＋125答案：B5.经过点P(1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为() A.x＋2y－6＝0 B.2x＋y－6＝0C.x－2y＋7＝0D.x－2y－7＝0AEB CF A'B'C'V V 12第12题答案 B6. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为( )A. B. C. D. 答案：B 7.已知，，则22222222)1()1()1()1(y x y x y x y x -+-++-+-+++的最小值为( )A. B. C. D.8答案：A8．如图，在三棱柱中，若、分别为、的中点，平面将三棱柱分成体积为、的两部分，那么为（） A ．3：2 B ．7：5 C ．8：5 D ．9：5答案：B9.设，过定点A 的动直线和过定点B 的动直线交于点，则的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．答案：B10．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a 、b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实数根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( )A.12，24B.2，22 C.2，12D.22，12答案：D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

合肥一六八中学学年高二上学期数中(文科)(宏志班).

合肥一六八中学第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）一、选择题（共60题，每题5分。

每题仅有一个正确选项。

）1.下列说法正确的是 ( )A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C.有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点2.如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形 3.已知直线a b 、是异面直线，直线c d 、分别与a b 、都相交，则直线c d 、的位置关系A.可能是平行直线B.一定是异面直线C.可能是相交直线D.平行、相交、异面直线都有可能4．在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率为（）A ．34B ．23C ．15D ．135.已知互相垂直的平面错误！未找到引用源。

交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥错误！未找到引用源。

，则（）A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n6．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与,,a b θ的值有关7．设△ABC 的一个顶点是A(3，－1)，∠B ，∠C 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为( )A ．y ＝2x ＋5B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝－12x ＋528.βα,是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面βα,平行的是 ( )A.n m ,是平面α内两条直线，且ββ//,//n mB.α内不共线的三点到β的距离相等C.βα,都垂直于平面γD.n m ,是两条异面直线，βα⊂⊂n m ,，且αβ//,//n m 9.某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（）A、错误！未找到引用源。

安徽省合肥市第一六八中学高二上学期期末考试数学(文)

合肥一六八中学高二年级2014—2015学年第一学期期末考试数学试卷(文科)满分150分时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分，请将答案填涂在答题卡上）1. 椭圆的焦距为( ) A ．B ．C ．D ．2. 已知A ，B ，C ，D 是空间四点，命题：A ，B ，C ，D 四点不共面，命题：直线AB 和CD 不相交，则是的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) A ．B ．C ．D ．4. 直线与曲线相切于点，则的值为( ) A ．B ．C ．D ．5. 已知命题：01,2≤+-∈∃ax x R x 为假命题，则的取值范围为( ) A ． B ． C ． D ．6. 在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax by a x 与的曲线大致是()7. 在正方体中，、分别是线段，上不与端点重合的动点，若，有下面四个结论：①；②；③与异面；④．其中一定正确的有( ) A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④8. 如图，空间四边形中，、分别是、上的点，且：：：，又，，与、所成的角分别为，则之间的大小关系为( ) A ．B ．C ．D ．不确定9. 某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积不可能．．．是( ) A ．B ．C ．D ．10. 已知两点和，若直线上存在点，使，则称该直线为“型直线”.给出下列直线:①；②；③；④，其中为“型直线”的是( )A . ①②③B . ①②④C . ①③④D . ②③④二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分，请将答案填在答题卷相应位置）11. 若双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为__________.12.已知集合{}04|=-∈=mx R x A ，{}032|2=-+∈=x x R x B ，则的一个充分不必要条件是 .（写出一个即可）13. 设，定义为的导数，即，，若的内角满足22)()()(201521=+++A f A f A f ，则 . 14. 已知点是抛物线上的动点,点在y 轴上的射影是,点的坐标是(4,a ),则当时,的最小值是____________.15. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.合肥一六八中学高二年级2014—2015学年第一学期期末考试数学试卷(文科)答题卷满分150分时间120分钟第Ⅰ卷（选择题满分50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）请将选择题答案准确填涂到答题卡上！二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）11. ________________. 12. ________________. 13. ________________. 14. ________________. 15. ________________.三、解答题（本大题共6小题，共75分）16. （本题12分）已知关于，的方程:04222=+--+m y x y x ． (Ⅰ) 若方程表示圆，求的取值范围；(Ⅱ) 若圆与直线l :相交于，两点，且，求的值．17. （本题12分）已知命题：对任意实数，恒成立；：关于的方程有实数根，如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围．18.（本题12分）如图，已知为平行四边形，，，，点在上，，，交于点，现将四边形沿折起，使点在平面上的射影恰在直线上．(Ⅰ) 求证：平面；(Ⅱ) 求折后直线与直线所成角的余弦值.19. （本题12分）已知为平面上的动点且，若到轴的距离比到点的距离小1．(Ⅰ) 求点的轨迹的方程；(Ⅱ) 设过点的直线交曲线于、两点，问是否存在这样的实数，使得以线段为直径的圆恒过原点．20. （本题13分）如图所示，矩形中，平面，，为上的点，且平面 (Ⅰ) 求证：平面； (Ⅱ) 求证：平面； (Ⅲ) 求三棱锥的体积.21. （本题14分）已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于、两点，的周长为.(Ⅰ) 求椭圆的方程；(Ⅱ) 若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求此时直线的方程.GBADCFE合肥一六八中学高二年级2014—2015学年第一学期期末考试数学试卷答案(文科)满分150分时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）11. 3 12.（答案不唯一） 13. 14. 15. 12三、解答题（本大题共6小题，共75分）16. （本题12分）解：(Ⅰ)方程C 可化为 m y x -=-+-5)2()1(22，显然时方程C 表示圆． (Ⅱ)圆的方程化为 m y x -=-+-5)2()1(22圆心 C （1，2），半径，则圆心C （1， 2）到直线l :的距离5121422122=+-⨯+=d5221,54==MN MN 则，有，即：22)52()51(5+=-m ，得 17. （本题12分）解：若命题为真命题，则：或故命题：若命题为真命题，则：故命题：又由为真命题，为假命题知：命题和一真一假04141044a a a a a ≤<⎧⎧≤⎪⎪⎨⎨>⎪⎪<≥⎩⎩或或解之得：满足题意的实数的取值范围是． 18. （本题12分） (Ⅰ) 证明：，，∴，∴，∴ 设在平面上的射影在直线上，则∴在平面上的射影即为点，即． (Ⅱ)在线段上取点，使，则 ∴∠DNM 或其补角为与所成角又，，∴222cos 24DN MN DM DNM DN MN +-∠==⋅∴折后直线与直线所成角的余弦值为． 19. （本题12分）解：(Ⅰ)由题意得：()1122=-+-x y x ，化简得：．∴点的轨迹方程为．(Ⅱ)①当斜率存在时，设直线方程为，，，由，得， ∴， ∴，∵以线段为直径的圆恒过原点，∴，∴. 即∴或.②当斜率不存在时，或.∴存在或，使得以线段为直径的圆恒过原点． 20. （本题13分）(Ⅰ)证明：∵平面，，∴平面，则又平面，则∴平面(Ⅱ)由题意可得是的中点，连接平面，则，而，∴是中点，在中，，∴平面 (Ⅲ)平面，∴，而平面，∴平面是中点，是中点，∴且，平面，∴，∴中，12BF CE CF === ∴12221=⨯⨯=∆CFB S ∴3131=⨯⨯==∆--FG S V V CFB BCF G BGF C ． 21. （本题14分）GBADCFE解：(Ⅰ) ∵椭圆的离心率为 ∴ ∴，又的周长为 ∴ ∴ ∴， ∴椭圆的标准方程为：(Ⅱ)由题意设，，，当斜率不存在时，这样的直线不满足题意∴设直线的斜率为，则直线方程为：，将直线方程代入椭圆方程整理得：0636)32(2222=-+-+k x k x k ，∴，故221213242)(kkk x x k y y +-=-+=+ ∵四边形为平行四边形 ∴，从而：22210326k k x x x +=+= 2210324kky y y +-=+=，又在椭圆上， ∴12324332622222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k k k ，整理得：()()13221632336222224=+++kk k k∴ ∴故所求直线方程为：。

安徽省合肥168中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试卷

2014-2015学年安徽省合肥168中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a=（）A． 1 B．﹣ C． 1或0 D．﹣或2．已知圆C：x2+2x+y2=0的一条斜率为1的切线为l1，且与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）A． x﹣y+1=0 B． x﹣y﹣1=0 C． x+y﹣1=0 D． x+y+1=03．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（）A．π B．（12+4）π C．π D．（13+4）π4．下面说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”B．实数x＞y是x2＞y2成立的充要条件C．设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q”也为假命题D．命题“若cosα≠1，则α≠0”的逆否命题为真命题5．若α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α．那么可以是α∥β的充分条件有（ C ）A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个6．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，若异面直线AB1与BC1所成的角为60°，则该三棱柱的侧棱长为（）A． 2或 B． C． D． 27．已知命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立．如果，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为（）A． a＞1 B． 1≤a≤2 C． a＞2 D．无解8．已知抛物线y=x2﹣1上的一定点B（﹣1，0）和两个动点PQ、，当BP⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞） B． [﹣3，1]C．（﹣∞，﹣3]∪[1，）∪（，+∞） D． [1，+∞）9．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．10．过椭圆上一点H作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l 与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）A． B． C． 1 D．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．12．已知双曲线的方程为﹣x2=1，点A的坐标为（0，﹣），B是圆（x﹣）2+y2=1上的点，点M在双曲线的上支上，则|MA|+|MB|的最小值为．13．在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为•14．已知平面内一点P∈{（x，y）|（x﹣2cosα）2+（y﹣2sinα）2=16，α∈R}，则满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是．15．已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l 的距离，记作d（P，l）①若点P（1，1），线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5），则d（P，l）=；②设l是长为2的定线段，则集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积为4；③若A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x=0}；④若A（﹣1，0），B（1，0），C（0，﹣1），D（0，1），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x2﹣y2=0}．其中正确的有．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内）16．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求△ABC的面积．17．如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥C﹣BGF的体积．18．已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a）．（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求正数a的值，并求出切线方程；（2）若a=，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直．①求四边形ABCD面积的最大值；②求|AC|+|BD|的最大值．19．椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2，）．△ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P．（1）求椭圆T的离心率；（2）设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且ki≠0，i=1，2，3．若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：++为定值．20．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，E为CD上一点，且DE=1，EC=2，现沿BE折叠使平面BCE⊥平面ABED，F为BE的中点．图2所示．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）能否在边AB上找到一点P使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为？若存在，试确定点P的位置，若不存在请说明理由．21．椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆E的方程；（2）已知直线l过点M（﹣，0）且与开口向上，顶点在原点的抛物线C切于第二象限的一点N，直线l与椭圆E交于A、B两点，与y轴交于D点，若=λ，=μ，且λ+μ=﹣4，求抛物线C的标准方程．2014-2015学年安徽省合肥168中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a=（）A． 1 B．﹣ C． 1或0 D．﹣或考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：利用直线与直线垂直，两直线中x、y的系数积之和为0的性质求解．解答：解：∵两直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，∴a（2a﹣1）﹣a=0，解得a=1或a=0．故选：C．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要注意直线与直线垂直的性质的合理运用．2．已知圆C：x2+2x+y2=0的一条斜率为1的切线为l1，且与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）A． x﹣y+1=0 B． x﹣y﹣1=0 C． x+y﹣1=0 D． x+y+1=0考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由与l1垂直的直线l2平分该圆，得到l2的斜率k=﹣1，且过圆心C（﹣1，0），由此能求出直线l2的方程．解答：解：∵圆C：x2+2x+y=0的一条斜率为1的切线为l1，且与l1垂直的直线l2平分该圆，∴l2的斜率k=﹣1，且过圆心C（﹣1，0），∴l2的方程为：y=﹣（x+1），整理，得x+y+1=0．故选：D．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．3．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（）A．π B．（12+4）π C．π D．（13+4）π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱和圆台的组合体，结合圆柱和圆台的相关面积公式，可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱和圆台的组合体，圆台的上底面半径，即圆柱的底面半径为：，圆台的下底面半径为，圆柱的高为1，圆台的高为2，故圆台的母线长为：=，该几何体的表面积相当于圆台的表面积与圆柱侧面积的和，故S=+=π，故选：A．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．4．下面说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”B．实数x＞y是x2＞y2成立的充要条件C．设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q”也为假命题D．命题“若cosα≠1，则α≠0”的逆否命题为真命题考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型；简易逻辑．分析：由命题的否定的形式，即可判断A；运用充分必要条件的定义，即可判断B；运用复合命题的真假和真值表，即可判断C；运用原命题和逆否命题互为等价命题，即可判断D．解答：解：对于A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1＜0”，则A错误；对于B．实数x＞y不能推出x2＞y2，反之，也不能推出，则为既不充分也不必要条件，则B 错误；对于C．设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题，￢p，￢q均为真命题，￢p∧￢q”为真命题，则C错误；对于D．命题“若cosα≠1，则α≠0”的逆否命题为”“若α=0，则cosα=1”为真命题，则D正确．故选D．点评：本题考查命题的否定、充分必要条件的判断、复合命题的真假以及四种命题的关系，考查判断推理能力，属于基础题和易错题．5．若α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α．那么可以是α∥β的充分条件有（ C ）A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个考点：平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：根据垂直于同一直线的两平面平行，判断①是否正确；根据垂直于同一平面的两平面位置关系部确定来判断②是否正确；借助图象，分别过两平行线中一条的二平面位置关系部确定，判断③的正确性；利用线线平行，线面平行，面面平行的转化关系，判断④是否正确．解答：解：当α、β不平行时，不存在直线a与α、β都垂直，∴a⊥α，a⊥β⇒α∥β，故①正确；对②，γ⊥α，γ⊥β，α、β可以相交也可以平行，∴②不正确；对③，∵a∥b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α时，α、β位置关系不确定，∴③不正确；对④，∵异面直线a，b．∴a过上一点作c∥b；过b上一点作d∥a，则 a与c相交；b与d相交，根据线线平行⇒线面平行⇒面面平行，∴④正确．故选C点评：本题考查面面平行的判定．通常利用线线、线面、面面平行关系的转化判定．6．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，若异面直线AB1与BC1所成的角为60°，则该三棱柱的侧棱长为（）A． 2或 B． C． D． 2考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出图形，分别取AB，B1C1，A1B1，BB1的中点为E，F，G，H，设出正三棱柱的高，然后通过解三角形求得答案．解答：解：如图，分别取AB，B1C1，A1B1，BB1的中点为E，F，G，H，连接EF，EH，FH，EG，FG，设正三棱柱的高为2h，又底面边长为2，则，．在三角形EHF中，由余弦定理可得：EF2=EH2+FH2﹣2EH•FH•cos120°，则，解得：h=．∴正三棱柱的高为．故选：D．点评：本题考查了棱柱的结构特征，考查了异面直线所成角的概念，考查了余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．7．已知命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立．如果，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为（）A． a＞1 B． 1≤a≤2 C． a＞2 D．无解考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可得命题p与q必然一真一假，解答：解：命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，当a=0时，函数f（x）的定义域不为R；当a≠0时，由题意可得：，解得a＞2．命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立，当a＞0时，可得x（a2x+2a﹣2）＞0，当a≥1时，上述不等式对一切正实数x均成立；当0＜a＜1时上述不等式不满足对一切正实数x均成立，舍去；同理当a≤0时，上述不等式不满足对一切正实数x均成立．可得：实数a的范围是a≥1．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与q必然一真一假，∴或，解得1≤a≤2．则实数a的取值范围为1≤a≤2．故选：B．点评：本题考查了简易逻辑的判定、对数函数的定义域、一元二次不等式的解法、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知抛物线y=x2﹣1上的一定点B（﹣1，0）和两个动点PQ、，当BP⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞） B． [﹣3，1]C．（﹣∞，﹣3]∪[1，）∪（，+∞） D． [1，+∞）考点：抛物线的简单性质．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先设P，Q的坐标，利用BP⊥PQ，可得斜率之积为﹣1，从而可得方程，再利用方程根的判别式大于等于0，注意检验t=﹣1的情况，即可求得Q点的横坐标的取值范围．解答：解：设P（t，t2﹣1），Q（s，s2﹣1）∵BP⊥PQ，∴•=﹣1，即t2+（s﹣1）t﹣s+1=0，∵t∈R，P，Q是抛物线上两个不同的点，∴必须有△=（s﹣1）2+4（s﹣1）≥0．即s2+2s﹣3≥0，解得s≤﹣3或s≥1．由t=﹣1，代入t2+（s﹣1）t﹣s+1=0，可得t=，此时P，B重合，则有s≠．∴Q点的横坐标的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1，）∪（，+∞）．故选C．点评：本题重点考查取值范围问题，解题的关键是利用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1构建方程，再利用方程根的判别式大于等于0进行求解．9．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P 这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．10．过椭圆上一点H作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l 与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）A． B． C． 1 D．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由点H在椭圆上，知H（3cosθ，2sinθ），由过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，知直线AB的方程为：（3cos θ）x+（2sinθ）y=2，由此能求出△POQ面积最小值．解答：解：∵点H在椭圆上，∴H（3cosθ，2sinθ），∵过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，∴直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，∵过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，∴P（，0），Q（0，），∴△POQ面积S==×，∵﹣1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=1时，△POQ面积取最小值．点评：本题考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到椭圆、圆、直线方程、三角函数、参数方程等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π点评：本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．12．已知双曲线的方程为﹣x2=1，点A的坐标为（0，﹣），B是圆（x﹣）2+y2=1上的点，点M在双曲线的上支上，则|MA|+|MB|的最小值为+3 ．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设点D的坐标为（0，），则点A，D是双曲线的焦点，利用双曲线的定义，可得|MA|﹣|MD|=2a=4．于是|MA|+|MB|=4+|MB|+|MD|≥4+|BD|，再利用|BD|≥|CD|﹣r即可．解答：解：设点D的坐标为（0，），则点A，D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|﹣|MD|=2a=4．∴|MA|+|MB|=4+|MB|+|MD|≥4+|BD|，又B是圆（x﹣）2+y2=1上的点，则圆的圆心为C（，0），半径为1，故|BD|≥|CD|﹣1=﹣1=﹣1，从而|MA|+|MB|≥4+|BD|≥+3，当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|+|MB|的最小值为+3．故答案为：+3．点评：熟练掌握双曲线的定义和性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键．13．在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为•考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；转化思想．分析：在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，说明正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长．解答：解：设球的半径为r，由正四面体的体积得：，所以r=，设正方体的最大棱长为a，所以，，a=故答案为：点评：本题是中档题，考查正四面体的内接球的知识，球的内接正方体的棱长的求法，考查空间想象能力，转化思想，计算能力．14．已知平面内一点P∈{（x，y）|（x﹣2cosα）2+（y﹣2sinα）2=16，α∈R}，则满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是32π．考点：圆方程的综合应用．专题：计算题．分析：先根据圆的标准方程求出圆心和半径，然后研究圆心的轨迹，根据点P在平面内所组成的图形是一个环面进行求解即可．解答：解：（x﹣2cosα）2+（y﹣2sinα）2=16，则圆心为（2cosα，2sinα）半径为4∴圆心为以（0，0）为圆心，半径为2的圆上动点∴满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是以6为半径的圆的面积减去以2为半径的圆的面积即36π﹣4π=32π故答案为：32π点评：本题主要考查了圆的参数方程，题目比较新颖，正确理解题意是解题的关键，属于中档题．15．已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l 的距离，记作d（P，l）①若点P（1，1），线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5），则d（P， l）=；②设l是长为2的定线段，则集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积为4；③若A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x=0}；④若A（﹣1，0），B（1，0），C（0，﹣1），D（0，1），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x2﹣y2=0}．其中正确的有①③④．考点：集合的表示法．专题：综合题；集合．分析：①根据所给的是一条线段，点到线段的距离不一定使用点到直线的距离公式得到，二是需要观察过点做垂线，垂足是否落到线段上，结果不是落到线段上，所以用两点之间的距离公式．②由题意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，做出面积．③④根据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果．解答：解：①点P（1，1）到线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5）的距离d（P，l）是点P到（3，0）的距离，d（P，l）=，故①正确；②由题意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，∴S=22+π=4+π，故②错误；③A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0）．利用两点式写出两条直线的方程，AB：x=1，CD：x=﹣1，到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω={P|d（P，l1）=d（P，l2）}，根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，∴到两条直线距离相等的点的集合是y轴，故③正确．④A（﹣1，0），B（1，0），C（0，﹣1），D（0，1），线段l1：y=0，l2：x=0，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x2﹣y2=0}，故④正确．故答案为：①③④．点评：本题考查点到直线的距离公式，考查两点之间的距离公式，考查利用两点式写直线的方程，考查点到线段的距离，本题是一个综合题目．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内）16．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求△ABC的面积．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由方程组，得顶点A（﹣1，0），从而AC所在的直线方程为y=﹣（x+1），BC所在的直线方程为y﹣2=﹣2（x﹣1），进而求出顶点C的坐标为（5，﹣6）和点A到直线BC的距离，由此能求出△ABC的面积．解答：解：由方程组，解得顶点A（﹣1，0）．…（2分）又AB的斜率为k AB=1，且x轴是∠A的平分线，故直线AC的斜率为﹣1，AC所在的直线方程为y=﹣（x+1）．…（6分）已知BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，故BC的斜率为﹣2，BC所在的直线方程为y﹣2=﹣2（x﹣1）．…（8分）解方程组，得顶点C的坐标为（5，﹣6）．…（10分）∴|BC|=4，点A到直线BC的距离d==，∴．…（12分）点评：本题考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线方程的性质的合理运用．17．如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥C﹣BGF的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由题意可得G为AC中点，再由已知可得F是EC中点，连接FG，由三角形中位线性质可得FG∥AE，再由线面平行的判定得答案；（2）把三棱锥C﹣BGF的体积转化为G﹣BFC的体积，然后通过解三角形求得三棱锥G﹣BFC 的底面积和高，则三棱锥的体积可求．解答：（1）证明：如图，由题意可得G是AC的中点，连接FG，∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点，在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD；（2）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，由题可得AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCE．∵G是AC的中点，F是CE中点，∴AE∥FG且FG=，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE，∴Rt△BCE中，BF=，∴，∴=．点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．18．已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a）．（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求正数a的值，并求出切线方程；（2）若a=，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直．①求四边形ABCD面积的最大值；②求|AC|+|BD|的最大值．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）代入M，解方程可得a，由切线的性质，可得切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）①运用弦长公式，由四边形的面积公式可得S ABCD=|AC|•|BD|，结合重要不等式，即可得到最大值；②运用弦长公式可得|AC|+|BD|，平方后结合基本不等式，即可得到最大值．解答：解：（1）由条件知点M在圆O上，所以1+a2=4，则a=，由a＞0，则a=，点M为（1，），k OM=，切线的斜率为﹣，此时切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即x+y﹣4=0；（2）设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2，则d12+d22=|OM|2=3，于是|AC|=2，|BD|=2，①S ABCD=|AC|•|BD|=2•≤4﹣d12+4﹣d22=8﹣3=5，当且仅当d1=d2=时取等号，即四边形ABCD面积的最大值为5；②|AC|+|BD|=2+2，则（|AC|+|BD|）2=4（4﹣d12+4﹣d22+2•）=4（5+2）=4（5+2）因为2d1d2≤d12+d22=3，所以d12d22≤，当且仅当d1=d2=时取等号，所以≤，所以（|AC|+|BD|）2≤4（5+2×）=40，所以|AC|+|BD|≤2，即|AC|+|BD|的最大值为2．点评：本题考查直线和圆相交的性质，主要考查弦长公式的运用，同时考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．19．椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2，）．△ABC 的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P．（1）求椭圆T的离心率；（2）设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且ki≠0，i=1，2，3．若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：++为定值．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出椭圆T的方程，由椭圆定义求得a，则椭圆的离心率可求；（2）由（1）求出椭圆T的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），M（s1，t1），N（s2，t2），P（s3，t3），由A，B在椭圆上，把A，B坐标代入椭圆方程，两式相减得到，同理，，作和后证得答案．解答：（1）解：设椭圆T的方程为，由题意知：左焦点为F′（﹣2，0），∴2a=|EF|+|EF′|=，解得：．故椭圆T的离心率为；（2）证明：由（1）知椭圆T的方程为．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），M（s1，t1），N（s2，t2），P（s3，t3），由：，，两式相减，得到（x1﹣x2）（x1+x2）+2（y1﹣y2）（y1+y2）=0．∴，即，同理，．∴，又∵直线OM、ON、OP的斜率之和为0，∴++=0为定值．点评：本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，试题在平面几何中的三角形中位线定理、初中代数中的等比定理和圆锥曲线的定义之间进行了充分的交汇，在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口，是中档题．20．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，E为CD上一点，且DE=1，EC=2，现沿BE折叠使平面BCE⊥平面ABED，F为BE的中点．图2所示．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）能否在边AB上找到一点P使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为？若存在，试确定点P的位置，若不存在请说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据线面垂直的判定定理即可证明AE⊥平面BCE；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可得到结论．解答：（1）证明：在直角梯形ABCD中易求得AB=2，AE=，BE=…（2分）∴AE2+BE2=AB2，故AE⊥BE，且折叠后AE与BE位置关系不变…（4分）又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，∴AE⊥面BCE…（6分）（2）解：∵在△BCE中，BC=CE=2，F为BE的中点∴CF⊥BE又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，∴CF⊥面ABED，故可以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则A（，，0），C（0，0，），E（0，，0），易求得面ACE的法向量为=（0，，1）…（8分）假设在AB上存在一点P使平面ACE与平面PCF，所成角的余弦值为，且，（λ∈R），∵B（0，，0），∴=（﹣，，0），故=（﹣λ，λ，0），又=（，，﹣），∴=（（1﹣λ），（2λ﹣1），﹣），又=（0，0，），设面PCF的法向量为=（x，y，z），∴，即，令x=2λ﹣1得=（2λ﹣1，（λ﹣1），0）…（10分）∴|cos＜＞|=||==，解得…（12分）因此存在点P且P为线段AB上靠近点B的三等分点时使得平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为．…（13分）点评：本题主要考查空间线面垂直的判定以及空间二面角的计算和应用，建立空间坐标系利用向量法是解决本题的关键．21．椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆E的方程；（2）已知直线l过点M（﹣，0）且与开口向上，顶点在原点的抛物线C切于第二象限的一点N，直线l与椭圆E交于A、B两点，与y轴交于D点，若=λ，=μ，且λ+μ=﹣4，求抛物线C的标准方程．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用离心率计算公式、以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，求出a，b，即可求椭圆E的方程；（2）设抛物线C的方程为y=ax2（a＞0），直线与抛物线C切点为N（x0，ax02）．利用导数的几何意义可得切线的斜率，进而得到切线方程，即可得到切点N，进一步简化切线方程，把直线l的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用已知向量关系式=λ，=μ，且λ+μ=﹣4，即可得到a及抛物线C的标准方程．解答：解：（1）由题意知e==，，即a=b…（1分）又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，∴b==1，…（2分）∴a=，故椭圆的方程为…（4分）（2）设抛物线C的方程为y=ax2（a＞0），直线l与抛物线的切点为N（x0，ax02）∵y′=2ax，∴切线l的斜率为2ax0，∴切线方程为y﹣ax02=2ax0（x﹣x0），∵直线l过点M（﹣，0），。

安徽省合肥168中高二数学上学期期末试卷文(含解析) (1)

安徽省合肥168中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分，请将答案填涂在答题卡上）1．（5分）椭圆的焦距为（）A．10 B．5 C．D．2．（5分）已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则2a+b的值等于（）A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣25．（5分）∃x∈R，x2﹣ax+1≤0为假命题，则a的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪故选A．点评：考查相交直线和平行直线可以确定一个平面，以及充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念．3．（5分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：平面的基本性质及推论．专题：计算题．分析：根据平行六面体的结构特征和公理2的推论进行判断，即找出与AB和CC1平行或相交的棱．解答：解：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．故选C．点评：本题考查了平行六面体的结构特征和公理2的推论的应用，找出与AB和CC1平行或相交的棱即可，考查了空间想象能力．4．（5分）直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则2a+b的值等于（）A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先求出函数的导数，再由导数的几何意义、把切点坐标代入曲线和切线方程，列出方程组进行求解，即可得出结论．解答：解：∵解：由题意得，y′=3x2+a，∴k=3+a ①∵切点为A（1，3），∴3=k+1 ②3=1+a+b ③由①②③解得，a=﹣1，b=3，∴2a+b=1，故选C．点评：本题考查直线与曲线相切，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（5分）∃x∈R，x2﹣ax+1≤0为假命题，则a的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪A． B． C． D．考点：曲线与方程．专题：综合题．分析：先利用a＞b判断出椭圆的焦点在x轴，故可排除C，D两项；整理抛物线的方程为标准方程可知其焦点在x轴，排除B项．答案可得．解答：解：∵a＞b∴椭圆的焦点在x轴上，排除C和D，整理抛物线方程得y2=﹣x∵a＞b＞0∴﹣＜0∴抛物线的开口向左，焦点在x轴．故选A点评：本题主要考查了椭圆和抛物线的简单性质，曲线与方程的问题．考查了学生对基础知识的掌握程度．7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E=B1F，有下面四个结论：①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD．其中一定正确的有（）A．①②B．②③C．②④D．①④考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：作出正方体ABCD﹣A1B1C1D1，利用正方体的结构特征，结合题设条件，能够作出正确判断．解答：解：如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．故选D．点评：本题考查命题的真假判断及其应用，解题时要认真审题，注意正方体的结构特征的灵活运用．8．（5分）如图，空间四边形ABCD中，M、N分别是BC、DA上的点，且BM：MC=AN：ND=1：2，又AB=5，CD=3，MN与AB、CD所成的角分别为α，β，则之间的大小关系为（）A．α＜βB．α＞βC．α=βD．不确定考点：平面与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：过N点作NP∥AB，连接PM，易得∠PNM是MN与AB所成角，∠PMN是MN与CD所成角，在三角形PMN内求出此角即可．解答：解：过N点作NP∥AB，连接PM，∵BM：MC=AN：ND=1：2∴PM∥CD，∠PNM是MN与AB所成角，∠PMN是MN与CD所成角∵AB=5，CD=3，∴MP=1，PN=∴∠PMN＜∠PNM，∴α＜β，故选：A点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（）A．1 B．1.5 C．2 D．3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：根据几何体的三视图画出直观图，再根据体积公式，利用基本不等式求最大值，判断即可．解答：解：几何体的直观图如图，设AD=y，CD=x，则x2+y2=16⇒xy≤8V=××2xy≤．故选D点评：本题考查几何体的三视图、几何体的体积计算及基本不等式的应用．可利用2xy≤x2+y2求最值．10．（5分）已知两点M（﹣1，0）和N（1，0），若直线上存在点P，使|PM|+|PN|=4，则称该直线为“T型直线”．给出下列直线：①y=x+2；②y=﹣x+1；③y=﹣x﹣3；④y=x+1，其中为“T型直线”的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④考点：椭圆的简单性质；函数的图象．专题：新定义；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的定义可得点P在以M，N 为焦点、长轴等于4的椭圆上，将问题转化为考查哪些直线和椭圆有交点，从而得到结论．解答：解：满足|PM|+|PN|=4的点，在以M，N 为焦点、长轴等于4的椭圆上，椭圆的方程为．①联立，得7x2﹣16x+4=0，△=（﹣16）2﹣16×7＞0，直线y=x+2和椭圆有两个交点，满足条件；②联立，得，△=，直线y=﹣x+1和椭圆有两个交点，满足条件；③联立，得7x2+24x+24=0，△=（24）2﹣4×7×24＜0，直线y=﹣x﹣3与椭圆无交点，故不满足条件；④联立，得x2+x﹣4=0，△=17＞0，直线y=x+1与椭圆有2个交点，故满足条件．∴“T型直线”是①②④．故选：B．点评：本题考查椭圆的定义、直线和椭圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，问题转化为考查直线和椭圆有无交点问题，是中档题．二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分，请将答案填在答题卷相应位置）11．（5分）若双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则m的值为3．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线的方程y2=8x可求得其焦点坐标，也是双曲线x2﹣=1的一个焦点，利用双曲线的几何性质即可求得m的值．解答：解：∵抛物线的方程y2=8x，∴其焦点坐标F（2，0），由题意可知，它也是双曲线x2﹣=1的一个焦点，∴c==2，∴m=3．故答案为：3．点评：本题考查抛物线的简单性质与双曲线的简单性质，求得抛物线的焦点是关键，属于中档题．12．（5分）已知集合A={x∈R|mx﹣4=0}，B={x∈R|x2+2x﹣3=0}，则A⊆B的一个充分不必要条件是m=0．（写出一个即可）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出集合A，B，根据集合关系以及充分条件和必要条件的定义进行求解即可．解答：解：B={x∈R|x2+2x﹣3=0}={1，﹣3}，A={x∈R|mx﹣4=0}={x|mx=4}，当m=0时，A=∅，符合A⊆B；当m≠0时，A={}，若A⊆B，则=1或=﹣3，解得m=4或m=﹣，综上m=4或m=﹣或m=0，即A⊆B的等价条件是{4，﹣，0}则A⊆B的一个充分不必要条件是m=0，故答案为：m=0 （答案不唯一）点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据集合关系求出A⊆B的等价条件是解决本题的关键．13．（5分）设f1（x）=sinx，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f n+1（x）=f′n（x），n∈N+，若△ABC的内角满足f1（A）+f2（A）+…+f2015（A）=，则A=45°．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数公式直接进行求导，得到函数f n（x）具备周期性，然后根据周期性将条件进行化简，即可得到结论．解答：解：∵f1（x）=sinx，f n+1（x）=f′n（x），∴f2（x）=f′1（x）=cosx，f3（x）=f′2（x）=﹣sinx，f4（x）=f'3（x）=﹣cosx，f5（x）=f′4（x）=sinx，f6（x）=f′5（x）=cosx，∴f n+1（x）=f′n（x），具备周期性，周期性为4．且f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）=cosx﹣sinx+sinx﹣cosx=0，∵f1（A）+f2（A）+…+f2015（A）=，∴f1（A）+f2（A）+f3（A）=cosA=∴A=45°故答案为：45°点评：本题主要考查导数的计算，利用条件得到函数具备周期性是解决本题的关键，属于中档题．14．（5分）已知点P是抛物线y2=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是（4，a），则当|a|＞4时，|PA|+|PM|的最小值是．考点：抛物线的应用．专题：计算题．分析：先看当x=4时根据抛物线方程求得纵坐标的绝对值，而|a|＞4，明A（4，a）是在抛物线之外抛物线焦点和准线可求得，延长PM交L：x=﹣1于点N，必有：|PM|=|PN|﹣|MN|=|PN|﹣1根据抛物线的定义，可知：抛物线上的点P到准线x=﹣1的距离等于其到焦点F（1，0）的距离进而判断出|PA|+|PM|=|PF|+|PA|﹣1，只需求出|PF|+|PA|的最小值即可．由于A在抛物线之外，可由图象的几何位置判断出：AF必与抛物线交于一点，设此点为P'，看p和P'的重合与不重合两种情况分别求得最小值，最后综合可得答案．解答：解：首先，当x=4时，代入抛物线方程，求得|y|=4而|a|＞4，说明A（4，a）是在抛物线之外（也就是在抛物线位于第一象限的上半支的上方或是下半支的下方）抛物线焦点可求得是F（1，0），准线L：x=﹣1P在y轴上的射影是M，说明PM⊥y轴，延长PM交L：x=﹣1于点N，必有：|PM|=|PN|﹣|MN|=|PN|﹣1|PN|就是P到准线L：x=﹣1的距离！连接PF根据抛物线的定义，可知：抛物线上的点P到准线x=﹣1的距离等于其到焦点F（1，0）的距离！即：|PF|=|PN| ∴|PM|=|PF|﹣1|PA|+|PM|=|PF|+|PA|﹣1只需求出|PF|+|PA|的最小值即可：连接|AF|由于A在抛物线之外，可由图象的几何位置判断出：AF必与抛物线交于一点，设此点为P' 1°当P与P'不重合时：A，P，F三点必不共线，三点构成一个三角形APF，根据三角形“两边之和大于第三边”的性质，可得：|PF|+|PA|＞|AF|=^=2°当P与P'重合时，A，P（P'），F三点共线，根据几何关系有：|PF|+|PA|=|AF|=综合1°，2°两种情况可得：|PF|+|PA|≥∴（|PF|+|PA|）min=∴（|PA|+|PM|）min=﹣1点评：本题主要考查了抛物线的应用，以及抛物线定义的应用．考查了学生对抛物线定义的理解和应用．15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是12．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由已知中的三视图，我们可以判断出这个几何体是一个六棱柱，根据已知中正视图中及俯视图中所标识的数据，我们可以确定出棱柱的高，并根据割补法可求出底面面积，代入棱柱体积公式，即可求出答案．解答：解：由已知中三视图可以判断该几何体是一个底面如正视图所示的六棱柱由俯视图可得棱柱的高h=2，由割被法，可得棱柱的底面面积S=2•3=6故棱柱的体积V=2•6=12故答案为：12点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图确定几何体的形状及棱长、高等关系几何量是解答本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）当m为何值时，方程C表示圆．（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且MN=，求m的值．考点：直线与圆相交的性质；二元二次方程表示圆的条件．专题：计算题．分析：（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，应有5﹣m＞0．（2）先求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，利用弦长公式求出m的值．解答：解：（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，显然，当5﹣m＞0时，即m＜5时，方程C表示圆．（2）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心C（1，2），半径，则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0 的距离为，∵，有，∴，解得 m=4．点评：本题考查圆的标准方程的特征，点到直线的距离公式、弦长公式的应用．17．（12分）给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．考点：命题的真假判断与应用；复合命题的真假；函数恒成立问题．专题：计算题．分析：根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题p为真时，实数a的取值范围，根据二次函数有实根的充要条件，我们可以求出命题q为真时，实数a的取值范围，然后根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p，q中一个为真一个为假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围．解答：解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔a=0或⇔0≤a＜4；（2分）关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根⇔△=1﹣4a≥0⇔a≤；…（4分）p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真，…（5分）如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞∴＜a＜4；…（6分）如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤∴a＜0…（7分）所以实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪（，4）．…（8分）点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．18．（12分）如图，已知ABCD为平行四边形，∠A=60°，AF=2FB，AB=6，点E在CD上，EF∥B C，BD⊥AD，BD与EF相交于N．现将四边形ADEF沿EF折起，使点D在平面BCEF上的射影恰在直线BC上．（Ⅰ）求证：BD⊥平面BCEF；（Ⅱ）求折后直线DE与平面BCEF所成角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：（Ⅰ）要证BD⊥平面BCEF，只需证明D在平面BCEF上的射影为点B即可；（Ⅱ）连接BE，由BD⊥平面BCEF，得∠DEB即为直线DE与平面BCEF所成角，进而利用直角三角形，利用余弦函数即可求直线DE与平面BCEF所成角的余弦值．解答：解：（Ⅰ）∵EF⊥DN，EF⊥BN，DN∩BN=N∴EF⊥面DNB∵EF⊂平面BCEF，∴平面BDN⊥平面BCEF，∵BN=平面BDN∩平面BCEF，∴D在平面BCEF上的射影在直线BN上，∵D在平面BCEF上的射影在直线BC上，∴D在平面BCEF上的射影即为点B，∴BD⊥平面BCEF．（Ⅱ）连接BE，由BD⊥平面BCEF，得∠DEB即为直线DE与平面BCEF所成角．在原图中，由已知，可得折后，由BD⊥平面BCEF，知BD⊥BN则BD2=DN2﹣BN2=9，即BD=3则在Rt△DEB中，有BD=3，DE=4，则，故即折后直线DE与平面BCEF所成角的余弦值为．点评：本题考查直线与平面垂直的判定，线面角，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）已知P（x，y）为平面上的动点且x≥0，若P到y轴的距离比到点（1，0）的距离小1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点M（m，0）的直线交曲线C于A、B两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意得：，化简得：y2=4x（x≥0）．求得P的轨迹方程．（Ⅱ）分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），直线和抛物线联立方程求解．当斜率不存在时，m=0或m=4．成立．解答：解：（Ⅰ）由题意得：，化简得：y2=4x（x≥0）．∴点P的轨迹方程为y2=4x（x≥0）．．（Ⅱ）①当斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得ky2﹣4y﹣4km=0，∴，∵以线段AB为直径的圆恒过原点，∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0．即m2﹣4m=0∴m=0或m=4．②当斜率不存在时，m=0或m=4．∴存在m=0或m=4，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．点评：本题主要考查轨迹方程的求解和直线与抛物线的综合应用，属于中档题，早2015届高考中经常涉及20．（13分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证；A E∥平面BFD；（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）先证明AE⊥BC，再证AE⊥BF，由线面垂直的判定定理证明结论．（2）利用F、G为边长的中点证明FG∥AE，由线面平行的判定定理证明结论．（3）运用等体积法，先证FG⊥平面BCF，把原来的三棱锥的底换成面BCF，则高就是FG，代入体积公式求三棱锥的体积．解答：解：（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF∴AE⊥平面BCE．（4分）（Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点，∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．（6分）在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．（8分）（Ⅲ）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，（10分）∵G是AC中点，∴F是CE中点，且，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．∴Rt△BCE中，．∴，（12分）∴（14分）点评：本题考查线面平行与垂直的证明方法，利用等体积法求三棱锥的体积．21．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为、F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与C相交于A、B两点，△F1AB的周长为．（I）求椭圆C的方程；（II）若椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由离心率为得a=c，由△F1AB周长为4可求得a值，进而求得b值；（II）设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），易判断直线存在斜率，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），与椭圆联立方程组消y得x的二次方程，∵四边形0APB为平行四边形，∴=+，根据韦达定理可把P点坐标用k表示出来，再代入椭圆方程即可求得k值；解答：解：（I）∵椭圆离心率为，∴=，∴a=c，又△F1AB周长为4，∴4a=4，解得a=，∴c=1，b=，∴椭圆C的标准方程为：；（II）设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），当斜率不存在时，这样的直线不满足题意，∴设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x﹣1），将直线l的方程代入椭圆方程，整理得：（2+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=，故y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=﹣2k=，∵四边形OAPB为平行四边形，∴=+，从而，，又P（x0，y0）在椭圆上，∴，整理得：，12k4+8k2=4+12k2+9k4，3k4﹣4k2﹣4=0，解得k=±，故所求直线l的方程为：y=±（x﹣1）．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆标准方程，考查方程思想，考查学生解决问题的能力．。

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P(4,6) ，这样由两点式可得：
9 5 x 2 2 9 5 6 4 2 2 y
20. (本题 13 分)如图，在四面体 PABC 中，PC⊥AB，PA⊥BC，点 D，E，F，G 分别是棱 AP， AC，BC，PB 的中点. (1)求证：DE∥平面 BCP； (2)求证：四边形 DEFG 为矩形； (3)是否存在点 Q，到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由. 20.解答 (1)证明因为 D，E 分别是 AP，AC 的中点，所以 DE∥PC. 又因为 DE⊄平面 BCP，所以 DE∥平面 BCP. [3 分]
合肥一六八中学 2014-2015 学年第一学期高二年级期中考试数学(理科)试卷
时长：120 分钟满分：150 分一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题卷的表格里。） 1. 下列命题正确的是( ) A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 D．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行答案：D 2. 设、是两个不同的平面， l 是一条直线，以下命题正确的是( A．若 l , ，则 l C．若 l , // ，则 l 答案：C 1 3. 已知直线 l ： mx ny 1 0 平行于直线 m ： 4 x 3 y 5 0 ，且 l 在 y 轴上的截距为， 3 则 m, n 的值分别为( A．4,3 答案：C 4. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( A．28＋6 5 C．56＋12 5 答案：B B．30＋6 5 D．60＋ 12 5 ) B．－4,3 ) C．－4，－3 D．4，－3 B．若 l // , // ，则 l D．若 l // , ，则 l )
答案：B 2 10．设两条直线的方程分别为 x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知 a、b 是关于 x 的方程 x ＋x＋c 1 ＝0 的两个实数根，且 0≤c≤ ，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( 8 1 2 A. ， 2 4 答案：D 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。请将正确答案填在答题卷的相应位置。） 11.直线 l：ax＋(a＋1)y＋2＝0 的倾斜角大于 45°，则 a 的取值范围是________________. 1 答案 (－∞，－ )∪(0，＋∞) 2 B. 2， 2 2 C. 2， 1 2 D. 2 1 ， 2 2 )
∴
k AB
20 1 11
，又∵ x 轴为 BAC 的平分线，
∴
k AC k AB 1 ，又∵直线 x 2 y 1 0 为 BC 边上的高，由垂直得， kBC 2
，设 C 的坐标为 ( a, b) ，则，即 C 的坐标为 (5, 6) ．
b b2 1, 2 ， a 1 a 1
-4-
解答：（1）证明：取 AD 的中点 G，连结 PG、BG.
PA=PD， AD PG.
在 ABG 中， GAB= 60 0 ,AG= 1 ，AB=1, AGB= 90 0 ,即 AD GB.
2
又 PG GB=G， AD 平面 PGB，从而 AD PB.
-5-
19. （1）设点P的对称点为
P ( a , b) ，则
b3 a 5 3 1 b 3 a 4 a5 3 3 b6 (4,6) 2 2 ，解得：，即点 P 的坐标为
5 x 2 x y20 9 y 3x y 3 0 2 （2）解方程组得
………………（3 分））
-7-
由 PA=AB=BC，∠ABC=60 则△ABC 是正三角形 ∴AC=AB ∴PA=PC ∵E 是 PC 中点 ∴AE⊥PC 由（1）知 AE⊥CD，又 CD PC=C ∴AE⊥平面 PCD ∴AE⊥PD 又 AB⊥PD，AB AE=A ∴PD⊥平面 ABE （3）过 E 点作 EM⊥PD 于 M 点连结 AM 由（2）知 AE⊥平面 PCD ∴AM⊥PD ∠AME 是二面角 A-PD-C 的正切值设 AC=a
)
2
C. 2
D.8
答案：B
9.设 m R ，过定点 A 的动直线 x m y 0 和过定点 B 的动直线 mx y m 3 0 交于点
P( x, y ) ，则 | PA | | PB | 的取值范围是(
A． [ 5,2 5 ] B． [ 10,2 5 ]
) C． [ 10,4 5 ] D． [2 5,4 5 ]
EH 面 BCD
又 EH 面 BCD ，面 BCD 面 ABD BD ，
EH BD
17.(本题 12 分) 在 ABC 中，BC 边上的高所在的直线的方程为 x 2 y 1 0 ， A 的平分线所在直线的方程为 y 0 ，若点 B 的坐标为 (1, 2) ，求点 A 和点 C 的坐标． 17. 解：解直线 x 2 y 1 0 和直线 y 0 的交点得 (1, 0) ，即的坐标为 (1, 0) ，
44 3
B.
答案：B 7.已知 0 x 1 ， 0 y 1，则
x 2 y 2 x 2 (1 y ) 2 (1 x) 2 y 2 (1 x) 2 (1 y ) 2 的最小值为(
A. 2 2 答案：A 8．如图，在三棱柱 ABC A ' B ' C ' 中，若 E 、 F 分别为 AB 、 AC 的中点，平面 EB ' C ' F 将三棱柱分成体积为 V1 、 V2 的两部分，那么 V1 : V2 为（ A．3：2 C．8：5 B．7：5 D．9：5 ） B.
解得
a 5, b 6
18.(本题 12 分)如图，在锥体 P ABCD 中， ABCD 是边长为 1 的菱形，且 DAB 60 ，

PA PD 2 , PB 2, E , F 分别是 BC, PC 的中点.
（1）证明： AD 平面DEF （2）求二面角 P AD B 的余弦值.
三、解答题(本大题共 6 题，计 75 分。请将正确答案写在答题卷的相应位置)
-3-
16.(本题 12 分).已知 E、F、G、H 为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点，且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH∥BD.
证明： EH FG, EH 面 BCD ， FG 面 BCD
-2-
12.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边 AB 平行于 y 轴，BC，AD 平行于 x 轴．已知四边形 ABCD 的面积为 2 2 cm ，则原平面图形的面积为________________. 答案： 8 cm
2 2
13.已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所示，其中四边形 ABCD 是边长为 2 cm 的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为________cm . 答案：2 2 14.如图所示，在三棱锥 D ABC 中，已知 BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，则三棱锥 D ABC 的体积的最大值是________．
21．（本题满分 14 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中,
PA 底面 ABCD , AB AD, AC CD, ABC 60,
PA AB BC , E 是 PC 的中点．
（1）证明 CD AE ；（2）证明 PD 平面 ABE ；（3）求二面角 A PD C 的正切值． 21. （1）证明：∵PA⊥底面 ABCD，CD 平面 ABCD ∴PA⊥CD 又 AC⊥CD，AC PA=A ∴CD⊥平面 PAC，又 AE 平面 PAC ∴CD⊥AE （2）证明： ∵PA⊥底面 ABCD，AB 平面 ABCD ∴PA⊥AB 又 AD⊥AB，AD PA=A ∴AB⊥平面 PAD，又 PD 平面 PAD ∴AB⊥PD
2
4
2
2 2 2 由余弦定理得 cos PGB= PG BG PB = 4 4
7 3 4
2 PG BG
7 3 2 2 2
21 , 7
即所求二面角 P-AD-B 的余弦值为
21 . 7
19. (本题 12 分) 已知直线 l ： y 3x 3 . (1)求点 P(5,3) 关于直线 l 的对称点 P ' 的坐标； (2)求直线 l1：x y 2 0 关于直线 l 的对称直线 l 2 的方程。 (3)已知点 M (2,6) ，试在直线 l 上求一点 N 使得 | NP | | NM | 的值最小。
，即两直线
l1
与
l 的交点坐标为
(
5 9 , ) 2 2
l1 l2 l 与关于直线 l 对称，所以直线 2 必过点
(
因为直线
5 9 , ) 2 2
又由（1）可知，点
P(5,3) 恰好在直线 l1 上， P(4,6) ，且其关于直线 l 的对称点为
l 所以直线 2 必过点
即 7 x y 22 0 (3) N (1,6)
E , F 分别是 BC , PC 的中点， EF//PB，从而 AD EF.
又 DE//GB，AD GB， AD DE,
DE EF=E, AD 平面DEF .
（2）由（1）知 PGB 是所求二面角的平面角.在 PGB 中，
2 0 PG = ( 2 ) 2 ( 1 ) 2 7 ,BG=1 sin60 = 3 ,PB=2.