江苏大学 组合数学期末考试复习资料
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能够除尽 1400 的正整数的个数为： （3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24
4． 有 5 颗红珠子和 3 颗兰珠子装在圆板的四周，有多少种方案？若兰珠子放在 一起呢？若兰珠子不相邻呢？ 解： 若不加限制，即为圆排列，有 Q88 ＝7！ 若兰珠子放在一起 ，先把兰珠子看成一个作圆排列，后对 3 个兰珠 子作全排列，有 Q66 ×P33 ＝ 5！×3！ 若兰珠子不相邻， 先把红珠子作圆排列， 然 后 对 3 个兰珠子插入， 有 Q55 ×5×4×3＝ 4!×5×4×3
5．n （n>3）个顶点，没有四点共面，问能够构成多少个三角形？多少个四面体？ 解： 在 n 个顶点任意取 3 个顶点，由于没有四点共面，故这三点不共线，从而 可以确定一个三角形，于是在 n 个顶点任意取 3 个顶点，总有一个三角形与之 对应。 反之， 对于 n 个顶点确定的三角形中任意一个三角形， 由于没有四点共面， 从而总可以确定 n 个顶点中的 3 个顶点，于是，在 n 个顶点确定的三角形中任 意一个三角形，总可以在 n 个顶点找到 3 个顶点与之对应。 由此可见，n 个顶点确定的三角形与 n 个顶点中取 3 个顶点之间存在着一一 对应关系，n 个顶点确定的三角形数为 C（ n，3） 。 『 对于四面体，一样讨论： 在 n 个顶点任意取 4 个顶点，由于没有四点共面，从而可以确定一个四面 体，于是在 n 个顶点任意取 4 个顶点，总有一个四面体与之对应。 反之， 对于 n 个顶点确定的四面体中任意一个四面体， 由于没有四点共面， 从而总可以确定 n 个顶点中的 4 个顶点，于是，在 n 个顶点确定的四面体中任 意一个四面体，总可以在 n 个顶点找到 4 个顶点与之对应。 由此可见，n 个顶点确定的四面体与 n 个顶点中取 4 个顶点之间存在着一一 对应关系，n 个顶点确定的四面体数为 C（ n，4） 。 』
2
6．从 1～300 中取 3 个不同的数，使这 3 个数的和能被 3 整除，有多少种方案？ 解： 将 1～300 分成 3 类： A={i|i≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298}, B={i|i≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299}, C={i|i≡3(mod 3)}={3,6,9,…,300}. 要满足条件，有四种情况： 1) 3 个数同属于 A； 3) 3 个数同属于 C； 2) 3 个数同属于 B； 4) A,B,C 各取一数。
故共有 3C(100,3)+1003 =485100+1000000=1485100 『 从{1，2，…，4n}中选出 4 个数字，要求它们的和是 4 的倍数，有多少种不同 的选法？ 解： 将 1～4n 分成 4 类： A{i|i≡0(mod 4)}={1,5,9, … ,4n}, B ={i|i≡1(mod 4)}={1,5,9, … ,4n-3}, C={i|i≡2(mod 4)}={2,6,10, … ,4n-2}, D={i|i≡3(mod 4)}={3,7,11, … ,4n-1}. 要满足条件，有十种情况： 或者 4 个数同属于 A；或者 4 个数同属于 B；或者 4 个数同属于 C；或 者 4 个数同属于 D；或者 1 个数来自于 A，2 个来自于 B, 1 个数来自于 C；或 者 1 个数来自于 A，1 个来自于 C，2 个数来自于 D；或者 2 个数来自于 A，1 个来自于 B，1 个数来自于 D；或者 2 个数来自于 A，2 个来自于 C；或者 1 个数来自于 B，2 个来自于 C，1 个数来自于 D；或者 2 个来自于 B，2 个数来 自于 D。 故共有 4C(n,4)+ 4C(n,2) [C(n,1)]2 +2[C(n,2)]2 。 』
∈ { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8} ,
f ∈ {1 , 3 , 5 , 7 , 9 }
（１） 当a （２） 当a
∈ { 3 , 5 , 7 } 时，ｆ 只有 ４ 种取法，此时有 3 ⋅ 4 ⋅ p 84 = 12 p 84
4 4 ∈ { 2 , 4 , 6 ,8 } 时， ｆ 有 ５ 种取法， 此时有 4 ⋅ 5 ⋅ p 8 = 20 p 8
因此， 200000 到 900000 之间的奇数中由不同数字组成的六位数有 32 3． 求能够除尽 1400 的正整数的个数。
p 84 。
解： 考察对于任一个正整数 m 的因数数，首先将其进行质因数分解，设为：
r2 m = p1r1 ⋅ p2 ⋅L ⋅ pkrk ,
p1 , p2 ,L, pk 为质数
m 的任一因数可以表示为如下形式：
s2 sk p1sຫໍສະໝຸດ Baidu ⋅ p 2 ⋅L ⋅ p k , 0 ≤ si ≤ ri , i = 1, k
于是，m 的因数数为：
( r1 + 1 ) ⋅ ( r2 + 1) ⋅ L ⋅ ( rk + 1)
于是，可以将 1400 进行质因数分解：
1
1400 = 23 ⋅ 52 ⋅ 71
第一章
习
题
1． 1)求小于 10000 的含 1 的正整数的个数 2)求小于 10000 的含 0 的正整数的个数 解： 1)小于 10000 的不含 1 的正整数可看做 4 位数,但 0000 除外. 故有 9×9×9×9－1＝6560 个. 含 1 的有：9999－6560=3439 个 （另: 全部 4 位数有 10 个,不含 1 的四位数有 94 个, 含 1 的 4 位数为两个的差 : 104 －94 = 3439 个） 2)“含 0”和“含 1”不可直接套用， 在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。 不含 0 的 1 位数有 9 个，2 位数有 92 个，3 位数有 93 个，4 位数有 94 个。不含 0 小于 10000 的正整数有 9+92 +93 +94 =9(1－94 )/(1－9)=7380 个 含 0 小于 10000 的正整数有：9999－7380=2619 个 2． 求 200000 到 900000 之间的奇数中由不同数字组成的六位数的个数。 解：设这个六位数为 ａｂｃｄｅｆ， 则a
4． 有 5 颗红珠子和 3 颗兰珠子装在圆板的四周，有多少种方案？若兰珠子放在 一起呢？若兰珠子不相邻呢？ 解： 若不加限制，即为圆排列，有 Q88 ＝7！ 若兰珠子放在一起 ，先把兰珠子看成一个作圆排列，后对 3 个兰珠 子作全排列，有 Q66 ×P33 ＝ 5！×3！ 若兰珠子不相邻， 先把红珠子作圆排列， 然 后 对 3 个兰珠子插入， 有 Q55 ×5×4×3＝ 4!×5×4×3
5．n （n>3）个顶点，没有四点共面，问能够构成多少个三角形？多少个四面体？ 解： 在 n 个顶点任意取 3 个顶点，由于没有四点共面，故这三点不共线，从而 可以确定一个三角形，于是在 n 个顶点任意取 3 个顶点，总有一个三角形与之 对应。 反之， 对于 n 个顶点确定的三角形中任意一个三角形， 由于没有四点共面， 从而总可以确定 n 个顶点中的 3 个顶点，于是，在 n 个顶点确定的三角形中任 意一个三角形，总可以在 n 个顶点找到 3 个顶点与之对应。 由此可见，n 个顶点确定的三角形与 n 个顶点中取 3 个顶点之间存在着一一 对应关系，n 个顶点确定的三角形数为 C（ n，3） 。 『 对于四面体，一样讨论： 在 n 个顶点任意取 4 个顶点，由于没有四点共面，从而可以确定一个四面 体，于是在 n 个顶点任意取 4 个顶点，总有一个四面体与之对应。 反之， 对于 n 个顶点确定的四面体中任意一个四面体， 由于没有四点共面， 从而总可以确定 n 个顶点中的 4 个顶点，于是，在 n 个顶点确定的四面体中任 意一个四面体，总可以在 n 个顶点找到 4 个顶点与之对应。 由此可见，n 个顶点确定的四面体与 n 个顶点中取 4 个顶点之间存在着一一 对应关系，n 个顶点确定的四面体数为 C（ n，4） 。 』
2
6．从 1～300 中取 3 个不同的数，使这 3 个数的和能被 3 整除，有多少种方案？ 解： 将 1～300 分成 3 类： A={i|i≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298}, B={i|i≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299}, C={i|i≡3(mod 3)}={3,6,9,…,300}. 要满足条件，有四种情况： 1) 3 个数同属于 A； 3) 3 个数同属于 C； 2) 3 个数同属于 B； 4) A,B,C 各取一数。
故共有 3C(100,3)+1003 =485100+1000000=1485100 『 从{1，2，…，4n}中选出 4 个数字，要求它们的和是 4 的倍数，有多少种不同 的选法？ 解： 将 1～4n 分成 4 类： A{i|i≡0(mod 4)}={1,5,9, … ,4n}, B ={i|i≡1(mod 4)}={1,5,9, … ,4n-3}, C={i|i≡2(mod 4)}={2,6,10, … ,4n-2}, D={i|i≡3(mod 4)}={3,7,11, … ,4n-1}. 要满足条件，有十种情况： 或者 4 个数同属于 A；或者 4 个数同属于 B；或者 4 个数同属于 C；或 者 4 个数同属于 D；或者 1 个数来自于 A，2 个来自于 B, 1 个数来自于 C；或 者 1 个数来自于 A，1 个来自于 C，2 个数来自于 D；或者 2 个数来自于 A，1 个来自于 B，1 个数来自于 D；或者 2 个数来自于 A，2 个来自于 C；或者 1 个数来自于 B，2 个来自于 C，1 个数来自于 D；或者 2 个来自于 B，2 个数来 自于 D。 故共有 4C(n,4)+ 4C(n,2) [C(n,1)]2 +2[C(n,2)]2 。 』
∈ { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8} ,
f ∈ {1 , 3 , 5 , 7 , 9 }
（１） 当a （２） 当a
∈ { 3 , 5 , 7 } 时，ｆ 只有 ４ 种取法，此时有 3 ⋅ 4 ⋅ p 84 = 12 p 84
4 4 ∈ { 2 , 4 , 6 ,8 } 时， ｆ 有 ５ 种取法， 此时有 4 ⋅ 5 ⋅ p 8 = 20 p 8
因此， 200000 到 900000 之间的奇数中由不同数字组成的六位数有 32 3． 求能够除尽 1400 的正整数的个数。
p 84 。
解： 考察对于任一个正整数 m 的因数数，首先将其进行质因数分解，设为：
r2 m = p1r1 ⋅ p2 ⋅L ⋅ pkrk ,
p1 , p2 ,L, pk 为质数
m 的任一因数可以表示为如下形式：
s2 sk p1sຫໍສະໝຸດ Baidu ⋅ p 2 ⋅L ⋅ p k , 0 ≤ si ≤ ri , i = 1, k
于是，m 的因数数为：
( r1 + 1 ) ⋅ ( r2 + 1) ⋅ L ⋅ ( rk + 1)
于是，可以将 1400 进行质因数分解：
1
1400 = 23 ⋅ 52 ⋅ 71
第一章
习
题
1． 1)求小于 10000 的含 1 的正整数的个数 2)求小于 10000 的含 0 的正整数的个数 解： 1)小于 10000 的不含 1 的正整数可看做 4 位数,但 0000 除外. 故有 9×9×9×9－1＝6560 个. 含 1 的有：9999－6560=3439 个 （另: 全部 4 位数有 10 个,不含 1 的四位数有 94 个, 含 1 的 4 位数为两个的差 : 104 －94 = 3439 个） 2)“含 0”和“含 1”不可直接套用， 在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。 不含 0 的 1 位数有 9 个，2 位数有 92 个，3 位数有 93 个，4 位数有 94 个。不含 0 小于 10000 的正整数有 9+92 +93 +94 =9(1－94 )/(1－9)=7380 个 含 0 小于 10000 的正整数有：9999－7380=2619 个 2． 求 200000 到 900000 之间的奇数中由不同数字组成的六位数的个数。 解：设这个六位数为 ａｂｃｄｅｆ， 则a