信号与系统 第03章
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矢量的二维分解
对于一个三维的物理空间，则需要用一 个三维的正交函数集
正交函数集与信号分解
矢量的多维分解 二维的情况可以推广到多维，可以将矢量表示成 为一系列标准矢量（基）的线性组合：
正交函数集与信号分解
矢量的多维分解 标准矢量基的几个限制条件
正交函数集与信号分解
信号的分量和信号的分解
取得最小值
傅里叶逆变换
傅里叶变换对
简写为
或
非周期信号与周期信号频谱的比较 周期信号在T一定时，其基波频率一定；非周期 信号基波频率为无穷小量
周期信号的频谱是离散谱，非周期称为连续谱
周期信号的频谱包含一些离散频率分量，非周期
频谱包含 的所有频率分量
周期信号的振幅频谱一定，而非周期信号的振
幅频谱只能用它的密度函数来做出
f (t )
1 T
T 2
0 T 2
T
t
函数的奇偶性质及其与谐波含量的关系
奇次正弦分量
周期信号的频谱 周期信号必定可以用 傅里叶级数来表示 将各次谐波的振幅 按照其频率的高低 画在同一频率轴上 相位频谱图 三角级数 指数级数 反映振幅值与 频率间关系
振幅频谱图
周期信号的频谱 方波：
周期信号的频谱 离散性 由不连续的线条组 成，每一条线代表 一个正弦分量 每条谱线都只能出 现在基本频率的整 数倍的频率上 各条谱线的高度总的 趋势是随着谐波次数 的增高而逐渐减小
若 则：
傅里叶变换的基本性质 6. 对称特性：
例： 例：
傅里叶变换的基本性质
7.
微分特性： 若
则：
推广：
傅里叶变换的基本性质 8. 积分特性：
若
则
如果F(0)=0，则：
傅里叶变换的基本性质 9. 频域的微分和积分特性：
若
则
傅里叶变换的基本性质 10. 卷积定理 若 时域卷积定理：
频域卷积定理：
信号与系统
第三章 连续信号的正交分解
苏州大学物理与光电· 能源学部
信号与系统
单频音阶：
1 c 音名 频率（Hz） 262 2 d 293 3 e 330 4 f 349 5 g 391 6 A 440 7 B 494
钢琴
小号
排箫 小提琴
正交函数集与信号分解
矢量的一维分解
正交矢量集
正交函数集与信号分解
3、任意的函数都可以分解为一个奇函数和一 个偶函数的和。
函数的奇偶性质及其与谐波含量的关系
函数的奇偶性质及其与谐波含量的关系
4、奇谐函数
奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量
函数的奇偶性质及其与谐波含量的关系
偶谐函数的傅利叶级数中只有直流和偶次谐波分量。
函数的奇偶性质及其与谐波含量的关系
直流与余弦分量
周期信号的傅里叶变换 例：求均匀冲激序列的傅里叶变换
ห้องสมุดไป่ตู้
周期信号的傅里叶变换 例：求均匀冲激序列的傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换的基本性质 1. 线性性质： 若
则
相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和 2. 延时特性 若
则
三角傅里叶级数
直流分量
谐波分量
谐波频率
基波频率
基波分量
三角傅里叶级数
三角傅里叶级数 例：将下列方波信 号展开成三角级数
指数傅里叶级数
指数函数作为正交函数集：
欧拉公式：
指数傅里叶级数
函数的奇偶性质及其与谐波含量的关系
1、如果函数是偶函数，则其傅利叶级数中只 有直流和余弦分量。
2、如果函数是奇函数，则其傅利叶级数中只 有正弦分量。
收敛性变差，但 是谱线间隔不变 信号时间宽度变小，将 使信号能量向高频扩散， 信号的频带增加
周期信号的频谱——信号的频带
以信号振幅频谱中的第一个过零点为限，零点
以外部分忽略不计 以包含信号总能量的90%处为限，其余部分忽
略不计
傅里叶变换 非周期信号的频谱
离散频谱转化为连续频谱 复振幅
傅里叶变换
周期信号频 谱三个特点
谐波性
收敛性
周期信号的频谱——周期矩形脉冲
信号在一个周 期内的函数式
傅里叶级数的复振幅
周期信号的频谱——周期矩形脉冲 三角傅里叶级数表达式
指数傅里叶级数表达式
周期信号的频谱——周期矩形脉冲
周期信号的频谱——周期矩形脉冲 T增加：
频谱的包络不变 收敛性不变 谱线幅度降低 谱线密度加大
复变函数分解 与实函数的分解相似，只有以下几点不同： 方均差表达式 模的平方 *：复共轭
复变函数分解 分量系数：
正交函数集的正交条件
复变函数分解
若复正交函数集是完备的，则任意函数 可以分解为
其中：
正交函数集与信号分解
信号表示为傅里叶级数 三角傅里叶级数 函数集：
信号表示为傅里叶级数
两两正交！ 傅里叶级数
傅里叶变换
例：单个矩形脉冲信号（门函数）的频谱
傅里叶变换
例：单个矩形脉冲信号（门函数）的频谱
脉冲的频带
宽度和脉冲
的持续时间
成反比
傅里叶变换
求
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换
此函数不满足绝对可积条件，故不能直接采 用傅里叶变换式
常用信号的傅里叶变换
傅里叶变换的基本性质
傅里叶变换的基本性质
能量频谱 功率信号的功率谱（周期信号）:
帕塞瓦尔定理：一个周期信号的方均值等于该信号 在完备正交函数集中各分量的方均值之和，或者说 周期信号的功率等于信号在完备正交函数集中的各 分量功率之和。 1、时域中求得的 信号功率=频域中 求得的信号功率 2、总功率等于各 角频率分量的功率 之和。
正交函数集与信号分解
信号的分量和信号的分解
令
得：
信号的分量和信号的分解 在最小方均误差的 意义上代表二函数 的相互关联程度
相关系数：
n维正交信号空间
n维正交信号空间
n维正交信号空间 使该近似式的方均误差最小的系数：
一正交函数集可以精确（无 误差）地表示任一函数
完备的正 交函数集
完备正交函数集中将包含有无限多个相互正交的函数。 函数f(t)可以精确地表示为一个无穷级数。
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换 例：已知 ，求其傅里叶逆变换
周期信号的傅里叶变换 周期信号的傅里叶级数展开：
傅里叶变换：
周期信号的傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换
从中可以推导出：
周期信号的傅里叶变换 一般周期信号的傅里叶变换式
离散冲激序列
傅里叶变换的基本性质 3. 移频特性：
若
则
傅里叶变换的基本性质 4. 尺度变换特性：
若
则
傅里叶变换的基本性质
5.奇偶特性：
傅里叶变换的基本性质
5.奇偶特性：
傅里叶变换的基本性质
5.奇偶特性： f(t)是偶函数：
傅里叶变换的基本性质
5.奇偶特性：
f(t)是奇函数：
傅里叶变换的基本性质 6. 对称特性：
能量信号的能量谱（非周期信号）:
时域中求得的信号能量=频域中求得的信号能量 （雷利定理）
对于一个三维的物理空间，则需要用一 个三维的正交函数集
正交函数集与信号分解
矢量的多维分解 二维的情况可以推广到多维，可以将矢量表示成 为一系列标准矢量（基）的线性组合：
正交函数集与信号分解
矢量的多维分解 标准矢量基的几个限制条件
正交函数集与信号分解
信号的分量和信号的分解
取得最小值
傅里叶逆变换
傅里叶变换对
简写为
或
非周期信号与周期信号频谱的比较 周期信号在T一定时，其基波频率一定；非周期 信号基波频率为无穷小量
周期信号的频谱是离散谱，非周期称为连续谱
周期信号的频谱包含一些离散频率分量，非周期
频谱包含 的所有频率分量
周期信号的振幅频谱一定，而非周期信号的振
幅频谱只能用它的密度函数来做出
f (t )
1 T
T 2
0 T 2
T
t
函数的奇偶性质及其与谐波含量的关系
奇次正弦分量
周期信号的频谱 周期信号必定可以用 傅里叶级数来表示 将各次谐波的振幅 按照其频率的高低 画在同一频率轴上 相位频谱图 三角级数 指数级数 反映振幅值与 频率间关系
振幅频谱图
周期信号的频谱 方波：
周期信号的频谱 离散性 由不连续的线条组 成，每一条线代表 一个正弦分量 每条谱线都只能出 现在基本频率的整 数倍的频率上 各条谱线的高度总的 趋势是随着谐波次数 的增高而逐渐减小
若 则：
傅里叶变换的基本性质 6. 对称特性：
例： 例：
傅里叶变换的基本性质
7.
微分特性： 若
则：
推广：
傅里叶变换的基本性质 8. 积分特性：
若
则
如果F(0)=0，则：
傅里叶变换的基本性质 9. 频域的微分和积分特性：
若
则
傅里叶变换的基本性质 10. 卷积定理 若 时域卷积定理：
频域卷积定理：
信号与系统
第三章 连续信号的正交分解
苏州大学物理与光电· 能源学部
信号与系统
单频音阶：
1 c 音名 频率（Hz） 262 2 d 293 3 e 330 4 f 349 5 g 391 6 A 440 7 B 494
钢琴
小号
排箫 小提琴
正交函数集与信号分解
矢量的一维分解
正交矢量集
正交函数集与信号分解
3、任意的函数都可以分解为一个奇函数和一 个偶函数的和。
函数的奇偶性质及其与谐波含量的关系
函数的奇偶性质及其与谐波含量的关系
4、奇谐函数
奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量
函数的奇偶性质及其与谐波含量的关系
偶谐函数的傅利叶级数中只有直流和偶次谐波分量。
函数的奇偶性质及其与谐波含量的关系
直流与余弦分量
周期信号的傅里叶变换 例：求均匀冲激序列的傅里叶变换
ห้องสมุดไป่ตู้
周期信号的傅里叶变换 例：求均匀冲激序列的傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换的基本性质 1. 线性性质： 若
则
相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和 2. 延时特性 若
则
三角傅里叶级数
直流分量
谐波分量
谐波频率
基波频率
基波分量
三角傅里叶级数
三角傅里叶级数 例：将下列方波信 号展开成三角级数
指数傅里叶级数
指数函数作为正交函数集：
欧拉公式：
指数傅里叶级数
函数的奇偶性质及其与谐波含量的关系
1、如果函数是偶函数，则其傅利叶级数中只 有直流和余弦分量。
2、如果函数是奇函数，则其傅利叶级数中只 有正弦分量。
收敛性变差，但 是谱线间隔不变 信号时间宽度变小，将 使信号能量向高频扩散， 信号的频带增加
周期信号的频谱——信号的频带
以信号振幅频谱中的第一个过零点为限，零点
以外部分忽略不计 以包含信号总能量的90%处为限，其余部分忽
略不计
傅里叶变换 非周期信号的频谱
离散频谱转化为连续频谱 复振幅
傅里叶变换
周期信号频 谱三个特点
谐波性
收敛性
周期信号的频谱——周期矩形脉冲
信号在一个周 期内的函数式
傅里叶级数的复振幅
周期信号的频谱——周期矩形脉冲 三角傅里叶级数表达式
指数傅里叶级数表达式
周期信号的频谱——周期矩形脉冲
周期信号的频谱——周期矩形脉冲 T增加：
频谱的包络不变 收敛性不变 谱线幅度降低 谱线密度加大
复变函数分解 与实函数的分解相似，只有以下几点不同： 方均差表达式 模的平方 *：复共轭
复变函数分解 分量系数：
正交函数集的正交条件
复变函数分解
若复正交函数集是完备的，则任意函数 可以分解为
其中：
正交函数集与信号分解
信号表示为傅里叶级数 三角傅里叶级数 函数集：
信号表示为傅里叶级数
两两正交！ 傅里叶级数
傅里叶变换
例：单个矩形脉冲信号（门函数）的频谱
傅里叶变换
例：单个矩形脉冲信号（门函数）的频谱
脉冲的频带
宽度和脉冲
的持续时间
成反比
傅里叶变换
求
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换
此函数不满足绝对可积条件，故不能直接采 用傅里叶变换式
常用信号的傅里叶变换
傅里叶变换的基本性质
傅里叶变换的基本性质
能量频谱 功率信号的功率谱（周期信号）:
帕塞瓦尔定理：一个周期信号的方均值等于该信号 在完备正交函数集中各分量的方均值之和，或者说 周期信号的功率等于信号在完备正交函数集中的各 分量功率之和。 1、时域中求得的 信号功率=频域中 求得的信号功率 2、总功率等于各 角频率分量的功率 之和。
正交函数集与信号分解
信号的分量和信号的分解
令
得：
信号的分量和信号的分解 在最小方均误差的 意义上代表二函数 的相互关联程度
相关系数：
n维正交信号空间
n维正交信号空间
n维正交信号空间 使该近似式的方均误差最小的系数：
一正交函数集可以精确（无 误差）地表示任一函数
完备的正 交函数集
完备正交函数集中将包含有无限多个相互正交的函数。 函数f(t)可以精确地表示为一个无穷级数。
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换 例：已知 ，求其傅里叶逆变换
周期信号的傅里叶变换 周期信号的傅里叶级数展开：
傅里叶变换：
周期信号的傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换
从中可以推导出：
周期信号的傅里叶变换 一般周期信号的傅里叶变换式
离散冲激序列
傅里叶变换的基本性质 3. 移频特性：
若
则
傅里叶变换的基本性质 4. 尺度变换特性：
若
则
傅里叶变换的基本性质
5.奇偶特性：
傅里叶变换的基本性质
5.奇偶特性：
傅里叶变换的基本性质
5.奇偶特性： f(t)是偶函数：
傅里叶变换的基本性质
5.奇偶特性：
f(t)是奇函数：
傅里叶变换的基本性质 6. 对称特性：
能量信号的能量谱（非周期信号）:
时域中求得的信号能量=频域中求得的信号能量 （雷利定理）