时空对称性与力学守恒定律
量子力学对称与守恒定律讲义
“为什么对称是重要的?“ --- 毛主席1974年5月向李政道请教的
第一个问题
对称与不对称(破缺)
在艺术(对联,画),数学(海螺,浪花), 自然(山峰,窗))均有精彩表现 完全对称的东西极少见!
不是静态的概念(适用一切自然现象） 物理学中对称性:现象或系统在某变换下不变 宏观->直观; 微观世界-> 不直观,但极重要
SU(2)是u,d夸克对称，破坏2--3% SU(3)SU(4)SU(5)SU(6) 同位旋破坏主要来自多重态不同分量质 量差印起的运动学效应
奇异数(Strangeness)和重 子数
1947年宇宙线实验(after pion)，1954年
加速器实验发现一批奇异粒子(photos)
特性一：协同产生，独立衰变
即 H 0, H H
厄米算符p
i
与H对易，
是守恒量
2
分立变换下：
U 1HU H i.e.,UH HU ,all _ states
U与H对易，U是守恒量 时空对称性：场与粒子时空性质变换 内部对称性：与时空无关
Some symmtries and the associated conservation laws
群论与对称性
对称性变换必须满足群的性质 （Closure,Identity,Inverse,Associativity) 如空间转动群，SO(3)，3 axis, 3 生成元 （与守恒荷一一对应） 重要的李群/李代数， O(N),SO(N),U(N),SU(N) 复合对称性 --》 复合守恒量， e.g., CP parity,G parity etc.
Translation in time Energy Translation in space Momentum
物理学中的对称性与守恒定律
物理学中的对称性与守恒定律对称性和守恒定律是物理学中的基本概念，它们在理解和解释自然界中各种物理现象和规律中起着重要作用。
本文将探讨物理学中的对称性和守恒定律，并探讨它们之间的密切关系。
一、对称性在物理学中的意义对称性是物理学中的重要概念，它描述了物理系统在某些变换下保持不变的性质。
在物理学中，对称性可以分为时空对称性和内禀对称性两种。
1. 时空对称性时空对称性是指物理系统在时空变换下保持不变。
在相对论物理学中，洛伦兹变换是描述时空变换的数学工具。
根据洛伦兹变换的不同类型，物理系统可以表现出平移对称性、旋转对称性和洛伦兹对称性等。
平移对称性是指物理系统在空间位置上的平移不会改变其物理性质。
例如，一个均匀介质中的物理规律在空间中的任何位置都是相同的。
旋转对称性是指物理系统在空间方向的旋转下保持不变。
例如，地球的自转周期不会影响物理规律的成立。
洛伦兹对称性是指物理系统在洛伦兹变换下保持不变，包括时间和空间的坐标变换。
相对论物理学中的基本原理就是洛伦兹对称性。
2. 内禀对称性内禀对称性是指物理系统在内部变换下保持不变。
在粒子物理学中，内禀对称性描述了粒子的基本性质。
例如，电荷共轭对称性指粒子与其反粒子具有相同的物理性质。
对称性在物理学中具有广泛的应用。
它不仅可以用于解释物理定律的成因，还可以帮助物理学家发现新的规律和预测新的物理现象。
二、守恒定律与对称性的关系守恒定律是物理学中的基本定律，描述了物理系统在某些变换下某个物理量保持不变的规律。
守恒定律与对称性之间存在着密切的关系。
以能量守恒定律为例，它描述了物理系统的能量在各种变换下保持不变。
能量守恒定律与时间平移对称性密切相关，即物理规律在时间上的平移不变性保证了能量守恒。
动量守恒定律是另一个重要的守恒定律，它描述了物理系统的总动量在某些变换下保持不变。
动量守恒定律与空间平移对称性密切相关，即物理规律在空间上的平移不变性保证了动量守恒。
角动量守恒定律和电荷守恒定律等也与对称性有着密切的联系。
理论物理中对称性与守恒定律的关系
理论物理中对称性与守恒定律的关系在理论物理中，对称性与守恒定律是两个核心概念。
对称性描述了系统在某些变换下保持不变的性质，而守恒定律则说明了系统在各种变化中某些物理量的不变性。
这两个概念之间存在着密切的关系，对称性的存在导致了守恒定律的存在，反之亦然。
本文将深入探讨对称性与守恒定律的关系。
首先，让我们来了解对称性的概念。
对称性可以简单地理解为某种变换下系统保持不变的性质。
在物理学中，常见的对称性有平移对称性、旋转对称性、时间平移对称性和粒子对称性等。
平移对称性指的是系统在空间中的平移下保持不变，旋转对称性指的是系统在空间中的旋转下保持不变，时间平移对称性指的是系统在时间上的平移下保持不变，而粒子对称性指的是系统在粒子交换下保持不变。
对称性在物理学中起着非常重要的作用。
与对称性相关联的是守恒定律。
守恒定律描述了系统在各种变化中某些物理量守恒的性质。
守恒定律可以用数学表达式表示为：某一物理量的变化率等于该物理量进入与离开系统的流量之差。
根据对称性的不同，我们可以得到不同的守恒定律。
首先，根据时间平移对称性，我们可以得到能量守恒定律。
能量守恒定律指的是系统的能量在时间上保持不变。
这是因为系统的物理规律在时间上的不变性导致的。
无论系统中发生了怎样的能量转化，总能量的变化率始终为零，能量守恒得到维持。
其次，根据空间平移对称性，我们可以得到动量守恒定律。
动量守恒定律指的是系统的动量在空间上保持不变。
这是因为系统的物理规律在空间上的不变性导致的。
无论系统中的物体如何运动，总动量的变化率始终为零，动量守恒得到维持。
此外，根据空间旋转对称性，我们可以得到角动量守恒定律。
角动量守恒定律指的是系统的角动量在空间上保持不变。
这是因为空间旋转对称性导致的。
无论系统中的物体如何旋转，总角动量的变化率始终为零，角动量守恒得到维持。
最后，根据粒子对称性，我们可以得到电荷守恒定律。
电荷守恒定律指的是系统中的总电荷量在粒子交换下保持不变。
粒子物理学中的对称性与守恒定律
粒子物理学中的对称性与守恒定律粒子物理学是研究物质的最基本组成部分和相互作用的学科。
在这个领域中，对称性与守恒定律是非常重要的概念。
对称性指的是在某种变换下，系统的性质保持不变；而守恒定律则是指物理量在时间和空间上的变化率为零。
一、对称性在粒子物理中的重要性对称性是粒子物理学中一项基本原则。
根据量子力学和相对论的理论基础，我们知道，自然界的基本定律应该具有某种形式的对称性。
首先是空间对称性，即物理系统的性质在空间位置的变换下保持不变。
例如，相对论性量子场论中的拉格朗日量具有洛伦兹对称性，这意味着在任何洛伦兹变换下，物理定律保持不变。
其次是时间对称性，即物理系统的性质在时间演化的过程中保持不变。
例如，量子力学中的薛定谔方程描述的系统具有时间反演对称性，即系统在时间反演下的演化与正常的时间演化完全一致。
还有内禀对称性，即系统在某种内部变换下保持不变。
例如，电荷守恒定律是电荷在整个物理过程中都保持不变的内禀对称性。
二、粒子物理中的守恒定律在粒子物理学中，守恒定律描述了一系列重要的物理量在物理过程中的守恒。
这些守恒定律为粒子物理学的研究和实验提供了重要的基础。
首先是能量守恒定律。
能量是物理过程中最基本的物理量之一，根据能量守恒定律，能量在物理过程中总是守恒的。
例如，在粒子碰撞实验中，总能量守恒可以用来解释反应产物的能量分布。
其次是动量守恒定律。
动量是描述物体运动状态的物理量，根据动量守恒定律，系统中所有粒子的总动量在物理过程中保持不变。
例如，在高能碰撞实验中，通过测量反应产物的动量可以对碰撞发生前的粒子进行研究。
还有角动量守恒定律和电荷守恒定律。
角动量守恒定律描述了系统中所有粒子的总角动量在物理过程中保持不变，而电荷守恒定律描述了系统中电荷的总量保持不变。
这些守恒定律在研究物质的性质和相互作用时起着至关重要的作用。
三、对称性与守恒定律的关系对称性与守恒定律之间存在密切的关系。
根据诺特定理，守恒定律可以由系统的对称性得出。
对称性与守恒定律
在 根据 量子 体系 对 称性 用群 论 的方 法处 理问 题 ，更 显优 越。 在物理学中。尤其是在理论物理学中，我们所说的对称性指的是体系
的拉格朗日量或者哈密顿量在某种变 换下的不变性。这些变换一般可分 为连续变换、分立变换和对于内禀参量的变换。每一种变换下的不变性，
都对应一种守恒律，意味着存在某种不可观测量。例如，时间平移不变性， 对应能量守恒，意味着时间的原点不可观测；空间平移评议不变性．对应动 量守恒。意味着空间的绝对位置不可观测；空间旋转不变性，对应角动量守
性与守恒定律的本质和它们之间的关 系一直是人们研究的重要内容。在 经典力学中，从牛顿方程出发，在一定条件下可以导出力学量的守恒定律。 粗看起来，守恒定律似乎是运动方程的结果．但从本质上来看，守恒定律比 运动方程更为基本，因为它表述了自然界的一些普遍法则．支配着自然界
的所有过程．制约着不同领域的运动方程．物理学关于对称性探索的一个 重要进展是诺特定理的建立，定理指出，如果运动定律在某一变换下具有
i ；+：( 1+以争朋一以妒)
=l +以( ≯一妒+)
( 8)
=I
( 8) 式中忽略x的高阶小量，由上式看到
妒： ≯+
( 9)
即F是厄米算符．F称为变换算符S的生成元。由此可见，当S不是厄
米算符时，s与某个力学量F相对应。再根据f§，对1：o和§=l +m哥珂得
[ 哥，昏]=0
( 10)
可见F是体系的一个守恒量。 从上面的讨论说明，量子体系的对称性，对应着力学量的守恒，下面具 体讨 论时空 对称性 与动量 、能量 、角动 量守恒 。 1．空间平移不变性( 空间均匀性) 与动量守恒。 空间平移不变性就是指体系整体移动8；时。体系的哈密顿算符保持不 变． 当没有 外场时 ，体系 就是 具有空 间平移 不变性 。
试论大学物理中的“对称性”与力学三大守恒定律的关系
试论大学物理中的“对称性”与力学三大守恒定律的关系作者：赵波来源：《神州·下旬刊》2018年第04期摘要：“对称性”，是物理力学分析中的主要内容，它与物理学中的众多理论都有着密切的联系。
基于此，本文着重对大学物理中“对称性”与力学三大守恒定律的关系进行论述，以达到重新梳理物理学相关知识，实现学科研究知识在归纳中拓展的目的。
关键词：大学物理；“对称性”；力学三大守恒定律引言：随着社会理论分析的视角逐步拓展，人类文明的研究领域也在逐步拓宽。
大学物理，是人类应用现有理性思维知识，实现世界资源、空间分析的直接体现。
大学物理教师在教学过程中，为了对“对称性”进一步解读，将其与力学三大守恒定律结合在一起，全面实现理论知识综合解析。
一、对称与“对称性”之间的关系对称，是在二维平面轴对称的定义上延伸出来的理论，是指处于同一平面中两个平行物体，它们在样式、颜色、空间分布等方面都相同，但其方向却相反的物质。
而对称性，是在对称概念的基础上，延伸出来的形态特征。
如某一物体经过某一个周期旋转后，依旧与原来的图像相互吻合，那么，我们就称物体的这种特征为“对称性”[1]。
“对称性”原理，是牛顿力学原理基础之一。
力学在这一理论之上，引申出物质发展的对称性与不对称的关系，进而对物质守恒的相关原理进行证明论述。
此外，“对称性”的分析，也能够进一步拓展质量、数量层面的延伸，小到一粒微尘的变化，大到世界物质的生存与死亡，均遵循着“对称性”和“非对称性”之间的关系[2]。
二、“对称性”与力学三大守恒定律之间的关系（一）时间平移与能量守恒定律依据力学的能量守恒定律可知：物质中的能量不会凭空产生，也并不会凭空消失，它的运作始终遵循着能力均衡的状态。
而大学物理中提到的“对称性”，也是从这一层面，对时间的运动规律进行总结。
如，我们每天经历的时间均是24小时，每一小时又分为60分钟，每一分钟又被分为60秒。
今天如此，昨天亦如此，未来也如此。
对称性与守恒定律
对称性与守恒律物理规律是分层次的，有的只对某些具体事物适用，如胡克定律只适用于弹性体；有的在一定范畴内成立，如牛顿定律适用于一切低速运动的宏观物体；有的如能量、动量守恒等守恒律，则在所有领域的自然界起作用。
后者属于自然界更深层次、最为基本的规律。
而守恒律和对称性有紧密联系。
了解对称性的概念、规律及其分析方法，对于深入地认识自然有重要意义。
一、什么是对称性对称的概念日常生活中就有，如人体外部器官的左右对称，紫禁城建设布局的东西对称，不带任何标记的球的中心对称等。
对称性的定义如下。
若某个体系（研究对象）经某种操作（或称变换）后，其前后状态等价（相同），则称该体系对此操作具有对称性，相应的操作称为对称操作。
简言之，对称性就是某种变换下的不变性。
二、物理学中几种常见的（对称）变换1.空间变换1）平移：即对位矢作的变换，相应的对称性谓之平移对称性。
例如，一个不带任何标记的无限大平面，对沿平面的任意平移具有对称性，而当此平面上均匀布满方格时，则对沿平面的特定方位（如边长或对角线方位）平移某个长度的整数倍具有对称性。
2）转动：绕某定点或轴线的转动前述球的中心对称，就是指球对绕球心的任意旋转对称，通常就称之为球对称。
一圆柱体，对绕其中心轴旋转任一角度状态不变，即具有旋转轴对称……3）镜像反射（反演）：俗称照镜子。
指对镜面作物像变换。
紫禁城建筑的东西对称，就是以天安门中轴面（南北竖直面）为镜面的镜像对称。
●物理矢量的镜面反射——极矢量和轴矢量按镜面反射时，矢量物像的方向之间的关系，物理矢量分两类。
一类，以位移为例，其镜像为，如图1(a)所示。
它们平行于镜面的分量方向相同，垂直于镜面的分量的方向相反，这类矢量叫极矢量。
，，等都是极矢量。
另一类矢量，如图1(b)中右侧所示一沿圆轨道运动的质点的角速度。
保持角速度方向与轨道旋向成右手关系的规定不变，则其镜像为左侧的。
和沿镜面的平行分量反向，而垂直分量方向相同。
这类矢量叫轴矢量，又称赝矢量。
2020年高中物理竞赛(力学篇)02运动、力学定律：对称性和守恒定律(共20张PPT)
r
U
f AB
(r)
r
B B B
U U
fBA f AB
A r A A
三、时间平移对称性与机械能守恒律
时间平移的对称性意味着时间的均匀性，表示系统 的势函数与时间无关，这将导致能量守恒。
讨论一维情况： EP x, t t E p( x, t)
对两个粒子的保守系统有：
EP x1, x2, t t Ep(x1, x2, t)
用泰勒级数展开
EP x1,
x2, t
t
E p ( x1 ,
x2, t)
EP t
t
高次项
EP x1,
x2, t
t
E p ( x1 ,
x2, t)
E P t
t
高次项
上式中必有：EP 0 t
考虑动能和势能可推导出
dEP 0 dt
E 常数
如果系统对于时间平移是对称的，那么系统
的能量一定守恒。——能量守恒定律
x r sin cos y r sin sin z r cos
o
r
P
x
m
2x t 2
E p x
m
2 y t 2
E p y
y
EP
t
Lz
m
2z t 2
E p z
Ep具有旋转不变性，即与φ无关
EP 0
t Lz 0
Lz 常量
空间旋转对称性意味着空间旋转一个角度，系
统势函数保持不变，必然导致角动量守恒。
系统
外界
孤立系统 封闭系统 开放系统
n
外力 F Fi
i1
· ·i · ·
内力 fij f ji
高量26：§19 空间对称性和守恒定律
第四章对称性理论§19 空间对称性和守恒定律§19-1 概述本章研究量子系统的各种时空变换以及与它们相关的算符,研究各种变换下的对称性以及由此带来的相应物理量的守恒定律.由于空间转动和角动量部分内容较多,也较重要,我们除在本章作一般性讨论之外,还在下一章中作更详细的讨论.对称性和守恒定律是一个大问题,其起作用的范围已超乎量子力学之上.但本书仍在量子力学五条基本原理的框架下来讨论这一问题,不涉及太远.群论是研究对称性有力的数学武器,在这一章中要经常用到.本书认为读者熟悉有限群及其表示论的基本知识.虽然本章要涉及到连续群,但尽量不引用连续群中的定理和结论.研究量子系统的各种空间对称性有两种观点.一种认为所谓平移和转动是系统在空间中改变位置而达到一个新的位置,r→ r'是指系统原在r处的一点,现在移到了r'点.这种看法称为主动观点.还有一种看法是认为系统在空间不动,所谓平移或转动是指描述这个系统所用的参考系发生了位置的改变,r→ r'是指在原参考系中系统坐标为r的一点在新参考系中的坐标为r'.这种看法称为被动观点.显然,两种观点实质上是一样的,但在许多公式中两种观点会相差一个负号.事实上,除了系统和坐标系之外,肯定还有其他的东西(如系统的外部环境,产生电场、磁场的东西等).主动观点中只有系统移动,这些东西肯定是不动的;而被动观点则没有提到这些东西到底动不动,是随坐标系一起动呢,还是保持不动.本书采用主动观点.§19-2 空间对称变换位置变换是在三维位形空间即我们所在的物理空间中从一个点到另一个点的变换.变换Q是一个三维位形空间中的算符,它将点r变为另一点r',记为r'= Q r (19.1)⋅ 248 ⋅ 第四章 对称性理论若对每一个r ,r '都有确定值,则变换Q 就有了完全的定义.在本章中所用的变换Q ,是不改变任何两点距离的那些变换.对某些物理系统,若位置变换的一个集合{Q i }(i =1,2,3, ),是此系统的对称变换,即保持这个系统不变的变换,则这个集合必定构成一个群,称为这个系统的对称变换群.这里群的乘法规定为相继的变换,Q 1Q 2 是先进行变换Q 2,接着再进行变换Q 1.从群的定义来看,位置变换存在单位元和乘法的结合律二者没有问题;变换不改变两点距离的要求保证了逆元的存在.一个对称变换继以另一个对称变换,其结果必定仍将是对系统的一个对称变换,就是说对称变换的乘法一定是封闭的,所以系统的全部空间对称变换必定构成一个群.对称变换群的阶可以是有限的,也可以是无穷的.态函数的变换 考虑一个(处于状态 |ψ〉的)单粒子系统在位置表象中的态函数ψ (r ) = 〈r |ψ 〉.态函数是在位形空间中的一种函数值的分布,每一点上都有一个一般为复数的函数值.现在,把这一函数值的分布用算符Q 作一个整体的变换,即用Q 把这一函数值的分布整体地移到另一个地方.这时,系统的态发生了改变,成为|ψ '〉,而其位置表象的态函数成为ψ '(r ) = 〈r |ψ '〉.所谓整体地移动是指当r 点受Q 的作用变到r '= Q r 点时,带着它的函数值一起到r '去.确切地说,就是新函数在新点处的值,等于老函数在老点上的值,即态函数变换的条件是ψ '(r ') =ψ (r ) (19.2)即 ψ '(Q r ) =ψ (r )由此知ψ '(r ) =ψ (Q -1r ) (19.3) 这就是位置变换 Q 导致的态函数的变换.新老态函数的关系可以用一个函数空间的变换算符 DQ ()来表示: ψ '(r ) =)(ˆQ D ψ (r ) =ψ (Q -1r ) (19.4)由于 Q 不改变任意两点的距离,ψ '与ψ 二者只是地点和方位的不同,而尺度和形状(分布)不变,因而不影响其归一化,于是可得 () () () ()DQ D Q D Q D Q ††==1,所以 D Q ()为一幺正算符. 考虑连续两次变换Q 1 Q 2,)()(ˆ])([])([)]([)()(ˆ)()(ˆ)(ˆ211211112111212121r r r r r r ψψψψψψQ Q D Q Q Q Q Q Q Q Q D Q D Q D =====------ 由此得() () ()D Q D Q D Q Q 1212= (19.5)§19 空间对称性和守恒定律 ⋅ 249 ⋅即函数空间中的变换算符)}(ˆ{Q D也构成一个群,且此群与位形空间对称变换群{Q }同态.此外,由于() () () ()D Q D Q D QQ D -1-1===11 所以() ()D Q D Q -1-1= (19.6)态矢量的变换 现在在希尔伯特空间中作讨论.状态 |ψ〉经过位形空间的变换Q 之后成为一个新的态 |ψ '〉,则可定出一个幺正的变换算符D (Q ):|ψ '〉=D (Q )|ψ〉(19.7) 由于ψ (r ) = 〈r |ψ〉,ψ '(r ) = 〈r |ψ '〉,(19.4)式成为ψψψr r r 1)(ˆ)(-==Q Q D Q D 由此可得到两个关系: r r 1)(-=Q Q D(19.8)r r )(ˆ)(Q D Q D = (19.9) 前者是希尔伯特空间中 D (Q )的定义式,而后者是 D (Q )与函数空间中的)(ˆQ D之间的形式关系.(19.8)式写成右矢形式是D †(Q ) |r 〉 =D -1(Q ) |r 〉 = |Q -1r 〉即 D (Q )|r 〉 = |Q r 〉 (19.10)算符的变换 对称变换Q 既然导致了态矢量的变换(19.7)式,也导致了算符的变换.在希尔伯特空间中新算符A '与老算符A 的关系为A '=D (Q )AD -1(Q ) (19.11) 可以讨论一下位置算符R ,它的本征值方程是R |r 〉 =r |r 〉 (19.12) 用D (Q )作用,得D (Q )R D -1(Q )D (Q )|r 〉 = r D (Q )|r 〉利用(19.11)式和(19.10)式,得R '|Q r 〉 = r |Q r 〉 (19.13) 又用Q -1作用在等式R |Q r 〉 =Q r |Q r 〉上,得Q -1R |Q r 〉 = r |Q r 〉 (19.14) 比较(19.13)、(19.14)二式,当Q 取定后 |Q r 〉仍可为任意矢量,因此有 R '=D (Q )R D -1(Q ) =Q -1R (19.15) 此式是位置算符R 的变换关系.注意此式与(19.1)式的区别,那里是位形空间中位置矢量的变换关系,而这里则是希尔伯特空间中位置算符的变换关系.在(19.15)式中,算符R 兼有位形空间的矢量和希尔伯特空间的算符两种⋅ 250 ⋅ 第四章 对称性理论身份:∑==31i i i R e R(19.15)式的第一等式中的D (Q )只对R i 作用,而单位矢量e i 不受它的影响;与此相反,(19.15)式的第二等式中的Q -1 则由于是定义在三维位形空间中,只对位形空间中的单位矢量e i 发生作用,对算符R i 没有作用.至于其他算符,不一定有类似(19.15)式的关系,其变换关系是(19.11)式.式中的 D (Q )是一个确定的算符,因为从(19.10)式知,D (Q )作用到每一个基矢 |r 〉上都有确定的结果 |Q r 〉.显然,希尔伯特空间中的D (Q )与函数空间中的 ()DQ 这两个群是同构的,因此在希尔伯特空间中,幺正算符{D (Q 1) ,D (Q 2) , }构成一个与位形空间中对称变换群{Q 1 ,Q 2 , }同态的群.§19-3 空间反演首先讨论最简单的对称变换即空间反演.空间反演变换的定义是P r = - r(19.16) 根据(19.10)式,在希尔伯特空间中与空间反演相应的算符是D (P )|r 〉=|-r 〉 (19.17)通常将D (P )也写成P . P |r 〉=|-r 〉(19.18) 空间反演算符P 与单位算符二者构成一个群,称为空间反演群:P 2=1, P 1=1P = P相应的函数空间中的空间反演算符 P为 1ˆ,)()(ˆ2=-=P P r r ψψ (19.19) 由P 2=1 可知,空间反演算符的本征值为 ±1,与本征值 +1 对应的本征矢量称为偶宇称的,与 -1 对应的称为奇宇称的.空间反演算符又称宇称算符.以函数空间的形式来表示则为无确切宇称奇宇称偶宇称,其他情况⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,)(,)()()(ˆr r r r ψψψψP (19.20) 空间反演算符P 既是幺正算符又是厄米算符:P †=P -1=P(19.21) 由(19.18)式的左矢形式及(19.9)式,有 r r r P P ˆ=-= (19.22)§19 空间对称性和守恒定律 ⋅ 251 ⋅下面讨论几个算符在空间反演下的变换.首先讨论位置算符R ,在希尔伯特空间中有P R P |r 〉=P R |-r 〉=P (-r )|-r 〉=(-r )P |-r 〉=-r |r 〉=-R |r 〉所以得P R P =-R(19.23) 在函数空间中讨论时,() () [()]()()()P P P P R r R r r r r r R r ψψψψψ=-=-=-=- 于是同样有PP R R =- (19.24) 在上面两种计算中,要注意其中的差别.在希尔伯特空间中,P 作用的对象是其中的矢量,而r 是常数, 所以P (-r )|-r 〉=(-r )P |-r 〉,常数可以提到线性算符的外面;而在函数空间, P作用的对象是函数中的自变量,使其变号.在 [()]Pr r ψ-中应把r ψ (-r )整个看成受 P 作用的函数.又如在希尔伯特空间中R |-r 〉是算符作用于其本征矢量,所以得-r |-r 〉,|-r 〉前面的是本征值;而在函数空间中不论 ()Rr ψ-中的ψ (-r )是不是 R 的本征矢量,都应根据定义式(7.35)式得出r ψ (-r ),而不是-r ψ (-r ).对于动量算符P ,由于p r p r p r --==⋅ i e ,将P P P 作用在动量本征矢 |p 〉上,并利用 |r 〉的完全性关系,有p p r r p r r p -=---==∑∑P P (19.25)于是P P P |p 〉 =P P |-p 〉 = -p P |-p 〉 = -p |p 〉 = -P |p 〉由此得出P P P =-P (19.26)至于轨道角动量在空间反演下的变换,由(19.24)、(19.26)两式立即得出 P L P =(P R P ) ⨯ (P P P ) = L (19.27) 即轨道角动量算符L 与宇称算符P 对易.在上面的讨论中看到,R 、P 等在空间反演下改变符号,这样的算符称为矢量算符；而像L 那样在空间反演下不变的算符,称为轴矢量算符或赝矢量算符.自旋也是矢量,它的性质应同轨道角动量一样,因此我们在自旋空间中规定,在空间反演时自旋算符不受影响,即规定自旋算符是一个轴矢量算符.标量算符也有(真)标量与赝标量之分,前者在空间反演下不改变符号,而后者则相反.例如中心场中的哈密顿算符[见(9.51)式]属于前者,螺旋度算符[(15.31)式]h P =⋅S P 属于后者.⋅ 252 ⋅ 第四章 对称性理论由于轨道角动量算符L 与空间反演算符P 对易,因此二者有共同本征矢量,事实上球谐函数Y lm (θ ,ϕ)就是 L和 P 的共同本征函数.在球坐标中,P f (r , θ, ϕ ) = f (r , π -θ, ϕ +π ) 所以PY lm (θ ,ϕ ) = (-1) l Y lm (θ ,ϕ ) §19-4 空间平移空间平移是把位形空间中所有位置矢量r 都加上一个固定矢量λ 的变换,无限小空间平移变换Q (d λ)的作用是r '=Q (d λ) r = r +d λ (19.28) 全部空间平移变换{Q (λ)}构成平移群,这是一个有无穷多不可数元素的三参量连续群,群元取决于三个实参量λ x 、λ y 和λ z .注意平移算符Q (λ)并不是线性算符,因为Q (λ) 2r = 2r +λ ≠ 2Q (λ) r .在位置表象中,态函数ψ (r )的无限小平移算符 D(d λ)根据(19.4)式满足:)(ˆd i 1)(d )()d (])(d [)()(d ˆ)(1r P r r r r r r ψψψψψψψ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=∇⋅-=-==='-λλλλλ Q D即P ˆd i (d ˆ⋅-1=)λλD (19.29) 对于有限的平移,有 P P ˆi e )ˆi lim (ˆ⋅-∞→=⋅-(1=)λλλ n n nD (19.30) D(λ)是线性算符,全部 D (λ)的集合是一个与平移群{Q (λ)}同构的在函数空间中的算符群,有时也称为平移群.在希尔伯特空间中,有|ψ '〉=D (λ)|ψ〉 (19.31) D ()e i λλ=-⋅ P(19.32) 根据(19.10)式,D (λ) 作用在位置本征矢量 |r 〉上的结果是D (λ) |r 〉 =|Q (λ) r 〉 =|r +λ〉 (19.33) 态矢量的平移算符正是位置本征矢量的上升算符Q †(λ),见(7.4)式和(7.7)式.位置算符R 的平移根据(19.15)式为R '=D (λ) R D -1(λ)=Q -1(λ)R =R -λ (19.34)§19 空间对称性和守恒定律 ⋅ 253 ⋅动量算符在平移变换下是不变的,P '=D (λ) P D -1(λ) = P (19.35)因为D (λ)与P 对易.练习 19.1 试用公式(2.9)式验证(19.34)式.练习 19.2 试用两种方法求轨道角动量算符L 的平移.练习 19.3 试由(19.33)式证明()()()Dλλψψr r =- §19-5 空间转动空间转动是在三维位形空间中使所有的位置矢量r 都绕一过原点的固定轴转过一定角度的变换.绕n 轴转d ϕ 角的无限小转动算符Q (n d ϕ)的作用是r '=Q (n d ϕ)r =r +d ϕ n ⨯ r (19.36)这一点可由图19.1中看出.这样的转动称为正当转动,绕所有的轴转一切角度的正当转动算符的集合{Q (n ϕ)}构成一个群,称为三维正当转动群.关于空间转动和三维转动群我们在§21中作详细讨论.在位置表象中态函数ψ (r )的转动变换,根据(19.4)式是ψ '(r ) =])d ([)()d (ˆ1r n r n ϕψψϕ-=Q D=)()ˆd i 1()(d )(r L n r r n r ψϕψϕψ⋅-=∇⋅⨯-所以,函数空间中的转动算符为L n n ˆd i 1)d (ˆ⋅-=ϕϕD (19.37) 而有限转动算符为L n n ˆi e )(ˆ⋅-=ϕϕ D (19.38)在希尔伯特空间中也有相应的式子: L n n ⋅-=ϕϕd i 1)d ( D (19.39)L n n ⋅-=ϕϕ i e )(D(19.40) 下面讨论算符的变换,首先讨论位置算符R .图 19.1⋅ 254 ⋅ 第四章 对称性理论R '=D (n d ϕ) R D -1(n d ϕ)],[d i d i 1d i 1R L n R L n R L n ⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=ϕϕϕ R n R n R )d (d 1ϕϕ-=⨯-=Q (19.41) 与一般公式(19.15)式一致.在上面的计算中利用了L 与R 的对易关系(6.19)式.由于动量P 和轨道角动量L 的对易关系同L 之间的对易关系有类似的公式(6.20)式和(6.18)式,利用完全相同的计算即可得出P 与L 二算符的转动为P '=D (n d ϕ ) P D -1(n d ϕ ) = P - d ϕ n ⨯P = Q -1(n d ϕ ) P (19.42)L '=D (n d ϕ ) L D -1(n d ϕ ) = L - d ϕ n ⨯L = Q -1(n d ϕ ) L (19.43)标量算符和矢量算符 现在我们给标量算符和矢量算符以严格的定义,在转动下不变的单分量算符称为标量算符.标量算符S 满足D (n ϕ ) SD -1(n ϕ ) = S 或 [S , D (n ϕ )] = 0 (19.44) 在三维位形空间转动下,函数空间或希尔伯特空间中与位置算符R 有相同变换特性的三分量算符称为矢量算符.矢量算符V 满足:D (n ϕ )V D -1(n ϕ ) = Q -1(n ϕ )V (19.45) 动量和轨道角动量都是矢量算符.标量算符和矢量算符再按空间反演变换下的特性分别有“真”和“赝”或“真”和“轴”之分.下面给出矢量算符的任意分量与轨道角动量算符的任意分量的对易关系.取无限小转动,则(19.45)式左方为D (n d ϕ )V D -1(n d ϕ ) =],[d i V L n V ⋅-ϕ见(19.41)式的计算,而(19.45)式右方为Q -1(n d ϕ )V = V - d ϕ n ⨯V比较上两式得[n ⋅L ,V ] = - i n ⨯V 以另一单位矢量m 点乘上式两边,得[n ⋅L ,m ⋅V ] = i n ⨯m ⋅V (19.46) 这就是矢量算符V 的任意分量同L 的任意分量的对易关系.例如取n =i ,m =j ,则有 [L x , V y ] = i V z .由此式也可得出轨道角动量三个分量之间的对易关系(6.18)式.自旋空间中的转动变换 带有自旋的粒子的状态,由位形希尔伯特空间和自旋空间二者的直积空间中的矢量描写.而在这两个空间中属于不同空间的算符都是对易的.作为位形空间对称变换的空间平移应该不影响粒子的内禀性质自旋,但自旋S 又是三维位形空间中的一个矢量算符,位形空间中的方向改变应该在自旋空间中有所反映.§19 空间对称性和守恒定律 ⋅ 255 ⋅根据我们已建立的理论框架,分析这个问题的唯一可能的根据是自旋是一种角动量,与轨道角动量应当类似,我们根据这一点规定自旋算符S 和轨道角动量L 一样是轴矢量,即在空间反演时不改变符号.此外,根据自旋算符的三个分量之间的对易关系(8.1)式与L 的对易关系类似这一点去决定S 在空间转动下的变换.设在自旋空间中与空间转动Q (n d ϕ )对应的变换算符D '(n d ϕ )为A n n ⋅-='ϕϕd i 1)d (D A 是一个待定的厄米算符.仿照由(19.45)式推出(19.46)式的过程,并取那里的V 为S ,可得[n ⋅A , m ⋅S ]=i n ⨯m ⋅S 与自旋对易式(8.1)式比较可知,A 应该就是S 本身,由此知自旋空间中的转动算符D '(n ϕ )应为 S n n ⋅-='ϕϕ i e )(D (19.47)于是,在带有自旋粒子的态空间(直积空间)中,空间平移和反演的算符仍是(19.32)式和(19.18)式,前者只对位形希尔伯特空间有作用;后者对自旋算符的作用为P S P =S ,而空间转动算符则为 J n S n L n n ⋅-⋅-⋅-=⊗=ϕϕϕϕ i i i e e e )(D (19.48) D (n ϕ ) 称为有限转动算符.练习 19.4 证明在三维位形空间中两个矢量的点乘积是一个标量.练习 19.5 证明对于矢量V 有 +⨯(⨯[⨯-⨯⨯+⨯-=⋅⋅-)])(d !31)()(d 21d e e 32d i d i V n n n V n n V n V V L n L n ϕϕϕϕϕ 练习 19.6 取转动算符Q 为绕原点与x =y =z =1点连线n 转120︒,因而Q i =j ,Q j =k , Q k =i .写出D (n ,120︒);取V =L ,计算(19.45)式两端从而验证该式.练习 19.7 设Q 为一个转动,D (Q )为希尔伯特空间中的转动算符, ()DQ 为位置表象中的转动算符,证明:r r r 1)()(ˆ-==Q Q D Q DD (Q )R D -1(Q )=Q -1R 练习 19.8 同上题,P 为动量算符,证明:D (Q )P D -1(Q )=Q -1P⋅ 256 ⋅ 第四章 对称性理论§19-6 空间变换对称性和守恒定律系统的空间对称性同基本的物理量的守恒定律有着密切的关系,这是在宏观世界和微观世界都存在的一条基本的物理规律.所谓系统在某一空间对称变换下具有不变性或对称性,不是系统在变换(平移、转动等)后状态不变,而是指系统在变换前后运动规律不变.设原来系统的运动规律即薛定谔方程为 )()(i t H t tψψ=∂∂ (19.49) 现在施以一个空间变换Q (λ):r → Q (λ) r = r ' (19.50) 式中λ是空间变换的参数;对平移来说,λ是平移量 λ 或d λ,对转动来说,λ代表n 和 ϕ,至于空间反演则不需要这个参数.在空间变换Q 下,(19.49)式变为[见(19.7)和(19.11)二式] )()()()()()(i 1t Q D Q HD Q D t Q D tψψ-=∂∂ (19.51) 为使变换后的新态矢 |ψ '(t )〉 =D (Q ) |ψ(t )〉服从与原态矢 |ψ(t )〉相同的运动规律,必须满足:D (Q )HD -1(Q ) =H (19.52)即 [H , D (Q )] = 0 (19.53) (19.52)式或(19.53)式就是系统在空间变换Q (λ )下具有对称性的明确数学表达式.由(19.52)式知,系统的空间变换对称性完全反映在其哈密顿算符H 的空间变换对称性上.一般说来,哈密顿算符包括两部分,一部分是系统本身的性质;另一部分则是系统所处环境的情况,例如系统外部的电场,磁场等.按主动观点,在对系统作对称变换时,只是改变系统的状态,如平移到另一地点或转动某一角度,并不移动外场,即不改变E (r )和B (r )的函数形式.只有外场E (r )或B (r )的函数形式在系统平移或转动时具有不变性,系统的哈密顿才能有不变性.在静电场中的带电粒子,其哈密顿为 )(2ˆ22r V mH +∇-= 右边第一项具有平移、转动和反演的对称性,因而哈密顿的空间对称性质只取决于势能项V (r ).守恒量 哈密顿具有某种空间对称性就是存在某种空间变换群,这个群的所有群元都使哈密顿不变.这时,根据(19.53)式和(11.23)式,一定有一个相§19 空间对称性和守恒定律 ⋅ 257 ⋅应的守恒量存在.例如,一系统的哈密顿同空间平移算符[(19.32)式] P ⋅-=λλ i e )(D对易,则此系统具有λ方向上的平移对称性,这时[H , λ⋅P ]=0 (19.54) λ方向上的动量分量就是守恒量,这个方向上的动量守恒定律成立.若进一步有[H ,P ]=0 (19.55) 则H 具有一切方向上的平移对称性,所有方向上的动量守恒定律成立.又如,若哈密顿H 与空间转动算符[(19.48)式] J n n ⋅-=ϕϕ i e )(D对易,则此系统具有绕n 方向转轴的转动对称性,这时[H ,n ⋅J ]=0 (19.56) 系统的角动量在n 方向上的分量守恒;若上式与n 无关,则系统的角动量J 是一个守恒量.同样,若系统的哈密顿与空间反演算符P [见(19.56)式]对易:[H ,P ] = 0 (19.57) 则系统的宇称守恒.由于空间反演算符P 既是幺正算符又是厄米算符,因而宇称本身就是一个物理量.关于守恒量的性质,已在§11中讨论过了.这里只提醒注意:守恒量在系统的一切(满足运动方程)的含时态中,包括定态和非定态,其取值概率都不随时间而变;而在定态中,一切不含时的物理量,包括守恒量和非守恒量,其取值概率都不随时间改变.其他空间变换对称性 一个微观系统除了本节讨论过的各种空间变换对称性以外,还可以有其他的空间变换对称性.例如处于晶体当中的一个原子系统,其哈密顿还具有这个晶体的对称性,即某一晶体点群的对称性.用这一点群的每一个群元(平移、转动、镜象反射、反演等操作)作用于哈密顿时,都能使其不变.这是一种离散的对称性,在这种情况下没有守恒量同这样的对称性相对应.另一种提法 文献上常有一种与本书不同的提法,说:“空间是均匀的,所以有平移不变性,从而导致动量守恒定律”;“空间是各向同性的,所以有转动不变性,从而导致角动量守恒定律”.所谓空间的均匀性是指“一个物理实验在此地做或平移到另一地点去做,其结果是完全相同的”,空间的各向同性也有类似的含义.这种说法与本书不同之点在于,本书所指的空间平移或转动,⋅ 258 ⋅ 第四章 对称性理论是指系统本身在空间中的平移或转动,而保持外界环境不变,即保持系统以外的那些产生外电场、外磁场等的东西(仪器)不动.因此按本书的提法,只要有外场存在,空间就不是均匀的;电子在一个原子核外运动(氢原子)时空间是各向同性的,而电子在两个核的场中运动(氢分子离子)时,空间就不是各向同性的了.这是因为外场的存在已经破坏了空间的均匀性和各向同性.而另一种说法中的空间平移或转动,是指系统连同与其有关的外部环境的仪器一起在空间中平移或转动,因此对系统来说,原来是什么环境,平移或转动后还是什么环境.所以,无论对于什么系统或对于什么样的外部环境,空间就其本身属性而言永远是均匀的和各向同性的.这种说法侧重阐明空间本身的属性,本书则侧重指系统.两种说法并无矛盾.§20 哈密顿算符的对称性群本节讨论与系统哈密顿的对称性有关的各种现象和规律.既然研究对称性,就离不开关于对称性的数学——群论.本节需要用到有限群的表示论中的一些知识,我们认为读者已经或正在学习群论,故只在§20-1中列出有关的主要命题和公式,有时需要参阅§22的内容,至于详细情况请参阅有关群论书籍❶.§20-1 群表示论中的若干结果一个群的表示是与这个群同态的矩阵群,若二者同构,则表示称为确实表示.对称变换群{Q }的群元都是三维位形空间的算符,而这种算符的矩阵表示是很容易求得的(§4 ).然而,这样求得的矩阵表示只能是 3 ⨯ 3 矩阵.更一般的办法是利用函数空间中的 D 算符.根据(19.5)式, ()DQ 是与Q 同构或同态的,所以)}(ˆ{Q D群的表示也就是{Q }群的表示,而 ()D Q 是矢量空间(函数空间)中的算符,其矩阵表示仍可按§4 的方法很容易地求出.而表示矩阵的维数取决于所用函数空间的维数,可以加以适当的选择而取得所希望维数的表示矩阵.设{Q }是一个具体的对称变换群.为求它的n 维表示可选一个n 维函数空间,取其中的一组基矢为f i (r )(i =1,2, ,n ) ,则函数空间中相应的变换算符❶ 例如:Wigner E P. Group Theory and Its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra. Orlando: Academic Press, 1959;徐婉棠,喀兴林.群论及其在固体物理中的应用.北京:高等教育出版社,1999。
对称性和守恒律--物理百科知识
对称性和守恒律--物理百科知识对称性和守恒律duichenxing he shouhengl对称性和守恒律symmetry and conservation law对称性是物质的状态和运动规律在对称变换（如镜面反射转动等）下的性质。
它已成为物理学中一个最普遍而深刻的观念。
对称性的观念是人们在观察自然界各种事物的几何形状时逐步形成的。
一个球在围绕通过中心的任何轴转动时，都不改变它的形状，称它具有转动变换的对称性。
在观察晶体时，可以看到各种规则的多而体，经过一定面的镜面反射或是绕特定轴转动特定角度，不改变它们的几何形状，显示了各种对称的组合。
按照对称方式的不同，可以把晶体分为32类，如果再考虑磁性，还可以找到58类不同的晶体对称方式；总共有90类磁性晶体的对称方式。
接连几次对称变换仍然是一个对称变换，这些对称变换之间满足结合律。
而且存在恒等变换和对称变换的逆变换。
因此对称变换的总和构成一个对称群。
在一个群的所有对称变换下不变或协变的状态(或运动规律)具有这个群的对称性。
例如球具有转动群的对称性。
如果物质的运动规律具有某一连续变换群的对称性，同时它的能量最低的状态（基态或真空态）是对称的，那么与这个群的每一个生成元对应的物理量都会是一个守恒量。
物质的运动形态可以千变万化，不断转化，而反映它们共性的守恒物理量将始终不变。
守恒定律是物质运动过程中所必须遵守的最基本的法则。
最普遍的对称性是时空几何对称性和量子力学的代数对称性。
所有的物质都在时空中运动，在不同时间和地点重复相同的实验反复证明了，对一个与周围物质切断了相互作用的孤立的系统，时空坐标原点的选取和坐标轴方向的选取都不会影响这一系统的运动规律。
时空表现为均匀和各向同性的。
坐标系原点的平移和坐标轴的转动都是对称变换，它们构成非齐次洛伦兹群，又称庞加莱群。
在庞加莱群中，与平移生成元对应的物理量为能量动量矢量，与转动生成元对应的物理量为角动量。
能量、动量守恒以及角动量守恒与时空均匀性和各向同性直接相关，它不依赖于物质的具体内容。
守恒定律和对称性
例1.贝纳德对流
T2 > T1
T1
液体
T2
均匀加热
例2.弱作用中宇称不守恒 宇称守恒——与微观粒子的镜象对称性相联系的守 恒定律。强作用下宇称守恒得到实验证实。
但对 和 粒子的衰变，它们质量相等，电荷相同，
寿命也一样。但它们衰变的产物却不相同，即
或 0 0
得：fab fba
空间平移 对称性
作用与反作用 等大反向
动量守恒 定律
例3.空间旋转对称性——角动量守恒定律 角动量守恒定律
质点系所受合外力矩为零时，其总角动量 为恒矢量。 来源于质点系内力矩的矢量和为零，
来源于质点间相互作用沿二者连线 思路： 空间旋转对称性－作用力与反作用力在同一直线上
角动量守恒定律
香莲碧水动风凉 水动风凉夏日长 长日夏凉风动水 凉风动水碧莲香 镜面对称
一. 物理学中的对称性
关于对称的基本概念
被研究的对象——体系
对体系的描述——状态
体系从一个状态到另一个状态的变化——“变换”或“操作”
变换前后体系状态相同——“等价”或“不变”
如果一个操作能使某体系从一个状态变换到另一 个与之等价的状态，即体系的状态在此操作下保持 不变，则该体系对这一操作对称，这一操作称为该 体系的一个对称操作。
重点：对称性概念， 时空对称性与力学中三个守恒定律的联系
难点：对称性原理，对称性方法
对称性的概念最初来源于生活：动物、植物、建筑、 文学艺术……
何其相似！
C60分子结构(巴基球)
截角正20面体，每个顶点 上一个C原子，构成笼状 32面体（20个六边形， 12个五边形）。1985年 发现（1996 诺贝尔化学） 开创有机化学新篇章。
§5.4 守恒量与对称性的关系
λ＝1对应的本征态为：
P (r ) (r ) (r )
称为偶宇称态。
λ＝－1对应的本征态为：
15
P (r ) (r ) (r )
称为奇宇称态。 11
（4）宇称为守恒量的条件 设一体系具有空间反射不变性，即
PHP1 H 或 P, H 0
宇称为守恒量。
注意： A.若体系的能量本征态不简并，则该能量本征态必有确定宇称。
R( )
exp
exp
i Lˆz
式中
Lˆz i
即角动量的z分量算符。
现考虑三维空间中绕某方向n(单位矢)的无穷 小旋转.在此变换下，标量波函数变化如下
即
15
R , (r) (r ) R (r r ) (r )
r r r r
8
所以 R (r ) (r r ) (r n r ) (r ) (n r ) (r ) e (nr ) (r )
故15F就是体系的一个守恒量.
4
2.平移不变性与动量守恒
D
考虑体系沿X轴方向的
无限小平移
x x x x
描述体系状态的波函数变
x
x x x
化如下：
D
显然
(x) (x)
即 D (x x) (x)
将上式中的x换成x-δx，则有
D (x) (x x) (x) x
例子：
一维谐振子的能量本征态Ψn(x) 不简并，而宇称又为守恒量，
由此可断定Ψn (x)必有确定宇称。事实上，
，
宇称P为 n (x) 。 n (x) (1)n n (x)
(1)n
B.当能级有简并，则能量本征态不一定有确定宇称。但总可
以把诸简并态适当线性叠加，构成宇称的本征态。
对称性和守恒定律
对称性和守恒定律按照对称的定义来讲，对称就是指物体相对而又相称，或者说它们相仿，相等。
所谓对称性是指：某种变化下的不变性。
自然界中的事物的对称性表现在两方面。
第一：物体的形状或几何形体的对称性。
例如：五角星的旋转对称，正方体的中心对称性。
这是根据对称性的定义，我们使五角星和正方体都绕它们的中心旋转180°，在这样的变换下，变换后图形具有不变性。
第二：事物进程或物理规律的对称性。
所谓物理规律的对称性是指：物理规律在某种变换下的不变性。
例如：一个物体做平抛运动，水平初速度为V，抛出时离水平地面的高度为H，空气阻力忽略不计。
在其他外部条件都相同的情况下，在不同的地方使该物体做如上所述的运动，该物体的运动状况是否相同呢？我们知道，平抛运动可以看成两种运动的合成：水平方向上是匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动。
在其他条件相同的情况下，水平方向上都是以速度V作匀速直线运动。
在竖直方向上，下落的时间可以由公式T=（g为重力加速度）求出，我们知道重力加速度在不同的地方是不相同的，也就是说上述例子中的物体在不同地方的下落时间是不相同的。
这就说明了自由落体运动在不同的地方并不具有不变性，但是，我们不可否认的是下落时间和高度以及加速度它们之间的相互关系是并不会因为地点的不同而不相同，所以它的物理规律始终是保持不变的。
对物质运动基本规律的探索中，对称性和守恒定律的研究占有重要的地位。
从历史发展过程来看，无论是经典物理学还是近代物理学，一些重要的守恒定律常常早于普遍的运动规律而被认识。
质量守恒、能量守恒、动量守恒、电荷守恒就是人们最早认识的一批守恒定律。
它们的出现也不是偶然的，而是因为物理规律具有多种对称性的必然结果。
这些守恒定律的确立为后来认识普遍运动规律提供了线索和启示。
物理学中关于对称性探索的一个重要进展是建立诺特定理，定理指出，如果运动定律在某一变换下具有不变性，必相应地存在一条守恒定律。
简单的说就是：物理定律的一种对称性，对应地存在一条守恒定律。
对称性与守恒律
对称性与守恒律前面介绍的能量、动量和角动量守恒定律，都是在牛顿定律的基础上推导出来的。
但这些守恒定律比牛顿定律有更广泛的适用范围，这说明这些守恒定律有着更普遍更深刻的基础。
现代物理学已经确认这些守恒定律是客观物质世界对称性的反映。
对称性的概念最初来源于生活。
在大自然中对称性随处可见，植物的叶子几乎都是左右对称的，六角形的雪花也是对称的，几乎所有动物的形体、人体也都是对称的。
在艺术、建筑等领域中，也存在广泛的对称性。
在科学中对称性的概念是逐步发展的，至今它已具有十分广泛的含义。
下面简单介绍一下对称性的普遍定义。
我们把所讨论的对象，称为系统。
同一系统可以处于不同的状态，这不同的状态可能是等价的，也可能是不等价的。
例如，设想有一个圆球，这是几何学中理想的球，如果把球绕通过球心的任意轴转动一下，那么这个球就处于不同的状态，这些状态看上去没有任何区别，我们说这些状态都是等价的。
如果在球面上打一个点作为记号，再转动这个球，球上的点在空间的方位不同，这些状态就不同，因此对于包括这个记号的系统而言，不同的状态是不等价的。
把系统从一个状态变到另一个状态的过程称作变换，或者称给系统一个“操作”。
德国数学家魏尔在1951年提出了关于对称性的普遍定义：如果一个操作使系统从一个状态变到另一个与之等价的状态，或者说，状态在此操作下不变，我们就说该系统对这一操作是对称的，而这个操作就称为该系统的一个对称操作。
由于变换或操作方式的不同，可以有各种不同的对称性。
例如平移、转动、镜像反射、时空坐标的改变、尺度的放大缩小等都可视为操作。
将对称性概念应用于物理学中，研究对象不仅有图形，还有物理量和物理定律等。
例如质点的加速度是一个物理量，伽利略变换可看作一个对称操作，因为经伽利略变换后加速度保持不变，所以质点的加速度对伽利略变换的不变性也可称作加速度对伽利略变换具有对称性。
容易证明，牛顿第二定律经伽利略变换后保持不变，因而牛顿第二定律作为一条规律对伽利略变换具有对称性。
大学物理对称性与守恒定律
“猛然打开了科学中一个黑暗领域的大门。”
——法拉第
马赫的困惑：
马赫 （奥地利） 1838-1916
N N S S
条件－
导线、磁针均垂直于镜面， 结果－ 磁针偏转，与镜面平行。 镜面内右手螺旋法则不成立。
N S
N
S
N
S
解释：磁针磁性是安培分子 电流形成的，条件中存在平 行于镜面的因素。
N S N
S
实验仪器方位旋转，实验结果不变。
例如：实验仪器取向不同， 得出的单摆周期公式相同。
T 2
L g
2.空间平移对称 无限长直线：对沿直线移动任意步长的平移操作对称。 无限大平面：对沿面内任何方向、移动任意步长的平 移操作对称。 平面网格：对沿面内某些特定方向、移动特定步长 的平移操作(不变元)对称。
例如：在地球、月球、 火星、河外星系…进行 实验，得出的引力定律 （万有引力定律、广义 相对论）相同。
3.空间反射对称（镜象对称、左右对称、宇称） 相应的操作是空间反射(镜面反射) 。
动物在镜子面前的表现可以反映其智力高低。 令人意想不到的是,一面 镜子竟然能够在拯救一个 物种中发挥作用: 红鹳因为其镜像而以为自 己处在大群中，获得安全 感而繁殖。
学时：2
对称性的概念最初来源于生活：动物、植物、 建筑、文学艺术……
何其相似！
C60分子结构(巴基球) 截角正20面体，每个 顶点上一个C原子， 构成笼状32面体（20 个六边形，12个五边 形）。1985年发现 （ 1996 诺贝尔化学 奖），开创有机化学 新篇章。
药物设计应用举例：一种新开发的用于磁共振成像 的水溶性造影剂，避免其中金属原子对人体的潜在 危害。
对称性与自然规律之间是什么关系?
物理学中的对称性
对称性在弦论中的应用
对称性在未来物理学发展 中的作用
对称性在实验 物理中的应用： 如粒子物理、 凝聚态物理等
对称性在实验 设计中的作用： 如实验装置的 对称性设计、 实验结果的对
称性分析等
对称性在实验 数据分析中的 应用：如对称 性分析、对称
性检验等
对称性在实验 物理中的未来 发展：如对称 性在量子计算、 量子通信等领
对称性在人工智 能中的挑战：如 数据不平衡、模 型过拟合等问题
对称性在人工智 能中的创新：如 对称性神经网络、 对称性算法等
对称性在人工智 能中的未来发展： 如对称性在自动 驾驶、智能医疗 等领域的应用前 景
对称性在物理学中的重要 性
对称性在量子力学中的应 用
对称性在粒子物理学中的 应用
对称性在宇宙学中的应用
域的应用等
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汇报人：
大爆炸理论：宇宙起源于一个高度对称的状态称为大爆炸 宇宙学原理：宇宙中的物理定律在不同的时间和空间位置上是对称的
广义相对论：爱因斯坦的广义相对论利用对称性描述了引力如何影响时空结构
宇宙微波背景辐射：通过对称性分析科学家们能够研究宇宙的早期状态和演化历史
对称性的未来发展
对称性在人工智 能中的应用：如 人脸识别、图像 识别等领域
诺特定理：描述对 称性与守恒定律之 间的关系
规范对称性：描述 物理定律在不同规 范下保持不变的性 质
对称性破缺：描述 物理定律在某些条 件下不再保持不变 的现象
物理现象的对称性：物理现 象在空间和时间上的对称性
物理定律的对称性：物理定 律在空间和时间上的对称性
对称性与物理现象的关系：对 称性是物理现象的基础可以预
对称性在物理学中 的应用
对称性与守恒定律-问题的提出
dW Md
B 2
WAB F dr Md
A
1
力矩的功是力做功的角量表述
单位：焦耳 J ； 千瓦时
Z
O d F
rP
例1 作用在质点上的力为 在下列情况下求质点从
处该力作的功： 1. 质点的运动轨道为抛物线 2. 质点的运动轨道为直线
处运动到 Y
O
X
B B
Y
WAB F dr Fxd x Fydy Fzdz
3、势能仅有相对意义，所以必须指出零势能参考 点。两点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相 对位置的单值函数。
4、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的。
2-3 哈密顿函数
描述系统的状态函数
一、动量和角动量
能量、动量角动量是整个物理学中最重要的物理量
1、动量 （描述质点运动状态，矢量）
p mv
A
d v2 ( 1 mv 2 ) 2 v1
1 2
mv 22
1 2
mv
2 1
E KB
E KA
末态动能 初态动能
A
动能是 相对量
功是质点动能变化的量度 过程量 状态量
三、势能
1、保守力
W F dr 0
某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关， 而与路径无关。这种力称为保守力。
典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力
H (x, p, t) p2 1 kx2 2m 2
H kx m dv
x
dt
H
p
•
v x
p m
d (mv) dt
dp dt
•
p
•
p
H q
• H q p
物理学中的时空对称性和守恒定律
物理学中的时空对称性和守恒定律田亚兰【摘要】对称性意味着不变性,也就是经过某种对称变换后物理规律的不变性,这就意味着某种物理量的守恒.力学的守恒定律是时间的均匀性、空间的均匀性和各向同性的具体表现.从对称性角度探索问题,可以对未知的物理规律加以发现.【期刊名称】《甘肃高师学报》【年(卷),期】2014(019)005【总页数】3页(P17-19)【关键词】对称;守恒;物理学【作者】田亚兰【作者单位】定西师范高等专科学校,甘肃定西743000【正文语种】中文【中图分类】O41对称性是人类认识自然时产生的一种观察，是指自然界的一切物质和过程都存在或产生它的对应.这种对应表现为现象的相同、形态的对映、物质的反正、结构的重复、性质的一致和规律的不变性等.对称性深刻地解释自然界相互联系中的一致性、不变性和共同性，它是物理学家探索自然的基本依据和出发点之一.物理学中的三个基本量：能量、动量、角动量的守恒,表示出物理定律无论在何时何地都相同,且与在空间中的取向无关.这三个守恒定律都是由于体系的时空对称性引起的，从形式上看，守恒定律似乎是运动方程的结果，但从本质上来看，守恒定律比运动方程更为基本，因为它表述了自然界的一些普遍法则，支配着自然界的所有过程，制约着不同领域的运动方程.这里我们只限于从时间、空间的不同对称性出发，导出与之相关联的守恒定律，在经典力学范围内对上述关系做出简明的论证.一、物理时空的基本属性1.时间的均匀性物理学中假定时间具有均匀性，其含义是所有的物理现象不随时间发生变化.如果我们用一套仪器做实验，该实验进行的方式或秩序是和此实验开始的时刻无关的，就是说无论在什么时候开始做实验，我们得到完全一样的结果.这个事实表示了物理定律的时间平移的对称性，一个不随时间变化或者周期变化的系统，在任何时间间隔或在周期T的整数倍时间间隔都具有仍和原来的相同性，那么这个系统就具有时间平移对称性.我们所熟悉的24小时的昼夜循环，在时间上就表现出具有周期性的平移对称.因此时间的均匀性表明：当时间的计算起点移动时，物理规律（表现为运动方程）的具体形式不会改变.即通常所说的物理规律对于时间平移变换t=t’+t0.具有不变性，也就是说在一个具体的物理规律中，如把时间变量从t与t’相互变换后，所得的结果都与变换前相同.这种不变性表明，不同的时刻在物理上是等价的.时间平移对称性是时间均匀性的反映.2.空间的均匀性物理学中假定物质运动所存在的空间具有均匀性，其含义是空间各处的物理现象应服从相同的客观规律.这种均匀性可以说是空间没有绝对原点，或者说绝对位置是不可观测的.这种绝对位置的不可观测性，必然导致物理定律在空间平移下的不变性.假如我们在空间某处做一个物理实验，然后将该套实验（连同影响该实验的一切外部因素）平移到另一处，给以同样的起始条件，实验将会以完全相同的方式进行.这说明物理定律没有因平移而发生变化，它表明空间各处对物理定律是一样的，故也称为空间的均匀性.因此空间的均匀性表明：当坐标原点移动时，物理规律的具体形式不会改变.即：物理规律（表现为运动方程）对于坐标平移变换r=r’+r0具有不变性.说明将矢径r与r’相互变换后，所得的结果都与变换之前相同，这种不变性表明物理空间中一切点都是等价的.空间平移不变性是空间均匀性的反映.3.空间的各向同性物理学中还假定空间是各向同性的，其含义是在空间任何方向上所发生的物理现象，都服从相同的客观规律.如果在空间某处做实验后，把整套仪器（连同影响实验的一切外部因素）转一个角度则在相同的起始条件下，实验也会以完全相同的方式进行.这说明物理定律并没有因转动而发生变化.这就是物理定律的转动对称性.它表明空间的各个方向对物理定律是一样的，所以又叫做空间的各向同性.因此空间的各向同性（或“方向的均匀性”）表明，当坐标轴转动时，物理规律的具体形式不会改变，也就是说物理规律对于空间转动下的坐标变换具有不变性.这种不变性表明了物理空间中的一切方向都是等价的.从前面的讨论中我们知道：物理规律在一定的时空变换下的不变性，分别对应于不同时空的对称性.物理学关于对称性探索的一个重要进展是诺特定理，定理指出，如果运动定律在某一变换下具有不变性，必相应地存在一条守恒定律.下面我们先论证时间对称性与守恒定律的关联.二、时间对称性与能量守恒定律首先考虑只包含两个粒子的封闭系统沿一维x轴运动的情况.设两个粒子的位置坐标分别为x1和x2，质量分别为m1，m2，受到的作用力分别为 F1和 F2，V1，V2表示它们的速度,两粒子间的相互作用势能一般表示为 U（x1，x2；V1，V2；t)，假定进行一次微小的时间平移变换t’=t+Δt,这时势能U也随之改变，我们将变换后的势能按泰勒级数展开，由于Δt很小，所以Δt的二次项以后的各项均可略去,则变换后的势能可近似地表示为:U（x1，x2；V1，V2；t+Δt)=U（x1，x2；V1，V2；t)+ ∂UΔt∂t由于时间具有均匀性,那么进行时间平移变换前后的势能应当保持不变,则：U（x1，x2；V1，V2；t+Δt)=U（x1，x2；V1，V2；t)，又因Δt是任意的,故必须有=0，系统的动能之和为，由于T中不明显地包含时间变量t，因而，由于=0，所以对总能量E=T+U来说，这时体系的总能量E就不显含时间，而且对保守系而言，两粒子的势能只能是各粒子坐标的函数，所以系统总能量可以写成总能量对时间的全微商为：因二粒子间的作用力是保守力,所以有：Fi=-∂U，∂xi由牛顿运动方程可得，式中 i=1，2……代入（2）后得：该式子恰好表明二粒子体系的总能量是守恒的.对N个粒子构成的封闭系统,引入广义坐标qi和广义速度qα建立拉格朗日方程：L为拉格朗日函数，f表示自由度，k表示约束条件.从时间的均匀性即不同时刻的等价性考虑，体系的拉氏函数L不直接依赖于时间t，于是对于封闭体系,或者对于处在稳定外场中的体系，则有，这时拉氏函数对时间的全微商为：式中的上的一个点表示速度对时间的一阶微商,把（4）式代入（5）式可得:上式变形为则因此可得恒量.我们知道，哈密函数的一般定义写成了对稳定的保守系而言，H就是系统的总能量.所以上述结果证明：对N个粒子组成的体系来说，如果体系是封闭的保守系，则运动过程中体系的总能量是守恒的通过上述讨论我们看到，从物理规律的时间平移不变性出发，能够自然地得出封闭的保守系机械能守恒的结论，另外，从封闭的保守系机械能守恒出发，也能自然地推出物理规律所以具有的时间平移不变性.三、空间对称性与动量守恒定律由于空间的均匀性，我们可推导出动量守恒定律.设有两粒子组成的封闭系统，对O系，两粒子的矢径分别是r1，r2，当进行坐标平移时相当于坐标原点平移到（O’系），由于空间的均匀性,系统的相互作用能应当不包含粒子矢径 r1，r2，而只取决于相对位置(r2-r1)函数 u，即 u=u(r2-r1). 而两粒子体系的动量（P）的变化率是-grad u，表达式的右端是u对于势的梯度. 假定u对空间是均匀的即常势空间，则gr˙adu=0，则P=常向量，因此动量守恒. 对由N个粒子组成的保守力学体系，仍采用力学分析的方法.由于空间的均匀性，当系统中各粒子都进行同样的位移时，不应当改变体系的力学性质，从而拉格朗日函数L应当保持不变，但是，对非封闭体系来说，这种移动必然引起各粒子和外界物体间的相对位置的改变，从而影响了体系的力学性质.就是说，只有封闭体系作为整体在空间移动时，才不会引起拉氏函数L的改变.所以空间的均匀性要求δL=0.当系统作无穷小的平移δr时，表明系统内所有粒子移动同样长的线段，就是说当矢径由ri变为ri+δr时，则在速度不变的情况下，体系内所有粒子由坐标无穷小引起的拉氏函数的改变量是.由于δr是任意的，要求δL=0，故只能系统的动力学方程用拉格朗日函数表示为：由此上式可写成由广义动量的定义可知这个量就是粒子i的动量.由此得到系统的总动量恒矢量.说明在坐标变换不变的情况下，力学体系的动量守恒.当采用直角坐标系时，对应的Pi为线动量，P=常矢量，表征了动量守恒定律.在上面的讨论中，如果采用角坐标，对应的Pi为角动量，“P=常矢量”表征了角动量守恒定律.也就是说，由于空间的各向同性,导致空间的绝对方向是不可观测的,从而得出物理定律在空间转动下的不变性,这种不变性导致了角动量的守恒.通过以上讨论我们得出的结论是：封闭的系统，系统的动量不变.总之，对称性和守恒定律之间的联系，使我们认识到，任何一种对称性或者说一种拉格朗日或哈密顿的变换不变性，都对应着一种守恒定律和一种不可观测量.这一结论在我们的物理研究中具有极其重要的意义，尤其是在量子力学和粒子物理学中，由于引入新的内部自由度,使我们认识到一些新的抽象空间的对称性以及与之相应的守恒定律，如重子数守恒、轻子数守恒和同位旋守恒等内禀参量的守恒.反过来，假如时空的这些不变性不成立,则物理定律将因时间或地点的不同而不同，实验室就不能重复实验,科学本身就不可能存在.我们得出的结论是：守恒定律是各种不同的物理现象在相应范围内的和谐与统一，借助于守恒定律，我们可以透过复杂混沌的表面现象直接揭示事物有序的内在本质.参考文献：[1]卓崇培.刘文杰.时空对称性与守恒定律[M].北京：人民教育出版社，1982.[2]刘连寿.理论物理基础教程[M].北京：高等教育出版社，2003.[3]蒋士高.理论力学若干问题研究[M].南宁：广西科学技术出版社，1994.。
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第２ ８卷 第 ３期
西 南民族 学 院 学报 ’ 自然 科 学版
Ｊ ｕ ａ ｆＳ ｕ ｈ ｓ ｎ ｖ ｒ ｉ ｏ ａｉ ｎ ｌ ｉ ｓ Ｎ ａ ｕ ａ ｃ ｅ ｃ ｉ ｏ ｏ ｍ ｌ ｏ ｔ ｗｅ ｔ ｏ Ｕ ｉ ｅ ｓｔ ｆ ｒ ｙ Ｎ ｔ ａ ｉ ｅ ・ ｔ ｒ ｌ ｉ ｎ ｅ Ｅｄ ｔ ｎ ｏ ｔ Ｓ ｉ
Ｅ（ １ ２ｔ ＝ ｘ， ， ｘ ） 。＋ ２－ Ｖ（ ｑ ：
冈 为存 存 时 间平 移 不 蛮 件 ， 所 以 ．
收 稿 日期 ：２ ０ ． ２ １ ０ ２０ ．６
作者 简 介： 张容（９ ５） １６ ．．男． 四川 教育学 院物 理系 讲 师．
维普资讯
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．
２ ００２
文 章 编 号 ： １ ０ ・８ ３２ ０ ）３０ ０１０ ０ ３２ ４ （０ ２ｏ ・４ ・３
时 空 对 称 性 与 力学 守 恒 定 律
张 容
（ 四川教 育 学院 物理 系 ，成 都 ６ ０ ４ ） １０ １
摘
要 ： 力 学的 守恒 定律 是 时 间的 均 匀性 、 空间的 均 匀性和 各 向 同性 的具 体表 现． 对 力 学 守恒 定律 对 称性 的 研 究对 物
４２ ０
西南 民族学 院学报 ・自然科 学版
第２ ８卷
丝 ： ０
ａｔ
而 堕 ： 向
１
一
（ ）＋ Ｖｘｘ） 堕 — （， ： Ｔ —２ ｄ ￣
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，
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＋
．
，
ｄ ｌ ｄ ， ｘ
‘
、 ｄ，
） ＋ ‘ 丁
ｄ ｘ ，２ Ｖ（ ｌ ） Ｘ
（ＩＸ ） Ｇ Ｘ ，２ 一
律有着深刻 的、不可分割 的联 系（ ｅ ｅ定理） Ｎｏｔ ｒ ｈ ．对简 单的时间空间变 换而 言，一个力学体 系的空 间平 移不变性 ， 导 致 该 体 系 的 动 量 守 恒 ， 空 间 转 动 不 变 性 导致 角 动 量 守 恒 ， 时 间 平 移 不 变 性 导 致 能 量 守恒 ．
一 。 ｄ
ｔ
， ） ，根 据 牛 顿 第 二 定 律 得 ：
（） １ （） ２
：
根据相互作用势 能和作用 力之间的关系 有：
： 一 —
ｄ （ ｌ ２ Ｖ ｘ， ） ｘ
了
—
（） ３ （） ４
：
一
—
ｄＶ（ ｌ ２ ｘ， ） ｘ
了
—
１ ３ ２ ． Ｃ １
根据机械 能的定义有 ：
恒 定律 ． 因 此 ， 不 可 观 测 量 、对 称 性 和 守恒 定 律 这 三 者 是 相 关 连 的 ． 上 述 认 识 ，对 学 习 物 理 学 的 学 生来 说 是 很 必 要 的 ． 但 对 低 年 级 大 学 生 作 严 格 的 理 论 推 导 ， 可 能是 难 于 接 受 的 ．笔 者 在 这 此 介 绍 一 种 简 单 的讨 论 方 法 ， 可 能 是 有 益 的 ，供 同 行 们 参 考 ．
（） ７
争＋
同理 可 证 ，
ＯＸ－ ，
＝一： 。
：０
（） ８
由（） ７和 （） 可 知 ，Ｅ不 随 ｆ ６ ，（） ８ 式 ，鞠和 变 化 ， 即Ｅ 守 恒 量 ． 是
２ 空 间平移 不 变 性 与 动量 守恒 定 律 】
我 们 仍 以两 个 粒 子 的 孤 立 系 统 的 一 维情 况 来 讨 论 ．两个 粒 子 的 相 互作 用势 能 为 ，２．若 存 在 空 间 平 移 性 ｘ） 不变 ，则 表 示 为 当 ＋口， ２ ｘ ＋ａ时 ，体 系 势 能 不 变 ，即 （ ） （ ＋口 ２ ） ２ ，２ ＝ ，Ｘ ＋ ．这 只有 当 是 （ 一Ｘ ） 式 的 函 数 才 有 可 能 ． 例 如 ，一 条 直 线 上 的两 个 粒 子 的万 有 引 力 势 能 为 ： ２形
事 实 上 ，物 理 体 系 的 对 称 性 ，还 有 更 深 层 的根 源 ， 这 个 根 源 是 某 些 基 本 量 的 不 可 观 测 性 ，导 致 了 相 应 的 对 称 性 ，这 些 量 叫 “ 可 观 测 量 ” 不 ，例 如 ，绝 对 坐 标 的不 可观 测性 ，导致 系 统 的 空 间平 移 对 称 性 ， 由此 导 出动 量 守
１ 时 间 平 移 不 变 性 与 机 械 能 守 恒 定 律
为 １ 论 力。 ， 小 天 一 股 性 ， 小 妨 考 愿 两 个 粒 于 组 成 的 豆 系 统 的 一 维 情 况 ． 议 曲 个 粒 子 的 位 置 坐 杯 分 别 『讨 便
为 和 ， 质 量 分 别 为 ｍ ￣ｌ ，受 到 的 作 用 力 分 别 为 和Ｆ ， 相 互 作 用 势 能 为 ｌ ： ｍ２ ２
中 图 分 类 号 ： Ｏ４ １
文 献 标 识 码 ：Ａ
对 称 性 是 人 类 在 认 识 自然 界 的过 程 中 形 成 的一 种 观 念 ． 当 要 精 确 地 表 达 这 一 观 念 时 ，我 们 必 须 引 入 变 换 或 操 作 这 一 术 语 ． 换 就 是 进 行 某 种 变 动 ， 如 沿 一直 线 移 动 某 一几 何 图 形 ． 果 ～ 个 系 统 （ 何 图形 ， 理 系 统） 变 例 如 几 物 ， 在 某 种 变 换 下 是 不 变 的 ， 就 说 该 系 统 具 有 这 一变 换 所 对 应 的 对称 性 ． 一个 物 理 系 统 的对 称 性 与 该 系 统 的 守 恒 定
理规 律 的探 索有 着非 常 重要 的作 用 ，从 对 称性 角度 考 虑和 分析 问题 ，可 以对 未知 的物 理规 律 加 以发 现 ．在 不 用理 论 物
理知 识 的情 况 下对 力 学守恒 定律 的对 称性 的推 导 是有 一定 意 义的．
关 键 词 ： 守 恒 定 律 ； 对 称 性 ； 不 变 性 ； 不 可 观 测 量