161二次根式(第一课时)
161二次根式(第1课时)
16.1 二次根式(第1课时)一、内容和内容解析1．内容二次根式的概念．2．内容解析在“有理数”中，学生感受了研究数系扩充(数集的扩大，运算的拓展，运算律的保持)的基本思想．在“实数”中，学生已经了解了平方根、立方根的概念和求法；借助2， 的几何表示，以及用有理数逼近2等方法，学生对实数的概念有了初步体会．这些都为本章的学习打下了基础．二次根式作为一类特殊实数的一般形式，为学生进一步理解实数及其运算提供了载体．同时，二次根式作为一类代数式，研究其性质和运算，既是学习代数式的延续，又为理解代数符号体系及其运算提供了素材．因此，如何使学生在本章的学习中进一步体会代数学的基本思想和基本方法，是本章要考虑的一个核心问题．本章是在平方根知识的基础上，学习二次根式的概念、性质和运算．二次根式是表示非负数(包括具体的数和字母表示的数)的算术平方根的一类式子，从平方根的意义出发，得到二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，而且二次根式的值是非负数，这就是二次根式的双重非负性．所以，本节课的教学重点是从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念．二、目标及其解析1．目标(1)根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由．(2)能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系．2．目标解析目标(1)要求学生能从具体数的算术平方根出发，通过字母表示数，把算术平方根的概念推广到被开方数含有字母的情况，并根据算术平方根的概念得到二次根式的概念．能根据算术平方根的意义得出二次根式的被开方数、值为非负数这两个结论．要通过适当方法提示学生避免混淆这两个非负性．如果从函数的观点看，前者与定义域有关，后者与值域有关．目标(2)要求学生会根据问题情境，利用开平方运算的意义，列出实际问题中的二次根式．三、教学问题诊断由于学生有学习整式、分式的概念和性质的经验，其研究的步骤和方法可以迁移到二次根式的学习中，这不仅有利于本节课的学习，同样适用于本章其它内容的学习．算术平方根主要涉及具体数的开平方，而二次根式包含了对含字母的式子进行开平方运算，比具体数的开平方运算更抽象．由于被开方数含有字母，在研究这类式子时，就往往需要考虑二次根式有意义的条件及取值范围，这是本节课的难点．四、教学过程设计(一)创设情境，提出问题引言： 我们知道，用字母表示数，可以将字母和数一起运算，这种运算离不开运算律．前面已经学习了单项式、多项式和分式等概念和运算，可以发现，式的运算本质上就是对符号运用运算律所进行的形式运算．例如，两个多项式相乘，就是利用分配律把它化归为单项式乘积之和式来运算，而单项式的乘积则是用乘法的交换律、结合律和指数运算法则来计算．本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子的加、减、乘、除运算．下面一起思考一个问题．电视塔越高，从塔顶发身的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广．电视塔高h (单位：km )与电视节目信号的传播半径r (单位：km )之间存在近似关系r ＝Rh 2，其中地球半径R ≈6 400 km ，如果两个电视塔的高分别是h 1 km ，h 2 km ，那么它们的传播半径比是2122Rh Rh ，你能将这个式子化简吗？问题1 式子2122Rh Rh 表示什么？公式r ＝Rh 2中的Rh 2表示什么意义？师生活动：给学生充分的思考和讨论时间，让他们发现与己学过的整式运算、分式运算一样，式子2122Rh Rh 也是一种运算，这就需要先认识Rh 2的意义，在此基础上再进一步研究这类式子的性质及运算．设计意图：回顾已学过的数和式的运算，从数与式运算的完整性角度提出要研究的问题，让学生了解本章将要学习的主要内容，起到先行组织者的作用．问题2 请思考下列问题：(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S 的正方形的边长为________．(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130 m 2．则它的宽为________m ．(3)一个物体从高处自由落下， 落到地面所用的时间t (单位：s )与开始落下的高度h (单位：m )满足关系式：h ＝5t 2，如果用含h 的式子表示t ， 则t ＝________．师生活动：学生思考并完成上述问题，用算术平方根表示相关数量，教师进行适当引导和评价．关键是帮助学生实现从数的算术平方根到用含有字母的式子表示算术平方根的抽象．追问2：(3)中，当h 的值分别为10，15，25时，得到的结果分别是什么？5h 表示的数怎样变化？师生活动：学生回答．教师指出：含有字母的算术平方根具有一般性，这是需要研究的新一类式子．设计意图：为概括二次根式的概念提供具体例证，同时发展符号意识．通过追问，让学生回顾算术平方根的概念，再次体会字母表示的数可以进行开平方运算，体会字母表示数的一般性和简约性．(二)抽象概括，形成概念问题3 上面得到的式子3，S ，65，5h 有什么共同特征？ 师生活动：教师引导学生得出共同特征，并给出二次根式的定义．追问1：4， 0，的算术平方根分别是什么？－4有没有算术平方根？追问2：在二次根式的定义中，为什么要有条件“a ≥0”？师生活动：教师引导学生讨论，分析共同特点，归纳得到二次根式的概念，并强调“被开方数非负”．设计意图：采用从具体到抽象的方式，通过归纳得出二次根式的概念．(三) 辨析概念，应用巩固1．初步应用例1 当x 是怎样的实数时，2 － x 在实数范围内有意义？师生活动：教师可以通过问题“2 － x 表示的意义是什么？被开方数是什么？你能根据二次根式的概念得到答案吗？”引导学生从概念出发思考问题．例2 当x 是怎样的实数时，2x 在实数范围内有意义？3x 呢？师生活动：先让学生独立思考，再追问．设计意图：通过例1、例2，加深对概念的理解．2．比较辨别，探索性质问题5 比较a 与0的大小．师生活动：先让学生独立思考．学生的第一反应可能是a ＞0，部分学生能得出a ≥0这一正确结论．教师可以引导学生根据概念，或分a ＞0和a ＝0进行讨论而得到结论．设计意图：强化对二次根式双重非负性的认识．(四)综合应用，深化提高1．学生完成教材第3页的练习．2．当x 是什么实数时，下列各式有意义(1)x 4 － 3；(2)1－ x x ；(3)2 x －． 设计意图：辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件．(五)回顾总结，反思提升(1)什么叫二次根式？二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？(3)我们以前学过的整式、分式都能像数一样进行运算，你认为对于二次根式应该进一步研究哪些问题？布置作业：教科书习题16.1第1，3，5，6，7，10题．六、目标检测设计1．要使x 2 ＋ 5有意义x 必须满足( )．A ．x ≥－25B ．x ≤－25C ．x 为任何实数D ．x 为非负数2．一个用电器的电阻为R ，消耗的电功率为P ，它两端的电压为U ，其关系式为：P ＝R U 2，则U 可表示成( )．A ．U ＝P RB ．U ＝R PC ．U ＝RPD ．U ＝±RP 设计意图：用二次根式表示实际问题中的量．3．使n － 2有意义的正整数n 为________．设计意图：考查二次根式有意义的条件．4．求当二次根式24x 的值等于4时x 的值．设计意图：考查二次根式的概念及其与开平方的关系．参考答案：1．A2．C3．1，2．4．解：4x 2＝16，x 2＝4，x ＝±2．。
161二次根式教案(公开课).docx
第16章二次根式16.1二次根式（1）【教学目标】1 •根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由；2.能用二次根式表示实际问题屮的数量和数量关系.【教学重点】从算术平方^根的意义出发理解二次根式的概念.【教学过程】一•创设情境提出问题仁电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从而能收看到屯视节目的区域越广，电视塔高（单位：km）与电视节Fl信号的传播半径厂（单位：km） Z间存在近似关系r= y/2Rh ,其中地球半径用6400km・如杲两个电视塔的高分别是仙km. h2 km,那么它们的传播半径之比是你能化简这个J2R他式子吗？式子表示什么？公式中r = ^2Rh中的4^Rh表示什么意义？2.问题：（1）面积为3的正方形的边长为__________ ,面积为S的正方形的边长为1表示的数怎样变化?5_合作探究形成知识厂厂丘PI；爲”结杲恥2冋5(1) 这些式子分别表示什么意义？(2) 这些式子有什么共同特征？分别表示3, S, 65,-的算术平方根这些式子的共同特征是：都表示一个非负数(包括字母或式了表示的非负数)的算术平方根・(3) 根据你的理解，请写出二次根式的定义.把形如低血，届,用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式.<”称为二次根号.我们把形如4a (a>0)的式了叫做二次根式,被开方数a》。
：根指数为2・三•初步应用巩固知识练习1指出下列哪些是二次根式？(1)躬;J(4) . J⑵百；(5)J^2 (a^2) ; J(3)(6)Ju-b(a<b).练习2二次根式和算术平方根有什么关系？二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的算术平方根是二次根式・要使S 在实数范围有意义, 必须X+2M0,••- xM 一2 ・・•・当.&-2时,妇2在实数范围内有意义.例2当x 是怎样的实数时，V7 在实数范围内有意义？ 呢？例3 Q 取何值时，下列根式有意义？(1) (2) ；(R J (aT )，・解，(1)由a+lMO,得 aM-l ；(2)由l-2a>0,得 a<；：a 为任何实数.变式a 取何值时，下列根式有意义？(1) Ja ，-2a+l ; (2 ) J- (a-D' ■ 答案：(1)日为任何实数；(2)日=1.总结：被开方数不小于零.四•比较辨别探索性质 问题请比恥和o 的大小Oo 当a>0时,靠表示a 的算术平为根，因此需>0： 当a =0时,爲表示0的算术平方根，因此靠=0： 这就是说，爺(aMO)是一个非负数.五•综合应用深化提高例1 意义？ 解： 当兀是怎样的实数时,3在实数范围内有练习1判断下列各式哪些是二次根式,(1) V-16 ; X (3) J/+1 ；(2)V^H0(n>0). J(4)仁«W0)・练习2当x是什么实数时，下列各式有意义.(1) 丁3-4工;(2) ; (3) \l~x2•(4) Jx-2-J2-XX_1练习3若不是整数，则自然数/?的值为_ 0, 3, 4・六•课堂小结(1)本节课你学到了哪一类新的式子？一般地，我们把形如靠(。
【人教版】八年级数学下册 16.1二次根式第一课时教学课件(共34张ppt)
思考这些填入数据有什么特征
动脑想一想
【师】很明显
3
、s
、65
、 s 都是一些正数的
5
算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式
子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我
们把形如 （a a≥0）的式子叫做二次根式“ ”称
为二次根号．
动脑想一想
思考: （学生活动）议一议：
1．-1有算术平方根吗？ 没有 2．0的算术平方根是多少？ 0 3．当a<0，a 有意义吗？ 没有
7、人往往有时候为了争夺名利，有时驱车去争，有时驱马去夺，想方设法，不遗余力。压力挑战，这一切消极的东西都是我进取成功的催化剂。 8、真想干总会有办法，不想干总会有理由;面对困难，智者想尽千方百计，愚者说尽千言万语;老实人不一定可靠，但可靠的必定是老实人;时间，抓起来是黄金，抓不起来是流水。14、成长是一场和自己的比赛，不要担心别人会做得比你好，你只需要每天都做得比前一天好就可以了。
动手做一做
【师】同学们好（学生活动）请同学 们独立完成下列三个问题：
问题1：面积为3的正方形的边长为 _3_面 积为S的正方形的边长 s ． 问题2：一个长方形的围栏，长是宽的2 倍，面积为130则他的宽为 __6_5_____．
动手做一做
问题3：一个物体从高处自由落下，落 到地面所用的时间t与开始落下时离地 面的高度h满足关系h=5t2用含h的式子表 示t，那么t为 __h____．
9、成功的道路上，肯定会有失败;对于失败，我们要正确地看待和对待，不怕失败者，则必成功;怕失败者，则一无是处，会更5、别着急要结果，先问自己够不够格，付出要配得上结果，工夫到位了，结果自然就出来了。 6、你没那么多观众，别那么累。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想，更不庸人自扰。
二次根式教案(第一课时)
长是宽的2倍，面积为130 ，则它的宽为_____ .
3.一个物体从高处自由下落,落到地面所用的时间为t，（单位：s）与开始下落的高度h（单位：m） 满足关系 .如果用含有h的式子表示t, 则t=_________.
给学生充分的时间思考和讨论，让他们发现这个式子也是一种运算.
教学重点
二次根式中被开方数的取值范围.
教学难点
二次根式中被开方数的取值范围的产生过程.
教学方法
通过解决实际问题，引出二次根式的概念，再通过解题实践，总结归纳二次根式的被开方数的取值范围要大于等于零.
教学手段
多媒体课件等
课型
新课
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
一、创设情境，提出问题
羊村和狼堡都新建了电视塔.电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到的电视节目的区域就越广.电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系r= ，其中，R是地球半径，R≈6400km.如果羊村和狼堡两个电视塔的高分别是 km, km,那么它们的传播半径之比是 .你能帮羊羊将这个式子化简吗？
五、课堂小结，知识梳理
（1）本节课你学习了哪些知识？
（2）利用本节课知识，你能解决什么问题？
（3）你还有什么困惑？还想继续探究什么？
在学生总结后，进行补充，帮助学生形成知识网络.
归纳、总结发言，体会、反思.
六、布置作业
必做题：教材第3页练习—1，2题. 教材第5页习题--1题.
选做题：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
巩固所学知识，分层作业的布置面向全体，有助于每一位学生的进步.
16.1 二次根式(第一课时)
(5) a
(3) m (m≥0)
2
+1
5
求下列二次根式中字母的取值范围：
1
a +1
2
1 2 1 2a
3 a 3
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2、x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x
说对二次根式 的认识！ a
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2.a可以是数,也可以是式,但是必须非 负。
3.形式上含有二次根号
4.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
1.下列各式中，是二次根式的有几个?
(1)
32
(2)
(4) (6)
12 xy (x、y异号）
象限.
a
)在
5、当x分别取下列值时，求二次根式
4 2 x 的值：
(1) x=0 (2) x=1 (3) x=8
（1）二次根式的概念
（2）根号内字母的取值范围
（3）二次根式的值
0有一个平方根就是0；
负数没有平方根。
S
圆形的下球体在平面图上的面积.
如图所示的值表示正方形的面积， 则正方形的周长是
b. 3
b-3
思考：以上几个式子有哪些共同特点？
s
b3
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
请你凭着自己已有的知识,说
人教版八年级上册
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这 个数就叫做a的平方根。 a的平方根是 a(a≥0) 2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
16.1二次根式(第一课时)正式稿
我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方 数只能是正数或0.
创设情境 提出问题
问题：
（1）面积为3 的正方形的边长为____3___，面积
为S 的正方形的边长为____S___．
（1）中式子你是怎么得到？得到的两个式子有什 么不同？
创设情境 提出问题
a +b−c=5.
总结：二次根式的双重非负性 1. 二次根式的最小值为0；
a
a≥0 .
a≥0
2.常见的具有非负性的式子有：
a2≥0; a ≥0; a ≥0.
若 a b2 c 0 , 则a=b=c=0.
例3 二次根式双重非负性的应用
x 32
x3
解： ( x 3)2≥0, 解： x3≥0,
x为任意实数. x≤0.
例1 根据二次根式定义进行判断
(2)当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有 意义？
1 x x1
x 4 ( x 6)0
解：
1 x≥0
x
1≥0
,
解：
x 4≥0
x
6
0
,
x=1.
x≥4且x 6.
（A） x 2
（B） x
（C） x2 2
（D）3 x 1
例1 根据二次根式定义进行判断
(2)当x是怎样的实数时,下 2≥0, 解： 2 3x≥0,
x≥2.
x≤ 2 . 3
例1 根据二次根式定义进行判断
(2)当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有 意义？
合作探究 形成知识
（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．
把形如 3，二S次，根65号， h 用来表示一个非负数的
人教版八年级数学下册16.1二次根式第一课时优质课件.ppt
当 x≥ 2 时， x 2 在
实数范围内有意义.
练一练 当a是怎样的实数时，下列的各 式在实数范围内有意义？
三、研学教材
⑴ a 1 ;
解：由 a-1 ≥0，得a ≥ 1 .
当a ≥ 意义.
1 时， a 1 在实数范围内有
(2) 2a 3
解：由 2a+3 ≥0，得a ≥ -1.5 .
2、二次根式的意义
当x ≥0 时， x 在实数范围内有意义.
我相信，只要大家勤 于思考，勇于探索，一定 会获得很多的发现，增长 更多的见识，谢谢大家， 再见！
二次根式(1)
一、学习目标
1、理解二次根式的概念； 2、理解二次根式中被开方数在实数范
围内有意义的条件.
二、新课引入
1、填空：
一个正数有 2个 平方根，它们 互为相反数 ； 0的平方根是 0 ；负数 没有平方根.
2、下列各式是否有意义，为什么？
⑴ 3
⑶ (3)2
；⑵ ;⑷
3 ；
1 102 .
（1）. 3
二次根式 ③因为-5小于0，所以 5 不是二
次根式
三、研学教材
2、下列式子中，是二次根式的是
（A ）
A．— 7 B.3 7 C． x D．x
3、下列式子中，不是二次根式的是
（D ）
A． 4
B．16 C． 8
D．1
x
三、研学教材4、已知一个正方形的面源自是5，那么它的边长是（ B
A.5 B． 5
）C．15
当a ≥ -1.5 时， 2a 3 在实数范
围内有意义.
⑶
；
a
解：
由 -a ≥0，得a ≤ 0
16-1-1 二次根式的概念(第一课时)(教学课件)-2023-2024八年级
（2）∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，
∴x≥-3.
【点睛】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不
∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.
等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑
分母不为零.
∴x≥-3 且x≠1.
1.单个二次根式如 A 有意义的条件： A≥0
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
16.1.1 二次根式的概念
1.理解二次根式的概念.（重点）
2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.
（难点）
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是 a (a≥0).
+2
6
8．已知 = 2 3 − + 3 − 9 + 2,则ab=_____．
9．已知等腰三角形ABC的两边满足 − 3 + 6 − = 0，则此三角形的
15
周长为_______.
2021
10．若 − 2021 + |2020 − | = ，则20202 − =________.
2.多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的条件：
3.二次根式作为分式的分母如
4.二次根式与分式的和如
A
B
或
B
A
或
A
1
A
A≥0；
B≥0；
...
N≥0；
有意义的条件： A＞0
C
有意义的条件： A≥0且B≠0
二次根式161二次根式1课件
自主评价
1．本节课你学到了哪些知识？ 2．本节课中你最大的收获是什 么？
课堂小结
1.二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
2.重要结论: 当a 0时， a 2 a.
自主探究
生活小例
如图所示的值表示正方形的
面积，则正方形的边长为 c2 .
C2
圆的面积为S，则圆的半径
是 s.
S
一个苹果从高度为h的树上落 到地面所用的时间是 2h (参 考公式：h= gt2 /2 ） g
3.当x
3 2
且x
0时，在
2x 3实数范围
x
内有意义.
4.已知 1 有意义，那么点 A(a, a)
a
在 二 象限
自主拓展
5．在实数范围内,因式分解
1a3 2a
2x4 6x2 9
自主拓展
6.已知a.b为实数，且满足下列 关系式： a 2b 1 1 2b 试1 求a及a+b 的值.
自主拓展
7.已知 a b 6与 a b 8
互为相反数，求a、b的值。
解：由题意可知： a-b+6 + a+b-8 =0 a-b+6=0
a+b-8=0
解得 : a=1,b=7
a和b的值分别为：a=1,b=7
18
举一反三
19
拓展延伸
求x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
3 1 2x-1
2
2
Hale Waihona Puke 2 1-x（3） 5x 1 （4） 1 10 x
（5） x2 1 （6） x2
自主展示
挑战自我
当x为怎样的实数时，下列各式有意义？
16,1 二次根式 第一课时八年级数学下册课件(人教版)
例2 当x 是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？ 解：由x-2≥0，得x ≥2.
当x ≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
1 当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) a 1； (2) 2a 3；
(3) a；
(4) 5 a .
解：(1)由a－1≥0，得a≥1，所以当a≥1时， a 1 在实数范围内有意义．
当a＞0时，－5a＜0，则 -5a 不是二次根式．
∴ -5a 不一定是二次根式．
(4) a＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式．
1
1
(5)当x＝－3时，（x 3）2 无意义，∴ （x 3）2 也无意义；
1
1
当x≠－3时，（x 3）2 ＞0，∴ （x 3）2 是二次根式．
3 式子 a＋1 有意义，则实数a 的取值范围是( C )
a－2
A．a≥－1
B．a≠2
C．a≥－1且a≠2
D．a＞2
知识点 3 二次根式的“双重”非负性（a≥0， a≥0）
同时 a (a≥0)也是一个非负数，我们把这个性质叫做二次根
式的双重非负性.
例3 若 x y 1 （y 3）2 0，则x-y 的值为 ( C )
长的等腰三角形的周长是( B )
A．20或16
B．20
C．16
D．以上答案均不对
若式子
x1 ( x 3)2
有意义，则实数x 的取值范围是( B
)
A．x≥－1
B．x≥－1且x≠3
C．x >－1
D．x >－1且x≠3
本题易错在漏掉分母不为0这个条件，由题意
知x＋1≥0且(x－3)2≠0，解得x ≥－1且x≠3.
八年级数学下册16二次根式161二次根式1教案新人教版
16.1.1二次根式（1） 教学目标 知识与技能 1.知道二次根式与数的平方之间的联系,掌握二次根式的概念. 2.会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值范围.过程与方法 1.经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力。
2.通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力。
情感态度与价值观 经历观察、比较、总结和应用等数学活，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。
重点会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值范围. 难点会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值范围. 教学过程第一步：复习回顾求下列各数的平方根和算术平方根.9的平方根，算术平方根0.64的平方根，算术平方根0的平方根，算术平方根39±=±39=8.064.0±=±8.064.0=00=3±8.0±0.8003复习回顾第二步：探究新知：第三步：应用举例：第四步、课堂练习八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC BC•AD1×AD＝18，解得：AD＝1．∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD BC ＝11＝1+3＝2．故选C．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．2．在实数02π，|﹣3|中，最小的数是（）A ．0B C ．π D ．|﹣3|【答案】B 【分析】根据1大于一切负数；正数大于1解答即可．【详解】解：∵|﹣3|＝3，∴实数1，﹣π，|﹣3|1＜|﹣3|＜π，故选：B ．【点睛】本题考查实数的大小比较；解答时注意用1大于一切负数；正数大于1．3．已知2m a =，3n a =，则2m n a +的值为（ ）A ．11B ．18C ．38D ．12【答案】B【分析】根据同底数幂乘法的逆运算法则，幂的乘方逆运算法则计算即可．【详解】2222=()2318m n m n m n a a a a a +⋅=⋅=⨯=，故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法逆运算法则，幂的乘方逆运算法则，熟记幂的运算法则是解题的关键． 4．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ） A ．1，2，5B ．2，2，4C ．1，2，3D ．2，3，4 【答案】D【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，逐项分析解答即可.【详解】A 、1+2＜5，不能组成三角形，故此选项错误；B 、2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误；C 、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；D 、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确；故选D ．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．5．如图，直线//a b ，∠1的度数比∠2的度数大56°，若设1x ∠=︒，2y ∠=︒，则可得到的方程组为（ ）A ．56180x y x y =-⎧⎨+=⎩B ．56180x y x y =+⎧⎨+=⎩C ．5690x y x y =-⎧⎨+=⎩D ．5690x y x y =+⎧⎨+=⎩【答案】B【解析】根据∠1与∠2互补，且∠1的度数比∠2的度数大56°列方程组即可.【详解】∵//a b ，∴∠1+∠2=180°，即x+y=180.∵∠1的度数比∠2的度数大56°, ∴∠1=∠2+56°，即x=y+56°.∴56180x y x y =+⎧⎨+=⎩. 故选B.【点睛】本题考查了平行线的性质，二元一次方程组的应用，找出列方程组所需的等量关系是解答本题的关键. 6．已知三角形的两边长分别是3和8，则此三角形的第三边长可能是（ ）A．9 B．4 C．5 D．13【答案】A【分析】先根据三角形的三边关系求出第三边的取值范围，然后从各选项中找出符合此范围的数即可．【详解】解：∵三角形的两边长分别是3和8∴8－3＜第三边的长＜8＋3解得：5＜第三边的长＜11，由各选项可得，只有A选项符合此范围故选A．【点睛】此题考查的是已知三角形的两边长，求第三边的取值范围，掌握三角形的三边关系是解决此题的关键．∆中，作BC边上的高，以下画法正确的是（）7．在ABCA． B．C．D．【答案】D【分析】作哪一条边上的高,即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．∆中,画出边BC上的高,即是过点A作BC边的垂线段,正确的是D．【详解】解：在ABC故选D．【点睛】本题考查了画三角形的高，熟练掌握高的定义是解题的关键.8．如图，在一个单位面积为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……是斜边在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，-1），A3（0，0），则依图中所示规律，点A2019的横坐标为（）A ．1010B ．1010-C ．1008D ．1008-【答案】D 【解析】先观察图像找到规律，再求解.【详解】观察图形可以看出A 1--A 4；A 5---A 8；…每4个为一组，∵2019÷4=504 (3)∴A 2019在x 轴负半轴上，纵坐标为0，∵A 3、A 7、A 11的横坐标分别为0，-2，-4，∴A 2019的横坐标为-（2019-3）×=-1．∴A 2019的横坐标为-1．故选：D ．【点睛】本题考查的是点的坐标，正确找到规律是解题的关键.92x +x 的取值范围是（ ）A ．x ＞﹣2B ．x≥﹣2C ．x ＜﹣2D ．x≤﹣2【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件可得20x +≥ ，再解不等式即可．【详解】解：由题意得：20x +≥，解得：2x ≥-，故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．10．如图，ABC ∆是等边三角形，BD 是中线，延长BC 到点E ，使CE CD =，连结DE ，下面给出的四个结论：①BD AC ⊥，②BD 平分ABC ∠，③BD DE =，④120BDE ∠=，其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】因为△ABC 是等边三角形，又BD 是AC 上的中线，所以有:AD=CD ，∠ADB=∠CDB=90°（①正确），且∠ABD=∠CBD=30°（②正确），∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE ，可得∠CDE=∠DEC=30°，所以就有，∠CBD=∠DEC ，即DB=DE （③正确），∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°（④正确）；由此得出答案解决问题.【详解】∵△ABC 是等边三角形，BD 是AC 上的中线，∴∠ADB=∠CDB=90°，BD 平分∠ABC ；∴BD ⊥AC ；∵∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE ，∴∠CDE=∠DEC=30°，∴∠CBD=∠DEC ，∴DB=DE.∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°所以这四项都是正确的.故选：D.【点睛】此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用.二、填空题11．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b、c，若a+b-c=1．s表示Rt△ABC的面积，l表示Rt△ABC的周长，则sl=________．【答案】1【分析】已知a+b-c=1，△ABC是直角三角形，将s=ab2，l=a+b+c用含c的代数式表示出来，再求解sl即可．【详解】∵a+b-c=1∴a+b=1+c∴(a+b)2=a2+2ab+b2=c2+8c+16 又∵a2+b2=c2∴2ab=8c+16∴s=ab2=2c+1l=a+b+c=2c+1∴sl=1故答案为：1【点睛】本题考查了勾股定理的应用，完全平方式的简单运算，直角三角形面积和周长计算方法．12．观察下列各式：111113 132a⎛⎫==-⎪⨯⎝⎭；21111 35235a⎛⎫==-⎪⨯⎝⎭；31111 57257a⎛⎫==-⎪⨯⎝⎭；4111179279a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭； ⋯⋯⋯，则123200a a a a +++⋅⋅⋅+=______ 【答案】200401【分析】根据题意，总结式子的变化规律，然后得到1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--⨯+-+，然后把代数式化简，通过拆项合并的方法进行计算，即可求出答案． 【详解】解：∵111113132a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭； 2111135235a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭； 3111157257a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭； 4111179279a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭； …… ∴1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--⨯+-+； ∴123200a a a a +++⋅⋅⋅+11111111111(1)()()()232352572399401=-+-+-+⋅⋅⋅+⨯- 11111111(1)233557399401=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+- 11(1)2401=⨯-1400 2401 =⨯200 401 =；故答案为：200 401．【点睛】本题考查了整式的混合运算，以及数字的变化规律，解题的关键是熟练掌握正确掌握题意，找到题目的规律，从而运用拆项法进行解题．13．81的平方根是____．【答案】±3【详解】∵81=9，∴9的平方根是3±.故答案为±3.14．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3…分别在直线y＝kx+b(k＞0)和x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)，则点B3的坐标是_____，点B n的坐标是_____．【答案】 (7,4)B n(2n-1，2n-1)【详解】解：已知B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），可得正方形A1B1C1O1边长为1，正方形A2B2C2C1边长为2，所以A1的坐标是（0，1），A2的坐标是（1，2），用待定系数法求得直线A1A2解析式为y=x+1．已知点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），可得点B3的坐标为（7，4），所以B n的横坐标是：2n-1，纵坐标是：2n-1．即可得B n的坐标是（2n-1，2n-1）．故答案为： (7,4 )；B n (2n -1，2n-1)【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．15．分式1x x +有意义的条件是__________. 【答案】1x ≠-【分析】根据分式的性质即可求出. 【详解】∵1x x +是分式， ∴10x +≠∴1x ≠-【点睛】此题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是熟知分式的性质.16．若多项式x 2+pxy+qy 2=（x-3y ）（x+3y ），则P 的值为____．【答案】1【分析】根据平方差公式，可得相等的整式，根据相等整式中相同项的系数相等，可得答案．【详解】解：由x 2+pxy+qy 2=（x-3y ）（x+3y ）得，x 2+pxy+qy 2=（x-3y ）（x+3y ）=x 2-9y 2，p=1，q=-9，故答案为：1．【点睛】本题考查了平方差公式，利用平方差公式得出相等的整式是解题关键．17．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，DE 是AB 的垂直平分线，AD 恰好平分∠BAC ，若DE ＝1，则BC 的长是_____．【答案】1【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，再根据等边对等角的性质求出∠DAB＝∠B，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求出∠B＝10°，再根据直角三角形10°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，然后求解即可．【详解】解：∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝1，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠B＝∠DAB，∵∠DAB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠DAB＝∠B，∵∠C＝90°，∴∠CAD+∠DAB+∠B＝90°，∴∠B＝10°，∴BD＝2DE＝2，∴BC＝BD+CD＝1+2＝1，故答案为1．【点睛】本题考查了角平分线的定义和性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形10°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，属于基础题，熟记性质是解题的关键．三、解答题18．如图所示，数轴上表示3A B、，点B关于A点的对称点为C，设点C所表示的数为x ．()1写出实数x 的值．()2求(23x 的值． 【答案】（1）23x =-（2）1683+【分析】（1）由点B 关于A 点的对称点为C ，可知A 点为B 、C 两点的中点，根据线段中点的性质求解即可；（2）将x 值代入，计算即可求得答案．【详解】解：（1）数轴上3-AB 、，点B 关于A 点的对称点为C ∴A 点为B 、C 两点的中点31x +=- 解得：23x =-故实数23x =-（2）当23x =-(2223(233)(223)1683x =-=--=+ 故(231683x =+【点睛】 本题考查了实数与数轴、代数式求值，解题的关键是利用线段的中点正确求出x 的值．19．先化简22121211x x x x x ÷---++，然后从﹣1，0，2中选一个合适的x 的值，代入求值． 【答案】-11,2x -.【分析】先把分式除法转换成乘法进行约分化简，然后再找出分式的最小公分母通分进行化简求值，在代入求值时要保证每一个分式的分母不能为1【详解】解：原式=22121·1x x x x-+- -21x + =21(1)·1)(1)x x x x-+-（ -21x + =121)1x x x x （--++ =()121)1x x x x x x --++（ =-1x. 当x=-1或者x=1时分式没有意义所以选择当x=2时，原式=12-. 【点睛】分式的化简求值是此题的考点，需要特别注意的是分式的分母不能为1．20．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x 2﹣4x+1）（x 2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x 2﹣4x ＝y原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）＝y 2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x 2﹣4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：；（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．【答案】（1）C；（2）（x﹣2）1；（3）（x+1）1．【解析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；（3）根据材料，用换元法进行分解因式．【详解】（1）故选C；（2）（x2﹣1x+1）（x2﹣1x+7）+9，设x2﹣1x=y，则：原式=（y+1）（y+7）+9=y2+8y+16=（y+1）2=（x2﹣1x+1）2=（x﹣2）1．故答案为：（x﹣2）1；（3）设x2+2x=y，原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）1．【点睛】本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．21．某工厂要把一批产品从A地运往B地，若通过铁路运输，则每千米需交运费15元，还要交装卸费400元及手续费200元，若通过公路运输，则每千米需要交运费25元，还需交手续费100元（由于本厂职工装卸，不需交装卸费）.设A地到B地的路程为x km，通过铁路运输和通过公路运输需交总运费y1元和y2元，（1）求y1和y2关于x的表达式.（2）若A地到B地的路程为120km，哪种运输可以节省总运费？【答案】（1）225100y x=+；（2）铁路运输节省总运费.【解析】（1）可根据总运费=每千米的运费×路程+装卸费和手续费，来表示出y1、y2关于x的函数关系式；（2）把路程为120km 代入，分别计算y 1和y 2，比较其大小，然后可判断出哪种运输可以节省总运费．【详解】（1）解：根据题意得：115400200y x =++ 即115600y x =+225100y x =+（2）当x=120时，1151206002400y =⨯+= 2251201003100y =⨯+=∵12y y <∴铁路运输节省总运费【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数的应用题常出现于销售、收费、行程等实际问题当中，是常用的解答实际问题的数学模型.22．如图，在平面直角坐标系中，过点()60B ，的直线AB 与直线OA 相交于点()42A ，，动点M 在线段OA和射线AC 上运动．（1）求直线AB 的解析式．（2）求OAC ∆的面积．（3）是否存在点M ，使OMC ∆的面积是OAC ∆的面积的12？若存在求出此时点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y=-x+6；（2）12；（3）M 1（2，1）或M 2（2，4）或M 3（-2，8）．【解析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求得C 的坐标，即OC 的长，利用三角形的面积公式即可求解； （3）当△OMC 的面积是△OAC 的面积的12时，根据面积公式即可求得M 的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标．【详解】解：（1）设直线AB的解析式是y=kx+b，根据题意得4260k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：16kb=-⎧⎨=⎩，则直线的解析式是：y=-x+6；（2）在y=-x+6中，令x=0，解得：y=6，S△OAC=12×6×4=12；（3）设OA的解析式是y=mx，则4m=2，解得：m=12，则直线的解析式是：y=12x，∵当△OMC的面积是△OAC的面积的12时，又∵动点M在线段OA和射线AC上运动∴①当M的横坐标是12×4=2，在y=12x中，当x=2时，y=1，则M的坐标是（2，1）；在y=-x+6中，x=2则y=4，则M的坐标是（2，4）．则M的坐标是：M1（2，1）或M2（2，4）．②当M的横坐标是：-2，在y=-x+6中，当x=-2时，y=8，则M 的坐标是（-2，8）；综上所述：M 的坐标是：M 1（2，1）或M 2（2，4）或M 3（-2，8）．【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式以及三角形面积求法等知识，利用M 点横坐标为±2分别求出是解题关键．23．如图，把1R 、2R 两个电阻并联起来，线路AB 上的电流为I ，电压为U ，总电阻为R 总，则=U IR 总，其中，1R ，2R ，R 总满足关系式：12111=+R R R 总.当1=10R ，2=30R ，=1.6I 时，求U 的值．【答案】12【分析】先把R 1、R 2、R 总关系式12111=+R R R 总化简为最简形式，然后把未知数对应的值代入，得出R 总的值，再根据=U IR 总即可求出答案．【详解】解：分式方程两边同乘以R 1·R 2·R 总，得R 1·R 2＝R 2·R 总＋R 1·R 总把1=10R ，2=30R 代入上式，得：300＝40·R 总∴R 总＝7.5又∵=U IR 总，=1.6I∴U ＝12【点睛】本题主要考查解分式方程，先把分式方程化简，再把解方程，关键是掌握分式方程化简的方法和步骤．24．A 、B 两车从相距360千米的甲、乙两地相向匀速行驶，s （千米）表示汽车与甲地的距离，t （分）表示汽车行驶的时间，如图所示，1l 表示的是B 车，2l 表示的是A 车．（1）汽车B 的速度是多少?（2）求1l 、2l 分别表示的两辆汽车的s 与t 的关系式．（3）行驶多长时间后，A 、B 两车相遇?（4）什么时刻两车相距120千米?【答案】（1）120千米/时；（2）1l 对应的函数解析式为2360s t ，2l 对应的函数解析式为s t =；（3）120分钟；（4）当行驶43小时或83小时后，A ，B 两车相距120千米． 【分析】（1）根据函数图象可以得到汽车B 的速度；（2）根据图象可以设出1l 、2l 的解析式，由函数图象上的点可以求得它们的解析式；（3）根据函数关系式列方程解答即可；（4）分两种情况讨论，相遇前和相遇后，然后列方程解答即可．【详解】解：（1）由图象可得， 60(360240)12060（千米 /时）；答：汽车B 的速度为120千米/时；（2）设1l 对应的函数解析式为s kt b =+，36060240b k b ，解得2360k b ， 即1l 对应的函数解析式为2360s t ，∵2l 经过原点，则设2l 对应的函数解析式为s mt ，6060m ，得1m =， 即2l 对应的函数解析式为s t =；（3）当两车相遇时，可得方程，2360t t =-+解之得：120t =；（4）由图象可得，汽车A 的速度为：6060=6060千米/时； 设两车相距120千米时的时间是x ，则当两车没有相遇前，相距120千米时12060360120x 解之得：43x =； 当两车相遇后，再相距120千米时12060360120x ，解得83x =， 当83x =时，汽车B 行驶的距离是12032036830， 即B 汽车还没有达到终点，符合题意， 答：当行驶43小时或83小时后，A ，B 两车相距120千米． 【点睛】本题考查一次函数的应用和余元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．25．已知：如图，点A是线段CB上一点，△ABD、△ACE都是等边三角形，AD与BE相交于点G，AE与CD相交于点F．求证：△AGF是等边三角形．【答案】见解析【分析】由等边三角形可得AD=AB，AE=AC，∠BAE=∠DAC=120°，再由两边夹一角即可判定△BAE≌△DAC，可得∠1=∠2，进而可得出△BAG≌△DAF，AG=AF，则可得△AGF是等边三角形．【详解】证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∴∠DAE=∠BAD=∠CAE=60°∴∠BAE=∠DAC=120°，在△BAE和△DAC中AD=AB，∠BAE=∠DAC，AE=AC，∴△BAE≌△DAC．∴∠1=∠2在△BAG和△DAF中∠1=∠2，AB=AD，∠BAD=∠DAE，∴△BAG≌△DAF，∴AG=AF，又∠DAE=60°，∴△AGF是等边三角形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及等边三角形的性质和判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列各点中位于第四象限的点是（ ）A ．()2,4--B ．()2,3C ．()7,3-D ．()0,8【答案】C【分析】根据各象限内点的坐标的符号特征，进行分析即可．【详解】A ． ()2,4--位于第三象限，不符合题意；B ． ()2,3位于第一象限，不符合题意；C ． ()7,3-位于第四象限，符合题意；D ． ()0,8位于第一象限，不符合题意．故选：C【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（−，+）；第三象限（−，−）；第四象限（+，−）． 2．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，DE AB ⊥于点E ，CD DE =，26CBD ∠=︒，则A ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．34︒C ．36︒D ．38︒【答案】D 【分析】根据角平分线的判定可知，BD 平分∠ABC ，根据已知条件可求出∠A 的度数．【详解】解：∵90C ∠=︒，DE AB ⊥，且CD DE =∴BD 是ABC ∠的角平分线，∴26ABD CBD ∠=∠=︒，∴22652ABC ∠=⨯︒=︒，∴在Rt ABC 中，905238A ∠=︒-︒=︒，故答案选D ．【点睛】本题主要考查角平分线的判定及三角形角度计算问题，理解角平分线的判定条件是解题的关键． 3．下列代数式能作为二次根式被开方数的是（ ）A ．3﹣πB ．aC ．a 2+1D ．2x+4【答案】C【分析】直接利用二次根式的定义分别分析得出答案．【详解】解：A 、3﹣π＜0，则3﹣a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；B 、a 的符号不能确定，则a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；C 、a 2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故此选项错正确；D 、2x+4的符号不能确定，则a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；故选C ．【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．4．平面直角坐标系中，点P 的坐标是（2，-1），则直线OP 经过下列哪个点（ ） A ．()1,2- B ．()2,1- C ．()1,2- D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】先求出直线OP 的表达式，再把四个选项带人公式即可.【详解】∵点P 的坐标是（2，-1），∴设直线OP 的表达式为：y=kx ，把（2，-1）代入，解得k=-12，y=-12x．把（-1，2），（-2，1），（1，-2），（4，-12）代入y=﹣12x，（-2，1）满足条件．故选：B．【点睛】本题考查的是平面直角坐标系，熟练掌握一次函数是解题的关键.5．下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，本选项错误；B、不是轴对称图形，本选项错误；C、不是轴对称图形，本选项错误；D、是轴对称图形，本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查轴对称图形的判断,关键在于熟记轴对称图形的概念.6．某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为A．108010801215x x=--B．10801080+1215x x=-C．1080108012+15x x=-D．10801080+12+15x x=【答案】A【分析】关键描述语：单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个；可列等量关系为：所用B型包装箱的数量=所用A型包装箱的数量-12，由此可得到所求的方程．【详解】解：根据题意，得：108010801215x x=--故选：A．【点睛】此题考查分式方程的问题，关键是根据公式：包装箱的个数与文具的总个数÷每个包装箱装的文具个数是等量关系解答．7．如图，弹性小球从P(2，0)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为P1，第二次碰到正方形的边时的点为P2…，第n次碰到正方形的边时的点为P n，则P2020的坐标是（）A．(5，3) B．(3，5) C．(0，2) D．(2，0)【答案】D【分析】根据轴对称的性质分别写出点P1的坐标为、点P2的坐标、点P3的坐标、点P4的坐标，从中找出规律，根据规律解答．【详解】解：由题意得，点P1的坐标为（5，3），点P2的坐标为（3，5），点P3的坐标为（0，2），点P4的坐标为（2，0），点P5的坐标为（5，3），2020÷4＝505，∴P2020的坐标为（2，0），故选：D．【点睛】本题主要考查了点的坐标、坐标与图形变化−−对称，正确找出点的坐标的变化规律是解题的关键．8．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A=30°，BD=2cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cmC．8cm D．16cm【答案】C【分析】根据题意易得：∠BCD=30°，然后根据30°角的直角三角形的性质先在直角△BCD中求出BC，再在直角△ABC中即可求出AB．【详解】解：Rt△ABC中，∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴∠B=60°，∵CD是斜边AB上的高，∴∠BCD=30°，∵BD=2cm，∴BC=2BD=4cm，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=8cm．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D ，则∠D 的度数为（ ）A ．15°B ．17.5°C ．20°D ．22.5°【答案】A 【分析】先根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形外角性质得∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A ，∠1＝∠3＋∠D ，则2∠1＝2∠3＋∠A ，利用等式的性质得到∠D ＝12∠A ，然后把∠A 的度数代入计算即可．【详解】解答：解：∵∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点D ，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ACE ＝∠A ＋∠ABC ，即∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A ，∴2∠1＝2∠3＋∠A ，∵∠1＝∠3＋∠D ，∴∠D ＝12∠A ＝12×30°＝15°． 故选A ．【点睛】点评：本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析． 10．如图，已知ABC ∆，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF CA =；连接DE 、EF 、FD ，得DEF ∆.若ABC ∆的面积为k ，则DEF ∆的面积为( )A．10k B．15k C．18k D．20k【答案】C【分析】如图所示：连接AE、CD,要求△DEF的面积，可以分三部分来计算，利用高一定时，三角形的面积与高对应的底成正比的关系进行计算；利用已知△ABC的面积k计算与它同高的三角形的面积，然后把所求各个面积相加即可得出答案．【详解】如图所示：连接AE、CD∵BD＝AB∴S△ABC＝S△BCD＝k则S△ACD＝2 k∵AF＝3AC∴FC＝4AC∴S△FCD＝4S△ACD＝4×2k＝8k同理求得：S△ACE＝2S△ABC＝2kS△FCE＝4S△ACE＝4×2k＝8kS△DCE＝2S△BCD＝2×k＝2k∴S△DEF＝S△FCD＋S△FCE＋S△DCE＝8k＋8k＋2k＝18 k故选：C【点睛】本题主要考查三角形的面积与底的正比关系的知识点：当高相同时，三角形的面积与高对应的底成正比的关系，掌握这一知识点是解题的关键．二、填空题11．如果实数x，y满足方程组30233x yx y+=⎧⎨+=⎩，那么代数式12xyx y x y⎛⎫+÷⎪++⎝⎭的值为________．【答案】1【详解】原式22()22xy x yx y xy x yx y++=⋅+=+++，方程组30233x yx y+=⎧⎨+=⎩的解为31xy=⎧⎨=-⎩，当3x=，1y=-时，原式3621=-+-=12．用科学记数法表示：0.00000036=【答案】3.6×10﹣1．【解析】试题分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．0.00000036=3.6×10﹣1，考点：科学记数法—表示较小的数13．如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为______．【答案】5【分析】找到点E关于AD的对称点E’,根据对称得BF+EF=BE’，利用等边三角形三线合一性质证明AD= B E’即可求出结果.【详解】如下图,作点E关于AD的对称点E’,∵△ABC是等边三角形,E为AB的中点,∴E’是线段AC的中点,∴AD垂直平分EE’,EF=E’F即BF+EF=BE’,又∵D是BC中点,∴AD=B E’=5（等边三角形三线相等）,【点睛】本题考查了等边三角形三线合一性质,图形对称的实际应用,中等难度,证明BF+EF=AD是解题关键. 14．如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于__________．【答案】1【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴AE+DE=AD=BC=6，∴AE+2=6，∴AE=4，∴AB=CD=4，∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=1，故答案为1．考点：平行四边形的性质．15．“同位角相等”的逆命题是__________________________．【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同位角．【解析】因为“同位角相等”的题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”，所以命题“同位角相等”的逆命题是“相等的两个角是同位角”．16x的取值范围是__________．x≥【答案】3【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求出x的取值范围.【详解】解：∵代数式有意义，4x-≥，∴30x≥.∴3x≥.故答案为：3【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握被开方数大于或等于0.17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（1，2），点P在x轴上运动，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是_______．【答案】（﹣1，0）【详解】解：由三角形两边之差小于第三边可知，当A、B、P三点不共线时，由三角形三边关系|PA﹣PB|＜AB；当A、B、P三点共线时，∵A（0，1），B（1，2）两点都在x轴同侧，∴|PA﹣PB|=AB．∴|PA﹣PB|≤AB．∴本题中当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上．设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（0，1），B（1，2），∴k b2{b1+==，解得k1{b1==．∴直线AB的解析式为y=x+1．令y=0，得0=x+1，解得x=﹣1．∴点P的坐标是（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．三、解答题18．先化简，再求值：[(x-1y)1-x(x-4y)-8xy]÷4y，其中x=-1，y=1．【答案】y-1x，2【分析】原式中括号中第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式=(x1-2xy+2y1-x1+2xy-8xy)÷2y=(2y1-8xy)÷2y=y-1x，当x=-1，y=1时，原式=1+1=2．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，涉及到的知识有：完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项，多项式除以单项式等知识．在求代数式的值时，一般先化简，再把各字母的取值代入求值．。
16.1二次根式(第1课时 )
新知应用
两个必备特征
思考：当x是怎样的实数时，二次根式 x 2在实数范围内
有意义？ 解：由x-2≥0，得 x≥2.
被开方数a ≥0
当x≥2时，二次根式 x 2在实数范围内有意义.
试一试 说一说 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x ≥1 (2) 3x x≤0
“ ”称为二次根号.
新知应用
形如 a (a 0) 的式子
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1) 4
( 2 )✘6 ( 3 ) ✘1 2
( 4 ) - m (m≤0),
(6) a2 1
( 5 ) x✘y(x,y 异号)
( 7 )✘3 8
异号得负
解： (1)(4)(6)均是二次根①式外，貌特征：含有“ ” 两个必备特征 ②内在特征：被开方数a ≥0
（6） x 1 2x 3
a C D
2
2.式子 3x 6 有意义的条件是（ A ） A. x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
3.当x=_-_1__时，二次根式 x 1 取最小值，其最小值 为__0__．
0
课后作业
当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（5） x2 2x 1
我们知道,负数没有平方根. 因此,在实数范围
内
时，被开方数只能是正非数负或数0..
探究新知
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
（1）面积为3 的正方形的边长为____3___，面积为S 的正方形的
边长为____S___． 边长边长 3
边长边长 S
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽
《二次根式》PPT课件(第1课时)
《二次根式》PPT课件(第1课时)
人教版八年级数学下册《二次根式》PPT课件(第1课时)，共30页。
学习目标
1. 理解二次根式的概念.
2. 掌握二次根式有意义的条件，能运用二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围.
3. 会利用二次根式的双重非负性解决相关问题.
探究新知
二次根式的定义和有意义的条件
根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？
我们知道，一个正数有两个平方根；
0的平方根为0；
在实数范围内，负数没有平方根.
因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.
利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围
当x是怎样的实数时,√x-2在实数范围内有意义?
归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
二次根式有意义的条件应用的不同类型：
(1)单个二次根式如√A有意义的条件：A≥0；
(2)二次根式作为分式的分母如B/√A有意义的条件：A＞0；
二次根式的双重非负性
二次根式√a的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
课堂小结
二次根式的定义
形如√a (a≥0)的式子叫做二次根式
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式或不等式组求出其解集二次根式的双重非负性
二次根式√a中,a≥0且√a≥0
... ... ...
关键词：二次根式PPT课件免费下载，.PPTX格式；。
人教版八年级数学下册课件：16.1二次根式(第1课时)
上述问题的结果为
3、
S 、 65 、
，t 可以看出它们表示一些
5
正数的算术平方根. 那么类似于这样的式子，你能试着归纳
特点吗？
共同特点是被开方数为非负数，根指数为2.
新知探究
知识点1：二次根式的定义
一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式. 其中
“ ”称为二次根号.
二次根号
根号a
可以是非负的数或单项 式、多项式、分式等
学习目标
1.了解并掌握二次根式的概念. 2.利用二次根式的概念解决具体问题.
课堂导入
圆形喷泉的面积为 70πm², 那么它的半径是多少？
这个式子有什 么特点呢？
新知探究
思考 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为 3 的正方形的边长为
的边长为
.
，面积为 S 的正方形
（2）一个长方形的围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130m2，则
当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） a 1
（2） 1
3a
（3） (a 1)2
本题源于《教材帮》
跟踪训练
当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） a 1
（2） 1
3a
（3） (a 1)2
解：（3）因为不论a为何值，
≥0恒成立，所以a
取任意实数，
在实数范围内都有意义.
被开方数
新知探究
（1）被开方数 a 既可以是一个数，也可以是一个含有 字母的式子，但前提是 a 必须大于或等于 0. （2） a （a≥0）实际上就是非负数 a 的算术平方根， 它既可以表示开方运算，也可以表示运算的结果. （3）如果已知 a 是二次根式，就意味着满足 a≥0 这一 隐含条件.
16.1 二次根式(第1课时)
• 当x为何值时,下列各式在实数范围内有意义?
• （1） x 3 （2）
2 4x 3
• （3）
5x
• （5） 1 x • （7） x
（4）
（6） （8）
1 2x
x 1
x2
x3
拓展思考
当x是怎样的实数时，x2在实数范围内有意义？x3 ?
x为任意实数 x为大于或等于零的实数
归纳总结
• 求二次根式中字母的取值范围的基本依据： • ①被开方数不小于0； • ②分母中有字母时，要保证分母不为0.
第16章 二次根式
16.1 二次根式
第1课时
回顾与思考
1．4的平方根是_±__2__；0的平方根是___0___.
2．5的平方根是_____5__；5的算术平方根是__5__.
3. 什么叫平方根？ 什么叫算术平方根？
新知引入
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为3的正方形的边长为
注意事项
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1. a 表示 a 的算术平方根.
2. a 可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
.
4. a 0.
5. a 既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
例题讲解
例1 当x是怎样的实数时， 义？
在实数范围内有意
解：由x 2 0，得 x2
当x 2时，x 2在实数范围内有意义 .
巩固练习
解：设其宽为2x，长为3x，则有
检测反馈
2. 如图，在平面直角坐标系中，A（2，3）、B（5， 3）、C（2，5）是三角形的三个顶点，求BC的长.
解：由图示知 AC=5-3=2 AB=5-2=3
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一、内容和内容解析
1.内容
二次根式的概念.
2.内容解析
本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念.它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.
教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.
本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；
二、目标和目标解析
1.教学目标
（1）根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由。
（2）能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系。
2. 教学目标解析
（1）要求学生能从具体的数的算术平方根出发，通过字母表示数，把算术平方根的概念推广到被开方数含有字母的情况，学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系。
（2）要求学生会根据问题情境，利用开平方运算的意义，列出实际问题的二次根式。
学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．
三、教学问题诊断分析
由于学生有学习整式、分式的概念和性质的经验，其研究的步骤和方法可迁移到二次根式的学习中。
对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.
本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性.
四、教学过程设计
1．创设情境，提出问题
问题1你能用带有根号的的式子填空吗？
（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为
_______．
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m．
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t?，如果用含有h的式子表示t，则t= _____．
师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.
【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．
问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？
师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．
【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．
2．抽象概括，形成概念
问题3你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？
师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．
追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？
师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．
【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．
3．辨析概念，应用巩固
例1当时怎样的实数时，在实数范围内有意义？
师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．
例2当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？
师生活动:先让学生独立思考，再追问．
【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．问题4 你能比较与0的大小吗？
师生活动：通过分和这两种情况的讨论，比较与0的大小，
引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，
【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力.
4．综合运用，巩固提高
练习1 完成教科书第3页的练习.
练习2 当x是什么实数时，下列各式有意义.
（1）；（2）；（3）；（4）.
【设计意图】辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件.
【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.
5．总结反思
教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.
（1）本节课你学到了哪一类新的式子？
（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？
（3）二次根式与算术平方根有什么关系？
师生活动：教师引导，学生小结.
【设计意图】：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.
6．布置作业：
教科书习题16.1第1，3，5， 7，10题．
五、目标检测设计
1. 下列各式中，一定是二次根式的是（）
A.B.C.
D.
【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数．
2. 当时，二次根式无意义．
【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题．
3.当时，二次根式有最小值，其最小值是．
【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用．
4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥
．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？
试求出的取值范围．
5.一个用电器的电阻为R,消耗的电功率为P,它两端的电压为U，其关系式为
P=U2/R,则U可表示成．
【设计意图】考查二次根式的被开方数为非负数和一个式子的分母不能为0，解题时需要综合考虑．。