广东省清远市南阳中学2016-2017学年高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年广东省清远市南阳中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（60分，每题5分）1．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∀n∉N，n2≤2n 2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．93．抛物线y=4x2的焦点到准线的距离为（）A．2 B．C．4 D．4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=，b=，B=120°，则a等于（）A．B．C．D．25．设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．＜B．＜C．a2＜b2D．ab2＜a2b=（）6．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）C．（1﹣4﹣n）D．（1﹣2﹣n）7．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．已知点F1，F2是椭圆C：=1的焦点，点M在椭圆C上且满足|+|=2，则△MF1F2的面积为（）A．B．C．1 D．29．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA=，cosB=，b=3，则c=（）A．B．C．D．10．已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．811．已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．12．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M，N分别是AC．BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．二、填空题（20分，每题5分）13．执行如图程序，若输出的结果是4，则输入的x的值是．14．把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则P（B|A）=．15．以点（2，﹣3）为圆心且与直线2mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程为．16．由计算机产生2n个0～1之间的均匀随机数x1，x2，…x n，y1，y2，…y n，构成n个数对（x1，y1），（x2y2），…（x n，y n）其中两数能与1构成钝角三角形三边的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为．三、解答题17．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且c•cosA+a•cosC=2b•cosA．（Ⅰ）求cosA；（Ⅱ）若，b+c=4，求△ABC的面积．=3a n+2．18．已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1（Ⅰ）证明：{a n+1}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n=，求S n．19．如图边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，（Ⅰ）证明：A1N∥平面AMD1；（Ⅱ）求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点坐标为F（，0）．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）已知斜率为2的直线l与抛物线C相交于与原点不重合的两点A，B，且OA⊥OB，求l的方程．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=4，BD=2，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D大小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．22．已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x﹣2y+3=0相切，设点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足=，设动点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）直线l与直线l1垂直且与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．2016-2017学年广东省清远市南阳中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（60分，每题5分）1．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∀n∉N，n2≤2n 【考点】命题的否定．【分析】由特称命题的否定为全称命题，可得结论．【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为∀n∈N，n2≤2n．故选：C．2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等差数列的前n项和．【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选A．3．抛物线y=4x2的焦点到准线的距离为（）A．2 B．C．4 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线方程求解即可．【解答】解：抛物线y=4x2的焦点到准线的距离为：P=．故选：B4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=，b=，B=120°，则a等于（）A．B．C．D．2【考点】正弦定理．【分析】由题意和正弦定理求出sinC，由内角的范围和条件求出C，由内角和定理求出A，利用边角关系求出a．【解答】解：∵c=，b=，B=120°，∴由正弦定理得，，则sinC===，∵0°＜C＜120°，∴C=30°，∴A=180°﹣B﹣C=30°，即A=C，a=c=，故选B．5．设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．＜B．＜C．a2＜b2D．ab2＜a2b【考点】不等式的证明．【分析】A，C，D取特殊值，D利用不等式的性质证明即可．【解答】解：a=﹣1，b=1，则A，C不成立；a=﹣2，b=1，则D不成立，对于B，左﹣右=＜0，成立．故选B．=（）6．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）C．（1﹣4﹣n）D．（1﹣2﹣n）【考点】等比数列的前n项和．【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，且首项是a1a2=8，公比为．进而根据等比数列求和公式可得出答案．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故选：C．7．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b ＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．8．已知点F1，F2是椭圆C：=1的焦点，点M在椭圆C上且满足|+|=2，则△MF1F2的面积为（）A．B．C．1 D．2【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆性质和余弦定理推导出cos∠F1MF2=90°，由此利用椭圆定义和定弦定理能求出△MF1F2的面积．【解答】解：∵点F1，F2是椭圆C：=1的焦点，点M在椭圆C上且满足|+|=2，∴+2||•||cos∠F1MF2=12，①由余弦定理得﹣2=12，②联立①②，得：cos∠F1MF2=90°，∵|MF1|+|MF2|=2a=4，∴=16，∴|MF1|•|MF2|=（16﹣12）=2，∴△MF1F2的面积S=|MF1|•|MF2|=×2=1．故选：C．9．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA=，cosB=，b=3，则c=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】由A和B都为三角形的内角，根据cosA及cosB的值，求出sinA和sinB 的值，将sinC中的角C利用三角形的内角和定理变形后，求出sinC的值，再利用正弦定理求出c的值．【解答】解：△ABC中，cosA=，cosB=，∴sinA==，sinB==，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，又b=3，由正弦定理=得：c===．故选：A．10．已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】求（x+y）（）的最小值；展开凑定值【解答】解：已知不等式（x+y）（）≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求（x+y ）（）的最小值≥9∵≥∴≥9∴≥2或≤﹣4（舍去），所以正实数a的最小值为4，故选项为B．11．已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．12．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M，N分别是AC．BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．【解答】解：设AB=2，作CO⊥面ABDE，OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C﹣AB﹣D的平面角，CH=，OH=CHcos∠CHO=1，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则AN=EM=CH=，=（+），=﹣，∴=．故EM，AN所成角的余弦值=，故选D．二、填空题（20分，每题5分）13．执行如图程序，若输出的结果是4，则输入的x的值是2．【考点】伪代码．【分析】本题考查条件语句，先根据算法语句写出分段函数，然后讨论x的正负，根据函数值求出自变量即可．【解答】解：根据条件语句可知是计算y=，当x＜0时，若输出的结果是4，可得x=4，矛盾；当x≥0时，若输出的结果是4，x2=4，解得：x=2．故答案为：2．14．把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则P（B|A）=．【考点】条件概率与独立事件．【分析】本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是×=，代入条件概率的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是×=，∴P（B|A）==．故答案为：．15．以点（2，﹣3）为圆心且与直线2mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5．【考点】直线与圆的位置关系；恒过定点的直线．【分析】根据题意，将直线的方程变形可得y+1=2m（x﹣1），分析可得其定点M （1，﹣1），进而分析可得满足题意的圆是以P为圆心，半径为MP的圆，求出MP的长，将其代入圆的标准方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，设圆心为P，则点P的坐标为（2，﹣3）对于直线2mx﹣y﹣2m﹣1=0，变形可得y+1=2m（x﹣1），即直线过定点M（1，﹣1），在以点M（2，﹣3）为圆心且与直线2mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，面积最大的圆的半径r长为MP，则r2=MP2=5，则其标准方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5；故答案为：（x﹣2）2+（y+3）2=5．16．由计算机产生2n个0～1之间的均匀随机数x1，x2，…x n，y1，y2，…y n，构成n个数对（x1，y1），（x2y2），…（x n，y n）其中两数能与1构成钝角三角形三边的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为．【考点】模拟方法估计概率．【分析】利用n对0～1之间的均匀随机数x，y，满足，相应平面区域面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足且，面积为，结合面积比，即可得出结论．【解答】解：由题意，n对0～1之间的均匀随机数x，y，满足，相应平面区域面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足且面积为，所以，得π=．故答案为．三、解答题17．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且c•cosA+a•cosC=2b•cosA．（Ⅰ）求cosA；（Ⅱ）若，b+c=4，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理、和差公式与诱导公式即可得出．（Ⅱ）利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得：c=2rsinC，a=2rsinA，b=2rsinB（其中r为外接圆半径）．…代入c•cosA+a•cosC=2b•cosA得：sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosA即：sin（A+C）=2sinBcosA⇒sin（π﹣B）=2sinBcosA．…∴sinB=2sinBcosA，…∵B∈（0，π）∴sinB≠0．∴．…（Ⅱ）由余弦定理，即（b+c）2﹣3bc=7…上式代入b+c=4得bc=3．…∴．所以△ABC的面积是．…=3a n+2．18．已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1（Ⅰ）证明：{a n+1}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n=，求S n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）由a n+1=3a n+2，变形为a n+1+1=3（a n+1），利用等比数列的定义及其通项公式即可得出．（Ⅱ）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】（Ⅰ）证明：由a n+1=3a n+2⇒a n+1+1=3（a n+1）．…∵a1=2，∴a1+1=3≠0且a n+1≠0．…∴．…所以{a n+1}是首项为3公比为3的等比数列．…，得．即{a n}的通项公式是．…（Ⅱ）解：=…=．…∴．…19．如图边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，（Ⅰ）证明：A1N∥平面AMD1；（Ⅱ）求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD1为轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A1N∥平面AMD1．（Ⅱ）求出平面ADD1的一个法向量和平面AMD1的法向量，利用向量法能求出二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD1为轴建立如图直角坐标系．…则A1（2，0，2），N（1，2，2），M（0，2，1），A（2，0，0），D1（0，0，2）．．…设平面AMD1的法向量是．则．…取x=1，得．…所以，即．…又A1N⊄平面AMD1．∴A1N∥平面AMD1．…解：（Ⅱ）平面ADD1的一个法向量为，…平面AMD1的法向量是．由（Ⅰ）得．…由图形得二面角M﹣AD1﹣D的平面角是锐角，所以二面角M﹣AD1﹣D的余弦值是．…20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点坐标为F（，0）．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）已知斜率为2的直线l与抛物线C相交于与原点不重合的两点A，B，且OA⊥OB，求l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由抛物线的几何性质求p的值；（Ⅱ）设直线的方程为y=2x+t，联立直线方程与抛物线方程，利用消元法得到关于x的一元二次方程，由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的几何性质知．…（Ⅱ）设直线的方程为y=2x+t．…由得4x2+（4t﹣2）x+t2=0，由题（4t﹣2）2﹣4•4t2＞0．解得．…设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…∵．…∴，解得t=0或﹣4，4．…由题意直线l不过原点且得t=﹣4符合题意．…所以所求直线方程为y=2x﹣4．…21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=4，BD=2，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D大小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥BD，PD⊥BC，从而得到BC⊥平面PBD，由此能证明平面PBC⊥平面PBD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PBD，从而得到∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵CD2=BC2+BD2．∴BC⊥BD．又∵PD⊥底面ABCD．∴PD⊥BC．又∵PD∩BD=D．∴BC⊥平面PBD．而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=．而，所以．∵底面ABCD为平行四边形，∴DA⊥DB，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），，，，所以，，，，设平面PBC的法向量为，则即令b=1则，∴AP与平面PBC所成角的正弦值为：．…22．已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x﹣2y+3=0相切，设点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足=，设动点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）直线l与直线l1垂直且与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）A（x0，y0），先求出圆C1的方程，再根据动点N满足=，得到关于x0，y0的方程组，解得即可．（Ⅱ）设直线l与椭圆交于B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程组求出x1，x2，再根据点到直线的距离公式，表示出三角形的面积，利用基本不等式解得即可．【解答】解：（Ⅰ）设动点N（x，y），A（x0，y0），因为AM⊥x轴于M，所以M （x0，0），设圆C1的方程为x2+y2=r2．…由题意得．…所以圆C1的程为x2+y2=9．…由题意，=（0，y0），=（x﹣x0，y）），=．…所以…将A（x0，y0），代入圆x2+y2=9，得动点N的轨迹方程为．…（Ⅱ）由题意可设直线l：2x+y+m=0，设直线l与椭圆交于B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程．得13x2+12mx+3m2﹣9=0．…△=144m2﹣13×4（3m2﹣9）＞0，解得m2＜39．…．…又因为点O到直线l的距离，，…．（当且仅当m2=39﹣m2即时取到最大值）∴△OBD面积的最大值为．…2017年4月2日。