直线与圆专题
直线与圆专题
直线与圆(小题)热点一 直线的方程及应用 1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.求直线方程要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式方程要求直线不能与x 轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线. 3.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(A 2＋B 2≠0). (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(A 2＋B 2≠0).例1 (1)(2019·宝鸡模拟)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( )A.1B.－2C.1或－2D.－32答案 A解析 ①当m ＝－1时，两直线分别为x －2＝0和x －2y －4＝0，此时两直线相交，不合题意. ②当m ≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得⎩⎪⎨⎪⎧－11＋m ＝－m 2，21＋m ≠－2解得m ＝1.综上可得m ＝1.(2)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( ) A.x ＋(2－1)y －2＝0 B.(1－2)x －y ＋2＝0 C.x －(2＋1)y ＋2＝0 D.(2－1)x －y ＋2＝0答案 C解析 如图所示可知A(2，0)，B(1,1)，C(0，2)，D(－1,1)，所以直线AB，BC，CD的方程分别为y＝1－01－2(x－2)，y＝(1－2)x＋2，y＝(2－1)x＋ 2.整理为一般式即x＋()2－1y－2＝0，()1－2x－y＋2＝0，()2－1x－y＋2＝0.故选C.跟踪演练1 (1)已知直线l1：x·sin α＋y－1＝0，直线l2：x－3y·cos α＋1＝0，若l1⊥l2，则sin 2α等于( )A.23B.±35C.－35D.35答案 D解析因为l1⊥l2，所以sin α－3cos α＝0，所以tan α＝3，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin2α＋cos2α＝2tan α1＋tan2α＝35.(2)已知直线l经过直线l1：x＋y＝2与l2：2x－y＝1的交点，且直线l的斜率为－23，则直线l的方程是( )A.－3x ＋2y ＋1＝0B.3x －2y ＋1＝0C.2x ＋3y －5＝0D.2x －3y ＋1＝0答案 C解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以两直线的交点为(1,1). 因为直线l 的斜率为－23，所以直线l 的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0. 热点二 圆的方程及应用 1.圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2.圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆.3.解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.例2 (1)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________. 答案 x 2＋y 2－2x ＝0解析 方法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0. 方法二 画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形， 故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 即x 2＋y 2－2x ＝0.(2)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，则△FPM 的外接圆的方程为________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±4332＋(y －1)2＝163 解析 由抛物线方程x 2＝4y ，可知 准线方程为y ＝－1，F (0,1)，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x 24， ∵|PM |＝|PF |，由抛物线定义，可知PM 垂直于准线，可得M (x ，－1)， 又|PM |＝|MF |，可得x 24＋1＝x 2＋4，解得x 1＝23，x 2＝－23，当x ＝－23时，P (－23，3)，M (－23，－1)， △FPM 为等边三角形⇒△FPM 外接圆圆心与重心重合，∴外接圆圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＋03，3－1＋13，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，1，外接圆半径为r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－433＋232＋1＋12＝433， 同理可得当x ＝23时，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫433，1，半径为433， ∴外接圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±4332＋(y －1)2＝163. 跟踪演练2 (1)(2019·黄冈调研)已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称，则k 的值为( )A.－1B.1C.±1 D .0 答案 A解析 化圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝k 4－4k ＋1. 则圆心坐标为(－k 2，－1)，∵圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称， ∴直线y ＝x 经过圆心， ∴－k 2＝－1，得k ＝±1.当k ＝1时，k 4－4k ＋1<0，不合题意， ∴k ＝－1.(2)(2019·河北省级示范性高中联合体联考)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3,4)为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为________________. 答案 x 2＋(y －3)2＝10解析 ∵P (3,4)为C 上一点，9m －162＝1，解得m ＝1，则B (1,0)，∴k PB ＝42＝2，PB 的中垂线方程为y ＝－12(x －2)＋2，令x ＝0，则y ＝3， 设外接圆圆心为M (0，t )，则M (0,3)，r ＝|MB |＝1＋32＝10， ∴△PAB 外接圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10. 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法 (1)点线距离法.(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b 2＝r 2，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离.3.圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.例3 (1)(2019·长沙市长郡中学模拟)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 21(r 1>0)，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝r 22(r 2>0)，圆C 1与圆C 2相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r 1r 2为________. 答案7225解析 根据题意作出如下图形：AB 为两圆的公切线，切点分别为A ，B .当公切线AB 与直线C 1C 2平行时，公切线AB 斜率不为7， 即r 1≠r 2，不妨设r 1<r 2， 过C 1作EC 1∥AB ，交AC 2于点E ， 则|EC 2|＝r 2－r 1，|AB |＝|EC 1|， |C 1C 2|＝2＋12＋2＋12＝32＝r 1＋r 2，直线C 1C 2的斜率为k ＝2＋12＋1＝1，又k AB ＝7，所以直线AB 与直线C 1C 2的夹角的正切值为tan α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－71＋7＝34.在直角三角形EC 1C 2中，|EC 2||EC 1|＝34，所以|EC 1|＝43(r 2－r 1)，又|EC 1|2＋|EC 2|2＝|C 1C 2|2，整理得⎣⎢⎡⎦⎥⎤43r 2－r 12＋(r 2－r 1)2＝(r 1＋r 2)2，解得4r 1＝r 2， 又32＝r 1＋r 2， 解得r 1＝325，r 2＝1225， 所以r 1r 2＝325×1225＝7225. (2)(2019·淄博模拟)已知直线l ：y ＝－2x －m (m >0)与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，直线l 与圆C 相交于不同两点M ，N .若|MN →|≤2|CM →＋CN →|，则m 的取值范围是( ) A.[5，5) B.[2,55－3) C.(5,55) D.(3，2)答案 B解析 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝25， ∴C (1,1)，圆C 半径r ＝5， 若|MN →|≤2|CM →＋CN →|， 则|MN →|2≤4|CM →＋CN →|2，即|MN →|2≤4|CM →|2＋4|CN →|2＋8CM →·CN →， ∴|MN →|2≤100＋100＋8|CM →|·|CN →|cos∠MCN ， ∴|MN →|2≤100＋100＋200×25＋25－|MN →|250，∴|MN →|≤45，设圆心C 到直线y ＝－2x －m 的距离为d ， 则2r 2－d 2＝225－⎝ ⎛⎭⎪⎫|3＋m |52≤45，解得m ≥2(舍负)，又直线y ＝－2x －m 与圆C 相交，可得d <r ， 即|3＋m |5<5⇒m <55－3，综上所述m 的取值范围是[2,55－3).跟踪演练3 (1)(2019·柳州模拟)已知点M 是抛物线y 2＝2x 上的动点，以点M 为圆心的圆被y 轴截得的弦长为8，则该圆被x 轴截得的弦长的最小值为( ) A.10 B.4 3 C.8 D.215 答案 D解 设圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，而r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822，∴圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 222＋(y －a )2＝a 44＋16，当y ＝0时，得x 2－a 2x ＋a 2－16＝0， 设圆与x 轴的两个交点的横坐标为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2－16， ∴|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝a 4－4a 2＋64＝a 2－22＋60≥60＝215.(2)(2019·绵阳诊断)已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，给出下列结论：①a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0；②2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2；③x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b .其中正确结论的个数是( )A.0B.1C.2D.3 答案 D解析 公共弦的方程为2ax ＋2by －a 2－b 2＝0， 所以有2ax 1＋2by 1－a 2－b 2＝0，②正确； 又2ax 2＋2by 2－a 2－b 2＝0，所以a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，①正确；AB 的中点为直线AB 与直线C 1C 2的交点，又AB ：2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，C 1C 2：bx －ay ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，bx －ay ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a2，y ＝b2.故有x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b ，③正确.真题体验1.(2018·全国Ⅲ，理，6)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2,6] B.[4,8] C.[2，32] D.[22，32]答案 A解析 设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max＝6，△ABP 面积的最小值为12|AB |·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6].2.(2016·全国Ⅱ，理，4)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 等于( )A.－43B.－34 C. 3 D.2答案 A解析 由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a2＝1，解之得a ＝－43. 3.(2019·浙江，12)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________. 答案 －25解析 方法一 设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0，令x ＝0，得y ＝－2，∴m ＝－2，则r ＝－2－02＋－1＋22＝ 5.方法二 因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－－2×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝－2－02＋－1＋22＝ 5.押题预测1.已知直线x －ay ＝0与圆x 2＋(y ＋4)2＝9相切，则实数a 等于( ) A.377 B.－377 C.±377 D.97答案 C解析 直线x －ay ＝0与圆x 2＋(y ＋4)2＝9相切， 即圆心(0，－4)到直线的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式，得|4a |1＋a2＝3，化简得a ＝±377.2.若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________.答案102解析 联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为 |－5|a 2＋4a2＝5a(a >0).故222－⎝⎛⎭⎪⎫5a 2＝22， 解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102. 3.甲、乙两人参加歌咏比赛的得分(均为两位数)如茎叶图所示，甲的平均数为b ，乙的众数为a ，且直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，则圆A 的标准方程为________.答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝1817解析 由题意知，甲的平均数b 为20＋22＋23＋314＝24，乙的众数a 是40，∴直线ax ＋by ＋8＝0，即5x ＋3y ＋1＝0，A (1，－1)到直线的距离为|5－3＋1|52＋32＝334，∵直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°， ∴r ＝634，∴圆A 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1817.A 组 专题通关1.(2019·衡水质检)直线2x ·sin 210°－y －2＝0的倾斜角是( ) A.45° B .135° C .30° D .150° 答案 B解析 由题意得k ＝2sin 210°＝－2sin 30°＝－1， 故倾斜角为135°.2.(2019·黄冈调研)过点A (1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A.y －x ＝1B.y ＋x ＝3C.2x －y ＝0或x ＋y ＝3D.2x －y ＝0或y －x ＝1答案 D解析 当直线过原点时，可得斜率为2－01－0＝2，故直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0， 当直线不过原点时，设方程为x a ＋y－a＝1，代入点(1,2)可得1a －2a＝1，解得a ＝－1，方程为x －y ＋1＝0，故所求直线方程为y ＝2x 或y －x ＝1.3.(2019·东北三省三校模拟)设直线y ＝x －2与圆O ：x 2＋y 2＝a 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则圆O 的面积为( ) A.π B .2π C .4π D .8π 答案 C解析 圆O ：x 2＋y 2＝a 2的圆心坐标为(0,0)，半径为|a |， ∵直线y ＝x －2与圆O ：x 2＋y 2＝a 2相交于A ，B 两点， 且|AB |＝23，又圆心(0,0)到直线y ＝x －2的距离d ＝|2|2＝1，∴1＋3＝a 2，解得a 2＝4，圆的半径r ＝|a |＝2， ∴圆的面积S ＝4π.4.(2019·湘赣十四校联考)圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝9上到直线x ＋y ＝0的距离等于2的点有( )A.4个B.3个C.2个D.1个 答案 A解析 如图，圆的圆心为(－2,3)，半径为3，圆心到直线的距离d ＝|－2＋3|2＝22， 可知2－22<3,2＋22<3， 由图可知，圆上到直线距离等于2的点共有4个.5.(2019·黄山质检)直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝36的直径分为两段，则较长一段与较短一段的长度的比值等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 A解析 令x ＝0代入2x －y －3＝0可得P (0，－3)， 又圆心坐标为(－1,0)，半径为6， 则P 与圆心的距离为1＋3＝2，可知较长一段的长度为8，较短一段的长度为4，则较长一段与较短一段长度的比值等于2.6.若直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A. 5B.5C.2 5D.10 答案 B解析 由直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ，知直线ax ＋by ＋1＝0必过圆M 的圆心， 由圆的方程可得圆心为M (－2，－1)， 代入ax ＋by ＋1＝0中，可得2a ＋b －1＝0.(a －2)2＋(b －2)2表示点(2,2)与直线2a ＋b －1＝0上的点(a ，b )的距离的平方. 点(2,2)到直线2a ＋b －1＝0的距离d ＝|2×2＋2×1－1|5＝5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.7.(2019·河北省五个一名校联盟诊断)已知点P 为圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4上一点，A (0， －6)，B (4,0)，则|PA →＋PB →|的最大值为( ) A.26＋2 B.26＋4 C.226＋4 D.226＋2答案 C解析 取AB 中点D (2，－3)， 则PA →＋PB →＝2PD →，|PA →＋PB →|＝|2PD →|， 又由题意知，圆C 的圆心C (1,2)，半径为2，|PD →|的最大值为圆心C (1,2)到D (2，－3)的距离d 再加半径r ， 又d ＝1＋25＝26，∴d ＋r ＝26＋2， ∴|2PD →|的最大值为226＋4， 即|PA →＋PB →|的最大值为226＋4.8.(2019·菏泽模拟)已知点P 是直线l ：3x ＋4y －7＝0上的动点，过点P 引圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r >0)的两条切线PM ，PN .M ，N 为切点，当∠MPN 的最大值为π3时，则r 的值为( )A.4B.3C.2D.1 答案 D解析 结合题意，绘制图象如图，可知当∠MPN 取到最大值时， 则∠MPC 也取到最大值， 而sin∠MPC ＝MC PC ＝r PC， 当PC 取到最小值时，∠MPC 取到最大值， 故PC 的最小值为点C (－1,0)到直线l 的距离d ， 故d ＝|3×－1＋0－7|32＋42＝2，故r PC ＝r 2＝sin π6＝12，解得r ＝1. 9.(2019·宝鸡模拟)设D 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AD 至点P ，使得|PD |＝|BD |，则点P 的轨迹方程为( ) A.x 2＋(y －2)2＝20 B.x 2＋(y －2)2＝5 C.x 2＋(y ＋2)2＝20 D.x 2＋(y ＋2)2＝5答案 C解析 由题意，得|PA |＝|PD |＋|DA |＝|DB |＋|DA |， 又点D 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，且A (0，－2)，B (0,2)为椭圆的两个焦点， ∴|DB |＋|DA |＝25， ∴|PA |＝25，∴点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为25的圆， ∴点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.10.(2019·德阳模拟)已知点P (－3,0)在动直线m (x －1)＋n (y －3)＝0上的投影为点M ，若点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，那么|MN |的最小值为( ) A.2 B.32 C.1 D.12答案 D解析 因为动直线方程为m (x －1)＋n (y －3)＝0， 所以该直线过定点Q (1,3)， 所以动点M 在以PQ 为直径的圆上， 所以圆的半径为121＋32＋32＝52，圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32， 所以点N 到圆心的距离为2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－322＝3， 所以|MN |的最小值为3－52＝12.11.已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x ＋2y －4＝0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线分别为PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫34，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 答案 B解析 设P (4－2m ，m ).∵PA ，PB 是圆C 的切线，A ，B 为切点， ∴CA ⊥PA ，CB ⊥PB ，∴AB 是圆C 与以PC 为直径的圆的公共弦.易知以PC 为直径的圆的方程为[x －(2－m )]2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝(2－m )2＋m 24，①圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，②①－②得直线AB 的方程为2×(2－m )x ＋my ＝1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14＋m (y －2x )＝0，∴直线AB 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12. 12.(2019·南昌模拟)已知A (－3，0)，B (3，0)，P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，AP →＝PQ →，过点P作与AP垂直的直线l交直线QB于点M，则M的横坐标的取值范围是( ) A.|x|≥1 B.|x|>1C.|x|≥2D.|x|≥2 2答案 A解析设P(x0，y0)，则Q(2x0＋3，2y0)，当y0≠0时，k AP＝y0x0＋3，k PM＝－x0＋3y0，k QB＝2y02x0＋3－3＝y0 x0，直线PM：y－y0＝－x0＋3y0(x－x0)，①直线QB：y－0＝y0x0(x－3)，②又P在圆上，∴x20＋y20＝1，③联立①②③消去y得x＝3＋x01＋3x0，∴x0＝x－31－3x，由|x0|<1，解得|x|>1，当y0＝0时，点P，M重合，易求得|x|＝1.综上，|x|≥1.13.(2019·福建四校联考)已知直线3x＋4y－3＝0,6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________.答案 2解析因为直线3x＋4y－3＝0,6x＋my＋14＝0平行，所以3m－4×6＝0，解得m＝8，所以6x＋my＋14＝0即是3x＋4y＋7＝0，由两条平行线间的距离公式可得d＝|7＋3|32＋42＝2.14.(2019·天津市十二重点中学联考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且y轴和直线3x ＋4y＋4＝0均与圆C相切，则圆C的标准方程为________.答案(x－2)2＋y2＝4解析设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r>0，故由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b ＝0，|a |＝r ，|3a ＋4b ＋4|5＝r ，解得a ＝2，b ＝0，r ＝2，则圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.15.(2019·湖北省部分重点中学联考)已知O 为原点，过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32的直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为2，则直线l 的方程为________.答案 x ＝1或5x ＋12y ＋13＝0解析 ①当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝1， 则圆心O (0,0)到直线l 的距离为1， 所以|AB |＝252－1＝4，故S △AOB ＝12×4×1＝2，所以直线x ＝1满足题意. ②当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＋32＝k (x －1)，即2kx －2y －2k －3＝0，所以圆心O (0,0)到直线l 的距离d ＝|2k ＋3|2k 2＋1， 故|AB |＝252－d 2＝25－d 2，因为S △AOB ＝12|AB |d ＝2，所以5－d 2·d ＝2，整理得d 4－5d 2＋4＝0，解得d ＝1或d ＝2. 当d ＝1时，|2k ＋3|2k 2＋1＝1， 解得k ＝－512；当d ＝2时，|2k ＋3|2k 2＋1＝2，此方程无解. 故直线方程为y ＋32＝－512(x －1)，即5x ＋12y ＋13＝0.综上可得所求直线方程为x ＝1或5x ＋12y ＋13＝0.16.(2019·辽宁省六校联考)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1.若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是________.答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞) 解析 ∵圆心为(0,0)，半径r ＝1， 设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形PAOB 为正方形， 故有|PO |＝2r ＝2，∴圆心O 到直线y ＝kx ＋2的距离d ≤2， 即|2|1＋k2≤2，即1＋k 2≥2，解得k ≥1或k ≤－1.B 组 能力提高17.若对圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是________. 答案 [6，＋∞) 解析||3x －4y －9表示圆上的点到直线l 1：3x －4y －9＝0的距离的5倍，||3x －4y ＋a 表示圆上的点到直线l 2：3x －4y ＋a ＝0的距离的5倍，因为||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，即圆上的点到直线l 1，l 2的距离和与圆上点的位置无关，又易知直线l 1与圆相离，所以直线3x －4y ＋a ＝0与圆相离或相切，并且l 1和l 2在圆的两侧，如图所示，所以圆心(1,1)到l 2的距离d ＝||3－4＋a 5≥1，并且a >0，解得a ≥6.18.已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)且|AB |＝2，过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论：①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2.其中正确结论的序号是________. 答案 ①②③解析 如图，根据题意，利用圆中的特殊三角形，可求得圆心及半径，即得圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，并且可以求得A (0，2－1)，B (0，2＋1)，因为M ，N 在圆O ：x 2＋y 2＝1上，所以可设M (cos α，sin α)， N (cos β，sin β)，所以|NA |＝cos β－02＋[sin β－2－1]2＝22－12－sin β， |NB |＝cos β－02＋[sin β－2＋1]2 ＝22＋12－sin β， 所以|NA ||NB |＝2－1， 同理可得|MA ||MB |＝2－1， 所以|NA ||NB |＝|MA ||MB |， |NB ||NA |－|MA ||MB |＝12－1－(2－1)＝2， |NB ||NA |＋|MA ||MB |＝22， 故①②③都正确.。
高考数学专题《直线与圆的位置关系》习题含答案解析
专题9.2 直线与圆的位置关系1．（福建高考真题（理））直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离d =..所以1122OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时,OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A.2.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.3．（2021·全国高二单元测试）已知直线l 与直线1y x =+垂直，且与圆221x y +=相切，切点位于第一象限，则直线l 的方程是（ ）．A．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D．0x y +=【答案】A 【分析】根据垂直关系，设设直线l 的方程为()00x y c c ++=<，利用直线与圆相切得到参数值即可.【详解】由题意，设直线l 的方程为()00x y c c ++=<．练基础圆心()0,0到直线0x y c ++=1，得c =c =，故直线l 的方程为0x y +=．故选：A4．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.5.【多选题】（2021·吉林白城市·白城一中高二月考）若直线0x y m ++=上存在点P ，过点P 可作圆O ：221x y +=的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且60APB ∠=︒，则实数m 的取值可以为（ ）A ．3B ．C ．1D ．-【答案】BCD 【分析】先由题意判断点P 在圆224x y +=上，再联立直线方程使判别式0∆≥解得参数范围，即得结果.【详解】点P 在直线0x y m ++=上，60APB ∠=︒，则30APO OPB ∠=∠=︒，由图可知，Rt OPB V 中，22OP OB ==，即点P 在圆224x y +=上，故联立方程224x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，得222240x mx m ++-=，有判别式0∆≥，即()2244240m m -⨯-≥，解得m -≤≤A 错误，BCD 正确.故选：BCD.6．（2022·江苏高三专题练习）已知大圆1O 与小圆2O 相交于(2,1)A ，(1,2)B 两点，且两圆都与两坐标轴相切，则12O O =____【答案】【分析】由题意可知大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，进而设圆的圆心为(,)(0)a a a >，待定系数得5a =或1a =，再结合两点间的距离求解即可.【详解】由题知，大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为(,)(0)a a a >，其方程为222()()x a y a a -+-=，将点(1,2)或(2,1)代入，解得5a =或1a =，所以221:(5)(5)25O x y -+-=，222:(1)(1)1O x y -+-=，可得1(5,5)O ，2(1,1)O ，所以12||O O ==故答案为：7．（江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d，2d 即3k 2≤4k，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.8.（2018·全国高考真题（文））直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为22(1)4x y ++=，所以圆的圆心为(0,1)-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==，结合圆中的特殊三角形，可知AB ==，故答案为.9．（2021·湖南高考真题）过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________【答案】220x y --=【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为1-求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由2240x y x +-=可得()2224x y -+=，所以圆心为()2,0，由20x y +=可得2y x =-，所以直线20x y +=的斜率为2-，所以与直线20x y +=垂直的直线的斜率为12，所以所求直线的方程为：()1022y x -=-，即220x y --=，故答案为：220x y --=.10.（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【解析】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C到直线的距离等于半径，即1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.1．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.练提升故选：D.2.【多选题】（2021·全国高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142xy+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB 4=>，所以，点P 到直线AB 42-<，410<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，=，4MP =CD 选项正确.故选：ACD.3．【多选题】（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（）A ．圆A 的半径为4B ．圆A 截y 轴所得的弦长为C ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D ．圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离【答案】BC 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A ；利用几何法求出弦长可判断B ；求出圆心A 到直线的距离再减去半径可判断C ；求出圆B 的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由22230x y x +--=可得()2214x y -+=，所以A 的半径为2r =，故选项A 不正确；对于B ：圆心为()1,0到y 轴的距离为1d =，所以圆A 截y 轴所得的弦长为==B 正确；对于C ：圆心()1,0到直线34120x y -+=3，所以圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3321r -=-=，故选项C 正确；对于D ：由2288230x y x y +--+=可得()()22449x y -+-=，所以圆心()4,4B ，半径3R =，因为5AB r R ===+，所以两圆相外切，故选项D 不正确；故选：BC.4．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______.【答案】403k ≤≤【分析】求出圆C 的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解.【详解】由228150x y x +-+=可得22(4)1x y -+=，因此圆C 的圆心为(4,0)C ，半径为1，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离112d =≤+=，即22(21)1k k -≤+，所以2340k k -≤，解得403k ≤≤，所以k 的取值范围是403k ≤≤，故答案为：403k ≤≤.5．（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为________．【答案】60 【分析】由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．【详解】直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为所以，圆心()0,0O 到直线20kx y -+=的距离1d ==，1=，解得)0k k =>．设直线的倾斜角为()0180θθ≤<，则tan θ=，则60θ= ．因此，直线()20y kx k =+>的倾斜角为60 ．故答案为：60 ．6．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））已知圆O : x 2+y 2=4， 以A (1,为切点作圆O 的切线l 1，点B 是直线l 1上异于点A 的一个动点，过点B 作直线l 1的垂线l 2，若l 2与圆O 交于D ， E 两点，则V AED 面积的最大值为_______.【答案】2【分析】由切线性质得2//OA l ，O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，因此ADEODE S S =!!，设O 到2l 距离为d ，把面积用d 表示，然后利用导数可得最大值．【详解】根据题意可得图，1OA l ⊥，所以2//OA l ，因此O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，ADEODE S S =!!，过点(00)O ，作直线2l 的垂线，垂足为F ，记||(20)OF d d =>>，则弦||DE =角形ADE 的面积为S ，所以12S d =g g ，将S 视为d 的函数，则S '=+ 1(2)2d d -当0d <<时，0S '>，函数()S d 2d <<时，0S '<，函数()S d 单调递减，所以函数()S d 有最大值，当d =max ()2S d =，故AED V 面积的最大值为2．故答案为：2．7．（2021·全国高三专题练习）已知ABC V 的三个顶点的坐标满足如下条件：向量(2,0)OB →=，(2,2)OC →=，,CA α→=)α，则AOB ∠的取值范围是________【答案】5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出点A 的轨迹是以(2,2)C . 过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，得到MOB NOB θ∠∠…….所以15BOM ∠=︒，75BON ∠=︒，即得解.【详解】由题得||CA →=所以点A 的轨迹是以(2,2)C .过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，则向量OA →与OB →的夹角θ的范围是MOB NOB θ∠∠…….由图可知45COB ∠=︒.∵||OC →=1||||||2CM CN OC →→→==知30COM CON ∠=∠=︒，∴453015BOM ∠=︒-︒=︒，453075BON ∠=︒+︒=︒.∴1575θ︒︒…….故AOB ∠的取值范围为{}1575θθ︒≤≤︒丨.故答案为：{}π5π15751212θθ⎡⎤︒≤≤︒⎢⎥⎣⎦丨或，8．（2021·全国高三专题练习）已知x 、y R ∈，2223x x y -+=时，求x y +的最大值与最小值．【答案】最小值是1，最大值是1+【分析】根据2223x x y -+=表示圆()2214x y -+=，设x y b +=表示关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形，然后由直线与圆的位置关系求解.【详解】2223x x y -+=的图形是圆()2214x y -+=，既是轴对称图形，又是中心对称图形．设x y b +=，由式子x y +的对称性得知x y b +=的图形是关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形．如图所示：当b 变化时，图形是一个正方形系，每个正方形四个顶点均在坐标轴上，问题转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时，求b 的最值问题．当1b <时，正方形与圆没有公共点；当1b =时，正方形与圆相交于点()1,0-，若令直线y x b =-+与圆()2214x y -+=相切，2，解得1b =±所以当1b =+当1b >+故x y +的最小值是1，最大值是1+．9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知ABC V 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M （1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC V 面积的最小值.【答案】（1）22(1)1y x +-=；（2）2；（3）163.【分析】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,M b ，先求得圆心到直线210x y +-=的距离，再根据直线截圆M （2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，易知不成立；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，然后由圆心到直线的距离等于半径求解； （3）根据AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，进而得到直线AC 和直线 BC 的斜率，写出直线AC 和BC 的方程，联立求得点C 的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.【详解】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,,0M b b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d又因为直线截圆M21+=，解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，则圆心到直线的距离 0221d r =-=≠=，不成立，当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即 240kx y k --+=，圆心到直线的距离d ，解得2k =（3）因为AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111ACt t k MAO t t-=∠==---，同理直线BC 的斜率为： ()()222241411BCt t k t t --+==+-- ，所以直线AC 的方程为：()221ty x t t =---，直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+- ，由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得 22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭，又 ()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-，当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83，所以ABC V 面积的最小值.18164233ABC S =⨯⨯=V .10．（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高二期末（文））已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）存在，()4,0N .【分析】（1）设出圆心坐标(),0C a ，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，由此求解出a 的值（注意范围），则圆C 的方程可求；（2）当直线AB 的斜率不存在时，直接根据位置关系分析即可，当直线AB 的斜率存在时，设出直线方程并联立圆的方程，由此可得,A B 坐标的韦达定理形式，根据AN BN k k =-结合韦达定理可求点N 的坐标.【详解】解：（1）设圆心(),0C a ，∵圆心C 在l 的上方，∴4100a +>，即52a >-，∵直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，∴d r =，即41025a +=，解得：0a =或5a =-（舍去），则圆C 方程为224x y +=；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为()1y k x =-，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ，由224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得，()22221240k x k x k +-+-=，所以212221k x x k +=+，212241k x x k -=+若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即()()1212110k x k x x tx t--+=--，整理得：()()12122120x x t x x t -+++=，即()()222224212011k k t t k k -+-+=++，解得：4t =，当点()4,0N ，能使得ANM BNM ∠=∠总成立．1．（2021·山东高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（ ）A ．充分没必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要条件【答案】C 【分析】由直线与圆相切的等价条件，易判断【详解】由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，因此充分性成立；“直线与圆相切”⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件故选：C2．（2021·北京高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m = A ．±1B．C．D ．2±【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =则弦长为||MN =则当0k =时，弦长|MN取得最小值为2=，解得m =故选：C.3.（2020·全国高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）练真题A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D 【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d >，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=V，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.4．【多选题】（2021·全国高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l的距离d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以d =则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以d =则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以d =则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以d =l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.5.（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【分析】由于22670x my m +--=是圆，可得1m =，通过圆心和半径计算,,a b c ，即得解【详解】由于22670x my m +--=是圆，1m ∴=即：圆22670x y x +--=其中圆心为()3,0，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即3c =，4a =，b ==那么短轴长为故答案为：6．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.。
直线和圆的位置关系专题
《直线和圆的位置关系》专题班级 姓名一、选择题1．已知：如图，P A ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 点，C 为⊙O 上一点，∠ACB =65°，则∠APB 等于( )．A ．65°B ．50°C ．45°D ．40°2．如图，AB 是⊙O 的直径，直线EC 切⊙O 于B 点，若∠DBC =α，则( )．A ．∠A =90°－αB ．∠A = αC ．∠ABD = α D ．∠α2190o -=ABD 3．如图，△ABC 中，∠A =60°，BC =6，它的周长为16．若⊙O 与BC ，AC ，AB 三边分别切于E ，F ，D 点，则DF 的长为( )．A ．2B ．3C ．4D ．64．下面图形中，一定有内切圆的是( )．A ．矩形B ．等腰梯形C ．菱形D ．平行四边形5．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比是( )．A ．3:2:1B ．3:2:1C ．2:3:1D ．1∶2∶3二、解答题6．已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，以AB 为直径的⊙O 切DC 边于E 点，AD =3cm ，BC =5cm ．求⊙O 的面积．7．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，F ，C 是⊙O 上两点，且=，过C 点作DE ⊥AF的延长线于E 点，交AB 的延长线于D 点．(1)试判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；(2)试判断∠BCD 与∠BAC 的大小关系，并证明你的结论．8．已知：如图，P A ，PB 分别是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠BAC =35°，求∠P 的度数．9．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC =BD ，连结AC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ．(1)求证：AB =AC ；(2)求证：DE 为⊙O 的切线；(3)若⊙O 的半径为5，∠BAC =60°，求DE 的长．10．已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC =30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ．(1)判断△DCE 的形状并说明理由；(2)设⊙O 的半径为1，且213-=OF ，求证△DCE ≌△OCB ．11．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙O 于D ．(1)求证：AT 平分∠BAC ；(2)若,3,2==TC AD 求⊙O 的半径．。
专题 直线与圆、圆与圆的位置关系(教师版)
专题 直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2023·广东深圳·统考二模)若过点M 2,1 的直线l 与圆O :x 2+y 2=8交于A ,B 两点，则弦AB 最短时直线l 的方程为()A.2x -y -3=0B.x +y -3=0C.x +2y -4=0D.2x +y -5=0【答案】D【解析】当AB 最短时，直线l ⊥OM ，所以k l ⋅k OM =-1.又k OM =12，所以k l =-2，所以l 的方程为y -1=-2x -2 ，即2x +y -5=0.故选：D2.(2023·云南·云南师大附中校考模拟预测)已知圆C ：x -1 2+y 2=4，直线l ：y =x +1被圆C 截得的弦长为()A.2B.3C.22D.23【答案】C【解析】圆C ：x -1 2+y 2=4的圆心为C (1,0)，半径r =2，所以圆心C (1,0)到直线y =x +1的距离为d =1-0+12=2，所以直线l ：y =x +1被圆C 截得的弦长为24-2=22，故选：C .3.(2023·河南·校联考模拟预测)已知圆O 的直径AB =4，若平面内一个动点M 与点A 的距离是它与点B 距离的2倍，则△MAB 的面积的最大值为()A.64B.12C.62D.82【答案】D【解析】以O 为原点，AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (-2,0)，B (2,0)，设M (x ,y )，因为|MA |=2|MB |，所以(x +2)2+(y -0)2=2(x -2)2+(y -0)2，整理得(x -6)2+y 2=32，所以点M 在以6,0 为圆心，以42为半径的圆上，M 到直线AB 的距离的最大值为42，因此△ABM 的面积的最大值为12×4×42=8 2.故选：D4.(2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测)若点M 是圆C ：x 2+y 2-4x =0上的任一点，直线l ：x +y +2=0与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点，则AM⋅AB的最小值为()A.4-22B.2C.8-42D.8【答案】C【解析】x +y +2=0令y =0则x =-2，即A -2,0 ，令x =0，则y =-2，即B 0,-2 ，圆C ：x 2+y 2-4x =0⇒x -2 2+y 2=4，则设点M 2+2cos θ,2sin θ ，AM ⋅AB=4+2cos θ,2sin θ ⋅2,-2 =8+4cos θ-4sin θ=8-42sin θ-π4当sin θ-π4=1时取得最小值AM ⋅AB min =8-4 2.故选：C . 5.(2023·重庆·统考模拟预测)已知过抛物线C :y 2=2px (p >0)焦点的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且|AB |=8，圆C :x 2+y 2-52y =0，若抛物线C与圆C 交于P ，Q 两点，且|PQ |=5，则线段AB 的中点D 的横坐标为()A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】圆C :x 2+y 2-52y =0过原点，则点P ，Q 之一为原点，不妨令点P (0,0)，设Q (m ,n ),m >0，依题意，m 2+n 2=|PQ |2=5，又m 2+n 2=52n ，解得m =1,n =2，即Q (1,2)，则22=2p ×1，解得p =2，抛物线C :y 2=4x 的焦点F (1,0)，准线方程为x =-1，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，于是|AB |=|AF |+|BF |=x 1+1+x 2+1=x 1+x 2+2，而|AB |=8，因此x 1+x 2=6，所以线段AB 的中点D 的横坐标x 1+x 22=3.故选：B6.(2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测)圆O ：x 2+y 2=4与直线l ：x +λ-1 y -λ=0交于M 、N ，当MN 最小时，λ的值为()A.-2B.2C.-1D.1【答案】B【解析】直线l ：x +λ-1 y -λ=0，即y -1 λ+x -y =0，令y -1=0x -y =0 ，解得x =1y =1，即直线l 恒过定点C 1,1 ，又12+12=2<4，所以点C 1,1 在圆内，所以当OC ⊥l 时弦MN 最小，因为k OC =1，所以k l =-1，即11-λ=-1，解得λ=2.故选：B7.(2023·北京·北京八十中校考模拟预测)已知直线x +y =1与圆x 2+y 2=a 交于A ，B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OA +OB =OC，则a 的值为( )．A.1 B.2C.2D.4【答案】C【解析】由条件可知，OA =OB =OC =a ，所以OA +OB 2=OC 2，则OA 2+OB 2+2OA ⋅OB =OC 2，则a +a +2a cos OA ,OB =a ，解得cos OA ,OB =-12，∵0°≤OA ,OB≤180°,所以OA ,OB=120°,所以圆心0,0 到直线x +y =1的距离d =12=a2，得a =2.故选：C8.(2023·云南昭通·校联考模拟预测)已知A 0,-2 ，B 2,0 ，点P 为圆x 2+y 2-2x -8y +13=0上任意一点，则△PAB 面积的最大值为()A.5B.5-22C.52D.5+22【答案】D【解析】圆x 2+y 2-2x -8y +13=0的圆心C (1,4)，半径r =2，直线AB 的方程为：y =x -2，于是点C 到直线AB ：x -y -2=0的距离d =|1-4-2|12+(-1)2=522，而点P 在圆C 上，因此点P 到直线AB 距离的最大值为522+2，又AB =22+22=22，所以△PAB 面积的最大值为S =12×22×522+2 =5+2 2.故选：D9.(2023·福建三明·统考三模)角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边不在坐标轴上，终边所在的直线与圆C :x -2 2+y -1 2=8相交于A 、B 两点，当△ABC 面积最大时cos π2+2α =()A.-2425B.-45C.45D.2425【答案】D【解析】因为S △ABC =12AC ⋅BC sin ∠ACB =12×22 2sin ∠ACB =4sin ∠ACB ，故当∠ACB =π2时，△ABC 的面积取最大值，则AB =2AC =2×22=4，所以，圆心到直线AB 的距离为d =12AB =2，由题意可知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y =kx ，即kx -y =0，其中k ≠0，圆C 的圆心为C 2,1 ，则d =2k -1k 2+1=2，解得k =-34，即tan α=-34，显然cos α≠0，因此，cos π2+2α =-sin2α=-2sin αcos αsin 2α+cos 2α=-2tan αtan 2α+1=-2×-34 -34 2+1=2425.故选：D .10.(2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测)已知函数f x =x 3+tx +lg 1+x 2+x +2在-2,2 上的最大值与最小值分别为M 和m ，则经过函数g x =M +m x +1M +m x -13的图象的对称中心的直线被圆x 2+y 2=5截得的最短弦长为()A.10 B.5C.374D.372【答案】D【解析】因为f x =x 3+tx +lg 1+x 2+x +2，所以f x -2=x 3+tx +lg 1+x 2+x ，设g x =f x -2=x 3+tx +lg 1+x 2+x ，x ∈-2,2 ，因为函数g x 的定义域关于原点对称，且g x +g -x =x 3+tx +lg 1+x 2+x +-x 3-tx +lg 1+-x 2-x =0，所以函数g x 为奇函数，由已知可得函数g x 的最大值为M -2，最小值为m -2，所以M -2+m -2=0，故M +m =4，所以g x =4x +14x -1 3,g x -1=4x -1+14x -1 3，因为h t =t +1t 3是奇函数，关于原点对称，所以g x 关于14,1 中心对称，因为14 2+12=1716<5则点14,1在圆x 2+y 2=5的内部，因为点14,1 到坐标原点的距离为174，所以所求最短弦长为25-1716=372.故选：D .11.(多选题)(2023·海南海口·海南华侨中学校考一模)如图所示，该曲线W是由4个圆：x -1 2+y 2=1，x +1 2+y 2=1，x 2+y +1 2=1，x 2+y -12=1的一部分所构成，则下列叙述正确的是()A.曲线W 围成的封闭图形面积为4+2πB.若圆x 2+y 2=r 2r >0 与曲线W 有8个交点，则2≤r ≤2C.BD与DE的公切线方程为x +y -1-2=0D.曲线W 上的点到直线x +y +52+1=0的距离的最小值为4【答案】ACD【解析】曲线W 围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，所以其面积为2×2+2×π×12=4+2π，故A 选项正确.当r =2时，交点为B ，D ，F ，H ；当r =2时，交点为A ，C ，E ，G ；当0<r <2或r >2时，没有交点；当2<r <2时，交点个数为8，故B 选项错误.设BD 与DE的公切线方程为y =kx +t k <0,t >0 ，由直线和圆相切的条件可得t -11+k 2=1=k +t1+k 2，解得k =-1，t =1+2(1-2舍去)，则其公切线方程为y =-x +1+2，即x +y -2-1=0，故C 选项正确.同理可得HB，HG的公切线方程为x +y +1+2=0，则两平行线的距离d =52+1-1-22=4，故D 选项正确.故选：ACD .12.(多选题)(2023·湖南·校联考二模)已知点P 在圆C 1:(x -2)2+y 2=4上，点Q 在圆C 2:x 2+y 2+2x -8y +13=0上，则()A.两圆外离B.PQ的最大值为9C.PQ 的最小值为1D.两个圆的一条公切线方程为3x -4y +4=0【答案】ABC【解析】圆C 1:(x -2)2+y 2=4的圆心坐标C 12,0 ，半径r =2，圆C 2:x 2+y 2+2x -8y +13=0，即(x +1)2+(y -4)2=4的圆心坐标C 2-1,4 ，半径R =2，所以圆心距C 1C 2 =(-1-2)2+(4-0)2=5，因为C 1C 2 >R +r =4，所以两圆外离．故A 正确；因为P 在圆C 1上，Q 在圆C 2上，所以PQ min =C 1C 2 -R -r =1, PQ |max =C 1C 2 +R +r =9，故B 、C 正确；因为圆心C 2-1,4 到直线3x -4y +4=0的距离d =-1×3-4×4+432+42=3≠R ，所以3x -4y +4=0不是两圆公切线，故D 错误；故选：ABC ．13.(多选题)(2023·湖南·校联考模拟预测)已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=16，直线l :2m +1 x +m +1 y -7m -4=0，则()A.直线l 恒过定点B.直线l 能表示平面直角坐标系内每一条直线C.对任意实数m ，直线l 都与圆C 相交D.直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为211【答案】ACD【解析】对于A ：直线l 的方程可化为2x +y -7 m +x +y -4 =0，联立2x +y -7=0x +y -4=0，解得x =3,y =1.所以直线恒过定点P 3,1 ，∴A 正确；对于B ：由A 可知，直线l 不能表示直线2x +y -7=0，也不能表示不过点P 的直线，∴B 错误；对于C ，因为(3-1)2+(1-2)2<16，故直线l 恒过圆C 内一点P 3,1 ，所以直线l 与圆相交，∴C 正确；对于D ，当直线l ⊥CP 时，直线被圆截得的弦长最短，因为CP =3-12+1-2 2=5，所以最短弦长为2r 2-CP 2=216-5=211，∴D 正确．故选：ACD ．14.(多选题)(2023·江苏·统考模拟预测)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λλ≠1 的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ，B 4,0 ，点P 满足PA PB=12．设点P 的轨迹为C ，则( )．A.轨迹C 的方程为x +42+y 2=9B.在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得PD PE=12C.当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的角平分线D.在C 上存在点M ，使得MO =2MA 【答案】BC【解析】对于A ，在平面直角坐标系xOy 中，A -2，0 ，B 4，0 ，点P 满足PA PB=12，设P x ，y ，则x +22+y 2x -42+y 2=12，化简得x 2+y 2+8x =0，即x +4 2+y 2=16，所以A 错误；对于B ，假设在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得PD PE=12，设D m ，0 ，E n ，0 ，则x -n2+y 2=2x -m 2+y 2，化简得3x 2+3y 2-8m -2n x +4m 2-n 2=0，由轨迹C 的方程为x 2+y 2+8x =0，可得8m -2n =-24，4m 2-n 2=0，解得m =-6，n =-12或m =-2，n =4(舍去)，所以B 正确；对于C ，当A ，B ，P 三点不共线时，OAOB =12=PA PB，可得射线PO 是∠APB 的角平分线，所以C 正确；对于D ，若在C 上存在点M ，使得MO =2MA ，可设M x ，y ，则x 2+y 2=2x +2 2+y 2，化简得x 2+y 2+163x +163=0，与x 2+y 2+8x =0联立，方程组无解，故不存在点M ，所以D 错误．故选：BC ．15.(多选题)(2023·全国·模拟预测)过圆x 2+y 2=4上一点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则( ).A.|AP |=|BP |=2 B.∠APB =60°C.|AB |=3D.直线AB 与圆x 2+y 2=14相切【答案】BCD 【解析】由题意，作图如下：设圆x 2+y 2=1与圆x 2+y 2=4的圆心为O ，则OA =1，OP =2，因为PA 与圆x 2+y 2=1相切，所以OA ⊥PA ，在Rt △OAP 中，AP =OA2+OP 2=3，易知∠APO =30°，所以∠APB =60°.又AP =BP ，所以AB =3，故A 错误，B 、C 正确.故AB 与OP 交于点H ，由PA ,PB 与圆x 2+y 2=1相切，则AB ⊥OP ，由PA ⊥OA ，则∠APO =30°，易知∠OAB =30°，在Rt △AOH 中，OH =AO ⋅sin ∠OAH =12，又圆x 2+y 2=14的半径为12，所以直线AB 与圆x 2+y 2=14相切，故D 正确.故选：BCD .16.(多选题)(2023·江苏徐州·校考模拟预测)已知圆C 的方程为x 2+(y -2)2=1，点Q (0,3)，点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ,B ，则()A.存在切点A ,B 使得∠AQB 为直角B.直线AB 过定点0,32 C.QA ⋅QB 的取值范围是0,32D.△QAB 面积的取值范围是0,343 【答案】BD【解析】对于A ，圆的上顶点为0,3 ，即Q 点，若∠AQB 为直角，则AB 为直径，显然同一直径不能同时垂直两条相交直线，所以∠AQB 不可能为直角，故A 错误；同理C 选项的数量积也取不到0，所以C 错误；对于B ,设P x 0,0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，因为C 0,2 ，A x 1,y 1 ，k AC =y 1-2x 1，则PA 的方程为：y -y 1=-x 1y 1-2x -x 1 ，因为x 21+y 1-2 2=1化简可得：xx 1+y -2 y 1-2 =1，同理PB 的方程为：xx 2+y -2 y 2-2 =1，而P x 0,0 在切线PA ，PB 上，所以x 0x 1+y 0-2 0-2 =1，x 0x 2+y 0-2 0-2 =1，因为A x1,y 1 ,B x 2,y 2 在直线x 0x +y 0-2 0-2 =1故直线AB 的方程为x 0x -2y 0-2 =1，令x =0，y =32，即AB 过定点0,32，故B 正确；对于D ，圆心C 0,2 到直线AB 的距离平方为1x 20+42，线段AB 一半的平方为：1-1x 20+42=x 20+3x 20+4，点Q 到直线AB 的距离的平方为：9x 20+4，所以△QAB 面积的平方为：x 20+3x 20+4⋅9x 20+4=9x 20+3 x 20+4 2=9x 20+3x 20+3+1 2=9x 20+3x 20+3 2+1+2x 20+3 =91x 20+3 +1x 20+3+2①，因为x 20+3≥3，所以由对勾函数的性质可知当x 20+3=3时，①的分母取得最小值163，所以△QAB 面积平方的最大值9163=9×316=2716，故△QAB 面积的最大值为334，故△QAB 面积的取值范围是0,343 ，故D 正确.故选：BD .17.(2022•上海)设集合Ω={(x ，y )|(x -k )2+(y -k 2)2=4|k |，k ∈Z }①存在直线l ，使得集合Ω中不存在点在l 上，而存在点在l 两侧；②存在直线l ，使得集合Ω中存在无数点在l 上；()A.①成立②成立B.①成立②不成立C.①不成立②成立D.①不成立②不成立【答案】B【解析】当k =0时，集合Ω={(x ，y )|(x -k )2+(y -k 2)2=4|k |，k ∈Z }={(0,0)}，当k >0时，集合Ω={(x ，y )|(x -k )2+(y -k 2)2=4|k |，k ∈Z }，表示圆心为(k ,k 2)，半径为r =2 k 的圆，圆的圆心在直线y =x 2上，半径r =f (k )=2k 单调递增，相邻两个圆的圆心距d =(k +1-k )2+[(k +1)2-k 2]2=4k 2+4k +2，相邻两个圆的半径之和为l =2k +2k +1，因为d >l 有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，当k <0时，同k >0的情况，故存在直线l ，使得集合Ω中不存在点在l 上，而存在点在l 两侧，故①正确，若直线l 斜率不存在，显然不成立，设直线l :y =mx +n ，若考虑直线l 与圆(x -k )2+(y -k 2)2=4|k |的焦点个数，d =|mk +n -k 2|m 2+1，r =2|k |，给定m ，n ，当k 足够大时，均有d >r ，故直线l 只与有限个圆相交，②错误．故选：B ．18.(2021•北京)已知直线y =kx +m (m 为常数)与圆x 2+y 2=4交于M ，N ，当k 变化时，若|MN |的最小值为2，则m =()A.±1 B.±2C.±3D.±2【答案】C【解析】圆C :x 2+y 2=4，直线l :y =kx +m ，直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，设弦长为a ，则圆心C 到直线l 的距离d =4-a 2 2=4-a 24，当弦长取得最小值2时，则d 有最大值4-1=3，又d =|m |1+k2，因为k 2≥0，则1+k 2≥1，故d 的最大值为|m |=3，解得m =±3．故选：C ．19.(2021•全国)已知点P 在圆(x +1)2+y 2=2上，则P 到直线x +y -5=0距离的最小值为()A.2B.322C.22D.32【答案】C【解析】(x +1)2+y 2=2的圆心C (-1,0)到直线x +y -5=0的距离等于62=32，故圆(x +1)2+y 2=2上的动点P 到直线x +y -5=0的距离的最小值为32-2=22．故选：C ．20.(2020•新课标Ⅲ)若直线l 与曲线y =x 和圆x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为()A.y =2x +1B.y =2x +12C.y =12x +1 D.y =12x +12【答案】D【解析】设直线l 与曲线y =x 相切于M (a ,b )，(a >0)，则由(x ) =12x 可知，曲线y =x 在点P 处的切线方程为y -a =12a (x -a )，即y -x 2a-a2=0，该方程即为直线l 的方程，∵直线l与圆相切，∴a21+14a=55，解得a=1，故直线l的方程为y=12x+12．故选：D．21.(2020•新课标Ⅰ)已知圆x2+y2-6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由圆的方程可得圆心坐标C(3,0)，半径r=3；设圆心到直线的距离为d，则过D(1,2)的直线与圆的相交弦长|AB|= 2r2-d2，当d最大时弦长|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d= |CD|=(3-1)2+(2-0)2=22，所以最小的弦长|AB|=232-(22)2=2，故选：B．22.(2020•新课标Ⅰ)已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0，直线l:2x+y+2 =0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|⋅|AB|最小时，直线AB的方程为()A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y+1=0【答案】D【解析】化圆M为(x-1)2+(y-1)2=4，圆心M(1,1)，半径r=2．∵S四边形PAMB =12PM⋅AB=2SΔPAM=PA⋅AM=2PA=2|PM|2-4 ．∴要使|PM|⋅|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．直线PM的方程为y-1=12(x-1)，即y=12x+12，联立y=12x+122x+y+2=0，解得P(-1,0)．则以PM为直径的圆的方程为x2+y-1 22=54．联立x2+y2-2x-2y-2=0x2+y2-y-1=0，相减可得直线AB的方程为2x+y+1=0．故选：D．23.(多选题)(2021•新高考Ⅰ)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4,0)，B(0,2)，则()A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当∠PBA 最小时，|PB |=32D.当∠PBA 最大时，|PB |=32【答案】ACD【解析】∵A (4,0)，B (0,2)，∴过A 、B 的直线方程为x4+y 2=1，即x +2y -4=0，圆(x -5)2+(y -5)2=16的圆心坐标为(5,5)，圆心到直线x +2y -4=0的距离d =|1×5+2×5-4|12+22=115=1155>4，∴点P 到直线AB 的距离的范围为1155-4，1155+4，∵1155<5，∴1155-4<1，1155+4<10，∴点P 到直线AB 的距离小于10，但不一定大于2，故A 正确，B 错误；如图，当过B 的直线与圆相切时，满足∠PBA 最小或最大(P 点位于P 1时∠PBA 最小，位于P 2时∠PBA 最大)，此时|BC |=(5-0)2+(5-2)2=25+9=34，∴|PB |=|BC |2-42=18=32，故CD 正确．故选：ACD ．24.(多选题)(2021•新高考Ⅱ)已知直线l :ax +by -r 2=0与圆C :x 2+y 2=r 2，点A (a ,b )，则下列说法正确的是()A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离C.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切D.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离【答案】ACD【解析】A 中，若A 在圆上，则a 2+b 2=r 2，而圆心到直线l 的距离d =r 2a 2+b 2=|r |，所以直线与圆相切，即A 正确；B 中，点A 在圆C 外，则a 2+b 2>r 2，而圆心到直线l 的距离d =r 2a 2+b2<|r |，所以直线l 与圆相交，所以B 不正确；C 中，点A 在直线l 上，则a 2+b 2=r 2，而圆心到直线l 的距离d =r 2a 2+b 2=|r |，所以直线l 与圆相切，所以C 正确；D 中，点A 在圆C 内，则a 2+b 2<r 2，而圆心到直线l 的距离d =r 2a 2+b 2>|r |，所以直线l 与圆相离，所以D 正确；故选：ACD．25.(2023•天津)过原点的一条直线与圆C :(x +2)2+y 2=3相切，交曲线y 2=2px (p >0)于点P ，若|OP |=8，则p 的值为．【答案】6．【解析】如图，由题意，不妨设直线方程为y =kx (k >0)，即kx -y =0，由圆C :(x +2)2+y 2=3的圆心C (-2,0)到kx -y =0的距离为3，得|-2k |k 2+1=3，解得k =3(k >0)，则直线方程为y =3x ，联立y =3x y 2=2px ，得x =0y =0 或x =2p 3y =23p3，即P 2p 3,23p 3．可得|OP |=2p 3 2+23p 32=8，解得p =6．故答案为：6．26.(2023•新高考Ⅱ)已知直线x -my +1=0与⊙C :(x -1)2+y 2=4交于A ，B 两点，写出满足“ΔABC 面积为85”的m 的一个值．【答案】2【解析】由圆C :(x -1)2+y 2=4，可得圆心坐标为C (1,0)，半径为r =2，因为ΔABC 的面积为85，可得S ΔABC =12×2×2×sin ∠ACB =85，解得sin ∠ACB =45，设12∠ACB =θ所以∴2sin θcos θ=45，可得2sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=45，∴2tan θtan 2θ+1=45，∴tan θ=12或tan θ=2，∴cos θ=25或cos θ=15，∴圆心到直线x -my +1=0的距离d =45或25，∴21+m 2=45或21+m 2=25，解得m =±12或m =±2．故答案为：2(或-2或12或-12)．27.(2022•新高考Ⅱ)设点A (-2,3)，B (0,a )，若直线AB 关于y =a 对称的直线与圆(x +3)2+(y +2)2=1有公共点，则a 的取值范围是．【答案】13，32 ．【解析】点A (-2,3)，B (0,a )，k AB =a -32，所以直线AB 关于y =a 对称的直线的斜率为：3-a 2，所以对称直线方程为：y -a =3-a2⋅x ，即：(3-a )x -2y +2a =0，(x +3)2+(y +2)2=1的圆心(-3,-2)，半径为1，所以|3(a -3)+4+2a |4+(3-a )2≤1，得12a 2-22a +6≤0，解得a ∈13，32 ．故答案为：13，32 ．28.(2022•新高考Ⅰ)写出与圆x 2+y 2=1和(x -3)2+(y -4)2=16都相切的一条直线的方程．【答案】x =-1(填3x +4y -5=0，7x -24y -25=0都正确)．【解析】圆x 2+y 2=1的圆心坐标为O (0,0)，半径r 1=1，圆(x -3)2+(y -4)2=16的圆心坐标为C (3,4)，半径r 2=4，如图：∵|OC |=r 1+r 2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．∵k OC =43，∴l 1的斜率为-34，设直线l 1:y =-34x +b ，即3x +4y -4b =0，由|-4b |5=1，解得b =54(负值舍去)，则l 1:3x +4y -5=0；由图可知，l 2:x =-1；l 2与l 3关于直线y =43x 对称，联立x =-1y =43x，解得l 2与l 3的一个交点为-1,-43 ，在l 2上取一点(-1,0)，该点关于y =43x 的对称点为(x 0，y 0)，则y 02=43⋅x 0-12y 0x 0+1=-34，解得对称点为725，-2425．∴k l 3=-2425+43725+1=724，则l 3:y =724(x +1)-43，即7x -24y -25=0．∴与圆x 2+y 2=1和(x -3)2+(y -4)2=16都相切的一条直线的方程为：x =-1(填3x +4y -5=0，7x -24y -25=0都正确)．故答案为：x =-1(填3x +4y -5=0，7x -24y -25=0都正确)．29.(2022•天津)若直线x -y +m =0(m >0)与圆(x -1)2+(y -1)2=3相交所得的弦长为m ，则m =．【答案】2．【解析】∵圆心C (1,1)到直线x -y +m =0(m >0)的距离d =m2，又直线与圆相交所得的弦长为m ，∴m =2r 2-d 2，∴m 2=43-m 22，解得m =2．故答案为：2．30.(2021•天津)若斜率为3的直线与y 轴交于点A ，与圆x 2+(y -1)2=1相切于点B ，则|AB |=．【答案】3【解析】解假设A 在x 轴的上方，斜率为3的直线与x 轴交于D ，则可得tan ∠ADO =3，所以cot ∠BAC =3，如图所示，由圆C 的方程可得，圆的半径为|BC |=1，由于B 为切点，所以AB ⊥BC ，所以|AB |=|BC |⋅cot ∠BAC =3，故答案为：3．31.(2020•天津)已知直线x -3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB |=6，则r 的值为．【答案】5【解析】根据题意，圆x 2+y 2=r 2的圆心为(0,0)，半径为r ；则圆心到直线x -3y +8=0的距离d =81+3=4，若|AB |=6，则有r 2=d 2+|AB |22=16+9=25，故r =5；故答案为：532.(2020•浙江)已知直线y =kx +b (k >0)与圆x 2+y 2=1和圆(x -4)2+y 2=1均相切，则k =，b =．【答案】33；-233【解析】由条件得C 1(0,0)，r 1=1，C 2(4,0)，r 2=1，因为直线l 与C 1，C 2都相切，故有d 1=|b |1+k 2=1，d 2=|4k +b |1+k 2=1，则有|b |1+k 2=|4k +b |1+k2，故可得b 2=(4k +b )2，整理得k (2k +b )=0，因为k >0，所以2k +b =0，即b =-2k ，代入d 1=|b |1+k 2=1，解得k =33，则b =-233，故答案为：33；-233．33.(2023·四川成都·校联考模拟预测)已知圆C 1:x 2+y -1 2=1与圆C 2：x 2+y -m 2=4相内切，则实数m 的值为．【答案】0或2【解析】圆C 1的圆心为0,1 ，半径为r 1=1，圆C 2的圆心为0,m ，半径为r 2=2，所以两圆的圆心距d =02+m -1 2，又因为两圆内切，有m -1 =1-2 ⇒m =0或m =2．故答案为：0或2.34.(2023·北京·北京四中校考模拟预测)已知圆C :x 2+(y -1)2=2，若点P在圆C 上，并且点P 到直线y =x 的距离为22，则满足条件的点P 的个数为.【答案】3【解析】设P x 0,y 0 ，由点P 到直线y =x 的距离为22，得x 0-y 0 2=22两边平方整理得到x 20+y 20-2x 0y 0=1①因为x 0,y 0 在圆C 上，所以x 20+y 0-1 2=2，即x 20+y 20-2y 0=1②联立①②得y 0x 0-1 =0，解得y0=0或x 0=1，当y 0=0时，由①②可得x 20=1，解得x 0=1或x 0=-1，即P (1,0)或P (-1,0)当x 0=1时，由①②可得y 20-2y 0=0，解得y 0=0或y 0=2，即P (1,0)或P 1,2综上，满足条件的点P 的个数为3.故答案为：3.35.(2023·河南开封·统考三模)已知点M 在圆x 2+y 2=4上，直线2x +y -4=0与x 轴、y 轴的交点分别A 、B ，则2MA +MB 的最小值为.【答案】25【解析】2x +y -4=0中，令x =0得y =4，令y =0得x =2，故A 2,0 ，B 0,4 ．其中2MA +MB =2MA +12MB ，设C 0,n ，点M 在圆上运动时，始终有MC =12MB ，设M x 0,y 0 ，则有x 20+y 0-n 2=14x 20+y 0-4 2，又有x 20+y 20=4，可得21-n y 0+n 2-1 =0，即1-n 2y 0-1-n =0，所以n =1，故C 0,1 ，∴2MA +MB =2MA +12MB =2MA +MC ≥2AC =25．故答案为：2536.(2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考三模)已知⊙M 的圆心在曲线y =2xx >0 上，且⊙M 与直线2x +y +1=0相切，则⊙M 的面积的最小值为.【答案】5π【解析】因为⊙M 的圆心在曲线y =2x (x >0)上，故设M x 0,2x 0,因为⊙M 与直线2x +y +1=0相切,所以M x 0,2x 0到直线2x +y +1=0的距离即为半径，即r =2x 0+2x+15=2x 0+2x+15≥22x 0⋅2x 0+15=5，当且仅当x 0=1时等号成立，所以⊙M 的面积的最小值为S =πr 2=5π.故答案为:5π.37.(2023·江苏扬州·统考模拟预测)圆O (O 为坐标原点)与直线l :x +y =2相切，与直线l 垂直的直线m 与圆O 交于不同的两点P 、Q ，若OP ⋅OQ<0，则直线m 的纵截距的取值范围是．【答案】(-2,2)【解析】由题意得：圆心(0,0)到直线l 1:x +y -2=0的距离为圆的半径，r =|2|2=2，所以圆C 的标准方程为：x 2+y 2=2，设直线m 的方程为：y =x +b ，与x 2+y 2=2联立，消去y 得：2x 2+2bx +b 2-2=0，设直线m 与圆的交点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由△=(-2b )2-8(b 2-2)>0，得b 2<4，x 1+x 2=-b ，x 1x 2=12(b 2-2)①，因为OP ⋅OQ<0，所以x 1x 2+y 1y 2<0，又y 1=x 1+b ，y 2=x 2+b ，所以x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2+b (x 1+x 2)+b 2<0②，由①②得b 2<2，满足Δ>0，即-2<b <2，故直线m 纵截距的取值范围是-2,2 ，故答案为：-2,2 .38.(2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)△ABC 中，D ,E 是边BC 上的点，∠BAD =∠CAE ，且BD ⋅BE CD ⋅CE=13．(1)若BC =3，求△ABC 面积的最大值；(2)若AB =1,BC =2,△ABC 内是否存在点P ，使得∠ABP =∠BCP =∠CAP ？若存在，求sin ∠ABP ；若不存在，说明理由．【解析】(1)由面积公式可得：S △ABD S △ADC =BD CD =12×AD ×AB ×sin ∠BAD12×AD ×AC ×sin ∠CAD =AB ×sin ∠BAD AC ×sin ∠CAD ，S △ABE S △AEC =BE CE =12×AE ×AB ×sin ∠BAE12×AE ×AC ×sin ∠CAE =AB ×sin ∠BAE AC ×sin ∠CAE ，因为∠BAD =∠CAE ，故∠CAD =∠BAE ，由BD ⋅BE CD ⋅CE =13可得AB ×sin ∠BAD AC ×sin ∠CAD ×AB ×sin ∠BAE AC ×sin ∠CAE =13即AB AC=13，建立如图所示的平面直角坐标系，则B 0,0 ,C 3,0 ，设A x ,y ，则(x -3)2+y 2=3×x 2+y 2，整理得到：x +322+y2=274，即点A 的轨迹是以-32,0 圆心，332为半径的圆，故△ABC 的BC 边上的高的最大值为332，故其面积的最大值为934.(2)因为AB =1,AB AC =13，故AC =3，又BC =2，故AC 2+AB 2=4=BC 2，故△ABC 为直角三角形，且∠ABC =60°,∠ACB =30°，假设△ABC 内存在点P ，使得∠ABP =∠BCP =∠CAP ，法一：如图，设∠ABP =∠BCP =∠CAP =α，则∠ACP =30°-α,∠APC =150°,∠APB =90°，故AP =sin α，在△APC 中，由正弦定理可得AC sin ∠APC =AP sin ∠ACP ，即3sin150°=sin αsin 30°-α，故312cos α-32sin α =12sin α，故tan α=34，因为α为锐角，故sin α=319=5719，故P 存在且sin ∠ABP =5719．法二：如图，设∠ABP =α，则∠CBP =60°-α，故∠CPB =120°，同理∠PCA =30°-α,∠APC =150°,∠APB =90°，故PB =1×cos α=cos α，而3sin ∠APC=CPsin α，故CP =23sin α，在△PBC 中，由余弦定理可得：4=cos 2α+12sin 2α-2×cos α×23sin α×-12 ，整理得到：4=cos2α+12sin2α+23cosα×sinα，所以4cos2α+4sin2α=cos2α+12sin2α+23cosα×sinα，整理得到：3=8tan2α+23tanα，解得tanα=-32或tanα=34，但α为锐角，故tanα=34，故sinα=319=5719，故P存在且sin∠ABP=5719．第21页。
直线与圆的位置关系专题
1.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明．2.如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E是⊙O上一点，D是AM上一点，连接DE并延长交BN于点C，且OD∥BE，OF∥BN．(1)求证：DE与⊙O相切；1（2）求证：OF=CD23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若AE=2，DE=1cm，求BD的长．4.如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为弧CF的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H．（1）求证：AB是半圆O的切线；（2）若AB=3，BC=4，求BE的长．5.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，∠A=∠D=30°．（1）判断DC 是否为⊙O 的切线，并说明理由；（2）证明：△AOC ≌△DBC ．6.如图，在△ABC 中，∠B=90°，∠A 的平分线交BC 于D ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D（1）试判断直线AC 与⊙D 的位置关系，并说明理由；（2）若点E 在AB 上，且DE=DC ，当AB=3，AC=5时，求线段AE 长．7.如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 为⊙O 外一点，且OP ∥BC ，∠P=∠BAC ．（1）求证：PA 为⊙O 的切线；（2）若OB=5，OP=325，求AC 的长．8.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ，点P 在AB 的延长线上，且∠CAB=2∠BCP ．（1）求证：直线CP 是⊙O 的切线；（2）若BC=52，sin ∠BCP=55，求⊙O 的半径及△ACP 的周长。
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系专题已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=01．位置关系的判定：判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交；(2)△=0相切；(3)△<0相离。
判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d(1)d<r相交；(2)d=r相切；(3)d>r相离。
例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。
法一：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点，∵点P在圆O内，∴直线L与圆O相交。
法二：圆心O到直线L的距离为当d<3时，(2m-1)2<9(2m2+2)，∴14m2+4m+17>0∴m∈R所以直线L与直线O相交。
法三：联立方程，消去y得2(1+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0∴△=56m4-96m3+92m2-120m+68=4(m-1)2(14m2+4m+17)当m≠1时，△>0，直线与圆相交；当m=1时，直线L：，此时直线L与圆O相交综上得直线L与圆O恒相交。
[评]法二和法三是判断直线与圆位置关系的方法，但计算量偏大；而法一是先观察直线的特点再结合图，避免了大量计算，因此体现了数形结合的优点。
例2、求圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最大最小值解：如图，直线L过圆心，且与直线3x+4y=25垂直于点M，此时，l与圆有两个交点A、B，∵原点到直线3x+4y=25的距离|OM|=5，∴圆上的点到直线3x+4y=25的距离的最大值为：|AM|=|OM|+r=5+1=6最小值为：|BM|=|OM|-r=5-1=4[评]本题是几何做法，充分体现了它计算量小的优势。
2．切线问题：例3：(1)已知点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，求过点P的圆C的切线方程；(x0x+y0y=r2)法一：∵点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，∴当x0≠0且y0≠0时，∴切线方程为当P为(0，r)时，切线方程为y=r，满足方程(1)；当P为(0，-r)时，切线方程为t=-r，满足方程(1)；当P为(r，0)时，切线方程为x=r，满足方程(1)；当P为(-r，0)时，切线方程为x=-r，满足方程(1)；综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2法二：设M(x，y)为所求切线上除P点外的任一点，则由图知|OM|2=|OP|2+|PM|2，即x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2∴x0x+y0y=r2且P(x0，y0)满足上面的方程。
中考数学直线与圆的位置关系专题含答案
【知识梳理】1、点与圆的位置关系：设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r⇔点P在⊙O内；d=r⇔点P在⊙O上；d>r⇔点P在⊙O外。
2、直线和圆的位置关系：直线和圆有三种位置关系，具体如下：知识点梳理：直线与圆的位置关系______ ______ ______ 图形公共点的个数______ ______ 0公共点的名称交点______ 无直线名称割线______ 无d与r的关系d________r d________r d________r 【经典例题1】在矩形ABCD 中，AB＝5，BC＝12，点 A 在⊙B 上．如果⊙D 与⊙B 相交，且点 B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于．(只需写出一个符合要求的数)【解析】∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A在B上，∴B的半径为5，∵如果D与B相交，∴D的半径R满足8∵点B在D内，∴R>13，∴14符合要求，故答案为：14(答案不唯一).练习1-1在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等).现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为 ()A.E，F，GB.F，G，HC.G，H，ED.H，E，F练习1-2已知☉O的直径等于12，圆心O到直线l的距离恰好为一元二次方程2x2-10x+3=0的两根的和，那么直线l和☉O的位置关系是.练习1-3如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为(3，－1)，AB＝23．将⊙P沿着与y轴平行的方向平移，使⊙P与x轴相切，则平移距离为_____．练习1-4（20上海中考）如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点O 在对角线AC 上，⊙O 的半径为2，如果⊙O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是 .320310<<x练习1-5如图，已知矩形ABCD 中，AB=2，BC=32，O 是AC 上一点，AO=m ，且O 的半径长为1，求：(1)线段AB 与O 没有公共点时m 的取值范围。
直线和圆专题
直线和圆的位置关系专题1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.2.设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).1．已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0.若l1⊥l2，则实数a的值是()A ．0B ．2或－1C ．0或－3D ．－3解析 因为l 1⊥l 2，所以a ＋a (a ＋2)＝0，则a ＝0或a ＝－3，故选C. 答案 C2．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，所有直线都通过定点( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－3 解析 ∵(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0恒成立，∴2x ＋1＝0，y ＋3＝0，∴x ＝－12，y ＝－3.答案 D3．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M 、N 分别是圆C 1、C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17解析 依题意，设⊙C 1关于x 轴的对称圆为⊙C ′，圆心C ′为(2，－3), 半径为1，⊙C 2的圆心为(3，4)，半径为3，则(|PC ′|＋|PC 2|)min ＝|C ′C 2|＝52，∴(|PM |＋|PN |)min ＝(|PC ′|＋|PC 2|)min －(1＋3)＝52－4，选A. 答案 A4．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解析 直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案 (x －1)2＋y 2＝25．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析 圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径r ＝1.(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)．如图所示，反射光线一定过点(2，－3)且斜率k 存在，∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵反射光线与已知圆相切， ∴|－3k －2－2k －3|k 2＋（－1）2＝1，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－34或k ＝－43.答案 D6．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33 B ．－33 C ．±33 D ．－ 3解析 曲线y ＝1－x 2的图象如图所示，若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k <0，设l ：y ＝k (x －2)，则点O 到l 的距离d ＝－2k k 2＋1. 又S △AOB ＝12|AB |·d＝12×21－d 2·d＝（1－d 2）·d 2≤1－d 2＋d 22＝12，当且仅当1－d 2＝d 2，即d 2＝12时，S △AOB 取得最大值． 所以2k 2k 2＋1＝12， ∴k 2＝13，∴k ＝－33，故选B.答案 B7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________． 解析 画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，该圆半径为2即圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d ＜1，即0＜|c |13＜1，∴－13＜c ＜13.答案(－13,13)．8.若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b) ()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能9直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是()A．相离B．相切或相交C．相交D．相切答案(1)B(2)C解析(1)由1a2＋b2<1，得a2＋b2>1，∴点P在圆外．(2)圆x2＋y2－2y＝0的圆心是(0,1)，半径r＝1，则圆心到直线l的距离d＝|k|1＋k2<1.故直线与圆相交．(2)求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题．10.已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．解(1) 如图所示，|AB|＝43，将圆C方程化为标准方程为(x ＋2)2＋(y－6)2＝16，∴圆C 的圆心坐标为(－2,6)，半径r ＝4，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，∴|AD |＝23，|AC |＝4.C 点坐标为(－2,6)．在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2.设所求直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋(－1)2＝2， 得k ＝34.故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. ∴所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.(2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )，则CD ⊥PD ，即CD →·PD→＝0， ∴(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.11.已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．思维启迪 求动点的轨迹方程关键是寻找与动点有关的等量关系，然后将等量关系用坐标表示出来．答案 (3)x ＝32 (3)⊙O 的圆心为(0,0)，半径为2，⊙O ′的圆心为(4,0)，半径为6，设点P 为(x ，y )，由已知条件和圆切线性质得x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y2－6，化简得x＝32.思维升华判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．12.已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是________________．答案(x＋2)2＋(y－1)2＝5解析圆C1的圆心为(1，－5)，半径为50，圆C2的圆心为(－1，－1)，半径为10，则两圆心连线的直线方程为2x＋y＋3＝0，由两圆方程作差得公共弦方程为x－2y＋4＝0，两直线的交点(－2,1)即为所求圆的圆心，由垂径定理可以求得半径为5，即所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.13.设M＝{(x，y)|y＝2a2－x2，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－3)2＝a2，a>0}，则M∩N≠∅时，a的最大值与最小值分别为________、________.思维启迪本题条件M∩N≠∅反映了两个集合所表示的曲线之间的关系，即半圆与圆之间的关系，因此可以直接利用数形结合的思想求解．解析因为集合M＝{(x，y)|y＝2a2－x2，a>0}，所以集合M表示以O(0,0)为圆心，半径为r1＝2a的上半圆．同理，集合N表示以O′(1，3)为圆心，半径为r2＝a的圆上的点．这两个圆的半径随着a的变化而变化，但|OO′|＝2.如图所示，当两圆外切时，由2a ＋a ＝2，得a ＝22－2； 当两圆内切时，由2a －a ＝2，得a ＝22＋2.所以a 的最大值为22＋2，最小值为22－2.答案 22＋2 22－214． 已知以点C (t ，2t )(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．(1)证明 ∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|4t |×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝5，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝95> 5.圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.。
专题11 直线与圆(解析版)
专题11 直线与圆【要点提炼】1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝ －1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r . (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F2.4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.考点考向一 直线的方程【典例1】 (1)(2020·西安检测)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( ) A.1B.－2C.1或－2D.－32(2)已知直线l 1：kx －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋ky －3＝0(k ≠0)分别过定点A ，B ，又l 1，l 2相交于点M ，则|MA |·|MB |的最大值为________.解析 (1)由题意知m (1＋m )－2×1＝0，解得m ＝1或－2，当m ＝－2时，两直线重合，舍去；当m ＝1时，满足两直线平行，所以m ＝1.(2)由题意可知，直线l 1：kx －y ＋4＝0经过定点A (0，4)， 直线l 2：x ＋ky －3＝0经过定点B (3，0)，注意到直线l 1：kx －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋ky －3＝0始终垂直，点M 又是两条直线的交点，则有MA ⊥MB ，所以|MA |2＋|MB |2＝|AB |2＝25.故|MA |·|MB |≤252(当且仅当|MA |＝|MB |＝522时取“＝”). 答案 (1)A (2)252探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.【拓展练习1】 (1)(多选题)光线自点(2，4)射入，经倾斜角为135°的直线l ：y ＝kx ＋1反射后经过点(5，0)，则反射光线还经过下列哪个点( ) A.(14，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98 C.(13，2)D.(13，1)(2)已知l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________.解析 (1)因为直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ＝－1，设点(2，4)关于直线l ：y ＝－x ＋1的对称点为(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －4m －2＝1，n ＋42＝－m ＋22＋1，解得⎩⎨⎧m ＝－3，n ＝－1，所以反射光线经过点(－3，－1)和点(5，0)，则反射光线所在直线的方程为y ＝0－（－1）5－（－3）(x －5)＝18(x －5)，当x ＝13时，y ＝1；当x ＝14时，y ＝98.故选BD.(2)当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1与l 2间的距离最大.由A(1，1)，B(0，－1)得k AB＝－1－10－1＝2.∴两平行直线的斜率k＝－1 2.∴直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案(1)BD(2)x＋2y－3＝0考向二圆的方程【典例2】(1)(2020·石家庄模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆”.现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4 km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的3倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位：km2)是()A.2 3B.4 3C.3 6D.4 6(2)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x －y－3＝0上截得的弦长为6，则圆C的方程为________.解析(1)以甲、乙两地所在直线为x轴，线段甲乙的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设甲、乙两地的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，丙地坐标为(x，y)(y≠0)，则（x＋2）2＋y2＝3·（x－2）2＋y2，整理得(x－4)2＋y2＝12，可知丙地所在的圆的半径为r＝2 3.所以三角形信号覆盖区域的最大面积为12×4×23＝4 3.(2)∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，∴设所求圆的圆心为(a，－a).又∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴半径r＝2|a|2＝2|a|.又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为6，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝|2a－3|2，∴d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝r 2，即（2a －3）22＋32＝2a 2，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 答案 (1)B (2)(x －1)2＋(y ＋1)2＝2探究提高 1.第(1)题是一道以阿波罗尼斯圆为背景的数学应用问题，解题关键是先利用题设条件给出的关系式，求出阿波罗尼斯圆的方程，即(x －4)2＋y 2＝12，然后应用圆中的几何量求解三角形信号覆盖区域的最大面积.2.求圆的方程主要方法有两种：(1)直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法求圆的方程时，若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，否则选择圆的一般方程. 温馨提醒 解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质. 【拓展练习2】 (1)(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A.4B.5C.6D.7(2)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3，4)为C 上一点，则△P AB 的外接圆的标准方程为________.解析 (1)由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为d min ＝（3－0）2＋（4－0）2－1＝4.故选A. (2)∵P (3，4)为C 上一点，9m －162＝1， 解得m ＝1，则B (1，0)，A (－1，0)， ∴k PB ＝4－03－1＝2，BP 的中点为(2，2)，PB 的垂直平分线方程为l 1：y ＝－12(x －2)＋2， AB 的垂直平分线方程为l 2：x ＝0，则圆心是l 1与l 2的交点M ，联立l 1与l 2方程， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3，则M (0，3)，r ＝|MB |＝1＋32＝10，∴△P AB 外接圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10. 答案 (1)A (2)x 2＋(y －3)2＝10 考向三 直线(圆)与圆的位置关系 角度1 圆的切线问题【典例3】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( ) A.y ＝2x ＋1 B.y ＝2x ＋12 C.y ＝12x ＋1D.y ＝12x ＋12(2)(多选题)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的可能取值是( ) A.1B.2C.3D.4解析 (1)易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55①，设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为(x 0，x 0)(x 0>0)，则y ′|x ＝x 0＝12x 0－12＝k ②，x 0＝kx 0＋b ③，由②③可得b ＝12x 0，将b ＝12x 0，k ＝12x 0－12代入①得x 0＝1或x 0＝－15(舍去)，所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程y ＝12x ＋12.(2)由x 2＋y 2－4x ＝0，得(x －2)2＋y 2＝4，则圆心为C (2，0)，半径r ＝2，过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为A ，B ，连接AC ，BC ，所以四边形P ACB 为正方形，即PC ＝2r ＝22，圆心到直线的距离d ＝|2k －0＋k |1＋k 2≤22，即－22≤k ≤22，所以实数k 的取值可以是1，2.故选AB. 答案 (1)D (2)AB探究提高 1.直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式. 2.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.【拓展练习3】 (1)(2020·浙江卷)已知直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1和圆(x －4)2＋y 2＝1均相切，则k ＝__________，b ＝__________.(2)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1，点A (0，－2)，B (a ，2)，从点A 观察点B ，要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－433，433 解析 (1)直线kx －y ＋b ＝0(k ＞0)分别与圆心坐标为(0，0)，半径为1，及圆心坐标为(4，0)，半径为1的两圆相切， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|b |k 2＋1＝1，①|4k ＋b |k 2＋1＝1，②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33，b ＝－233.(2)易知点B 在直线y ＝2上，过点A (0，－2)作圆的切线. 设切线的斜率为k ，则切线方程为y ＝kx －2， 即kx －y －2＝0. 由d ＝|0－0－2|1＋k 2＝1，得k ＝±3. ∴切线方程为y ＝±3x －2，和直线y ＝2的交点坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫－433，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫433，2. 故要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞. 答案 (1)33 －233 (2)B 角度2 圆的弦长的相关计算【典例4】 在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. (1)解 不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足方程x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2， ①y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22， ②又x 22＋mx 2－2＝0，③由①②③解得x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用勾股定理来处理.【拓展练习4】 (1)(2020·天津卷)已知直线x －3y ＋8＝0和圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相交于A ，B 两点.若|AB |＝6，则r 的值为__________.(2)(2020·菏泽联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，A (2，2)，若|AP |2＋|AQ |2＝40，则弦PQ 的长度的最大值为________. 解析 (1)依题意得，圆心(0，0)到直线x －3y ＋8＝0的距离d ＝|8|12＋（－3）2＝4，因此r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝25，又r ＞0，所以r ＝5.(2)设点M 为PQ 的中点，则|PM |＝|MQ |，在△APQ 中，由余弦定理易得|AP |2＋|AQ |2＝|AM |2＋|PM |2＋|MQ |2＋|AM |2＝2(|AM |2＋|MQ |2) 又|MQ |2＝|OQ |2－|OM |2＝4－|OM |2，|AP |2＋|AQ |2＝40. ∴40＝2|AM |2＋8－2|OM |2，则|AM |2－|OM |2＝16， 设M (x ，y )，则(x －2)2＋(y －2)2－(x 2＋y 2)＝16. 化简得x ＋y ＋2＝0.当OM ⊥l 时，OM 取到最小值，即|OM |min ＝22＝ 2. 此时，|PQ |＝2|OQ |2－|OM |2＝2 2. 故弦PQ 的长度的最大值为2 2.【专题拓展练习】一、单选题1．一条光线从点()1,1-射出，经y 轴反射后与圆22(2)1x y -+=相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为（ ） A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,04⎛⎫-⎪⎝⎭D ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【详解】 如图所示，由题意可设入射光线PQ 的方程为()11y k x +=-， 令0x =，则1y k =--，可得()0,1Q k --. 则反射光线QA 的方程为1y kx k =---.22111k k k ---<+，解得304k -<<.∴入射光线所在直线的斜率的取值范围为3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C .2．方程(6)30x y x y +++-表示的曲线是（ ） A ．两条平行线 B ．一个直线和一条射线 C ．两条射线 D ．一条直线【答案】D 【详解】因为 (6)30x y x y +++-，所以6030x y x y ++=⎧⎨+-≥⎩或30x y +-=，此时6030x y x y ++=⎧⎨+-≥⎩无解，所以曲线表示一条直线：30x y +-=，故选：D.3．过坐标原点O 作圆()()22341x y -+-=的两条切线，切点为,A B ，直线AB 被圆截得弦AB 的长度为( )A ．46B ．26C ．6D ．365【答案】A 【详解】如图所示，设圆()()22341x y -+-=的圆心坐标为(3,4)M ，半径为1r =， 则22345OM =+=,2512426OA =-==，则11222AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯，可得2465OA MA AB OM ⨯⨯==， 故选A.4．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C 【详解】圆221:(1)(2)4C x y +++=，圆心 1(1,2)C -- ，12r =， 圆222:(2)(2)9C x y -+-= ，圆心2C ()2,2，23r =，圆心距2212(12)(22)5C C =--+--=1212C C r r =+,∴两圆外切，有3条公切线.故选:C.5．设点P 为圆22:(1)4C x y -+=上的任意一点，点(2,3)Q a a -()a R ∈，则线段PQ 长度的最小值为（ ） A2 BC2 D1【答案】C 【详解】设点(),Q x y ，则2,3x a y a ==-，化简可得：260x y --= 即点Q 在直线260x y --=上，圆C 的圆心()1,0到直线260x y --=的距离为d ==则线段PQ2 故选：C6．已知直线:10l x by ++=与圆()()22:28C x b y +++=相交于A 、B 两点，且ABC 是顶角为23π的等腰三角形，则b 等于（ ） A ．1 B ．17C ．1-D ．1或17-【答案】D 【详解】因为A 、B 两点在圆()()22:28C x b y +++=上，所以AC BC r === 又ABC 是顶角为23π的等腰三角形，则6B C π==，BC边上的高6h π==，即圆心(),2C b --到直线:10l x by ++=上距离d h ===27610b b --=，解得1b =或17b =-.故选：D.7．与圆()2215x y +-=相切于点()2,2的直线的斜率为（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】A 【详解】可设圆心与切点的连线斜率为1k ，切线斜率为2k ，由()2215x y +-=可知圆心为()0,1点，切点为()2,2点，则1211202k -==-，根据题可知圆心与切点的连线和切线垂直， 所以121k k ，则22k =-.所以切线斜率为-2. 故选：A8．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+= 上，则ABP △面积的取值范围是（ ）A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ．【答案】A 【详解】圆心(2,0)到直线的距离d ==所以点P 到直线的距离1d ∈.根据直线的方程可知,A B 两点的坐标分别为(2,0),(0,2)A B --，所以AB =,所以ABP △的面积1112S AB d ==， 所以[2,6]S ∈, 故选：A.9．过点()4,1A --作圆()22(214):C y x -+-=的一条切线AB ，切点为B ，则三角形ABC的面积为（ ）A ．B ．C ．12D ．6【答案】D 【详解】因为圆心C 坐标为()2,1，所以AC ==所以224046AC r AB =-=-=，因此1162622ABCSAB CB =⋅=⨯⨯=． 故选：D ．10．在平面直角坐标系中，点A ，B 分别是圆()2221x y -+=与直线()0y x t t =+>上的动点，若AB 的最小值为221-，则t 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】圆心()2,0到直线y x t =+的距离为222t +=， 可得AB 的最小值为12212-=-，解得2t =. 故选：B.11．已知22:1O x y +=，直线:20+-=l x y ，P 为l 上的动点，过点Р作O 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则OP AB ⋅最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．22【答案】C 【详解】 如图所示：圆心为()0,0O ，半径1r =，因为OA OB =，PA PB =，所以AB OP ⊥. 所以12PAOB S OP AB =⋅， 又1222PAOBPOA S S OA PA PA ∆==⨯⨯⨯=所以2OP AB PA ⋅=．要使OP AB ⋅取到最小值即PA 取到最小值．由勾股定理得PA =即要使OP AB ⋅取到最小值即OP 取到最小值.当直线OP 与直线20x y +-=垂直时，OP 取到最小值.所以min OP ==min1PA ==.所以OP AB ⋅最小值为2． 故选：C ．12．已知直线:30l mx y m ++-=与圆2212x y +=交于A ，B 两点.且A ，B 在x 轴同侧，过A ，B 分别做x 轴的垂线交x 轴于C ，D 两点，O 是坐标原点，若||3CD =，则AOB ∠=（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B 【详解】因为直线的方程:30l mx y m ++=化为()30m x y ++=，所以直线l 恒过点(3-，而点(-满足2212x y +=，所以点(3-在圆2212x y +=上，不妨设点(3A -，又||3CD =，所以点(B 0，所以||AB ==又圆2212x y +=的半径为所以AOB 是等边三角形，所以AOB ∠=3π． 故选：B ． 二、解答题13．已知圆C ：()2219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点. （1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； （2）当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长. 【详解】（1）已知圆C ：()2219x y -+=的圆心为C （1，0），因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为20221k -==-，直线l 的方程为y=2(x-1)，即 2x -y -2=0． （2）当直线l 的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l 的方程为y -2=x -2 ,即 x-y =0. 所以圆心C 到直线l 的距离为d =．因为圆的半径为3，所以，弦AB 的长AB ==． 14．已知点(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----，点P 在圆22:4E x y +=上运动.（1）求过点C 且被圆E 截得的弦长为（2）求222||||||PA PB PC ++的最值.【详解】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点C 且被圆E 截得的弦长为所以圆心到直线的距离设直线方程为2(4)y k x +=-,即420kx y k ---=,=解得17k =-或1k =-所以直线方程为7100x y ++=或20x y +-=.(2)设P 点坐标为(),x y 则224x y +=.222222222||||||(2)(2)(2)(6)(4)(2)PA PB PC x y x y x y ++=++++++-+-++()223468804x y y y =+-+=-因为22y -≤≤,所以7280488y ≤-≤,即222||||||PA PB PC ++的最大值为88,最小值为72.15．已知点(4,0),(2,0)A B -，动点P 满足||2||PA PB =.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）求经过点(2,2)M -以及曲线C 与224x y +=交点的圆的方程.【详解】(1)设(,)P x y ,因为(4,0),(2,0)A B -,||2||PA PB =,所以=整理得2280x y x +-=,所以曲线C 的方程为2280x y x +-=.(2)设所求方程为()2222480x y x y x λ+-++-=,即22(1)(1)840x y x λλλ+++--=,将(2,2)M -代入上式得22(1)2(1)(2)8240λλλ+⋅++⋅--⋅-=,解得12λ=, 所以所求圆的方程为2288033x y x +--=.。
专题12 直线与圆的位置关系 知识精讲 (解析版)
专题十二直线与圆的位置关系一知识结构图二.学法指导1．直线与圆的位置关系反映在三个方面：一是点到直线的距离与半径大小的关系；二是直线与圆的公共点的个数；三是两方程组成的方程组解的个数．因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择．2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．3．坐标法解决问题的一般步骤(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)设出已知点的坐标，求出未知点的坐标及曲线的方程；(3)利用所学公式列出方程(组)，通过计算得出代数结论；(4)反演回去，得到几何问题的结论．三.知识点贯通知识点1 直线与圆的位置关系1.直线与圆的三种位置关系2.直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及判断例题1.已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．【解析】 法一：将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. ∵Δ＝4m (3m ＋4)，∴(1)当Δ>0时，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0时，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ<0时，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4，即圆心为C (2,1)，半径r ＝2.圆心C (2,1)到直线mx －y －m －1＝0的距离 d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m 2.(1)当d <2时，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d ＝2时，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d >2时，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 知识点二 直线与圆相切问题圆的切线方程的求法 (1)点在圆上时求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ，再由垂直关系得切线的斜率为－1k ，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y ＝y 0或x ＝x 0.(2)点在圆外时①几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程联立，消去y 后得到关于x 的一元二次方程，由Δ＝0求出k ，可得切线方程．例题2：过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线方程．【解析】 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A 在圆外，故切线有两条．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为y ＋3＝k (x －4)，即kx －y －4k －3＝0. 设圆心为C ，因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1， 所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1，解得k ＝－158.所以切线方程为－158x －y ＋152－3＝0，即15x ＋8y －36＝0. ②若直线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离为1，这时直线x ＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x ＝4. 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.知识点三 直线与圆相交问题求弦长常用的三种方法(1)利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系⎝⎛⎭⎫12l 2＋d 2＝r 2解题．(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．(3)利用弦长公式，设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆的两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]. 例题3 .求直线l ：3x ＋y －6＝0被圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0截得的弦长|AB |.【解析】联立直线l 与圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －6＝0，x 2＋y 2－2y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，所以交点为A (1,3)，B (2,0)．故直线l ：3x ＋y －6＝0被圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0截得的弦长|AB |＝(1－2)2＋(3－0)2＝10.易错一 求直线方程例题4.过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，如果|AB |＝8，求直线l 的方程．【解析】将圆的方程配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l 的距离d ＝(25)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝3.①当直线l 的斜率不存在时，x ＝－4满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0. 由点到直线的距离公式，得3＝|－k －2＋4k |1＋k 2，解得k ＝－512，所以直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＋4＝0或5x ＋12y ＋20＝0.误区警示设直线方程时，注意注意直线的斜率是否存在，不确定时，要分斜率存在和不存在两种情况讨论。
直线与圆专题训练
直线与圆专题训练一：斜率、倾斜角与直线方程1．过点(3, 0)和点(4,3)的斜率是（ ）A ．3B ．-3C ．33D ． -332．过点(3, 0)和点(0, 3)的倾斜角是（ ）A ．045B ．-045C ．0135D ．- 01353．过点P(－2, m)和Q(m, 4)的直线斜率等于1，那么m 的值等于 （ ） A ．1或3 B ．4 C ．1 D ．1或4 4．在直角坐标系中，直线y= -3x+1的倾斜角为（ ）A ．0120B ．-030C ．060D ．- 0605．过点(-3, 0)和点(-4,3)的倾斜角是（ ）A ．030 B ．0150 C ．060 D ．0120 6．如图，直线l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3，则有（ ） A ．k1<k2<k3 B ．k3<k1<k2 C ．k3<k2<k1 D ．k1<k3<k27．若两直线a,b 的倾斜角分别为21αα，，则下列四个命题中正确的是（ ） A ． 若21αα<, 则两直线斜率k1< k2 B ． 若21αα=, 则两直线斜率k1= k2 C ．若两直线斜率k1< k2, 则21αα< D ．若两直线斜率k1= k2, 则21αα= 8．下列命题：（1）若点P （x1,y1）,Q (x2,y2), 则直线PQ 的斜率为1212x x y y k --=；（2）任意一条直线都存在唯一的倾斜角，但不一定都存在斜率； （3）直线的斜率k 与倾斜角α之间满足αtan =k ；（4）与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为00．以上正确的命题个数是（ ） A ．0个 B ． 1个 C ． 2个 D ．3个9．若直线1x =的倾斜角为α，则α（ ）A ．等于0B ．等于4πC ．等于2πD ．不存在10．已知θ∈R，则直线sin 10x θ+=的倾斜角的取值范围是（ ）A ．[0°，30°]B ． [)150,180C ．[0°，30°]∪[)150,180D ．[30°，150°]12．如果ab>0，直线ax ＋by ＋c=0的倾斜角为α，且sin α2）A ． 43 B ． －43 C ． ±43 D ． ±34 13．直线0cos 20sin 2030x y +-=的倾斜角是（ ）A ．200B ．1600C ．700D ．1100 14．直线倾斜角α的取值范围是 ．15．直线l 的倾斜角α=1200，则直线l 的斜率等于 __________．16．若直线的倾斜角α满足33<tan 3<α,则α的取值范围是______________．17．直线l 过点A(0, 1)和B(－2, －1)，直线l 绕点A 逆时针旋转450得直线l ‘，那么l ’的斜率是 __________ ．18．（1）当且仅当m 为何值时，经过两点A （-m ，6）、B （1，3m ）的直线的斜率是12． （2）当且仅当m 为何值时，经过两点A （m ，2）、B （-m ，2m-1）的直线的倾斜角是600．19．(1)若三点（2，3），（3，a ），（4，b ）在同一直线上，求a 、b 的关系；(2)已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值．20．在直角坐标系中，ABC ∆三个顶点A （0，3）、B （3，3）、C （2，0），若直线x a =将ABC ∆分割成面积相等的两部分，求实数a 的值．21．已知两点A （3，2），B （－4，1），求过点C （0，－1）的直线l 与线段AB 有公共点求直线l 的斜率k 的取值范围．直线与圆专题训练二：直线方程与位置关系1．下列命题中正确的是（ ）A ．平行的两条直线的斜率一定相等B ．平行的两条直线的倾斜角相等C ．斜率相等的两直线一定平行D ．两直线平行则它们在y 轴上截距不相等2．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y 轴上的截距为31，则m,n 的值分别为（ ） A ．4和3 B ．-4和3 C ．-4和-3 D ．4和-3 3．直线1 :kx+y+2=0和2 :x-2y-3=0, 若21|| ,则1 在两坐标轴上的截距的和（ ） A ．-1 B ．-2 C ．2 D ．6 4．两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是（ ）A. m=1 B ．m=±1 C ．⎩⎨⎧-≠=11n m D ．⎩⎨⎧-≠-=11n m 或⎩⎨⎧≠=11n m5．如果直线ax+(1-b)y+5=0和(1+a)x-y-b=0同时平行于直线x-2y+3=0,则a 、b 的值为（ ）A ．a=21, b=0B ．a=2, b=0C ．a=-21, b=0D ． a=-21, b=2 6．若直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+(a2-1)=0平行但不重合，则a 等于（ ）A ．-1或2B ．-1C ．2D ．327．已知两点A （-2，0），B （0，4），则线段AB 的垂直平分线方程是（ ）A ．2x+y=0B ．2x-y+4=0C ．x+2y-3=0D ．x-2y+5=0 8．原点在直线 上的射影是P （-2，1），则直线 的方程为（ ）A ．x+2y=0B ．x+2y-4=0C ．2x-y+5=0D ．2x+y+3=0 9．两条直线x+3y+m=0和3x-y+n=0的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．与m,n 的取值有关 10．方程x2-y2=1表示的图形是（ ）A ．两条相交而不垂直的直线B ．一个点C ．两条垂直的直线D ．两条平行直线11．已知直线ax －y ＋2a ＝0与直线(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，则a 等于（ ） A ．1 B ．0 C ．1或0 D ．1或－1 12．点（4，0）关于直线5x+4y+21=0对称的点是（ ）A ．（-6，8）B ．（-8，-6）C ．（6，8）D ．（-6，-8） 13．已知点P （a,b ）和点Q(b-1,a+1)是关于直线 对称的两点，则直线 的方程为（ ） A ．x+y=0 B ．x-y=0 C ．x+y-1=0 D ．x-y+1=014．过点M （3，-4）且与A （-1，3）、B （2，2）两点等距离的直线方程是__________________． 15．若两直线ax ＋by ＋4＝0与(a －1)x ＋y ＋b ＝0垂直相交于点(0, m)，则a ＋b ＋m 的值是_____________________． 16．若直线 1：2x-5y+20=0和直线 2：mx-2y-10=0与坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数m 的值等于 ________． 17．已知点P 是直线 上一点，若直线 绕点P 沿逆时针方向旋转角α（00<α<900）所得的直线方程是x-y-2=0,若将它继续旋转900-α，所得的直线方程是2x+y-1=0, 则直线 的方程是___________．18．平行于直线2x+5y-1=0的直线 与坐标轴围成的三角形面积为5，求直线 的方程．19．若直线ax+y+1=0和直线4x+2y+b=0关于点（2，-1）对称，求a 、b 的值．20．已知三点A(1,0),B(-1,0),C(1,2),求经过点A 并且与直线BC 垂直的直线 的方程．21．已知定点A （-1，3），B （4，2），在x 轴上求点C ，使AC ⊥BC ．直线与圆专题训练三：直线交点与平面距离1．两条直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0交点坐标就是方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的实数解，以下四个命题:(1)若方程组无解，则两直线平行 (2)若方程组只有一解，则两直线相交 (3)若方程组有两个解，则两直线重合 (4)若方程组有无数多解，则两直线重合。
直线与圆相切、相交问题
注意：上述 注意： 两个问有区 别吗？ 别吗？
练：已知圆 ( x − 1) 2 + ( y − 2 ) 2 = 2 , P ( 2, −1)， 作圆的切线， 过 P 作圆的切线，切点为 A 、 B 1 的方程； （）求直线 PA , PB 的方程； ） （2 求直线 AB 的方程 .
探究问题：
1、已知圆的方程是 x + y = r , 求经过圆上一点
l r = d + 2
2 2
2
求切线方程
方法1: 设切线斜率， 方法 设切线斜率，写出切线 方程，联立方程， 方程，联立方程，利用判别式 为0； ； 方法2: 设切线斜率， 方法 设切线斜率，写出切 线方程， 线方程，用圆心到切线距离 等于圆的半径. 等于圆的半径
专题二： 专题二：
直线与圆相交问题
题型二：直线与圆相切，求圆的方程 1:求与两平行直线 1:x-2y-1=0,l2:x-2y+9=0均相 求与两平行直线l 求与两平行直线 均相 且圆心在直线m:3x+2y+1=0上的圆方程 上的圆方程. 切，且圆心在直线 上的圆方程 2:求经过 求经过A(0,5)，且与直线 求经过 ，且与直线x-2y=0和 和 2x+y=0都相切的圆的方程 都相切的圆的方程. 都相切的圆的方程 3: 圆与直线 圆与直线2x+3y-10=0相切于点 相切于点P(2,2)，并 相切于点 ， 且过点M(-3,1)，求圆的方程 且过点 ，求圆的方程.
l r = d + 2
2 2
2
紧紧抓住圆的 几何特征解题
题型一：直线与圆相切，求切线方程
(1 例： )求经过点(0, 3 )与圆( x − 1) 2 + y 2 = 4相切的切线方程 . ( 2)求经过点(3,1)与圆( x − 1) 2 + y 2 = 4相切的切线方程 .
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2015年一月期末迎考单元练习（直线与圆专题）
一．选择题
1.在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ） x y O x y O x y O x
y
O
A B C D
2. 在空间直角坐标系中，已知A ）
，，（5,3,2, 4)1,B(3,, 则A, B 两点间的距离是 （ ） A ．6 B ．6 C ．30 D ．42
3. 圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）
A ．023=-+y x
B ．043=-+y x
C ．043=+-y x
D ．023=+-y x
4. 已知圆1)3()2(:C 221=-+-y x ，圆9)4()3(:C 222=-+-y x ，N M ,分别是圆21,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM +的最小值为（ ） A.425- B.117- C.226- D. 17
二．填空题
5. 两直线032=-+k y x 和012=+-ky x 的交点在y 轴上，则k 的值是 ．
6. 点),(y x P 在圆422=+y x 上，则4
4--x y 的最大值是 ． 7. 若过点,2)(1总可以作两条直线与圆0152222=-++++k y kx y x 相切，则实数k 的
取值范围是 ．
8. 已知圆4y 2
2=+x 上有且只有两个点到直线)0(0512>=+-c c y x 的距离为1，则实数c 的取值范围是 ．
三．解答题
9.求圆心在直线0y -3x =上，与系x 轴相切，且被直线 0=-y x 截得的弦长为72的圆的方程．
10. ABC ∆的顶点A 的坐标为）（4,1， C ,B ∠∠平分线的方程分别为02=-y x 和
01y x =-+，求BC 所在直线的方程．
11. 已知O 为坐标原点，(2,0)B ，(2,2)C ，点A 是圆22(2)(2)2x y -+-=上的动点. （Ⅰ）求OA 与OB 夹角的取值范围；
（Ⅱ）若点(2,0)M -，直线l ：230x y --=，在l 上求一点P ，使||||PM PA +最小，并求出最小值．
2015年一月期末迎考单元练习答案（直线与圆专题）
1.C.
2.B ．
3.D
4.A. 如右图，圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标)3,2(-A ，半径
为1，
圆2C 的圆心坐标（3,4），半径为3，PN +PM 的最小值为
圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径，即
4-253-1-342-322=++）（）（.
5.两直线的交点在y 轴上，所以交点的横坐标03
2362=+-k k ，故6±=k .
6. 3
74+. 利用线性规划思想，44--x y 可以看成是满足圆422=+y x 上的点),(y x 到点)4,4(的直线的斜率，该直线4)k(x 4y -=-与圆422=+y x 相切时，取最值.
7. 过点,2)(1总可以作两条直线与圆01522
22=-++++k y kx y x 相切，故点,2)(1在
圆外，所以⎪⎩⎪⎨⎧>+-+>-++++06044015k 4k 2122222k k ，则3338-<<-k ，或3382<<k . 8.由题意，当且仅当圆422=+y x 的圆心到直线)0(0512>=+-c c y x 的距离大于1且小于3时，圆4y 22=+x 上有且只有两个点到直线)0(0512>=+-c c y x 的距离为1，所以35
12122<+=<c
d ，解得3913<<c . 9. 9)3(1)(x 22=+++y 或9)3(1)(x 22=-+-y
10.解：设顶点A 关于B ∠的平分线02=-y x 的对称点为),(/
b a A ，则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅-+-=⋅--024********b a a b ，解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==58
519b a ，即)58,519(/-A ，
同理可得，顶点A 关于C ∠的平分线01y x =-+的对称点)0,3(//-A . 由于电)5
8,519(/-A ，)0,3(//-A 均在BC 所在的直线上，所以直线BC 的方程为 01274=++y x ，所以BC 所在的直线方程为01274=++y x .
11.解：（Ⅰ）设(,)A x y ，则22(2)(2) 2.x y -+-=即点A 的轨迹是以(2,2)为圆心，
为半径的圆C ，过原点作圆C 的切线,OA OD ，
则1s 2
AC in AOC OA ∠===，则.6AOC DOC π∠=∠= 4612BOC π
ππ∴∠=-=，546
12
BOD πππ∠=+=， 故OA 与OB 夹角的取值范围是5[,].1212ππ 另解：过O 作圆1O 的切线,OA OC ，设切线方程为y kx =，
2k =⇒=± 从而得OA 与OB 夹角的取值范围是5[,].1212ππ （Ⅱ）由圆的对称性，易知在l 上求一点P ，使||||PM PA +最小，只须使||||PM PC +最小.设点(2,0)M -关于直线l ：230x y --=的对称点为(,)N a b ， 则有011,222230.22
b a a b -⎧⋅=-⎪⎪+⎨-⎪-⨯-=⎪⎩即(0,4).N - 所以，直线NC 的方程为：3 4.y x =-由34,1,250. 1.y x x x y y =-=⎧⎧⇒⎨⎨--==-⎩⎩
即(1,1).P -
故min (||||)(||||)||PM PA PM PC NC +=+==
故所求的点为(1,1)P -
，最小值为。