谈数学建模教学如何培养职中学生的应用能力

谈数学建模教学如何培养职中学生的应用能力广州市电子信息学校 510091 黎晓红【摘要】数学建模作为一种教学活动的主要目的，是培养学生的数学应用意识。

让学生掌握数学建模的方法，有利于培养他们的全面素质。

【关键词】数学建模；数学意识；数学兴趣；创造性；数学应用能力２００３年，我接受学校课题的子课题——《数学建模能力培养对学生发展的作用》研究，经过两年时间艰苦的实践，研究工作有一定的进展，下面做阶段性的总结。

一、数学建模的一般原理与数学建模教学的必要性（一）数学建模的概念与原理所谓“数学建模”，指的是当人们面对一个实际情境问题时，经过一番必要的而且合理的假设和简化，变成现实的模型，从而提出问题，然后，翻译成数学模型，再恰当地运用数学方法和计算工具，求得数学模型的解，最后将求得的结果与实际情况相检验，若不符合实际，则再加以修改假设，重新提出问题，直到求得的数学结果合乎实际，这个过程称为数学建模。

其基本程序如下：解题步骤是：1．阅读审题：简缩问题，理解关键句,处理数据，寻找数量关系；2．建模：将问题简单化、符号化，建立数学关系式；3．合理求解纯数学问题；4．解释并回答实际问题。

（二）数学建模教学的必要性“数学是模式的科学”，学习数学必须具有建模的能力，通过学建模而学习数学，乃是一种返璞归真的学习方法。

《高中数学课程标准》明确将数学建模纳入课程内容，数学建模作为一种教学活动的主要目的是体会数学的应用价值，培养学生的数学应用意识，增强数学学习兴趣，学会团结合作，提高分析问题和解决问题的能力（见[1]）。

通过教学实践，让学生掌握数学建模的方法，使他们了解数学知识的发生过程，从而发展数学创造能力，为将来的工作打下坚实的基础。

二、数学建模培养职中学生应用能力的教学尝试（一）数学建模教学的尝试第一学期，我在数学兴趣小组进行尝试，有意识地选拔了一部分基础较好，对数学有兴趣的学生，把他们分成几个小组，以小组为单位，在课外活动中实行。

记得刚开始上第一节课，我提出了一个常见的生活案例：穿高跟鞋真的使人觉得美些吗？为什么女士们多数喜欢穿高跟鞋，试从数学的角度分析。

学生很奇怪：这跟数学也有关？他们精神集中，默默思考，同样习惯地等待着老师的答案。

因为是刚开始，所以我还是帮学生复习黄金分割的概念，然后让学生在人体的躯干与身高的比例上，找出最佳的黄金分割点，当然肚脐是理想的黄金分割点。

换言之，若此比值愈接近0.618，就愈给别人一种美的感觉，很可惜，一般人的躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高比都低于此数值，大约只有0.58至0.60左右（注：脚长的人会有较高的比值）。

为了方便说明穿高跟鞋所产生的美的效应，假设某女士的原本躯干x与身高1的比为0.60，即x:l=0.60,若其所穿的高跟鞋的高度为d (量度单位与x、l相同)，则新比值为： (x+d):(l+d)=(0.60+d):(l+d)。

如果该位女士身高为1.60米，则下表显示出高跟鞋怎样改善了脚长与身高的比值：由此可见，女士们相信穿高跟鞋使她们觉得更美是有数学根据的。

学生接触这道题以后，发现数学对他们有了别样的吸引力，而且并不是想象中的很难，我于是趁热打铁，问学生还想不想知道更多的数学与生活有联系的题目，学生当然是跃跃欲试，想自己解决有关的题目。

于是，我出了另一个与学生密切联系的问题：《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：①如果你的母亲月工资收入是1250元，应纳税多少元？②某人三月份缴纳此项税款26.78元，他当月工资、薪金是多少元？③假设某人月工资、薪金x元，所缴此项税款为f(x)，写出f(x)与x之间的函数关系式。

④ 试计算你的父亲当月工资应缴税款多少元？⑤ 利用电脑为税务部门编制一套计算机程序，用于个人所得税（注：这是针对我们学校的电脑设备和电脑教学较为先进而提出的）。

学生兴趣很浓，课堂气氛活跃，可以用学到的数学为父母算工资收入和缴纳的税款，他们觉得好自豪，也很认真思考，以求独立完成这个问题。

后来，针对课外活动小组个别学生家里存钱和旅游的生活实际，我出了几道比较简单的与他们紧密联系的题目让他们初步尝试：（1）某家长于1998年2月23日存入1万元，5年期存本取息，每月所得利息银行代为零存整取，月利率均为1.02 ，这位家长于2003年3月23日去银行取款，本息和应为多少（见[2]）？（2）某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为0.1%。

若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部货款付清后，买这40套住房实际花了多少钱？（3）一家庭（父母和孩子们）去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优待”；乙旅行社说：“家庭旅行算集体票，按32的原价优惠”。

这两家旅行社的原价是一样的，试就家庭里不同的孩子数，分别计算两家旅行社的收费（建立表达式），并讨论哪家旅行社更优惠。

每当学生接到题目，都愿意思考、动手做，做的过程中还比赛哪个小组做的快，哪个小组的设计方案最佳，学生的学习积极性也调动起来了。

当然，每次我都没有要求他们当堂完成，而是给他们充裕的时间，允许他们回家继续思考，反复修改比较，直到拿出自己认为是最佳的方案为止。

第二学期，我也试着在课堂上实行，在个别课程时间较松的课后留一道有关数学建模的题目让学生思考，几个星期后才分析答案。

两年来给的题目比较零散，也比较简单（注：从照顾学生的水平考虑），大概有：收入增长、分期付款、抽奖机率、体育比赛、最佳效益、设计美观等学生较关注感兴趣的应用问题。

这些素材来自生活，学生可运用学过的知识分析问题，构建数学模型，探究解题的途径。

期末回收学生小结，发现40%的学生对数学建模很感兴趣，50%的学生对数学建模比较感兴趣，并不同程度地促进了他们对数学及其他课程的学习。

有的学生说：“我从来都不知道数学原来可以这样用的，以为学数学是为了考试”；有的学生说：“数学建模使我深切地感受到数学与实际的联系，感受到数学问题的广泛，使我们对学习数学的重要性理解得更为深刻，也使我们更加重视实际应用”。

的确，数学建模把课堂上的数学知识延伸到实际生活中，呈现给学生一个五彩缤纷的数学世界，数学建模问题贴近生活，有较强的趣味性，应用性较强，学生容易对其产生兴趣，这种兴趣又能激发学生更努力地学习数学。

本届我所教的学生经过两年数学建模的训练，很明显，今年职三年级在升大学分流的考试中，绝大多数学生的成绩都排在全级的前面,且最高分都在我班。

成绩如下（二）数学建模教学的优越性1．数学建模可以激发学生的创造欲望，促进人的全面发展通过两年数学建模的训练，有 65．67%的学生认为数学建模能够激发他们的创造欲望。

有的学生说：“平时做习题，由于受到知识的限制比较多，因此不易发挥创造性，而数学建模问题灵活性强，能够开发我们的智力”；有的学生说：“数学建模往往一个问题有很多种思路，假设不同，得到的数学模型也不同，可谓‘条条大路通罗马’”。

我曾问学生：装啤酒的易拉罐为什么要做成这个样子？学生就从用料最省、美观、安全、黄金分割、方便携带等各方面去考虑，虽然答案不一，但具有创新性。

其实我们的学生并不缺乏创造性，而是我们的数学教育没有为他们提供充分展示创造力的机会和空间，数学建模教学恰恰可以弥补以往数学教学的不足，为中学生提供展示其创造才华的机会，数学建模过程的多样性、灵活性和多层次性可以触发不同水平的学生在不同层次上的创造性，使他们有各自的收获和成功的体验（见[3]）。

数学建模是数学研究与经济、社会研究工作组合交叉产生的一个新兴的学科领域，综合化程度高，他不仅要求学生掌握有关的数学知识，还要求有一定的相关学科知识和相应的社会实践能力、良好的意志品质等，通过数学建模，学生各方面的素质都提高了。

现在大学，因为没有中考、高考的指挥棒，各级的数学建模竞赛都在轰轰烈烈地展开，全国大学生数学建模竞赛一般以3人为一个竞赛小组，这样也就加强了学生的团队合作精神。

2.数学建模教学符合“教师为主导，学生为主体”的新理念数学建模教学与其他的教学相比，具有更强的问题性、实践性、参与性与开放性，它能使学生处于一种类似于学术研究的情景，通过学生自主、独立地发现问题、实验、操作、收集与处理信息，表达与交流等探索活动，获得知识、技能、情感态度的发展，特别是探索精神和创新能力的发展。

例：我校对面有一间面包店，听卖面包的伙计说：面包有时不够卖，有时又卖不完，而面包又不能隔天存放，这样没人要，会赔钱。

我让学生利用数学统计的方法，到面包店做了一个月调查，把一个月面包店进货与出货的数量做个记录，并把记录的数据进行统计分析，然后拿出一个进货的方案，一个月后，面包店按学生所做的方案进货，果然没有卖剩的面包。

这样，学生不但体验了数学源于生活，用于生活，而且感受了自己可以自主、独立地解决实际问题的成功喜悦。

这种通过学生自己实验操作、收集处理数据，解决生活实际问题的方法，符合“教师为主导，学生为主体”的教学理念。

（三）数学建模教学在实际操作上的一些困难首先是来自老师的问题，目前我国教师的数学观主要是静止的，绝对主义的数学观，他们更多地把数学看成是一个与逻辑有关的、严谨体系的，关于图形和数量关系的精确运算的一门学科，导致学生体会到的数学乃是一堆法则的集合，看不到或很少看到活生生的数学问题。

因此必须加强教师数学观念的教育，帮助教师形成现代数学观。

其次是学生的问题，由于数学建模对学生各方面素质要求较高，尽管数学应用题的教学取得了一定的成效，但高中（职中）阶段学生数学建模能力的培养亟待加强。

人们常见的数学应用题往往条件不多不少、清楚准确，结论唯一确定，原始问题数学化的过程简单明了，解出的结论也很少需要学生思考是否符合实际、是否需要进一步调整和修改已有的模型，而这些正是数学建模过程的“重头戏”。

数学建模问题确实有一部分是应用题，但数学建模所涵盖的范围要大得多，数学建模问题常常是非数学领域中的问题，数学建模过程更加突出地表现为对原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程；数学工具、方法、模型的选择和使用过程；模型的求解、验证、再分析、修改假设、再求解的迭代过程等，这些对学生在各方面的能力要求较高，学生在仔细研读问题材料的同时，必须进行紧张的思维活动，参与集体的交流，而这些都是学生的弱点，尤其是我们职中学生的难点。

职中学生在数学建模过程中普遍感到“繁”，不知用什么来解答，对数据的感悟能力比较差，缺少数学建模意识，部分学生还对数学建模产生恐惧心理，产生一种外在压力，现阶段数学建模活动实际操作还起来还比较困难（见[4]）。