高考数学闯关特训专项检测19-幂函数与函数的图象变换

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幂函数与函数的图像变换

幂函数与函数的图象变换1．幂函数定义：形如y＝xα的函数叫做幂函数(α为常数)．
要重点掌握α＝1,2,3，1
2，－1,0，－
1
2，－2时的幂函数．
2．幂函数的图象：(只作出第一象限图象)
幂函数在其他象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性作出．
α
(1)当α>0时，幂函数图象都过________点和________点；且在第一象限都是______函数；当0<α<1时曲线上凸；当α>1时，曲线下凸；α＝1时，为过(0,0)点和(1,1)点的______．
(2)当α<0时，幂函数图象总经过________点，且在第一象限为________函数．
(3)α＝0时y＝x0，表示过(1,1)点平行于x轴的直线(除去(0,1)点)．
4．有关结论
若f(a＋x)＝f(a－x)，x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形．。

高考数学一轮复习专题训练—幂函数与二次函数

幂函数与二次函数考纲要求 1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点.(2)二次函数的图象和性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象 (抛物线)定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上是减函数；在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是增函数在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是增函数；在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是减函数1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时，恒有f (x )>0；当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x 13是幂函数.( )(2)当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数.( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 24a.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×解析 (1)由于幂函数的解析式为f (x )＝x α，故y ＝2x 13不是幂函数，(1)错误. (3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式. (4)对称轴x ＝－b 2a ，当－b2a 不在给定定义域内时，最值不是4ac －b 24a，故(4)错误.2.已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12B.1C.32D.2答案 C解析因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1. 又f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，所以α＝12，所以k ＋α＝1＋12＝32.3.已知函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋3(0≤m ≤4，0≤x ≤1)的最大值为4，则m 的值为________. 答案 2 2解析 f (x )＝－2x 2＋mx ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫x －m 42＋m 28＋3，∵0≤m ≤4，∴0≤m4≤1，∴当x ＝m4时，f (x )取得最大值，∴m 28＋3＝4，解得m ＝2 2.4.(2021·全国大联考)不等式(x 2＋1)12>(3x ＋5)12的解集为( ) A.⎣⎡⎭⎫－53，－1∪(4，＋∞) B.(－1，4)C.(4，＋∞)D.(－∞，－1)∪(4，＋∞)答案 A解析不等式(x 2＋1)12>(3x ＋5)12等价于x 2＋1>3x ＋5≥0，解得－53≤x <－1或x >4.所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－53，－1∪(4，＋∞). 5.(2020·贵阳质检)若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5，8]上是单调函数，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，40]B.[40，64]C.(－∞，40]∪[64，＋∞)D.[64，＋∞)答案 C解析 f (x )图象的对称轴x ＝k8，且f (x )在[5，8]上是单调函数， ∴k 8≥8或k8≤5，解之得k ≥64或k ≤40. 6.(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______. 答案－1解析由y ＝x α为奇函数，知α取－1，1，3. 又y ＝x α在(0，＋∞)上递减， ∴α<0，取α＝－1.考点一幂函数的图象和性质1.若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的大致图象是( )答案 C解析设幂函数的解析式为y ＝x α，因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12.所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x <1时，其图象在直线y ＝x 的上方，对照选项，C 正确.2.已知函数f (x )＝(m 2－m －1)·x m 2－2m －3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减，则实数m ＝( )A.2B.－1C.4D.2或－1答案 A解析依幂函数定义，m 2－m －1＝1，∴m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，当m ＝－1时，f (x )＝x 0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，舍去. ∴m ＝2.3.(2021·衡水中学调研)已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫13，b ＝f (ln π)，c ＝f (2－12)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <c 1>2－12＝22>13，所以f (ln π)>f (2－12)>f ⎝⎛⎭⎫13，则b >c >a .4.(2021·郑州质检)幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象关于y 轴对称，则实数m ＝________. 答案 2解析由幂函数定义，知m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，f (x )＝x 的图象不关于y 轴对称，舍去，当m ＝2时，f (x )＝x 2的图象关于y 轴对称，因此m ＝2.感悟升华 1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.3.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴. 考点二二次函数的解析式【例1】已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.解法一 (利用“一般式”) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三 (利用“零点式”)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－（－a ）24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.感悟升华求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【训练1】 (1)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)，且有最小值－1，则f (x )＝________.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 答案 (1)x 2＋2x (2)x 2－4x ＋3解析 (1)设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a ＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，所以y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称.又y ＝f (x )的图象在x 轴上截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3.所以二次函数f (x )与x 轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0). 因此设f (x )＝a (x －1)(x －3). 又点(4，3)在y ＝f (x )的图象上，所以3a ＝3，则a ＝1.故f (x )＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3. 考点三二次函数的图象和性质角度1 二次函数的图象【例2】 (1)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a 0)，若f (m )<0，则( ) A.f (m ＋1)≥0 B.f (m ＋1)≤0C.f (m ＋1)>0D.f (m ＋1)<0答案 (1)B (2)C解析 (1)因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确. 对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误.结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误. 由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .根据抛物线开口向下，知a <0，所以5a <2a ，即5a 0，所以f (x )的大致图象如图所示.由f (m )<0，得－1<m <0，所以m ＋1>0>－12，所以f (m ＋1)>f (0)>0.感悟升华 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.角度2 二次函数的单调性与最值【例3】 (2021·西安模拟)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值. 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0，1]内，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增.∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a. ②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0，1]的右侧，∴f (x )在[0，1]上递减.∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上递减. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.感悟升华 (1)闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.(2)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.角度3 二次函数中的恒成立问题【例4】设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1，3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0.∴所求m 的取值范围是(－4，0].(2)法一要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立.就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1，3]上恒成立. 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]. 当m >0时，g (x )在[1，3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1，3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 法二当x ∈[1，3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1，3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立.∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1. ∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，∴只需m <67即可. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 感悟升华由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.其中分离参数的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .【训练2】 (1)(2021·长春五校联考)已知二次函数f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )，若f (x )在区间[3，＋∞)上单调递减，且f (m )≥f (0)恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，0]B.[0，6]C.[6，＋∞)D.(－∞，0]∪[6，＋∞)(2)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1，1]上f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________.答案 (1)B (2)(－∞，－1)解析 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ，且a ≠0)，∵f (3＋x )＝f (3－x )，∴a (3＋x )2＋b (3＋x )＋c ＝a (3－x )2＋b (3－x )＋c ，∴x (6a ＋b )＝0，∴6a ＋b ＝0，∴f (x )＝ax 2－6ax ＋c ＝a (x －3)2－9a ＋c .又∵f (x )在区间[3，＋∞)上单调递减，∴a <0，∴f (x )的图象是以直线x ＝3为对称轴，开口向下的抛物线，∴由f(m)≥f(0)恒成立，得0≤m≤6，∴实数m的取值范围是[0，6].(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可.∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).(3)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值.解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1，当0<t<1时，f (x )min ＝1，当t ≥1时，f (x )min ＝t 2－2t ＋2.A 级基础巩固一、选择题1.若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·xm 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A.1或3B.1C.3D.2答案 B解析由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.2.(2021·河南名校联考)函数y ＝1－|x －x 2|的图象大致是( )答案 C解析 ∵当0≤x ≤1时，y ＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34，又当x >1或x <0时，y ＝－x 2＋x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋54，因此，结合图象，选项C 正确. 3.(2020·成都诊断)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则log 4f (2)的值为( ) A.14B.－14C.2D.－2答案 A解析设幂函数为f (x )＝x α，由于点⎝⎛⎭⎫12，22在幂函数的图象上，所以22＝⎝⎛⎭⎫12α，解得α＝12，则f (x )＝x 12，故log 4f (2)＝log 4212＝14.4.(2021·西安检测)已知函数f (x )＝x －3，若a ＝f (0.60.6)，b ＝f (0.60.4)，c ＝f (0.40.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a <c <bB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b 答案 B解析 ∵0.40.6<0.60.6<0.60.4，又y ＝f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，∴b <a <c .5.已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是( )A.[－2，2]B.[1，2]C.[2，3]D.[1，2]答案 B解析由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ，又y ＝f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，只需1－(－t 2＋1)≤2，解得－2≤t ≤ 2.又t ≥1，∴1≤t ≤ 2.6.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b ＝( )A.0B.1C.12D.2 答案 A解析 BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，B (0，1)，所以M ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛⎭⎫23，13，将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝log 1323，b ＝log 2313，∴a －1b ＝log 1323－1log 2313＝0. 二、填空题7.已知函数f (x )为幂函数，且f (4)＝12，则当f (a )＝4f (a ＋3)时，则实数a ＝________. 答案 15解析设f (x )＝x α，则4α＝12，所以α＝－12. 因此f (x )＝x －12，从而a －12＝4(a ＋3)－12，解得a ＝15. 8.(2021·青岛联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b (a >1)的定义域和值域都为[1，a ]，则b ＝________.答案 5解析 f (x )＝x 2－2ax ＋b 的图象关于x ＝a 对称，所以f (x )在[1，a ]上为减函数，又f (x )的值域为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1－2a ＋b ＝a ，f （a ）＝a 2－2a 2＋b ＝1. 消去b ，得a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝2(a >1)，从而得b ＝3a －1＝5.9.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 的值都有f (x )＞0，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14<1x<1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12. 三、解答题10.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6].(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数.解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]，∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).11.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R 且a ≠0)，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围.解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k <x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1，故k 的取值范围是(－∞，1). B 级能力提升12.(2021·江南十校调研)已知幂函数f (x )＝mx 1＋n 是定义在区间[－2，n ]上的奇函数，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫sin 2π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫cos 2π7，c ＝f ⎝⎛⎭⎫tan 2π7，则( ) A.b <a <cB.c <b <aC.b <c <aD.a <b <c 答案 A解析根据f (x )＝mx 1＋n 是幂函数，且在区间[－2，n ]上是奇函数，得m ＝1，且－2＋n ＝0，解得n ＝2，∴f (x )＝x 3，且在定义域[－2，2]上是单调增函数.又0<π4<2π7<π2，∴cos 2π7<sin 2π7<1<tan 2π7， ∴f ⎝⎛⎭⎫cos 2π7<f ⎝⎛⎭⎫sin 2π7<f ⎝⎛⎭⎫tan 2π7，即b <a <c . 13.(2019·上海春招)如图，正方形OABC 的边长为a (a >1)，函数y ＝3x 2的图象交AB 于点Q ，函数y ＝x －12的图象交BC 于点P ，则当|AQ |＋|CP |最小时，a 的值为________.答案 3解析依题意得Q ⎝⎛⎭⎫a 3，a ，P ⎝⎛⎭⎫a ，1a ，则|AQ |＋|CP |＝a 3＋1a ＝a 3＋1a ，记a ＝t (t >1)，f (t )＝|AQ |＋|CP |，则f (t )＝t 3＋1t ，所以f (t )＝t 3＋1t ≥213，当且仅当t 3＝1t ，即t 2＝3时取等号，此时a ＝ 3. 14.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围.解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x .所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，又f (0)＝1，所以c ＝1.因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1，1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，所以在[－1，1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立；即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1，1]上恒成立.所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －322－54，因为g (x )在[－1，1]上的最小值为g (1)＝－1，所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1).。

幂函数和函数图像的变换

1幂函数和函数图像的变换（一）幂函数：（二）主要方法：1．熟记一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象． 2．作图(1)描点法作图步骤： ①确定定义域； ②化简解析式；③确定函数图象的特殊点； ④讨论函数的性质； ⑤描点连线．（2）图像的变换 1．平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．2．对称变换：（1）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于y 轴对称；（2）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于x 轴对称；（3）函数()y f x =--的图像与函数()y f x =的图像关于原点对称；（4）函数1()y f x -=的图像与函数()y f x =的图像关于直线y x =对称；（5）函数()y f x =的图像与函数)2(x a f y -=的图像关于直线a x =称.3．翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．4．伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x=的图像中的每一点纵坐标不2变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到． 5. 具有对称性的抽象函数：①函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()x b f x a f -=+，则()x f 是关于直线2b a y +=对称的函数.②函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()x b f x a f --=+，则()x f 是关于点⎪⎭⎫⎝⎛+0,2b a 对称的函数.（三）例题分析：1.函数y=f(x)的图象如下,那么下列对应错误的是( )解析:y=f(|x|)是偶函数,图象关于y 轴对称,故B 错误.答案:B2.设函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是下面的()解析:由y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,知y=f(x)·g(x)为奇函数,又在x=0处无定义. 答案:D3.先作与函数 12y lgx=-的图象关于原点对称的图象,再将所得图象向右平移2个单位得图象C1,又y=f(x)的图象C2与C1关于y=x 对称,则y=f(x)的解析式是()A.y=10xB.y=10x－2 C.y=lgx D.y=lg(x－2)3答案:A4.函数f(x)=log a |x|+1(0<a<1)的图象大致为()解析:作出函数y=log a x(0<a<1)的图象,然后保留y 轴右侧不变,再将y 轴右侧对称到左侧,得y=loga|x|,再将所得图象向上平移一个单位,点(1,0)和(-1,0)变化为(1,1)和(-1,1),故A 正确. 答案:A5.()()21,[1,0),f x 1,[0,1],.x x x x ∈+-⎧=⎨+⎩已知则下列函数的图象错误的是[解析]f(x)的图象如图所示,f(x-1)的图象由f(x)的图象向右平移1个单位; f(-x)的图象与f(x)的图象关于y 轴对称; 由y=f(|x|)的奇偶性可知,保留f(x)在 y 轴右侧的图象,左侧图象由右侧图象关于y 轴对称得到;|f(x)|的图象是将f(x)图象在x 轴下方部分关于x 轴翻转180°,其余部分不变,故D 错. [答案]D6.若直线y=2a 与函数y=|ax-1|(a>0且a ≠1)的图象有2个公共点,求a 的取值范围.402a 1,a 10,.2⎛ ∈⎪<<⎫⎝⎭由图知所以7．函数1()f x x x=-的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称解析：∵f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f (－x )＝1()x x ---＝1()x x--＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数，它的图象关于原点对称．答案：C8．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如右图，则不等式f (x )<0的解集是________．解析：∵f (x )是[－5,5]上的奇函数， ∴f (x )的图象关于原点对称，由图象知f (x )<0的解集是{x |－2<x <0或2<x ≤5}．答案：{x |－2<x <0或2<x≤5}。

高考数学专题《幂函数》习题含答案解析

专题3.4 幂函数1．（2021·全国高一课时练习）下列命题中，不正确的是（）A ．幂函数y =x -1是奇函数B ．幂函数y =x 2是偶函数C ．幂函数y =x 既是奇函数又是偶函数D ．y =12x 既不是奇函数，又不是偶函数【答案】C 【解析】根据奇偶函数的定义依次判断即可.【详解】因为11xx -=，11=--xx ，所以A 正确；因为22()x x -=，所以B 正确；因为x x -=不恒成立，所以C 不正确；因为12y x =定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D 正确.故选：C.2.（2020·上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的函数是( )A ．2y x -=-B ．23y x=-C ．13y x=-D ．3y x -=【答案】B 【解析】A: 2y x -=-为偶函数，且在()0,∞+上递增，即2y x -=-在(,0)-∞上单调递减，排除；B: 23y x =-为偶函数，在(,0)-∞上单调递增；C: 13y x=-为奇函数，故排除；D: 3y x -=为奇函数，故排除.故选:B.练基础3．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（）A ．0B ．1C ．1或2D ．2【答案】D 【解析】由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =.因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =.故选D.4．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( )A ．()f x 的定义域和值域相等B ．()f x 的图象关于原点中心对称C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数【答案】C 【解析】3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确；3()-=f x x ，()()33()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确；()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C 错误.故选：C.5．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的图像（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】B 【解析】设()f x x α=，依题意可得1(42α=，解得2α=-，所以2()f x x -=，因为22()()()f x x x f x ---=-==，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称.故选：B.6．（2019·延安市第一中学高三月考（文））已知幂函数()f x x α=的图像过点1(2，则方程()2f x =的解是（）A ．4BC ．2D ．12【答案】A 【解析】依题意得1(2α=，解得12α=，所以12()f x x =，由()2f x =得122x =，解得4x =.故选：A.7．（2021·浙江高一期末）幂函数()()22222m f x m m x-=--在()0,∞+为增函数，则m 的值是（）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B 【解析】由幂函数解析式的形式可构造方程求得1m =-或3m =，分别验证两种情况下()f x 在()0,∞+上的单调性即可得到结果.【详解】()f x 为幂函数，2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m =；当1m =-时，()1f x x -=，则()f x 在()0,∞+上为减函数，不合题意；当3m =时，()7=f x x ，则()f x 在()0,∞+上为增函数，符合题意；综上所述：3m =.故选：B.8．（2021·全国高一课时练习）下列结论正确的是（）A ．幂函数图象一定过原点B ．当0α<时，幂函数y x α=是减函数C ．当1α>时，幂函数y x α=是增函数D ．函数2y x =既是二次函数，也是幂函数【答案】D 【解析】由函数1y x -=的性质，可判定A 、B 不正确；根据函数2y x =可判定C 不正确；根据二次函数和幂函数的定义，可判定D 正确.【详解】由题意，函数1y x -=的图象不过原点，故A 不正确；函数1y x -=在(,0)-∞及(0,)+∞上是减函数，故B 不正确；函数2y x =在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，故C 不正确；根据幂函数的定义，可得函数2y x =是二次函数，也是幂函数，所以D 正确.故选：D.9．（2021·全国高一课时练习）幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是（）A ．[-1，+∞)B ．[0，+∞)C ．(-∞，+∞)D ．(-∞，0)【答案】B 【解析】根据利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据幂函数求出单调增区间即可.【详解】设幂函数为f (x )=x α，因为幂函数的图象过点(3， )，所以f (3)=3α=123，解得α=12，所以f (x )=12x ，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).故选：B10．（2021·全国高三专题练习）下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是（）A ．幂函数的图象都过(1,1)点B ．幂函数的图象都不经过第四象限C ．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种D ．幂函数必定是增函数或减函数中的一种【答案】AB 【解析】举反例结合幂函数的性质判断即可.【详解】因为11α=，所以的幂函数都经过(1,1)，故A 正确；当0x >时，0x α>，幂函数的图象都不经过第四象限，故B 正确；12y x =的定义域为[)0,+∞，为非奇非偶函数，故C 错误；1y x=在(),0-∞和()0,∞+上为减函数，但在定义域内不是减函数，故D 错误.故选：AB1．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））若a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23，b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23，c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c【答案】D 【解析】∵y ＝x 23 (x >0)是增函数，∴a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23>b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23.∵y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x 是减函数，∴a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23＜c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，∴b ＜a ＜c .故本题答案为D.2．（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数f (x )=x m的图象过点(2,4)，且a =m 12，b =(13)m，c =―log m 3，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a >c >bB ．b >c >aC ．a >b >cD ．c >a >b 【答案】C练提升【解析】幂函数f (x )=x m 的图象过点(2,4)，∴2m ＝4，m ＝2；∴a =m 12=2>1，b =(13)m =19∈(0,1)，c =―log m 3＝﹣log 23＜0，∴2＞19＞―log 23，∴a >b >c ．故选：C ．3．（2021·全国高三专题练习）已知幂函数()f x x α=满足()()2216f f =，若()4log 2a f =，()ln 2b f =，()125c f -=，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a>>【答案】C 【解析】由()()2216f f =可求得13α=，得出()f x 单调递增，根据单调性即可得出大小.【详解】由()()2216f f =可得4222αα⋅=，∴14αα+=，∴13α=，即()13f x x =.由此可知函数()f x 在R 上单调递增.而由换底公式可得242log 21log 2log 42==，22log 2ln 2log e =，125-=，∵21log 2e <<，∴2222log 2log 2log 4log e<，于是4log 2ln 2<，12<，∴1245log 2-<，故a ，b ，c 的大小关系是b a c >>.故选：C.4．（2021·安徽高三二模（理））函数()nxf x x a =，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析()f x 在()0,∞+、(),0-∞上的函数值符号，及该函数在()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意x ∈R ，0x a >，由于1n >，n 为奇数，当0x <时，0n x <，此时()0f x <，当0x >时，0n x >，此时()0f x >，排除AC 选项；当0x >时，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x >，则120x x a a >>，120n nx x >>，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，排除D 选项.故选：B.5．（2021·新疆高三其他模拟（理））若实数m ，n 满足m n >，且0mn ≠，则下列选项正确的是（）A ．330m n ->B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()lg 0m n ->D ．11m n<【答案】A 【解析】利用幂函数、指数函数单调性和对数的运算可求解.【详解】解：∵函数3y x =，在R x ∈时单调递增，且m n >，∴330m n ->，故A 正确；∵函数1(2x y =，在R x ∈时单调递减，且m n >，∴11()()22mn<，故B 错误；当11,2m n ==时，()1lg lg 02m n -=<，故C 错误；当,11m n ==-时，1111m n=>=-，故D 错误；故选：A.6.【多选题】（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若，则D ．若，则.【答案】ACD 【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.所以，显然在定义域上为增函数，所以A 正确.的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B 不正确.当，即，所以C 正确.当若时，=..=.即成立，所以D 正确.()f x x α=1x >()1f x >120x x <<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭()f x x α=2=4α1=2α12()f x x =()f x [0,)+∞()f x [0,)+∞()f x 1x >1>()1f x >120x x <<()()122212(()22f x f x x x f ++-22-122x x +-0<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：ACD.7．【多选题】（2021·湖南高三月考）已知函数1,0(),0x x e x f x xe x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有且仅有一个实数解，且幂函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值可能是（）A ．1B ．1eC ．2D ．e【答案】AD 【解析】作出()f x 的图象，根据方程根的个数判断参数a 的取值，再结合函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，即可求解出结果．【详解】当0x ≤时，()x f x xe =，()()1xf x e x '=+，当1x <-时()0f x '<，当10x -<<时()0f x '>所以()x f x xe =在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，最小值为1(1)f e --=-；所以()f x 的图象如图所示，因为()f x a =有且仅有一个实数解，即()y f x =的图象与y a =有且只有一个交点，所以[)1,1,0,a e e ⎧⎫∈+∞-⎨⎬⎩⎭，又因为()a g x x =在()0,∞+上单调递增，所以0a >，所以[){},1a e ∈+∞ .故选：AD8.（2019·上海高考模拟）设α∈12,―1,―2,3，若f (x )=x α为偶函数，则α=______．【答案】―2【解析】由题可知，α=―2时，f (x )=x ―2，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；α=13,12,―1,3时，不满足f(-x)=f(x), ∴α=―2．故答案为：―2．9．（2021·全国高三专题练习（理））已知幂函数()39*N m y x m -=∈的图像关于y 轴对称，且在()0,∞+上函数值随着x 的增大而减小.（1）求m 值.（2）若满足()()22132mma a +<-，求a 的取值范围.【答案】（1）1m =；（2）()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意可知39m -为负偶数，且*N m ∈，即可求得m 值；（2）将所求不等式化为()()22132a a +<-，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为函数39*()m y x m N -=∈在()0,∞+上单调递减，所以390m -<，解得3m <.又因为*m N ∈，所以1m =，2；因为函数的图象关于y 轴对称，所以39m -为偶数，故1m =.（2）由（1）可知，1m =，所以得()()22132a a +<-，解得4a >或23<a ，即a 的取值范围为()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.10．（2021·浙江高一期末）已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2g x x k =-．（1）求m 的值；（2）当[1,2)x ∈时，记(),()f x g x 的值域分别为集合A ，B ，设:,:p x A q x B ∈∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．（3）设2()()1F x f x kx k =-+-，且|()|F x 在[0,1]上单调递增，求实数k 的取值范围．【答案】（1）0m =；（2）01k ≤≤；（3）[][)1,02,-+∞ 【解析】（1）由幂函数的定义2(1)1m -=，再结合单调性即得解.（2）求解()f x ，()g x 的值域，得到集合A ，B ，转化命题p 是q 成立的必要条件为B A ⊆，列出不等关系，即得解.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，根据二次函数的性质，分类讨论02k ≤和12k ≥两种情况，取并集即可得解.【详解】（1）由幂函数的定义得：2(1)1m -=，0m ⇒=或2m =，当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去；当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，符合题意；综上可知：0m =.（2）由（1）得：2()f x x =，当[1,2)x ∈时，[)()1,4f x ∈，即[)1,4A =，当[1,2)x ∈时，[)()2,4g x k k ∈--，即[)2,4B k k =--，由命题p 是q 成立的必要条件，则B A ⊆，显然B ≠∅，则2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10k k ≤⎧⎨≥⎩，所以实数k 的取值范围为：01k ≤≤.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，二次函数的开口向上，对称轴为2k x =，要使|()|F x 在[0,1]上单调递增，如图所示：或即02(0)0k F ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或12(0)0k F ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，解得：10k -≤≤或2k ≥.所以实数k 的取值范围为：[][)1,02,-+∞ 1.（2019·全国高考真题（理））若a >b ，则（）A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取，满足，，知A 错，排除A ；因为，知B 错，排除B ；取，满足，，知D 错，排除D ，因为幂函数是增函数，，所以，故选C ．2．（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩…若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A．1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B．1,(0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C．(,0)(0,-∞ D．(,0))-∞+∞ 【答案】D 【解析】2,1a b ==a b >ln()0a b -=9333a b =>=1,2a b ==-a b >12a b =<=3y x =a b >33a b >练真题注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D.3.（2020·江苏高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x = ，则f (-8)的值是____.【答案】4-【解析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-4. (2018·上海卷)已知α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ .【答案】-1【解析】∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1.5.（浙江省高考真题（文））已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.6．（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为________．【答案】－1【解析】试题分析：设点1,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0x >，则PA ===令1,0,2t x x t x=+>∴≥ 令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时()g t 取得最小值()22g a a =-，=，解得a =（2）当2a <时，()g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，()g t 取得最小值()22242g a a =-+=1a =-综上可知：1a =-或a =所以答案应填：-1.。

高三数学一轮复习幂函数与幂函数的图象变换课件新人教B版

• (文)f ′(x)是f(x)的导函数，f ′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
• 解析：由图可知，当b>x>a时，f ′(x)>0，故在[a，b]上，f(x)为增函数．且曲线上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选 D. • 答案：D
• (理)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)式知，当m＝1时，为偶函数，∴选C.
分析：观察两个数的特征可以发现，指数相同，都是
1 1 －－，底数不同，故可视作幂函数y＝x 3 的两个函数值，利 3 用幂函数的性质求解．
解析：幂函数y＝x
－
1
3 在(0，＋∞)上为减函数，函数值
y>0；在(－∞，0)上也是减函数，函数值y<0. a＋1<0 ∴有a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或，∴ 3－2a>0 2 3 <a< 或a<－1 3 2 2 3 即a的取值范围为( ， )∪(－∞，－1)． 3 2 2 3 答案：( ， )∪(－∞，－1) 3 2
• 已知P为圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(原点O除外)，直线OP的倾斜角为θ弧度，记d＝|OP|.在图中的坐标系中，画出以(θ， d)为坐标的点的轨迹大致图形．
• 解析：依题意，设圆与y轴的另一交点为D，则 D(0,2)．从而|OP|＝ |OD|·sinθ，∴d＝ 2sinθ(θ∈(0，π))．其图象为正弦曲线一段．故作简图如右图．
• 5．有关结论 • 若f(a＋x)＝f(a－x)，x∈R恒成立，则y＝ f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形． • 误区警示 • 1．对于函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)一定要区分开来，前者将y＝f(x)位于x轴下方的图象翻折到x轴上方，后者将y＝f(x)图象在y 轴左侧图象去掉作右侧关于y轴的对称图，后者是偶函数而前者y≥0.比如y＝|sinx|与y ＝sin|x|.

河南省洛阳市第二外国语学校高三高考数学闯关密练特训《幂函数与函数的图象变换新》试题含答案

2-6幂函数与函数的图象变换1。

(2011·烟台模拟)幂函数y ＝f (x ）的图象经过点(27，13)，则f （错误!)的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4［答案］ B［解析］设f （x )＝x α，由条件知f (27)＝错误!，∴27α＝错误!，∴α＝－错误!,∴f (x ）＝x 错误!，∴f （错误!)＝（错误!）错误!＝2。

2．(文)（2011·聊城模拟）若方程f (x ）－2＝0在（－∞，0)内有解，则函数y ＝f (x ）的图象可以是（ )[答案] D[解析] 由题意知函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝2在(－∞，0)内有交点，观察所给图象可知，只有D 图存在交点．(理）(2011·福州三中模拟）已知函数f (x )的图象如图，则函数y ＝log 错误!f (x )的图象大致是（ )[答案] A[解析］由f（x)的图象知f（x)≥1，∴y＝log错误!f(x)≤0,故选A.3．（文）(2011·山东济南调研)下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( ）A．①y＝x错误!，②y＝x2，③y＝x错误!，④y＝x－1B．①y＝x3,②y＝x2,③y＝x错误!，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x错误!，④y＝x－1D．①y＝x错误!,②y＝x错误!,③y＝x2，④y＝x－1［答案] B[解析］ y ＝x 2为偶函数,对应②；y ＝x 错误!定义域x ≥0，对应③;y ＝x －1为奇函数,且图象与坐标轴不相交，对应④；y ＝x 3与y ＝x 错误!均为奇函数，但y ＝x 3比y ＝x 13 增长率大,故①对应y ＝x 3.(理）给出以下几个幂函数f i （x ）(i ＝1,2,3，4)，其中f 1(x ）＝x ，f 2（x ）＝x 2，f 3（x ）＝x 错误!，f 4（x )＝错误!.若g i (x ）＝f i （x )＋3x (i ＝1,2，3,4）．则能使函数g i （x ）有两个零点的幂函数有（）A ．0个B ． 1个C ．2个D ．3个［答案］ B[解析] 函数g i （x )的零点就是方程g i (x )＝0的根，亦即方程f i (x )＋3x ＝0的根,也就是函数f i (x )与y ＝－3x 的图象的交点，作出函数f i （x ）（i ＝1，2，3,4）的图象,可知只有f 2(x )的图象与y ＝－3x 的图象有两个不同的交点，故能使g i （x )有两个零点的幂函数只有f 2(x )，选B.4．(文)（2012·宁波期末)函数y ＝lncos x （－错误!<x 〈错误!）的图象是（）[答案] A[解析] 由已知得0〈cos x≤1,∴ln cos x≤0，排除B、C、D.故选A。

幂函数最有效训练题

幂函数最有效训练题（限时45分钟）1.下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是增函数的是（）43.A y x =32.B y x = 2.C y x -= 14.D y x = 2.幂函数2232()m m y x m Z --=∈的图像如图2-20所示，则m 的值为（）.1A .2B .3C .4D3.幂函数()f x 的图像经过点11(,)42A ，则它在点A 处的切线方程为（）.4410A x y ++= .4410B x y -+=.20C x y -= .20D x y +=4.若幂函数()f x 的图像经过点13,9⎛⎫⎪⎝⎭则其定义域为（）{}.,0A x x R x ∈> {}.,0B x x R x ∈<{}.,0C x x R x ∈≠ .D R5.设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）.Aa c b >> .B a b c >>.C c a b >> .Db c a >>6.设1112,1,,,,1,2,3232a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，则使y x α=为奇函数且在(0,)+∞上单调递减的α值的个数为（） .1A .2B .3C .4D7.已知幂函数()y f x =的图像过点，则(8)f 的值为_______.8.已知幂函数265()()mm f x x m Z -+=∈为奇函数，且在区间(0,)+∞上是减函数，则()f x 的解析式为_______.9.已知函数12()f x x =，且(21)(3)f x f x -<，则x 的取值范围是_______.10.设函数()1()f x x Q αα=+∈的定义域为[][],,b a a b --，其中0a b <<，若函数()f x 在区间[],a b 上的最大值为6，最小值为3，则()f x 在[],b a --上的最大值与最小值的和为_______.11.已知函数12()f x x =，给出下列命题：①若1()1x f x >>则；②若120x x <<，则2121()()f x f x x x ->-；③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <；④若120x x <<，则1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭. 其中，所有正确命题的序号是_______.12.点在幂函数()f x 的图像上，点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭在幂函数()g x 的图像上，问当x 为何值时有： (1)()()(2)()()(3)()()f xg x f x g x f x g x >=<。

高三数学一轮基础巩固第2章第6节《幂函数与函数的图象变换》(含解析)新人教B版

2016届高三数学一轮基础巩固第2章第6节幂函数与函数的图象变换新人教B 版一、选择题 1．(文)(2014·山东临沂月考)幂函数f(x)＝xα的图象过点(2,4)，那么函数f(x)的单调递增区间是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(－∞，－2) [答案] C[解析] 因为函数过点(2,4)，所以4＝2α，α＝2，故f(x)＝x2，单调增区间为[0，＋∞)，选C. (理)(2014·湖北孝感调研)函数f(x)＝(m2－m －1)xm 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．－1或2 [答案] B[解析] f(x)＝(m2－m －1)xm 是幂函数⇒m2－m －1＝1⇒m ＝－1或m ＝2.又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝2.[点评] 在研究幂函数y ＝xα的图象、性质时，应考虑α的三种情况：α>0，α＝0和α<0.幂函数的图象一定出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，与坐标轴相交时，交点一定是原点．2．(2014·福建泉州模拟)函数y ＝ln 1|2x －3|的图象为( )[答案] A[解析] 由函数定义域易知2x －3≠0，即x≠32，排除C ，D 项．当x>32时，函数为减函数，当x<32时，函数为增函数，据此排除B ，选A.[点评] 识别函数的图象是一项重要的基本功，可从其奇偶性、特殊点入手排除；也可从其定义域、变化率入手排除；也可以借助基本初等函数研究其零点和函数值的符号变化规律． ①(2013·福建高考)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )[答案] A[解析]本题考查函数的图象与性质．∵f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，排除C.∵x2＋1≥1，则ln(x2＋1)≥0，且当x＝0时f(0)＝0，所以排除B、D，选A.②函数y＝2x－x2的图象大致是()[答案] A[解析]本题考查了函数图象的性质，考查了学生的识图能力，以及对函数知识的把握程度和数形结合的思维能力，令2x＝x2，y＝2x与y＝x2，由图看有3个交点，∴B、C排除，又x＝－2时2－2－(－2)2<0，故选A.③(2014·浙江)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是()[答案] D[解析]根据对数函数性质知，a>0，所以幂函数是增函数，排除A(利用(1,1)点也可以排除)；选项B从对数函数图象看0<a<1，与幂函数图象矛盾；选项C从对数函数图象看a>1，与幂函数图象矛盾，故选D.要注意结合函数特点，图象特征确定分析的切入点，注意平时练习中总结规律、减少盲目性．④(2014·云南名校一联)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是()[答案] A[解析]由函数f(x)在R上是奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，即(k－1)a－x－ax＝(1－k)ax＋a－x，∴k＝2.∴f(x)＝ax－a－x.又f(x)在R 上是减函数，∴0<a<1. ∴g(x)＝loga(x ＋2)的图象应是A.3．要将函数y ＝1＋x －1的图象变换成幂函数y ＝x 12的图象，需要将y ＝1＋x －1的图象( ) A ．向左平移一个单位，再向上平移一个单位 B ．向左平移一个单位，再向下平移一个单位 C ．向右平移一个单位，再向上平移一个单位 D ．向右平移一个单位，再向下平移一个单位 [答案] B[解析] 可运用逆向思维．如果由y ＝x 12 的图象得到y ＝1＋x －1的图象，需要将y ＝x 12 的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位即可．现在是反过来的问题，因此，要得到函数y ＝x 12 的图象，需要将y ＝1＋x －1的图象向下平移一个单位，再向左平移一个单位，故选B. [点评] 画函数图象是学习和研究函数的基本功之一．变换法作图是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称等变换，作出相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记基本函数的图象及其性质，准确把握基本函数的图象特征，熟练地进行平移、伸缩、对称变换． (1)平移变换 ①左右平移：y ＝f(x －a)的图象，可由y ＝f(x)的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位而得到． ②上下平移：y ＝f(x)＋b 的图象，可由y ＝f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到．(2)对称变换①y ＝f(－x)与y ＝f(x)的图象关于y 轴对称． ②y ＝－f(x)与y ＝f(x)的图象关于x 轴对称． ③y ＝－f(－x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称． ④y ＝f －1(x)与y ＝f(x)的图象关于直线y ＝x 对称．⑤y ＝|f(x)|的图象可将y ＝f(x)的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．⑥y ＝f(|x|)的图象可将y ＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性，作出x ＜0的图象． (3)伸缩变换①y ＝Af(x)(A ＞0)的图象，可将y ＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到．②y ＝f(ax)(a ＞0)的图象，可将y ＝f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的1a 倍，纵坐标不变而得到．1°利用平移识图函数y ＝x －2x －1的图象是( )[答案] B[解析] ∵y ＝x －2x －1＝1－1x －1，∴将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象．2°利用对称变换画图函数f(x)＝|4x －x2|－a 恰有三个零点，则a ＝________. [答案] 4[解析] f1(x)＝|4x －x2|，f2(x)＝a ，则函数图象恰有三个不同的交点．如图所示，当a ＝4时满足条件．4．(文)(2014·盱眙中学月考)当0<x<1时，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x －2的大小关系是( ) A ．f(x)<g(x)<h(x) B ．f(x)<h(x)<g(x) C ．h(x)<g(x)<f(x) D ．g(x)<h(x)<f(x) [答案] A[解析] 用特殊值法求解．令x ＝12，则f(12)＝(12)1.1，g(12)＝(12)0.9，h(12)＝(12)－2.由指数函数y ＝(12)x 的单调性知f(12)<g(12)<h(12)，故选A.(理)已知a ＝ln 12013－12013，b ＝ln 12014－12014，c ＝ln 12015－12015，则( ) A ．a>b>c B ．a>c>b C ．c>a>b D ．c>b>a [答案] A[解析] 记f(x)＝lnx －x ，则f ′(x)＝1x －1＝1－x x ，当0<x<1时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在(0,1)上是增函数． ∵1>12013>12014>12015>0，∴a>b>c ，选A.5．(文)(2014·长春模拟)函数f(x)＝ax ，g(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f(3)g(3)<0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系下的图象可能是( )[答案] C[分析] 根据指数函数、对数函数的性质判断a 的取值范围，再作出判断． [解析] ∵f(x)＝ax>0恒成立，且f(3)g(3)<0， ∴g(3)<0，即loga3<0，∴0<a<1，因此图象为C. (理)(2014·安徽合肥三模)函数y ＝f(x)与函数y ＝g(x)的图象如图．则函数y ＝f(x)·g(x)的图象可能是( )[答案] A[分析] 根据图象可知f(x)和g(x)分别为偶函数和奇函数，结合函数的其他性质，如最值点及其他特殊值即可做出判断．[解析] (1)从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)·g(x)是奇函数，排除B. 又∵g(x)的定义域为{x|x≠0}，故排除C ，D.应选A. 6．(2013·哈尔滨模拟)幂函数f(x)＝x3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m 可能等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] ∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数， ∴3m －5<0，∴m<53，∵m ∈N ，∴m ＝0或1.又f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴m ＝1，故选B. 二、填空题7．(文)若幂函数f(x)的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫116，14，则它在A 点处的切线方程为________． [答案] 16x －8y ＋1＝0[解析] 设f(x)＝xα，∵f(x)的图象过点A ， ∴⎝⎛⎭⎫116α＝14，∴α＝12.∴f(x)＝x 12， ∴f ′(x)＝12x，∴f ′⎝⎛⎭⎫116＝2，故切线方程为y －14＝2×⎝⎛⎭⎫x －116，即16x －8y ＋1＝0. (理)幂函数y ＝(p ∈Z)为偶函数，且f(1)<f(4)，则实数p ＝________.[答案] 1[解析] ∵f(1)<f(4)，∴－12p2＋p ＋32>0，∴－1<p<3，∵p ∈Z ，∴p ＝0,1或2，又此幂函数为偶函数，∴p ＝1. 8．(2014·江苏盐城模拟)若关于x 的不等式2－x2>|x －a|至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________． [答案] (－94，2)[解析] 在同一坐标系中画出函数f(x)＝2－x2，g(x)＝|x －a|的图象，如图所示．若a≤0，则其临界情况为g(x)＝|x －a|的图象与抛物线f(x)＝2－x2相切．由2－x2＝x －a 可得x2＋x －a －2＝0，由Δ＝1＋4·(a ＋2)＝0，解得a ＝－94；若a>0，则其临界情况为两函数图象的交点为(0,2)，此时a ＝2.结合图象可知，实数a 的取值范围是(－94，2)． 9．(文)已知函数f(x)＝x －1，若f(a ＋1)<f(10－2a)，则a 的取值范围是________． [答案] (－∞，－1)∪(3,5)[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，10－2a>0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0，10－2a>0，a ＋1>10－2a ，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，10－2a<0，a ＋1>10－2a ，∴a<－1或3<a<5. (理)(2013·衡阳联考)设f(x)＝|2－x2|，若0<a2ab ，∴0<ab<2. 10．(文)(2015·成都七中期中)已知指数函数y ＝f(x)，对数函数y ＝g(x)和幂函数y ＝h(x)的图象都过P(12，2)，如果f(x1)＝g(x2)＝h(x3)＝4，那么x1＋x2＋x3＝________. [答案] 32[解析] 设f(x)＝ax ，g(x)＝logbx ，h(x)＝xα，则f(12)＝a 12＝2，g(12)＝logb 12＝2，h(12)＝(12)α＝2，∴a ＝4，b ＝22，c ＝－1.由f(x1)＝4x1＝4得x1＝1，由g(x2)＝log 22x2＝4得x2＝14，由h(x3)＝x －13＝4得x3＝14，∴x1＋x2＋x3＝32.(理)(2014·浙江杭州一模)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－6x ＋6，x≥0，3x ＋4，x<0，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是________． [答案] (113，6)[解析] 因为y ＝x2－6x ＋6＝(x －3)2－3，所以对称轴为x ＝3.当3x ＋4＝－3时，x ＝－73，所以要使互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则有－3<f(x1)＝f(x2)＝f(x3)<4，如图所示．不妨设x1<x2<x3，则有－73<x1<0，x2＋x32＝3，x2＋x3＝6，所以113<x1＋x2＋x3<6，所以x1＋x2＋x3的取值范围是(113，6)．[点评] 1.解决本类题的思路是：先在同一坐标系下画出函数y ＝f(x)的图象，然后假设x1，x2，x3的大小关系，结合图象求出x1，x2，x3的大致范围，进而求出答案． 2．应用函数图象可解决下列问题 (1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系． (2)利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x 轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标． (3)利用函数的图象研究不等式当不等问题不能直接用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下位置关系问题，从而利用数形结合求解.一、选择题11．设函数y ＝x3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(2,3) C ．(1,2) D ．(3,4) [答案] C[解析] 设f(x)＝x3－⎝⎛⎭⎫12x －2，则f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，所以x0在区间(1,2)内． 12．(文)(2014·山东济南质检)函数y ＝log2|x|x 的图象大致是( )[答案] C[解析] 由于log2|－x|－x ＝－log2|x|x ，所以f(－x)＝－f(x)，函数y ＝log2|x|x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除B.当x>1时，y>0，当x<－1时，y<0.排除A ；当x>0时，y ＝log2xx .又y ′＝1ln2－log2x x2，由y ′＝0得x ＝21ln2，当0<x<21ln2时，y ′>0，当x>21ln2时，y ′<0， ∴原函数在(0,21ln2)上是增函数，在(21ln2，＋∞)上是减函数．结合选项可知选C. (理)(2014·河北石家庄调研)函数f(x)＝sinx·ln|x|的部分图象为( )[答案] A[解析] ∵f(－x)＝sin(－x)ln|－x|＝－sinxln|x|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故C ，D 错；令f(x)＝0，则sinx ＝0或ln|x|＝0，∴x ＝kπ(k ∈Z)或x ＝±1，∴当x ＝π6时，f(x)＝sin π6×ln|π6|<0，∴选A.13．(文)函数y ＝lncosx(－π2<x<π2)的图象是( )[答案] A[解析] 由已知得0<cosx≤1，∴ln cosx≤0，排除B 、C 、D.故选A. (理)(2014·甘肃部分示范学校调研)函数f(x)＝ln(x －1x )的图象是( )[答案] B[解析] 自变量x 满足x －1x ＝x2－1x >0，当x>0时可得x>1，当x<0时可得－1<x<0，即函数f(x)的定义域是(－1,0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A 、D.函数y ＝x －1x 单调递增，故函数f(x)＝ln(x －1x )在(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增，故选B.14．(文)(2014·福建福州质检)函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )A ．f(x)＝x ＋sinxB ．f(x)＝cosx xC ．f(x)＝xcosxD ．f(x)＝x(x －π2)(x －3π2)[答案] C[解析] 解法1：注意到题中所给曲线关于原点对称，因此相应的函数是奇函数，选项D 不正确；对于A ，f ′(x)＝1＋cosx≥0，因此函数f(x)＝x ＋sinx 是增函数，选项A 不正确；对于B ，由于f(x)的图象过原点，因此选项B 不正确．综上所述知选C.解法2：由图象过点(π2，0)，(0,0)，(－3π2，0)，依次排除A 、B 、D 选项，选C.(理)已知直线x ＝2及x ＝4与函数y ＝log2x 图象的交点分别为A ，B ，与函数y ＝lgx 图象的交点分别为C ，D ，则直线AB 与CD( ) A ．相交，且交点在坐标原点 B ．相交，且交点在第Ⅰ象限 C ．相交，且交点在第Ⅱ象限 D ．相交，且交点在第Ⅳ象限 [答案] A[解析] 易求得两直线方程分别为AB ：y ＝12x 、CD ：y ＝lg22x ，则其交点为坐标原点．如图所示．15．(文)(2015·银川市唐徕回中月考)已知函数f(x)＝(x －a)(x －b)(其中a>b)的图象如下图所示，则函数g(x)＝ax ＋b 的图象是( )[答案] A[解析] ∵f(x)＝(x －a)(x －b)的两个零点为a 和b 且a>b ，由图象知0<a<1，b<－1，∴g(x)＝ax ＋b 单调减，排除C 、D ，且g(0)＝1＋b<0，排除B ，故选A. (理)(2015·沈阳铁路实验中学期中)在同一个坐标系中画出函数y ＝ax ，y ＝sinax 的部分图象，其中a>0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )[答案] D[解析] 若a>1，则y ＝ax 的图象应为A ，C ，此时y ＝sinax 的周期T<2π，故排除A 、C ；∴0<a<1，∴T>2π，故排除B ，选D.二、填空题16．已知实数a ，b 满足等式log2a ＝log3b ，给出下列五个关系式：①a>b>1；②b>a>1；③a<b<1；④b<a<1；⑤a ＝b.其中可能的关系式是________．[答案] ②④⑤[解析] 由已知log2a ＝log3b ，在同一坐标系中作出函数y ＝log2x ，y ＝log3x 的图象，当纵坐标相等时，可以得到相应横坐标的大小关系，从而得出②④⑤可能成立．三、解答题17．(文)(2013·开封质检)已知函数f(x)＝2x －xm ，且f(4)＝－72.(1)求m 的值；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．[解析] (1)∵f(4)＝－72，∴24－4m ＝－72.∴m ＝1.(2)由(1)知f(x)＝2x －x ，∵f(x)的定义域为{x ∈R|x≠0}，f(－x)＝－2x ＋x ＝－(2x －x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)f(x)＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(2x1－x1)－(2x2－x2)＝(x2－x1)(2x1x2＋1)．∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，2x1x2＋1>0.∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，即f(x)＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减．(理)(2013·韶关调研)已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x ＋1x ＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋a x ，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．[解析] (1)设f(x)图象上任一点P(x ，y)，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y)在h(x)的图象上，则2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f(x)＝x ＋1x (x≠0)．(2)g(x)＝f(x)＋a x ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x)＝1－a ＋1x2.∵g(x)在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a≥3，∴a 的取值范围是[3，＋∞)．。

幂函数与函数图像变换

幂函数与函数图像变换考纲导读1．了解幂函数的概念，结合函数y x =，2y x =，3y x =，1y x=，12y x=的图像了解它们的变化情况；2．掌握初等函数图像变换的常用方法．一、定义:形如(R )y x αα=∈是常数的函数．二、图像:a (a Q)y x =∈其它部分的图像由定义域及奇偶性，对称确定．注意:作出11111,,,,,1,2,32332α=---在第一象限的图像．利用性质补齐第二或三象限的图像．三、性质:（结合图像）1、过定点2、单调性3、奇偶性4、渐近线5、幂函数图像的分布:210122112011x x x x x x x x x x x x ----<<>>>>>>><<<<<<当时,当时,分数指数能够“加塞儿”四、例题分析例1、利用函数性质比较大小:1113622,3,6解析:例2、已知幂函数()y f x =的图像过点（2，2），试求此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性．解析:例3、设m ∈N *，已知函数22234()(2)m m f x m m x+-=-⋅在(0,+∞)上是增函数．（1）求函数f(x)的解析式（2）设22[()]()(0)()f xg x f x λλ+=≠是常数，试讨论g(x)在(-∞,0)上的单调性，并求g(x)在区间(-∞,0)上的最值．解析: （1） (2)评注:本题综合考查幂函数的定义，函数的单调性定义及单调区间，求函数最值以及分类讨论的思想等，综合性较强．五、初等函数图像变换基本初等函数包含以下九种函数:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．问题:2()f x x =的图像变换，22(1),1,y x y x =+=+222,||y x y x ==（1）平移变换y =f (x )→y =f (x ＋a ) 图像左（0a >）、右（0a <）平移 y =f (x )→y =f (x )＋b 图像上（b 0>）、下（b 0<）平移（2）对称变换y =f (x ) →y =f (－x ), 图像关于y 轴对称 y =f (x ) →y =－f (x ) , 图像关于x 轴对称 y =f (x ) →y =－f (－x ) 图像关于原点对称y =f (x )→1()y f x -= 图像关于直线y =x 对称（3）翻折变换：y =f (x ) →y =f (|x |),把y 轴右边的图像保留，然后将y 轴左边部分关于y 轴对称．（注意：它是一个偶函数）y =f (x ) →y =|f (x )| 把x 轴上方的图像保留，x 轴下方的图像关于x 轴对称一个重要结论：若f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y =f (x )的图像关于直线x =a 对称；例4、作出下列函数的图像：（1）211x y x -=+（2）223y x x =--（3）(1)2(1)xx y x x ⎧>⎪=⎨-≤⎪⎩。

幂函数的图像专题含答案

幂函数的图像专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 幂函数f(x)=xα的图象必不经过平面直角坐标系中的第几象限( )A.一B.二C.三D.四2. 已知幂函数y=x n，y=x m，y=x p的图象如图，则（）A.m>n>pB.m>p>nC.n>p>mD.p>n>m3. 函数y=|x−1|的图象是（）A. B.C. D.4. 下列图象中幂函数y=x 32的大致形状的是（）A. B.C. D.5. 已知幂函数y=x a，y=x b，y=x c的部分图象如下，则点(ab−b,c2−c)所在象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6. 幂函数y=x a（α是常数）的图象（）A.一定经过点(0, 0)B.一定经过点(1, 1)C.一定经过点(−1, 1)D.一定经过点(1, −1)7. 在直角坐标系xOy的第一象限内分别画出了函数y=x,y=√x，y=x2，y=x3，y=x−1的部分图象，则函数y=x4的图象通过的阴影区域是（）A. B.C. D.8. 函数y=x 43的图象是（）A. B. C. D.9. 下图为两幂函数y=xα和y=xβ的图象，其中α，β∈{−12, 12, 2, 3}，则不可能的是（）A. B. C. D.10. 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系．（）(1)y=x32；(2)y=x13；(3)y=x23；(4)y=x−2；(5)y=x−3；(6)y=x−12．A.(1)↔(A)，(2)↔(F)，(3)↔(E)，(4)↔(C)，(5)↔(D)，(6)↔(B)B.(1)↔(B)，(2)↔(E)，(3)↔(C)，(4)↔(D)，(5)↔(A)，(6)↔(F)C.(1)↔(A)，(2)↔(E)，(3)↔(B)，(4)↔(D)，(5)↔(C)，(6)↔(F)D.(1)↔(B)，(2)↔(F)，(3)↔(A)，(4)↔(C)，(5)↔(D)，(6)↔(E)11. 如图，曲线是幂函数y=x n在第一象限的图象，已知n取2，3，12，−1四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为________．12. 已知幂函数f(x)=(m2−5m+7)x−m−1(m∈R)为偶函数．则m=________．13. 若幂函数f(x)=xα的图象经过点(3, 81)，则实数α的值为________.14. 幂函数f(x)图象过点A(2,√2)，则f(4)的值为________．15. 当α∈{12, 1, 3}幂函数y=xα的图象不可能经过的是第________象限（符合条件的要全填）．16. 函数f(x)=(x−1)1m+1的图象恒过定点________．17. 如果幂函数y=(m2−3m+3)x m2−m−1的图象不过原点，则m的值是________．18. 若y=x n的图象在x>1时，位于y=x的上方，则n的取值范围是________．19. 当x∈(1, +∞)时，幂函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方，则α的取值范围________．20. 把函数y=x 12的图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标也扩大到原来的3倍，所得图象的函数解析式是________．21. 画出y=x−12的函数图象．22. 画出y=x−12，y=x−13，y=x12，y=x13的图象．23. 已知幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称．（1）确定f(x)的解析式；（2）画出f(x)的图象．24. 已知幂函数f(x)=x9−3m(m∈N∗)的图象关于原点对称，且在R上函数值随x的增大而增大．（1）求f(x)表达式；（2）求满足f(a+1)+f(2a−3)<0的a的取值范围．25. 已知幂函数y=f(x)的图象经过点(8，m)和(9，3).(1)求实数m的值；(2)若函数g(x)=logaf(x) (a>0,a≠1)在区间[16，36]上的最大值比最小值大1，求实数a的值.26. 若点(√2, 2)在幂函数f(x)的图象上，点(2, 12)在幂函数g(x)的图象上，定义ℎ(x)={f(x),f(x)≤g(x)g(x),f(x)>g(x)求函数ℎ(x)的最大值及单调区间．27. 已知幂函数f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0, +∞)上是单调增函数．（1）求函数f(x)的解析式；（2）设函数g(x)=q⋅√f(x)+2x(q>0)，若g(x)≥0对任意x∈[1, +∞)恒成立，求实数q的取值范围．28. 已知幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值．29. 已知幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴、y轴无公共点且关于y轴对称．（1）求m的值；（2）画出函数y=f(x)的图象（图象上要反映出描点的“痕迹”）．30. a、b、c、m∈R+，a m=b m+c m，若长为a、b、c三线段能构成三角形，求m的取值范围．31. 已知函数f(x)=(m2+3m−3)x m为幂函数，且在区间(0,+∞)上单调递减.(1)求实数m的值；(2)请画出函数f(x)的草图.32. 已知幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈N∗)的图象关于y轴对称，且在(0, +∞)上是减函数．（1）求m的值；（2）求满足(1+a)−2m3<(1−2a)−2m3的a的取值范围．33. 已知函数y=x 2 3，（1）求定义域；（2）判断奇偶性；（3）已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．参考答案与试题解析幂函数的图像专题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】幂函数的图像【解析】利用幂函数性质，直接求解即可.【解答】解：利用幂函数的性质即可得：当x>0时，xα不可能为负数，所以不经过第四象限.故选D.2.【答案】C【考点】幂函数的图像【解析】根据幂函数的图象特征：在区间(1, +∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴，结合图象即可得到答案．【解答】解：因为在区间(1, +∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴，所以由图象可得：n>p>m，故选：C．3.【答案】A【考点】幂函数的图像【解析】先根据函数的定义域排除B、C，然后根据函数的值域可排除D，从而得到正确的选项．【解答】解：根据函数的定义域为{x|x≠0}可知选项B，选项C不正确；根据函数y=|x−1|的值恒正可知选项D不正确.故选A．4.【答案】B【考点】幂函数的图像【解析】根据幂函数y=x 32性质，即可得出正确的选项．【解答】解：幂函数y=x 32的定义域是[0,+∞)，可以排除CD选项；当x>1时，幂函数y=x 32的函数值大于y=x的函数值，故当x>1时，幂函数y=x 32的图象高于y=x的图象，故排除选项A.故选B.5.【答案】C【考点】幂函数的图像【解析】由幂函数的由幂函数的图像得，a>1,b<0,0<c<1,进而判断得结论.【解答】解：由幂函数的图象得，a>1，b<0，0<c<1，∴ ab−b=(a−1)b<0，c2−c=c(c−1)<0，∴ 点(ab−b,c2−c)在第三象限.故选C.6.【答案】B【考点】幂函数的图像【解析】利用幂函数的图象与性质及1α=1即可得出．【解答】解：取x=1，则y=1α=1，因此幂函数y=x a（α是常数）的图象一定经过(1, 1)点．故选B．7.【答案】B【考点】幂函数的图像【解析】根据幂函数的图象和性质判断函数y=x14的单调性和大小关系即可．【解答】解：当0<x<1时，函数y=x n为单调递减函数，所以x4<x3．排除A，D．当x>1时，函数y=x n为单调递增函数，所以x4>x3．排除C．故选B．8.【答案】A幂函数的图像【解析】本题要用函数的性质与图象性质的对应来确定正确的选项，故解题时要先考查函数y= x43性质，单调性奇偶性等，再观察四个选项特征，选出正确答案．【解答】解：研究函数y=x 43知，其是一个偶函数，且在(0, +∞)上增，在(−∞, 0)上减，由此可以排除C，D，又函数的指数43>1，故在(0, +∞)其递增的趋势越来越快，由此排除B，故A正确．故选A．9.【答案】B【考点】幂函数的图像【解析】根据所给的幂函数的α，β的值，逐个说明函数的图象所经过的象限，最后得到函数的图象情况，从而得出答案．【解答】解：α，β∈{−12, 12, 2, 3}时，幂函数y=xα和y=xβ的图象列举如下：则不可能的是：B．故选B．10.【答案】A【考点】幂函数的图像函数(1)的定义域为[0, +∞)且幂指数大于0故(1)↔(A)函数(2)的定义域为R且为奇函数图象关于原点对称幂指数大于0在第一象限单调递增故(2)↔(F)观察答案知选A．【解答】解：函数(1)的定义域为[0, +∞)且幂指数大于0在第一象限单调递增故：(1)↔(A)函数(2)的定义域为R且为奇函数图象关于原点对称幂指数大于0在第一象限单调递增故：(2)↔(F)函数(3)的定义域为R且为偶函数图象关于y轴对称且幂指数大于0小于1在第一象限单调递增且上凸；故(3)↔(E)函数(4)的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)且为偶函数图象关于y轴对称且幂指数小于0在第一象限单调递减故：(4)↔(C)函数(5)的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)且为奇函数图象关于原点对称且幂指数小于0在第一象限单调递减故：(5)↔(D)函数(6)的定义域为(0, +∞)且幂指数小于于0在第一象限单调递减故：(6)↔(B)故选A二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】3，2，1，−12【考点】幂函数的图像【解析】利用幂函数的图象与性质即可得出．【解答】解：利用幂函数的图象与性质可得：相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为3，2，1，−1．2，−1．故答案为：3，2，1212.【答案】3【考点】幂函数的图像【解析】根据幂函数的定义和函数奇偶性的性质进行求解建立．【解答】解：∵f(x)是幂函数，∴m2−5m+7=1，即m2−5m+6=0，解得m=2或m=3，若m=2，则f(x)=x−2−1=x−3为奇函数，不满足条件．若m=3，则f(x)=x−3−1=x−4为偶函数，满足条件．故m=3，故答案为：3．13.【答案】4【考点】幂函数的图像【解析】将点的坐标代入函数解析式，求出f(x)，将x用100代替，求出值．【解答】解：∵幂函数f(x)=xα的图象经过点(3, 81)，∴81=3α，解得α=4.故答案为：4.14.【答案】2【考点】幂函数的图像【解析】先由已知条件求幂函数的解析式，再求f(4)【解答】解：设幂函数f(x)=x a∵f(x)的图象过点(2, √2)∴2a=√2=212∴a=12∴f(x)=x12∴f(4)=412=2故答案为：215.【答案】二、四【考点】幂函数的图像【解析】利用幂函数的图象与性质即可得出．【解答】解：当α=1时，y=x值经过第一、三象限和原点；时，y=√x值经过第一象限和原点；当α=12当α=3时，y=x3值经过第一、三象限和原点．综上可知：幂函数y=xα的图象不可能经过的是第二、四象限．故答案为：二、四．16.【答案】【解析】根据幂函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵对所有的幂函数都过定点(1, 1)，∴当x−1=1，即x=2时，f(2)=1+1=2，即函数f(x)=(x−1)1m+1的图象恒过定点(2, 2)．故答案为：(2, 2)．17.【答案】1【考点】幂函数的图像【解析】幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于0，系数为1，求解即可．【解答】解：幂函数y=(m2−3m+3)x m2−m−1的图象不过原点，所以{m 2−m−1≤0m2−3m+3=1解得m=1，符合题意．故答案为：118.【答案】n>1【考点】幂函数的图像【解析】幂函数图象恒过(1, 1)点，结合图象容易推出n的取值范围．【解答】解：由题意画出幂函数图象，如图在第一象限内的图象，显然n>1故答案为：n>119.【答案】【解析】直接利用幂函数的图象，结合已知条件，求出a的范围．【解答】解：根据幂函数的图象的特点，画出函数的图象，当x∈(1, +∞)时，幂函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方，则α的取值范围是：(−∞, 1)．故答案为：(−∞, 1)．20.【答案】)12．y=3×(x3【考点】幂函数的图像【解析】，纵坐图象的变换体现在自变量和函数的变化，横坐标扩大到原来的3倍就是将x→x3标也扩大到原来的3倍就是将y→y，从而得解．3【解答】解：∵函数y=lg x图象横坐标扩大到原来的3倍∴得y=(x)123∵纵坐标也扩大到原来的3倍∴得y=3×(x)12．3)12．故填：y=3×(x3三、解答题（本题共计 13 小题，每题 10 分，共计130分）21.【答案】，所以定义域为(0, +∞)，解：将函数化为y=√x<0．根据幂函数的性质可知，图象在第一象限为减函数．且过点(1, 1)．又指数为−12做出图象如下：【考点】幂函数的图像【解析】研究函数的定义域，单调性，根据幂函数的性质判断．【解答】，所以定义域为(0, +∞)，解：将函数化为y=1√x<0．根据幂函数的性质可知，图象在第一象限为减函数．且过点(1, 1)．又指数为−12做出图象如下：22.【答案】解：根据幂函数的图象与性质，在同一坐标系中画出函数y=x−12，y=x−13，y=x12，y=x13的图象，如图所示；【考点】幂函数的图像【解析】根据幂函数的图象与性质，在同一坐标系中画出这几个函数的图象即可．【解答】解：根据幂函数的图象与性质，在同一坐标系中画出函数y=x−12，y=x−13，y=x12，y=x13的图象，如图所示；23.【答案】解：（1）∵幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称∴m2−2m−3≤0且m2−2m−3为偶数解得−1≤m≤3∴m=−1或m=0或m=1或m=2或m=3∴f(x)=x−4或f(x)=x0=1(x≠0)（2）【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）有幂函数的性质判断出幂函数的指数小于或等于0；指数为偶数．列出不等式求出m（2）借助幂函数的解析式画出幂函数的图象．【解答】解：（1）∵ 幂函数f(x)=x m 2−2m−3(m ∈Z)的图象与x 轴，y 轴都无交点，且关于y 轴对称∴ m 2−2m −3≤0且m 2−2m −3为偶数解得−1≤m ≤3∴ m =−1或m =0或m =1或m =2或m =3 ∴ f(x)=x −4或f(x)=x 0=1(x ≠0)（2）24.【答案】解：（1）∵ 函数在(0, +∞)上递增，∴ 9−3m >0，解得m <3．又m ∈N ∗，∴ m =1，2．又函数的图象关于原点对称，∴ 3m −9为奇数，故m =2，故f(x)=x 3．（2）∵ f(a +1)+f(2a −3)<0，∴ f(a +1)<−f(2a −3)．又f(x)为奇函数，∴ f(a +1)<f(3−2a)，又函数在R 上递增，∴ a +1<3−2a ，解得a <23，即a 的范围为(−∞, 23)．【考点】函数单调性的性质函数解析式的求解及常用方法幂函数的图像【解析】（1）函数在(0, +∞)上递增，可得9−3m >0，再由m ∈N ∗，且3m −9为奇数，可得m 的值，从而得到f(x)的解析式．（2）由题意可得不等式即f(a +1)<f(3−2a)，根据函数在R 上递增，可得a +1<3−2a ，由此求得a 的范围．【解答】解：（1）∵ 函数在(0, +∞)上递增，∴ 9−3m >0，解得m <3．又m ∈N ∗，∴ m =1，2．又函数的图象关于原点对称，∴ 3m −9为奇数，故m =2，故f(x)=x 3．又f(x)为奇函数，∴ f(a +1)<f(3−2a)，又函数在R 上递增，∴ a +1<3−2a ，解得a <23，即a 的范围为(−∞, 23)． 25.【答案】解：(1)设f(x)=x a ，依题意可得9a =3. 所以a =12. 所以f(x)=x 12.所以实数m =f(8)=812=2√2. (2)函数g(x)=log a f(x)，即为g(x)=log a √x .又因为√x ∈[4,6]，所以：①当0<a <1时，g(x)min =log a 6,g(x)max =log a 4，由log a 4−log a 6=log a 23=1，解得a =23.②当a >1时，g(x)min =log a 4,g(x)max =log a 6，由log a 6−log a 4=log a 32=1，解得a =32.综上，所求实数a 的值为23或32.【考点】幂函数的性质幂函数的图像对数函数的值域与最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设f(x)=x a ，依题意可得9a =3. 所以a =12. 所以f(x)=x 12.1(2)函数g(x)=log a f(x)，即为g(x)=log a √x .又因为√x ∈[4,6]，所以：①当0<a <1时，g(x)min =log a 6,g(x)max =log a 4，由log a 4−log a 6=log a 23=1，解得a =23.②当a >1时，g(x)min =log a 4,g(x)max =log a 6，由log a 6−log a 4=log a 32=1，解得a =32.综上，所求实数a 的值为23或32. 26. 【答案】解：设f(x)=x α，因为点(√2,2)在幂函数f(x)的图象上，所以(√2)α=2，解得α=2，所以f(x)=x 2. 设f(x)=x β，因为点(2,12)在幂函数g(x)的图象上，所以(√2)β=12，解得β=−1，所以g(x)=x −1.在同一坐标系中画出函数f(x)=x 2和g(x)=x −1的图象，由题意及图，可知 ℎ(x)={x −1，x <0或x >1x 2,0<x ≤1.根据函数ℎ(x)的解析式及图象（如图），可知函数ℎ(x)的最大值为1.ℎ(x)的单调递增区间是(0,1]，单调递减区间是(−∞,0)和(1,+∞).【考点】幂函数的图像函数的单调性及单调区间分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】设f(x)=x n，g(x)=x m，代入点的坐标，解方程可得f(x)，g(x)的解析式，再由定义，求得ℎ(x)的解析式，通过二次函数和反比例函数的性质，可得最大值和单调区间．【解答】解：设f(x)=xα，因为点(√2,2)在幂函数f(x)的图象上，所以(√2)α=2，解得α=2，所以f(x)=x2.设f(x)=xβ，因为点(2,12)在幂函数g(x)的图象上，所以(√2)β=12，解得β=−1，所以g(x)=x−1.在同一坐标系中画出函数f(x)=x2和g(x)=x−1的图象，由题意及图，可知ℎ(x)={x−1，x<0或x>1 x2,0<x≤1.根据函数ℎ(x)的解析式及图象（如图），可知函数ℎ(x)的最大值为1.ℎ(x)的单调递增区间是(0,1]，单调递减区间是(−∞,0)和(1,+∞).27.【答案】解：（1）幂函数f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0, +∞)上是单调增函数∴−m2+2m+3>0，∴−1<m<3，又m∈Z，函数f(x)为偶函数，故m=1，∴f(x)=x4；（2）g(x)=q⋅√f(x)+2x =qx2+2x≥0对任意x∈[1, +∞)恒成立，∴q≥−2x2对任意x∈[1, +∞)恒成立，∴q≥−2，而q>0，∴q>0．【考点】函数恒成立问题幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的图像幂函数图象及其与指数的关系【解析】（1）利用幂函数f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0, +∞)上是单调增函数，确定m的值，即可求函数f(x)的解析式；（2）分离参数，求最值，即可求实数q的取值范围．【解答】解：（1）幂函数f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0, +∞)上是单调增函数∴−m2+2m+3>0，∴−1<m<3，又m∈Z，函数f(x)为偶函数，故m=1，∴f(x)=x4；（2）g(x)=q⋅√f(x)+2x =qx2+2x≥0对任意x∈[1, +∞)恒成立，∴q≥−2x2对任意x∈[1, +∞)恒成立，∴q≥−2，而q>0，∴q>0．28.【答案】解：由题意可得：根据题意，幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点，则m2−2m−3≤0，①m2−2m−3=0，解可得m=−1或3，此时y=1(x≠0)，符合题意；②m2−2m−3<0解得−1<m<3，∴m2−2m−3是偶数，故m的值为±1或3．【考点】幂函数的实际应用幂函数的图像【解析】幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点说明指数为负数或0，而图形关于y轴对称说明函数为偶函数．【解答】解：由题意可得：根据题意，幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点，则m2−2m−3≤0，①m2−2m−3=0，解可得m=−1或3，此时y=1(x≠0)，符合题意；②m2−2m−3<0解得−1<m<3，又∵m∈Z，∴m=0，1，2∵图象关于y轴对称∴m2−2m−3是偶数，故m的值为±1或3．29.【答案】解：（1）由于幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，故幂函数是偶函数，且m2−2m−3=(m−3)(m+1)为非正的偶数．由m2−2m−3≤0可得−1≤m≤3，即m=−1、0、1、2，3．再由m2−2m−3为偶数，可得m=−1、1、3．（2）当m=−1或3时，f(x)=x0；当m=1时，f(x)=x−4；图象如图所示．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的性质幂函数的图像幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点说明指数为负数，而图形关于y轴对称说明指数数为偶函数，由此求得整数m的值．（2）根据（1）中结论写出幂函数的解析式，画出函数y=f(x)的图象．【解答】解：（1）由于幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，故幂函数是偶函数，且m2−2m−3=(m−3)(m+1)为非正的偶数．由m2−2m−3≤0可得−1≤m≤3，即m=−1、0、1、2，3．再由m2−2m−3为偶数，可得m=−1、1、3．（2）当m=−1或3时，f(x)=x0；当m=1时，f(x)=x−4；图象如图所示．30.【答案】解：根据题意，由a m=b m+c m，可得(ba )m+(ca)m=1，且a>b，a>c；设(ba )m=sin2θ；(ca)m=cos2θ，(0∘<θ<90∘)化简可得：b =a ⋅√sin 2θm，c =a ⋅√cos 2θm；若长为a 、b 、c 三线段能构成三角形，则b +c >a ，即a ⋅√sin 2θm+a ⋅√cos 2θm>a ；整理可得，√sin 2θm+√cos 2θm>1=sin 2θ+cos 2θ，由幂函数的性质分析可得，当且仅当m >1时，√sin 2θm>sin 2θ与√cos 2θm>cos 2θ同时成立，即b +c >a ，故m 的取值范围为m >1．【考点】同角三角函数基本关系的运用幂函数的图像【解析】根据题意，由a m =b m +c m 变形可得(b a )m +(ca )m =1，由常数1联系同角三角函数的平方关系，可以设(b a )m =sin 2θ；(ca )m =cos 2θ，(0∘<θ<90∘)，又由题意，可得b +c >a ，将b 、c 与a 的关系代入可得，a ⋅√sin 2θm+a ⋅√cos 2θm>a ；进而整理变形可得，√sin 2θm+√cos 2θm >1=sin 2θ+cos 2θ，结合幂函数的性质，分析可得答案．【解答】解：根据题意，由a m =b m +c m ，可得(ba)m +(ca)m =1，且a >b ，a >c ；设(b a )m =sin 2θ；(ca )m =cos 2θ，(0∘<θ<90∘)化简可得：b =a ⋅√sin 2θm，c =a ⋅√cos 2θm；若长为a 、b 、c 三线段能构成三角形，则b +c >a ，即a ⋅√sin 2θm+a ⋅√cos 2θm>a ；整理可得，√sin 2θm+√cos 2θm>1=sin 2θ+cos 2θ，由幂函数的性质分析可得，当且仅当m >1时，√sin 2θm>sin 2θ与√cos 2θm>cos 2θ同时成立，即b +c >a ，故m 的取值范围为m >1． 31.【答案】解：(1)由m 2+3m −3=1，得m =1或m =−4，①当m =1时，f(x)=x ，此时函数在区间(0,+∞)为增函数，不符合题意； ②当m =−4时，f(x)=x −4，此时函数在区间(0,+∞)为减函数，符合题意. 故实数m 的值为−4.(2)由(1)知f(x)=x−4，由函数f(x)的定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，f(−x)=f(x)可知函数f(x)为偶函数，可画出函数f(x)草图为：【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的图像幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由m2+3m−3=1，得m=1或m=−4，①当m=1时，f(x)=x，此时函数在区间(0,+∞)为增函数，不符合题意；②当m=−4时，f(x)=x−4，此时函数在区间(0,+∞)为减函数，符合题意. 故实数m的值为−4.(2)由(1)知f(x)=x−4，由函数f(x)的定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，f(−x)=f(x)可知函数f(x)为偶函数，可画出函数f(x)草图为：32.【答案】解：（1）∵幂函数f(x)=x m2−2m−3在(0, +∞)上是减函数，∴m2−2m−3<0，解得−1<m<3，∵m∈N∗，∴m=1，或m=2．当m=1时，f(x)=x−4，其图象关于y轴对称，符合题意；当m=2时，f(x)=x−3是奇函数，不符合题意，∴m=1．（2）∵ m =1，∴ 满足(1+a)−2m3<(1−2a)−2m3的a 即满足(1+a)−23<(1−2a)−23． ∵ y =x −23为偶函数，且定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，在(0, +∞)上单调减， ∴ {|1+a|>|1−2a|1+a ≠01−2a ≠0，即{(1+a)2>(1−2a)2a ≠−1a ≠12，从而0<a <2且a ≠12，故a 的取值范围是(0, 12)∪(12，2)．【考点】其他不等式的解法幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的性质幂函数的图像幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）由幂函数f(x)=x m 2−2m−3在(0, +∞)上是减函数，知m 2−2m −3<0，由此能求出m ．（2）由m =1，知满足(1+a)−2m 3<(1−2a)−2m 3的a 即满足(1+a)−23<(1−2a)−23．由此能求出a 的取值范围．【解答】解：（1）∵ 幂函数f(x)=x m 2−2m−3在(0, +∞)上是减函数， ∴ m 2−2m −3<0，解得−1<m <3，∵ m ∈N ∗，∴ m =1，或m =2．当m =1时，f(x)=x −4，其图象关于y 轴对称，符合题意；当m =2时，f(x)=x −3是奇函数，不符合题意， ∴ m =1．（2）∵ m =1， ∴ 满足(1+a)−2m 3<(1−2a)−2m 3的a 即满足(1+a)−23<(1−2a)−23．∵ y =x −23为偶函数，且定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，在(0, +∞)上单调减， ∴ {|1+a|>|1−2a|1+a ≠01−2a ≠0，即{(1+a)2>(1−2a)2a ≠−1a ≠12，从而0<a <2且a ≠12，故a 的取值范围是(0, 12)∪(12，2)．33. 【答案】解：（1）∵ 函数y =x 23=√x 23，∴ 函数的定义域为R ．（2）∵ f(−x)=√(−x)23=√x 23=f(x)，∴ 函数y =x 23=√x 23是偶函数．（3）∵ 函数y =x 23=√x 23是偶函数．∴ 函数图象关于y 轴对称，且(−∞, 0]为减函数，[0, +∞)为增函数，对应的图象为：【考点】幂函数的性质幂函数的图像【解析】根据幂函数的性质分别求出函数的定义域和奇偶性．【解答】解：（1）∵ 函数y =x 23=√x 23，∴ 函数的定义域为R ．（2）∵ f(−x)=√(−x)23=√x 23=f(x)，∴ 函数y =x 23=√x 23是偶函数．（3）∵ 函数y =x 23=√x 23是偶函数．∴ 函数图象关于y 轴对称，且(−∞, 0]为减函数，[0, +∞)为增函数，对应的图象为：。

函数的图象、幂函数、方程的近似解-高考数学专题复习

函数的图象、幂函数、方程的近似解一、函数图象变换1．平移变换：①水平变换：y＝f(x)→y＝f(x－a) (a>0)y＝f(x)→y＝f(x＋a) (a>0)②竖直变换：y＝f(x)→y＝f(x)＋b (b>0)y＝f(x)→y＝f(x)－b (b>0)2．对称变换：① y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称② y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称③ y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称④ y＝f -1(x)与y＝f(x)关于y x=对称⑤ y＝|f(x)|的图象是将y＝f(x)图象的x轴下方的部分翻到x轴上方⑥ y＝f(|x|)的图象是将y＝f(x)图象的x轴的正半轴的部分翻折到x轴的负半轴3．伸缩变换：① y＝Af (x) (A>0)的图象是将y＝f(x)的图象的纵坐标变为原来的A倍.② y＝f (ax) (a>0)的图象是将y＝f(x)的图象的横坐标变为原来的1a.4．若对于定义域内的任意x，若f (a－x)＝f (a＋x) (或f (x)＝f (2a－x))，则f (x)关于x a=对称，若f (a－x)＋f (a＋x)＝2b (或f (x)＋f (2a－x)＝2b)，则f (x)关于(,)a b对称.二、幂函数一、幂函数的概念：一般地，形如y xα=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数二、幂函数的图像及性质（1）当0<k 时，在第一象限内，函数单调递减，图象为凹的曲线；（2）当0=k 时，图象是一条不包括点（0，1）的直线；（3）当10<<k 时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凸的曲线；（4）当1=k 时，图象是一、三象限的角平分线；（5）当1>k 时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凹的曲线. （6）幂函数图象不经过第四象限；（7）当0>k 时，幂函数kx y =的图象一定经过点（0，0）和点（1，1）（8）如果幂函数kx y =的图象与坐标轴没有交点，则0≤k ；（9）如果幂函数mn pxy )1(-=（m 、n 、p 都是正整数，且m 、n 互质）的图象不经过第三象限，则p 可取任意正整数，m 、n 中一个为奇数，另一个为偶数. 四、方程1．一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标． 2．函数与方程两个函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标就是方程()()f x g x =的解；反之，要求方程()()f x g x =的解，也只要求函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标． 3．二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(,)m n ，则必有()()0f m f n ⋅<，再取区间的中点2m np +=，再判断()()f p f m ⋅的正负号，若()()0f p f m ⋅<，则根在区间(,)m p 中；若()()0f p f m ⋅>，则根在(,)p n 中；若()0f p =，则p 即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．五、应用题1．抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x 、y 分别表示问题中的变量；2．建立函数模型：将变量y 表示为x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是：热身练习1、函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是（ A ）2、设a ＞1,实数x,y 满足|x|-loga y1=0,则y 关于x 的函数的图象形状大致是 ( B )实际问题函数模型抽象概括实际问题的函数模型的还原说运用函数的性质3、当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2＜log a x 恒成立,则a 的取值范围为 (1,2］ .4、若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是( A ) A ．21 B ．－21C ．2D ．－25、设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ D ）A ．0B ．9C ．12D ．18解：由(3)(3)f x f x +=-知()f x 的图象有对称轴3x =，方程()0f x =的6个根在x 轴上对应的点关于直线3x =对称，依次设为1231233,3,3,3,3,3t t t t t t ---+++，故6个根的和为18，答案为D ． 6、已知155=-acb ，（a 、b 、c ∈R ），则有（ B ） A ．ac b 42> B ．ac b 42≥ C ．ac b 42< D ．ac b 42≤ 解法一：：依题设有 550a b c ⋅-=∴5是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的一个实根； ∴△＝ac b 42-≥0 ∴ac b 42≥解法二：去分母，移项，两边平方得：22252510b a ac c =++≥10ac ＋25a c ⋅⋅＝20ac ． ∴ac b 42≥，答案为B ．7、关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 1232x x <<，则实数m 的取值范围 1722m -<<解：设22()(28)16f x x m x m =--+-，则239()3(4)160216f m m =--+-<，即：241270m m --<8、若对于任意[1,1]a ∈-，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零, 则x 的取值范围是 x>3或x<1解：设2()(2)44g a x a x x =-+-+，显然，2x ≠则22(1)2440(1)2440g x x x g x x x ⎧-=-+-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩，即3221x x x x ><⎧⎨><⎩或或9、当01x ≤≤时，函数1y ax a =+-的值有正值也有负值，则实数a 的取值范围是（ D ）A ．12a C ．112a a <>或D ．112a << 10、已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时()||f x x =则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( B )A ．3B ．4C ．5D ．6 解：由(3)(1)f x f x +=+知(2)()f x f x +=故()f x 是周期为2的函数，在同一坐标系中作出()y f x =与5log y x =的图象，可以看出，交点个数为4． 11、若函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是（ A ）A ．01m <≤B ．01m ≤≤C ．10m m ≥<或D ．10m m ><或解：令()0f x =，得：|1|1()2x m -=，∵ |1|0x -≥，∴ |1|10()12x -<≤，即01m <≤．12、.设123,,x x x 依次是方程12log 2x x +=,2log (2)x x +=-，22xx +=的实数根，试比较123,,x x x 的大小．解：在同一坐标内作出函数2y x =-，12log y x =，2x y =-的图象从图中可以看出，310x x <<，又20x <，故231x x x <<精解名题例1、作出下列函数的图象. （1）y=21(lgx+|lgx|);（2）y=112--x x ;（3）y=)21(|x|.（4）y=2-2x；（5）y=|log 21（1-x ）|；解：（1）y=⎩⎨⎧≥<<).1(lg ).10(0x x x（2）由y=112--x x ,得y=11-x +2.作出y=x 1的图象，将y=x1的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位得 y=11-x +2的图象.（3）作出y=（21）x的图象，保留y=（21）x图象中x ≥0的部分，加上y=（21）x的图象中x ＞0的部分关于y 轴的对称部分，即得y=（21）|x|的图象.其图象依次如下：（4）由函数y=2x 的图象关于x 轴对称可得到y=-2x的图象，再将图象向上平移2个单位，可得y=2-2x的图象.如图甲.（5）由y=log 21x 的图象关于y 轴对称，可得y=log 21（-x ）的图象，再将图象向右平移1个单位，即得到y=log 21(1-x).然后把x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，可得到y=|log 21（1-x ）|的图象.如图乙.例2、已知幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值．解：∵幂函数223m m y x--=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．例3、已知二次函数2()(,f x ax bx a b =+为常数，且0)a ≠ 满足条件：(1)(3)f x f x -=-，且方程()2f x x =有等根. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m 、n ()m n <，使()f x 定义域和值域分别为［m ，n ］和［4m ，4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由.解：（1）∵方程22ax bx x +=有等根，∴2(2)0b ∆=-=，得b=2 ．由(1)(3)f x f x -=-知此函数图象的对称轴方程为12bx a=-=，得1a =-，故2()2f x x x =-+ ．（2）2()(1)11f x x =--+≤，∴4n ≤1，即14n ≤而抛物线22y x x =-+的对称轴为1x = ∴14n ≤时，()f x 在［m ，n ］上为增函数. 若满足题设条件的m ，n 存在，则⎩⎨⎧==nn f mm f 4)(4)(，⎩⎨⎧-==-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-2020424222n n m m nn n m m m 或或即又14m n <≤， ∴2,0m n =-=，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］. 由以上知满足条件的m 、n 存在， 2,0m n =-=．备选例题例1、对于函数()f x ，若存在0x ∈R,使00()f x x ＝成立，则称0x 为()f x 的不动点. 已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠（1）当1,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；解：（1）当1,2a b ==-时，2()3f x x x =--由题意可知23x x x =--，得121,3x x =-= 故当当1,2a b ==-时，()f x 的不动点 1,3-．（2）∵2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠恒有两个不动点，∴2(1)1x ax b x b =+++-，即210ax bx b ++-=恒有两相异实根∴2440()b ab a b R ∆=-+>∈恒成立.于是2(4)160a a '∆=-<解得故当b ∈R ，()f x 恒有两个相异的不动点时，01a <<.例2、如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB=a ，BC=b （b ＜a ）,在AB ，AD ，CD ，CB 上分别截取AE ，AH ，CG ，CF 都等于x ，当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？并求出最大面积. 解：设四边形EFGH 的面积为S ，则S △AEH =S △CFG =21x 2,S △BEF =S △DGH =21（a-x ）（b-x ）， ∴S=ab-2［x 212+21（a-x ）（b-x ）］=-2x 2+（a+b ）x=-2（x-)4b a +2+,8)(2b a +由图形知函数的定义域为{x|0＜x ≤b}. 又0＜b ＜a,∴0＜b ＜2b a +,若4ba +≤b,即a ≤3b 时，则当x=4b a +时，S 有最大值8)(2b a +;若4ba +＞b,即a ＞3b 时，S （x ）在（0,b ］上是增函数，此时当x=b 时，S 有最大值为-2(b-4b a +)2+8)(2b a +=ab-b 2,综上可知，当a ≤3b 时，x=4ba +时，四边形面积S max =8)(2b a +,当a ＞3b 时，x=b 时，四边形面积S max =ab-b 2.例3、某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值. 解：设每个提价为x 元（x ≥0），利润为y 元，每天销售总额为（10+x ）（100-10x ）元，进货总额为8（100-10x ）元，显然100-10x ＞0,即x ＜10,则y=（10+x ）（100-10x ）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360 (0≤x ＜10).当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.小结归纳1．作函数图象的基本方法是：①讨论函数的定义域及函数的奇偶性和单调性；②考虑是否可由基本初等函数的图象变换作出图象；③准确描出关键的点线(如图象与x、y轴的交点，极值点(顶点)，对称轴，渐近线，等等). 2．图象对称性证明需归结为任意点的对称性证明.3．注意分清是一个函数自身是对称图形，还是两个不同的函数图象对称.4．注意幂函数与指数函数的区别．5.幂函数的性质要熟练掌握6．利用函数的图象求方程的解的个数；7．一元二次方程的根的分布；8．利用函数的最值解决不等式恒成立问题9．解决函数应用问题应着重注意以下几点：（1）．阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）．建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；（3）．求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.（4）．还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.自我测试1、某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.解：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨， y=（5x+3x ）× 1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x ≤4且5x ＞4,y=4×1.8+3x ×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8. 当乙的用水量超过4吨时，即3x ＞4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6，所以y=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤≤)34(6.924).3454(8.44.20)540(4.14x x x x x x (2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增，当x ∈［0，54］时,y ≤f （54）＜26.4; 当x ∈（54，34］时，y ≤f （34）＜26.4;当x ∈（34,+∞）时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5, 所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S 1=4×1.8+3.5×3=17.70（元); 乙户用水量为3x=4.5吨，付费S 2=4×1.8+0.5×3=8.70（元).2、某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R （x ）=5x-22x （万元）(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？解：（1）当x ≤5时，产品能售出x 百台；当x ＞5时，只能售出5百台，故利润函数为L （x ）=R （x ）-C （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--⨯≤≤+--).5(25.012),50(5.0275.4)5()25.05.0()2555()50()25.05.0()25(222x x x x x x x x x x x (2)当0≤x ≤5时，L （x ）=4.75x-22x -0.5，当x=4.75时，L(x)max =10.781 25万元.当x ＞5时，L （x ）=12-0.25x 为减函数，此时L （x ）＜10.75(万元）.∴生产475台时利润最大.（3）由⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤≤.025.0125,05.0275.4,502x ，x x x x 或得x ≥4.75-5562.21=0.1(百台）或x ＜48(百台). ∴产品年产量在10台至4 800台时，工厂不亏本.。

高中代数“幂函数、指数函数和对数函数”检查题.doc

高中代数“幂函数、指数函数和对数函数”检查题（答题时间100分，满分100分）一、（每小题3分，共39分）选择题（1）如果(){},0,1|,22 x y x y x S += (){},0,1|,22 y y x y x T += (){},0,1|,22 x y x y x M += (){},0,1|,22 y y x y x N += 那么（）（A ）.N M T S ⋃=⋃ （B ）.M T N S ⋃=⋃（C ）.N M T S ⋂=⋂ （D ）.N T M S ⋂=⋂（2）函数()236log 23--=x x y 的定义域是（）（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-331,331 （B ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-331,331 （C ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,331331, （D ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,331331, （3）函数()15.0+=-x y 的反函数是（）（A ）12log +=x y （B ）1log 2+=x y（C ）1log 2-=x y （D ）()1log 2-=x y（4）在()0,∞-上为减函数的是（）（A ）1-=x x y （B ）()x y -=5.0log （C ）21x y -= （D ）x x y 22+=（5）如果241x x y -+=，那么（）（A ）5=最小值y （B ）5=最小值y（C ）5=最大值y （D ）5=最大值y（6）如果x a x 21log ,1= ,那么（）（A ）a a a 22 （B ）22a a a（C ）a a a 22 （D ）22a a a（7）如果,1,1- b a 那么函数()b a x f x +=的图象在（）（A ）第一、二、三象限（B ）第一、三、四象限（C ）第二、三、四象限（D ）第一、二、四象限（8）设332332b a a b a a x +-+++=，那么a bx x 233-+的值是（）（A ）1 （B ）1-（C ）0 （D ）无法确定的（9）设抛物线122--=x ax y 在x 轴下方，那么（）（A ）[]1,1-∈a （B ）()1,1-∈a（C ）(][)+∞⋃-∞-∈,11,a （D ）()()+∞⋃-∞-∈,11,a（10）设(),42-=x x f 如果10≤a ，那么⎪⎭⎫⎝⎛+a a f 1等于（）（A ）a a 1+ （B ）a a 1--（C ）a a 1- （D ）a a -1（11）设(),125212+⨯-=-x x x f 它的最小值是（）（A ）21- （B ）3-（B ）169- （D ）0（12）设,0,0 b a 且,722ab b a =+那么()b a +31lg 等于（）（A ）()b a lg lg 21+ （B ）()ab lg 21（C ）()b a lg lg 31+ （D ）()ab lg 31（13）如果函数()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,1,123lg x x x x f ，那么()x f 的最大值是（）（A ）0 （B ）41 （C ）21 （D ）1 二、（每小题4分，共20分）填空题（1）集合{}n a a a a A ,,,,321 =的真子集有______。

幂函数的图像变换.docx

函数图像的变换1 >探讨函数y =(兀+d)“, y =x k +/?与y 的图像之间的关系。

2、会用图像的变换方法作一些复杂的图像并探究其性质。

牛星础知识(问巾学)丿1、要想得到函数y = x2-6x+3的图像，应该怎样平移函数y = x2得到?总结：平移变换：(1)水平平移：函数y = /(兀+a)的图像可以把函数y = /(x)的图像沿兀轴方向向左(a > 0)或向右(a v 0)平移| d |个单位即可得到;(2)竖直平移：函数y = f(x^a的图像可以把函数y = f(x)的图像沿兀轴方向向上(a > 0)或向下(a < 0)平移|Q |个单位即可得到.2.对称变换：(1)函数y = /(-%)的图像可以将函数y = /(x)的图像关于y轴对称即可得到；(2)函数y = -/(x)的图像可以将函数y = f(x)的图像关于兀轴对称即可得到；(3)函数y = -f(-x)的图像可以将函数y二/(%)的图像关于原点对称即可得到；(4)函数y = f-\x)的图像可以将函数y = /(x)的图像关于直线y = x对称得到.3.翻折变换：(1)函数y=|/(x)|的图像可以将函数y = /(x)的图像在x轴下方部分沿X轴翻折到X轴的上方。

(2)函数〉=/(I兀|)的图像可以将函数〉=/(%)的图像当；vno的图像做出关于y轴对称的图像。

作出下列函数的團象(草團)0)y=-^— (2)y = Tx3! (3)x = 7y+i-i (4)y = (护t⑸y = d)xrlx-1 4 3I 1 X —]例题1、已知/(X )= — , g(x)= ---------- 和力(兀)= ---- Ox x-2 x-2(1) 说明这三个函数图像之间的关系；(2) 在同一坐标系中作出这三个函数的图像；(3) 求出这三个函数的定义域、值域，并判断函数的奇偶性、单调性。

演练：利用幕函数图像，画出下列函数图像。

2023 届高考数学专项(幂函数及三类不等式的解法)经典好题练习(附答案)

D.a=b
13.(多选)已知幂函数 f(x)的图像经过点
以下结论正确的是(
1 √2
,
8 4
,P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数图像上的任意不同两点,
)
A.x1f(x1)>x2f(x2)
B.x1f(x1)<x2f(x2)
(1 )
1
(2 )
2
(1 )
1
(2 )
2
B.5a<0.5a<5-a
C.0.5a<5-a<5a
D.5a<5-a<0.5a
5.(2020 浙江杭州四中仿真)已知 x∈R,则“|x-3|-|x-1|<2”是“x≠1”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(多选)下列函数在区间(0,1)上单调递增的有(
C,f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),f(x)=x3 为奇函数,值域为 R,图像也经过第一象限,符合题意;对于 D,易知
f(x)=2x-2-x 为奇函数,值域为 R,图像也经过第一象限,符合题意.故选 CD.
1

8.(-∞,0) 由 f(x)=x-2= 2,得 f(x)为偶函数,易知 f(x)在(0,+∞)上单调递减,由偶函数的对称性,得 f(x)在(∞,0)上单调递增.
√,是非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调
递增.故选 D.
2.A 画出直线 y=x0 的图像,作出直线 x=2,与三个函数图像交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置
关系可知,n<m<0.故选 A.
5

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2-6幂函数与函数的图象变换1.(2011·烟台模拟)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(27，13)，则f (18)的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 设f (x )＝x α，由条件知f (27)＝13，∴27α＝13，∴α＝－13，∴f (x )＝x －13 ，∴f (18)＝(18)－13 ＝2.2．(文)(2011·聊城模拟)若方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则函数y ＝f (x )的图象可以是()[答案] D[解析] 由题意知函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝2在(－∞，0)内有交点，观察所给图象可知，只有D 图存在交点． (理)(2011·福州三中模拟)已知函数f (x )的图象如图，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )[答案] A ，[解析] 由f (x )的图象知f (x )≥1，∴y ＝log 12f (x )≤0，故选A.3．(文)(2011·山东济南调研)下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()A ．①y ＝x 13 ，②y ＝x 2，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13 ，②y ＝x 12 ，③y ＝x 2，④y ＝x －1[答案] B ，[解析] y ＝x 2为偶函数，对应②；y ＝x 12定义域x ≥0，对应③；y ＝x －1为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y ＝x 3与y ＝x 13 均为奇函数，但y ＝x 3比y ＝x 13 增长率大，故①对应y ＝x 3.(理)给出以下几个幂函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)，其中f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x 12 ，f 4(x )＝1x.若g i (x )＝f i (x )＋3x (i ＝1,2,3,4)．则能使函数g i (x )有两个零点的幂函数有( )A ．0个B ． 1个C ．2个D ．3个[答案] B ，[解析] 函数g i (x )的零点就是方程g i (x )＝0的根，亦即方程f i (x )＋3x ＝0的根，也就是函数f i (x )与y ＝－3x 的图象的交点，作出函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)的图象，可知只有f 2(x )的图象与y ＝－3x 的图象有两个不同的交点，故能使g i (x )有两个零点的幂函数只有f 2(x )，选B.4．(文)(2012·宁波期末)函数y ＝lncos x (－π2<x <π2)的图象是( )[答案] A ，[解析] 由已知得0<cos x ≤1，∴ln cos x ≤0，排除B 、C 、D.故选A. (理)(2012·湖北重点中学联考)已知a ＝ln 12010－12010，b ＝ln 12011－12011，c ＝ln 12012－12012，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a [答案] A[解析] 记f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－xx，当0<x <1时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0,1)上是增函数．∵1>12010>12011>12012>0，∴a >b >c ，选A.5．(文)幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“区域”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 32的图象经过的“区域”是( )A ．⑧，③B ．⑦，③C ．⑥，②D ．⑤，①[答案] C ，[解析] y ＝x 32是增函数，∵32>1，∴其图象向下凸，过点(0,0)，(1,1)，故经过区域②，⑥.(理)幂函数y ＝x α(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连结AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么，αβ＝ ( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定 [答案] A[解析] 由条件知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，∴13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23α，23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13β，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13αβ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13βα＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＝13，∴αβ＝1.故选A. 6．(文)(2011·惠州模拟、安徽淮南市模拟)已知函数f (x )＝(x －a )(x－b )(其中a >b )的图象如下图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是()[答案] A[解析] ∵f (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点为a 和b 且a >b ，由图象知0<a <1，b <－1，∴g (x )＝a x＋b 单调减，且g (0)＝1＋b <0，故选A.(理)(2011·新课标全国文)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个 [答案] A[解析] 由y ＝f (x )与y ＝|lg x |图象(如图)可知，选A.7．若幂函数f (x )的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14，则它在A 点处的切线方程为________． [答案] 16x －8y ＋1＝0[解析] 设f (x )＝x α，∵f (x )的图象过点A ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫116α＝14，∴α＝12.∴f (x )＝x 12 ，∴f ′(x )＝12x，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝2，故切线方程为y －14＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －116，即16x －8y ＋1＝0.8．(文)(2011·淮北模拟)已知函数f (x )＝x －1，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．[答案] (－∞，－1)∪(3,5)[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，10－2a >0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，10－2a <0，a ＋1>10－2a ，∴a <－1或3<a <5. (理)若函数f (x )＝dax 2＋bx ＋c(a 、b 、c ，d ∈R )，其图象如图所示，则a ：b ：c ：d ＝________.[答案] 1：(－6)：5：(－8) [解析] 由图象知，x ≠1且x ≠5，故ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为1,5.∴⎩⎪⎨⎪⎧－ba ＝6，c a ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6a ，c ＝5a ，又f (3)＝2，∴d ＝18a ＋6b ＋2c ＝－8a .故a ：b ：c ：d ＝1：(－6)：5：(－8)．9．若f (x )＝ax ＋1x －1在区间(－∞，1)上是减函数，则a 的取值范围是________．[答案] (－1，＋∞)[解析] f (x )＝ax ＋1x －1＝a x －＋a ＋1x －1＝a ＋a ＋1x －1.∵f (x )在(－∞，1)上为减函数， ∴a ＋1>0，∴a >－1.10．如图所示，函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．[解析] 如图，设左侧射线对应的解析式为：y ＝kx ＋b (x ≤1)，将点(1,1)，(0,2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数解析式是y ＝－x ＋2(x ≤1)；同理，x ≥3时，函数解析式为：y ＝x －2(x ≥3)；再设抛物线段的解析式为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a <0)，将(1,1)代入得，a ＋2＝1，∴a ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．综上知，函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 x ，－x 2＋4x －x，x －x能力拓展提升11.(文)(2011·山东济宁一模)函数f (x )＝2|log 2x |的图象大致是( )[答案] C[解析] f (x )＝2|log 2x |＝⎩⎨⎧2|log 2x |，x ≥12－|log 2x |，0<x <1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1.(理)(2011·威海模拟)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(3,4) [答案] C[解析] 设f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0，所以x 0在区间(1,2)内．12．(文)(2011·成都一诊)若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a 0，a >b ，a －c ＝ln x (1－ln 2x )<0，a <c ，因此有b <a <c ，选C. (理)(2011·青岛模拟)现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 的函数关系的是( )[答案] C[解析] 根据球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快． 13．(文)(2011·安徽省淮南市模拟)已知直线x ＝2及x ＝4与函数y ＝log 2x 图象的交点分别为A ，B ，与函数y ＝lg x 图象的交点分别为C ，D ，则直线AB 与CD ( )A ．相交，且交点在坐标原点B ．相交，且交点在第Ⅰ象限C ．相交，且交点在第Ⅱ象限D ．相交，且交点在第Ⅳ象限 [答案] A[解析] 易求得两直线方程分别为AB ：y ＝12x 、CD ：y ＝lg22x ，则其交点为坐标原点．如图所示．(理)(2011·山东淄博一模)设动直线x ＝m 与函数f (x )＝x 3，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |的最小值为( )A.13(1＋ln3)B.13ln3C.13(1－ln3) D ．ln3－1 [答案] A[解析] 设u (x )＝x 3－ln x ，则u ′(x )＝3x 2－1x.令u ′(x )＝0，得x ＝313.当0<x <313时，u ′(x )<0，u (x )单调递减；当x >313时，u ′(x )>0，u (x )单调递增．所以，当x ＝313时，u (x )取到最小值，此极小值即为u (x )在(0，＋∞)上的最小值．∴|MN |＝|13－13ln 13|＝13(1＋ln3)．14．(2012·浙江余姚中学模拟)已知实数a ，b 满足等式log 2a ＝log 3b ，给出下列五个关系式：①a >b >1；②b >a >1；③a <b <1；④b <a <1；⑤a ＝b .其中可能的关系式是________．[答案] ②④⑤[解析] 由已知log 2a ＝log 3b ，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x 的图象，当纵坐标相等时，可以得到相应横坐标的大小关系，从而得出②④⑤可能成立．15．(文)已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72.(1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．[解析] (1)∵f (4)＝－72，∴24－4m＝－72.∴m ＝1.(2)f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)．∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，即f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减．(理)(2011·山东烟台调研)设函数f (x )＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x ， g (x )＝2e x.(p 是实数，e 是自然对数的底数)(1)当p ＝2e 时，求f (x )＋g (x )的单调区间；(2)若直线l 与函数f (x )，g (x )图象都相切，且与函数f (x )的图象相切于点(1,0)，求p 的值． [解析] (1)当p ＝2e 时，f (x )＋g (x )＝2e ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x ＋2e x＝2ex －2ln x ，则(f (x )＋g (x ))′＝2e －2x.故当x >1e 时，f (x )＋g (x )是增函数；当0<x <1e时，f (x )＋g (x )是减函数．综上，f (x )＋g (x )的单调增区间为[1e，＋∞)，f (x )＋g (x )的单调减区间为(0，1e]．(2)∵f ′(x )＝p ＋p x 2－2x，∴f ′(1)＝2(p －1)．设直线l ：y ＝2(p －1)(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p －x －y ＝2e x 得(p －1)(x －1)＝ex，即(p －1)x 2－(p －1)x －e ＝0. 当p ＝1时，方程无解；当p ≠1时，∵l 与g (x )图象相切，∴Δ＝(p －1)2－4(p －1)(－e )＝0，得p ＝1－4e . 综上，p ＝1－4e . 16．某机床厂2007年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，第一年的维修保养费用为12万元，从第二年开始，每年所需维修保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元．(1)写出y 与x 之间的函数关系式；(2)从第几年开始，该机床开始盈利(盈利额为正值)；(3)使用若干年后，对机床的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由．[解析] (1)y ＝50x －[12x ＋x x －2×4]－98＝－2x 2＋40x －98.(x ∈N *)(2)解不等式－2x 2＋40x －98>0得， 10－51<x <10＋51.∵x ∈N *，∴3≤x ≤17.故从第三年起该机床开始盈利．(3)①∵y x ＝－2x ＋40－98x＝40－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋98x ≤40－22×98＝12，当且仅当2x ＝98x，即x ＝7时，等号成立．∴到2014年，年平均盈利额达到最大值，机床厂可获利12×7＋30＝114万元．②y ＝－2x 2＋40x －98＝－2(x －10)2＋102，当x ＝10时，y max ＝102.故到2017年，盈利额达到最大值，机床厂可获利102＋12＝114万元．因为两种方案机床厂获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理．1．若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象分别如图，则f(x)·g(x)的图象可能是( )[答案] C[解析]由f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可知f(x)·g(x)为奇函数，x∈(－3,0)时，f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(x)>0，故选C.2．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是( )[答案] B[解析]由三视图可知，该几何体为倒立的圆锥，故随时间t的增加，容器中水面的高度增加的越来越缓慢，即曲线切线的斜率在逐渐变小，故选B.3．(2011·天津文，8)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1，设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2]∪(1,2]D ．[－2，－1] [答案] B[解析] 由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2 －1≤x ≤2x －1 x <－1或x >2由y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，即方程f (x )＝c 有两个不等的根，即函数y ＝f (x )与y ＝c 的图象有两个交点．由图象知：∴－2<c ≤－1或1<c ≤2.4．(2012·潍坊市高三模拟)定义一种运算：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥b ，b a <b ，已知函数f (x )＝2x⊗(3－x )，那么函数y ＝f (x＋1)的大致图象是( )[答案] B[解析] 如图．在同一坐标系内分别作出y ＝2x与y ＝3－x 的图象，据已知函数f (x )的定义知，相同x 对应的上方图象即为函数f (x )的图象(如实线部分所示)，然后将其图象左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象，故选B.5．(2012·安徽合肥模拟)已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤xx ，x ，则下列函数的图象错误的是( )[答案] D[解析] 先在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，再将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个长度单位即可得到y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形即可得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )的值域是[0,2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0<x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D 不正确．综上所述，选D.6．(2011·福建质量检查)设a >1，若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]，满足方程log a x ＋log a y ＝c ，这时a 的取值的集合为________．[答案] {2}[解析] 依题意得y ＝a c x ，当x ∈[a,2a ]时，y ＝a cx∈[12a c －1，a c －1]⊆[a ，a 2]，因此有⎩⎪⎨⎪⎧12a c －1≥a a c －1≤a 2，即2a ≤a c －1≤a 2，又常数c 是唯一的，因此a 2＝2a ，又a >1，所以a ＝2.。