2021年上海市虹口区高考数学三模试卷含解析【加16套高考模拟卷】
2019-2020学年上海市虹口区高考数学三模试卷(文科)(有答案)
上海市虹口区高考数学三模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设集合M={x|≥0}，N={x|2x≥1}，则M∩N=．2．在△ABC中，tanA=﹣，则sin2A= ．3．已知复数z=（i为虚数单位），表示z的共轭复数，则z•= ．4．若等比数列{an }的公比q满足|q|＜1，且a2a4=4，a3+a4=3，则（a1+a2+…+an）= ．5．若函数f（x）=（x﹣a）|x|（a∈R）存在反函数f﹣1（x），则f（1）+f﹣1（﹣4）= ．6．在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足=tan，则= ．7．若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为，且内接圆锥的轴截面为锐角三角形，则该球的体积与它的内接圆锥的体积之比等于．8．某小区有排成一排的8个车位，现有5辆不同型号的轿车需要停放，则这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率为（结果用最简分数表示）．9．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于．10．若复数z满足|z+3|=|z﹣4i|（i为虚数单位），则|z|的最小值为．11．已知实数x，y，满足且目标函数z=x+y的最大值是2，则实数m的值为．12．过抛物线x2=8y的焦点F的直线与其相交于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=6，则△OAB的面积为．13．若关于x的方程2x|x|﹣a|x|=1有三个不同实根，则实数a的取值范围为．14．若数列{an }满足：an+1+（﹣1）n an=n（n∈N*），则a1+a2+…+a100= ．二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．关于三个不同平面α，β，γ与直线l，下列命题中的假命题是（）A．若α⊥β，则α内一定存在直线平行于βB．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γD．若α⊥β，则α内所有直线垂直于β16．若函数y=f（x）的图象与函数y=3x+a的图象关于直线y=﹣x对称，且f（﹣1）+f（﹣3）=3，则实数a 等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．417．在锐角△ABC中，B=60°，|﹣|=2，则•的取值范围为（）A．（0，12） B．[，12）C．（0，4] D．（0，2]18．在平面直角坐标系中，定义两点P（x1，y1）与Q（x2，y2）之间的“直角距离”为：d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．现给出下列4个命题：①已知P（1，2），Q（cos2θ，sin2θ）（θ∈R），则d（P，Q）为定值；②已知P，Q，R三点不共线，则必有d（P，Q）+d（Q，R）＞d（P，R）；③用|PQ|表示P，Q两点之间的距离，则|PQ|≥d（P，Q）；④若P，Q是圆x2+y2=2上的任意两点，则d（P，Q）的最大值为4；则下列判断正确的为（）A．命题①，②均为真命题 B．命题②，③均为假命题C．命题②，④均为假命题 D．命题①，③，④均为真命题三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤. 19．已知函数f（x）=的图象过点和点．（1）求函数f（x）的最大值与最小值；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，得到函数y=g（x）的图象；已知点P（0，5），若函数y=g（x）的图象上存在点Q，使得|PQ|=3，求函数y=g（x）图象的对称中心．20．已知函数f（x）=ax2﹣2ax+b（a＞0）在区间[﹣1，3]上的最大值为5，最小值为1．（1）求a，b的值及f（x）的解析式；（2）设g（x）=，若不等式g（3x）﹣t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，求实数t的取值范围．21．如图，AB是△ABC外接圆O的直径，四边形DCBE为矩形，且DC⊥平面ABC，AB=4，BE=1．（1）证明：直线BC⊥平面ACD；（2）当三棱锥E﹣ABC的体积最大时，求异面直线CO与DE所成角的大小．22．设椭圆C： +=1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”E为：x2+y2=．若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的右焦点重合，且椭圆C的短轴长与焦距相等．（1）求椭圆C及其“相关圆”E的方程；（2）过“相关圆”E上任意一点P作其切线l，若l与椭圆C交于A，B两点，求证：∠AOB为定值（O为坐标原点）；（3）在（2）的条件下，求△OAB面积的取值范围．23．设Sn 为数列{an}的前n项和，Sn=λan﹣1（λ为常数，n=1，2，3，…）．（I）若a3=a22，求λ的值；（II）是否存在实数λ，使得数列{an}是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在．请说明理由（III）当λ=2时，若数列{bn }满足bn+1=an+bn（n=1，2，3，…），且b1=，令，求数列{cn }的前n项和Tn．上海市虹口区高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设集合M={x|≥0}，N={x|2x≥1}，则M∩N=[0，3）．【考点】交集及其运算．【分析】分别求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，且3﹣x≠0，解得：﹣1≤x＜3，即M=[﹣1，3），由N中不等式变形得：2x≥1=20，即x≥0，∴N=[0，+∞），则M∩N=[0，3），故答案为：[0，3）．2．在△ABC中，tanA=﹣，则sin2A= ﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由题意得A为钝角，且sinA=，cosA=﹣，由此由二倍角公式得sin2A．【解答】解：△ABC中，tanA=﹣，∴sinA=，cosA=﹣，∴sin2A=2sinAcosA=﹣．3．已知复数z=（i为虚数单位），表示z的共轭复数，则z•= 1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由求得z•．【解答】解：∵z==，∴z•=．故答案为：1．4．若等比数列{an }的公比q满足|q|＜1，且a2a4=4，a3+a4=3，则（a1+a2+…+an）= 16 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出（a1+a2+…+an）．【解答】解：∵等比数列{an }的公比q满足|q|＜1，且a2a4=4，a3+a4=3，∴，由|q|＜1，解得，a 1+a2+…+an=，则（a1+a2+…+an）==16．故答案为：16．5．若函数f（x）=（x﹣a）|x|（a∈R）存在反函数f﹣1（x），则f（1）+f﹣1（﹣4）= ﹣1 ．【考点】反函数．【分析】根据f（x）存在反函数f﹣1（x），得出f（x）是定义域上的单调函数，求出a的值以及f（x）的解析式，即可求出f（1）+f﹣1（﹣4）的值．【解答】解：∵函数f（x）=（x﹣a）|x|=，且f（x）存在反函数f﹣1（x），∴f（x）是定义域R的单调增函数，∴a=0，∴f（x）=，∴f（1）+f﹣1（﹣4）=1+（﹣2）=﹣1．故答案为：﹣1．6．在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足=tan，则= ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】先把已知条件转化为tan==tan（+θ）．利用正切函数的周期性求出，即可求得结论．【解答】解：因为tan==tan（+θ）．且tanθ=∴+θ=kπ+∴θ=kπ+．tanθ=tan（kπ+）=．∴=故答案为：．7．若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为，且内接圆锥的轴截面为锐角三角形，则该球的体积与它的内接圆锥的体积之比等于．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设球的半径为5，圆锥底面半径为3，则圆锥的高为9，代入体积公式计算即可得出比值．【解答】解：设球的半径为5，则圆锥的底面半径为3，∴球心到圆锥底面的距离为=4．∵内接圆锥的轴截面为锐角三角形，∴圆锥的高为4+5=9．∴V球=，V圆锥==27π．∴V球：V圆锥=27π=．故答案为：．8．某小区有排成一排的8个车位，现有5辆不同型号的轿车需要停放，则这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率为（结果用最简分数表示）．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起，包含的基本事件个数，由此能求出这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率．【解答】解：某小区有排成一排的8个车位，现有5辆不同型号的轿车需要停放，基本事件总数n=，这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起，包含的基本事件个数m=，∴这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率为：p===．故答案为：．9．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于 6 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=﹣bx，即bx+y=0，焦点坐标为F（c，0），则焦点到其渐近线的距离d===b=2，则c====3，则双曲线的焦距等于2c=6，故答案为：610．若复数z满足|z+3|=|z﹣4i|（i为虚数单位），则|z|的最小值为．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设z=a+bi，（a，b∈R）．由|z+3|=|z﹣4i|（i为虚数单位），可得=，化为：6a+8b﹣7=0．再利用原点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：设z=a+bi，（a，b∈R）．∵|z+3|=|z﹣4i|（i为虚数单位），∴=，化为：6a+8b﹣7=0．∴|z|=的最小值为原点（0，0）到直线l：6a+8b﹣7=0的距离，： =，故答案为：．11．已知实数x ，y ，满足且目标函数z=x+y 的最大值是2，则实数m 的值为 ．【考点】简单线性规划．【分析】先求出目标函数取得最大值时对应的交点A 的坐标，利用A 也在直线y=mx 上，进行求解即可． 【解答】解：先作出可行域， ∵z=x+y 的最大值是2，∴作出z=x+y=2的图象，则直线z=x+y=2，与区域相交为A ，由得，即A （1，）， 同时A 也在y=mx ，上， 则m=， 故答案为：．12．过抛物线x 2=8y 的焦点F 的直线与其相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF|=6，则△OAB 的面积为 6．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得A 的坐标（﹣4，4），再由三点共线的条件：斜率相等，可得B 的坐标，由△OAB 的面积为|OF|•|x A ﹣x B |，计算即可得到所求值． 【解答】解：抛物线x 2=8y 的焦点F （0，2），准线为y=﹣2，由抛物线的定义可得|AF|=y A +2=6， 解得y A =4，可设A （﹣4，4），设B （m ，），由A ，F ，B 共线可得，k AF =k BF ，即=，解得m=2（﹣4舍去），即有B （2，1），则△OAB 的面积为|OF|•|x A ﹣x B |=•2•|﹣4﹣2|=6．故答案为：6．13．若关于x 的方程2x|x|﹣a|x|=1有三个不同实根，则实数a 的取值范围为 （﹣∞，﹣2） ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】首先进行转化，再对x 进行分类讨论，由二次函数的图象以及性质得到a 的范围． 【解答】解：∵方程2x|x|﹣a|x|=1有三个不同实根， ∴函数y=2x|x|﹣a|x|﹣1有3个不同的零点， ∴y=，对称轴为x=，与y 轴交点为（0，﹣1） ∴a ≥0时，不符合条件， ∴a ＜0， 且△＞0 ∴a ∈， 故答案为：（﹣∞，﹣2）14．若数列{a n }满足：a n+1+（﹣1）n a n =n （n ∈N *），则a 1+a 2+…+a 100= 2550 ． 【考点】数列的求和．【分析】a n+1+（﹣1）n a n =n （n ∈N *），可得：a 2﹣a 1=1，a 3+a 2=2，a 4﹣a 3=3，a 5+a 4=4，a 6﹣a 5=5，a 7+a 6=6，a 8﹣a 7=7，…，可得a 3+a 1=1=a 7+a 5=…，a 4+a 2=2+3，a 8+a 6=6+7，a 12+a 10=10+11，…，利用分组求和即可得出． 【解答】解：∵a n+1+（﹣1）n a n =n （n ∈N *），∴a 2﹣a 1=1，a 3+a 2=2，a 4﹣a 3=3，a 5+a 4=4，a 6﹣a 5=5，a 7+a 6=6，a 8﹣a 7=7，…， 可得a 3+a 1=1=a 7+a 5=…，∴（a 1+a 3+…+a 99）=25．a 4+a2=2+3，a8+a6=6+7，a12+a10=10+11，…，∴a2+a4+…+a100=5×25+8×=2525．则a1+a2+…+a100=2550．故答案为：2550．二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．关于三个不同平面α，β，γ与直线l，下列命题中的假命题是（）A．若α⊥β，则α内一定存在直线平行于βB．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γD．若α⊥β，则α内所有直线垂直于β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明．【解答】解：对于A，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故A正确；对于B，假设α内存在直线a垂直于β，则α⊥β，与题设矛盾，故假设错误，故B正确；对于C，设α∩γ=c，β∩γ=d，在γ内任取一点P，作PM⊥c于点M，PN⊥d于点N，则PM⊥α，PN⊥β，且PM、PN不可能共线．又l⊂α，l⊂β，∴PM⊥l，PN⊥l．又PM∩PN=P，PM⊂γ，PN⊂γ，∴l⊥γ．故C正确．对于D，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故D错误．故选：D．16．若函数y=f（x）的图象与函数y=3x+a的图象关于直线y=﹣x对称，且f（﹣1）+f（﹣3）=3，则实数a 等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【考点】反函数．【分析】设（x，y）为函数y=f（x）的图象上的一点，则关于直线y=﹣x对称的点为（﹣y，﹣x）．代入函数y=3x+a可得：f（x）=a﹣log3（﹣x）．即可得出．【解答】解：设（x，y）为函数y=f（x）的图象上的一点，则关于直线y=﹣x对称的点为（﹣y，﹣x）．代入函数y=3x+a可得：﹣x=3﹣y+a，∴﹣y+a=log3（﹣x），即f（x）=a﹣log3（﹣x）．∵f（﹣1）+f（﹣3）=3，∴a﹣0+a﹣log33=3，解得a=2．故选：C．17．在锐角△ABC中，B=60°，|﹣|=2，则•的取值范围为（）A．（0，12） B．[，12）C．（0，4] D．（0，2]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，∵B=60°，|﹣|=||=2，∴C（1，），设A（x，0）∵△ABC是锐角三角形，∴A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），∴1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，∴的范围为（0，12）．故选：A．18．在平面直角坐标系中，定义两点P（x1，y1）与Q（x2，y2）之间的“直角距离”为：d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．现给出下列4个命题：①已知P（1，2），Q（cos2θ，sin2θ）（θ∈R），则d（P，Q）为定值；②已知P ，Q ，R 三点不共线，则必有d （P ，Q ）+d （Q ，R ）＞d （P ，R ）； ③用|PQ|表示P ，Q 两点之间的距离，则|PQ|≥d （P ，Q ）；④若P ，Q 是圆x 2+y 2=2上的任意两点，则d （P ，Q ）的最大值为4； 则下列判断正确的为（ ）A ．命题①，②均为真命题B ．命题②，③均为假命题C ．命题②，④均为假命题D ．命题①，③，④均为真命题 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．【解答】解：①已知P （1，2），Q （cos 2θ，sin 2θ）（θ∈R ），则d （P ，Q ）=|1﹣cos 2θ|+|2﹣sin 2θ|=sin 2θ+2﹣sin 2θ=2为定值；故①正确，②已知P ，Q ，R 三点不共线，设P （1，0），Q （0，0），R （0，1）， 则d （P ，Q ）=|x P ﹣x Q |+|y P ﹣y Q |=1， d （Q ，R ）=|x Q ﹣x R |+|y Q ﹣y R |=1．d （P ，R ）=|x P ﹣x R |+|y P ﹣y R |=1+1=2，此时d （P ，Q ）+d （Q ，R ）=d （P ，R ）； ∴d （P ，Q ）+d （Q ，R ）＞d （P ，R ）不成立，故②错误， ③若|PQ|表示P 、Q 两点间的距离，那么|PQ|=，d （P ，Q ）=|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|，∵2（a 2+b 2）≥（a+b ）2， ∴≥|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|，即|PQ|≥d （P ，Q ），则|PQ|≥d （P ，Q ）=d （P ，Q ），故③正确，④若P ，Q 是圆x 2+y 2=2上的任意两点，当P ，Q 是直线y=x 与x 2+y 2=2的交点时，则d （P ，Q ）的最大， 此时P （1，1），Q （﹣1，﹣1）；则d （P ，Q ）=|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|=|﹣1﹣1|+|﹣1﹣1|=2+2=4，则d （P ，Q ）的最大值为4；故④正确， 故选：D三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤. 19．已知函数f （x ）=的图象过点和点．（1）求函数f （x ）的最大值与最小值；（2）将函数y=f （x ）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，得到函数y=g （x ）的图象；已知点P （0，5），若函数y=g （x ）的图象上存在点Q ，使得|PQ|=3，求函数y=g （x ）图象的对称中心． 【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 【分析】（1）利用条件求得m 、n 的值，可得函数的解析式，从而求得它的最值．（2）根据g（x）的解析式，点Q（0，2）在y=g（x）的图象上，求得φ的值，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：（1）易知f（x）=msin2x﹣ncos2x，则由它的图象过点和点，可得，解得．故．故函数f（x）的最大值为2，最小值为﹣2．（2）由（1）可知：．于是，当且仅当Q（0，2）在y=g（x）的图象上时满足条件，∴．由0＜ϕ＜π，得．故．由，得．于是，函数y=g（x）图象的对称中心为：．20．已知函数f（x）=ax2﹣2ax+b（a＞0）在区间[﹣1，3]上的最大值为5，最小值为1．（1）求a，b的值及f（x）的解析式；（2）设g（x）=，若不等式g（3x）﹣t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，求实数t的取值范围．【考点】二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）解关于a，b的方程组，求出a，b的值从而求出函数的解析式即可；（2）问题转化为t≤2﹣2+1=2+在x∈[0，2]上有解，通过换元法求出t的范围即可．【解答】解：（1）由f（x）=a（x﹣1）2+b﹣a（a＞0）及条件，可得，…解得 a=1，b=2．故f（x）=x2﹣2x+2…（2）由（1）可得g（x）==x+﹣2，于是题设条件得3x+﹣2﹣t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，…即t≤2﹣2+1=2+在x∈[0，2]上有解，…令=u∈[，1]，∵x∈[0，2]，则t≤2+在u∈[，1]上有解…当u∈[，1]时，2+∈[，1]，于是t≤1，因此，实数t的取值范围为（﹣∞，1]．…21．如图，AB是△ABC外接圆O的直径，四边形DCBE为矩形，且DC⊥平面ABC，AB=4，BE=1．（1）证明：直线BC⊥平面ACD；（2）当三棱锥E﹣ABC的体积最大时，求异面直线CO与DE所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由题意推导出DC⊥BC，AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面ACD．（2）连接CO，设点C到AB的距离为h，由，得到当h=2，即CO⊥AB时，三棱锥E﹣ABC的体积最大，由此能求出当三棱锥E﹣ABC的体积最大时，异面直线CO与DE所成角的大小．【解答】（文）（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题，第2小题．证明：（1）由题意，得：DC⊥平面ABC，BC⊆平面ABC，∴DC⊥BC，又∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，…于是由BC⊥DC，BC⊥AC，DC∩AC=C，∴BC⊥平面ACD．…解：（2）连接CO，设点C到AB的距离为h，则==，…故当h=2，即CO⊥AB时，三棱锥E﹣ABC的体积最大．…由DE∥BC得，∠BCO为异面直线CO与DE的所成角．…而在△BCO中，CO⊥AB，CO=OB=2 故∠BCO=，∴异面直线CO与DE所成角的大小为．…22．设椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0），定义椭圆C 的“相关圆”E 为：x 2+y 2=．若抛物线y 2=4x 的焦点与椭圆C 的右焦点重合，且椭圆C 的短轴长与焦距相等． （1）求椭圆C 及其“相关圆”E 的方程；（2）过“相关圆”E 上任意一点P 作其切线l ，若l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求证：∠AOB 为定值（O 为坐标原点）；（3）在（2）的条件下，求△OAB 面积的取值范围． 【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的焦点，可得c=1，由a ，b ，c 的关系可得a ，进而得到椭圆方程和圆E 的方程； （2）讨论切线l 的斜率不存在，求出方程，可得交点A ，B ，求得向量OA ，OB 的坐标，可得∠AOB 为90°；l 的斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合直线和圆相切的条件：d=r ，化简整理，计算向量OA ，OB 的数量积，即可得证；（3）求得△AOB 的面积，讨论直线l 的斜率，运用弦长公式和基本不等式，求得最值，由不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由抛物线y 2=4x 的焦点（1，0）与椭圆C 的右焦点重合， 可得c=1，又因为椭圆C 的短轴长与焦距相等，则b=c=1．a=，故椭圆C 的方程为：+y 2=1，其“相关圆”E 的方程为：x 2+y 2=；（2）证明：当切线l 的斜率不存在时切线方程为x=±， 与椭圆的两个交点为（，±）或（﹣，±）此时•=﹣=0，即∠AOB=90°；当切线l 斜率存在时，可设l 的方程为y=kx+m ，与椭圆方程联立，可得 （1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2﹣2=0则△=16k 2m 2﹣4（1+2k 2）（2m 2﹣2）＞0，即为1+2k 2＞m 2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，可得y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2=k 2•+km （﹣）+m 2=，由l 与圆x 2+y 2=相切，可得d==，化为3m 2=2k 2+2，则•=x 1x 2+y 1y 2==0，即∠AOB=90°．综上所述∠AOB=90°为定值；（3）由于，求S △OAB 的取值范围，只需求出弦长|AB|的取值范围． 当直线l 的斜率不存在时，可得|AB|=，S △AOB =；当直线l 的斜率存在时，|AB|=•=•=•==，由=≤=，故，故，当且仅当4k 2=，即k=±时，．于是|AB|的取值范围为．因此S △OAB 的取值范围为．23．设S n 为数列{a n }的前n 项和，Sn=λa n ﹣1（λ为常数，n=1，2，3，…）． （I ）若a 3=a 22，求λ的值；（II ）是否存在实数λ，使得数列{a n }是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在．请说明理由 （III ）当λ=2时，若数列{b n }满足b n+1=a n +b n （n=1，2，3，…），且b 1=，令，求数列{c n }的前n 项和T n ．【考点】数列递推式；等差关系的确定；数列的求和．【分析】（I ）利用S n =λa n ﹣1，通过n=1，2，3，求出a 1，a 2，a 3，利用a 3=a 22，即可求λ的值； （II ）通过反证法，假设存在实数λ，使得数列{a n }是等差数列，则2a 2=a 1+a 3，推出矛盾，所以不存在实数λ，使得数列{a n }是等差数列．（III ）当λ=2时，求出数列{a n }、数列{b n }的通项公式，通过，化简裂项，然后求数列{c n }的前n 项和T n ．【解答】解：（I ）因为S n =λa n ﹣1，所以a 1=λa 1﹣1，a 2+a 1=λa 2﹣1，a 3+a 2+a 1=λa 3﹣1， 由a 1=λa 1﹣1可知λ≠1， 所以a 1=，a 2=，a 3=，因为a 3=a 22， 所以，所以λ=0或λ=2．（II ）假设存在实数λ，使得数列{a n }是等差数列，则2a 2=a 1+a 3， 由（I ）可知，，所以，即1=0，矛盾，所以不存在实数λ，使得数列{a n }是等差数列． （III ）当λ=2时，S n =2a n ﹣1， 所以S n ﹣1=2a n ﹣1﹣1，且a 1=1，所以a n =2a n ﹣2a n ﹣1，即a n =2a n ﹣1 （n ≥2）． 所以a n ≠0（n ∈N *），且（n ≥2）．所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n =2a n ﹣1（n ∈N *），因为b n+1=a n +b n （n=1，2，3，…），且b 1=， 所以b n =a n ﹣1+b n ﹣1=a n ﹣1+a n ﹣2+b n ﹣2=…=a n ﹣1+a n ﹣2+…+a 1+b 1 =．当n=1时上式也成立． 所以b n =．因为，所以=因为，所以T n =C 1+C 2+…+C n =2=1﹣=．。
上海市虹口区复兴高级中学2021-2022学年高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()32z i i =-，则z z ⋅=（ ）A ．5B C ．13D 2．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）AB ．1C D ．123．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（ ） A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=4．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( )AB ．2C ．1D 5．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．6．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|B x y ⎧==⎨⎩，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤B ．{|13}x x <<C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<8．622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．60-B ．12-C ．12D ．609．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．16B ．17C ．18D ．1910．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）A ．118B ．54C ．14D ．1811．已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ，若2=1,7,3a b c C π+==，则ABC ∆的面积为（ ）A 33B 3C ．33D ．2312．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．34二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年五月上海三校生高考数学试卷真题与解析
2021年五月上海三校生高考数学试卷真题与解析一、填空题1.行列式的值为。
【答案】 18【考点】二阶行列式的定义【解析】【解答】=4 5-2 1=18【分析】=ad-bc交叉相乘再相减。
2.双曲线的渐近线方程为。
【答案】【考点】双曲线的应用【解析】【解答】，a=2，b=1。
故渐近线方程为【分析】渐近线方程公式。
注意易错点焦点在x轴上，渐近线直线方程为时，。
3.在（1+x）7的二项展开式中，x²项的系数为。
（结果用数值表示）【答案】 21【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】（1+x）7中有Tr+1= ，故当r=2时，= =21【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。
考点公式第r+1项为Tr+1= 。
4.设常数，函数，若的反函数的图像经过点，则a= 。
【答案】 7【考点】反函数【解析】【解答】的反函数的图像经过点，故过点，则，=3，1+a=23所以a=23-1，故a=7.【分析】原函数与反函数图像关于y=x对称，如：原函数上任意点，则反函数上点为 5.已知复数z满足（i是虚数单位），则∣z∣= 。
【答案】 5【考点】复数求模【解析】【解答】∵ ∴故根据复数模长公式=5【分析】复数转化关系公式，共轭复数去点模长公式6.记等差数列的前n项和为Sn ，若，则S7= 。
【答案】 14【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和【解析】【解答】a3=a1+2d=0a6+a7=a1+5d+a1+6d=14故，故故S7=72-5×7=14。
【分析】等差数列的通项公式，等差数列前n 项和公式Sn= ，求出a1 ， d。
7.已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则α=【答案】 -1【考点】幂函数的实际应用【解析】【解答】a=-2时，=x-2为偶函数，错误a=-1时，=x-1为奇函数，在上递减，正确a=- 时，= 非奇非偶函数，错误a= 时，= 非奇非偶函数，错误a=1时，=x在上递增，错误a=2时，=x2在上递增，错误a=3时，=x3在上递增，错误【分析】关于幂函数性质的考查，在第一项限a>0时，，a<0时，，若a>0为偶数，则为偶，若a为奇数，为奇。
上海市2021届高三数学三模考试试题(含解析)
上海市崇明区2021届高三数学三模考试试题（含解析）一.填空题1.设集合{1,2,3}A =，{|1}B x x =>，则A B =______【答案】{2,3} 【解析】 【分析】根据交集的定义直接得到结果.【详解】由交集定义可得：{}2,3A B ⋂= 本题正确结果：{}2,3【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2.若2log 1042x -=-，则x =______【答案】4 【解析】由行列式的定义可得：()()222log 140,log 2,4x x x --⨯-=∴==.3.已知复数z 满足(2)5z i -=（i 为虚数单位），则z 的模为______【解析】 分析】根据复数模长运算性质可直接求得结果. 【详解】52z i=-52z i ∴===-【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.4.函数()3sin cos f x x x =+的单调递增区间为______ 【答案】22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 【解析】 【分析】利用辅助角公式可整理出()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令22262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解出x的范围即为所求区间.【详解】()3sin cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令22262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解得：22233k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ()f x ∴的单调递增区间为：22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 本题正确结果：22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，关键是采用整体对应的方式来进行求解.5.若一个球的体积是36π，则它的表面积是______ 【答案】【解析】设铁球的半径为,则，解得；则该铁球的表面积为.考点：球的表面积与体积公式.6.某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为______ 【答案】17 【解析】试题分析：高一高二人数之比为10:9，因此高二抽出的人数为18人，高三抽出的人数为55-20-18=17人 考点：分层抽样7.一名工人维护3台独立的游戏机，一天内这3台需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.6，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为______（结果用小数表示） 【答案】0.568 【解析】 【分析】记“至少有一台游戏机不需要维护”为事件A ，首先求解出()P A ，利用对立事件概率公式可求得结果.【详解】记“至少有一台游戏机不需要维护”为事件A则()0.90.80.60.432P A =⨯⨯= ()()10.568P A P A ∴=-= 本题正确结果：0.568【点睛】本题考查对立事件概率的求解，属于基础题.8.已知不等式组22020x y x y y +≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩表示的平面区域为Ω，点M 坐标为(),x y ，对任意点M ∈Ω，则x y -的最大值为______ 【答案】6 【解析】 【分析】由约束条件画出平面区域Ω，可知z 取最大值时，y x z =-在y 轴截距最小，通过平移直线可知当过C 时，z 取最大值，求出C 点坐标，代入求得结果. 【详解】由约束条件可得平面区域Ω如下图阴影部分所示：令z x y =-，则z 取最大值时，y x z =-在y 轴截距最小 平移y x =可知，当y x z =-过C 时，在y 轴截距最小由220x y y +=⎧⎨+=⎩得：()4,2C - max 426z ∴=+= 本题正确结果：6【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是将问题转化为在y 轴截距的最值的求解问题，通过平移直线求得结果.9.已知定义在R 上的增函数()y f x =满足()()40f x f x +-=，若实数,a b 满足不等式()()0f a f b +≥，则22a b +的最小值是______．【答案】8 【解析】 【分析】由()()40f x f x +-=知()()4f b f b -=-，可将不等式变为()()4f a f b ≥-，利用函数单调性可得40a b +-≥，根据线性规划的知识，知22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方，从而可知所求最小值为O 到直线40a b +-=的距离的平方，利用点到直线距离公式求得结果.【详解】由()()40f x f x +-=得：()()4f b f b -=-()()0f a f b ∴+≥等价于()()()4f a f b f b ≥-=- ()f x 为R 上的增函数 4a b ∴≥-，即40a b +-≥则可知可行域如下图所示：则22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方 可知O 到直线40a b +-=的距离的平方为所求的最小值()222min482a b -∴+== 本题正确结果；8【点睛】本题考查函数单调性的应用、线性规划中的平方和型的最值的求解，关键是能够利用平方和的几何意义，将问题转化为两点间距离的最值的求解问题.10.若n a 是二项式(1)nx +展开式中2x 项的系数，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++=⎪⎝⎭______ 【答案】2 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式可得n a ，进而得到11121n a n n ⎛⎫=⨯- ⎪-⎝⎭，利用裂项相消法和数列极限的求解方法可求得结果.【详解】()1nx +的展开式通项公式为：rrn C x ()212n n n n a C -∴==()1211211n a n n n n ⎛⎫∴==⨯- ⎪--⎝⎭23111111111lim lim 212lim 122231n n n n a a a n n n →∞→∞→∞⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++⋅⋅⋅+=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 本题正确结果：2【点睛】本题考查数列中的极限的求解问题，关键是能够通过二项展开式的通项公式求得通项，从而确定采用裂项相消的方式求得数列各项的和.11.已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A 、B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，若2OA OB ⋅= （其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是______ 【答案】3 【解析】设直线AB 的方程为x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴的交点为(0,)M m . 联立2{x ty m y x=+=，可得20y ty m --=，根据韦达定理可得12y y m ⋅=-. ∵2OA OB ⋅=∴12122x x y y +=，即21212()20y y y y ⋅+⋅-=.∴2m =或1m =-（舍），即122y y ⋅=-. ∵点A ，B 位于x 轴的两侧∴不妨令点A 在x 轴的上方，则10y >. ∵1(,0)4F∴12111111922()32248ABO AFO S S y y y y y ∆∆+=⨯⨯-+⨯=+≥=，当且仅当143y =时取等号.∴ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3. 故答案为3.点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系及基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，其中通过韦达定理和2OA OB ⋅=推出122y y ⋅=-的表达式和运用基本不等式是解答的关键．12.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，如果对任意的实数λ，BA BC BCλ-≥恒成立，则c bb c+的取值范围是______【答案】⎡⎣【解析】 【分析】设E 为直线BC 上任意一点，且BE BC λ=，可知EA BC ≥恒成立，可知min EA 为边BC 的高h ，利用三角形面积公式可得：2sin a bc A ≤；结合余弦定理整理可得()sin 2cos sin c bA A A b cϕ+≤+=+，从而可得最大值，利用基本不等式可求得最小值，从而得到取值范围.【详解】设E 为直线BC 上任意一点，且BE BC λ= 则BA BC BA BE EA λ-=-= EA BC ∴≥恒成立 又minEA为边BC 的高h h a ∴≥恒成立2111sin 222ABC S ah bc A a ∆∴==≥ 2sin a bc A ∴≤ 由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+- 222cos sin b c bc A bc A ∴+-≤()222cos sinsin 2cos c b b c bc A bc AA A A b c bc bc ϕ++∴+=≤=+=+，其中tan 2ϕ=c b b c∴+≤2c bb c +≥（当且仅当b c =时取等号）c b b c⎡∴+∈⎣本题正确结果：⎡⎣【点睛】本题考查解三角形中的取值范围的求解问题，关键是能够通过恒成立的不等关系得到边长与三角形高的长度关系，利用三角形面积公式和余弦定理可构造出不等式，从而可求得最值.二.选择题13.已知,a b ∈R ，则“0ab =”是“220a b +=”的（ ）条件 A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的判定方式进行判定即可.【详解】当1a =，0b =时，0ab =，此时220a b +≠，可知充分条件不成立； 当220a b +=时，由20a ≥，20b ≥可知0a b ==，则0ab =，可知必要条件成立 则“0ab =”是“220a b +=”的必要不充分条件 本题正确选项：B【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题.14.将函数sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有的点向右平移4π个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图像的解析式为（ ） A. 5sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C. 5sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 5sin 224x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的左右平移和伸缩变换原则变化函数解析式即可得到结果.【详解】向右平移4π个单位长度得：5sin sin 4612y x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭横坐标扩大到原来的2倍得：5sin 212x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭本题正确选项：A【点睛】本题考查三角函数图象变换中的左右平移变换和伸缩变换，关键是明确两种变换均是针对于x 的变化.15.已知关于x 的方程20ax bx c ++=，其中,,a b c 都是非零向量，且,a b 不共线，则该方程的解的情况是（ ） A. 至少有一个解 B. 至多有一个解 C. 至多有两个解 D. 可能有无数个解【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知(),c a b R λμλμ=+∈，从而将方程整理为()()20x a x b λμ+++=，由,a b 不共线可得200x x λμ⎧+=⎨+=⎩，从而可知方程组至多有一个解，从而得到结果.【详解】由平面向量基本定理可得：(),c a b R λμλμ=+∈ 则方程20ax bx c ++=可变为：20ax bx a b λμ+++= 即：()()20xa xb λμ+++=,a b 不共线 200x x λμ⎧+=∴⎨+=⎩可知方程组可能无解，也可能有一个解∴方程20ax bx c ++=至多有一个解本题正确选项：B【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用定理将方程进行转化，利用向量和为零和向量不共线可得方程组，从而确定方程解的个数.16.如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图像大致是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】取线段1B A 中点为N ，计算得：1112N N ND 623N B A l A C l l =++=+<+==. 同理，当N 为线段AC 或C 1B 的中点时，计算得1112N N ND 6232N B l A C l =++=+<+=.符合C 项的图象特征. 故选：C三.解答题17.在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =.（1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小；（2）求直线11B C 与平面1A BC 的距离.【答案】(1). 【解析】 【分析】（1）1A CB ∠或其补角就是异直线11B C 与1A C 所成角，我们可证1A AB ∆为直角三角形且1A B .（2）先计算11A B BC V -，再利用等积法求1B 到平面1A BC 的距离，它就是直线11B C 到平面1A BC 的距离.【详解】(1)因为11B C BC ∥，所以1A CB ∠ (或其补角)是异直线11B C 与1A C 所成角. 因为BC AB ⊥，1BC BB ⊥，1AB BB B ⋂=， 所以BC ⊥平面1ABB ，所以1BC A B ⊥.1Rt A BC 中，11tan 1A B ACB BC ∠===1ACB ∠=，所以异面直线11B C 与1A C 所成角的大小为(2)因为11B C ∥平面1A BC ，所以11B C 到平面1A BC 的距离等于1B 到平面1A BC 的距离， 设1B 到平面1A BC 的距离为d ，因为111B A BC A BB C V V --=，11133A BC S d ∆∴⨯=111B BC S A B ∆⨯，可得d =，直线11B C 与平面1A BC . 【点睛】异面直线所成角的计算，可通过平移把空间角转化为平面角，在可解的三角形中求其大小.直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，求点面距时，注意利用题设中已有的线面垂直，如果没有，则利用面面垂直构建线面垂直，也可利用等积法求点面距.18.已知向量11,sin cos 222a x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭和向量()()1,b f x =，且//a b . （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）已知ABC ∆的三个内角分别为,,A B C，若有3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，BC =sin B =，求AC 的长度. 【答案】（1）最小正周期为2π，最大值为2；（2）2. 【解析】 【分析】由//a b 整理可得：()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭；（1）根据正弦型函数的最小正周期和最值的求解方法直接求得结果；（2）利用3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得sin A ，利用正弦定理求得结果.【详解】由//a b 得：()11sin cos 222f x x x =+ 则：()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭（1）()f x 最小正周期为：221T ππ== 当sin 13x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()max 2f x = （2）由3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭2sin A =sin A =由正弦定理可知：sin sin BCACA B=，即sin 2sin BC B AC A ⋅===【点睛】本题考查三角函数中的正弦型函数的最小正周期、最值的求解、解三角形中的正弦定理的应用，涉及到平面向量共线定理、辅助角公式的应用.19.某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t (025)t <≤，GF 是圆的切线，且GF AD ⊥，曲线BC 是抛物线250y ax =-+(0)a >的一部分，CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径.（1）若30CD =米，245AD =t 与a 的值；（2）若体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围. 【答案】（1）20t =，149a =；（2）1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程求得()0,50B ，从而可得半径，即50CD t =-，进而解得t ；通过圆E 的方程求得A 点坐标，从而得到C 点坐标，代入抛物线方程求得a ；（2）求解出C 点坐标后，可知5075tDF t a=-+≤，可整理为162550a t t≥++，利用基本不等式可求得162550t t++的最大值，从而可得a 的范围. 【详解】（1）由抛物线方程得：()0,50B 50BE t ∴=- 又BE ，CD 均为圆的半径 50CD t ∴=-，则503020t =-=∴圆E 的方程为：()2222030x y +-= ()105,0A ∴245105145OD AD AO ∴=-==，则()145,30C代入抛物线方程得：(230550a =-+，解得：149a =（2）由题意知，圆E 的半径为：50t -，即50CD t =-则C 点纵坐标为50t -，代入抛物线方程可得：x =OD =5075DF t ∴=-≤，整理可得：()216252550t a t t t≥=+++ (]0,25t ∈62550t t∴+≥=（当且仅当25t =时取等号）1162510050t t∴≤++ 1100a ∴≥ 即a 的取值范围为：1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数在实际生活中的应用问题，涉及到函数方程的求解、根据函数最值求解参数范围的问题，关键是能够通过分离变量的方式，得到所求变量和函数最值的关系，从而通过基本不等式求得最值，进而得到参数范围.20.已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=︒，圆O 的方程是222x y b +=. （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：||2||AB OM =【答案】（1）2212y x -=；（2）1229PP PP ⋅=；（3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）222b MF b a==，根据1230MF F ∠=可得21||2MF b =，利用双曲线的定义可得22b =从而得到双曲线的方程.（2）设点()00,P x y ，利用渐近线的斜率可以得到12,PP PP 夹角的余弦为13，利用点在双曲线上又可得12PP PP ⨯为定值23，故可得12·PP PP 的值. （3）设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为:002x x y y +=，证明2AB OM =等价于证明OA OB ⊥，也就是证明 12120x x y y +=，联立切线方程和双曲线方程，消元后利用韦达定理可以证明12120x x y y +=.【详解】(1)设2,F M 的坐标分别为,0)y因为点M 在双曲线C 上,所以22021+1y b b-=,即20y b =±,所以22||MF b =，在21Rt MF F ∆中, 1230MF F ∠=,22||MF b =,所以21||2MF b =， 由双曲线的定义可知: 212||||2MF MF b -==，故双曲线C 的方程为: 2212y x -=.(2)由条件可知:两条渐近线分别为10l y -=；20l y +=. 设双曲线C 上的点00(,)Q x y ,设1l 的倾斜角为θ，则tan θ=0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，所以cos 3θ=， 故21cos 22cos 13θθ=-=-， 所以12,PP PP 的夹角为2πθ-，且()1cos 23πθ-=.点Q 到两条渐近线距离分别为1||PP =，2||PP =.因为00(,)Q x y 在双曲线22:12y C x -=上,所以220022x y -= ，所以12|2PP PP ⋅=()2200212cos 2339x y πθ--=⋅=. (3)由题意,即证: OA OB ⊥,设1122(,),(,)A x y B x y ,切线l 的方程为: 002x x y y +=.00y ≠时,切线l 的方程代入双曲线C 中,化简得:(222000(2)4y x x x x -+20(24)0y -+=，所以01222004(2)x x x y x +=--，20122200(24)(2)y x x y x +=--. 又01021200(2)(2)x x x x y y y y --=⋅012201[42()x x x y =-+220012220082]2x x x x y x -+=-， 所以1212OA OB x x y y ⋅=+220022220000(24)82(2)2y x y x y x +-=-+--2200220042()02x y y x -+==-. 00y =时,易知上述结论也成立.所以12120OA OB x x y y ⋅=+=.综上, OA OB ⊥,所以||2||AB OM =.【点睛】（1）过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线()222210.0x y a b a b-=>> 交于,A B ，则22b AB a=（通径）. （2）直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理证明该关系式为恒等式.21.如果存在常数a ，使得数列{}n a 满足：若x 是数列{}n a 中的一项，则a x -也是数列{}n a 中的一项，称数列{}n a 为“兑换数列”，常数a 是它的“兑换系数”.（1）若数列：1,2,4,m (4)m >是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求m 和a 的值； （2）已知有穷等差数列{}n b 的项数是0n ()03n ≥，所有项之和是B ，求证：数列{}n b 是“兑换数列”，并用0n 和B 表示它的“兑换系数”；（3）对于一个不小于3项，且各项皆为正整数的递增数列{}n c ，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由.【答案】（1）a=6,m=5；（2）见解析；（3）02Ba n = 【解析】本试题主要考查了数列的运用。
上海市虹口区2021届高三一模数学试卷(含解析)
上海市虹口区2021届高三一模数学试卷一.填空题（本大题共12题，1～6每题4分，7～12每题5分，共54分）1．已知集合A＝{x|x+3＞0，x∈R}，B＝{x|x2+2x﹣8＜0，x∈R}，则A∩B＝．2．方程x2+2x+2＝0的根是．3．行列式的值等于．4．函数f（x）＝log2（2x+4）的反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（4）＝．5．从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有被选到的概率为.（用数字作答）6．在（2x+1）8的二项式展开式中，x2项的系数是．7．计算：＝．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝4，则p ＝．9．已知α∈（0，π），且有1﹣2sin2α＝cos2α，则cosα＝．10．设F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线右支上且满足|PF2|＝|F1F2|，双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，则cos∠PF1F2＝．11．若a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，且a、b、﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q+pq的值形成的集合是．12．已知数列{a n}满足a1＝﹣2，且S n＝+n（其中S n为数列{a n}前n项和），f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），则f（a2021）＝．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．若a＞b，则下列各式中恒正的是（）A．lg（a﹣b）B．a3﹣b3C．0.5a﹣0.5b D．|a|﹣|b|14．在△ABC中，若•+＝0，则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形15．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标依次是1、2、4，下列区间是函数f（x）单调递增区间的是（）A．[0，3]B．C．[3，6]D．16．在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A、B，过直线l做平面α，使得点A、B到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是（）A．1个B．2个C．3个D．无数个三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图在三棱锥P﹣ABC中，棱AB、AC、AP两两垂直，AB＝AC＝AP＝3，点M在AP上，且AM＝1．（1）求异面直线BM和PC所成的角的大小；（2）求三棱锥P﹣BMC的体积．18．（14分）已知函数f（x）＝（a+1）x2+（a﹣1）x+（a2﹣1），其中a∈R．（1）当f（x）是奇函数时，求实数a的值；（2）当函数f（x）在[2，+∞）上单调递增时，求实数a的取值范围．19．（16分）如图所示，A、B两处各有一个垃圾中转站，B在A的正东方向16km处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面P处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得A、B两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨．（1）当AP＝15km时，求∠APB的值；（2）发电厂尽量远离居民区，要求△P AB的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？20．（14分）已知点A（﹣1，0）、B（1，0），直线l：ax+by+c＝0（其中a，b，c∈R），点P在直线l上．（1）若a、b、c是常数列，求|PB|的最小值；（2）若a、b、c是成等差数列，且P A⊥l，求|PB|的最大值；（3）若a、b、c是成等比数列，且P A⊥l，求|PB|的取值范围．21．（18分）设x是实数，n是整数，若，则称n是数轴上与x最接近的整数．（1）数列{a n}的通项为a n，且对任意的正整数n，n是数轴上与a n最接近的整数，写出一个满足条件的数列{a n}的前三项；（2）数列{a n}的通项公式为a n＝n，其前n项和为S n，求证：整数a n是数轴上与实数最接近的整数；（3）T n是首项为2，公比为的等比数列的前n项和，d n是数轴上与T n最接近的正整数，求d1+d2+…+d2020．上海市虹口区2021届高三一模数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1～6每题4分，7～12每题5分，共54分）1．已知集合A＝{x|x+3＞0，x∈R}，B＝{x|x2+2x﹣8＜0，x∈R}，则A∩B＝（﹣3，2）．【分析】解关于A，B的不等式，求出A，B的交集即可．【解答】解：∵A＝{x|x+3＞0，x∈R}＝{x|x＞﹣3}，B＝{x|x2+2x﹣8＜0，x∈R}＝{x|﹣4＜x＜2}∴A∩B＝{x|﹣3＜x＜2}，故答案为：（﹣3，2）．【点评】本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2．方程x2+2x+2＝0的根是﹣1±i．【分析】先求出方程的判别式，再利用求根公式即可求解．【解答】解：因为判别式△＝4﹣8＝﹣4，所以由一元二次方程的求根公式可得方程的根为＝＝﹣1±i，故答案为：﹣1±i．【点评】本题考查了一元二次方程根的问题，涉及到复数问题，属于基础题．3．行列式的值等于1．【分析】利用行列式的计算公式即可得出．【解答】解：＝sinα（sinα+cosα）﹣cosα（sinα﹣cosα）＝sin2α+sinαcosα﹣cosαsinα+cos2α＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了行列式的计算公式，考查计算能力，属于基础题．4．函数f（x）＝log2（2x+4）的反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（4）＝6．【分析】由原函数的值域与其反函数的定义域的关系得对数方程，求解得答案．【解答】解：∵函数f（x）＝log2（2x+4）的反函数为y＝f﹣1（x），要求f﹣1（4）的值，即可求使得log2（2x+4）＝4的x值，由log2（2x+4）＝4，得2x+4＝16，则x＝6．∴f﹣1（4）＝6．故答案为：6．【点评】本题考查函数与其反函数间的关系，是基础的计算题．5．从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有被选到的概率为.（用数字作答）【分析】根据题意，由组合数公式计算从4人中选出2人的情况数目，而甲、乙两人都没有被选到，即丙丁被选到的情况有1种，由古典概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，有C42＝6种选法，则甲、乙两人都没有被选到，即丙丁被选到的情况有1种，则甲、乙两人都没有被选到的概率P＝，故答案为：．【点评】本题考查概率的计算，涉及组函数公式的应用，属于基础题．6．在（2x+1）8的二项式展开式中，x2项的系数是112．【分析】根据题意，求出（2x+1）8的展开式通项，分析可得当r＝6时，有T7＝C82（2x）2＝112x2，即可得答案．【解答】解：根据题意，（2x+1）8的展开式通项为T r+1＝C8r（2x）8﹣r，当r＝6时，有T7＝C82（2x）2＝112x2，即x2项的系数是112，故答案为：112．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意二项式定理的形式，属于基础题．7．计算：＝2．【分析】当n→+∞时，去绝对值，然后分子分母同时除以n，则极限值可求．【解答】解：＝＝．故答案为：2．【点评】本题考查数列的极限及其运算，是基础题．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝4，则p ＝2．【分析】求得抛物线的焦点，可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求得|AB|，解方程可得p的值．【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为（，0），可得直线AB的方程为x＝，代入抛物线方程可得y2＝p2，即y＝±p，即有|AB|＝2p＝4，解得p＝2，故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于基础题．9．已知α∈（0，π），且有1﹣2sin2α＝cos2α，则cosα＝．【分析】由二倍角公式和同角的三角函数关系，计算即可．【解答】解：由1﹣2sin2α＝cos2α，得1﹣cos2α＝2sin2α，即2sin2α＝4sinαcosα；又α∈（0，π），所以sinα≠0，所以sinα＝2cosα＞0；由sin2α+cos2α＝（2cosα）2+cos2α＝5cos2α＝1，解得cosα＝．故答案为：．【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数求值问题，是基础题．10．设F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线右支上且满足|PF2|＝|F1F2|，双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，则cos∠PF1F2＝．【分析】设双曲线的半焦距为c，求得双曲线的渐近线方程可得a，b，c的关系，求出△PF1F2的三条边，运用余弦定理可求cos∠PF1F2值．【解答】解：设双曲线的半焦距为c，由双曲线的渐近线方程，可得＝，则c＝＝＝a，在△PF1F2中，|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c+2a，由余弦定理可得cos∠PF1F2＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11．若a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，且a、b、﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q+pq的值形成的集合是{9}．【分析】由算术平均数和几何平均数的定义求出a＝，b＝，且a≥b＞﹣2，再由a、b、﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，列出方程组求出a＝4，b＝1，由此能求出p+q+pq的值形成的集合．【解答】解：∵a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，∴a＝，b＝，且a≥b＞﹣2，∵a、b、﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，∴，解得a＝4，b＝1，∴p+q＝8，pq＝1，∴p+q+pq＝9，∴p+q+pq的值形成的集合是{9}．故答案为：{9}．【点评】本题考查满足条件的集合的求法，考查算术平均数、几何平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．已知数列{a n}满足a1＝﹣2，且S n＝+n（其中S n为数列{a n}前n项和），f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），则f（a2021）＝0．【分析】由a n＝S n﹣S n﹣1，可推出a n＝﹣3n+1；由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2﹣x）＝f （x），可推出f（x）的周期性；再结合二项式定理，可证得a2021除4后余2，故f（a2021）＝f（2），从而得解．【解答】解：∵S n＝+n，∴S n﹣1＝a n﹣1+n﹣1（n≥2），两式相减得，a n＝S n﹣S n﹣1＝a n﹣a n﹣1+1，化简整理得，a﹣1＝3（a﹣1），∴＝3，即数列{a n﹣1}是以﹣3为首项，3为公比的等比数列，∴a n﹣1＝﹣3•3n﹣1＝﹣3n，∴a n＝﹣3n+1．∵f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），∴令x＝2，则f（2）＝f（0）＝0，令x＝x﹣2，则f（4﹣x）＝f（x﹣2）＝﹣f（2﹣x），∴f（4﹣x）＝﹣f（x）＝f（﹣x），即f（x）是以4为周期的周期函数．∵a2021＝﹣32021+1＝﹣（4﹣1）2021+1＝﹣[42021•（﹣1）0+42020•（﹣1）1+…+41•（﹣1）2020+40•（﹣1）2021]+1＝﹣[42021•（﹣1）0+42020•（﹣1）1+…+41•（﹣1）2020]+2，其中42021•（﹣1）0+42020•（﹣1）1+…+41•（﹣1）2020能被4整除，∴f（a2021）＝f（﹣32021+1）＝f（2）＝0．故答案为：0．【点评】本题考查数列通项公式的求法、函数的周期性，以及二项式定理，考查学生灵活运用知识的能力，逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．若a＞b，则下列各式中恒正的是（）A．lg（a﹣b）B．a3﹣b3C．0.5a﹣0.5b D．|a|﹣|b|【分析】对于选项A，D，分别给a，b取特殊值验证不成立即可，对于选项B，根据幂函数的单调性判断即可，选项C，根据指数函数的单调性判断即可求解．【解答】解：选项A：令a＝1，b＝，则a﹣b＝，而lg＝﹣lg2＜0，A错误，选项B：因为函数y＝x3在R上单调递增，又a＞b，所以有a3＞b3，则a3﹣b3＞0，B正确，选项C：因为函数y＝0.5x在R上单调递减，又a＞b，所以有0.5a＜0.5b，即0.5a﹣0.5b＜0，C错误，选项D：令a＝1，b＝﹣2，则|a|﹣|b|＝1﹣2＝﹣1＜0，D错误，故选：B．【点评】本题考查了幂函数以及指数函数的单调性，考查了特殊值法，属于基础题．14．在△ABC中，若•+＝0，则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】由条件求得•＝0，可得⊥，故∠A＝，由此可得△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，•+＝•（+）＝•＝0，∴⊥，∴∠A＝，则△ABC为直角三角形，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的条件，三角形形状的判定，属于基础题．15．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标依次是1、2、4，下列区间是函数f（x）单调递增区间的是（）A．[0，3]B．C．[3，6]D．【分析】三角函数的图象与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4，至少提供两个方面的信息①第一个交点与第三个交点的差是一个周期；②第一个交点与第二个交点的中点横坐标对应的函数值是最大值或最小值，从这两个方面考虑求得参数ω，φ，然后求出函数f（x）单调递增区间．【解答】解：与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4，知函数的周期为T＝＝4﹣1＝3，解得ω＝，再由三角函数的图象与直线y＝b（0＜b＜A）知，1与2的中点必为函数的最大值的横坐标，由五点法知×+φ＝，解得φ＝﹣，∴f（x）＝A sin（x﹣）＝﹣A cos（x），令2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，解得3k≤x≤3k+，k∈Z，∴当k＝0时，f（x）的单调递增区间是[3，]．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的解析式以及三角函数的图象与性质，属中档题．16．在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A、B，过直线l做平面α，使得点A、B到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是（）A．1个B．2个C．3个D．无数个【分析】通过直线AB与直线l的位置关系，画出图形，判断平面α的个数即可．【解答】解：①如图：当直线AB与l异面时，则只有一种情况；②当直线AB与l平行时，则由无数种情况，平面α可以绕着l转动；③如图，当直线l在AB的中垂面时，有两种情况．故选：C．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质的应用，是中档题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图在三棱锥P﹣ABC中，棱AB、AC、AP两两垂直，AB＝AC＝AP＝3，点M在AP上，且AM＝1．（1）求异面直线BM和PC所成的角的大小；（2）求三棱锥P﹣BMC的体积．【分析】（1）在AC上取点N，使AN＝AC＝1，易知∠BMN或其补角即为所求，在△BMN中，由余弦定理，即可得解；（2）由V＝V P﹣ABC﹣V M﹣ABC，即可得解．【解答】解：（1）在AC上取点N，使AN＝AC＝1，连接MN，BN，∵AP＝3，AM＝1，∴MN∥PC，∴∠BMN或其补角即为异面直线BM和PC所成的角，在△BMN中，BM＝，MN＝，BN＝，由余弦定理知，cos∠BMN＝＝＝，∴∠BMN＝arccos，∴异面直线BM和PC所成的角的大小为arccos．（2）V＝V P﹣ABC﹣V M﹣ABC＝S△ABC•（AP﹣AM）＝××3×3×2＝3，故三棱锥P﹣BMC的体积为3．【点评】本题考查棱锥的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想，找出异面直线的夹角，以及灵活运用割补法求体积是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算求解能力，属于基础题．18．（14分）已知函数f（x）＝（a+1）x2+（a﹣1）x+（a2﹣1），其中a∈R．（1）当f（x）是奇函数时，求实数a的值；（2）当函数f（x）在[2，+∞）上单调递增时，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合奇函数的定义代入即可直接求解；（2）分a+1＝0和a+1≠0两种情况讨论，利用二次函数的图象与性质即可求解．【解答】解：（1）由函数f（x）为奇函数可得f（﹣x）＝﹣f（x），则（a+1）（﹣x）2+（a﹣1）（﹣x）+（a2﹣1）＝﹣（a+1）x2﹣（a﹣1）x﹣（a2﹣1），所以，解得a＝﹣1．（2）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣2x，为减函数，不符合题意；当a≠﹣1时，函数f（x）＝（a+1）x2+（a﹣1）x+（a2﹣1）的对称轴为x＝﹣，因为函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，所以，解得a．综上，实数a的取值范围是．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查二次函数的图象与性质的应用，属于中档题．19．（16分）如图所示，A、B两处各有一个垃圾中转站，B在A的正东方向16km处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面P处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得A、B两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨．（1）当AP＝15km时，求∠APB的值；（2）发电厂尽量远离居民区，要求△P AB的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？【分析】（1）由题意可求得PB＝9，利用余弦定理可求cos∠APB的值，进而可求∠APB＝arccos．（2）设P A＝5x，则PB＝3x，利用余弦定理可求cos∠P AB＝+，利用同角三角函数基本关系式可得sin∠P AB＝，进而可求P到AB距离h＝，利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）由题意P A＝15，，可得PB＝9，可得cos∠APB＝＝＝，所以∠APB＝arccos．（2）cos∠P AB＝，设P A＝5x，则PB＝3x，可得cos∠P AB＝+，可得sin∠P AB＝，P到AB距离h＝P A sin∠P AB，h＝5＝＝，当x2﹣34＝0，即x＝，h取得最大值为15km，因此选址方案满足P A＝5km，PB＝3km．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20．（14分）已知点A（﹣1，0）、B（1，0），直线l：ax+by+c＝0（其中a，b，c∈R），点P在直线l上．（1）若a、b、c是常数列，求|PB|的最小值；（2）若a、b、c是成等差数列，且P A⊥l，求|PB|的最大值；（3）若a、b、c是成等比数列，且P A⊥l，求|PB|的取值范围．【分析】（1）依题意，可得a＝b＝c≠0，则直线l的方程为x+y+1＝0，进而求得|PB|的最小值；（2）a，b，c成等差数列时，可得直线l过点M（1，﹣2），而点P在以AM为直径的圆上，由此求得|PB|的最大值；（3）联立，由此可得点P的坐标，进而利用两点间的距离公式得到|PB|2，再利用函数的性质得解．【解答】解：（1）∵a、b、c是常数列，∴a＝b＝c≠0，∴直线l的方程为x+y+1＝0，∴点B到直线l的距离为，∴|PB|的最小值为；（2）当a，b，c成等差数列时，2b＝a+c，即a﹣2b+c＝0，直线l过点M（1，﹣2），由于P A⊥l，故点P在以AM为直径的圆上，此圆的圆心为C（0，﹣1），半径为，方程为x2+（y+1）2＝2，而点B在此圆上，故|PB|的最大值为；（3）由a，b，c成等比数列，得b2＝ac，a，b，c都不为0，由，得，∴＝，令，则，∴|PB|的取值范围为（1，2）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、点到直线的距离公式，圆的标准方程以及函数值域的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（18分）设x是实数，n是整数，若，则称n是数轴上与x最接近的整数．（1）数列{a n}的通项为a n，且对任意的正整数n，n是数轴上与a n最接近的整数，写出一个满足条件的数列{a n}的前三项；（2）数列{a n}的通项公式为a n＝n，其前n项和为S n，求证：整数a n是数轴上与实数最接近的整数；（3）T n是首项为2，公比为的等比数列的前n项和，d n是数轴上与T n最接近的正整数，求d1+d2+…+d2020．【分析】（1）由题意可得|a n﹣n|＜，可得a1＝1，a2＝2，a3＝3，满足条件；（2）由题意可得＝，可证|﹣a n|＝＜，由题意可得整数a n是数轴上与实数最接近的整数．（3）由题意T n＝，T n为递增数列，可求d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7，当n≥7时，|T n﹣6|＝6×（）n＜，可求d n＝6，即可求解d1+d2+…+d2020的值．【解答】解：（1）由题意可得a n＝n，可得|a n﹣n|＜，所以|a1﹣1|＜，a1＝1，满足条件；|a2﹣2|＜，a2＝2，满足条件；|a3﹣3|＜，a3＝3，满足条件；（2）因为a n＝n，所以S n＝，可得＝，所以|﹣a n|＝|﹣n|＝（﹣）＝＝＜，整数a n是数轴上与实数最接近的整数．（3）T n＝＝，T n为递增数列，T1＝2，所以d1＝2，T5＝，d5＝5；T2＝，所以d2＝3，T6＝，d6＝5；T3＝，所以d3＝4，T7＝，d7＝6；T6＝，所以d4＝5，当n≥7时，|T n﹣6|＝6×（）n＜，所以d n＝6，所以d1+d2+…+d2020＝2+3+4+5×3+6×2014＝12108．【点评】本题主要考查了等比数列的性质的应用，考查了新定义和特值法的应用，属于中档题．。
上海市虹口区2019-2020学年高考数学三模试卷含解析
上海市虹口区2019-2020学年高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的定义得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值. 【详解】依题意得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,22222211111()()()[(2sin )(2cos )]2sin 2cos 32sin 2cos f x g x x x x x x x+=+=+-+-----222212cos 2sin 14(2)(232sin 2cos 33x x x x --=++≥+=--(当且仅当222cos 2sin x x --222sin 2cos x x -=-，即221sin cos 2x x ==时“=”成立.此时,2()()3f x g x ==，42()3F x ∴≥，()F x ∴的最小值为23， 故选：A. 【点睛】本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2()()()F x f x g x ≥+，再由基本不等式求得最值，属于中档题.2．10212x ⎛ ⎝的展开式中有理项有（ ） A ．3项 B ．4项C ．5项D ．7项【答案】B 【解析】 【分析】由二项展开式定理求出通项，求出x 的指数为整数时r 的个数，即可求解. 【详解】720103110(1)2r r r r r T C x--+=-，010r ≤≤，当0r =，3，6，9时，1r T +为有理项，共4项. 故选:B. 【点睛】本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题. 3．已知函数21()(1)()2x f x ax x e a R =--∈若对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有123()()()f x f x f x +≥，则实数a 的取值范围是( ）A ．[]12， B ．[]e,4C ．[]14， D ．[)[]12,4e ⋃， 【答案】C 【解析】分析：先求导,再对a 分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥，得到关于a 的不等式组，再解不等式组得到实数a 的取值范围. 详解：由题得()[(1)]()xxxxf x ax e x e ax xe x a e =-+-=-=-'.当a ＜1时，()0f x '<，所以函数f （x ）在[]01，单调递减， 因为对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(1)(1)(0)f f f +≥， 所以111,22a a +≥ 故a≥1，与a ＜1矛盾，故a ＜1矛盾.当1≤a<e 时，函数f(x)在[0,lna]单调递增，在(lna,1]单调递减. 所以2max 1()(ln )ln ln ,2f x f a a a a a a ==-+ 因为对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(0)(1)(ln )f f f a +≥，所以2111ln ln ,22a a a a a a +≥-+ 即211ln ln 1022a a a a a -+-≤令211()ln ln 1,(1)22g a a a a a a a e =-+-≤<，所以21()(ln 1)0,2g a a =-<'所以函数g(a)在（1，e ）上单调递减，所以max 1()(1)02g a g ==-<， 所以当1≤a<e 时，满足题意.当a e ≥时，函数f(x)在(0,1)单调递增,因为对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(0)(0)(1)f f f +≥, 故1+112a ≥， 所以 4.a ≤ 故 4.e a ≤≤综上所述，a ∈[]14，. 故选C.点睛：本题的难点在于“对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥”的转化.由于是函数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口.4．已知锐角α满足2sin 21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】利用sin 22sin cos ,ααα=2cos 212sin αα=-代入计算即可. 【详解】由已知，24sin cos 2sin ααα=，因α为锐角，所以sin 0α≠，2cos sin αα=， 即tan α=2. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.5．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ） A ．1721B ．1928C ．79D ．2328【答案】B【解析】 【分析】首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A ，B ，C ”， 记事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”为E ，利用对立事件的概率公式计算可得； 【详解】解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为3984C =（个），则事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A ，B ，C ”记事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”为E ，则339319()128P E C =-=. 故选：B 【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题．6．已知复数z 满足(3)1i z i +=+，则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．iC ．–1D ．1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算可得2z i =--，即可得答案. 【详解】∵(3)1i z i +=+，∴131iz i i++==-， ∴2z i =--，∴复数z 的虚部为1-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念，考查运算求解能力，属于基础题. 7．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算以及几何意义即可求解. 【详解】 解：()()()21212222555i i i i z i i i i +-+====-+--+， 则复数2i z i =-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭， 位于第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.8．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v ，2AB =u u u v，1AC =u u u v ，AO AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =uu u v （ ） A ．73B．C ．7D【答案】D 【解析】 【分析】确定点O 为ABC ∆外心，代入化简得到56λ=，43μ=，再根据BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r 计算得到答案. 【详解】由OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r可知，点O 为ABC ∆外心，则2122AB AO AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，21122AC AO AC ⋅==u u u r u u u r u u u r ，又AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以2242,1,2AO AB AB AC AB AC AB AO AC AB AC AC AB AC λμλμλμλμ⎧⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ①因为42λμ-=，② 联立方程①②可得56λ=，43μ=，1AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ， 所以22227BC AC AB AC AB =+-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即BC =u u u r故选：D 【点睛】本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.9．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭U【答案】C 【解析】 【分析】()f x 恰有两个极值点，则()0f x ¢=恰有两个不同的解，求出()f x ¢可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02x g x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为()0,+?，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x ⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=.因为()f x 恰有两个极值点，所以()0f x ¢=恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，且这个解不等于1. 令()()e 02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在()0,+?上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.10．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种 A ．96 B ．120 C ．48 D ．72【答案】B 【解析】 【分析】间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另3盆隔开有3334A A ，扣除郁金香在两边有23232A A ，即可求出结论. 【详解】使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有33A 种， 然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有34A 种， 根据分步乘法计数原理有3334A A ，扣除郁金香在两边， 排2盆虞美人、1盆郁金香有222A 种， 再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有33A ， 根据分步计数原理有23232A A ，所以共有332334232120A A A A -=种.故选:B. 【点睛】本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理，不相邻问题插空法是解题的关键，属于中档题.11．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ）A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=，故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯，故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=,故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.12．设m r ，n r 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论． 【详解】因为m r ，n r 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=r r， 所以向量m r ，n r共线且方向相反， 所以0m n ⋅<r r，即充分性成立；反之，当向量m r ，n r 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<r r ，但此时m r ，n r不共线且反向，所以必要性不成立． 所以“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的充分不必要条件． 故选B ． 【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
卷08-备战2021年高考数学全真模拟卷(上海专用)3月卷(解析版)
绝密★启用前|学科网考试研究中心命制备战2021年高考数学【名校、地市好题必刷】全真模拟卷·3月卷第八模拟考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】 1．设集合{0,1,2}M =，{1,}N a =，若M N ⊇，则实数a =________ 【答案】0，2【分析】利用子集的定义即可求出a 的值.【详解】集合{0,1,2}M =，{1,}N a =，若M N ⊇，则a M ∈且1a ≠， 所以0a =或2，故答案为：0，2【点睛】本题主要考查了子集的定义，涉及元素的互异性，属于基础题.2．函数tan()26y x ππ=+的最小正周期为________【答案】2【分析】利用()tan y x ωϕ=+的最小正周期为T πω=求解即可. 【详解】因为()tan y x ωϕ=+的最小正周期为T πω=， 所以函数tan()26y x ππ=+的最小正周期为=22T ππ=故答案为：2【点睛】本题主要考查正切函数的周期公式，属于基础题.3．计算矩阵的乘积：()300c a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____.【答案】(3,)a ac【分析】直接利用矩阵的乘积公式求解即可.【详解】由题得()3(30,0)(3,)00c a b a b a c b a ac ⎛⎫=+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：(3,)a ac【点睛】本题主要考查矩阵的乘积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 4．不等式232xx >-的解集是________ 【答案】24,35⎛⎫⎪⎝⎭【分析】原不等式化为54032x x -<-，等价于()()54320x x --<，利用一元二次不等式的解法可得结果. 【详解】232xx >- 2032xx ⇔->- 45032xx -⇔>- 54032x x -⇔<- ()()54320x x ⇔--<2435x ⇔<< 故答案为：24,35⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查分式不等式以及一元二次不等式的解法，属于基础题,5．已知复数22(13)(3)(12)i i z i +-=-，则||z =______【答案】【分析】根据复数乘法与除法运算法则化简，再根据共轭复数概念以及模的定义求解.【详解】22(13)(3)(13)(68)26(12)34i i i i z i i i+-++===-----|||26|z i ∴=-+==故答案为：【点睛】本题考查复数乘法与除法运算、共轭复数概念以及模的定义关系，考查基本分析求解能力，属基础题.6．若双曲线的渐近线方程为2y x =±，它的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，则双曲线的标准方程为________【答案】22114x y -=【分析】根据抛物线焦点求出c =. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为2y x =±，所以2b a =，因为抛物线2y =的焦点为)，所以c =，所以，22255a b a +==，可得221,4a b ==，所以双曲线的标准方程为22114x y -=，故答案为：22114x y -=【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质，考查了抛物线的方程与焦点，属于基础题.7．已知0x >，0y >，1211x y +=+，则x y +的最小值为________【答案】【解析】因为0,0x y >>，所以10y +>，1212111()(1)111x y x yx y x y x y +=∴+=++-=+++-++121212122211y x y x x y x y ++=+++-=++≥+=+++．当且仅当1211121x y yx xy ⎧+=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩ 即1x y ==+x y +的最小值为2+． 8．已知数列{}n a 首项11a =，13n n a S +=*()n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =________【答案】*1,134,2,16n n n n N =⎧⎪⎨⋅≥∈⎪⎩ 【分析】当2n ≥时，13n n a S -=，和已知的式子相减，变形可得14n n a a += ()2n ≥，再求2a ，判断数列的形式，求通项公式.【详解】当2n ≥时，13n n a S -=， 两式相减得：()113n n n n a a S S +--=- 得：1134n n n n n a a a a a ++-=⇒=，即14n n a a += ()2n ≥ 2133a S ==，2134a a =≠， ∴数列{}n a 是从第二项起的等比数列，当2n ≥时，222343416nn n n a a q--⋅==⨯=. ∴数列{}n a 的通项公式是13416n n a ⎧⎪=⎨⋅⎪⎩ *12,n n n N =≥∈ 故答案为：13416nn a ⎧⎪=⎨⋅⎪⎩ *12,n n n N =≥∈ 【点睛】本题考查数列已知n S 求n a ，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型，本题的易错点是忽略n 的取值，从而认为数列{}n a 是等比数列.9．如图直三棱柱ABB 1-DCC 1中， BB 1⊥AB，AB=4，BC=2，CC 1=1，DC 上有一动点P ，则△APC 1周长的最小值是___________.【答案】5试题分析：要求周长的最小值，因边为定值，只要求另两边之和的最小值，因两点直线线段最短，所以的最小值为因此△APC 1周长的最小值是521+．考点：棱柱的相关知识.10．已知曲线C y =：直线2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是_________．【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过0AP AQ +=，说明A 是PQ 的中点，结合y 的范围，求出m 的范围即可．【详解】解：曲线:C y =，是以原点为圆心，3为半径的半圆（圆的下半部分）， 并且[3P y ∈-，0]，对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=， 说明A 是PQ 的中点，Q 的纵坐标2y =，21[,1]22py m +∴=∈-．故答案为：1[,1]2-．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．11．定义在R 上的函数()f x ，给出下列四个命题： ①若()f x 是偶函数，则(1)f x +的图像关于直线1x =对称； ②若(3)(3)f x f x +=--，则()f x 的图像关于点(3,0)对称；③若(3)(3)f x f x +=-，且(4)(4)f x f x +=-，则()f x 的一个周期为2； ④(3)y f x =+与(3)y f x =-的图像关于直线3x =对称； 其中正确命题的序号为________ 【答案】②③【分析】①若f （x ）是偶函数，则f （x ）的图象关于y 轴对称，f （x +1）的图象可由f （x ）图象向左平移1个单位得到，即可判断；②由f （x +a ）+f （a ﹣x ）＝2b ，则f （x ）的图象关于点（a ，b ）对称，即可判断； ③由函数的对称性得f （x +6）＝f （﹣x ），且f （x +8）＝f （﹣x ），即有f （x +2）＝f （x ），即可判断；④令x +3＝t ，则x ＝t ﹣3，则y ＝f （t ）和y ＝f （6﹣t ）的图象关于t ＝3对称，即可判断． 【详解】①若f （x ）是偶函数，则f （x ）的图象关于y 轴对称，f （x +1）的图象可由f （x ）图象向左平移1个单位得到， 故图象关于直线x ＝﹣1对称，故①错；②若f （x +3）＝﹣f （3﹣x ），即f （3+x ）+f （3﹣x ）＝0， 则f （x ）的图象关于点（3，0）对称，故②对； ③若f （x +3）＝f （3﹣x ），且f （x +4）＝f （4﹣x ），则f （x +6）＝f （﹣x ），且f （x +8）＝f （﹣x ），即有f （x +6）＝f （x +8）即有f （x +2）＝f （x ），则f （x ）的一个周期为2，故③对；④令x +3＝t ，则x ＝t ﹣3，则y ＝f （t ）和y ＝f （6﹣t ）的图象关于t ＝3对称， 则y ＝f （x +3）与y ＝f （3﹣x ）的图象关于直线x ＝0对称，故④错． 故答案为②③．【点睛】本题考查抽象函数及运用，考查函数的对称性和周期性及应用，属于中档题． 12．{}n a 为等差数列，则使等式12n a a a +++12111n a a a =++++++1233a a =+++++1235552019n n a a a a +=++++++=能成立的数列{}n a 的项数n 的最大值是_________. 【答案】40【分析】易得{}n a 中有正有负,再设1,k k a a -分别为由正变负或由负变正的临界两项,再去绝对值分析即可.【详解】易得{}n a 中有正有负,则数列{}n a 中的项一定满足100k k a a +>⎧⎨<⎩或100k k a a +>⎧⎨<⎩,且项数为偶数.不妨设100k k a a +>⎧⎨<⎩,设公差为d ,则此时10,0a d <>,且2n k =.k Z ∈又12n a a a +++12111n a a a =++++++1233a a =+++++1235552019n n a a a a +=++++++=.故5d >.故122019n a a a +++=有123122......k k k k a a a a a a a ++-----++++()()1231232122......k k k a a a a a a a a a -=-++++++++211(1)2(21)22201922k k k k ka d ka d k d --⎛⎫⎛⎫=-+++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为5d >,故222201920195403.85k d k k =>⇒<=.因为k Z ∈ 故20k ≤,40n ≤，故答案为：40【点睛】本题主要考查了数列的求和以及性质的分析,需要根据题意分析出公差满足的条件,再根据条件列出对应的表达式求范围即可.属于难题. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13．已知函数()y f x =是R 上的增函数，则对任意12,x x ∈R ，“12x x <”是“12()()f x f x <”的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要 D ．非充分非必要【答案】C【分析】先证明充分性，再证明必要性，即得解.【详解】当12x x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12()()f x f x <，所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分条件；当12()()f x f x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12x x <，所以所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的必要条件.综合得“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．已知0a b >>，若12lim 25n n n nn a b a b ++→∞-=-，则（ ）A ．25a =-B ．5a =-C ．25b =-D ．5b =-【答案】D【分析】由0a b >>，可得01ab<<，将原式变形，利用数列极限的性质求解即可 【详解】因为0a b >>，且12lim 25n n n n n a b a b ++→∞-=-，所以01a b <<， 可得12lim n n n nn a b a b++→∞-=-2220lim 25011nn n a a b b b b a b →∞⎛⎫⋅- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，5b ∴=-，故选：D. 【点睛】本题主要考查数列极限的性质与应用，属于基础题.15．若一个正三棱柱的主视图是如图所示的两个并列的正方形，则其侧面积．．．等于（ ）A．BC ．6D ．2【答案】C【分析】画出正三棱柱的立体图形，计算侧面积得到答案.【详解】如图所示：画出正三棱柱的立体图形，底面棱长为2，高为1 故侧面积为：2136⨯⨯= ，故选：C【点睛】本题考查了主视图和侧面积，属于简单题.16．已知O 是正三角形ABC 内部的一点，230OA OB OC ++=，则OAC ∆的面积与OAB ∆的面积之比是 A ．32B ．23C ．2D ．1【答案】B试题分析：如下图所示，D 、E 分别是BC 、AC 中点，由230OA OB OC ++=得()2OA OC OB OC +=-+即2OE OD =-，所以2OE OD =，设正三角形的边长为，则OAC ∆底边AC 上的高为13AC h BE a ==，OAB ∆底边AB 上的高为1322AB h BE a ==，所以12213322ACOACOABAB AC h S a S AB h a ∆∆⋅⨯===⋅⨯，故选B .考点：1.向量的几何运算；2.数乘向量的几何意义；3.三角形的面积.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)如图所示，在三棱锥P ABC -中，PD ⊥平面ABC ，且垂足D 在棱AC 上，1AD =，AB BC ==3CD =，PD =（1）证明：△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角θ的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法，即可证得PBC ∆为直角三角形； （2）求出平面PBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解直线AP 与平面PBC 所成角θ的正弦值.【详解】（1）由题意，取AC 的中点F ，以点F 为坐标原点，以,FB FC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -，则(0,2,0),(0,B C P -， 于是(2,1,3),(2,2,0)BP BC =--=-,因为((2,0)2200BP BC ⋅=--⋅=-+=， 所以BP BC ⊥，即BP BC ⊥，所以PBC ∆为直角三角形. （2）由（1）可得(0,2,0)A -,于是(0,1,3),(2,1,3),(0,3,AP PB PC ==-=， 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PB n PC⎧⋅=⎨⋅=⎩，即030y y +-==⎪⎩，取1y =，则z z ==，所以平面PBC的法向量为(2,1,n =，所以46sin cos cos ,n326AP n AP AP nθθ，所以直线AP 与平面PBC .【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算和向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)已知ABC 的角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，设向量(),m a b =，()sin ,sin n B A =，()2,2p b a =--．（1）若//m n ，判断ABC 的形状；（2）若m p ⊥，边长2c =，60C ︒∠=，求ABC 的面积．【答案】（1）等腰三角形；（2【分析】（1）根据//m n ，利用向量平行的坐标表示，可直接根据边的关系，判断三角形的形状；（2）根据向量垂直的数量积的坐标表示可得ab a b =+，再根据余弦定理()22243a b ab a b ab =+-=+-，两式联立可直接求得ab ，并求得三角形的面积.【详解】（1）若//m n ，则sin sin 0a A b B -=，即220a b -=， 解得：a b =，ABC ∆是等腰三角形. （2）若m p ⊥，则()()220a b b a -+-=， 解得：ab a b =+，根据余弦定理可得：2222cos60c a b ab =+-，即()22243a b ab a b ab =+-=+-，即()2340ab ab --= ()()140ab ab +-=解得：1ab =-（舍）或4ab = ，11sin 422ABC S ab C ∆==⨯=所以ABC ∆【点睛】本题考查向量和解三角形的综合问题，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.19. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长0050．记 2016 年为第 1 年，()f n 为第 1 年至此后第 ()N n n *∈年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 ()f n 为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 ()f n 的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【答案】(1)3272nn ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）2023. 试题分析：（1）由题意知，第一年至此后第()N n n *∈年的累计投入为()821n +-（千万元），第1年至此后第()N n n *∈年的累计净收入为1211131313...2222222n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用等比数列数列的求和公式可得()f n ；（2）由()()131422n f n f n ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，利用指数函数的单调性即可得出.试题解析：（1）由题意知，第1年至此后第n （n∈N *）年的累计投入为8+2（n ﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n （n∈N *）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利；方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)已知过椭圆方程2212xy+=右焦点F、斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点.（1）求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ △的面积；（3）在线段OF 上是否存在点(),0M m ，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）2；（2）23；（3）存在，102m <<. 【分析】（1）根据题中所给的方程，求得,b c 的值，代入菱形面积公式得到答案；（2）右焦点(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由题设条件知，1211,3y y =-=，由此可求出POQ △的面积； （3）假设在线段OF 上是否存在点(),0(01)M m m <<，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，由题意知2222)202142(-=+-+x k x k k ，将PQ 中点D 坐标用k 表示，利用MD PQ ⊥，建立关于k 方程，再由方程有解，即可求出m 的范围.【详解】（1）由椭圆方程2212x y +=得222,1a b ==，则2221c a b =-=， 所以椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积112222222S b c =⨯⨯=⨯⨯=；（2）右焦点(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由22112y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得23210y y +-=， 解得1211,3y y =-=， 所以121112=12233POQ S OF y y ⋅-=--=△；（3）假设在线段OF 上是否存在点(),0(01)M m m <<，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形，因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠， 由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222)202142(-=+-+x k x k k ， 所以22121222422,1212k k x x x x k k-+==++， 设PQ 中点为00(,)D x y ，则MD PQ ⊥，212000222,(1)21212x x k k x y k x k k +===-=-++，即2222(,)1212k k D k k -++， 222211222(1)12MD k k k k k k m m k m k --+===----+， 整理得2(12)k m m -=，关于k 的方程有解，所以(12)0m m ->，102m <<. 所以满足条件的点M 存在，且m 的取值范围是102m <<. 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，利用根与系数关系设而不求是解决相交点坐标常用的方法，考查计算求解能力，属于中档题.21. (本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)我们把定义在R 上，且满足()()f x T af x +=（其中常数a ，T 满足1a ≠，0a ≠，0T ≠）的函数叫做似周期函数．（1）若某个似周期函数()y f x =满足1T =且图像关于直线1x =对称．求证：函数()f x 是偶函数；（2）当1T =，2a =时，某个似周期函数在01x ≤<时的解析式为()()1f x x x =-，求函数()y f x =，[),1,x n n n Z ∈+∈的解析式；（3）对于确定的0T >且0x T <≤时，()31f x x =+，试研究似周期函数()y f x =在区间()0,∞+上是否可能是单调函数？若可能，求出a 的取值范围；若不可能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）()2()(1)n f x x n n x =-+-，[,1)()x n n n z ∈+∈；（3）a 的取值范围为31a T ≥+，理由见解析.【分析】（1）先阅读新定义，再利用偶函数的定义证明即可；（2）由01x ≤<时的解析式为()(1)f x x x =-，结合函数的周期求解即可；（3）由分段函数在各段上的单调性，研究函数在整体上的单调性，从而得解.【详解】（1）因为函数()y f x =的图像关于直线1x =对称，则()1(1)f x f x -=+， 又函数()y f x =满足1T =，则(1)()f x af x +=，用x -替换x 得(1)()f x af x -+=-， 则()()af x af x -=，又1a ≠，0a ≠，所以()()f x f x -=，故函数()f x 是偶函数；（2）似周期函数在01x ≤<时的解析式为()(1)f x x x =-，当[,1),()x n n n z ∈+∈时，[0,1)x n -∈，()22(1)2(2)...2()n f x f x f x f x n =-=-==-=2()(1)n x n n x -+-，故()2()(1)n f x x n n x =-+-，[,1)()x n n n z ∈+∈；（3）当(1)nT x n T <≤+时，0x nT T <-≤，()()...()[3()1]n n f x af x T a f x nT a x nT =-==-=-+，显然当0a <时，函数()y f x =在区间()0,∞+上不是单调函数，又当0a >时，()[3()1]n f x a x nT =-+，(],(1)x nT n T ∈+是增函数，此时()(,(31)n n f x a a T ⎤∈+⎦， 若似周期函数()y f x =在区间()0,∞+上是单调函数，则只能是增函数，即1(31)n n a a T +≥+，即31a T ≥+，故a 的取值范围为31a T ≥+.【点睛】本题考查了对新定义函数的理解及分段函数的解析式的求法，重点考查了阅读能力及计算能力，属中档题.。
上海市虹口区2021届高三数学5月模拟考试 理（虹口三模）试题
虹口区2021届高三5月模拟考试（三模）数学学科（理科）（时刻120分钟，总分值150分）一、填空题（每题4分，总分值56分） 一、θ是第二象限角，那么2θ是第 象限角． 分析： 一或三二、复数z 知足1z z i -=-，那么此复数z 所对应的点的轨迹方程是 . 分析：0x y -=．3、已知全集U R =，集合{}2230,A x x x x R =-->∈,{}22B x m x m =-≤≤+,若(){}03U C A B x x ⋂=≤≤，那么实数m 的值为 . 分析：[]1,3U C A =-，则2m =4、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球 的体积之比为 .分析： 设底面半径为r ，那么它们的高2h r =23122V r r r ππ=⋅=，23212233V r r r ππ=⋅=，3343V r π=， 则123::3:1:2V V V =. 五、已知1tan 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 . 分析： 设6t πα=-，即6t πα=-，1tan 3t = 那么()222tan 3cos 2cos 2cos 231tan 5t t t t παπ⎛⎫+=-=-=-=-⎪+⎝⎭. 六、概念在R 上的奇函数()f x ，()12f -=，且当0x ≥时， ()()22xf x a x b =+++（,a b 为常数），那么()10f -的值为 .分析：()010f b =+=，b a f f +++=-=--=222)1()1(，则1-=b ,5-=a ，当0x ≥时，132)(--=x x f x ，993)10()10(-=-=-f f .7、公差不为零的等差数列}{n a 中，237110a a a -+=，数列}{n b 是等比数列，且77a b =，那么1213b b b ⋅等于 .分析： 等差数列}{n a 中，237110a a a -+=，那么27720a a -=，70,2a =取772b a ==，13131213728192b b b b ⋅===.八、已知等差数列{}n a 的通项公式为35n a n =-，那么5671)1)1)x x x +++++（（（的展开式中4x 项的系数是数列{}n a 中的第 项． 分析： 20九、已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点O ，极轴与x 轴的非负半轴重合.假设直线l 的极坐标方程为3πθ=)R ρ∈（，曲线C 的参数方程为2cos 1cos2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数，且)R θ∈，那么直线l 与曲线C 的交点的直角坐标为 .分析：0,0)（；注意参数方程中22x -≤≤10、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，假设取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分很多于7分的取法有多少种 . 分析：设取红球x 个，白球y 个，那么5(04)27(06)x y x x y y +=≤≤⎧⎨+≥≤≤⎩234,,321x x x y y y ===⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨===⎩⎩⎩，取法为233241464646186C C C C C C ++=. 1一、棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -及其内部一动点P ，集合{}1Q P PA =≤,那么集合Q 组成的几何体表面积为 .分析： 221151341484S πππ=⋅⋅+⋅⋅= . 1二、P 是双曲线221916x y －＝的右支上一点，M 、N 别离是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，那么PM PN -的最大值等于 .分析：两个圆心正好是双曲线的核心，21max +=PF PM ，22max -=PF PN ，再依照双曲线的概念得PM PN -的最大值等于9.13、设,x y 为实数，且知足：()()32014201320142013x x -+-=-，()()32014201320142013y y -+-=，那么x y += .分析：()()()()332014201320142014201320142013x x y y -+-=-+-=-，令()()32013f t t t t R =+∈，那么()f t 是递增函数，且()()20142014f x f y -=- 则20142014x y -=-，即4028x y +=.14、在区间[]0,π上，关于α的方程5sin 45cos 2αα+=+解的个数为 ． 分析：令5cos 5sin x y αα=⎧⎨=⎩，[]0,απ∈，那么2225x y +=，[]0,5y ∈5sin 45cos 2αα+=+化为24y x =+-考察2225x y +=的上半圆与函数24y x =+-的图象可知有一个公共点， 故关于α的方程5sin 45cos 2αα+=+有1个解. 二、选择题（每题5分，总分值20分） 1五、已知θ为实数，假设复数)sin 211z iθθ=-+-是纯虚数，那么z 的虚部为（ ）A 、2B 、0C 、2-D 、2i -分析：sin 21sin 210410cos 2,2244k k k πθθπθππθθθππ⎧=⎧=+⎪-=⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨-≠≠⎪⎪≠+-⎩⎪⎩ 则()524k k Z πθπ=+∈12θ-=-，选C . 1六、“1=a ”是“函数()||f x x a b =-+（,a b R ∈）在区间[)1,+∞上为增函数”的( )A 、充分没必要要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也没必要要条件分析：1=a 时，()|1|f x x b =-+在[)1,+∞上为增函数；反之，()||f x x a b =-+在区间[)1,+∞上为增函数，那么1a ≤，应选A .17、若是函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值别离为M 、m ，那么()()()ba mb a f x M b a -≤∆≤-.依照这一结论求出2212x--∆的取值范围（ ）. A 、[0,3] B 、3[,3]16 C 、33[,]162 D 、3[,3]2分析：求22x -在[]2,1-上的最值，选B .1八、如图，已知点(2,0)P ，正方形ABCD 内接于⊙22:2O x y +=，M 、N 别离为边AB 、BC 的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围是（ ）A 、[1,1]- B 、[C 、[2,2]- D 、[22-分析：OM ON ⊥ 且长度为1，可设sin ,cos (ααM )cos ,α，然后用坐标求解.也能够OP OM PM -=，答案选C . 三、解答题（总分值74分）1九、（此题总分值12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 直角梯形，AB ∥CD ，90BAD ∠=︒，P 是棱CD 上一点，2AB =，AD =13AA =，3CP =，1PD =.（1）求异面直线1A P 与1BC 所成的角； （2）求证：PB ⊥平面11BCC B .轴、z 轴成立解：（1）以D 原点，DA 、DC 、1DD 别离为x 轴、y空间直角坐标系.那么10,3)A ，(0,1,0)P ，20B ，），1(0,4,3)C .………………3分于是1(2,1,3)PA =-,1(2,3)BC =-,1111cos 12PA BC PA BC θ⋅===⋅,∴异面直线1A P 与1BC 所成的角的大小等于arccos 6.…………6分（2）过B 作BM CD ⊥交CD 于M ，在Rt BMC ∆中，PDCBAD 1C 1B 1A1y，PC 21PC PB =1B B ⊥平面20、（此题总分值14分）已知数列{}n a 和{}n b 知足：()()11,4,13213nn n n n a a a n b a n λ+==+-=--+，其中λ为实数，n 为正整数.（1）对任意实数λ，求证：123,,a a a 不成等比数列； （2）试判定数列{}n b 是不是为等比数列，并证明你的结论.解（1）证明：假设存在一个实数λ，使123,,a a a 是等比数列，那么有2213a a a =,即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 因此123,,a a a 不成等比数列.…………………………6分（2）因为()()()111121312112143n n n n n b a n a n ++++⎛⎫=--++=--+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭22(1)(321)33n n n a n b =--+=-……………………9分又1(18)b λ=-+,因此当18λ=-，10n b b ==，(n 为正整数)，现在{}n b 不是等比数列：……11分当18λ≠-时，10b ≠，由上式可知0n b ≠，∴123n n b b +=-(n 为正整数) ， 故当18λ≠-时，数列{}n b 是以()18λ-+为首项，－32为公比的等比数列.…………14分 2一、（此题总分值14分）如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离别离为1CA =km ，2DB =km ，AB 两头之间的距离为6km .（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A 、C 的张角与P 对B 、D 的张角相等，试确信点P 的位置.（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处置厂，使得Q 对C 、D 所张角最大，试确信点Q 的位置.解：（1）设PA x =，CPA α∠=，DPB β∠=.依题意有1tan x α=，2tan 6xβ=-.……………………3分 由tan tan αβ=，得126x x=-，解得2x =，故点P 应选在距A 点2km 处.…………6分（2）设PA x =，CQA α∠=，DQB β∠=. 依题意有1tan x α=，2tan 6xβ=-， 21266tan tan[()]tan()126216x x x CQD x x x xπαβαβ++-∠=-+=-+=-=-+-⋅-…………10分 令6t x =+，由06x <<，得612t <<，2261tan 7462187418x t CQD x x t t t t+∠===-+-++-， ………………12分747455274663tt ≤+<+=，74118183t t ∴-≤+-<，当7418180t t -≤+-<，所张的角为钝角，最大角当6x =-时取得，故点Q 应选在距A 6km 处.………………14分2二、（此题总分值16分）阅读：应用上述解法，求解以下问题：（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111y a b c=++的最小值； （2）已知10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数1812y x x=+-的最小值； （3）已知正数1a 、2a 、3,,n a a ，1231n a a a a ++++=，求证：2222312122334112n n a a a a S a a a a a a a a =++++≥++++.解（1）()1111113b a c a c b y a b c a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫=++=++++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………………………………2分而6b a c a c ba b a c b c+++++≥， 当且仅当13a b c ===时取到等号，那么9y ≥，即111y a b c=++的最小值为9.…………………………5分（2）()28281222121028212212212x x y x x x x x x x x-⎛⎫=+=+⋅+-=+⋅+⋅ ⎪---⎝⎭， ………………………………7分而10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，122288212x x x x-⋅+⋅≥=-， 当且仅当12228212x xx x-⋅=⋅-，即110,62x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取到等号，那么18y ≥， 因此函数1812y x x=+-的最小值为18.……………………10分 （3）()()()2221212231122312nn n a a a S a a a a a a a a a a a a ⎛⎫=+++++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭当且仅当121n a a a n ====时取到等号，那么12S ≥.………………16分 23、（此题总分值18分）已知函数2()5b f x ax x=++(常数,a b R ∈）知足(1)(1)14f f +-=.（1）求出a 的值，并就常数b 的不同取值讨论函数()f x 奇偶性；（2）假设()f x 在区间-∞（，上单调递减，求b 的最小值；（3）在（2）的条件下，当b 取最小值时，证明：()f x 恰有一个零点q 且存在递增的正整数数列{}n a ，使得31225n a a a a q q q q =+++++成立.解：（1）由(1)(1)14f f +-=得5)(5)14a b a b +++-+=（，解得2a =. 从而2()25bf x x x=++，概念域为00-∞⋃+∞（，）（，）当0b =时，关于概念域内的任意x ，有2()()25f x f x x -==+，()f x 为偶函数……2分当0b ≠时，(1)(1)140f f +-=≠从而(1)(1)f f -≠，()f x 不是奇函数；(1)(1)20f f b --=-≠，()f x 不是偶函数，()f x ∴非奇非偶.………………4分（2）关于任意的12x x <<12()()0f x f x ->恒成立，即2212122525b b x x x x ++-++（）（）>0，得1212122()0x x x x bx x -++>.…………6分12x x <<2312(xx >，122x x +<-12122()2x x x x -+>.又12122()b x x x x >+，2b ∴≤-，b 的最小值等于2-.………………10分 （3）在（2）的条件下，22()25f x x x=-+. 当0x <时，()0f x >恒成立，函数()f x 在0-∞（，）无零点.…………12分当0x >时，关于任意的210x x >>，恒有212121121()()2()()0f x f x x x x x x x -=-++>， 即21()()f x f x >，因此函数()f x 在0∞（，+）上递增，又123()048f =-<，(1)50f =>， ∴()f x 在114（，）是有一个零点q . 综上()f x 恰有一个零点q ，且1(,1)4q ∈……………………15分22()250f q q q =-+=，得3251q q=-， 又473231n qq q q q q -=+++++-，故473225n q q q q -=+++++，取32n a n =-…………………………18分。
2021年上海市虹口区高考数学一模试卷填空与解答题综合练习含答案
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π） C．D．（0，π]14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣115．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A 作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求S n；（2）如果对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，求S n；（3）如果对于一切正整数n，均有a n+a n+1=3S n，证明：a3n﹣1能被8整除．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π） C．D．（0，π]【解答】解：∵异面直线a和b所成的角为θ，∴θ的范围是（0，]．故选：C．14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣1【解答】解：命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”；即“若x≠1，则x≠1且x≠﹣1”．故选：C．15．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．【解答】解：∵函数，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=1009×f（﹣1）+1008×f（0）=1009×2﹣1+1008×20=．故选：D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．【解答】解：以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则B（4，0），C（0，6），∵||=2，∴M的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆．∵，∴N是MC的中点．设M（2cosα，2sinα），则N（cosα，sinα+3），∴=（cosα﹣4，sinα+3），∴||2=（cosα﹣4）2+（sinα+3）2=6sinα﹣8cosα+26=10sin（α﹣φ）+26，∴当sin（α﹣φ）=﹣1时，||取得最小值=4，当sin（α﹣φ）=1时，||取得最大值=6．故选B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．【解答】证明：（1）在三棱锥P﹣ABC中，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．∴PM⊥AC，AB⊥平面PAC，∴PM⊥AB，∵AB∩AC=A，∴PM⊥平面ABC．解：（2）连结BM，∵PM⊥平面ABC，∴∠PBM是直线PB和平面ABC所成的角，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点，∴PM==，BM===，∴tan∠PBM===，∴．∴直线PB和平面ABC所成的角为arctan．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．【解答】解：函数=sinωx+cosωx=2sin （ωx），（1）∵函数的最小正周期等于π．即∴ω=2．可得f（x）=2sin（2x），由2x，k∈Z得：≤x≤故得函数的单调递增区间为[，]，k∈Z（2）∵f（x）=2sin（2x），当，（2x）∈[]∴当2x=时，函数f（x）取得最大值为2．当2x=时，函数f（x）取得最小值为﹣1．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．【解答】解：（1）设AQ=x，则由得：即AP=故S==（x＞1）；（2）由（1）得：S′=（x＞1）；当x∈（1，2）时，S′＜0，当x∈（2，+∞）时，S′＞0，故x=2时，S min=4．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A 作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．【解答】解：（1）如图，以FK的中点为坐标原点O，FK所在的直线为x轴，过O的垂线为y轴建立直角坐标系，即有F（，0），直线l：x=﹣，动圆M过点F且与直线l相切，可得|AE|=|AF|，由抛物线的定义可得曲线C的轨迹为F为焦点、直线l为准线的抛物线，可得方程为y2=2px；（2）点A到直线l的距离为d，可得|AE|=|AF|=d，且，设A（x0，y0），可得y02=2px0，即有d=x0+，则x0=d﹣，即有|EF|2=p2+y02=p2+2p（d﹣）=2pd，在△EAF中，cos∠EAF==1﹣，可得﹣≤cos∠EAF≤，可得arccos≤π﹣arccos，则∠EAF的取值范围是[arccos]；（3）∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．设A（x0，y0），可得y02=2px0，当A与O重合时，显然一个交点；当A不与O重合，由∠EAF的平分线交x轴于M，连接EM，可得∠AMF=∠MAF，即有|MF|=|AF|=d，四边形AEMF为菱形，EF垂直平分AM，可得∠AMF+∠EFM=90°，tan∠AMF=cot∠EFM==，可设y0＞0，则直线AM的方程为y﹣y0=（x﹣x0），则y0y﹣y02=px﹣px0，化为y0y=px+px0，代入抛物线的方程y2=2px，消去x可得，y2﹣2y0y+2px0=0，即为（y﹣y0）2=0，可得y=y0，x=x0，即∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求S n；（2）如果对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，求S n；（3）如果对于一切正整数n，均有a n+a n+1=3S n，证明：a3n﹣1能被8整除．【解答】解：（1）∵无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．a2=2，且对于一切正整数n，均有，∴==1，=，由此猜想=23﹣n．再利用数学归纳法证明：①当n=1时，=4，成立．②假设n=k时，成立，即，则a k====2（6﹣2k）﹣（4﹣k）=22﹣k=23﹣（k+1）．+1由①②得，∴{a n}是首项为4，公比为的等比数列，∴S n==8（1﹣）．（2）∵对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，∴S n=a n a n+1，S n﹣1=a n﹣1a n，∴a n=a n（a n+1﹣a n﹣1），∴a n+1﹣a n﹣1=1．a1=4，由a n•a n+1=S n，得a2=1，a3=5，a4=3，…∴当n为偶数时，+===．当n为奇数时，S n =++==．证明：（3）∵对于一切正整数n，均有a n+a n+1=3S n，∴a n+a n+1=3S n，a n﹣1+a n=3S n﹣1，﹣a n﹣1=3a n，∴a n+1a1+a2=3a1，a2=2a1=8，能被8整除，a3﹣a1=3a2，a3=28，假设a3k﹣1=8m，m∈N*．=3a2k+1+a3k=3（3a3k+a3k﹣1）+a3k则a3k+2=10a3k+a3k﹣1=40p+24q，p，q∈N*能被8整除，能被8整除．综上，a3n﹣1。
卷06-备战2021年高考数学全真模拟卷(上海专用)3月卷(解析版)
绝密★启用前|学科网考试研究中心命制备战2021年高考数学【名校、地市好题必刷】全真模拟卷·3月卷第六模拟考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．已知集合{|30,}A x x x =+>∈R ，2{|280,}B x x x x =+-<∈R ，则A B =___________. 【答案】(3,2)-【分析】分别求出集合A ，集合B ，再利用集合间的运算计算即可. 【详解】解：{|30,}A x x x =+>∈R{|3,}A x x x ∴=>-∈R ，又2{|280,}B x x x x =+-<∈R ，由2280x x +-<， 解得：42x -<<，{|42,}B x x x ∴=-<<∈R ，()3,2A B ∴=-， 故答案为：(3,2)-.2．方程2220x x ++=的根是___________. 【答案】1i -±【分析】先分析出方程有虚根，然后直接利用求根公式求解出方程的根. 【详解】因为222440∆=-⨯=-<，所以方程有两个虚根，因为2220x x ++=，所以x =，所以1x i =-±， 故答案为：1i -±.3．行列式sin sin cos cos sin cos αααααα-+的值等于___________.【答案】1【分析】根据行列式的值的计算方法直接列式计算出结果.【详解】行列式sin sin cos cos sin cos αααααα-+的值为：()()22sin sin cos cos sin cos sin cos 1αααααααα+--=+=， 故答案为：1.4．函数2()log (24)f x x =+的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -=___________. 【答案】6【分析】令2()log (24)4f x x =+=，求出x 的值即得解.【详解】令2()log (24)4f x x =+=，所以424216x +==，所以6x =， 根据反函数的性质得1(4)f -=6.故答案为：6【点睛】结论点睛：反函数和原函数的图象关于直线y x =对称，如果1()f a b -=，则()f b a =.求1(4)f -的值，等价于求原函数值为4时对应的x 的值.5．从甲､乙､丙､丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲､乙两人都没有被选到的概率为___________(用数字作答).【答案】16【分析】先计算出从4名同学中选2名同学的情况，再计算出甲､乙两人都没有被选到的情况，即可求出概率.【详解】解：从4名同学中选2名同学共有2443621C ⨯==⨯种, 甲､乙两人都没有被选到有1种，∴ 甲､乙两人都没有被选到的概率为16.6．二项式()821x +的展开式中含2x 项的系数是________. 【答案】112【分析】写出二项式()821x +的展开式的通项，令x 的指数为2，求出参数的值，代入通项可求得结果.【详解】二项式()821x +的展开式的通项为()88818822rr r r r r T C x C x ---+=⋅=⋅⋅，令82r -=，得6r =，因此，二项式()821x +的展开式中含2x 项的系数是6282112C ⋅=.故答案为：112.【点睛】本题考查利用二项展开式通项求指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.7．若关于x 、y 的方程组46132x y ax y +=⎧⎨-=⎩无解，则实数a =________【答案】2-【分析】先由方程无解判断平面内对应的两条直线平行，再利用平行关系列行列式计算参数即可.【详解】由题意关于x 、y 的方程组46132x y ax y +=⎧⎨-=⎩无解，即直线461x y +=和直线32ax y -=平行，故4612603D a a ==--=-，所以2a =-，此时直线32ax y -=即464x y +=-，确实与461x y +=平行，故满足题意，所以实数2a =-. 故答案为：-2.8．用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为_________. 【答案】48【分析】先分析百位数再分析个位数求解即可.【详解】由题,百位不能为0,且个位为奇数.当百位为1,3,5其中一个时,奇数的个数为32424⨯⨯=个.当百位为2,4其中一个时, 奇数的个数为23424⨯⨯=.故共有242448+=个奇数. 故答案为：48【点睛】本题主要考查了根据分步计数原理解决特殊位置类的排列问题,属于基础题. 9．若23(2)n a b +的展开式中有一项为412ma b ，则m =__________． 【答案】60【分析】根据二项展开式的通项公式，得出23(2)n a b +的展开式的第1r +项，求出412a b 的系数，即可得出结果.【详解】因为23(2)n a b +展开式的第1r +项为22312rn rn r r r n T C a b --+=，令224312n r r -=⎧⎨=⎩，解得64n r =⎧⎨=⎩，则426260m C ==.故答案为：60. 【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.10．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1x yC a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线分别交于D 、E 两点，若△ODE 的面积为1，则双曲线C 的焦距的最小值为________【答案】【分析】由题可得(,),(,)D a b E a b -，利用△ODE 的面积可得1ab =，根据222c a b =+利用基本不等式可求.【详解】双曲线的渐近线为by x a=±，所以(,),(,)D a b E a b -， 因为ODE 的面积为1，所以1212a b ⋅⋅=，即1ab =，因为222c a b =+，所以2c =≥= 当且仅当1a b ==时等号成立，即双曲线的焦距的最小值为.故答案为：11．已知函数()y f x =，对任意x ∈R ，都有(2)()f x f x k +⋅=（k 为常数），且当[0,2]x ∈时，2()1f x x =+，则(2021)f =________ 【答案】2【分析】由任意x ∈R ，都有(2)()f x f x k +⋅=，推得()f x 的周期为4，结合周期，即可求解.【详解】因为对任意x ∈R ，都有(2)()f x f x k +⋅=为常数，可得(4)(2)f x f x k +⋅+=， 从而(4)()f x f x +=，即()f x 的周期为4，所以(2021)(50541)(1)f f f =⨯+=， 又因为当[0,2]x ∈时，2()1f x x =+，则()12f =，即(2021)2f = 故答案为：2.12．已知点D 为圆22:4O x y +=的弦MN 的中点，点A 的坐标为(1,0)，且1AM AN ⋅=，则OA OD ⋅的最大值为________ 【答案】2【分析】设点(,)D x y ，得到(1,),(,)AD x y OD x y =-=，根据向量的数量积的运算，求得点(,)D x y 的轨迹方程，再由OA OD x ⋅=，即可求得OA OD ⋅的最大值.【详解】设点(,)D x y ，则()()()()AM AN AD DM AD DN AD DN AD DN ⋅=+⋅+=-⋅+()222222441AD DN AD ODAD OD =-=--=+-=，因为(1,),(,)AD x y OD x y =-=，所以2222(1)5x y x y -+++=，整理得221924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即为点(,)D x y 的轨迹方程为221924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以13222OA OD x ⋅=≤+=，故OA OD ⋅的最大值为2. 故答案为：2.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】 13．若a b >，则下列各式中恒正的是（ ） A ．lg()a b - B ．33a b - C ．0.50.5a b - D ．||||a b -【答案】B【分析】选项A ,如果01a b <-<，则lg()0a b -<，所以该选项错误； 选项,B 因为3()f x x =是R 上的增函数，所以该选项正确； 选项C ，因为函数0.5x y =是减函数，所以该选项错误； 选项D ，||||a b -有可能小于零，所以该选项错误.【详解】选项A ,lg()a b -中，如果01a b <-<，则lg()0a b -<，所以该选项错误； 选项,B 因为3()f x x =是R 上的增函数，a b >，所以33,a b >所以330a b ->，所以该选项正确；选项C ，因为函数0.5x y =是减函数，a b >，所以0.50.5a b <，所以0.50.50a b -<，所以该选项错误；选项D ，||||a b -有可能小于零，如：1,2,||||10a b a b ==--=-<，所以该选项错误. 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是灵活运用函数的性质，判断选项,B C 的真假，要联想到函数3(),()0.5x f x x f x ==的性质，利用性质判断就比较简洁.14．在ABC 中，若20AB BC AB ⋅+=，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】先利用数量积运算化简得到2cos ac B c =，再利用余弦定理化简得解. 【详解】因为20AB BC AB ⋅+=， 所以2cos()0ac B c π-+=， 所以2cos ac B c =，所以22222a c b ac c ac+-⨯=，所以222b c a +=， 所以三角形是直角三角形.故选：B【点睛】方法点睛：判断三角形的形状，常用的方法有：（1）边化角；（2）角化边.在边角互化时常利用正弦定理和余弦定理.15．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω)的图像与直线y b =(0b A <<)的三个相邻交点的横坐标依次是1､2､4，下列区间是函数()f x 单调递增区间的是（ ） A ．[0,3] B ．3[,3]2C ．[3,6]D ．9[3,]2【答案】D【分析】根据正弦函数的性质与已知的三个交点的横坐标得函数的对称轴与周期，从而可判断各选项． 【详解】∵0b A <<，∴12322x +==和2432x +==是函数()f x 图象的两条相邻的对称轴，3()2f 是最大值，(3)f 是最小值，这样最小正周期是3T =，∴()f x 在3[,3]2上递减，在9[3,]2上递增．故选：D ．16．在空间，已知直线l 及不在l 上两个不重合的点A ､B ，过直线l 做平面α，使得点A ､B 到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】C【分析】分情况讨论可得出.【详解】（1）如图，当直线AB 与l 异面时，则只有一种情况；（2）当直线AB 与l 平行时，则有无数种情况，平面α可以绕着l 转动；（3）如图，当l 过线段AB 的中垂面时，有两种情况.故选：C.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)如图，已知AB ⊥平面BCD ，,BC CD AD ⊥与平面BCD 所成角为30︒ ，且2AB BC ==()1求三棱锥A BCD -的体积；()2设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 【答案】(1)3(2)arccos 6【分析】（1）由AB ⊥平面BCD ，得到CD ⊥平面ABC ，由此利用棱锥的体积公式，即可求解；（2）以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，即可求解异面直线AD 与CM 所成角的大小． 【详解】（1）如图所示，因为AB ⊥平面BCD ， 所以AB CD ⊥，又BC CD ⊥，所以CD ⊥平面ABC ，因为AB ⊥平面BCD ，AD 与平面BCD 所成角为30︒，故30ADB ∠=, 又由2AB BC ==，可得4,AD AC ==,所以BD CD ====所以1111223326A BCD BCD V S AB BC CD AB -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=.（2）以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线，建立空间直角坐标系，则(0,2,2),(0,0,0),(0,2,0),A D C B M ， 可得(22,2,2),(2,1,0)AD CM =--=， 设异面直线AD 与CM 所成角为θ，则cos 64AD CM AD CMθ⋅===⋅, 所以异面直线AD 与CM 所成角为3arccos6．【点睛】本题主要考查了棱锥的体积的计算，以及直线与平面所成的角和异面直线所成角的求解，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，利用向量的夹角公式求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 18. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)已知函数21()sin 22f x x x =.（1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若锐角A 满足1()2f A =，6C π=，2c =，求ABC 的面积.【答案】（1）π；（21.【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式函数()y f x =化为基本三角函数形式，再利用周期公式计算即可；（2）先利用已知条件结合角的范围求角A ，再利用正弦定理和两角和与差的正弦公式求a 和sin B ，最后代入面积公式计算即可.【详解】解：（1）2111cos2()sin 2sin 2222x f x x x x +==1sin 2sin(2)23x x x π=-=-，所以最小正周期22T ππ==；（2）因为sin(2))21(23πf A A -=-=，所以1sin(2)32πA -=，又A 为锐角，即0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,333A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以236A ππ-=，得4A π=，又,26πC c ==，由正弦定理得sin sin a c A C=，解得a =而A B C π++=，故sin sin()sin 46ππB A C ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭， 所以ABC的面积11sin 2122S ac B ==⨯=.【点睛】思路点睛：解决三角函数的图像和性质的相关问题时，通常要结合二倍角公式和辅助角公式，先将函数化为()sin y A ωx φ=+的形式，再依题意计算其他量即可. 19. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0,16]x ∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x ∈时，曲线是函数0.880log ()y x a =++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【答案】（1）20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（2）14分钟.【分析】（1）根据题意，分别求得(0,16]x ∈和(16,40]x ∈上的解析式，即可求解； （2）当(0,16]x ∈和(16,40]x ∈时，令()68f x <，求得不等式的解集，即可求解. 【详解】（1）当(0,16]x ∈时，设函数2()(12)84(0)f x b x b =-+<， 因为2(16)(1612)8480f b =-+=，所以14b =-，所以21()(12)844f x x =--+， 当(16,40]x ∈时，0.8()log ()80f x x a =++，由0.8(16)log (16)8080f a =++=，解得15a =-，所以0.8()log (15)80f x x =-+，综上，函数的解析式为20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩.（2）当(0,16]x ∈时，令21()(12)84684f x x =--+<，即2(12)64x ->，解得4x <或20x >（舍去），所以[0,4]x ∈，当(16,40]x ∈时，令0.8()log (15)8068f x x =-+<，得12150.829.6x -≥+≈，所以[30,40]x ∈，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014-+-=分钟. 20. (本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)已知椭圆22:14x y Γ+=的左右顶点分别为A 、B ，P 为直线4x =上的动点，直线PA 与椭圆Γ的另一交点为C ，直线PB 与椭圆Γ的另一交点为D . （1）若点C 的坐标为(0,1)，求点P 的坐标；（2）若点P 的坐标为(4,1)，求以BD 为直径的圆的方程； （3）求证：直线CD 过定点.【答案】（1）(4,3)P ；（2）2215(1)24x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭；（3）证明见解析.【分析】（1）首先求直线AC 的方程，再令4x =求点P 的坐标；（2）首先求直线PB 的方程，与椭圆方程联立，求点D 的坐标，直接写出以BD 为直径的圆的方程；（3）首先设(4,)P t ，分别写出直线,PA PB 的方程，并求点,C D 的坐标，定点设为(m,0)E ，则,,C E D 三点共线，列方程求定点坐标.【详解】（1）因为(2,0),(0,1)A C -，所以直线PA 的方程为112y x =+， 令4x =，得3y =，所以(4,3)P ；（2）因为(2,0),(2,0),(4,1)A B P -，所以直线PB 的方程为1(2)2y x =-， 由22141(2)2x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得220x x -=，所以10,(2)12D D D x y x ==-=-，所以以BD 为直径的圆的方程为(2)(1)0x x y y -++=，即2215(1)24x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭；（3）设(4,)P t ，因为(2,0),(2,0)A B -，直线PA 的方程为(2)6ty x =+，由2214(2)6x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2222(9)44360t x t x t +++-=， 由韦达定理得2243629c t x t --=+，所以222189c t x t -+=+，所以26(2)69C C t ty x t =+=+，同理，直线PB 的方程为(2)2t y x =-，由2214(2)2x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得2222(1)4440t x t x t +-+-=， 由韦达定理得224421D t x t -=+，所以22221D t x t -=+，所以22(2)21D D t t y x t -=-=+，由椭圆的对称性知这样的定点在x 轴上，设为(m,0)E ，则,,C E D 三点共线，所以2222222186222,,,9911t t t t EC m ED m t t t t ⎛⎫⎛⎫-+--=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭共线， 所以22222221822269119t t t t m m t t t t ⎛⎫⎛⎫-+--⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立， 整理得2(44)12120m t m -+-=恒成立，所以1m =，故直线CD 过定点(1,0). 【点睛】求解直线过定点问题的基本思路： 1、把直线或曲线方程中的变量当作常数看待，既然过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部为零，得到一个关于的方程组，方程组的解所确定的就是直线或曲线过定点；2、由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式或斜截式方程，则可根据方程的形式，判定直线过定点问题.21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 对于数列{}n a ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{}n a 为P 数列.（1）若数列1，2，x ，8是P 数列，求实数x 的取值范围；（2）设数列1a ，2a ，3a ，⋅⋅⋅，10a 是首项为1-、公差为d 的等差数列，若该数列是P 数列，求d 的取值范围；（3）设无穷数列{}n a 是首项为a 、公比为q 的等比数列，有穷数列{}n b 、{}n c 是从{}n a中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别记为1T 、2T ，求证：当0a >且12T T =时，数列{}n a 不是P 数列.【答案】（1）35x <<；（2）80,27⎛⎫⎪⎝⎭；（3）证明见解析.【分析】（1）由P 数列的性质建立不等式组即可求解. （2）先求数列的前n 项和，再由1n n S a +<对1,2,3,9n =成立，整理1n n S a +<为n 的二次不等式，关于n 的二次函数的最大值小于0即可求解. （3）反证法，分情况讨论即可得出结论.【详解】解：（1）由题意得12812x x >+⎧⎨>++⎩，所以35x <<；实数x 的取值范围是35x <<.（2）由题意得，该数列的前n 项和为1(1),12n n n n S n d a nd +-=-+=-+， 由数列12310,,,,a a a a 是P 数列，得211a S a >=，故公差0d >，21311022n n d S a n d n +⎛⎫-=-++< ⎪⎝⎭对满足1,2,3,9n =的所有n 都成立，则239911022d d ⎛⎫⋅-++< ⎪⎝⎭，解得827d <，所以d 的取值范围是80,27⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）若{}n a 是P 数列，则12a S a aq =<=，因为0a >，所以1q >，又由1n n a S +>对所有n 都成立，得11n nq aq a q ->⋅-恒成立，即12n q q ⎛⎫-< ⎪⎝⎭恒成立，因为110,lim 0n nn q q →∞⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故20q -≤，所以2q ≥，若{}n b 中的每一项都在{}n c 中，则由这两数列是不同数列可知12T T <， 若{}n c 中的每一项都在{}n b 中，同理可得12T T ，若{}n b 中至少有一项不在{}n c 中，且{}n c 中至少有一项不在{}n b 中，设{}{},nn b c ''是将{}{},n n b c 中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列， 它们的所有项之和分别为12,T T ''，不妨设{}{},n n b c ''中的最大项在{}n b '中，设为)2(m a m ≥，则21211m m T a a a a T -''≤+++<≤，故总有21T T ''≠与21T T ''=矛盾，故假设错误，原命题正确.【点睛】关键点点睛：（1）（2）小题都由P 数列的性质建立不等式组确定待求实数的取值范围，只是（2）题中需转化为关于n的二次不等式恒成立，进一步需转化为关于n的二次函数的最大值小于0求解；（3）题根据“正难则反”的原则，考虑使用反证法，分情况讨论即可得出结论.。
卷07-备战2021年高考数学全真模拟卷(上海专用)3月卷(解析版)
绝密★启用前|学科网考试研究中心命制备战2021年高考数学【名校、地市好题必刷】全真模拟卷·3月卷第七模拟考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】 1．设集合{}1,2,3A =，集合{}3,4B =，则A B =_______. 【答案】{}3【分析】利用交集的定义可计算出集合A B .【详解】集合{}1,2,3A =，集合{}3,4B =，因此，{}3A B ⋂=. 故答案为：{}3.【点睛】本题考查交集的计算，熟悉交集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 2．不等式102x x -<+的解集是________. 【答案】{}21x x -<<【分析】将分式不等式化为整式不等式，利用二次不等式的求解方法，即可求得结果. 【详解】()()10120212x x x x x -<⇔-+<⇔-<<+. 故答案为：{|21}x x -<<【点睛】本题考查了分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，考查了转化的思想.属于基础题.3．已知复数z 满足(2)1z i -=（i 是虚数单位），则z =________ 【答案】2i +【分析】根据复数的运算法则进行化简，即可求解.【详解】因为(2)1z i -=，所以122z i i=+=-，所以2z i =+.故答案为：2i +. 4．设函数1()1f x x =+的反函数为1()f x -，则1(2)f -=________ 【答案】12-【分析】令2y =，求得12x =-，结合反函数的性质，即可求得1(2)f -的值. 【详解】由题意，函数1()1f x x =+，令2y =，即121x =+，解得12x =-，即11(2)2f -=-. 故答案为：12-.5．点(0,0)到直线2x y +=的距离是________【分析】直接利用点到直线的距离公式求解.【详解】由点到直线的距离公式得d ==6．计算：123lim (2)n nn n →∞+++⋅⋅⋅+=+________【答案】12【分析】直接利用极限和等差数列的求和的应用求出结果． 【详解】解：123lim lim lim ((1)112(2)2(2)22)n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++==++=+++.故答案为：127．计算：423lim 2n n n→∞-=___________.【答案】2【分析】将所求代数式变形为234423limlim22n n n n n→∞→∞--=，利用常见数列的极限可求得结果.【详解】将所求代数式变形为2344234limlim2222n n n nn→∞→∞--===. 故答案为：2.8．过抛物线22y px =(0p >)的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ､B 两点，且||4AB =，则p =___________. 【答案】2【分析】根据抛物线的焦半径公式表示出AB ，再根据AB 4=可直接求解出p 的值.【详解】设抛物线的焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由条件可知2A B F p x x x ===，所以222A B p pAB AF BF x x p =+=+++=，又AB 4=，所以2p =， 故答案为：2.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下（p 为焦准距） （1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =+； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+； （3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+； （4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 9．已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________.【分析】运用正弦、余弦的二倍角公式化简已知等式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=， 因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=(0,)2πα∈，因此cos 5α=.10．设1F ､2F 分别是双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的左､右焦点，点P 在双曲线右支上且满足212||||PF F F =，双曲线的渐近线方程为430x y ±=，则12cos PF F ∠=___________.【答案】45【分析】设双曲线的半焦距为c ，求得双曲线的渐近线方程可得a ，b ，c 的关系，求出12PF F 的三条边，运用余弦定理可求12cos PF F ∠值． 【详解】设双曲线的半焦距为c ， 由双曲线的渐近线方程，可得43b a =，则53c a ==， 在12PF F 中，212||||2PF F F c ==，1||22PF c a =+，由余弦定理可得22212(2)(22)(2)cos 22(22)c c a c PF F c c a ++-∠=⨯+54310253a aa c c a++===．故答案为：45． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是看到双曲线的焦半径，要马上联想到双曲线的定义解题.这是圆锥曲线的一个解题技巧，要注意熟练运用.11．若a 、b 分别是正数p 、q 的算术平均数和几何平均数，且a 、b 、2-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q pq ++的值形成的集合是___________. 【答案】{}9【分析】由已知条件可得2p qa +=，b =a b ≥，根据已知条件可得出关于a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，可求得p q +与pq 的值，即可得解. 【详解】由已知条件可得2p qa +=，b =由基本不等式可得02p qa b +=≥=>，所以，2a b ≥>-，由于a 、b 、2-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则有()2222b a ab a b=-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩，解得41a b =⎧⎨=⎩，所以，28p q a +==，21pq b ==，因此，819p q pq ++=+=. 故答案为：9.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于确定a 、b 的关系，结合已知条件得出关于a 、b 的方程组求解，进而可求得p q +与pq 的值.12．已知数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+(其中n S 为数列{}n a 前n 项和)，()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=，则2021()f a =___________. 【答案】0【分析】首先求出函数的周期性，再利用构造法求出数列{}n a 的通项公式，即可得到2021202113a =-，再根据二项式定理判断20213被4除的余数，即可计算可得；【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -= 所以()()()2f x f x f x -=+=-，()()()42f x f x f x +=-+= 所以()f x 的最小正周期为4又因为数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+①；当2n ≥时，11312n n S a n --=+-②；①减②得133122n n n a a a -=-+，所以132n n a a -=-，1311n n a a 所以{}1n a -以3-为首项，3为公比的等比数列，所以13n n a -=-，即13nn a =-所以2021202113a =-又()()2021202120211202020213414141C =-=++⋅-⋅-所以20213被4除余3所以()()()()()202120212021()133111200f a f f f f f =-=--=---===故答案为：0【点睛】本题考查函数的周期性的应用，若存在非零常数T ，若对定义域内任意的x 都有f x T f x ，则T 为函数的周期；二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】 13．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是A ．11a b >B ．a b ->C ．22a b >D ．33a b <【答案】D【解析】∵0a b << ∴设1,1a b =-=代入可知,,A B C 均不正确对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确 故选D14．正方体上点P 、Q 、R 、S 是其所在棱的中点，则直线PQ 与RS 异面的图形是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】A. 根据点P 、Q 、R 、S 是其所在棱的中点，判断 //RS PQ 即可；B.根据点P 、Q 、R 、S 是其所在棱的中点，判断//RS 平面11A ABB ，PQ 与 1B B 相交即可.C.根据点P 、Q 、R 、S 是其所在棱的中点，判断//PR SQ ，PR SQ ≠即可.D.根据点P 、Q 、R 、S 是其所在棱的中点，判断P ，Q ，R ，S 四点共面即可.【详解】A. 如图：因为点P 、Q 、R 、S 是其所在棱的中点，则11//,//RS AC PQ AC 又11//A C AC ，所以//RS PQ ，所以直线PQ 与RS 不是异面直线；B. 如图：因为点P 、Q 、R 、S 是其所在棱的中点，则1//RS B B RS ⊄ 平面11A ABB ，又1B B ⊂平面11A ABB ， 所以//RS 平面11A ABB ，PQ 与 1B B 相交，所以直线PQ 与RS 是异面直线； C. 如图：因为点P 、Q 、R 、S 是其所在棱的中点，//,//PR AC SQ AC ，所以//PR SQ ，又PR SQ ≠，所以 //RS PQ ，所以直线PQ 与RS 相交，不是异面直线； D. 如图：因为点P 、Q 、R 、S 是其所在棱的中点，则11//,//PS A B RQ D C ，又11//A B D C ，所以 //PS RQ ，所以P ，Q ，R ，S 四点共面，所以直线PQ 与RS 不是异面直线； 故选：B15．设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】对于任意的*2,m m m N a a +∈> ，即()210m a q >﹣ .可得：2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈，解出即可判断出结论. 【详解】解：对于任意的*2,m m m N a a +∈>，即()210m a q >﹣. ∴2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈， ∴01m a q ⎧⎨⎩＞＞，或001m a q ⎧⎨⎩＜＜＜.∴“{}n a 为递增数列”，反之也成立.∴“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的单调性，充分必要条件，是基础题.16．设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题： (1) 若()y f x =是奇函数，则()()y f f x =也是奇函数； (2) 若()y f x =是周期函数，则()()y f f x =也是周期函数； (3) 若()y f x =是单调递减函数，则()()y f f x =也是单调递减函数；(4) 若函数()y f x =存在反函数()1y f x -=，且函数()()1y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点． 其中正确的命题共有 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】(1)若()y f x =是奇函数，则()()f x f x -=-，∴()()()()()()f f x f f x f f x -=-=-也是奇函数，正确；(2) 若()y f x =是周期函数，则f x Tf x ，()()()()f f x T f f x +=也是周期函数，正确；(3)若()y f x =是单调递减函数，根据“同增异减”的原则，可得()()y f f x =也是单调递增函数，故(3)不正确；(4) 若函数()y f x =存在反函数()1y f x -=，且函数()()1y f x f x -=-有零点，即()y f x =的图象与()1y f x -=的图象有交点，而()y f x =的图象与()1y f x -=的图象关于直线y x =对称，但是这些交点可能只是关于直线y x =对称，函数()y f x x =-不一定有零点， 比如函数()11y x x=≠±，满足题意，但是函数()y f x x =-没有零点，即(4)不正确；故选B.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)如图在三棱锥P ABC -中，棱AB 、AC 、AP 两两垂直，3AB AC AP ===，点M 在AP 上，且1AM =.（1）求异面直线BM 和PC 所成的角的大小； （2）求三棱锥P BMC -的体积.【答案】（1）arccos10；（2）3. 【分析】（1）以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量法可求得异面直线BM 和PC 所成的角的大小； （2）计算出PMC △的面积，并推导出AB ⊥平面PMC ，利用锥体的体积公式可求得三棱锥P BMC -的体积.【详解】（1）由于AB 、AC 、AP 两两垂直，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如下图所示：则()3,0,0B 、()0,0,0A 、()0,3,0C 、()0,0,3P 、()0,0,1M ，()3,0,1BM =-，()0,3,3PC =-，cos ,10BM PC BM PC BM PC ⋅<>===⋅因此，异面直线BM 和PC 所成的角的大小为arccos 10； （2）AB AC ⊥，AB AP ⊥，AC AP A =，AB ∴⊥平面APC ，AC AP ⊥，1AM =，2PM AP AM ∴=-=，132PMC S PM AC ∴=⋅=△， 1133333B PMC PMC V S AB -=⋅=⨯⨯=△.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 18. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 已知函数22()(1)(1)(1)f x a x a x a =++-+-，其中a ∈R . （1）当()f x 是奇函数时，求实数a 的值；（2）当函数()f x 在[2,)+∞上单调递增时，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1a =-；（2）35a ≥-.【分析】（1）根据奇函数的性质，求a ，再验证；（2）根据二次函数的单调性，求解a 的取值范围.【详解】（1）因为函数()f x 是奇函数，所以()2010f a =-=，解得：1a =±， 当1a =时，()22f x x =，函数是偶函数，不成立，当1a =-时，()2f x x =-，函数是奇函数，成立， 则1a =-；（2）当1a =-时，()2f x x =-，函数在定义域上单调递减，不满足条件，当1a ≠-时，若函数在[)2,+∞单调递增时，满足()101221a a a +>⎧⎪-⎨-≤⎪+⎩ ，解得35a ≥-. 19. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)如图所示，A ､B 两处各有一个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16km 处，AB 的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面P 处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离(单位：km )与它们每天集中的生活垃圾量(单位：吨)成反比，现估测得A ､B 两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨.（1）当15km AP =时，求APB ∠的值；（2）发电厂尽量远离居民区，要求PAB △的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？【答案】（1）5arccos27；（2）PA =，PB =【分析】（1）根据已知条件先计算出BP 的长度，然后利用余弦定理求解出cos APB ∠的值，从而APB ∠的值可求；（2）建立平面直角坐标系，根据条件分析得到P 的轨迹，由此确定出PAB △的面积最大值，从而可求解出发电厂与两个垃圾中转站的距离.【详解】（1）根据条件可知：3050AP BP ⋅=⋅，所以9BP km =，所以222225812565cos 2215927AP BP AB APB AP BP +-+-∠===⋅⨯⨯，所以5arccos 27APB ∠=； （2）以AB 中点为坐标原点，垂直于AB 方向为y 轴，建立坐标系如图所示：设(),P x y ，()()8,0,8,0A B -，因为3050AP BP ⋅=⋅，所以53AP BP =，=22165441024160x x y -++=，所以2234640x x y -++=，所以()2217225x y -+=，所以P 的轨迹是圆心为()17,0，半径为15的位于x 轴上方的圆， 所以当PAB △的面积最大时，此时P 的坐标为()17,15，所以AP ==BP ==【点睛】结论点睛：平面上给定两个定点,A B ，设P 点在同一平面上且满足()0,1PAPBλλλ=>≠，则P 的轨迹是个圆. 20. (本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分) 已知点(1,0)A -､(1,0)B ，直线:0l ax by c ++=(其中,,a b c ∈R )，点P 在直线l 上.（1）若a ､b ､c 是常数列，求||PB 的最小值；（2）若a ､b ､c 是成等差数列，且PA l ⊥，求||PB 的最大值； （3）若a ､b ､c 是成等比数列，且PA l ⊥，求||PB 的取值范围. 【答案】（1（2）（3）(1,)+∞.【分析】（1）若a ､b ､c 是常数列，直线:10l x y ++=，PB 的最小值即为点()10B ,到10x y ++=的距离；（2）若a ､b ､c 是成等差数列，()():220l x y a y c +++=直线恒过点()1,2M -，PA PM ⊥，点P 在以AM 为直径的圆上，利用圆的性质即可求最值； （3）若a ､b ､c 是成等比数列，则2b ac =，即0a c x y b b ++=，设0b cq a b==≠，则20x qy q ++=，0q ≠，设()00,P x y ，利用PA l ⊥，00111AP l y k k x q ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪+⎝⎭，可得()001y q x =+，点P 在l 上可得2000x qy q ++=，联立两式可得20221q x q =-+，()()()2222220000111PB x y x q x =-+=-++将20221q x q =-+代入整理求最值即可.【详解】（1）若a ､b ､c 是常数列，则a b c ==,且不等于0， 此时直线:0l ax by c ++=即10x y ++=，PB 的最小值即为点(1,0)B 到10x y ++=的距离，min PB ==（2）若a ､b ､c 是成等差数列，则2b a c =+， 所以直线:0l ax by c ++=即():220l ax a c y c +++=， 整理得：()():220l x y a y c +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩ 可得12x y =⎧⎨=-⎩，此时直线恒过点()1,2M -，又因为PA l ⊥即PA PM ⊥， 所以点P 在以AM 为直径的圆上，因为(1,0)A -，()1,2M -，所以圆心为()0,1-，半径r ==，圆的方程为()2212x y ++=，PB 最大值即为点(1,0)B 到圆心()0,1-的距离再加半径，所以max PB =，（3）若a ､b ､c 是成等比数列，则2b ac =，且0a ≠，0b ≠，0c ≠， 将0ax by c 两边同时除以b 得：0a cx y b b++=， 设0b cq a b==≠，所以10x y q q ++=，所以20x qy q ++=，0q ≠， 设()00,P x y ， (1,0)A -､(1,0)B ，001AP y k x =+，1l k q=-，因为PA l ⊥，所以00111AP l y k k x q ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪+⎝⎭，可得()001y q x =+①， 又因为点P 在l 上，所以2000x qy q ++=②，将①代入②可得()220010q x x q +++=，即()202120q x q ++=，所以20221q x q =-+，所以()()()2222220000111PB x y x q x =-+=-++2222222222222222311111111q q q q q q q q q q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=------+ ⎪+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令211q t +=>，21q t =-，所以()22322232244414t t t t t PB t t t t t t --+-⎛⎫⎛⎫=+-==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为44y t t =-+在()1,+∞上单调递增， 所以4441411y t t =-+>-+=，所以1PB >，所以||PB 的取值范围是(1,)+∞.【点睛】关键点点睛：若a ､b ､c 是常数列，则10x y ++=，PB 的最小值即为点(1,0)B 到10x y ++=的距离，若a ､b ､c 是成等差数列可得直线l 恒过点()1,2M -，可得PA PM ⊥，点P 在以AM 为直径的圆上，利用圆的性质即可求最值，第三问属于难题，设0b cq a b==≠，已知方程可化为20x qy q ++=，0q ≠，点P 在l 上可得 2000x qy q ++=利用PA l ⊥，斜率成积为1-，可得()001y q x =+，联立两式可得20221q x q =-+，将20221q x q =-+代入()()()2222220000111PB x y x q x =-+=-++可得 222222231111q q q q q ⎛⎫⎛⎫=+---+ ⎪ ⎝+⎪⎝⎭⎭，令211q t +=>，21q t =-，将2PB 用t 表示，求最值即可.21. (本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 设x 是实数，n 是整数，若12x n -<，则称n 是数轴上与x 最接近的整数. （1）数列{}n a 的通项为n a ，且对任意的正整数n ，n 是数轴上与n a 最接近的整数，写出一个满足条件的数列{}n a 的前三项；（2）数列{}n a 的通项公式为n a n =，其前n 项和为n S ，求证：整数n a 是数轴上与实数（3）n T 是首项为2，公比为23的等比数列的前n 项和，n d 是数轴上与n T 最接近的正整数，求122020d d d ++⋅⋅⋅+.【答案】（1）11a =，22a =，33a =；（2）证明见解析；（3）12108. 【分析】（1）根据12n a n -<可求得数列{}n a 的前三项的值； （2）求出()12n n n S +=，证明出12n a <可证得结论成立；（3）由题意可得出12n n d T -<，计算出12d =，23d =，34d =，4565d d d ===，()67n d n =≥，由此可计算得出122020d d d ++⋅⋅⋅+的值. 【详解】（1）根据题意可知，在数列{}n a 中，12n a n -<， 所以，1112a -<，可得11322a <<，11a =满足条件； 2122a -<，可得23522a <<，22a =满足条件； 3132a -<，可得35722a <<，33a =满足条件； 所以，数列{}n a 的前三项可以是11a =，22a =，33a =； （2）n a n =，所以，()12n n n S +=，(n n n -===12=<=，所以，整数n a（3）由题意可得22132612313n n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，12T =，2103T =，3389T =，413027T =. 由题意可知，12n n d T -<.当1n =时，1122d -<，可得13522d <<，则12d =； 当2n =时，210132d -<，可得2172366d <<，则23d =；当3n =时，338192d -<，可得367851818d <<，则34d =； 当4n =时，41301272d -<，可得42332875454d <<，则45d =； 当5n ≥时，令2323243n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得2112112433n⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，则422681n T ≤<，则56n T <<. 令2116132n n T ⎡⎤⎛⎫=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，可得21312n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则正整数n 的可能取值有5、6，此时1152n T <<，由12n n d T -<，可得1122n n n T d T -<<+，可得962n d <<，即565d d ==； 令2116132n n T ⎡⎤⎛⎫=->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，可得21312n ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则7n ≥且n *∈N ，此时1162n T <<，由12n n d T -<，可得1122n n n T d T -<<+，即1352n d <<，即()67n d n =≥.综上所述，122020234536201412108d d d ++⋅⋅⋅+=+++⨯+⨯=.【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的新定义，处理此类问题时，通常是根据题中的新定义，结合已知结论进行推导.本题中第（3）问，根据“12n n d T -<”需要逐项求出{}n d 各项的值，在5n ≥时，要分1152n T <<和1162n T <<进行推导，属于难题.。
卷04-备战2021年高考数学全真模拟卷(上海专用)3月卷(解析版)
绝密★启用前|学科网考试研究中心命制备战2021年高考数学【名校、地市好题必刷】全真模拟卷·3月卷第四模拟考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．已知椭圆221164x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为6，则点P 到另一个焦点的距离为__________. 【答案】2【分析】由椭圆的定义122PF PF a +=求解. 【详解】利用椭圆定义122PF PF a +=，4a =， 可知268PF +=，即22PF = 故答案为：22．在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，常数项为__________.（用数值表示）【答案】20-【分析】写出61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项，令x 指数位置等于0即可求解.【详解】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()()66216611k k k k k kk k T C x x C x ---+=-=-，令620k -=，可得3k =，所以常数项为()336236120C x -⨯-=-，故答案为：20-3．若实数,x y 满足0120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为_______．【答案】3.【分析】画出可行域，求出线性目标函数的最大值.【详解】画出可行域如图所示：令z x y =+，则y x z =-+，易知截距越大，z 越大， 直线:0l x y += ，平移直线至(2,1)B 时，max 213Z =+=. 故答案为：3【点睛】考查了线性目标函数在线性约束条件下的最大值问题，属于容易题. 4．复数241ii++的虚部是_________. 【答案】1【分析】由复数除法法则化简复数为代数形式，然后可得其虚部．【详解】224(24)(1)224431(1)(1)2i i i i i i i i i i ++--+-===+++-，虚部为1． 故答案为：1．5．设集合(){}2lg 45A x y x x ==-+，则A =__________.【答案】R【分析】求解函数()2lg 45y x x =-+的定义域，即只需满足2450x x -+>即可. 【详解】要使函数()2lg 45y x x =-+有意义，则只需2450x x -+>，又∆<0,所以不等式2450x x -+>的解集为R ，故A R =. 故答案为：R .【点睛】求解有关对数型复合函数的定义域时，只需满足真数部分大于零，然后求解关于x 的不等式得到答案.6．已知函数()sin(3)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线4x π=对称，则ϕ=________.【答案】4π-【分析】令()32x k k Z πϕπ+=+∈求出其对称轴，再令对称轴等于4π结合22ππϕ-<<，即可求解【详解】令()32x k k Z πϕπ+=+∈，可得：()633k x k Z πϕπ=-+∈， 令6334k x πϕππ=-+=，解得()4k k Z πϕπ=-+∈， 因为22ππϕ-<<，所以0k =，4πϕ=-，故答案为：4π-7．等差数列{}n a 中，公差为d ，设n S 是{}n a 的前n 项之和，且1d >，计算()1lim +1n n n n S n a d →∞⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭__________. 【答案】12【分析】下利用等差数列的通项公式和前n 项和公式将()1nnS n a +用1a ，d 和n 表示，再结合1d >求极限即可.【详解】因为{}n a 是等差数列，所以()11n a a n d +-= ，()112n n n S na d -=+， 所以()()()()21121111222111n n d d n n n a n na d S n a dn a n a d n a n d ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭==+++-++-⎡⎤⎣⎦， 因为1d >，所以1lim0nn d →∞=， 所以()1lim +1n n n n S n a d →∞⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭()212111222lim lim 12n n n n d d d n a n S n a dn a n a d d →∞→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭===+++-， 故答案为：128．若抛物线28y x =的准线与曲线()22104x y y a +=≥只有一个交点，则实数a 满足的条件是__________. 【答案】()[),04,-∞+∞【分析】根据题意求出抛物线的准线方程为2x =-，分别讨论0a >和0a <时曲线()22104x y y a +=≥所表示的图形，即可求解. 【详解】抛物线28y x =的准线为2x =-，当0a >时，()22104x y y a +=≥表示椭圆在x 轴上方部分以及左右顶点所以x ≤≤若2x =-与曲线()22104x y y a +=≥只有一个交点，则2≤-，解得4a ≥，当0a <时，()22104x y y a +=≥表示双曲线的在x 轴上方部分即上支， 此时(),x ∈-∞+∞，此时满足2x =-与曲线()22104x y y a +=≥只有一个交点，所以0a <， 综上所述：实数a 满足的条件是0a <或4a ≥，故答案为：()[),04,-∞+∞【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是分0a >和0a <两种情况讨论，得到曲线是我们熟悉的椭圆与双曲线的一部分，数形结合可得a 的范围.9．某工厂生产A 、B 两种型号的不同产品，产品数量之比为2:3.用分层抽样的方法抽出一个样本容量为n 的样本，则其中A 种型号的产品有14件.现从样本中抽出两件产品，此时含有A 型号产品的概率为__________. 【答案】1117【分析】先由分层抽样抽样比求B 种型号抽取件数，以及n ，再根据古典概型公式求概率.【详解】设B 种型号抽取m 件，所以1423m =，解得：21m =，142135n =+=， 从样本中抽取2件，含有A 型号产品的概率2111414212351117C C C P C +==.故答案为：111710．对于正数a 、b ，称2a b+是a 、ba 、b 的几何平均值.设1x >，1y >，若ln x 、ln y 的算术平均值是1，则x e 、y e 的几何平均值（e 是自然对数的底）的最小值是__________.【分析】由算术平均数的定义可得2xy e =，x e 、y e利用基本不等式解.【详解】因为ln x 、ln y 的算术平均值是1，所以ln ln 12x y+=，即ln 2xy =，所以2xy e =， x e 、y e=≥==当且仅当x y e ==时等号成立，所以x e 、y e【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件得出2xy e =乘积是定值，而x e 、y e的几何平均值为x y +最小，显然利用基本不等式可求解.11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点12,P P 分别是线段1,AB BD （不包括端点）上的动点，且线段12PP 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是___________. 【答案】124【分析】由线面平行的性质定理知121//PP AD ， 12PP B ∴∽ 1AD B ，112211PB PP P B AB AD BD ==， 设1,(0,1)PB x x =∈，则12PP ， 2P 到平面 11AA B B 的距离为 h ，则 2111P B hA D BD =, 所以h x =，所以四面体 121PP AB 的体积为22111111(1)1()()3266224V x x x x x =⨯⨯-⨯⨯=-=--+，当 12x =时，四面体 121PP AB 的体积取得最大值： 124． 所以答案应填：124．考点：1、柱、锥、台体体积；2、点、线、面的位置关系．【思路点睛】本题考查正方形中几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．由线面平行的性质定理知121//PP AD ，12PP B ∴∽ 1AD B ，设出1,(0,1)PB x x =∈，则 12PP =， 2P 到平面11AA B B 的距离为 x ，表示出四面体 121PP AB 的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．12．已知()y f x =是奇函数，定义域为[]1,1-，当0x >时，211()12x f x x α-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（0,Q αα>∈），当函数()()g x f x t =-有3个零点时，则实数t 的取值范围是__________.【答案】{}111,0,122⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】首先根据函数2112x y x α-⎛⎫=- ⎪⎝⎭(]0,1x ∈ 的单调性和端点值画出函数的图象，再根据函数的性质画出函数()y f x =的图象，根据数形结合求t 的取值范围.【详解】当(]0,1x ∈时，易知函数2112x y x α-⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减，且0x →时，2y →，1x =时，12y，其大致图象如下，()21112x f x x α-⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭在(]0,1的大致图象如下，又函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，故函数()f x 的图象如下，要使函数()()g x f x t =-有3个零点，只需函数()y f x =的图象与直线y t =有且仅有3个交点，由图象可知，{}111,0,122t ⎛⎤⎡⎫∈-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．故答案为：{}111,0,122⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】 13．设0a b >>，0c ≠，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．11a b>B ．22ac bc >C ．ac bc >D ．c c a b<【答案】B【分析】利用不等式的基本性质可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，0a b >>，所以，0a b ab ab >>，所以，110b a>>，A 选项错误； 对于B 选项，0c ≠，则20c >，由不等式的基本性质可得22ac bc >，B 选项正确； 对于C 选项，若0c <，由不等式的基本性质可得ac bc <，C 选项错误；对于D 选项，若0c <，由A 选项可知，110b a >>，由不等式的基本性质可得c ca b>，D选项错误. 故选：D.14．下列函数中，值域为()0 ,+∞的是（ ） A ．2yxB ．2y x=C ．2x y =D ．2log y x =【答案】C【分析】由题意利用基本初等函数的值域，得出结论． 【详解】解：函数2yx 的值域为[0，)+∞，故排除A ；∴函数2y x=的值域为{|0}y y ≠，故排除B ； 函数2x y =的值域为(0,)+∞，故C 满足条件； 函数2|log |y x =的值域为[0，)+∞，故排除D ， 故选：C ．15．从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ）A ．4812C -B ．488-C C ．486-CD ．484-C【答案】A【分析】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有48C 种，去掉四点共面的情况即可求解. 【详解】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有48C 种， 正方体表面四点共面不能构成四面体有6种，正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有6种，所以可得到的四面体的个数为44886612C C --=-种，故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多，所以正难则反，这是解题的关键.16．设集合{|, 0}x A y y a x ==>(其中常数0, 1a a >≠)，{|, }k B y y x x A ==∈(其中常数Q k ∈)，则“0k <”是“AB =∅”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】讨论a 的取值范围，求出集合A ，进而求出集合B ，再根据充分条件、必要条件即可求解.【详解】当1a >时，(){|, 0}1,xA y y a x ==>=+∞， 若0k <，则(){|, }0,1kB y y x x A ==∈=，此时A B =∅，当01a <<时，(){|, 0}0,1xA y y a x ==>=， 若0k <，则(){|, }1,kB y y x x A ==∈=+∞，此时A B =∅，故“0k <”是“A B =∅”的充分条件； 当1a >时，若A B =∅，{|, }k B y y x x A ==∈，可得0k ≤，当01a <<时，()0,1A =，若A B =∅，{|, }k B y y x x A ==∈，可得0k ≤，所以“0k <”不是“A B =∅”的必要条件，所以“0k <”是“A B =∅”的充分非必要条件. 故选：A三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=，12CA CB CC ===.点1D D ，分别是棱11AC A C ，的中点.（1）求证：11、、、D B B D 四点共面； （2）求直线1BC 与平面11DBB D 所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由已知证明11//DD BB 可得答案；（2）作1C F ⊥11B D ，证明直线1C F ⊥平面11DBB D ， 1C BF ∠即为直线1BC 与平面11DBB D 所成的角，在直角1C BF 中可求得答案.【详解】（1）证明：点1D D ，分别是棱11AC A C ，的中点，∴11//DD CC11//CC BB ∴11//DD BB∴11、、、D B B D 四点共面.（2）作1C F ⊥11B D ，垂足为F1BB ⊥平面111A B C ，1C F ⊂平面111A B C ，∴直线1BB ⊥直线1C F1C F ⊥直线11B D 且1BB 与11B D 相交于1B∴直线1C F ⊥平面11DBB D∴1C BF ∠即为直线1BC 与平面11DBB D 所成的角.在直角111C D B 中，111112C D C B ==，，所以11B D =由面积1111111C D C B D B C F ⋅=⋅可得15C F =，在直角1C BF 中，1BC =1C F =1sin C BF ∠直线1BC 与平面11DBB D 所成的角为【点睛】对于线面角的求法的步骤作：作（或找）出斜线在平面上的射影，证：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；算：通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算.18. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)设常数k ∈R ，2()cos cos f x k x x x =，x ∈R .（1）若()f x 是奇函数，求实数k 的值；（2）设1k =，ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()1f A =，a =3b =，求ABC 的面积S .【答案】（1）0k =；（2【分析】（1）由(0)0f =，知0k =，再对0k =进行检验，即可；（2）结合二倍角公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质，可推出3A π=，再由余弦定理求出c 的值，最后根据1sin 2S bc A =，即可得解． 【详解】（1）解：由题意()00f k ==检验：()cos =f x x x对任意x ∈R 都有()()()cos =cos =()-=----f x x x x x f x∴()f x 是奇函数∴0k =.（2）解：21cos 21()cos cos 2sin 21262A f A A A A A A π+⎛⎫=+=+=++= ⎪⎝⎭，整理得π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， A 是三角形的内角 所以π5π266A += ∴π3A = 由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，即219726c c +-= 整理得2320c c -+=，解得1c =或2c =1sin 2S bc A ==，或2. 19. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)某校运会上无人机飞行表演，在水平距离[]10,24x ∈(单位：米)内的飞行轨迹如图所示，y 表示飞行高度(单位：米).其中当[]10,20x ∈时，轨迹为开口向上的抛物线的一段(端点为M Q 、)，当[]20,24x ∈时，轨迹为线段QN ，经测量，起点()10,24M ，终点()24,24N ，最低点()14,8P .（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）在()0,24A 处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角θ的最小值.(精确到0.1︒)【答案】（1）()[]2148,10,205144,(20,24]x x y x x ⎧-+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩；（2）最小为94.4︒. 【分析】（1）[]10,20x ∈时，设解析式为()2148y a x =-+，代入可求，从而求出()20,44Q ，求出直线的斜率即可求解.（2）根据题意，连接,A N ，仰角为α，俯角为β，求出α、β的最小值即可求解.【详解】解：（1）[]10,20x ∈时设：()2148y a x =-+，()10,24M 代入可得()22410148a =-+ 解得1a =，()2148y x ∴=-+ []20,24x ∈时，()20,44Q ，()24,24N ， 所以442452024QN k -==--，5144y x ∴=-+()[]2148,10,205144,(20,24]x x y x x ⎧-+∈⎪∴=⎨-+∈⎪⎩（2）如图，设仰角为α，俯角为β()20,44,Q ()0,24A∴仰角α最小为45︒，又[]10,20x ∈，24tan y xβ-= ()22428204x x x --+=1802828x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭∴俯角β最小为()arctan 2849.4-+≈︒θ∴最小为94.4︒ 20. (本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)设12, A A 分别是椭圆222: 1(1)x y a aΓ+=>的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点.（1）若124A B A B →→⋅=-，求椭圆Γ的方程；（2）设a =2F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段2F Q 的中点M 在y 轴上，求2F BQ △的面积.（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左右顶点的两点，且C ，D 分别在直线1PA 和2PA 上，求证：直线CD 恒过一定点.【答案】（1）2215x y +=；（2）14-；（3）证明见解析. 【分析】（1）计算得1(,1)A B a →=，2(,1)A B a →=-，代入124A B A B →→⋅=-解方程即可得a ，故可得椭圆Γ的方程；（2）设另一焦点为1F ，则1FQ x ⊥轴，计算出点Q 坐标，计算22F BQ BF M BQM S S S =+△△△即可；（3）设点P 的坐标为(6,)m ，直线1PA ：(3)9m y x =+，与椭圆方程2219x y +=联立，由韦达定理计算得出2223276,99m m C m m ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得222332,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，分C D x x =，C D x x ≠两种情况表示出直线CD 方程，从而确定出定点.【详解】（1）12(,0),(,0)A a A a -，(0,1)B1(,1)A B a →=，2(,1)A B a →=-，21214A B A B a →→⋅=-+=-，解得25a = 即椭圆Γ的方程为2215x y +=. （2）椭圆的方程为2212x y +=，由题意2(1,0)F ，设另一焦点为()11,0F -， 设(,)Q Q Q x y ，由线段2F Q 的中点在y 轴上，得1FQ x ⊥轴，所以1Q x =-，代入椭圆方程得Q y =，即1,Q ⎛- ⎝⎭2211212F BQ BF M BQM S S S ⎛=+=-⋅=- ⎝⎭△△△ （3）证明：由题意12(3,0),(3,0)A A -，设点P 的坐标为(6,)m ，直线1PA ：(3)9m y x =+，与椭圆方程2219x y +=联立 消去y 得：2222(9)69810m x m x m +++-= 由韦达定理得223279C m x m -+=+即2223276,99m m C m m ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭； 同理222332,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭； 当C D x x =，即22222733391m m m m --=++即23m =时， 直线CD 的方程为32x =； 当C D x x ≠时，直线CD ：2222243313(3)1m m m y x m m m ⎛⎫---=- ⎪+-+⎝⎭化简得2433(3)2m y x m ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，恒过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； 综上所述，直线CD 恒过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：解决第（3）的关键是能够运用韦达定理表示出,C D 点的坐标，从而表示出直线CD ，并能通过运算整理成关于m 的方程，从而确定出定点，考查学生的运算求解能力，有一定的难度.21. (本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 设数列{}n a 与{}n b 满足：{}n a 的各项均为正数，cos , n n b a n *=∈N .（1）设233ππ, 43a a ==，若{}nb 是无穷等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）设1π02<≤a .求证：不存在递减的数列{}n a ，使得{}nb 是无穷等比数列； （3）当121≤≤+n m 时，{}n b 为公差不为0的等差数列且其前21m +的和为0；若对任意满足条件06π (121)<≤≤≤+n a n m 的数列{}n a ，其前21m +项的和21m S +均不超过100π，求正整数m 的最大值.【答案】（1）12n n b -⎛= ⎝⎭；（2）证明见解析；（3）最大值为8.【分析】（1）运用等比数列的中项性质，解方程可得公比q ，所求通项公式；（2）运用反证法证明，结合数列的单调性和余弦函数的值域，可得矛盾，即可得证；（3）运用等差数列的等差中项的性质和求和公式，解不等式可得所求最大值．【详解】（1）解：23πcos42b ==，3π1cos 32b ==，公比为2q =- 由2213b b b =⋅解得11b =， 数列{}n b的通项公式为12n n b -⎛= ⎝⎭.（2）证明：反证法，设存在 则21π02a a <<<，此时21cos cos 0a a >> 公比21cos 1cos a q a => 11cos cos ()n n a a q -=⋅，考虑不等式11cos 1n a q -⋅>当11log (cos )q n a >-时，即11[1log (cos )]q n a ≥+-时，有cos 1n a >(其中[]x 表示不超过x 的最大整数)，这与()cos f x x =的值域为[1,1]-矛盾∴假设不成立，得证（3）解：121()(21)02+++=m b b m ，∴1210m b b ++= 由等差数列性质221210 (11, )*+-++=+=≤≤+∈N i m i m b b b b i m i即22cos cos 0i m i a a +-+=，特别地，10m b +=，现考虑21m S +的最大值为使21m S +取最大值，应有[]5π,6πn a ∈，否则在21m S +中将n a 替换为n a '，且cos cos n n a a '=，[]5π,6πn a '∈将得到一个更大的21m S +由22cos cos 0i m i a a +-+=可知2211π211π2i m i a a +-+=⋅=，特别地，111π2m a +=； 于是()21max 11π(21)11π(11π)10022++⋅=⋅+=≤m m S m π 解得18922m ≤，所以m 的最大值为8. 【点睛】本题考查等比数列和等差数列的性质和通项公式、求和公式的运用，考查运算能力和推理能力，以及反证法的应用．。
上海市虹口区第三中学高三数学理测试题含解析
上海市虹口区第三中学高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知命题p ：?c ＞0，方程x 2﹣x+c=0 有解，则￢p 为（ ） A ．?c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解 B ．?c≤0，方程x 2﹣x+c=0有解 C ．?c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解D ．?c ＜0，方程x 2﹣x+c=0有解参考答案：A【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p ：?c ＞0，方程x 2﹣x+c=0 有解，则￢p 为?c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解． 故选：A ．2. 根据如下样本数据得到的回归方程为，则（ ）A.B.C.D.参考答案：B3. 圆O 1：x 2+y 2﹣2x=0和圆O 2：x 2+y 2﹣4y=0的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切参考答案：B【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可．【解答】解：圆O 1：x 2+y 2﹣2x=0，即（x ﹣1）2+y 2=1，圆心是O 1（1，0），半径是r 1=1 圆O 2：x 2+y 2﹣4y=0，即x 2+（y ﹣2）2=4，圆心是O 2（0，2），半径是r 2=2 ∵|O 1O 2|=，故|r 1﹣r 2|＜|O 1O 2|＜|r 1+r 2|∴两圆的位置关系是相交．故选 B4. 设满足约束条件则的最大值（ ） （A ）（B ）2（C ）（D ）参考答案：A试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知为最优解，．考点：线性规划.5. 已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ． 参考答案： B6. 已知两个非零向量与，若，，则的值为（）A．﹣3 B．﹣24 C．21 D．12参考答案：C【考点】平面向量的坐标运算．【分析】先求出与，然后计算即可．【解答】解：因为，，所以=（﹣3，4）=（0，2）故选C．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，是基础题．7. 已知各项为正数的等差数列的前20项和为100，那么的最大值为A.25B.50C.100D.不存在参考答案：A略8. 过点（1，1）的直线与圆x2+y2﹣4x﹣6y+4=0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )A．2B．4 C．2D．5参考答案：B考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：把圆的方程化为标准方程，求得圆心和半径，求得弦心距d的最大值，可得|AB|的最小值．解答：解：圆x2+y2﹣4x﹣6y+4=0 即（x﹣2）2+（y﹣3）2=9，表示以C（2，3）为圆心、半径等于3的圆，要使弦长最小，只有弦心距最大．而弦心距d的最大值为=，∴|AB|的最小值为 2=2=4，故选：B．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，两点间的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．9. 若函数的图象如下图，其中为常数，则函数的大致图象是（）参考答案：D10. 已知函数，在下列区间中，包含的零点的区间是( )A．(0，1) B．(1，2)C．(2，4) D．(4，＋∞)参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.参考答案：-1略 12. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表:根据上表可得回归方程为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为 。
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2021年上海市虹口区高考数学三模试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ） A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)XN σ，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1B ．2C ．3D ．43．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )A ．15π2cmB ．21π2cmC ．24π2cmD ．33π2cm4．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）A ．16πB ．323πC ．6423πD ．205π5．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ）A ．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月份的空气质量最差.6．单位正方体ABCD-1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A ．1B ．2C 3D ．07．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2D ．()2,e8．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．59．体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．610．已知函数2,()5,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)[5,)+∞ B ．6(0,)[5,)5+∞C ．(1,5]D ．6(,5]511．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y x ==+，则UAB =( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 12．某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内为（ ）A ．7?k >B ．6?k >C ．5?k >D ．4?k >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知正数a ，b 满足a+b=1，则1b a b+的最小值等于__________ ，此时a=____________. 14．已知全集U {1,2,3}=，{2}A =，则UA =________.15．在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_______________，第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.16．已知0a >，0b >，4c ≥，且2a b +=，则2ac c c b ab +-+___________． 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分） [2018·石家庄一检]已知函数()()()ln f x x x ax a R =-∈． （1）若1a =，求函数()f x 的图像在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()212f x >-． 18．（12分）某工厂的机器上有一种易损元件A ，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A 在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A 的维修工作．每个工人独立维修A 元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A 的个数，具体数据如下表：从这20天中随机选取一天，随机变量X 表示在维修处该天元件A 的维修个数． （Ⅰ）求X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）若a ，b *N ∈，且b-a=6，求()P a X b ≤≤最大值；（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A 的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)nnn nnacb++=+.求数列{}n c的前n项和n T.20．（12分）在平面直角坐标系中，(2,0)A-，(2,0)B，且ABC∆满足1tan tan2A B=（1）求点C的轨迹E的方程；（2）过(2F-，0)作直线MN交轨迹E于M，N两点，若MAB∆的面积是NAB∆面积的2倍，求直线MN的方程．21．（12分）己知0a>，函数()f x x a=-.（1）若2a=，解不等式()()35f x f x++≤；（2）若函数()()()2g x f x f x a=-+，且存在x R∈使得()22g x a a≥-成立，求实数a的取值范围. 22．（10分）已知矩形ABCD中，24AB BC==，E，F分别为AB，CD的中点.沿EF将矩形AEFD 折起，使135AEB∠=︒，如图所示.设P、Q分别为线段DF，BC的中点，连接PQ.（1）求证：//PQ平面DEB；（2）求二面角A BE D--的余弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得()f x的单调区间，由此确定正确选项.【详解】因为22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-1cos 21sin 2224x x x π⎛⎫=+++-=+ ⎪⎝⎭，由()f x 单调递增，则222242k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），解得388k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），当1k =时，D 选项正确.C 选项是递减区间，A ，B 选项中有部分增区间部分减区间. 故选：D 【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识. 2、C 【解析】 【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R⌝∀∈都有210x ->，是错误的； （2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 3、C 【解析】由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，据此可计算出答案. 【详解】由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，∴该几何体的表面积233524S πππ=⨯+⨯⨯=.故选：C 【点睛】本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键. 4、C 【解析】 【分析】作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积. 【详解】2的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为22r =(34642223V π=⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定. 5、D 【解析】由图表可知5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差．故本题答案选D ． 6、B 【解析】 【分析】根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1．计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离．由题意,白蚂蚁爬行路线为AA 1→A 1D 1→D 1C 1→C 1C→CB→BA ， 即过1段后又回到起点， 可以看作以1为周期， 由202063364÷=，白蚂蚁爬完2020段后到回到C 点；同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB 1→B 1C 1→C 1D 1→D 1D→DA ， 黑蚂蚁爬完2020段后回到D 1点，2. 故选B. 【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题. 7、A 【解析】试题分析：由题意得()ln 120f x x ax =+-='有两个不相等的实数根，所以()120f x a x-'=='必有解，则0a >，且102f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭'，∴102a <<．考点：利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. （2）已知函数求极值.求f′（x ）―→求方程f′（x ）＝0的根―→列表检验f′（x ）在f′（x ）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.（3）已知极值求参数.若函数f （x ）在点（x 0，y 0）处取得极值，则f′（x 0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反. 8、D 【解析】 【分析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果. 【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'，又函数()3239f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，所以()327630f a -=-+='，解得5a =. 故选D 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型. 9、B 【解析】 【分析】通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数. 【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示， 利用列举法，可得下表，可知需要的次数为4次. 故选：B. 【点睛】本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题. 10、A 【解析】 【分析】分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果. 【详解】作出2y x x =-和5y x =-，4y x =的图像如下所示：函数()()4g x f x x =-有三个零点， 等价于()y f x =与4y x =有三个交点， 又因为0a >，且由图可知，当0x ≤时()y f x =与4y x =有两个交点,A O ， 故只需当0x >时，()y f x =与4y x =有一个交点即可. 若当0x >时，()0,1a ∈时，显然y =y (y )与y =4|y |有一个交点y ，故满足题意； 1a =时，显然y =y (y )与y =4|y |没有交点，故不满足题意；()1,5a ∈时，显然y =y (y )与y =4|y |也没有交点，故不满足题意； [)5,a ∈+∞时，显然()y f x =与4y x =有一个交点C ，故满足题意.综上所述，要满足题意，只需a ∈(0,1)[5,)+∞.故选：A. 【点睛】本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题. 11、A 【解析】 【分析】求得集合B 中函数的值域，由此求得UB ，进而求得UA B ⋂.【详解】 由11y x =≥，得[)1,B =+∞，所以()U,1B =-∞，所以[)U0,1AB =.故选：A【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题. 12、C 【解析】程序在运行过程中各变量值变化如下表：故退出循环的条件应为k>5? 本题选择C 选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。