函数的单调性、奇偶性、周期性知识点与题型讲解

函数的单调性、奇偶性、周期性知识点与题型讲解高考考纲分析
高考命题趋势
知识点精讲
一、函数的奇偶性
二、函数的单调性
三、函数的周期性
四、函数的对称性：
函数)(x f y =关于a x =对称⇔)
()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -=或)
2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。

得证。

若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=
对称
（2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b
x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成或b
x f x a f 2)()2(=+-若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.
函数的单调性
1
2
)
3义在［－1,1］上的减函数，且
(1－3
4
.
5＝－
单调递增，如果
.
6.
，
上的增函数；
②[1，2]上的减函数；
[2
8如果函数
9≠1
的定义域是
本大题共+
f(1)
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．12．（16分）已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足：①对于任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(0)的值；
(2)求f(x)的最大值；
参考答案
1.［-1,1］解析:由－－2x +3≥0，得函数定义域为［－3,1］．设u =－
－2x
+3=－+4，当x ∈［－3,－1］时，函数u
=－
－2x +3是增函数，而函数y
=为单调增函数，故［－3,－1］是函数y
=的单调增区间；当x ∈［－1,1］时，函数u =－
－2x +3是单调减函数，而函数y
=为单调增函数，故［－1,1］是函数y =
的单调减区间．2.①③解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．①③符合.
3.(,]解析:由已知条件得解得<x
≤.
4.[4,8)解析：因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以0,40242,2
a a a a ⎧⎪⎪⎪-⎨⎪⎪=-+⎪⎩＞解得4≤a <8.5.①解析：因为(x 1－2)(x 2－2)<0，若x 1<x 2，则有x 1<2<x 2，即2<x 2<4－x 1.又当x >2时，f (x )单调递增且f (－x )＝－f (x ＋4)，所以有f (x 2)<f (4－x 1)＝－f (x 1)，f (x 1)＋f (x 2)<0；若x 2<x 1，同理有f (x 1)＋f (x 2)<0.
6.(－2,1)
解析：f (x )
2＋4x ＝(x ＋2)2－4，x ≥0，x －x 2＝－(x －2)2＋4，x <0，由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由
f (2－a 2)>f (a )2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1.7.③解析：因为22(1)21(1)2,[1,2]f x x x x x +=+-=+-∈,所以2()2,[2,3]f x x x =-∈.由二次函数的知识知,()x f 是[2，3]上的增函数.
8.8a ≥解析；2()3f x x ax =--的对称轴是直线2a x =,它的递减区间是,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.因为()f x 在区间(,4]-∞上单调递减,所以42
a ≤
，即8a ≥.9.
∞，3
a (2)(－∞，0)∪(1,3]解析：(1)当a >0且a ≠1时，由3－ax ≥0得x ≤3a
，即此时函数f (x
)∞，3a ；(2)当a －1>0，即a >1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需3－a ×1≥0，此时1<a ≤3.当a －1<0，即a <1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需－a >0，此时a <0.
综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．
10.解：(1)函数f (x
)的定义域为{x |
x ≥－}，当x ≥－时，函数f
(x )是增函数．证明如下：任取,∈[
－,+∞)，且<，则f ()
－f ()=(4
+)－(4+)
=4(－)+(－)=4(－)+<0,
∴f()－f()<0，即f()<f()，∴f(x)在[－,+∞)上是增函数．
(2)∵f(x)在[－,+∞)上是增函数，
∴当x=－时，f(x)取得最小值为－2,∴f(x)的值域为［－2,+∞)．
(3)∵f(0)=1，∴f(x)≥1可化为f(x)≥f(0)．
∵此函数是增函数，∴x≥0．
11.(1)证法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，
∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．
在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．
又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．
因此f(x)在R上是减函数．
证法二：设x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在R上为减函数．
(2)解：∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．
而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.
∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
12.解：(1)对于条件③，令x1＝x2＝0得f(0)≤0，又由条件①知f(0)≥0，故f(0)＝0.
(2)设0≤x1<x2≤1，则x2－x1∈(0,1]，
∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)≥0,
即f(x2)≥f(x1)，故f(x)在[0,1]上递增，从而f(x)的最大值是f(1)＝1.
函数的奇偶性
＋
（填序号）
4
第4题图
且在(0，＋∞)内是
x f x
()-(-)
6(
时，，则当时，
=.
已知函数f(x)＝x2＋(m＋2)x＋3是偶函数，则
m＝________.
10.已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，
＝x(x＋．若f(a)＝－2，则实数
二、解答题本大题共3个小题，共
13．（15分）设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)．
参考答案
2.③解析：当a ＝1时，函数f (x )在(0,1)上为减函数，①错；当a ＝1时，函数f (x )在(1，
＋∞)上为增函数，②错；④中的a 不存在．3.f (－25)＜f (80)＜f (11)
解析：∵f (x －4)＝－f (x )，∴T ＝8.又f (x )是奇函数，∴f (0)＝0.
∵f (x )在[0,2]上是增函数，且f (x )＞0，
∴f (x )在[－2,0]上也是增函数，且f (x )＜0.
又当x ∈[2,4]时，f (x )＝－f (x －4)＞0，且f (x )为减函数．
同理f (x )在[4,6]为减函数且f (x )＜0.如图．
∵f (－25)＝f (－1)＜0，f (11)＝f (3)＞0，f (80)＝f (0)＝0，∴f (－25)＜f (80)＜f (11)．
4.③解析：利用偶函数的对称性知f (x )在(－2,0)上为减函数．又y ＝x 2＋1在(－2,0)上为减函数，y ＝|x |＋1在(－2,0)上为减函数，y ＝22+1,0,+1,0x x x x ⎧⎨
-⎩≥＜在(－2,0)上为增函数，所以应填③．
5.(－2,0)∪(0,2)解析：因为函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，f (2)＝0，所
以x >2或－2<x <0时，f (x )>0；x <－2或0<x <2时，f (x
)<0.
<0
，即<0，可知－2<x <0或0<x <2.6.
130解析：∵函数()f x 是偶函数,∴其定义域关于原点对称,∴120a a -+=,∴13a =.∴21()13f x x bx b =
+++,∴4(1)23f b =+,4(1)3f -=.∵(1)(1)f f =－,∴b =0.
8.解析：
当
时
，，
.9.－2
解析：因为f (x )为偶函数，所以m ＋2＝0，故m ＝－2.10.－1解析：令x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－x (1－x ).
又f (x )为奇函数，所以当x <0时,f (x )＝x (1－x ).
令f (a )＝a (1－a )＝－2，得a 2－a －2＝0，
解得a ＝－1或a ＝2(舍去)．
11.解：(1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，不关于原点对称，
∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．
（2）由2210,10,x x ⎧-⎨-⎩
≥≥得x ＝±1，此时f (x )＝0，x ∈{－1,1}，∴f (x )
既是奇函数又是偶函数．
(3)∵－x2≥0，
＋2|－2≠0，
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．
此时f(x)＝
4－x2
|x＋2|－2
＝
4－x2
x
.又f(－x)＝
4x
x-＝－
4－x2
x＝－f(x)，
∴f(x)＝
4－x2
|x＋2|－2
为奇函数．
12.解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)－2>－1，－2≤1，
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
13.(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.
又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
从而求得当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
(3)解：f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.
f(2012)=0，f(2013)=1，f(2014)=0，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)＝1.。