浙江省杭州第十四中学2019届高三9月月考试数学试题(解析版)
浙江省杭州市2019届高三数学上学期期末教学质量检测试题(含解析)
1.2.3.4.5.7.浙江省杭州市2019届高三上学期期末教学质量检测、选择题（本大题共设集合A={1，2},A.数学试题10小题，共40.0分）B={x € Z|| x| v 2},A n B=B.3椭圆匚+匚=1的离心率等于（{1】C. D. {坏讣 B ' 57 T设x € R,则“ x > 2 ”是“ |x| >2”A. B. C.A.充分不必要条件C.充要条件若复数z满足（1-2 i ）z=2+i，则| z|=（A. B.16.A.■- 一 .B.函数y=的图象大致为（B.D.D. V5必要不充分条件既不充分也不必要条件C. D.2,设15=2.，二才，则（（))alb C....-已知函数f （x）（x€ R）的周期为T ( T> 0)，且在(0, T) 上单调，则（A. 门『：・是周期函数，且在B. ':不是周期函数，且在【.；；.-■丁）上单调上单调8.9. C.D.d是周期函数，且在厂）上单调-不是周期函数，且在，上单调€ [,]，随机变量E的分布列如表所示，则E E （）3E123P Zsin 29Z12-cos29 z设9A.有最大值C.有最大值，最小值2 29，无最小值B.有最大值，最小值D.无最大值，有最小值设a v 0, 不等式 2(3x+a) (2x+b)1在( a,C.b）上恒成立，则1D.b- a的最大值为（）1设I函数f(x) =sin(2x+ 0 )则( )A.存在和=鱼，使得B.存在林='<, 使得C.存在一-二使得D.存在⑴彳, 使得A. 1B.10. 2+cos2x .记f (x) 的最大值为Mg )，最小值为m（ 0 ）,二、填空题（本大题共7小题，共11. 设a=log 23, b=log 38,则2a=12.（硏二71加36.0 分）,ab=设a, b, c分别为△ ABC的三边长，若a=3, b=5, c=7,则cos C= ,△ ABC的外接圆半径等于 ______ .213. 若双曲线M x2- =1的离心率小于.，则m的取值范围是-近线方程为 ______ .14. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几体的体积是 _____ cm；表面积是_______ c m.;若n=2,双曲线M的渐x +y > 215. 若实数x、y满足不等式组2X-y<4,则2x+3y的最小值是_______________ .x-y>016. 若函数f (x)=屜一丫+向+ 丫- a (0)存在零点，则a的取值范围是 _______________ .17. 设0为厶ABC的外接圆圆心.若存在正实数k，使得西临?+运，则k的取值范围为___________三、解答题(本大题共5小题，共74.0 分)18. 已知f (x) =sin2 x+ cos2x ( x€ R).(I)求f (二)的值.6(n)若x € [0 ,]，求函数f( x)的取值范围.19•设函数f ( x) =「-k (x-1 )x-2(I)若k=1，解方程f (x) =0.(n)若关于x的方程f (x) =0有四个不同的解，求k的取值范围.20.如图，在△ ABC中，AE=8, AO6, ADL BC M N分别为AB AC的中点.(I)若朋m=-6，求丨BC -求/ BAC勺大小.21.设公差不为0的等差数列｛a n｝的前n项和为S,若S6=60,且a6为a和a2i的等比中项.(I)求a n 和S n .1 *(n)设数列｛b n｝满足b n+i- b n=a n,若b i=3，求数列｛—｝的前n项和T n (n€ N).22.已知函数f (x) =x2+ax+ln x, a€ R(I)若函数f (x)存在两个极值，(i )求a 的取值范围；( ii )证明：函数f ( x )存在唯一零点．(n)若存在实数x i, X2，使f'( X i) +f'( X2) =0,且X2< X i V 2x2,求f (X i) - f (X2) 取值范围．(n)若故选：B.把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解. 本题考查复数模的求法，是基础的计算题. 答案和解析1. 【答案】B【解析】解：B={-1 , 0, 1} , A={1 , 2};••• A A B={1}.故选：B.可求出集合B,然后进行交集的运算即可.考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算.2. 【答案】B【解析】解：椭圆+ =1，可得a= ", , b=2,则c=1,所以椭圆的离心率等于o 4故选：B.利用椭圆的标准方程，求解椭圆的离心率即可.本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查.3. 【答案】A【解析】解：由|x| > 2 得x > 2 或x v -2 ,即“x>2”是“|x| >2”充分不必要条件.故选：A.根据绝对值不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键.4. 【答案】B【解析】解：•••（1-2i ）z=2+i ,2-i.• Z='，则|Zri—|= IM _违_] j= I5. 【答案】A 【解析】解析：函数有意义，需使 e x -e -x 工0, 其定义域为｛x|x 工0｝，排除 C, D,所以当x >0时函数为减函数，故选 A 故选：A .欲判断图象大致图象，可从函数的定义域｛x|x 工0｝方面考虑，还可从函数的单调性（在函数 当x > 0时函数为减函数）方面进行考虑即可.本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质•本题的难点在于给出的函 数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考查其余的性质. 6. 【答案】D【解析】 解：如图，且 AD=BD=BE=,1 / EBC=120 .二 J 不垂直，故 B 错; 作平行四边形BEFC •••I 冷斥1=1I 丰1.故A 错； 灵二"故C 错； 故选：D.画出图形，利用向量的运算性质求解. 本题考查了向量的运算性质，属于中档题.又因为7. 【答案】B【解析】解：函数f (x)( x € R)的周期为T (T> 0),但是x2>0,所以函数的定义域变小，故 f ( x2)不是周期函数.且：在(0，T)上单调，故：0 v x v T,解得：.,故：在(0, )上单调.故选：B.直接利用函数的性质单调性和周期性的应用求出结果.本题考查的知识要点：函数的性质周期性和单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.8. 【答案】B【解析】解［,］，随机变量E的分布列如表所示，\i 4••• EE \ +2__cos-L- 2 “=+cos 9 ,2n n I IT 9 € [, ] ,.••,U J Q —一9 9 ——J JI •%厂」X 1 2 1活o L H M ? L K H J由随机变量E的分布列的性质得：cos29 € [,],4 47 q ••• E E = €[ ].2 1 1故E E有最大值',最小值 .1 1.故选：B.'J*o7T 7To 1 推导出E E = +cos[,]，结合随机变量 E 的分布列的性质得：cos 0 € [, 2I 】31]，由此能求出E E 的最大值和最小值. 1本题考查离散型随机变量的数学期望的取值范围的求法，考查离散型随机变量的数学期望的 性质、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 9. 【答案】C【解析】 解：•••( 3x 2+a )( 2x+b )》0 在(a , b )上恒成立， /• 3x 2+a >0, 2x+b >0 或 3x 2+a <0, 2x+b <0,①若 2x+b >0 在(a , b ) 上恒成立，贝U 2a+b >0, 即卩 b > -2a > 0, 此时当x=0时，3x 2+a=a >0不成立，②若 2x+b <0 在（a , b ） 上恒成立，贝U 2b+b < 0, 即卩 b < 0,故b-a 的最大值为 故选：C.若(3x 2+a )( 2x+b )>0 在(a , b )上恒成立，则 3x 2+a >0, 2x+b >0 或 3x 2+a w 0, 2x+b w 0, 结合一次函数和二次函数的图象和性质，可得a ,b 的范围，进而得到答案.本题考查的知识点是恒成立问题，二次函数的图象和性质，分类讨论思想, 10. 【答案】D 【解析】2解：由 f (x ) =sin (2x+ 0) +cos x=sin (2x+ $)II II+ .cos2x=sin2xcos 0 +cos2xsin 0 + • cos2x =cos 0 sin2x+若3x 2+a <0在（a , b ） 上恒成立，则难度中档.(sin 0 + .)I cos2x+ = 则 Mg )=5I sin (2x+ 0 ),,—5 ~~_ I;■■埼打「二，,m( 0 )=-对于选项A, 使得M ( 0 )5 一 I + ( +(-42+m ( 0 ) = n ，故 A 错误，M(0 ) +m ( 0 )= ）=1,即不存在0 € R ,对于选项B, 即不存在0 M (0)-m (0)= -(-€ R ,使得 M ( 0 ) -m ( 0 ) =n ，故 B 错误,5 . I . _Q 越丿=242 V 4€ [1 , 3],23a +a < 0,故选：D.由三角函数的辅助角公式及三角函数求最值逐一检验即可得解. 本题考查了三角函数的辅助角公式及三角函数求最值，属中档题. 11.【答案】3 3【解析】 解：••• a=log 23; a _••• 2 =3; 又 b=log 38;故答案为：3, 3.由a=log 23即可得出2a =3，禾U 用换底公式可得出logyA考查对数式和指数式的互化，对数的定义，对数的换底公式.1們2 T【解析】沖十出-疋 0+沙-川I•皿—==-L•••设厶ABC 的外接圆半径为 R,则由2R= = ，解得：R=— 故答案为：-,由已知利用余弦定理可求 cosC 的值，根据同角三角函数基本关系式可求 sinC 的值，利用正弦定理即可求解.” ；■■埼卩 ] ?(- 0]，即不存在 0 € R,使得|M ( 0 ) ?m( 0 )对于选项 C, M (0) ?m ( 0)=(.；；"1•二)=-1-sin€ 卜2 ,|= n ,故C 错误，对于选项D,|H |=|他）-J 扌+•*也p+鲁nt使得1耐仙|= n ,故D 正确,，从而可求出ab=3.12.【答案】 解：T a=3,b=5, c=7,| € [2 , +8),即存在 0 € R,本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用, 考查了计算能力和转化思想，属于基础题.13. 【答案】（0，1）y=± x【解析】■f解：双曲线M x2-艺=1的离心率小于,III可得：I ，，解得m€（0, 1）则m的取值范围是：（0,1）.m=2双曲线M化为：x2-丄=1,2双曲线的渐近线方程：y= 士:.挖x.故答案为：（0, 1） ; y=--J〉x.利用双曲线的离心率的范围列出不等式，求解可得m的范围，通过m的值，求解双曲线的渐近线方程.本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力.14. 【答案】288-24 n 264+12 n【解析】解：根据三视图知该几何体是一长方体，挖去两个对顶点的圆锥，且圆锥的底面圆内切与长方体，画出图形，如图所示；1 2则该几何体的体积为V=8X 6X6 -2X ,, X n X3 X 4=288-24 n ;J'表面积为S=4X 6X 8+6X6 -2X n X32+2X n X 3X J；罗眷0 =264+12 n .故答案为：288-24 n，264+12 n .根据三视图复原几何体的形状，结合图中数据求出几何体的体积和表面积.本题考查了利用三视图求几何体的体积和表面积的应用问题，也考查了空间想象能力和计算能力，是基础题.15. 【答案】4【解析】（J bl/ > 2 --如图，目标函数 z=2x+3y 在边界点（2, 0）处取到最小值 z=2X 2+3X 0=4. 故答案为：4（於+@仝2本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件二的平面区I域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入2x+3y 中，求出2x+3y 的最小值.在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域 ？②求出可行域各个角点的坐标 ？③将坐标逐一代入目标函数 ？④验证，求出最优解. 16. 【答案】[2 , 4] 【解析】解：要使函数有意义，则^ ,即 j，即-awx <玄，则（a >0）,由f （x ） =「订一.『+ J 證：汇-a=0得「订一.『+ J 證：汇=a , 平方得 a-x+a+x+2 ‘ ■ . - =a ,即 2 f - ■' =a -2a ,即 =二 设y= ,则y=的图象是以原点为圆心半径为a 的上半圆， 要使：有解，” 0则满足w a ，得 2w a <4 或 a=0 （舍）， 即实数a 的取值范围是[2 , 4], 故答案为：［2 , 4］先求出函数的定义域，根据函数与方程之间的关系，进行整理，得到二上二有解，解：依题意作出可行性区域即<川-加c 如，得1n N 口€」，2借助y= 的几何意义，利用数形结合进行求解即可.本题主要考查函数与方程的应用，禾U用转化法，转化为两个函数交点问题，以及利用数形结合是解决本题的关键.17. 【答案】k >2【解析】解：由三角形外心的定义，结合向量的投影的几何意义可得：■ ■ 2■'=..-,即（..+k ）' = "1 2，化简得：k , =_ 丁脖:2< 0,又k>0,可得■- < 0,__ 一—一2同理：」='■,即（.，+k ）? \ '■ 2,1 ________化简得：「，［.=」2,1 _9L _____ b又’< 0,即寸®；2< 0,即1-2k < 0,即k ,故答案为：k<2由三角形外心的定义即外心为各边中垂线的交点，结合向量的投影的几何意义可得：■■' = . 2,即<0,1 | _9卜_____ t| .91 _____ t同理：」='■ 2,即= 2,又-< 0,即2< 0，即» £1一1-2k < 0，即k ,，故得解本题考查了三角形外心的定义即外心为各边中垂线的交点、向量的投影，属中档题.18. 【答案】解：(I) f ( ) =s in 二+ cos 二=-_+_=0,6 3 3 2 2L *(n) f (x) =sin2 x+ cos2x=2sin (2x+ ),3It fl Sii当x € [0 ,]时，2x+ € [,],4 3 3 6R1••• sin (2x+ )€ [ , 1],3 2•函数f (x)的取值范围为[1 , 2]【解析】(I)直接代值计算即可,(n)先化简，再根据三角函数的性质即可求出.本题考查了三角函数值的求法和三角函数的性质，属于基础题19.【答案】解：(I)当k=1 时，一-k (x-1 ) 2=0,1-2• |x-1| ? --------------- =0,严2Hrl|(r2)• |x-1| ? -------------- =0,Jr!Hrl|(r2]• |x-1| ? -------------- =0,x-2• |x-1|=0 或1-| x-1| (x-2 ) =0,• x=1 或x= !_2(n)r x-1|?(即|x-1|=0或•卅订o 当x-仁0时，x=1，此时k€ R1• — k|x-1|=0有三个不等于1的解，i-2根据函数y=|x-1| ? (x-2 )的图象，得- —「4 k解得k v-4 , • k的取值范围是(-8,-4 ).【解析】(I)当k=1 时，_- -k (x-1 ) 2=0,推导出|x-1|=0 或1-|x-1|T—2程f (x) =0的解.(n) |x- 1|?( 丨)，得|x-i|=0 或':' i i!,从而丄-k|x-i|=o 有三x—l l x—l x—2个不等于1的解，由此能求出k的取值范围.本题考查方程的解法，考查实数的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题.20.【答案】解：(1)由ADL BC可知，| DM=| AIM , I DN=| AN ,所以/ MDNZ MAN因为U • y；=12cos / MA N-6 ,所以cos / MAN-_,2所以| BC2=| AB2+| AC2-2| AB I AC cos / MA M148,所以| BC=2 .,故答案为：2 -(n)因为——+——=(|DB+| DC) =5,㈣此1 2所以| BC=10 ,所以/ BA(=90°,故答案为：90°.【解析】(I)由平面向量的数量积运算及余弦定理得：cos / MAN=-,(x-2 ) =0,由此能求出方2 2 2|BC| =|AB| +|AC| -2|AB||AC|cos/ MAN=148(n)由平面向量的数量积运算得：页7•而DX-DC I R 「+「「|DB|+|DC|) =5,即|BC|=10，所以/ BAC=90，得解本题考查了平面向量的数量积运算及余弦定理，属简单题.21.【答案】解：(I)设等差数列的公差为d,则..._ . 「，解得a i=5, d=2,••• a n=2 n+3,=n (n+4),I(n)- b n+1- b n=a n,/. b n-b n-i =a n-i, n》2, n€ N*,当n》2 时，b n= (b n-b n-i) + (b n-i-b^) +) + (ba- b i) +b i=a n-i +a n-a+…+a i+b i,=(n-i ) ( n-i+4) +3=n (n+2),对于b i=3也适合， /. b n=n (n+2),1 1 1 1 I••— = = (—-_ ),k »(n+2：2 ”+21 1 1 1 till 1311--T n= ( i-_+ - + …+ --- + - ) = ( ---- --- - --4(flHKn+2j2 3 2 4 旷1 计1 ti n+2 2 2 nil n+2【解析】(I)由题意可得设等差数列的公差为d,则，计算即可求出a i, d的值，即可求出a n和S.(n)先根据迭代法求出数列的通项公式，再根据裂项求和即可求出.本题考查了数列的通项公式和递推公式以及裂项求和，考查了运算能力，属于中档题.22.【答案】解：(I)( i )根据题意，f'( x) =一:一:, ( x> 0)I方程2x2+ax+i=0有2个正根m n,(不妨设m K n),A >0 _故3w ，解得：a v -2 ;i 4(ii )证明：易知f (x)在x=m时取极大值，在x=n时取极小值，3 (i )求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可；(ii ) 令g (x) =-x(I) 2+Inx-1，求出g (x)w g ( - ) =ln - - v 0,得到f (x)至多只有1 个零点，从而证明结论；, Ti +T > I T| 门门门(H)求出a=- (X1+X2)- ，以及f (X1) -f (X2) =- ( - ) +ln ，设t= €2rp r- 2 叭J'I J'2 J'J由(i ) 知2m+arrn i=0,故f (m =- m+ln m i ,2 1令g (x) =-x +ln x-i，故g'( x) = -2 x,r由-2 x=0,解得：x=,x _ 2 _故g (x)w g (I) =in ■- v 0,2 2 2故f(m v o, f(x)至多只有i个零点,又f (-a) =ln (-a)> 0,故f (x)存在唯一零点；(n)由题意知：2x i+a+ +2x2+a+ =0,即a=- ( X1+X2)-—-it谒故f (x i) -f (X2)=一-_+a(X1-X2) +l n —1 Jf) k勺：=-(___) +ln _,2 X h耳:I设t =—€( 1, 2),记h (t) =- +—+I n t,k 2 21则 $( t) =-；；〕.m 0,故h (t)递增，故h (t )€( h (2), h (1)), 即h (t )€ (- +In2 , 0),即f (X1) - f (X2)取值范围是(-+In2 , 0)【解析】(1, 2),记h (t) =- +. +lnt，根据函数的单调性求出其范围即可.本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及换元思想，转化思想，是一道综合题.。
浙江省杭州第十四中学2024-2025学年高三上学期九月月考数学试题
浙江省杭州第十四中学2024-2025学年高三上学期九月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}43A x x =∈-≤≤Z ，{}13B x x =∈+<N ，则A B =I （ ） A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．{}12．已知a ,b 都是实数，那么“22a b >”是“a >b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知向量(,2)a λ=r ，(1,1)b =r ，若||||a b a b +=-r rr r ，则实数λ的值为（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．124．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：()f x 的图象是连续不断的且()2y f x =+为偶函数.若[]12,2,4x x ∀∈有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则下面结论正确的是（ ） A ．()()()65.524.583.5f f f <-< B ．()()()24.565.583.5f f f -<< C ．()()()65.583.524.5f f f <<-D ．()()()24.583.565.5f f f -<<5．某网反随机选取了某自媒体平台10位自媒体人，得到其粉丝数据（单位：万人）：1.7,2.3,1.9,2.1,2.2,2.1,1.9,1.7,2.2,1.9．若该平台自媒体人的粉丝数()2,X N μσ~（其中μ和σ分别为上述样本的平均数和标准差），根据上述数据，则下列说法中正确的个数是（ ） （1）这10位自媒体人粉丝数据的平均数为2.0； （2）这10位自媒体人粉丝数据的标准差为0.04； （3）这10位自媒体人粉丝数据的第25百分位数为1.8；（4）用样本估计总体，该平台自媒体人的粉丝数不超过2.2万的概率约为0.84135． （附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()()220.9545,330.9973P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题6．已知9290129(12)x a a x a x a x -=++++L ，则（ ） A ．118a =-B ．992a =-C ．1291a a a +++=-LD ．913579132a a a a a +++++=-三、单选题7．现有三对双胞胎共6人排成一排，则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是（ ） A ．180 B ．240 C ．288 D ．3008．已知函数()()ln ,e x x xf xg x x ==，若()()0f m g n =<，则mn 的最小值为（ ） A ．1e-B ．1eC ．1-D ．1四、多选题9．已知函数()22sin cos 2sin f x x x x =-，给出下列四个选项，正确的有（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是πB ．函数()f x 在区间π,85π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 的图象可由函数y x =的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位得到10．如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体E ABCD F --，且该八面体的各棱长均相等，则（ ）A ．异面直线AE 与BC 所成的角为60︒B ．BD CE ⊥C ．平面ABF ∥平面CDED ．直线AE 与平面BDE 所成的角为60︒11．已知长轴长、短轴长和焦距分别为22a b 、和2c 的椭圆Ω，点A 是椭圆Ω与其长轴的一个交点，点B 是椭圆Ω与其短轴的一个交点，点1F 和2F 为其焦点，1AB BF ⊥．点P 在椭圆Ω上，若12PF PF ⊥，则（ ）A ．,,a b c 成等差数列B ．,,a b c 成等比数列C ．椭圆Ω的离心率e =D ．1ABF V 的面积不小于12PF F V 的面积五、填空题12．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，且点M 到直线2x =-的距离为6，则MF =.13．已知复数z 满足1z =，则2z -14．定义： x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，如[]1.21=，{}1.22=.设函数()[]{}f x x x =在定义域[)()*0,N n n ∈上的值域为n C ，记n C 中元素的个数为n a ，则2a =，12111na a a +++=L六、解答题15．已知a b c 、、分别为ABC V 三个内角、、A B C的对边，且a =2π1,3c A ==． (1)求b 及ABC V 的面积S ；(2)若D 为BC 边上一点，且π6CAD ∠=，求ADB ∠的正弦值．16．2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为12，良好的概率为13；在续航测试中结果为优秀的概率为25，良好的概率为25，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为ξ. (1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率； (2)求离散型随机变量ξ的分布列与期望. 17．已知函数()()()22111ln ,e 222x f x ax a x x g x x ax =-++=--． (1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：()()2ln 1f x g x x ax +≥--．18．已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的离心率为12，且过点()2,0.(1)求W 的方程；(2)直线()100x my m -+=≠交W 于,A B 两点.（i ）点A 关于原点的对称点为C ，直线BC 的斜率为k ，证明：km为定值； （ii ）若W 上存在点P 使得,AP PB u u u r u u u r 在AB u u u r上的投影向量相等，且PAB V 的重心在y 轴上，求直线AB 的方程.19．给定数列{}n A ，若对任意m ，*n ∈N 且m n ≠，m n A A +是{}n A 中的项，则称{}n A 为“H 数列”．设数列{}n a 的前n 项和为.n S(1)若2n S n n =+，试判断数列{}n a 是否为“H 数列”，并说明理由；(2)设{}n a 既是等差数列又是“H 数列”，且16a =，*2N a ∈，26a >，求公差d 的所有可能值； (3)设{}n a 是等差数列，且对任意*n ∈N ，n S 是{}n a 中的项，求证：{}n a 是“H 数列”．。
2019浙江卷 数学(解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}101B =-,,，则U A B =I ð（ ）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】 【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误2.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）A. B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】 【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得1a b ==，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b，则c =，双曲线的离心率ce a==【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.3.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A. 1-B. 1C. 10D. 12【答案】C 【解析】 【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】B 【解析】 【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 5.若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ） A. ()D X 增大 B. ()D X 减小C. ()D X 先增大后减小D. ()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】 【分析】 研究方差随a 变化增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 故选D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A. ,βγαγ<<B.,βαβγ<<C.,βαγα<< D. ,αβγβ<<【答案】B 【解析】 【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.法2：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin ,sin sin 6633α=⇒α=β=γ=，故选B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.9.已知,a b R ∈，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C. 1,0a b >-> D. 1,0a b >-<【答案】C 【解析】 【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x '=-+，当10a +…，即1a -…时，0y '…，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a <-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如右图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+． 故选：C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..10.设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =->【答案】A 【解析】 【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项B：不动点满足221142x x x⎛⎫-+=-=⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22na a a⎛⎫=∈<⎪⎝⎭，排除如图，若a不动点12则12na=选项C：不动点满足22192024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点为ax12-，令2a=，则210na=<，排除选项D：不动点满足221174024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点17122x=±，令17122a=±，则171102na=<，排除.选项A：证明：当12b=时，2222132431113117,,12224216a a a a a a=+≥=+≥=+≥≥，处理一：可依次迭代到10a；处理二：当4n≥时，221112n n na a a+=+≥≥，则117117171161616log2log log2nn n na a a-++>⇒>则12117(4)16nna n-+⎛⎫≥≥⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a的可能取值，利用“排除法”求解.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.复数11z i=+（i 为虚数单位），则||z =________.【答案】2【解析】 【分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】1|||1|2z i ===+. 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.12.已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.【答案】 (1). 2m =- (2). r =【解析】 【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.【详解】可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||r AC ===【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.13.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】 (1). (2). 5 【解析】 【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解.【详解】9(2)x +的通项为919(2)(0,1,29)rr r r T C x r -+==L 可得常数项为0919(2)162T C ==，因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.14.在V ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.【答案】 (1). 1225 (2). 7210【解析】 【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入CD x =，在BDC ∆、ABD ∆中应用正弦定理，建立方程，进而得解.. 【详解】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=,22AC AB BC 5=+=，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以122BD =. 72cos cos()coscos sinsin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.15.已知椭圆22195x y+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______.【答案】15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程22195x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得315,2P ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，所以1521512PF k ==.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.16.已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a = 【解析】 【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()()222(2)()2(2)(2))223642f t f t a t t t t a t t +-=•++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需113a -≤，即43a ≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.17.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是________；最大值是_______.【答案】 (1). 0 (2). 25【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ= 此时123456min0AB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正。
浙江省杭州市2019届高三数学上学期期末教学质量检测试题(含解析)
浙江省杭州市2019届高三上学期期末教学质量检测数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）ABxZxAB=（ 2}2}，，，则={）∈∩|| 1.|设集合＜={1A.B.C.D.+=1的离心率等于（椭圆 2.）D. B. A. C.xRxx|＞2”的（＞2”是“|3.）设∈，则“A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件ziziz|=（，则4.|若复数1-2满足（）） =2+D.B. 1C.A.y=的图象大致为（ 5.）函数B. A.D. C.ABC=，则（（ 2 ，设=2）， 6.已知正三角形的边长为D.A.B.C.- 1 -TxRTTfx＞7.0已知函数），且在（（0）（∈，）的周期为）（）上单调，则（是周期函数，且在上单调A.不是周期函数，且在B. 上单调C. 是周期函数，且在上单调不是周期函数，且在上单调D.Eξ的分布列如表所示，则）8.ξ（设θ∈ [，]，随机变量ξ 123sicosA. 有最大值，最小值B. 有最大值，最小值C. 有最大值，无最小值D. 无最大值，有最小值2axbabbxaa的最大值为（，）设，不等式（＜03）上恒成立，则 +）（2-+）≥0，在（9.A. 1B.C.D.2xfxxfxMm（φ），2=sin（（+φ）+cos（φ），最小值为）的最大值为10.设函数．记（）则（）A. 存在，使得B. 存在，使得C. 存在，使得D. 存在，使得二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）a abba=______．，，则8311.设=log，=log2=______ 32- 2 -abcABCabcCABC的外接cos，△设=5，，，=______分别为△=7的三边长，若，则=312.，圆半径等于______．2MxmmM的渐双曲线=2的取值范围是若双曲线______：；若-=1，的离心率小于，13.则近线方程为______．cm），则该几体的体积某几何体的三视图如图所示（单位：14.23cmcm．；表面积是______是______yxxy ______、+3．满足不等式组，则15.2若实数的最小值是aaafx．-16.的取值范围是若函数（（）≠0）存在零点，则=______+kOkkABC使得．______ 17.若存在正实数设，+=为△则，的外接圆圆心．的取值范围为分）5三、解答题（本大题共小题，共74.0Rxxxfx（18.）．已知（=sin2）∈cos2+f）的值．（（Ⅰ）求xxf（）的取值范围．]（Ⅱ）若∈[0，，求函数- 3 -2xxfk．）-1=-19.）设函数（（kfx）=0．（Ⅰ）若=1，解方程（xfxk的取值范围．有四个不同的解，求（=0（Ⅱ）若关于）的方程ABCABACADBCMNABAC的中点．，，20.，如图，在△中， =8，=6，⊥分别为BC |．|（Ⅰ）若?=-6，求BAC +=5，求∠的大小．（Ⅱ）若- 4 -anSSaaa 的等比中项． =60，且设公差不为0的等差数列{的前}和项和为为，若21.nn 21661aS ． 和（Ⅰ）求nn*NTabnnbbb ）．（，求数列{}的前（Ⅱ）设数列{}满足 -=项和，若∈=3nnnnn 1+12axxxaRfx ．+ 22.已知函数+ln （∈）=，fx ）存在两个极值， （（Ⅰ）若函数ia 的取值范围；）求（iifx ）存在唯一零点．（（）证明：函数xxfxfxxxxfxfx ）-，求＜，且）=0＜2（+，使（Ⅱ）若存在实数，′（）′（）（222211121取值范围．- 5 -答案和解析B 【答案】1.【解析】解：B={-1，0，1}，A={1，2}； ∴A ∩B={1}． 故选：B ．可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算．B 【答案】2.【解析】=．，所以椭圆的离心率等于，b=2，则c=1解：椭圆，可得+=1 a= ．故选：B 利用椭圆的标准方程，求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．A 【答案】3. 【解析】，x＜-22|x|＞2得x＞或解：由即“x＞2”是“|x|＞2”充分不必要条件．．故选：A 根据绝对值不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．B 【答案】4. 【解析】，）解：∵（1-2iz=2+i|=z=，则|z|=|．∴．故选：B 把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．- 6 -A 【答案】5.【解析】≠0，解析：函数有意义，需使，D，其定义域为{x|x≠0}，排除Cx-x e-e又因为，A 所以当x＞0时函数为减函数，故选故选：A．欲判断图象大致图象，可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑，还可从函数的单调性（在函数 x＞0时函数为减函数）方面进行考虑即可．当本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质．本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考查其余的性质．D 【答案】6. 【解析】解：如图，=．=令D为AB 中点，设，∠EBC=120°．∴且AD=BD=BE=1 不垂直，故B错；作平行四边形BEFC，|=||≠1．故A错；∴ |，故C错；故选：D．画出图形，利用向量的运算性质求解．本题考查了向量的运算性质，属于中档题．- 7 -B 【答案】7. 【解析】 0），）的周期为T（T＞f解：函数（x）（x∈R2 x但是≥0，2所以函数的定义域变小，故f（x）不是周期函数．）上单调，且：在（0，T2 x＜T，故：0＜解得：，，故：在（0）上单调．故选：．B 直接利用函数的性质单调性和周期性的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的性质周期性和单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．B 【答案】8. 【解析】的分布列如表所示，]，，随机变量解：∵θ∈ξ[321 ξsin cosP θ22θ×θ∴Eξ= +cos2+2=+cos2θ，∵θ∈]，，∴[，，，∴，θ∈2]cos[∈，][]，由随机变量ξ的分布列的性质得：cosθ∈2，[∴Eξ=∈[]．．有最大值故Eξ，最小值 B故选：．- 8 -[ξθ，θ∈的分布列的性质得：[cosθ∈，]推导出，结合随机变量Eξ=+cos22，]，由此能求出Eξ的最大值和最小值．本题考查离散型随机变量的数学期望的取值范围的求法，考查离散型随机变量的数学期望的性质、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．C 【答案】9.【解析】）上恒成立，在（a，解：∵（3x+a）（2x+b）≥022或3x+a≤0，2x+b≤0，∴3x+a≥0，2x+b2 b≥0 0，b）上恒成立，则2a+b≥0，即b≥-2a＞，①若2x+b≥0在（a2 +a=a≥0此时当x=0时，3x不成立， 2b+b≤0，即b≤0，在（a，b）上恒成立，则②若2x+b≤0a≤0，+a≤0，即3a -若3x在（+a≤0a，b）上恒成立，则22≤，b-a 的最大值为故 C．故选：222+a≤0，2x+b≤0，或3xb）上恒成立，则3x+a≥0，2x+b≥0在（若（3x+a）（2x+b）≥0a，的范围，进而得到答案．结合一次函数和二次函数的图象和性质，可得a，b 本题考查的知识点是恒成立问题，二次函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．D 【答案】10. 【解析】2（2x+φ）+cosx=sinf解：由（x）=sin（2x+φ））=cosφsin2x+（sinφ+cos2xcos2x=sin2xcosφ+cos2xsinφ++cos2x+sin（2x+θ）=，=M，m（φ）=-（φ）则，=（φ）M（φ）-+m，R）=1，即不存在φ∈，对于选项A+（使得M（φ）+m（φ）=π，故A错误，=2∈[1，-=（）-3]，-mMB对于选项，（φ）（φ）即不存在φ∈R，使得M（φ）-m（φ）=π，故B错误，- 9 --）=-1-sinφ∈[-2（）?（（φ）对于选项C，M?m（φ）=，0]，即不存在φ∈R，使得|M（φ）?m （φ）|=π，故C错误，|=||∈[2，+∞），对于选项D，|即存在|=|φ∈R，||=π，故D使得正确，．故选：D由三角函数的辅助角公式及三角函数求最值逐一检验即可得解．本题考查了三角函数的辅助角公式及三角函数求最值，属中档题．11.【答案】3 3【解析】解：∵a=log3；2a =3；∴2 ；又b=log83．∴ 3．故答案为：3，．，利用换底公式可得出，从而可求出a=log由3即可得出2ab=32考查对数式和指数式的互a=3化，对数的定义，对数的换底公式．-12.【答案】【解析】 c=7，，b=5，解：∵a=3=-∴．cosC===，∴sinC=2R= R=．的外接圆半径为R，则由∴设△ABC，解得：=，．故答案为： -由已知利用余弦定理可求cosC的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinC 的值，利用正弦定理即可求解．- 10 -本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．xy=±1，） 13.【答案】（0 【解析】-=1解：双曲线M：x，2的离心率小于，解得m∈（0，1）．可得：则m的取值范围是：（0，1）．2-=1， m=2，双曲线M 化为：xx 双曲线的渐近线方程：．y=x ． 故答案为：（0，1）；y=利用双曲线的离心率的范围列出不等式，求解可得m 的范围，通过m 的值，求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．14.【答案】288-24π 264+12π【解析】解：根据三视图知该几何体是一长方体，挖去两个对顶点的圆锥， 且圆锥的底面圆内切与长方体， 画出图形，如图所示；2×4=288-2×24π；×π×3 则该几何体的体积为V=8×6×6-表面积为22×π×3S=4×6×8+6×6-+2×π×3×=264+12π． 288-24π，264+12π．故答案为： 根据三视图复原几何体的形状，结合图中数据求出几何体的体积和表面积．本题考查了利用三视图求几何体的体积和表面积的应用问题，也考查了空间想象能力和计算 能力，是基础题．4 【答案】15. 【解析】- 11 -在边界如图，目标函数z=2x+3y 解：依题意作出可行性区域 ）处取到最小值z=2×2+3×0=4．点（2，04 故答案为：的平面区我们要先画出满足约束条件本题考查的知识点是简单线性规划的应用，的最小值．域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入2x+3y中，求出2x+3y②求出?在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域④验证，求出最优解．可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?4] ，16.【答案】[2 【解析】，解：要使函数有意义，则＞0），，即-a≤x≤a，则（a即-a=0=，得+=a）由f（x+a-x+a+x+2平方得=a2，，即22 =a-2a，=即，设y=的上半则y=a的图象是以原点为圆心半径为圆，要使有解，=0≤则满足≤a，，得即，即，或得2≤a≤4a=0（舍），，的取值范围是即实数a[24]，- 12 -故答案为：[2，4]=有解，先求出函数的定义域，根据函数与方程之间的关系，进行整理，得到y=的几何意义，利用数形结合进行求解即可．借助本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法，转化为两个函数交点问题，以及利用数形结合是解决本题的关键．k＞【答案】 17.【解析】解：由三角形外心的定义，结合向量的投影的几何意义可得：=2，2，即（ +k ）=2＜0，k=- 化简得：＜0又k ＞0， ，可得2，=同理：2=即（+k ，）?2=，化简得：，即又＜＜00即1-2k＜0，2，k，即k 故答案为：由三角形外心的定义即外心为各边中垂线的交点，结合向量的投影的几何意义可得：0=，2，即＜0，即，即0，即=，又=＜222＜同理：，故得解k，即0＜1-2k本题考查了三角形外心的定义即外心为各边中垂线的交点、向量的投影，属中档题．- 13 -f+=0=sin=-+18.【答案】解：（Ⅰ），cos（）xxfxx+），cos2 （Ⅱ）=2sin（（）=sin22+xx，]，+∈∈[0，]时，2 [当x[，1]+）∈sin∴（2，fx）的取值范围为[1∴函数，（2]【解析】（Ⅰ）直接代值计算即可，（Ⅱ）先化简，再根据三角函数的性质即可求出．本题考查了三角函数值的求法和三角函数的性质，属于基础题2xkk -=0（，-119.【答案】解：（Ⅰ）当=1）时，x =0∴|-1|，?x |=0-1|，?∴x -1|，?|∴=0xxx）=0-1|=0或1-|（-1|，∴|-2xx∴=1或=．x -1|?）（Ⅱ）∵|（x或即|-1|=0，Rxxk时，当-1=0=1，此时∈，- 14 -xk的解，-1|=0有三个不等于∴-1|xyx）的图象，得，-1|?（-根据函数-2=|kk-4，∴）．的取值范围是（-解得∞，＜-4 【解析】=0或1-|x-1|（时，x-2-k（x-1）|x-1|=0=0，推导出（Ⅰ）当k=1 x程f（）2，由此能求出方）=0的解．有，从而（），得|x-1|=0-k|x-1|=0或（Ⅱ）|x-1|? k的取值范围．三个不等于1的解，由此能求出本题考查方程的解法，考查实数的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．ANAMDNADBCDM |=|，|=|||，20.【答案】解：（Ⅰ）由|⊥可知，|MANMDN =∠所以∠，MAN，=-6=12cos因为∠MAN，所以cos∠=-222MANABABACBCAC∠+|||cos-2|，所以||||=||=148BC，|=2所以|故答案为：2DCDB =5|（Ⅱ）因为，|+||）（+=BC，|所以|=10BAC所以∠=90°，故答案为：90°．【解析】- 15 -MAN=-∠，cos（Ⅰ）由平面向量的数量积运算及余弦定理得：222 MAN=148+|AC|，|BC|-2|AB||AC|cos=|AB|∠，|BC|=10=5|DB|+|DC|）（Ⅱ）由平面向量的数量积运算得：+，即=（所以∠BAC=90°，得解本题考查了平面向量的数量积运算及余弦定理，属简单题．d【答案】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，21.da =5则，，解得，=21na +3，∴=2nnSn =+4（∴），=n bba，- （Ⅱ）∵=nnn+1bbannN*，=∈，∴ -≥2，nnn-1-1nbbbbbbbb++）（-）+（）--当时，≥2）=（+nnnnn1 2-2-1-11aaab，+…+= ++nn11-1-2nnnn+2），（-1）（ -1+4）+3==（b=3也适合，对于1bnn+2），∴（= n-），== ∴（T= …-+-+-）-=（）+∴=（1-+-n【解析】，则，计算即可求出a，（Ⅰ）由题意可得设等差数列的公差为dd1和的值，即可求出a．S nn- 16 -（Ⅱ）先根据迭代法求出数列的通项公式，再根据裂项求和即可求出．本题考查了数列的通项公式和递推公式以及裂项求和，考查了运算能力，属于中档题．xfxi＞0）22.【答案】解：（Ⅰ）（=）根据题意，，（′（）2axmnxmn），＜，（不妨设+1=0有2个正根2方程，+a-2；，解得：＜故iifxxmxn时取极小值，时取极大值，在（）在 =（=）证明：易知2ammi+1=0，由（+）知22mmfm-1，（+ln）=-故2xxxgxxg，（′（）=-=）+ln-2-1令，故xx=，-2 =0，解得：由ggx-＜0（=ln）≤，（）故fmfx）至多只有1个零点，故（（）＜0，faa）＞0-，（- ）=ln 又（fx）存在唯一零点；（故aaxx+=0+22（Ⅱ）由题意知：++， +21xax-，+即）=-（21fxfx）故（（）-21xxa+ln）=+- （-21+ln，）=-（-- 17 -thtt，（+设）+ln=∈（1，2），记=-th=-≤0，则）′（hththh（1）），故（（）递增，故2（），）∈（th-+ln2，）∈（0即），（xxff-+ln2，0（）-）．（即）取值范围是（21【解析】（Ⅰ）（i）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可；（ii）＜0，得到f（（x）≤g（x）至多只有1）=ln个零g）令g（x=-x+lnx-1，求出点，从而证明2-结论；∈）（，以及fx）+ln，设t=）+xxa=-（Ⅱ）求出（--=-）x（-f（2211+lnt21（，，根据函数的单调性求出其范围即可．+）t（h），记=-本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及换元思想，转化思想，是一道综合题．- 18 -。
2019届浙江省部分重点中学高三调研考试数学试题(解析版)
2019届浙江省部分重点中学高三调研考试数学试题一、单选题1．已知集合{||1|2}A x x =-≤，{|04}B x x =<„，则()R A B =I ð（ ） A ．{|03}x x <≤ B ．{|34}x x -≤≤C ．{|34}x x <„D ．{|30}x x -<„【答案】C【解析】解绝对值不等式求出A R ð，再与集合B 取交集即可. 【详解】因为{||1|2}{|1R A x x x x =->=<-ð或3}x >，又集合{|04}B x x =<≤，所以(){|34}RA B x x ⋂=<„ð．故选：C 【点睛】本题主要考查集合的运算、绝对值不等式的解法，考查考生的运算求解能力，属于基础题．2．已知a R ∈，i 为虚数单位，且(1)(1)ai i ++为实数，则a =（ ） A ．1 B ．1-C ．2D ．2-【答案】B【解析】对(1)(1)ai i ++进行复数的乘法运算并化简为a bi +的形式，根据实数的虚部为0可列出方程求解a . 【详解】因为(1)(1)1(1)ai i a a i ++=-++为实数，所以10a +=，则1a =-. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算、实数的概念，考查考生的运算求解能力，属于基础题．3．设函数()ln ,1,1x x xf x e x ≤--⎧⎪=>-⎨⎪⎩，则()()2f f -的值为( )A ．1eB ．2eC ．12D ．2【答案】C【解析】由分段函数，先求()2f -=ln2，然后根据判断范围再由分段函数另一段求出值 【详解】21-≤-，()2f -=ln2，ln21>-，即()()()2ln2f f f -==1 2【点睛】本题主要考察分段函数求函数值，这类题目，需要判断自变量所在范围，然后带入相应的解析式解答即可4．若不等式组13220x y x y λλ⎧⎪⎨⎪-+-⎩„„…表示的平面区域经过四个象限，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．[1,1]-C ．[1,2)-D ．(1,)+∞【答案】D【解析】由不等式组表示的平面区域经过四个象限，知(0,0)在平面区域内（不在边界上），则220λ->，解不等式即可. 【详解】由不等式组13220x y x y λλ⎧⎪⎨⎪-+-⎩„„…表示的平面区域经过四个象限，知(0,0)在平面区域内（不在边界上），所以220λ->，所以1λ>. 故选：D【点睛】本题主要考查线性规划知识的运用，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，属于基础题.5．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“对任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用单调性的定义和举特例来判断两个条件的充分性和必要性关系. 【详解】当0n a >时，则()102,n n n S S a n n N *--=>≥∈，1n n S S -∴>，则“对任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列”的充分条件；如数列{}n a 为1-、1、2、3、4、L ，显然数列{}n S 是递增数列，但是n a 不一定大于零，还有可能小于或等于零，所以，“对任意正整数n ，均有0n a >”不是“{}n S 为递增数列”的必要条件， 因此，“对任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，判断时可结合单调性的定义或特例来进行判断，考查推理能力，属于中等题.6．如图，已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点为F ，A 为虚轴的一端点.若以A 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点B ，且AB tBF =u u u v u u u v()t R ∈，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B 5C 13+D 15+ 【答案】D【解析】【详解】由题得双曲线的第一、三象限的渐近线方程为0bx ay -=，所以点A到渐近线的距离ab AB c==，因为AB tBF =u u u v u u u v，所以A,B,F 三点共线.由题得ABO AFO ∆~∆,所以2222222||||||,()abOA AB AF b b c a b c c=⨯∴=∴=+ 222222422442()(2)30310c a c a c a c a c a e e ∴-=-∴-+=∴-+=22361()1242e e ++∴===∴=+，故选D. 7．正四面体ABCD ，E 为棱AD 的中点，过点A 作平面BCE 的平行平面，该平面与平面ABC 、平面ACD 的交线分别为12,l l ，则12,l l 所成角的正弦值为（ ） A．BC ．13D．2【答案】A【解析】由面面平行的性质可得1//l BC 、2//l CE ，则12,l l 所成的角等于BC 与CE 所成的角BCE ∠（或补角），利用余弦定理可求得cos BCE ∠，再由同角三角函数的平方关系可求得sin BCE ∠. 【详解】设所作的平面为α，则由//α平面BCE ，αI 平面1ABC l =， 平面BCE I 平面ABC BC =，得1//l BC ，同理可得2//l CE ， 所以12,l l 所成的角等于BC 与CE 所成的角，即BCE ∠（或补角）． 设正四面体ABCD 的棱长为2，则2BC =，CE BE ==在BCE V中由余弦定理，得222cos 3BCE ∠==，则sin 3BCE ∠==. 故选：A【点睛】本题主要考查空间平面与平面之间的平行关系、余弦定理的应用，考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力、化归与转化思想，属于中档题．8．已知向量,a b r r 满足||1a =r ，且对任意实数,,||x y a xb -r r 3||b ya -rr 的3||a b +=r r（ ）A 7B 523+C 73D 523+523-【答案】C【解析】不妨设向量(1,0),(,)a b m n ==r r ，求出a xb -r r 、b ya -rr 的坐标，2||a xb -r r 表示为关于x 的二次函数，根据二次函数的图象与性质可利用最小值列出等式，同理，2||b ya -r r 表示为关于y 的二次函数，利用最小值列出等式，两式联立求出m 、n ，即可求得向量 a b +r r的模.【详解】不妨设向量(1,0),(,)a b m n ==r r ，则(1,),(,)a xb xm xn b ya m y n -=---=-r r r r，()222222||(1)()21a xb mx xn m n x mx -=-+-=+-+r r ，又对任意实数x 有||a xb -r r 3()()2222224(2)34m n m m n +--=+⎝⎭，化简得223n m =． 222||()b ya m y n -=-+r r ，又对任意实数y 有||b ya -r r 3所以23n =，所以233m =，即1m =±．由(1,)a b m n +=+r r ，可得22222||(1)217a b m n m n m +=++=+++=r r 或3，故||7a b =+r r3【点睛】本题主要考查平面向量与二次函数最小值的综合问题，考查考生分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，属于中档题．本题求解的关键：一是设出向量,a b r r的坐标，有利于从“数”的角度加以分析；二是在“平方”变形的基础上，灵活运用二次函数的最小值． 9．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数n ，记集合{}|,,,1ijx x a a i N j N i j n =+∈∈<剟的元素个数为nc，把{}n c 的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中第17行由左向右数第10个数为（ ）A ．291B ．292C ．293D ．294【答案】C【解析】设1(1)(0)n a a n d d =+-≠，则12(2)i j a a a i j d +=++-，分析出2i j +-可取的数从而求出n c 的表达式，第17行由左向右数第10个数为148c ，148n =代入n c 即可得解. 【详解】设1(1)(0)n a a n d d =+-≠，则12(2)i j a a a i j d +=++-，由题意知1i j n <剟，当1,2i j ==时，2i j +-取最小值1，当1i n =-，j n =时，2i j +-取最大值23n -，易知2i j +-可取遍1,2,3,,23n -L ，即23(3)n c n n =-…．数阵中前16行共有12316136++++=L （个）数，所以第17行由左向右数第10个数为14821483293c =⨯-=.故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列、归纳推理等知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 10．已知函数()()34xf x ax b e-=+⋅，则（ ）A ．当0a b >>时，()f x 在()-0∞，单调递减B ．当0b a >>时，()f x 在()-0∞，C ．当0a b <<时，()f x 在()0+∞，单调递增D ．当0b a ≤<时，()f x 在()0+∞，单调递增 【答案】D【解析】求导()()32324'343x x b f x ax ax b e ae x x a --⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭然后分析函数单调性，根据a ，b 取值情况，重点分析3243bx x a-+最值即可得出原函数的单调情况，从而得出结论. 【详解】()()32324'343x x b f x ax ax b e ae x x a --⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，当3232401,334b bb a x x x x a a≤<⇒≥-+≥-+， 令()3234h x x x =-+，则()2'36h x x x =-，所以()h x 在()0,2递减，()2,+∞递增，()h x 的最小值是()20h =， 所以()0h x ≥则 ()()'0f x f x >⇒在()0,+∞单调递增，选D 【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性的判断与应用，属于中档题．二、双空题11．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数表，表中除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和.利用这一性质，36C =__________，47C =__________．（用数字作答）【答案】20 35【解析】323434655766C C C 101020,C C C 20+15=35=+=+==+=,故填20，35.12．已知随机变量ξ的分布如表所示，则()E ξ=______，()D ξ=______．ξ1-1P m13【答案】13-89【解析】利用分布列求解m ，求出期望，利用方差公式求方差． 【详解】由随机变量ξ的分布可得113m +=，可得23m =， 所以()21111333E ξ=-⨯+⨯=-．()22121181133339D ξ⎛⎫⎛⎫=-+⨯++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：13-；89． 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布和数学期望、方差等基础知识，熟记期望、方差的公式是解题的关键．13．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_______,表面积为_______.【答案】13 3522++ 【解析】根据三视图画出其立体图形,由此计算出几何体的体积和表面积. 【详解】Q 根据其三视图可知其几何体是一个四棱锥,底面是边长为1正方形ABCD ,过E 向底面作垂线交AD 延长线于O ,根据其三视图可知1EO =,∴ 11111333E ABCD V S h -=⋅=⋅⋅=过O 作OF AB P 且OF AB =,则四边形OFBA 是边长为1正方形. 连接EF ,可得EF FB ⊥Q 在Rt EFO V 222EF EO OF =+∴ 2EF =故121222S EBC =⋅=V Q 1151522S EDC DC ED =⋅⋅=⋅=V 1121222S EAB AB EA =⋅⋅=⋅=V 11111222S EAD AD EO =⋅⋅=⋅⋅=V1S ABCD =Y其几何体表面积为:3522S ++=故答案为: 133522++. 【点睛】本小题主要考查了几何体体积和表面积的计算,解题关键是根据其三视图画出其立体图形.要注意三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”,注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响,对简单组合体三视图问题,先看俯视图确定底面的形状,根据正视图和侧视图,确定几何体的形状.14．已知正数x ，y 满足22x y +=，则当x =__________时，1y x-取得最小值为__________．【答案】22 【解析】【详解】 由题得111(22)22,0y x x x x x x-=--=+->Q ，12222x x ∴+-≥=， 当且仅当012x x x>⎧⎪⎨=⎪⎩，即2x =时取等.故填（1）2（2）2.三、填空题15．已知正三角形ABC 的边长为4，O 是平面ABC 上的动点，且3AOB π∠=，则OC AB ⋅u u u v u u u v的最大值为_______．【答案】3【解析】【详解】以AB 所在的直线为x 轴，垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,设(,),(20),(20),(0O x y A B C -则，，.由题得，022422tan 604122y yy x x y y x y x x --+-===+-+⋅+-，2204y +-=，即222+x y =（， 所以动点O的轨迹是圆222+x y =（，所以x ≤≤()(4,0)4OC AB x y x ⋅=-⋅=-u u u r u u u r，所以-4x的最大值为3.故答案为：163 3点睛:本题的难点在于想到利用解析法来解析,本题如果不用解析法解答,用其它方法,比较复杂,很难化简，但是利用解析法，先求出动点的轨迹，后面就简单了. 遇到正三角形、直角三角形、菱形等，可以尝试利用解析法解答.16．某翻译处有8名翻译，其中有小张等3名英语翻译，小李等3名日语翻译，另外2名既能翻译英语又能翻译日语，现需选取5名翻译参加翻译工作，3名翻译英语，2名翻译日语，且小张与小李恰有1人选中，则有____种不同选取方法.【答案】29【解析】据题意，对选出的3名英语教师分5种情况讨论：①若从只会英语的3人中选3人翻译英语，②若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（包含小张），③若从只会英语的3人选小张翻译英语，④、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（不包含小张），⑤、若从只会英语的3人中选1人翻译英语，（不包含小张），每种情况中先分析其余教师的选择方法，由分步计数原理计算每种情况的安排方法数目，进而由分类计数原理，将其相加计算可得答案．【详解】根据题意，分5种情况讨论：①、若从只会英语的3人中选3人翻译英语，则需要从剩余的4人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有246C=种，②、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的3人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有11222312C C C⨯⨯=种，③、若从只会英语的3人选小张翻译英语，则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的2人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有22221C C ⨯=种，④、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（不包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的4人（小李必选）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有2112236C C C ⨯⨯=种，⑤、若从只会英语的3人中选1人翻译英语，（不包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的3人（小李必选）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有1212224C C C ⨯⨯=种，则不同的安排方法有61216429++++=种． 故答案为29． 【点睛】本题考查排列、组合的运用，注意根据题意对“既会英语又会日语”的教师的分析以及小张与小李恰有1人选中，是本题的难点所在．17．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若224sin 6b c bc A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则tan tan tan A B C ++的最小值是______．【答案】【解析】由余弦定理及所给等式可得22cos 4sin 6a bc A bc A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，化简得2sin a A =，然后利用正弦定理进行边化角可整理得tan tan tan B C B C +=，再由tan tan()A B C =-+可推出tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅，令tan tan 1(0)B C m m ⋅-=>将所求式子整理为关于m 的函数，利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】由余弦定理，得2222cos b c a bc A +=+，则由224sin 6b c bc A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，得22cos 4sin 2cos )6a bc A bc A bc A A π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，所以2sin a A =，由正弦定理，得2sin sin sin A B C A =⋅⋅，所以sin sin A B C =，所以sin()sin B C B C +=，sin cos cos sin sin B C B C B C +=，tan tan tan B C B C +=．因为tan tan tan tan()tan tan 1B CA B C B C +=-+=-，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅， 则tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1B C B CA B C B C B CB C B C +++=⋅⋅=⋅⋅--．令tan tan 1B C m ⋅-=，而tan tan tan tan 1,0tan tan B CB C m A A⋅-=+∴> 则tan tan 1B C m ⋅=+，)221tan tan tan m m A B C m++++==122)m m ⎫=++=⎪⎭…当且仅当1m =时，等号成立，故tan tan tan A B C ++的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式、正切公式，基本不等式的应用，换元法的应用等，属于较难题．根据条件中边和角的关系求解三角形的相关问题的一般方法：（1）利用正弦定理将边化为角，然后利用三角函数的知识及其他知识求解；（2）利用正弦定理或余弦定理将角化为边，然后利用代数知识求解．四、解答题18．函数()2sin()10,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=++><<⎪⎝⎭的图象过点14π⎛⎫+⎪⎝⎭，且相邻两个最高点与最低点的距离为2．（1）求函数()f x 的解析式和单调增区间； （2）若将函数()f x 图象上所有的点向左平移38π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，求()g x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】（1）()2sin 214π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭f x x ；3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）[1]- 【解析】（1）根据相邻两个最高点和最低点的距离，建立方程，求出ω，利用已知点，求出ϕ，可得函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间，可得结论；（2）根据三角函数图象变换规则求出()g x 的解析式，根据角的范围，利用正弦函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）相邻两个最高点和最低点的距离为2=，解得2ω=，()2sin(2)1f x x ϕ=++，14π⎛⎫⎪⎝⎭Q 在函数图象上，2sin 11sin cos 4222f πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=⇒+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0,24ππϕϕ<<∴=Q ，()2sin 214f x x π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭．由222,242k x k k Z πππππ-+++∈剟，得3,88k x k k Z ππππ-++∈剟， ()f x ∴的单调增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦． （2）()f x 向左平移38π个单位长度得32sin[2()]2sin(2)12sin 2184y x x x πππ=++=++=-+， 2sin 21y x =-+图象上所有点的横坐标变为原来的12得()2sin 41g x x =-+，当123xππ剟时，4433x ππ≤≤，3sin 41x -剟， 1()31g x ∴-+剟，()g x ∴在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,31]-+．【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，三角函数图像变换规则，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，属于中档题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，4CD =，2PA AB BC AD ====，Q 为棱PC 上的一点，且13PQ PC =．(Ⅰ)证明：平面QBD ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求直线QD 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)见证明；（2）(Ⅱ)32114. 【解析】(Ⅰ)连结AC BD 、，交于点O ，推导出//QO PA ，QO ⊥平面ABCD ，由此能证明平面QBD ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)过D 作平面P BC 的垂线，垂足为H ，则DQH ∠即为直线QD 与平面PBC 所成角，设为θ，设DH h =，由Q BCD D BCQ V V --=，求出421h =，由此能求出直线QD 与平面PBC 所成角的正弦值． 【详解】(Ⅰ)连结AC ，BD ，交于点O ，则由ABO V ∽CDO V ，得13AO AC =， 13PQ PC =Q ，//QO PA ∴，PA Q ⊥平面ABCD ，QO ∴⊥平面ABCD ，又QO ⊂平面QBD ，∴平面QBD ⊥平面ABCD ．(Ⅱ)过D 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，则DQH ∠即为直线QD 与平面PBC 所成角，设为θ， 设DH h =，Q BCD D BCQ V V --=Q ，1133BCD BCQ S QO S h ∴⋅=⋅V V ， 即14122373333h ⨯⨯=⨯⨯， 解得421h =， 22283QD QO OD =+=Q ，∴直线QD 与平面PBC 所成角的正弦值321sin h DQ θ==． 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想与空间想象能力，是中档题．求线面角的方法：1、传统法：根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；2、向量法：对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解. 20．已知数列的前项和为，且满足（且）Ⅰ当，时，求数列的前项和：Ⅱ若是等比数列，证明：．【答案】Ⅰ;Ⅱ证明见解析.【解析】Ⅰ当，时，，运用分组求和方法，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和；Ⅱ可得，时，，运用等比数列的通项公式，可得，的值，进而得到，利用裂项相消法求和，结合放缩法即可得证．【详解】Ⅰ当，时，，前n项和；Ⅱ可得，时，，由是等比数列，可得，且，即，，，则，则，．【点睛】本题考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查等差数列与等比数列的求和公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.21．已知椭圆M：22221x ya b+=(0)a b>>3A，B分别为M的右顶点和上顶点，且5AB=（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若C ，D 分别是x 轴负半轴，y 轴负半轴上的点，且四边形ABCD 的面积为2，设直线BC 和AD 的交点为P ，求点P 到直线AB 的距离的最大值.【答案】(1) 2214x y += (2)5105【解析】试题分析：（1）第（Ⅰ）问，根据题意得到关于,,a b c 的方程组，解方程组即可. (2)第（Ⅱ）问，先转化四边形ABCD 的面积为2，得到点P 的轨迹，再结合点P 的轨迹球点P 到AB 的距离的最大值. 试题解析：（Ⅰ）由32c a =得2a b =. 又225AB a b =+=1b =，2a =.所以椭圆M 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）设()00,P x y ，(),0C s ，()0,D t ，其中0s <，0t <.因为()2,0A ，()0,1B ， 所以0022y tx =--，0011y x s --=，得0022y t x =--，001x s y =--. 又四边形ABCD 的面积为2，得()()214s t --=，代入得0000221412x y y x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，即()20022x y +- ()()00421x y =--，整理得220044x y +=.可知，点P 在第三象限的椭圆弧上. 设与AB 平行的直线12y x m =-+ (0)m <与椭圆M 相切. 由224412x y y x m⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩消去y 得222220x mx m -+-=，2840m ∆=-=，2m =-.所以点P 到直线AB 的距离的最大值为21114++252105+=.点睛：本题的难点在于转化条件得到动点P 的轨迹，对于四边形ABCD 的面积为2的转化，最好是把这个四边形分成两个三角形的面积来求解. 22．设函数3()(1)f x x ax b =---，x ∈R ，其中a,b ∈R. （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若f （x ）存在极值点x 0，且f （x 1）= f （x 0），其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=3； （Ⅲ）设a ＞0,函数g （x ）= |f （x ）|,求证：g （x ）在区间[0,2]上的最大值不小于14. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数'()f x ，再根据导函数零点是否存在，分类讨论；（Ⅱ）由题意得，计算可得00(32)()f x f x -=.再由及单调性可得结论；（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较(1),(1)f f -，33(,()33a a f f -的大小即可，可分三种情况研究：①3a ≥；②334a ≤<；③304a <<. 试题解析：（Ⅰ）解：由，可得.下面分两种情况讨论： （1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得313a x =+，或31ax =-. 当变化时，，的变化情况如下表：3(,1)3a-∞-313a -33(1,1)33a a -+313a+3(1,)3a++∞＋0 －0 ＋单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为33(1,1)33a a-+，单调递增区间为3(,1)3a-∞-，3(1,)3a++∞.（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数1x满足，且，因此，所以.（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况讨论：（1）当时，331021a a-≤<≤+，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此{}{}max(2),(0)max12,1M f fa b b==----， 所以.（2）当时，2333231011213333a a a a -≤<-<+<≤+，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，233(0)(1)(1)33a a f f f ≥-=+，233(2)(1)(1)33a a f f f ≤+=-， 所以在区间上的取值范围为33[(1),(1)]33a a f f +-，因此 3322max (1),(1)max 3,33399a a a a M f f a a b a a b ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=+-=-----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭.（3）当时，2323011233a a <-<+<，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， 233(0)(1)(1)a a f f f <-=+，233(2)(1)(1)a a f f f >+=-， 所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1．求可导函数单调区间的一般步骤：（1）确定函数f （x ）的定义域（定义域优先）；（2）求导函数f ′（x）；（3）在函数f（x）的定义域内求不等式f ′（x）＞0或f ′（x）＜0的解集；（4）由f ′（x）＞0（f ′（x）＜0）的解集确定函数f（x）的单调增（减）区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2．由函数f（x）在（a，b）上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．。
浙江省杭州第十四中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
浙江省杭州第十四中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥平面1=22ABC AA BC BAC π=∠=，，,此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）A ．323π B ．16π C.253π D ．312π2． 已知在数轴上0和3之间任取一实数，则使“2log 1x <”的概率为（ ）A ．14B ．18C ．23D ．1123． 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为21时，则输入的值为（ ）A ．2B ．1-C ．1-或2D ．1-或10 4． 设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若633S S =，则96SS =（ ） A ．2 B ．73 C.83 D ．3 5． 已知数列｛n a ｝满足nn n a 2728-+=（*∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ）A ．211B ．227C ． 32259D ．324356． 设n S 是等比数列{}n a 的前项和，425S S =，则此数列的公比q =（ ）A ．-2或-1B ．1或2 C.1±或2 D ．2±或-1 7． 在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则210a a +=（ ）A ．12B ．16C ．20D ．24 8． 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（ ）A ．24B ．80C ．64D ．240 9． sin 15°sin 5°－2sin 80°的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－210．在ABC ∆中，b =3c =，30B =，则等于（ ）A B ． C D ．2 11．棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π1012．已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若1cos 2c B a b ⋅=+，ABC ∆的面积12S c =， 则边c 的最小值为_______．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．14．函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上递减，则实数的取值范围是 ．15．自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则PQ 的最小值为（ ） A ．1310 B ．3 C ．4 D ．2110【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．16．将一张坐标纸折叠一次，使点()0,2与点()4,0重合，且点()7,3与点(),m n 重合，则m n +的 值是 ．三、解答题（本大共6小题，共70分。
2019届浙江省杭州市高三教学质量检测数学试题(解析版)
2019届浙江省杭州市高三教学质量检测数学试题一、单选题1．设集合{}{}21,|4A x x B x x =>=≤，则A B =I ( ) A ．()1,2 B ．(]1,2C ．(]0,2 D ．()1,+∞【答案】B【解析】首先求解集合B ，然后求A B I . 【详解】24x ≤，解得22x -≤≤，所以{}22B x x =-≤≤， 所以{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的交集，重点考查不等式的解法，属于基础题型.2．已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则211z z -=+( )A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -【答案】A【解析】根据完全平方和除法计算公式计算结果. 【详解】原式()()()()()211212215112225i i i i ii i i i i +----=====++++-.故选：A 【点睛】本题考查复数的化简求值，属于基础计算题型.3．二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为( )A ．20B ．-20C ．160D ．-160【答案】D【解析】首先写出二项式的通项公式()6621612rrr r r T C x --+=-⋅⋅，然后令3r =求常数项. 【详解】()()66621661212rrr r rr r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭当620r -=时，3r = ，所以二项式的常数项为()333612160C -⋅=-.故选：D 【点睛】本题考查二项式定理指定项的求法，重点考查通项公式，属于基础题型. 4．“a b >”是“a a b b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】首先判断y x x =的单调性，再根据单调性判断充分必要条件. 【详解】22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，函数是奇函数，并且在R 上单调递增，所以a b >时，a a b b >，反过来，若满足a a b b >时，根据函数y x x =是单调递增函数，所以a b >， 所以a b >”是“a a b b >”的充要条件. 故选：C 【点睛】本题考查充分必要条件，重点考查函数单调性的判断方法，转化与化归的思想，属于基础题型.5．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng ，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于( )A ．3B ．5C ．6D ．12【答案】B【解析】首先由三视图还原几何体，再将刍甍分为三部分求解体积，最后计算求得刍甍的体积. 【详解】由三视图换元为如图所示的几何体，该几何体分为三部分，中间一部分是直棱柱，两侧是相同的三棱锥，并且三棱锥的体积113113⨯⨯⨯=， 中间棱柱的体积131232V =⨯⨯⨯= , 所以该刍甍的体积是1235⨯+=. 故选：B 【点睛】本题考查组合体的体积，重点考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型. 6．函数()()212x y x x e =--（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先判断函数零点，并判断零点左右的正负，排除选项，得到正确答案. 【详解】由函数可知函数有两个零点，1,x =和2x =，当2x >时，0y >，2x <且1x ≠时，0y < ，故排除B,C,D. 满足条件的是A. 故选：A 【点睛】本题考查函数图象的识别，重点考查函数性质的灵活应用，属于基础题型，一般函数图象的识别，首先考查函数的定义域，零点，单调性，极值，特殊值等，一般都是排除选项，得到正确答案.7．已知a c ≠，随机变量ξ，η的分布列如表所示.ξ1 2 3Pabcη1 2 3 P cba命题p ：=E E ξη，命题q ：D D ξη=，则( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假【答案】C【解析】首先分别求E ξ和E η，然后比较，利用公式()()22D E E ξξξ=-，利用公式1a b c ++=，计算D D ξη-的值.【详解】12323E a b c a b c ξ=⨯+⨯+⨯=++ 12332E c b a a b c η=⨯+⨯+⨯=++ ，()2E E c a ξη-=- a c ≠Q ，E E ξη∴≠，所以命题p 是假命题，()249E a b c ξ=++，()()2223E a b c ξ=++，所以()()24923D a b c a b c ξ=++-++()294E a b c η=++，()()2232E a b c η=++，()()()()2229432D E E a b c a b c ηηη=-=++-++ ，()()()()()2283223D D c a a b c a b c ξη-=-+++-++()()()822444c a a c a b c =-+-++ ， 1a b c ++=Q ，所以()()()()880D D c a a c ξη-=-+-=， 即()()D D ξη=,所以命题q 是真命题. 综上可知p 假q 真. 故选：C 【点睛】本题考查离散型分布列的期望方差，属于重点题型，本题使用的关键公式是()()22D E E ξξξ=-，比较大小的关键是利用1a b c ++=. 8．设函数()111222xxf x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()()y f f x =( )A ．是偶函数也是周期函数B ．是偶函数但不是周期函数C ．不是偶函数是周期函数D ．既不是偶函数也不是周期函数【答案】A【解析】首先去绝对值，得到分段函数()y f x =，判断函数的奇偶性，然后根据()f x 的值域，求函数()()y f f x =，判断函数的周期性.【详解】当1x >时，1122x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()1111122222x xx f x -⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当1x ≤时，11,122x⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()11112222xxf x ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以()112122x f x -⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩ 11x x ≤> ， 函数满足()()f x f x -= ， 所以函数()f x 是偶函数， 那么()()()()ff x f f x -=，所以函数()()y f f x =是偶函数，1x >时，10x -<，所以1021x -<<，11112222x --<-<，所以函数()f x 的值域是11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， 所以()12f f x =-⎡⎤⎣⎦， 所以()()y ff x =是常函数，所以是周期函数，综上可知，函数()()y f f x =是偶函数，也是周期函数.故选：A 【点睛】本题考查含绝对值函数，判断函数的奇偶性和周期，重点考查函数解析式和性质的灵活运用，属于中档题型，本题的关键是求函数()y f x =. 9．已知数列{}n a 满足112(,2)n n n a a a n n *-+∈≥N ≤＋，则（ ） A ．52143a a a ≤- B ．2736a a a a +≤+ C ．76633()a a a a -≥- D ．2367a a a a +≥+【答案】C【解析】由112n n n a a a -+≤＋可知11n n n n a a a a -+-≤-，再根据这个不等关系判断选项正误． 【详解】由题得11n n n n a a a a -+-≤-，则有213243546576a a a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-≤-， 76435465633()()()()a a a a a a a a a a -≥-+-+-=-，故选C ．【点睛】本题考查数列的递推关系，用到了放缩的方法，属于难题．10．已知椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于M ，N 两点，以线段MN 为直径的圆经过原点.若椭圆Γ的离心率不大于2，则a 的取值范围为（ ）A ．(B ．2⎛ ⎝C ．⎛ ⎝⎦D ．⎛ ⎝⎦【答案】D【解析】由题意可得a >1，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，直径所对的圆周角为直角，化为12120x x y y +=，化简整理，结合离心率公式和不等式的解法，可得a 的范围． 【详解】椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于M ，N 两点，可得a >1，由1x y +=联立椭圆方程可得()222222220a bxa x a ab +-+-=，设()()1122,,,M x y N x y ,可得2222121222222,a a a b x x x x a b a b -+==++， 线段MN 为直径的圆经过原点，可得OM ⊥ON ， 即有12120x x y y +=，可得()()1212110x x x x +--=， 化为()1212210x x x x +-+=，则222222222210a a b a a b a b -⋅+-=++，化为22222a b a b +=，由2e ≤,可得22314b a -≤，即2214b a ≥,可得22212a a a ≥-，即有2214a -≤,解得a ≤， 可得12a <≤ 故选：D . 【点睛】本题主要考查直线与椭圆位置关系问题，根据题目条件列出不等式，重点在于联立方程利用韦达定理代入，化简不等关系可解，属于综合题.二、双空题11．双曲线2214x y -=的焦距为__________；渐近线方程为__________．【答案】 12y x =±【解析】由双曲线2214x y -=可知，224,1,a b ==故2225c a b =+=,焦距2c =渐近线:12b y x x a =±=±,故答案为(1) ， (2) 12y x =±.12．设函数()()()log 020a x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数a=________；()()2f f =________.【答案】14 2【解析】代入分段函数求a 的值，然后再求()2f 和()()2f f 的值. 【详解】111log 222a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，得121124a a =⇒=所以()14log 2x x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 00x x >≤ ，那么()1412log 22f ==-，所以()()1212222f f f -⎛⎫=-== ⎪⎝⎭.故答案为：14；2【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题型.13．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1cos 24C =-，则sin C =________；当2a =，2sin sin A C =时，则b =________.或【解析】首先根据二倍角公式2cos 212sin C C =-计算求值，再根据正弦定理得到2c a =，最后利用余弦定理2222cos c a b ab C =+-，求b .【详解】21cos 212sin 4C C =-=-，所以25sin 8C =0c π<<Q ，sin C ∴=所以cos 4C =±, 由正弦定理可知24c a ==，2222cos c a b ab C ∴=+-,当cos 4C =时，整理为2120b --= ，即(0b b +-=，所以b =当cos 4C =-，整理为2120b +-=，即(0b b -+=，所以b =，所以b =.故答案为：4或【点睛】本题考查二倍角公式，正余弦定理，解三角形，重点考查公式的灵活运用，属于基础题型.14．设实数x，y满足不等式组2502700,0x yx yx y+-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩，则2x y+的最小值是________；设22d x y=+，则d的最小值等于________.【答案】5 49 5【解析】首先画出可行域，并且做出初始目标函数20x y+=，根据2z x y=+的几何意义确定z的最小值，再根据22d x y=+的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方，由图象确定最小值.【详解】首先如图作出可行域，令2z x y=+，设0z=时，作出初始目标函数20x y+=20x y+=与边界250x y+-=平行，平移初始目标函数20x y+=，当2z x y=+与250x y+-=重合时，z取得最小值，所以5z=；22d x y=+表示可行域内的点与原点连线距离的平方，由图象可知，可行域内的点到原点的最小距离就是原点到直线270x y+-=的距离，即22775521d-'==+，那么d的最小值是275495⎛⎫=⎪⎪⎝⎭.故答案为：5；495【点睛】本题考查线性规划和非线性规划，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.三、填空题15．已知集合{}13,5A =,，{}0,2,4B =，分别从A ，B 中各取2个不同的数，能组成不同的能被3整除的四位偶数的个数是________（用数字作答）. 【答案】32【解析】首先先从两个集合分别选出两个元素，这四个数加起来能被3整除，然后再排列4为偶数，得到最后结果. 【详解】首先先从两个集合中选取元素，分别选取1,3,0,2，1,5,2,4，3,5,0,4共3种组合情况，当四个数是1,3,0,2时，能组成的偶数：个位是0时，共有336A =种，个位是2时，有2224A =种，有6410+=种，当四个数是1,5,2,4时，能组成的偶数有33212A =种，当四个数是3,5,0,4时，能组成的偶数：个位是0时，共有336A =种，个位是4时，有2224A =种，有6410+=种，综上可知能组成不同的能被3整除的四位偶数的个数是10+12+10=32种. 故答案为：32 【点睛】本题考查分步计数和分类计数原理，以及排列，重点考查分析，抽象转化的应用能力，属于中档题型，本题的关键是正确选出4个数字.16．已知向量()1,2a =r ，平面向量b r满足()2a b a +⋅=v v v v，则()4b a b -⋅v v v 的最小值等于________. 【答案】20【解析】由已知条件变形可得10a b ⋅=-rr r ，再利用数量积的公式，将()4b a b-⋅v v v 变形为关于b r的二次函数求最小值.【详解】()222a b a a a b +⋅=+⋅=r rr r r r即105a b b +⋅=r r r ，即510a b b ⋅=-rr r ，()22444540b a b b a b b b -⋅=-⋅=-+r r r r r r r r()22520b =-+r，当25b =r 时，可得()4b a b -⋅r rr 的最小值是20.故答案为：20 【点睛】本题考查向量数量积的应用，二次函数求最值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.17．如图，已知矩形ABCD ，3AB =，1AD =，AF ⊥平面ABC ，且3AF =.E 为线段DC 上一点，沿直线AE 将△ADE 翻折成D AE 'V ，M 为BD '的中点，则三棱锥M BCF -体积的最小值是________.【答案】312【解析】首先分析出11123322BCF S BC BF =⨯⨯=⨯⨯=V 即求棱锥M BCF -体积的最小值即求点M 到平面BCF 的距离的最小值，转化为求点D ¢到平面BCF 距离的最小值，由条件确定点D ¢的运动轨迹为以A 为球心，半径为1的球面的一部分，然后根据图象分析点D ¢到平面BCF 距离的最小值. 【详解】因为AF ⊥平面ABCD ，所以AF BC ⊥, 又因为AB BC ⊥，AB AF A =I ， 所以BC ⊥平面ABF ， 所以BC BF ⊥()223323BF =+=所以11123322BCF S BC BF =⨯⨯=⨯⨯=V所以求棱锥M BCF -体积的最小值即求点M 到平面BCF 的距离的最小值， 因为点M 是BD '的中点，所以点M 到平面BCF 的距离是点D ¢到平面BCF 距离的一半， 因为1AD '=,随着点E 在线段DC 上移动，点D ¢的运动轨迹为以A 为球心，半径为1的球面的一部分， 因为BC ⊥平面ABF ，所以平面BCF ⊥平面ABF ，并且交于BF ， 所以如图，过点A 作AH BF ⊥，即AH ⊥平面BCF ，当D ¢为AH 与球面的交点G 时，D ¢到平面BCF 的距离最小， 此时点E 在线段DC 上， 根据AB AF BF AH ⋅=⋅，可得32AH =,此时31122GH =-=，即D ¢到平面BCF 的距离的最小值是12，那么点M 到平面BCF 距离的最小值是14，所以三棱锥M BCF -体积的最小值是11333412=. 故答案为：312【点睛】本题考查三棱锥体积的最小值，考查空间点的轨迹问题，意在考查空间想象能力，和数形结合分析问题的能力，属于中档题型.四、解答题18．已知函数()23sin 22sin f x x x =+.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,2-.【解析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求函数的单调递增区间； （2）先求26x π-的范围，再求函数sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，最后求函数的值域. 【详解】（1）因为()3sin 21cos 22sin 216f x x x x π⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭， 令222262k x k πππππ-+≤-≤+，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈所以函数()f x 的单调增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 的值域为[]1,2-. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换和函数性质的综合应用，重点考查基本变形，基本方法，属于基础题型.19．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ； （2）若二面角D AP C --，求PF 的长度. 【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）先证明AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，即得AF ⊥平面ABCD ；（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题得cos ,m AB m AB m AB⋅===u u u vu u u v u u u v ，解方程即得解.【详解】（1）证明：∵90BAF ∠=︒，∴AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF I 平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ， ∴AF ⊥平面ABCD .（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D，()0,0,1F ，∴()0,2,1FD u u u v =-，()1,2,0AC =u u u v，()1,0,0AB =u u u r由题知，AB ⊥平面ADF ，∴()1,0,0AB =u u u r为平面ADF 的一个法向量，设()01FP FD λλ=≤<u u u v u u u v ，则()0,2,1P λλ-，∴()0,2,1AP λλ=-u u u v， 设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则00m AP m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ， ∴()21020y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩，令1y =，可得22,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，∴cos ,3m AB m AB m AB⋅===u u u vu u u v u u u v ，得13λ=或1λ=-（舍去），∴PF =【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．设等差数列{}n a 前n 项和为n A ，等比数列{}n b 前n 项和为n B .若387n n B B +=+，12a b =，44a b =.（1）求n b 和n A ；（2）求数列{}n n b A -的最小项. 【答案】（1）12n nb -=，2n A n n =+；（2）514c =-.【解析】（1）由等比数列的性质，变形条件为3112387n n n B q B a a a B +=+++=+，列方程求等比数列的首项和公比，再由12a b =，44a b =，求等差数列的首项和公差；（2）由（1）可知122n n n b A n n +-=--，判断数列的单调性，再求最小项.【详解】（1）因为3312387n n n B q B b b b B +=+++=+，所以312387q b b b ⎧=⎨++=⎩，解得112b q =⎧⎨=⎩. 所以12n nb -=.又因为122a b ==，448a b ==，所以2d =，2n a n =，因此2n A n n =+. （2）设122n n n n c b A n n -=-=--.又因为()11221n n n c c n -+-=-+，所以当4n ≤时，1n n c c +<，当5n ≥时，1n n c c +>， 所以数列{}n c 的最小项为514c =-.【点睛】本题考查数列的基本量的求解和等比数列的性质，以及数列的单调性，最值的综合应用，意在考查转化与变形，计算能力，属于中档题型，本题第一问巧妙的运用了等比数列的性质33123n n B q B b b b +=+++，这样问题迎刃而解.21．如图，已知()1,1P 为抛物线2y x =上一点，斜率分别为k ，k -()2k >的直线PA ，PB 分别交抛物线于点A ，B （不与点P 重合）.（1）证明：直线AB 的斜率为定值； （2）若△ABP 265. （i ）求△ABP 的周长（用k 表示）； （ii ）求直线AB 的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）22125k k +；（ii ）224y x =-+. 【解析】（1）首先设直线P A 的方程为()11y k x =-+，与抛物线2y x =联立，求得点A 的坐标，将k k =-，求得点B 的坐标，再求直线AB 的斜率；（2）（ⅰ）利用弦长公式，分别求三角形的三边长，（ⅱ）首先求点P 到直线AB 的距离，再利用等面积公式转化方程求k ，最后求直线AB 的方程. 【详解】（1）设直线P A 的方程为()11y k x =-+，与抛物线2y x =联立，得210x kx k -+-=，易知()()21,1A k k --，()()21,1B k k --+， 所以直线AB 的斜率2AB k =-（定值）.（2）由（1）得直线AB 的方程为()()2211y x k k =--++-，所以点P 到直线AB的距离2d =. ()2AP k =-，()2BP k =+，AB =.（ⅰ）求ABP ∆的周长2l =； （ⅱ）设ABP ∆的内切圆半径为r，则r =-2AB d r l⋅====5k =. 所以直线AB 的方程为224y x =-+. 【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的综合应用，重点考查转化与化归的思想，计算能力，坐标法解决几何问题的思想，属于中档题型，本题的关键是利用方程联立求出点,A B 的坐标.22．已知函数()()1xf x x e =-.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若方程()(),f x ax b a b R =+∈有非负实数解，求2+4a b 的最小值. 【答案】（1）()0,∞+；（2）()24ln 21--.【解析】（1）首先求函数的导数()xf x xe '=，直接求函数的单调递增区间；（2）设()()g x f x ax b =--，求函数的导数()x g x xe a '=-，当0a ≤时，判断函数在()0,∞+上单调性，当有非负实数解时，求24a b +的最小值，当0a >，转化为存在00x >使()00g x '=，即00x a x e =，且()g x 在[]00,x 上单调递减，在[)0,x +∞上单调递增转化为()002222000441x x a b x ex x e +≥--+，通过构造函数()()22241x x h x x e x x e =--+，求函数的最小值.【详解】（1）因为()xf x xe '=，所以函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+.（2）设()()1xg x x e ax b =---，则()xg x xe a '=-.①当0a ≤时，因为()0g x '≥，所以()g x 在[)0,+∞单调递增， 所以()010g b =--≤，得1b ≥-，故244a b +≥-. ②当0a >时，存在00x >使()00g x '=，即00xa x e =，且()g x 在[]00,x 上单调递减，在[)0,x +∞上单调递增.所以()()000010xg x x e ax b =---≤，解得()()0002000011x x x b x e ax x e x e ≥--=--，因此()002222000441x x a b x e x x e +≥--+.设()()22241xx h x x ex x e =--+，则()()()222x x x h x x e e =+-'，所以()h x 在[]0,ln 2上单调递减，在[)ln 2,+∞上单调递增， 所以()()ln 204h h <=-，()()2ln 24ln 28ln 28h x h ≥=-+-.所以当2ln2a =，22ln 22ln 22b =-+-时，24a b +取到最小值()24ln 21--，此时方程()f x ax b =+有零点ln 2.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点，属于综合性强的题型，本题的难点是第二问0a >时的讨论，通过转化，变形构造函数，转化为求函数的最小值.。
浙江省杭州市十四中2019届高三数学4月月考试卷
，展开式中的常数项是
．
4. 给定区域 D：
，令点集 T={（x0 ， y0）∈D|x0 ， y0∈Z,(x0,y0)是 z=x+y 在 D 上取得最大值或
最小值的点}，则 z 的最小值为
，且 T 中的点共确定
条不同的直线．
5. 1202 年，意大利数学家斐波那契在《算盘之书》中，提出了一个关于兔子繁殖的问题，得到著名的
则实数 k 的最小值为
．
，若存在实数 a，使得对于任意实数 x，都有|f(x)-a|<k 成立，
评卷人 得分
二、解答题（共 5 题)
8. 已知 2sinatana=3，且 0<a<π． （Ⅰ)求 a 的值；
（Ⅱ)求函数 f(x)=4cosx cos（x-a)在[0， ]上的值域。
9. 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 所有的棱长均为 2，A1B= ，A1B⊥AC．
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 姓名：____________班级：____________学号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
浙江省杭州市十四中 2019 届高三数学 4 月月考试卷
斐波那契数列{an}:1，1，2，3，5，8…，满足 a1=a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*),
那么 a1+a3+a5+a7+a9+…+a2017,是斐波那契数列中的第
项．
6. 已知向量 a，b 满足|b|=1，a2- a·b+1=0，则 b·（2a+b)的取值范围是
2019届高三数学9月份联考试题 文(含解析)
h2019 届高三数学 9 月份联考试题 文(含解析)一、选择题 1. 已知集合 为( ) 【答案】B 【解析】∵集合， ，，则中的元素的个数∴，即，∴中的元素的个数为 1 个故选：BA．0B．1C．22. 已知，为虚数单位，【答案】A【解析】因为D．3，则()，所以，则，应选答案 A。
A．B．0C．D．13. 已知幂函数的图象过点 ，则函数在区间 上的最小值是( ) 【答案】B【解析】由题设，故在 上单调递增，则当 时取最小值，应选答案 B。
A．B．0C．D．4. 已知，，A.B.【答案】C【解析】因为答案 C。
，这三个数的大小关系为( )C.D.，所以，应选hh5.的内角的对边分别是 ，已知A. 2 B. 3 【答案】BC. 4D. 5【解析】由余弦定理得，即，，，则 等于( )，所以 ，应选答案 B。
6. 设 满足约束条件，则A. 3 B. 【答案】AC. 1 D.的最大值为( )【解析】画出不等式组表示的区域如图，则问题转化为求动直线在 上的截距的最小值的问题，结合图形可知：当动直线经过点 时，应选答案 A。
7. 已知函数的最大值为 3，邻两条对称轴间的距离为 2，与 轴的交点的纵坐标为 1，则 ( )A. 1 B. 【答案】DC.D. 0， 的图象的相hh【解析】由题设条件可得，则，所以代入可得，即，又所以，应选答案 D。
8. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为( )，将点 ，A. 80 B. 84 C. 88 D. 92【答案】A【解析】由题设可知当时，，程序运算继续执行，程序运算继续执行，程序运算继续执行，故此时运算程序结束，输出，应选答案 A。
9. 在正三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的直径为( )A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】A【解析】由题设底面中心到顶点的距离为，故正三棱锥的高为，设外接球的球心到底面的距离为 ，则由勾股定理可得，解之得 ，所以外接球的直径为，应选答案 A。
2019届浙江省杭州市第四中学高三第一次(9月)月考数学试题
杭州第四中学2019届高三年级9月第一次月考 高三 数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数ii z ++=123，在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.已知集合}032|{},1)1(log |{22<--=<-=x x x B x x A ，则B C A R （ ）A. ∅B. }3{C.）（3,1D. ]3,1(3.从5,4,3,2,1这5个数中任意取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数；上述事件中是对立事（ ）A. ①B. ②④C. ③D.④ 4.设数列}{n a 的通项公式为22++=kn n a n ，则“2->k ”是“数列}{n a 为单调递增数列”的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得世界领先成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如23730+=.在不超过30是素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A.121 B.141 C.151 D.181 6.函数2)(xe e xf xx --=的图像大致为（ ）A B C D 7.设随机变量ξ的分布列是则当]1,0[∈p 时，)(ξD 的最大值为（ ） A.41 B. 21 C. 43D. 1 8.设3.0log 2.0=a ，3.0log 2=b ，则（ ）A. 0<<+ab b aB. 0<+<b a abC. ab b a <<+0D. b a ab +<<0 9.若函数1222131)(23++-+=a ax ax ax x f 的图像经过四个象限，则a 的取值范围是（ ） A. 3134-<<-a B. 211-<<-a C. 02<<-a D. 16356-<<-a10.已知函数),()(2R b a b ax x x f ∈++=在区间)1,0(内有两个零点，则b a +3的取值范围是（ ）A. )0,4(-B. )05(，- C. )4,0( D. )5,0(非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分. 11.若i i z )1(+=(i 为虚数单位），则z 的虚部为________;||z =________.12.设函数b ax x a x x f ++-+=23)1()(，且)(x f 为奇函数，则b a +=_______,曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为___________.13.二项式6)12(xx -的展开式常数项为_________；系数最大的项是第_______项. 14.已知函数⎨⎧>≤=0,ln 0,)(x x x e x f x ，则))1((f f =_______,设,)()(a x x f x g ++=若函数)(x g 存在2个零点，则实数a 的取值范围是_______.15.若x x x f sin cos )(-=在],[a a -是减函数，则a 的最大值是__________.16.现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，问这样的分法有______种.17.设定义在),0(+∞上的单调函数)(x f ，对任意的),0(+∞∈x 都有3]lo g )([2=-x x f f ，若方程a x f x f =+)()('有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）已知函数)(x f 和)(x g 的图像关于原点对称，且x x x f 2)(2-= （1）求函数)(x g 的解析式； （2）解不等式|1|)()(--≥x x f x g19.（本题满分15分）若等式66221042)2()2()2()3(·)1(x a x a x a a x x x -++-+-+=--+ 成立，则： （1）求610a a a +++ 的值； （2）求0a 的值； （3）求2a 的值；20.（本题满分15分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2 的人去参加乙游戏。
浙江省杭州第十四中学2019届高三9月月考试数学试题(精品解析)
【答案】
【解析】
【分析】
由题，得知 在
上单调递减，当
在
上有唯一实数解，设
，当
有唯一零点 0，要使
有 4 个零点，则
有两解以及
有两解，即
有一解，然后求得答案.
【详解】由题，当 时，
，所以 在
上单调递减，
当
在
上有唯一实数解，设
.
当
有唯一零点 0，设 ，
要使
有 4 个零点，则
有两解
即
有两解，则
，因为
为
在 的解，所以
【详解】(Ⅰ)连接 AD,PD,由 PA⊥平面 ABC 得 PA⊥AD,
因为 PA//DQ 且 PA=DQ，即四边形 ADQP 为矩形，
又 AB=AC＝ ，AB⊥AC，则 AD＝1=AP,
所以四边形 ADQP 为正方形，AQ⊥PD
且 BC⊥AD, BC⊥DQ,则 BC⊥平面 ADQ,
即 BC⊥AQ
故 AQ⊥平面 PBC.
【详解】由题，解得集合
=
集合
=
故
[－1,0]
故选 C
【点睛】本题考查了集合的混合运算，求解不等式是解题的关键，属于基础题.
2. 分别是双曲线 （）
的左、右焦点， 为双曲线 右支上一点，且
，则
A. 15 【答案】D 【解析】
B. 16
C. 17
D. 18
由双曲线的方程可知：
，
的周长为
则
，
据此可知
的周长为
标准方程.
（II）联立椭圆 E 与直线 ，由
得
，再联立椭圆 C 与直线 ，表示出
，求得
后求得最值即可. 【详解】(1)由已知：
《精编》浙江省杭州十四中高三数学9月月考试题 理 新人教A版.doc
2021届杭州市第十四中学高三9月月考数学〔理科〕试题本试题卷分选择题和非选择题两局部。
全卷共4页，选择题局部1至2页，非选择题局部2至4页。
总分值150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题局部〔共50分〕本卷须知：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh = n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-= 球的外表积公式台体的体积公式 24πS R =()1213V h S S = 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积， 34π3V R =h 表示台体的高 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．假设集合1|lg ,1010A y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭，{2,1,1,2}B =--，全集U =R ，那么以下结论正确的选项是 (A) {1,1}A B =-(B) ()[1,1]UA B =-(C) (2,2)AB =-(D) ()[2,2]UA B =-2．设纯虚数z 满足 1i1i a z-=+〔其中i 为虚数单位〕，那么实数a 等于(A) 1(B) －1(C) 2(D) －23．a ，b 都是实数，那么“22a b >〞是“a b >〞的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件4．假设函数 22()sin cos 144f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么函数()f x 是(A) 周期为π的偶函数 (B) 周期为2π的偶函数(C) 周期为2π的奇函数 (D) 周期为π的奇函数 5．设 l 、m 、n 为不同的直线，α、β为不同的平面，那么正确的命题是 (A) 假设 α⊥β，l ⊥α，那么 l ∥β (B) 假设 α⊥β，l α⊂，那么 l ⊥β (C) 假设 l ⊥m ，m ⊥n ，那么 l ∥n(D) 假设m ⊥α，n ∥β且α∥β，那么 m ⊥n6．假设某空间几何体的三视图如以下列图，那么该几何体的体积是(A) 2(B) 1(C)23(D) 137．某程序框图如以下列图，该程序运行后输出的n 值是8，那么S 0值为以下各值中的 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 38．某班3个男同学和3个女同学站成一排照相，要求任何相邻的两位同学性别不同，且男生甲和女生乙相邻，但甲和乙都不站在两端，那么不同的站法种数是(A) 8 (B) 16 (C) 20 (D) 24 9．数列{}n a ．假设1a b =〔0b >〕，111n n a a +=-+〔n N +∈〕，那么能使n a b =成立的n 的值可能．．是 〔A 〕14〔B 〕15 〔C 〕16 〔D 〕1710．设2()f x x bx c =++〔R x ∈〕，且满足()()0f x f x '+>。
浙江省杭州第十四中学2019届高三8月月考数学试题(解析版)
杭十四中高三月考数学学科问卷(8月)本试卷满分150分，考试时间120分钟参考公式：台体的体积公式：(其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体高)柱体的体积公式：(其中表示柱体的底面积，表示柱体的高)锥体的体积公式：(其中表示锥体的底面积，表示锥体的高)球的表面积公式：，球的体积公式：(其中表示球的半径)选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，设集合，，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由补集的定义求出，再由交集的定义求即可.【详解】∵＝{0，1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，∴═{0,4}，且，∴＝.故选：D．【点睛】本题考查了集合交、并补集的混合运算，属于基础题.2.若双曲线 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：本题已知：焦点坐标，渐近线方程为：,距离为：化简得：，又：，得：考点：双曲线的几何性质及点到直线的距离和方程思想。
3.如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的表面积是( )cm2A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】该几何体是三棱锥，利用图中数据，即可求解几何体的表面积．【详解】根据三视图得出：该几何体是三棱锥，如图所示，AB＝2，BC＝3，DB＝5，CD＝4，因为AB⊥面BCD，BC⊥CD，所以，CD⊥面ABC，∴几何体的表面积是＝2.故选：C．【点睛】本题考查了三棱锥的三视图的运用，解题的关键是确定几何体的形状，属于中档题．4.复数(为虚数单位)的共轭复数是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数代数形式的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【详解】复数，它的共轭复数是．故选：B．【点睛】本题考查了复数代数形式的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．5.设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是A. 若d＜0，则数列{S n}有最大项B. 若数列{S n}有最大项，则d＜0C. 若数列{S n}是递增数列，则对任意的n N*，均有S n＞0D. 若对任意的n N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列【答案】C【解析】特殊值验证排除．选项C显然是错的，举出反例：－1，0，1，2，…，满足数列{S n}是递增数列，但是S n>0不恒成立选C.6.已知，则“”是“恒成立”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】令函数y＝|x﹣2|+|x|，得，然后转化为一个恒成立的判断，再结合充分不必要条件的定义进行判断即可．【详解】函数y＝|x﹣2|+|x|的值域为[2，+∞），则当a时，|x﹣2|+|x|＞a不恒成立.若|x﹣2|+|x|＞a恒成立，则说明a小于函数y＝|x﹣2|+|x|的最小值2，即a＜2.故“a”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的必要不充分条件.【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，根据绝对值不等式的性质是解决本题的关键，属于中档题．7.已知函数，若要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】由诱导公式结合函数图象的平移变化法则，即可得答案．【详解】∵f（x）＝sin （ 2x）＝-sin（2x-）=-sin2（x-），g（x）＝sin （ 2x）=-sin （ 2x）=-sin2（x+）∴要想得到函数g（x）＝sin （ 2x）的图象，只需把函数f（x）＝sin （ 2x ）的图象上的所有的点向左平移个单位．故选：A．【点睛】本题考查了y＝Asin （ωx+）型函数图象的平移，注意前后变化顺序是关键，属于中档题．8.设偶函数和奇函数图象如图所示，集合A 与集合B的元素个数分别为a，b ，若，则a+b的值不．可能是( )【答案】D【分析】利用f（x）,g（x）图象，分别判断g（x）＝t和f（x）＝t，在＜t＜1时的取值情况，进行分类讨论即可．【详解】由条件知，第一个图象为f（x）的图象，第二个为g（x）的图象．由图象可知若f（x）＝0，则x有3个解，为x＝﹣，x＝0，x＝，若g（x）＝0，则x有3个解，不妨设为x＝-n，x＝0，x＝n，（0＜n＜1）当f（g（x）﹣t）＝0得g（x）﹣t＝，或g（x）﹣t＝0，或g（x）﹣t＝﹣，．即g（x）＝t+，或g（x）＝t，或g（x）＝t﹣．＜t＜1时，若g（x）＝t，得x有3个解；若g（x）＝t﹣，此时x有3个解；若g（x）＝t+，此时方程无解．所以a＝3+3＝6．当g（f（x）﹣t）＝0得f（x）﹣t＝n，或f（x）﹣t＝0或f（x）﹣t＝﹣n．即f（x）＝t+n，或f（x）＝t，或f（x）＝t﹣n．＜t＜1，0＜n＜1，若f（x）＝t，所以此时x有4个解．若f（x）＝t+n，当0＜n＜，则＜t+n＜，此时x有4个解或2解或0个解．对应f（x）＝t﹣n∈（0，1）有4个解，此时b＝4+4+4＝12或b＝4+2+4＝10或b＝4+0+4＝8．若，则1＜t+n＜2，此时x无解．对应f（x）＝t﹣n∈（,）有2个解或3解或4个解．所以此时b＝4+2＝6或b＝4+3＝7或b＝4+4＝8．综上b＝12或10或8或6或7．所以a+b＝18或16或14或13或12．故选：D．【点睛】本题主要考查复合函数的根的取值问题，利用数学结合思想是解决本题的关键，根据参数的不同取值要进行分类讨论，属于中档题．9.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，求出向量＝（+μcosθ，﹣λ+μsinθ ）＝（1，1），用cosθ，sinθ表示λ和μ，根据cosθ，sinθ 的取值范围，再结合λ+μ的单调性，即可求出范围.【详解】以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0）．E为AB的中点，得设 P（cosθ，sinθ），∴＝（1，1）．再由向量＝λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）＝（+μcosθ，﹣λ+μsinθ ）＝（1，1），∴，∴．由题意得．,得＝0，故λ+μ在[0，]上是增函数，当θ＝0时，即cosθ＝1，这时λ+μ取最小值为，当θ＝时，即cosθ＝0，这时λ+μ取最大值为，故λ+μ的取值范围为[，5]故选：B．【点睛】本题考查两个向量坐标形式的运算，根据cosθ，sinθ 的取值范围求三角函数式的最值，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．10.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AC1与底面ABC所成角的余弦值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出点A1到底面的距离A1O的长度，得C1到底面的距离，再求出AC1的长度，由线面角的定义得AC1与底面ABC所成角的正弦值，即可求出余弦值．【详解】设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都等于a，如图所示，则AO＝，在中，,得，在中,得，得为等边三角形，∴∠A1AC＝60°，在菱形ACC 1A1中，得∠AA1C＝120°，AC1＝a，又点C1到底面ABC的距离等于点A1到底面ABC的距离，∴AC1与底面ABC所成角的正弦值为，∴AC1与底面ABC所成角的余弦值为．故选：B．【点睛】本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转化思想和空间想象能力，属于中档题．非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11.已知函数，则________，不等式的解集为________.【答案】(1). (2).【解析】【分析】由分段函数的解析式，求出f[f（﹣2）]的值；把要解的不等式转化为与之等价的2个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．【详解】根据函数f（x ）＝，可得f（﹣2）＝22＝4，则f[f（﹣2）]＝f（4）＝4+1＝5．由不等式f（x ）≥2，可得①或②．解①求得x≤﹣1，解②求得x≥1，故不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故答案为：5；（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．【点睛】本题主要考查利用分段函数求函数的值，不等式的解法，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础题．12.若变量满足约束条件，则的最大值为________，最小值为________.【答案】(1). 3(2). -3【解析】【分析】作出可行域，变形目标函数得y＝﹣2x+z，在可行域内平移直线y＝﹣2x+z即可得最值．【详解】作出约束条件所对应的可行域，由得，由得B（2，﹣1），变形目标函数可得y＝﹣2x+z，平移直线得y＝﹣2x+z可知：当直线经过点A（﹣1，﹣1）时，直线的截距最小，得z取最小值﹣3，当直线经过点B（2，﹣1）时，直线的截距最大，得z取最大值3，故答案为：最大值3，最小值-3．【点睛】本题考查简单线性规划，由z的几何意义，利用数形结合是解决问题的关键，属于基础题．13.函数的最小正周期为________，单调递减区间是________.【答案】(1). (2).【解析】【分析】先化简解析式，由周期公式求出函数的最小正周期；由正弦函数的减区间、整体思想求出f（x）的单调递减区间．【详解】由题意得，f（x）＝cos2x﹣sin2x+2sinxcosx＝cos2x+sin2x＝，∴最小正周期T＝，由得，，∴函数f（x）的单调递减区间是故答案为：π；.【点睛】本题考查正弦函数的单调性和周期，以及二倍角公式、两角和的正弦公式，属于中档题．14.如果的展开式中各项系数之和为，则含项的系数等于________.(用数字作答)【答案】21【解析】试题分析：根据题意，令可知展开式的各项系数和为，可知，所以所给的式子的展开式的通项为，令，解得，故该项的系数为．考点：二项式定理．15.已知实数，函数在区间上的最大值是2，则______【答案】或【解析】【分析】由题意可得f（0）≤2，求得a的范围，去掉一个绝对值，再由最值的取得在顶点和端点处，计算得a的值，再检验可得a的值．【详解】因为函数f（x）＝|x2+|x﹣a|﹣3|在区间[﹣1，1]上的最大值是2，可得f（0）≤2，且a＞0，得|a﹣3|≤2，解得1≤a≤5，即有f（x）＝|x2﹣x+a﹣3|，﹣1≤x≤1，由f（x）的最大值在顶点或端点处取得，当f（﹣1）＝2，即|a﹣1|＝2，解得a＝3或﹣1（舍去）；当f（1）＝2，即|a﹣3|＝2，解得a＝5或a＝1；当f（）＝2，即|a﹣|＝2，解得a＝或（舍去）．当a＝1时，f（x）＝|x2﹣x﹣2|，因为f（）＝＞2，不符题意；（舍去）．当a＝5时，f（x）＝|x2﹣x+2|，因为f（-1）＝4＞2，不符题意；（舍去）．当a＝3时，f（x）＝|x2﹣x|，显然当x＝﹣1时，取得最大值2，符合题意；当a＝时，f（x）＝|x2﹣x﹣|，f（1）＝，f（﹣1）＝，f（）＝2，符合题意．故答案为：3或．【点睛】本题考查绝对值函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及二次函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．16.将红、黑、蓝、黄个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为________. (用数字作答)【答案】30【解析】【分析】先计算小球放入3个不同的盒子的放法数目，再计算红球和蓝球放到同一个盒子的放法数目，两个相减得到结果．【详解】将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其它2个小球对应3个盒子，共C42A33=36种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有A33=6种情况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36－6=30.故答案为：30【点睛】本题考查排列组合及简单的计数原理的应用，注意用间接法，属于基础题．17.已知，且，则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】由xy﹣z＝0，得x＝，结合，得x＞2，再解待求式的倒数的取值范围即可．【详解】∵xy﹣z＝0，∴xy＝z，即x＝，∵，∴x＞2，∴令t＝，∴，当且仅当取等号，∴的最大值是．故答案为：．【点睛】本题重点考查基本不等式及其应用，不等式的基本性质等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18.在中，角所对的边分别为，若.(Ⅰ)求的大小；(Ⅱ)设，求的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)【解析】【分析】（I）利用余弦定理计算出cosA的值，即可得A的度数；（II）利用正弦定理化简已知等式左边，把C＝120°﹣B代入，利用两角和与差的正弦函数公式和同角三角函数间的基本关系化简，即可求出tanB的值．【详解】（I）∵在△ABC中，由a2﹣b2﹣c2+bc＝0，即b2+c2﹣a2＝bc，∴cosA＝，则∠A＝60°；（II）由正弦定理，得，整理得：，解得：tanB＝．【点睛】本题考查了正、余弦定理的应用，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，属于基础题．19.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.(Ⅰ)证明：BE⊥DC；(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，通过计算得到．（2）计算平面的法向量后计算其与的夹角的余弦值的绝对值即得线面角的正弦值．【详解】证明：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系如图，可得，，故，所以.（2）．设为平面的一个法向量，则即，不妨令，可得．于是有，所以，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】空间中两条直线的垂直可归结为它们的方向向量垂直，后者通过数量积为零得到.直线与平面所成角的正弦值可归结为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值（因为线线角的取值范围为）.20.设数列，其前项和，又单调递增的等比数列，，.(Ⅰ)求数列，的通项公式； (Ⅱ)若，求数列的前n 项和，并求证：.【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）考虑到，因此可以利用条件中给出的前项和表达式得到数列的通项公式为，再根据等比数列的性质结合条件可得，从而，再由条件中的等式，可得关于公比的方程：或（舍去），从而；（2）首先对的表达式进行变形，利用裂项相消法求其前项和：，从而，即可得.试题解析：（1）当时，，当时，，当时，也满足，∴，∵等比数列，∴，∴，又∵，∴或（舍去），∴（4分）；（2）由（1）可得：，（8分）∴，显然数列是递增数列，（12分）∴，即.（14分）考点：1.等差数列等比数列的通项公式；（2）裂项相消法求数列的和.21.已知椭圆的焦点坐标为，，过垂直于长轴的直线交椭圆于、两点，且.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过的直线与椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，内切圆面积最大值是，直线方程为.【解析】(1)设椭圆方程为＝1(a>b>0)，由焦点坐标可得c＝1.由|PQ|＝3，可得＝3.又a2－b2＝1，得a＝2，b＝.故椭圆方程为＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨令y1>0，y2<0，设△F1MN的内切圆的半径R，则△F1MN的周长为4a＝8，S△F1MN＝(|MN|＋|F1M|＋|F1N|)R＝4R，因此要使△F1MN内切圆的面积最大，则R最大，此时S△F1MN也最大．S△F1MN＝F1F2||y1－y2|＝y1－y2，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my＋1，由得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，得y1＝，y2＝，则S△F1MN＝y1－y2＝，令t＝，则t≥1，则S△F1MN＝＝＝.令f(t)＝3t＋，则f′(t)＝3－，当t≥1时，f′(t)>0，所以f(t)在[1，＋∞)上单调递增，有f(t)≥f(1)＝4，S△F1MN≤＝3，当t＝1，m＝0时，S△F1MN＝3，又S△F1MN＝4R，∴R max＝这时所求内切圆面积的最大值为π.故△F1MN内切圆面积的最大值为π，且此时直线l的方程为x＝1.22.已知函数在上单调递减，且满足，(Ⅰ) 求的取值范围；（Ⅱ）设，求在上的最大值和最小值【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）（i）当时，在上取得最小值，在上取得最大值当时，在取得最大值，在取得最小值当时，在取得最小值在取得最大值当时，在取得最小值当时，在取得最小值【解析】：（Ⅰ）由，得则，依题意须对于任意，有当时，因为二次函数的图像开口向上，而，所以须，即当时，对任意有，符合条件；当时，对于任意，，符合条件；当时，因，不符合条件，故的取值范围为（Ⅱ）因（i）当时，，在上取得最小值，在上取得最大值（ii）当时，对于任意有，在取得最大值，在取得最小值（iii）当时，由得①若，即时，在上单调递增，在取得最小值在取得最大值②若，即时，在取得最大值，在或取得最小值，而，则当时，在取得最小值当时，在取得最小值。
浙江省杭州市第十四中学2022-2023学年高三上学期9月练习(月考)数学试题
浙江省杭州市第十四中学2022-2023学年高三上学期9月练习（月考）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集为R ，集合{}21|1,N2302xA xB x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤=∈--<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭∣，则A B =（ ） A ．1,0,1,2B ．{}2,1,0--C ．{}0,1,2D ．{}1,22．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=（ ）A ．12BCD ．23．已知,a b 均为单位向量，其中夹角为θ，有下列四个命题 12:10,3p a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭22:1,3p a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3p a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭4:1,3p a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中真命题是（ ） A ．23,p pB ．13,p pC ．34,p pD ．14,p p4．“莱洛三角形”是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.“莱洛三角形”在实际生活中有非常重要的用途，“转子发动机”的核心零部件为“曲侧面三棱柱”，而该“曲侧面三棱柱”的底面就是“莱洛三角形”.如图是一个底面为莱洛三角形的曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，高为5，且底面任意两顶点之间的距离为4，则其表面积为（ ）A ．32π-B ．36π-C ．42π-D ．48π-5．有六条线段，其长度分别为2,3,4,5,6,7.现任取三条，则这三条线段在可以构成三角形的前提下，能构成钝角三角形的概率是（ ）A ．913B ．1013C ．715 D ．11156．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（ ） A ．125 B ．85C ．165D ．1857．在正三棱柱111ABC A B C -中，若三棱锥111A A B C -倍，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）A ．4πB ．C ．8πD ．8．设0.1ln1.1,e 1,tan0.1a b c ==-=，则（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b <<D ．b a c <<二、多选题9．已知函数()32f x x ax bx c =+++，下列结论中正确的有（ ）A ．∃()00,0x R f x ∈=B ．函数()y f x =的图象是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=10．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，5,04A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若PAF△为等腰三角形，则直线AP 的斜率可能为（ ）A B CD ． 11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是1AA ，1CC ，11C D 的中点，Q 是线段11D A 上的动点，则（ ）A ．存在点Q ，使B ，N ，P ，Q 四点共面 B ．存在点Q ，使∥PQ 平面MBNC ．三棱锥P -MBN 的体积为13D ．经过C ，M ，B ，N 四点的球的表面积为92π 12．已知直线y =a 与曲线ex xy =相交于A ，B 两点，与曲线ln x y x =相交于B ，C 两点，A ，B ，C 的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则（ ）A ．22e xx a =B ．21ln x x =C ．23e xx = D ．2132x x x =三、填空题13．若函数()f x 称为“准奇函数”，则必存在常数,a b ，使得对定义域内的任意x 值，均有()()22f x f a x b +-=，请写出一个2,2a b ==的“准奇函数”(填写解析式)：___________.14．已知直线l ：60x +=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点.则CD =_________.15．25()y x x x y ⎛⎫⎪⎭+ ⎝+的展开式中24x y 的系数为___________.（用数字作答）16．椭圆222:118x y C b+=（焦点在x 轴上）的上､下顶点分别为,A C ，点B 在椭圆上，平面四边形ABCD 满足90BAD BCD ∠=∠=，且2ABCADCS S=，则该椭圆的离心率为___________.四、解答题17．已知公差为d 的等差数列{}n a 和公比0q <的等比数列{}n b 中，11231,3a b a b ==+=，322a b +=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)令()2*3N n a n n c b n =⋅∈，抽去数列{}n c 的第3项､第6项､第9项､.....第3n 项､....，余下的项的顺序不变，构成一个新数列{}n t ，求数列{}n t 的前2023项和2023S .18．如图，在ABC ∆中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上．(∣) 若34ADC π∠=，求AD 的长；（∣） 若2BD DC =，ACD ∆，求sin sin BAD CAD ∠∠的值．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长均为112,60,A AC A B ∠=(1)证明：平面11A ACC ⊥平面ABC ； (2)求二面角111B A B C --的正弦值.20．新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企随机调查了今年3月份购买本车企生产的汽车的100位车主，经统计其购车种类与性别情况如下表：单位：人(1)根据表中数据，在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关；(2)用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年3月份售出的汽车中，随机抽取3辆汽车，设被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X ，求X 的分布列及数学期望．附：22()n ad bc χ-=，n a b c d =+++．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．∣若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；∣直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB ，求直线l 的方程． 22．已知函数()e ln xaf x a x x=--. (1)当a =-1时，求曲线y =()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)若()f x >a ，求实数a 的取值范围.参考答案：1．C 【分析】根据指数与二次不等式求解,A B ，再求交集即可.【详解】{}1|1|02xA x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}()(){}{}2N 230N 3100,1,2B x x x x x x =∈--<=∈-+<=∣∣，故{}0,1,2A B =. 故选：C2．C 【分析】求出1i z =+即得解. 【详解】解：由题意可得2i1iz =+，所以2i(1i)22i 1i (1i)(1i)2z -+===++-，所以||z = 故选：C3．D 【分析】分别转化222|cos 1|||a b a b a b θ=+++>，222||||cos 1a b a b a b θ-=+->，分别求出cos θ的范围，结合[0,]θπ∈，即得解.【详解】解：由221||2|cos |a b a b a b θ=++=+>， 得1cos 2θ>-，又[0,]θπ∈，20,3πθ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭.由222||||cos 1a b a b a b θ-=+-=>， 得1cos 2θ<，又[0,]θπ∈， ,3πθπ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦．故选：D.4．B 【分析】先求出底面的每一段圆弧的长，从而可求出侧面积，再求出底面面积，从而得出答案.【详解】由题意4433AB ππ=⨯=， 则三个侧面的面积之和为435203ππ⨯⨯=如图阴影部分的面积为1484233ABC S S ππ-=⨯⨯-=-扇形所以底面积为8383ππ⎛-⨯+=-⎝所以上下两个底面面积之和为16π-故表面积为162036πππ-+=-故选：B5．A 【分析】列举出三条线段能构成三角形和构成钝角三角形的所有基本事件，根据条件概率公式可求得结果.【详解】记事件A ：取三条线段可以构成三角形；事件B ：取三条线段构成钝角三角形； 则事件A 包含的基本事件有：()2,3,4，()2,4,5，()2,5,6，()2,6,7，()3,4,5，()3,4,6，()3,5,6，()3,5,7，()3,6,7，()4,5,6，()4,5,7，()4,6,7，()5,6,7，共13个；事件AB 包含的基本事件有：()2,3,4，()2,4,5，()2,5,6，()2,6,7，()3,4,6，()3,5,6，()3,5,7，()3,6,7，()4,5,7，共9个；()()()913P AB P B A P A ∴==. 故选：A.6．A 【解析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到131264TkT ππ+=+或133,1264T kT k ππ+=+∈Z ，由() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可以得到191312122T ππ-≤，算出ω的大致范围，验证即可.【详解】由题意知：131264T kT ππ+=+或133,1264TkT k ππ+=+∈Z∣51244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭或53244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭ ∣2(14)5k ω=+或2(34),5k k Z ω=+∈∣()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∣191312122T ππ-≤ ∣12222ππωω≤⋅⇒≤∣当2(14)5k ω=+时，取0k =知25ω=此时2()sin 515f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 27,515210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∣25ω=符合取1k =时，2ω=，此时()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，572,322x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∣2ω=符合当1k ≤-时，0ω<，舍去，当2k ≥时，2ω>也舍去∣当2(34)5k ω=+时，取0k =知65ω=此时6()sin 55f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，6321,55210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，舍去 当1k ≤-时，0ω<，舍去，当1k 时，2ω>也舍去综上：25ω=或2，212255S =+=.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.7．B 【分析】记底面三角形的边长为2a ，由题中条件，得到11111A A B C V B -，结合三棱锥的体积公式，即可得出13AA a=；先记底面三角形111A B C 外接圆圆心为G ，连接1GC ，设底面外接圆半径为r ，求出r =；记三棱柱111A A B C -的外接球的球心为O ，半径为R ，连接OG ，1OC ，根据球的性质，以及棱柱的特征，得到32OG a=，再由勾股定理，以及基本不等式求出2R 的最小值，即可得出外接球表面积的最小值.【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱和底面垂直，即1AA ⊥平面111A B C ；又三棱锥111A A B C - 记底面三角形的边长为2a ，即112A B a =，所以11111A A B C V B -，即111232a AA ⨯⨯，所以13AA a=，因为底面三角形111A B C 是正三角形，所以其外接圆圆心与中心重合，记作点G ，连接1GC ，设底面外接圆半径为r ，则1r C G ==； 记三棱柱111A A B C -的外接球的球心为O ，半径为R ，连接OG ，1OC ， 根据球的性质可得OG ⊥平面111A B C ； 再由棱柱外接球的特征可得13212OG AA a==；则222221129443a R C O OG C G a ==+=+≥ 当且仅当229443a a =，即3432a =时，等号成立；因此正三棱柱外接球表面积的最小值为4π⨯.故选：B8．C 【分析】构造函数，求出导数，利用导数性质判断函数的单调性，由此能求出结果．【详解】解：令()()e 1x f x x =-+，所以()e 1xf x '=-，当0x >时()0f x '>，当0x <时()0f x '<，即函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 所以()()min 00f x f ==，即e 1x x ≥+，当且仅当0x =时取等号，令0.1x =，可得0.1e 10.1b =->， 令()tan h x x x =-，(0,)2x π∈，则在(0,)2x π∈时，20co 1)1s (h x x '=->，()tan h x x x ∴=-在(0,)2x π∈上单调递增，()(0)0h x h ∴>=，(0,)2x π∴∈时，tan x x >．tan0.10.1c ∴=>，令()ln 1g x x x =-+，则()111xg x x x-'=-=， 所以当01x <<时()0g x '>，当1x >时()0g x '<， 即函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以()()max 10g x g ==，即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时取等号，所以当 1.1x =，可得ln1.1 1.110.1a =<-=，所以a 最小，设()(]()e 1tan 0,0.1xt x x x =--∈，则21()e 0cos x t x x-'=>，()t x ∴在(]0,0.1上单调递增，(0)(0.1)t t ∴<，0.10(0.1)e 1tan 0.1e 1tan 00t ∴=-->--=， 0.1e 1tan0.1b c ∴=->=，综上可得b c a >>； 故选：C9．ABD 【分析】对于选项A ：利用零点存在性定理判断即可； 对于选项B ：利用函数图象成中心对称的定义进行判断即可；对于选项C ：采取特殊函数方法，若取1,1,0a b c =-=-=，利用导数判断函数()f x 的单调性和极值；对于选项D ：根据导数的意义和极值点的定义即可判断.【详解】对于选项A ：因为当x →+∞时，()f x →+∞，当x→-∞时，()f x →-∞， 由题意知函数()f x 为定义在R 上的连续函数，所以∃()00,0x R f x ∈=， 故选项A 正确； 对于选项B ： 32322222()()()()()3333a a a f x f x x a xb a xc x ax bx c --+=--+--+--+++++ 342293a ab c =-+，32()393a a ab fc -=-+ 所以2()()2()33a a f x f x f --+=-，即点(,())33a af --为函数()f x 的对称中心，故选项B 正确；对于选项C ：若取1,1,0a b c =-=-=， 则()32f x x x x -=-,所以()2321f x x x '=--，由()0f x '>可得，x >1或13x <-，由()0f x '<可得，113-<<x所以函数()f x 的单调增区间为()1,,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，减区间为113⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1为函数()f x 的极小值点，但()f x 在区间(),1-∞并不是单调递减,故选项C 错误； 对于选项D ：若0x 是()f x 的极值点,根据导数的意义知()f x '=0， 故选项D 正确； 故选：ABD.10．AB 【分析】由题意知AP PF ≠，然后分AF PF =和AP AF =两种情况求出点P 的坐标，从而可求出直线AP 的斜率【详解】由题意知AP PF ≠，设(),(0)P x y x >，若AF PF =，则5114x +=+，解得54x =，则点P 的坐标为54⎛ ⎝或5,4⎛ ⎝，所以AP k =AP k =； 若AP AF =，则22255144x y ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为24y x =，所以221370x x +-=，解得12x =或7x =-（舍去），所以点P 的坐标为12⎛ ⎝或1,2⎛ ⎝，所以AP k =AP k = 故选：AB11．ABC 【分析】对于A ，连接1A B ，1CD ，可证得1A B PN ∥，从而可得结论，对于B ，连接PQ ，11A C ，当Q 是11D A 的中点时，由线面平行的判定可证得，对于C,利用11P MBN M PBN D PBN B D PN V V V V ----===三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥求解，对于D ，分别取1BB ，1DD 的中点E ，F ，构造长方体MADF -EBCN ，其体对角线就是外接球的直径，求出体对角线的长，可求出球的表面积【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1A B ，1CD ， 因为N ，P 分别是1CC ，11C D 的中点，所以1CD PN ∥， 又因为11CD A B ∥，所以1A B PN ∥，所以1A ，B ，N ，P 四点共面，即当Q 与1A 重合时，B ，N ，P ，Q 四点共面，故选项A 正确；连接PQ ，11A C ，当Q 是11D A 的中点时，因为11PQ AC ∥，11A C MN ∥，所以PQ MN ∥， 因为PQ ⊂/平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，所以∥PQ 平面BMN ，故选项B 正确；连接1D M ，1D N ，1D B ， 因为1D M BN ∥，所以1113P MBN M PBN D PBN B D PN V V V V ----====⨯三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥1111223⨯⨯⨯=，故选项C 正确；分别取1BB ，1DD 的中点E ，F ，构造长方体MADF -EBCN ， 则经过C ，M ，B ，N 四点的球即为长方体MADF -EBCN 的外接球， 设所求外接球的直径为2R ，则长方体MADF -EBCN 的体对角线即为所求的球的直径， 即()222224419R AB BC CN =++=++=，所以经过C ，M ，B ，N 四点的球的表面积为249R ππ=，故选项D 错误. 故选：ABC12．ACD 【分析】画出函数图像，得到x 1，x 2，x 3的范围，由22e x x a =得出A 正确，由1221222ln 2ln ln e e e x x x x x x x a x ====得出B 错误，由222323ln lne e e x x x x x a x ===得出C 正确，由22213222e ln x x x x x ax x a==⋅=得出D 正确.【详解】1,0, 1.e e x xx xy y x -==='=y 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，max 1ey =. 2ln 1ln ,0,e x x y y x x x -=='==， y 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，max 1ey ∴=.22e x x a =，则22e x x a =，A 对. 1221222ln 2ln ln ,e e e e x x x x x x x x x a y x =====在()0,1上单调递增，12201,1e,0ln 1,x x x <<<<<< 12ln x x ∴=，B 错.222323ln lne ln ,e e x x x x x x a y x x====在()e,+∞单调递减，()22e33e e,e ,e,e x x x x ∈>∴=，C 对. 22213222e ln ,D x x x x x ax x a==⋅=对. 故选：ACD. 13．()232x f x x -=-(答案不唯一)【分析】所有关于点()2,2中心对称的函数均满足题意 【详解】解析：由()()2 2f x f a x b +-=，知“准奇函数”()f x 的图象关于点(),a b 对称，若2,2a b ==，即()f x 图像关于点()2,2对称，如1y x=向右平移两个单位，向上平移两个单位，得到()123222x f x x x -=+=--，故其图象就关于点()2,2对称. 故答案为：()232x f x x -=-(答案不唯一) 14．4【详解】试题分析：由60x +=，得6x =-，代入圆的方程，整理得260y -+=，解得12y y ==120,3x x ==-，所以AB =l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，4cos30AB CD ==︒．【考点】直线与圆的位置关系【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．15．15【分析】先将乘积展开为255()()y x x y x y x+++，再分别利用二项展开式计算5()x x y +和52()x x y y +中含24x y 的项，即求得25()y x x x y ⎛⎫⎪⎭+ ⎝+的展开式含24x y 的项，即得结果.【详解】解：22555()()()y y x x y x x y x y x x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，其中5()x x y +的展开式通项为5655C C k k k k k kk T x x y x y --=⋅⋅=⋅⋅，0,1,2,3,4,5k =，故4k =时，得含24x y 的项为4242545C x y x y =；52()x xy y +的展开式通项为254255C C r r r rr r r y S x y x y x --+=⋅⋅=⋅⋅，0,1,2,3,4,5r =，故2r =时，得含24x y 的项为2244521C 0x y x y =. 因此，式子25()y x x x y ⎛⎫⎪⎭+ ⎝+的展开式中，含24x y 的项为24242451015x y x y x y +=，即系数为15.故答案为：15.16【分析】由题意得,,,A B C D 在以DB 为直径的圆上，求出圆的方程，结合椭圆求出2b ，进而求得c ，即可求得离心率.【详解】根据题意可得()()0,,0,A b C b -，设()()1122,,,B x y D x y ，由90BAD BCD ∠=∠=，可得点,,,A B C D 在以DB 为直径的圆上，又原点O 为圆上的弦AC 的中点，所以圆心在AC 的垂直平分线上，可得圆心在x 轴上，所以120y y +=， 又2ABCADCSS=，可得122x x =-，故圆心坐标为1,04x ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为= 所以圆的方程为22221119416x x y x y ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，将()0,b 代入结合22112118x y b +=，可得29b =，所以3b =，则3c ==，所以该椭圆的离心率为c e a ==.17．(1)1,(1)n n n a n b -==-(2)303553613⨯-【分析】（1）由题意，列出关于公差d 与公比q 的方程组，求解方程组，然后根据等差、等比数列的通项公式即可得答案；（2）由（1）可得3nn c =，然后分2n k =()*N k ∈和21n k =-()*N k ∈进行讨论，利用分组求和法及等比数列的前n 项和公式即可求解. （1）由题意，213122d q d q ⎧++=⎨++=⎩，整理得2230q q --=，解得32q =或1q =-，因为公比0q <，所以1q =-，则1d =，所以()11n a n n =+-=，()11n n b -=-；（2）由（1）可得233n a nn n c b =⋅=， 当2n k =()*N k ∈时，123212453231n k k k S t t t t c c c c c c --=++++=+++++()()()()1432253114322531333333k k k k c c c c c c ----=++++++=+++++++()()323333133131313k k --=+--313122362361313nk ++⨯-⨯-==， 当21n k =-()*N k ∈时，3131312313121223653653633131313n k k k k n k k S S S ++----⨯-⨯-⨯-==-=-==，故3035202353613S ⨯=-. 18．(1) 83；(2) 【详解】（I ）在三角形中，∣1cos 3B =，∣sin B =．在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠，又2AB =，4ADB π∠=，sin B =．∣83AD =．（II ）∣2BD DC =，∣2ABD ADC S S ∆∆=，，又ADC S ∆=∣ABC S ∆= ∣1·sin 2ABC S AB BC ABC ∆=∠，∣6BC =， ∣1·sin 2ABD S AB AD BAD ∆=∠，1·sin 2ADC S AC AD CAD ∆=∠， 2ABD ADC S S ∆∆=，∣sin 2?sin BAD ACCAD AB∠=∠，在ABC ∆中，由余弦定理得2222?cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠．∣AC =∣sin 2?sin BAD ACCAD AB∠==∠19．(1)证明见解析；【分析】(1)取AC 中点M ，连接1,,A M BM 证明1A M ∣平面ABC 即可；(2)由题可知二面角111B A B C --的正弦值与二面角1A AB C 正弦值相等.过M 作MN AB ⊥于点N ，连接1A N ，1A NM ∠即为所求二面角的平面角，解三角形即可. （1）取AC 中点M ，连接1,,A M BM 则BM AC ⊥.1AA AC =，160A AC ∠=，∣∣1A AC 为等边三角形， 1A M AC ∴⊥，∣1AM BM ==1A B = 22211A M BM A B ∴+=，1A M BM ∴⊥， 1,AC BM M A M ⋂=∴⊥平面ABC ，1A M ⊂平面11A ACC ，∣平面11A ACC ⊥平面ABC .（2）由题可知二面角111B A B C --的正弦值与二面角1A AB C 正弦值相等. 1A M ⊥平面ABC ，过M 作MN AB ⊥于点N ，连接1A N ， 1A NM ∠∴即为所求二面角1A AB C 的平面角，∣1cos 60A M MN AM ==⋅︒=1A N ∴，111sin A M A NM A N ∠∴=故二面角111B A B C --.20．(1)购车种类与性别有关；(2)X 的分布列见解析，3()4E X =. 【分析】（1）根据给定数表，求出2χ的观测值，再与临界值表比对即可作答.（2）求出抽取传统燃油汽车的概率、X 的所有可能值，利用二项分布求出分布列及期望作答. （1）设零假设为0H ：购车种类与性别无关，根据数表可得22100(15502510)505.024*********χ⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 所以零假设0H 是错的，即在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，可以认为购车种类与性别有关. （2）随机抽取1辆汽车属于传统燃油汽车的概率为2511004=， 被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X ，X 的可能值为：0，1，2，3， 依题意，1(3,)4XB ，()030313270C 4464P X ⎛⎫⎛⎫==⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()121313271C 4464P X ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()21231392C 4464P X ⎛⎫⎛⎫==⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3331313C 4464P X ⎛⎫⎛⎫==⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为：X 的数学期望13()344E X =⨯=.21．（1）2214x y +=，223x y +=；（2）y =+（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a ,b ，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合∣中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程. 详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为()12,F F ，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又点12⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎨=⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）∣设直线l 与圆O 相切于()0000,(0,0)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为()0000x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得()222200004243640xy x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()()()22222200000024443644820x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y =． 因此，点P的坐标为． ∣因为三角形OAB，所以12AB OP ⋅=，从而AB =设()()1122,,,A x y B x y ， 由（*）得1,20024x x y =+所以()()2221212AB x x y y =-+-()()222000222200048214y x x y x y -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭+． 因为22003x y +=，所以()()20222016232491x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为⎝⎭． 综上，直线l的方程为y =+点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.22．(1)e 1y x =+ (2)11e ,e -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）求出导函数()f x '，根据导数的几何意义求出切线的斜率，从而可得切线方程.（2）当0a ≤时，可得()e ln x a f x a x x=--得出其单调性，从而得出此时的情况，当0a >时，e ()ln x x a f x a x x-=-，设()()e 0x h x x a x =->，讨论出其单调性，得出其符号，打开绝对值，求出其最值，从而可得出答案.（1）当1a =-时，()()()2111e ln ,e ,1e x x f x x f x k f x x x=++=-+='='，切点()1,e 1,+∴切线方程为()e 1e 1y x =-++，即e 1y x =+.（2）∣当0a ≤时，()e ln x a f x a x x =--，此时()1e ln 1x f x a a x x ⎛⎫-=-++ ⎪⎝⎭， 令()()221111ln 1,x g x x g x x x x x-=+='+=-+. 当01x <<时，()0,g x '<()g x 在()0,1上单调递减当1x >时， ()0,g x '>()g x 在()1,+∞上单调递增所以()()12g x g ≥=，又0a ≤则1ln 10a x x ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭又e 0x >，所以()1e ln 10x f x a a x x ⎛⎫-=-++> ⎪⎝⎭()()0,f x a f x a ∴->∴>，此时0a ≤符合题意.∣当0a >时，e ()e ln ln x xa x a f x a x a x x x -=--=- 令()()e 0x h x x a x =->，()()()1e 0x h x x x '=+>，则()h x 在()0,∞+上单调递增又()00h a =-<，()()e 10,a h a a =-> 存在唯一的()00,x a ∈使()00,h x =且00e x a x = 所以00e ln 0()e ln x x a a x x x xf x a a x x x x ⎧--<<⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩ 当00x x <≤时，()e ln x a f x a x x =--，由()2e 0x a a f x x x'=---< 则()f x 在(]00,x 上单调递减，当0x x >时，()e ln x a f x a x x=--，由()2e x a a f x x x '=-+ 当0x x >时，e xa y x =-在[)0,x ∞+上单调递增，则000000e e e e 0x x x x x a a x x x -≥-=-= 所以当0x x >时，()2e 0x a a f x x x'=-+>，所以()f x 在()0,x +∞上单调递增 所以()()0f x f x ≥，由题意则()0000001e ln ln 0e x a f x a x a x a x x =--=->⇒<<设e x y x =，则()1e 0x y x '+>=在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，所以e x y x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 此时01e 01e 0,e e x a x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，即11e 0,e a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 综上所述：实数a 的取值范围为11e ,e -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数的几何意义求切线方程，利用导数处理恒成立求参数问题，解答本题的关键是对参数a 分0a ≤和0a >两种情况进行讨论，当0a >时，设()()e 0x h x x a x =->，讨论出其单调性，得出其符号，打开绝对值，从而得出()f x 在(]00,x 上单调递减，()f x 在()0,x +∞上单调递增，得到()()0f x f x ≥，从而求出0x 的范围，进而求出答案,属于难题.。
浙江杭州第十四中学2019高三2月抽考试题—数学(理)
浙江杭州第十四中学2019高三2月抽考试题—数学（理）数学〔理科〕试题 2018.2本试题卷分选择题和非选择题两部分、全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页、总分值150分，考试时间120分钟、请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上、 选择题部分〔共50分〕本卷须知1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上、 2、每题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上、参考公式：假如事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =假如事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式假如事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么13V Sh= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-= 球的表面积公式台体的体积公式 24πS R = ()1213V h S S = 球的体积公式 其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积，34π3V R=h 表示台体的高 其中R 表示球的半径【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、 1、假设集合{}|lg 0A x x =≤，{|21}x B x =≤，全集U =R ，那么 ()U AB =ð(A) (,1)-∞ (B) (1,)+∞(C) (,1]-∞(D) [1,)+∞2、设复数12i 2iz -=-〔其中i 为虚数单位〕，那么复数 z 在复平面内对应的点位于(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限3、a，b基本上实数，那么“4+≥”是“224a b+≥”的a b(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件4、设1sin cos 2x x +=-〔其中(0,π)x ∈〕，那么 cos2x 的值为(B)(C)(A)假设l ∥m ，l ∥α，那么m ∥α(B)假设α⊥β，l ∥α，那么l ⊥β (C)假设l ⊥α，α⊥β，那么l ∥α(D)假设l ⊥m ，l ⊥α且m ⊥β，那么α⊥β6、假设某空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是 (A)36＋128π (B)128π (C)36 (D)36＋64π7、某程序框图如下图，假设输入的N ＝100， 该程序运行后输出的结果为(A)50(B)1012(C)51(D)10328、某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，假设要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为(A)8 (B)16 (C)24 (D)609、设点P 是椭圆22221x y a b +=〔0a b >>〕上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，I 为（第6题图）△PF1F2的内心，假设S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，那么该椭圆的离心率是(A)12(B)2(D)1410、假设在直线l 上存在不同的三个点A ，B ，C ，使得关于实数x 的方程2x OA xOB BC ++=0有解〔点O 不在l 上〕，那么此方程的解集为 (A){1}-(B)∅(C)⎪⎪⎩⎭(D){}1,0-非选择题部分〔共100分〕本卷须知1、用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上；2、在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑、 【二】填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分、 11、设4(1)x -的展开式中2x 的系数为A ，那么A ＝、12、某随机变量ξ的概率分布列如右表，其中0x >，0y >，随机变量ξ的方差12D ξ=，那么x ＋y ＝13、设a 、b 为两非零向量，且满足|a |＋|b |＝2，2a •b ＝a 2•b 2，那么两向量a 、b 的夹角的最小值为、14、实数x ，y 满足1910x y x y+++=，那么x ＋y 的最大值为、 15、设点M(x ,y )的坐标满足不等式组001x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，点(m ,n )在点M(x ,y )所在的平面区域内，假设点N(m ＋n ,m －n )所在的平面区域的面积为S ，那么S 的值为、16、在等边三角形ABC 中，点P 在线段AB 上，满足AP AB λ=，假设CP AB PA PB ⋅=⋅，那么实数λ的值是___________、17、a ，b ，c 均为正实数，记11max ,,a M b bc c ac a b ⎧⎫=+++⎨⎬⎩⎭，那么M 的最小值为、 【三】解答题：本大题共5小题，共72分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤、 18、〔此题总分值14分〕在△ABC 中，角A 、B 、C 的所对边的长分别为a 、b 、c ，且a ＝5，b ＝3，sinC ＝2sinA 、〔Ⅰ〕求c 的值；〔Ⅱ〕求πsin 23A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值、19、〔此题总分值14分〕如图(1)在等腰ABC ∆中，D ，E ，F 分别是AB ，AC 和BC 边的中点，120ACB ∠=，现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A-DC-B.(如图(2))〔I 〕试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；〔II 〕求二面角E-DF-C 的余弦值；〔III 〕在线段BC 是否存在一点P ，但AP ⊥DE ？证明你的结论.20、〔此题总分值15分〕函数()f x 的定义域为R ，数列{}n a 满足1=()n n a f a -〔*n N ∈且2n ≥〕、〔Ⅰ〕假设数列{}n a 是等差数列，12a a ≠，且11()()()n n n n f a f a k a a ---=-(k 为非零常数，*n N ∈且2n ≥)，求k 的值；〔Ⅱ〕假设()(1)f x kx k =>，12a =，*ln ()n n b a n N =∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，关于给定的正整数m ，假如(1)m nmnSS +的值与n 无关，求k 的值、21、〔此题总分值15分〕焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1),Q 为椭圆C 的左顶点.〔Ⅰ〕求椭圆C 的标准方程； 〔Ⅱ〕过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. 〔ⅰ〕假设直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;〔ⅱ〕假设直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？假如存在，求出直线l 的方程；假如不存在，请说明理由.ABCDEF图(1)ABC DEF 图(2)22、〔此题总分值14分〕函数f (x )=ln x ，g (x )=e x 、〔I 〕假设函数φ(x )=f (x )－11x x +-，求函数φ(x )的单调区间；〔Ⅱ〕设直线l 为函数y ＝f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线、证明：在区间(1，+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g (x )相切、 注：e 为自然对数的底数、参考答案：【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A A D A A C A A 【二】填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分、 11、6 12、3413、π314、8 15、1 16、1 17、2【三】解答题：本大题共5小题，共72分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤、 18、〔此题总分值14分〕 解：〔Ⅰ〕依照正弦定理，csinC ＝a sinA ，因此c ＝sinC sinAa ＝2a ＝分)〔Ⅱ〕依照余弦定理，得cos A ＝2222c b a bc +-，因此sin A，从而sin2A ＝2sin A cos A ＝45，cos2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35，因此sin23A π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin2A cos 3π－cos2A sin 3π分)19、〔此题总分值14分〕〔I 〕如图：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF //AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF 、………………4分 【解】〔Ⅲ〕在线段BC 上不存在点P ，使AP ⊥DE ，………………………9分证明如下：在图2中,作AG ⊥DE,交DE 于G 交CD 于Q 由得∠AED ＝120°，因此点G 在DE 的延长线上，从而Q 在DC 的延长线 上，过Q 作PQ ⊥CD 交BC 于P ∴PQ ⊥平面ACD ∴PQ ⊥DE∴DE ⊥平面APQ ∴AP ⊥DE.但P 在BC 的延长线上。
浙江省杭州市第十四高中2019-2020学年高三数学文月考试题含解析
浙江省杭州市第十四高中2019-2020学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知点，抛物线的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若，则a的值为（）A. B. C. 1 D. 4参考答案：D依题意点的坐标为，设在准线上的射影为，由抛物线的定义知，则，，求得，故选D.2. 已知集合，在区间上任取一实数，则“”的概率为（A）（B）（C）（D）参考答案：C略3. 命题“三角形ABC中，若cosA<0，则三角形ABC为钝角三角形”的逆否命题是A．三角形ABC中，若三角形ABC为钝角三角形，则cosA<0B．三角形ABC中，若三角形ABC为锐角三角形，则cosA≥0C．三角形ABC中，若三角形ABC为锐角三角形，则cosA <OD．三角形ABC中，若三角形ABC为锐角或直角三角形，则cosA≥O参考答案：D命题“三角形中，若，则三角形为钝角三角形”的逆否命题是“三角形中，若三角形为锐角或直角三角形，则”.4. “”是“曲线过坐标原点”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A略5. 若随机变量X服从正态分布N（4，1），则P（x＞6）的值为（）（参考数据：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜x＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜x＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜x＜μ+3σ）=0.9974）A．0.1587 B．0.0228 C．0.0013 D．0.4972参考答案：B【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据变量符合正态分布，和所给的μ和σ的值，根据3σ原则，得到P（2＜X≤6）=0.9544，又P（X＞6）=P（X≤2）=0.6826，即可得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，μ=4，σ=1，∴P（2＜X≤6）=0.9544，又因为P（X＞6）=P（X≤2）=（1﹣0.9544）=0.0228，故选：B6. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（）．．．．参考答案：D圆的标准方程为，圆心为,因为点弦的中点，所以,AP的斜率为，所以直线的斜率为2，所以弦所在直线方程为，即，选D.7. 已知集合，则集合等于（）A. B. C. D.参考答案：C略8. 函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数为( )A．9 B．10 C．11 D．12参考答案：D【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数即y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象的交点的个数，作图并利用三角函数的图象特征求解．解：函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数即y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象的交点的个数，作函数y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象如下，结合图象及三角函数的最值知，图象在y轴左侧有6个交点，在y轴右侧有5个交点，在y轴上有一个交点；故选D．【点评】本题考查了函数的图象的应用及函数的零点的个数的判断，属于基础题．9. 设函数，若，则的取值范围是（）（A）（，1）（B）（，）（C）（，）（0，）（D）（，）（1，）参考答案：答案：D10. 已知定义在R上的偶函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数．那么是函数在区间[0，6]上有3个零点的（A）充要条件（B）充分而不必要的条件（C）必要而不充分的条件（D）既不充分也不必要的条件参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的最小值是．参考答案：1由题得当时，f(x),当时，f(x)∈[1,2]，所以函数的最小值为1.12. 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）.参考答案：略13. 设函数，且，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是_____▲_____.参考答案：略14. 设实数x，y满足约束条件，则的最大值为___________.参考答案：915. “0＜a＜b”是“（）a＞（）b”的条件．（填充分而不必要条件、必要而不充分件、充分条件、既不充分也不必要条件中一个）参考答案：充分不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据指数函数的性质先求出a＜b，再根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由（）a＞（）b得：a＜b，故0＜a＜b是a＜b的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了充分必要条件，考查指数函数的性质，是一道基础题．16. 已知直线及直线截圆C所得的弦长均为10，则圆C的面积是▲ ．参考答案：略17. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为则与的交点个数为；参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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本试卷满分150分，考试时间120分钟参考公式：台体的体积公式：(其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体高)柱体的体积公式：(其中表示柱体的底面积，表示柱体的高)锥体的体积公式：(其中表示锥体的底面积，表示锥体的高)球的表面积公式：，球的体积公式：(其中表示球的半径)选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，，则 ( )A. [－1,0)B. (0,5]C. [－1,0]D. [0,5]【答案】C【解析】【分析】先由题，分别解不等式，求出集合A和集合B，再利用集合的运算求得结果即可.【详解】由题，解得集合=集合=故[－1,0]故选C【点睛】本题考查了集合的混合运算，求解不等式是解题的关键，属于基础题.2.分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，则的周长为（）A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】D【解析】由双曲线的方程可知：，则，据此可知的周长为.本题选择D选项.点睛：双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验3.如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的体积是( )cm3A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据三视图，判断出几何体是三棱锥，然后再利用体积公式求得体积即可.【详解】由几何体的三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面面积故体积故选B【点睛】本题考查了三棱锥的体积，解题的关键是能否由三视图判断出几何体的原型，属于较为基础题.4.设复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,,，故选A.5.已知锐角的终边上一点，则锐角=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意，∴锐角=，故选C考点：本题考查了三角函数的概念及诱导公式点评：熟练掌握三角函数的概念及诱导公式是解决此类问题的关键，属基础题6.函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，可排除B,D,当时，，故排除C所以答案为A考点：函数的图像7.已知，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先由判断是否能推出，再由判断是否能推出，即可得出结果.【详解】已知充分性：若因为，所以,所以,所以；若，则当时，，所以必要性不成立；因此“”是“”的充分不必要条件.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题型.8.已知正数满足，则的最小值是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用不等式进行变型，转化为，所以原式变化成关于z的函数，然后求导进行求最值即可得到答案.【详解】(当且紧当时取等号)又因为已知正数满足，所以即故令此时函数递增；此时函数递减；故故选B【点睛】本题主要考查了不等式综合，利用基本不等式进行变型，然后还考查了导函数的应用，利用单调性求最值，属于较难题.9.已知共面向量满足且.若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时, 的最大值为 ( )A. B. C. 8 D.【答案】C【解析】先固定向量，则向量分别在以(4,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，得知点B的坐标，利用OB=BC，得，然后利用平面向量的几何意义的最小值为，，然后求得答案即可.【详解】如图，固定向量，则向量分别在以(4,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，其中易知点B的坐标因为所以OB=BC，即整理可得，所以而的最小值为，即将，当时取最大值，此时故的最大值为8故选C【点睛】本题主要考查了平面向量与平面几何的综合知识，利用圆的性质，平面向量的几何意义，是一道综合性较强的题目，属于难题.10.已知数列中，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【解析】【分析】先根据题意，对原式进行化简可得，然后利用累加法求得，然后不等式恒成立转化为恒成立，再利用函数性质解不等式即可得出答案.【详解】由题，即由累加法可得：即对于任意的，不等式恒成立即令可得且即可得或故选B【点睛】本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用，属于综合性较强的题目，解题的关键是能够由递推数列求出通项公式和后面的转化函数，属于难题.非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11.已知随机变量的分布列如下表，且，则=______,________.【答案】(1). (2).【解析】【分析】(1)由概率之和为1直接求出p的值即可；(2)先由题求出a的值，再求出D(x)，再利用公式求出即可.【详解】(1)由题，(2)由期望公式：故故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查了离散随机变量分布列的性质、期望、方差运算性质，属于基础题.12.若变量满足约束条件，则的最大值为__________，最小值为__________．【答案】(1). (2).【解析】【分析】由题画出约束条件的可行域，然后求得交点，代入求得最大最小值.【详解】变量满足约束条件，可行域如图所示：易知直线过B取最大，过点D取最小联立解得B(2,0)联立解得D(-4,-3)所以z的最大值为：最小值：【点睛】本题考查了线性规划，画图是关键，属于基础题.13.在中，角，，的对边分别为．若，，，则__________，__________．【答案】(1). 2(2).【解析】∵，由正弦定理可得：，∴，，∴．14.的展开式中，项的系数为14，则_____，展开式各项系数之和为______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】由题，得出的展开式通项为，然后求得a的值，再令x=1，求得各项系数之和.【详解】由题，的展开式通项为令，此时所以原式为，令，得各项系数之和为故答案为、1【点睛】本题考查了二项式定理及其应用，考查运算求解能力，属于较为基础题.15.由组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有________个. (用数字作答)【答案】120【解析】试题分析：先排3个偶数，从左到右有4个空，如排1,2,3个空，由于4不在第四位，共有种，若排1，2,4个空，共有，若排1,3,4则4不会在第四位，共有种，若排2,3,4个空，则4不会在第四位，共有，因此共有24+24+36+36=120种，故答案为120种.考点：排列组合的综合应用.16.已知函数若函数恰有4个不同的零点，则的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】由题，得知在上单调递减，当在上有唯一实数解，设，当有唯一零点0，要使有4个零点，则有两解以及有两解，即有一解，然后求得答案.【详解】由题，当时，，所以在上单调递减，当在上有唯一实数解，设.当有唯一零点0，设，要使有4个零点，则有两解即有两解，则，因为为在的解，所以有一解，且，即成立.因为，所以在是递增的，故最小值为，所以综上所述，t的取值为故答案为【点睛】本题考查了分段函数的零点，利用导函数研究函数的性质，考查运算求解能力，数形结合思想，意在让少数考生得分，属于难题.17.已知椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若是线段上一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围为______________.【答案】【解析】试题分析：由题意得，设，取的中点，由，则，解得点，又，所以，由三角形的中位线可知，即，整理得，所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆上，所以使得圆与椭圆有公共点，则，所以椭圆的离心率为．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，属于中档试题，着重考查了转化与化归思想和函数方程思想的应用，同时考查了推理运算能力，本题的解答中设出点的坐标，取的中点，可转化为，代入点的坐标，可得点的轨迹方程，只需使得圆与椭圆有交点即可得到的关系，求解椭圆离心率的取值范围.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18.已知函数．(Ⅰ)求的最小正周期及对称轴；(Ⅱ)求函数在区间[0,]上的值域．【答案】（I），对称轴；（II）.【解析】【分析】（I）由题将进行化简易得，可得周期和对称轴；(Ⅱ) 因为，所以，易得求得值域.【详解】（Ⅰ）所以对称轴即（Ⅱ）由（Ⅰ）得因为，所以，所以，因此所以f(x)的值域．【点睛】本题考查了三角恒等变化以及性质，属于基础题.19.如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC， PA＝1，AB＝AC＝，D为BC的中点，过点D作DQ平行于AP,且DQ＝1.连接QB, QC, QP.(Ⅰ)证明：AQ⊥平面PBC；(Ⅱ)求直线BC与平面ABQ所成角的余弦值.【答案】（I）详见解析；（II）.【解析】【分析】（I）由题，用线面垂直的性质以及勾股定理逆定理证得AQ⊥PD和BC⊥AQ，得证；(Ⅱ) （向量法）建立如图所示直角坐标系，求得平面ABQ的的法向量再用线面角的公式求得答案；（几何法）利用等体积法求得 C点到平面ABQ的距离，然后可得直线BC与平面ABQ所成角的余弦值.【详解】(Ⅰ)连接AD,PD,由PA⊥平面ABC得PA⊥AD,因为PA//DQ且PA=DQ，即四边形ADQP为矩形，又AB=AC＝，AB⊥AC，则AD＝1=AP,所以四边形ADQP为正方形，AQ⊥PD且BC⊥AD, BC⊥DQ,则BC⊥平面ADQ,即BC⊥AQ故AQ⊥平面PBC.(Ⅱ)（向量法）建立如图所示直角坐标系，则，则设平面ABQ的的法向量为于是（几何法）由于，且,则于是C点到平面ABQ的距离所以【点睛】本题考查了立体几何线面垂直以及线面角的综合问题，熟悉证明方法以及利用空间向量解决立体几何的线面角是解题的关键，属于中档题.20.已知正项等比数列满足成等差数列，且.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)若，，求成立的正整数n的最小值.【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】(Ⅰ)由题易知，求得公比q，，求得首项，得出通项公式；（II）将代入求得，然后利用错位相减求和求得，由题解得结果.【详解】(Ⅰ)设数列的公比为q,则，所以数列的通项公式为.(Ⅱ),则①②①－②得：.所以．由得.由于时，；时，.故使成立的正整数的最小值为.【点睛】本题考查了数列的综合，熟悉等差等比中项以及错位相减求和是解题的关键，属于中档题.21.已知椭圆C :的左右焦点分别是，焦距为，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)设椭圆E: ,P为椭圆E上的任一点，过点P的直线交椭圆C于A,B两点，射线PO 交椭圆C于点Q，求面积的最大值．【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（I）由题，根据焦距为，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，，求得标准方程.（II）联立椭圆E与直线，由得，再联立椭圆C与直线，表示出，然后得到面积，然后求得最值即可.【详解】(1)由已知：即椭圆C的标准方程为.(2)设，当直线OP斜率不存在时，; 当直线OP斜率存在时，设直线OP方程为，则，则，即.由(1)得椭圆E: ，由直线过椭圆E上点P，联立方程组，则, 由得. (*)由，则，由得 (**)，设直线交椭圆C的交点则，由，则由(*)(*)可得：，则，即【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合，直线与圆锥曲线的相交问题，属于难题.直线与圆锥曲线解题步骤：(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；（3）转化，由题已知转化为数学公式；（4）计算，细心计算.22.已知函数其中(Ⅰ)若，且当时，总成立，求实数m的取值范围；(Ⅱ)若，存在两个极值点，求证：【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】【分析】（I）由题，得知则然后讨论时函数的单调性求最值，可得答案；（II）由题，存在两个极值点，易知的两根，然后求得，此时，再利用单调性可证.【详解】(Ⅰ) 若，且当时，总成立，则当所以当即在上单调递减，在上单调递增，舍去，综上所述：(Ⅱ)若因为存在两个极值点，则令，即，则所以，即因为所以上述另法：要证即证设则令，即在单调递增，单调递减，则，所以得证.【点睛】本题主要考查了导函数的应用，单调性，极值以及不等式的证明综合问题，能否进行转化是解题的关键所在，属于极难题型.。