高考数学(文)一轮复习作业：(北师大版)含解析_19
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习高考解答题专项一第1课时利用导数证明不等式北师大版含答案
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习：高考解答题专项一 函数与导数中的综合问题第1课时 利用导数证明不等式1.(2021吉林长春诊断测试)已知函数f (x )=a e x-e x.(1)若对任意的实数x 都有f (x )≥0成立,求实数a 的取值范围; (2)当a ≥1且x ≥0时,证明:f (x )≥(x-1)2.2.(2021浙江宁波高三期末)已知函数f (x )=a e x-4x ,a ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间; (2)当a=1时,证明:f (x )+x 2+1>0.3.(2021辽宁朝阳高三一模)已知函数f (x )=e x-a sin x-x ,曲线f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为x+y-1=0.(1)求实数a 的值; (2)证明:∀x ∈R ,f (x )>0.4.(2021河北石家庄高三三模)已知函数f (x )=a ln x-x 2+x+3a.若0<a<14,证明:f (x )<e xx -x 2+x.5.(2021福建泉州高三二模)已知函数f (x )=a -lnx x在x=1处取得极值.(1)求实数a 的值,并求函数f (x )的单调区间; (2)证明:f (x )+x+23>0.6.(2021湖南郴州高三三模)已知函数f (x )=(x+1)ln x. (1)求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)证明:ln21+ln76+…+ln(n 2-2)n 2-3+2n>32(n ≥2,n ∈N *).高考解答题专项一 函数与导数中的综合问题第1课时 利用导数证明不等式1.(1)解若对任意的实数x 都有f (x )≥0,即a e x-e x ≥0,所以a ≥exex .令g (x )=ex e x ,则g'(x )=1−xe x -1.令g'(x )=0得x=1.当x<1时g'(x )>0;当x>1时g'(x )<0,所以g (x )在x=1处取得极大值亦即最大值g (1)=1,即a ≥1.故实数a 的取值范围是[1,+∞).(2)证明由于当a ≥1且x ≥0时,f (x )=a e x-e x ≥e x-e x ,因此只需证明e x-e x ≥(x-1)2.只需证明(x -1)2+exe x≤1.设h (x )=(x -1)2+exe x-1(x ≥0), 则h'(x )=(x -1)(3-e -x)e x.所以当0≤x<3-e 时,h'(x )<0,h (x )单调递减;当3-e <x<1时,h'(x )>0,h (x )单调递增;当x>1时,h'(x )<0,h (x )单调递减.又因为h (0)=0,h (1)=0,且x=1是h (x )的极大值,因此当x ≥0时,必有h (x )≤0,故原不等式成立.2.(1)解f'(x )=a e x-4.当a ≤0时,f'(x )<0,f (x )在R 上单调递减; 当a>0时,令f'(x )<0,可得x<ln 4a ,令f'(x )>0,可得x>ln 4a ,所以f (x )在(-∞,ln 4a )上单调递减,在(ln 4a ,+∞)上单调递增.综上所述,当a ≤0时,f (x )的单调递减区间为(-∞,+∞);当a>0时,f (x )的单调递增区间为(ln 4a ,+∞),单调递减区间为(-∞,ln 4a ).(2)证明当a=1时,f (x )=e x-4x ,令g (x )=f (x )+x 2+1=e x -4x+x 2+1.g'(x )=e x -4+2x ,令h (x )=e x -4+2x ,则h'(x )=e x +2>0恒成立,所以g'(x )在R 上单调递增,又因为g'(0)=-3<0,g'(1)=e -2>0,由函数零点存在定理可得存在x 0∈(0,1),使得g'(x 0)=0,即e x 0-4+2x 0=0.当x ∈(-∞,x 0)时,g'(x )<0,g (x )单调递减;当x ∈(x 0,+∞)时,g'(x )>0,g (x )单调递增.所以g (x )min =g (x 0)=e x 0-4x 0+x 02+1=4-2x 0-4x 0+x 02+1=x 02-6x 0+5,由于x 0∈(0,1),所以由二次函数性质可得g (x )min >g (1)=0,所以g (x )>0,故f (x )+x 2+1>0.3.(1)解根据题意,f (x )=e x-a sin x-x ⇒f'(x )=e x-a cos x-1,因为曲线f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为x+y-1=0,所以f'(0)=-1⇔1-a-1=-1⇒a=1.故实数a 的值为1.(2)证明由于f (x )=e x-sin x-x ,要证明∀x ∈R ,f (x )>0,需证明e x-x>sin x.因为sin x ∈[-1,1],故需证明e x-x>1.令g (x )=e x-x ,g'(x )=e x-1, 令g'(x )=0⇒x=0.g'(x )>0⇒x>0,g'(x )<0⇒x<0,所以函数g (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故g (x )min =g (0)=1,即∀x ∈R ,e x-x ≥1,所以e x-x-sin x ≥1-sin x ≥0,所以∀x ∈R ,f (x )>0.4.证明由已知得需证a (ln x+3)<e xx .因为a>0,x>0,所以e xx >0,当ln x+3<0时,不等式显然成立. 当ln x+3>0时,由于0<a<14,所以a (ln x+3)<14(ln x+3),因此只需证14(ln x+3)<e xx ,即证lnx+34x<e xx 2.令g (x )=lnx+34x,所以g'(x )=-lnx -24x 2,令g'(x )=0,得x=e -2,当x ∈(0,e -2)时,g'(x )>0,当x ∈(e -2,+∞)时,g'(x )<0,即g (x )在(0,e -2)上单调递增,在(e -2,+∞)上单调递减.所以g (x )max =g (e -2)=e 24.令h (x )=e x x2,则h'(x )=e x (x -2)x 3,当x ∈(0,2)时,h'(x )<0,当x ∈(2,+∞)时,h'(x )>0,所以h (x )在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以h (x )min =h (2)=e 24.所以g (x )≤h (x ),但两边取得最值的条件不相等,即证得a (ln x+3)<e xx ,故f (x )<e xx -x 2+x. 5.(1)解f'(x )=-1-a+lnx x 2,由题意得f'(1)=-1-a=0,即a=-1.于是f'(x )=lnxx 2(x>0), 当x ∈(0,1)时,f'(x )<0;当x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,所以实数a 的值为-1,f (x )的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).(2)证明要证f (x )+x+23>0,即证-1-lnx x+x+23>0,因为x>0,即证x 2+23x-ln x-1>0.令g (x )=x-1-ln x ,则g'(x )=1-1x =x -1x,所以当x ∈(0,1)时,g (x )单调递减,当x ∈(1,+∞)时,g (x )单调递增,所以g (x )≥g (1)=0,即ln x ≤x-1,则ln2x ≤2x-1,即ln2+ln x ≤2x-1,所以ln x ≤2x-1-ln2,则x 2+23x-ln x-1≥x 2+23x-2x+1+ln2-1=x 2-43x+ln2.令h (x )=x 2-43x+ln2=(x -23)2+ln2-49,又因为ln2>ln √e =12,所以ln2-49>0,则h (x )>0,故x 2+23x-ln x-1>0成立,则f (x )+x+23>0.6.(1)解函数f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=ln x+x+1x,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率为k=f'(1)=2,又因为f (1)=0,所以该切线方程为y=2(x-1).(2)证明设F (x )=(x+1)ln x-2x+2(x>1),则F'(x )=ln x+1x -1,令g (x )=F'(x ),则g'(x )=1x −1x 2=x -1x 2,当x>1时,g'(x )>0,所以g (x )=F'(x )在(1,+∞)上单调递增,又因为g (1)=0,所以g (x )=F'(x )>0,即F (x )在(1,+∞)上单调递增,所以F (x )>F (1)=0, 故当x>1时,(x+1)ln x>2(x-1).令x=n 2-2>1(n ≥2,n ∈N *), 则(n 2-1)ln(n 2-2)>2(n 2-3),所以ln(n 2-2)n 2-3>2n 2-1=2(n -1)(n+1)=1n -1−1n+1,因此∑k=2nln(k 2-2)k 2-3>1-13+12−14+13−15+14−16+…+1n -2−1n+1n -1−1n+1,化简可得∑k=2nln(k 2-2)k 2-3>1+12−1n −1n+1>32−2n .所以ln21+ln76+…+ln(n 2-2)n 2-3+2n >32(n ≥2,n ∈N *),故原不等式成立.。
高考数学一轮专项复习讲义-导数与函数的单调性(北师大版)
§3.2导数与函数的单调性课标要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )>0f (x )在区间(a ，b )上单调递增f ′(x )<0f (x )在区间(a ，b )上单调递减f ′(x )＝0f (x )在区间(a ，b )上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数f (x )的定义域；第2步，求出导数f ′(x )的零点；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0恒成立；若函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≤0恒成立．2．若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递增区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )>0有解；若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递减区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )<0有解．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．(√)(2)在(a ，b )内f ′(x )≤0且f ′(x )＝0的根有有限个，则f (x )在(a ，b )内单调递减．(√)(3)若函数f (x )在定义域上都有f ′(x )>0，则f (x )在定义域上一定单调递增．(×)(4)函数f (x )＝x －sin x 在R 上是增函数．(√)2.(多选)如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是()A ．在区间(－2,1)上f (x )单调递增B ．在区间(2,3)上f (x )单调递减C ．在区间(4,5)上f (x )单调递增D ．在区间(3,5)上f (x )单调递减答案BC解析在区间(－2,1)上，当x ∈－2，－32f ′(x )<0，当x ∈－32，1f ′(x )>0，故f (x )在区间－2，－32在区间－32，1A 错误；在区间(3,5)上，当x ∈(3,4)时，f ′(x )<0，当x ∈(4,5)时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(3,4)上单调递减，在区间(4,5)上单调递增，C 正确，D 错误；在区间(2,3)上，f ′(x )<0，所以f (x )单调递减，B 正确．3．已知f (x )＝x 3＋x 2－x 的单调递增区间为________．答案(－∞，－1)，13，＋∞解析令f ′(x )＝3x 2＋2x －1>0，解得x >13或x <－1，所以f (x )＝x 3＋x 2－x 的单调递增区间为(－∞，－1)13，＋∞4．已知f (x )＝2x 2－ax ＋ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，5]解析f ′(x )＝4x －a ＋1x ＝4x 2－ax ＋1x，x ∈(1，＋∞)，故只需4x 2－ax ＋1≥0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，则a ≤4x ＋1x 在x ∈(1，＋∞)上恒成立，令y ＝4x ＋1x，因为y ′＝4－1x 2＝4x 2－1x 2>0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，所以y ＝4x ＋1x 在(1，＋∞)上单调递增，故4x ＋1x>5，所以a ≤5.题型一不含参函数的单调性例1(1)函数f(x)＝x ln x－3x＋2的单调递减区间为________．答案(0，e2)解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x－2，当x∈(0，e2)时，f′(x)<0，当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递减区间为(0，e2)．(2)若函数f(x)＝ln x＋1e x，则函数f(x)的单调递增区间为________．答案(0,1)解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ln x－1e x，令φ(x)＝1x－ln x－1(x>0)，φ′(x)＝－1x2－1x<0，φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，即f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，即f′(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)．思维升华确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．跟踪训练1已知函数f(x)＝x sin x＋cos x，x∈[0,2π]，则f(x)的单调递减区间为()A.0，π2 B.π2，3π2C．(π，2π) D.3π2，2π答案B解析由题意f(x)＝x sin x＋cos x，x∈[0,2π]，则f ′(x )＝x cos x ，当x f ′(x )>0，当x f ′(x )<0，故f (x )题型二含参数的函数的单调性例2已知函数g (x )＝(x －a －1)e x －(x －a )2，讨论函数g (x )的单调性．解g (x )的定义域为R ，g ′(x )＝(x －a )e x －2(x －a )＝(x －a )(e x －2)，令g ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝ln 2，①若a >ln 2，则当x ∈(－∞，ln 2)∪(a ，＋∞)时，g ′(x )>0，当x ∈(ln 2，a )时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，ln 2)，(a ，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a )上单调递减；②若a ＝ln 2，则g ′(x )≥0恒成立，∴g (x )在R 上单调递增；③若a <ln 2，则当x ∈(－∞，a )∪(ln 2，＋∞)时，g ′(x )>0，当x ∈(a ，ln 2)时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，a )，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a ，ln 2)上单调递减．综上，当a >ln 2时，g (x )在(－∞，ln 2)，(a ，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a )上单调递减；当a ＝ln 2时，g (x )在R 上单调递增；当a <ln 2时，g (x )在(－∞，a )，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a ，ln 2)上单调递减．思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．跟踪训练2(2023·北京模拟)已知函数f (x )＝2x －a(x ＋1)2.(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )的单调区间．解(1)当a ＝0时，f (x )＝2x(x ＋1)2(x ≠－1)，则f (0)＝0，因为f ′(x )＝－2x ＋2(x ＋1)3，所以f ′(0)＝2.所以曲线y ＝f (x )在(0,0)处的切线方程为y ＝2x .(2)函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．f ′(x )＝(－2x ＋2a ＋2)(x ＋1)(x ＋1)4＝－2(x －a －1)(x ＋1)3，令f ′(x )＝0，解得x ＝a ＋1.①当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，f ′(x )＝－2x －2(x ＋1)3＝－2(x ＋1)(x ＋1)3＝－2(x ＋1)2<0，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；②当a ＋1<－1，即a <－2时，令f ′(x )<0，则x ∈(－∞，a ＋1)∪(－1，＋∞)，令f ′(x )>0，则x ∈(a ＋1，－1)，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，a ＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(a ＋1，－1)；③当a ＋1>－1，即a >－2时，令f ′(x )<0，则x ∈(－∞，－1)∪(a ＋1，＋∞)，令f ′(x )>0，则x ∈(－1，a ＋1)，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(a ＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，a ＋1)．综上所述，当a ＝－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；当a <－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，a ＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(a ＋1，－1)；当a >－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(a ＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，a ＋1)．题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例3(1)(多选)(2024·深圳模拟)若0<x 1<x 2<1，则()A ．21e e xx－>ln x 2＋1x 1＋1B ．21e e xx－<ln x 2＋1x 1＋1C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x x x x <答案AC解析令f (x )＝e x －ln(x ＋1)且x ∈(0,1)，则f ′(x )＝e x －1x ＋1>0，故f (x )在区间(0,1)上单调递增，因为0<x 1<x 2<1，所以f (x 1)<f (x 2)，即1e x－ln(x 1＋1)<2e x－ln(x 2＋1)，故21e e x x －>lnx 2＋1x 1＋1，所以A 正确，B 错误；令f (x )＝e xx 且x ∈(0,1)，则f ′(x )＝e x (x －1)x 2<0，故f (x )在区间(0,1)上单调递减，因为0<x 1<x 2<1，所以f (x 1)>f (x 2)，即1212e e >x x x x ，故1221e e x x x x >，所以C 正确，D错误．常见组合函数的图象在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果．典例(多选)如果函数f (x )对定义域内的任意两实数x 1，x 2(x 1≠x 2)都有x 1f (x 1)－x 2f (x 2)x 1－x 2>0，则称函数y ＝f (x )为“F 函数”．下列函数不是“F 函数”的是()A ．f (x )＝e xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝sin x答案ACD解析依题意，函数g (x )＝xf (x )为定义域上的增函数．对于A ，g (x )＝x e x ，g ′(x )＝(x ＋1)e x ，当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，－1)上单调递减，故A 中函数不是“F 函数”；对于B ，g (x )＝x 3在R 上为增函数，故B 中函数为“F 函数”；对于C ，g (x )＝x ln x ，g ′(x )＝1＋ln x ，x >0，当x g ′(x )<0，∴g (x )故C 中函数不是“F 函数”；对于D ，g (x )＝x sin x ，g ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x －π2，g ′(x )<0，∴g (x )－π2，故D 中函数不是“F 函数”．(2)(2023·成都模拟)已知函数f (x )＝e x －e －x－2x ＋1，则不等式f (2x －3)＋f (x )>2的解集为________．答案(1，＋∞)解析令g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x －2x ，定义域为R ，且g (－x )＝e －x －e x ＋2x ＝－g (x )，所以g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x －2x 为奇函数，f (2x －3)＋f (x )>2变形为f (2x －3)－1>1－f (x )，即g (2x －3)>－g (x )＝g (－x )，g ′(x )＝e x ＋e －x －2≥2e x ·e －x －2＝0，当且仅当e x ＝e －x ，即x ＝0时，等号成立，所以g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x －2x 在R 上单调递增，所以2x －3>－x ，解得x >1，所以所求不等式的解集为(1，＋∞)．命题点2根据函数的单调性求参数例4已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)．(1)若f (x )在[1,4]上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解(1)因为f (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，f ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x2－2x 恒成立．设G (x )＝1x 2－2x ，x ∈[1,4]，所以a ≥G (x )max ，而G (x )－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以实数a 的取值范围是－716，(0，＋∞)．(2)因为f (x )在[1,4]上存在单调递减区间，则f ′(x )<0在[1,4]上有解，所以当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x 有解，又当x ∈[1,4]＝－1(此时x ＝1)，所以a >－1，又因为a ≠0，所以实数a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．思维升华由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立．(2)函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集．跟踪训练3(1)(2024·郑州模拟)函数f (x )的图象如图所示，设f (x )的导函数为f ′(x )，则f (x )·f ′(x )>0的解集为()A ．(1,6)B ．(1,4)C ．(－∞，1)∪(6，＋∞)D ．(1,4)∪(6，＋∞)答案D解析由图象可得，当x <4时，f ′(x )>0，当x >4时，f ′(x )<0.结合图象可得，当1<x <4时，f ′(x )>0，f (x )>0，即f (x )·f ′(x )>0；当x >6时，f ′(x )<0，f (x )<0，即f (x )·f ′(x )>0，所以f (x )·f ′(x )>0的解集为(1,4)∪(6，＋∞)．(2)已知函数f (x )＝(1－x )ln x ＋ax 在(1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是()A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)答案A解析依题意f ′(x )＝－ln x ＋1x＋a －1，故f ′(x )在(1，＋∞)上有零点，令g (x )＝－ln x ＋1x ＋a －1，令g (x )＝0，得a ＝ln x －1x ＋1，令z (x )＝ln x －1x ＋1，则z ′(x )＝1x ＋1x2，由x >1，得z ′(x )>0，z (x )在(1，＋∞)上单调递增，又由z(1)＝0，得z(x)>0，故a＝z(x)>0，所以a的取值范围是(0，＋∞)．课时精练一、单项选择题1．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递减区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)答案A解析由已知得，f′(x)＝e x＋(x－3)e x＝(x－2)e x，当x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，2)，单调递增区间是(2，＋∞)．2．已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案D解析根据导函数的图象可得，当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上单调递减；当0<x<2时，f′(x)>0，f(x)在(0,2)上单调递增；当x>2时，f′(x)<0，f(x)在(2，＋∞)上单调递减，所以只有D选项符合．3．(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝13ax3＋x2＋x＋4，则“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析由题意知，f′(x)＝ax2＋2x＋1，若f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0恒成立，>0，＝4－4a≤0，解得a≥1，故“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件．4．(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝a e x－ln x在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为()A．e2B．e C．e－1D．e－2答案C解析依题可知，f′(x)＝a e x－1x≥0在(1,2)上恒成立，显然a>0，所以x e x≥1a在(1,2)上恒成立，设g(x)＝x e x，x∈(1,2)，所以g′(x)＝(x＋1)e x>0，所以g(x)在(1,2)上单调递增，g(x)>g(1)＝e，故e≥1a，即a≥1e＝e－1，即a的最小值为e－1.5．(2024·苏州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝e x＋sin x，则不等式f(2x－1)<eπ的解集是()答案D解析当x≥0时，f′(x)＝e x＋cos x，因为e x≥1，cos x∈[－1,1]，所以f′(x)＝e x＋cos x≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(－π)＝f(π)＝eπ，所以由f(2x－1)<eπ可得－π<2x－1<π，解得x6．(2023·信阳模拟)已知a＝1100，b＝99100e-，c＝ln101100，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 答案B解析设函数f(x)＝e x－x－1，x∈R，则f′(x)＝e x－1，当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上单调递减；当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)≥f(0)＝0，即e x≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号，∵e x≥1＋x，∴99100e->1－99100＝1100，∴b>a，由以上分析可知当x>0时，有e x－1≥x成立，当x＝1时取等号，即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号，∴ln 101100<101100－1＝1100，∴a>c，故b>a>c.二、多项选择题7．(2023·临汾模拟)若函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[m －1，m ＋1]上单调，则实数m 的值可以是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案BD解析f ′(x )＝x －9x ＝x 2－9x (x >0)，令f ′(x )>0，得x >3，令f ′(x )<0，得0<x <3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(0,3)，因为函数f (x )在区间[m －1，m ＋1]上单调，－1>0，＋1≤3或m －1≥3，解得1<m ≤2或m ≥4.8．(2024·邯郸模拟)已知函数f (x )x ，且a ＝f b ＝f c ＝12(e )f ，则()A ．a >bB ．b >aC ．c >bD ．c >a答案ACD解析由f (x )x ，得f ′(x )x 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，因为c ＝f 0<1e <23<45<1，所以f f f c >a >b .三、填空题9．函数f (x )＝e －x cos x (x ∈(0，π))的单调递增区间为________．答案解析f ′(x )＝－e －x cos x －e －x sin x ＝－e －x (cos x ＋sin x )＝－2e －x当x e －x >0，，则f ′(x )<0；当x e －x >0，，则f ′(x )>0，∴f (x )在(0，π)10．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋x 恰有三个单调区间，则实数b 的取值范围为________．答案(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析由题意得f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋1，函数f (x )＝x 3＋bx 2＋x 恰有三个单调区间，则函数f (x )＝x 3＋bx 2＋x 有两个极值点，即f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋1的图象与x 轴有两个交点，则判别式Δ＝4b 2－12>0，解得b >3或b <－ 3.所以实数b 的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．11．(2024·上海模拟)已知定义在(－3,3)上的奇函数y ＝f (x )的导函数是f ′(x )，当x ≥0时，y ＝f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式f ′(x )x>0的解集为________．答案(－3，－1)∪(0,1)解析依题意f (x )是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，f (x )在区间(－3，－1)，(1,3)上单调递减，f ′(x )<0；f (x )在区间(－1,1)上单调递增，f ′(x )>0.所以f ′(x )x>0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．12．已知函数f (x )＝3x a－2x 2＋ln x (a >0)，若函数f (x )在[1,2]上不单调，则实数a 的取值范围是________．答案解析f ′(x )＝3a －4x ＋1x，若函数f (x )在[1,2]上单调，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x在[1,2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x，则h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a≤h (1)，即3a ≥152或3a≤3，又a >0，所以0<a ≤25或a ≥1.因为f (x )在[1,2]上不单调，所以25<a <1.四、解答题13．(2024·毕节模拟)已知函数f (x )＝(a －x )ln x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围．解(1)根据题意，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (1)＝0，f ′(x )＝－ln x ＋a －x x，∴f ′(1)＝a －1，∴曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝(a －1)(x －1)．(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－ln x ＋a －x x ＝－x ln x －x ＋a x，令g (x )＝－x ln x －x ＋a ，则g ′(x )＝－ln x －2，令g ′(x )＝0，则x ＝1e2，令g ′(x )>0，则0<x <1e2，令g ′(x )<0，则x >1e2，∴g (x )g (x )max ＝＝1e 2＋a ，∵f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，即1e2＋a ≤0，∴a ≤－1e2.14．(2023·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋1.(1)若f (x )≤x ＋c ，求c 的取值范围；(2)设a >0，讨论函数g (x )＝f (x )－f (a )x －a的单调性．解(1)f (x )≤x ＋c 等价于ln x －x ≤c －1.令h (x )＝ln x －x ，x >0，则h ′(x )＝1x －1＝1－x x.当0<x <1时，h ′(x )>0，所以h (x )在(0,1)上单调递增；当x >1时，h ′(x )<0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递减．故h (x )max ＝h (1)＝－1，所以c －1≥－1，即c ≥0，所以c 的取值范围是[0，＋∞)．(2)g (x )＝ln x ＋1－(ln a ＋1)x －a ＝ln x －ln a x －a(x >0且x ≠a )，因此g ′(x )＝x －a －x ln x ＋x ln a x (x －a )2，令m (x )＝x －a －x ln x ＋x ln a ，则m ′(x )＝ln a －ln x ，当x >a 时，ln x >ln a ，所以m ′(x )<0，m (x )在(a ，＋∞)上单调递减，当0<x <a 时，ln x <ln a ，所以m ′(x )>0，m (x )在(0，a )上单调递增，因此有m (x )<m (a )＝0，即g ′(x )<0在x >0且x ≠a 上恒成立，所以函数g (x )在区间(0，a )和(a ，＋∞)上单调递减．15．已知函数f (x )＝e x x －ax ，当0<x 1<x 2时，不等式f (x 1)x 2－f (x 2)x 1<0恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．(－∞，e)B ．(－∞，e]－∞，e 2答案D解析因为当0<x 1<x 2时，不等式f (x 1)x 2－f (x 2)x 1<0恒成立，所以f (x 1)x 2<f (x 2)x 1，即x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，令g (x )＝xf (x )＝e x －ax 2，则g (x 1)<g (x 2)，又因为0<x 1<x 2，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以g ′(x )＝e x －2ax ≥0在(0，＋∞)上恒成立，分离参数得2a ≤e x x恒成立，令h (x )＝e x x(x >0)，则只需2a ≤h (x )min ，而h ′(x )＝e x ·x －1x2，令h ′(x )>0，得x >1，令h ′(x )<0，得0<x <1，所以h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h (x )≥h (1)＝e ，故2a ≤e ，即a ≤e 2.16．已知偶函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，当x ＞0时，f (x )x＞－f ′(x )，且f (2)＝1，则不等式(x 2－x )f (x 2－x )＞2的解集为()A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－1,2)答案C 解析令g (x )＝xf (x )，由于f (x )为偶函数，则g (x )为奇函数，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )．因为当x ＞0时，f (x )x ＞－f ′(x )，即f (x )＋xf ′(x )x＞0，所以f(x)＋xf′(x)＞0，即g′(x)＞0.所以当x＞0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为g(x)在R上为奇函数且在R上存在导函数，所以g(x)在R上为增函数．因为f(2)＝1，所以g(2)＝2f(2)＝2，又(x2－x)f(x2－x)＞2等价于g(x2－x)＞g(2)，所以x2－x＞2，解得x＜－1或x＞2.综上所述，x的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。
数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案理
4。
2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识预案自诊知识梳理1。
同角三角函数的基本关系（1）平方关系:sin2α+cos2α=。
(2)商数关系:sinαcosα=(α≠π2+kπ,k∈Z)。
2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sin α余弦cos α正切tan α续表公式一二三四五六口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限1。
特殊角的三角函数值2.同角三角函数基本关系式的常用变形(1)（sin α±cos α）2=1±2sin αcos α；（2)sin α=tan αcos αα≠π2+kπ,k∈Z；(3）sin2α=sin2αsin2α+cos2α=tan2αtan2α+1;（4）cos 2α=cos 2αsin 2α+cos 2α=1tan 2α+1。
考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。
（1）对任意的角α，β有sin 2α+cos 2β=1。
( ） （2)若α∈R ，则tan α=sinαcosα恒成立.（ ）（3)sin （π+α）=-sin α成立的条件是α为锐角。
( )(4）若cos(n π—θ）=13(n ∈Z )，则cos θ=13.（ ）2。
(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cos α-π2=-2√55，α∈π，3π2,则tan α=（ ）A 。
2B 。
32C.1D.123。
(2020河北唐山模拟，理4）已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点A (2sin α，3）（sin α≠0），则cos α=( ）A.12B 。
-12C 。
√32D.-√324。
函数f (x )=15sin x+π3+cos x —π6的最大值为（ ) A.65B.1C.35D.15关键能力学案突破考点同角三角函数基本关系式的应用【例1】（1)若tan(α-π）=12，则sin 2α+1cos 2α-sin 2α=( )A。
2024届新高考一轮复习北师大版 第1章 第4节 一元二次函数与一元二次不等式 课件(56张)
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
__{_x_|_x_<_x_1 _或__x_>_x_2_}__
xx≠－2ba
R
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
____{x_|_x_1<_x_<_x_2_}_____
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5.分式不等式与整式不等式
f（x） (1)g（x）
>0(<0)⇔______f(_x_)_g_(x_)_>_0_(_<_0_)___________；
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3．一元二次不等式的概念 一般地，形如 ax2＋bx＋c＞0 或 ax2＋bx＋c<0 或 ax2＋bx＋c≥0 或 ax2 ＋bx＋c≤0(其中，x 为未知数，a，b，c 均为常数，且 a≠0)的不等式叫作 一元二次不等式，使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫 作这个一元二次不等式的解集．
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(3)若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向下，则不等式 ax2＋bx＋c<0
的解集一定不是空集．( )
x－a (4)x－b
≥0 等价于(x－a)(x－b)≥0.(
)
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
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[对点查验]
1．不等式 x2＋2x－3>0 的解集为( )
A．x|－3<x<1
(3)含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象
法求解
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[常用结论]
1．不等式 ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决
定．
2024届新高考一轮复习北师大版 12 函数的图象 作业
课时规范练12 函数的图象《素养分级练》P356基础巩固组1.函数f (x )=x+1x图象的对称中心为( )A.(0,0)B.(0,1)C.(1,0)D.(1,1)答案:B 解析:f (x )=x+1x =1+1x,由y=1x 向上平移一个单位长度得到y=1+1x ,又y=1x关于(0,0)对称,所以f (x )=1+1x 的图象关于(0,1)对称.2.(2023·宁夏银川高三检测)函数f (x )=|sin x|与函数y=lg x 图象的交点个数是( ) A.5 B.4C.3D.2答案:A解析:画出函数f (x )=|sin x|和y=lg x 的图象,易知|sin x|≤1,lg10=1,结合图象可得函数f (x )=|sin x|与函数y=lg x 的图象的交点个数是5.3.(2022·广东广州一模)若函数y=f (x )的大致图象如图,则f (x )的解析式可能是( )A.f (x )=x 2e x e 2x +1B.f (x )=e 2x +1x 2e xC.f (x )=x 2e xe 2x -1D.f (x )=e 2x -1x 2e x答案:D解析:由图可知函数定义域为{x|x ≠0},由此排除A;该函数图象关于原点对称,则该函数为奇函数,需满足f (x )+f (-x )=0,对于B,f (x )+f (-x )≠0,故排除B;C 和D 均满足f (x )+f (-x )=0,对于C,f (x )=x 2e xe 2x -1=x2 e x-1e x ,当x→+∞时,1e x→0,故f(x)→x2e x,因为y=x2增长的速率比y=e x增长的速率慢,所以f(x)→x2e x→0,即图象在x轴上方无限接近于x轴正半轴,与题意不符,故排除C.综上,D选项正确.4.(2023·北京延庆高三检测)函数f(x)=ax-b(x+c)2的图象如图所示,则下列结论一定成立的是()A.a>0,b<0,c>0B.a<0,b<0,c>0C.a>0,b<0,c<0D.a<0,b>0,c>0答案:A解析:由图知f(0)=-bc2>0,所以b<0,当x=-c时,函数f(x)无意义,由图知-c<0,所以c>0.令f(x)=0,解得x=ba ,由图知ba<0,又因为b<0,所以a>0.综上,a>0,b<0,c>0.5.已知函数f(x)={2x-1,0<x<2,6-x,x≥2,那么不等式f(x)≥√x的解集为()A.(0,1]B.(0,2]C.[1,4]D.[1,6]答案:C解析:作出函数y=f(x)与y=√x的图象,如图所示.由图象可知不等式f(x)≥√x的解集为[1,4],故选C.6.(2023·河南郑州模拟)已知函数f(x)=2x+x-4,g(x)=e x+x-4,h(x)=ln x+x-4的零点分别是a,b,c,则a,b,c的大小顺序是()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b答案:C解析:由已知条件,f (x )的零点可以看成函数y=2x 与y=4-x 图象的交点的横坐标,g (x )的零点可以看成函数y=e x 与y=4-x 图象的交点的横坐标,h (x )的零点可以看成函数y=ln x 与y=4-x 图象的交点的横坐标,在同一坐标系分别画出y=2x ,y=e x ,y=ln x ,y=4-x 的函数图象,如下图所示,可知c>a>b ,故选C.7.(2023·吉林长春二中高三检测)已知函数f (x )={-12x 2-x +32,x ≤a ,-2x ,x >a 无最大值,则实数a 的取值范围是 . 答案:(-∞,-1)解析:由题可知,当x ≤a 时,f (x )=-12x 2-x+32,其对称轴为直线x=-1,当a ≥-1时,函数f (x )=-12x 2-x+32有最大值且最大值为f (-1)=2,当a<-1时,函数f (x )=-12x 2-x+32有最大值且最大值为f (a )=-12a 2-a+32.当x>a 时,f (x )=-2x ,在(a ,+∞)上单调递减,故f (x )<f (a )=-2a.因为函数f (x )无最大值,故当a ≥-1时,需满足2<-2a ,解得a<-1,不符合题意,当a<-1时,需满足-12a 2-a+32<-2a ,解得a<-1,或a>3(舍去).综上,实数a 的取值范围是(-∞,-1).综合提升组8.(多选)(2023·福建三明模拟)已知f (x )是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x>0时,f (x )={log 2x ,0<x <1,|4-x 2|,x ≥1,则下列说法正确的是( )A.函数f (x )在(0,+∞)上单调递增B.函数f (x )有两个零点C.不等式f (x )≤3的解集为[-√7,√7]D.方程f (f (x ))-5=0有6个不相等的实数根 答案:BD解析:由题意,函数f (x )的图象如图所示.对于A,f(x)在(1,2)上单调递减,A错误.对于B,令f(x)=0,即|4-x2|=0,解得x=±2,f(x)只有2个零点,B 正确.对于C,由图知只需f(x)≤3,解得x∈[-√7,0)∪(0,√7],C错误.对于D,f(f(x))=5,即|4-f2(x)|=5,且|f(x)|≥1,解得f(x)=±3,若f(x)=3,即|4-x2|=3,解得x=±1或x=±√7;若f(x)=-3,即log2|x|=-3,解得x=±18,D正确.故选BD.9.(2022·广东茂名一模)已知函数f(x)={|log2x|,0<x<2,-x+3,x≥2,若x1,x2,x3均不相等,且f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1·x2·x3的取值范围是.答案:(2,3)解析:不妨设x1<x2<x3,由图可得,|log2x1|=|log2x2|=-x3+3∈(0,1),所以log2x1=-log2x2,即x1x2=1,由f(x1)=f(x2)=f(x3),得x3∈(2,3),所以x1·x2·x3的取值范围是(2,3).创新应用组10.(2023·河北邢台高三检测)如图,一个“心形”由两个函数的图象构成,则“心形”上部分的函数解析式可能为()A.y=|x|√4-x2B.y=x√4-x2C.y=√-x2+2|x|D.y=√-x 2+2x 答案:C解析:由函数图象知,“心形”上部分的函数图象关于y 轴对称,而y=x √4-x 2,y=√-x 2+2x 不满足,排除B,D;y=|x|√4-x 2的图象过(0,0),(-2,0),(2,0),当0<x<2时,y=x √4-x 2≤x 2+(√4-x 2)22=2,当且仅当x=√4-x 2,即x=√2时,等号成立,不符合要求,排除A;y=√-x 2+2|x |的图象过(0,0),(-2,0),(2,0),当0<x<2时,y=√-x 2+2x =√-(x -1)2+1≤1,当x=1时,函数取得最大值1,符合要求.故选C.。
2023届高考数学一轮复习作业正弦定理余弦定理北师大版
正弦定理、余弦定理一、选择题1．(2021·全国卷甲)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝( ) A．1 B． C． D．3D [法一：由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去)．故选D．法二：由正弦定理＝，得sin C＝，从而cos C＝(C是锐角)，所以sin A＝sin[π－(B ＋C)]＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝×－×＝．又＝，所以BC＝3．故选D．]2．在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为2，则c＝( )A．2 B．2 C．2 D．B [由S＝ab sin C＝2a×＝2，解得a＝2．由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝12，故c＝2．]3．对于△ABC，有如下命题，其中正确的是( )A．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形B．若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形C．若sin2A＋sin2B＋cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为C [对于A项，∵sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或2A＋2B＝π，即A＋B＝，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B项，∵sin A＝cos B，∴A－B＝或A＋B＝，∴△ABC不一定是直角三角形，故B错误；对于C项，sin2A＋sin2B＜1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2＜c2，∴△ABC为钝角三角形C正确；对于D项，由正弦定理，得sin C＝＝，且AB＞AC，∴C＝60°或C＝120°，∴A＝90°或A＝30°，∴S△ABC＝AC·AB sin A＝或，D不正确．故选C．]4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝( )A． B． C． D．A [由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，AB＝3，所以cos B＝＝，故选A．]5．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形B [由cos2＝得＝＋，∴cos B＝，又cos B＝，∴＝，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故选B．]6．(2021·毕节模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a ＝，△ABC的周长为5＋，(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C，则△ABC的面积为( )A． B． C． D．C [由题意可得：a＝，△ABC的周长为5＋，可得b＋c＝5，因为(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C，由正弦定理及余弦定理可得：b2＋c2－a2＝bc＝2bc cos A，因为A∈(0，π)，所以cos A＝，A＝，a2＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A，所以10＝25－2bc－bc，所以bc＝5，所以S△ABC＝bc sin A＝×5×＝，故选C．]二、填空题7．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝________． [∵b sin A＋a cos B＝0，∴＝．由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1．又B∈(0，π)，∴B＝．]8．(2021·全国卷乙)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为．B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________．2 [由题意得S△ABC＝ac sin B＝ac＝，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝12－2×4×＝8，则b＝2．]9．(2021·浙江高考)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝________；cos∠MAC＝________．2 [法一：由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC 的中点，所以BC＝8．在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2BC·AB·cos∠B ＝4＋64－2×8×2×＝52，所以AC＝2，所以在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC＝＝＝．法二：由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8．过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，则BD＝4，AD＝2，CD＝4．所以在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝48＋4＝52，得AC＝2．在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC＝＝＝．]三、解答题10．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－．(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C)的值．[解] (1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得b2＝32＋c2－2×3×c×．因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×．解得c＝5．所以b＝7．(2)由cos B＝－得sin B＝．由正弦定理得sin C＝sin B＝．在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角．所以cos C＝＝．所以sin(B－C)＝sin B cos C－cos B sin C＝．11．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos A＝．(1)求A；(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．[解] (1)由已知得sin2A＋cos A＝，即cos2A－cos A＋＝0．所以＝0，cos A＝．由于0<A<π，故A＝．(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝sin A．由(1)知B＋C＝，所以sin B－sin＝sin ．即sin B－cos B＝，sin＝．由于0<B<，故B＝．从而△ABC是直角三角形．1．(2021·南宁模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin 2A＝a sin B，且c＝2b，则等于( )A． B． C． D．D [由b sin 2A＝a sin B及正弦定理得2sin B sin A cos A＝sin A sin B，又sin A sin B≠0，∴cos A＝．又c＝2b，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，∴＝3，从而＝，故选D．]2．(2021·唐山模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h等于( )A． B． C． D．D [cos A＝＝＝，则sin A＝＝，∴h＝b sin A＝3×＝，故选D．]3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sinA sin B＝cos2，BC边上的中线AM的长为．(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的面积．[解] (1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，得a2－b2－c2＝－bc，∴cos A＝＝，又0＜A＜π，∴A＝．由sin A sin B＝cos2，得sin B＝，即sin B＝1＋cos C，则cos C＜0，即C为钝角，∴B为锐角，且B＋C＝，则sin＝1＋cos C，化简得cos＝－1，解得C＝，∴B＝．(2)由(1)知，a＝b，在△ACM中，由余弦定理得AM2＝b2＋－2b··cos C＝b2＋＋＝()2，解得b＝2，故S△ABC＝ab sin C＝×2×2×＝．1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos2A－cos2B ＋cos2C＝1＋sin A sin C，且sin A＋sin C＝1，则△ABC的形状为( ) A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为150°的等腰三角形D．顶角为120°的等腰三角形D [∵cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sin A sin C，∴(1－sin2A)－(1－sin2B)＋(1－sin2C)＝1＋sin A sin C，∴可得sin2A＋sin2C－sin2B＝－sin A sin C，∴根据正弦定理得a2＋c2－b2＝－ac，∴由余弦定理得cos B＝＝＝－，∵B∈(0°，180°)，∴B＝120°，∵sin2B＝sin2A＋sin2C＋sin A sin C．∴变形得＝(sin A＋sin C)2－sin A sin C，又∵sin A＋sin C＝1，得sin A sin C＝，∴上述两式联立得sin A＝sin C＝，∵0°＜A＜60°，0°＜C＜60°，∴A＝C＝30°，∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形，故选D．]2．(2020·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sin C和△ABC的面积．条件①：c＝7，cos A＝－；条件②：cos A＝，cos B＝．[解] 选条件①：c＝7，cos A＝－，且a＋b＝11．(1)在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝＝＝－，解得a＝8．(2)∵cos A＝－，A∈(0，π)，∴sin A＝．在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴sin C＝＝＝．∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，∴S△ABC＝ab sin C＝×8×3×＝6．若选条件②：cos A＝，cos B＝，且a＋b＝11．(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cos A＝，cos B＝，∴sin A＝，sin B＝．在△ABC中，由正弦定理，可得＝，∴＝＝＝．又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5．(2)sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝＝．∴S△ABC＝ab sin C＝×6×5×＝．。
2023年高考数学一轮复习课时规范练19两角和与差的正弦余弦与正切公式及二倍角公式含解析北师大版文
课时规范练19 两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式基础巩固组1.tan1°+tan44°1-tan1°tan44°=( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2答案:A解析:tan1°+tan44°1-tan1°tan44°=tan45°=1.2.(2021湖南衡阳八中高三月考)计算cos 5π12cos π6+cos π12sin π6=( ) A.0 B .12C .√22D .√32答案:C解析:cos 5π12cos π6+cos π12sin π6=cos 5π12cos π6+sin 5π12sin π6=cos5π12−π6=cos π4=√22. 3.(2021福建师大附中模拟预测)已知点P (1,2√2)是角α终边上一点,则cos π6-α等于( )A .2√2+√36 B .2-√66C.-3+√66D .√6-36答案:A解析:由题意可得sin α=2√23,cos α=13,cosπ6-α=cos π6cos α+sin π6·sin α=√32×13+12×2√23=2√2+√36.4.下列各式值为12的是( ) A.2sin 15°cos 15° B .1+tan15°2(1-tan15°) C.1-2sin 215°D .3tan15°1-tan 215°答案:A解析:对于选项A,2sin15°cos15°=sin30°=12;对于选项B,1+tan15°2(1-tan15°)=tan45°+tan15°2(1-tan45°tan15°)=12tan(45°+15°)=12tan60°=√32; 对于选项C,1-2sin 215°=cos30°=√32; 对于选项D,3tan15°1-tan 215°=32·2tan15°1-tan 215°=32tan30°=√32.故选A .5.(2021云南昆明模拟)tan 87°-tan 27°-√3tan 27°tan 87°=( ) A.2 B .√3 C.-2 D.-5答案:B解析:tan87°-tan27°-√3tan27°tan87°=tan(87°-27°)(1+tan27°tan87°)-√3tan27°tan87°=√3(1+tan27°tan87°)-√3tan27°tan87°=√3. 6.(2021贵州黔东南模拟预测)设tan(α-β)=2,tan α=4,则tan β=( ) A.-67 B .79C.-27D .29答案:D解析:tan β=tan[α-(α-β)]=tan α-tan(α-α)1+tan αtan(α-α)=29.7.(2021宁夏中卫一模)已知cos θ-π4=15,则sin 2θ=( ) A .225B .2325C.-225D.-2325答案:D解析:cos θ-π4=15,得cos θcos π4+sin θsin π4=15,则cos θ+sin θ=√25,上式平方得cos 2θ+2sin θcos θ+sin 2θ=225,得1+sin2θ=225,即sin2θ=-2325.8.(2021山东泰安模拟)已知cos α≠0,且4sin 2α-3cos 2α=3,则tan α=( ) A .35B.±35C .34D.±34答案:C解析:由4sin2α-3cos2α=3,可得4sin2α=3cos2α+3=6cos 2α,即8sin αcos α=6cos 2α.因为cos α≠0,可得4sin α=3cos α,即tan α=34.9.(2021重庆七中模拟)已知cos x=13,则sin 2x-π2= . 答案:79解析:sin 2x-π2=-cos2x=1-2cos 2x=1-2×132=79.10.已知角α的终边经过点P (4a ,3a )(a<0),则25sin α-7tan 2α的值为 . 答案:-39解析:因为角α的终边经过点P (4a ,3a )(a<0),所以x=4a ,y=3a ,r=√(4α)2+(3α)2=-5a ,所以sin α=3α-5α=-35,tan α=3α4α=34, 所以tan2α=2tan α1-tan 2α=2×341-(34) 2=247,所以25sin α-7tan2α=25×-35-7×247=-39.综合提升组11.(2021安徽合肥三模)在平面直角坐标系中,已知点A (cos 15°,sin 15°),B (cos 75°,sin 75°),则|AB|=( ) A.1 B .√2 C .√3 D.2答案:A解析:∵点A (cos15°,sin15°),B (cos75°,sin75°),∴|AB|=√(cos15°-cos75°)2+(sin15°-sin75°)2=√2-2(cos15°·cos75°+sin15°·sin75°)=√2-2cos(75°-15°)=√2-2cos60°=1.12.(2021山东烟台一中模拟)已知锐角α,β满足sin α-cos α=16,tan α+tan β+√3tan αtanβ=√3,则α,β的大小关系是( )A.α<π4<β B.β<π4<α C .π4<α<βD .π4<β<α答案:B解析:∵α为锐角,sin α-cos α=16,∴α>π4.又tan α+tan β+√3tan αtan β=√3,∴tan(α+β)=tan α+tan α1-tan αtan α=√3.又β为锐角,∴0<α+β<π,∴α+β=π3,又α>π4,∴β<π4<α. 13.(2021四川遂宁等八市第二次诊断)若cos α+π6=15,α为锐角,则cos α-π6=( ) A .1+6√210B .√3+2√610 C .2√6-√310D .1-6√210答案:A解析:由cos α+π6=15,α为锐角,得sin α+π6=2√65,则cos α-π6=cos α+π6−π3=cos α+π6cos π3+sin α+π6sin π3=15×12+2√65×√32=1+6√210.14.(2021贵州遵义航天高级中学三模)在平面直角坐标系中,已知角π3的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边顺时针旋转角α后过点P (1,-√2),则将角2α的终边逆时针旋转π3后所得角的余弦值等于( ) A .23B.-23C .13D.-13答案:C解析:由三角函数的定义可得sinπ3-α=-√2√12+(-√2)2=-√63,将角2α的终边逆时针旋转π3后所得角为2α+π3, 所以cos 2α+π3=cos 2α+π6=2cos 2α+π6-1=2sin 2π2-α+π6-1=2sin 2π3-α-1=2×-√632-1=13.15.(2021吉林长春二模)现有如下信息:(1)黄金分割比(简称:黄金比)是指把一条线段分割为两部分,较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比,其比值为√5-12.(2)黄金三角形被誉为最美三角形,是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形. (3)有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形. 由上述信息可求得sin 126°=( ) A .√5-12B .√5+12C .√5-14D .√5+14答案:D解析:如图,等腰三角形ABC ,∠ABC=36°,AB=BC=a ,AC=b ,取AC 中点D , 连接BD.αα=√5-12,由题意可得sin∠ααα2=α2α=12·αα=√5-12×12=√5-14, 所以cos ∠ABC=1-2sin 2∠ααα2=1-2√5-142=√5+14, 所以cos36°=√5+14,所以sin126°=cos36°=√5+14. 创新应用组16.(2021山东淄博三模)已知锐角α,β满足α-β=π3,则1cos αcos α+1sin αsin α的最小值为( )A.4B.4√3C.8D.8√3答案:C解析:因为α-β=π3,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=12, 令x=cos αcos β,y=sin αsin β,则x+y=12,因为α,β是锐角, 所以x>0,y>0,则1cos αcos α+1sin αsin α=1α+1α=2×1α+1α×(x+y )=4+2αα+2αα≥4+2√2αα×2αα=8,当且仅当x=y ,即α=5π12,β=π12时等号成立.17.(2021河南新乡二模)设α,β均为锐角,且cos(α+β)+cos(α-β)=sin αsin α,则tan α2+sin 2α的最大值是( ) A .16B .√66C.6 D .√63答案:B解析:由cos(α+β)+cos(α-β)=sin αsin α,得2cos αcos β=sin αsin α, 即tan α=2sin βcos β,因为α,β均为锐角, 所以tan α2+sin 2α=2sin αcos α3sin 2α+2cos 2α=23sin αcos α+2cos αsin α≤2√cos α·sin α=√66, 当且仅当3sin αcos α=2cos αsin α,即tan β=√63时,等号成立. 故tan α2+sin 2α的最大值是√66.。
高考数学一轮复习(北师大版文科)课时作业4
课时作业(四) 函数及其表示A 级1．已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±12．(2012·江西卷)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( ) A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx3．(2012·杭州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±14．(2012·安徽卷)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1， x <0f (x －1)＋1， x ≥0，则f (2 013)＝( )A ．2 010B ．2 011C ．2 012D ．2 0136．函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________． 7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 8．图中的图像所表示的函数的解析式f (x )＝________.9．(2012·珠海模拟)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是________．10．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0－1， x <0，求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式．11．设x ≥0时，f (x )＝2；x <0时，f (x )＝1，又规定：g (x )＝3f (x －1)－f (x －2)2(x >0)，试写出y ＝g (x )的解析式，并画出其图像．B 级1．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋32．(2012·枣庄模拟)对于实数x ，y ，定义运算x *y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y (xy >0)x ＋by (xy <0)，已知1]2)的序号为________．(填写所有正确结果的序号)①2*2 ②－2*2 ③－32*2 2 ④32*(－22)3．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1[g(x)]．(1)若x＝716，分别求f1(x)和f2(x)；(2)若f1(x)＝1，f2(x)＝3同时满足，求x的取值范围．答案课时作业(四)A级1．C a＝1，b＝0，∴a＋b＝1.2．D函数y＝13x的定义域为{x|x≠0}，选项A中由sin x≠0⇒x≠kπ，k∈Z，故A不对；选项B中x＞0，故B不对；选项C中x∈R，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}，故选D.3．D∵f(a)＋f(－1)＝2，且f(－1)＝1＝1，∴f(a)＝1，当a≥0时，f(a)＝a＝1，∴a＝1，当a<0时，f(a)＝－a＝1，∴a＝－1.4．C A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)，满足要求；B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)，满足要求；C，f(2x)＝2x＋1≠2(x＋1)＝2f(x)，不满足要求；D，f(2x)＝－2x＝2f(x)，满足要求．5．C由已知得f(0)＝f(0－1)＋1＝f(－1)＋1＝－1－1＋1＝－1，f(1)＝f(0)＋1＝0，f(2)＝f(1)＋1＝1，f(3)＝f(2)＋1＝2，…f (2 013)＝f (2 012)＋1＝2 011＋1＝2 012.6．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0∴x ≥4且x ≠5.答案： {x |x ≥4且x ≠5} 7．解析： 由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋p ＋q ＝022＋2p ＋q ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3q ＝2， ∴f (x )＝x 2－3x ＋2. ∴f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案： 68．解析： 由图像知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎫1，32和⎝⎛⎭⎫1，32，(2,0)分别代入求解 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案： f (x )＝⎩⎨⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1<x ≤29．解析： ∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2，∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1， 即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]10．解析： 当x ≥0时，g (x )＝x 2，f (g (x ))＝2x 2－1； 当x <0时，g (x )＝－1，f (g (x ))＝－2－1＝－3；∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥0，－3， x <0.又∵当2x －1≥0，即x ≥12时，g (f (x ))＝(2x －1)2；当2x －1<0，即x <12时，g (f (x ))＝－1；∴g (f (x ))＝⎩⎨⎧(2x －1)2，x ≥12，－1， x <12.11．解析： 当0<x <1时，x －1<0，x －2<0，∴g (x )＝3－12＝1.当1≤x <2时，x －1≥0，x －2<0，∴g (x )＝6－12＝52；当x ≥2时，x －1>0，x －2≥0，∴g (x )＝6－22＝2.故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (0<x <1)52 (1≤x <2)2 (x ≥2)，其图像如图所示．B 级1．B 由f (x )＋2f (3－x )＝x 2可得f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2，由以上两式解得f (x )＝13x 2－4x ＋6，故选B.2．解析： ∵1]2x ＋y (xy >0) x ＋3y (xy <0)∴①2*2＝22＋2＝3 2 ②－2*2＝－2＋32＝2 2 ③－32*22＝－32＋3×22＝3 2 ④32*(－22)＝32＋3×(－22)＝－3 2. 答案： ①③3．解析： (1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎡⎦⎤74＝1， g (x )＝74－⎣⎡⎦⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝⎛⎭⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4.∴716≤x <12.。
数学一轮复习第二章函数2.7函数的图像学案理
2.7函数的图像必备知识预案自诊知识梳理1.利用描点法作函数图像的流程2。
函数图像间的变换(1）平移变换对于平移，往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减。
(2）对称变换（3)伸缩变换y=f(x）y=f(ax），y=f(x)y=Af(x)。
1.函数图像自身的轴对称(1）f(—x)=f(x)⇔函数y=f(x）的图像关于y轴对称;（2)函数y=f（x）的图像关于x=a对称⇔f(a+x)=f（a—x）⇔f（x)=f（2a—x）⇔f（—x)=f(2a+x)；(3)若函数y=f(x）的定义域为R，且有f（a+x)=f（b-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a+a2对称.2.函数图像自身的中心对称（1)f（—x）=—f（x）⇔函数y=f（x）的图像关于原点对称;（2)函数y=f（x)的图像关于(a,0)对称⇔f（a+x）=—f(a-x)⇔f(x)=-f（2a—x）⇔f（-x）=-f(2a+x）;(3)函数y=f(x)的图像关于点（a,b）成中心对称⇔f(a+x）=2b—f（a-x)⇔f(x）=2b-f(2a—x);（4）若函数y=f（x）的定义域为R，且满足条件f(a+x)+f(b—x)=c(a，b，c为常数)，则函数y=f(x）的图像关于点(a+a2,a2)对称。
3。
两个函数图像之间的对称关系(1)函数y=f(a+x）与y=f（b-x)的图像关于直线x=a-a2对称(由a+x=b-x得对称轴方程);（2)函数y=f（x)与y=f(2a—x）的图像关于直线x=a对称；(3)函数y=f(x）与y=2b—f（-x）的图像关于点（0，b）对称;（4）函数y=f（x)与y=2b-f（2a-x)的图像关于点(a，b)对称。
考点自诊1。
判断下列结论是否正确,正确的画“√"，错误的画“×”.（1)将函数y=f（x）的图像先向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数y=f（x+1)+1的图像.(）（2)当x∈(0,+∞）时,函数y=｜f（x)｜与y=f(｜x|）的图像相同.（）（3)函数y=f（x）与y=-f(—x)的图像关于原点对称。
高考数学一轮复习(北师大版文科)课时作业19
课时作业(十九) 简单的三角恒等变换A 级1．如果α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝45，那么sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.425B ．－425C.325D ．－3252．(2012·山东卷)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35 B.45C.74D.343．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( ) A ．－255B ．－3510C ．－31010D.2554．(2012·中山模拟)已知角A 为△ABC 的内角，且sin 2A ＝－34，则sin A －cos A ＝( )A.72B ．－72C ．－12D.125．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12B.π6C.π4D.π36．化简tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 8．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 9．化简1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ＝________.10．设sin α＝－35，sin β＝1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin(α－β)，cos 2α，tan β2的值．11．求证：tan α＋1tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝1cos α.B 级1．已知实数a ，b 均不为0，a sin α＋b cos αa cos α－b sin α＝tan β，且β－α＝π6，则ba 等于( )A. 3B.33C ．－ 3D ．－332．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.3．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最大值；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f ⎝⎛⎭⎫C 2＝－14，且C 为锐角，求sin A .答案课时作业(十九)A 级1．D ∵sin α＝45，π2＜α＜π，∴cos α＝－35，而sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝2cos α＝－325. 2．D ∵θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π. ∴cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18，∴sin θ＝1－cos 2θ2＝34. 3．A 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.4．A ∵A 为△ABC 的内角且sin 2A ＝2sin A cos A ＝－34<0，∴sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0. 又(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝74.∴sin A －cos A ＝72. 5．D 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin ()α－β＝3314， 又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3，选D.6．解析： 原式＝12tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝12sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝12cos 2αsin 2α·12sin 2αcos 2α＝14. 答案： 147．解析： 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0. 又α、β为锐角，则sin β＋cos β>0， ∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1. 答案： 18．解析： 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.答案： π39．解析： 原式＝1＋2sin θ·cos θ－(1－2sin 2θ)1＋2sin θ·cos θ＋(2cos 2θ－1)＝2sin θ·cos θ＋2sin 2θ2sin θ·cos θ＋2cos 2θ＝2sin θ·(cos θ＋sin θ)2cos θ·(sin θ＋cos θ)＝tan θ. 答案： tan θ10．解析： ∵sin α＝－35，sin β＝1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45， cos β＝－1－⎝⎛⎭⎫12132＝－513， ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－513－⎝⎛⎭⎫－45×1213＝6365； cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－352＝725，tan β2＝sin β1＋cos β＝12131－513＝32. 11．证明： 左边＝sin αcos α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＋cos αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2－αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝1cos α＝右边． ∴原式得证．B 级1．B 由β－α＝π6得β＝α＋π6，∴tan β＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝tan α＋331－33tan α＝3tan α＋33－3tan α＝3sin α＋3cos α3cos α－3sin α与已知比较可设a ＝3t ，b ＝3t ，t ≠0，故b a ＝33，选B.2．解析： cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝2(sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°)2sin 240° ＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.答案：23．解析： (1)f (x )＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x2＝12cos 2x －32sin 2x ＋12－12cos 2x ＝12－32sin 2x . 所以，当2x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝－π4＋k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝1＋32. (2)由f ⎝⎛⎭⎫C 2＝－14，即12－32sin C ＝－14，解得sin C ＝32，又C 为锐角，所以C ＝π3. 由cos B ＝13求得sin B ＝223.因此sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36.。
高考数学一轮复习(北师大版文科)课时作业21
课时作业(二十一) 函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图像A 级1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )2．(2012·河北唐山一模)函数y ＝sin 3x 的图像可以由函数y ＝cos 3x 的图像( ) A ．向右平移π6个单位得到B ．向左平移π6个单位得到C ．向右平移π3个单位得到D ．向左平移π3个单位得到3．(2012·山东德州一模)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0.两个对称轴间最短距离为π2，直线x ＝π6是其图像的一条对称轴，则符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 B ．y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2 C ．y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 4．已知函数f (x )＝sin πx 的部分图像如图(1)所示，则如图(2)所示的函数的部分图像对应的函数解析式可以是( )A ．y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x －12 B ．y ＝f ⎝⎛⎭⎫x 2－12C ．y ＝f (2x －1)D ．y ＝f ⎝⎛⎭⎫x 2－15．关于函数f (x )＝sin x ＋cos x 的下列命题中正确的是( ) A ．函数f (x )的最大值为2 B ．函数f (x )的一条对称轴为x ＝π4C ．函数f (x )的图像向左平移π4个单位后对应的函数是奇函数D ．函数y ＝|f (x )|的周期为2π6．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像离y 轴最近的一条对称轴方程为________．7．把函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的图像向左平移π3个单位长度，所得曲线的一部分图像如图所示，则ω、φ的值分别是________，________.8．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (cm)和时间t (s)的关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________s. 9．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(x ∈R )，f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2，则正数ω的值为________．10．已知弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．(1)小球在开始振动(t ＝0)时，离开平衡位置的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少？ (3)经过多长时间，小球往复振动一次？11．(2012·山东济宁质量检测)已知函数f (x )＝3sin(x －φ)cos(x －φ)－cos 2(x －φ)＋12⎝⎛⎭⎫0≤φ≤π2为偶函数．(1)求函数f (x )的最小正周期及单调减区间；(2)把函数f (x )的图像向右平移π6个单位(纵坐标不变)，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )的对称中心．B 级1．(2012·安徽合肥八中一模)将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ(φ>0)个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的12倍，所得图像关于直线x ＝π4对称．则φ的最小正值为( )A.π8 B.3π8 C.3π4D.π22．若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2与函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)的图像具有相同的对称中心，则φ＝________.3．(2012·潍坊模拟)据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，该商品每件的售价为g (x )(x 为月份)，且满足g (x )＝f (x －2)＋2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f (x )、售价函数g (x )的解析式； (2)问哪几个月能盈利？ 答案课时作业(二十一)A 级1．A 令x ＝0得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，淘汰B ，D. 由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，淘汰C ，故选A. 2．A 因为y ＝sin 3x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－3x ＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π2＝cos 3⎝⎛⎭⎫x －π6，所以只需将y ＝cos 3x 的图像向右平移π6个单位得到y ＝sin 3x 的图像，故选A.3．B 由题意知T 2＝π2，所以T ＝π.则ω＝2，否定C.又x ＝π6是其一条对称轴，因为2×π6＋π3＝2π3，故否定D.又函数的最大值为4，最小值为0，故选B.4．C 题图(2)相对于题图(1)：函数的周期减半，即f (x )→f (2x )，且函数图像向右平移12个单位长度，得到y ＝f (2x －1)的图像．故选C.5．B 函数f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，其最大值是2，故A 错，对称轴是x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π4，k ∈Z ，故B 正确，函数f (x )的图像向左平移π4个单位后对应的函数为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2cos x 是偶函数，故C 错，函数y ＝|f (x )|的图像是由函数y ＝f (x )的图像在y 轴下方的部分翻折到y 轴上方后得到的图像，故周期是π，D 错．6．解析： 对称轴方程满足：2x ＋π3＝k π＋π2，所以x ＝k π2＋π12，k ∈Z .当k ＝0时，对称轴x ＝π12离y 轴最近．答案： x ＝π127．解析： y ＝sin(ωx ＋φ)错误!y ＝sin 错误!， ∴T ＝2πω＝⎝⎛⎭⎫7π12－π3×4，ω＝2， 当x ＝7π12时，2⎝⎛⎭⎫7π12＋π3＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π－π3，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝－π3.答案： 2 －π38．解析： 单摆来回摆动一次所需的时间即为一个周期T ＝2π2π＝1.答案： 19．解析： 由f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2可知T 4＝π2，T ＝2π，∴ω＝1.答案： 1 10．解析： 列表.(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23， 所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 11．解析： (1)f (x )＝32sin(2x －2φ)－cos (2x －2φ)＋12＋12＝32sin(2x －2φ)－12cos(2x －2φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ－π6. ∵函数f (x )为偶函数，∴2φ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π2＋π6，k ∈Z .又∵0≤φ≤π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－π6＝－cos 2x ， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z .∴f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )． (2)函数f (x )＝－cos 2x 的图像向右平移π6个单位，得到g (x )＝－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6的图像，即g (x )＝－cos ⎝⎛⎫2x －π3， 令2x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π2＋5π12，k ∈Z .∴g (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋5π12，0，k ∈Z .B 级1．B f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4――→向右平移φ个单位f (x ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ＋π4――→横坐标缩短到原来的12倍f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x －2φ＋π4. 因为直线x ＝π4为对称轴，所以4×π4－2φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝－12k π＋3π8(k ∈Z )．因为φ>0，则k ＝0时，φmin ＝3π8.故选B.2．解析： ∵两函数具有相同的对称中心， ∴它们的周期相同，∴ω＝2.函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像可由函数 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图像平移得到． cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，又|φ|<π2，∴φ＝π3. 答案： π33．解析： (1)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意可得， A ＝2，B ＝6，ω＝π4，φ＝－π4，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋6(1≤x ≤12，x 为正整数)， g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －34π＋8(1≤x ≤12，x 为正整数)． (2)由g (x )>f (x )，得sin π4x <22.2k π＋34π<π4x <2k π＋94π，k ∈Z ，∴8k ＋3<x <8k ＋9，k ∈Z ，∵1≤x ≤12，k ∈Z ，∴k ＝0时，3<x <9，∴x ＝4,5,6,7,8； k ＝1时，11<x <17，∴x ＝12.∴x ＝4,5,6,7,8,12， 故4,5,6,7,8,12月份能盈利．。
2022北师大版高考数学一轮复习—基本不等式和不等式的性质习题含答案
基本不等式[A 组 基础保分练]1．（2021·荆门一中期中测试）函数f （x ）＝x 2＋4|x |的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8解析：f （x ）＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥4，当且仅当x ＝±2时取等号，所以f （x ）＝x 2＋4|x |的最小值为4．答案：B 2．（2021·钦州期末测试）已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝15－ab ，则ab 的最大值是（ ） A ．15 B ．12 C ．5 D ．3 解析：因为a 2＋b 2＝15－ab ≥2ab ，所以3ab ≤15，即ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝±5时等号成立．所以ab 的最大值为5． 答案：C3．（2021·烟台期中测试）已知x ，y ∈R 且x －2y －4＝0，则2x ＋14y 的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．256解析：∵x －2y －4＝0，∴x －2y ＝4，∴2x ＋14y ≥22x －2y ＝8，当且仅当x ＝2，y ＝－1时等号成立，∴2x ＋14y 的最小值为8．答案：B 4．（2021·湖南衡阳期末）已知P 是面积为1的△ABC 内的一点（不含边界），若△P AB ，△P AC和△PBC 的面积分别为x ，y ，z ，则y ＋z x ＋1y ＋z的最小值是（ ）A ．23＋13B ．3＋23C ．13D ．3解析：因为x ＋y ＋z ＝1，0<x <1，0<y <1，0<z <1，所以y ＋z x ＋1y ＋z ＝1－x x ＋11－x ＝1－x x ＋1－x ＋x 1－x ＝1－x x ＋x 1－x ＋1≥2 1－x x ·x 1－x ＋1＝3，当且仅当x 1－x ＝1－x x ，即x ＝12时等号成立，所以y ＋z x ＋1y ＋z 的最小值为3． 答案：D5．（2021·北京通州区期中测试）设f （x ）＝ln x ，0<a <b ，若p ＝f （ab ），q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12（f（a ）＋f （b ）），则下列关系式中正确的是（ ） A ．q ＝r <p B ．q ＝r >p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r >q解析：∵0<a <b ，∴ab <a ＋b 2，∵f （x ）＝ln x 在（0，＋∞）上是增函数，∴f （ab ）<f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，又f （a ）＋f （b ）2＝ln ab <ln ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2， ∴f （a ）＋f （b ）2<f⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，∴p ＝r <q ．答案：C6．（2021·鹰潭模拟）已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为（ ）A ．4B ．2 2C ．8D ．16解析：因为a ＞0，b ＞0，所以根据a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，可得ab ＝1，所以1a ＋2b ≥21a ·2b＝22，当且仅当b ＝2a ＝2时等号成立． 答案：B7．已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．解析：由a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，得32b ＋12a＝1，所以a ＋b ＝（a ＋b ）⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋3a 2b ＋b2a≥2＋3，当且仅当b ＝3a 时等号成立，则a ＋b 的最小值为2＋3． 答案：2＋38．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y （单位：万元）与机器运转时间x （单位：年）的关系为y ＝－x 2＋18x －25（x ∈N ＋），则该公司年平均利润的最大值是 万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 答案：89．设a ，b 为正实数，且1a ＋1b＝22．（1）求a 2＋b 2的最小值；（2）若（a －b ）2≥4（ab ）3，求ab 的值．解析：（1）由22＝1a ＋1b ≥21ab 得ab ≥12，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，所以a 2＋b 2的最小值是1．（2）由（a －b ）2≥4（ab ）3得⎝⎛⎭⎫1a －1b 2≥4ab ，即⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2－4ab ≥4ab ，从而ab ＋1ab≤2，又ab＋1ab ≥2，所以ab ＋1ab＝2，所以ab ＝1． 10．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？解析：（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为12x ＋45 000x －200≥212x ·45 000x－200＝100，当且仅当12x ＝45 000x，即x ＝300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．（2）获利．设该单位每月获利为s 元，则s ＝200x －y ＝－12x 2＋400x －45 000＝－12（x －400）2＋35 000．因为x ∈[300，600]，所以s ∈[15 000，35 000]．故该单位每月获利，最大利润为35 000元．[B 组 能力提升练]1．（2021·吕梁月考）一元二次不等式ax 2＋2x ＋b >0（a >b ）的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－1a ，则a 2＋b 2a －b的最小值是（ ）A ．1B ．2C ． 2D ．22解析：∵一元二次不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－1a ，∴a >0且Δ＝4－4ab ＝0，即ab ＝1，且a >b >0，∴a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋2aba －b＝a －b ＋2a －b≥22，当且仅当a ＝6＋22，b ＝6－22时等号成立，∴a 2＋b 2a －b的最小值为22．答案：D2．设函数f （x ）＝x a －x 2－12对任意x ∈[－1，1]，都有f （x ）≤0成立，则a ＝（ ）A ．4B ．3C ． 2D ．1解析：由a －x 2≥0对任意x ∈[－1，1]恒成立得a ≥1；又由f （x ）＝x a －x 2－12≤x 2＋a －x 22－12≤0得a ≤1，所以a ＝1． 答案：D3．（2021·吉安期中测试）设正数x ，y 满足x ＋y ＝1，若不等式1x ＋ay≥4对任意的x ，y 成立，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．[4，＋∞） B ．（1，＋∞） C ．[1，＋∞） D ．（4，＋∞）解析：∵x ＋y ＝1，且x >0，y >0，a >0，∴1x ＋a y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋a y （x ＋y ）＝a ＋1＋y x ＋axy≥a ＋1＋2a ， ∴a ＋2a ＋1≥4，即a ＋2a －3≥0，解得a ≥1． 答案：C4．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是边BC 上的动点，且|AB →|＝3，|AC →|＝4，AD →＝λAB →＋μAC→（λ>0，μ>0），则当λμ取得最大值时，|AD →|的值为（ ）A ．72B ．3C ．52D ．125解析：∵点D 是边BC 上的动点且AD →＝λAB →＋μAC →（λ>0，μ>0），∴λ＋μ＝1，∴λμ≤（λ＋μ）24＝14，当且仅当λ＝μ＝12时等号成立，λμ取得最大值，此时点D是边BC 的中点，∴|AD →|＝12|BC →|，∵|AB →|＝3，|AC →|＝4，∠BAC ＝90°，∴|AD →|＝12|BC →|＝52．答案：C 5．（2021·上海普陀区月考）设正数a ，b 满足2a ＋3b ＝ab ，则a ＋b 的最小值是________．解析：∵2a ＋3b ＝ab ，a >0，b >0，∴3a ＋2b＝1，∴a ＋b ＝（a ＋b ）⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ＝2a b ＋3b a ＋5≥26＋5，当且仅当2a 2＝3b 2时等号成立，∴a ＋b 的最小值为26＋5． 答案：26＋56．（2021·鹤岗一中月考）已知x <0，且x －y ＝1，则x ＋12y ＋1的最大值是________．解析：∵x <0，且x －y ＝1，∴x ＝y ＋1，y <－1，∴x ＋12y ＋1＝y ＋1＋12y ＋1＝y ＋12＋12y ＋12＋12，∵y ＋12<0，∴y ＋12＋12y ＋12＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎫y ＋12＋12－⎝⎛⎭⎫y ＋12≤－2，当且仅当y ＝－1＋22时等号成立，∴x ＋12y ＋1≤12－2，∴x ＋12y ＋1的最大值为12－2．答案：12－27．（2021·唐山模拟）已知a >0，b >0，c >0，d >0，a 2＋b 2＝ab ＋1，cd >1． （1）求证：a ＋b ≤2；（2）判断等式ac ＋bd ＝c ＋d 能否成立，并说明理由．解析：（1）证明：由题意得（a ＋b ）2＝3ab ＋1≤3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋1，当且仅当a ＝b 时取等号．解得（a ＋b ）2≤4，又a ，b >0， 所以a ＋b ≤2． （2）不能成立．理由：由均值不等式得ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d2，当且仅当a ＝c 且b ＝d 时等号成立．因为a ＋b ≤2，所以ac ＋bd ≤1＋c ＋d2．因为c >0，d >0，cd >1，所以c ＋d ＝c ＋d 2＋c ＋d 2≥c ＋d 2＋cd >c ＋d2＋1≥ac ＋bd ，故ac ＋bd ＝c ＋d 不能成立．[C 组 创新应用练]1．已知f （x ）＝13x 3＋ax 2＋（b －4）x （a >0，b >0）在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b的最小值为（ ）A ．3＋223B ．3＋22C ．3D ．22解析：由f （x ）＝13x 3＋ax 2＋（b －4）x （a >0，b >0），得f ′（x ）＝x 2＋2ax ＋b －4．由题意得f ′（1）＝12＋2a ＋b －4＝0，则2a ＋b ＝3，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×2a ＋b 3＝13⎝⎛⎭⎫2a ＋1b （2a ＋b ）＝13⎝⎛⎭⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝⎛⎭⎫5＋22b a ·2a b ＝3，当且仅当2b a ＝2a b ，即a ＝b ＝1时，等号成立．故2a ＋1b 的最小值为3． 答案：C2．若直线l ：ax －by ＋2＝0（a >0，b >0）经过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心，则1a ＋1b的最小值为（ ） A ．2 2 B ．2C ．22＋1D ．2＋32解析：直线ax －by ＋2＝0（a >0，b >0）经过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心，即圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心（－1，2）在直线ax －by ＋2＝0上，可得－a －2b ＋2＝0，即a ＋2b ＝2，所以1a ＋1b ＝12（a ＋2b ）⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝32＋12⎝⎛⎭⎫2b a ＋a b ≥32＋ 2b a ·a b ＝32＋2，当且仅当2b a ＝a b时等号成立，所以1a ＋1b 的最小值为32＋2．答案：D3．已知棱长为6的正四面体ABCD ，在侧棱AB 上任取一点E （与A ，B 不重合），若点E 到平面ACD 与平面BCD 的距离分别为a ，b ，则43a ＋1b的最小值为（ ）A ．72 B ．7＋336C ．7＋436D ．76解析：如图，连接CE ，DE ，设O 为底面三角形BCD 的中心，连接OA ，则正四面体的高OA＝2．因为V A BCD ＝V E BCD ＋V E ACD ，所以a ＋b ＝2，所以43a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫43a ＋1b （a ＋b ）＝12⎝⎛⎭⎫73＋4b 3a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫73＋24b 3a ·a b ＝7＋436，当且仅当4b 3a ＝a b ，即b ＝32a 时取等号．答案：C不等式的性质、一元二次不等式[A 组 基础保分练]1．已知a ，b ∈R ，若a ＜b ，则一定有（ ） A ．a ＜2b B ．ab ＜b 2C ．a 12＜b 12D ．a 3＜b 3解析：因为－2＜－1，而－2＜2×（－1）不成立，A 项错误；当b ＝0时，B 项错误；当两者均小于0时，根式没有意义，C 项错误；y ＝x 3是增函数，若a ＜b ，则a 3＜b 3，D 项正确． 答案：D2．设m ＝6－5，n ＝7－6，p ＝8－7，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A ．m ＞p ＞n B ．p ＞n ＞m C ．n ＞m ＞p D ．m ＞n ＞p解析：m －n ＝6－5－7＋6＝26－（5＋7），因为（26）2＝24，（5＋7）2＝12＋235＜12＋2×6＝24，所以m －n ＞0，同理n ＞p ，所以m ，n ，p 的大小关系是m ＞n ＞p ． 答案：D 3．（2021·湖北黄冈元月调研）关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是（1，＋∞），则关于x 的不等式（ax ＋b ）（x －2）<0的解集是（ ） A ．（－∞，1）∪（2，＋∞） B ．（－1，2） C ．（1，2） D ．（－∞，－1）∪（2，＋∞）解析：因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是（1，＋∞），所以a >0，且－ba＝1，所以关于x的不等式（ax ＋b ）（x －2）<0可化为⎝⎛⎭⎫x ＋ba （x －2）<0，即（x －1）（x －2）<0，所以不等式的解集为{x |1<x <2}． 答案：C 4．（2021·六安一中第四次月考）在区间（1，2）上，不等式x 2＋mx ＋4＞0有解，则m 的取值范围为（ ） A ．m ＞－4 B ．m ＜－4 C ．m ＞－5 D ．m ＜－5解析：记f （x ）＝x 2＋mx ＋4，则由二次函数的图像知，f （1）＞0或f （2）＞0时，不等式x 2＋mx ＋4＞0一定有解，即m ＋5＞0或2m ＋8＞0，解得m ＞－5． 答案：C5．若存在x ∈[－2，3]，使不等式2x －x 2≥a 成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（－∞，1] B ．（－∞，－8] C ．[1，＋∞） D ．[－8，＋∞）解析：设f （x ）＝2x －x 2，则当x ∈[－2，3]时，f （x ）＝－（x －1）2＋1∈[－8，1]，因为存在x ∈[－2，3]，使不等式2x －x 2≥a 成立，所以a ≤f （x ）max ，所以a ≤1． 答案：A 6．若命题“存在x ∈R ，使得x 2＋mx ＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2，6] B ．[－6，－2] C ．（2，6） D ．（－6，－2） 解析：由题意知不等式x 2＋mx ＋2m －3≥0对一切x ∈R 恒成立，所以Δ＝m 2－4（2m －3）≤0，解得2≤m ≤6． 答案：A7．a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b．所以a ＜b和1a ＜1b同时成立的条件是a ＜0＜b ． 答案：a ＜0＜b8．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＜0的解集是（－∞，－1）∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝________． 解析：ax －1x ＋1＜0⇔（ax －1）（x ＋1）＜0，根据解集的结构可知，a ＜0且1a ＝－12，∴a ＝－2．答案：－29．已知函数f （x ）＝kx 2＋kx ＋2（k ∈R ）． （1）若k ＝－1，求不等式f （x ）≤0的解集；（2）若不等式f （x ）＞0的解集为R ，求实数k 的取值范围． 解析：（1）若k ＝－1，则f （x ）＝－x 2－x ＋2≤0， x 2＋x －2≥0，即x ≤－2或x ≥1，所以不等式的解集为（－∞，－2]∪[1，＋∞）．（2）当k ＝0时，f （x ）＝2＞0，显然恒成立，解集为R ；当k ≠0时，要使f （x ）＝kx 2＋kx ＋2＞0的解集为R ，则k ＞0且Δ＝k 2－8k ＜0，即0＜k ＜8． 综上所述，k ∈[0，8）．10．设二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，函数F （x ）＝f （x ）－x 的两个零点为m ，n （m ＜n ）． （1）若m ＝－1，n ＝2，求不等式F （x ）＞0的解集；（2）若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f （x ）与m 的大小．解析：（1）由题意知，F （x ）＝f （x ）－x ＝a （x －m ）·（x －n ）， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F （x ）＞0， 即a （x ＋1）（x －2）＞0．当a ＞0时，不等式F （x ）＞0的解集为 {x |x ＜－1或x ＞2}；当a ＜0时，不等式F （x ）＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}． （2）f （x ）－m ＝a （x －m ）（x －n ）＋x －m ＝（x －m ）（ax －an ＋1），因为a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，所以x －m ＜0，1－an ＋ax ＞0．所以f （x ）－m ＜0，即f （x ）＜m ．[B 组 能力提升练]1．（2021·安徽蒙城五校联考）在关于x 的不等式x 2－（a ＋1）x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（－3，5） B ．（－2，4） C ． [－3，5] D ．[－2，4]解析：因为关于x 的不等式x 2－（a ＋1）x ＋a <0可化为（x －1）（x －a ）<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }； 当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a ≤4且a ≥－2，所以实数a 的取值范围是a ∈[－2，4]． 答案：D 2．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间（1，4）内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜－2 B ．a ＞－2 C ．a ＞－6 D ．a ＜－6解析：令g （x ）＝x 2－4x －2，不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间（1，4）内有解，等价于a ＜g （x ）的最大值，因为g （x ）＝（x －2）2－6，x ∈（1，4），所以g （x ）＜g （4）＝－2，所以a ＜－2． 答案：A 3．已知函数f （x ）＝ax 2＋（a ＋2）x ＋a 2为偶函数，则不等式（x －2）f （x ）<0的解集为（ ） A ．（－2，2）∪（2，＋∞） B ．（－2，＋∞） C ．（2，＋∞） D ．（－2，2）解析：因为函数f （x ）＝ax 2＋（a ＋2）x ＋a 2为偶函数，所以a ＋2＝0，得a ＝－2，所以f （x ）＝－2x 2＋4，所以不等式（x －2）f （x ）<0可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，f （x ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，f （x ）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－2x 2＋4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－2x 2＋4<0，解得－2<x <2或x >2． 故原不等式的解集为（－2，2）∪（2，＋∞）． 答案：A4．设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y ＜4＋xy ，则x 、y 的取值范围是（ ） A ．x >2且y ＞2 B ．x <2且y <2 C ．0<x <2且0<y <2 D ．x >2且0<y <2解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧xy >0，x ＋y >0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y ＞0，由2x ＋2y －4－xy ＝（x －2）·（2－y ）<0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2，又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2. 答案：C 5．函数y ＝log 13（4x 2－3x ）的定义域为________．解析：函数y ＝log 13（4x 2－3x ） 的定义域应保证满足0<4x 2－3x ≤1，解得－14≤x ＜0或34<x ≤1．答案：⎣⎡⎭⎫－14，0∪⎝⎛⎦⎤34，1 6．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b （a ，b 为非负实数），若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是________．解析：因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b （a ，b 为非负实数），1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3，化为（|k |＋2）（|k |－1）<0，所以|k |<1，所以－1<k <1． 答案：（－1，1）7．已知函数f （x ）＝ax 2＋（b －8）x －a －ab ，当x ∈（－∞，－3）∪（2，＋∞）时，f （x ）<0，当x ∈（－3，2）时，f （x ）>0． （1）求f （x ）在[0，1]内的值域；（2）若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围． 解析：（1）因为当x ∈（－∞，－3）∪（2，＋∞）时，f （x ）<0，当x ∈（－3，2）时，f （x ）>0．所以－3，2是方程ax 2＋（b －8）x －a －ab ＝0的两个根．所以⎩⎨⎧－3＋2＝8－ba，－3×2＝－a －aba，所以a ＝－3，b ＝5．所以f （x ）＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋122＋754．因为函数图像关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f （x ）在[0，1]上为减函数， 所以f （x ）max ＝f （0）＝18，f （x ）min ＝f （1）＝12，故f （x ）在[0，1]内的值域为[12，18]．（2）由（1）知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ＝25＋12c ≤0，所以c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－2512． [C 组 创新应用练]1．若实数a ，b ，c 满足对任意实数x ，y 有3x ＋4y －5≤ax ＋by ＋c ≤3x ＋4y ＋5，则（ ） A ．a ＋b －c 的最小值为2 B ．a －b ＋c 的最小值为－4 C ．a ＋b －c 的最大值为4 D ．a －b ＋c 的最大值为6解析：当x ＝1，y ＝－1时，－6≤a －b ＋c ≤4，所以a －b ＋c 的最小值为－6，最大值为4，故B 、D 两项错误；当x ＝－1，y ＝－1时，－12≤－a －b ＋c ≤－2，则2≤a ＋b －c ≤12，所以a ＋b －c 的最小值为2，最大值为12，故A 项正确，C 项错误． 答案：A2．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：当x ≥0时，f （x ）＝x 3，若不等式f （－4t ）＞f （2m ＋mt 2）对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（－∞，－2） B ．（－2，0） C ．（－∞，0）∪[2，＋∞） D ．（－∞，－2）∪[2，＋∞）解析：∵f （x ）在R 上为奇函数，且在[0，＋∞）上为增函数，∴f （x ）在R 上是增函数，结合题意得－4t ＞2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m ＜0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝16－8m 2＜0⇒m ∈（－∞，－2）． 答案：A3．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca的取值范围为________．解析：由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >b a，所以⎩⎨⎧1<b a ＋ca≤3，－1<c a －ba <1，两式相加得，0<2×c a <4，所以ca的取值范围为（0，2）．答案：（0，2）。
数学一轮复习第二章函数2.9函数模型及其应用学案理
2.9函数模型及其应用必备知识预案自诊知识梳理1.常见的函数模型（1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0)；(2)二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c（a，b,c为常数,a≠0）；(3）反比例函数模型:f（x）=kk（k为常数，k≠0)；（4）指数型函数模型：f(x)=ab x+c（a，b,c为常数,a≠0，b〉0，b≠1）；（5)对数型函数模型：f(x）=m log a x+n（m,n，a为常数,m≠0,a〉0,a≠1);（6)幂型函数模型：f(x）=ax n+b(a,b，n为常数,a≠0）；(7）分段函数模型：y={k1(k),k∈k1,k2(k),k∈k2,k3(k),k∈k3;（8）对勾函数模型:y=x+kk（a为常数，a>0）。
2。
指数、对数、幂函数模型的性质比较性质函数y=a x(a>1）y=log a x（a〉1)y=xα（α〉0）在(0，+∞)内的增减性增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随α值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x〉x0时，有log a x<xα〈a x考点自诊1。
判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×"。
(1）幂函数增长比一次函数增长更快。
（) (2）在（0，+∞）内,随着x的增大，y=a x（a〉1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α〉0)的增长速度.（）(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题。
()（4)f（x)=x2,g(x)=2x,h（x）=log2x,当x∈（4,+∞）时，恒有h(x）〈f(x)〈g(x）。
（）(5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b x+c(a>0，b>1)增长速度越来越快的形象比喻。
(）2。
(2020山东潍坊临朐模拟二,3）某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况。
数学一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和学案理
6.2 等差数列及其前n 项和必备知识预案自诊知识梳理1。
等差数列（1）定义：一般地,如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的 都等于 ，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的 ，公差通常用字母d 表示。
数学语言表示为a n+1-a n =d (n ∈N +），d 为常数。
(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是 ，其中A 叫作a ，b 的 .(3)等差数列{a n ｝的通项公式:a n = ,可推广为a n =a m +（n —m ）d.（4)等差数列的前n 项和公式:S n =n (n1+n n )2=na 1+n (n -1)2d.2。
等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 （1）a n =a 1+（n-1）d 可化为a n =dn+a 1—d 的形式。
当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d 〉0时，数列为递增数列；当d 〈0时，数列为递减数列。
（2)数列｛a n }是等差数列,且公差不为0⇔S n =An 2+Bn (A ，B 为常数）。
1.已知｛a n ｝为等差数列，d 为公差,S n 为该数列的前n 项和.(1）在等差数列{a n }中，当m+n=p+q时,a m+a n=a p+a q(m,n,p，q∈N+)。
特别地，若m+n=2p，则2a p=a m+a n（m，n,p∈N+）。
（2)a k,a k+m，a k+2m,…仍是等差数列,公差为md（k,m∈N+)。
(3）S n,S2n-S n，S3n-S2n,…也成等差数列，公差为n2d. (4)若{a n},｛b n}是等差数列,则｛pa n+qb n｝也是等差数列.(5)若项数为偶数2n,则S2n=n（a1+a2n)=n（a n+a n+1）；S偶—S奇=nd;S奇S偶=a na n+1。
(6）若项数为奇数2n—1,则S2n-1=（2n—1）a n；S奇-S偶=a n;S奇S偶=nn-1。
2024届新高考一轮复习北师大版 第5章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示 课件(44张)
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3．若 P1(1，3)，P2(4，0)且 P 是线段 P1P2 的一个三等分点，则点 P 的 坐标为( )
A．(2，2)
B．(3，－1)
C．(2，2)或(3，－1)
D．(2，2)或(3，1)
D 由题意得P→1P＝13 P→1P2或P→1P＝23 P→1P2，P→1P2＝(3，－3).设 P(x，y)，
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2．设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则xx12 ＝yy12 是 a∥b 的___________ 条件．( )
A．充要
B．必要不充分
C．充分不必要
D．既不充分也不必要
C 若xx12 ＝yy12 ，则 x1y2－x2y1＝0，∴a∥b，若 a∥b，有可能 x2 或 y2 为 0，故选 C.
记作____{_e_1_，__e_2}______． (3)正交基：若基中的两个向量互__相__垂__直__，则称这组基为正交基．在正
交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的 单__位__向__量__，则称这组基为标准正交基．
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2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝______(_x_1＋__x_2_，__y_1＋__y_2_)_________，
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[思考辨析] 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．( )
(2)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
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(3)若
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a∥b
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课时作业(四十九)一、选择题1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()A．1 B．2C．4 D．8解析：y2＝8x的焦点到准线的距离为p＝4，选C.答案：C2．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝() A．4 3 B．8C．8 3 D．16解析：如图，由直线AF的斜率为－3，得∠AFH＝60°，∠F AH＝30°，∴∠P AF ＝60°.又由抛物线的定义知|P A|＝|PF|，∴△P AF为等边三角形，由|HF|＝4得|AF|＝8，∴|PF|＝8.答案：B3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条解析：满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)，选C.答案：C4．(2012年洛阳二模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F的直线与该抛物线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则y21＋y22的最小值是() A．4 B．8C．12 D．16解析：抛物线的准线方程为x＝－1，∴|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴y21＋y22＝4x1＋4x2＝4(|AF|＋|BF|)－8＝4|AB|－8.∵|AB|的最小值为4(当AB⊥x轴时取得)，∴y21＋y22的最小值为8.答案：B5．设抛物线y2＝x的焦点为F，点M在抛物线上，延长线段MF与直线x＝－14交于点N(F在线段MN上)，则1|MF|＋1|NF|的值为() A.14 B.12C．2 D．4解析：易见直线x＝－14是抛物线的准线，抛物线的焦点为F⎝⎛⎭⎪⎫14，0.据题意，不妨设点M的坐标为(m，m)，其中m>14，如图．则据抛物线的定义有：|MF|＝m＋14＝4m＋14.∵直线MF 的方程为y ＝m m －14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14， ∴把x ＝－14代入得点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－2m 4m －1， ∴|NF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14－142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 4m －12＝4m ＋12(4m －1). ∴1|MF |＋1|NF |＝44m ＋1＋8m －24m ＋1＝8m ＋24m ＋1＝2.答案：C6．已知△ABC 的三个顶点都在抛物线y 2＝2x 上，抛物线的焦点为F ，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，且点B 的横坐标为23，则边AC 的垂直平分线必过点( )A ．(1,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0 D ．(2,0)解析：设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，而F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，由题意得2|BF |＝|AF |·|CF |.根据抛物线的定义得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12，即x 1＋x 2＝43，易知x 1≠x 2，否则x 1＝x 2＝23，此时点B 与点A 或点C 重合，与A 、B 、C 构成三角形相矛盾．∴线段AC 的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 2y 212－y 222＝2y 1＋y 2，则AC 的垂直平分线的方程为y －y 1＋y 22＝－y 1＋y 22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 1＋x 22，即y －y 1＋y 22＝－y 1＋y 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23，令y ＝0，解得x ＝53，即线段AC 的垂直平分线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，故选C.答案：C二、填空题7．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.解析：设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，x1＝1，直线AF的方程是x＝1，此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|＝|AB|＝2.答案：28．(2012年太原二模)已知抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________．解析：设抛物线的焦点为F，A、B的横坐标分别为x1、x2，则x1＋x2＝4.∵抛物线的准线方程为x＝－1，∴|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6.∵|AF|＋|BF|≥|AB|(当且仅当A、B、F共线时取“＝”)，如图所示．∴|AB|≤6，∴|AB|的最大值为6.答案：69．(2012年北京)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．解析：抛物线的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1. 设|AF |＝2m ，如图，∵l 的倾斜角为60°， ∴点A 的横坐标为x A ＝1＋2m ·cos60°＝1＋m ， 点A 的纵坐标为y A ＝2m ·sin60°＝3m .把A 的坐标代入抛物线的方程得：3m 2＝4(1＋m )， 即3m 2－4m －4＝0，∴m ＝2(舍去m ＝－23)． ∴S △AOF ＝12×|OF |×y A ＝12×1×23＝ 3. 答案： 3 三、解答题10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边的方程是y ＝2x ，求抛物线的方程．解：因为一直角边的方程是y ＝2x ， 所以另一直角边的方程是y ＝－12x . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px 解得⎩⎨⎧x ＝p2，y ＝p或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍去)； 由⎩⎨⎧y ＝－12x ，y 2＝2px解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8p ，y ＝－4p 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍去)，∴三角形的另两个顶点为(p2，p )和(8p ，－4p )．∴(p2－8p )2＋(p ＋4p )2＝213.解得p ＝45，故所求抛物线的方程为y 2＝85x .11．已知抛物线方程x 2＝4y ，过点P (t ，－4)作抛物线的两条切线P A 、PB ，切点分别为A 、B .(1)求证：直线AB 过定点(0,4)；(2)求△OAB (O 为坐标原点)面积的最小值． 解：(1)证明：设切点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 又y ′＝12x ，则切线P A 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)， 即y ＝12x 1x －y 1，切线PB 的方程为y －y 2＝12x 2(x －x 2)， 即y ＝12x 2x －y 2，由点P (t ，－4)是切线P A ，PB 的交点可知： －4＝12x 1t －y 1，－4＝12x 2t －y 2，∴过A 、B 两点的直线方程为－4＝12tx －y ， 即12tx －y ＋4＝0.∴直线AB ：12tx －y ＋4＝0过定点(0,4)．(2)由⎩⎨⎧12tx －y ＋4＝0，x 2＝4y得x 2－2tx －16＝0.则x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－16.S △OAB ＝12×4×|x 1－x 2| ＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝24t 2＋64≥16.当且仅当t ＝0时，△OAB 的面积取得最小值16.12．(2012年山东)在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34.(1)求抛物线C 的方程；(2)是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点M 的横坐标为2，直线l ：y ＝kx ＋14与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，l 与圆Q 有两个不同的交点D ，E ，求当12≤k ≤2时，|AB |2＋|DE |2的最小值．解：(1)依题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，圆心Q 在线段OF 的垂直平分线y ＝p 4上，因为抛物线C 的准线方程为y ＝－p 2，所以3p 4＝34，即p ＝1， 因此抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)假设存在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 202(x 0>0)满足条件，抛物线C 在点M 处的切线斜率为y ′|x ＝x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′|x ＝x 0＝x 0.所以直线MQ 的方程为y －x 202＝x 0(x －x 0)， 令y ＝14得x Q ＝x 02＋14x 0，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02＋14x 0，14.又|QM |＝|OQ |，故⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0－x 022＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x 2022＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋x 022＋116，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x 2022＝916，又x 0>0，所以x 0＝2，此时M (2，1)．故存在点M (2，1)，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M . (3)当x 0＝2时，由(2)得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫528，14.⊙Q 的半径为r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5282＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝368， 所以⊙Q 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5282＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －142＝2732. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2，y ＝kx ＋14，整理得2x 2－4kx －1＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由于Δ1＝16k 2＋8>0，x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－12， 所以|AB |2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)(4k 2＋2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5282＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －142＝2732，y ＝kx ＋14，整理得(1＋k 2)x 2－524x －116＝0.设D ，E 两点的坐标分别为(x 3，y 3)，(x 4，y 4)． 由于Δ2＝k 24＋278>0，x 3＋x 4＝524(1＋k 2)，x 3x 4＝－116(1＋k 2)， 所以|DE |2＝(1＋k 2)[(x 3＋x 4)2－4x 3x 4]＝258(1＋k )2＋14.因此|AB |2＋|DE |2＝(1＋k 2)(4k 2＋2)＋258(1＋k 2)＋14.令1＋k 2＝t ，由于12≤k ≤2，则54≤t ≤5.所以|AB |2＋|DE |2＝t (4t －2)＋258t ＋14＝4t 2－2t ＋258t ＋14， 设g (t )＝4t 2－2t ＋258t ＋14，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，5，因为g ′(t )＝8t －2－258t 2，所以当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，5，g ′(t )≥g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫54＝6，即函数g (t )在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，5是增函数，所以当t ＝54时g (t )取到最小值132， 因此当k ＝12时，|AB |2＋|DE |2取到最小值132. [热点预测]13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±32x B ．y ＝±32x C ．y ＝±33xD ．y ＝±3x解析：由题意可得，抛物线的焦点坐标为(4,0)，即c ＝4. 又∵e ＝ca ＝2，得a ＝2. ∴b ＝c 2－a 2＝16－4＝2 3.∴b a ＝3，则双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x . 答案：D14．如图，设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a >0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．解析：易见抛物线的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，∴l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0，得点A 的纵坐标为y ＝－a2. 据题意：4＝S △OAF ＝12|OF |·|y A |＝12×a 4×a2， ∴a 2＝64，∴a ＝8，∴抛物线的方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x15．设动点P (x ，y )(y ≥0)到定点F (0,1)的距离比它到x 轴的距离大1，记点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设圆M 过A (0,2)，且圆心M 在曲线C 上，EG 是圆M 在x 轴上截得的弦．试探究当M 运动时，|EG |是否为定值？为什么？解：(1)依题意知，动点P 到定点F (0,1)的距离等于P 到直线y ＝－1的距离，∴曲线C 是以原点为顶点、F (0,1)为焦点的抛物线， ∴曲线C 方程是x 2＝4y .(2)设圆的圆心为M(a，b)．∵圆M过A(0,2)，∴圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋(b－2)2.令y＝0，得x2－2ax＋4b－4＝0.①如图，设圆与x轴的两交点分别为E(x1,0)、G(x2,0)，则x1、x2是方程①的两根．不妨设x1>x2，由求根公式得x1＝2a＋4a2－16b＋162，x2＝2a－4a2－16b＋162.∴x1－x2＝4a2－16b＋16.∵点M(a，b)在抛物线x2＝4y上，∴a2＝4b，∴x1－x2＝16＝4，即|EG|＝4，∴当M运动时，弦长|EG|为定值4.。