例谈转化与化归思想的转化途径和方法
化归与转化的思想方法
化归与转化的思想方法随着教育事业的发展，数学教育改革的逐步深入，尤其是在数学新课程标准中十分注重培养学生的思想方法，培养学生应用数学解决问题的能力。
化归作为重要的数学思想方法，在数学教育中加强对化归思想的教育已成为十分重要的工作，这里，我仅就化归思想的核心及其在生活中的作用等问题作一些初步探讨。
一、历史背景化归与转化的思想简介匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的.有人提出了这样一个问题:“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做?”对此，某人回答说:“在壶中灌上水，点燃煤气.再把壶放在煤气灶上.”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道:“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做?”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说:“点燃煤气，再把水壶放上去.”但是更让人出乎意料的答案出现了。
数学家会回答：“把水倒掉，方法同上。
”一个有趣的笑话精辟的道出化归的方法的精髓。
二、化归与转化的含义在历史上曾经有不少数学家从各种不同的角度对化归方法作过论述。
例如，笛卡尔曾经提出如下的“万能方法”：①把任何问题都化归为数学问题；②把任何数学问题都化归为代数问题；③把任何代数问题都化归方程式的求解。
由于求解方程的问题被认为是已经能解决的（或者说，是比较容易解决的），因此笛卡尔认为利用这样的方法可解决各类型的问题。
显然他的这一结论并不正确，所谓的“万能方法”也根本不存在，笛卡尔所给出的这一模式毕竟可视为化归方法的一个具体运用，从而产生过具有重要意义的成果。
事实上，笛卡尔创立解析几何学，正是这种重要成果的生动体现。
化归法的一般模式，其形式如下图[4]：转换未知问题（复杂）已知问题（简单）已知理论、方法、技巧解答解答化归与转化就是将待解决或未解决的问题，通过转化归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个比较容易解决的问题，或者归结为一个已为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决。
转化与化归思想在中学数学中的应用
转化与化归思想在中学数学中的应用转化思想和化归思想是中学数学中非常重要的两个思想，它们在解决问题和证明定理过程中起着至关重要的作用。
本文将分别探讨转化思想和化归思想在中学数学中的应用。
一、转化思想在中学数学中的应用转化思想是指通过变换问题的形式或等效变形，使问题转化为熟悉的或易于处理的问题。
它就像是把难题中的棘手一面剥离，使问题变得简单易懂，进而更好地解决问题。
在中学数学中，转化思想主要体现在以下几个方面：1.利用等量代换简化方程式在代数运算中，我们会遇到很多组长方程式，而这些方程式中经常出现相同的项。
这时候，我们可以采用等量代换的方法，将其化简，使问题更容易解决。
例如，我们可以利用x+y=1这个式子，将x^3+y^3转化为(x+y)^3-3xy(x+y)，从而简化计算过程。
2.利用等式变形证明定理在证明数学定理时，通过大量变量之间的等式变形，可以大大简化证明过程。
例如，在证明勾股定理中，我们可以把原方程式a^2+b^2=c^2转化为a^2+b^2-c^2=0，继续变形成(a+c)(a-c)+(b+c)(b-c)=0，再变形成其它等式，最终证明了定理。
3.利用变量的代数变换简化问题有些问题需要建立函数关系式，但是常见的函数关系式过于复杂，不容易解决。
这时候，我们可以尝试采用代数变换的方法，将其变成简单的函数关系式。
例如，在解决极值问题时，我们可以利用三角函数的性质进行变量的代数变换，将复杂的函数关系式变得简单清晰。
二、化归思想在中学数学中的应用化归思想是指将问题按一定规律，通过变形而归约成一个与原问题相关的子问题，然后逐步化简子问题，最终解决原问题。
通过化归，我们可以更容易地理解问题，从而更好地解决问题。
在中学数学中，化归思想主要体现在以下几个方面：1.将高阶次问题化归为低阶次问题有些问题是高阶次或高维的，很难直接解决。
这时候，我们可以采用化归的方法，将其化归为低阶次问题。
例如，在解决n阶递推数列时，我们可以将n阶递推数列化归为n-1阶递推数列，从而简化问题的处理。
例谈“转化与化归”思想在高中数学解题中应用
所ａ詈） ）ｎ 以 ＋（ ］ｆ ｔ ＝ｗ ｎ ＋ ｔ一 ａ
化 思
即
当 ＰＥ［ ， ］ ，＞ 恒 成 立 ， 的取 值 ０４ 时 ｙ Ｏ 求
范 围．解 决 这 个 等 价 的 问题 需应 用二 次
函 数 以 及 二 次 方 程 的 区 间 根 原 理 ． 想 可
实 例 ． 谈 转 化 与 化 归 思 想 在 数 学 解 题 例
１ 十
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题 ． 利 于 运 用 熟 知 的 知 识 、 验 和 问 以 经
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例谈“ 转化与化归 ’ ’ 思想 在高中数学解题中应用
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江西瑞金 第一 中学 ３ ２ ０ ４ ５０
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求证
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点 评 ： 陌 生 问 题 转 化 为 熟 悉 的 问 将
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数学思想之一转化与化归思想(概述)
数学思想之一：转化与化归思想（概述）
1、转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决（当然包括解题）都离不开转化与化数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方归，
程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。
各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化
的手段。
所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂。
2、转化包括等价转化和非等价转化等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，不等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，不等价变形要对所得结论进行必要的修改。
3、转化与化归的原则将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决。
4、转化与化归的基本类型
（1）正与反、一般与特殊的转化；
（2）常量与变量的转化；
（3）数与形的转化；
（4）数学各分支之间的转化；
（5）相等与不相等之间的转化；
（6）实际问题与数学模型的转化。
例谈转化与化归思想的应用
生
理
科
应
试
・ ９・
问题迎 刃而解 ． ４ 空 间 与 平 面 的 转 化 ．
５ 数 与形的转 化 ． 例 ５ 求 函数
＋ 、
例 ４ 如图 １ 示 ， １ａ 所 图 （ ）为大小 可变 化 的三 棱 锥 Ｐ —Ａ Ｃ Ｂ．
（ ）将 此 三 棱 锥 沿 三 条 侧 棱 剪 开 ， 定 展 开 图 １ 假
值范 围是 （ 。，一１ 一。 ）Ｕ （ ，＋ｏ ． ３ 。） 点评 本题看 上去是一 个不等式 问题 ， 但是经 过等 价转化 ， 把它 化归为关 于 Ｐ的一次 函数 ， 利用 一
次 函数 的单调性 求解 ， 解题 的关键是转 换变量 角色． 在有几 个变量 的问题 中 ， 常常有 一个 变 元处 于 主要
想 而知 ， 这是相 当复杂 的． 设 函数 Ｐ ）＝ （ 一１Ｐ＋（ 一４ ） ｘ＋３ ， 然 ）显
） ‘ ＋）（ ｐ＝ ，以ａ （ 需 要应用 二次 函数 以及 二 次方 程 的区 间根 原理 ， ＋＇ 卢＋詈一—） 仃 ｔ［ Ｉ Ｔ 所 ｎ手＋ 可 ） ‘ ＋） ＝ａ７ （ 一）即 ＋ 卢］ ｔ［ 一 詈一 ／］ ７ ７ ｎｒ ３
均为 单 调 函 数 ，由 复 合 函 数 的 单 调 性 知 ：函 数
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化归与转化的数学思想解题举例
化归与转化的数学思想解题举例在数学问题中，化归与转化是一种常用的解题思路。
它们可以帮助我们将原问题转化为一个简化的形式，从而更容易得到解答。
本文将通过几个具体的例子来说明化归与转化在数学问题中的应用。
一、化归化归是将一个复杂的问题转化为一个更简单的等价问题的过程。
它通常是通过引入新变量或假设，将原问题转化为一个更易于处理的形式。
例子1：求解一元二次方程的解对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a不等于0，我们可以通过化归的方法求解其根。
首先，我们可以将方程中的未知数x改写为y = x + p，其中p是一个常数。
这样，我们将原来的方程转化为了ay^2 + dy + e = 0（其中d 和e是和p相关的常数）。
接下来，我们可以通过求解新方程来得到原方程的解。
由于新方程中的y是一个平移的变量，我们可以通过平方完成对y的消除。
最后，我们将得到一个新的一次方程： Cy + F = 0（C和F是和p 相关的常数）。
求解这个一次方程，我们就可以得到原方程的解。
通过化归，我们将原本复杂的问题转化为了一个简单的一次方程的求解问题，从而更容易得到解答。
二、转化转化是将一个问题转换为一个具有相同解的等价问题的思想。
它可以通过改变问题的表述方式或者引入新的概念来实现。
例子2：求解无穷几何级数的和对于一个无穷几何级数a + ar + ar^2 + ar^3 + ...（其中| r | < 1），我们可以使用转化的思想来求它的和。
首先，我们可以将级数的和S表示为S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...，这是一个无穷级数。
接下来，我们将级数的每一项都乘以公比r，得到rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...，这是另一个等价的无穷级数。
然后，我们将这两个等式相减，得到(S - rS) = a，进一步化简得到S = a / (1 - r)。
通过这样的转化，我们得到了无穷几何级数的和的数学表达式，简化了求解过程。
数学思想之转化与化归总结
数学思想之转化与化归总结在数学中，转化与化归是一种常用的思想方法。
通过转化问题的表达形式或者化简问题的复杂度，我们可以更容易地理解和解决数学问题。
转化与化归涉及到问题的等价转化、代数化简、几何转化、枚举化归等多个方面。
下面将从这几个方面对转化与化归进行总结。
首先，等价转化是一种常见的数学思想之一。
它意味着将一个问题转化为与之等价的另一个问题，以求得更容易解决的问题。
等价转化包括将问题的形式转化为更简单或者更具有可操作性的形式，或者将问题与已知的问题进行对应。
一个经典的例子是将一个复杂的代数方程转化为一个简单的一次方程或者二次方程，从而解决原方程。
在某些情况下，等价转化也可以是不可逆的，这意味着我们只能从简单的问题得到复杂的问题，但是这种转化仍然能够帮助我们更好地理解问题的本质和特点。
其次，代数化简是转化与化归的另一个重要方面。
代数化简是指通过运用代数运算的性质和规则，将一个复杂的代数表达式或者方程化简为更简单的形式。
代数化简的方法包括合并同类项、因式分解、配方法、三角函数的恒等变换等。
代数化简不仅可以减少问题的复杂度，还可以揭示问题的规律和特点，从而更好地解决数学问题。
几何转化是将几何问题转化为代数问题或者相反，通过几何图形的变换和变形，我们可以使得问题的解决更加直观和简单。
几何转化常常涉及到使用待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理等几何知识，从而求得问题的解。
几何转化不仅能够帮助我们更好地理解和解决几何问题，还能够提高我们的思维能力和几何直观。
最后，枚举化归是一种将一个复杂的问题化归为若干个简单的情况，通过对每个简单情况的分析和解决，来解决原问题的方法。
枚举化归可以通过列举具体的例子，或者考虑特殊情况来进行。
枚举化归的优点是能够将一个复杂的问题简化为多个简单的情况，从而更好地理解和解决问题。
然而，枚举化归的缺点是可能需要计算大量的情况，耗费时间和精力。
综上所述，转化与化归是数学中一种重要的思想方法。
例谈转化与化归的思想方法
例谈转化与化归的思想方法
例谈转化与化归的思想方法是一种理论，旨在将事物归结为不同
的元素，并以此来理解它们之间的关系和内在联系。
其中，例谈转化
是指从一般的概念出发而不断深入讨论的过程，以达到更广泛的认识。
而化归则是从一般到特殊、从特殊到一般的一种思考方法。
首先，例谈转化以具体例子入手，比如数学中的实例，可以以此
作为我们学习概念的基础，进一步深入探讨，由具体到抽象，最终把
它提升到一般的概念，从而得到更加宏观的认识。
其次，化归的方法也可以帮助我们理解事物，从而使我们对复杂
的概念有更清晰的认识。
化归可以划分为从一般到特殊和从特殊到一
般的思考方法。
从一般到特殊的方法我们可以通过聚焦特定领域，把
抽象的概念引入具体的实例，以便更深入地理解。
而从特殊到一般的
思考方法则与前者相反，在这种方法中，我们可以根据特定的实例，
把具体的概念引入抽象的概念，从而掌握概念的宏观结构。
例谈转化与化归的思想方法在各种学科和领域都有应用，可以帮
助我们理解事物，从而更好地推动知识的发展。
首先，例谈转化可以
帮助我们理解抽象的概念，从实例出发，深入探讨，归纳出更宏观的
概念。
而化归则可以帮助我们理解复杂的概念，从一般到特殊，从特
殊到一般，把具体的概念理解为抽象的概念，从而更好地掌握它们之
间的联系。
数学转化与化归思想例谈
数学转化与化归思想例谈作者：刘金球来源：《知识窗·教师版》2013年第02期数学思想方法是数学的精髓，它能把数学知识与技能转化为分析问题和解决问题的能力，体现数学学科的特点，帮助学生形成数学素质。
在解决数学问题时，观察、分析、类比、联想等方法能把难题转化为学生熟悉的问题，从而达到解决问题的目的。
这一思想方法我们称之为“转化与化归的思想方法”，它体现了数与形的相互转化。
如函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化，分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化。
转化与化归的基本类型主要包括一般与特殊转化、正向与反向的转化、常量与变量的转化、数与形的转化、数学各分支之间的转化、相等与不等之间的转化、实际问题与数学模型的转化。
笔者就其中四种转化与化归问题做了肤浅的归纳与总结，供同仁参考。
一、一般与特殊的转化在解题时，有时需要把一般问题化为特殊问题，有时需要把特殊问题转化为一般问题，目的在于降低解题的难度，从而使问题迎刃而解。
例1.在多面体ABCDEF中，已知AB、CD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=■，EF与面AC的距离为2，求该多面体的体积。
分析：在AB上取点G，使AG=EF，在DC上取点H，使DH=EF，连接FG、FH，则ADE和GHF是三棱柱，F-GBCH是四棱锥，这个三棱柱的直截面面积=■×3×2=3，侧棱EF=■。
所以，它的体积V1=3×■=■，四棱锥的体积V2=■×3×■×2=3。
所以，多面体ABCDEF 的体积V=V1+V2=■+3=■。
切割与补是的方法能把一般问题转化为特殊问题的思想。
此题正是通过切割方法，把我们不熟悉的多面体转化为我们熟知的几何体，从而使问题得以解决。
例2.设f （x）=■，求和f（■）+f（■）+…f（■）。
分析：这道题目如果直接求解，根本无从下手。
分析结论的数量特征可知■+■=1，■+■=1，■+■=1……由此，我们可以将问题转化为研究f （x）=■的结论特点。
转化与化归思想方法
转化与化归思想方法,就就是在研究与解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决得一种方法、一般总就是将复杂得问题通过变换转化为简单得问题,将难解得问题通过变换转化为容易求解得问题,将未解决得问题通过变换转化为已解决得问题、转化与化归思想在高考中占有十分重要得地位，数学问题得解决,总离不开转化与化归,如未知向已知得转化、新知识向旧知识得转化、复杂问题向简单问题得转化、不同数学问题之间得互相转化、实际问题向数学问题转化等、各种变换、具体解题方法都就是转化得手段,转化得思想方法渗透到所有得数学教学内容与解题过程中、1、转化与化归得原则(1)熟悉化原则:将陌生得问题转化为熟悉得问题,以利于我们运用熟知得知识、经验来解决、(２)简单化原则:将复杂问题化归为简单问题, 通过对简单问题得解决，达到解决复杂问题得目得，或获得某种解题得启示与依据、(3)直观化原则:将比较抽象得问题化为比较直观得问题来解决、（4)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题得反面,设法从问题得反面去探讨,使问题获解、2、常见得转化与化归得方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化就是解决问题得有效策略,同时也就是成功得思维方式、常见得转化方法有:(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题、(2）换元法:运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂得函数、方程、不等式问题转化为易于解决得基本问题、(3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式（图形)关系,通过互相变换获得转化途径、（4）等价转化法:把原问题转化为一个易于解决得等价命题,达到化归得目得、(5)特殊化方法:把原问题得形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后得问题、结论适合原问题、随着国家经济得发展,科技得发达，人才得需求,中国教育得改革,数学新课标得出现,在对学生得知识与技能,数学思想及情感与态度等方面得要求，学生在数学得学习方法也应该要相应改变了,要满足社会得需要、化归与转化思想得实质就是揭示联系,实现转化、除极简单得数学问题外,每个数学问题得解决都就是通过转化为已知得问题实现得、从这个意义上讲,解决数学问题就就是从未知向已知转化得过程,同时在生活中许许多多得事情也需要往已知得方面转化,把事情简单化,这对以后学生得能力与德育方面有很大得帮助、化归与转化得思想就是解决数学问题得根本思想，解题得过程实际上就就是一步步转化得过程、数学中得转化比比皆就是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识得转化,命题之间得转化,数与形得转化,空间向平面得转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转化,超越式向代数式得转化,函数与方程得转化等,都就是转化思想得体现、新得教学体制得出现, 化归与转化得思想将就是贯穿整个中学教学得一种主要得思想，所以在教学过程中要把这种思想溶入进去，让学生体会个中得精髓、关健词化归;转化；分析;联想１、化归与转化解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当得数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对来说,对自己较熟悉得问题)，通过新问题得求解,达到解决原问题得目得,这一思想方法我们称之为“化归与转化得思想方法”、化归与转化思想得核心,就是以可变得观点对所要解决得问题进行变形,就就是在解决数学问题时，不就是对问题进行直接进攻,而就是采取迂回得战术,通过变形把要解决得问题,化归为某个已经解决得问题、从而求得原问题得解决、它得基本形式有:化未知为已知，化难为易,化繁为简，化曲为直等等、化归与转化得思想也不就是随时能用,或随便用得，它需要遵循一定得原则,从而达到转化得正确性，实现这种思想得作用、下面我就来谈谈我对这种方法得理解、2.化归与转化得原则化归与转化思想得实质就是揭示联系,实现转化、转化有等价转化与非等价转化,等价转化得作用就不用说,而不等价转换，如果没明确得附加条件,那就失去它得价值了、所以化归与转化就需要遵循一定得原则:2、1熟悉化原则:将陌生得问题转化为熟悉得问题,以利于我们运用熟知得知识、经验与问题来解决、除了及少数得原始知识外，整个中学得数学知识得学习就就是在实现转化为旧得知识而得到得、例如:学二元一次方程就用化元法转化为一元一次方程;学一元二次方程用降幂法转化为一元一次方程;函数与方程之间得转化等等、2、2简单化原则:将复杂得问题化归为简单问题,通过对简单问题得解决,达到解决复杂问题得目得,或获得某种解题得启示与依据、这个原则大部分学生都知道,她们都会想把问题简单化,达到求解得过程、这个原则可以在无以记数得数学简便方法中体现出来、2、3与谐化原则：化归问题得条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示得与谐得形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们得思维规律、也就就是说整个转化得过程中,要符合思维规律,虽然思维可以多样化,可以无以为边得想象,但也要能被人接受并能理解、体现出现在国家倡导得与谐社会、2、4直观化原则:将比较抽象得问题转化为比较直观得问题来解决、这个主要在函数与图象得联系中体现出来、把某些枯燥乏味得代数问题转化为图形来解决，能直观得解决问题、２、5正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题得反面，设法从问题得反面去探求,使问题获解、反证法得应用把这个原则表现得淋漓尽致,学生能理解到其中得精髓可就是可以受用无穷得，包括在生活中得应用、2、6 现实化原则:所学所用所理解得道理要用于社会实践,同时要满足社会人才得需求、3.化归与转化得方法化归与转化得方法,在千变万化得题目中,方法也各不相同,也无以统计,这里就只讲解几中常用,学生也容易理解得、3、1 直接转化法：直接把新得知识转化为前续知识、这个在讲解新课得时候,尽量让学生去体会,让她们能自己解决新得问题,获取新得知识,接着把新得知识吸收,继续解决新得问题、３、2 构造法：这个就是个重要得方法,有不少题目,不能直接解决与转化,缺少了媒介，让不少学生无从下手,这时就需要构造一个数学情境，建立一个数学模型,把问题溶入进去,使问题简单化,直观化,从而达到求解得过程、3、3 数与形得转化：这个主要用于函数问题得解答与某些图型中得某些量得关系、数形结合就是数学学习得一种重要得思想、3、４换元法：这个重要就是把一些繁杂得，但又有重复性得题目简单化,更直观、这个主要用于方程得解答、3、5 相等与不相等之间得转化：这个主要用与不等式得证明与函数区间、3、６实际问题与数学理论得转化：理论联系实际得一种方法、也就是学生情感方面得培养、3、7 特殊与一般之间得转化：公式法解一元二次方程就就是把特殊得一般化了、同时也可以说把具体得抽象化了、3、8 数学各分支之间得转化：数学本来就就是一个连贯得整体,把各分支有机得联系起来,让人感到它得魄力、同时也能解决数学以外得我问题、５总结提炼数学新课标要求学生不仅要学会知识,还要能用所学得知识解决新问题,并能总结归纳,化为新得知识并接受,这样才能满足社会人才得需求、化归与转化就就是将待解决或未解决得问题,通过转化归结为一个已经能解决得问题,或者归结为一个比较容易解决得问题,或者归结为一个已为人们所熟知得具有既定解决方法与程序得问题,最终求得原问题得解决、懂得化归与转化得基本方向就是简单化、熟悉化、与谐化、化归与转化需要广泛与灵活得联想,联想得基础就是扎实得基础知识、基本技能与基本方法、熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能与基本方法就是转化得基础;丰富得联想、机敏细微得观察、比较、类比就是实现转化得桥梁;培养训练自己自觉得化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上得深刻理解与对典型习题得总结与提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间得本质联系、为了实施有效得化归,既可以变更问题得条件，也可以变更问题得结论，既可以变换问题得内部结构,又可以变换问题得外部形式，既可以从代数得角度去认识问题,又可以从几何得角度去解决问题、。
浅谈转换与化归思想(精)
浅谈转换与化归思想转化思想是数学中的一种基本却很重要的思想。
深究起来，转化两字中包含着截然不同的两种思想，即转换和化归。
这两者其实表达了不同的思想方法，可以说是思维方式与操作方法的区别。
一、 转换思想（1）转换思想的内涵转换思想是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化，能跳出现有领域的局限，联系相关领域，并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。
要做到这一点，对思维能力的要求相对更高，必须对各个领域分别都有透彻的了解，更必须对各领域之间的联系有较多的研究，在关键时刻才能随心所欲地运用。
（2）转换思想在同一学科中的应用转换思想可以是在同一学科的不同知识模块之间的变换，在解决问题时改变解题方向。
象数学学科中，数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。
比如，函数、方程、不等式是代数中的三大重要问题，而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其他模块的各类问题。
不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决，或者是二次方程根的分布，也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。
再比如，数列问题用函数观点来解释，那更是我们数学课堂中一再强调的问题了。
看这样一个问题： 已知：11122=-+-a b b a ，求证：122=+b a 。
[分析] 这是一个纯粹的代数证明问题，条件的变形是比较艰难的，所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点令人望而生畏。
再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式，稍加联系，我们完全可以想到：21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现，它们呈现出完全类似的规律性。
[解答]由题意1≤a 、1≤b ，则可设αsin =a ，αcos =b ，πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα化简得1cos cos sin sin =+αααα所以0sin ≥=αa ，0cos ≥=αb则 1cos sin 2222=+=+ααb a[小结] 本题的解决了是发现了不同知识模块中的类似规律，加以利用得到新的思路，本题的题设和结论中都没有出现三角函数的形式，最终却必须引进三角函数加以解决，思维已经具有跳跃性，对一般学生来说解决起来还是比较棘手的。
转化与化归的数学思想
转化与化归的数学思想一、转化与化归思想的含义化归指的是转化与归结．简单的化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想．即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的这种解决问题的思想，称为化归思想．化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程．数学中的转化比比皆是，比如将未知向已知转化；复杂问题向简单问题转化；命题间的转化；数与形的转化；空间向平面的转化；高次向低次的转化；多元向少元的转化；无限向有限的转化等都是化归思想的体现．化归思维模式：问题→新问题→解决新问题→解决原问题.化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
二、化归思想的解题途径1、一般与特殊的转化21(0)11,2.243y ax a F P Q PF FQ p q p q A a B a C a D a =>+例 过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于、两点，若线段、的长分别为、则的值为（ ）2.具体与抽象的转化.把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径,它是对抽象问题的理解和再认识,在抽象.例2、设函数 的定义域为D ，若所有点 构成一个正方形区域，则a 的值为A ．-2B ．-4C ．-8D ．不能确定3. 正面与反面的转化在处理某一问题时，按习惯思维从正面思考比较困难，这时用逆向思维的方式从反面去考虑，往往使问题变得比较简单。
转化与化归思想
3．直观化原则 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决． 4．正难则反原则 当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面， 设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的 可能性． 总之，化归与转化是高中数学的一种重要思想方法，掌 握好化归与转化的思想方法的特点、题型、方法、要素、原 则对我们学习数学是非常有帮助的．
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等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们 在一定的条件下可以相互转化，例如本例，表面看来似 乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解 决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组) 来求解，则显得非常简捷有效.
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正向与逆向的转化
[例3] 某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4 次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中 目标1次的概率为 ________．
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2．转化与化归的常见方法 (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式 或基本图形问题． (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂 等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基 本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形 式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径． (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题， 以达到化归的目的．
同一区间，故a＝1.
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“化归与转化”还有“数与形的转化、数学各分支之间的转 化”等，应用时还应遵循以下四条原则：
1．熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于运用熟知的知识 和经验来解答问题． 2．简单化原则 将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决， 达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．
例谈高考中的转化与化归思想
例谈高考中的转化与化归思想石家庄市第十九中学 岳儒芳转化与化归的思想，是指在解答问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略．转化与化归思想的核心是把生题转化为熟题．其实，解题过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此解每一道题无论是难题还是易题，都离不开化归．诸如：化无理为有理，化分式为整式，化高次为低次，化复杂为简单，化异为同等．在高考中，对化归思想的考查，总是结合演绎证明，运算推理，模式构建等理性思维能力的考查进行，可以说高考每道题，都在考查化归意识与转化能力，可见该数学思想的重要性．转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．转化与化归的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．转化有等价转化和非等价转化．等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证．应用转化化归思想解题的原则应是：化难为易、化生为熟、化繁为简等 常见的转化有：抽象与具体的转化、正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、函数不等式及方程的转化、一般与特殊的转化、数学语言的转化．一、抽象与具体之间的相互转化把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径，它是对抽象问题的理解和再认识，在抽象语言与具体事物间建立联系，从而实现抽象向具体的化归.例1、（2004年浙江卷，理12）若)(x f 和)(x g 都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能是（ ）A.512-+x x B ．512++x x C. 512-x D. 512+x分析：)(x f 和)(x g 都是定义在实数集R 上的抽象函数.本题直接解不容易，可化抽象为具体，令x x f =)(代入即可求出.解：令x x f =)(，则)()]([x g x g f =，)()]([x g x f g =，0)]([=-x g f x 有实数解，即0)(=-x g x 有实数解.这样很明显得出结论，B 使0)(=-x g x 没有实数解，选B.评注：这种从抽象到具体再到抽象，使学生从心理上感到非常轻松，象这样常见抽象函数式还有一次函数型m y f x f y x f ++=+)()()(，对数函数型)()()(y f x f y x f +=⋅，幂函数型)()()(y f x f y x f ⋅=⋅.二、正难则反转化问题一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一．解题时，如果从正面入手思维受阻，那么，不妨从它的反面出发，逆向思维，寻找解题的思路．例2、（2005全国卷Ⅱ，理15）在由数字5,4,3,2,1,0所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_________个.分析：不能被5整除的数要分类讨论，情况较多，这时我们不妨换一个角度，从反面入手考虑.解：所有四位数有3003515=⋅A A 个，末位为0时有6035=A 个，末位为5时有482414=⋅A A 个，∴满足题意的数共有1924860300=--个.评注：一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这叫做“正难则反”.“正难则反”是一种重要的解题策略，灵活使用，能使一些问题获得巧解.三、数与形的转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化． 例3、(2007年天津，理9)设c b a ,,均为正数，且c b a c b a 22121log )21(,log )21(,log 2===，则（ ）A ．c b a << B.a b c << C.b a c << D.c a b <<分析：这里要比较c b a ,,三个正数的大小，而由已知条件很难求出c b a ,,三个数的准确值．由已知条件可知c b a ,,分别是指数函数与对数函数图象交点的横坐标，因此可利用化归转化数学思想的“数与形的相互转化”来进行解题．解：在同一直角坐标系下画出函数xy 21=与x y )21(2=与x y 213log =及x y 24log =的图象（如图1所示），则a 表示的是函数x y 21=与x y 213log =交点的横坐标的值，同理有，b 表示的是函数x y )21(2=与x y 213log =交点的横坐标的值，c 表示的是函数xy )21(2=与x y 24log =交点的横坐标的值，则有c b a <<．故选A ．点评：通过发掘函数式的几何意义，将代数问题转化为函数问题或几何问题或解析几何，然后利用函数图象或几何图形来解决，这也是近年来高考中常用的解题方法．四、不等与相等的转化等与不等是数学中两个重要的关系，也是常见的两种关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口．例4、（1997年全国，理14）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->xxx x x 2233 0 的解集是( ) A ．}20{<<x x B. }5.20{<<x x C. }60{<<x x D. }30{<<x x分析：若直接解这个分式不等式，运算量很大．通过观察可看出，在所给的四个选项中，不等式左端的值相同，而右端的值不同．根据“不等式解的边界值就是相应方程的根”，可判断正确选项必定是方程xxx x +-=+-2233的根，然后把四个选项分别代入即可求出． 解：由以上推测，可知不等式解集的右边肯定不会是2，也不会是3，这样便排除A 、D ．正确答案只能在B 和C 中选取．下面把5.2=x 或6=x 代入方程xxx x +-=+-2233 进行验根可知6=x 是方程的根．故选C. 评注：根据不等式的解与方程根之间存在的对应关系，可把不等式解的问题可以转化为方程根的问题． 即把不等问题转化为相等的问题．五、整体与局部的转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始． 例5、（2007年福建，理22）已知函数R ∈-=x kx e x f x ,)(． （Ⅰ）若e k =，试确定函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若0>k ，且对于任意R ∈x ，0|)(|>x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围；（Ⅲ）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：)()2()()2()1(21*N ∈+>⋅⋅⋅+n en F F F n n ．分析：（Ⅰ）求出)(x f 的导函数，易得)(x f 的单调区间；（Ⅱ）易知|)(|x f 是偶函数，于是0|)(|>x f 对任意R ∈x 成立可等价转化为0)(>x f 对任意0≥x 成立，进一步转化为)(x f 在),0[∞+上的最小值大于零，从而求出实数k 的取值范围．解：（Ⅰ）由e k =得ex e x f x -=)(，所以e e x f x -=')(．由0)(>'x f 得1>x ，故)(x f 的单调递增区间是),1(∞+，由0)(<'x f 得1<x ，故)(x f 的单调递减区间是)1,(∞-．（Ⅱ）由|)(||)(|x f x f =-可知|)(|x f 是偶函数，于是0|)(|>x f 对任意R ∈x 成立等价于0)(>x f 对任意0≥x 成立．由0)(=-='k e x f x 得k x ln =． ①当]1,0(∈k 时，)0(01)(>≥->-='x k k e x f x ，此时)(x f 在),0[∞+上单调递增，故01)0()(>=≥f x f ，符合题意．)(x f ')(x f由此可得，在),0[∞+上，k k k k f x f ln )(ln )(-=≥．依题意，0ln >-k k k ，又1>k ，∴e k <<1．综合①，②得，实数k 的取值范围是e k <<0． （Ⅲ） x x e e x f x f x F -+=-+=)()()(，∴22)()(21212121212121)()(21+>++>+++=++-++--+-+x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e x F x F ， ∴2)()1(1+>+n e n F F ，2)1()2(1+>-+n e n F F ，…, 2)1()(1+>+n e F n F ．由此得，n n e F n F n F F F F n F F F )2()]1()([)]1()2()][2()1([)]()2()1([12+>⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅+故*21,)2()()2()1(N ∈+>⋅⋅⋅+n en F F F nn ．评注：利用偶函数的性质进行等价转化是解决此例问题（Ⅱ）的关键．高考试题中常利用奇函数或偶函数的性质将函数在R 上的问题进行“整体与局部的相互转化”转化为函数在区间),0[∞+上问题来讨论．六、空间与平面的转化事物的空间形式总是表现为不同维数，并且遵循由低维到高维的发展规律，通过降维转化，可以把问题由一个领域转化到另一个领域得到解决，这种问题在复数和立体几何中非常多．例6、（2009年陕西，理15）如图2，球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，．21=O O ，B A 、是圆1O 上 两点，B A 、两点间的球面距离为32π，则=∠B AO 1________． 分析：首先利用B A 、两点间的球面距离求出球心角AOB ∠，然后再求出弦AB 长，在B AO 1∆中，利用余弦定理即可求出．解：3232ππ===∠r l A O B ，则2==r AB ．2121O O OA A O -=2)2(222=-=，211==A O B O ，故有22121AB A O B O =+，所以21π=∠B AO ．评注：在立体几何中充满了化归与转化思想，最常用的有两类：一是通过平移或投影，把空间问题转化为平面的问题来处理；二是立体几何内部知识之间的相互转化，如线、面间的位置关系的判定．图2七、函数、不等式及方程的转化函数、不等式及方程之间有着密切的联系．在解决某些问题（如解不等式）时，可以利用这种联系，巧妙实现对问题的化归求解．例7、（2006年江西，理3）若0,0>>b a ，则不等式a xb <<-1等价于（ ） A ．01<<-x b或a x 10<< B ．b x a 11<<- C ．a x 1-<或b x 1> D ．bx 1-<或a x 1>分析：把不等式转化为函数，分别作出它们的图象，然后利用方程求出图象交点的横坐标，并看图写出结果．解：可令xy b y a y 1,,321===，在同一坐标系中分别作出这三个函数的图象（如图3所示）．通过观察可得x 的取值范围是ax b x 11>-<或．故选D ．评注：利用函数、不等式及方程三者之间的等价关系，先把不等式转化为函数，并画出它们的图象，然后根据不等式解集的意义，由不等式两端对应的函数的图象的高低及交点情况，确定未知数的取值范围．八、一般与特殊的转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举．例8、（2007年江苏卷15）在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点)0,4(-A 和)0,4(C ，顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则=+B C A sin sin sin ___________． 分析：这里顶点B 是椭圆上的动点，所以C B A sin sin sin 、、不易确定．但根据“一般成立特殊一定成立”可将这个一般性的问题转化化归为B 点在特殊位置（椭圆短轴端点）来处理较易．当然：注意到C A 、是两焦点，利用正弦定理，进行数形转化也能取得很好的效果． 解：顶点B 取椭圆短轴端点，即)3,0(B ，则542sin ,532cossin sin ====B B C A ,∴ ==2cos 2sin 2sin BB B 252454532=⨯⨯,∴45sin sin sin =+B C A ． 评注：象这种“特殊与一般的相互转化”在高考的选择题和填空题中经常应用． 九、数学语言的相互转化数学语言是表达数学思想的专门语言，是进行数学思维和数学交流的工具．它具有抽象性，精确性，简约性，一义性，形式化等特点．数学语言分为符号语言、文字语言和图形语言，三类语言之间的相互转换在数学语言学习中占有重要地位．例9、（2004年全国I ，理6）设I B A 、、均为非空集合，且满足I B A ⊆⊆，则下列各式中错误的是（ ）A.I B A C I = )(B. I B C A C I I =)()(C. ∅=)(B C A ID. B C B C A C I I I =)()(分析：将题设条件转化为图形语言，即画出韦恩图，即可求出. 解：将题设条件转化为图形语言，即构造图4，由图形逐一验证，得B 项不正确，故应选B.评注：对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题，便于将问题解决.图3IB图4A。
例谈化归与转化的数学思想方法的应用
课程篇所谓化归与转化的数学思想方法，就是指在分析处理问题时，把那些待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而求得原问题解答的一种思维方法。
它是数学思维方法中的一个重要组成部分。
1944年波利亚发表的《怎样解题表》，这是数学史上对化归思想给出具有代表意义的作品，这部作品中体现了运用化归思想解决具体数学问题的优越性。
波利亚认为解决数学问题的具体思维过程分为四个阶段：弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。
这四个阶段的思想实质是：理解、转换、实施、反思。
他在表中引出一系列的问题，通过对问题的分析和解决过程，启发寻找解决问题的途径。
弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾这种思维过程的核心在于不断地变换问题，连续地简化问题，把解决数学问题看成是对问题化归的过程，最终化归到已掌握的知识或熟悉的问题上，从而使问题得以解决。
下面就数学教学中遇到的问题举几个化归与转化的例子。
例1.已知（x -2）+nf （2-3x ）=2+x 3（m 2≠n 2），求f （x ）的解析式。
简解：若设辅助函数u =3x -2，则x =u +23，就可以将已知的等式转化为mf （u ）+nf （-u ）=u (1)再将（1）式中的u 代换为-u ，得mf （-u ）+nf （u ）=-u …（2）由（1）（2）联立的关于f （u ）和f （-u ）的二元一次方程组，容易解出f （u ）=（m +n ）u m 2-n 2=u m -n 故f （x ）=x +23。
注：这是一个函数方程问题，一般要转化为函数方程组的问题来解决。
例2.若关于x 的方程x 2-mx +2=0在区间［1，2］上有解，求实数m 的取值范围。
简解：分离参数m ，m=x +2x x ∈［1，2］，因为y=x +2x 在［1，2√］单调递减，在［2√，2］上单调递增，所以x ∈［2√，3］。
注：分离参数后问题转化成了求函数的值域。
例3.求函数y=ln （x 2-2x +3）的值域。
例谈转化与化归在解题中的运用
2017年12月解法探究>教学--参谋例谈转化与化归在解题中的运用!南京师范大学第二附属高级中学朱斌等价转化的思想方法是数学思想方法中的重要思 想方法，但很多学生在解题过程中，缺乏等价转化思想 的应用，有时根本想不到用等价转化的思想方法解题， 因此，笔者结合自身的教学实践，剖析如何在教学中灵 活运用等价转化思想解题，从而促进解题能力的提高.一、领会题中条件意义是转化与化归的重 要前提所以 c 〇s "=.+c 2—-=—^，则"'30。
.2b c++322.~+^c 23众所周知，根据向量共线定理，对于两个不共线的非零向量%$与%$，若当且仅当！’0'〇时成立.本题考查了学生等价转化的思想和灵活运用数学思想方法的能力.一般来说，题目中所给条件含有丰富的内容，因此 要引导学生认真读题，仔细审题，依据所给的条件步步 为营，稳扎稳打，不断朝着目标转化.例1 ""#$的内角为"，#，$，点％为""#$的重心，若s i n A M "+s i n B M 6+ 小为______.3sin $M $'0,则内角"的大对于这道题，学生人手很困 难，如何正确认识题中条件，如 何转化条件是最大的障碍.可以 引导学生从重心人手：如图1所"示，点％为'"#$的重心，则%$&%$+%$'0(因为%$'_2%$)，结合已知条件解出%$'-%$-%$，代人已知等式sin 4%$+s i n B M B &sin $M $'0，得(sin " -sinC 1 %%"sinB -3 3sinC | M B ' 0，即 | sin " ■3sinC | M "■&^sinC -s i n B j M $，但％"与％$为不共线的非零向sin "-~&^sinC '0,量，所以即 a 'b :+3sinC -sinB '0,二、数形结合是转化与化归中的重要方法在方程与函数这类问题中，常常涉及方程解的问 题、恒成立问题或函数交点等问题.若能根据题意，利用 数形结合的思想，灵活转化方程或函数，便可迅速、快捷 地解决问题.例 2 已知函類2)'22+-2_士(2<0)与 4<2)'22+ln (2+ -)图像上存在关于5轴对称的点，则-的取值范围是转化1"由题意知，存在2〇2 (_#，0)满足/(2。
例谈向量中的转化与化归思想
例谈向量中的转化与化归思想[内容提要] 高考中向量试题往往把向量的代数性质和几何意义进行综合，在求解时若能利用化归与转化思想,通过构造几何图形模型,或解析法转化为函数模型，一般到特殊的转化、数形转化、“算两次”建立方程(等式)等方法,一般就能迎刃而解．关键词：转化、构造几何模型、构造函数模型、一般到特殊、数形转化、算两次所谓化归与转化思想，是指在教学研究中使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想．精髓在于将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题.常见的转化方式有：一般到特殊转化、等价转化、复杂到简单转化、数形转化、构造转化、联想转化、类比转化等.体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的问题，就这一点来说，数学解题过程就是不断转化的过程. 本文就此类问题举例说明一些化归与转化思想在解决向量问题中的运用．1.构造转化之数学模型的化归与构造1.1构造几何模型【引例1-1】（2010浙江高考数学理）已知平面向量（）满足，且的夹角为120°，则的取值范围是.解：设对应向量为 , .在△OAB中, ．设△OAB的外接圆半径为R，则由正弦定理得 .点A在△OAB的外接圆的一段弧上运动,因此,的取值范围是 .评注:已知条件中的“”的确定性—定线段，与“的夹角为120°”的确定与可变性—点A运动变化的同时角A大小的不变，从而想到点A为△OAB的外接圆上的一个动点，由此，完成了一个向量问题到圆的模型的转化，利用圆上动点与定点间距离的性质，问题的解决也就水到渠成了.为了巩固加深学生的理解与掌握，下面来作一些变式拓展．【变式1-1-1】设向量满足则的取值是 .解：在△OAB中, ,C∴,设△OAB的外接圆半径为R，则由正弦定理得 .∵,∴点C恰好也在△OAB的外接圆的优弧AB上运动,不包括端点∴的最大值为直径 ,另一方面当点C趋近于A或B时, 趋近于1，因此,的取值范围是.评注：由向量的夹角概念得，即四边形的对角互补得知点O、A、B、C共圆，由此构造圆的模型，利用圆的性质得解.【变式1-1-2】设向量满足则的取值范围是.解：在△OAB中, ,∴,设AB的中点为M，,即C在以AB为直径的圆M上，显然O在圆M内，最小值为 ,最大值为 ,则的取值范围是 .评注：该题条件看似与上题类似，其实突破口是由向量数量积的几何意义得知动点对定线段的张角始终是直角而联想到圆，构造圆的模型，从而将向量问题转化为圆的问题，利用圆的性质得解。
转化与化归
例1.m是什么数时,方程x 2 (m 3)x m 0
的两个根都大于1 ? 2
5 m 1. 6
注：解法一，运用韦达定理转化为关于m
的不等式组求解。
解法二，运用求根公式（只需小根大于1/2) 转化为关于m的不等式求解，这是最朴素 的解法。
专题2
转化与化归
常见的化归方法与手段：
转化包括等价转化和非等价转化两种方 式，等价转化要求转化过程中前因后果应是充 分必要的，这样的转化能保证转化后的结果仍 为原问题所需要的结果，而非等价转化其过程 则是充分非必要的，这样的转化能给人带来思 维的闪光点，找到解决问题的突破口，是分析 问题中思维过程的主要组成部分。
例3.是否存在等差数列an 使得
a1an
a2an1
an1a2
ana1 数n恒 成 立? 若 存 在, 求 出 其
通 项 公 式; 若 不 存 在, 请 说 明 理 由.
一般
特殊
an n.
例4.如图正三棱柱ABC
A1
B1
C
底
1
面边长为a,高为2a, A1B与AB1交于E,
解法三，通过构造二次函数，转化为一元 二次方程根的分布问题，这是最佳解法。
例2.求证 : 1 1 1 1 1 (n N )
9 25 49
(2n 1)2 4
提
示
:
运
用
(
2n
1
1)
2
4n 2
1 4n 1
1 4n(n 1)
实 施 非 等 价 转 化(放 缩).