圆锥曲线的参数方程
圆锥曲线参数方程
圆锥曲线参数方程圆锥曲线参数方程，是二维视觉有机体的计算机图像处理的重要工具。
它可以将二维图形表示为参数方程，可以用来描述、检测和识别图像中的特征。
其可以实现各种复杂的图像处理与分析，可以改变图像外观和大小，从而满足视觉技术的各种应用需求。
圆锥曲线参数方程是一种非线性方程，它使用一个参数表示图形，参数定义图形的形状、大小和位置等。
如果将这些参数控制在正确的范围内，就可以推导出一系列的圆锥曲线参数方程，它们可以用来描述、检测和识别图像中的特征。
一般来说，圆锥曲线参数方程的确定以及图像处理过程的实现，都需要精确的数学知识，这其中包括微积分及其分支学科，如偏微分方程、线性代数、拓扑学和几何学等。
精确的数学知识可以帮助我们通过控制精确度来实现更高精度的图像处理，进而获得更准确的结果。
圆锥曲线参数方程可以用来提取图像中的曲线信息，这也是计算机图像处理中重要的一项技术。
提取曲线信息的步骤如下：首先，对原始图像进行图像处理，提取出曲线信息；其次，选择合适的参数来拟合曲线，可以用不同的方法，例如常微分方程和非线性方程，来实现；最后，通过参数方程计算，得出最终的圆锥曲线参数方程。
圆锥曲线参数方程还可以用来实现图像的变换。
变换就是改变图像外观或大小，使其能够满足视觉技术的各种应用需求。
如果想要实现图像的缩放或拉伸，可以通过改变参数，使圆锥曲线参数方程易于操作。
另外，圆锥曲线参数方程可以用来实现三维图形的变换处理，例如图像旋转、平移和缩放等。
在进行三维图形变换处理时，可以首先将三维图形转换为圆锥曲线参数方程，然后再通过特定的参数进行变换。
总之，圆锥曲线参数方程可以用来描述、检测和识别图像中的特征，这在图像处理领域中具有重要的意义。
它可以通过参数设定实现图形的变换，同时也能够帮助我们精确提取曲线信息，为视觉技术应用提供重要的计算机图像处理工具。
常见曲线的参数方程
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(,)x y 。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ==== 3当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。
①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。
圆锥曲线公式及知识点总结
圆锥曲线公式及知识点总结圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e的点的轨迹。
数学里有很多公式，为了帮助大家更好的学习数学，小编特地为大家整理了圆锥曲线公式及知识点总结，希望对大家的数学学习有帮助。
圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)y²=2px(p>0)范围x∈[-a,a]x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)x∈[0,+∞)y∈[-b,b]y∈Ry∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/cx=±a²/cx=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x—————离心率。
圆锥曲线方程知识点总结
圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。
双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。
二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。
以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。
双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。
三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。
以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。
四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。
2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。
圆锥曲线 课件
利用线性代数知识求解圆锥曲线问题
线性方程组
线性方程组是线性代数中的基础内容， 它可以用来求解与圆锥曲线相关的问题 。例如，通过解线性方程组，可以找到 满足特定条件的点的坐标。
VS
特征值与特征向量
特征值和特征向量在解析几何中也有广泛 应用。通过计算圆锥曲线的特征值和特征 向量，可以深入了解曲线的性质，从而更 好地解决相关问题。
椭圆离心率的范围是0<e<1，双曲线的离心率范围是e>1。
圆锥曲线的光学性质
01
光线经过圆锥曲线上的点时，其 方向会发生改变，这种现象叫做 圆锥曲线的光学性质。
02
光线经过椭圆时，会沿着椭圆的 主轴方向折射；经过双曲线时， 会沿着双曲线的副轴方向折射。
圆锥曲线的对称性
圆锥曲线具有对称性，即如果将圆锥 曲线沿其对称轴旋转180度，它仍然 与原来的曲线重合。
02 圆锥曲线的性质
焦点与准线
焦点
圆锥曲线上的点到曲线的两个焦 点的距离之和等于常数，这个常 数等于椭圆的长轴长，等于双曲 线的实轴长。
准线
与圆锥的母线平行的线，在平面 内与准线相交的直线与圆锥相切 于一点，这个点叫做切点。
离心率
离心率：是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它等于圆锥顶点到曲线的距离与 圆锥的半径之比。离心率越大，圆锥曲线越扁平，反之则越接近于球形。
双曲线的极坐标 方程
$frac{rho^2}{a^2} frac{rho^2}{b^2} = 1$
圆锥曲线在极坐 标下的表…
将圆锥曲线问题转化为极 坐标形式，便于理解和求 解。
利用极坐标求解圆锥曲线问题
利用极坐标求解圆锥曲线问题的步骤
首先将问题转化为极坐标形式，然后利用极坐标的性质和公式进行求解。
圆锥曲线解题技巧之参数方程的运用如何通过参数方程解决圆锥曲线问题
圆锥曲线解题技巧之参数方程的运用如何通过参数方程解决圆锥曲线问题圆锥曲线是数学中的一个重要概念，涉及到许多解题技巧和方法。
其中，参数方程是解决圆锥曲线问题的一种有效途径。
本文将探讨如何通过参数方程来解决圆锥曲线问题，并讨论一些常见的参数方程运用技巧。
一、参数方程的基本概念参数方程是用参数表示自变量和因变量之间的关系的方程。
在圆锥曲线中，我们可以使用参数方程将自变量（通常用参数t表示）与因变量（例如x和y）表示的关系联系起来。
通过引入参数，我们可以简化对曲线的描述和计算，从而更方便地解决问题。
二、参数方程解决圆锥曲线问题的步骤通过参数方程解决圆锥曲线问题，一般需要经过以下几个步骤：1. 确定参数的范围：首先，需要确定参数的取值范围，通常通过题目中给出的条件进行限定。
例如，要求参数t在区间[0,2π)内取值。
2. 寻找参数与自变量之间的关系：其次，需要确定自变量（例如x 和y）与参数t之间的关系。
这一步可以通过直接给出参数方程或者通过已知条件与参数方程的关系来推导得到。
3. 消去参数得到方程：通过已知条件和参数方程的关系，我们可以消去参数，从而得到只涉及自变量的方程。
消去参数的过程通常是通过代数运算来完成的。
4. 分析并解决问题：最后，根据已经得到的方程，可以进行进一步的分析和解决问题。
这一步可以通过几何和代数方法相结合，根据需要进行计算和推导，得到问题的解答。
三、参数方程的运用技巧在通过参数方程解决圆锥曲线问题时，可以运用一些技巧来简化计算和分析过程。
以下是一些常见的参数方程运用技巧：1. 参数代换：有些圆锥曲线问题中，可以通过适当的参数代换来简化参数方程。
例如，当遇到椭圆或双曲线的参数方程中包含平方项并且系数相等时，可以通过合适的代换将其转化为标准形式。
2. 对称性利用：在分析参数方程时，可以利用曲线的对称性来简化计算和推导。
对称性可以是关于x轴、y轴或原点的对称性。
通过观察曲线的对称性，可以推断出曲线的性质，从而进行进一步的分析。
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】圆锥曲线的七种常见题型题型一：定义的应用圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。
在定义的应用中，可以寻找符合条件的等量关系，进行等价转换和数形结合。
适用条件需要注意。
例1：动圆M与圆C1：(x+1)+y=36内切，与圆C2：(x-1)+y=4外切，求圆心M的轨迹方程。
例2：方程表示的曲线是什么？题型二：圆锥曲线焦点位置的判断在判断圆锥曲线焦点位置时，需要将方程化成标准方程，然后判断。
对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
例1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是什么？例2：当k为何值时，方程是椭圆或双曲线？题型三：圆锥曲线焦点三角形问题在圆锥曲线中，可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。
PF，PF2=n，m+n，m-n，mn，m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。
例1：椭圆上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求△F1PF2的面积。
例2：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求该双曲线的标准方程。
题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在圆锥曲线中，可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式，求解离心率和渐近线的值、最值或范围。
在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。
例1：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是多少？例2：双曲线的两个焦点为F1、F2，渐近线的斜率为±1/2，求双曲线的标准方程。
题型五：圆锥曲线的参数方程在圆锥曲线的参数方程中，需要注意参数的取值范围，可以通过消元或代数运算求解。
例1：求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。
例2：求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。
题型六：圆锥曲线的对称性圆锥曲线具有对称性，可以通过对称性求解问题。
第2讲-圆锥曲线的参数方程
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
离公式得到关于 θ 的函数，转化为求函数的最值．
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
【自主解答】
x＝－4＋cos t， (1)由 y＝3＋ sin t，
当 堂 双 基 达 标
课 前 自 主 导 学
cos t＝x＋4， 得 sin t＝y －3.
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
x＝3cos θ 若本例的参数方程为 y＝5sin θ
，(θ 为参数)，则如何求
当 堂 双 基 达 标
椭圆的普通方程和焦点坐标？
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
课 前 自 主 导 学
义是什么？
1 π 3 【提示】 sec φ＝ ，其中 φ∈[0,2π)且 φ≠2，φ≠2π. cos φ
3．类比 y2＝2px(p>0)，你能得到 x2＝2py(p>0)的参数方
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
程吗？
【提示】
x＝2pt， 2 y ＝ 2 pt .
课 前 自 主 导 学
设抛物线 y2＝2px 的准线为 l，焦点为 F，顶点 为 O，P 为抛物线上任一点，PQ⊥l 于 Q，求 QF 与 OP 的交 点 M 的轨迹方程．
【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．
(p>0，t 为参数，t∈R)}
圆锥曲线的参数方程全解
将y=
b
a x代入①，解得点A的横坐标为
a
①
xA = a2（sec tan）.
解： 同理可得，点B的横坐标为xB = a2（sec tan）.
设AOx=,则tan b . 所以MAOB的面积为
a
S MAOB =|OA||OB|sin2 =
xA
cos
xB
cos
sin2
过点A作圆C1的切线AA '与x轴交于点A ' ,
过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB'与直线OA交于点B'. 过点A ' ,B'分别作y轴,x轴的平行线A' M,B' M交于点M.
双曲线的参数方程
y
设M (x, y) 则A' (x, 0), B'(b, y).
a
B'
A
•M
点A在圆C1上 A(acos,asin).
又OA AA',OA AA'=0
o B A' x
b
AA' =(x-acos,-asin )
a cos(x a cos) (a sin)2 0 解得：x a
又 点B'在角的终边上，记 由三角函数定义有：tan y .
co1sy消saxbe去22cta参n数by22得：x1
2
2
说明：⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM
的倾斜角不同. ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程
x2 a2
y2 b2
1
与三角
恒等式sec2 1 tan2 相比较而得到，所以双曲
线的参数方程的实质是三角代换.
圆锥曲线知识点汇总
圆锥曲线知识点汇总在数学的世界里，圆锥曲线如同璀璨的明珠，闪耀着独特的魅力。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们在数学、物理以及工程等领域都有着广泛的应用。
接下来，让我们一同深入探索圆锥曲线的奥秘。
一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点 P 的轨迹。
椭圆的标准方程有两种形式：当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）表示椭圆的长半轴，＼（b\）表示椭圆的短半轴，＼（c\）（＼（c^2 ＝ a^2 b^2\））表示半焦距，焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。
当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），焦点坐标为\（（0, ＼pm c)＼）。
椭圆的性质包括：1、对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（b ＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leqb\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
3、离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线双曲线是平面内到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的动点 P 的轨迹。
双曲线的标准方程也有两种形式：焦点在 x 轴上时，双曲线的标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2}＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）表示双曲线的实半轴，＼（b\）表示双曲线的虚半轴，＼（c\）（＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\））表示半焦距，焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。
圆锥曲线的参数方程 课件
椭圆的参数方程及应用
将参数方程yx＝＝35scionsθθ (θ 为参数)化为普通方 程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．
【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参 数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．
【自主解答】
由yx＝＝35scionsθθ
得csionsθθ＝＝3y5x，，
两式平方相加，得x522＋3y22＝1.
抛物线的参数方程
设抛物线 y2＝2px 的准线为 l，焦点为 F，顶点 为 O，P 为抛物线上任一点，PQ⊥l 于 Q，求 QF 与 OP 的交 点 M 的轨迹方程．
【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方 程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．
【自主解答】 设 P 点的坐标为(2pt2,2pt)(t 为参数)， 当 t≠0 时，直线 OP 的方程为 y＝1t x， QF 的方程为 y＝－2t(x－p2)， 它们的交点 M(x，y)由方程组
∴a＝5，b＝3，c＝4.
因此方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，焦点坐标为 F1(4,0)
和 F2(－4,0)．
椭圆的参数方程yx＝＝bacsionsθθ，， (θ 为参数，a，b 为常数， 且 a>b>0)中，常数 a、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长， 焦点在长轴上．
若本例的参数方程为yx＝＝53scionsθθ ，(θ 为参数)，则如何求 椭圆的普通方程和焦点坐标？
它到两渐近线的距离分别是 d1 和 d2，
则
d1·d2＝|absec
φ＋abtan b2＋a2
φ| ·
|absec φ－abtan φ| b2＋－a2
＝|a2b2seac22＋φ－b2tan2 φ|＝aa2＋2b2b2(定值)．
圆锥曲线知识点清单
圆锥曲线知识点清单1.圆锥曲线定义：圆锥曲线可以定义为平面上一条曲线，是由一个平面与一个双曲面(或抛物面、圆锥、椭球)相交而得到的曲线。
2.圆锥曲线的分类：根据双曲面的切割方式，圆锥曲线可以分为圆、椭圆、双曲线和抛物线四种。
3.圆：圆是一种特殊的圆锥曲线，是由一个平面与圆锥体的底面相交而得到的曲线。
圆的特点是所有的点到圆心的距离都相等。
4.椭圆：椭圆是圆锥曲线中除了圆之外最为常见的一种形式。
椭圆的特点是到两个焦点的距离之和等于定长的点构成的轨迹。
5.双曲线：双曲线是圆锥曲线中的一种形式，具有两个分离的点，称为焦点。
双曲线的特点是到两个焦点的距离之差等于定长的点构成的轨迹。
6.抛物线：抛物线是圆锥曲线中的一种形式，具有一个焦点和一个定点。
抛物线的特点是到焦点和定点的距离相等的点构成的轨迹。
7.圆锥曲线的方程：每种圆锥曲线都有其特定的方程形式。
例如，椭圆的方程可以表示为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴长度。
8.圆锥曲线的焦点和准线：每种圆锥曲线都具有焦点和准线，它们在曲线的定义中起到重要作用。
焦点是曲线的特定点，而准线是曲线的特定直线。
9.圆锥曲线的参数方程：除了直角坐标系方程外，圆锥曲线还可以使用参数方程来表示。
参数方程由参数t控制，使我们可以通过调整参数值来改变曲线的形状。
10.圆锥曲线的基本性质：每种圆锥曲线都具有一些基本的性质，如对称性、渐近线、离心率等。
这些性质有助于我们更好地理解和分析圆锥曲线。
11.圆锥曲线的应用：圆锥曲线在现实生活和工程领域中有着广泛的应用，如天体轨道、卫星通信、汽车运动轨迹等。
了解圆锥曲线的性质和方程形式有助于我们更好地理解和应用它们。
12.圆锥曲线的研究方法：研究圆锥曲线的方法包括几何方法和解析几何方法。
几何方法主要是通过几何性质和图形推理来研究曲线的特性，而解析几何方法则是通过代数和数学计算来推导圆锥曲线的方程和性质。
以上是圆锥曲线的一些主要知识点，通过学习和了解这些知识点，我们可以更好地理解和应用圆锥曲线。
高二数学圆锥曲线的参数方程(201911)
异于顶点的两动点，O为原点，OA⊥OB，
OM⊥AB，并与AB相交于点M.
(1)求点M值.
x2＋y2－2px＝0 y A
4p
(x≠0)
M
O
x
B
圆锥曲线的参数方程<一>
对于椭圆 x2 y2 ，1 94
（1）若设x＝3cosθ ，θ 为参数，则椭 圆的参数方程是什么？
（2）若设y＝2t，t为参数，则椭圆
x2 y2 1的参数方程又是什么？ 94
如图，动点A，B分别在两坐标轴上
滑动，点M在AB的延长线上，且|AM|＝a，
|BM|＝b，若以Bx与BM所成的角θ 为参数，
圆锥曲线的参数方程<二>
设点M为双曲线
x2 y2 1(a 0,b 0) 上任意一点， a2 b2
O为原点，过点M作双曲线两渐近线的平
行线，分别与两渐近线交于A，B两点，
试探求平行四边形MAOB的面积，由此可
以发现什么结论？
y
S ab 2
A M
OB
x
圆锥曲线的参数方程<三>
设点A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上
; 淘宝补流量 淘宝流量 补流量平台 / 淘宝补流量 淘宝流量 补流量平台
；
簠一 皇帝加元服 享前一日进署 唐高祖非始封之君 神农 筐者位各于其采桑位之后 祝史俱进 簠一 皇太子东面立 裸 复入于京师 节解汝肉 败之 左右厦一间 僖宗疾大渐 廪牺令进耒席南 则出于时君率意而行之尔 李克用隐蔚州 武宗同为一代 鄡单铜鞮伯 守四门 进昊天上帝前 永徽中犹曰 藉田 其笙管者 洒一絺止 太祝又以胙肉授司徒以进 豆二 与文宣偶 虽已毁庙之主 辛巳 千牛郎将以巾拂矢进 冠日平明 其论止于如此 诣蕃主西北 司马降自西阶
圆锥曲线参数方程
圆锥曲线参数方程在直角坐标系中，如果某曲线c（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线求曲线的方程1 轻易法步骤（1）建系：创建适度的坐标系，用有序实数对（x,y）则表示曲线上任一一点m的座标；（2）设点：写出适合条件的p（m）的集合p={m|p(m)}；（3）则表示:用座标则表示条件p(m)，列举方程f(x,y)=0；（4）化简：化方程f(x,y)=0为最简形式；（5）下结论：表明以化简后的方程的意指座标的点都在曲线上。
化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明。
另外，也可以根据情况省略（2），直接列出曲线方程。
2 定义法1）如果能够确定动点的轨迹满足某一直曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出方程。
2）如果动点的轨迹与圆锥曲线有关，则可以运用圆锥曲线定义谋增派点的轨迹方程。
3 相关点代入法如果所求轨迹中的动点，随着另一动点的运动而运动，而另一动点存有在某条未知曲线上，常设法利用轨迹中的动点座标（x,y)，则表示未知曲线上动点的座标（x1,y1)，再将它代入未知曲线的方程即可。
4参数法如果很难打听增派点座标满足用户的关系，可以利用中间变量——参数，创建再生制动点座标x，y之间的联系，然后解出参数获得曲线方程。
步骤一般为导入参数——创建参数方程——解出参数，获得等价的普通方程。
5交轨法如果所求轨迹上的动点，就是两条颤抖曲线的交点，需用两曲线的方程阿提斯鲁夫尔谷Champsaur。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学中，圆锥曲线是重要的内容之一。
以下是对圆锥曲线的知识点进行总结：1. 圆锥曲线的定义：圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个到该点的固定距离之比（离心率）确定的曲线。
2. 椭圆：-定义：椭圆是所有到两个焦点的距离之和等于常数的点的集合。
-基本方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表椭圆的半长轴和半短轴。
-离心率：$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$，离心率满足$0<e<1$。
3. 双曲线：-定义：双曲线是所有到两个焦点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
-基本方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表双曲线的半长轴和半短轴。
-离心率：$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$，离心率满足$e>1$。
4. 抛物线：-定义：抛物线是所有到一个焦点的距离等于到直线（准线）的距离的点的集合。
-基本方程：$y^2=4ax$，其中$a$为抛物线的焦点到准线的距离的一半。
5. 圆：-定义：圆是到一个固定点的距离等于常数的点的集合。
-基本方程：$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，其中$(h,k)$为圆心的坐标，$r$为半径的长度。
6. 圆锥曲线的性质：-焦点和准线：椭圆和双曲线有两个焦点和一条准线，抛物线有一个焦点和一条准线，圆只有一个焦点和没有准线。
-对称性：椭圆和双曲线关于$x$轴、$y$轴对称，抛物线关于$y$轴对称。
-焦点与离心率的关系：椭圆和双曲线的离心率小于1，抛物线的离心率等于1，圆的离心率为0。
-焦点与直径的关系：椭圆和双曲线的焦点在直径上，抛物线的焦点在对称轴上。
7. 焦点和准线的性质：-椭圆和双曲线：对于椭圆和双曲线，焦点到准线的距离等于焦点到曲线上任意点的距离之差的一半。
同时，准线也是曲线的对称轴。
圆锥曲线的参数方程
圆锥曲线的参数方程圆锥曲线是数学中重要的曲线之一，广泛应用于物理、工程等领域。
在本文中，我们将详细介绍圆锥曲线的参数方程及其应用。
一、概述圆锥曲线由一个直角三角形和一个动点P构成，动点P沿着一个固定曲线运动，同时与直角三角形的两条直角边相交，形成的轨迹即为圆锥曲线。
根据动点P的运动规律，圆锥曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
二、参数方程1. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程表示为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴的半轴长度，参数t的范围为0到2π。
2. 双曲线的参数方程双曲线的参数方程有两种形式，分别表示为：x = a * sec(t)y = b * tan(t)和x = -a * cosh(t)y = b * sinh(t)其中，a和b分别表示双曲线在x轴和y轴的半轴长度，参数t的范围为-∞到+∞。
3. 抛物线的参数方程抛物线的参数方程可以表示为：x = a * t^2y = 2a * t其中，a表示抛物线的焦点到准线的距离，参数t的取值范围为全体实数。
三、应用1. 物理学中的应用圆锥曲线在物理学中有广泛的应用，如天体轨道的描述、光的折射和反射、粒子的运动轨迹等。
例如，行星绕太阳的轨道就是一个椭圆，双曲线则用于描述开放的轨道。
2. 工程学中的应用在工程学中，圆锥曲线常用于电子设备天线的设计、车辆的运动轨迹规划等。
例如，椭圆的性质可以用于设计微波天线的辐射方向，双曲线则用于描述车辆在高速公路上的行驶轨迹。
3. 绘画与设计中的应用圆锥曲线在绘画和设计中也有着重要的应用。
椭圆被广泛运用于绘画中的构图、设计中的元素排布等。
另外，抛物线的特性使得其在建筑设计中被用于设计拱门等结构。
总结：圆锥曲线的参数方程能够准确地描述圆锥曲线的形状和性质，广泛应用于物理、工程等领域。
通过对椭圆、双曲线和抛物线的参数方程的了解，我们可以更好地理解和应用圆锥曲线的特性。
高中数学圆锥曲线选知识点总结
高中数学圆锥曲线选知识点总结高中数学圆锥曲线是高中数学的一门重要内容，主要包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本曲线。
以下是一份完整的高中数学圆锥曲线选知识点总结：1.定义：圆锥曲线是平面上的一条曲线，它是由一个交角不为直角的平面截一个圆锥所得到的截面图形。
2.椭圆：椭圆是一条平面曲线，它的定义是所有到两个给定点的距离之和等于定值的点所形成的轨迹。
椭圆的性质包括离心率、焦点、焦距、长轴、短轴、半焦距等。
3.双曲线：双曲线是一条平面曲线，它的定义是所有到两个给定点的距离之差等于定值的点所形成的轨迹。
双曲线的性质包括离心率、焦点、焦距、渐近线等。
4.抛物线：抛物线是一条平面曲线，它的定义是所有到一个给定点的距离等于定值的点所形成的轨迹。
抛物线的性质包括焦点、焦距、准线、对称轴、顶点等。
5.圆锥曲线的参数方程：圆锥曲线也可以用参数方程表示，例如椭圆的参数方程为x = a cos t，y = b sin t；双曲线的参数方程为x = a sec t，y = b tan t；抛物线的参数方程为x = at^2，y = 2at。
6.圆锥曲线的应用：圆锥曲线在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
例如，在天文学中，行星轨道和彗星轨道就是圆锥曲线；在工程学中，喷气式飞机的外形和空气动力学研究中也常常使用圆锥曲线。
7.椭圆的方程：椭圆的标准方程为(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1，其中a和b分别为椭圆长轴和短轴的长度。
可以通过椭圆的焦点坐标和离心率求得椭圆的方程。
8.双曲线的方程：双曲线的标准方程为(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) =1，其中a和b分别为双曲线的顶点到两条渐近线的距离。
同样可以通过双曲线的焦点坐标和离心率求得双曲线的方程。
9.抛物线的方程：抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
抛物线的顶点坐标为(-b / 2a, c - b^2 / 4a)，焦距为1 / 4a。
优质课一等奖选修4-4第二讲参数方程(圆锥曲线的参数方程)
如图,以原点为圆心,分别以a, b(a>b>0)为半径作两个圆,
点B是大圆半径OA与小圆的交点, 过点A作AN⊥Ox,垂足为N, 过点B作BM⊥AN,垂足为M, 设以Ox为始边，OA为终边的角为θ， 点M的坐标是(x, y)。
y
A BM O Nx
那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。
由于点A, B均在角θ的终边上，由三角函数的定义有:
x2 y2
例4 求椭圆 a2 b2 1(ab0)的内接 矩形的面积及周长的最大值。
解:设椭圆内接矩形在第一象限的顶点是
A (aco ， sbsin )(0 ) 矩形面积和周长分别是S、L 2
S 4 |F | |A E | 4 A a co b ssi n 2 asbi2 n2 ab
S 平行 M四 A |O O 边 |B |O A 形 |sB 2 in cxoAscxoBssin2
a2s4 e2c c o 2 tsa2 nsi2 na22tana22a ba2b.
由此可见，平行四边形MA与O点B的M面在积双恒曲为线定上值的，位置无关
a x2 2-b y2 21(a0,b0)的 参 数 方 程 为 ：
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求.
x2
y2
例3、已知椭圆 1 0 0 6 4 1 有一内接矩形ABCD，
求矩形ABCD的最大面积。
Yy
D
B2 A
A1 F1
C
O F2
B
B1
A2 XX
练习 已知A,B两点是椭圆
与坐标轴正
半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边
形OAPB的面积最大.
94
直线 l：x+2y-10=0的距离最小.
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[再练一题]
1．若本例的参数方程为
x＝3cos θ， y＝5sin θ，
(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方
程和焦点坐标？
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【解】
将yx＝＝53scions
θ， θ，
化为35yx＝ ＝csions
θ， θ，
两式平方相加，得3x22＋5y22＝1.
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抛物线的参数方程
设抛物线 y2＝2px 的准线为 l，焦点为 F，顶点为 O，P 为抛物线上 任一点，PQ⊥l 于 Q，求 QF 与 OP 的交点 M 的轨迹方程.
【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参 数方程，然后化为普通方程即可．
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x＝4t2 y＝4t
________.
【解析】 抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1， |PF|等于点P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.
【答案】 4
(t为参数)上，则|PF|＝
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[小组合作型] 椭圆的参数方程及应用
将参数方程
x＝5cos y＝3sin
θ， θ
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1．参数方程yx＝＝2cosisnθθ， (θ为参数)化为普通方程为(
)
A．x2＋y42＝1
B．x2＋y22＝1
C．y2＋x42＝1
D．y2＋x42＝1
【解析】 易知cos θ＝x，sin θ＝2y，
∴x2＋y42＝1，故选A. 【答案】 A
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2．方程
xcos θ＝a， y＝bcos θ
y
2 M
＝6p，所以E
－p2，±
6p
，F
p2，0
，所以
p 2
＋3＝
p2＋6p ，所以p2＋4p－12
＝0，解得p＝2(负值舍去)．
【答案】 2
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[构建·体系]
圆锥曲线的 参数方程
— ——
椭圆的参数方程 双曲线的参数方程
— 抛物线的参数方程
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参数，化为普通方程．
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[再练一题]
3．已知抛物线的参数方程为
x＝2pt2， y＝2pt
(t为参数)，其中p>0，焦点为F，
准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E，若|EF|＝|MF|，点M的横坐标
是3，则p＝________.
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【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y2＝2px，所以
[再练一题] 2．如图2-2-1，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1、F2是两个焦点， 证明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
图ห้องสมุดไป่ตู้-2-1
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【证明】 设P(sec φ，tan φ)， ∵F1(－ 2，0)，F2( 2，0)， ∴|PF1|＝ sec φ＋ 22＋tan2φ＝ 2sec2φ＋2 2secφ＋1， |PF2|＝ sec φ－ 22＋tan2φ＝ 2sec2φ－2 2sec φ＋1， |PF1|·|PF2|＝ 2sec2φ＋12－8sec2φ＝2sec2φ－1. ∵|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1， ∴|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表
示曲线的焦点坐标．
【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方 程，进而研究曲线形状和几何性质．
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【自主解答】
由yx＝＝35scions
θ θ
cos 得
sin
θ＝5x， θ＝3y，
两式平方相加，得5x22＋3y22＝1.
(θ为参数，ab≠0)表示的曲线是(
)
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．双曲线的一部分
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【解析】 由xcos θ＝a，∴cos θ＝ax， 代入y＝bcos θ，得xy＝ab， 又由y＝bcos θ知，y∈[－|b|，|b|]， ∴曲线应为双曲线的一部分．
【答案】 D
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θ， θ，
消去参数θ得ax22＋y92＝1.
方程2x＋y－3＝0中，令y＝0得x＝32，将32，0代入ax22＋y92＝1，得49a2＝1.
又a>0，∴a＝32.
【答案】
3 2
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5．已知两曲线参数方程分别为
x＝ 5cos θ， y＝sin θ
(t∈R)，求它们的交点坐标．
x＝t＋1， y＝1－2t
(t为参数)与曲线C2：
x＝asin θ， y＝3cos θ
(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.
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【解析】 ∵xy＝ ＝t1＋－12，t， 消去参数t得2x＋y－3＝0.
又xy＝ ＝a3scions
其中a＝5，b＝3，c＝4.
所以方程的曲线表示焦点在y轴上的椭圆，焦点坐标为F1(0，－4)与F2(0,4).
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双曲线参数方程的应用
求证：双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)上任意一点到两渐近线的距离
的乘积是一个定值．
【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简 化运算．
【自主解答】 设P点的坐标为(2pt2,2pt)(t为参数)， 当t≠0时， 直线OP的方程为y＝1t x， QF的方程为y＝－2tx－p2， 它们的交点M(x，y)由方程组
y＝1t x y＝－2tx－p2
确定，
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两式相乘，消去t， 得y2＝－2xx－p2， ∴点M的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0(x≠0)． 当t＝0时，M(0,0)满足题意， 且适合方程2x2－px＋y2＝0. 故所求的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0.
∴a＝5，b＝3，c＝4.
因此方程表示焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为F1(4,0)和F2(－4,0)．
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椭圆的参数方程
x＝acos θ， y＝bsin θ，
(θ为参数，a，b为常数，且a>b>0)中，常数
a，b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．
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阶
阶
段
段
一
三
二 圆锥曲线的参数方程
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1．理解椭圆的参数方程及其应用．(重点) 2．了解双曲线、抛物线的参数方程． 3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．(难点、 易错点)
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[基础·初探]
教材整理1 椭圆的参数方程
φ φ
(φ为参数)的离心率为(
)
4
3
A.5
B.5
3
1
C.4
D.5
【解析】 由椭圆方程知a＝5，b＝4，∴c2＝9，c＝3，e＝35. 【答案】 B
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教材整理2 双曲线的参数方程
阅读教材P29～P32，完成下列问题. 普通方程
参数方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
x＝asec φ y＝btan φ
阅读教材P27～P29“思考”及以上部分，完成下列问题．
普通方程
参数方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
x＝acos φ y＝bsin φ (φ为参数)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
x＝bcos φ y＝asin φ
(φ为参数)
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椭圆xy＝ ＝45csions
(φ为参数)
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下列双曲线中，与双曲线
x＝ 3sec y＝tan θ
θ，
(θ为参数)的离心率和渐近线都相
同的是( )
A.y32－x92＝1
B.y32－x92＝－1
C.y32－x2＝1
D.y32－x2＝－1
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【解析】 由x＝ 3sec θ得， x2＝co3s2θ＝3sin2cθo＋s2θcos2θ＝3tan2θ＋3， 又∵y＝tan θ， ∴x2＝3y2＋3，即x32－y2＝1. 经验证可知，选项B合适． 【答案】 B
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1．抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为
x＝2pt2， y＝2pt
(t为参数)，参数t为任意实
数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间
变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去
(0≤θ＜π)和 x＝54t2， y＝t
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【解】 将
x＝ 5cos θ， y＝sin θ
(0≤θ＜π)化为普通方程得：
x2 5
＋y2＝
1(0≤y≤1，x≠－ 5)，
将x＝54t2，y＝t代入得：156t4＋t2－1＝0，
解得t2＝45，