第3章三角恒等变换章末检测(B)

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高中数学第三章三角恒等变换章末检测(B)(含解析)新人教A版必修4(2021年最新整理)

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第三章三角恒等变换(B）(时间:120分钟满分：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于（)A．0 B。

错误! C.错误! D．12．若函数f（x)＝sin2x－错误!(x∈R），则f（x）是( )A．最小正周期为错误!的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数3．已知α∈(错误!，π)，sin α＝错误!，则tan(α＋错误!)等于( ）A.错误! B．7 C．－错误! D．－74．函数f（x）＝sin x－错误!cos x(x∈[－π,0]）的单调递增区间是（)A．[－π，－5π6] B．［－错误!，－错误!］C．[－错误!，0］ D．[－错误!，0］5．化简：错误!的结果为（)A．1 B。

错误! C。

错误! D．tan θ6．若f（sin x)＝3－cos 2x，则f（cos x)等于（)A．3－cos 2x B．3－sin 2xC．3＋cos 2x D．3＋sin 2x7．若函数f(x)＝sin(x＋错误!)＋a sin(x－错误!)的一条对称轴方程为x＝错误!，则a等于( ）A．1 B。

章末检测1：第三章三角恒等变换

章末检测一、选择题1．(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)等于( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32 答案 D解析 (cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12) ＝cos 2 π12－sin 2π12＝cos π6＝32.2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的图像的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π4 B ．x ＝π2 C ．x ＝π D ．x ＝3π2答案 C解析 y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2x ＋π3)－(x －π6)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x＝cos x ，当x ＝π时，y ＝－1. 3．已知sin(α＋45°)＝55，则sin 2α等于( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45 答案 B解析 sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·22＝55， ∴sin α＋cos α＝105. 两边平方，得1＋sin 2α＝25，∴sin 2α＝－35.4．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin 2x 的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，13π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6 答案 B解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin 2x ＝sin 2x cos π3－cos 2x sin π3－sin 2x ＝－12sin 2x －32cos 2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的递增区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的递减区间，π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， ∴π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12.故选B.5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是( )A.43B.34C.53D.12 答案 A解析 ∵0<θ<π2，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，所以22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，所以1<sin θ＋cos θ≤ 2.6．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 B解析 sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝sin(90°＋73°)sin(270°－47°)＋sin(180°＋73°)sin(360°－47°) ＝cos 73°(－cos 47°)－sin 73°(－sin 47°) ＝－(cos 73°cos 47°－sin 73°sin 47°) ＝－cos(73°＋47°) ＝－cos 120°＝12.7．函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图像可以由函数g (x )＝4sin x cos x 的图像________得到．( )A ．向右移动π12个单位 B ．向左移动π12个单位 C ．向右移动π6个单位 D ．向左移动π6个单位答案 A解析 ∵g (x )＝4sin x cos x ＝2sin 2x ，f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，∴f (x )可以由g (x )向右移动π12个单位得到．8．已知等腰三角形顶角的余弦值等于45，则这个三角形底角的正弦值为( )A.1010 B ．－1010 C.31010 D ．－31010答案 C解析设这个等腰三角形的顶角为2α，底角为β，则2α＋2β＝π且cos 2α＝45，∴α＋β＝π2. ∴sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝1＋cos 2α2＝31010. 9．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析在△ABC 中，tan A ＋B 2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sin A ＋B 2cos A ＋B2，∴2cos 2A ＋B 2＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π2，△ABC 为直角三角形． 10．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 的值为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 C解析 ∵m ·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝3sin C ＋cos C ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋C ＝1.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋C ＝12，∴π6＋C ＝5π6或π6＋C ＝π6(舍去)，∴C ＝2π3. 二、填空题 11.3tan 15°＋13－tan 15°的值是________．答案 1解析 ∵3－tan 15°3tan 15°＋1＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1， ∴3tan 15°＋13－tan 15°＝1.12．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝________. 答案 k π－π4，k ∈Z解析 (tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋tan β＝tan αtan β－1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝k π－π4，k ∈Z . 13．函数y ＝2sin x (sin x ＋cos x )的最大值为________．答案2＋1解析 y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x －π4)＋1， ∴y max ＝2＋1.14．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法： ①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图像向左平移π24个单位后，将与已知函数的图像重合．其中正确说法的序号是________．答案 ①②③解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，∴f (x )max ＝2，即①正确． T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确．f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )．即k π＋π24≤x ≤k π＋13π24(k ∈Z )， k ＝0时，π24≤x ≤13π24，所以③正确．将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24个单位得 y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确．三、解答题15．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，求sin 2x －2sin 2 x 1－tan x 的值．解 sin 2x －2sin 2x1－tan x＝cos x ·2sin x (cos x －sin x )cos x －sin x＝sin 2x＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋1＝－2×925＋1＝725.16．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3 ＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R . 因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73.17．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且A <B <C ，sin B ＝45，cos(2A ＋C )＝－45，求cos 2A 的值．解 ∵A <B <C ，A ＋B ＋C ＝π， ∴0<B <π2，A ＋C >π2，0<2A ＋C <π. ∵sin B ＝45，∴cos B ＝35. ∴sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝45， cos(A ＋C )＝－35. ∵cos(2A ＋C )＝－45， ∴sin(2A ＋C )＝35.∴sin A ＝sin[(2A ＋C )－(A ＋C )] ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×45＝725.∴cos 2A ＝1－2sin 2A ＝527625.18．(2013·天津(理))已知函数f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2 x ＋1，x∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)∵sin x cos x ＝12sin 2x ，cos 2 x ＝12(1＋cos 2x )，∴f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2 x ＋1＝－sin 2x －cos 2x ＋3sin 2x－(1＋cos 2x )＋1＝2sin 2x －2cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，因此，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π； (2)∵0≤x ≤π2， ∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当x ＝0时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4取得最小值－22；当x ＝3π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4取得最大值1由此可得，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝22；最小值为f (0)＝－2.。

高中人教B版数学必修四第三章三角恒等变换检测(B)含解析

第三章检测 (B)(时间 :90 分钟满分:120分)一、选择题 (本大题共 10 小题 ,每题 5 分,共 50 分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项切合题目要求的)1.cos 76 cos° 16 +°cos 14 cos° 74 -°2cos 75 cos° 15 等°于 ()A.0B.C.1 D .-分析 :原式 = cos 76°cos 16°+ sin 76°sin 16°-2sin 15°cos 15°= cos(76 °-16°)-sin 30°=cos 60°-sin30°== 0.答案 :A2.函数 f(x)= cos-cos是()A .周期为π的偶函数B .周期为 2π的偶函数C.周期为π的奇函数 D .周期为 2π的奇函数分析 :f( x)=cos xcos -sin xsin -cos xcos -sin xsin =-sin x,它是周期为2π的奇函数 .答案 :D3.已知 tan θ+,0< θ< ,则 tan 2θ的值等于()A. B.C.- D .-分析 :由 tan θ+可解得tanθ= 2或,但因为0<θ< ,所以tanθ∈ (0,1),故tanθ= ,所以tan2θ=.答案 :B4.在△ ABC 中,若 cos Acos B=- cos2 + 1,则△ ABC 必定是 ()A .等腰直角三角形B .直角三角形C.等腰三角形 D .等边三角形分析 :由已知 ,得 [cos(A+B )+ cos(A-B )]= 1- (1+ cos C), 即 cos(A-B) = ,于是A-B= 0,A=B ,即△ABC 是等腰三角形.答案 :C5.函数 f(x)= (1+ tan x)cos x 的最小正周期为()A .2πB . C.π D .分析 :依题意 ,得 f(x) = cos x+sin x= 2sin,所以其最小正周期是2π.答案 :A6.已知 cos+ sin α=,则 sin等于()A .-B .C.- D .分析:由cos+ sinα=cosα+ sin α=, 得sin, 所以sin=- sin=- .答案 :C7.已知 sin α+ sin β=(cos β-cos α),且α∈ (0,π),β∈ (0,π),则α-β等于 ()A .-B .-C. D .分析 :∵sin α+ sin β= 2sin cos ,cos β-cos α=- 2sin sin ,∴cos sin,∴tan.∵α∈ (0,π),β∈ (0,π),∴-,∴,α-β= .答案 :D8.已知=tan β,且β-α= ,则 m 等于()A .1B .-1C. D .-分析 :因为= tan β= tan,所以 m= 1.答案 :A9.若函数f( x)= sin cos+cos·sin(ω> 0)的最小正周期为24π,则f(π)等于() A . B .C. D .分析 :∵f(x) = sin= sin 2ωx 的最小正周期为24π,∴T== 24π,∴ω= ,则f(π)= sin = sin= sin cos -cos sin.答案 :A10.已知向量 a=,b=,且 x∈.若 |a+ b|= 2a·b,则 sin 2x+ tan x等于() A.-1 B.0C.2 D .-2分析 :|a+ b|==2cos x.又 a·b=cos 2x,由 |a+ b|= 2a·b,得 2cos x= 2cos 2x,所以 2cos2 x-cos x-1= 0,解得 cos x=1 或 cos x=- (舍去 ).当 cos x=1 时 ,sin x= 0,tan x=0,所以 sin 2x+ tan x= 0,应选 B .答案 :B二、填空题 (本大题共 5 小题 ,每题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.若 sin,则 sin=.分析 :由已知得cos α= ,于是 sin=- cos 2α= 1-2cos2α= 1-2×.答案 :12.已知α是第二象限的角,tan(π+ 2α)=- ,则 tan α=.分析 :由已知得tan 2α=- ,即=- ,解得 tan α= 2 或 - .又α是第二象限的角,tan α<0,故 tan α=- .答案 :-13.函数 f(x) = (1+ cos 2x)sin 2x 的最小正周期为.分析 :f( x)=(1+ cos 2 x)sin2x= (1+ cos 2x) ·(1-cos22x)=cos 4x,其最小正周期 T=.答案 :14.函数 f(x) = 2sin2cos 2x的最大值为.分析 :f( x)=2·cos 2x=1+ sin 2x-cos 2x= 2sin+ 1.因为≤x≤ ,所以≤2x-,所以当 2x-时 ,f( x)取最大值 3.答案 :315.已知 13sin α+ 5cos β= 9,13cos α+5sin β= 15,则 sin( α+ β)的值为.分析 : 两式等号两边分别平方并相加,得 132+ 130(sin αcosβ+ cos αsin β)+ 52= 92 + 152, 即130sin( α+ β)= 112,故 sin( α+ β)= .答案 :三、解答题 (本大题共 5 小题 ,共 45 分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )16.(8 分 )已知函数f(x)=.(1)求函数 f(x)的定义域 ;(2) 若 f,求 cos α的值 .解 :(1)由 cos x≠0,得 x≠ +k π,k∈ Z,所以函数 f(x)的定义域为.(2)f(x)==sin x+cos x=sin,f sin cos α=,所以 cos α= .17.(8 分 )求证 :.证明左侧=====右侧.故原等式建立.18.(9 分 )已知函数f(x)= 2cos(此中ω> 0,x∈ R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值 ;(2) 设α,β∈,f=- ,f,求 cos(α+ β)的值 .解 :(1)由 = 10π,得ω= .(2)∵f= 2cos= 2cos=- 2sin α=- ,∴s in α= .∵f= 2cos= 2cos β=,∴cos β=.∵α,β∈,∴cos α=,sin β=.故 cos(α+ β)= cos αcos β-sin αsin β==-.19.(10 分 )已知 cos α= ,cos(α+ β)=- ,且α∈,α+ β∈,求 tan 及β的值 .解 : ∵α∈,cos α= ,∴sin α=.tan=.又α+ β∈,cos(α+ β)=-,∴sin(α+ β)=,∴cos β= cos[(α+ β)-α]= cos(α+ β)cos α+ sin( α+ β)sin α=-.又α∈,α+ β∈,∴- <- α< 0,则 0< β< π,∴β= .20.(10 分 )设函数 f(x)= (sin ωx+cos ωx)2+ 2cos2ωx(ω> 0)的最小正周期为.(1) 求ω的值 ;(2) 若函数 y=g ( x)的图象是由y=f (x)的图象向右平移个单位长度获得的,求 y=g (x)的单一递加区间 .解 :(1)f(x)= (sinωx+cosωx)2+ 2cos2ωx= sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+ 1+cos 2ωx=sin 2ωx+ cos2ωx+2=sin+ 2.依题意得,故ω= .(2)依题意得g( x)= sin+2=sin+ 2.由 2kπ- ≤3x- ≤2kπ+ (k∈ Z),解得 kπ+≤x≤kπ+(k∈ Z ),故 y=g (x)的单一递加区间为(k∈ Z).。

三角恒等变换自我检测题[最新版]

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第三章《三角恒等变换》自我检测题（45分钟）一、选择题：本大题共6小题；每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈cos555的值是 ( )A.4B.4-C. 4D.4⒉化简22cos sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到 ( ) A.sin 2αB.sin 2α-C.cos 2αD.cos 2α- ⒊已知4cos 5α=-，3sin 5α=，那么角2α的终边所在的象限为 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限⒋对于等式sin 3sin 2sin x x x =+，下列说法正确的是 ( )A.对于任意x ∈R ，等式都成立B. 对于任意x ∈R ，等式都不成立C.存在无穷多个x ∈R 使等式成立D.等式只对有限多个x ∈R 成立 ⒌已知1tan 2α=，2tan()5αβ-=-，那么tan(2)βα-的值为 ( ) A.34- B.112- C.98- D.98 ⒍函数6cos 2cos sin 2sin 55y x x ππ=-的递增区间为 ( ) A.3[,]105k k ππππ++(k ∈Z ) B.37[,]2020k k ππππ-+(k ∈Z ) C.3[2,2]105k k ππππ++(k ∈Z ) D.2[,]510k k ππππ-+(k ∈Z ) 二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．把答案填在题中横线上.⒎化简：sin(30)sin(30)cos ααα++-= ． ⒏等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为． ⒐已知1cos 29α=-，那么22tan sin αα⋅的值为． ⒑已知13sin 5cos 9αβ+=，13cos 5sin 15αβ+=，那么sin()αβ+的值为．三、解答题：本大题共2小题，每小题20分，共40分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤．⒒设cos 5α=-，1tan 3β=，32ππα<<，02πβ<<，求αβ-的值． ⒓已知442()2sin 2cos cos 23f x x x x =++-．⑴求函数()f x 的最小正周期；⑵求函数()f x 在闭区间3[,]1616ππ上的最小值并求当()f x 取最小值时，x的取值．参考答案一、选择题：B A D C B D二、填空题：⒎１ ⒐2536 ⒑5665 三、解答题： ⒒54π⒓⑴2π⑵当316x π=时，()f x 的最小值为注：尊敬的各位读者，本文是笔者教育资料系列文章的一篇，由于时间关系，如有相关问题，望各位雅正。

北师大版数学高一必修4 第三章《三角恒等变换》章末复习

∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，故 cos β＝95010.
章末复习课
小结给值求值的重要思想是沟通已知式与待求式之间的联
本系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、
课时栏
半的关系，如 α＝2·α2，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α
时栏目
(1)证明 ∵sin(A＋B)＝35，sin(A－B)＝15，
开关
sin ∴
sin
Acos Acos
B＋cos B－cos
Asin Asin
B＝35 B＝15
章末复习课
sin ⇒
cos
Acos Asin
B＝25 B＝15
⇒ttaann AB＝2.
∴tan A＝2tan B.
本
课时栏目开关
时栏目
解得 x＝2kπ－π 或 x＝2kπ－π2，k∈Z.
开
关当 t＝ 2，即 sin x＋cos x＝ 2时，f(x)max＝ 2＋12.
此时，由 2sinx＋π4＝ 2，sinx＋π4＝1. 解得 x＝2kπ＋π4，k∈Z.
章末复习课
本综上，当 x＝2kπ－π 或 x＝2kπ－π2，k∈Z 时，f(x)取得最小值，
开
关
＝t＋1－t2
＝－t－122＋54. 当 t＝12时，ymax＝54；
章末复习课
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
本课
∴函数的值域为－
2－1，54.
时栏
小结在三角恒等变形中，有时可以把一个代数式整体视为一
目开

全国通用版2018_2019高中数学第三章三角恒等变换检测B新人教B版必修420181113370

第三章三角恒等变换检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.cos 76°cos16°+cos 14°cos74°-2cos 75°cos15°等于()A.0B.3 2C.1D.-解析:原式=cos 76°cos16°+sin 76°sin16°-2sin 15°cos 15°=cos(76°-16°)-sin1130°=cos 60°-sin 30°==0.2―2答案:Aππ2.函数f(x)=cos(푥+4)-cos(푥-4)是()A.周期为π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为2π的奇函数ππππ解析:f(x)=cos x cos -sin x sin -cos x cos -sin x sin =-sin x,它是周期为2π的奇函44442数.答案:D15π3.已知tan θ+tan휃=,0<θ<,则tan 2θ的值等于()24A.B.4C.-D.-315π解析:由tan θ+可解得tan θ=2或,但由于0<θ<,所以tan θ∈(0,1),故tan θ=, tan휃=2412×42因此tan 2θ=.2=311-(2)答案:B퐶4.在△ABC中,若cos A cos B=-cos2 +1,则△ABC一定是()21A .等腰直角三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .等边三角形解析:由已知,得 [cos(A+B )+cos(A-B )]=1- (1+cos C ),即 cos(A-B )=,于是 A-B=0,A=B ,即△ABC 是等腰三角形.答案:C5.函数 f (x )=(1+ 3tan x )cos x 的最小正周期为( ) 3π π A .2πB .C .πD .22π解析:依题意,得 f (x )=cos x+ 3sin x =2sin (푥 + 6),因此其最小正周期是 2π. 答案:Aπ4 37π6.已知 cos (훼 - 6)+sin α= 5 ,则 sin (훼 + 6 )等于 ( )2 3 2 3 A .-B .55C .-D .π34 3π47π解析:由 cos (훼 - 6)+sin α=cos α+sin α= 5 ,得 sin (훼 + 6)= 5,所以 sin (훼 + 6 )=-sin2(훼 + π6) =-.答案:C37.已知 sin α+sin β= (cos β-cos α),且 α∈(0,π),β∈(0,π),则 α-β 等于( )32π π A .- B .-3 3 π 2π C . D .33훼 + 훽 훼 - 훽훽 + 훼훽 - 훼훼 - 훽解析:∵sin α+sin β=2sincos,cos β-cos α=-2sinsin,∴cos 2 =22223 3훼 - 훽sin ,2훼 - 훽2= 3∴tan.∵α∈(0,π),β∈(0,π),π훼-훽π∴-2<2<,22훼-훽π2π∴2=,α-β=.33答案:D푚sin훼+cos훼π8.已知=tan β,且β-α=,则m等于()푚cos훼-sin훼4A.1B.-1C.2D.-2푚sin훼+cos훼푚tan훼+1π1+tan훼푚-tan훼(훼+4) =解析:由于푚cos훼-s in훼==tan β=tan ,因此m=1.答案:Aππππ9.若函数f(x)=sin(휔푥+4)cos(휔푥-4)+cos(휔푥+4)·sin(휔푥-4)(ω>0)的最小正周期为24π,则f(π)等于()6-2A.B.46+242-6C.D.4-(6+2)4ππ2ππ解析:∵f(x)=sin(휔푥+4)=sin 2ωx的最小正周期为24π,∴T==24π,∴ω=4+휔푥-2휔=휔1ππππ6-2πππ3212,则f(π)=sin =sin 3-=sin cos -cos sin4=2×2―2×2=. 24343412(4)答案:A3푥3푥푥푥π10.已知向量a=(cos2),b=(cos2),且x∈[0,2].若|a+b|=2a·b,则sin 2x+tan x等2,sin2,-sin于()A.-1B.0C.2D.-2223푥푥3푥푥解析:|a+b|=(cos2)+(sin2)=2cos x.2+cos2-sin=2+2cos2푥又a·b=cos 2x,由|a+b|=2a·b,得2cos x=2cos 2x,所以2cos2x-cos x-1=0,1解得cos x=1或cos x=-(舍去).2当cos x=1时,sin x=0,tan x=0,所以sin 2x+tan x=0,故选B.3答案:B二、填空题(本大题共 5小题,每小题 5分,共 25分.把答案填在题中的横线上)π1π11.若 sin (훼 + 2)= 4,则 sin (2훼 - 2)= .2π1 7解析:由已知得 cos α=,于是 sin(2훼 - 2)=-cos 2α=1-2cos 2α=1-2×(4).=8答案:12.已知 α 是第二象限的角,tan(π+2α)=-,则 tan α= .2tan 훼 解析:由已知得 tan 2α=-,即=-,1 - tan 2훼1 解得 tan α=2或- .2又 α 是第二象限的角,tan α<0, 1 故 tan α=- . 2答案:-13.函数 f (x )=(1+cos 2x )sin 2x 的最小正周期为 .1 - cos2푥111 + cos4푥 1 12(1 -2 )= 解析:f (x )=(1+cos 2x )sin 2x=(1+cos 2x )· 2= (1-cos 22x )=4 ― cos2 42π π4x ,其最小正周期 T=.4 =2π 答案:2ππ π14.函数 f (x )=2sin 2(4 + 푥)― 3cos 2x (2)的最大值为.4 ≤ 푥 ≤π1 - c os (2 + 2푥)π2― 33(2푥 - 3)解析:f (x )=2·cos 2x=1+sin 2x- cos 2x=2sin+1.ππ因为 ≤x ≤ ,4 2 π π2π 所以 ≤2x-3 ≤ ,6 3ππ所以当2x-3=时,f(x)取最大值3.2答案:315.已知13sin α+5cos β=9,13cos α+5sin β=15,则sin(α+β)的值为.4解析:两式等号两边分别平方并相加,得 132+130(sin αcos β+cos αsin β)+52=92+152,即 56 130sin(α+β)=112,故 sin(α+β)= .6556 答案:65三、解答题(本大题共 5小题,共 45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) sin 푥cos 푥 + cos 2푥16.(8分)已知函数 f (x )= .cos 푥(1)求函数 f (x )的定义域;π3 2(2)若 f (훼 + 4)=,求 cos α 的值.5π 解:(1)由 cos x ≠0,得 x ≠ +k π,k ∈Z ,2π所以函数 f (x )的定义域为{푥|푥 ≠ 2 + 푘π,푘 ∈ Z}.sin 푥cos 푥 + cos 2푥(2)f (x )==sin x+cos xcos 푥 π =2sin (푥 + 4),ππ3 2f (훼 + 4)= 2sin (훼 + 2)= 2cos α=,53 所以 cos α= .51tan 훼 +cos 훼 - 11 + sin 훼17.(8分)求证:=.1cos 훼tan 훼 -cos 훼 + 1sin 훼 1cos 훼 + cos 훼 -1 s in 훼1证明左边=cos 훼 - cos 훼 +1= s in 훼 + 1 - cos 훼sin 훼 - 1 + cos 훼(sin 훼 + 1)2 - cos 2훼=(sin 훼 - 1 + cos 훼)(sin 훼 + 1 + cos 훼)sin2훼+2sin훼+1-cos2훼(sin훼+cos훼)2-1 ==2sin2훼+2sin훼2sin훼cos훼1+sin훼==右边.cos훼故原等式成立.π18.(9分)已知函数f(x)=2cos(휔푥+6)(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.5(1)求ω的值;π5π5π16 (2)设α,β∈[0,2],f(5훼+3)=-,f(5훽-6)=,求cos(α+β)的值.172π解:(1)由=10π,得ω=.휔5π1 (2)∵f(5훼+3)=2cos[5(5훼+5π3) +π6]π6 =2cos(훼+2)=-2sin α=-,53∴sin α=.55π1∵f(5훽-6)=2cos[5(5훽-5π6) +π6]16=2cos β=,178∴cos β=.17π∵α,β∈[0,2],234∴cos α=1-sin2훼=1-(5),=52815sin β=1-cos2훽=1-(17).=174831513故cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=5×17―5×=-.178511ππ훼14(0,2)(2,π)2 19.(10分)已知cos α=,cos(α+β)=-,且α∈,α+β∈,求tan 及β的值.π43解:∵α∈(0,2),cos α=,∴sinα=.7훼tan2=훼2훼sincos2=훼2sin22훼훼2sin2cos21-cos훼673=7×43=.sin훼=2π11又α+β∈(2,π),cos(α+β)=-,1453∴sin(α+β)=,146∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-11 14×17+5314×437=12.ππ又α∈(0,2),α+β∈(2,π),ππ∴-<-α<0,则0<β<π,∴β=.232π20.(10分)设函数f(x)=(sin ωx+cos ωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.3(1)求ω的值;π(2)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到的,求y=g(x)的单调递2增区间.解:(1)f(x)=(sin ωx+cos ωx)2+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+sin 2ωx+1+cos 2ωx=sinπ2ωx+cos 2ωx+2=2sin(2휔푥+4)+2.2π2π3依题意得2휔=,故ω=.32ππ5π(2)依题意得g(x)=2sin[3(푥-2)+4]+2=2sin(3푥-4)+2.π5ππ由2kπ-≤3x-≤2kπ+(k∈Z),2422π27π2π27π34312[12]解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),故y=g(x)的单调递增区间为(k∈Z).3푘π+4,3푘π+7。

三角恒等变换章末复习参考题课件

当堂训练
练习1 已知，为锐角，cos = 4 , tan( ) 1 ,
5
3
求cos的值.
解 ∵α 是锐角，cos α＝45，
∴sin α＝35，tan α＝34.
∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1ta＋ntαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，∴cos β＝95010.
12
解答
类型一灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用
例1
已知
tanα=
1 2
，
tan(
)
2 5
，那么 ta
B.
1 12
C.
9 8
9
D. 8
问题一：如何选择恰当公式？
一看角：由已知条件中的两个角分别为和，所
求问题中一个角 2 ，这三个角关系如下：
1、熟练记忆三角恒等变换公式;
规律与方法
2、三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、
名、形的变换，即:
（1）找差异：角、名、形的差别；
（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可
以用哪个公式联系起来；
（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形
后运用或逆用公式。
3.应用辅助角公式a sinx b cosx a2 b2 sin(x ),其中tan b
12345
解析答案
2 ＋2k 2x 5 2k,k Z
3
3
＋k x 5 k,k Z
3
6
所以f(x)的单调增区间为 [ ＋k , 5 k ],k Z 36
解答
类型二转化与化归思想在三角恒等变换中的应用

章末综合测评3 三角恒等变换

章末综合测评(三) 三角恒等变换(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( ) A ．cos 100° B ．sin 100° C ．32D ．12C [原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝32.] 2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( ) A ．－53 B ．－19 C ．19D ．53B [因为sin α＝23，所以cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝－19.]3．已知tan(π＋α)＝2，则1sin αcos α等于( ) A.52 B.75 C ．－52D ．－75A [由tan(π＋α)＝2，得tan α＝2， ∴1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝52.]4．若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝43，tan β＝17，则α－β等于( )A.π3B.π4C.π6D.π8B [由题意，0<β<α<π2，因为tan(α－β)＝43－171＋43×17＝1，所以α－β＝π4.]5．已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tan α等于( )A.34 B ．－34 C.45D ．－45A [由已知得cos[(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45. 又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34.] 6．cos 4π8－sin 4π8等于( ) A ．0 B.22 C ．1D ．－22B [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π8－sin 2π8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π8＋sin 2π8＝cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22.] 7.2cos 10°－sin 20°cos 20°的值为( )A. 3B.62 C ．1D.12A [原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝2(cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°)－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.]8．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －1是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数 B [f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，∴T ＝2π2＝π.又f (－x )＝－sin(－2x )＝sin 2x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．]9．在△ABC 中， tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 等于( ) A.π3 B.π4 C.π6D.2π3A [由已知得tan A ＋tanB ＝－3(1－tan A tan B )， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－3，∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝3，∴C ＝π3.]10．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( )A.32 B ．－32 C ．±32D ．±12B [由sin θ－cos θ＝22两边平方得，sin 2θ＝12，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin θ>cos θ，所以π4<θ<π2，所以π2<2θ<π，因此，cos 2θ＝－32，故选B.]11．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，则sin x 的值为( )A.－43－310B.43－310C.12D.32B [由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，且0＜x ＜π，得π6＜x ＋π6＜π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝45，所以sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.]12．函数y ＝sin x ＋cos x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值是( )A ．2－ 2B ．2＋ 2C ．3D ．1C [由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2，且0≤x ≤π2，所以π4≤x ＋π4≤34π，所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，所以3≤y ≤2＋2.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则β＝________.π3 [由题意得：sin α＝437，sin(α＋β)＝5314，所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β) cos α－cos(α＋β) sin α＝5314×17＋1114×437＝32，又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π3.]14．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＋sin 2x 的最小正周期是________．π [法一：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＋sin 2x＝2sin π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴T ＝2π2＝π.法二：y ＝sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ＋sin 2x＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以其最小正周期为T ＝2π2＝π.] 15．求值：sin 10°－3cos 10°cos 40°＝________.－2 [sin 10°－3cos 10°cos 40°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 10°－32cos 10°cos 40°＝2sin (10°－60°)cos 40°＝－2sin 50°cos 40°＝－2.]16．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ的值是________．3 [∵tan π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π6＋θ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝3，∴3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程演算步骤)17．(本小题满分10分)证明：1＋sin 2α2cos 2α＋sin 2α＝12tan α＋12. [证明] 左边＝sin 2 α＋cos 2 α＋2sin αcos α2cos 2α＋2sin αcos α ＝(sin α＋cos α)22cos α(sin α＋cos α)＝sin α＋cos α2cos α ＝12tan α＋12＝右边．所以1＋sin 2α2cos 2 α＋sin 2α＝12tan α＋12成立． 18．(本小题满分12分)已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．[解] 因为π2＜β＜α＜3π4，所以0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜32π. 又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝ 1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45.所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665.19．(本小题满分12分)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，17π12<x <7π4，求：(1)cos x ＋sin x 的值； (2)sin 2x ＋2sin 2x1－tan x的值．[解] (1)由17π12<x <7π4，得5π3<x ＋π4<2π，又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－45，所以cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－425.(2)cos x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin π4＝35×22－45×22＝－210.又由17π12<x <7π4，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－7210，所以tan x ＝7，所以原式＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－tan x＝－2875.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin x －23·sin 2x2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值．[解] (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x －3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.21．(本小题满分12分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值．(2)若5cos (θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值． [解] (1)因为a ⊥b ，a·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ. 又因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，所以sin 2θ＝45.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝255，cos θ＝55. (2)因为5cos (θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ) ＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，所以cos φ＝sin φ.所以cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.又0<φ<π2，所以cos φ＝22.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)求f (x )<m ＋2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上恒成立，求实数m 的取值范围．[解] (1)因为f (x )＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －3cos 2x＝－(sin 2x ＋3cos 2x )＋1＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z 可得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z 所以f (x )的单调递减区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－512π，k π＋π12(k ∈Z )．(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，所以π3≤2x ＋π3≤23π，所以32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝32时， f (x )取得最大值为1－3，即f (x )max ＝1－ 3. 要使f (x )<m ＋2恒成立，需f (x )max <m ＋2，所以1－3<m ＋2，解得m >－1－3，所以m 的取值范围是(－1－3，＋∞)．。

优化方案高中数学第三章三角恒等变换章末综合检测

章末综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin 40°sin 50°－cos 40°cos 50°＝( ) A ．0 B ．1C ．－1D ．－cos 10°解析：选A.sin 40°sin 50°－cos 40°cos 50°＝－cos(40°＋50°)＝0. 2．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B ．14 C.13 D.12解析：选D.由tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝2sin 2θ＝4，得sin 2θ＝12，故选D.3．已知sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选 C.sin α＝2sin α2cos α2＝－2425＜0，cos α＝2cos 2α2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－1＝－725＜0.所以α为第三象限角．4．若函数f (x )＝()1＋3tan x cos x ，0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1D.3＋2解析：选B ．因为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin x cos x cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以当x ＝π3时，f (x )取得最大值2.5．在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边与单位圆x 2＋y 2＝1交点的横坐标为14，则cos α2等于( )A.104 B ．－104C ．－64D.64解析：选A.由题意，得cos α＝14，又α为锐角，则cos α2＝1＋cos α2＝1＋142＝104. 6．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则|PQ →|的最大值是( ) A.2 B ．2 C ．4D.22解析：选B ．PQ →＝(cos β－cos α，sin β－sin α)，则|PQ →|＝（cos β－cos α）2＋（sin β－sin α）2 ＝2－2cos （α－β），故|PQ →|的最大值为2.7．已知角α，β均为锐角，且cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β＝( )A.13 B ．913 C.139D ．3解析：选D.由于α，β均为锐角，cos α＝35，则sin α＝45，tan α＝43.又tan(α－β)＝－13，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan αtan （α－β）＝43＋131－43×13＝3.故选D.8.cos 20°1－cos 40°cos 50°的值为( )A.12 B ．22C. 2D ．2解析：选B ．依题意得cos 20°1－cos 40°cos 50°＝cos 20°2sin 220°cos 50°＝2sin 20°cos 20°cos 50°＝22sin 40°cos 50°＝22sin 40°sin 40°＝22.9．已知tan α＝2，则（sin α＋cos α）2cos 2α的值为( )A ．－3B ．3C ．－2D ．2解析：选A.因为tan α＝2，所以（sin α＋cos α）2cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α ＝tan 2α＋1＋2tan α1－tan 2α＝－3. 10．在△ABC 中，cos A ＝55，cos B ＝31010，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形解析：选B ．因为cos A ＝55，所以sin A ＝255. 同理sin B ＝1010. 因为cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－55×31010＋255×1010＝－210＜0，所以C 为钝角．11．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin(2β＋7π)＝( )A ．2425B ．－2425C ．－1225D ．1225解析：选B ．因为sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝－sin β＝35，所以sin β＝－35.又β是第三象限角，所以cos β＝－45，所以sin(2β＋7π)＝－sin 2β＝－2sin βcos β＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－2425.12．如果α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos (π－α)＝( ) A.225 B ．－25C.25D ．－225解析：选B ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos (π－α)＝22sin α＋22cos α＋22cos α＝22sin α＋2cos α.因为sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－35.所以22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，则sin 2x ＝________．解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，所以sin x ＋cos x ＝325，两边平方，得1＋sin 2x ＝1825，所以sin 2x ＝－725.答案：－72514．若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________．解析：由cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，可知cos(x －y )＝13，则cos(2x －2y )＝2cos 2(x－y )－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.答案：－7915．已知tan θ＝－22，则2cos 2 θ2－sin θ－tan5π42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________．解析：因为tan θ＝－22，所以2cos 2 θ2－sin θ－tan5π42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1＋221－22＝3＋2 2. 答案：3＋2 216．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，a ＝(sin B ＋cos B ，cos C )，b ＝(sin C ，sinB －cos B )．若a·b ＝0，则A ＝________．解析：由已知a·b ＝0，得(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝0. 化简，得sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝0，即sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.答案：3π4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知0＜α＜π2，sin α＝45.(1)求sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α的值；(2)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4的值．解：(1)由0＜α＜π2，sin α＝45，得cos α＝35，所以sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋2×45×353×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝20.(2)因为tan α＝sin αcos α＝43，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－11＋tan α＝43－11＋43＝17.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2.(1)求f (x )的定义域；(2)若角α在第一象限，且cos α＝35，求f (α)．解：(1)由sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2≠0，得x ＋π2≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠k π－π2，k ∈Z .(2)由已知条件得sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. 从而f (α)＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝1＋2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝2cos 2α＋2sin αcos αcos α＝2(cos α＋sin α)＝145.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos π4＝1.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ.因为cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以sin θ＝－45. 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝1725.20．(本小题满分12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.(1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．解：(1)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210，sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35.sin 2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＝－24＋7350.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x . (1)若f (x )＝2f (－x )，求cos 2x －sin x cos x1＋sin 2x的值； (2)求函数F (x )＝f (x )f (－x )＋f 2(x )的最大值和单调递增区间．解：(1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f (－x )＝cos x －sin x . 又因为f (x )＝2f (－x )，所以sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )且cos x ≠0，得tan x ＝13.所以cos 2x －sin x cos x 1＋sin 2x＝cos 2x －sin x cos x 2sin 2x ＋cos 2x ＝1－tan x 2tan 2x ＋1＝611. (2)由题知，F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x ＝cos 2x ＋sin 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1时， F (x )max ＝2＋1.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得函数F (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋34.(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，求函数f (x )的值域；(2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数g (x )的表达式及对称轴方程．解：(1)f (x )＝sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋34 ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x cos π3－sin x sin π3＋34＝12sin x cos x －32sin 2x ＋34 ＝14sin 2x －32×1－cos 2x 2＋34 ＝14sin 2x ＋34cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由－π3≤x ≤π6，得－π3≤2x ＋π3≤2π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，－34≤12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤12，所以f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，12.(2)由(1)知f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将函数y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位后，得到y＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，所以g (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3，当4x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )时，g (x )取最值，所以x ＝k π4＋5π24(k ∈Z )，所以函数的对称轴方程是x ＝k π4＋5π24(k ∈Z )．。

18-19 章末综合测评3 三角恒等变换-精选教学文档

章末综合测评(三) 三角恒等变换(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( ) A ．cos 100° B ．sin 100° C.32D.12C [原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝32.] 2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( ) A ．－53 B ．－19 C.19D.53B [因为sin α＝23，所以cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝－19.]3．已知tan(π＋α)＝2，则1sin αcos α等于( ) A.52 B.75 C ．－52D ．－75A [由tan(π＋α)＝2，得tan α＝2， ∴1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝52.]4．若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝43，tan β＝17，则α－β等于( ) 【导学号：79402149】A.π3B.π4C.π6D.π8B [由题意，0<β<α<π2，因为tan(α－β)＝43－171＋43×17＝1，所以α－β＝π4.]5．已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tan α等于( ) A.34 B ．－34 C.45D ．－45A [由已知得cos[(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45. 又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34.] 6．cos 4π8－sin 4π8等于( ) A ．0 B.22 C ．1D ．－22B [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π8－sin 2π8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π8＋sin 2π8＝cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22.] 7.2cos 10°－sin 20°cos 20°的值为( )A. 3B.62 C ．1D.12A [原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝2(cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°)－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.]8．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －1是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数 B [f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，∴T ＝2π2＝π.又f (－x )＝－sin(－2x )＝sin 2x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．]9．在△ABC 中， tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 等于( ) A.π3 B.π4 C.π6D.2π3A [由已知得tan A ＋tanB ＝－3(1－tan A tan B )， ∴tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－3， ∴tan C ＝tan [π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝3， ∴C ＝π3.]10．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( )A.32 B ．－32 C ．±32D ．±12B [由sin θ－cos θ＝22两边平方得，sin 2θ＝12，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin θ>cos θ，所以π4<θ<π2，所以π2<2θ<π，因此，cos 2θ＝－32，故选B.]11．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，则sin x 的值为( )A.－43－310B.43－310C.12D.32B [由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，且0＜x ＜π，得π6＜x ＋π6＜π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝45，所以sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin π6 ＝45×32－35×12＝43－310.]12．函数y ＝sin x ＋cos x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值是( )A ．2－ 2B ．2＋ 2C ．3D ．1C [由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2，且0≤x ≤π2，所以π4≤x ＋π4≤34π，所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，所以3≤y ≤2＋2.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则β＝________. 【导学号：79402150】[解析] 由题意得：sin α＝437，sin(α＋β)＝5314，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β) cos α－cos(α＋β) sin α＝5314×17＋1114×437＝32，又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π3.[答案] π314．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＋sin 2x 的最小正周期是________．[解析] 法一 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＋sin 2x＝2sin π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴T ＝2π2＝π.法二 y ＝sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ＋sin 2x ＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以其最小正周期为T ＝2π2＝π. [答案] π 15．求值：sin 10°－3cos 10°cos 40°＝________.[解析] sin 10°－3cos 10°cos 40°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 10°－32cos 10°cos 40°＝2sin (10°－60°)cos 40°＝－2sin 50°cos 40°＝－2. [答案] －216．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ的值是________．【导学号：79402151】[解析] ∵tan π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π6＋θ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝3，∴3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＋ 3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ.[答案] 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程演算步骤)17．(本小题满分10分)证明：1＋sin 2α2cos 2 α＋sin 2α＝12tan α＋12. [证明] 左边＝sin 2 α＋cos 2 α＋2sin αcos α2cos 2α＋2sin αcos α＝(sin α＋cos α)22cos α(sin α＋cos α)＝sin α＋cos α2cos α ＝12tan α＋12＝右边．所以1＋sin 2α2cos 2 α＋sin 2α＝12tan α＋12成立． 18．(本小题满分12分)已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．[解] 因为π2＜β＜α＜3π4，所以0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜32π. 又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513，cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45. 所以sin 2α＝sin [(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665.19．(本小题满分12分)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，17π12<x <7π4，求：(1)cos x ＋sin x 的值； (2)sin 2x ＋2sin 2x1－tan x的值.【导学号：79402152】[解] (1)由17π12<x <7π4，得5π3<x ＋π4<2π，又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－45，所以cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－425.(2)cos x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cosπ4 ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin π4＝35×22－45×22＝－210.又由17π12<x <7π4，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－7210，所以tan x ＝7，所以原式＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－tan x＝－2875.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin x －23·sin 2x2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值．[解] (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.21．(本小题满分12分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值．(2)若5cos (θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值． [解] (1)因为a ⊥b ，a·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ. 又因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，所以sin 2θ＝45.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝255，cos θ＝55.(2)因为5cos (θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ) ＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，所以cos φ＝sin φ.所以cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.又0<φ<π2，所以cos φ＝22.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)求f (x )<m ＋2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上恒成立，求实数m 的取值范围．[解] (1)因为f (x )＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －3cos 2x＝－(sin 2x ＋3cos 2x )＋1＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z 可得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z 所以f (x )的单调递减区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－512π，k π＋π12(k ∈Z)． (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，所以π3≤2x ＋π3≤23π，所以32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝32时，f (x )取得最大值为1－3，即f (x )max ＝1－ 3. 要使f (x )<m ＋2恒成立，需f (x )max <m ＋2，所以1－3<m ＋2，解得m >－1－3，所以m 的取值范围是(－1－3，＋∞)．。

人教A版高中数学选修第三章三角恒等变换模块检测

模块检测(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若cos θ>0，且sin 2θ<0，则角θ的终边所在的象限是( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 sin 2θ＝2sin θcos θ<0，又cos θ>0， ∴sin θ<0，∴θ是第四象限角．答案 D2．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的值域是( )．A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 答案 B3．已知|a |＝8，e 为单位向量，当它们的夹角为2π3时，a 在e 方向上的投影为( )． A.12 B ．－12 C ．4 D ．－4 解析 a 在e 的方向上的投影为|a |cos 2π3＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.答案 D4．下列关系式中，不正确的是( )． A ．sin 585°<0 B ．tan(－675°)>0 C ．cos(－690°)<0D ．sin 1 010°<0 解析 585°＝360°＋225°是第三象限角，则sin 585°<0；－675°＝－720°＋45°，是第一象限角，∴tan(－675°)>0；1 010°＝1 080°－70°，是第四象限角， ∴sin 1 010°<0；而－690°＝－720°＋30°是第一象限角， ∴cos(－690°)>0.答案 C5．函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝( )． A.π6 B.π3 C.π4 D ．－π4 解析由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π＋π4(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以k ＝0，φ＝π4，故应选C. 答案 C6．已知D 是△ABC 的边BC 上的一点，且BD ＝13BC ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )． A. 13(a －b ) B.13(b －a ) C.13(2a ＋b )D.13(2b －a )解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝23a ＋13b ，故选C. 答案 C7．已知a ，b 均为单位向量，且它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( )． A.7 B.10 C.13 D. 4解析本题若直接求|a ＋3b |则较为困难，因此解答时可依据公式|a |＝a 2先求(a ＋3b )2.因为|a |＝1，|b |＝1，且它们的夹角为60°，故a ·b ＝cos 60°＝12，所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋3＋9＝13，即|a ＋3b |＝13，故应选C. 答案 C8．计算2sin 14°·cos 31°＋sin 17°等于( )．A.22 B ．－22 C.32 D ．－32 解析原式＝2sin 14°cos 31°＋sin(31°－14°) ＝sin 31°cos 14°＋cos 31°sin 14°＝sin 45°＝22. 答案 A9．设向量a ＝(cos 25°，sin 25°)，b ＝(sin 20°，cos 20°)，若t 是实数，且c ＝a ＋t b ，则|c |的最小值为( )．A. 2 B ．1 C.22 D.12 解析 c ＝a ＋t b ＝(cos 25°，sin 25°)＋(t sin 20°，t cos 20°) ＝(cos 25°＋t sin 20°，sin 25°＋t cos 20°)， ∴|c |＝(cos 25°＋t sin 20°)2＋(sin 25°＋t cos 20°)2 ＝1＋t 2＋2t sin 45°＝t 2＋2t ＋1 ＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋222＋12，∴当t ＝－22时，|c |最小，最小值为22. 答案 C10．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 的值为( )． A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析 ∵m ·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝3sin C ＋cos C ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋C ＝1.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋C ＝12，∴π6＋C ＝56π或π6＋C ＝π6(舍去)，∴C ＝23π. 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)． 11．若cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos α＝________. 解析原式可化为cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α)＝－22，∴sin α＋cos α＝12. 答案 1212．已知向量m ＝(3sin x ，cos x )，p ＝(23，1)．若m ∥p ，则sin x ·cos x ＝________. 解析 ∵m ∥p ，∴3sin x ＝23cos x ，tan x ＝2， ∴sin x ·cos x ＝sin x ·cos x sin 2x ＋cos 2x ＝tan x 1＋tan 2x ＝25.答案 2513．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －a ·aa ·b ·b .则向量a 与c 的夹角为________．解析 ∵a ·c ＝a ·a －a ·aa ·b ·b ·a ＝a ·a －a ·a ＝0，∴a ⊥c ，即a 与c 的夹角为90°. 答案 90°14．已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan(α＋π4)的值为________．解析 tan(α＋π4)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35－141＋35×14＝723. 答案723三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(10分)对任意实数x 和整数n ，已知f (sin x )＝sin[(4n ＋1)x ]，求f (cos x )．解 f (cos x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(4n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋π2－(4n ＋1)x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－(4n ＋1)x＝cos[(4n ＋1)x ]．16．(10分)已知a ，b 不共线，AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋3b ，CD →＝2a －b ，若A ，B ，D 三点共线，求实数k 的值．解 ∵BD →＝BC →＋CD →＝－CB →＋CD →＝a －4b ，而a 与b 不共线，∴BD →≠0.又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．故存在实数λ，使AB →＝λBD →，即2a ＋k b ＝λa －4λb . 又∵a 与b 不共线，∴由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧2＝λk ＝－4λ⇒k ＝－8.17．(10分)已知α为锐角，且sin α＝45. (1)求sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α的值；(2)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4的值．解 (1)因α为锐角，且sin α＝45，∴cos α＝1－sin 2α＝35.∴sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋2×45×353×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝20.(2)∵tan α＝sin αcos α＝43，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－tan 5π41＋tan αtan 5π4＝tan α－11＋tan α＝17.18．(12分)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，cos α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α，12，若a ∥b ，求锐角α的值．解 ∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，cos α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α，12，且a ∥b ， ∴32×12－cos αsin α＝0，即sin αcos α＝34.由⎩⎨⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝34，得sin α＋cos α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α ＝1＋32＝3＋12，∴sin α、cos α是方程x 2－3＋12x ＋34＝0的两根．解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝32cos α＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝12，cos α＝32.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π3或π6.19．(12分)已知向量b ＝(m ，sin 2x )，c ＝(cos 2x ，n )，x ∈R ，f (x )＝b ·c ，若函数f (x )的图象经过点(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1.(1)求m 、n 的值；(2)求f (x )的最小正周期，并求 f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值；解 (1)f (x )＝m cos 2x ＋n sin 2x ， ∵f (0)＝1，∴m ＝1. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，∴n ＝1. (2)f (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f (x )的最小正周期为π. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴π4≤2x ＋π4≤3π4.∴当x ＝0或x ＝π4时，f (x )的最小值为1.。

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第三章三角恒等变换(B) (时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( )A ．0 B.12 C.32D ．12．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 4．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－5π6，－π6]C ．[－π3，0]D ．[－π6，0]5．化简：sin (60°＋θ)＋cos 120°sin θcos θ的结果为( )A ．1 B.32C. 3 D ．tan θ6．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )等于( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2x D ．3＋sin 2x7．若函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin(x －π6)的一条对称轴方程为x ＝π2，则a 等于( )A ．1 B. 3 C ．2 D ．38．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )A ．[－12，32]B ．[－22＋12，22＋12]C ．[－32，12]D ．[－22－12，22－12]9．若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于( )A ．－75 B.75 C ．－35 D.3510．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α的值为( ) A ．±4 B ．4 C ．－4 D ．111．若cos θ2＝35，sin θ2＝－45，则角θ的终边所在的直线方程为( )A ．7x ＋24y ＝0B ．7x －24y ＝0C ．24x ＋7y ＝0D ．24x －7y ＝012．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ的值为( )A ．－πB ．－π C.5π D.2π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是______．14．已知sin αcos β＝1，则sin(α－β)＝________.15．若0<α<π2<β<π，且cos β＝－13，sin(α＋β)＝13，则cos α＝________.16．函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)，(x ∈R )的最大值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)．(1)求sin (α－π2)－cos (3π2＋α)sin (π－α)＋cos (3π＋α)的值；(2)求cos(2α－3π4)的值．18．(12分)已知函数f (x )＝2cos x sin x ＋23cos 2x － 3. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值； (3)求函数f (x )的单调增区间．19．(12分)已知向量a ＝(cos3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，且x ∈[－π3，π4]． (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．20．(12分)已知△ABC 的内角B 满足2cos 2B －8cos B ＋5＝0，若BC →＝a ，CA →＝b 且a ，b 满足：a ·b ＝－9，|a |＝3，|b |＝5，θ为a ，b 的夹角． (1)求角B ；(2)求sin(B ＋θ)．21．(12分)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图象任意两相邻对称轴的间距为3π2.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f (32α＋π2)＝2326，求sin (α＋π4)cos (4π＋2α)的值．22．(12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(π6，12)．(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值．第三章三角恒等变换(B)答案1．D [原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1.]2．D [f (x )＝sin 2x －12＝12(2sin 2x －1)＝－12cos 2x ，∴T ＝2π2＝π，f (x )为偶函数．]3．A [∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34.∴tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17.]4．D [f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)．令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，令k ＝0得－π6≤x ≤5π6.由此可得[－π6，0]符合题意．]5．B [原式＝sin 60°cos θ＋cos 60°sin θ－12sin θcos θ＝sin 60°cos θcos θ＝sin 60°＝32.]6．C [f (sin x )＝3－(1－2sin 2x )＝2＋2sin 2x ， ∴f (x )＝2x 2＋2，∴f (cos x )＝2cos 2x ＋2＝1＋cos 2x ＋2＝3＋cos 2x .]7．B [f (x )＝sin(x ＋π3)－a sin(π6－x )＝sin(x ＋π3)－a cos(π3＋x )＝1＋a 2sin(x ＋π3－φ)∴f (π2)＝sin 5π6＋a sin π3＝32a ＋12＝1＋a 2.解得a ＝ 3.]8．B [y ＝12sin 2x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22sin(2x －π4)＋12，∵x ∈R ，∴－1≤sin(2x －π4)≤1，∴y ∈[－22＋12，22＋12]．9．B [∵3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝13.cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＋2sin θcos θ＝cos 2θ＋2sin θcos θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋2tan θ－tan 2θ1＋tan 2θ＝1＋2×13－191＋19＝75.]10．C [3cos(2α＋β)＋5cos β＝3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0， ∴2sin(α＋β)sin α＝－8cos(α＋β)cos α， ∴tan(α＋β)tan α＝－4.]11．D [cos θ2＝35，sin θ2＝－45，tan θ2＝－43，∴tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝－831－169＝247.∴角θ的终边在直线24x －7y ＝0上．]12．D [∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝sin θ＋3cos θ＝0.∴tan θ＝－ 3.∴θ＝k π－π3，(k ∈Z )．∴f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π3)＝±2sin 2x .∵f (x )在[－π4，0]上为减函数，∴f (x )＝－2sin 2x ，∴θ＝2π3.]13.π2解析 ∵f (x )＝12[1－cos(4x －π2)]＝12－12sin 4x ∴T ＝2π4＝π2.14．1解析 ∵sin αcos β＝1，∴sin α＝cos β＝1，或sin α＝cos β＝－1， ∴cos α＝sin β＝0.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＝1. 15.429解析 cos β＝－13，sin β＝223，sin(α＋β)＝13，cos(α＋β)＝－223，故cos α＝cos [(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝(－223)×(－13)＋223×13＝429.16．1解析令x ＋10°＝α，则x ＋40°＝α＋30°， ∴y ＝sin α＋cos(α＋30°)＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30° ＝12sin α＋32cos α ＝sin(α＋60°)． ∴y max ＝1.17．解 (1)sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)⇒cos α＝－55，α∈(0，π)⇒sin α＝255.sin (α－π2)－cos (3π2＋α)sin (π－α)＋cos (3π＋α)＝－cos α－sin αsin α－cos α＝－13.(2)∵cos α＝－55，sin α＝255⇒sin 2α＝－45，cos 2α＝－35. cos(2α－3π4)＝－22cos 2α＋22sin 2α＝－210.18．解 (1)原式＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2(12sin 2x ＋32cos 2x )＝2(sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3)＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)当2x ＋π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π12(k ∈Z )时，f (x )有最大值为2.当2x ＋π3＝2k π－π2，即x ＝k π－5π12(k ∈Z )时，f (x )有最小值为－2.(3)要使f (x )递增，必须使2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．∴函数f (x )的递增区间为[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )．19．解 (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝(cos 3x 2＋cos x 2)2＋(sin 3x 2－sin x2)2＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈[－π3，π4]，∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2(cos x －12)2－32.∵x ∈[－π3，π4]．∴12≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.20．解 (1)2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0，即4cos 2B －8cos B ＋3＝0，得cos B ＝12.又B 为△ABC 的内角，∴B ＝60°.(2)∵cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－35，∴sin θ＝45.∴sin(B ＋θ)＝sin B cos θ＋cos B sin θ＝4－3310.21．解 (1)由题意，得m ·n ＝0，所以f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos 2ωx 2＋3sin 2ωx 2＝sin(2ωx ＋π6)＋12.根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π.又ω>0，所以ω＝13.(2)由(1)知f (x )＝sin(2x 3＋π6)＋12，所以f (32α＋π2)＝sin(α＋π2)＋12＝cos α＋12＝2326.解得cos α＝513.因为α是第一象限角，故sin α＝1213.所以sin (α＋π4)cos (4π＋2α)＝sin (α＋π4)cos 2α＝22sin α＋22cos αcos 2α－sin 2α＝22(cos α－sin α)＝－13214.22．解 (1)因为f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，所以f (x )＝12sin 2x sin φ＋1＋cos 2x 2cos φ－12cos φ＝12sin 2x sin φ＋12cos 2x cos φ ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)．又函数图象过点(π6，12)，所以12＝12cos(2×π6－φ)，即cos(π3－φ)＝1，又0<φ<π，所以φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos(2x －π3)，将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，可知g (x )＝f (2x )＝12cos(4x －π3)，因为x ∈[0，π4]，所以4x ∈[0，π]，因此4x －π3∈[－π3，2π3]，故－12≤cos(4x －π3)≤1.所以y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为12和－14.。