2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题7 不等式 第45练含解析

1．【2016·泰州模拟)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝xy 【x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋【2y )⊗x 的最小值为________．
2．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是________．
3．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2
cd 的最小值是________．
4．【2016·长春调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，且x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，
则实数m 的取值范围是________．
5．函数y ＝1－2x －3x 【x ＜0)的最小值为________．
6．【2016·盐城模拟)已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋2x ＋b ＞0的解集为{x |x ≠－
1
a }，则a 2＋
b 2＋7a －b 【其中a ＞b )的最小值为________．
7．【2016·深圳模拟)已知正实数a ，b 满足1a ＋2b ＝3，则【a ＋1)【b ＋2)的最小值是
________________．
8．若a ＞b ＞0，则a 2＋1b (a －b )
的最小值为________． 9．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．
10．【2016·苏州模拟)若直线ax ＋by －1＝0【a ＞0，b ＞0)过曲线y ＝1＋sinπx 【0＜x
＜2)的对称中心，则1a ＋2b
的最小值为__________．
11．【2016·苏州、无锡、常州三模)已知常数a＞0，函数f【x)＝x＋
a
x－1
【x＞1)的最
小值为3，则a的值为______．
12．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P【x，y)，则P A·PB的最大值是________．
13．【2016·郑州第一次质量预测)已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且a·c＝b·c
＝1，则对任意的正实数t，|c＋t a＋1
t b|的最小值是________．
14．【2016·南京盐城联考)已知正实数x，y满足等式x＋y＋8＝xy，若对任意满足条件的x，y，不等式【x＋y)2－a【x＋y)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是
______________．
答案精析 1.2 2.4 3.4 4.【－4,2)
5．1＋2 6
解析 ∵x ＜0，
∴y ＝1－2x －3x
＝1＋【－2x )＋【－3x )
≥1＋2(－2x )·3－x
＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，
故y 的最小值为1＋2 6.
6．6
解析 由不等式ax 2＋2x ＋b ＞0的解集为{x |x ≠－1a }可得⎩⎨⎧
a ＞0，Δ＝4－4a
b ＝0， 即ab ＝1，a ＞0，
所以a 2＋b 2＋7a －b ＝(a －b )2＋2ab ＋7a －b ＝a －b ＋9a －b
≥6， 当且仅当a －b ＝3时等号成立．
7.509
解析 1a ＋2b ＝3⇒2a ＋b ＝3ab ⇒3ab ＝2a ＋b ≥22ab ⇒ab ≥89，因此【a ＋1)【b ＋2)
＝ab ＋2a ＋b ＋2＝4ab ＋2≥4×89＋2＝509，当且仅当2a ＝b ＝43时，等号成立．
8．4
解析 原式＝【a －b )＋b ]2＋1b (a －b )
≥2(a －b )b ]2＋1b (a －b )
＝4【a －b )b ＋1b (a －b )
≥24(a －b )b ·1b (a －b )
＝4 【当且仅当a ＝2，b ＝22时取等号)．
9.32
解析 ∵a 7＝a 6＋2a 5，∴a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，
又∵{a n }是正项等比数列，
∴a 5≠0，且q ＞0，
∴q 2－q －2＝0，
∴q ＝2或q ＝－1【舍去)．
又a m ·a n ＝4a 1，
∴a m ·a n ＝16a 21，a 21q
m ＋n －2＝16a 21， 又a 21≠0，∴m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6，
1m ＋4n ＝16【1m ＋4
n )【m ＋n )
＝16【5＋4m n ＋n m )
≥16【5＋24m n ·n m )＝32
. 当且仅当4m n ＝n m ，即m ＝2，n ＝4时取等号．
10．3＋2 2
解析 画出y ＝1＋sinπx 【0＜x ＜2)的图象【图略)，
知此曲线的对称中心为【1,1)，
则直线ax ＋by －1＝0过点【1,1)，
所以a ＋b ＝1，
又a ＞0，b ＞0，
所以1a ＋2b ＝【1a ＋2b )【a ＋b )
＝1＋b a ＋2a b ＋2≥3＋22，
当且仅当b a ＝2a b 时取等号．
即【1a ＋2b )min ＝3＋2 2.
11．1
解析∵x＞1，∴x－1＞0，又a＞0，
∴f【x)＝x＋
a
x－1
＝x－1＋
a
x－1
＋1≥2a＋1，∴2a＋1＝3，∴a＝1，
此时，x－1＝
1
x－1
，即x＝2.
12．5
解析∵直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0分别过定点A，B，
∴A【0,0)，B【1,3)．
当点P与点A【或B)重合时，P A·PB为零；
当点P与点A，B均不重合时，∵P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，
∴△APB为直角三角形，
∴AP2＋BP2＝AB2＝10，
∴P A·PB≤P A2＋PB2
2＝
10
2＝5，当且仅当P A＝PB时，上式等号成立．
13．2 2
解析∵a，b是互相垂直的单位向量，设a＝【1,0)，b＝【0,1)，c＝【x，y)．由a·c＝b·c＝1，得x＝y＝1，
即c＝【1,1)，
∴c＋t a＋1
t b＝【1,1)＋【t,0)＋【0，
1
t)
＝【1＋t,1＋1 t)，
∴|c＋t a＋1 t b|
＝错误!)2
＝2＋2(t＋1
t)＋t
2＋
1
t2，
∵t＞0，∴t＋1
t≥2，t
2＋
1
t2≥2，
当且仅当t＝1时取等号，
∴|c＋t a＋1
t b|≥2＋4＋2＝22，
故|c＋t a＋1
t b|的最小值为2 2.
14．【－∞，65 8]
解析因为x＋y＋8＝xy≤【x＋y 2)
2，
即4【x＋y)＋32≤【x＋y)2，
解得x＋y≥8或x＋y≤－4【舍去)．
不等式【x＋y)2－a【x＋y)＋1≥0恒成立可等价转化为a≤(x＋y)2＋1
x＋y
恒成立，
令x＋y＝t【t≥8)，
且f【t)＝t2＋1
t＝t＋
1
t.
函数f【t)在8，＋∞)上单调递增，
所以f【t)min＝f【8)＝8＋1
8＝
65
8.
所以实数a的取值范围为【－∞，65 8]．。