2012年中考数学第一轮考点复习——方程的应用

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人教版初中数学中考复习一轮复习——一元二次方程解法及其应用(1)

人教版初中数学中考复习一轮复习——一元二次方程解法及其应用(1)

D 1.(2021·河南) 若方程 x2-2x+m=0没有实数根,则 m的值可以是( )
A.-1
B.0
C.1
D. 3
2.(2021•岳阳)已知关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等 的实数根,则实数k的值为 k 9.
3.(2021•台州)关于x的方程x2﹣4x+m=0有两个不相等的实数根,
a 1,b 3, c 4
b2 4ac -3 2 41(- 4) 9 16 25 0
所以方程有两个不等实数根
x b 3 25 3 5
2a
2
2
x1 4, x2 1
考点二:一元二次方程的解法
1x2 3x 4
2x2 6x 7 0
32 x2 4x 5 0
解:a 1,b (k 3),c 1 k
b2 4ac (k 3)2 41 (1 k) k 2 2k 5 k 2 2k 1 4 (k 1)2 4
因为(k 1)2 4 0, 所以方程有两个不等实数根。
考点三:判别式和一元二次方程根的情况
5.(2021•烟台)已知关于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n=0,其中
考点二:一元二次方程的解法
2.配方法
对应练习: 1x2 4x 1 0
22x2 8x 3 0
12x2 1 3x
22x2 8x 3 0 x2 4x 3 0
2
x2 4x 3 2
x2 4x 4 3 4 2
x22 11 2
x 2 22 2
x1 2
22 ,x 2
变式2.若方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数a的 取值范围是(a 1且a 0 )

中考数学专题复习之一次方程(组)及其应用 课件

中考数学专题复习之一次方程(组)及其应用 课件
【点评】 (1)去括号可用分配律,注意符号,勿漏乘;含有多重括号的,按 去括号法则逐层去括号;(2)去分母,方程两边同乘各分母的最小公倍数时, 不要漏乘没有分母的项(特别是常数项),若分子是多项式,则要把它看成一个 整体加上括号;(3)解方程后要代回去检验解是否正确;(4)当遇到方程中反复 出现相同的部分时,可以将这个相同部分看作一个整体来进行运算,从而使 运算简便.
5x+4y=148 4x+5y=148 A.2x+5y=100 B.2x+5y=100
5x+4y=148 4x+5y=148 C.5x+2y=100 D.5x+2y=100
4.(2016·贺州)解方程:x6-304-x=5.
解:x=30
5.(2016·柳州)小陈妈妈做儿童服装生意,在“六一”这一天上午的销售中, 某规格童装每件以60元的价格卖出,盈利20%,求这种规格童装每件的进价.
3x-y=2, 【例 2】 (2016·百色)解方程组:9x+8y=17.
解:39xx-+y8=y=2,17①,②①×8+②得:33xFra bibliotek33,即 x=1,
x=1, 把 x=1 代入①得:y=1,则方程组的解为y=1
【点评】 (1)解二元一次方程组的方法要根据方程组的特点灵活选择,当方程组中 一个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时,用代入法较方便;当两 个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时,用加减法较方便;当方 程组中同一个未知数的系数的绝对值不相等,且不成整数倍时,把一个(或两个)方 程的两边同乘适当的数,使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等,仍然选 用加减法比较简便;(2)用加减消元法时,选择方程组中同一个未知数的系数绝对值 的最小公倍数较小的未知数消元,这样会使运算量较小,提高准确率.

中考数学一轮复习专题解析—一元一次方程及其应用

中考数学一轮复习专题解析—一元一次方程及其应用

中考数学一轮复习专题解析—一元一次方程及其应用复习目标1.了解方程、一元一次方程的概念,会解一元一次方程;2.能够根据具体问题中的数量关系,列出一元一次方程解决实际问题,能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理。

考点梳理1.等式及其性质:⑴ 等式:用等号“=”来表示相等关系的式子叫等式.⑵ 性质:① 如果b a =,那么=±c a c b ±;② 如果b a =,那么=ac bc ;如果b a =()0≠c ,那么=c a cb . 2.方程、一元一次方程的概念:⑴ 方程:含有未知数的等式叫做方程;使方程左右两边值相等的未知数,叫做方程的解;求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同.⑵ 一元一次方程:在整式方程中,只含有1个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0的方程叫做一元一次方程;它的一般形式为b ax =()0≠a .3.解一元一次方程的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1.4.一元一次方程的应用:列方程解应用题的步骤:审→设→列→解→验→答即:(1)审题:弄清题意和题目中的数量关系;(2)设未知数:用字母表示题目中的一个未知数,可直接设也可间接地设;(3)列方程:找出适当的数量关系,列出方程;(4)解:选择适当的方法解方程;(5)检验:检验解是否符合实际意义;(6)答。

综合训练1.(2022·湖南株洲·中考真题)方程122x-=的解是( )A .2x =B .3x =C .5x =D .6x =【答案】D【分析】通过移项、合并同类项、系数化为1三个步骤即可完成求解.【详解】 解:122x-=,32x=,6x =;故选:D .2.(2022·无锡市天一实验学校九年级月考)方程2132x x -=-的解为( ) A .1x = B .1x =- C .3x = D .3x =-【答案】A【分析】按照解一元一次方程的步骤求解即可.【详解】解:移项可得:2321x x -=-+,合并同类项得:1-=-x系数化为1得:1x=故选:A.3.(2022·四川绵阳·中考真题)近年来,网购的蓬勃发展方便了人们的生活.某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送,若每个快递员派送10件,还剩6件;若每个快递员派送12件,还差6件,那么该分派站现有包裹()A.60件B.66件C.68件D.72件【答案】B【分析】设该分派站有x个快递员,根据“若每个快递员派送10件,还剩6件;若每个快递员派送12件,还差6件”,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出x 的值,再将其代入(10x+6)中即可求出该分派站现有包裹数.【详解】解:设该分派站有x个快递员,依题意得:10x+6=12x−6,解得:x=6,∴10x+6=10×6+6=66,即该分派站现有包裹66件.故选:B.4.(2022·黑龙江牡丹江·中考真题)已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了160元,其中一件盈利60%,另一件亏损20%,在这次买卖中这家商店()A.不盈不亏B.盈利20元C.盈利10元D.亏损20元【分析】设分别设两件运动衫的进价分别是a元,b元,根据售价=成本±利润,列方程求得两件运动衫的进价,再计算亏盈.【详解】解:设盈利60%的运动衫的进价是a元,亏本20%的运动衫的进价是b元.则有(1)a(1+60%)=160,a=100;(2)b(1-20%)=160,b=200.总售价是160+160=320(元),总进价是100+200=300(元),320-300=20(元),所以这次买卖中商家赚了20元.故选:B.5.(2022·浙江九年级二模)学校组织植树活动,已知在甲处植树的有48人,在乙处植树的有42人,由于甲处植树任务较重,需调配部分乙处的人员去甲处支援,使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍,设从乙处调配x人去甲处,则()A.48=2(42﹣x)B.48+x=2×42C.48﹣x=2(42+x)D.48+x=2(42﹣x)【答案】D设从乙处调配x 人去甲处,根据”调配部分乙处的人员去甲处支援,使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍“列方程即可得到结论.【详解】解:设从乙处调配x 人去甲处,根据题意得,48+x =2(42-x ),故选:D .6.(2022·浙江)某商铺促销,单价80元的衬衫按照8折销售仍可获利10元,若这款衬衫的成本价为x 元/件,则( )A .800.810x ⨯-=B .()800.810x x --=C .800.810x ⨯=-D .()800.810x x -⨯=-【答案】A【分析】利用利润=标价⨯折扣率-成本价,即可得出关于x 的一元一次方程.【详解】解:依题意得:800.810x ⨯-=,故选:A .7.(2022·山东九年级二模)已知x =3是关于x 的方程23mx nx =-的解,则24n m -的值是( )A .2B .-2C .1D .﹣1 【答案】A【分析】把x =3代入方程23mx nx =-,可得n -2m =1,进而即可求解.【详解】解:∵x =3是关于x 的方程23mx nx =-的解,∴6m =3n -3,即:n -2m =1,∴24n m -=2,故选A .8.(2022·浙江)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,书中记载了一道题,大意是:100匹马恰好拉了100片瓦,已知1匹大马能拉3片瓦,3匹小马能拉1片瓦,问有多少匹大马、多少匹小马?若设大马有x 匹,则可列方程为( ) A .()33100100x x +-=B .()3100100x x +-=C .()131001003x x +-=D .()3100100x x +-= 【答案】C【分析】根据“大马拉瓦+小马拉瓦=100”可以列出方程 .【详解】解:设大马有 x 匹,则由题意可得:()131001003x x +-=, 故选C .9.(2022·广西梧州·中考真题)运用方程或方程组解决实际问题:若干学生分若干支铅笔,如果每人5支,那么多余3支;如果每人7支,那么缺5支.试问有多少名学生?共有多少支铅笔?【答案】学生有4人,铅笔23支设学生有x人,则铅笔数表示为5x+3或7x−5,由此利用铅笔数相等联立方程求得答案即可.【详解】解:设学生有x人,由题意得5x+3=7x−5,解得:x=4,经检验,符合题意则6x+3=23.答:学生有4人,铅笔23支.10.(2022·广西桂林·中考真题)解一元一次方程:4x﹣1=2x+5.【答案】x =3.【分析】先把方程化移项,合并同类项,系数化1法即可.【详解】解:4 x﹣1=2x+5,移项得:4 x﹣2x=5+1合并同类项得:2 x=6,∴系数化1得:x =3.11.(2022·全国九年级专题练习)解下列方程:(1)36156x x-=--(2)1.5 1.51 0.62x x--=【答案】(1)1x=-;(2)7 =12 x(1)根据解方程步骤,移项,合并同类项,把x 系数化为1,即可求出解; (1)根据解方程步骤,方程去分母,去括号,移项,合并同类项,把x 系数化为1,即可求出解.【详解】解:(1)移项得:36156x x +=-+,合并同类项得:99x =-,解得:1x =-;(2)去分母得:2?1.50.6(1.5) 1.2x x --=,去括号得:30.90.6 1.2x x -+=,移项得:30.6 1.20.9x x +=+,合并同类项得:3.6 2.1x =, 解得:7=12x . 12.(2022·陕西西北工业大学附属中学九年级模拟预测)解方程:1123xx ++=. 【答案】45【分析】 按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可.【详解】 解:1123xx ++= 去分母得:3x +2(x +1)=6,去括号得:3x +2x +2=6,移项合并得:5x=4,系数化为1得:x=45.。

2012年重庆市中考数学知识点总复习以及大题分解

2012年重庆市中考数学知识点总复习以及大题分解

试卷结构1、内容结构与比例:数与代数 50% 空间与图形 35% 统计与概率 15%二、一、有理数1、有理数有理数的意义,会比较有理数的大小2、借助数轴理解相反数绝对值的意义,会求相反数与绝对值3、掌握有理数的加、减、乘、除、乘方以及简单的混合运算4、运用有理数运算律简化运算,并解决简单问题二、实数1、了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根2、了解开方与乘方互为逆运算,知道实数与数轴上的点一一对应3、用有理数估计一个无理数的大致范围4、了解近似数的概念并会进行近似数的运算5、了解二次根式的概念及其加减乘除运算法则,会用它们进行有关的实数的简单四则运算(不要求分母有理化)三、代数式1、能分析简单问题的数量关系,并用代数式表示2、会求代数式的值,能根据简单的实际问题,探索所需的公式,并会进行计算四、整式与分式1、了解整数指数幂的意义和基本性质,会用科学计数法表示数2、了解正式的概念,会进行简单的正式加减运算,会进行简单的整式乘法运算3、会推导乘法公式:(a+b)(a—b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2,并能进行简单计算4、会提公因式、分式法进行因式分解5、了解分式的概念,会运用分式的基本性质进行约分和通分,会进行简单的分式加减乘除运算1、能够用等式表示具体问题中的数量关系2、用观察、画图等的手段估计方程解的过程3、会解一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程4、理解配方法5、根据具体问题实际意义,检验结果是否合理6、能用不等式表示具体问题中的大小关系7、会解简单的一元一次方程不等式(不等式组),并能在数轴上表示出解集8、能够根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式和一元一次不等式组,解决简单的实际问题1、了解函数的概念和3中表示方法2、结合图像,对简单实际问题中的函数关系进行分析3、能确定自变量的取值范围,并求出函数值4、结核函数关系的分析,尝试对变量的变化规律进行初步预测5、根据已知条件确定函数的表达式6、会画一次函数的图像并理解kx+b=y(k不等于0)的性质7、理解正比例函数8、用一次函数结局实际问题9、会用描点法画出二次函数的图像,并从图像上认识二次函数的性质1、会比较角的大小,认识度分秒,并进行简单换算2、了解平行线及其性质3、了解补角、余角对顶角4、了解垂线、垂线段的概念5、会做垂线6、了解垂直平分线及其性质7、了解三角形的有关性质(内角、外角、中线、高、角平分线),了解三角形的稳定性质8、了解全等三角形的概念9、了解等腰三角形的相关概念10、了解直角三角形的概念11、会用勾股定理解决问题12、了解四边形的概念13、等腰梯形14、圆(弧、玄、圆心角),了解点与圆、直线与圆的位置关系15、圆心角、圆周角16、三角形的内心与外心17、了解切线18、计算弧长和扇形面积、圆锥的侧面积和全面积19、会做线段、角、角平分线、线段垂直平分线20、做三角形21、作圆22、判断简单物体的三视图及其侧面展开图23、轴对称24、作轴对称25、图形的平移26、图形的旋转27、图形的相似28、图形与坐标29、证明1、统计:个体、样本2、扇形统计图表示数据3、加权平均数4、会计算极差、方差,并明确其意义5、计算简单事件发生的频率第一章 数与代数第二章 方程与不等式第三章 函数第四章 空间与图形第五章 概率与统计考点一、有理数 1.有理数: (1)凡能写成)0p q ,p (pq 为整数且形式的数,都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意:0即不是正数,也不是负数;-a 不一定是负数,+a 也不一定是正数;π不是有理数;(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数(3)注意:有理数中,1、0、-1是三个特殊的数,它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域,这四个区域的数也有自己的特性; 2.数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3.相反数:(1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;(2)注意: a-b+c 的相反数是-a+b-c ;a-b 的相反数是b-a ;a+b 的相反数是-a-b ; (3)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.(相反数的证明) 4.绝对值:(1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离; (2)绝对值可表示为:⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (aa 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ;绝对值的问题经常分类讨论; (3)0a 1aa >⇔=;0a 1aa <⇔-=; (4)|a|是重要的非负数,即|a|≥0=5.有理数比大小:(1)正数的绝对值越大,这个数越大;(2)正数永远比0大,负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数>0,小数-大数<0. 6.有理数加法法则:(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;(2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值; (3)一个数与0相加,仍得这个数. 7.有理数加法的运算律:(1)加法的交换律:a+b=b+a ;(2)加法的结合律:(a+b )+c=a+(b+c ). 8.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b ).9.有理数乘法法则:(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘; (2)任何数同零相乘都得零;(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定. 10.有理数乘法的运算律:(1)乘法的交换律:ab=ba ;(2)乘法的结合律:(ab )c=a (bc ); (3)乘法的分配律:a (b+c )=ab+ac .11.有理数除法法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意:零不能做除数,无意义即0a .12.有理数乘方的法则: (1)正数的任何次幂都是正数;(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意:当n 为正奇数时:(-a)n=-a n或(a -b)n=-(b-a)n,当n 为正偶数时:(-a)n=a n或(a-b)n =(b-a)n.13.乘方的定义:(1)求相同因式积的运算,叫做乘方;(2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂;(3)a 2是重要的非负数,即a 2≥0;若a 2+|b|=0⇔a=0,b=0;14.混合运算法则:先乘方,后乘除,最后加减;注意:怎样算简单,怎样算准确,是数学计算的最重要的原则.15.特殊值法:是用符合题目要求的数代入,并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明. 考点二、实数1、平方根如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根(或二次方跟)。

中考数学总复习考点知识讲解课件5---一次方程(组)及其应用

中考数学总复习考点知识讲解课件5---一次方程(组)及其应用

❹等式的基本性质 (1)等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.即如果a=b,那
么a±c=__b_±__c__.
(2)等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.即如果
b
a=b,那么ac=__b_c__, a =__c__(c≠0).
c
❺解一元一次方程时,目标是把原方程化为x=c的形式,一般步骤为: (1)去分母; (2)去括号; (3)移项; (4)合并同类项; (5)未知数的系数化为1.
命题角度❶ 列一次方程(组) 例2 (2018·江西)中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一, 其中有一问题:“今有牛五、羊二,直金十两.牛二、羊五,直金八 两.问牛羊各直金几何?”译文:今有牛5头,羊2头,共值金10两;牛2 头,羊5头,共值金8两.问牛、羊每头各值金多少?设牛、羊每头各值金 x两、y两,依题意,可列出方程组为 .
中考数学总复习考点知识讲解课件 一次方程(组)及其应用
知识点一 一元一次方程及其解法
❶方程:含有__未__知__数___的等式叫做方程.
❷方程的解:使方程左、右两边的值相等的__未__知__数___的值,叫做方程的 解.
❸一元一次方程:只含有_一__个__个未知数(元),未知数的次数都是__1__, 等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程.
选择代入消元法或加减消元法的技巧
知识点三 一次方程(组)的应用
❶常见问题及基本关系式
实际问题巧设未知数 (1)题设中给出A是B的倍数或A比B多(少)时,常设B,再表示A; (2)题干中给出a个甲和b个乙;m个甲和n个乙时,常设甲为x,乙为y; (3)题干中给出甲与乙的和,a个甲和b个乙,可分别设甲为x,乙为y.
例1 (2015·河北)利用加减消元法解方程组 法正确的是( ) A.要消去y,可以将①×5+②×2 B.要消去x,可以将①×3+②×(-5) C.要消去y,可以将①×5+②×3 D.要消去x,可以将①×(-5)+②×2

2012年中考数学一轮复习精品讲义 二次函数

2012年中考数学一轮复习精品讲义 二次函数

第二十六章 二次函数本章小结小结1 本章概述本章从实际问题的情境入手引出基本概念,引导学生自主探索变量之间的关系及其规律,认识二次函数及其图象的一些基本性质,学习怎样寻找所给问题中隐含的数量关系,掌握其基本的解决方法.本章的主要内容有两大部分:一部分是二次函数及其图象的基本性质,另一部分是二次函数模型.通过分析实例,尝试着解决实际问题,逐步提高分析问题、解决问题的能力.二次函数综合了初中所学的函数知识,它把一元二次方程、三角形等知识综合起来,是初中各种知识的总结.二次函数作为一类重要的数学模型,将在解决有关实际问题的过程中发挥重要的作用. 小结2 本章学习重难点【本章重点】 通过对实际问题情境的分析,确定二次函数的表达式,体会二次函数的意义;会用描点法画二次函数的图象,能从图象中认识二次函数的性质;会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴,并能解决简单的实际问题;会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【本章难点】 会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴,并能解决简单的实际问题. 【学习本章应注意的问题】1.在学习本章的过程中,不要死记硬背,要运用观察、比较的方法及数形结合思想熟练地画出抛物线的草图,然后结合图象来研究二次函数的性质及不同图象之间的相互关系,由简单的二次函数y =ax 2(a ≠0)开始,总结、归纳其性质,然后逐步扩展,从y =ax 2+k ,y =a (x -h )2一直到y =ax 2+bx +c ,最后总结出一般规律,符合从特殊到一般、从易到难的认识规律,降低了学习难度.2.在研究抛物线的画法时,要特别注意抛物线的轴对称性,列表时,自变量x 的选取应以对称轴为界进行对称选取,要结合图象理解并掌握二次函数的主要特征.3.有关一元二次方程与一次函数的知识是学习二次函数内容的基础,通过观察、操作、思考、交流、探索,加深对教材的理解,在学习数学的过程中学会与他人交流,同时,在学习本章时,要深刻理解两种思想和两种方法,两种思想指的是函数思想和数形结合思想,两种方法指的是待定系数法和配方法,在学习过程中,对数学思想和方法要认真总结并积累经验小结3 中考透视近几年来,各地的中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放性探索题和函数的应用题,尤其是全国各地中考试题中的压轴题,有三分之一以上是这一类题,试题考查的范围既有函数的基础知识、基本技能以及基本的数学方法,还越来越重视对学生灵活运用知识能力、探索能力和动手操作能力的考查,特别是二次函数与一元二次方程、三角形的面积、三角形边角关系、圆的切线以及圆的有关线段组成的综合题,主要考查综合运用数学思想和方法分析问题并解决问题的能力,同时也考查计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和创造能力.知识网络结构图二次函数的概念二次函数的图象开口方向对称轴顶点坐标增减性专题总结及应用二次函数 二次函数的性质 二次函数的应用 一元二次方程的近似解 一元二次不等式的解集 二次函数的最大(小)值 在实际问题中的应用一、知识性专题专题1 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质【专题解读】 对二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与性质的考查一直是各地中考必考的重要知识点之一,一般以填空题、选择题为主,同时也是综合性解答题的基础,需牢固掌握.例1 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图26-84所示,则下列结论:①a >0;②c >0;③b 2-4ac >0.其中正确的个数是 ( )A .0个B .1个C .2个D .3个分析 ∵抛物线的开口向下,∴a <0;∵抛物线与y 轴交于正半铀,∴c >0;∵抛物线与x 轴有两个交点,∴b 2-4ac >0.故②③正确.故选C .【解题策略】 解此类题时,要注意观察图象的开口方向、与y 轴交点的位置以及与x 轴交点的个数.例2 若y =ax 2+bx +c ,则由表格中的信息可知y 与x 之间的函数关系式是 ( )x -1 0 1 ax 2 1 ax 2+bx +c83A .y =x 2-4x +3B .y =x 2-3x +4C .y =x 2-3x +3D .y =x 2-4x +8分析 由表格中的信息可知,当x =1时,ax 2=1,所以a =1.当x =-1时,ax 2+bx +c =8,当x =0时,ax 2+bx +c =3,所以c =3,所以1³(-1)2+b ³(-1)+3=8,所以b =-4.故选A .【解题策略】 本题考查用待定系数法求二次函数的解析式,解决此题的突破口是x =1时,ax 2=1,x =0时,ax 2+bx +c =3和x =-1时,ax 2+bx +c =8.例3 已知二次函数y =ax 2+bx +1的大致图象如图26-85所示,则函数y =ax +b 的图象不经过 ( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 分析 由图象可知a <0,2ba-<0,则b <0,所以y =ax +b 的图象不经过第一象限.故选A .【解题策略】 抛物线的开口方向决定了a 的符号,b 的符号由抛物线的开口方向和对称轴共同决定.例4 已知二次函数y =ax 2+bx +c (其中a >0,b >0,c <0),关于这个二次函数的图象有如下说法:①图象的开口一定向上;②图象的顶点一定在第四象限;③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧.其中正确的个数为 ( )A .0个B .1个C .2个D .3个 分析 由a >0,得抛物线开口向上,由2ba-<0,得对称轴在y 轴左侧,由c <0可知抛物线与y 轴交于负半轴上,可得其大致图象如图26—86所示,因此顶点在第三象限,故①③正确.故选C.【解题策略】 此题考查了二次函数的开口方向、对称轴、顶点等性质,解题时运用了数形结合思想.例5 若A 113,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,B 25,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,C 31,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为二次函数y =x 2+4x +5的图象上的三点,则y 1,y 2,y 3的大小关系是 ( )A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y1<y3<y2分析因为y=x2+4x+5的图象的对称轴为直线x=-2,所以x=134-与x=-34的函数值相同,因为抛物线开口向上,所以当54-<34-<14时,y2<y1<y3.故选B.【解题策略】此题考查了抛物线的增减性和对称轴,讨论抛物线的增减性需在对称轴的同侧考虑,因此将x=134-的函数值转化为x=-34的函数值.例6 在平面直角坐标系中,函数y=-x+1与y=-32(x-1)2的图象大致是(如图26—87所示) ( )分析直线y=-x+1与y轴交于正半轴,抛物线y=-32(x-1)2的顶点为(1,0),且开口向下.故选D.专题2 抛物线的平移规律【专题解读】当二次函数的二次项系数a相同时,图象的形状相同,即开口方向、大小相同,只是位置不同,所以它们之间可以进行平行移动,移动时,其一,把解析式y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式;其二,对称轴左、右变化,即沿x轴左、右平移,此时与k的值无关;顶点上、下变化,即沿y轴上、下平移,此时与h的值无关.其口诀是“左加右减,上加下减”.例7 把抛物线y=-2x2向上平移1个单位,得到的抛物线是 ( )A.y=-2(x+1)2 B.y=-2(x-1)2C.y=-2x2+1 D.y=-2x2-1分析原抛物线的顶点为(0,0),向上平移一个单位后,顶点为(0,1).故选C.【解题策略】解决此题时,可以用“左加右减,上加下减”的口诀来求解,也可以根据顶点坐标的变化来求解.例8 把抛物线y=x2+bx+c向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线的解析式为y=x2-3x +5,则 ( )A.b=3,c=7 B.b=6,c=3C.b=-9,c=-5 D.b=-9,c=21分析y=x2-3x+5变形为y=232x⎛⎫-⎪⎝⎭+5-94,即y=232x⎛⎫-⎪⎝⎭+114,将其向左平移3个单位,再向上平移2个单位,可得抛物线y=2332x⎛⎫-+⎪⎝⎭+114+2,即y=x2+3x+7,所以b=3,c=7.故选A.【解题策略】此题运用逆向思维解决了平移问题,即抛物线y=x2+bx+c向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到y=x2-3x+5,那么抛物线y=x2-3x+5则向左平移3个单位,再向上平移2个单位,可得到抛物线y =x 2+bx +c .专题3 抛物线的特殊位置与函数关系的应用【专题解读】若抛物线经过原点,则c =0,若抛物线的顶点坐标已知,则2ba -和244acb a-的值也被确定等等,这些都体现了由抛物线的特殊位置可以确定系数a ,b ,c 以及与之有关的代数式的值.例9 如图26-88所示的抛物线是二次函数y =ax 2+3ax +a 2-1的图象,则a 的值是 .分析 因为图象经过原点,所以当x =0时,y =0,所以a 2-1=0,a =±1,因为抛物线开口向下,所以a =-1.故填-1:专题4 求二次函数的最值【专题解读】 在自变量x 的取值范围内,函数y =ax 2+bx +c 在顶点24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭处取得最值.当a >0时,抛物线y =ax 2+bx +c 开口向上,顶点最低,当x =2ba -时,y 有最小值为244acb a-;当a <0时,抛物线y =ax 2+bx +c 开口向下,顶点最高,当x =2ba -时,y 有最大值为244acb a-.例10 已知实数x ,y 满足x 2+2x +4y =5,则x +2y 的最大值为 .分析 x 2+2x +4y =5,4y =5-x 2-2x ,2y =12(5-x 2-2x ),x +2y =12(5-x 2-2x )+x ,整理得x +2y =-12x 2+52.当x =0时,x +2y 取得最大值,为52.故填52. 专题 5 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系【专题解读】 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系,可以用函数的观点来理解方程的解和不等式的解集.已知函数值,求自变量的对应值,就是解方程,已知函数值的范围,求对应的自变量的取值范围,就是解不等式.例11 已知二次函数y =ax 2+bx 的图象经过点(2,0),(-1,6). (1)求二次函数的解析式;(2)不用列表,画出函数的图象,观察图象,写出当y >0时x 的取值范围.分析 (1)列出关于a ,b 的方程组,求a ,b 的值即可.(2)观察图象求出y >0的解集.解:(1)由题意可知,当x =2时,y =0,当x =-1时,y =6,则420,6,a b a b +=⎧⎨-=⎩解得2,4.a b =⎧⎨=-⎩ ∴二次函数的解析式为y =2x 2-4x .(2)图象如图26—89所示,由图象可知,当y >0时,x <0或x >2.【解题策略】 求二次函数的解析式,其实质就是先根据题意寻求方程组,并解方程组,从而使问题得到解决.二、规律方法专题专题6 二次函数解析式的求法【专题解读】 用待定系数法可求出二次函数的解析式,确定二次函数的解析式一般需要三个独立的条件,根据不同的条件,选择不同的设法.(1)设一般式:y =ax 2+bx +c (a ≠0).若已知条件是图象经过三个点,则可设所求的二次函数解析式为y=ax2+bx+c,将已知条件代入,即可求出a,b,c的值.(2)设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(x1,0),(x2,0),则可设所求的二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三点(m,n)的坐标(其中m,n为已知数)代入,求出待定系数a,最后将解析式化为一般式.(3)设顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0).若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),则可设所求的二次函数解析式为y=a(x-h)2+k,将已知条件代入,求出待定系数a,最后将解析式化为一般式.(4)设对称点式:y=a(x-x1)(x-x2)+m(a≠0).若已知二次函数图象上的对称点(x1,m),(x2,m),则可设所求的二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2)+m(a≠0),将已知条件代入,求得待定系数a,m,最后将解析式化为一般式.例12 根据下列条件求函数解析式.(1)已知二次函数的图象经过点(-1,-6),(1,-2)和(2,3),求这个二次函数的解析式;(2)已知抛物线的顶点为(-1,-3),与y轴的交点为(0,-5),求此抛物线的解析式;(3)已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(1,0)两点,且经过点M(0,1),求此抛物线的解析式;(4)已知抛物线经过(-3,4),(1,4)和(0,7)三点,求此抛物线的解析式.分析 (1)已知图象上任意三点的坐标,可选用一般式,从而得到关于a,b,c的方程组,求出a,b,c的值,即可得到二次函数的解析式.(2)已知抛物线的顶点坐标,应选用顶点式.(3)由于A(-l,0),B(1,0)是抛物线与x轴的两个交点,因此应选用交点式.(4)显然已知条件是抛物线经过三点,故可用一般式,但由于(-3,4),(1,4)是抛物线上两个对称点,因此选用对称点式更简便.解:(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c将(-1,-6),(1,-2)和(2,3)分别代入,得6,2,423,a b ca b ca b c-+=-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得1,2,5.abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴所求的二次函数的解析式为y=x2+2x-5.(2)∵抛物线的顶点为(-1,-3),∴设其解析式为y=a(x+1)2-3,将点(0,-5)代入,得-5=a-3,∴a=-2,∴所求抛物线的解析式为y=-2(x+1)2-3.即y=-2x2-4x-5.(3)∵点A(-1,0),B(1,0)是抛物线与x轴的两个交点,∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-1),将点M(0,1)代入,得1=-a,∴a=-1,∴所求抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-1),即y=-x2+1(4)∵抛物线经过(-3,4),(1,4)两点,∴设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1)+4,将点(0,7)代入,得7=a²3²(-1)+4,∴a=-1,∴所求抛物线的解析式为y=-(x+3)(x-1)+4,即y=-x2-2x+7.【解题策略】 (1)求二次函数解析式的4种不同的设法是指根据不同的已知条件寻求最简的求解方法,它们之间是相互联系的,不是孤立的.(2)在选用不同的设法时,应具体问题具体分析,特别是当已知条件不是上述所列举的4种情形时,应灵活地运用不同的方法来求解,以达到事半功倍的效果.(3)求,函数解析式的问题,如果采用交点式、顶点式或对称点式,最后要将解析式化为一般形式.三、思想方法专题 专题7 数形结合思想【专题解读】 把问题的数量关系和空间形式结合起来考查,根据解决问题的需要,可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论,也可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究.例13 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图26-90所示,则点A (a ,b )在 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 分析 由图象开口方向向下可知a <0,由对称轴的位置可知x =2ba->0,所以b >0,故点A 在第二象限.故选B .【解题策略】 解决此题的关键是观察图象的开口方向以及对称轴的位置. 专题8 分类讨论思想【专题解读】 分类讨论是对问题的条件逐一进行讨论,从而求得满足题意的结果.例14 已知抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴交于点A (0,3),与x 轴交于B (1,0),C (5,0)两点. (1)求此抛物线的解析式;(2)若点D 为线段OA 的一个三等分点,求直线DC 的解析式;(3)若一个动点P 自OA 的中点M 出发,先到达x 轴上某点(设为点E ),再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F ),最后运动到点A ,求使点P 运动的总路径最短的点E ,F 的坐标,并求出这个最短总路径的长.分析 (1)用待定系数法求a ,b ,c 的值.(2)用分类讨论法求直线CD 的解析式.(3)根据轴对称解决最短路径问题.解:(1)根据题意,得c =3,所以30,25530,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得3,518.5a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以抛物线的解析式为y =35x 2-185x +3.(2)依题意可知,OA 的三等分点分别为(0,1),(0,2), 设直线CD 的解析式为y =k x +b ,当点D 的坐标为(0,1)时,直线CD 的解析式为y =-15x +1,当点D 的坐标为(0,2)时,直线CD 的解析式为y =-25x +2. (3)由题意可知M 30,2⎛⎫⎪⎝⎭,如甲26-91所示,点M 关于x 轴的对称点为M ′30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭,点A 关于抛物线对称轴x =3的对称点为A ′(6,3),连接A ′M ′,根据轴对称性及两点间线段最短可知,A ′M ′的长就是点P 运动的最短总路径的长.所以A ′M ′与x 轴的交点为所求的E 点,与直线x =3的交点为所求的F 点. 可求得直线A ′M ,的解析式为y =34x -32. 所以E 点坐标为(2,0),F 点坐标为33,4⎛⎫⎪⎝⎭,由勾股定理可求出A ′M ′=152. 所以点P 运动的最短总路径(ME +EF +FA )的长为152. 【解题策略】 (2)中点D 的位置不确定,需要分类讨论,体现了分类讨论的数学思想.(3)中的关键是利用轴对称性找到E ,F 两点的位置,从而求出其坐标,进而解决问题.专题9 方程思想【专题解读】 求抛物线与坐标轴的交点坐标时,可转化为二次函数y =0或x =0,通过解方程解决交点的坐标问题.求抛物线与x 轴的交点个数问题也可以转化为求一元二次方程根的情况.例15 抛物线y =x 2-2x +1与x 轴交点的个数是 ( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个分析 可设x 2-2x +1=0,Δ=(-2)2-4³1³1=0,可得抛物线y =x 2-2x +1与x 轴只有一个交点.故选B .【解题策略】 抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交点的个数可由一元二次方程ax 2+bx +c =o(a ≠0)的根的个数来确定.专题10 建模思想【专题解读】 根据实际问题中的数量关系建立二次函数关系式,再用二次函教的性质来解决实际问题. 例16 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现,若以每箱50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱. (1)求平均每天的销售量y (箱)与销售价x (元/箱)之间的函数关系式;(2)求该批发商平均每天的销售利润W (元)与销售价x (元/箱)之间的函数关系式; (3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?分析 (1)原来每箱售价50元,价格每提高1元,平均每天少销售3箱,若提高(x -50)元,则平均每天少销售3(x -50)箱,所以提价后每天销售[90-3(x -50)]箱,即y =90-3(x -50).(2)每天的销售利润可用(x -40)[90-3(x -50)]来表示.(3)建立W 和x 之间的二次函数关系式,利用二次函数的最值求利润的最值. 解:(1)y =90-3(x -50),即y =-3x +240.(2)W =(x -40)(-3x +240)=-3x 2+360x -9600,(3)∵a =-3<0,∴当x =2ba-=60时,W 有最大值, 又∵当x <60时,y 随x 的增大而增大, ∴当x =55时,W 取得最大值为1125元,即每箱苹果的销售价为55元时,可获得1125元的最大利润.【解题策略】 求实际问题的最值时,可通过建立二次函数关系式,根据二次函数的最值来求解. 例17 某公司经销某品牌运动鞋,年销售量为10万双,每双鞋按250元销售,可获利25%,设每双鞋的成本价为a 元. (1)试求a 的值;(2)为了扩大销售量,公司决定拿出一定量的资金做广告,根据市场调查,若每年投入广告费为x(万元),则产品的年销售量将是原销售量的y倍,且y与x之间的关系如图26—92所示,可近似看作是抛物线的一部分.①根据图象提供的信息,求y与x之间的函数关系式;②求年利润S(万元)与广告费x(万元)之间的函数关系式,并计算广告费x(万元)在什么范围内时,公司获得的年利润S(万元)随广告费的增多而增多.(注:年利润S=年销售总额-成本费-广告费) 解:(1)由题意得a(1+25%)=250,解得a=200(元).(2)①依题意可设y与x之间的函数关系式为y=ax2+bx+1,则421 1.36,1641 1.64,a ba b++=⎧⎨++=⎩,解得0.01,0.2,ab=-⎧⎨=⎩∴y=-0.01x2+0.2x+1.②S=(-0.01x2+0.2x+1)³10³250-10³200-x,即S=-25x2+499x+500,整理得S=-25(x-9.98)2+2990.01.∴当0≤x≤9.98时,公司获得的年利润随广告费的增多而增多.例18 某宾馆有客房100间供游客居住,当每间客房的定价为每天180元时,客房会全部住满.当每间客房每天的定价每增加10元时,就会有5间客房空闲.(注:宾馆客房是以整间出租的)(1)若某天每间客房的定价增加了20元,则这天宾馆客房收入是元;(2)设某天每间客房的定价增加了x元,这天宾馆客房收入y元,则y与x的函数关系式是;(3)在(2)中,如果某天宾馆客房收入y=17600元,试求这天每间客房的价格是多少元.分析本题是用二次函数解决有关利润最大的问题,由浅入深地设置了三个问题.解:(1)18000(2)y=12-x2+10x+18000(3)当y=17600时,-12x2+10x+400=0,即x2-20x-800=0.解得x=-20(舍去)或x=40.180+40=220,所以这天每间客房的价格是220元.例19 (09²泰安)如图26-93(1)所示,△OAB是边长为2的等边三角形,过点A的直线y=+m与x轴交于点E.(1)求点E的坐标;(2)求过A,O,E三点的抛物线的解析式.解:(1)如图26-93(2)所示,过A作AF⊥x轴于F,则OF =OA cos 60°=1,AF =OF tan 60°∴点A (1.代入直线解析式,得1+mm, ∴y=x. 当y =0时,=0, 解得x =4,∴点E (4,0).(2)设过A ,O ,E 三点的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c , ∵抛物线过原点,∴c =0,∴1640,a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为y=x 2x . 例20 如图26-94所示,在平面直角坐标系中,OB ⊥OA ,且OB =2OA ,点A 的坐标是(-1,2).(1)求点B 的坐标;(2)求过点A ,O ,B 的抛物线的表达式.解:(1)如图26-95所示,过点A 作AF ⊥x 轴,垂足为点F ,过点B 作BE ⊥x 轴,垂足为点E ,则AF =2,OF =1. ∵OA ⊥OB ,∴∠AOF +∠BOE =90°. 又∵∠BOE +∠OBE =90°, ∴∠AOF =∠OBE . ∴Rt △AFO ∽Rt △OEB . ∴BE OE OBOF AF OA===2 ∴BE =2,OE =4. ∴B (4,2).(2)设过点A (-1,2),B (4,2),O (0,0)的抛物线的表达式为y =ax 2+bx +c .则2,1642,0.a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得1,23,20.a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴所求抛物线的表达式为y =12x 2-32x . 例21如图26-96所示,已知抛物线y =x 2+bx +c 经过A (1,0),B (0,2)两点,顶点为D .(1)求抛物线的解析式;(2)将△OAB 绕点A 顺时针旋转90°后,点B 落到点C 的位置,将抛物线沿y 轴平移后经过点C ,求平移后所得图象的函数关系式.解:(1)已知抛物线y =x 2+bx +c 经过A (1,0),B (0,2)两点, ∴01,200,b c c =++⎧⎨=++⎩解得3,2,b c =-⎧⎨=⎩∴所求抛物线的解析式为y =x 2-3x +2.(2)∵A (1,0),B (0,2),∴OA =1,OB =2, 可得旋转后C 点的坐标为(3,1).当x =3时,由y =x 2-3x +2得y =2,可知抛物线y =x 2-3x +2过点(3,2).∴将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点C∴平移后的抛物线的解析式为y =x 2-3x +1.例22 如图26-97所示,抛物线y =ax 2+bx -4a 经过A (-1,0),C (0,4)两点,与x 轴交于另一点B .(1)求抛物线的解析式;(2)已知点D (m ,m +1)在第一象限的抛物线上,求点D 关于直线BC 对称的点的坐标.解:(1)∵抛物线y =ax 2+bx -4a 经过A (-1,0),C (0,4)两点,∴40,4 4.a b a a --=⎧⎨-=⎩解得1,3.a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y =-x 2+3x +4.(2)如图26-98所示,点D (m ,m +1)在抛物线上,∴m +1=-m 2+3m +4,即m 2-2m -3=0,∴m =-1或m =3.∵点D 在第一象限,∴点D 的坐标为(3,4). 由(1)得B 点的坐标为(4,0), ∴OC =OB ,∴∠CBA =45°.设点D 关于直线BC 的对称点为点E .∵C(0,4),∴CD∥AB,且CD=3,∴∠ECB=∠DCB=45°,∴E点在y轴上,且CE=CD=3.∴OE=1,∴E(0,1).即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0,1).2011中考真题精选点评:本题考查了二次函数图象上点的坐标特点,一元二次方程解的意义.关键是求二次函数解析式,根据二次函数的对称轴,开口方向判断函数值的大小.2.(2011黑龙江牡丹江,18,3分)抛物线y=ax2+bx﹣3过点(2,4),则代数式8a+4b+1的值为()A、﹣2B、2C、15D、﹣15考点:二次函数图象上点的坐标特征;代数式求值。

2012年中考数学一轮精品复习教案:方程组及其应用

2012年中考数学一轮精品复习教案:方程组及其应用

三、方程(组)及其应用(6课时)教学目标:1.掌握本部分的知识结构图.基本概念的掌握要到位,不仅要理解更要会运用,复习时应要求学生先观察后动手,并保证较高的正确率。

2.让学生自己总结交流所学内容,发展学生的语言表达能力和合作交流能力.3.通过学生自己归纳总结本部分内容,使他们在动手操作方面,探索研究方面,语言表达方面,分类讨论、归纳等方面都有所发展.教学重点与难点重点:重视情景(信息)问题的分析,增强学生的情景分析或信息提取能力,增强学生用数学知识解决情景问题能力即建模能力.难点:提高方程(组),不等式,函数,直角三角形,相似三角形等知识的综合运用能力,力争做到相互联系,融会贯通.教学时间:6课时方程(组)部分在第一轮复习时大约需要6个课时.下表为内容及课时安排:课时数内容1 一元一次方程、二元一次方程组、简单的三元一次方程组1 一元二次方程的解法、二元二次方程组1 分式方程1 一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系2 方程(组)的应用方程(组)单元测试与评析教学过程: 【知识回顾】 1、 知识脉络2、基础知识方程的有关概念含有未知数的等式叫做方程.能使方程两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解,只含有一个未知数的方程的解,也叫做根.求方程的解的过程叫做解方程.一元一次方程①只含有一个未知数,且未知项的次数是1的整式方程叫做一元一次方程,它的标准形式是()00≠=+a b ax .②一元一次方程的解法.方程(组)的应用二元二次方程组 实际问题方 程一元一次方程 二元一次方程 三元一次方程 一元二次方程 二元二次方程 分 式 方 程二元一次方程组 三元一次方程组二元一次方程(组)①含有两个未知数,且未知项的次数都是1的整式方程,叫做二元一次方程. ②由几个方程所组成的一组方程叫做方程组.方程组里各个方程的公共解叫做这个方程组的解.求方程组的解的过程叫做解方程组.③含有两个未知数,且未知项的次数都是1,由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元一次方程组.④二元一次方程组的解法.其基本思想是消元.其基本方法是代入消元法和加减消元法.三元一次方程(组)①含有三个未知数,且未知项的次数都是1的整式方程,叫做三元一次方程. ②含有三个未知数,且未知项的次数都是1,由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做三元一次方程组.③三元一次方程组的解法.其基本思想仍是消元.其基本方法仍是代入法和加减法.一元二次方程①只含有一个未知数,且未知项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.它的一般形式为02=++c bx ax (c b a ,,是已知数,0≠a ),其中bx ax ,2分别叫做二次项,一次项;c b a ,,分别叫做二次项系数,一次项系数,常数项.②一元二次方程的解法.其基本思想是降次.其常用方法:直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、十字相乘法.③一元二次方程02=++c bx ax (c b a ,,是已知数,0≠a )的根的判别式(ac b 42-=∆):(ⅰ)当0>∆时,一元二次方程有两个不相等的实数根; (ⅱ)当0=∆时,一元二次方程有两个相等的实数根; (ⅲ)当0<∆时,一元二次方程没有实数根. 以上结论,反之亦成立.④一元二次方程根与系数的关系(韦达定理):若一元二次方程02=++c bx ax (c b a ,,是已知数,0≠a )的两根为1x 、2x ,则ac x x a b x x =⋅-=+2121,.二元二次方程组(一个二元一次方程、一个二元二次方程)①含有两个未知数,且未知项的最高次数为2,由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元二次方程组.②二元二次方程组的解法.其基本思想是消元、降次.其方法主要是代入消元法.分式方程①分母中含有未知数的方程叫做分式方程.②分式方程的解法.其基本思想是将分式方程转化为整式方程.其方法是运用等式性质在方程两边同乘以最简公分母.解分式方程必须要验根.列方程(组)解应用题的一般步骤:①审清题意;②找出等量关系;③设出直(间)接未知数;④列出方程(组);⑤解方程(组);⑥验方程(组)的根;⑦答出完整的语句. 3、能力要求例1 解二元一次方程组和三元一次方程组:(1)⎩⎨⎧=+=+;134,1632y x y x①②(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=++.1232,72,1323z y x z y x z y x 【分析】(1)因为方程②中的x 的系数为1,所以应把方程②变形为y x 413-=,然后把它代入方程①求出y 后再求x 即可.(2)三个未知数的系数中最简单的系数是z 的系数,故考虑先消去z ,而消去z 的方法有①+③;②+③×2;①×2-②,我们选择①+③和②+③×2,消去同一个未知数z ,就可以得到关于x 与y 的二元一次方程组,然后解此二元一次方程组.【解】(1) 由②,得 .413y x -= ③ 将③代入①,得 (),1634132=+-y y即 .105-=-y.2=∴y ④将④代入③,得 .5=x所以原方程组的解是⎩⎨⎧==.2,5y x(2)①+③,得 ,2555=+y x即 .5=+y x ④②+③×2,得 .3175=+y x ⑤④与⑤组成方程组,⎩⎨⎧=+=+.3175,5y x y x解这个方程组得 ⎩⎨⎧==.3,2y x把2=x ,3=y 代入①,得 .133223=+⨯+⨯z.1=∴z① ②③所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧===.1,3,2z y x【说明】本题主要考查学生的计算能力.教师在复习时要加强计算能力的培养,为解决综合题中的计算打好基础.该题体现了化归思想方法.请学生尝试用其它消元方法解这两个方程组,并进行比较. 例2 解一元二次方程和二元二次方程组: (1);0132=-+x x (2)()();02≠-=-a b ax b ax(3)⎩⎨⎧=--=-+-.012,011622y x y y x【分析】(1)解一元二次方程应考虑因式分解法,十字相乘法,公式法,配方法等方法.本题通过尝试,选用公式法较为适宜.(2)该题的等式两边有相同的式子,应移项后提公因式;而不能直接在等号两边除以ax b -,否则,方程将失根.(3)题中方程②是二元一次方程,把它变形为21x y =+,并把它代入方程①,可得到关于y 的一元二次方程. 【解】(1) ∵原方程中,1=a ,3=b ,1-=c(),013114942>=-⨯⨯-=-=∆ac b ,2133242±-=-±-=a ac b b x1313,2x -+∴=.21332--=x (2)移项,提取公因式,得 ()().01=---b ax b ax0=-∴b ax 或.01=--b ax① ②,0≠a,1a b x =∴.12ab x += (3) 由②,得 .12+=y x ③把③代入①,得 (),01161222=-+-+y y y 即 .09102=+-y y 解之得 ,91=y .12=y 当91=y 时,;191=x 当12=y 时,.32=x所以原方程组的解是⎩⎨⎧==,9,1911y x ⎩⎨⎧==.1,322y x 【说明】本题考查了一元二次方程和二元二次方程组的解法和计算能力;该题不但考查了数学的转化(消元、降次)思想,而且还沟通了二次函数中的问题,如:求抛物线与x 轴的交点坐标、直线与抛物线的交点坐标等问题. 例3 解分式方程:(1);32121---=-x xx (2).113162=---x x 【分析】在确定最简公分母前一般先把方程中各分式的分子分母按未知数x 降幂排列,(1)的最简公分母是()2x -,(2)的最简公分母是()()11x x +-.分式方程可转化为一元一次方程或一元二次方程. 【解】(1)原方程变形为.32121---=-x x x 方程两边同乘以最简公分母()2x -,约去分母,得 ().2311---=x x 解这个方程得 .2=x检验:把2=x 代入最简公分母,得 .02=-x∴2=x 是原方程的增根. 所以原方程无解. (2)原方程变形为()().113116=---+x x x方程两边同乘以最简公分母()()11-+x x ,约去分母,得 ()()().11136-+=+-x x x 整理得 .0432=-+x x 解这个方程得 ,41-=x .12=x经检验,41-=x 是原方程的根;12=x 是原方程的增根. 所以原方程的根是4-=x .【说明】解分式方程的关键在于确定正确的最简公分母和检验.值得注意的是在去分母时不要遗漏没有分母的项.该题考查了化归思想,教学时应将这种数学思想渗透给学生.例4已知:是关于的方程的两个实数根,且,求的值.【分析】题中有条件:是方程的两根;对此条件的联想:根的定义,根的判别式,根与系数的关系等;题中要求的值,应列出关于的关系式.【解】因是关于的方程的两个实数根,故.2345322121m x x m x x -=⋅-=+, ,023,2322121≤-=⋅=m x x x x .2321-=∴x x设,,k x k x 2321=-=所以 ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅--=+-.2323,453232m k k m k k 整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.4,43522m k m k 解之得当5121==m m ,时,△分别都大于.0 ∴m 的值1或5例5 为庆祝“六一”儿童节,某市中小学统一组织文艺汇演,甲、乙两所学校共92人(其中甲校人数多于乙校人数,且甲校人数不够90人),•准备统一购买服装参加演出,下面是某服装厂给出的演出服装的价格表:购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元50元40元如果两所学校分别单独购买服装,一共应付5000元.(1)如果甲、乙两校联合起来购买服装,那么比各自购买服装共可以节省多少钱?(2)甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出?(3)如果甲校有10名同学抽调去参加书法绘画比赛而不能参加演出,请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案.【分析】(1)由于甲、乙两校联合起来购买92套服装,因此每套服装的价格为40元.(2)由于甲、乙两校共92人,甲校人数多于乙校人数,因此甲校人数多于46人;又由于甲校人数不够90人,因此甲校应按每套50元购买,乙校应按每套60元购买.(3)利用(2)的结果分别讨论各自购买和联合购买的服装款;由于91×40<90×50,即按每套40元购买时的服装款有可能比按每套50元购买时的服装款少,因此,还需与按每套40元购买时的服装款比较. 【解】(1)由题意得5000-92×40=5000-3680=1320(元) 即两校联合起来购买服装比各自购买服装共可省1320元. (2)设甲、乙两所学校分别有x 名,y 名学生准备参加演出由题意得:⎩⎨⎧=+=+5000605092y x y x 解得:⎩⎨⎧==4052y x答:甲、乙两所学校分别有52名,40名学生准备参加演出. (3)因为甲校有10人不能参加演出, 所以甲校有52-10=42人参加演出若两校各自购买服装,则需要42×60+40×60=4920(元);若两校联合起来购买服装,则需要50×(42+40)=4100(元),此时比各自购买服装可以节约4920-4100=820(元);但如果两校联合购买91套服装只需40×91=3640(元),此时又比联合购买每套50元的服装可节约4100—3640=460(元)所以最省钱的买服装方案是两校联合购买91套服装(即比实际人数多购买9套).例6 已知:如图,矩形ABCD 中,AD=a ,DC=b .在AB 上找一点E ,使E 点与C 、D 的连线将此矩形分成的三个三角形相似,设AE= x .问:这样的点E 是否存在?若存在,这样的点E 有几个?请说明理由. 【分析】要使Rt △ADE, Rt △BEC, △ECD 彼此相似,点E 必须满足∠AED+∠BEC=90°,为此,可设在AB 上存在满足条件的点E 使得Rt △ADE ∽ Rt △BEC 即可解决.【解】依题意,要使分成的三个三角形相似,则∠AED+∠BEC=90°,而∠BEC+∠ECB=90°,即∠AED=∠ECB ,则△ADE ∽△BEC ∴,BE AD BC AE =∴xb a a x -= 整理得:,022=+-a bx x()()a b a b ac b 2242-+=-=∆而,02>+a b当02<-a b 即a b 2<时,,0<∆方程无实数解,即符合条件的点E 不存在. 当02=-a b 即a b 2=时,,0=∆方程有两个相等的实数解,即点E 存在,且只有一个,是AB 的中点.D C AE B当02>-a b 即a b 2>时,,0>∆方程有两个不相等的实数解,24222,1a b b x -±=都符合题意,即存在两个点满足条件. 【说明】本题是数形结合型题目.在解决很多几何题目时,常常用到一元二次方程的有关知识来做.解决此类型题目的关键在于把“形”的条件转化为“数”的条件,通过解决“数”的问题来达到解决“形”的问题的目的;同时,还要注意分类讨论思想的运用.本题也可用与圆有关的知识解答.。

中考数学一轮复习专题突破练习—一元二次方程及其应用

中考数学一轮复习专题突破练习—一元二次方程及其应用

中考数学一轮复习专题突破练习—一元二次方程及其应用一、单选题1.(2022·全国九年级课时练习)下列方程是一元二次方程的是( ) A .20ax bx c ++=B .()223232x x x -=-C .213x x-=D .242x x x -= 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的概念判断即可.只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程. 【详解】解:A 、20ax bx c ++=,a ≠0时,是一元二次方程,故此选项错误;B 、()223232x x x -=-,整理得:-2x +6=0,是一元一次方程,故此选项错误;C 、213x x-=,是分式方程,故此选项错误; D 、242x x x -=,是一元二次方程,故此选项正确; 故选:D .2.(2022·全国九年级课时练习)下列各数是方程212x x -=的根的是( ) A .3x = B .4x =C .5x =D .10x =【答案】B 【分析】分别将3x =,4x =,5x =,10x =代入方程中,如果方程左右两边相等,那么此时的值即为方程的解. 【详解】解:将3x =,4x =,5x =,10x =代入方程中, 可得当4x =时,左边=右边, 故4x =是方程212x x -=的根, 故选B .3.(2022·全国九年级课时练习)已知方程2(3)210k x x -++=有两个实数根,则k 的取值范围是( ) A .4k < B .4k ≤C .4k <且3k ≠D .4k ≤且3k ≠【答案】D 【分析】若一元二次方程有两个实数根,则根的判别式△=b 2-4ac ≥0,建立关于k 的不等式,求出k 的取值范围.还要注意二次项系数不为0. 【详解】解:∵方程有两个实数根,∴30k -≠且22Δ4241(3)0b ac k =-=-⨯⨯-≥, 解得4k ≤且3k ≠, 故选D .4.(2022·全国九年级课时练习)一元二次方程24410x x -+=的根的情况是( ) A .没有实数根 B .只有一个实数根 C .有两个相等的实数根D .有两个不相等的实数根【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解. 【详解】解:∵2Δ(4)4410=--⨯⨯=,∴一元二次方程24410x x -+=有两个相等的实数根. 故选C .5.(2022·全国九年级课时练习)用配方法解下列方程时,配方有错误的是( ) A .22990x x --=化为2(1)100x -=B .2890x x ++=化为2(4)25x +=C .22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D .23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【答案】B 【分析】根据配方的步骤计算即可解题. 【详解】()2222890,89,816916,47x x x x x x x ++=+=-++=-++=故B 错误.且ACD 选项均正确, 故选:B6.(2022·珠海市九洲中学九年级一模)已知关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围是( ) A .1a = B .1a >且0a ≠ C .1a <且0a ≠ D .1a ≤或0a ≠【答案】C由关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有两个不相等的实数根,即可得判别式△0>以及0a ≠,由此即可求得a 的范围.【详解】解:关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有两个不相等的实数根,∴△224(2)41440b ac a a =-=--⨯⨯=->,解得:1a <,方程2210-+=ax x 是一元二次方程,0a ∴≠,a ∴的范围是:1a <且0a ≠.故选:C .7.(2022·全国九年级课时练习)已知一个三角形的一边长为5,其他两边的长是方程(2)(4)0x x --=的根,则这个三角形的周长是( ) A .9 B .11C .11或13D .9或11【答案】C 【分析】首先解一元二次方程,再根据三角形三边关系的性质,分三种情况分析,通过计算即可得到答案. 【详解】∵(2)(4)0x x --=, ∴12x =,24x =当三角形的三边长分别为2,4,5时,其周长为11;当三角形的三边长分别为4,4,5时,其周长为13; 当三角形的三边长分别为2,2,5时,无法构成三角形; ∴这个三角形的周长是11或13. 故选:C .8.(2022·全国九年级课时练习)宾馆有50间房供游客居住,当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10890元?设房价比定价180元增加x 元,则有( ) A .180(20)501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭B .1805050201089010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭ C .(18020)501089010x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭D .(180)5050201089010x x ⎛⎫+--⨯= ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】设房价定为x 元,根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得. 【详解】解:设房价定为x 元, 根据题意,得()18020501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭故选A .9.(2022·全国九年级课时练习)如图,在宽为20m ,长为30m 的矩形地面上修建两条宽均为m x 的小路(阴影),余下部分作为草地,草地面积为2551m ,根据图中数据,求得小路宽x 的值为( )A .1B .1.5C .2D .2.5【答案】A 【分析】剩余部分可合成长为(30-x )m ,宽为(20-x )m 的矩形,利用矩形的面积公式结合草地面积为551m 2,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论. 【详解】解:根据题意,得(30)(20)551x x --=, 整理,得250490x x -+=, 解得121,49x x ==,∵当249x =时,20290x -=-<, ∴249x =舍去, ∴小路宽x 的值为1. 故选A .10.(2022·全国九年级课时练习)某市2012年有人口100万,2013年人口增长率为5%,“单独二胎”政策开放后,2014年人口增长率约为7%,若2013年、2014年人口年平均增长率为x ,则( ) A .6%x = B .6%x >C .6%x <D .不能确定【答案】C【分析】根据题意可得等量关系为:2012年的人口数×(1+增长率)2=2014年的人口数,把相关数值代入即可列出方程.【详解】依题意列方程为2x+=++,100(1)100(15%)(17%)整理得2x+=++=,(1)(15%)(17%) 1.1235++=>,∵(16%)(16%) 1.1236 1.1235∴6%x<.故选:C二、填空题11.(2022·沭阳县怀文中学九年级月考)国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2018年至2020年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x.则可列方程为________________.【答案】()2+=x500017500【分析】根据题意可得等量关系:2018年的快递业务量×(1+增长率)2=2020年的快递业务量,根据等量关系列出方程即可.【详解】解:设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x,由题意得:5000(1+x)2=7500,故答案为:5000(1+x)2=7500.12.(2020·沭阳县怀文中学九年级月考)已知关于x的方程x2﹣14=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是_______.【答案】k≥0【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式,解不等式即可.【详解】解:∵关于x的方程x2﹣14=0有两个不相等的实数根,∴2﹣4×1×(﹣14)>0且k≥0,k+1>0且k≥0,解得k≥0,故答案为:k≥0.13.(2020·沭阳县怀文中学九年级月考)九年级(1)班部分学生去秋游时,每人都和同行的其他每一人合照一张双人照,共照了双人照片36张,则同去秋游的人数是____人.【答案】9【分析】设同去春游的人数是x人,由每人都和同行的其他每一人合照一张双人照且共照了双人照片36张,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.【详解】解:设同去春游的人数是x人,依题意,得:12x (x ﹣1)=36, 解得:x 1=9,x 2=﹣8(舍去). 故答案是:9.14.(2020·沭阳县怀文中学九年级月考)关于x 的一元二次方程(m ﹣2)x 2+3x +m 2﹣4=0有一个解是0,则m 的值为_____. 【答案】﹣2 【分析】把x =0代入方程(m ﹣2)x 2+3x +m 2﹣4=0中,解关于m 的一元二次方程,注意m 的取值不能使原方程对二次项系数为0. 【详解】解:把x =0代入方程(m ﹣2)x 2+3x +m 2﹣4=0中,得 m 2﹣4=0, 解得m =﹣2或2,当m =2时,原方程二次项系数m ﹣2=0,舍去, 故答案是:﹣2.15.(2022·全国九年级课时练习)认真观察下列方程,指出使用何种方法求解比较适当.(1)245x =,应选用________法; (2)2165x x +=,应选用_______法;(3)2(2)(1)(2)(4)x x x x +-=++,应选用__________法; (4)22330x x --=,应选用__________法.【答案】直接开平方 配方 因式分解 公式【分析】(1)将方程的二次项系数化为1得到254x =,用直接开平方法求解;(2)根据配方法在方程两边同时加上一次项系数一半的平方,左边得到完全平方式,右边为常数,选用配方法;(3)先移项,然后提出公因式(2)x +,用因式分解法;(4)二次项系数不为1,不易用配方法和因式分解法,选公式法. 【详解】解:(1)可直接开平方,故选择直接开平方法;(2)2165x x +=的两边都加上64,易配方得2(8)69x +=,故选配方法; (3)方程2(2)(1)(2)(4)x x x x +-=++,移项得2(2)(1)(2)(4)0x x x x +--++=,直接提公因式(2)x +求解即可,故选因式分解法;(4)22330x x --=,二次项系数不为1,不易用配方法和因式分解法,故应选用公式法求解.故答案为:直接开平方;配方;因式分解;公式 三、解答题16.(2022·福建省福州杨桥中学九年级开学考试)解方程:230x x +-=.【答案】12x x ==【分析】根据公式法解一元二次方程即可. 【详解】解:1,1,3a b c ===-2411213b ac ∴∆=-=+=x ∴==12x x ∴=. 17.(2020·沭阳县怀文中学九年级月考)解方程:(1)3x 2﹣4x =1;(2)(3y ﹣2)2=(2y ﹣3)2.【答案】(1)x 1x 2(2)y 1=1,y 2=﹣1 【分析】(1)由题意先把方程化为一般式,然后利用求根公式解方程;(2)根据题意先移项得到(3y ﹣2)2﹣(2y ﹣3)2=0,然后利用因式分解法解方程.【详解】解:(1)3x 2﹣4x ﹣1=0,∵Δ=(﹣4)2﹣4×3×(﹣1)=28>0,∴x 273,∴x 1x 2 (2)(3y ﹣2)2﹣(2y ﹣3)2=0,(3y ﹣2+2y ﹣3)(3y ﹣2﹣2y +3)=0,3y ﹣2+2y ﹣3=0或3y ﹣2﹣2y +3=0,解得y 1=1,y 2=﹣1.18.(2022·贵阳市第十九中学九年级月考)随着国内新能源汽车的普及,为了适应社会的需求,全国各地都在加快公共充电桩的建设,某省2018年公共充电桩的数量为2万个,2020年公共充电桩的数量为2.88万个.(1)求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率;(2)按照这样的增长速度,预计2022年该省将新增多少万个公共充电桩?【答案】(1)2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%.(2)预计2022年该省将新增0.576万个公共充电桩.【分析】(1)设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x,根据该省2018年及2020年公共充电桩,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论;(2)根据该省2022年公共充电桩数量=该省2020年公共充电桩数量×增长率,即可求出结论.【详解】解:(1)设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x,依题意得:2(1+x)2=2.88,解得:x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).答:2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%.(2)2.88×20%=0.576(万个).答:预计2022年该省将新增0.576万个公共充电桩.19.(2022·重庆市育才中学九年级开学考试)中秋来临之际,重百超市看准商机,连续两周进行节日大促销活动,该超市从厂家购进A,B两种月饼进行销售,每周都用25000元购进250盒A种月饼和150盒B种月饼.重百超市在第一周销售时,每盒A 种月饼的售价比每盒B 种月饼的售价的2倍少10元,且两种月饼在一周之内全部售完,总盈利为5000元.(1)求重百超市在第一周销售B 种月饼每盒多少元?(2)重百超市在第二周销售时,受到各种因素的影响,每盒A 种月饼的售价比第一周A 种月饼的售价每盒增加了53%m ,但A 种月饼的销售盒数比第一周A 种月饼的销售盒数下降了%m ;每盒B 种月饼的售价比第一周B 种月饼的售价每盒下降了%m ,但B 种月饼的销售盒数与第一周B 种月饼的销售盒数相同,结果第二周的总销售额为30000元,求m 的值.【答案】(1)重百超市在第一周销售B 种月饼每盒50元,则销售A 种月饼每盒为90元;(2)m =20【分析】(1)设重百超市在第一周销售B 种月饼每盒x 元,则销售A 种月饼每盒为(2x -10)元,然后根据题意可列方程求解;(2)由(1)及题意可知第二周A 种月饼销售价为%59013m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元,销量为()2501m -%盒,而B 种月饼销售额为()150501m ⨯-%元,进而根据题意可列方程求解.【详解】解:(1)设重百超市在第一周销售B 种月饼每盒x 元,则销售A 种月饼每盒为(2x -10)元,由题意得:()250210150250005000x x -+-=,解得:50x =,∴销售A 种月饼每盒为2×50-10=90(元);答:重百超市在第一周销售B 种月饼每盒50元,则销售A 种月饼每盒为90元;(2)由(1)及题意得:()()5901250115050130000%3m m m ⎛⎫+⨯-+⨯-= ⎪⎝⎭%%, 化简得:2200m m -=,解得:1220,0m m ==(不符合题意,舍去),∴m =20.20.(2022·西安高新一中实验中学九年级开学考试)解方程:(1)24142x x x x +=-+ (2)22530x x +-=(3)2(2)36x x +=+【答案】(1)原方程无解;(2)112x =,23x =-;(3)12x =-,21x =.【分析】(1) 方程两边都乘以公分母得()2424x x x x +-=-,解方程得2x =-检验分母为零即可;(2)因式分解得()()2310x x +-=分别解每一个一元一次方程即可;(3)先因式分解()()210x x +-=在分别解每一个一元一次方程即可.【详解】解:(1)24142x x x x +=-+ , 方程两边都乘以()()22x x +-得()2424x x x x +-=-,整理得24x =-,解得2x =-,当2x =-时,()()()()2222220x x +-=-+--=,∴2x =-时原方程的增根,∴原方程无解;(2)22530x x +-=,因式分解得()()2130x x -+=,当210x -=,解得112x =,当30x +=,解得23x =-;∴方程的解为112x =,23x =-;(3)2(2)36x x +=+,()2(2)320x x -++=, ()()2230x x ++-=,()()210x x +-=,当20x +=,解得12x =-,当10x -=,解得21x =.∴方程的解为12x =-,21x =.21.(2022·广州市黄埔华南师范大学附属初级中学)已知:关于x 的方程()228440--+=x m x m 有两个不相等的实数根1x ,2x .(1)求实数m 的取值范围.(2)若方程的两个实数根1x ,2x 满足1212x x x x +=,求出符合条件的m 的值.【答案】(1)1m <;(2)2m =-【分析】(1)根据根的判别式大于零求解即可;(2)根据根与系数的关系及根的定义得出关于m 的方程求解即可;【详解】解:(1)由题意知,22(84)440m m ∆=--⨯>即64640m ->∴1m <;(2)由根与系数关系得:1284x x m +=-,2124x x m =,∵1212x x x x +=∴2844m m -=,∴220m m +-=,解得,12m =- ,21m =∵1m <,∴2m =-.22.(2022·陕西九年级月考)用一块长8dm ,宽6dm 的矩形薄钢片制作成一个无盖的长方体盒子,可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形(如图①),然后把四边折合起来(如图②).(1)若要做成的盒子的底面积为15dm 2时,求截去的小正方形的边长;(2)当这个无盖的长方体盒子的侧面积与底面积之比为5:6时,求截去的小正方形的边长.【答案】(1)32dm;(2)1dm.【分析】(1)设截去的小正方形的边长为x dm,则做成的盒子的底面为长(8﹣2x)dm,宽(6﹣2x)dm的长方形,根据做成的盒子的底面积为215dm,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其符合题意的值,即可得出截去的小正方形的边长;(2)设截去的小正方形的边长为y dm,则做成的盒子的底面为长(8﹣2y)dm,宽(6﹣2y)dm的长方形,根据这个无盖的长方体盒子的侧面积与底面积之比为5:6,即可得出关于y的一元二次方程,解之取其符合题意的值,即可得出截去的小正方形的边长.【详解】解:(1)设截去的小正方形的边长为x dm,则做成的盒子的底面为长(8﹣2x)dm,宽(6﹣2x)dm的长方形,依题意得:(8﹣2x)(6﹣2x)=15,整理得:4x2﹣28x+33=0,解得:x1=32,x2=112,当x=32时,6﹣2x=6﹣2×32=3,符合题意,当x=112时,6﹣2x=6﹣2×112=﹣5,不合题意,舍去,答:截去的小正方形的边长为32 dm.(2)设截去的小正方形的边长为y dm,则做成的盒子的底面为长(8﹣2y)dm,宽(6﹣2y)dm的长方形,依题意得:2×[(8﹣2y)y+(6﹣2y)y]:(8﹣2y)(6﹣2y)=5:6,整理得:17y2﹣77y+60=0,解得:y1=6017,y2=1,当y=6017时,6﹣2y=6﹣2×6017=﹣1817,不合题意,舍去,当y=1时,6﹣2y=6﹣2×1=4,符合题意,答:截去的小正方形的边长为1dm.23.(2022·宁波市海曙外国语学校九年级开学考试)某商场销售一种进价为20元/台的台灯,经调查发现,该台灯每天的销售量与销售单价基本满足一次函数关系,并且当销售单价为26元时,每天销售量28台;当销售单价为32元时,每天销售量16台,设台灯的销售单价为x(元),每天的销售量为y(台).(1)求y与x之间的函数关系式;(2)当销售单价定为多少元时,每天的利润最大?最大利润是多少?(3)若该商场每天想获得150元的利润,在保证销售量尽可能大的前提下,应将销售单价定为多少元?【答案】(1)y=-2x+80;(2)单价定为30元时,每天的利润最大,最大利润是200元;(3)25元【分析】(1)设y=kx+b,根据题意,利用待定系数法确定出y与x的函数关系式即可;(2)根据题意结合销量×每本的利润=w,进而利用二次函数增减性求出答案;(3)根据题意结合销量×每本的利润=150,进而求出答案.【详解】解:(1)设y=kx+b,由题意2628 3216k bk b+=⎧⎨+=⎩,解得:280kb=-⎧⎨=⎩,∴y=-2x+80.(2)设每天的利润为W,W=(x-20)(-2x+80)=-2x2+120x-1600=-2(x-30)2+200,此时当x=30时,w最大=200,答:当销售单价定为30元时,每天的利润最大,最大利润是200元.(3)根据题意得(x-20)(-2x+80)=150,整理得:x2-60x+875=0,(x-25)(x-35)=0,解得:x1=25,x2=35,∵销售量尽可能大,∴x=25答:每本纪念册的销售单价是25元.。

中考数学一轮复习专题解析—一元二次方程及其应用

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中考数学一轮复习专题解析—一元二次方程及其应用复习目标 1、理解配方法2、会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程; 考点梳理一、一元二次方程的定义只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程. 它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0).例1.下列是一元二次方程的有( )个.①240x =;②()200++=≠ax bx c a ;③223(1)32x x x -=+;④2120x -=. A .1 B .2 C .3 D .4【答案】B 【分析】一元二次方程必须同时满足三个条件:①整式方程,即等号两边都是整式;方程中如果有分母,那么分母中无未知数;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2.进而可以判断. 【详解】解:①240x =,是一元二次方程;②()200++=≠ax bx c a ,是一元二次方程;③223(1)32x x x -=+,整理得830x -=,是一元一次方程,不是一元一次方程; ④2120x -=,不是整式方程,不是一元二次方程;综上,是一元二次方程的是①②,共2个, 故选:B .二、一元二次方程的解法(1)直接开平方法:把方程变成2x m =的形式,当m >0时,方程的解为x =;当m =0时,方程的解1,20x =;当m <0时,方程没有实数解.(2)配方法:通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+=⎪⎝⎭的形式,再利用直接开平方法求得方程的解.(3)公式法:对于一元二次方程20ax bx c ++=,当240b ac -≥时,它的解为x =.(4)因式分解法:把方程变形为一边是零,而另一边是两个一次因式积的形式,使每一个因式等于零,就得到两个一元一次方程,分别解这两个方程,就得到原方程的解.注意:直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法,配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法.例2.关于x 的一元二次方程21x =的根是( ) A .1x = B .11x =,21x =- C .1x =- D .121x x ==【答案】B 【分析】利用直接开平方法求解即可. 【详解】解:∵x 2=1, ∴x 1=1,x 2=-1, 故选:B .三、一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆.△>0⇔方程有两个不相等的实数根; △=0⇔方程有两个相等的实数根; △<0⇔方程没有实数根.上述由左边可推出右边,反过来也可由右边推出左边. 注意: △≥0⇔方程有实数根.例3.一元二次方程2310x x --=的根的情况为( ) A .有两个相等的实数根 B .有两个不相等的实数根 C .只有一个实数根 D .没有实数根【答案】B 【分析】计算出一元二次方程根的判别式,根据判别式的符号即可判断根的情况. 【详解】∵a =1,b =-3,c =-1∴224(3)41(1)130b ac ∆=-=--⨯⨯-=>∴一元二次方程2310x x --=有两个不相等的实数根 故选:B.四、一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、,那么acx x a b x x 2121=⋅-=+,.例4.方程22x -5x +m =0没有实数根,则m 的取值范围是( ) A .m >258B .m <258C .m ≤258D .m ≥258【答案】A 【分析】利用判别式的意义得到△=(-5)2﹣4×2m <0,然后解关于m 的不等式即可. 【详解】解:∵方程22x -5x +m =0没有实数根, ∴△=(-5)2﹣4×2m <0, 解得m>258. 故选:A .1.(2022·福建省福州杨桥中学九年级开学考试)方程()50x x -=的根是( ) A .5 B .-5,5C .0,-5D .0,5【答案】D 【分析】利用因式分解法求解即可. 【详解】解:∵x (x -5)=0∴x =0或x -5=0, ∴10x =,25x =. 故选D .2.(2022·福建省福州延安中学九年级开学考试)若0x =是一元二次方程2240x b ++-=的一个根,则b 的值是( )A .2B .2-C .2±D .4【答案】A 【分析】根据一元二次方程的解的定义,把0x =代入2240x b ++-=得240b -=,然后解关于b 的方程即可. 【详解】解:把x =0代入2240x b ++-=得b 2-4=0, 解得b =±2, ∵b -1≥0, ∴b ≥1, ∴b =2. 故选:A .3.(2022·云南师范大学实验中学九年级期末)如图,用长为20m 的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为11m ),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在BC 上用其他材料做了宽为1m 的两扇小门.若花圃的面积刚好为240m ,设AB 长为x m ,则可列方程为( )A .()22340x x -=B .()20240x x -=C .()18340x x -=D .()20340x x -=【答案】A 【分析】设AB =x 米,则BC =(20-3x +2)米,根据围成的花圃的面积刚好为40平方米,即可得出关于x 的一元二次方程. 【详解】解:设AB =x 米,则BC =(20-3x +2)米=(22-3x )米, 依题意,得:x (22-3x )=40, 故选A .4.(2022·蒙城县第六中学九年级开学考试)国家统计局统计数据 显示,我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x .则可列方程为( ) A .()5000127500x += B .()5000217500x ⨯+= C .()2500017500x +=D .()()2500050001500017500x x ++++= 【答案】C 【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ,根据增长率的定义即可列出一元二次方程. 【详解】解:设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x , ∵2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元, 即2019年我国快递业务收入为7500亿元, ∴可列方程:()2500017500x +=, 故选:C .5.(2022·厦门海沧实验中学九年级开学考试)判断关于x 的方程()2110kx k x -++=(k 是常数,1k <)的根的情况( )A .存在一个k ,使得方程只有一个实数根B .无实数根C .一定有两个不相等的实数根D .一定有两个相等的实数根【答案】A 【分析】当k =0时,可求出方程的根;k ≠0时,利用,Δ=[-(k +1)]2-4k =(k -1)2>0即可判断原方程有实数根. 【详解】 解:∵k <1,∴当k =0时,原方程为-x +1=0, 解得:x =1;当k ≠0时,Δ=[-(k +1)]2-4k =(k -1)2>0, ∴原方程有两个不相等的实数根,故选:A.6.(2022·厦门海沧实验中学九年级开学考试)为响应“坚持绿色低碳,建设一个清洁美丽的世界”的号召,某市今年第一季度进行宣传准备工作,从第二季度开始到今年年底全市全面实现垃圾分类.已知该市一共有285个社区,第二季度已有60个社区实现垃圾分类,第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x,则下面所列方程正确的是()A.()2x601285-=x+=B.()2601285C.()()2+++=D.()()2 601601285x x++++=60601601285x x【答案】D【分析】设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x,则第三季度有60(1+x)个社区实现垃圾分类,第四季度有60(1+x)2个社区实现垃圾分类,根据年底全市共285个社区实现垃圾分类,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.【详解】解:设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x,则第三季度有60(1+x)个社区实现垃圾分类,第四季度有60(1+x)2个社区实现垃圾分类,依题意得:60+60(1+x)+60(1+x)2=285.故选:D.7.(2022·深圳市新华中学九年级期末)已知关于x的一元二次方程230+-=x x c没有实数根,即实数c的取值范围是________.【答案】94c <- 【分析】根据题意可知,判别式∆<0,求解即可. 【详解】解:∵方程没有实数根, ∴2340c =+<,解得94c <-故答案为94c <-8.(2022·全国九年级课时练习)已知关于x 的一元二次方程2(21)20ax a x a +++-=有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是______. 【答案】112a >-且0a ≠ 【分析】根据一元二次方程的定义,以及根的判别式确定a 的取值范围即可. 【详解】根据题意得0a ≠且2Δ(21)4(2)0a a a =+-->, 解得112a >-且0a ≠. 故答案为:112a >-且0a ≠. 9.(2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中)解下列方程: (1)2x 2+7x +3=0(用配方法). (2)5(x +3)2=x 2﹣9.【答案】(1)12132x x =-=-,;(2)x 1=−3,x 2=−92. 【分析】(1)利用配方法求解即可; (2)利用因式分解法求解即可. 【详解】解:(1)方程整理得:27322x x +=-,配方得:22277372424x x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即2725416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,开方得:7544x +=±,解得:12132x x =-=-,; (2)∵5(x +3)2=(x +3) (x -3), ∴5(x +3)2-(x +3) (x -3)=0, ∴(x +3) [5(x +3)-(x -3)]=0, 即(x +3) (4x +18)=0, ∴x 1=−3,x 2=−92.10.(2020·沭阳县怀文中学九年级月考)某玩具商店以每件50元为成本购进一批新型玩具,以每件80元的价格销售则每天可卖出20件,为了扩大销售,增加盈利,商店决定采取适当的降价措施,经调查发现:若每件玩具每降价1元,则每天可多卖2件.(1)若商店打算每天盈利750元,同时又要使顾客得到更多的实惠,那么每件玩具的售价应定为多少元?最多?最多盈利多少元?【答案】(1)65元;(2)每件玩具的售价定为70元时,商店每天盈利最多,最多盈利为800元【分析】(1)根据题意和题目中的数据,可以写出相应的方程,然后求解即可,注意又要使顾客得到更多的实惠,也就是售价越低越好;(2)根据题意,可以写出利润和售价之间的函数关系,然后根据二次函数的性质解答即可.【详解】解:(1)设每件玩具的售价为a元,由题意可得,(a﹣50)[20+2(80﹣a)]=750,解得a1=65,a2=75,∵要使顾客得到更多的实惠,∴a=65,答:商店打算每天盈利750元,同时又要使顾客得到更多的实惠,那么每件玩具的售价应定为65元;(2)设每件玩具的售价定为x元,商店每天盈利为w元,由题意可得,w=(x﹣50)[20+2(80﹣x)]=﹣2(x﹣70)2+800,∵a=﹣2,∴该函数开口向下,有最大值,∴当x=70时,该函数取得最大值,此时w=800,最多盈利为800元.。

中考数学第一轮复习《方程与不等式的综合应用》教案

中考数学第一轮复习《方程与不等式的综合应用》教案

方程与不等式的综合运用学习目标:1.进一步加强方程(组)与不等式(组)的之间的联系;2.会运用方程(组)或不等式(组)模型解决实际问题, .在问题解决的过程中理解数学思想方法.学习重点:方程(组)或不等式(组)的综合运用学习难点:方程(组)或不等式(组)的综合运用课前准备:下列问题你能不能不用老师点拨就把别人讲懂?请先尝试看,看自己有无“漏洞”.问题1:若不等式组2x x a<⎧⎨≥⎩ 无解,那么a 的取值范围是 问题2:如果关于x 的方程3211ax x x =-++ 无解,则a 的值为判断方程ax bx c ++=0(a ≠0,a,b,c 为常数)一个解x 的范围是( )A 、 3<x<3.23B 、 3.23<x<3.24C 、 3.24<x<3.25D 、 3.25<x<3.26问题4:甲、乙两人完成一项工作,甲先做了3天,然后乙加入合作,完成剩下的工作,设工作总量为1,A.9 B.10 C.11 D.12问题5:某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机。

已知该厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别为:甲种每台1500元,乙种每台2100元,丙种每台2500元。

(1)商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台,用去9万元,请你研究一下商场的进货方案;(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元,销售一台乙种电视机可获利200元,销售一台丙种电视机可获利250元,在同时购进两种不同型号的电视机的方案中,为使销售时获利最多,你选择哪种进货方案?(3)若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台,请你设计进货方案。

教学过程(一)与大家交流你的“课前准备”是否有“漏洞”?你能以知识点或题型给它们分类吗?解决这些问题后,你发现了哪些解题规律或数学思想方法?(二)变一变,你还认识下列问题吗?请运用发现的规律或方法挑战下列问题,试试你的能力吧!问题1:若关于x 的不等式组3155x a x a≥-⎧⎨≤-⎩无解,则二次函数21(2)4y a x x =--+的图象与x 轴( )A. 没有交点 B. 相交于一点 C .相交于两点 D. 相交于一点或没有交点问题2:已知不等式组 111x x x k >-⎧⎪<⎨⎪<-⎩(1)当12k =时,不等式组的解集是 ; 当3=k 时,不等式组的解集是 ;当2-=k 时,不等式组的解集是 ;(2)由(1)知不等式组的解集随实数k的变化而变化,当k 为任意实数时,写出不等式组的解集。

初中中考一轮复习----第五讲 一次方程(组)及其应用课件(共22张PPT)

初中中考一轮复习----第五讲 一次方程(组)及其应用课件(共22张PPT)
(k是常数),用
x 2 y 2 k
含k的代数式分别表示x,y.
2 + 3 = 6
(1)

+ 2 = 2 + (2)
(2)×2 得:
(3) - (2) 得:
.
2x+4y=4+2k
(3)
y=2k-2
把 y=2k-2 代入 (2)得:
x+2(2k-2)=2+k
x=-3k+6
连续递推,豁然开朗
无数
个解.任何一个二元一次方程都有___________个解.
3.二元一次方程组的解法
代入消元
加减消元
(1)常用方法:___________法,___________法.
x=a,
(2)二元一次方程组的解应写成
的形式.
y=b
4.解一元一次方程的一般步骤:
(1)去分母:将方程的两边同乘各分母的_____________,注意不要漏乘.

=2
7
=−
5
11
=−
5
.
.
12.在等式y=ax2+bx+c 中,当x=1时,y=0;当x=2时,y=4;
当x=3时,y=10.求a、b、c的值
a+b+ c=0,
a =1,
解:由题意,得 4 a +2 b +c=4, 解得 b=1,
9 a +3 b +c=10,
c=-2.
思维拓展,更上一层
3
1 1 1
− )+ (
5 2 5
(
1
1 1
− )+⋯+ (
7
2 2 019
+
1
15

中考重点方程的解与应用

中考重点方程的解与应用

中考重点方程的解与应用在数学学科中,方程的解与应用是中考重点内容之一。

方程的解可通过求根的方法得到,应用包括实际问题中的运用。

本文将介绍方程的解的概念、求解方法以及在实际问题中的应用。

一、方程的解的概念方程是一个等式,其中包含一个或多个未知数。

方程的解是使得方程成立的变量的值,也可以视为满足方程的数值。

对于一元一次方程,解即为方程的根;对于一元二次方程,解即为方程的零点。

二、方程的解的求解方法1.一元一次方程的解法一元一次方程是指只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为一的方程。

求解一元一次方程一般采用逆运算的方法。

例如,求解方程2x + 3 = 7,可以先将3移到等号右边得到2x = 4,再将2移到x的系数前得到x = 2,这就是方程的解。

2.一元二次方程的解法一元二次方程是指含有一个未知数,并且未知数的最高次数为二的方程。

求解一元二次方程常用的方法有因式分解法、配方法和求根公式法。

例如,对于方程x^2 - 5x + 6 = 0,可以利用因式分解得到(x - 2)(x - 3) = 0,进而得到x = 2或x = 3,这就是方程的解。

三、方程解的应用方程解的应用广泛,可以帮助我们解决实际生活中的问题。

以下是一些常见的方程解应用场景:1.运动问题运动问题是数学中常见的应用场景之一。

例如,假设小明跑步的速度是v,时间是t,那么他跑的距离可以表示为s = vt。

若要求解小明跑步的速度或时间,可以根据题目给出的条件设置相应的方程,并解方程得到结果。

2.面积和体积问题面积和体积是几何问题中常见的应用场景。

例如,给定一个正方形的边长x,若要求正方形的面积,可以设置方程S = x^2,并解方程得到结果。

同样地,若要求解一个立方体的体积V,可以设置方程V = x^3,并解方程得到结果。

3.比例问题比例问题是数学中常见的实际问题。

例如,已知甲乙两人的年龄比是2:3,且甲的年龄比乙大4岁,那么可以设置方程2x = 3x - 4,并解方程得到甲、乙两人的年龄。

2012中考数学总复习知识点总结:003 方程(组)

2012中考数学总复习知识点总结:003 方程(组)

第三章 方程(组)考点一、一元一次方程的概念 (6分)1、方程含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3、等式的性质(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式。

(2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零),所得结果仍是等式。

4、一元一次方程只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程,其中方程)为未知数,(0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式,a 是未知数x 的系数,b 是常数项。

考点二、一元二次方程 (6分)1、一元二次方程含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。

考点三、一元二次方程的解法 (10分)1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。

2、配方法配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。

3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式:)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。

中考数学大一轮数学复习专题ppt课件:一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

中考数学大一轮数学复习专题ppt课件:一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

夯实基本 知已知彼
基础知识回顾
1. 一元二次方程根的判别式
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为________.
(1)b2-4ac>0⇔一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个________实数
根,即x1,2=________. (2)b2-4ac=0⇔一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有____________相等
1 2 3
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中考大一轮复习讲义◆ 数学
热点看台 快速提升
易错题跟踪 1. (2014·湖北襄阳)若正数a是一个一元二次方程x2-5x+m=0的一个根,-a 是一元二次方程x2+5x-m=0的一个根,则a的值是____5____. 2. (2014·湖北鄂州)一元二次方程mx2-2mx+m-2=0. (1)若方程有两实数根,求m的取值范围. (2)设方程两实根为x1,x2,且|x1-x2|=1,求m.
课后总结
1
学生:同伴之间相互交流学习心得。
2 师生:共同归纳本课学习知识。
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中考大一轮复习讲义◆ 数学
作业
1
教科书本课课后习题。
2
课时达标册本课练习习题。
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下课啦!
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中考大一轮复习讲义◆ 数学
谢谢 指导
2022
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D. m≤12
1
5. (2013·山东滨州)对于任意实数 k,关于 x 的方程 x2-2(k+1)x-k2+2k
-1=0 的根的情况为( C )
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根

人教版版中考数学大一轮培优:第2章 第3节 一元二次方程及其应用

人教版版中考数学大一轮培优:第2章  第3节  一元二次方程及其应用


解法 (3)方程两边含有相同的因式
注意:方程两边不能同时除以含未知数的因式
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(1)将二次项系数化为 1后,一次项系数为偶数 x2 px ( p)2 q ( p)2
2
2
配方法 注意:方程两边同时加上一次项系数一半的平方,即

(2)各项系数比较小且便于配方
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一元二 次方程 根的判 别式及 根与系 数的关 系
第三节 一元二次方程及其应用
(必考,每年1~2道,4~10分)
玩转安徽10年中考真题

考点特训营

中考试题中的核心素养
玩转安徽10年中考真题
命题点 1 解一元二次方程(10年4考)
1. (2011安徽8题4分)一元二次方程x(x-2)=2-x的根是( D )
A. -1
B. 2
C. 1和2
D.-1和2
)
D
A. 361(1-x)2=400
B. 400(1+x)2=361
C. 361(1+x)2=400
D. 400(1-x)2=361
练习6 某工厂一月份生产零件100万个,若二、三月份平均每月的增长率为20%,设
该工厂第一季度共生产零件x万个,可列方程为( ) B A. x+2×100(1+20%)=100 B. x-100(1+20%)-100(1+20%)2=100
A
A. 2米
B.
32 3

C. 2米或 3 2 米
3
D. 3米
练习7题图
满分技法
一元二次方程变化率问题的实际应用,备考时要注意以下几个方面:(1)认真审 题,弄清题中数量之间的关系,如关于变化率的问题,弄清哪个量是“基准量a”,变 化后的量等于这个量加上变化的量,通常用a(1+x)m 来表示,其中x表示变化率,m 表示变化次数;(2)找出题中的等量关系是列方程的关键,关于连续两次变化的 变化率问题有两种类型,一是直接给出两次变化后的量b,我们用“a(1±x)2=b”这 一等量关系可以列出方程求解;还有一类是已知变化前的量、变化一次的量与 变化两次的量的和,列方程时就要把三者加在一起得出方程求解.

中考数学《一次方程组及应用》专题复习考点讲解

中考数学《一次方程组及应用》专题复习考点讲解

-次方程组及应用考点图解技法透析1. 一次方程组的解法的基本思想是“消元”,常用代入法和加减法消元,对较复杂的 一次方程组依方程结构特点可用整体代入、整体叠加、换元、设辅助元等技巧.2.例如方程组f /lA +t ,V=C ,(细和a?中至少有一个不为零,6和b?中至少有一个 a,x+ b.y = c.不为零,/和6不同时为零,a?和6也不同时为零)的解的讨论按以下规律进行:(1)当鱼工乞时,方程组有唯一解: “2 b l ⑵当4 =久亠时,方程组无解:b、 s 厶二二3. 方程组中某一个或两个方程含有绝对值符号,在解这类方程组时,要像解含有绝 对值符号的一元一次方程那样,先设法去掉绝对值,一般要进行分类讨论,有时根据隐含 条件去绝对值符号,再求解.4. 含字母系数的一次方程组,一般情况下,先用系数所含字母表示岀方程组的解, 再根据方程组解的情况进行讨论.次方用纽及应用勺一2=当、时,方程组有无数多组解.5. 一次方程组的应用的关键是通过审题理解题意,把握各种已知量、未知量的相互 关系,从中找出相等关系,列出方程组.对于题目中大量的数据可用①列关系式:②给出 关系图;③列表;④分类等方法进行整理.名题精讲考点1 一次方程组的解例1 设a 、b 分别是等腰三角形的两条边的长,m 是这个三角形的周长,当a. b 、a-2b = m-3m 满足方程组]m时,m 的值是 ________________ 或 ________a +b = — + 24【切题技巧】 根据等腰三角形的边分为腰和底边两类,因此a 、b 可能是两腰或一腰一底两种情况.(1)当a, b 是两腰的长时.原方程组可化为u-2b = 2a + b- =(2)当a, b 是一腰一底的长时,①若a 为腰长,则m=2a+b,原方程可化为2a + b a + b = ------- + 24a = 1解得彳 ,不符合三角形的三边关系,应舍去;②若a 为底边长,则m=a+2b,原方程b = 2【规范解答】斗,53【借题发挥】 涉及到等腰三角形边长问题,要注意腰和底边的讨论,同时要结合三 边关系检验,当方程组中有多个未知数时,要结合题意消元,从而把多元方程组转化为熟 悉的一元一次方程.【同类拓展】1.实数a 、b 、c 的值满足(3a —2b+c —4)2+(a+2b —3c+6FW0.则 9a+2b —7c= . 考点2 —次方程组的解法2x + 3y11组可化为丿 a-2b = 2a + h-lt 2b + a f ・解得’a +b = ------- + 24 a = 1.54符合三角形的三边关系,则m=5・------ 一 ------ =U [2A —2 2y — l【切题技巧】 对于(1),英形式是连比形式表示的方程,可设英比值为k :对于(2), 设——^=/7,通过换元简化方程组.x-1 2y — l【规范解答】d)令宇=罟二立評•交,则•丈+2 = 3怡•①,3yT = 8A ② 由①知x=3k-2. ④Z 工十3y=lM ③由②知3y=" + l ⑤,将④、⑤代入③,得2(34 — 2)+8冷+1 = 1", ■解得冷=1.代人④•得工=1•代入②得y =3.⑵设占=“右7,则原方程组化为J 17 T 1] usn 6【借题发挥】 在解形式上比较复杂的方程组时,要先观察方程组的结构特征,对于 连比形式的可设苴比值为一个辅助元,再用铺助元表示其它未知数:对于某一部分可以看 成一个整体的用换元法,从而化繁为简:对于未知数系数有一左联系的可以用整体叠加等 方法.r — 1 2 — V 7 — 3【同类拓展】2・已知非负实数x, y, z 满足' = — =设W=3x+4y2 3 4•+5z,求W 的最大值与最小值.考点3含绝对值符号的方程组化匪方程组的解为r= 1 J = 3解得丄…••乐方程组的解为.\x\ + v = 12例3 方程组 1 1的解的个数为 ()卜+ |y| = 6A ・1B ・2C ・3D ・4【切题技巧】若"0,则严",于是|切_,= 一6,显然不可能•若x<0,则于是卜1+,|x+|yl =6工十 1,1=6・牙三_3=18•解得,=9・进而求得x=-3,所□■原方程组的解为,n ■只有1个解・ 丁=9【规范解答】A【借题发挥】 方程组中含有绝对值符号,可以根据绝对值的意义进行讨论,有的题 中可以简化讨论,如:\x + y\可以分(1 )xy>0时卜+),| =卜| +卜|; (2)xy<0时卜+”=卜|一 卜|或卜|-卜|・有的题可以根据隐含条件去掉绝对值,如卜-1| = 2〉,-4,隐含有2y-4>0这一条件. 【同类拓展】3・已知卜|+x+y=10(D ,|y| + x-y = 12®,求x+y 的值.考点4含字母系数的一次方程组(1)有唯一一组解:(2)无解;(3)有无穷多组解・【切题技巧】通过消元,将方程组解的情况的讨论转化为一元方程解的情况的讨论. 【规范解答】②一①得— b ③(1)当伍+1工0・即氏工一1时■方程③有唯一解•从而原方程组有唯一组解• ⑵当卄1=0且2—防O 即&=一1且仔2时•方程◎无解•从而原方程组也无解・⑶当A+l=0 H. 2— 〃=0.即上=一1且方=2时•方程③有无数个解•从而原方程组也有无数组解・ 【借题发挥】 对于一次方程组的解的讨论常用消元法转化为形如ax=b 的形式,(1)当aHO 时有唯一个解,⑵当a=0且bHO 时无解,⑶当a=0且b=0时有无数个解;也可利用以下规律:形如f /,A+t l>=C ,,如,b2, C2均不为0. a 2x + b 2y = c 2例4 k, b 为何值时,方程组2kx + 2y = b + \(2k + \)x + 2y = 3⑴若色工2,则方程组有唯一一组解;⑵若虫=2则方程组有无数组解:⑶ a,人 G b. G■ ■ ■ ■ ■若乞=工工£1,则方程组无解; “2 b 2 c 2少有一组解.y 均为整数,求m?=考点5 —次方程组的应用例6 一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行速.在 某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过了 10分钟,小轿 车追上了货车:又过了 5分钟,小轿车追上了客车;再过t 分钟,货车追上了客车,则t【切题技巧】 设在某一时刻,货车与客车.小轿车的距离均为s 千米,小轿车.货 车、客车的速度分别为a 、b 、c (千米/分),并设货车经x 分钟追上客车,由题意得【同类拓展】4.当k. m 的取值符合条件.时,方程组£ y = kx + m — 至y = (2k-l)x + 4例5已知关于x, y 的方程组彳阳D 当一205<-10时有整数解,则”+xy+y?的值等于_【切题技巧】先用含字母m 的式子表示出方程组的解为25 .又X, y 为整数,故m 为5 y =尹 + 3的倍数,又一20VmV —10, Rijm= -15,所以<工一0■,则 x 2+xy+y 2=7. )=一3'【规范解答】 【借题发挥】符合条件的特殊值,7含字母系数方程组一般先用字母表示出方程组的解,再根据题意求出 有时结合数的整数性求值;【冋类拓展】5. m 为正整数,已知二元一次方程组£总二二°有整数解,A)0(a-b) = S,①15(o —c) = 2S,② 由①®,得30(b-c)=S,所以,x=30,故1=30-10-5=15 (分) x(b-c) = S.③【规范解答】15例7能否找到7个整数,使得这7个整数沿圆周排成一圈后,任3个相邻数的和都等于297如果能,请举一例,如果不能,请简述理由.【切题技巧】假设存在符合题意7个整数,则根据题意列出方程组, 再解方程组看有没有符合题意的整数解.【规范解答】假设存在7个整数5 4“偽4创心心排成一圈后■満足任3个相邻数的和都等于29,则E +o2+為=29 心 +如+a = 29 •山 +创+a s =29 + 偽 +% = 29 ■如 + 心+a? = 29,血+©+山=29+心+的=29・将上述7式相加•得3 乂4勺+如+佝4宓+尙+s〉= 29 X 7所以 5 斗①十4]+s4a$ + a6+a: = ^¥~^ = 67 £与5亠宀+…+心+山屮^+⑷为整数相矛盾,所以不存在满足题设要求的7个整数.【借题发挥】当实际问题有多个对象时,一般就要设多个未知数,以便于找到更简单的等量关系,有时要设辅助未知数,利用整体思想来解决较复杂问题.【同类拓展】6. 一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000km后报废:若把它安装在后轮,则自行车行驶3000km后报废,行驶一立路程后可以交换前、后轮胎,如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶km.参考答案1. -102.最小值19最大值¥5. 4 或16 或64.6. 3750. 3・1874. kHl 或k=l 且m=4 时。

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方程的应用
一、选择题
1.某商品原价289元,经连续两次降价后售价为256元,设平均每降价的百分率为x ,则下面所列方程正确的是( )
A 、256)x 1(2892=-
B 、289)x 1(2562=-
C 、256)x 21(289=-
D 、289)x 21(256=-
2近年来,全国房价不断上涨,某县201 0年4月份的房价平均每平方米为3600元, 比 2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元,假设这两年该县房价的平均增长率均为x , 则关于x 的方程为( )
A .()212000x +=
B .()2200013600x +=
C .()()3600200013600x -+=
D .()()23600200013600x -+=
3.某服装厂准备加工400套运动装,在加工完160套后,采用了新技术,使得工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成任务,问计划每天加工服装多少套?在这个问题中,设计划每天加工x 套,则根据题意可得方程为 ( )
(A ) 18%)201(160400160=+-+x x (B )18%)201(400160=++x
x (C ) 18%20160400160=-+x x (D )18%)201(160400400=+-+x
x 4.一种原价均为m 元的商品,甲超市连续两次打八折;乙超市一次性打六折;丙超市第一次打七折,第二次再打九折;若顾客要购买这种商品,最划算应到的超市是( ▲ )
A. 甲或乙或丙
B. 乙
C. 丙
D. 乙或丙
5.黄陂木兰旅游产业发展良好,2008年为640万元,2010年为1000万元,2011年增长率与2008至2010年年平均增长率相同,则2011年旅游收入为( )
A.1200万元
B.1250万元
C.1500万元
D.1000万元
6.如图,矩形的长与宽分别为a 和b ,在矩形中截取两个大小相同的
圆作为圆柱的上下底面,剩余的矩形作为圆柱的侧面,刚好能组合
成一个没有空隙的圆柱,则a 和b 要满足的数量关系是 A.121+=πb a B.1
22+=πb a 第6题
C.221+=πb a
D.1
2+=πb a
二、填空题
1.某农户2008年的年收入为5万元,由于党的惠农政策的落实,2010年年收入增加到7.2 万元,则平均每年的增长率是 ▲ ____.
2.(南京市玄武区2011年中考一模)某商店购进一批运动服,每件的售价为120元时,可获利20%,那么这批运动服的进价为是____▲____元.
3.小锋骑车在环城路上匀速行驶,每隔5分钟有一辆公共汽车从对面向后开过,每隔20分 钟又有一辆公共汽车从后向前开过,若公共汽车也匀速行驶,不计中途耽误时间,则公交

车站每隔______________分钟开出一辆公共汽车.
4.某公司生产一种饮料是由A 、B 两种原料液按一定比例配制而成,其中A 原料液的成本价为15元/千克,B 原料液的成本价为10元/千克,按现行价格销售每千克获得70%的利润率.由于市场竞争,物价上涨,A 原料液上涨20%,B 原料液上涨10%,配制后的总成本增加了12%,公司为了拓展市场,打算再投入现总成本的25%做广告宣传,如果要保证每千克利润不变,则此时这种饮料的利润率是__________.
5.某种商品原价是120元,经两次降价后的价格是100元,求平均每次降价的百分率.设平 均每次降价的百分率为x ,可列方程为 .
6.某公司成立3年以来,积极向国家上缴利税,由第一年的200万元增长到800万元,则平均每年增长的百分数是_____________.
7.为落实素质教育要求,促进学生全面发展,某市某中学2009年投资11万元新增一批电脑,计划以后每年以相同的增长率进行投资,2011年投资18.59万元。

则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是 ,从2009年到2011年,该中学三年为新增电脑共投资_____万元
8.由于人民生活水平的不断提高,购买理财产品成为一个热门话题。

某银行销售A ,B ,C 三种理财产品,在去年的销售中,稳健理财产品C 的销售金额占总销售金额的40% 。

由于受国际金融危机的影响,今年A ,B 两种理财产品的销售金额都将比去年减少20%,因而稳健理财产品C 是今年销售的重点。

若要使今年的总销售金额与去年持平,那么今年稳健理财产品C 的销售金额应比去年增加 %
答案:
选择题
1、A
2、D
3、A
4、B
5、B
6、D
填空题
1、答案:20%
2、答案:100
3、答案 8
4、答案:50%
5、答案:100)1(1202=-x
6、答案:100%
7、答案:30%,43.89 8、30。

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