高二数学下册第三次月考测试卷1

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高二数学下学期第三次月考试题含解析试题

一中2021-2021学年下学期第三层月考制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日高二年级数学试题〔文科〕第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.集合{}2|40,{|lg(1)}A x x B x y x =-≥==+，那么A B =〔〕A. [-2,2]B. (1,)+∞C. (-1,2]D.(,1](2,)-∞-+∞【答案】C 【解析】【分析】先化简集合A 与集合B ，再求交集，即可得出结果.【详解】因为{}{}2|40|22A x x x x =-≥=-≤≤，{|lg(1)}{|1}B x y x x x ==+=>-，所以(-1,2]A B =.应选C【点睛】此题主要考察集合的交集运算，熟记概念即可，属于根底题型.2.sin163cos 43cos17sin 223︒︒︒︒-=〔〕A.12B.2C. 12-D. 【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式可将所求式子化为sin17cos 43cos17sin 43+，利用两角和差正弦公式求得结果. 【详解】()()sin163cos43cos17sin 223sin 18017cos43cos17sin 18043-=--+()3sin17cos 43cos17sin 43sin 1743sin 602=+=+==此题正确选项：B【点睛】此题考察逆用两角和差正弦公式求值的问题，关键是可以利用诱导公式将原式化成符合两角和差公式的形式.3.给出以下四个命题： ①假设x AB ∈，那么x A ∈或者x B ∈；②(2,)X ∀∈+∞，都有22x x >； ③“12a =〞是函数“22cos 2sin 2y ax ax =-的最小正周期为π〞的充要条件； ④0020R,23x x x ∃∈+>的否认是“2,23x R x x ∀∈+≤〞；其中真命题的个数是〔〕 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】利用交集的定义判断①的正误；利用反例判断②的正误；利用三角函数的周期判断③的正误；利用命题的否认判断④的正误；【详解】解：对于①假设x A B ∈⋂，那么x A ∈或者x B ∈；显然不正确，不满足交集的定义；所以①不正确；对于②()2,x ∀∈+∞，都有22x x ＞；当4x =时，不等式不成立，所以②不正确；对于③“12a =〞是函数“22cos sin cos2y x x x =-=，函数的最小正周期为π〞的充要条件；不正确，当12a =-时，函数的周期也是π，所以③不正确；对于④“2000,23x R x x ∃∈+>〞的否认是“223x R x x ∀∈+≤，〞；满足命题的否认形式，正确；应选：A ．【点睛】此题考察命题的真假的判断与应用，考察函数恒成立、三角函数的周期、交集的定义、命题的否认，是根底题．4.2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为〔〕 A. 2 B. sin2C.2sin1D. 2sin1【答案】C 【解析】【分析】连接圆心与弦的中点，那么得到弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦是1，故可解得半径是1sin1，利用弧长公式求弧长即可．【详解】解：连接圆心与弦的中点，那么由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1，故半径为1sin1，这个圆心角所对的弧长为122sin1sin1⨯=，应选：C ．【点睛】此题考察弧长公式，求解此题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，求出半径，纯熟记忆弧长公式也是正确解题的关键．5.以下函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)内是增函数的是〔〕 A. ln y x x =B. 2y x x =+C. sin 2y x =D.x x y e e -=-【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和在()0,1内的单调性，对选项逐一分析排除，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，由于函数的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，排除A 选项.对于B 选项，由于()()2f x x x f x -=-≠-，所以函数不是奇函数，排除B 选项.对于C 选项，眼熟sin 2y x =在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，排除C 选项.由于A,B,C 三个选项不正确，故本小题选D.【点睛】本小题主要考察函数的奇偶性，考察函数的单调性，考察函数的定义域，属于根底题.6.在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，假设35,cos 5a b A ===，那么B =〔〕A.4π B.4π或者34π C.3πD.3π或者23π 【答案】A【解析】【分析】根据题意，有cos A 的值求出sin A 的值，结合正弦定理可得sin sin b AB a⨯=，计算可得sin B 的值，比拟a 、b 的大小，分析可得答案．【详解】根据题意，在ABC ∆中，3cosA 5=，那么4sin 5A =，且A 为锐角；又由sin sin a b A B =，可得sin sin b A B a ⨯==，又由5a b =>=，那么B A <，那么4B π=，应选：A ．【点睛】此题考察三角形中正弦定理的应用，关键是掌握正弦定理的形式，属于根底题．7. 〕 A. cos4sin 4-B. sin 4cos4-C. sin4cos4--D.sin4cos4+【答案】A 【解析】【分析】首先用诱导公式对()sin 4cos(4ππ++)进展化简，然后把221sin 4cos 4=+进展代换，变成完全平方差形式，比拟sin 4,cos 4的大小，最后化简.【详解】原式==44sin cos =-,因为53442ππ<<, 所以44cos sin >.所以4444sin cos cos sin -=-.应选A.【点睛】此题考察了诱导公式、同角的三角函数关系.重点考察了同角的正弦值、余弦值的比拟.8.假设()f x 符合：对定义域内的任意的12,x x ，都有()()()1212f x f x f x x =+，且当1x >时，()<1f x ，那么称()f x 为“好函数〞，那么以下函数是“好函数〞的是〔〕A. ()2xf x =B. 1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C.12()log f x x =D.2()log f x x =【答案】B 【解析】【分析】利用好函数的定义，判断选项的正误即可．【详解】解：对定义域内的任意的1x ，2x ，都有()()()1212f x f x f x x ⋅=+，说明函数是指数函数，排除选项C ，D ；又因为：1x >时，()1f x <，所以排除选项A ；应选：B ．【点睛】此题考察好函数的定义的应用，指数函数的简单性质的应用，是根本知识的考察．9.函数()sin()f x A x ωϕ=+〔其中0A >，0>ω〕的局部图象如下图、将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到()y g x =的图象，那么以下说法正确的选项是〔〕A. 函数()g x 为奇函数B. 函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C. 函数()g x 为偶函数D. 函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k Z ππ=+∈【答案】B 【解析】【分析】此题首先可以根据题目所给出的图像得出函数()f x 的解析式，然后根据三角函数平移的相关性质以及函数()f x 的解析式得出函数()g x 的解析式，最后通过函数()g x 的解析式求出函数()g x 的单调递增区间，即可得出结果。

高二数学月考卷1

高二数学月考卷1一、选择题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = (x² 1)/(x 1)的定义域是（）A. RB. {x | x ≠ 1}C. {x | x ≠ 0}D. {x | x ≠ 1}2. 若向量a = (2, 3)，向量b = (1, 2)，则2a 3b = （）A. (8, 1)B. (8, 1)C. (8, 1)D. (8, 1)3. 二项式展开式(x + y)⁵中x²y³的系数是（）A. 5B. 10C. 20D. 304. 已知等差数列{an}中，a1 = 3，a3 = 9，则公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 65. 若复数z满足|z 1| = |z + 1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. y = x上D. y = x上二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个实数的和都是实数。

（）2. 若矩阵A的行列式为0，则A不可逆。

（）3. 两条平行线上的任意一对对应线段比例相等。

（）4. 双曲线的渐近线一定经过原点。

（）5. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则f'(x) > 0。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若log₂x = 3，则x = ______。

2. 若等差数列{an}中，a4 = 8，a7 = 19，则a10 = ______。

3. 圆的标准方程(x h)² + (y k)² = r²中，(h, k)表示圆的______。

4. 若sinθ = 1/2，且θ是第二象限的角，则cosθ = ______。

5. 矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]的行列式|A| = ______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述矩阵乘法的定义。

2. 请解释什么是反函数。

3. 简述等差数列的通项公式。

4. 请说明直线的斜率的意义。

5. 简述三角函数的周期性。

2023-2024学年重庆市高二下学期3月月考数学质量检测试题(含答案)

2023-2024学年重庆市高二下册3月月考数学质量检测试题一、单选题1．已知集合(){}{}21,60A x y ln x B x x x ==+=--≤，则A B = （）A ．(]2,3-B ．(]1,3-C ．(]3,2-D ．()1,3-【正确答案】B【分析】首先求出集合A 、B ，再利用集合的交运算即可求解.【详解】(){}{}{}1101A x y ln x x x x x ==+=+>=>-，{}()(){}{}26032023B x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以A B ⋂{}(]131,3x x =-<≤=-，故选：B2．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R 2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R 2的值是（）A ．0.97B ．0.86C ．0.65D ．0.55【正确答案】A【分析】在回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好，即可求解．【详解】由题意，四种模型的相关指数R 2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，根据在回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好，可得拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R 2的值是0.97．故选：A ．本题考查了用相关指数拟合模型效果的应用问题，其中解答中熟记回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好是解答的关键，属于基础题．3．已知26=22464+--，53=25434+--，71=27414+--，102=210424-+---，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为（）A ．8=24(8)4n n n n -+---B ．1(1)5=2(1)4(1)4n n n n +++++-+-C ．4=24(1)4n n n n ++-+-D ．15=2(1)4(5)4n n n n ++++-+-【正确答案】A【分析】由已知结合归纳推理即可求解【详解】解：从各个等式可以看出，等式右端均为2，左端为两个分式的和，且两个式子的分子之和恒等于8，分母则为相应分子减去4，设其中一个分子为n ，另一个分子必为8－n ，故8=24(8)4n n n n -+---满足；故选：A4．已知命题p ：220x x +->，命题q ：()(){|lg 23}x f x x =-，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B分别化简命题p 和命题q ，利用必要不充分条件的定义进行判断即可．【详解】命题p ：220x x +->等价于1x >或<2x -；命题q ：()(){}3{|lg 23}|230|2x f x x x x x x ⎧⎫=-=->=>⎨⎬⎩⎭则p 是q 的必要不充分条件故选：B5．函数22o )l g (1f x x x =-+的零点所在区间是（）A ．1184⎛⎫⎪⎝⎭，B ．1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．112⎛⎫⎪⎝⎭D ．()12，【正确答案】C【分析】利用零点存在性定理即可求解．【详解】2111151log 08484f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭211151log 04242f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭21111log 1022f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭()12110f =-=>()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，221log ()f x x x ∴=-+的零点所在区间是112⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：C6．某产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间的关系如下表，由此得到y 与x 的线性回归方程为6y x a =+$$，由此可得：当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为x24568y3040605070A ．-10B ．0C ．10D ．20【正确答案】C【分析】由已知求得,x y 的值，得到ˆa，求得线性回归方程，令5x =求得y 的值，由此可求解结论.【详解】由题意，根据表格中的数据，可得2456830406050705,5055x y ++++++++====，所以ˆ6506520ay x =-⨯=-⨯=，所以ˆ620y x =+，取5x =，得ˆ652050y=⨯+=，所以随机误差的效应（残差）为605010-=，故选C.本题主要考查了回归直线方程的求解，以及残差的求法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．设曲线f (x )＝ax 2在点(2，4a )处的切线与直线4x －y ＋4＝0垂直，则a ＝（）A ．2B ．－116C ．12D ．－1【正确答案】B【分析】由已知结合导数的几何意义即可求解．【详解】f (x )＝ax 2，则()2f x ax'=因为在点(2，4a )处的切线与直线4x －y ＋4＝0垂直，所以()1244f a =-'=所以116a =-故选：B8．函数3222xxx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x xx x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．9．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.10．若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【正确答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.11．已知函数()()221x g x x e ax a =--+在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(,-∞B ．(C ．(,-∞D ．(0,【正确答案】A先求导数，利用单调性转化为()()2120xg x x e ax '=+-≥，构造新函数()()21x xf x x e +=求解()f x 的最小值即可.【详解】()()212x g x x e ax '=+-，由题意可知()()2120xg x x e ax '=+-≥在()0,∞+恒成立，即()212x x e a x+≥恒成立，设()()21x xf x x e +=，()()()()22221211x x x x e x x e x x f x +--+='=10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数；1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 为增函数；()f x 的最小值为12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ≤故选：A.利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解：（1）()f x 在区间D 上单调递增等价于()0f x '≥在区间D 上恒成立；（2）()f x 在区间D 上单调递减等价于()0f x '≤在区间D 上恒成立.12．若正实数a ，b 满足22ln ln 222+≥+-b a b a ，则（）A ．124+=+a bB ．122-=-a b C ．2a b >D ．240b a -<【正确答案】B【分析】利用基本不等式可得)222212b a +-≥（当且仅当222b a =时取等号），利用熟知的结论1ln x x -≥（当且仅当1x =时取等号）进行放缩可得到2222ln ln 2b a a b +-≥+，结合已知条件，得到22ln ln 222b a b a +=+-，考虑到各不等式取等号的条件，解得,a b 的值，然后逐一检验即可做出正确判断.【详解】先证明熟知的结论：1ln x x -≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号.设()1ln f x x x =--,则()11f x x'=-,在(0,1)上，()0f x '<,()f x 单调递减;在(1,+∞)上，()0f x '>,()f x 单调递增.故()()11100min f x f ==--=,∴()1ln f x x x =-≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号.由)22222212lnln ln 2b a a b +-≥=≥+,由已知22ln ln 222b a b a +≤+-，∴22ln ln 222b a b a +=+-，且2221b a ⎧=⎪=，解得12a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,经检验只有B 正确，故选：B.本题关键点在于利用基本不等式和熟知的结论1ln x x -≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号进行研究，得到2222ln ln 2b a a b +-≥+，结合已知得到等式，一定要注意基本不等式和1ln x x -≥取等号的条件，才能列出方程组求得,a b 的值.二、填空题13．函数()f x =__________．【正确答案】(0,1)(1,]e ⋃【分析】利用对数、分式、根式的性质列不等式，求x 的范围，即得定义域.【详解】由函数解析式，知：01ln 0220x x x ⎧>⎪-≥⎨⎪-≠⎩，解得0x e <≤且1x ≠.故答案为.(0,1)(1,]e ⋃14．i 是复数单位，若()1243i z i +=+，z 的虚部为__________.【正确答案】1【分析】由复数除法求得z 后可得z ，从而得其虚部．【详解】由已知243(43)(12)4836212(12)(12)5i i i i i i z i i i i ++--+-====-++-，2z i =+，虚部为1．故1．15．已知函数()f x 定义域为R ，满足 ()(2)f x f x =-，且对任意121x x ≤<，均有()()12120x x f x f x ->-，则不等式(21)(3)0f x f x ---≥解集为______．【正确答案】4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先求出函数()f x 关于直线1x =对称，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．在(],1-∞上单调递减，再解不等式|211||31|x x --≥--即得解.【详解】因为函数()f x 满足()(2)f x f x =-，所以函数()f x 关于直线1x =对称，因为对任意121x x ≤<，均有()()12120x x f x f x ->-成立，所以函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．由对称性可知()f x 在(],1-∞上单调递减．因为()()2130f x f x ---≥，即()()213f x f x -≥-，所以|211||31|x x --≥--，即|22||2|x x -≥-，解得0x ≤或43x ≥．故4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭方法点睛：对于函数问题的求解，通常要先研究函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性等，再利用这些性质求解函数的问题.16．已知函数()()()202ln f x a x x x a =+>-有两个极值点1x 、()212x x x <，则()()12f x f x +的取值范围为_________.【正确答案】(),16ln 224-∞-【分析】确定函数()y f x =的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求()()12f x f x +的取值范围．【详解】函数()()22ln f x a x x x =-+的定义域为()0,∞+，()21222212x ax a f x a x x x -+⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，依题意，方程22220x ax a -+=有两个不等的正根1x 、2x （其中12x x <），则241604a a a ∆=->⇒>，由韦达定理得120x x a +=>，120x x a =>，所以()()()()()22121212122ln 2f x f x a x x x x a x x +=++-+()()()2222121212122ln 222ln 222ln 2a x x x x x x a x x a a a a a a a a a ⎡⎤=++--+=+--=--⎣⎦，令()()22ln 24h a a a a a a =-->，则()2ln 2h a a a '=-，()()2122a h a a a-''=-=，当4a >时，()0h a ''<，则函数()y h a '=在()4,+∞上单调递减，则()()44ln 280h a h '<=-<，所以，函数()y h a =在()4,+∞上单调递减，所以，()()416ln 224h a h <=-.因此，()()12f x f x +的取值范围是(),16ln 224-∞-.故答案为.(),16ln 224-∞-本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将()()12f x f x +的取值范围转化为以a 为自变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知命题:,p x R ∀∈240++≤mx x m .（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）命题[]:2,8q x ∃∈，使得2log 1m x ≥，当p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题时，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）14m ≤-；（2）14m ≤-.（1）由题得0m <且21160∆=-≤m ，解不等式即得m 的取值范围；（2）先转化为[]2,8x ∃∈，21log m x ≥，再求21log x的最小值得m 的范围，因为p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题，所以p 真q 假，从而得到关于m 的不等式组，解不等式组即得解.【详解】（1）∵2,40x R mx x m ∀∈++≤，0m ∴<且21160∆=-≤m ，解得14m ≤-p ∴为真命题时，14m ≤-.（2）[2,8]∃∈x ，21log m x ≥，又[2,8]x ∈时，211[,1]log 3x ∈，13m ∴≥∵p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题∴当p真q假，有1413mm⎧≤-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩解得14m≤-【点晴】方法点晴：复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.18．2020年12月29日至30日，全国扶贫开发工作会议在北京召开，会议指出经过各方面的共同努力，中国现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部退出，脱贫攻坚目标任务如期全面完成.2021年是“十四五”规划开局之年，是巩固拓展脱贫攻坚成果、实现同乡村振兴有效衔接的起步之年．要按照中共中央国务院新决策新部署，把巩固拓展脱贫攻坚成果摆在头等重要位置来抓，推动脱贫攻坚政策举措和工作体系逐步向乡村振兴平稳过渡，用乡村振兴巩固拓展脱贫攻坚成果，坚决守住脱贫攻坚胜利果实，确保不出现规模性返贫，确保实现同乡村振兴有效衔接，确保乡村振兴有序推进．北方某刚脱贫的贫困地区积极响应，根据本地区土地贫瘠，沙地较多的特点，准备大面积种植一种叫做欧李的奇特的沙漠果树，进行了广泛的宣传．经过一段时间的宣传以后，为了解本地区广大农民对引进这种沙漠水果的理解程度、种植态度及思想观念的转变情况，某机构进行了调查研究，该机构随机在该地区相关人群中抽取了600人做调查，其中45岁及以下的350人中有200人认为这种水果适合本地区，赞成种植，45岁以上的人中赞成种植的占2 5．（1）完成如下的2×2列联表，并回答能否有99.5%的把握认为“赞成种植与年龄有关”？赞成种植不赞成种植合计45岁及以下45岁以上合计（2）为了解45岁以上的人的想法态度，需要在已抽取45岁以上的人中按种植态度（是否赞成种植）采用分层抽样的方法选取5位45岁以上的人做调查，再从选取的5人中随机抽取2人做深度调查，求2人中恰有1人“不赞成种植”的概率．附表：()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.072 2.706 3.841 5.0246.6357.87910.828参考公式为：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【正确答案】（1）填表见解析；有99.5%的把握认为“是否赞成种植与年龄有关”；（2）35．【分析】（1）根据题中数据，直接完善列联表，再由公式计算2K ，结合临界值表，即可得出结论；（2）先由题中条件，确定被抽取的5人中，“赞成种植的”有2人，记为a ，b ，“不赞成种植的”有3人，记为C ，D ，E ；用列举法写出总的基本事件，以及满足“恰有1人不赞成种植”的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.【详解】（1）由题意可得2×2列联表：赞成种植不赞成种植合计45岁及以下20015035045岁以上100150250合计30030060022600(200150150100)300300350250K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯12017.1437.8797=≈>经查表，得()27.8790.005P K >≈，所以有99.5%的把握认为“是否赞成种植与年龄有关”．（2）在45岁以上的人中，赞成种植和不赞成种植的人数比为2:3，所以被抽取到的5人中，“赞成种植的”有2人，记为a ，b ，“不赞成种植的”有3人，记为C ，D ，E ，从被选取到的5人中再从中抽取2人，共有如下抽取方法：(,)a b ，(,)a C ，(,)a D ，(,)a E ，(,)b C ，(,)b D ，(,)b E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E ，共有10种不同的结果，两人中恰好有1人为“不赞成种植的”包含了(,)a C ，(,)a D ，(,)a E ，(,)b C ，(,)b D ，(,)b E ，共有6种结果．所以所求概率63105P ==．方法点睛：求古典概型的概率的常用方法：（1）古典概型所包含的基本事件个数较少时，可用列举法列举出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；（2）古典概型所包含的基本事件个数较多时，可根据排列组合数的计算，求出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，进而求出所求概率.19．已知三次函数32()41f x x ax x =+++(a 为常数).（1）当1a =时，求函数()f x 在2x =处的切线方程；（2）若a<0，讨论函数()f x 在()0,x ∈+∞的单调性.【正确答案】（1）20190x y --=；（2）答案见解析.【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义可得直线的斜率，再由直线的点斜式方程即可得解；（2）对函数求导，结合二次函数的性质，按照0a -≤<、a <-()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解.【详解】（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++，2()324f x x x '=++Q ，(2)20f '∴=即切线的斜率20k =，(2)21f =Q ，∴切线方程为2120(2)y x -=-即20190x y --=；（2）导函数2()324f x x ax '=++的对称轴为03a x =->，①当24480a ∆=-≤即0a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当24480a ∆=->即a <-(0)40f '=>，令2()3240f x x ax '=++=，则13a x -=，23a x -=，因为120x x <<，所以当0x <<或x >时，()0f x '>；x <<时，()0f x '<；所以()f x在0,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；()f x 在33a a a a ⎛---+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减.本题考查了导数几何意义的应用及利用导数研究函数的单调性，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.20．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.(1)求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；(2)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【正确答案】(1)210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩；(2)2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.【详解】（1）依题意，销售收入700x 万元，固定成本250万元，另投入成本210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩万元，因此210600250,040()700()25010000()9200,40x x x W x x R x x x x ⎧-+-<<⎪=--=⎨-++≥⎪⎩，所以2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式是210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩.（2）由（1）知，当040x <<时，2()10(30)87508750W x x =--+≤，当且仅当30x =时取等号，当40x ≥时，10000()()920092009000W x x x =-++≤-+=，当且仅当10000x x =，即100x =时取等号，而87509000<，因此当100x =时，max ()9000W x =，所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.21．已知函数2()e x f x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.【正确答案】（1）当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增.（2）27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)方法一：首先讨论x =0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a 的取值范围.【详解】(1)当1a =时，()2e x f x x x =+-，()e 21x f x x ='+-，由于()''e 20x f x =+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增.(2)[方法一]【最优解】：分离参数由()3112f x x ≥+得，231e 12x ax x x +-+，其中0x ≥，①.当x =0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②.当0x >时，分离参数a 得，321e 12x x x a x----，记()321e 12x x x g x x ---=-，()()2312e 12x x x x g x x⎛⎫---- ⎪⎝⎭'=-，令()()21e 102x h x x x x =---≥，则()e 1x h x x ='--，()''e 10x h x =-≥，故()'h x 单调递增，()()00h x h ''≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，由()0h x ≥可得：21e 102x x x ---恒成立，故当()0,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；因此，()()2max 7e 24g x g -⎡⎤==⎣⎦,综上可得，实数a 的取值范围是27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.[方法二]：特值探路当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立27e (2)54-⇒⇒f a ．只需证当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．当274e a -≥时，227e ()e e 4-=+-≥+x x f x ax x 2⋅-x x ．只需证明2237e 1e 1(0)42-+-≥+≥xx x x x ⑤式成立．⑤式()223e 74244e -+++⇔xx x x ，令()223e 7424()(0)e -+++=≥x x x x h x x ，则()()222313e 2e 92()e -+--=='x x x x h x ()()222213e 2e 9e ⎡⎤-----⎣⎦=x x x x ()2(2)2e 9e ⎡⎤--+-⎣⎦x x x x ，所以当29e 0,2⎡⎤-∈⎢⎣⎦x 时，()0,()h x h x <'单调递减；当29e ,2,()0,()2⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭'x h x h x 单调递增；当(2,),()0,()∈+∞<'x h x h x 单调递减．从而max [()]max{(0),(2)}4==h x h h ，即()4h x ≤，⑤式成立．所以当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．综上274e a -≥．[方法三]：指数集中当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立323211e 1(1)e 122x x x ax x x ax x -⇒+-+⇒-++≤，记()32(1(1)e 0)2x g x x ax x x -=-++≥，()2231(1)e 22123xg x x ax x x ax -'=--+++--()()()2112342e 212e 22x x x x a x a x x a x --⎡⎤=--+++=----⎣⎦，①.当210a +≤即12a ≤-时，()02g x x '=⇒=，则当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意；②.若0212a <+<即1122a -<<时，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(21,2)x a ∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以若满足()1g x ≤，只需()21g ≤，即()22(7e 14)g a --≤=27e 4a -⇒，所以当27e 142a -⇒≤<时，()1g x ≤成立；③当212a +≥即12a ≥时，()32311(1)e (1)e 22x x g x x ax x x x --=++≤-++，又由②可知27e 142a -≤<时，()1g x ≤成立，所以0a =时，31()(1)e 21x g x x x -=+≤+恒成立，所以12a ≥时，满足题意.综上，27e 4a -.【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！22．如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧 CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.【正确答案】(1)2cos ([0,])4πρθθ=∈,32sin ([])44ππρθθ=∈,32cos ([,])4πρθθπ=-∈,(2))6π,)3π,2)3π,5)6π.【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中θ的取值范围.(2)根据条件ρ=P 点的极坐标.【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.1:2cos ([0,4M πρθθ=∈，23:2cos()2sin ([,])244M πππρθθθ=-=∈,33:2cos()2cos ([,])4M πρθπθθπ=-=-∈.(2)解方程2cos [0,])4πθθ=∈得6πθ=，此时P 的极坐标为)6π解方程32sin [,])44ππθθ=∈得3πθ=或23πθ=，此时P 的极坐标为3π或2)3π解方程32cos [,])4πθθπ-=∈得56πθ=，此时P 的极坐标为5)6π故P 的极坐标为)6π,)3π,2)3π,5)6π.此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.23．设函数()|21||4|f x x x =+--．（1）求不等式()2f x >的解集；（2）求函数()f x 的最小值.【正确答案】（1）{7x x ∈<-R 或53x ⎫>⎬⎭；（2）92-．【分析】(1)将绝对值函数化为分段函数，用不同的区间对应的解析式大于2，分别解出不等式求其并集即可.(2)由分段函数求其值域即可得到最小值.【详解】1521()33425(4)x x f x x x x x ⎧⎛⎫--<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=--≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+>⎪⎩⑴①由5212x x -->⎧⎪⎨<-⎪⎩解得7<-x ；②332142x x ->⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩解得543x <≤；③524x x +>⎧⎨>⎩解得>4x ；综上可知不等式的解集为{|7x x ∈<-R 或53x ⎫>⎬⎭.⑵由(1)知，当12x <-时，()195522f x x =-->-=-；当142x -≤≤时，()33f x x =-，()992f x -≤≤；当>4x 时，()59f x x =+>；综上x ∈R 时，()92f x ≥-，所以min 9()2f x =-故函数()f x 的最小值为92-.。

江西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题参考答案

第一次月考一、单选题1. 等差数列{}n a 中，1239a a a ++=，4516a a +=，则6a =（） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】C【解析】因为1231339a a a a d ++=+=，4512716+=+=a a a d ，所以可解得1a 1,d 2，所以61511011a a d =+=+=，故选：C2．在正项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若1010S =，2030S =，则30S 的值为（） A ．50 B ．70 C ．90 D ．110【答案】B【解析】由等比数列的片段和性质得10S ，1200S S −，3020S S −成等比数列所以()()22010103020S S S S S −=− 所以()()23030101030S −=−，解得3070S =. 故选：B.3．用数学归纳法证明“1111112331n n n n ++++>++++”时，假设n k =时命题成立，则当1n k =+时，左端增加的项为（） A ．134k + B ．11341k k −++ C ．111323334k k k +++++ D ．11232343(1)k k k +−+++ 131k +++111+31323k k k ++++111+31331111233123k k k k k k k ⎫++−⎪+++⎭⎫+++⎪++++⎭故选：D4．已知数列{}n a 为等差数列，首项10a >，若101210131a a <−，则使得0n S >的n 的最大值为（） A ．2022 B ．2023C ．2024D ．20255. 已知数列{}n a 为正项递增等比数列，123212a a a ++=，12311176a a a ++=，则该等比数列的公比q =（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】由题意10,1a q >>，由123212a a a ++=，1312321231322111716a a a a a a a a a a a a +++++==+=，得2221726a =，所以23a =（23a =−舍去），所以132********q a a q =−=++=，整理得22520q q −+=，解得2q （12q =舍去），所以2q.故选：A.6．近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装､人工等费用24万元，从第二年起，包括人工､维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为（） A ．204万元 B ．220万元C ．304万元D ．320万元7. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12cos 3n n n a a a ++++=，11a =，则2023S =（） A. 0 B.12C. lD. 32【答案】C【解析】解：()()()20231234567202120222023S a a a a a a a a a a =++++++++++2π5π1coscos 33=++++2018π2021πcoscos33+ 2π5π1337cos cos 133⎛⎫=+⨯+= ⎪⎝⎭．故选:C ．8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且111,1,1n n n n a S n a b a +=+==+，则使得n T M <恒成立的实数M 的最小值为（）A ．1B ．32C ．76D ．2【答案】C【解析】数列{}n a 中，11a =，1n n a S n +=+，当2n ≥时，11n n a S n −=+−，两式相减得11n n n a a a +−=+，二、多选题9．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则（） A ．{}1n n a a +的公比为9 B ．{}31log n a +的前20项和为210C ．{}n a 的前20项积为2003D ．()111()231nn k k k a a −+=+=−∑2020++=，n a 的前201919033⨯⨯=，因为()1313n n a −++}1n n a a ++的前)13213n −=−10．下列命题中正确的是（）A ．已知随机变量16,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则()3212D X += B ．若随机事件A ，B 满足：()12P A =，()23P B =，()56P A B ⋃=，则事件A 与B 相互独立C ．若事件A 与B 相互独立，且()()01P A P B <<，则()()P A B P A =D ．若残差平方和越大，则回归模型对一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 的拟合效果越好11. 已知数列1C ：0，2，0，2，0，现在对该数列进行一种变换，规则f ：每个0都变为“2，0，2”，每个2都变为“0，2，0”，得到一个新数列，记数列()1k k C f C +=，1,2,3,k =，且n C 的所有项的和为n S ，则以下判断正确的是（）A. n C 的项数为153n −⋅B. 4136S =C. 5C 中0的个数为203D. 1531n n S −=⋅−【答案】ABC【解析】设数列{}n C 的项数为一个数列{}n a ，因为1C 中有5项，即15a =，根据题意：在f 作用下，每个0都变为“2,0,2”，每个2都变为“0,2,0”，所以有()13Nn n a a n *+=∈，由此可知数列{}n a 为首相15a =，公比3q =的等比数列，所以n C 的项数为153n n a −=⋅，故A 正确；根据变换规则，若数列的各项中，2与0的个数相同，则与之相邻的下一个数列中2与0的个数也相同；若2比0多n 个，则与之相邻的下一个数列中2比0的个数少n 个，若2比0少n 个，则与之相邻的下一个数列中2比0的个数多n 个，因为1C 中有5项，其中2个2，3个0，2比0少1个，所以2C 的15项中，2比0的个数多1个，以此类推，若n 为奇数，则数列的各项中2比0少1个，若n 为偶数，则数列的各项中2比0多1个，4C 中4n =，项数为353135⋅=个，n 为偶数，所以2的个数为1351682+=，所以4682136S =⨯=，所以B 正确；5C 中共有453405⋅=项，其中5n =为奇数，所以数列中有40512032+=个0，所以C 正确； D 选项，n S 的值与n 的奇偶有关()()11531531n n n n S n −−⎧⋅−⎪=⎨⋅+⎪⎩为奇数为偶数，所以D 错误. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则 (公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是数列求通项或求和. 三、填空题12．已知等差数列{}n a 中，24a =，616a =，若在数列{}n a 每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为___．【答案】31【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则62123624a a d −===−，在数列{}n a 每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列{}n b 的公差为344d =，故新数列的首项为431−=，故通项公式为()33111444n b n n =+−=+，故4131413144b =⨯+=. 故答案为：3113．箱子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球、2个白球.从中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为．14．已知n S 是各项均为正实数的数列{}n a 的前n 项和，221111,60n n n n a a a a a ++=−−=，若*,2270n n n n S a ma ∀∈−+≥N ，则实数m 的取值范围是．(2)记n n n b a c ⋅=，n T 为n c 的前n 项和，求n T .【解】（1）解：由已知可得32112127a b a b d q d q =++=++=+①， ()()22231122212a b a d b q d q −=+−=+−=②，联立①②，得()()26320q q q q +−=+−=，解得3q =−或2q，2q，代入①式可得在曲线()y f x =上(1)3f '⇒−=，21a a ++−(1n ⋅++=，)1+；()(1nn −−⋅，)()(1212233445212222k k k k k ⎡+++⋅⋅−⋅+⋅−⋅++−⋅−⋅+⎣[]12224222k +⋅−⋅−⋅−−⋅()()222224221k k k k k k k k =+−+++=+−+=，即T 2n =n 2.18．已知数列{}n a 的前 n 项和为n S ，()*∈−=N n S a n n 2.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数λ ,使数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n n n S 2λλ为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；（3）已知数列{}n b ，()()1121++=+−n n nn a a b ，其前 n 项和为n T ，求使得442m T m n<<−对所有*N n ∈都成立的自然数m 的值.的一动点，PAB 面积的最大值为C 交于,D 两点，记ODE 的面积为,DN EN 的斜率分别为12,k k .联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 可得()234m y +所以()()222Δ3636341441m m m =++=+且12122269,3434m y y y y m m +=−=−++， ODES=1,t t =≥2631t t =+试卷第11页，共11页。

2023-2024学年山西省晋中市平遥县高二下册3月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年山西省晋中市平遥县高二下册3月月考数学试题一、单选题1．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（）A ．48种B ．36种C ．24种D ．12种【正确答案】B利用分步计数原理，分3步即可求出【详解】解：由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，根据分步计数原理，共有23636⨯⨯=不同的选取方法，故选：B2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532a a =,则95S S =（）A ．910B ．1518C ．95D ．185【正确答案】D【分析】根据等差数列的前n 项和21(21)n n S n a -=-，将95S S 转化为5a 和3a 的算式即可得到所求．【详解】解：依题意，数列{}n a 为等差数列，所以19951553992552a a S a a a S a +⨯⨯==+⨯⨯，又因为532a a =，所以955399182555S a S a ⨯===⨯，故选D.等差数列的性质，等差数列的前n 项和，考查分析解决问题的能力和运算能力，属于基础题．3．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）A ．8B ．10C ．12D ．14【正确答案】A【分析】分为三人组中包含小明和小李和不包含小明和小李两类，分别计算方案种数即可得结果.【详解】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，当三人组中包含小明和小李时，安装方案有12326C A =种；当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有222A =种，共计有628+=种，故选：A.4．设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，点M 在C 上，点N 在准线l 上且MN 平行于x 轴，若NF MN =，则MF =（）A ．3B ．1C ．3D ．4【正确答案】D【分析】由抛物线方程可知焦点坐标及准线方程，设准线l 与x 轴交点为E ，画出图象，由抛物线定义及NF MN =可知MNF 是正三角形，结合平行关系可判断60EFN ∠=︒，利用直角三角形性质即可求解.【详解】由题可知，2p =，抛物线焦点F 为()1,0，准线l 为=1x -，设准线l 与x 轴的交点为E ，如图所示，由题知MN l ⊥，由抛物线的定义可知MN MF =，因为NF MN =，所以MNF 是正三角形，则在Rt NEF 中，因为MN EF ∥，所以60EFN MNF ∠=∠=︒，所以224MF NF EF p ====．故选：D5．三棱锥A BCD -中，AC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥．若3AB =，1BD =，则该三棱锥体积的最大值为（）A ．2B ．43C ．1D ．23【正确答案】D【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得BD ⊥平面ACD 、BD AD ⊥与AC CD ⊥，从而利用基本不等式求得2ACDS≤，进而得到23A BCDB ACD V V --=≤，由此得解.【详解】因为AC ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥，又BD CD ⊥，AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以BD ⊥平面ACD ，因为AD ⊂平面ACD ，所以BD AD ⊥，在Rt △ABD 中，3AB =，1BD =，则AD ==，因为AC ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AC CD ⊥，在Rt ACD △中，不妨设(),0,0AC a CD b a b ==>>，则由222AC CD AD +=得228a b +=，所以()221111222244ACDSAC CD ab ab a b =⋅==⨯≤+=，当且仅当a b =且228a b +=，即2a b ==时，等号成立，所以11221333A BCDB ACD ACDV V SBD --==⋅≤⨯⨯=，所以该三棱锥体积的最大值为23.故选：D..6．()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -项的系数为160，则=a （）A ．2B ．4C ．2-D ．-【正确答案】C先求得()61ay +展开式中3y 的系数，可得()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数，从而得答案.【详解】二项式()61ay +展开式的通项为()6166C 1C rr rr r r r T ay a y -+=⨯=，令3r =可得二项式()61ay +展开式中3y 的系数为336C a ，∴()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数为()3361C 160a -=，可得38a =-，解得2a =-，故选：C ．7．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（）种A ．5B ．8C ．14D ．21【正确答案】C【分析】按乙排第五和不是第五分类讨论．【详解】乙排在第五的情况有：33A ，乙不在第五的方法有112222C C A ，共有3112322214A C C A +=，故选：C ．关键点点睛：本题考查排列组合的综合应用，解题关键是确定完成事件的方法：是先分类还是先分步：分类后每一类再分步．然后结合计数原理求解．8．设函数()f x ，()g x 在R 上的导函数存在，且()()f x g x ''<，则当(),x a b ∈时（）A ．()()f x g x <B ．()()f xg x >C ．()()()()f x g a g x f a +<+D ．()()()()f xg b g x f b +<+【正确答案】C【分析】对于AB ，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD ，构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数与函数单调性的关系证得()h x 在R 上单调递减，从而得以判断.【详解】对于AB ，不妨设()2f x x =-，()1g x =，则()2f x '=-，()0g x '=，满足题意，若()1,x a b =-∈，则()()21f x g x =>=，故A 错误，若()0,x a b =∈，则()()01f x g x =<=，故B 错误；对于CD ，因为()f x ，()g x 在R 上的导函数存在，且()()f x g x ''<，令()()()h x f x g x =-，则()()()0h x f x g x ''-'=<，所以()h x 在R 上单调递减，因为(),x a b ∈，即a x b <<，所以()()()h b h x h a <<，由()()h x h a <得()()()()f x g x f a g a -<-，则()()()()f x g a g x f a +<+，故C 正确；由()()h b h x <得()()()()f b g b f x g x -<-，则()()()()f x g b g x f b +>+，故D 错误.故选：C.二、多选题9．有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（）A ．共有66A 种不同的排法B ．男生不在两端共有2424A A 种排法C ．男生甲、乙相邻共有2525A A 种排法D ．三位女生不相邻共有3333A A 种排法【正确答案】AC【分析】根据给定条件，利用无限制条件的排列判断A ；利用有位置条件的排列判断B ；利用相邻、不相邻问题的排列判断C ，D 作答.【详解】有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有66A 种不同的排法，A 正确；男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有2434A A 种排法，B 不正确；男生甲、乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有2525A A 种排法，C 正确；三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有3334A A种排法，D 不正确.故选：AC 10．()20232202301220231ax a a x a x a x +=++++ ，若16069a =-，则下列结论正确的有（）A ．3a =B ．202301220232a a a a ++++=- C ．202312220231333a a a +++=- D ．()20231ax +的展开式中第1012项的系数最大【正确答案】BC【分析】利用二项式展开式的通项公式求解含x 项的系数，从而求解a ，即可判断选项A ，赋值法即可求解系数和问题，从而判断选项B 、C ，利用展开式系数符合规律判断选项D 【详解】对于A ，112023C 20236069a a a =⋅==-，可得3a =-，故A 错误；对于B ，因为()2023201213x a a x a x -=++20232023a x ++ ，令1x =，则()202320230122023132a a a a ++++=-=- ，故B 正确；对于C ，令0x =，则01a =，令13x =，则2023202312002202311313333a a a a a ⎛⎫+++=-⨯-=-=- ⎪⎝⎭ ，故C 正确；对于D ，由展开式知，20n a >，210n a -<，故第1012项的系数10110a <，不会是展开式中系数最大的项，故D 错误.故选：BC11．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数()()3211R 32f x x x x b b =-++∈，则（）A ．()f x 一定有两个极值点B ．函数()y f x =在R 上单调递增C ．过点()0,b 可以作曲线()y f x =的2条切线D ．当712b =时，123202220222023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【正确答案】BCD【分析】对()f x 求导，得出()0f x ¢>，没有极值点，可判断A ，B ；由导数的几何意义求过点()0,b 的切线方程条数可判断C ；求出三次函数()f x 的对称中心，由于函数的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，可得()()12f x f x +-=，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D.【详解】由题意知()21f x x x '=-+，1430∆=-=-<，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，没有极值点，A 错误，B 正确；设切点为3211,32m m m m b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则()21k f m m m '==-+，切线方程为()()32211132y m m m b m m x m ⎛⎫--++=-+- ⎪⎝⎭，代入点()0,b 得32321132m m m m m m -+-=-+-，即322132m m =，解得0m =或34m =，所以切线方程为y x b =+或1316y x b =+，C 正确；易知()21f x x ''=-，令()0f x ''=，则12x =．当712b =时，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭''，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以点1,12⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，所以有11222f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x +-=．令123202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20222023⎛⎫ ⎪⎝⎭，又20222021202012023202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12022220232023S f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22021202212022240442023202320232023f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=⨯= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ，所以2022S =，D 正确．故选：BCD.12．已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，直线l ：()0y kx k =≠与椭圆C 交于M ，N 两点，12F MF ∠的角平分线与x 轴相交于点E ，与y 轴相交于点()0,G m ，则（）A ．四边形12MF NF 的周长为8B ．1114MF NF +的最小值为9C ．直线BM ，BN 的斜率之积为34-D ．当12m =-时，12:2:1F E F E =【正确答案】AC【分析】对A 选项，由椭圆的定义知，四边形12MF NF 的周长为4a 即可求解；对B 选项，由直线()0y kx k =≠与椭圆相交的对称性知：12NF MF =，11121414MF NF MF MF ∴+=+，借助基本不等式可得1114MF NF +的最小值；对C 选项，设()11,M x y ，则()11,N x y --，由点()11,M x y 在椭圆上，即可化得BM BN k k ⋅的值；对D 选项，设出()()11,0t E t -<<，由条件推出()121MF t =+，()221MF t =-，又在椭圆C 中，由其第二定义1MF e =得()1112212MF x t =+=+，从而得到M ，E ，G 三点坐标，再根据其三点共线，化简求解即可．【详解】对A 选项，由椭圆的定义知，四边形12MF NF 的周长为2248a a a +==，A 正确；对B 选项，1112141414MF NF MF MF +=+=()21121212414191444MF MF MF MF MF MF MF MF ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当1248,33MF MF ==时等号成立，故B 错误；对C 选项，设()11,M x y ，则()11,N x y --，又(B，所以211121113BM BNy y y k k x x x --⋅=⋅=-．因为点()11,M x y 在椭圆上，所以2211143x y +=，即()222111441333y x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以2121334BM BNy k k x -⋅==-，C 正确；对D 选项，设()()11,0t E t -<<，则12F E F E 1211MF t t MF +==-，124MF MF +=所以()121MF t =+，()221MF t =-，在椭圆C ：22143x y +=中，由其第二定义1MF e d =（d 指的是椭圆上的点到相应的准线的距离）得221111()()22M a a MF de x e x e x c c ==+⋅=+⋅=+，12MF ∴=+()11212x t =+，所以14x t =，故()14,M t y ，(),0E t ，10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭G ，因为三点共线，所以1123y t t =，解得132y =，则29164143t +=，解得14t =±，当14t =时，1211541314F E F E +==-，当14t =-时，1211341514F E F E -==+，故D 错误．故选：AC方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习加以强化.三、填空题....道上有编号1，2，.3，....10的十盏路灯，为节省用电又能看清路面，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，满足条件的关灯方法有__________种.【正确答案】20【分析】采用插空法即可求解.【详解】10只灯关掉3只，实际上还亮7只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空挡中放入3只熄灭的灯，有36C 20=种方法，故答案为.2014．我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童.若一刍童为正棱台，其上、下底1，则该刍童的外接球的表面积为______.【正确答案】20π【分析】根据题意，作出图形，设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，分两种情况讨论，分别根据条件列出方程组，即可求出外接球半径，代入球的表面积公式计算即可求解．【详解】设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，则由题意，121O O =，22AO =，111A O =，1R OA OA ==．如图，当O 在12O O 的延长线上时，设2OO h =，则在2AOO 中，22R 4h =+①，在11A OO 中，()22R 11h =++②，联立①②得1h =，2R 5=，所以刍童外接球的表面积为20π，同理，当O 在线段12O O 上时，设1OO h =，则有22R 1h =+，()22R 14h =-+，解得2h =，不满足题意，舍去．综上所述，该刍童外接球的表面积为20π．故20π．15．两名学生一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是170．”若每个参加面试的人被招聘的可能性相同，则根据这位负责人的话，可以推断出参加面试的人数为______．【正确答案】21【分析】利用古典概型的概率公式求解.【详解】设参加面试的人数为n ，依题意有()()()()2122362C C 61C 12170n nn n n n n n --===---，即()()242020210n n n n --=+-=，解得21n =或20n -（舍去）．16．南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题，在他的专著《详解九章算法·商功》中给出了著名的三角垛公式()()()()()1112123123126n n n n ++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=++，则数列{}22n n +的前n 项和为____________．【正确答案】()()1121226n n n n ++++-【分析】由三角垛公式可知数列()12n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++，根据()212222n n n n n n ++=⨯-+，采用分组求和法，结合等差、等比求和公式可求得结果.【详解】()11232n n n ++++⋅⋅⋅+=，∴数列()12n n +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++，()212222n n n n n n ++=⨯-+ ，∴数列{}22n n +的前n 项和()()()1211223212222222n n n n S n +⎛⎫⨯⨯=⨯++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()()()()()()121211211122232126n n n n n n n n n n +-+++=++-+=+--.故答案为.()()1121226n n n n ++++-关键点点睛：本题考查数列中的分组求和法的应用，解题关键是能够将所求数列的通项进行变型，从而与已知的三角垛公式联系起来，利用所给的三角垛公式来进行求和.四、解答题17．现有一些小球和盒子，完成下面的问题．(1)4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中（允许有空盒子），一共有多少种不同的放法？(2)4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有多少种？【正确答案】(1)256；【分析】（1）根据题意分析将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，由分步计数原理计算即可得出答案；（2）根据题意，分两步进行，①将4个小球分为3组，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，根据分步计数原理计算即可得出答案；【详解】（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，则4个小球有4444256⨯⨯⨯=种不同的放法；（2）①将4个小球分为3组，有24C 6=种分组方法，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，有3343C A 24=种情况，则624144⨯=种不同的放法．18．如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E 是AC 与BD 的交点，AB AD =，60BAD ∠=︒．(1)记圆柱的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V ；(2)设点F 在线段AP 上，4,4PA PF PC CE ==，求二面角F CD P --的余弦值．【正确答案】【分析】（1）利用平面几何的知识推得AC BD ⊥，进而得到BD =与4AC EC =，从而利用柱体与锥体的体积公式求得12,V V 关于,EC PC 的表达式，由此得解；（2）根据题意建立空间直角坐标系，设1CE = ，结合（1）中结论与（2）中所给条件得到所需向量的坐标表示，从而求得平面FCD 与平面PCD 的法向量n 与m ，由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】（1）因为ABD ∠与ACD ∠是底面圆弧AD 所对的圆周角，所以ABD ACD ∠=∠，因为AB AD =，所以在等腰ABD △中，ABD ADE ∠=∠，所以ADE ACD ∠=∠，因为AC 是圆柱的底面直径，所以90ADC ∠=︒，则90CAD ACD ∠+∠=︒，所以90CAD ADE ∠+∠=︒，则90AED ∠=︒，即AC BD ⊥，所以在等腰ABD △，BE DE =，AC 平分BAD ∠，则1302CAD BAD ∠=∠=︒，所以60ADE ∠=︒，则30∠=︒CDE ，故在Rt CED 中，2CD EC =，DE ，则2BD DE ==，在Rt ACD △中，24AC CD EC ==，因为PC 是圆柱的母线，所以PC ⊥面ABCD ，所以()22211ππ24π2V AC CP EC PC EC PC ⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，2211143263V AC BD PC EC PC EC PC =⨯⋅⋅=⨯⨯⋅=⋅，所以12V V =．（2）以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，不妨设1CE = ，则44AC EC ==，DE =44PC CE ==，则()()()()0,0,0,4,0,0,1,,0,0,4C A D P ，所以()CD = ，()0,0,4CP = ，()4,0,4PA =- ，因为4PA PF =，所以()11,0,14PF PA ==- ，则()()01,0,1(1,0,3,0,4)CF CP PF ==+=-+ ，设平面FCD 的法向量(,,)n x y z = ，则00n CF n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即300x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令3x =-，则1y z ==，故(n =- ，设平面PCD 的法向量(,,)m p q r = ，则00m CP m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即400r p =⎧⎪⎨=⎪⎩，令3p =-，则0q r ==，故(m =- ，设二面角F CD P --的平面角为θ，易知π02θ<<，所以cos cos ,13||||n m n m n m θ⋅====⋅ ，因此二面角F CD P --19．记数列{}n a 的前n 项和为n T ，且111,(2)n n a a T n -==≥．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设m 为整数，且对任意*n ∈N ，1212nn m a a a ≥+++ ，求m 的最小值．【正确答案】(1)21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩(2)7【分析】（1）由数列n a 与n T 的关系可得()122n n a a n +=≥，再结合等比数列的通项可得解；（2）利用错位相减法求出1212nn a a a +++ ，结合范围即可得解.【详解】（1）因为111,(2)n n a a T n -==≥，所以211a a ==，当2n ≥时，112n n n n n a T T a a +-+===，故()222222n n n a a n --==⋅≥，且11a =不满足上式，故数列{}n a 的通项公式为21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）设1212n nn S a a a =+++ ，则11S =，当2n ≥时，102122322n n S n --=+⋅++⋅+⋅ ，故112112232222n n S n ---=+⋅+⋅+⋅+ ，于是()122115222222n n n S n ----=++++-⋅ ()121121252212n n n -----=+-⋅-．整理可得27(2)2n n S n -=-+，所以7n S <，又54968S =>，所以符合题设条件的m 的最小值为7．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点A ，且焦距为10．(1)求C 的方程；(2)已知点3),B D -，E 为线段AB 上一点，且直线DE 交C 于G ，H 两点．证明：||||||||GD HD GE HE =．【正确答案】(1)221169x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意列方程组求出,a b ，即可得出C 的方程；（2）根据,,,D E H G 四点共线，要证||||||||GD HD GE HE =即证HE GE G H D D ⋅=⋅，设出直线:DE y x =-，()()1122,,,G x y H x y，)E t ，联立直线方程与椭圆方程得出1212,x x x x +，将其代入G G HE E DH D ⋅-⋅ ，计算结果为零，即证出．【详解】（1）由题意可得2232910a b-==，故4,3a b ==，所以C 的方程为221169x y -=．（2）设)E t ，()()1122,,,G x y H x y ，当x =2321169y -=，解得3=±y ，则||3t <，双曲线的渐近线方程为34y x =±，故当直线DE 与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点，此时直线DE方程为(34y x =±-，令x =y =||t ≠则直线:DE y x =-．由221169y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得()222292161440t x x t -+--=，所以212229x x t +=-，21221614429t x x t +=-．()()()()11221122,,,G HE GE DH x y x t x D y t y x y ⋅-⋅=--⋅----⋅-)()121212122232x x y y x x t y y =+-+-++()2221212243244t x x t x x t ⎛⎛⎫=+-++++ ⎪⎝⎭⎝()()()222222248943244322929t t t t t t t +++=-++--0=．所以HE GE G H D D ⋅=⋅ ，所以cos0cos0HE G G E D DH = 即||||||||GD HD GE HE =．关键点睛：本题第二问不能直接计算长度，否则计算量过大，而是转化为证明向量数量积之间的关系，采取设)E t ，从而得到直线DE 方程，再使用经典的联立法，得到韦达定理式，然后证明0HE GE G D D H ⋅-⋅= 即可.21．设()()21031x Q x x ax b -=-++，其中()Q x 是关于x 的多项式，a ，b ∈R ．（1）求a ，b 的值；（2）若28ax b +=，求103x -除以81的余数．【正确答案】（1）10a =，12b =-；（2）28.【分析】（1）利用二项式定理及已知即求；（2）由题可知x 的值，然后利用二项式定理可求.【详解】（1）由已知等式，得()()()1021131x Q x x ax b -+-=-++⎡⎤⎣⎦，∴()()()()10920189101010101010C 1C 1C 1C 1C 3x x x x -+-+⋅⋅⋅+-+-+-()()21Q x x ax b =-++，∴()()()()()8722018101010C 1C 1C 110121x x x x Q x x ax b ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+-+-=-++⎣⎦，∴1012x ax b -=+，∴10a =，12b =-．（2）∵28ax b +=，即101228x -=，∴4x =，∴103x -1043=-()10313=+-0101991010101010C 3C 3C 3C 3=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+-()406156441010103C 3C 3C 4035328=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯+⨯+()0615610101081C 3C 3C 4528=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅+++，∴所求的余数为28．22．已知函数()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦（其中e 为自然对数的底数）．(1)若1k =，求函数()f x 的单调区间；(2)若12k ≤≤，求证：[]0,x k ∀∈，()2f x x <．【正确答案】(1)单调递增区间为[)0,∞+，单调递减区间为(),0∞-；(2)见解析.【分析】（1）求导，当()0f x '≥时，0x ≥，当()0f x '<时，0x <，即可解决；（2）由()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令新函数()21()1e 6x g x x x k=---，求导，由()()1e 6k g k k k =---，再令新函数()()()1e 6k h k g k k k ==---，证明()0h k <在12k ≤≤上恒成立，即可得证.【详解】（1）由题知()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦，所以()()e 1e e x x x f x k x kx '⎡⎤=+-=⎣⎦，当1k =时，()e x f x x '=，当()0f x '≥时，0x ≥，当()0f x '<时，0x <，所以()f x 的单调递增区间为[)0,∞+，单调递减区间为(),0∞-，（2）由题知12k ≤≤，[]0,x k ∀∈，()2f x x <，所以()21e 60x k x x ⎡⎤---<⎣⎦，因为12k ≤≤，所以()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令()21()1e 6x g x x x k=---即证()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立，因为22()e (e )x x g x x x x k k'=-=-当()0g x '=时，2ln x k=，当()0g x '≥时，2lnx k ≥，即()g x 在2ln ,k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当()0g x '≤时，2ln x k ≤，即()g x 在20,ln k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因为(0)70g =-<，()()1e 6k g k k k =---，令()()()1e 6k h k g k k k ==---，所以()e 1k h k k '=-，因为12k ≤≤，所以()e 10k h k k '=->，所以()h k 在[]1,2上单调递增，所以2max ()(2)e 80h k h ==-<，所以()0g k <恒成立，因为(0)0,()0g g k <<，所以()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立，即得证.。

2023-2024学年宁夏回族自治区石嘴山市高二下册3月月考数学(理)模拟试题(含解析)

2023-2024学年宁夏回族自治区石嘴山市高二下册3月月考数学（理）模拟试题一、单选题1．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能为A ．B ．C ．D．【正确答案】D【分析】通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案.【详解】由函数()f x 的图象可知，当(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递减，所以(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，符合条件的只有D 选项，故选D.本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题.2．211e x dx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰（）A ．2e ln 2-B ．2e e ln 2--C ．2e e ln 2++D ．2e e ln 2-+【正确答案】D【分析】根据定积分的运算法则进行求解即可.【详解】()()()2222111e e ln e ln 2e ln1e e ln 2x x dx x x ⎛⎫+=+=+-+=-+ ⎪⎝⎭⎰.故选：D.3．已知随机变量X 的概率分布为()()()1,2,3,41aP X n n n n ===+，其中a 是常数，则1522P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭（）A ．12B ．23C ．13D ．56【正确答案】D【分析】根据概率和为1，求得参数a ，再求()()1,2P X P X ==，则问题得解.【详解】因为()()()()12341261220a a a a P X P X P X P X =+=+=+==+++=，解得54a =.故()()555128246P X P X =+==+=.故选：D本题考查根据分布列求参数值，属基础题.4．把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有（）A ．18种B ．12种C ．9种D ．6种【正确答案】B【分析】先确定1号盒子的选择情况，再确定剩下盒子的选择情况，进而根据分布计数原理求得答案.【详解】由于1号盒子不能放1号和2号球，则1号盒子有3号球、4号球2种方法，则剩下3个盒子各放一个球有33A 种方法，一共有332=12A ⨯种方法.故选：B.5．小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5【正确答案】D根据条件概率，即可求得在第一个路口遇到红灯，在第二个路口也遇到红灯的概率．【详解】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A ，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B “小明在第一个路口遇到了红灯，在第二个路口也遇到红灯”为事件C 则()0.4P A =，()0.5P B =，()0.2P AB =()0.2(|)0.5()0.4P AB P B A P A ===故选D.本题考查了条件概率的简单应用，属于基础题．6．若4m A ＝183m C ，则m 等于（）A ．9B ．8C ．7D ．6【正确答案】D【详解】由A ＝m (m －1)(m －2)(m －3)＝18·，得m －3＝3，m ＝6.7．函数()ln 25y x x =+的导数为（）A ．()ln 2525x x x+-+B ．()ln 25225x x x +++C ．()2ln 25x x +D ．25x x +【正确答案】B【分析】根据复合函数的求导法则以及导数的乘法运算法则求解出原函数的导数.【详解】解析：因为()()()()ln 25ln 25y x x x x '''=⋅++⋅+，所以()()1ln 252525y x x x x ''=++⋅⋅++，所以()2ln 2525x y x x '=+++，故选：B.8．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）．A ．420B ．180C ．64D ．25【正确答案】B【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，讨论A ，D 同色和异色，根据乘法原理可得结论．【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，A ，D 不同色，D 有3种，C 有2种涂法，有5432120⨯⨯⨯=种，A ，D 同色，D 有1种涂法，C 有3种涂法，有54360⨯⨯=种，共有180种不同的涂色方案．故选：B ．本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题.9．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线:40l x y +-=距离的最小值为（）A．2BC．D．【正确答案】C【分析】由题知过点P 作曲线2ln y x x =-的切线，当切线与直线:40l x y +-=平行时，点P 到直线:40l x y +-=距离的最小，再根据导数的几何意义求解即可.【详解】解：过点P 作曲线2ln y x x =-的切线，当切线与直线:40l x y +-=平行时，点P 到直线:40l x y +-=距离的最小.设切点为000(,)(0)P x y x >，12'=-y x x，所以，切线斜率为0012k x x =-，由题知00121x x -=-得01x =或0 12x =-（舍），所以，(1,1)P -，此时点P 到直线:40l x y +-=距离d ==.故选：C10．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【正确答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．11．如图，已知电路中有5个开关，开关5S 闭合的概率为13，其它开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（）A ．78B ．1516C ．2324D ．45【正确答案】A【分析】设开关i S 闭合为事件i A ，{1,2,3,4,5}i ∈，由所设事件表示事件灯不亮，利用概率乘法公式求其概率，再利用对立事件概率公式求事件灯亮的概率.【详解】设开关i S 闭合为事件i A ，{1,2,3,4,5}i ∈，则事件灯不亮可表示为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅，由已知12341()()()()2P A P A P A P A ====，51()3P A =，∴1234511121()(1)42238P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=-⨯⨯⨯=，∴事件灯亮的概率78P =，故选：A.12．某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为l ，左右两端均为半球形，其半径为r ，若其表面积为S ，则胶囊的体积V 取最大值时r =()A 4S πB 2S πC SπD 6S π【正确答案】A【分析】由圆柱和球的表面积公式将l 用r 和S 表示出来，再代入圆柱体积和球体积公式，表示出胶囊的体积V ，利用求导求出V 的最大值及此时r 的值.【详解】依题意，224422S r r rl S l rππππ-+=⇒=，故32342()323Sr V r r r l r πππ=+=-2()22S V r r π'=-，当4Sr π=()0V r '=，V 取最大值．故选：A二、填空题13．由曲线1x =-，0x =，e x y =以及x 轴所围成的面积为______．【正确答案】11e-【分析】根据定积分的几何意义即可求解区域面积.【详解】曲线1x =-，0x =，e x y =以及x 轴所围成的面积可表示：x 在()1,0-上的定积分，被积函数为e x y =，所以0001111e ee e 1ex xdx ---==-=-⎰.故答案为.11e-14．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )等于________．【正确答案】65【详解】分析：由题意知，X ～B （5，3m+3），由EX=5×3m+3=3，知X ～B （5，35），由此能求出D （X ）．详解：由题意知，X ～B （5，3m+3），∴EX=5×3m+3=3，解得m=2，∴X ～B （5，35），∴D （X ）=5×35×（1-35）=65．点晴：二项分布X ～B （n ，p ）则EX=np ．DX=np(1-p)15．已知在()()22nx y x y -+的展开式中含有24x y 项，则求24x y 的系数是______．【正确答案】70-【分析】由二项式定理展开项的特点即性质求解即可.【详解】()2nx y +展开式的通项为：()1C 2C 2n rr r r n rn r r r n n T x y x y ---+=⋅=⨯⋅⋅则()()22nx y x y -+的展开式含11C 22C 2C 22C 2r n r n r r r n r n r r r n r n r r r n rn r r n n n n x x y y x y x y x y -----+---+⨯⋅⋅-⨯⋅⋅=⨯⋅⋅-⨯⋅⋅，若其展开式中含有24x y 项，则1246n +=+=，故5n =，所以24x y 的系数为413255C 22C 2108070⨯-⨯=-=-.故答案为.70-16．若函数()()232e xf x mx x x =+-+在R 上单调递增，则实数m 的取值范围是______.【正确答案】[e,)+∞【分析】求出函数的导数，结合题意可知()()21e 0xf x m x x '=+--≥在R 上恒成立，即()21e x m x x -≤--在R 上恒成立，从而构造函数，将问题转化为求函数的最值问题即可.【详解】因为函数()()232e xf x mx x x =+-+在R 上单调递增，故()()21e 0xf x m x x '=+--≥在R 上恒成立，即()21e xm x x -≤--在R 上恒成立，设()2()1e x g x x x =--，则()2()2e xg x x x '=+-，当<2x -或1x >时，()0g x '>，当2<<1x -时，()0g x '<，由220x x +-=，得121122x x ==，当x <x ()0g x >x <()0g x <，作出函数()2()1e xg x x x =--的大致图象如图：故1x =为函数极小值点，此时函数也取得最小值，最小值为(1)e g =-，故e,e m m -≤-∴≥，经验证，当e m =时，()()21e 0xf x m x x '=+--≥在R 上恒成立,仅在1x =时取等号，适合题意，故实数m 的取值范围是[e,)+∞，故[e,)+∞三、解答题17．现有6本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数．(1)分成三组，一组3本，一组2本，一组1本；(2)分给三个人，一人3本，一人2本，一人1本；(3)平均分成三个组每组两本．【正确答案】(1)60；(2)360；(3)15.【分析】（1）根据题意，由分步计数原理直接计算可得答案；（2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，再将分好的三组分给3人，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，由平均分组公式计算可得答案．【详解】（1）根据题意，第一组3本有36C 种分法，第二组2本有23C 种分法，第三组1本有1种分法，所以共有3263C C 160⨯=种分法.（2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，有3263C C 160⨯=种分法，再将分好的三组分给3人，有33A =6种情况，所以共有606360⨯=种分法.（3）根据题意，将6本书平均分为3组，有22264233C C C A =15种不同的分法．18．某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从8道题目中随机抽取3道回答，至少答对2道可以晋级.已知甲同学能答对其中的5道题.(1)设甲同学答对题目的数量为X ，求X 的分布列，(2)求甲同学能晋级的概率.【正确答案】(1)分布列见解析(2)57【分析】（1）由题意可知甲同学答对题目的数量X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，从而可求出X 的分布列，（2）甲同学能晋级的概率(2)(3)P P X P X ==+=，从而可求得结果【详解】（1）由题意可知甲同学答对题目的数量X 的可能取值为0，1，2，3，则33381(0)56C P X C ===，12533815(1)56C C P X C ===，21533815(2)28C C P X C ===，35385(3)28C P X C ===，所以X 的分布列为X0123P15615561528528（2）由题意可得甲同学能晋级的概率为1555(2)(3)28287P P X P X ==+==+=19．已知(2n x +展开式中第3项和第7项的二项式系数相等（1）求展开式中含2x 的项的系数；（2）系数最大的项是第几项？【正确答案】(1)1120；(2)第3项或第4项.【分析】(1)利用二项式系数的性质求出n 值，再求出二项展开式的通项即可求出指定项的系数；(2)利用(1)的信息根据系数最大列出不等式组即可作答.【详解】（1）依题意，26n n C C =，由组合数的性质得8n =，于是得8(2x展开式的通项88213888(2)2,,8rrr r rr r T C x C x r N r --+-=∈⋅⋅=≤，由3822r -=得4r =，则8844167012120C -⋅=⋅=，所以展开式中含2x 的项的系数为1120；（2）令Tr ＋1项的系数最大，由(1)得89188871882222r r rr r r rr C CC C-----+⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，即8!8!2(8)!!(9)!(1)!8!8!2(8)!!(7)!(1)!r r r r r r r r ⎧≥⋅⎪---⎪⎨⎪⋅≥⎪--+⎩，整理得1292181r rr r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得23r ≤≤，而,8r N r ∈≤，从而得2r =或3r =，所以展开式中系数最大项是第3项或第4项.20．已知函数()()221ln f x ax a x x =+--．(1)当12a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)讨论函数()f x 单调性．【正确答案】(1)()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；函数()f x 的极小值()1f 12=，无极大值(2)答案见解析【分析】（1）利用导数与函数的单调性、极值的关系求解，注意函数的定义域，即可得到答案；（2）利用导数与函数的单调性的关系求解，注意对a 的取值范围进行分类讨论，求解即可．【详解】（1）当12a =时，()21ln ,02f x x x x =->，则()()()111x x f x x x x+-'=-=，当01x <<时，()0f x '<，则()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，则()f x 单调递增，所以()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，当1x =时，函数()f x 取得极小值()1f 12=，无极大值．（2）()()221ln ,0f x ax a x x x =+-->，则()22(21)1(1)(21)ax a x x ax f x x x+--+-='=，当0a ≤时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当0a >时，当102x a <<时，()0f x '<，则函数()f x 单调递减，当12x a>时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．21．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛.小胡、小陈两位同学参加学校组织的世界杯知识答题拿积分比赛游戏，规则如下：小胡同学先答2道题，至少答对一道题后，小陈同学才存机会答题，同样也是两次答题机会，每答对一道题获得5积分，答错不得分.小胡同学每道题答对的概率均为34，小陈同学每道题答对的概率均为23，每道题是否答对互不影响.(1)求小陈同学有机会答题的概率；(2)记X 为小胡和小陈同学一共拿到的积分，求X 的分布列和数学期望.【正确答案】(1)1516(2)分布列见解析，55()4E X =【分析】（1）利用对立事件及独立事件的概率乘法公式计算即可；（2）先求出变量取值的概率，然后列出随机变量的分布列，利用期望公式求解即可【详解】（1）记“小陈同学有机会答题”为事件A ，所以()()331511114416P A P A ⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以小陈同学有机会答题的概率是1516.（2）X 的所有可能取值为0，5，10，15，20，所以()3310114416P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21233215C 1144324P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2211223322321110C 1C 1144334348P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()221122332322515C 1C 144343312P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2232120434P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为：X05101520P 116124114851214所以11115155()051015201624481244E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.22．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，()212x x x <.（1）求实数a 的取值范围；（2）证明.21122x x x -<-【正确答案】（1）(),e +∞；（2）证明见解析.【分析】（1）求导，对参数分类讨论，通过导数研究函数的零点情况，求得参数取值范围；（2）方法一：由题意得1212x x e ax e ax ⎧=⎨=⎩，令210t x x =->，两式相除得11t t x e =-，欲证21122x x x -<-，即证()212t e t t-<-，即证2222t t t e ++<，记()()2220t t t h t t e ++=>，通过导数研究函数的最值情况，即可证得不等式；方法二：令211x t x =>，代入化简得1ln 1t x t =-，2ln 1t t x t =-，将不等式转化为()21ln 2ln t t t -<-，即证()2ln 2ln 220t t t +-+<.记()()()2ln 2ln 221g t t t t t =+-+>，通过求导，并对导数中的部分函数求导研究原函数的最值情况，证得不等式.【详解】（1）解：()f x 的定义域为R ，()'x f x e a =-.①当0a ≤时，()'0x f x e >≥，所以()f x 在R 上单调递增，故()f x 至多有一个零点，不符合题意；②当0a >时，令()'0f x <，得ln x a <；令()'0f x >，得ln x a >，故()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()1,na +∞上单调递增，所以()()()min ln ln 1ln f x f a a a a a a ==-=-（i ）若0a e <≤，则()()min 1ln 0f x a a =-≥，故()f x 至多有一个零点，不符合题意；（ii ）若a e >，则ln 1a >，()()min 1ln 0f x a a =-<，由（i ）知0x e ex -≥，∴ln ln ln 0a e e a a a -=-≥，∴2ln ln 0a a a e a ->-，()()22ln 2ln 2ln 0f a a a a a a a =-=->.又∵()010f =>，0ln 2ln a a <<，故()f x 存在两个零点，分别在()0,ln a ，()ln ,2ln a a 内.综上，实数a 的取值范围为(),e +∞.（2）证明：方法1：由题意得1212x x e ax e ax ⎧=⎨=⎩，令210t x x =->，两式相除得212111x x t x x t e e x x -+===，变形得11t t x e =-.欲证21122x x x -<-，即证()212t e t t-<-，即证2222t t t e ++<.记()()2220t t t h t t e ++=>，()()()2222'220t t t t t e t t e t h t e e+-++==-<，故()h t 在()0,∞+上单调递减，从而()()02h t h <=，即2222t t t e ++<，所以21122x x x -<-得证.方法2：由题意得：1212x x e ax e ax ⎧=⎨=⎩由（1）可知1x ，20x >，令211x t x =>，则21x tx =，则1111x tx e ax e atx ⎧=⎨=⎩，两式相除得()11t x e t -=，1ln 1t x t =-，2ln 1t t x t =-，欲证21122x x x -<-，即证()21ln 2ln t t t -<-，即证()2ln 2ln 220t t t +-+<.记()()()2ln 2ln 221g t t t t t =+-+>，()()2ln 112'2ln 2t t g t t t t t-+=⋅+-=，令()()ln 11h t t t t =-+>，()11'10t h t t t-=-=<，故()h t 在()1,+∞上单调递减，则()()10h t h <=，即()'0g t <，∴()g t 在()1,+∞上单调递减，从面()()10g t g <=，∴()2ln 2ln 220t t +-+<得证，即21122x x x -<-得证.方法点睛：通过导数研究函数零点问题，带参需要分类讨论；对于双变量问题，一般选择另一个变量对双变量进行代换，如本题中令210t x x =->或211x t x =>，然后构造新函数，通过导数研究函数的最值情况.。

高二数学下册第三次月考试卷

修远双语学校09-10学年度第一学期第三次月考高二数学(120分钟,160分) 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的_________________条件 .2. 若直线01=+-y ax 经过抛物线x y 42=的焦点，则实数=a ______________ . 3．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．4．在平面直角坐标系中，从五个点：)0,0(A 、)0,2(B 、)1,1(C 、)2,0(D 、)2,2(E 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是__________（结果用分数表示）. 5．给出命题：若函数()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是__________. 6. 命题"01,2≤++∈∃x x R x "的否定是____________________________________. 7．设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26．若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为_______________________. 8．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ___________________．9. 在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是_______________________10．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为___________表111．设直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数的b 值是 ________________.12．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于．13．在平面直角坐标系xoy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过)0,(2cap 作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为______________.14．某地区为了解70-80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 ______________________________二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分)袋子中有红、白、黄、黑、颜色不同大小相同的四个小球。

2023-2024学年河南省南阳市高二下册3月月考数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年河南省南阳市高二下册3月月考数学模拟试题第I卷（选择题，共60分）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．在等比数列{a n}中，若a1＝27，，则a3＝（）A．3或﹣3B．3C．﹣9或9D．92．在等差数列{a n}中，已知a10＝13，a3+a4+a9+a16＝28，则{a n}的前17项和为（）A．166B．172C．168D．1703．若数列{}是等差数列，a1＝l，a3＝﹣，则a5＝（）A．﹣B．C．D．﹣4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝310，S20＝930，则S30＝（）A．1240B．1550C．1860D．21705．在等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，则公差为（）A．1B．2C．3D．46．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S8≥S7≥S9，则公差d的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若＝，则＝（）A．B．43C．D．418．已知等差数列{a n}的首项a1＝2，公差d＝8，在{a n}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b n}，则b2023＝（）A．4044B．4046C．4048D．40509．等差数列{a n}的前n项和是S n，且满足S5＝S10，若S n存在最大值，则下列说法正确的是（）A．a1+a16＞0B．a2+a15＜0C．a1+a14＜0D．a2+a14＞010．已知等比数列{a n}满足：a2+a4+a6+a8＝20，a2⋅a8＝8，则的值为（）A．20B．10C．5D．11．已知数列{a n}满足a n＝2n+kn，若{a n}为递增数列，则k的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，2）12．设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若，则＝（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．等差数列{a n}的前n项和是S n，若S n＝3（n+1）2﹣n﹣a，则实数a＝．14．若等比数列{a n}的各项均为正数，且，则lna1+lna2+⋯+lna7＝．15．在等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，记数列{a n}的前n项和、前n项积分别为S n，T n，则的最大值是．16．首项为正数，公差不为0的等差数列{a n}，其前n项和为S n，现有下列4个命题：①若S8＜S9，则S9＜S10；②若S11＝0，则a2+a10＝0；③若S13＞0，S14＜0，则{S n}中S7最大；④若S2＝S10，则S n＞0的n的最大值为11．使其中所有真命题的序号是．三．解答题（共6小题，满分70分）17．已知等差数列{a n}满足a4＝6，a6＝10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}各项均为正数，其前n项和T n，若b3＝a3，b5＝a9，求T n．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a5﹣a1＝90，S4＝90．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}中，满足b n＝a n+log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列的前n项和，求T n．20．已知数列{a n}中，a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令{}的前n项和为T n，求证：T n＜．21．在等差数列{a n}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．22．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足a1＝1，a n+1＝2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，设数列{b n}的前n项和为T n，若∀n∈N*，不等式T n﹣na＜0恒成立，求实数a的取值范围．答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．解：因为a3是a1和a5的等比中项，则，解得a3＝±3，由等比数列的符号特征知a3＝3．故选：B．2．解：在等差数列{a n}中，∵a3+a4+a9+a16＝4a8＝28，∴a8＝7，又a10＝13，∴S17＝．故选：D．3．解：数列{}是等差数列，设其公差为d，则2d＝，∴，可得，即a5＝．故选：D．4．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∴S10，S20﹣S10，S30﹣S20构成等差数列，∴2（S20﹣S10）＝S10+S30﹣S20，即2×（930﹣310）＝310+S30﹣930，∴S30＝1860．故选：C．5．解：等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，∴，解得a1＝1，d＝3．故选：C．6．解：∵{a n}为等差数列，a1＝2，∴，∴．故选：A．7．解：设S3＝x，则S6＝7x，由＝，可得q≠1，因为{a n}为等比数列，所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6仍成等比数列．因为＝＝6，所以S9﹣S6＝36x，所以S9＝43x，故＝．故选：A．8．解：设数列{b n}的公差为d1，由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，b5﹣b1＝a2﹣a1＝8＝4d1，故d1＝2，故b n＝2n，则b2023＝2023×2＝4046，故选：B．9．解：因为等差数列S n存在最大项，故等差数列的公差d＜0，又S5＝S10，即a6+a7+a8+a9+a10＝0，即a8＝0，则a1+a16＜a1+a15＝0，故选项A错误；a2+a15＜a1+a15＝0，故选项B正确；a1+a14＞a1+a15＝0，故选项C错误；而a2+a14＝a1+a15＝0，故选项D错误．故选：B．10．解：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质可得：a4⋅a6＝a2⋅a8＝8．所以．故选：D．11．解：若{a n}为递增数列，则a n+1﹣a n＞0，则有2n+1+k（n+1）﹣（2n+kn）＝2n+1﹣2n+k＝2n+k＞0，对于n∈N+恒成立．∴k＞﹣2n，对于n∈N+恒成立，∴k＞﹣2．故选：A．12．解：根据条件：＝．故选：A．二．填空题（共4小题）13．解：因为，当n≥2时，，因为{a n}是等差数列，所以当n＝1时，a1＝11﹣a也符合上式，故a＝3．故3．14．解：∵{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a2a6＝a42，又a42+a2a6＝2e6，∴2a42＝2e6，又a4＞0，∴a4＝e3，∴lna1+lna2+•••+lna7＝ln（a1a2•••a7）＝lna47＝7lne3＝21．故21．15．解：等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，所以q＝＝2，a1＝＝＝1，所以数列{a n}的前n项和为S n＝＝2n﹣1，前n项积为T n＝1×2×22×...×2n﹣1＝2...+...+（n﹣1）＝，所以＝＝，当n＝2或n＝3时，＝3，所以的最大值是23＝8．故8．16．解：对于①，S8＜S9，则a9＞0，无法推得a10是否大于0，即S9＜S10无法确定，故①错误；对于②，∵S11＝0，∴＝，即a2+a10＝0，故②正确；对于③，S13＞0，S14＜0，则，即a7＞0，，即a7+a8＜0，故a7＞0，a8＜0，公差d＜0，首项为正数，故{S n}中S7最大，故③正确；对于④，若S2＝S10，则a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10＝0，即4（a3+a10）＝0，故a3+a10＝2a1+11d＝0，即，∵a1＞0，∴d＜0，∴＝＝，令S n＞0，则0＜n＜12，n∈N*，故S n＞0的n的最大值为11，故④正确．故②③④．三．解答题（共6小题）17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a4＝6，a6＝10，∴，解得，故数列{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣2；（2）设各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q（q＞0），∵a n＝2n﹣2，则a3＝4，a9＝16，∵a3＝b3，a9＝b5，∴b3＝4，b5＝16，即，解得2或﹣2（舍去），∴．18．解：（1）记等比数列{a n}的公比为q，由a5﹣a1≠0可知q≠1，，，解得a1＝6，q＝2，所以数列{a n}的通项公式为．（2）∵，∴＝3×++n•log23＝3×2n+1++n•log23﹣6．19．解：（1）设公差为d，则∵S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列∴4a1+6d＝14，（a1+2d）2＝a1（a1+6d）∵d≠0，∴d＝1，a1＝2，∴a n＝n+1（2）＝∴T n＝﹣+﹣+…+＝＝．20．解：（1）由a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1，可得a1＝a2+2a1a2＝+a1，解得a1＝1，又对a n＝a n+1+2a n a n+1两边取倒数，可得﹣＝2，则{}是首项为1，公差为2的等差数列，可得＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，所以a n＝；（2）证明：由（1）可得＝＝（﹣），所以T n＝（1﹣+﹣+﹣......+﹣+﹣）＝[﹣]，因为n∈N*，所以＞0，则T n＜×＝．21．解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项，可得a22＝a1a4，即（a1+2）2＝a1（a1+6），解得a1＝2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n；（Ⅱ）数列{b n}满足：，可得a1＝，即b1＝8；n≥2时，a n﹣1＝++…+，与，相减可得2＝，即有b n＝2（3n+1），上式对n＝1也成立，可得b n＝2（3n+1），n∈N*；（Ⅲ）＝n（3n+1），则前n项和T n＝（1•3+2•32+…+n•3n）+（1+2+…+n），设S n＝1•3+2•32+…+n•3n，3S n＝1•32+2•33+…+n•3n+1，相减可得﹣2S n＝3+32+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，化简可得S n＝，则T n＝+n（n+1）．22．解：（Ⅰ）由得，故，∵an＞0，∴S n＞0，∴＝+1，（2分）∴数列是首项为，公差为1的等差数列．（3分）∴，∴，…（4分）当n≥2时，，a1＝1，…（5分）又a1＝1适合上式，∴a n＝2n﹣1．…（6分）（Ⅱ）将a n＝2n﹣1代入，…（7分）∴…（9分）∵T n﹣na＜0，∴，∵n∈N+，∴…（10分）∴，∵2n+1≥3，，，∴．（12分）。

2021-2022学年吉林省白城市洮南市高二年级下册学期第三次月考数学试题【含答案】

2021-2022学年吉林省白城市洮南市第一中学高二下学期第三次月考数学试题一、单选题1．（，）可以表示为（）()()()()34910n n n n --⋅⋅⋅--*n ∈N 10n >A ．B ．C ．D ．83C n -810A n -73A n -83A n -【答案】D【分析】根据排列数和组合数计算公式计算4个选项，得到正确答案.【详解】，()()()()83C 872134910n n n n n ---=⨯⨯⋅⋅⋅-⨯-⨯ ，()()()()81010111617A n n n n n -=--⋅⋅⋅--，()()()73A 349n n n n -=--⋅⋅⋅-，D 正确.()()()()83A 34910n n n n n -=--⋅⋅⋅--故选：D2．某单位为了解夏季用电量与月份的关系，对本单位2021年5月份到8月份的日平均用电量y （单位：千度）进行了统计分析，得出下表数据：月份（x ）5678日平均用电量（y ）1.93.4t7.1若y 与x 线性相关，且求得其线性回归方程，则表中t 的值为（）A ．5.8B ．5.6ˆ 1.787.07yx =-C ．5.4D ．5.2【答案】B【分析】由样本中心必在回归直线上即可求解.(),x y 【详解】解：由表格中的数据可得，，5678 6.54x +++== 1.9 3.47.112.444t ty ++++==将点代入回归直线方程得，解得．(,x y 12.4 1.78 6.57.07 4.54t+=⨯-= 5.6t =故选：B ．3．函数的极值点的个数为( )431143y x x =-A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【详解】因为，所以,由得,当变化时，431143y x x=-()322'1y x x x x =-=-'0y =120,1x x ==x 的变化情况如下表',y y x(),0∞-0()0,11()1,+∞'y --+y无极值极小值由表可知，函数只有一个极值点，故选B.4．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（）A ．B ．C ．D ．35251223【答案】B【分析】设男生甲被选中为事件，女生乙被选中为事件，分别求得，，再结合条A B ()P A ()P AB 件概率的计算公式，即可求解.【详解】解：由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，设男生甲被选中为事件，其概率为，A 2536C 1()C 2P A ==设女生乙被选中为事件，B 则男生甲被选中且女生乙也被选中的概率为，1436C 1()C 5P AB ==所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为. ()1()25|1()52P AB P B A P A ===故选：B.5．4个男生，3个女生站成一排，且甲乙二人之间恰好有三个人，则不同的排法种数为（）A ．360个B ．480个C ．720个D ．960个【答案】C【分析】选三人排在甲乙之间，然后捆绑在一起与其他2人排列，由此可得．【详解】从5人选3人排在甲乙之间，这5人捆绑一起与其他2人全排列，方法数为：．323523A A A 720=故选：C ．6．某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据如下表x y 所示：根据表中的数据可得回归直线方程，，以下说法正确的是（）ˆ 2.27 1.08y x =-20.96R ≈广告支出费用x 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9销售量y3.85.47.011.6122A ．销售量的多少有96%是由广告支出费用引起的yB ．销售量的多少有4%是由广告支出费用引起的yC ．第三个样本点对应的残差，回归模型的拟合效果一般3ˆ1e =-D ．第三个样本点对应的残差，回归模型的拟合效果较好3ˆ1e =【答案】A【分析】根据已知条件结合残差和相关系数的定义可得答案.【详解】因为表示解释变量对于预报变量的贡献率，，所以销售量的多少有96%由2R 20.96R ≈y 广告支出费用引起的，故A 正确，B 错误；当时，第三个样本点对应的残差为，又，4x =ˆ7 2.274 1.081=-⨯+=-y 20.96R ≈故拟合效果较好，故CD 错误.故选：A.7．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过2h ，这些人的近视率约为60%.现从每天玩手机不超过2h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A ．B ．C ．D ．11038252225【答案】A 【分析】令“玩手机时间超过2h 的学生”，“玩手机时间不超过2h 的学生”，B ＝“任意调查1A =2A =一人，利用全概率公式计算即可.【详解】令“玩手机时间超过2h 的学生”，“玩手机时间不超过2h 的学生”，B ＝“任意调查1A =2A =一人，此人近视”，则，且，互斥，，，，，12A A Ω= 1A 2A ()10.4P A =()20.6P A =()1|0.6P B A =()0.3P B =依题意，，()()()()()()11222||0.40.60.6|0.3P B P A P B A P A P B A P B A =+=⨯+⨯=解得，所以所求近视的概率为．()21|10P B A =110故选：A8．一场5局3胜制的乒乓球对抗赛,当甲运动员先胜2局时,比赛因故中断.已知甲、乙水平相当,每局甲、乙胜的概率都为,则这场比赛的奖金分配(甲∶乙)应为( )12A ．6∶1B ．7∶1C ．3∶1D ．4∶1【答案】B【分析】由题意，可知奖金分配比即为甲、乙取胜的概率比，甲前两局已胜，甲胜有3种情况，分别求解其概率，利用互斥事件的概率求和公式，即可求解.【详解】由题意，可知奖金分配比，即为甲、乙取胜的概率比，甲前两局已胜，甲胜有3种情况:①甲第三局胜为A 1，P(A 1)=；②甲第三局负、第四局胜为A 2，P(A 2)=；③第三局、第12111224⨯=四局甲负,第五局甲胜为A 3，P(A 3)=，所以甲胜的概率P=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)=，乙胜11112228⨯⨯=78的概率则为，故选B.18【点睛】本题主要考查了互斥事件的概率计算问题，其中解答中认真审题，得出甲胜有3中情况，分别求解其概率，再利用互斥事件的概率求和公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、多选题9．已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（）22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．B ．9n =11n =C ．常数项是672D ．展开式中所有项的系数和是-1【答案】AD【分析】求得的值判断选项AB ；求得常数项的值判断选项C ；求得展开式中所有项的系数和判n 断选项D.【详解】由，可得，则选项A 判断正确；选项B 判断错误；27C C n n =9n =的展开式的通项公式为22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭929399C (2)(2)C r r r r r r r x x x ----=-令，则，则展开式的常数项是.选项C 判断错误；930r -=3r =339(2)C 672-=-展开式中所有项的系数和是.判断正确.292111⎛⎫- ⎪⎭=-⎝故选：AD10．已知随机变量，满足，且，则下列说法正确的是（）ξη25ξη+=()~10,0.2B ξA ．B ．()()46P P ξξ===()1E η=C ．D ．()0.64D η=() 1.6D E ξξ-=⎡⎤⎣⎦【答案】BD 【分析】因为，可判断A ；因为可求出，由方差和标准差的()~10,0.2B ξ()~10,0.2B ξ()(),E D ξξ性质，可判断B 、C 、D.【详解】因为随机变量，满足，且，所以ξη25ξη+=()~10,0.2B ξ对于A ，，所以A 不正确；()()()()()()466446101040.20.8,60.20.8P C P C ξξ====对于B ，，，()~10,0.2B ξ()100.22E ξ=⨯=，所以B 正确；()()()52525221E E E ηξξ=-=-=-⨯=对于C ，，，()~10,0.2B ξ()100.20.8 1.6D ξ=⨯⨯=，所以C 不正确；()()()25224 1.6 6.4D D D ηξξ=-==⨯=对于D ，，所以D 正确.()() 1.6D E D ξξξ⎡⎤-==⎣⎦故选：BD.11．已知两种不同型号的电子元件（分别记为，）的使用寿命均服从正态分布，X Y ~X N，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论正确的是（）()211,μσ()222~,Y N μσ参考数据：若，则，()2~,Z N μσ()0.6827P Z μσμσ-≤≤+≈()220.9545P Z μσμσ-≤≤+≈A ．()111120.8186P X μσμσ-<<+≈B ．()()21P Y P Y μμ≥<≥C ．()()21P X P X σσ≤<≤D ．对于任意的正数，有t ()()P X t P Y t ≤>≤【答案】ABD【分析】抓住平均数和标准差这两个关键量，结合正态曲线的图形特征分析即可．μσ【详解】对于A ，，故A 选项正确；()111112(0.68270.9545)0.81862P X μσμσ-<<+≈+⨯=对于B ，由正态分布密度曲线，可知，所以，故B 选项正确；12μμ<21()()P Y P Y μμ<≥≥对于C ，由正态分布密度曲线，可知，所以，故C 选项错误；12σσ<21()()P X P Xσσ>≤≤对于D ，对于任意的正数，由图象知表示的面积始终大于表示的面积，所以t ()P X t ≤()P Y t ≤，D 选项正确，()()P X t P Y t ≤>≤故选：ABD ．12．已知函数，若，则下列结论正确的是（）()ln f x x x =120x x <<A ．B ．()()2112<x f x x f x ()()1122+<+x f x x f x C ．D ．当时，()()12120f x f x x x -<-ln 1x >-()()()1122212x f x x f x x f x +>【答案】AD【分析】设，函数单调递增，可判断A ；设，则()()ln f x g x x x ==()g x ()()h x f x x =+不是恒大于零，可判断B ；，不是恒小于零，可判断C ；()ln 2h x x ='+()ln f x x x=()ln 1'=+f x x 当时，，故，函数单调递增，故1x e >ln 1x >-()ln 10f x x +'=>()ln f x x x =，()()()()()()()2121112221120x x f x f x x f x x f x x f x x f x ⎡⎤--=+-->⎣⎦即，由此可判断D.得选项.()()()()11222112+x f x x f x x f x x f x +>【详解】解：对于A 选项，因为令，在上是增函数，所以当()()ln f x g x x x ==()0,+¥时，，所以，即．故A 选项正确；120x x <<()()12g x g x <1212()()f x f x x x <()()2112<x f x x f x 对于B 选项，因为令，所以，所以时，()()ln g x f x x x x x=+=+()ln 2g x x '=+()2,x e -∈+∞单调递增，时，单调递减．所以与无()()0,g x g x '>()20,x e -∈()()0,g x g x '<()11x f x +()22xf x +法比较大小．故B 选项错误；对于C 选项，令，所以时，在单调递减，()ln 1f x x '=+10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0,f x f x '<10,e ⎛⎫⎪⎝⎭时，在单调递增，所以当时，，故1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()()0,f x f x '>1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1210x x e <<<()()12f x f x >成立，当时，，．故C 选项错误；1212()()0f x f x x x -<-121e x x <<()()12f x f x <1212()()0f x f x x x ->-对于D 选项，由C 选项知，当时，单调递增，又因为A 正确，成ln 1x >-()f x ()()2112<x f x x f x 立，所以()()()()()()()112221112221122x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x ⋅⋅⋅--⋅+->+,故D 选项正确.()()()()112212x f x f x f x f x x =-+⎡-⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()()12120x x f x f x =-->⎡⎤⎣⎦故选：AD ．【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.三、填空题13．在一组样本数据不相等）的散点图中，若所有样本点1122(,),(,),x y x y ...(),,n n x y 12(2,,n n x x x ≥ 都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为_________()(),1,2,,i i x y i n =⋯132y x =+【答案】1【分析】根据样本相关系数的定义及直线的斜率为正，得到相关系数为1.【详解】因为所有样本点都在直线上，且直线的斜率为，132y x =+132y x =+102>故相关系数为1.故答案为：114．在的展开式中，的系数为__________．25(2)x x y ++52x y 【答案】60【详解】, 而在中， 223235(2)T C x x y =+23(2)x x +236133()(2)2k k k k k k k T C x x C x --+==⋅⋅'65,1k k -==，，则，的系数为60.5232T x ='⨯52523103260T x y x y =⨯⨯=52x y 15．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.（用数字作答）.【答案】96【解析】根据题意，假设正五角星的区域依此为、、、、、，分析6个区域的涂色方A B C D E F 案数，再根据分步计数原理计算即可.【详解】根据题意，假设正五角星的区域依此为、、、、、，如图所示：A B C D E F要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对区域涂色有3种方法，A 、、、、这5个区域都与相邻，每个区域都有2种涂色方法，B C D E F A 所以共有种涂色方案.32222296⨯⨯⨯⨯⨯=故答案为：96【点睛】方法点睛：涂色问题常用方法：(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法；(2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.16．已知，若关于x 的方程有3个不同实根，则实数取值范围为()3,0e 3,0xxx f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩()f x a =a ______．【答案】10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用导函数研究出函数的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问()y f x =题转化为两函数交点个数问题，数形结合求出实数的取值范围.a 【详解】当时，，，0x ≥()e xx f x =()1e xxf x -'=当时，，当时，，[)0,1x ∈()10e x xf x -'=>()1,x ∈+∞()10e x x f x -'=<故在上单调递增，在上单调递减，()f x [)0,1x ∈()1,x ∈+∞且，当时，恒为正，()11e f =0x >()e xxf x =当时，，，0x <()33=-f x x x ()()()233311f x x x x '=-=+-当时，，当时，，(),1x ∈-∞-()2303'=-<f x x ()1,0x ∈-()2303'=->f x x 故在上单调递减，在上单调递增，()f x (),1x ∈-∞-()1,0x ∈-且，()1312f -=-+=-画出的图象如下：()3,0e 3,0xxx f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩要想关于x 的方程有3个不同实根，则要函数与有3个不同的交点即可，()f x a=()y f x =y a =显然当时，符合要求.10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题17．设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个小球放入5个盒子中.（1）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？（2）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？【答案】（1）119种（2）31种【分析】(1)利用间接法可得满足题意的方法数.(2)由分类加法计数原理结合分步乘法计数原理可得满足题意的方法数.【详解】（1）利用间接法可知满足题意的投放方法为：种.551119A -=（2）分为三类：第一类，五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有1种；第二类，三个球的编号与盒子的编号相同，球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种，球的35C 编号与盒子的编号不同的投放方法有1种，所以投放方法有种；35110C ⨯=第三类，两个球的编号与盒子的编号相同，球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种，球的25C 编号与盒子的编号不同的投放方法有2种，所以投放方法有种.35220C ⨯=根据分类加法计数原理得，所有的投放方法有种.1102031++=【点睛】本题主要考查间接法的应用，分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率是，乙获胜概率是.2313(1)求甲恰好在第四局获胜的概率是多少？(2)记表示比赛决出胜负时的总局数，求的分布列与期望.X X【答案】(1)881(2)分布列见解析；22481【分析】（1）根据题意，分析甲在每局的胜负情况即可求解.（2）根据题意先确定随机变量的取法，再分别求解对应概率，列出分布列，最后根据数学期望公式求期望.【详解】（1）由题意可知，比赛四局，甲获胜，则第一局甲胜，第二局甲负，第三局甲胜，第四局甲胜，故甲恰好在第四局获胜的概率是.21228333381P =⨯⨯⨯=（2）由题可知，的可能取值为2，3，4，5，X ,22115(2)33339P X ==⨯+⨯=,1222112(3)3333339P X ==⨯⨯+⨯⨯=,2122121110(4)3333333381P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=;8(5)1(2)(3)(4)81P X P X P X P X ==-=-=-==所以的分布列为：X X2345P59291081881数学期望.52108224()234599818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=19．2021年10月16日，搭载“神州十三号”的火箭发射升空，这是一件让全国人民普遍关注的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将每天关注这件大事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表（单位：人）天文爱好者非天文爱好者合计女2050男15合计100附：，其中.()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828(1)将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？(2)现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，求其中至少有1人是“天文爱好者”的概率.【答案】(1)表格见解析，能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关；(2)910【分析】（1）完善列联表，计算卡方，与7.879比较后得到结论；（2）先根据分层抽样的定义求出抽取的5人中，2名为“天文爱好者”，3名为“非天文爱好者”，从而利用列举法求出相应的概率.【详解】（1）天文爱好者非天文爱好者合计女203050男351550合计5545100()()()()()222100(20153035)9.0917.87950505545n ad bc K a b c d a c b d ⨯-⨯≈>-=+++⨯⨯+⨯故能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关；（2）因为抽取的女性人群中，“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型人数比为，20:302:3=故按分层抽样抽取的5人中：2名为“天文爱好者”，编号为a 、b ；3名为“非天文爱好者”，编号为1、2、3，则从这5人中随机选出3人，所有可能结果如下：ab 1，ab 2，ab 3，a 12，a 13，a 23，b 12，b 13，b 23，123，共10种情况，其中至少有1人是“天文爱好者”的有9种，概率为.∴91020．已知.()()()()2111ng x x x x =++++⋅⋅⋅++2012nn a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+(1)若，求121253n a a a n -++⋅⋅⋅+=-n(2)当，时，求除以7所得的余数.1x =29n =()g x 【答案】(1)7(2)6【分析】（1）令，根据等式的特点，结合等比数列前项和公式求出、的值，进而求出1x =n 0a n a 的值；n （2）根据等比数列前项和公式，结合二项式定理进行求解即可.n 【详解】（1）令，，1x =()210122(12)12222212n nn n g a a a a +⋅-=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+==--又，，所以，0a n =1n a =1121122n n n a a a +-+++⋅⋅⋅++=-故，所以，1121221253n n a a a n n +-++⋅⋅⋅+=---=-7n =（2）当，时，1x =29n =，()292293010212)1222228212g -=++⋅⋅⋅+==-=--（而()10101019282919101010182(71)2771717112g C C C =-=+-=+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+- 化简得：，()1019288291101010101777771g C C C C =+⋅+⋅++⋅+⋅- 因此除以7所得的余数6.()1g 所以当，时，除以7所得的余数为61x =29n =()g x 21．随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展．以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：年份201620172018201920202021年份代码x123456新能源乘用车年销售y （万辆）5078126121137352(1)根据表中数据，求出y 关于x 的线性回归方程；（结果保留整数）(2)若用模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程为，请分别利用（1）与（2）e nxy m =0.331ˆ37.7e =x y 中两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值；参考数据：设，其中．ln u y =ln i i u y =yu61()()iii x x y y =--∑61()()i ii x x uu =--∑ 3.63e 5.94e 6.27e 144 4.78841 5.7037.71380528参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（i ＝1，2，3，⋅⋅⋅，n ），其回归直线(),i i x y 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，ˆˆˆybx a =+121()()ˆ())niii ni ii x x y y bx x ==--=-∑∑ˆˆay bx =-【答案】(1)4824ˆyx =-(2)312万辆，380万辆【分析】（1）根据表中数据和参考数据，得出，，，的值，运用x y ()()61i i i x xy y=--∑()21ni i x x=-∑最小二乘法求回归直线方程即可；（2）根据回归方程，代入的值即可求出预测值.x 【详解】（1）由表中数据得，，，，123456 3.56x +++++==144y =()()61841i ii x x y y =--=∑()()()()()()()22222221234561nii x x x x xxxxxxxxxx=-=-+-+-+-+-+-∑()()()()()()2222221 3.52 3.53 3.54 3.55 3.56 3.5=-+-+-+-+-+-，17.5=，，()()()121841ˆ4817.5niii nii x x y y x x b==--∴=≈-=∑∑ˆˆ14448 3.524a b y x =-=-⨯=- y 关于x 的线性回归方程为：；∴4824ˆyx =-（2）由（1）知，y 关于x 的线性回归方程为：，4824ˆyx =-当时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值：7x =（万辆）；487ˆ24312y =⨯-=对于回归方程，0.3337.71e x y =当时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值：7x =（万辆）．0.337 3.63 2.31 5.9437.71e e e e 380y ⨯==⨯==22．已知函数，求：()ln 3f x x x kx k =+-(1)当时，求曲线在点处的切线方程；1k =()f x (1(1))f ，(2)当时，总有，求整数的最小值.3x >()1f x >k 【答案】(1)240x y --=(2)-3【分析】（1）先对函数求导，计算出斜率，再用点斜式即可；（2）分离参数转化为函数的最值问题.【详解】（1）当时，1k =()ln 3f x x x x =+-()ln 2'∴=+f x x (1)2(1)2f f '∴==-在点处的切线方程为即()f x ∴(1,(1))f 22(1)y x +=-240x y --=（2）由题意，，即，即，()1f x >ln 31x x kx k +->(3)1ln k x x x ->-又，恒成立.3x >1ln 3x xk x -∴>-令，1ln ()3x x g x x -=-23ln 2()(3)x x g x x -+'∴=-令，则恒成立.()3ln 2h x x x =-+3()0x h x x -'=<在上递减，()h x ∴()3,+∞，(8)3ln 860h =-> (9)3ln 970h =-<使，即，则，0(8,9)x ∴∃∈0()0h x =003ln 20x x -+=002ln 3x x -=当时，，当时，∴0(8,)x x ∈()0g x '>0(,)x x ∈+∞()0g x '<00000max 000211ln 1103()()(,3)3333x x x x x g x g x x x --⋅-+∴====-∈----因为，且，，即整数k 的最小值为-3max ()k g x >Z k ∈3k ∴≥-【点睛】方法点睛：对于零点不可求问题，可以设而不求，整体替换从而求出范围。

江苏省宿迁北附同文实验学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题(含答案解析)

江苏省宿迁北附同文实验学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题B．A．62二、多选题6．从点P（1，2，3）出发，沿着向量v ＝（－4，－1，8）方向取点Q，使|PQ|＝18，则Q点的坐标为（）A．（－1，－2，3）B．（9，4，－13）C．（－7，0，19）D．（1，－2，－3）三、单选题四、多选题五、单选题12．下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1a b =-=，则12l l ∥B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，平面α的法向量为()6,4,1u =- ，则l α⊥C ．两个不同的平面,αβ的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =-=-，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则l α∥六、填空题13．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知平面α的一个法向量是()1,1,2n =-，且平面α过点(0,3,1)A 若(,,)P x y z 是平面α上任意一点，则点P 的坐标满足的方程是_______.14．已知向量()2,1,1a =- ，()1,2,b t = ，若a 与b的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为______.15．若异面直线1l 的方向向量与2l 的方向向量的夹角为150°，则1l 与2l 所成的角为______.16．平面α的法向量是()2,2,1n =--，点()1,3,0A -在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为___________.七、解答题(1)求证：MN AB ⊥，MN (2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值20．如图，已知正方形ABCD M 是线段EF 的中点.(1)求证：AM BD⊥.(2)求证：AM⊥平面21．已知正方形ABCDBC的中点.（1）求点D到平面PEF（2）求直线AC到平面22．如图，在平行六面体＝3，∠BAD＝120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B－A1D－A的正弦值．参考答案：故选：ABC111D B D D DB AA AB =+=-+- 11122EF EA AF D A AC =+=+ （2）()1111122D F D D D B =+= 11,,122x y z ∴==-=-18．(1)(2,4,1),(2,4,a b ==-- (2)219-【分析】（1）利用空间向量平行与垂直的坐标表示即可求解；由2AB =，1AF =，得()0,0,1E ，()2,2,1F 所以22,,122AM ⎛=-- ⎝ 所以2(AM BD ⋅=⨯- 所以AM BD⊥（2）由（1）知，AM = 设(),,n x y z = 是平面BDF 所以222n BD x y n DF y z ⎧⋅=-⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 取1y =，得1x =，z =-因为22,,122AM ⎛=-- ⎝ 所以AM ⊥平面BDF .21．（1）31717；（2）17【分析】（1）建立如图坐标系，求出平面的法向量，即可求出点(2)平面A 1DA 的一个法向量为设(),,x y z =m 为平面BA 1D 的一个法向量，又()(13,1,3,A B BD =--=- 则10,0,m A B m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即3333x y x y ⎧--⎪⎨-+⎪⎩不妨取x =3，则3,2y z ==，所以()3,3,2m =为平面BA 1D 从而(3,0,0,AE m cos AE m AE m ⋅== 设二面角B -A 1D -A 的大小为θ因为[]0,θπ∈，所以1sin θ=。

2023-2024学年江苏省南京市高二下册3月月考数学模拟试题1(含解析)

2023-2024学年江苏省南京市高二下册3月月考数学模拟试题一、单选题1．已知数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，则满足2na n≤的正整数n 的集合为（）A ．{}1,2B ．{}1,2,3,4C ．{}1,2,3D ．{}1,2,4【正确答案】B【分析】已知n S 求n a 分情况讨论，得到数列通项公式，再通过代入n 值验证不等式即可.【详解】根据21n n S a =-可得，当1n =时，1121S a =-，即11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，即()122n n a a n -=≥，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，则()11122n n n a n N --*=⨯=∈，故不等式2na n≤，即22n n -≤，验证可得1,2,3,4n =.故选：B.2．袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，直到取到有两种不同颜色的球时即终止，用X 表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量X 的数学期望()E X 是（）A ．115B ．125C ．135D ．145【正确答案】A【分析】本题需要“取到有两种不同颜色的球”，则既有可能是取三次（2白1其他颜色或者2黑1其他颜色），也有可能是取两次（1白1其他颜色或1黑1其他颜色或1红1其他颜色），通过上述计算出它们的概率，再算出它们的期望．【详解】袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取后不放回，直到取到有两种不同颜色的球时即终止，用X 表示终止取球时所需的取球次数，则X 的可能取值为23、，()21211354545P X ==⨯+⨯=，()()42135P X P X ==-==，所以()411123555E X =⨯+⨯=，所以随机变量X 的数字期望()E X 是115，故选A本题考查的是概率以及期望，计算概率时首先要明白题目所给的限制条件，再根据条件得出满足条件的几种可能，再依次计算出概率．3．81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（）A ．70B ．70-C ．56D ．56-【正确答案】A【分析】根据展开式的通项公式即得.【详解】根据题意，81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()8821881C 1C r r rr r r r T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令820r -=，解可得4r =，则有()44581C 70T =-=；即81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为70.故选：A.4．设袋子中有10个同样大小的球，其中有4个红球，6个白球，今从中任取5个球，令X =“任取的5个球中红球的个数”，则()2P X ==（）A ．821B ．623C ．1021D ．1331【正确答案】C【分析】根据超几何分布概率公式直接求解即可.【详解】()2346510C C 102C 21P X ===.故选：C.5．已知随机变量服从正态分布N (3，4)，则()21E ξ+与()21D ξ+的值分别为（）A ．13，4B ．13，8C ．7，8D ．7，16【正确答案】D【分析】由期望和方差的性质公式可得答案.【详解】由已知得()3E ξ=，()4D ξ=故()()21217E E ξξ+=+=，()()21416D D ξξ+==.故选：D6．计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在4个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有A ．60种B ．42种C ．36种D ．24种【正确答案】A【详解】试题分析：根据题意，分分2种情况讨论：①、若3个项目分别安排在不同的场馆，②、若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，由组合数公式可得每种情况下的安排方案数目，由分类计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①、若3个项目分别安排在不同的场馆，则安排方案共有A 43=24种，②、若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有C 32A 42=36种；所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有24+36=60种；故选A ．计数原理的应用．7．在三棱锥-P ABC 中，三条棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，若点P ，A ，B ，C 均在球O 的球面上，则O 到平面ABC 的距离为（）A B C D 【正确答案】B【分析】由条件可将三棱锥补成一个正方体，三棱锥-P ABC 的外接球的球心即为正方体的中心，由正方体性质求O 到平面ABC 的距离.【详解】因为三棱锥-P ABC 中，三条棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，故可将三棱锥补成一个边长为2的正方体，如图：因为点P ，A ，B ，C 均在球O 的球面上，所以O 为三棱锥-P ABC 的外接球的球心，又三棱锥-P ABC 的外接球的球心即为正方体的外接球的球心，即正方体的中心，所以O 为正方体的中心，所以222222223OP =++=3OP ，连接DP ，交平面ABC 与点H ，因为AB PE ⊥，AB PC ⊥，PE PC P = ，,PE PC ⊂平面PEC ，所以AB ⊥平面PEC ，PD ⊂平面PEC ，所以AB PD ⊥，同理可证AC PD ⊥，又AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，所以PD ⊥平面ABC ，所以PH ⊥平面ABC ，所以13P ABC ABCV SPH -=，又13P ABC C ABP ABPV V SCP --==，所以ABCABPSPH SCP =，又23ABCS=2ABP S =△，2CP =，所以322PH =⨯，所以233PH =，又3OP =所以33OH =，所以O 到平面ABC 的距离为33.故选：B.8．在正项等比数列{}n a 中，24a =，416a =，满足21231m m a a a a a += ，则m =（）A ．4B ．3C ．5D ．8【正确答案】A根据等比数列的公比为正数，利用24,a a 的关系求得公比q 的值，进而得到通项公式，然后代入已知等式123m a a a a =21m a +，得到关于m 的指数方程，求解即得.【详解】由题意得公比2q ==，首项21422a a q ===，∴111222n n nn a a q --==⨯=，由21231m m a a a a a += ，()(1)12212331 (2)2222222m m m mm++++++=== 可得(1)2(1)222m m m ++=，解得4m =,故选：A.本题考查等比数列的通项公式的运用，求得通项公式是关键，将通项公式代入已知等式，对左边各项的积按照同底数的幂的乘法运算，结合等差数列的求和公式化简，是解决此题的一个小难点.二、多选题9．已知事件A ，B ，C ，且()0.5P A =，()0.3P B =，则下列结论正确的是（）A ．如果()1P ABC = ，那么()0.2P C =B ．如果A 与B 互斥，那么()0.8P A B = ，()0P AB =C ．如果B A ⊆，那么()0.5P A B = ，()0.6P B A =D ．如果A 与B 相互独立，那么()0.65P A B = ，()0.35P A B ⋅=【正确答案】BCD【分析】通过举例说明选项A 错误，通过计算说明选项BCD 正确.【详解】A.设一个盒子里有标号为1到10的小球，从中摸出一个小球，记下球的编号，设A =球的编号是偶数，B =球的编号是1,2,3，C =球的编号是奇数，满足()1P A B C = ，但是()0.5P C =，所以该选项错误；B.如果A 与B 互斥，那么()()()0.8P A B P A P B =+= ，()0P AB =，所以该选项正确；C.如果B A ⊆，那么()()0.5P A B P A == ，()P B A =()0.30.6()0.5P AB P A ==，所以该选项正确；D.如果A 与B 相互独立，那么()()()()0.50.30.50.3P A B P A P B P AB =+-=+-⨯ 0.65=，()P A B ⋅(()0.50.70.35P A P B ==⨯=.所以该选项正确.故选：BCD10．（多选）已知()0nx a⎛> ⎝的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（）A ．展开式中各偶数项的二项式系数和为512B ．展开式中第5项和第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含4x 的项的系数为210【正确答案】AD【分析】根据二项式系数公式可求得n ，令x ＝1可求得a ，再根据二项展开式的通项公式逐个选项分析即可.【详解】由题意知28C C n n =，∴n ＝10，∴10n x x⎛⎛= ⎝⎝，令x ＝1，则()1010121024a +==，∴a ＝1.对于A ，展开式中各偶数项的二项式系数和为10125122⨯=，故A 正确；对于B ，∵n ＝10，∴展开式中共有11项，中间项为第6项，该项的二项式系数最大，该项的系数也是其二项式系数，故B 错误；对于C ，展开式的通项为()310102211010C C 010,rr r rr r T xxxr r ---+=⋅≤≤⋅⋅=∈N ，令31002r -=，得203r =∉Z ，故展开式中不存在常数项，故C 错误；对于D ，令31042r -=，得r ＝4，故展开式中含4x 的项的系数为410C 210=，故D 正确.故选：AD.11．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，且,,,,22ED AD ED CD FB AB FB BC AB ED FB ⊥⊥⊥⊥===，则（）A ．三棱锥F ABC -的体积为23B ．EM ⊥平面AFC C ．三棱锥F ACE -的体积为2D ．EF ⊥平面AFC【正确答案】ABC【分析】根据题意建立如图空间直角坐标系，利用三棱锥的体积公式直接计算即可判断A ；利用空间向量证明空间中的位置关系即可判断BD ；利用空间向量法求出平面ACE 的法向量，进而求出点F 到平面ACE 的距离，结合三棱锥的体积公式计算即可判断C.【详解】由,,,BF AB BF BC AB BC B ABBC ⊥⊥=⊂ 、平面ABC ，得BF ⊥平面ABC ，由题意知，,,DA DC DA DE DC DE ⊥⊥⊥，建立如图空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,1),(1,1,0)D A C E F M ，得(2,2,0),(2,0,2),(0,2,1),(1,1,2)AC AE AF EM =-=-==- ，(2,2,1),(2,0,1)EF FC =-=--，对A ：11122213323F ABC ABC V S BF -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，故A 正确；对B ：由0,0EM AF EM FC ⋅=⋅=，得,EM AF EM FC ⊥⊥，又,AF FC F AF FC =⊂ 、平面AFC ，所以EM ⊥平面AFC ，故B 正确；对C：由AC AE CE ===1602ACES︒=⨯=.设平面ACE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则220220n AC x y n AE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得1,1y z ==，所以(1,1,1)n = ，故点F 到平面ACE 的距离为AF n d n⋅=所以11233F ACE ACE V S d -=⋅=，故C 正确；对D ：由3,0,3EF AF EF AC EF FC ⋅=⋅=⋅=-，得EF ⊥平面AFC 不成立，故D 错误.故选：ABC.12．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，以n P 表示没有出现连续3次正面向上的概率，则下列结论正确的是（）A ．378P =B ．41516P =C ．当2n ≥时，1n n P P +<D ．()1231114248n n n n P P P P n ---=++≥【正确答案】ACD【分析】对于A ，利用对立事件和相互独立事件概率乘法公式能求出3P ；对于B ，利用列举法能求出4P ；对于D ，分第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n 1-次不出现连续三次正面是相同的，和第n 次出现正面，第n 1-次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前2n -次不出现连续三次正面是相同的，及第n 次出现正面，第n 1-次出现正面，第2n -次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前3n -次不出现连续三次正面是相同的，由此能求出(4)n P n ；对于C ，由4n 时，{}n P 单调递减，1234P P P P =>>，得到当2n时，1n n P P +<．【详解】当3n =时，3317128P ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，A 正确；当4n =时，又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，431311616P ∴=-=，B 错误；要求n P ，即抛掷n 次没有出现连续3次正面的概率，分类进行讨论；如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n 1-次不出现连续三次正面是相同的，∴这个时候不出现连续三次正面的概率是112n P -⨯；如果第n 次出现正面，第n 1-次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前2n -次不出现连续三次正面是相同的，∴这个时候不出现连续三次正面的概率是214n P -⨯；如果第n 次出现正面，第n 1-次出现正面，第2n -次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前3n -次不出现连续三次正面是相同的，∴这时候不出现三次连续正面的概率是318n P -⨯，综上，123111(4)248n n n n P P P P n ---=⨯+⨯+⨯ ，D 正确；由上式可得112111248n n n n P P P P +--=++，则1121231111111122482248n n n n n n n n P P P P P P P +-----⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭311216n n P P -=-，易知0n P >，所以131016n n n P P P +--=-<，()4n ≥，故当4n ≥时，1n n P P +<．又121P P ==，378P =，41316P =，满足当2n ≥时，1n n P P +<，C 正确．故选：ACD ．三、填空题13．化简：()()()1231223312131n n n n nnn n n C p p C p p C p p nC p ----+-+-++= ______.【正确答案】np由11=k k n n kC nC --将原式转化为()()()1232311110121111n n n n nn n n n nC p p nC p p nC p p nC p ---------+-+-++ ，再由二项式定理可得答案.【详解】()()()()111!1!!=!()!1!()!1!()!kk n n nk n n n kn kC nC k n k k k n k k n k ----===----- ，∴()()()1231223312131n n n n nnn n n C p p C p p C p p nC p ----+-+-++ ()()()123212311111=111n n n n nn n n n nC p p nC p p nC p p nC p---------+-+-++ ()()11211111=11n n n n n n n np C p C p C p p -------+⎦+⎡⎤-+-⎣ 1[(1)]n np p p -=-+11n np -=⋅np=故np本题考查组合数公式和二项式定理的应用，考查转化思想，属于中档题.14．已知圆锥的顶点为S ，母线,SA SB 夹角的余弦值为4，SA 与圆锥底面所成角为60 ，若SAB △的面积为2，则该圆锥的体积为___________.【正确答案】π3【分析】利用2SABS =可求得母线长，进而确定圆锥底面圆半径和高，代入圆锥体积公式即可.【详解】由题意知：cos 4ASB ∠=，1sin 4ASB ∴∠=，211sin 228SABSSA SB ASB SA ∴=⋅∠==，解得：4SA =，1cos60422OA SA ∴==⨯= ，sin 604SO SA ===∴圆锥体积211ππ433V OA SO =⋅⋅=⨯⨯.故答案为15．2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心.八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.山东某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的A ，B ，C 三个城市支援，若要求每个城市至少安排1名医生，则A 城市恰好只有医生甲去支援的概率为______.【正确答案】775【分析】由排列组合的知识可确定四名医生分配到三个城市，每个城市至少一名医生和城市A 恰好只有医生甲去支援的情况种数，由古典概型概率公式可求得结果.【详解】分两步，第一步，把5名医生分成三组，有1，1，3和1，2，2两种分法，当分成1，1，3时，有3510C =种情况，当分成1，2，2时，有12541152C C =种情况；第二步，把这三组分到三个城市.则共有3325150A =种情况.A 城市恰好只有医生甲去支援，即将剩下的4名医生分配到2个城市.则共有3224421142C C A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（种），因此所求概率14715075P ==.故775四、双空题16．已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或向负方向移动一个单位.若移动n 次，则当n ＝6时，质子位于原点的概率为___________；当n ＝___________时，质子位于5对应点处的概率最大.【正确答案】516##0.或25【分析】根据独立重复试验的概率公式求n ＝6时质子位于原点的概率，再求质子位于5对应点处的概率表达式并求其最值.【详解】设第n 次移动时向左移动的概率为12，事件n ＝6时质子位于原点等价于事件前6次移动中有且只有3次向左移动，所以事件n ＝6时质子位于原点的概率为3336115C 12216P ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎝⎭,事件第25m +次移动后质子位于5对应点处等价于事件质子在25m +次移动中向右移了5m +次，所以第25m +次移动后质子位于5对应点处的概率25251C2m m m P ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，设()25251C2m m m f m ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()()()()()()()()()()()2512725!1!6!16C 4441C !5!27!2627m m m m f m m m m m m f m m m m m m ++++++++==⋅=+++++，令()()11f m f m >+可得()()()()16412627m m m m ++>++，化简可得224282442642m m m m ++>++，所以9m >，N m *∈，所以()()()1011f f f m >>⋅⋅⋅>>⋅⋅⋅令()()11f m f m <+可得9m <，N m *∈，所以(9)(8)(1)f f f >>⋅⋅⋅>，又(9)10154=1(10)2425f f ⨯=⨯，所以m=9或m =10，即23n =或25n =时，质子位于5对应点处的概率最大.故516；23或25.五、解答题17．已知集合411A xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合{}22220,B x x x a a a R =+-+<∈.()1a <（1）求集合A ；（2）若x B ∈是x A ∈的必要条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）{}13A x x =-<<；（2）3a ≤-.【分析】（1）解分式不等式411x >+即可得到答案.（2）首先解不等式得到{}2B x a x a =-<<-，根据题意得到A B ⊆，从而得到1321a a a <⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，再解不等式组即可.【详解】（1）因为411x >+，所以431011x x x --=>++，所以()()130x x +-<，所以13x -<<，故{}13A x x =-<<；（2）由22220x x a a +-+<得()()20x a x a +-+<，因为1a <，所以{}2B x a x a =-<<-.由x B ∈是x A ∈的必要条件，知A B ⊆.所以1321a a a <⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，解得3a ≤-.18．一盒子中有8个大小完全相同的小球，其中3个红球，4个白球，1个黑球.(1)若不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，求在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率；(2)若从盒中有放回的取球3次，求取出的3个球中白球个数X 的分布列和数学期望.【正确答案】(1)27；(2)分布列见解析，数学期望为32.【分析】（1）设事件A =“第一次取到红球”，事件B =“第二次取到红球”，求出()P A ，()P AB ，再根据条件概率的概率公式计算可得；（2）依题意X 服从二项分布，X 的可能取值为0、1、2、3，求出所对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可.【详解】（1）设事件A =“第一次取到红球”，事件B =“第二次取到红球”，由于是不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，所以第一次取球有8种方法，第二次取球是7种方法，一共的基本事件数是56，由于第一次取到红球有3种方法，第二次取球是7种方法，()37215656P A ⨯∴==，一次取到红球有3种方法，第二次取到红球有2种方法，()656P AB ∴=，()()()27P BA P B A P A ∴==∣;（2）由题可知白球个数13,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且有()()331311130,1C 2828P X P X ⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()33233313112C ,3C 2828P X P X ⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列为：X0123P18383818所以X 的数学期望为.()13313012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=19．四棱锥P ABCD -底面为平行四边形，且60ABC ∠= ，2AB =，3AD =，PA ⊥平面ABCD ，13BM BC =．(1)点N 在棱PD 上，且13PN ND =，求证：PB 平面AMN ；(2)若异面直线AB 与PD 所成角的余弦值为4，求平面PAM 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析；【分析】（1）作出点N ，并连接AN ，MN ，AM ，BD ，且BD 交AM 于点O ，连接ON ，可知OBMODA △△，得到13BO OD =，进而得到ON PB ∥，即可证明；（2）ABM 中，由余弦定理和勾股定理可得AM AD ⊥，再以A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式表达出异面直线AB 与PD 所成角的余弦值，进而求出点P 的坐标，再利用空间向量解决二面角问题即可.【详解】（1）作出点N ，并连接AN ，MN ，AM ，BD ，且BD 交AM 于点O ，连接ON ，在平行四边形ABCD 中，BC AD ∥，则13BO BM OD AD ==，又因为13PN ND =，所以PN BOND OD=，则有ON PB ∥，ON ⊂平面AMN ，PB ⊄平面AMN ，所以PB平面AMN ．（2）在ABM 中，2AB =，1BM =，60ABM ∠= ，则AM ==有2224BM AM AB +==，于是得90AMB ∠= ，即AM BC ⊥，AM AD ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，则以点A 为原点，直线AM ，AD ，AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0A ，)1,0B-，()0,3,0D ，设()0,0,P a ，0a >，有)1,0AB =- ，()0,3,DP a =-，因异面直线AB 与PDcos,4AB DP〈=〉=，解得a=(0,DP=-，)1,0DC AB==-，设平面PCD的法向量(),,n x y z=r，则·30·0n DP yn DC y⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩，令1x=，得()n= ，取平面PAM的法向量()0,1,0m=，设平面PAM与平面PCD所成锐二面角为θ，则cos cos,13m nm nm nθ⋅=〈〉==，所以平面PAM与平面PCD13．20．某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛，现从全市的参与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析，把他们的得分（满分100分）分成以下7组：[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，统计得各组的频率之比为1∶6：8：10：9：4：2．同一组数据用该区间中点值代替．(1)求这1000名幸运者成绩的第75百分位数和平均值μ（结果保留整数）﹔(2)若此次知识竞赛得分()2~,14X Nμ，为感谢市民的积极参与，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过79分的可获得1次抽奖机会，得分超过79分不超过93分的可获得2次抽奖机会，超过93分的有3次抽奖机会，试估计任意一名幸运者获得抽奖次数的数学期望．参考数据：()0.6827P Xμσμσ-≤≤+≈，()220.9545P Xμσμσ-≤≤+≈，()33P Xμσμσ-+≈≤≤0.9973．【正确答案】(1)第75百分位数约为76分，平均值为65分(2)数学期望为1.1814次．【分析】（1）根据百分位数和平均数的计算即可求解，（2）根据正态分布的对称性可求概率，进而得分布列.【详解】（1）这1000名幸运者成绩的第75百分位数为x，则所以()701681090.75401040x -++++⨯=，解得76x ≈（分），352545150552006525075225851009550651000μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）．所以这1000名幸运者成绩的第75百分位数约为76分，平均值为65分；（2）设随机变量Y 表示任意一名幸运者的抽奖次数，则Y 的可能取值为1，2，3，由已知及（1）得，()2~65,14X N ，()()()10.68271790.8413522P Y P X P X μσ===+≈+=≤≤，()()()0.95450.68272799320.13592P Y P X P X μσμσ-==<=+<+≈=≤≤，()()()393210.841350.13590.02275P Y P X P X μσ==>=>+≈--=，其分布列为Y 123P0.841350.13590.02275所以()10.8413520.135930.02275 1.1814E Y =⨯+⨯+⨯=．所以可以估计任意一名幸运者获得抽奖次数的数学期望为1.1814次．21．如图，在三棱台111ABC A B C -中，1AC A B ⊥，O 是BC 的中点，1A O ⊥平面ABC .（1）求证：AC BC ⊥；（2）若1111,2AO AC BC A B ====，求二面角1B BC A --的大小.【正确答案】（1）证明见解析；（2）56π.【分析】（1）先证1A O AC ⊥再结合1AC A B ⊥，即可证明AC ⊥平面1A BO ，则可证AC BC⊥（2）以O 为坐标原点建立如所示的空间直角坐标系，分别求解平面11BB C C 和ABC 的法向量，利用夹角向量公式即可求解．【详解】解：（1）因为1A O ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1A O AC ⊥.又因为1AC A B ⊥，111A B AO A ⋂=，1A B ⊂平面1A BO ，1A O ⊂平面1A BO ，所以AC ⊥平面1A BO ，又因为BC ⊂平面1A BO ，所以AC BC ⊥；（2）以O 为坐标原点，与CA 平行的直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，1OA 所在直线为z 轴，建立如所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0)O，1,0)A -，(0,1,0)B ，1(0,0,1)A .所以(0,1,0)OB =，(AB =-uu u r，1(0,0,1)OA = ，于是4AB =.由111ABC A B C -是三棱台，所以11//AB A B .又因为112A B =所以111(2A B AB ==.所以1111(OB OA A B =+=.设平面11BB C C 的法向量(,,)n x y z =，由100n OB n OB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0y y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩取1x =，则0y =，z =n =.因为1OA ⊥平面ABC ，所以平面ABC 的法向量为1(0,0,1)OA =.所以111cos,2||⋅<>==⋅n OAn OAn OA，因为二面角1B BC A--为钝二面角，所以二面角1B BC A--的大小是56π．方法点睛：求二面角常用方法：(1)几何法：二面角的大小常用它的平面来度量；(2)空间向量法:分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角．22．已知正四面体ABCD的棱长为3cm.(1)已知点E是CD的中点，点P在ABC的内部及边界上运动，且满足//EP平面ABD，试求点P的轨迹；(2)有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm之后，求恰好回到A点的概率.【正确答案】(1)点P的轨迹为线段QM(2)727【分析】（1）取BC中点M，连接EM，并取AC的中点Q，连QE，QM，根据面面平行判定定理证明平面QEM∥平面ABD，即可得出点P的轨迹；（2）先求出所有等可能基本事件总数4381=，共走了四条棱，分别算出第一条棱有几种选择，第二条棱有几种选择，第三条棱有几种选择，再根据分步计数原理即可求解.【详解】（1）取BC中点M，连接EM，并取AC的中点Q，连QE，QM，所以EQ∥AD，EQ⊄平面ABD，AD⊂平面ABD，所以EQ∥平面AB D.同理可得：MQ∥平面AB D.因为EQ，MQ为平面QEM内的两条相交直线，所以平面QEM∥平面ABD，所以得到点P的轨迹为线段QM.（2）由题意可得：小虫爬了12cm，并且恰好回到A点，所以小虫共走过了4条棱，因为每次走某条棱均有3种选择，所以所有等可能基本事件总数为4381=.当小虫走第1条棱时，有3种选择，即AB，AC，AD，不妨设小虫走了AB，然后小虫走第2条棱为BA或BC或BD，若第2条棱走的为BA，则第3条棱可以选择走AB，AC，AD，计3种可能；若第2条棱走的为BC，则第3条棱可以选择走CB，CD，计2种可能；同理第2条棱走BD时，第3棱的走法亦有2种选择.所以小虫走12cm后仍回到A点的选择有3×（3+2+2）=21种可能.所以所求的概率为217 8127=.方法点睛：（1）证明面面平行时，先证明两条相交线平行同一个平面是关键，线面平行的证明常用的方法有：中位线，平行四边形性质等；（2）古典概型的概率，求出基本事件是关键，再逐个分析所有符合条件要求的情况，分类还是分步要充分考虑清楚，要做到不重不漏.。

2023-2024学年全国高中高二下数学苏教版月考试卷(含解析)

2023-2024学年全国高二下数学月考试卷考试总分：110 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 已知为虚数单位，复数满足＝，则复数对应的点位于复平面内的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 设集合＝，集合＝，则＝（）A.B.C.D.3. 已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆在第二象限的交点为，与轴的交点为，是椭圆的右焦点，且，则椭圆的方程为()A.B.C.D.i z (1+2i)z 4+3i z M {x |−5x +6<0}x 2N {x |x >0}M ∪N {x |x >0}{x |x <3}{x |x <2}{x |2<x <3}2x −y +4=02–√2–√+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1M y N F 2|MN|=|M |F 2+=1x 240y 24+=1x 25y 2+=1x 210y 2+=1x 29y 25抛物线的焦点到准线的距离是（）A.B.C.D.5. 已知平面向量,,若，则( )A.B.C.D.6. 规定：若双曲线与双曲线的渐近线相同，则称双曲线与双曲线为“等渐双曲线”设为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左顶点和右焦点，为等边三角形，双曲线与双曲线为”等渐双曲线”，且双曲线的焦距为，则双曲线的标准方程是( )A.B.C.D.7. 若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则实数的值是（）A.B.C.D.=8x y 21248a →=(−4,3)−2=(k,−6)a →b →⊥a →b →k =8−8434−434C 1C 2C 1C 2.M :−=1(a >0,b >0)C 1x 2a 2y 2b 2A F C 1△MAF C 1:−=1(>0,>0)C 2x 2a ′2y 2b ′2a ′b ′C 282–√C 2−=1x 230y 22−=1x 22y 230−=1x 260y 24−=1x 24y 260=4x y 22–√−=1x 2y 2mm 12348. 已知椭圆的离心率，则的取值范围是( )A.B.C.D.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是( )A.的最小值为B.椭圆的短轴长可能为C.椭圆的离心率的取值范围为D.若，则椭圆的长轴长为10. 已知直线，动直线，则下列结论正确的是A.存在，使得的倾斜角为B.对任意的，与都有公共点C.对任意的，与都不重合D.对任意的，与都不垂直11. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难人微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程的解为（）A.B. C.+=1x 24y 2m e >2–√2m (0,1)∪(2,+∞)(0,2)∪(8,+∞)(−∞,2)(−∞,2)∪(8,+∞)C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1F 2||=2F 1F 2P (1,1)Q |Q |+|QP|F 12a −1C 2C (0,)−15–√2=PF 1−→−Q F 1−→−C +5–√17−−√:x −y −1=0l 1:(k +1)x +ky +k =0(k ∈R)l 2()k l 290∘k l 1l 2k l 1l 2k l 1l 2+(x −a)2(y −b)2−−−−−−−−−−−−−−−√A (x,y)B (a,b)|−|+4x +5x 2−−−−−−−−−√−4x +5x 2−−−−−−−−−√=223–√33–√6−23–√3–√D.12. 已知抛物线的焦点为，过点倾斜角为的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于，则以下结论正确的是( )A.B.为的中点C.D.卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 抛物线的准线方程为________.14. 直线的斜率为________．15. 设点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，，为两焦点，动点满足，则动点的轨迹方程为________.16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作圆的切线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为________.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 已知双曲线的离心率为，点为上位于第二象限的动点.若点的坐标为，求双曲线的方程；设，分别为双曲线的右顶点、左焦点，是否存在常数，使得，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．18. 已知点，圆．（1）若直线＝与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值；（2）求过点的圆的切线方程．19. 已知函数，，．−3–√6C ：=10x y 2F F 60∘l C A B AD |AF|=10F AD 2|BD|=|BF||BF|=83y =8x 2y =−5x +9Q +=1x 236y 29F 1F 2P ++=PF 1−→−PF 2−→−PQ −→−0→P −=1x 2a 2y 2b 2(a >b >0)，F 1F 2F 1+=x 2y 2a 2M ∠M =F 1F 2π4C :−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b22A C (1)A (−2,3)C (2)B F C λ∠AFB =λ∠ABF λM(3,1)+=4C :(x −1)2(y −2)2ax −y +40C A B AB 23–√a M C =(2sin x,sin x −cos x)a →=(cos x,cos x +sin x)b →3–√f (x)=⋅a →b →0,]π求的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；若，，求的值．20. 已知抛物线，为其焦点，点在抛物线上，且，过点作抛物线的切线，为上异于点的一个动点，过点作直线交抛物线于，两点.求抛物线的方程；若，求直线的斜率，并求的取值范围． 21. 已知过点的曲线的方程为.求曲线的标准方程；已知点，为直线上任意一点，过作的垂线交曲线于点，，求的最大值． 22. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，一条渐近线方程为，且过点．求双曲线方程；若点在此双曲线上，求．(1)f (x)f (x)[0,]π2(2)f ()=x 065∈[,]x 0π4π2cos 2x 0C :=2px y 2F Q (1,y)(y >0)C |FQ|=2Q C l 1P (,)x 0y 0l 1Q P l 2C A B (1)C (2)|PQ =|PA|⋅|PB||2l 2x 0P (1,)32C +=2a +(x −1)2y 2−−−−−−−−−−−√+(x +1)2y 2−−−−−−−−−−−√(1)C (2)F (1,0)A x =4F AF C BD |BD||AF|F 1F 2y =x (4,−)10−−√(1)(2)M(3,m)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−参考答案与试题解析2023-2024学年全国高二下数学月考试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】D【考点】复数的运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数对应的点的坐标得答案．【解答】由＝，得，则复数对应的点的坐标为，位于复平面内的第四象限．2.【答案】A【考点】并集及其运算【解析】可求出集合，然后进行并集的运算即可．【解答】∵＝，＝，∴＝．3.【答案】z z (1+2i)z 4+3i z ====2−i 4+3i 1+2i (4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)10−5i 5z (2,−1)M M {x |2<x <3}N {x |x >8}M ∪N {x |x >0}D【考点】椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，直线与轴的交点为，又直线过椭圆的左焦点，∴，即，∵直线与椭圆在第二象限的交点为，与轴的交点为，且，∴，即，又由，∴椭圆的方程为.故选.4.【答案】C【考点】抛物线的求解【解析】本题主要考查抛物线的基本性质．【解答】解：，∴抛物线的焦点到准线的距离是.故选.5.【答案】D【考点】2x −y +4=02–√2–√x (−2,0)2x −y +4=02–√2–√+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1(−2,0)F 1c =22x −y +4=02–√2–√M y N(0,4)2–√|MN|=|M |F 2|M |+|M |=|N|=2a F 1F 2F 1a =|N|==312F 112+(4222–√)2−−−−−−−−−−√=−=9−4=5b 2a 2c 2+=1x 29y 25D ∵2p =8，∴p =4=8x y 24C数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量的坐标运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由,,得.若，则，解得.故选.6.【答案】B【考点】双曲线的渐近线双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：据题意可知，，a →=(−4,3)−2=(k,−6)a →b →=b →−(−2)a →a →b →2=(−4,3)−(k,−6)2=(,)−4−k 292⊥a →b →⋅=(−4,3)⋅(,)a →b →−4−k 292=8+2k +=0272k =−434D =,+=(=32b ′a ′b a a ′2b ′282–√2)2,(a +c))–√,−(a +c))–√由分析知，点坐标为或，点在双曲线上，∴ .又∴，∴ 解得故双曲线的标准方程是 .故选7.【答案】A【考点】抛物线的标准方程双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】B【考点】椭圆的离心率【解析】答案未提供解析．【解答】解：，M (,(a +c))−a +c 23–√2(,−(a +c))−a +c 23–√2M C 1−=1(−a +c 2)2a 2(a +c 34)2b 2=+,c 2a 2b 2(=15b a )2==b ′a ′b a 15−−√.=2,=30.a ′2b ′2C 2−=1x 22y 230B.e =>1−b 2a 2−−−−−−√2–√22，当时，或，∴或．故选．二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】A,C,D【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率椭圆的定义【解析】【解答】解：选项，由椭圆的第一定义得，当且仅当，，三点共线，且在与中间时，等号成立，故正确；选项，若，即，因为，所以，则椭圆方程为，所以，点在椭圆外，故错误；选项，因为在椭圆内部，所以，解得，所以，故正确；选项，因为，所以点的坐标为，所以，故正确.故选.10.【答案】∴<b 2a 212∴m >0<m 412<4m 120<m <2m >8B A |Q |+|QP|=2a −|Q |+|QP|F 1F 2≥2a −|P|=2a −1F2F2P Q P F 2Q B 2b =2b =1c =1a =2–√+=1x 22y 2+1>112P C P =>1b 2a −1a 2aa >+15–√2e =∈(0,)c a −15–√2D =PF 1−→−Q F 1−→−Q (−3,−1)2a=|Q |+|Q |F 1F 2=+(−3+1+(−1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√(−3−1+(−1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√=+5–√17−−√ACDA,B,D【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系直线的倾斜角【解析】（1）根据题目所给信息进行求解即可.【解答】解：已知动直线，当时，斜率不存在，其倾斜角为，选项正确；联立，可得，此方程有解，即两直线存在交点，选项正确；当时，动直线成立，此时两直线重合，选项错误；当时，，与不垂直，当时，，即对任意的，与都不垂直，选项正确.故选.11.【答案】A,C【考点】双曲线的应用双曲线的定义点到直线的距离公式【解析】【解答】解：由，得，其几何意义为平面内一点与两定点，距离之差的绝对值为．平面内与两定点，距离之差的绝对值为的点的轨迹是双曲线．设该双曲线的方程为，，:(k +1)x +ky +k =0(k ∈R)l 2k =090°A {x −y −1=0(k +1)x +ky +k =0(2k +1)x =0B k =−12:==l 2k +11k −1k −1C k =0：x =0l 2l 1k ≠0⋅=1×=−1−≠−1k l 1k l 2k +1−k 1k k l 1l 2D ABD |−|=2+4x +5x 2−−−−−−−−−√−4x +5x 2−−−−−−−−−√|−|=2+(x +2)2(1−0)2−−−−−−−−−−−−−−−√+(x −2)2(1−0)2−−−−−−−−−−−−−−−√(x,1)(−2,0)(2,0)2(−2,0)(2,0)2−=1(a >0x 2a 2y 2b 2b >0)则解得，．所以该双曲线的方程是．联立方程组解得．故选．12.【答案】A,B【考点】抛物线的性质直线的倾斜角解三角形抛物线的定义【解析】无【解答】解：如图，分别过点，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点，，抛物线的准线与轴交于点，则，由于直线的倾斜角为，轴，由抛物线定义可知，，则为正三角形，所以，则，所以，，正确；因为，，所以点为的中点，正确；2a =2，c =2，=+，c 2a 2b 2a =1b =3–√−=1x 2y 23y =1，−=1，x 2y 23x =±23–√3AC A B C m E M m x P |PF|=5l 60∘AE//x |AE|=|AF|△AEF ∠EFP =∠AEF =60∘∠PEF =30∘|AF|=|EF|=2|PF|=10A |AE|=|EF|=2|PF|PF//AE因为，所以，所以，错误；，错误．故选．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】【考点】抛物线的性质【解析】先将抛物线的方程化为准线方程，进而根据抛物线的性质可求得答案．【解答】解：∵抛物线，可化为，∴，即，∴抛物线的准线方程为．故答案为：.14.【答案】【考点】直线的斜截式方程直线的斜率【解析】根据直线的斜截式方程，结合题中的数据即可得到已知直线的斜率值．【解答】∠DAE =60∘∠ADE =30∘|BD|=2|BM|=2|BF|C |BF|=|DF|=|AF|=1313103D AB y =−132y =8x 2=y x 2182p =18p =116y =−132y =−132−5解：∵直线中，一次项系数，∴直线的斜率为.故答案为：.15.【答案】【考点】轨迹方程椭圆的标准方程【解析】设，，由，可得，，利用在椭圆上，即可求解．【解答】解：设，，又，，，，，，∵动点满足，则，，，即．故答案为：．16.【答案】【考点】双曲线的离心率双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：设切点为，连接，作作，垂足为，y =−5x +9k =−5y =−5x +9−5−5+=1(x ≠±2)x 24y 2P (x,y)Q (,)x 0y 0++=PF 1−→−PF 2−→−PQ −→−0→=3x x 0=3y y 0Q (,)x 0y 0P(x,y)Q(,)x 0y 0(−c,0)F 1(c,0)F 2(≠±6)x 0=(−c −x,−y)PF 1−→−=(c −x,−y)PF 2−→−=(−x,−y)PQ −→−x 0y 0P ++=PF 1−→−PF 2−→−PQ −→−0→=3x x 0=3y y 0∴+=19x 2369y 29+=1(x ≠±2)x 24y 2+=1(x ≠±2)x 24y 23–√N ON F 2A ⊥MN F 2A由，且为的中位线，可得，，即有，在直角三角形中，可得，即有，由双曲线的定义可得，可得，∴，∴.故答案为：.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】解：∵离心率．∴，又，∴双曲线方程，把点代入双曲线方程得，，解得，故双曲线的方程为：．由知：双曲线方程，∴.①当直线的斜率不存在时，则，∴，此时；②当直线的斜率存在时，设，其中∵，故，故渐近线方程为：，∴，又，|ON|=a ON △A F 1F 2A =2a F 2N =F 1−c 2a 2−−−−−−√|A|=2b F 1M A F 2|M |=2a F 22–√|M |=2b +2a F 1|M |−|M |=2b +2a −2a =2a F 1F 22–√b =a 2–√c ==a +a 2b 2−−−−−−√3–√e ==c a3–√3–√(1)e ==2c ac =2a =−=3b 2c 2a 2a 2C :−=1x 2a 2y 23a 2A (−2,3)−=14a 293a 2=1a 2C −=1x 2y 23(2)(1)C :−=1x 2a 2y 23a 2B (a,0)，F (−2a,0)AF ∠AFB =，|FB|=3a,|AF|==3a 90∘b 2a ∠ABF =45∘λ=2AF ∠AFB =α，∠ABF =β，A (,)x 0y 0<−a ，y >0.x 0e =2c =2a,b =a 3–√y =±x 3–√α∈(0,),β∈(0,)2π3π3tan α=，tan β=y 0+2a x 0y 0a −x 0，∴，又，∴综上：存在常数满足．【考点】双曲线的标准方程双曲线的离心率双曲线的应用双曲线的渐近线【解析】此题暂无解析【解答】解：∵离心率．∴，又，∴双曲线方程，把点代入双曲线方程得，，解得，故双曲线的方程为：．由知：双曲线方程，∴.①当直线的斜率不存在时，则，∴，此时；②当直线的斜率存在时，设，其中∵，故，故渐近线方程为：，∴，又，=2(a −)y 0x 0(a −−3(−1)x 0)2a 2x 20a 2=2(a −)y 0x 0(a −−3(−)x 0)2x 20a 2==2y 0(a −)+3(+a)x 0x 0y 0+2a x 0tan α=tan 2βα,2β∈(0,)2π3α=2β.λ=2∠AFB =2∠ABF (1)e ==2c ac =2a =−=3b 2c 2a 2a 2C :−=1x 2a 2y 23a 2A (−2,3)−=14a 293a 2=1a 2C −=1x 2y 23(2)(1)C :−=1x 2a 2y 23a 2B (a,0)，F (−2a,0)AF ∠AFB =，|FB|=3a,|AF|==3a 90∘b 2a ∠ABF =45∘λ=2AF ∠AFB =α，∠ABF =β，A (,)x 0y 0<−a ，y >0.x 0e =2c =2a,b =a 3–√y =±x 3–√α∈(0,),β∈(0,)2π3π3tan α=，tan β=y 0+2a x 0y 0a −x 0，∴，又，∴综上：存在常数满足．18.【答案】根据题意，圆：＝，圆心为，半径＝，若弦的长为，则圆心到直线＝的距离，又由圆心为，直线＝，则有，解得；根据题意，分种情况讨论：当切线斜率不存在时，其方程为＝，与圆相切，符合条件，当切线斜率存在时，设其方程为＝，圆心到它的距离，解得，切线方程为＝，所以过点的圆的切线方程为＝或＝．【考点】圆的切线方程直线与圆相交的性质【解析】（1）由直线与圆的位置关系可得圆心到直线＝的距离，结合点到直线的距离公式可得，解可得的值，即可得答案；（2）根据题意，分切线的斜率是否存在种情况讨论，分别求出切线的方程，综合即可得答案．【解答】根据题意，圆：＝，圆心为，半径＝，若弦的长为，则圆心到直线＝的距离，又由圆心为，直线＝，则有，解得；根据题意，分种情况讨论：=2(a −)y 0x 0(a −−3(−1)x 0)2a 2x 20a 2=2(a −)y 0x 0(a −−3(−)x 0)2x 20a 2==2y 0(a −)+3(+a)x 0x 0y 0+2a x 0tan α=tan 2βα,2β∈(0,)2π3α=2β.λ=2∠AFB =2∠ABF O 1(x −1+(y −2)2)24(1,2)r 2AB 23–√ax −y +40d ==1−22()3–√2−−−−−−−−−√(1,2)ax −y +40d ==1|a +2|+1a 2−−−−−√a =−342x 3y −1k(x −3)=2|2k +1|+1k 2−−−−−√k =343x −4y −50M x 33x −4y −50ax −y +40d d ==1|a +2|+1a 2−−−−−√a 2O 1(x −1+(y −2)2)24(1,2)r 2AB 23–√ax −y +40d ==1−22()3–√2−−−−−−−−−√(1,2)ax −y +40d ==1|a +2|+1a 2−−−−−√a =−342当切线斜率不存在时，其方程为＝，与圆相切，符合条件，当切线斜率存在时，设其方程为＝，圆心到它的距离，解得，切线方程为＝，所以过点的圆的切线方程为＝或＝．19.【答案】解：，其最小正周期为.又，，，．，，又，，，．【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的余弦公式三角函数的化简求值三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：，其最小正周期为.又，x 3y −1k(x −3)=2|2k +1|+1k 2−−−−−√k =343x −4y −50M x 33x −4y −50(1)f (x)=⋅=sin 2x −cos 2x a →b →3–√=2sin(2x −)π6πx ∈[0,]π2∴2x −∈[−,]π6π65π6∴f =2(x)max f =−1(x)min (2)∵f ()=x 065∴sin(2−)=x 0π635∈[,]x 0π4π2∴2−∈[,]x 0π6π35π6∴cos(2−)=−x 0π645∴cos 2=cos(2−)cos −x 0x 0π6π6sin(2−)sin x 0π6π6=−3+43–√10(1)f (x)=⋅=sin 2x −cos 2x a →b →3–√=2sin(2x −)π6πx ∈[0,]π2，，．，，又，，，．20.【答案】解：因为点在抛物线上，所以，所以，所以抛物线的方程为： .由可知，.设切线的方程为：，代入，得，由，得，所以切线的方程为：.因为在直线上，所以.设直线方程为：，代入，得.设，，则且，得，所以.又，所以，所以（由题意取负），所以直线的斜率为，代入，得，所以，所以.又，所以的取值范围为：且.【考点】圆锥曲线的综合问题∴2x −∈[−,]π6π65π6∴f =2(x)max f =−1(x)min (2)∵f ()=x 065∴sin(2−)=x 0π635∈[,]x 0π4π2∴2−∈[,]x 0π6π35π6∴cos(2−)=−x 0π645∴cos 2=cos(2−)cos −x 0x 0π6π6sin(2−)sin x 0π6π6=−3+43–√10(1)Q |FQ|=1+=2p 2p =2C =4x y 2(2)(1)Q (1,2)l 1y −2=k (x −1)=4x y 2k −4y −4k +8=0y 2Δ=0k =1l 1y =x +1P (,)x 0y 0l 1=−1x 0y 0l 2x −=m(y −)x0y 0=4x y 2−4my +4m −4=0y 2y 0x 0A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2{+=4m,y 1y 2=4m −4,y1y 2y 0x 0Δ=16−16m +16>0m 2y 0x 0−m +>0m 2y 0x0|PA|⋅|PB|=|−|⋅|−|1+m 2−−−−−−√y1y 01+m 2−−−−−−√y2y 0=(1+)(−)(−)m 2y 1y 0y 2y 0=(1+)[−(+)+]m 2y 1y 2y 0y 1y 2y 20=(1+)(4m −4−4m +)m 2y 0x 0y 0y 20=(1+)[−4(−1)]m 2y 20y 0=(1+)(−2m 2y 0)2|PQ =2|2(−2)y 021+=2m 2m =±1l 2−1Δ>01++>0y 0x 02(+1)>0x 0>−1x0≠1x 0x 0>−1x 0≠1x 0抛物线的标准方程抛物线的定义【解析】【解答】解：因为点在抛物线上，所以，所以，所以抛物线的方程为： .由可知，.设切线的方程为：，代入，得，由，得，所以切线的方程为：.因为在直线上，所以.设直线方程为：，代入，得.设，，则且，得，所以.又，所以，所以（由题意取负），所以直线的斜率为，代入，得，所以，所以.又，所以的取值范围为：且.21.【答案】解：将代入曲线的方程得.由椭圆定义可知曲线的轨迹为以，为焦点的椭圆，所以的标准方程为.设，，由题意知，直线的斜率不为，可设的方程为，则的方程为，所以，所以.(1)Q |FQ|=1+=2p 2p =2C =4x y 2(2)(1)Q (1,2)l 1y −2=k (x −1)=4x y 2k −4y −4k +8=0y 2Δ=0k =1l 1y =x +1P (,)x 0y 0l 1=−1x 0y 0l 2x −=m(y −)x 0y 0=4x y 2−4my +4m −4=0y 2y 0x 0A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2{+=4m,y 1y 2=4m −4,y 1y 2y 0x 0Δ=16−16m +16>0m 2y 0x 0−m +>0m 2y 0x 0|PA|⋅|PB|=|−|⋅|−|1+m 2−−−−−−√y 1y 01+m 2−−−−−−√y 2y 0=(1+)(−)(−)m 2y 1y 0y 2y 0=(1+)[−(+)+]m 2y 1y 2y 0y 1y 2y 20=(1+)(4m −4−4m +)m 2y 0x 0y 0y 20=(1+)[−4(−1)]m 2y 20y 0=(1+)(−2m 2y 0)2|PQ =2|2(−2)y 021+=2m 2m =±1l 2−1Δ>01++>0y 0x 02(+1)>0x 0>−1x 0≠1x 0x 0>−1x 0≠1x 0(1)P (1,)32C a =2C (−1,0)(1,0)C +=1x 24y 23(2)B (,)x 1y 1D (,)x 2y 2BD 0BD x =my +1AF y =−m(x −1)A (4,−3m)AF ==3(4−1+(−3m −0)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+1m 2−−−−−−√将直线与椭圆的方程联立得，所以，，所以，所以.令，所以.令，.因为，所以在上单调递增，所以，所以，所以的最大值为【考点】椭圆的标准方程轨迹方程直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）将点的坐标代入曲线的方程可求出的值，再由曲线方程的几何意义即可求出曲线的方程；设，设直线的方程为，令即可求出点坐标，再由两点间距离公式即可求出，将直线的方程为与椭圆的方程联立消去，利用根与系数关系求出，由弦长公式的最小值即可．【解答】解：将代入曲线的方程得.由椭圆定义可知曲线的轨迹为以，为焦点的椭圆，所以的标准方程为.设，，BD C x =my +1,+=1,x 24y 23(3+4)+6my −9=0m 2y 2+=y 1y 2−6m 3+4m 2=y 1y 2−93+4m 2|BD|=+1m 2−−−−−−√−4(+)y 1y 22y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=12(+1)m 23+4m 2=|BD ||AF |4+1m 2−−−−−−√3+4m 2t =≥1+1m 2−−−−−−√==|BD ||AF |4t 3+1t 243t +1t f (t)=3t +1t t ≥1(t)=3−=>0f ′1t 23−1t 2t 2f (t)=3t +1t [1,+∞)f (t)=3t +≥f (1)=41t =≤=1|BD ||AF |43t +1t 44|BD||AF |1.P C 4C C (2)B (,)D (,)x 1y 1x 2y 2BD x =my +1x =4A |AF |BD x =my +1C x +,y 1y 2y 1y 2(1)P (1,)32C a =2C (−1,0)(1,0)C +=1x 24y 23(2)B (,)x 1y 1D (,)x 2y 2由题意知，直线的斜率不为，可设的方程为，则的方程为，所以，所以.将直线与椭圆的方程联立得，所以，，所以，所以.令，所以.令，.因为，所以在上单调递增，所以，所以，所以的最大值为22.【答案】解：∵双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，一条渐近线方程为，∴设双曲线方程为，，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线方程为．∵点在此双曲线上，∴，解得．∴，或，∵，，∴当时，，，；当时，，，．BD 0BD x =my +1AF y =−m(x −1)A (4,−3m)AF ==3(4−1+(−3m −0)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+1m 2−−−−−−√BD C x =my +1,+=1,x 24y 23(3+4)+6my −9=0m 2y 2+=y 1y 2−6m 3+4m 2=y 1y 2−93+4m 2|BD|=+1m 2−−−−−−√−4(+)y 1y 22y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=12(+1)m 23+4m 2=|BD ||AF |4+1m 2−−−−−−√3+4m 2t =≥1+1m 2−−−−−−√==|BD ||AF |4t 3+1t 243t +1t f (t)=3t +1t t ≥1(t)=3−=>0f ′1t 23−1t 2t 2f (t)=3t +1t [1,+∞)f (t)=3t +≥f (1)=41t =≤=1|BD ||AF |43t +1t 44|BD||AF | 1.(1)F 1F 2y =x −=λx 2y 2λ≠0(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=1x 26y 26(2)M(3,m)−=196m 26m =±3–√M(3,)3–√M(3,−)3–√(−2,0)F 13–√(2,0)F 23–√M(3,)3–√=(−2−3,−)MF 1−→−−3–√3–√=(2−3,−)MF 2−→−−3–√3–√⋅=−12+9+3=0MF 1−→−−MF 2−→−−M(3,−)3–√=(−2−3,)MF 1−→−−3–√3–√=(2−3,)MF 2−→−−3–√3–√⋅=−12+9+3=0MF 1−→−−MF 2−→−−=0−→−−−→−−故．【考点】直线与双曲线结合的最值问题双曲线的标准方程平面向量数量积坐标表示的应用【解析】（1）设双曲线方程为，，由双曲线过点，能求出双曲线方程．（2）由点在此双曲线上，得．由此能求出的值．【解答】解：∵双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，一条渐近线方程为，∴设双曲线方程为，，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线方程为．∵点在此双曲线上，∴，解得．∴，或，∵，，∴当时，，，；当时，，，．故．⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−−=λx 2y 2λ≠0(4,−)10−−√M(3,m)m =±3–√⋅MF 1−→−−MF 2−→−−(1)F 1F 2y =x −=λx 2y 2λ≠0(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=1x 26y 26(2)M(3,m)−=196m 26m =±3–√M(3,)3–√M(3,−)3–√(−2,0)F 13–√(2,0)F 23–√M(3,)3–√=(−2−3,−)MF 1−→−−3–√3–√=(2−3,−)MF 2−→−−3–√3–√⋅=−12+9+3=0MF 1−→−−MF 2−→−−M(3,−)3–√=(−2−3,)MF 1−→−−3–√3–√=(2−3,)MF 2−→−−3–√3–√⋅=−12+9+3=0MF 1−→−−MF 2−→−−⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−。

高二数学下学期第三次月考试题理含解析试题

2021～2021学年高二〔下〕第三次月考制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日数学〔理科〕第一卷一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. “〞是“复数为纯虚数〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：由于复数为纯虚数，那么其实部为零，虚部不为零，故可得关于x的条件，再与“〞比拟范围大小即可求得结果.详解：由于复数为纯虚数，那么，解得，故“〞是“复数为纯虚数〞的充要条件，应选C.点睛：该题考察的是有关复数是纯虚数的条件，根据题意列出相应的式子，从而求得结果，属于简单题目.2. 圆的圆心的直角坐标为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，得出圆心坐标．详解：ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ，∴x2+y2=8y，配方为x2+(y-4)2=16，圆心坐标为〔0，4〕，应选A.点睛：此题考察了圆的极坐标方程与直角坐标方程互化，属于根底题．3. 集合，，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素集合，那么可以组成这样的新集合的个数为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据解元素的特征可将其分类为：集合中有5和没有5两类进展分析即可.详解：第一类：当集合中无元素5：种，第二类：当集合中有元素5：种，故一一共有14种，选C点睛：此题考察了分类分步计数原理，要做到分类不遗漏，分步不重叠是解题关键.4. 的展开式的中间项为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：原式张开一一共有5项，故只需求出第三项即可.详解：由题可得展开式的中中间项为第3项，故：，选D.点睛：此题主要考察二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于根底题．5. 某地区一次联考的数学成绩近似地服从正态分布，，现随机从这次考试的成绩中抽取个样本，那么成绩小于分的样本个数大约为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据正态分布的意义可得即可得出结论.详解：由题可得：又对称轴为85，故，故成绩小于分的样本个数大约为100x0.04=4应选A.点睛：此题考察正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个根底题，解题关键是要知道.6. 复数，假设，那么在复平面内对应的点位于〔〕A. 第一或者第二象限B. 第二或者第三象限C. 第一或者第三象限D. 第二或者第四象限【答案】C【解析】分析：首先根据复数模的计算公式，结合题中的条件，得出实数所满足的等量关系式，从而求得的值，进一步求得复数，根据其在复平面内对应的点的坐标，从而确定其所在的象限，得到结果.详解：根据题意可知，化简得，解得或者，当时，，当时，，所以对应的点的坐标为或者，所以对应的点在第一象限或者第三象限，应选C.点睛：该题考察的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数模的计算公式，复数在复平面内对应的点，属于简单题目.7. 参数方程〔为参数〕所表示的曲线是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：消去参数t，得所求曲线方程为：x2+y2=1，x≠0，由此能求出曲线图形．详解：因为参数方程〔为参数〕所以消去参数得x2+y2=1，x≠0，且，故所表示的图像为B.点睛：此题考察曲线图形的判断，涉及到参数方程与普通方程的互化、圆等根底知识，考察推理论证才能、运算求解才能，考察化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．8. 在极坐标系中，为极点，曲线与射线的交点为，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将两方程联立求出，再根据的几何意义即可得到OA的值.详解：由题可得：，由的几何意义可得，应选B.点睛：考察极坐标的定义和的几何意义：表示原点到A的间隔，属于根底题.9. 设是复数的一共轭复数，假设，那么〔〕A. B. C. 或者 D. 或者【答案】C【解析】分析：先求出z的表达式，在代入问题计算即可.详解：由题可设，那么，所以，故，那么或者，选C.点睛：考察复数和一共轭复数的关系，复数的除法运算，属于根底题.10. 函数的图象在处的切线方程为，假设关于的方程有四个不同的实数解，那么的取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求导，然后将x=0代入得斜率为2可求出a值，再由切点既在曲线上也在切线上看的b值，再令t=，那么，要使有四个不同的实数解，即要使由两个不同的正根即可.详解：，，所以切点为〔0，-b〕代入切线方程可得b=2，所以，令可得f〔x〕在〔-2,1〕单调递增，在递减，故令t=，那么，要使有四个不同的实数解，即要使由两个不同的正根即可，故，f〔0〕=-2，f〔1〕=，故答案为选A.点睛：考察导函数对零点的分析，其中认识到为符合方程，令t=，那么，要使有四个不同的实数解，即要使由两个不同的正根的转化思维为此题关键，属于中档题.11. 随机变量的概率分布为，其中是常数，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由得可得a值，在求出期望算方差即可.详解：因为随机变量的概率分布为，故得，故E 〔X〕=,又，而,故= ，选B点睛：考察分布列的性质和期望、方差的计算，熟悉公式即可，属于根底题.12. 定义在上的奇函数满足，那么〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：构造函数，利用导数以及条件判断函数的单调性，然后转化求解即可．详解：设g〔x〕=，定义在R上的奇函数f〔x〕，所以g〔x〕是奇函数，x＞0时，g′〔x〕=，，因为函数f〔x〕满足2f〔x〕-xf'〔x〕＞0〔x＞0〕，所以g′〔x〕＞0，所以g〔x〕是增函数，可得：应选：D.点睛：此题考察函数的导数的应用，构造法的应用，考察转化思想以及计算才能．第二卷二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 在直角坐标系中，假设直线：〔为参数〕过椭圆：〔为参数〕的左顶点，那么__________．【答案】【解析】分析：直接化参数方程为普通方程，得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的左顶点，代入直线的方程，即可求得的值.详解：由可得圆〔为参数〕化为普通方程，可得，故左顶点为，直线〔为参数〕化为普通方程，可得，又点在直线上，故，解得，故答案是.点睛：该题考察的是有关直线的参数方程与椭圆的参数方程的问题，在解题的过程中，需要将参数方程化为普通方程，所以就需要掌握参数方程向普通方程的转化-----消参，之后要明确椭圆的左顶点的坐标，以及点在直线上的条件，从而求得参数的值.14. 设复数满足，那么的虚部为__________．【答案】【解析】分析：把题中给出的式子，两边同时乘以，之后利用复数的除法运算法那么，求得结果，从而确定出其虚部的值.详解：由得，所以的虚部为2，故答案是2.点睛：该题考察的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的虚部，这就要求对运算法那么要掌握并能纯熟的应用，再者就是对有关概念要明确.15. 某商品的售价和销售量之间的一组数据如下表所示：价格〔元〕销售量〔件〕销售量与价格之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是，那么__________．【答案】【解析】分析：根据回归直线过样本中心点，求出平均数，代入回归直线方程，求出，从而得到答案.详解：根据题意得，，因为回归直线过样本中心点，所以有，解得，所以答案是.点睛：该题考察的就是回归直线的特征：回归直线过样本中心点，即均值点，所以在求解的过程中，需要分别算出样本点的横纵坐标，代入回归直线方程中，求得对应的参数的值.16. 假设函数在上单调递增，那么的取值范围是__________．【答案】.【解析】分析：〔I〕先求出函数的导数，f〔x〕在R上单调等价于x2+〔-a+2〕x-a+2≥0恒成立，下面只要二次函数的根的判别式△≤0即可求得a的取值范围；详解：f′〔x〕=e x[x2+〔-a+2〕x-a+2]，考虑到e x＞0恒成立且x2系数为正，∴f〔x〕在R 上单调等价于x2+〔-a+2〕x-a+2≥0恒成立．∴〔-a+2〕2-4〔-a+2〕≤0，∴-2≤a≤2，即a的取值范围是[-2，2] .点睛：本小题主要考察利用导数研究函数的单调性，考察运算求解才能．属于根底题．17. 在如下图的坐标系中，阴影局部由曲线与矩形围成.从图中的矩形区域内随机依次选取两点，那么这两点中至少有一点落在阴影局部的概率为__________〔取〕.【答案】【解析】分析：先用定积分求出阴影局部的面积，再根据几何概率计算公式即可得.详解：由题得阴影局部的面积：，矩形面积为：2，所以这两点中都不落在阴影局部的概率为：点睛：此题考察几何概型，明确测度比为面积比的关键，是根底题18. 现有个大人，个小孩站一排进展合影.假设每个小孩旁边不能没有大人，那么不同的合影方法有__________种．〔用数字答题〕【答案】【解析】分析：根据题意可得可以小孩为对象进展分类讨论：第一类：2个小孩在一起，第二类小孩都不相邻.分别计算求和即可得出结论。

高二数学下册3月月考试题(有参考答案)

高二数学下册3月月考试题（有参考答案）高二数学（理科）月考测试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1、复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.或2、且,则乘积等于()A．B．C．D．3、有五条线段长度分别为，从这条线段中任取条，则所取条线段能构成一个三角形的概率为（）A.B.C.D.4、已知，则等于（）AB)—1C2D15、在长为12cm的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，则这个正方形的面积介于与之间的概率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有（）A.280种B.240种C.180种D.96种7、设为曲线:上的点且曲线C在点处的切线的倾斜角的取值范围为，则点的横坐标的取值范围()ABCD8、若为的各位数字之和，如则,记则（）A3B5C8D11二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9、某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，则电话在响前四声内被接的概率为。

10、已知，则=(最后结果)。

11、某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有种。

12关于二项式，有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数之和是1；②该二项展开式中第六项为；③该二项展开式中系数最大的项为第1002项；④当时，除以的余数是。

其中所有正确命题的序号是。

13、直线与曲线围成图形的面积为，则的值为。

14、将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.已知直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”.仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质：。

2021-2022学年河北省邢台市第二中学高二下学期第三次月考数学试题(解析版)

2021-2022学年河北省邢台市第二中学高二下学期第三次月考数学试题一、单选题1．小张去工作室需要通过三重门，他必须问管理员要到每重门的钥匙才能到达工作室.第一重门的钥匙有3把（每把颜色不同），第二重门的钥匙有4把（每把颜色不同），第三重门的钥匙有3把（每把颜色不同），管理员要求他从这10把钥匙中取3把，则他能到达工作室的不同的取法共有（） A ．10种 B ．24种C ．36种D ．120种【答案】C【分析】根据给定条件，得用分步乘法计数原理列式计算作答.【详解】依题意，进入第一重门有3种取法，进入第二重门有4种取法，进入第三重门有3种取法，由分步乘法计数原理可知，不同的取法共有34336⨯⨯=种. 故选：C2．已知函数()f x 与()g x 的部分图像如图所示，则（）A ．()()101g f ''-<<-B ．()()11f g ''-<-C ．()()101f g ''-<<-D ．()()33f g ''>【答案】B【分析】利用导数的几何意义直接判断.【详解】由图可知，()f x 与()g x 在区间[]1,3-上单调递增，所以()10g '->，()10f '->.在区间[]1,3-上，()g x 的图像比()f x 的图像更陡峭，所以()()11f g ''-<-，()()33f g '<'.故选：B3．()52a a b -的展开式中33a b 的系数为（） A ．80B ．80-C ．40D ．40-【答案】B【分析】先求得()52a b -的展开式中23a b 的系数，即可得到()52a a b -的展开式中33a b 的系数【详解】因为()52a b -的展开式的通项公式为()515C 2rr rr T a b -+=- 令3r =，则展开式中23a b 的系数为()335C 280-=-，所以()52a a b -的展开式中33a b 的系数为80-. 故选：B4．用0，2，4，5，6，8组成无重复数字的四位数，则这样的四位数中偶数共有（） A ．120个 B ．192个 C ．252个 D ．300个【答案】C【分析】根据个位数是否为零分类讨论即可.【详解】若这个偶数的个位数是0，则有3560A =个；若这个偶数的个位数不是0，则有112444192C C A =个.故满足条件的四位数中偶数的总个数为60192252+=；故选：C.5．若函数()()4220f x x mx x x =-+>为增函数，则m 的取值范围是（） A ．[)0,∞+ B ．[)4,-+∞C ．[)6,-+∞D ．[)8,-+∞【答案】D【分析】利用导函数去求m 的取值范围【详解】依题意可得，()33440f x x m x '=++≥，即3344m x x-+≤对()0,x ∈+∞恒成立.由0x >，得33448x x +=≥（当且仅当3344x x =，即1x =时，等号成立），所以8m -≤，即8m ≥-. 故选：D6．将7名志愿者分配到4个社区做垃圾分类宣传，每个社区至少分配1名至多分配2名志愿者，则志愿者的分配方法种数为（） A ．2520 B ．2640C ．4200D ．15120【答案】A【分析】先将7名志愿者分成4份，再全排列即可.【详解】依题意可得，4个社区志愿者分配的人数分别为1，2，2，2，故志愿者的分配方法种数为1222247644332520 C C C C A A =. 故选：A7．1224111x xx x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为（） A ．512CB ．612CC ．513CD ．613C【答案】C【分析】先写出121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为1r T +，可得12411r T x x +⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可求出常数项对应的r 值，即可求出常数项【详解】121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为12122112121C C rr r r rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1222r -=或1224r -=，则=5r 或4r =，故所求常数项为455121213C C C +=，故选：C8．定义在()0,8上的函数()f x 的导函数为fx ，且()()2xf x f x '<，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24f x x <的解集为（）A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．0,1D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】构造()()2f xg x x =并利用导数研究在()0,8上的单调性，再将不等式化为()12g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合单调性求解集.【详解】设()()2f xg x x =，08x <<，则()()()320xf x f x g x x '-'=<，则()g x 在()0,8上单调递减，由()24f x x <，得：()24f x x<，而21124212f g ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()12g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则182x <<．故不等式()24f x x <的解集为1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A9．关于()77x -的展开式，下列判断正确的是( ) A ．展开式共有8项B ．展开式的各二项式系数的和为128C ．展开式的第7项的二项式系数为49D ．展开式的各项系数的和为76【答案】ABD【分析】根据二项式定理的性质逐项判断即可．【详解】展开式共有718+=项，故A 正确．展开式的各二项式系数的和为72128=，故B 正确．展开式的第7项的二项式系数为6177C C 7==，故C 错误．展开式的各项系数的和为()77716-=，故D 正确．故选：ABD ．10．生命在于运动，小兰给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球和跳绳.（）A ．若瑜伽被安排在周一和周六，则共有48种不同的安排方法B ．若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有216种不同的安排方法C ．若周一不练习瑜伽，周三爬山.则共有36种不同的安排方法D ．若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有240种不同的安排方法【答案】BCD【分析】对于A ，安排剩下的四种运动项目即可；对于B ，利用间接法可求解；对于C ，先排特殊的项目；对于D ，先排其他四项运动，再插空可求解.【详解】对于A ，若瑜伽被安排在同一和周六，则共有4424A =种不同的安排方法，故A 不正确；对于B ，若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则由间接法可得，不同的安排方法种数为422644216A A A -=，故B 正确对于C ，若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有234136A C =种不同的安排方法，故C 正确；对于D ，若瑜伽不被安排在相邻的两天，则先排其他四项运动，共有44A 种不同的安排方法，再从5个空位里插入2个安排练习瑜伽，故共有4245240A C =种不同的安排方法，故选：BCD11．将12支完全相同的圆珠笔分给4位小朋友.（）A ．若每位小朋友至少分得1支，则有411C 种分法 B ．若每位小朋友至少分得1支，则有311C 种分法C ．若每位小朋友至少分得2支，则有37C 种分法D ．若每位小朋友至少分得2支，则有38C 种分法【答案】BC【分析】利用隔板法求得每位小朋友至少分得1支的分法总数判断选项AB ；求得每位小朋友至少分得2支的分法总数判断选项CD.【详解】若每位小朋友至少分得1支，则由隔板法可得，不同的分法种数为311C . 则选项A 判断错误；选项B 判断正确；若每位小朋友至少分得2支，则每位小朋友可先各发1支，剩下8支，再由隔板法可得，不同的分法种数为37C .则选项C 判断正确；选项D 判断错误. 故选：BC 12．若()()00000,,limx f x x y x y f x ∆→+-∆∆存在，则称()()0000,,lim f x x y f x y x∆→∞+∆-∆为二元函数(),z f x y =在点()00,x y 处对x 的偏导数，记为()00,x f x y '.已知二元函数()()322,0,2f x y x x y y x y =-+>>-，()()434,40,2g x y x x y x y =-->>-，则（）A ．()1,11x f '-=B ．关于t 的函数()1,18x g '-=-C ．(),3x f t '的最小值为3-D ．关于t 的函数(),x g t t '有极小值【答案】BCD【分析】根据所给的定义分别得到()00,x f x y '、()00,x g x y '后就容易求解了.【详解】对于A 、C ，因为()322,f x y x x y y =-+，所以()()()00002000000,,,lim32x x f x x y f x y f x y x y x x∆→+∆-'==-∆，则()1,15x f '-=.因为()()22,336313x f t t t t '=-=--，所以当1t =时，(),3x f t '取得最小值，且最小值为3-. 故A 错误，C 正确..对于B 、D ，因为()434,4g x y x x y =--，所以()()()00003200000,,,lim412x x g x x y g x y g x y x x x∆→+∆-'==-∆，则()1,18x g '-=-. ()()32,4120x g t t t t t '=->，令()()324120g x x x x =->，()21224g x x x '=-.当02x <<时()0g x '<；当2x >时()0g x '>.所以()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以()g x 在2x =处取得极小值. 故B 、D 都正确. 故选：BCD 三、填空题13．若227C 9A n +=，则n =_________.【答案】6【分析】利用排列数公式和组合数公式去求n 的值【详解】因为2776993C 02⨯+=+=，所以()130n n -=，解得6n =或5n =-(舍去) 故答案为：614．甲、乙、丙、丁、戊等8人排成一排拍照，要求甲、乙、丙、丁四人排在一起，且戊排在两端，则不同的排法共有_________种. 【答案】1152【分析】捆绑法进行求解，再考虑让戊排在这7人的两端，得到不同的排法有44442A A 种. 【详解】先不考虑戊，安排其他7人，甲、乙、丙、丁四人要在一起，由捆绑法可得不同的排法种数为4444A A ，再考虑戊，可以让戊排在这7人的两端，故所求不同的排法种数为44442A A 1152=.故答案为：115215．如图，某款酒杯容器部分的形状为圆锥，且该圆锥的轴截面为边长是6cm 的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为___________3cm .【答案】43π【分析】根据圆锥轴截面的形状以及长度，求得圆锥的底面半径、母线以及高，利用三角形相似，求得其内接圆柱体的高和半径的关系，【详解】因为圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，故可得圆锥的底面半径13r =，母线长6PN =，则圆锥的高133h =，根据题意，设该圆锥内接圆柱的底面半径为,(03)r r <<，高为h ，则由△1~O PM OPN 可得11O M O P ON OP =，即33333r h-，则333h r =，故该圆柱的体积()2233V r h r r ππ=⨯-，令()()23,(03)f r r r r =-<<，则'()f r ()32r r =-，则当()0,2r ∈时，'()f r 0>，()f r 单调递增；当()2,3x ∈时，'()f r 0<，()f r 单调递减，故()()max 24f r f ==，故圆柱体积的最大值为43π. 故答案为：43π. 四、双空题16．在等差数列{}n a 中，216a =，317a =，则n a =_________，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为_________.【答案】 14n +14+n275【分析】根据等差数列定义即可求公差的，根据等差数列通项公式即可求n a ，根据11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式的特征可采用裂项相消法求其前10项和．【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，则17161d =-=， ∴()2214n a a n d n =+-=+． ∵()()1111114151415n n a a n n n n +==-++++， ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为：111111112151616172425152575-+-++-=-=．故答案为：n +14；275．五、解答题 17．已知)66016xaa x a x=+++.(1)求0a ；(2)123628a a ++++；(3)求2a .【答案】(1)8 (2)8- (3)60【分析】（1）用赋值法，令0x =，即可求解；（2）用赋值法，令x （3）利用二项展开式的通项公式直接求解. 【详解】(1)令0x=，得608a==.(2)令x 02613280aa a ++++=，12360288a a a ++++=-=-.(3)因为()422222660a x C x x =-=，所以260a =.18．已知函数()32610f x x x =-+．(1)若曲线()y f x =切线的斜率为－9，求切点的坐标； (2)求()f x 在区间[]3,6-上的最大值与最小值．【答案】(1)切点的坐标为()1,5或()3,17- (2)最大值为10，最小值为－71【分析】（1）利用曲线的几何意义求解即可；（2）对函数求导，解导数不等式得到函数单调性，由单调性即可得到最值.【详解】(1)()2312f x x x '=-，曲线()y f x =切线的斜率为－9，由()9f x '=-，得1x =或3x =．当1x =时，()15f =，当3x =时，()317f =-，故切点的坐标为()1,5或()3,17-．(2)令()23120f x x x '=-=，得10x =，24x =令()0f x '<，得04x <<,函数单调递减，令()0f x '>，得0x <或4x >，函数单调递增，所以()f x 在[)3,0-，(]46，上单调递增，在()0,4上单调递减．因为()371f -=-，()()0610f f ==，()422f =-，所以()f x 在区间[]3,6-上的最大值为10，最小值为－71．19．在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，且侧棱1AA 垂直于底面ABCD ，11124AA AD A D ===，O ，E 分别是AC 与1DD 的中点.(1)证明：OE ∥平面11BD A .(2)求1CC 与平面11BD A 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）连接BD ，得到O 为BD 的中点，证得1//OE BD ，结合线面平行的判定定理，即可证得//OE 平面11BD A ；（2）以A 为原点，以1,,AB AD AA 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，求得向量1(2,2,4)CC =--和平面11BD A 的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】(1)证明：连接BD ，因为ABCD 为正方形，可得O 为BD 的中点，在1BDD 中，因为,O E 分别为1,BD DD 的中点，所以1//OE BD ，又因为OE ⊄平面11BD A ，且1BD ⊂平面11BD A ，所以//OE 平面11BD A .(2)解：因为1AA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以11,AA AB AA AD ⊥⊥，以A 为原点，以1,,AB AD AA 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得111(0,0,0),(4,0,0),(0,0,4),(0,2,4),(4,4,0),(2,2,4)A B A D C C ，则1111(0,2,0),(4,0,4),(2,2,4)A D A B CC ==-=--，设平面11BD A 的法向量(,,)n x y z =，则11120440n A D y n A B x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1z =，可得1,0x y ==，所以(1,0,1)n =，设1CC 与平面11BD A 所成的角为θ，则111sin cos ,2n CC n CC n CC θ⋅====⋅，即1CC 与平面11BD A20．①{}2nn a 为等差数列，且358a =；②21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等比数列，且234a =.从①②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．在数列{}n a 中，112a =，________. (1)求{}n a 的通项公式；(2)已知{}n a 的前n 项和为n S ，试问是否存在正整数p ，q ，r ，使得n n r S p qa +=-？若存在，求p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)212n nn a -=； (2)存在，3p =，4q =，2r =﹒【分析】(1)若选①，则可根据等差数列性质求出{}2nn a 的公差d ，根据等差数列通项公式可求2nn a ，从而求得n a ；若选②，则可证明等比数列概念求出21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的公比，根据等比数列通项公式可求21n an -，从而求得n a ；(2)根据n a 通项公式的特征，采用错位相减法即可求其前n 项和，将其化为n n r S p qa +=-形式即可得p 、q 、r 的值．【详解】(1)若选①：设等差数列{}2nn a 的公差为d ，则33122512312a a d --===-，∴()1222121nn a a n n =+-=-，即212n nn a -=．若选②：设等比数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的公比为q ，则2112212211a q a ⨯-==⨯-， ∴11112121122n nn a a n -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪-⨯-⎝⎭⎝⎭，即212n n n a -=； (2)21321222n nn S -=+++， 231113212222n n n S +-=+++，则两式相减得，23111111212222222n nn n S +-⎛⎫=+⨯+++- ⎪⎝⎭ 12n S =111121214212212n n n ++⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+--12n S =132322n n ++=-， ∴2332n nn S +=-． ∵()22221233343422n n n n n n S a +++-+=-=-⨯=-， ∴存在正整数p ，q ，r ，使得n n r S p qa +=-，且3p =，4q =，2r =．21．已知函数()2ln f x x a x =-.(1)若()f x 在)+∞上有2个零点，求a 的取值范围； (2)证明：222ln e x x x x -->-. 【答案】(1)42e,ln 2⎛⎤ ⎥⎝⎦(2)证明见解析【分析】（1）先分离出a ，利用导数确定函数的单调性，再运用数形结合的思想可求解；（2）将222ln ex x x x -->-转化为证明222ln e x x x x -->-，再分别求最值可求证. 【详解】(1)当)x ∞∈+时，ln 0x >，由()2ln 0f x x a x =-=，得2ln x a x=. 设函数()(2lnx g x x x=，则()()22ln 1'ln x x g x x-=. x ()'0g x <；当x >()'0g x >.所以()g x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以()min 2e g x g ==.因为4ln 2g=，且()f x 在)+∞上有2个零点. 所以a 的取值范围为42e,ln 2⎛⎤ ⎥⎝⎦. (2)证明：要证222ln e x x x x -->-，只需证222ln e x x x x -->-. 当2a =时，()22ln f x x x =-，则()222'x f x x-=. 当01x <<时，()'0f x <；当1x >时，()'0f x >. 所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以()()11f x f ≥=，当且仅当1x =时，等号成立. 设函数()()2e0x h x x x -=->，则()2'1e x h x -=-.当02x <<时，()'0h x >；当2x >时，()'0h x <. 所以()h x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，所以()()21h x h =≤，当且仅当2x =时，等号成立.故()()f x g x ≥，因为12≠，所以等号取不到，所以()()f x g x >，即222ln e x x x x -->-，所以222ln e x x x x -->-.22．已知椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为(),0F c -，上顶点为P .直线PF 与椭圆T 交于另一点Q ，且7PF FQ =，点12E ⎫⎪⎭在椭圆T 上.(1)求椭圆T 的方程；(2)过点()0,2M ，且斜率为k 的直线l 与椭圆T 相交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为A '，作MN A B '⊥，垂足为N .是否存在定点R ，使得NR 为定值？若存在，请求出定点R 和NR ；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2214x y +=(2)存在，50,4R ⎛⎫⎪⎝⎭，34NR =【分析】（1）待定系数法去求椭圆T 的方程；（2）利用设而不求的方法求得'A B 恒过点10,2G ⎛⎫⎪⎝⎭，再利用直角三角形的性质找到定点R 并求得NR 的值.【详解】(1)由()0,P b ，(),0F c -，7PF FQ =，可得点Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则2264114949c a +=，解之得c a =c =，12b a =又因为点12E ⎫⎪⎭在椭圆T 上，所以223114a b +=，则22311a a +=解之得2a =，则1b =，c =故椭圆T 的方程为2214x y +=.(2)由题可知直线l 的方程为2y kx =+，设点()11,A x y ，()22,B x y ，则()11',A x y -. 联立方程组22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()224116120k x kx +++=.则()()22216484164480k k k ∆=-+=->，1221641k x x k +=-+，1221241x x k =+. 直线'A B 的方程为()211121y y y y x x x x --=++，整理得()()12211221y y x x x y x y x y -++=+.()()()12211221121228222241kx y x y x kx x kx kx x x x k +=+++=++=-+. 令0x =，得12211212x y x y y x x +==+，所以'A B 恒过点10,2G ⎛⎫⎪⎝⎭. 在Rt △MGN 中，存在定点50,4R ⎛⎫⎪⎝⎭为斜边MG 的中点，使得1324NR MG ==，为定值.。

高二数学下学期第三次月考试题含解析试题

第十一中学2021-2021学年高二数学下学期第三次月考试题〔含解析〕制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅…… 日期：2022年二月八日。

一、选择题〔本大题一一共18小题，一共54分〕{1,A =2，3}，2{|9}B x x =<，那么(A B ⋂= )A. {2,1,--0，1，2，3}B. {2,1,--0，1，2}C. {1,2，3}D. {}1,2【答案】D 【解析】【分析】求出集合B 中x 的范围确定出B ，再求A 和B 的交集即可【详解】{}{}2|9|33B x x x x =<=-<<{}123A =，，那么{}12A B ⋂=，应选D【点睛】此题主要考察了集合的运算法那么及其交集运算，求出集合B 中x 的范围确定出B 是解题的关键，属于根底题。

2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色局部和白色局部关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，那么此点取自黑色局部的概率是A.14B.8π C.12D.4π 【答案】B 【解析】设正方形边长为a ，那么圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白局部面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色局部的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域〔长度、面积、体积或者时间是〕，其次计算根本领件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .3.225-化为弧度为( ) A.34π B. 74π-C. 54π-D. 34π-【答案】C 【解析】【分析】根据角度与弧度转化的公式，可直接得出结果.【详解】225225356024ππ=-⋅-=-. 应选C【点睛】此题主要考察角度与弧度的转化，熟记公式即可，属于根底题型.4.如图是一个物体的三视图，那么此三视图所描绘物体的直观图是( )A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】由三视图，判断出该几何体的形状，即可得出结果.【详解】由几何体的三视图可得：该几何体为一个圆锥与圆柱组合而成；应选D【点睛】此题主要考察由几何体三视图复原几何体的问题，熟记几何体的特征即可，属于常考题型.cos2y x =的图象向右平移12π个单位长度，所得图象的函数解析式为( ) A. cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D. cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据左加右减的原那么，可得平移后的解析式为cos2()12y x π=-，化简整理，即可得出结果.【详解】将函数cos2y x =的图象向右平移12π个单位长度，所得图象的函数解析式为cos2()12y x π=-，整理得cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.应选C【点睛】此题主要考察三角函数的图像变换问题，熟记平移原那么即可，属于根底题型.()0,1A ，()3,5B 两点的直线的斜率是( )A.43B.34C. 43-D. 34-【答案】A 【解析】【分析】根据直线斜率的两点式，即可求出结果. 【详解】因为直线过()0,1A ，()3,5B 两点，所以514303AB k -==-. 应选A【点睛】此题主要考察求直线的斜率问题，熟记公式即可，属于根底题型.()212(x f x a a -=+为常数，且0a >，1)a ≠，无论a 取何值，函数()f x 恒过定点P ，那么P 的坐标是( ) A. ()0,1B. ()1,2C. ()1,3D. 1,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：因为21()x f x a -=恒过定点1(,1)2，所以函数21()2x f x a -=+恒过定点1(,3)2.应选D. 考点：指数函数的性质.ABC 中，13BD BC =，假设,AB a AC b ==，那么(AD = )A. 2133a b +B. 1233a b +C. 1233a b -D.2133a b - 【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法那么，用AB 、AC 表示出AD 即可. 【详解】()11123333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+ 即：2133AD a b =+ 此题正确选项：A【点睛】此题考察平面向量的加法、减法和数乘运算，属于根底题.ABC 中，3b =，3c =，30B =，那么a 的值是( )A. 3B. 23C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】先由题意得到30C B ==，求出A ，再由正弦定理，即可得出结果. 【详解】因为在ABC △中，3b =，3c =，30B =，所以30C B ==，因此120A C B π=--=，由正弦定理可得36sin sin sin 30a b A B ===，所以6sin 6sin12033a A ===应选C【点睛】此题主要考察解三角形，熟记正弦定理即可，属于常考题型.10.从某校高三100名学生中采用系统抽样的方法抽取10名学生作代表，学生的编号从00到99，假设第一组中抽到的号码是03，那么第三组中抽到的号码是( ) A. 22 B. 23C. 32D. 33【答案】B 【解析】【分析】先由题中条件，确定分组间隔，再由第一组抽到的号码，即可得出结果.【详解】因为从某校高三100名学生中采用系统抽样的方法抽取10名学生作代表，所以分组间隔为1001010=，又第一组中抽到的号码是03，所以第三组中抽到的号码是321023+⨯=. 应选B【点睛】此题主要考察系统抽样，熟记系统抽样的特征即可，属于常考题型.11.2lg2log 10⋅的值是( ) A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】C 【解析】【分析】根据换底公式，将原式化简整理，即可得出结果. 【详解】2lg10lg2log 10lg21lg 2⋅=⋅=. 应选C【点睛】此题主要考察换底公式，熟记公式即可，属于根底题型.5m =，2n =时，执行如下图的程序框图，输出的S 值为( )A. 20B. 42C. 60D. 180【答案】C 【解析】结合流程图可知，该程序运行过程如下：首先初始化数据：5,2m n ==,第一次循环：不满足k m n <-，执行：5,14S S k k k =⋅==-=；第二次循环：不满足k m n <-，执行：20,15S S k k k =⋅==-=；第三次循环：不满足k m n <-，执行：60,12S S k k k =⋅==-=；第四次循环：满足k m n <-，程序跳出循环，输出S 的值是60. 此题选择C 选项.点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否完毕．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．{}n a 中，123a a +=，3412a a +=，那么56a a +=()A. 3B. 15C. 48D. 63【答案】C 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据等比数列的根本量的运算，求解24q =，进而求解56a a +得值，得到答案．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为12a a 3+=，34a a 12+=，()21234a a q a a ∴+=+，2q 4∴=，()25634a a a a q 12448∴+=+=⨯=．应选C ．【点睛】此题主要考察了等比数列的通项公式和根本量的运算问题，其中解答中熟记等比数列的通项公式和等比数列的性质，求得数列的公比q 是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点，那么弦AB 的长等于( )A.B.D. 1【答案】B 【解析】【分析】先由点到直线距公式求出圆心到直线间隔 d，再由弦长=，即可得出结果. 【详解】因为圆224x y +=圆心为(0,0)，半径为2r ；所以圆心(0,0)到直线3450x y +-=的间隔1d ==，因此，弦长===应选B【点睛】此题主要考察求直线被圆所截的弦长，熟记几何法求解即可，属于根底题型.x ，y 满足约束条件200,40x y x y z x y y 则+≥⎧⎪-≤=+⎨⎪-≤⎩的最大值是( )A. 4-B. 0C. 8D. 12【答案】C 【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，由z x y =+，即y x z =-+，把直线y x z =-+平移到可行域的A 点时，此时目的函数获得最大值，进而求解目的函数的最大值。

高二数学下学期第三次月考试卷(含解析)-人教版高二全册数学试题

2014-2015学年江苏省徐州市新沂市瓦窑中学高二（下）第三次月考数学试卷一、填空题1．已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∩B=__________．2．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是__________．3．复数的共轭复数为__________．4．用反证法证明时，对结论“自然数a，b，c至少有1个为偶数”的正确假设为__________．5．“m＜1”是“函数f （x）=x2﹣x+m存在零点”的__________条件．（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要条件”）6．函数f（x）=的定义域为__________．7．将全体正整数排成一个如图所示的三角形数阵，根据三角形数阵排列规律，数阵中第n （n≥3）行的从左至右的第3个数是__________．8．函数y=（x2﹣4x+3）的单调减区间为__________．9．下列函数：①；②f（x）=；③f（x）=；④f（x）=．其中奇函数是__________．（填序号）10．若曲线y=e﹣x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标为__________．11．设a为非零实数，偶函数f（x）=x2+a|x﹣m|+1（x∈R）在区间（2，3）上存在唯一零点，则实数a的取值范围是__________．12．已知函数f（x）=在R上是单调增函数，求实数a的范围__________．13．已知偶函数f（x）对∀x∈R都有f（x﹣2）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，0]时f（x）=2x，则f（2 015）=__________．14．若函数f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R，则实数a的取值范围是__________．二、解答题15．（14分）已知z∈C，z+2i 和都是实数．（1）求复数z；（2）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）=log2．（1）求函数f（x）的定义域A；（2）设集合B={x|（x﹣a）（x﹣a﹣2）＜0}，若A∩B=B，求实数a的取值范围．17．（14分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（x）满足对任意的x都有f（﹣1﹣x）=f（﹣1+x），且f（0）=1，f（x）min=0．求f（x）的解析式；（2）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立，试求b的取值范围．18．（16分）某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（如图），由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造间价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．19．（16分）已知函数，常数a＞0．（1）设m•n＞0，证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；（2）设0＜m＜n且f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求常数a的取值范围．20．（16分）设函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x，a∈R．（1）若a=1，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若a＜0，求f（x）的单调区间．（3）若a=﹣1，函数f（x）的图象与函数g（x）=+m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．2014-2015学年江苏省徐州市新沂市瓦窑中学高二（下）第三次月考数学试卷一、填空题1．已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∩B={2}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接利用交集运算得答案．解答：解：∵A={1，2，3}，B={2，4，5}，∴A∩B={1，2，3}∩{2，4，5}={2}．故答案为：{2}．点评：本题考查交集及其运算，是基础的会考题型．2．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．考点：命题的否定．专题：综合题．分析：直接把语句进行否定即可，注意否定时∀对应∃，≤对应＞．解答：解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．点评：本题考查了命题的否定，注意一些否定符号和词语的对应．3．复数的共轭复数为1﹣i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质求得所给的复数即1+i，从而求得它的共轭复数．解答：解：∵复数===1+i，故它的共轭复数为1﹣i，故答案为：1﹣i．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．4．用反证法证明时，对结论“自然数a，b，c至少有1个为偶数”的正确假设为a，b，c 都是奇数．考点：数学归纳法．专题：推理和证明．分析：用反证法法证明数学命题时，假设命题的反面成立，写出要证的命题的否定形式，即为所求．解答：解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c都是奇数”，故答案为：a，b，c都是奇数．点评：本题主要考查用反证法法证明数学命题，求一个命题的否定，注意否定词语的应用，属于基础题．5．“m＜1”是“函数f （x）=x2﹣x+m存在零点”的充分不必要条件．（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要条件”）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先求出函数f （x）=x2﹣x+m存在零点的充要条件，得到m的范围，从而判断出结论．解答：解：若函数f （x）=x2﹣x+m存在零点，⇔方程x2﹣x+m=0有解，⇔△=1﹣m≥0，解得：m≤1，∴m＜1是m≤1的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．点评：本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道基础题．6．函数f（x）=的定义域为[1，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由根式内部的代数式大于等于0，且分式的分母不等于0求解x的取值集合得答案．解答：解：由，解得：x≥1且x≠﹣4．∴函数f（x）=的定义域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．点评：本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．7．将全体正整数排成一个如图所示的三角形数阵，根据三角形数阵排列规律，数阵中第n （n≥3）行的从左至右的第3个数是．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：先找到数的分布规律，求出第n﹣1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第3个数即可．解答：解：由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候排了1+2+3+…+n﹣1=n（n﹣1）个数．所以第n行从左向右的第3个数n（n﹣1）+3=故答案为：．点评：此题主要考查了数字的变化规律，借助于一个三角形数阵考查数列的应用，是道基础题．8．函数y=（x2﹣4x+3）的单调减区间为（3，+∞）．考点：复合函数的单调性；对数函数的单调区间．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数的定义域，结合复合函数的单调性的关系进行求解即可．解答：解：由x2﹣4x+3＞0得x＞3或x＜1，设t=x2﹣4x+3，则y═t为减函数，要求函数y=（x2﹣4x+3）的单调减区间，即求函数t=x2﹣4x+3的递增区间，∵t=x2﹣4x+3的递增区间为（3，+∞），∴函数y=（x2﹣4x+3）的单调减区间为（3，+∞），故答案为：（3，+∞）点评：本题主要考查函数单调区间的求解，利用复合函数单调性的关系，结合对数函数和一元二次函数的单调性是解决本题的关键．9．下列函数：①；②f（x）=；③f（x）=；④f（x）=．其中奇函数是①②③④．（填序号）考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义进行判断．解答：解：①由得，即x2=1，则x=1或x=﹣1，即函数的定义域为{1，﹣1}，则此时f（x）=0，既是奇函数也是偶函数．②f（﹣x）+f（x）=ln（﹣x+）+ln（﹣x+）=lln（﹣x+）（﹣x+）=ln（x2+1﹣x2）=ln1=0，即f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数．③f（x）==﹣=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数．④由＞0得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1），则f（﹣x）+f（x）=lg+lg=lg（•）=lg1=0，即f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数．故答案为：①②③④点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．注意要先判断定义域是否关于原点对称．10．若曲线y=e﹣x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标为（﹣ln2，2）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．解答：解：设P（x，y），则y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，令﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．故答案为：（﹣ln2，2）．点评：本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．11．设a为非零实数，偶函数f（x）=x2+a|x﹣m|+1（x∈R）在区间（2，3）上存在唯一零点，则实数a的取值范围是．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：根据函数是一个偶函数，利用偶函数的定义，写出关系式得到m的值是0，根据在区间（2，3）上存在唯一零点，得到f（2）×f（3）＜0且在（2，3）上为单调函数，求出结果．解答：解：∵f（x）=x2+a|x﹣m|+1是偶函数，f（﹣x）=﹣（x）2+a|﹣x﹣m|+1，f（x）=x 2+a|x﹣m|+1，若f（x）=f（﹣x），则|x+m|=|x﹣m|2xm=﹣2xm∴m=0f（x）=x2+a|x|+1，x∈（2，3），f（x）=x2+ax+1，若其在区间（2，3）上存在唯一零点f（2）×f（3）＜0且在（2，3）上为单调函数∴（5+2a）（10+3a）＜0∴故答案为：（）点评：本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是先写出符合偶函数的定义的式子，整理出式子中的字母系数的值．12．已知函数f（x）=在R上是单调增函数，求实数a的范围[4，8）．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：若函数f（x）=在R上是单调增函数，则，解得答案．解答：解：∵函数f（x）=在R上是单调增函数，∴，解得：a∈[4，8），故答案为：[4，8）点评：若分段函数为增函数，则在各段上均增，且在分界点处左段函数值不大于右段函数值．13．已知偶函数f（x）对∀x∈R都有f（x﹣2）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，0]时f（x）=2x，则f（2 015）=．考点：全称命题．专题：函数的性质及应用．分析：首先根据题意，求出f（x）是周期等于4的周期函数；然后把求f的值转化成求f （﹣1）的值，代入函数的解析式，求解即可．解答：解：函数f（x）对于任意的x∈R都有f（x﹣2）=﹣f（x），所以f（x+2﹣2）=﹣f（x+2）=﹣f（x+4﹣2）=f（x+4），即f（x）=f（x+4），故f（x）是周期等于4的周期函数，可得f=f（4×503+3）=f（3）=f（4﹣1）=f（﹣1）∵x∈[﹣1，0]时f（x）=2x，∴f（﹣1）=故答案为：点评：本题考查函数的奇偶性、周期性的应用；属于一道基础题．14．若函数f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R，则实数a的取值范围是（e2，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R等价于ae x﹣x﹣3＞0的解集是R，由此能求出实数a的范围．解答：解：∵f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R，∴ae x﹣x﹣3＞0的解集是R，即a＞恒成立．设g（x）=，则g'（x）=，当x＜﹣2时g'（x）＞0，当x＞﹣2时g'（x）＜0，故g（x）在（﹣∞，﹣2）是增函数，在（﹣2，+∞）上是减函数，故当x=﹣2时，g（x）取得最大值g（﹣2）=e2，∴a＞e2．故答案为：（e2，+∞）．点评：本题考查对数函数的定义域，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．二、解答题15．（14分）已知z∈C，z+2i 和都是实数．（1）求复数z；（2）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数的基本概念．专题：计算题．分析：（1）化简等式，利用复数为实数的条件求出a，b的值，即得复数z．（2）化简式子，利用复数与复平面内对应点之间的关系列出不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围．解答：解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则z+2i=a+（b+2）i，，∵z+2i 和都是实数，∴，解得，∴z=4﹣2i．（2）由（1）知z=4﹣2i，∴（z+ai）2=[4+（a﹣2）i]2=16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i，∵（z+ai）2在复平面上对应的点在第四象限，∴，即，∴，∴﹣2＜a＜2，即实数a 的取值范围是（﹣2，2）．点评：本题考查两个复数代数形式的混合运算，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，式子的变形是解题的难点．16．（14分）已知函数f（x）=log2．（1）求函数f（x）的定义域A；（2）设集合B={x|（x﹣a）（x﹣a﹣2）＜0}，若A∩B=B，求实数a的取值范围．考点：对数函数的图像与性质；交集及其运算．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）利用真数大于0，可得函数f（x）的定义域A；（2）化简集合B，利用A∩B=B，B⊆A，进而a+2≤﹣1或a≥1，即可求实数a的取值范围．解答：解：（1）由题意={x|x＞1或x＜﹣1}，即A=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）…（2）B={x|（x﹣a）（x﹣a﹣2）＜0}=（a，a+2）．因为A∩B=B，所以B⊆A，进而a+2≤﹣1或a≥1，故a≤﹣3或a≥1…点评：本题考查对数函数，考察集合的包含关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．17．（14分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（x）满足对任意的x都有f（﹣1﹣x）=f（﹣1+x），且f（0）=1，f（x）min=0．求f（x）的解析式；（2）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立，试求b的取值范围．考点：函数恒成立问题；二次函数的性质．专题：转化思想；函数的性质及应用．分析：（1）利用条件，可知函数的对称轴为x=﹣1，最小值1﹣=0，代入可解；（2）求出函数表达式f（x）=x2+bx，问题可转换为b≤﹣x且b≥﹣﹣x在（0，1]上恒成立，再转换为最值问题解出b的范围．解答：解：（1）∵f（0）=1∴c=1，∵f（﹣1﹣x）=f（﹣1+x），f（x）min=0∴对称轴为x=﹣1，∴﹣=﹣1，1﹣=0∴a=1，b=2∴f（x）=（x+1）2…（2）由题知，f（x）=x2+bx，∴原命题等价于﹣1≤x2+bx≤1在（0，1]上恒成立，即b≤﹣x且b≥﹣﹣x在（0，1]上恒成立．又x∈（0，1]时，﹣x的最小值为0，﹣﹣x的最大值为﹣2，∴﹣2≤b≤0．即b的取值范围是[﹣2，0]…点评：考察了二次函数表达式的求法和恒成立问题的转换，属于常规题型，应熟练掌握解题方法．18．（16分）某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（如图），由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造间价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．考点：函数的最值及其几何意义．专题：应用题．分析：由题意设污水池长为x米，则宽为米，表示出总造价y，然后利用基本不等式的性质进行求解．解答：解：设污水池长为x米，则宽为米，于是总造价为y=400（2x+×2）+248×2×+80×200=800（x+）+16000∴（x+≥2=36，当且仅当x=18时等号成立但x∉（0，16））由解得，12.5≤x≤16，而函数f（x）=x+在[12.5，16]上为减函数，∴f（x）=x+≥16+=16+，这时x=16，∴y≥800（16+）+16000=45000元，即最低造价为45000元．点评：此题是一道实际应用题，考查了函数的最值及其几何意义，解题的关键是利用不等式的性质进行放缩．19．（16分）已知函数，常数a＞0．（1）设m•n＞0，证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；（2）设0＜m＜n且f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求常数a的取值范围．考点：函数单调性的性质；函数的值域．专题：计算题．分析：（1）运用函数的定义判断证明函数的单调性的步骤：①取值x1，x2∈[m，n]；②作差f（x1）﹣f（x2）变形；③定号；④下结论；（2）逆向运用函数单调性的定义，我们可以得到：f（m）=m，f（n）=n，转化为方程的根的问题，利用根的判别式，从而求出参数的范围．解答：解：（1）任取x1，x2∈[m，n]，且x1＜x2，，因为x1＜x2，x1，x2∈[m，n]，所以x1x2＞0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在[m，n]上单调递增．（2）因为f（x）在[m，n]上单调递增，f（x）的定义域、值域都是[m，n]⇔f（m）=m，f（n）=n，即m，n是方程的两个不等的正根⇔a2x2﹣（2a2+a）x+1=0有两个不等的正根．所以△=（2a2+a）2﹣4a2＞0，点评：本题主要考查函数单调性的应用．运用函数的定义判断证明函数的单调性的步骤：（1）取值；（2）作差变形；（3）定号；（4）下结论．取值时，必须注意定义中的x1、x2具有的三个特征；变形时，一定要分解完全，对于抽象函数问题注意合理的利用条件等．20．（16分）设函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x，a∈R．（1）若a=1，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若a＜0，求f（x）的单调区间．（3）若a=﹣1，函数f（x）的图象与函数g（x）=+m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出导数，求出切线的斜率，切点，运用点斜式方程，即可得到；（2）求导f′（x）=（ax2+x﹣1）e x+（2ax+1）e x=x（ax+2a+1）e x，讨论a的取值范围，从而确定导数的正负，以确定函数的单调区间；（3）令h（x）=f（x）﹣g（x），求出导数，求出单调区间，和极值，函数f（x），g（x）的图象有三个交点，即函数h（x）有3个不同的零点，即有h（﹣1）＜0，且h（0）＞0，解出即可．解答：解：（1）函数f（x）=（x2+x﹣1）e x，的导数为f′（x）=e x（x2+3x），则曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=0，切点为（0，﹣1），即有曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣1；（2）f′（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x﹣1）e x=[ax2+（2a+1）x]e x，①若﹣＜a＜0，当x＜0或x＞﹣时，f′（x）＜0；当0＜x＜﹣时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），（﹣，+∞）；单调递增区间为（0，﹣）．②若a=﹣，f′（x）=﹣x2•e x≤0，所以f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）．③若a＜﹣，当x＜﹣或x＞0时，f′（x）＜0；当﹣＜x＜0时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间为，（﹣∞，﹣），（0，+∞）；单调递增区间为（﹣，0）．（3）令h（x）=f（x）﹣g（x）=（﹣x2+x﹣1）e x﹣（x3+x2+m）则h′（x）=（﹣2x+1）e x+（﹣x2+x﹣1）e x﹣（x2+x）=﹣（e x+1）（x2+x）令h′（x）＞0得﹣1＜x＜0，令h′（x）＜0得x＞0或x＜﹣1．∴h（x）在x=﹣1处取得极小值h（﹣1）=﹣﹣﹣m，在x=0处取得极大值h（0）=﹣1﹣m，∵函数f（x），g（x）的图象有三个交点，即函数h（x）有3个不同的零点，∴即，解得：﹣﹣＜m＜﹣1．则实数m的取值范围是（﹣﹣，﹣1）．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查构造函数，运用导数求极值，考虑极值的正负来判断函数的零点，属于中档题．。

福建省厦门第一中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题

福建省厦门第一中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．A ．223B ．8．已知函数()e 2xf x ax =--一整数解，则实数a 的取值范围是（A ．22e 1e ,2e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．22e 1e 1e 1e ,,4e 2e 22⎡⎫---⎛⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ 二、多选题9．如图是y =()f x 的导函数'()f x 的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（）f x取得极小值A．当x=﹣1时，()f x在[﹣2，1]上是增函数B．()f x取得极大值C．当x=1时，()f x在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数D．()-的体积为定值A．三棱锥1A EFGB．不存在点G，使得1B D⊥BCC BC．设直线FG与平面1D．点F到直线EG距离的最小值为12．意大利著名数学家莱昂纳多三、填空题四、解答题（1）求证：//BF 平面ADE （2）若二面角E BD F --20．已知函数()e sin x f x =(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)设()()g x f x '=，试判断曲线明理由.21．已知双曲线C ：22x a -焦点1F ，2F 的距离的差为(1)求双曲线C 的方程；(2)在直线20x y t ++=上存在一点求t 的取值范围．22．已知()2ln f x x a x =-(1)讨论()y f x =的单调性；(2)若()y f x =有两个零点1204x x x λ+>恒成立，求实数。

河北省南宫市私立丰翼中学2023-2024学年高二下学期第三次月考(5月)数学试卷

河北省南宫市私立丰翼中学2023-2024学年高二下学期第三次月考（5月）数学试卷一、单选题1．将代数式()()x y z m n a b c d e f +++++++++展开后，共有（） A ．11项B ．25项C ．30项D ．36项2．已知等比数列{}n a 的公比为2412,8a a =，则38a a =（）A ．4B ．8C ．16D ．323．在校运动会中，A 班甲同学和其他三位同学参加短跑接力赛，甲在短跑接力赛中跑第一棒、第二棒的概率分别为0.8,0.2，且甲跑第一棒、第二棒时，A 班赢得短跑接力赛的概率分别为0.6,0.4，则A 班赢得短跑接力赛的概率为（） A ．0.55B ．0.56C ．0.57D ．0.584．已知5对成对样本数据()()()()()1,2,3,3,5,6,7,9,9,10成线性关系，样本相关系数为1r ，去掉1对数据()5,6后，剩下的4对成对样本数据成线性关系，样本相关系数为2r ，则（） A ．12r r = B ．12r r >C ．12r r <D ．12,r r 的大小无法确定5．某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中数学､历史､政治､英语､体育､音乐6节课的课程表，要求体育课排下午，则不同的排法种数是（） A ．60B ．120C ．240D ．3606．已知()f x '是定义域为π0,2⎛⎫⎪⎝⎭的函数()f x 的导函数，且()()sin cos 0f x x f x x '+>，则不等式π1πcos 226f x x f ⎛⎫⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为（） A ．π,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．ππ,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭7．已知等轴双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，半焦距为c ，过点1F 的直线l 与C 的两条渐近线从左到右依次交于,A B 两点，且1F A AB =，则2BF =（）A ．12aB ．12cC ．aD ．c8．已知函数()432111432f x ax x x x =+--在()1,+∞上单调递减，则a 的取值范围为（） A ．[)1,-+∞B ．5[,)27-+∞ C ．(],1-∞-D ．5(,]27-∞-二、多选题9．某厂生产一批零件，单个零件的尺寸X （单位：厘米）服从正态分布()10,0.01N ，则（附：()0.6827P X μσμσ-≤≤+=，()220.9545P X μσμσ-≤≤+=，()330.9973P X μσμσ-≤≤+=）（）A ．()10.30.00135P X >=B ．()9.990.15865P X <=C ．()9.910.30.84P X ≤≤=D ．()9.810.10.8186P X ≤≤=10．已知()f x '是定义域为[]4,6-的函数()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，且()f x 有3个零点，则下列结论正确的是（）A ．()f x 有2个极小值点B ．()f x 有3个极大值点C ．()20f ≥D ．()()4,6f f -可以同时小于011．已知正数a ，b ，c 成等差数列，且随机变量X 的分布列为下列选项正确的是（）A ．14b = B ．23a c +=C ．()4833E X << D ．()D X 的最大值为23三、填空题12．已知抛物线23y x =的焦点为F ，点M 在该抛物线上，且114MF =，则M 到y 轴的距离为.13．()10x y -的展开式中42x y 的系数是.14．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O 出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动8次，则质点经过2-最终到达2的位置的概率为.四、解答题15．为了研究学生的性别与是否喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下表格：(1)依据0.1α=的独立性检验，能否认为学生的性别与是否喜欢运动有关联？(2)按学生的性别以及是否喜欢运动用分层随机抽样的方法从这100名学生中选取10人，再从这10人中任选2人，喜欢运动的男学生被选中的人数为X ，求X 的分布列与期望. 附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，AD ⊥平面,,,,,PCD PD AD PC PA E F M ==分别是棱,,PA PC BC 的中点.(1)证明：DF PB ⊥.(2)求平面DEM 与平面ABCD 夹角的余弦值.17．已知函数()2e 22xf x ax =-+.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； (2)证明：曲线()y f x =过点()0,3的切线只有一条.18．已知()1,0F ，直线:2,l x P =为平面内的一个动点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，且()()0PQ PQ ⋅=u u u r u u r u u u r u u r，动点P 的轨迹记为曲线C .(1)求C 的方程；(2)若直线1l 交C 于,A B 两点，交圆22:2O x y +=于,M N 两点，且43AB =，当OMN V的面积最大时，求1l 的倾斜角.19．已知{}1122n nn n a a ++-是公差为2的等差数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ；且123,22a a ==．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ；(3)[x ]表示不超过x 的最大整数，当n k ≥时，[]n S 是定值，求正整数k 的最小值．。

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白鹭洲中学2010－2011学年高二下学期第三次月考数学试卷（理科）命题：高二数学备课组审题：张子路第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分） 1．如果复数ibi212+-的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于（）A ．32-B ．32 C ．2D ．22．已知全集U=R ，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N= { x |x 2+x=0} 关系的韦恩（Venn ）图是（）3．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（）A.512 B ．12 C ．712 D ．564．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且63S =，1118S =，则9a 等于（）A ．3B ．5C ．8D ．155．将函数x x f y sin )(=的图像向右移4π个单位后，再作关于x 轴的对称变换得到的函数x y 2sin 21-=的图像，则)(x f 可以是（）A ．x cos 2-B ．x cos 2C ．x sin 2-D ．x sin 2 6．按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为A ．5i >B ．7i ≥C ．9i >D ．9i ≥7．设F 1，F 2是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且213PF PF =，则双曲线的离心率为（） A ．13+B．12+ C ．213+ D ．212+ 8.在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中,F E ,是棱11C D 上任意两点,且a EF 31=,P 是BC 上的动点,则三棱锥APF E -的体积的最大值为 ( )A.331aB.361a C.391a D.3181a 9．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量==,，其中，)1,3(=，)3,1(=，若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )10．如图所示，一质点(,)P x y 在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点(,0)Q x 的运动速度()V V t =的图象大致为（）A C D第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．若幂函数)(x f 的图象经过点)21,41(A ，是它在A 点处的切线方程为．12．已知随机变量ξ服从正态分布2N(0,)σ,若P(>2)=0.023ξ,则P(-22)=ξ≤≤ ．13．观察下列等式：12=1，12—22=—3，12—22+32=6，12—22+32—42=-10， …………………由以上等式推测到一个一般的结论：对于*n N ∈，12—22+32—42+…+（—1）n+1n 2= ．V t14．设()x f 、()x g 分别是定义域在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，()()()()0>'-'x g x f x g x f 且()()0,03≠=-x g f ，则不等式()()022<--x g x f 的解集是． 15．（选做题）（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）（A ）直线415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（为参数t）被曲线)4πρθ=-所截的线段长度为．（B ）如果关于x 的不等式1|4|||≥++-x a x 的解集是全体实数，则实数a 的取值范围是．三、解答题：（本题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（本小题满分12分）已知向量(sin m x =，1)-，向量(3cos n x =，1)2-，函数()()f x m n m =+⋅. (Ⅰ)求()f x 的最小正周期T ；(Ⅱ)已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a =4c =，且()f A 恰是()f x 在[0，2π]上的最大值，求A ，b 和ABC ∆的面积S . 17．（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.（1）求取出的4个球均为黑球的概率；（2）记：取出黑球得1分，取出红球得2分，设ξ为取出的4个球中得分之和，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-(*n N ∈)．（Ⅰ）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）若不等式15n n a a λ+<-（）恒成立，求λ的取值范围.19．（本小题满分12分）如图,正四棱柱1111D C B A ABCD -中, 421==AB AA ,点E 在1CC ,且1CC CE λ=. （1）λ为何值时,⊥C A 1平面BDE ?（2）若⊥C A 1平面BDE ,求二面角E BD A --1的大小.20．（本小题满分13分）已知椭圆22433x y +=,抛物线的开口向上，且其顶点在椭圆C 的中心，焦点为椭圆的一个焦点 F.ACD 1A1B 1C 1D E点P 为抛物线上的一点， PC 垂直于直线l ：21-=y ，垂足为C ，已知直线AB 垂直PF 分别交x 、y 轴于A 、B.（1）是否存在点P ，使△PCF 为等腰直角三角形，若存在求出点P ，若不存在说明理由；（2）是否存在点P ，使P 平分线段AB ，若存在求出点P ，若不存在说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数a xax g x x f (.23)(,ln )(-==为实常数）．(I)当1=a 时，求函数)()()(x g x f x -=ϕ在),4[+∞∈x 上的最小值；(Ⅱ)若方程)()(2x g e x f =（其中71828.2=e ）在区间]1,21[上有解，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)证明：*,12)]1()()12(2[601451N n n k f k f k f n nk ∈+<+--+<+∑=（参考数据： 6931.02ln ≈）答案一、选择题：ABCAB DADAB二、填空题：11、0144=+-y x 12、0.954 13、1(1)(1)2n n n ++- 14、 ()()+∞⋃-,52,1 15、(A) 75(B)(][),53,-∞-⋃-+∞ 三、解答题：16、解析:(Ⅰ)21()()sin 1cos 2f x m n m x x x =+⋅=++…………2分1cos 211sin 2222x x -=+++12cos 2222x x =-+ sin(2)26x π=-+……5分因为2ω=，所以22T ππ==…………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：()sin(2)26f A A π=-+[0,]2x π∈时,52666x πππ-≤-≤ 由正弦函数图象可知,当262x ππ-=时()f x 取得最大值3所以262A ππ-=,3A π= (8)分由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-∴211216242b b =+-⨯⨯∴2b =………10分从而11sin 24sin 602322S bc A ==⨯⨯=12分17、解析:（1）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B .由于事件A 、B 相互独立，且 23241()2C P A C ==, 24262()5C P B C ==. ………………………………… 3分所以取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=.…… 5分（2）ξ可能的取值为4，5，6，7. ………………………………… 6分1(4)5P ξ==, 7(5)15P ξ==,13224611(7)30C P C C ξ==⋅=.所以3(6)1(4)(5)(7)10P P P P ξξξξ==-=-=-==. ………………… 10分ξ的分布列为ξ4 5 6 7P15 715 310 130∴ ξ的数学期望 173131456751510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………12分18、解：（Ⅰ）当1n =时，21122S a =-得14a =.122n n n S a +=-，当2n ≥时，1122n n n S a --=-，两式相减得1222n n n n a a a -=-- 即122n n n a a -=+，所以1111111112211222222n n n n n n n n n n n n n a a a a a a ---------+-=-=+-=. 又1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列. ……………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知12nn a n =+，即()12n n a n =+⋅. 因为0n a >，所以不等式15n n a a λ+<-（）等价于15n na a λ+<-.因为1221n n a a n +=++，而2011n <≤+，所以12231n n a a n +=+≤+，故35λ<-，即2λ<.故使不等式15n n a a λ+<-（）成立的λ的取值范围是()2-∞，． ……………12分19、解：(1)根据题意,建立如图的空间直角坐标系.则)4,2,0(),4,0,2(),0,2,0(),0,2,2(1λE A C B 所以)4,2,0(),4,0,2(),0,2,2(1λ===DA)4,2,2(),4,0,2(1--=-=A λ要使⊥C A 1平面BDE ,那么DE C A ⊥1且BE C A ⊥1,所以必有0164)4,2,0()4,2,2(1=-=∙--=∙λλDE C A且0164)4,0,2()4,2,2(1=-=-∙--=∙λλA 故41=λ (2)设向量),,1(1y x n =是平面DB A 1的一个法向量,那么022)0,2,2(),,1(1=+=∙=∙x y x DB n 042)4,0,2(),,1(11=+=∙=∙y y x DA n所以21,1-=-=y x ,=1n )21,1,1(-- 又)4,2,2(12--==A n 是平面DBE 的一个法向量. 且>=<21,cos n n ||||2121n n 9662232-=⨯-=. 又由图知,二面角E BD A --1是锐二面角,所以二面角E BD A --1的大小就是96arccos. 20、解：（Ⅰ）由22433x y +=得，221y =，所以F ，即1(0,)2F . 则122p =,即1p =,故抛物线方程为22x y =,即212y x =. 由122p =知, 21-=y 是抛物线22x y =的准线,故||||PF PC =. 假设存在点P ，使△PCF 为等腰直角三角形，则90FPC ∠=，即PF PC ⊥，而PF PA ⊥.故AB 与PC 重合，即AB x ⊥轴，这与直线AB 不垂直x 轴矛盾.因此，不存在点P ，使△PCF 为等腰直角三角形.（Ⅱ）设2001(,)2P x x ，220000111222PC x x k x x --==, 由PF AB ⊥知, 02021AB x k x =--,则20002021:()12x AB y x x x x =--+-.令0y =得, 20002021()12x x x x x -=-,即3001(3)4x x x =+,3001((3),0)4A x x +,令0x =得, 20002021()12x y x x x =--+-,即220020(3)2(1)x x y x +=-,220020(3)(0,)2(1)x x B x +-.…10分若P 平分线段AB ，则有30001(3)24x x x +=且22200020(3)2(1)x x x x +=-,解得205x =,即0x =.故存在点5()2P ，使P 平分线段AB. …………………13分 21、解：（Ⅰ）当1=a 时，231ln )()()(-+=-=x x x g x f x ϕ，221.11)('xx x x x -=-+=ϕ，令0)('>x ϕ，又0>x ，)(x ϕ∴在]1,0(∈x 上单调递减，在),1[+∞∈x 上单调递增．∴当4≥x 时，454ln 23414ln )4()(-=-+=≥ϕϕx ．)(x ϕ∴的最小值为454ln -． …．4分 (Ⅱ) )()(2x g e f =τ在]1,21[∈x 上有解x a e x -=⇔23ln 2在]1,21[∈x 上有解323x x a -=⇔在]1,21[∈x 上有解．令]1,21[,23)(3∈-=x x x x h ，)21(3323)(.'22x x x h -=-= ，令0)('>x h ，又0>x ，解得：220<<x ．323)(x x x h -=∴在]22,21[∈x 上单调递增，]1,22[∈x上单调递减，又)21()1(h h <．)22()()1(h x h h ≤<∴．即22)(21≤≤x h ．故]22,21[∈a ．……9分(Ⅲ)设)1()()12(2+--+=k f k f k f a k ，)1(144ln)1ln(ln )12ln(22+++=+--+=k k k k k k k a k 由（Ⅰ），)4(0454ln )(min≥>-=x x ϕ，)4(123ln ≥->∴x x x ．4)1(1442>+++k k k k ．)32)(12(14145)12(14145144)1(2322+++>++=+++->∴k k k k k k k a k )321121(8145+-++=k k ． )32112171515131(8145+-+++-+-+>∴∑=n n n a nIk k 60145)5131(8145)32131(8145+=-+≥+-+=n n n n ．构造函数xxx x F x x x x F -=-=≥+-=111)('),4(2ln )(，∴当4≥x 时，01)('<-=x xx F ．)(.x F ∴在),4[+∞上单调递减，即0)12(ln 224ln )4()(<-=-=≤F x F ．∴当4>x 时， 2ln -<x x ．21114)1114ln(-+-+<+-+=∴k k k k a k ．即1112+-+<k k a k ． 1211121+<+-+<∴∑=n n n a rik k ．故*,12)]1()()12(2[601451N n n k f k f k f n nk ∈+<+--+<+∑=． …14分白鹭洲中学2010-2011学年高二下学期第三次月考数学（理科）答题卡一、选择题（共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在答题卡上的相应位置．）11. ； 12. ； 13. ；14. ；15. 。

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