(通用版)高考数学二轮复习课时跟踪检测(八)理

课时跟踪检测（八）一、选择题1．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n2n 为奇数，－n2n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 200解析：选 B 由题意，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100，故选B.2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.54钱B.53钱 C.32钱 D.43钱 解析：选D 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a1＋d ＝3a1＋9d ，2a1＋d ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝43，d ＝－16，故选D.3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里解析：选 B 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96，即第二天走了96里，故选B.4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)，我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的n 叫做“优数”，则在(0,2 018]内的所有“优数”的和为( )A ．1 024B ．2 012C ．2 026D ．2 036解析：选C a 1·a 2·a 3·…·a n ＝log 23·log 34·log 45·…·log (n ＋1)(n ＋2)＝log 2(n ＋2)＝k ，k ∈Z ，令0<n ＝2k－2≤2 018，则2<2k≤2 020,1<k ≤10，所有“优数”之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝221－291－2－18＝211－22＝2 026.故选C.5．(2018届高三·湖北七市(州)联考)在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．3n－1 B.1－－3n 2C.1＋3n 2 D.3n2＋n2解析：选A 由点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，得a 2n －9a 2n －1＝0，即(a n ＋3a n －1)(a n －3a n －1)＝0，又数列{a n }各项均为正数，∴a n ＋3a n －1>0，∴a n －3a n －1＝0，即anan －1＝3，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝3的等比数列，其前n 项和S n ＝a11－qn 1－q＝21－3n 1－3＝3n－1，故选A.6．(2017·贵阳检测)正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n ，使得 aman ＝4a 1，且a 6＝a 5＋2a 4，则1m ＋4n的最小值是( )A.32 B ．2C.73D.256解析：选A 记等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，于是有a 4q 2＝a 4q ＋2a 4，即q 2－q －2＝0，(q ＋1)(q －2)＝0(q >0)，由此解得q ＝2.由a m a n ＝16a 21得a 21×2m ＋n －2＝16a 21，故m＋n ＝6，其中m ，n ∈N *，∴1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n (m ＋n )＝5＋n m ＋4m n 6≥5＋2n m ×4mn 6＝32，当且仅且n m ＝4m n ，即m ＝2，n ＝4时等号成立，∴1m ＋4n 的最小值为32. 二、填空题7．对于数列{a n }，定义H n ＝a1＋2a2＋…＋2n －1ann为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围为________．解析：由H n ＝2n ＋1，得n ·2n ＋1＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ，① (n －1)·2n＝a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1，②①－②，得2n －1a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n ，所以a n ＝2n ＋2，a n －kn ＝(2－k )n ＋2，又S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a5≥0，a6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧52－k ＋2≥0，62－k ＋2≤0，解得73≤k ≤125.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，1258．(2017·安阳检测)在数列{a n }中，a 1＋a22＋a33＋…＋an n＝2n －1(n ∈N *)，且a 1＝1，若存在n ∈N *使得a n ≤n (n ＋1)λ成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an n 的前n 项和为2n －1，当n ≥2时，an n＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，且a11＝21－1＝1＝21－1，因此an n ＝2n －1(n ∈N *)，an n n ＋1＝2n －1n ＋1.记b n ＝2n －1n ＋1，则b n >0，bn ＋1bn ＝2n ＋1n ＋2＝n ＋2＋n n ＋2>n ＋2n ＋2＝1，即b n ＋1>b n ，数列{b n }是递增数列，数列{b n }的最小项是b 1＝12.依题意得，存在n ∈N *使得λ≥an n n ＋1＝b n 成立，即有λ≥b 1＝12，λ的最小值是12. 答案：129．(2018届高三·湖北七市(州)联考)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝n ＋1，则{a n }前40项的和为________．解析：由a n ＋1＋(－1)na n ＝n ＋1，可依次列出n 取不同值时数列项之间的关系： 当n ＝1时，a 2－a 1＝2， ① 当n ＝2时，a 3＋a 2＝3， ② 当n ＝3时，a 4－a 3＝4， ③ 当n ＝4时，a 5＋a 4＝5，④由②－①得a 3＋a 1＝1，由③＋②得a 4＋a 2＝7， 当n ＝5时，a 6－a 5＝6，⑤当n ＝6时，a 7＋a 6＝7， ⑥ 当n ＝7时，a 8－a 7＝8， ⑦ 当n ＝8时，a 9＋a 8＝9，⑧由⑥－⑤得a 7＋a 5＝1，由⑦＋⑥得a 8＋a 6＝15， 类似可得a 11＋a 9＝1，…，a 39＋a 37＝1，a 12＋a 10＝23，…，即{a 4k ＋2＋a 4k ＋4}(k ∈N)构成一个首项为7，公差为8的等差数列，∴S 40＝(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…＋a 37＋a 39)＋(a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 38＋a 40)＝1×10＋7×10＋10×10－12×8＝440.答案：440 三、解答题10．(2017·武昌调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1anan ＋1的前n 项和为T n ，求证：T n ≤49. 解：(1)由a 1＝9，a 2为整数可知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 5，∴a 5≥0，a 6≤0， 于是9＋4d ≥0,9＋5d ≤0， 解得－94≤d ≤－95.∵d 为整数，∴d ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝11－2n . (2)证明：由(1)，得1anan ＋1＝111－2n9－2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ，∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫19－2n －19.令b n ＝19－2n ，由函数f (x )＝19－2x 的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性，知0<b 1<b 2<b 3<b 4，b 5<b 6<b 7<…<0，∴b n ≤b 4＝1.∴T n ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝49.11．(2017·临川模拟)若数列{b n }对于任意的n ∈N *，都有b n ＋2－b n ＝d (常数)，则称数列{b n }是公差为d的准等差数列．如数列c n ，若c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n －1，n 为奇数，4n ＋9，n 为偶数，则数列{c n }是公差为8的准等差数列．设数列{a n }满足a 1＝a ，对于n ∈N *，都有a n ＋a n ＋1＝2n .(1)求证：{a n }是准等差数列； (2)求{a n }的通项公式及前20项和S 20. 解：(1)证明：∵a n ＋a n ＋1＝2n (n ∈N *)，① ∴a n ＋1＋a n ＋2＝2(n ＋1)(n ∈N *)，②②－①，得a n ＋2－a n ＝2(n ∈N *)． ∴{a n }是公差为2的准等差数列．(2)∵a 1＝a ，a n ＋a n ＋1＝2n (n ∈N *)，∴a 1＋a 2＝2×1，即a 2＝2－a .∴由(1)得a 1，a 3，a 5，…是以a 为首项，2为公差的等差数列；a 2，a 4，a 6…是以2－a 为首项，2为公差的等差数列．当n 为偶数时，a n ＝2－a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－1×2＝n －a ； 当n 为奇数时，a n ＝a ＋⎝⎛⎭⎪⎫n ＋12－1×2＝n ＋a －1.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋a －1，n 为奇数，n －a ，n 为偶数.S 20＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 19＋a 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝2×1＋2×3＋…＋2×19＝2×1＋19×102＝200.12．已知函数f (x )定义在(－1,1)上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，满足f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ，且x 1＝12， x n ＋1＝2xn1＋x2n. (1)证明：f (x )为定义在(－1,1)上的奇函数； (2)求f (x n )的表达式；(3)是否存在自然数m ，使得对任意的n ∈N *，有1f x1＋1f x2＋…＋1f xn<m －84恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：∵x ，y ∈(－1,1)，f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ， ∴当x ＝y ＝0时，可得f (0)＝0. 当x ＝0时，f (0)－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫0－y 1－0·y ＝f (－y )，∴f (－y )＝－f (y )，∴f (x )是(－1,1)上的奇函数．(2)∵f (x n ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2xn 1＋x2n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫xn －－xn 1－xn·－xn ＝f (x n )－f (－x n )＝2f (x n )，∴fxn ＋1f xn＝2，又f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1， ∴{f (x n )}是以1为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为f (x n )＝2n －1(n ∈N *)．(3)假设存在自然数m 使得原不等式恒成立， 即1f x1＋1f x2＋…＋1f xn ＝1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－12n －1<m －84对任意的n ∈N *恒成立．即m >16－82n 对任意的n ∈N *恒成立，∴m ≥16，故存在自然数m 使得对任意的n ∈N *，有1f x1＋1f x2＋…＋1f xn <m －84恒成立，且m 的最小值为16.。