11.高一数学导学案向量的数量积的运算(解析版)

6.2.4平面向量的数量积

2课时向量数量积的运算律

导学案

【学习目标】

1.了解数量积的运算律

2.会用向量数量积的公式解决相关问题．

【自主学习】

知识点1 向量数量积的性质

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量．

(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；

(2)a⊥b⇒a·b＝0且a·b＝0⇒a⊥b；

(3)a·a＝|a|2或|a|＝a2；

(4)cos〈a，b〉＝a·b |a||b|；

(5)|a·b|≤|a||b|.

知识点2 向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律)；

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

【合作探究】

探究一 向量的数量积的运算律

【例1】已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，试求：

(1)a ·b ；

(2)(a ＋b )·(a －b )；

(3)(2a －b )·(a ＋3b )．

[分析] 根据数量积、模、夹角的定义以及数量积的运算，逐一进行计算即可．

[解] (1)a·b ＝|a |·|b |cos120°＝2×3×(－12

)＝－3. (2)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－a ·b ＋a ·b －b 2＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝4－9＝－5.

(3)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋6a ·b －a ·b －3b 2＝2|a |2＋5a ·b －3|b |2＝2×4－5×3－3×9＝－34. 归纳总结：求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.

【练习1】已知向量a 与b 的夹角为3π4

，且|a |＝2，|b |＝2，则a ·(2a ＋b )等于 . 答案：2

解析：a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝4－2＝2.

探究二 向量的模

【例2】已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝1，则|a －3b |＝________.

[答案] 10

[分析] 利用模的公式和数量积的运算律进行求解．

[解析] 因为a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝1，

所以|a －3b |＝(a －3b )2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝12＋9×12＝10.

归纳总结：

(1)要求几个向量线性运算后的模，可先求其平方，利用数量积的计算易解.

(2)已知两个向量线性运算后的模求某个向量的模，可把条件平方后化为所求目标的方程求解.

【练习2】已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13

，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝ . 答案：3

解析：因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3.

探究三 向量的夹角

【例3】已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )

A.π3

B.π2

C.2π3

D.5π6

[答案] C

[分析] 利用向量垂直的判定和数量积公式进行求解．

[解析] 设a ，b 夹角为θ，由题意，得a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝0，即a ·b ＝－2a 2，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－2a 24|a |2＝－12，所以θ＝2π3. 归纳总结：求两向量a ，b 的夹角，通常借助于公式||||cos b a ab =

θ计算

【练习3】设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．

答案：(－7，－

142)∪(－142，－12) 解：由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，得

cos θ＝(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|

<0，

∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，

化简得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7

. 当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角．

设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ＝λ，7＝λt ，

λ<0，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－14t ＝－142

. ∴所求实数t 的取值范围是(－7，－

142)∪(－142，－12)． 探究四 向量垂直的判定

【例4】已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？

答案：k ＝1415

[分析] 利用向量垂直的性质，由(k a －b )·(a ＋2b )＝0可求出．

[解] ∵(k a －b )⊥(a ＋2b )，

∴(k a －b )·(a ＋2b )＝0，

k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，

k ×52＋(2k －1)×5×4×cos60°－2×42＝0，

∴k ＝1415，即k 为1415

时，向量k a －b 与向量a ＋2b 垂直．

归纳总结：解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a ⊥b ⇔,a ·b ＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.