11.高一数学导学案向量的数量积的运算(解析版)
《空间向量的数量积运算》导学案
3.1.3 空间向量的数量积【使用说明及学法指导】1.阅读课本85-88页并限时完成导学案，书写规范。
2.找出自已的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。
3.提出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现结论。
【学习目标】1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法；2.掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律。
重点：掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法。
难点：掌握两个向量的数量积的计算方法、并解决立体几何中的一些简单问题．【学法指导】学会将几何问题转化为向量问题，对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键。
【问题生成评价单】新知：1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量,a b ，在空间 一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作 . 试试：⑴ 范围: ,a b ≤<>≤,a b 〈〉=0时,a b 与 ;,a b 〈〉=π时,a b 与 ⑵ ,,a b b a <>=<>成立吗？⑶,a b <>= ，则称a 与b 互相垂直，记作 . 2) 向量的数量积：已知向量,a b ，则 叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅= . 规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 反思：⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？ ⑵ 0a •= （选0还是0） ⑶ 你能说出a b ⋅的几何意义吗？ 3) 空间向量数量积的性质：（1）设单位向量e ，则||cos ,a e a a e ⋅=<>． （2）a b a b ⊥⇔⋅= ． （3）a a ⋅= ＝ .4) 空间向量数量积运算律： （1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）． （3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律 反思：⑴)()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅（吗？举例说明. ⑵ 若a b a c ⋅=⋅，则b c =吗？举例说明. ⑶ 若0a b ⋅=，则00a b ==或吗？为什么？【问题解决评价单】探究一 垂直问题在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
高中数学《空间向量的数量积运算》导学案
3.1.3空间向量的数量积运算1．空间向量的夹角如果〈a，b〉＝π2，那么向量a，b□05互相垂直，记作□06a⊥b.2．空间向量的数量积定义□07已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作□08a·b运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝□09λ(a·b)交换律a·b＝□10b·a分配律a·(b＋c)＝□11a·b＋a·c两个向量数量积的性质：(1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔□12a·b＝0；(2)若a与b同向，则a·b＝□13|a||b|；若反向，则a·b＝□14－|a||b|；特别地：a·a＝|a|2□15|a|＝a·a；(3)若θ为a，b的夹角，则cosθ＝□16a·b|a||b|；(4)|a·b|□17≤|a||b|.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于空间任意两个非零向量a，b，a∥b是〈a，b〉＝0的充要条件．()(2)若a2＝b2，则a＝b或a＝－b.()(3)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．()(4)在△ABC中，〈AB→，BC→〉＝∠B.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．做一做(1)(教材改编P92T3)已知空间四边形的每条边和对角线长都是a，点E，F，G 分别为AB，AD，DC的中点，则a2等于()A．2BA→·AC→B．2AD→·BD→C．2FG→·CA→D．2EF→·BC→(2)若向量a与b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为π3，则a·b＝________.(3)已知|a|＝2，|b|＝22，a·b＝－22，则a与b的夹角为________．(4)已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝7，则cos〈a，b〉＝________.答案(1)B(2)1(3)135°(4)1 8解析(1)∵AD→与BD→的夹角为60°，|AD→|＝|BD→|＝a，∴2AD→·BD→＝2|AD→||BD→|cos60°＝2×a×a×12＝a2.探究1求向量的数量积例1如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F 分别是AB ，AD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EF →·BD →；(3)EF →·DC →；(4)BF →·CE →.[解] (1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12×1×1×cos60°＝14.(2)EF →·BD →＝12|BD →||BD →|cos 〈BD →，BD →〉＝12×1×1×cos0°＝12.(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos 〈BD →，DC →〉＝12×1×1×cos120°＝－14. (4)BF →·CE →＝12(BD →＋BA →)·12(CB →＋CA →)＝14[BD →·(－BC →)＋BA →·(－BC →)＋BD →·CA →＋BA →·CA →] ＝14[－BD →·BC →－BA →·BC →＋(CD →－CB →)·CA →＋AB →·AC →] ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12＋12－12＋12＝－18.拓展提升1.空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉并结合运算律进行计算． (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．2．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．【跟踪训练1】 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝1，AD ＝2，O 为AC 与BD 的交点，E 为A 1D 1的中点，求下列向量的数量积：(1)BD →·AA 1→； (2)AE →·AC →； (3)EO →·AC →.解 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|c |＝1，|b |＝2， (1)∵BD →＝AD →－AB →＝b －a ， ∴BD →·AA 1→＝(b －a )·c ＝b ·c －a ·c . 又a ，b ，c 两两互相垂直， ∴b ·c ＝0，a ·c ＝0，故BD →·AA 1→＝0. (2)∵AE →＝AA 1→＋A 1E → ＝AA 1→＋12AD → ＝c ＋12b ，又AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， ∴AE →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋12b ·(a ＋b )＝12|b |2＝2. (3)∵EO →＝AO →－AE → ＝12(AB →＋AD →)－(AA 1→＋A 1E →) ＝12(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋12b＝12a －c ，又AC →＝a ＋b ，∴EO →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －c ·(a ＋b )＝12a 2＝12. 探究2 利用数量积求夹角例2 已知空间四边形OABC 各边及对角线长都相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求异面直线OE 与BF 所成角的余弦值．[解] 如下图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝|b |＝|c |＝1，易知∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝π3， 则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.因为OE →＝12(OA →＋OB →)＝12(a ＋b )，BF →＝OF →－OB →＝12OC →－OB →＝12c －b ，|OE →|＝|BF →|＝32， 所以OE →·BF →＝12(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －b ＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12b 2＝－12，所以cos 〈OE →，BF →〉＝OE →·BF →|OE →||BF →|＝－23.所以异面直线OE 与BF 所成角的余弦值是23. 拓展提升由数量积求角的方法策略(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角的大小，通过解三角形得出夹角的大小，此法就是求两个向量夹角的平移法．(2)由两个向量的数量积的定义得cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |，求〈a ，b 〉的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a ，b 〉的余弦值，进而求出〈a ，b 〉的大小．在求a ·b 时注意结合空间图形，把a ，b 用基向量表示出来，进而化简得出a ·b 的值．(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角，则这个夹角就是两异面直线所成的角或补角(注意异面直线所成角的范围)．【跟踪训练2】 三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为________．答案 66 解析 下图所示，设该三棱柱的底面边长为1，依题意有AB 1→＝AB →＋AA 1→，BC 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1C 1→＝AC →＋AA 1→－AB →，则|AB 1→|2＝(AB →＋AA 1→)2＝AB →2＋2AB →·AA 1→＋AA 1→2＝2＋2cos60°＝3，|BC 1→|2＝(AC →＋AA 1→－AB →)2＝AC →2＋AA 1→2＋AB →2＋2AC →·AA 1→－2AC →·AB →－2AA 1→·AB →＝2，而AB 1→·BC 1→＝(AB →＋AA 1→)·(AC →＋AA 1→－AB →)＝AB →·AC →＋AB →·AA 1→－AB →·AB →＋AA 1→·AC →＋AA 1→·AA 1→－AA 1→·AB →＝12＋12－1＋12＋1－12＝1，所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝13×2＝66. 所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为66. 探究3 利用向量数量积求距离例3 已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，且与α所成的角是30°，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C ，D 间的距离．[解] 下图，由AC ⊥α，知AC ⊥AB .过点D 作DD ′⊥α于点D ′，连接BD ′，则∠DBD ′＝30°，〈CA →，BD →〉＝120°，所以|CD →|2＝CD →·CD →＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD →＝b 2＋a 2＋b 2＋2b 2cos120°＝a 2＋b 2，故CD ＝a 2＋b 2.拓展提升(1)线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)．(2)应牢记并能熟练地应用公式 |a ＋b ＋c |＝(a ＋b ＋c )2 ＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2a ·c ＋2a ·b ＋2b ·c .【跟踪训练3】 在正四面体ABCD 中，棱长为a ，M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.解 如下图所示，|AB →|＝|AC →|＝|AD →|＝a ，把题中所用到的量都用向量AB →，AC →，AD →表示，于是MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →.又AD →·AB →＝AB →·AC →＝AC →·AD →＝a ·a ·cos60°＝12a 2， ∴MN →·MN →＝⎝⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC → ＝19AB → 2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD → 2＋49AC → 2＝19a 2－19a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2.故|MN→|＝MN→·MN→＝53a，即|MN|＝5 3a.探究4判断或证明垂直问题例4下图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1G⊥平面DEF.[证明] 设正方体的棱长为a，∵A1G→·DF→＝(A1A→＋AD→＋DG→)·(DC→＋CF→)＝A1A→·DC→＋AD→·DC→＋DG→·DC→＋A1A→·CF→＋AD→·CF→＋DG→·CF→＝DG→·DC→＋AD→·CF→＝12a2－12a2＝0，∴A1G⊥DF，同理可证A1G⊥DE，又DF∩DE＝D，∴A1G⊥平面DEF.拓展提升利用向量数量积判断或证明线面垂直的思路(1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．(2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可．【跟踪训练4】如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.证明：P A⊥BD.证明由底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD知，DA⊥BD，则BD→·DA→＝0.由PD⊥底面ABCD知，PD⊥BD，则BD→·PD→＝0.又PA→＝PD→＋DA→，∴PA→·BD→＝(PD→＋DA→)·BD→＝PD→·BD→＋DA→·BD→＝0，即P A⊥BD.1.空间向量数量积性质的应用(1)a⊥b⇔a·b＝0，此结论可用于证明空间中的垂直关系.(2)|a|2＝a2，此结论可用于求空间中线段的长度.(3)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|，此结论可用于求有关空间角的问题.(4)|b|cos〈a，b〉＝a·b|a|，此结论可用于求空间中的距离问题.2.利用向量数量积求夹角问题的两种方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围.(2)先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉.3.求两点间的距离或线段长的方法(1)将此线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模.(2)因为a·a＝|a|2，所以|a|＝a·a，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a±b|＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(3)可用|a·e|＝|a||cosθ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影.1．下列各命题中，不正确命题的个数为()①a·a＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b；③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a.A．4个B．3个C．2个D．1个答案D解析∵a·a＝|a|2，∴a·a＝|a|，故①正确；m(λa)·b＝(mλa)·b＝mλa·b＝(mλ)a·b，故②正确；a·(b＋c)＝a·b＋a·c，(b＋c)·a＝b·a＋c·a＝a·b＋a·c＝a·(b＋c)，故③正确；a2b＝|a|2b，b2a＝|b|2a，故④不一定正确．2．已知|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，则a 与b 的夹角为( ) A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 答案 D解析 ∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0，∴a ·a －a ·b ＝|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1－1×2×cos 〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝22.∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝45°.3．已知在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以A 为顶点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC 1的长为( )A ．6 B. 6 C ．3 D.3 答案 B解析 如图，由题意可知，∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，∴AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1→＋2AD →·AA 1→＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6.4．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →与A 1P →所成角的大小为________，B 1C →·A 1P →＝________.答案 60° 1解析 解法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成的角，连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos60°＝1.解法二：根据向量的线性运算可得 B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.5．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，求〈a ，b 〉． 解 (a ＋3b )·(7a －5b )＝7|a |2－15|b |2＋16a ·b ＝0， (a －4b )·(7a －2b )＝7|a |2＋8|b |2－30a ·b ＝0， 解得|b |2＝2a ·b ＝|a |2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12，∴〈a ，b 〉＝60°.A 级：基础巩固练一、选择题1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③AD →1与A 1B →的夹角为60°.其中正确命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 答案 B解析 如图所示，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°.综上可知，①②正确，③不正确．故选B.2．正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，〈A ′B →，B ′D ′→〉＝( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 D解析 连接BD ，A ′D ，因为B ′D ′∥BD ，△A ′BD 为正三角形，所以∠A ′BD ＝60°，由向量夹角的定义可知〈A ′B →，BD →〉＝120°，即〈A ′B →，B ′D ′→〉＝120°.3．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足(BO →＋OC →)·(OC →－OA →)＝0，则△ABC 一定是( )A ．等边三角形B ．斜三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 C解析 ∵BO →＋OC →＝BC →，OC →－OA →＝AC →，∴BC →·AC →＝0.∴BC ⊥AC .∴△ABC 一定是直角三角形．4．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是BC 的中点，那么( )A.AE →·BC →＜AE →·CD →B.AE →·BC →＝AE →·CD →C.AE →·BC →＞AE →·CD →D.AE →·BC →与AE →·CD →不能比较大小 答案 C解析 易知AE ⊥BC ，∴AE →·BC →＝0，AE →·CD →＝(AB →＋BE →)·CD →＝AB →·(BD →－BC →)＋12BC →·CD →＝|AB →|·|BD →|cos120°－|AB →||BC →|cos120°＋12|BC →||CD →|·cos120°＜0.∴AE →·BC →＞AE →·CD →.5．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案 C解析 AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋CD →2＋DB →·CD →＝0＋12＋0＝1，又|AB →|＝2，|CD→|＝1.∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12×1＝12.∵异面直线所成的角是锐角或直角， ∴a 与b 所成的角是60°.6．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是( )A ．2 B. 3 C. 5 D.7 答案 C解析 如图所示，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .由题意知|a |＝|b |＝|c |＝2，且〈a ，b 〉＝60°，〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝90°. 因为EF →＝EA →＋AA 1→＋A 1F →＝－12AB →＋AA 1→＋12AC →＝－12a ＋12b ＋c ， 所以|EF →|2＝14a 2＋14b 2＋c 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ·12b ＋12b ·c －12a ·c ＝14×22＋14×22＋22＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×2×2cos60°＝1＋1＋4－1＝5，所以|EF |＝5.二、填空题7．已知空间向量a，b，|a|＝32，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________．答案－3 10解析由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋λb2＋(1＋λ)a·b＝0，即18＋25λ＋(1＋λ)×32×5×cos135°＝0，∴λ＝－310.8．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b ＋b·c＋c·a的值为________．答案－13解析∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－32＋12＋422＝－13.9．设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线，则下列四个命题：①(a·b)c －(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(c·b)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中真命题的序号是________．答案②④解析①由向量数乘与数量积的区别，易知不成立；②是三角形不等式，所以成立；③[(c·b)a－(c·a)b]·c＝(c·b)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，故垂直，所以③不成立；④由向量的数量积运算可知成立．三、解答题10．如图所示，在平面角为120°的二面角α－AB－β中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长．解∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴CA→·AB→＝0，BD→·AB→＝0.∵二面角α－AB－β的平面角为120°，∴〈CA→，BD→〉＝180°－120°＝60°.∴|CD→|2＝CD→2＝(CA→＋AB→＋BD→)2＝CA→2＋AB→2＋BD→2＋2CA→·AB→＋2CA→·BD→＋2BD→·AB→＝3×62＋2×62×cos60°＝144，∴CD＝12.B级：能力提升练如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB ＝∠C1CD＝∠BCD.(1)求证：CC1⊥BD；(2)当CDCC1的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．解(1)证明：设CD→＝a，CB→＝b，CC1→＝c.由题意得|a|＝|b|，BD→＝CD→－CB→＝a－b.CD→，CB→，CC1→两两夹角的大小相等，设为θ，于是CC1→·BD→＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ＝0，∴CC1⊥BD.(2)要使A1C⊥平面C1BD，只需A1C⊥BD，A1C⊥DC1.由CA1→·C1D→＝(CA→＋AA1→)·(CD→－CC1→)＝(a＋b＋c)·(a－c)＝a2－a·c＋a·b－b·c＋c·a －c2＝|a|2－|c|2＋|b||a|cosθ－|b||c|cosθ＝(|a|－|c|)(|a|＋|c|＋|b|·cosθ)＝0，得当|c|＝|a|时，A1C⊥DC1.而由(1)知CC1⊥BD，又显然BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC1A1，∴A1C⊥BD.综上可得，当CDCC1＝1时，A1C⊥平面C1BD.。
《空间向量的数量积运算》导学案
所以 A1M=|A1M|=
( a + b -c)2
22
= a2 + b2 + c2 + a·b -a·c-b·c= 11.
44
2
2
1.若OA、OB、OC三个单位向量两两之间夹角为 60°,则
|OA+OB+OC|等于( B ).
A.6
B. 6
C.3
D. 3
【解析】|OA+OB+OC|2=1+1+1+2×1×1×1+2×1×1×1+2×1×1×1=6,
2 下列结论中正确的是( B ). A.(a·b)c=(b·c)a B.若 a·b=-|a|·|b|,则 a∥b C.a,b,c 为非零向量,a·c=b·c,则 a∥b D.若 a2=b2,则 a∥b
【解析】空间向量不满足结合律,故 A 错.C 的反例可举 a,b,c 两两垂 直.若 a2=b2,说明|a|=|b|,故 D 错.
【解析】∵BC=AC-AB,
OA·BC=OA·(AC-AB)
=OA·AC-OA·AB
=|OA||AC|cos<OA,AC>-|OA||AB|cos<OA,AB>
=8×4×cos 120°-8×6×cos 120°=8,
∴cos<OA,BC>=|OOAA
·BC ||BC
= 8 =1,
| 8×5 5
故 OA 与 BC 所成角的余弦值为1.
.
问题3 向量夹角的范围 规定 0≤<a,b>≤ π ,且<a,b>= <b,a > ,如果<a,b>=π,
2
则称 a 与 b 互相 垂直 ,记作 a⊥b .
人教B版高一数学必修四导学案：向量数量积的坐标运算与度量公式
向量数量积的坐标运算与度量公式学习目标：1、 能推导并掌握向量数量积的坐标运算与度量公式2、 能灵活运用有关公式解决有关夹角、线段长度等问题，学习重点难点：公式的灵活运用一、课前准备（一）知识链接：3、 向量的数量积（内积）的定义： 。
4、 向量长度的定义： 。
5、 两个向量垂直的条件： 。
4、两点之间的距离公式： 。
（二）问题导引6、 已知()1212(,),,a a a b b b ==，你能否用坐标表示？a b ⋅= 。
a b ⊥= 。
a = 。
7、 由向量的数量积公式你能否得到向量的夹角公式？二、学习探究自学导引阅读自学课本P112—P113回答下面问题：！、向量数量积的坐标运算已知()()1212,,,a a a b b b ==，则a b =即两个向量的数量积等于2、用向量的坐标表示两个向量垂直的条件设()()1212,,,a a a b b b ==则a b ⊥⇔当0b b ≠时，条件11220a b a b +=，可写成1221a a kb b ==-3、向量的长度、距离和夹角公式已知()12,a a a =，则a =即向量的长度等于如果1122(,),(,)A x y B x y ， 则向量AB =设()()1212,,,a a a b b b ==，则cos ,a b =三、典例探究：1. 已知(3,1),(1,2)a b =-=-，求,,,,a b a b a b ，2. 已知点A （1，2），B （2，3），C （-2，5）求证AB AC ⊥3. 已知点A （1，2），B （3，4），C （5，0）求∠BAC 的正弦值。
例4 已知点A （a,b ）与点1(,)A b a ，求证直线y=x 是线段AA 的垂直平分线四、变式拓展i.已知：2,1,()0,a b a b b ==-=则a 与b 的夹角是（ ） ()30()45()60()90A B C D ︒︒︒︒ii. 已知三点(2,1),(3,2),(1,4)A B D -a) 求证AB AD ⊥b) 若四边形ABCD 是矩形，试确定点C 的坐标，并求该矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值。
人教版高中数学选择性必修第一册-空间向量的数量积运算-课时作业【含解析】
课时作业2空间向量的数量积运算【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，则AC →·AD 1→等于()A ．0B ．1C.12D ．－12．已知m ，n 是异面直线，且m ⊥n ，e 1，e 2分别为取自直线m ，n 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为()A ．－6B ．6C ．3D ．－33．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于()A.97B ．97C.61D ．614．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③AD 1→与A 1B →的夹角为60°.其中真命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．05．已知非零向量a ，b 不平行，并且其模相等，则a ＋b 与a －b 之间的关系是()A ．垂直B ．共线C ．不垂直D ．以上都可能6.如图所示，在三棱锥A BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 的中点，则AE →·BC →等于()A ．0B ．1C ．2D ．37．已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则〈a ，b 〉等于()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．(多选题)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是()A ．四边形ABC 1D 1的面积为|AB →||BC 1→|B.AD 1→与A 1B →的夹角为60°C ．(AA 1→＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2D.A 1C →·(A 1B 1→－A 1D 1→)＝0二、填空题9．已知a ，b 为两个非零空间向量，若|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝2，EF ＝4，CA ＝CB ＝3，若AB →·AE →＋AC →·AF →＝7，则EF →与BC →的夹角的余弦值等于11．已知空间向量a ，b ，|a |＝32，|b |＝5，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，若m ⊥n ，则λ的值为三、解答题12.如图所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．13．在空间四边形OABC 中，连接AC ，OB ，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求向量OA →与BC →所成角的余弦值．14．(多选题)下列命题中不正确的是()A ．|a |－|b |<|a ＋b |是向量a ，b 不共线的充要条件B ．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝0C ．在棱长为1的正四面体ABCD 中，AB →·BC →＝12D ．设A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若OP →＝13OA →＋23OB →＋OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面15．等边三角形ABC 中，P 在线段AB 上，且AP →＝λAB →，若CP →·AB →＝PA →·PB →，则实数λ的值为16.如图，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD.(1)求证：CC 1⊥BD .(2)试求当CDCC 1的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD?课时作业2空间向量的数量积运算【解析版】时间：45分钟一、选择题1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，则AC →·AD 1→等于(B )A ．0B ．1C.12D ．－1解析：AC →·AD 1→＝(AB →＋AD →)·(AD →＋AA 1→)＝AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →2＋AD →·AA 1→＝0＋0＋1＋0＝1.故选B.2．已知m ，n 是异面直线，且m ⊥n ，e 1，e 2分别为取自直线m ，n 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为(B )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：∵m ⊥n ，∴e 1⊥e 2，即e 1·e 2＝0，由a ⊥b ，得a ·b ＝0，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6.故选B.3．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于(C )A.97B ．97C.61D ．61解析：|2a －3b |2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×22－12×2×3×cos60°＋9×32＝61，∴|2a －3b |＝61.故选C.4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③AD 1→与A 1B →的夹角为60°.其中真命题的个数为(B )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：①②正确；∵AD 1→与A 1B →的夹角为120°，∴③不正确．故选B.5．已知非零向量a ，b 不平行，并且其模相等，则a ＋b 与a －b 之间的关系是(A )A ．垂直B ．共线C ．不垂直D ．以上都可能解析：由题意知|a |＝|b |，∵(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．故选A.6.如图所示，在三棱锥A BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 的中点，则AE →·BC →等于(A)A ．0B ．1C ．2D ．3解析：∵AE →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(DC →－DB →)＝12(DB →－DA →＋DC →－DA →)·(DC →－DB →)＝12(DB →－2DA →＋DC →)·(DC →－DB →)＝12DB →·DC →－12DB →2－DA →·DC →＋DA →·DB →＋12DC →2－12DC →·DB →，又易知DB →·DC →＝0，DA →·DC →＝0，DA →·DB →＝0，|DB →|＝|DC →|，∴AE →·BC →＝0.故选A.7．已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则〈a ，b 〉等于(B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：根据a ·(2b －a )＝0，即2a ·b ＝|a |2＝4，解得a ·b ＝2，又cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝22，〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝45°.故选B.8．(多选题)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是(ACD )A ．四边形ABC 1D 1的面积为|AB →||BC 1→|B.AD 1→与A 1B →的夹角为60°C ．(AA 1→＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2D.A 1C →·(A 1B 1→－A 1D 1→)＝0解析：如图．由AB ⊥平面BB 1C 1C 得AB ⊥BC 1，所以四边形ABC 1D 1的面积为|AB →|·|BC 1→|，故A 正确；∵△ACD 1是等边三角形，∴∠AD 1C ＝60°，又∵A 1B ∥D 1C ，∴异面直线AD 1与A 1B 所成的夹角为60°，但是向量AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故B 错误；由向量加法的运算法则可以得AA 1→＋A 1D 1→＋A 1B 1→＝AC 1→，∵AC 1→2＝3A 1B 1→2，∴(AA 1→＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2，故C 正确；由向量运算可得A 1B 1→－A 1D 1→＝D 1B 1→，∵在正方体ABCD A 1B 1C 1D 中，D 1B 1⊥平面AA 1C 1C ，∴D 1B 1⊥A 1C ，∴A 1C →·D 1B 1→＝0，故D 正确．故选ACD.二、填空题9．已知a ，b 为两个非零空间向量，若|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝3π4.解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－22，∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝3π4.10.如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝2，EF ＝4，CA ＝CB ＝3，若AB →·AE →＋AC →·AF →＝7，则EF →与BC →的夹角的余弦值等于16.解析：由题意可得BC →2＝9＝(AC →－AB →)2＝AC →2＋AB →2－2AC →·AB →＝9＋4－2AC →·AB →，∴AC →·AB →＝2.由AB →·AE →＋AC →·AF →＝7，可得AB →·(AB →＋BE →)＋AC →·(AB →＋BF →)＝AB →2＋AB →·BE →＋AC →·AB →＋AC →·BF →＝4＋AB →·(－BF →)＋2＋AC →·BF →＝6＋BF →·(AC →－AB →)＝6＋12EF →·BC →＝7.∴EF →·BC →＝2，即4×3×cos 〈EF →，BC →〉＝2，∴cos 〈EF →，BC →〉＝16.11．已知空间向量a ，b ，|a |＝32，|b |＝5，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，若m ⊥n ，则λ的值为－310.解析：由题意知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝32×515，由m ⊥n ，得(a ＋b )·(a ＋λb )＝0，即|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18－15(λ＋1)＋25λ＝0.解得λ＝－310.三、解答题12.如图所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．解：(1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→＝13(c －a )＋a ＋13(b －a )＝13a ＋13b ＋13c .(2)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5，∴|a ＋b ＋c |＝5，∴|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53，即MN ＝53.13．在空间四边形OABC 中，连接AC ，OB ，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求向量OA →与BC →所成角的余弦值．解：∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162，∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225.14．(多选题)下列命题中不正确的是(ACD )A ．|a |－|b |<|a ＋b |是向量a ，b 不共线的充要条件B ．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝0C ．在棱长为1的正四面体ABCD 中，AB →·BC →＝12D ．设A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若OP →＝13OA →＋23OB →＋OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面解析：由|a |－|b |<|a ＋b |，知向量a ，b 可能共线，比如共线向量a ，b 的模分别是2,3，故A 错误；在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝(AC →＋CB →)·CD →－CB →·AD →－AC →·BD →＝AC →·(CD →－BD →)＋CB →·(CD →－AD →)＝AC →·CB →＋CB →·CA →＝0，故B 正确；AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 〈AB →，BC →〉＝1×1×cos120°＝－12，故C 错误；由13＋23＋1＝2≠1可知P ，A ，B ，C 四点不共面，故D 错误．故选ACD.15．等边三角形ABC 中，P 在线段AB 上，且AP →＝λAB →，若CP →·AB →＝PA →·PB →，则实数λ的值为1－22.解析：如图，CP →＝－AC →＋AP →＝－AC →＋λAB →，故CP →·AB →＝(λAB →－AC →)·AB →＝λ|AB →|2－|AB →||AC →|cos APA →·PB →＝(－λAB →)·(1－λ)AB →＝λ(λ－1)|AB →|2，设|AB →|＝a (a ＞0)，则a 2λ－12a 2＝λ(λ－1)a 2，解得λ＝1＝1＋22舍16.如图，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .(1)求证：CC 1⊥BD .(2)试求当CDCC 1的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD?解：(1)证明：设CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c .由题意得|a |＝|b |，BD →＝CD →－CB →＝a －b .CD →，CB →，CC 1→两两夹角的大小相等，设为θ，于是CC 1→·BD →＝c ·(a －b )＝c ·a －c ·b ＝|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ＝0，∴CC 1⊥BD .(2)要使A 1C ⊥平面C 1BD ，只需A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1.由CA 1→·C 1D →＝(CA →＋AA 1→)·(CD →－CC 1→)＝(a ＋b ＋c )·(a －c )＝a 2－a ·c ＋a ·b －b ·c ＋c ·a －c 2＝|a |2－|c |2＋|a |·|b |cos θ－|b |·|c |cos θ＝(|a |－|c |)(|a |＋|c |＋|b |cos θ)＝0，得当|c |＝|a |时，A 1C ⊥DC 1.而由(1)知CC 1⊥BD ，又BD ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1，∴A 1C ⊥BD .综上可得，当CDCC 1＝1时，A 1C ⊥平面C 1BD .。
3.空间向量的数量积运算导学案(解析版)
1.1.2空间向量的数量积运算导学案【学习目标】1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法3.掌握投影向量的概念4.能用向量的数量积解决立体几何问题【自主学习】知识点一 空间向量的夹角 (1)夹角的定义已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉． (2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]． 特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π； 当〈a ，b 〉＝π2时，两向量垂直，记作a ⊥b .知识点二 空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a ，b 为非零向量)①a ⊥b ⇔a ·b ＝0.②a ·a ＝|a ||a |cos 〈a ，a 〉＝|a |2. ③cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |. (3)数量积的运算律知识点三 投影向量 (1)投影向量在空间，向量a 向向量b 投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，c ＝|a |cos 〈a ，b 〉b|b |，则向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量，同理向量b 在向量a 上的投影向量是|b |cos 〈a ，b 〉a|a |.(2)向量a 在平面β上的投影向量向量a 向平面β投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A ′，B ′，得到向量A ′B ′→，则向量A ′B ′→称为向量a 在平面β上的投影向量．这时，向量a ，A ′B ′→的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．【合作探究】探究一 空间向量数量积的运算【例1】(1)如图，三棱锥A BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．23(2)在四面体OABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，G 为△ABC 的重心，求OG →·(OA →＋OB →＋OC →)的值． 【答案】(1)A[∵CD →＝AD →－AC →，∵AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝0－2×2×cos 60°＝－2.] (2)[解] OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝13OB →＋13OC →＋13OA →. ∵OG →·(OA →＋OB →＋OC →)＝⎝⎛⎭⎫13OB →＋13OC →＋13OA →·(OA →＋OB →＋OC →)＝13OB →2＋13OC →2＋13OA →2 ＝13×22＋13×32＋13×12＝143.归纳总结：(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. (4)代入公式a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解.【练习1】在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点，求下列向量的数量积： (1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→.[解] 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝BC →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝b ·12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋AA 1→)＝c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.探究二 利用数量积证明空间垂直关系【例2】已知空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC .[思路探究] 首先把向量OG →和BC →均用OA →、OB →、OC →表示出来，通过证明OG →·BC →＝0来证得OG ∵BC .[证明] 连接ON ，设∵AOB ＝∵BOC ＝∵AOC ＝θ， 又设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |. 又OG →＝12(OM →＋ON →)＝12⎣⎡⎦⎤12OA →＋12(OB →＋OC →) ＝14(a ＋b ＋c )，BC →＝c －b . ∴OG →·BC →＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c ) ＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∵OG →∵BC →，即OG ∵BC .归纳总结：(1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题．【练习2】如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .证明：P A ⊥BD .[证明] 由底面ABCD 为平行四边形，∵DAB ＝60°，AB ＝2AD 知，DA ∵BD ，则BD →·DA →＝0. 由PD ∵底面ABCD 知，PD ∵BD ，则BD →·PD →＝0.又P A →＝PD →＋DA →，∵P A →·BD →＝(PD →＋DA →)·BD →＝PD →·BD →＋DA →·BD →＝0，即P A ∵BD .探究三 夹角问题【例3】(1)已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对(2)如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值．[思路探究] (1)根据题意，构造∵ABC ，使AB →＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，根据∵ABC 三边之长，利用余弦定理求出向量a 与b 之间的夹角即可．(2)求异面直线OA 与BC 所成的角，首先来求OA →与BC →的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化． 【答案】(1)D[∵a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4， ∵以这三个向量首尾相连组成∵ABC ；令AB →＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，则∵ABC 三边之长分别为BC ＝2，CA ＝3，AB ＝4； 由余弦定理，得：cos∵BCA ＝BC 2＋CA 2－AB 22BC ·CA ＝22＋32－422×2×3＝－14，又向量BC →和CA →是首尾相连，∵这两个向量的夹角是180°－∵BCA ， ∵cos 〈a ，b 〉＝14，即向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉不是特殊角．](2)[解] ∵BC →＝AC →－AB →，∵OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|· cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120° ＝24－16 2.∵cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225，∵异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值为3－225.归纳总结：(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a ·b ，再利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |求出cos 〈a ，b 〉的值，最后确定〈a ，b 〉的值． (2)求两条异面直线所成的角，步骤如下：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小．【练习3】如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，求BC 1→与AC →夹角的大小．[解] 不妨设正方体的棱长为1，则BC 1→·AC →＝(BC →＋CC 1→)·(AB →＋BC →) ＝(AD →＋AA 1→)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋AD →2＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD → ＝0＋AD 2→＋0＋0＝AD 2→＝1， 又∵|BC 1→|＝2，|AC →|＝2，∵cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝12×2＝12.∵〈BC 1→，AC →〉∵[0，π]，∵〈BC 1→，AC →〉＝π3.即BC 1→与AC →夹角的大小为π3.探究四 距离问题【例4】如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．[解] ∵∵ACD ＝90°，∵AC →·CD ＝0，同理可得AC →·BA →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∵〈BA →，CD →〉＝60°或〈BA →，CD →〉＝120°.又BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∵|BD →|2＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝3＋2×1×1×cos 〈BA →，CD →〉．∵当〈BA →，CD →〉＝60°时，|BD →|2＝4，此时B ，D 间的距离为2；当〈BA →，CD →〉＝120°时，|BD →|2＝2，此时B ，D 间的距离为 2.归纳总结：(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．(2)因为a ·a ＝|a |2，所以|a |＝a·a ，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.(3)可用|a ·e |＝|a ||cos θ|(e 为单位向量，θ为a ，e 的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．【练习4】如图所示，在平面角为120°的二面角αAB β中，AC ⊂α，BD ⊂β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A ，B .已知AC ＝AB ＝BD ＝6，求线段CD 的长．[解] ∵AC ∵AB ，BD ∵AB ，∵CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0. ∵二面角αAB β的平面角为120°，∵〈CA →，BD→〉＝180°－120°＝60°.∵CD →2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2BD →·AB →＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∵CD ＝12.课后作业A 组 基础题一、选择题1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32 D ．1【答案】A[∵a ∵b ，∵a ·b ＝0，∵3a ＋2b ∵λa －b ，∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝0， 即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∵12λ－18＝0，解得λ＝32.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( ) A ．a 2 B ．12a 2 C ．14a 2 D ．34a 2【答案】C[AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14⎝⎛⎭⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.] 3．已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C →B ．BD 1→·AC →C ．AB →·AD 1→ D ．BD 1→·BC →【答案】D[对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1∵A 1D ，而A 1D ∵B 1C ，可得AD 1∵B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ∵BD ，易得AC ∵平面BB 1D 1D ，故有AC ∵BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ∵平面ADD 1A 1，可得AB ∵AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ∵平面CDD 1C 1，可得BC ∵CD 1，∵BCD 1为直角三角形，∵BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4．在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( ) A ．60° B ．150° C ．90° D ．120° 【答案】D[BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →|＝2a .∵BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∵cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.∵〈BA 1→，AC →〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．43【答案】B[∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→， ∵AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∵|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.]二、填空题6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________. 【答案】18[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________． 【答案】60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∵CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∵cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，∵异面直线a ，b 所成角是60°.]8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．【答案】(－1－3，－1＋3)[由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1.即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题9.如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．[解] (1)∵M 是PC 的中点，∵BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)]＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c . (2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∵|a |＝|b |＝1，|c |＝2，由于AB ∵AD ，∵P AB ＝∵P AD ＝60°，∵a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1， 由于BM →＝12(－a ＋b ＋c )，|BM →|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.∵|BM →|＝62，∵BM 的长为62.10.如图，已知直三棱柱ABC A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∵CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∵CE →·A ′D →＝⎝⎛⎭⎫b ＋12c ·⎝⎛⎭⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∵CE →∵A ′D →，即CE ∵A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∵|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∵cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010.∵异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.B 组 能力提升一、选择题1．(多选题)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →| 【答案】AB[如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]2．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心， 则AC 1→与CE →( ) A ．重合 B ．平行但不重合 C ．垂直 D ．无法确定【答案】C[AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎡⎦⎤AA 1－12AB →＋AD →＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→∵CE →.] 二、填空题3．如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →所成角的大小为________．【答案】1 60°[法一：连接A 1D ，则∵P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角．连接PD ，在∵P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即∵P A 1D 为等边三角形，从而∵P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1.由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.] 4．已知在正四面体D ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．【答案】63[如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是∵ABC 的重心，∵AG ＝23AM ，∵AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎡⎦⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∵|DG →|＝63.]三、解答题5.如图，正四面体V ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直； (2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1， 则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )，BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →∵BO →，即AO ∵BO .同理，AO ∵CO ，BO ∵CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎡⎦⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12. 又|AO →|＝⎣⎡⎦⎤16(b ＋c －5a )2＝22，DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14，所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22.又〈DM →，AO →〉∵[0，π]， 所以〈DM →，AO →〉＝π4.。
向量的数量积学案 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
OA=a，OB=b，。
，，过AB的起点CD所在a bAB CD==|a b≤__________【知识点五】向量数量积的运算律；。
5,4,a b==当a与b的夹角θa b⋅为（B.-10C.20D.-2012,9,a b==542a b⋅=-，则a与b的夹角θ为（B.34π- C.4πD.4π-2a=，4b=，向量a与向量b的夹角为120，则向量a在向量b上的投影的数量等于（B.-1C.32D.32-若向量a为单位向量，向量4b=，a b⋅=8，则向量a在向量b上的投影的数量等于（B.-1C. 2D. -2ABC中，AB a=，BC b=，当0a b⋅>时，则ABC的形状为（）．直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D.二、合作探究深度学习学习目标一：向量数量积概念的形成如上图，物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所做的功||||cos W F S F S θ=⋅=.其中，力是向量，位移是向量，功是数量，θ 是F S 与的夹角.1.2类比物理背景，形成概念①两向量的夹角1.定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角．注意：①当θ＝0时，向量a 与b ；②当θ＝π2时，向量a 与b ，记作a ⊥b ；③当θ＝π时，向量a 与b ．注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与AB →的夹角．作AD →＝CA →，则∠BAD 才是向量CA →与AB →的夹角．②向量的数量积已知两个 向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的 (或 )，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)．规定：零向量与任一向量的数量积为 .注意：(1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”；(2)数量积的结果为数量，不再是向量；(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定：当θ是锐角时，数量积为正；当θ是钝角时，数量积为负；当θ是直角时，数量积等于零．③归纳总结：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把||||cos a b θ称为a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos a b θ规定：0⋅a =0，对比向量的线性运算发现，线性运算的结果是向量，而数量积的运算结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量a 与b 模的大小有关，还和它们的夹角有关．学习目标二：向量的投影若与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则向量a 在向量b 上的投影向量为|a|cos θ e. 当θ＝0时，投影向量为 ；当θ＝π2时，投影向量为 ； 当θ＝π时，投影向量为 .小结：对于任意的[0π]θ∈，，都有||cos a b a e θ=向量在向量上的投影向量.学习目标三：向量数量积的性质小组合作探究：从上面的探究我们看到，两个非零向量a 与b 相互平行或垂直时，向量a 在向量b 上的投影向量具有特殊性，这时，它们的数量积小结：由向量数量积的定义，可以得到如下重要性质：a b ，是非零向量，它们的夹角是e 是与b 方向相同的单位向量，则1）||cos a e e a a θ==.2）（2）0a b a b ⊥⇔=. 3）当a 与b 同向时，||||a b a b =；当a 与b 反向时，||||a b a b =-.）特别地，2||a a a =或||a a a =.注：当两个向量的相等时，这两个向量的数量积等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的|cos |1θ≤还可以得到||||||a b a b ≤.32π，求b a ⋅。
高一平面向量的数量积 导学案
2.4 平面向量的数量积使用说明与学法指导1、用15分钟左右的时间，阅读探究课本的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力。
2、完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测。
3、各组cc 级的同学对加**题目不作要求。
4、将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处。
一、学习目标：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用二、问题导学1. 如果一个物体在力F 作用下产生位移S ，其中F 与S 的夹角为θ，那么力F 所做的功w=________________（功是一个__________量）2.已知两个非零向量a 与b ，我们把_________________叫做a 与b 的数量积（或________） 记作__________即________________________其中θ是a 与b 的_______________________________________叫做a 在b 方向上（___________________）的____________. 我们规定：________________________________________.3. 设a 和b 都是非零向量，则（1）a b ⊥⇔________________(2)当a 与b 同向时， a b =_________ 当a 与b 反向时，a b =_________特别地，a a =________________ (3) a b _______a b4. (运算率)已知向量a b c 、、和实数λ则： （1）___________________________ （2）___________________________（3）___________________________5.对任意向量a 和b ，有（1）2()a b +=___________________________________(2)()()a b a b +-=_______________________________________________6.设两个非零向量a =(x1,y1), b =(x2,y2),则a b =____________________________________这就是说_______________________________________________________________________向量的数量积的运算可转化为_________________________________________(1)(,)a x y =向量的模,设则a =____________________________________11222,)(,),A x y B x y （）两点间的距离公式 设（、则AB =_____________________（3）垂直 若 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则a b ⊥⇔_______________________________（4）平行 1122,),(,),//a x y b x y a b ==⇔设（则_______________________________（5）设两个非零向量a 和b ，a =(x1,y1), b =(x2,y2)，θ是a 与b 的夹角，根据向量数量cos θ=(1)00(2)0,a b a b a a b a c b c≠⋅≠≠⋅=⋅=例题1、判断下列各命题是否正确，并说明理由若，则对任一非零向量，有若，则121212,(2),,(1)//,2,a b a b a b e e e e e e λλλ=-+=-⊥拓展、设是两个垂直的单位向量，且若求的值；（）若求的值.2(2,3),=-47a b a b =例题、已知（，），求在方向上的投影.(2,3),(2,4),a b a b a b ==-+⋅-=拓展1、已知则（）（）___________.(1,23),(1,1),.a b a b a b a b θ=-+=⋅⋅拓展2、已知求，，与的夹角拓展3、已知a 与b 都是非零向量，且3a b + 与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角。
高中数学备课教案向量的数量积与应用
高中数学备课教案向量的数量积与应用高中数学备课教案：向量的数量积与应用一、概述在高中数学中，向量的数量积是一个非常重要的概念。
它不仅可以用于计算向量的几何性质，还可以应用于很多实际问题的解决。
在本篇备课教案中，我们将系统梳理向量的数量积相关知识点，并结合实际应用例子，帮助学生掌握该概念的理论和实践。
二、向量的数量积的定义向量的数量积是指两个向量之间的乘积，通常表示为$\vec{a}\cdot\vec{b}$，读作“a点b”。
它的运算法则有如下两种：1. $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cos\theta$，其中$|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$ 分别表示向量$\vec{a}$ 和$\vec{b}$ 的模长，$\theta$ 表示两向量之间的夹角。
2. $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n$，其中$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 分别为向量 $\vec{a}$ 和$\vec{b}$ 在坐标系中的分量。
通过上述两个公式，我们可以灵活地计算向量的数量积，从而进一步探究向量的性质和应用。
三、向量的数量积的几何意义向量的数量积有很重要的几何意义。
首先，根据公式$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cos\theta$，我们可以得到一个结论：当两向量夹角为 $90^\circ$ 时，它们的数量积为 0。
这意味着，两个垂直的向量的数量积为 0。
其次，向量的数量积还可以用于求解两个向量之间的夹角。
具体地，根据 $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cos\theta$，我们可以得到如下公式：$\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$通过这个公式，我们可以计算出两个向量之间的夹角 $\theta$。
向量数量积的概念 导学案- 高一数学人教B版(2019)必修第三册
课 题 向量数量积的概念 课 型 新授课 学习目标 知识技能：1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功. 2.掌握两个向量的夹角的定义.过程方法：情感、态度、价值观：理解向量的投影与向量数量积的几何意义．学科核心素养：重点难点 重点： 难点：掌握向量数量积的定义和性质学法指导学 习 活 动调控手段 备 注 一、预学案（自主探究）知识点一 两个向量的夹角1.给定两个非零向量a ，b ，在平面内任选一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则称[0，π]内的 为向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉．(1)〈a ，b 〉的取值范围是[0，π]．(2)〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉．2．当〈a ，b 〉＝π2时，称向量a 与向量b 垂直，记作a ⊥b ，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．知识点二 数量积的定义一般地，当a 与b 都是非零向量时，称|a ||b |cos 〈a ，b 〉为向量a 与b 的数量积(也称内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(1)两个非零向量的数量积a ·b 是一个实数．可以是正数，也可以是0，还可以是负数．(2)当a 与b 至少有一个是零向量时，a ·b ＝0.二、教学案（合作学习）1.预习成果展示1．a 与b 的数量积a ·b 是一个向量．( )2．已知a ·b ＝0，那么a 与b 有可能不垂直．( )3．a 在b 上的投影一定是正数．( )4．若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角．( ) 2.合作探究：例1 已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.训练1 如图，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：(1)AD →·BC →；(2)AB →·DA →.例2 (1)已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________．训练2 在△ABC 中，|AB →|＝3，|BC →|＝4，AB →·BC →＝－6，则∠B ＝________.例3 (1)已知|a |＝8，|b |＝2，〈a ，b 〉＝120°，则向量a 在b 上的投影为( )A ．2B ．－2C ．2bD ．－2b训练3 已知a ·b ＝－9，a 在b 上的投影的数量为－3，b 在a 上的投影的数量为－32，求a 与b 的夹角． 3.板书设计(小结）：三、习题案（达标检测）A1．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°，则a ·b 等于( )A ．－6B ．6C ．－6 3D ．6 3B2．已知|a |＝9，|b |＝62，a ·b ＝－54，则a 与b 的夹角θ为( )A ．45°B ．135°C ．120°D ．150°C3．已知|a |＝6，|b |＝3，〈a ，b 〉＝150°，则向量b 在a 上的投影的数量为( )A ．2 3B ．－2 3 C.332 D ．－332四、学习反思。
高一人教B版数学必修四寒假导学案：板块九 向量的分解、运算、向量的数量积
第九讲向量的分解与向量的坐标运算板块九向量的分解、运算、向量的数量积基础知识1．平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个的向量,那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1,a2,使a＝。
2．基底把向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为｛e1，e2｝．叫做向量a关于基底｛e1，e2｝的分解式．3．直线的向量参数方程式已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点（如图所示),对直线l上一点P,存在唯一的实数t满足向量等式错误!＝，反之，对每一个实数t，在直线l上都有的一个点P与之对应．向量等式错误!＝叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称．4．线段中点的向量表达式在向量等式错误!＝（1－t)错误!＋t错误!中，若t＝12，则点P是AB的中点，且错误!＝，这是线段AB 的中点的向量表达式.[典型例题]例1已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b ＝－2e1＋e2,c＝7e－4e2，试用向量a和b表示c.变式如图所示，在平行四边形ABCD中,M，N 分别为DC，BC的中点，已知错误!＝c，错误!＝d，试用c，d表示错误!，错误!.例2 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB ＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若错误!＝a,错误!＝b，试用a、b表示错误!、错误!、错误!.变式如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E,F为BC的三等分点，若错误!＝a，错误!＝b，用a、b表示错误!、错误!、错误!.例3 如图,在△OAB 中,OC →＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，AD 与BC 交于点M ，设错误!＝a ，错误!＝b ，以a ,b 为基底表示错误!。
变式 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中心的点B 的对称点，错误!＝2错误!，DC 和OA 交于点E ，设错误!＝a ，错误!＝b 。
（1)用a 和b 表示向量错误!、错误!；（2）若错误!＝λ错误!，求实数λ的值．课堂练习一、基础过关1． 设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋ke 2 （k ∈R）与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( )A．k＝0 B．k＝1C．k＝2 D．k＝错误!2．已知点B的坐标为(m，n)，错误!的坐标为(x,y）,则点A的坐标为( )A．（m－x，n－y) B．（x－m,y－n）C．(m＋x，n＋y) D．（m＋n，x＋y)3．已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且错误!、错误!、错误!、错误!满足等式错误!＋错误!＝错误!＋错误!，则四边形ABCD是（)A．平行四边形B．菱形C．梯形D．等腰梯形4．已知向量a、b，且错误!＝a＋2b，错误!＝－5a＋6b，错误!＝7a－2b,则一定共线的三点是( ）A．B、C、D B．A、B、CC．A、B、D D．A、C、D5．已知A、B、P三点共线，O为平面内任一点，若错误!＝λ错误!＋2错误!，则实数λ的值为________．6．设e1，e2是两个不共线的向量,关于向量a，b有①a＝2e1，b＝－2e1;②a＝e1－e2,b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－错误!e2，b＝e1－错误!e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2。
人教版高一数学必修第三册《向量数量积的运算律》教案及教学反思
人教版高一数学必修第三册《向量数量积的运算律》教案及教学反思一. 教学目标1.理解向量数量积的定义2.掌握向量数量积的运算法则3.能够应用向量数量积的运算法则解决实际问题二. 教学内容1.向量数量积的定义2.向量数量积的运算法则3.向量数量积的应用三. 教学过程及方法1.教学方法：讲解与实验结合2.教学过程：1. 向量数量积的定义向量数量积是指将两个向量相乘后所得到的一个数，用符号 $a \\cdot b$ 表示。
向量数量积的计算公式为 $a \\cdot b=|a| \\cdot |b| \\cdot \\cos \\theta$，其中|a|,|b|分别表示向量a,b的模，$\\theta$ 表示a与b之间夹角。
2. 向量数量积的运算法则(1) 交换律对于任意向量a,b，都有 $a \\cdot b=b \\cdot a$。
(2) 结合律对于任意向量a,b,c，都有 $(a \\cdot b) \\cdot c=a\\cdot(b \\cdot c)$。
(3) 分配律对于任意向量a,b,c，都有 $a \\cdot(b+c)=a \\cdot b+a \\cdot c$。
3. 向量数量积的应用应用向量数量积的运算法则可以解决很多实际问题，例如：例1：已知 $\\vec a =(-1,2)$， $\\vec b=(3,4)$，求 $\\vec a \\cdot \\vec b$。
解：利用向量数量积的计算公式，有$$ \\vec a \\cdot \\vec b = | \\vec a | \\cdot |\\vec b | \\cdot \\cos \\theta $$其中 $\\theta$ 为 $\\vec a$ 与 $\\vec b$ 之间的夹角。
由向量的数量积公式可得$$ \\vec a \\cdot \\vec b = (-1) \\cdot 3 + 2\\cdot 4=5 $$所以 $\\vec a \\cdot \\vec b=5$。
高中数学《空间向量的数量积运算》公开课优秀教学设计
《空间向量的数量积运算》教学设计与反思一、教学内容解析向量是一种重要的数学工具，是沟通代数（数）和几何（形）的桥梁.空间向量为处理立体几何问题提供了一个新的视角，是解决空间中图形位置关系与度量问题的有效手段.对实数的研究经验告诉我们：只要引进一种新的数，就要研究关于它的运算；引进一种新的运算，就要研究相应的运算律.空间向量的数量积运算，是人教社A 版数学《选修2-1》中继空间向量的加减法、数乘运算之后的又一种运算，是又一个从平面到空间推广的实例.学生在学习过程中，充分体验类比、归纳的数学学习方式，深刻理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础.高中数学中的多个核心素养贯穿本节课始终，数学运算素养、逻辑推理素养尤为凸显，因此本节课的教学过程是核心素养落地生根的过程，是一次知识、方法、思想、素养的融会贯通之旅。
二、教学目标设置根据《数学课程标准》总体设计思路，结合本章内容的教学构思和学情，制定教学目标如下：1.通过小组合作、自主探究、交流分享，在类比中归纳得出：空间任意两个向量都是共面的，空间任意两个向量的数量积就是平面向量的数量积；学生能进一步理解和掌握空间向量数量积的相关概念及运算.2.经历例1、2的分析、求解过程，学生能初步体验空间向量在解决立体几何有关问题中的重要价值，能基本掌握用数量积处理空间中线线、线面垂直问题.3.在解决具体问题的过程中，学生能强化数学应用意识，感悟数学思想（数形结合、化归转化等）的魅力.三、学生学情分析学生在经历空间向量的概念及线性运算之后，已初步感受到空间向量与平面向量之间的内在联系，能体会并运用类比的方法学习空间向量及其运算，明白了“空间任意两个向量都是共面的”；在平面向量的学习中，已经认识到平面向量的数量积在判定位置关系（垂直）、角与距离的计算中的应用价值，这为研究空间位置关系及相关度量提供了类比前提.即在平面向量的夹角和向量长度概念的基础上，类比引入空间向量的夹角、长度的概念和表示方法，类比平面向量的数量积的运算得到空间两个向量的数量积运算、运算律及其应用价值.空间向量的投影以及数量积的分配律，代数形式上与平面向量中完全一样，但是在几何直观上又有些许不同.这是学生在类比归纳中的一个难点，需要适时铺垫引导，逐个突破.数量积在解决立体几何中直线和平面垂直、直线和直线垂直等问题的过程中，学生对几何元素与空间向量之间的对应及如何用空间向量表示所涉及的几何元素困难较大，这是将立体几何问题转化为空间向量问题的关键.基于教学内容和学情分析，本节课的重点和难点确定如下：重点：通过类比归纳得出空间向量数量积运算的概念及运算律，在运用数量积运算解决空间垂直问题的过程中感悟数量积运算及运算律的重要价值.难点：理解空间向量的投影以及数量积的分配律；用空间向量表示几何元素并建立几何与向量的联系，将立体几何问题转化为向量计算问题；深刻体会“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷！”.四、教学策略分析王家瑾教授提出的师生课堂互动模型，对教学的启示是在教学中教师、学生和教学内容之间必须建立联系，形成互动，达成协调，才能共同达到最佳状态，取得满意的教学效果。
向量数量积的运算律 导学案- 高一数学人教B版(2019)必修第三册
课 题 向量数量积的运算律 课 型 新授课 学习目标知识技能：1.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式.2.会利用向量的数量积证明垂直、求向量的夹角、模(长度)等．过程方法：导学式情感、态度、价值观：培养学生的理解能力 学科核心素养：运算规律。
重点难点 重点： 难点：会利用向量的数量积证明垂直、求向量的夹角、模(长度)等学法指导学 习 活 动调控手段 备 注 一、预学案（自主探究） 知识点 向量数量积的运算律1．向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(数乘结合律)．(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．2．向量数量积的运算性质多项式乘法向量数量积 (a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 (a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2 (a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2二、教学案（合作学习）1.预习成果展示1．λ(a ·b )＝λa ·λb .( )2.AB →·AC →＋AB →·CD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AD →.( )3．若(λa )·b ＝0，则a ⊥b .( )4．|a |2－|b |2＝(a ＋b )·(a －b )．( ) 2.合作探究：例1 (1)已知|a |＝4，|b |＝7，且向量a 与b 的夹角为120°，求(2a ＋3b )·(3a －2b )．训练1 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，∠BAC ＝60°，点E ，F 满足AE →＝2EB →，AC →＝2FC →，点D 为BC 的中点．求EF →·AD →.例2 (1)已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，则|3a ＋b |＝________.(2)设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m的夹角训练2 已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，求a 与a －b 的夹角．例3 已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94训练3 已知向量a ，b ，且|a |＝1，|b |＝2，(a ＋2b )⊥(3a －b )，求向量a 与b 夹角的大小．3.板书设计(小结）：三、习题案（达标检测）A1．设e 1和e 2是互相垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2，b ＝－3e 1＋4e 2，则a ·b等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．22．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．5 B3．在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，M 为BC 上一点，且BM→＝2MC →，则AM →·NM →等于( )A ．48B ．36C ．24D ．124．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ·b ＝1，则向量a 与a －b 的夹角为________．C5．已知向量a ·b 满足|a |＝3，|b |＝4，且|a ＋b |＝|a －b |，则|2a －3b |＝________.四、学习反思。
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6.2.4平面向量的数量积2课时向量数量积的运算律导学案【学习目标】1.了解数量积的运算律2.会用向量数量积的公式解决相关问题．【自主学习】知识点1 向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量．(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇒a·b＝0且a·b＝0⇒a⊥b；(3)a·a＝|a|2或|a|＝a2；(4)cos〈a，b〉＝a·b |a||b|；(5)|a·b|≤|a||b|.知识点2 向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．【合作探究】探究一 向量的数量积的运算律【例1】已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，试求：(1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(a －b )；(3)(2a －b )·(a ＋3b )．[分析] 根据数量积、模、夹角的定义以及数量积的运算，逐一进行计算即可．[解] (1)a·b ＝|a |·|b |cos120°＝2×3×(－12)＝－3. (2)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－a ·b ＋a ·b －b 2＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝4－9＝－5.(3)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋6a ·b －a ·b －3b 2＝2|a |2＋5a ·b －3|b |2＝2×4－5×3－3×9＝－34. 归纳总结：求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.【练习1】已知向量a 与b 的夹角为3π4，且|a |＝2，|b |＝2，则a ·(2a ＋b )等于 . 答案：2解析：a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝4－2＝2.探究二 向量的模【例2】已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝1，则|a －3b |＝________.[答案] 10[分析] 利用模的公式和数量积的运算律进行求解．[解析] 因为a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝1，所以|a －3b |＝(a －3b )2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝12＋9×12＝10.归纳总结：(1)要求几个向量线性运算后的模，可先求其平方，利用数量积的计算易解.(2)已知两个向量线性运算后的模求某个向量的模，可把条件平方后化为所求目标的方程求解.【练习2】已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝ . 答案：3解析：因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3.探究三 向量的夹角【例3】已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A.π3B.π2C.2π3D.5π6[答案] C[分析] 利用向量垂直的判定和数量积公式进行求解．[解析] 设a ，b 夹角为θ，由题意，得a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝0，即a ·b ＝－2a 2，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－2a 24|a |2＝－12，所以θ＝2π3. 归纳总结：求两向量a ，b 的夹角，通常借助于公式||||cos b a ab =θ计算【练习3】设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．答案：(－7，－142)∪(－142，－12) 解：由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，得cos θ＝(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，化简得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12. 当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角．设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－14t ＝－142. ∴所求实数t 的取值范围是(－7，－142)∪(－142，－12)． 探究四 向量垂直的判定【例4】已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？答案：k ＝1415[分析] 利用向量垂直的性质，由(k a －b )·(a ＋2b )＝0可求出．[解] ∵(k a －b )⊥(a ＋2b )，∴(k a －b )·(a ＋2b )＝0，k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，k ×52＋(2k －1)×5×4×cos60°－2×42＝0，∴k ＝1415，即k 为1415时，向量k a －b 与向量a ＋2b 垂直．归纳总结：解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a ⊥b ⇔,a ·b ＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.【练习4】P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案：D解析：由P A →·PB →＝PB →·PC →得PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，∴PB ⊥CA .同理P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴P 为△ABC 的垂心．探究五 向量数量积的综合应用【例5】在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a·b ＝b·c ＝c·a ，试判断△ABC 的形状．答案：等边三角形[分析] 易知a ＋b ＋c ＝0，分别将a 、b 、c 移至等号右边，得到三个等式，分别平方后选取两个等式相减，即可得到a 、b 、c 中两个向量的长度之间的关系．[解] 在△ABC 中，易知AB →＋BC →＋CA →＝0，即a ＋b ＋c ＝0，因此a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c ，从而⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2＝(－c )2，(a ＋c )2＝(－b )2， 两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2，则2b 2＋2(a ·b －a ·c )＝2c 2，因为a ·b ＝c·a ＝a·c ，所以2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b |，故|AB →|＝|BC →|＝|CA →|，即△ABC 是等边三角形．归纳总结：依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向.【练习4】若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC的形状为( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案：B解析：OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，于是|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2，即AB →·AC →＝0，从而AB ⊥AC ，故△ABC 为直角三角形.课后作业A组基础题一、选择题1．下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A．1 B．2 C．3 D．4答案C解析①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|·cos θ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2，选C. 2．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b等于()A．1 B．2 C．3 D．5答案A解析|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.3．已知|a|＝1，|b|＝2，且a＋b与a垂直，则a与b的夹角是()A．60° B．30°C．135° D．45°答案C解析∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－a2＝－1，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－11×2＝－22.∴〈a ，b 〉＝135°.4．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 C解析 设向量a 与b 的夹角为θ，∵c ⊥a ，∴c·a ＝0.又∵c ＝a ＋b ，∴(a ＋b )·a ＝0，即a 2＋b·a ＝0⇔|a |2＋|a||b |cos θ＝0.又∵|a |＝1，|b|＝2，∴cos θ＝－12.故θ＝120°.5．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝5，则|3a －b |等于( )A ．7B ．6C ．5D ．4答案 A解析 |3a －b |＝(3a －b )2＝9|a |2＋|b |2－6a ·b＝ 9＋25－6×5×⎝⎛⎭⎫－12＝49＝7.故选A.6．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于() A ．－32 B ．0C.32 D ．3答案 A解析 a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12.同理b·c ＝－12，c·a ＝－12， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32. 7．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形答案 B解析 ∵AB →＝DC →即一组对边平行且相等，AC →·BD →＝0即对角线互相垂直，∴四边形ABCD 为菱形．8．设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1.( )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定答案 B解析 |b ＋t a |2＝b 2＋2a ·b ·t ＋t 2a 2＝|a |2t 2＋2|a |·|b |cos θ·t ＋|b |2.因为|b ＋t a |min ＝1，所以4|a |2·|b |2－4|a |2·|b |2cos 2θ4|a |2＝|b |2(1－cos 2θ)＝1.所以|b |2sin 2θ＝1，所以|b |sin θ＝1，即|b |＝1sin θ.即θ确定，|b |唯一确定． 二、填空题9．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________.答案 －8或5解析 由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝510．已知|a |＝3，|b |＝4，求|a －b |的取值范围________． 答案 [1,7]解析 方法一 ∵||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |， ∵1≤|a －b |≤7，即|a －b |的取值范围是[1,7]．方法二 设θ为两向量a ，b 的夹角，则θ∵[0，π]． ∵|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos θ＝25－24cos θ， ∵|a －b |2∵[1,49]，∵|a －b |∵[1,7]．11．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________． 答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ， 则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0， ∴|AB →|＝12.三、解答题12．已知非零向量a ，b ，满足|a |＝1，(a －b )·(a ＋b )＝12，且a ·b ＝12.(1)求向量a ，b 的夹角； (2)求|a －b |.解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝12，∴a 2－b 2＝12，即|a |2－|b |2＝12；又∵|a |＝1，∴|b |＝22.∵a ·b ＝12，∴|a |·|b |cos θ＝12，∴cos θ＝22，∴向量a ，b 的夹角为45°. (2)∵|a －b |2＝(a －b )2＝|a |2－2|a ||b |cos θ＋|b |2＝12，∴|a －b |＝22.13．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是π3，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 的夹角是π3，∴m·n ＝|m||n |cos π3＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2 ＝4×1＋9×1－12m·n＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2 ＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则 cos θ＝a·b|a||b |＝－727×7＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.14．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.解 (1)(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 解得a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，又0≤θ≤π， ∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13， ∴|a ＋b |＝13.|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝37. ∴|a －b |＝37.15．已知非零向量a ，b ，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角． 解 由向量垂直得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b ＝15b 2，7a 2－30a ·b ＝－8b 2， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝12|b |2，|a |＝|b |，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12|b |2|b |2＝12，∴a 与b 的夹角为π3.B 组 能力提升一、选择题1.已知向量(1,1)a =，6=b ，且a 与b 的夹角为56π，则a b +=（ ）A B ．2C D ．14【答案】A【解析】(1,1)a =，211a =+∴=又6=b ，且a 与b 的夹角为56π，所以cos 32a b a b θ⎛==-=- ⎝⎭2222a b a a b b ∴+=++=+=故选：A2.设R λ∈，若单位向量1e ，2e 满足：12e e ⊥12e +与12-e e λ的夹角为3π，则λ=（ ）A B ．C D ．1【答案】A【解析】由题意得，11e =，21e =，120e e ⋅=，12e +与12-e e λ的夹角为3π，得)()221212112122333e e e e e e e e e λλλλ⋅=+--⋅+⋅-=，122e +=，12-1e e λ=+则)()12121212cos33e e e e e e e πλλλ⋅==+-+-=，所以λ=.故选：A. 3.在边长为3的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，2AM MB =，则DM DB ⋅=（ ） A ．172 B ．-1C ．152D ．92【答案】C【解析】2()()()3DM DB AM AD AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭22222525π153333cos 333332AB AD AB AD =+-⋅=⨯+-⨯⨯=. 故选:C .4．已知平面上三点A ,B ,C 满足6AB =,8AC =,10BC =,则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=( )A ．48B ．48-C ．100D ．100-【答案】D【解析】6AB =,8AC =,10BC =∴222||||||AB AC BC +=故ABC ∆为直角三角形,且90BAC ︒∠=∴0AB AC ⋅=∴AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅ AB BC BC CA =⋅+⋅()2100BC CA AB BC CB BC =-=⋅+=⋅=-故选:D.5.（多选）下列命题中，结论正确的有（ ） A ．00a ⨯=B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若//AB CD ，则A ､B ､C ､D 四点共线；D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 为菱形. 【答案】BD【解析】对于A ，00a ⨯=，故A 错误；对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以2222||2a b a b a b a b +=++⋅=+，2222||2a b a b a b a b -=+-⋅=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；对于D ，在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，即AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 是菱形，故D 正确； 故选：BD6．（多选）若ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=，则下列结论正确的是( ) A ．90BOC ∠=° B ．90AOB ∠=︒ C ．45OB CA ⋅=- D ．15OC AB ⋅=-【答案】BD【解析】由于ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=，所以345OA OB OC +=-，两边平方并化简得2524250OA OB OA OB +⋅=⇒⋅=，354OA OC OB +=-，两边平方并化简得33430165OA OC OA OC +⋅=⇒⋅=-， 453OB OC OA +=-，两边平方并化简得4414095OB OC OB OC +⋅=⇒⋅=-.所以90BOC ∠≠°，A 选项错误；90AOB ∠=︒，B 选项正确.()45OB CA OB OA OC OB OA OB OC ⋅=⋅-=⋅-⋅=，C 选项错误. ()431555OC AB OC OB OA OC OB OC OA ⎛⎫⋅=⋅-=⋅-⋅=---=- ⎪⎝⎭，D 选项正确.故选：BD二、填空题7．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________． 答案712解析 由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λA B →2＋AC→2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712.8.已知向量a ，b 满足||1a =，||2b =，且向量a ，b 的夹角为4π，若a b λ-与b 垂直，则实数λ的值为 .【解析】根据a b λ-与b 垂直得到（a b λ-）·b =0，所以20,12cos40,4a b b πλλλ⋅-=∴⨯⨯-=∴=. 9.已知,a b 是非零向量,满足()()2,2a b a b a b +⊥-⊥,则a 与b 的夹角是 .【答案】π3【解析】两个向量垂直，数量积为零，故()()22220220a b a a a b b a b b a b ⎧-⋅=-⋅=⎪⎨-⋅=-⋅=⎪⎩，两式相减可得a b =，故有2221π22cos 0,cos ,23a ab a a θθθ-⋅=-===.10.若两个向量,a b 的夹角是23π，a 是单位向量，2b =，2c a b =+，则向量c 与b 的夹角为 .【答案】3π 【解析】因为两个向量,a b 的夹角是23π，a 是单位向量，2b =， 可得22cos12cos 133a b a b ππ⋅=⋅=⨯⨯=-， 又由2c a b =+，所以222(2)44442c a b a a b b =+=+⋅+=-=，所以2(2)2242c b a b b a b b ⋅=+⋅=⋅+=-+=， 设向量c 与b 的夹角为θ，其中[0,]θπ∈，则21cos 222c b c bθ⋅===⨯⋅，可得3πθ=, 即向量c 与b 的夹角为3π. 11.已知向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=，则向量a 在向量b 上的投影为________. 【答案】1-【解析】向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=，可得2()16a b +=，2()36a b -=，即为22216a b a b ++=，22236a b a b +-=， 两式相减可得5a b =-，则向量a 在向量b 上的投影为515||a b b -==-． 故答案为：1-．C 组 挑战压轴题一、填空题1.已知||1OA =，3OB =，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且AOC 30∠=，设OC mOA nOB =+，(,)m n R ∈，则mn=__________． 【答案】3【解析】因为30AOC ∠=，所以3cos cos302OC OA AOC OC OA⋅∠===⋅，从而有22223||2OA n OB mn OA OB OA=++⋅⋅⋅．因为1,3,0OA OB OA OB ==⋅=，=，化简可得222334m m n =+，整理可得229m n =．因为点C在AOB ∠内，所以0,0m n >>，所以3m n =，则3mn= 2.如图，O 为△ABC 的外心，AB =AC =，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO ⋅等于___________.【答案】2【解析】如图，取,AB AC的中点,D E ，可知,OD AB OE AC ⊥⊥，因为M 是边BC 的中点，所以1()2AM AB AC =+,1()2AM AO AB AC AO ⋅=+⋅1122AB AO AC AO =⋅+⋅ AD AO AE AO =⋅+⋅,由数量积的定义可得cos ,AD AO AD AO AD AO ⋅=,因为cos ,AO AD AO AD =，所以22524AD AO AD ⎛⎫⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭，同理可得22324AE AO AE ⎛⋅===⎝⎭， 所以53244AD AO AE AO ⋅+⋅=+=， 2AM AO =⋅，3.如图，等腰三角形ABC ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒．E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，且满足AE mAB =，AF nAC =，其中m ，(0,1)n ∈，1m n +=，M ，N 分别是EF ，BC 的中点，则||MN 的最小值为_____.【答案】12【解析】MN AN AM =-11()()22AB AC mAB nAC =+-+11(1)(1)22m AB n AC =-+-∴22222111(1)(1)(1)(1)442MN m AB n AC m n AB AC=-+-+--22(1)(1)(1)(1)m n m n =-+----；1m n +=，1n m ∴=-，代入上式得：222(1)(1)MN m m m m =-++-2331m m =-+2113()24m =-+；(0,1)m ∈；∴12m =时，2MN 取最小值14；||MN ∴的最小值为12．故答案为：12． 4.在面积为1的平行四边形ABCD 中，6DAB π∠=，则AB BC ⋅=___________；点P 是直线AD 上的动点，则22PB PC PB PC +-⋅的最小值为___________.【解析】∵平行四边形ABCD 的面积为1，即sin 1AB AD DAB ⋅∠=， ∴2AB AD ⋅=，故cos 2AB BC AB BC DAB ⋅=⋅∠== ()2222PB PC PB PC PC PB PB PC BC PB PC +-⋅=-+⋅=+⋅，取BC 的中点Q ，连接PQ ，则2PB PC PQ +=，()()2214PB PC PB PCPB PC ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦， ∴()()2222221344PB PC P BC PB PC BC BC P P Q B C ⎡⎤+--=⎢⎥⎣+⋅++⎦=22333ABCD S BC PQ BC PQ ≥=⋅≥=⋅四边形， 此时PQ BC ⊥，3PQ BC =，5.设非零向量a ，b ，c ，满足2a b a ⋅=，2c a b =+，则⋅⋅b c b c的最小值是________．【答案】2【解析】设=a a ，(0,0)=>>b b a b ，22222)22（∴⋅=⋅+=+=+b c b a b a b a b ， 228=+=+c a b a所以，228⋅==⋅a b cb c b（令a t b =）=2≥==（仅当12==a t b 时取等号） 则⋅⋅b c b c的最小值是2.。