椭球面参数方程的推导详解
椭圆的参数方程和极坐标方程总结
椭圆的参数方程和极坐标方程总结
椭圆是一种常见的二维图形，描述了一个平面上到两个定点的距离之和为常数的点的集合。
本文将总结椭圆的参数方程和极坐标方程。
1. 椭圆的参数方程
椭圆的参数方程表示了椭圆曲线上的点随一个参数的变化而变化的轨迹。
椭圆的参数方程可以表示为：
x = a * cos(t)
y = b * sin(t)
其中，`a`和`b`分别为椭圆的两个半轴长度，`t`为参数。
参数`t`的取值范围通常为`0`到`2π`，表示椭圆曲线的一个周期。
2. 椭圆的极坐标方程
椭圆的极坐标方程描述了椭圆上的点相对于一个原点的极坐标表示。
椭圆的极坐标方程可以表示为：
r = (a * b) / sqrt((b * cos(theta))^2 + (a * sin(theta))^2)
其中，`r`为点相对于原点的距离，`theta`为点相对于正半轴的极角。
3. 椭圆的性质和应用
椭圆具有许多有趣的性质和应用。
以下是一些常见的性质和应用：
- 椭圆是一个闭合的曲线，且具有对称性。
椭圆的两个焦点和每个点到两个焦点的距离之和为常数。
- 椭圆在几何光学中有重要应用，例如实现椭圆镜、椭圆透镜等。
- 椭圆在数学分析、物理学和工程学中广泛应用，例如描述行星轨道、电子轨道等。
总结：本文介绍了椭圆的参数方程和极坐标方程，以及椭圆的一些性质和应用。
通过理解椭圆的方程和性质，可以更好地应用和理解椭圆在各个领域的应用。
椭球面参数方程的推导及其参数的几何意义
椭球面参数方程的推导及其参数的几何意义椭球面是一个在三维空间中的几何体，它具有特定的形状和参数。
本文将从推导椭球面的参数方程开始，然后解释这些参数的几何意义。
椭球面的参数方程可以通过以下推导得到。
假设椭球面的中心位于原点，其长轴长度为a，短轴长度为b，且a>b。
令x、y、z分别为椭球面上一点的三个坐标值，那么根据椭球面上的点到原点的距离等于长轴半径，可以得到以下表达式：x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1其中c是椭球面的极轴半径，满足c^2 = a^2 - b^2。
将这个方程进行整理，可以得到椭球面的参数方程：x = a * cosθ * sinφy = b * sinθ * sinφz = c * cosφ其中θ和φ分别是椭球面上一点的两个参数，θ的取值范围是[0,2π]，φ的取值范围是[-π/2,π/2]。
通过这个参数方程，我们可以确定椭球面上的每个点的坐标。
接下来，我们来解释这些参数的几何意义。
首先，θ表示点在椭球面上的经度，也就是从椭球面的中心指向点的线段与x轴的夹角。
通过改变θ的值，可以改变点在椭球面上的水平位置。
当θ等于0或2π时，点位于椭球面上的长轴的正半轴上；当θ等于π时，点位于椭球面上的长轴的负半轴上。
φ表示点在椭球面上的纬度，也就是从椭球面的中心指向点的线段与z轴的夹角。
通过改变φ的值，可以改变点在椭球面上的垂直位置。
当φ等于π/2时，点位于椭球面的北极上；当φ等于-π/2时，点位于椭球面的南极上。
a、b和c是椭球面的三个主轴的长度。
其中，长轴a对应于θ参数的取值范围，它决定了椭球面的水平方向的大小；短轴b对应于φ参数的取值范围，它决定了椭球面的垂直方向的大小；极轴半径c 则决定了椭球面在垂直方向上的形状。
总结起来，椭球面的参数方程可以通过推导得到，其中的参数θ和φ分别表示点在椭球面上的经度和纬度。
这些参数的取值范围和椭球面的主轴长度决定了椭球面的形状和大小。
椭圆的参数方程和极坐标方程
椭圆的参数方程和极坐标方程
参数方程：
椭圆的参数方程可以表示为：
x = a * cos(t)
y = b * sin(t)
其中，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半长轴长度，t是参数，范围一般取[0, 2π)。
参数方程描述了椭圆上每个点的坐标，通过不同的参数值t，可以得到椭圆上的所有点。
极坐标方程：
椭圆的极坐标方程可以表示为：
r = (a * b) / sqrt((b * cos(theta))^2 + (a * sin(theta))^2)
其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴长度，r是点到原点的距离，θ是点
的极角。
极坐标方程描述了椭圆上每个点的极坐标，通过不同的极角θ，可以得到椭圆上的所有点。
椭球面的几何定义及参数方程的推导
椭球面的几何定义及参数方程的推导椭球面是一种特殊的曲面，其几何定义及参数方程的推导如下。
椭球面是一个三维空间中的曲面，它的形状类似于一个椭球。
在数学上，椭球面可以由一个固定点（焦点）F1、F2和到这两个焦点的长度之和为常数的点P构成。
这个常数称为椭球面的离心率，记为e。
当离心率e=0时，椭球变成一个球体；当0<e<1时，椭球的形状变得扁平；当e=1时，椭球变成一个圆柱面；当e>1时，椭球的形状变得尖锐。
为了推导椭球面的参数方程，我们可以先考虑一个二维平面上的椭圆。
椭圆可以由一个固定点（焦点）F和到焦点的长度之和为常数的点P构成。
设椭圆的焦点为F1(-c,0)和F2(c,0)，以及椭圆上的一点P(x,y)。
根据椭圆的定义，有PF1+PF2=2a，其中2a为椭圆的长轴长度。
根据点到点的距离公式，可以得到PF1的长度为√((x+c)^2+y^2)，PF2的长度为√((x-c)^2+y^2)。
将这两个长度相加，得到PF1+PF2=√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)。
根据椭圆的定义，有PF1+PF2=2a，所以我们可以得到以下方程：√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a。
将上述方程进行整理，得到：[(x+c)^2+y^2]+[(x-c)^2+y^2]+2√((x+c)^2+y^2)√((x-c)^2+y^2)=4a^2。
继续整理，得到：2x^2+2c^2+2y^2+2√((x+c)^2+y^2)√((x-c)^2+y^2)=4a^2。
化简方程，得到：x^2/a^2+y^2/(a^2-c^2)=1。
将上述方程与三维空间中的椭球面进行对比，可以发现它们的参数方程非常相似。
对于三维空间中的椭球面，我们可以将上述参数方程的x、y替换为三维坐标系中的x、y、z，得到最终的椭球面的参数方程：x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1。
其中，a、b、c分别为椭球面在x、y、z轴上的半轴长度。
椭圆标准方程 参数方程
椭圆标准方程参数方程椭圆是平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（a＞|F1F2|）的动点P的轨迹。
F1、F2称为椭圆的焦点，线段F1F2的长度2c称为椭圆的焦距。
设O为坐标原点，x轴的正方向与F1F2的延长线的方向重合，椭圆的中心C为原点O，椭圆的长轴与x轴的正方向重合，则椭圆的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]其中a＞b＞0。
参数方程是指用参数方程表示的函数方程，参数方程是用参数形式表示的函数方程。
对于椭圆的参数方程，我们可以采用以下形式：\[x = a \cos t\]\[y = b \sin t\]其中t为参数。
接下来，我们将分别从标准方程和参数方程两个方面来详细介绍椭圆的相关知识。
首先，我们来看标准方程。
对于椭圆的标准方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a和b分别代表椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
当a＞b时，椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上；当a＜b时，椭圆的长轴在y轴上，短轴在x轴上。
而椭圆的离心率e的计算公式为\(e = \frac{c}{a}\)，其中c为焦距。
根据离心率的不同，椭圆可以分为圆形（e=0）、椭圆（0＜e＜1）、抛物线（e=1）和双曲线（e＞1）四种情况。
接下来，我们来看参数方程。
椭圆的参数方程为\[x = a \cos t, y = b \sin t\]，其中t为参数。
通过参数方程，我们可以用参数t的变化来描述椭圆上的点的位置。
当参数t在0到2π之间变化时，椭圆上的点将被完整地描述出来。
参数方程的优点在于可以直观地描述曲线的形状，并且便于进行曲线的分析和计算。
在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择使用椭圆的标准方程或参数方程来进行相关计算和分析。
对于不同的问题，选择合适的表示方式可以使问题的解决更加简洁和直观。
综上所述，椭圆的标准方程和参数方程是描述椭圆的重要数学工具，它们分别从代数和几何的角度描述了椭圆的形状和特征。
椭球面参数方程的推导详解
椭球面参数方程的推导详解椭球面是一种三维空间中的曲面，可以由参数方程来描述。
参数方程的推导可以分为以下几个步骤：1.定义椭球体椭球体是一个由椭圆沿着其中的一个轴旋转一周所形成的曲面，可以用一个半长轴a和半短轴b来描述。
椭球的中心位于原点，且假设半长轴a大于半短轴b。
2.极坐标系的引入为了方便描述椭球面，我们引入极坐标系。
设椭球体的中心在原点O，选择椭球体的一个焦点F作为极坐标系的极点。
在极坐标系中，我们可以用极径r和极角θ来表示椭球面上的一点。
3.构造参数方程我们可以通过极径r和极角θ来构造椭球面上的点的坐标。
根据极坐标系的定义，椭球面上的一点坐标可以表示为：(x, y, z) = (f(rd)cosθ, f(rd)sinθ, g(rd)) (1)其中，f(rd)和 g(rd) 是关于极径r的函数，需要确定它们的表达式。
4. 求f(rd)和 g(rd) 的表达式我们知道，椭球面上的一点到焦点F和到椭球中心的距离之和等于椭球的半长轴a（即焦半径）。
根据勾股定理，可以得到：(rf(rd)cosθ)^2 + (rf(rd)sinθ)^2 + (g(rd))^2 = a^2 (2)另外，根据极坐标系和椭球的定义，有：rf(rd) = b/sqrt(1-(b^2/a^2)(rd)^2) (3)将式(3)代入式(2)可以得到：[r^2(b^2/a^2)(1-(b^2/a^2)(rd)^2)cos^2θ + r^2(b^2/a^2)(1-(b^2/a^2)(rd)^2)sin^2θ + (g(rd))^2] = a^2对上述等式进行化简，可以得到：(b^2/a^2)(1-(b^2/a^2)(rd)^2) + (g(rd))^2 = a^2/r^2 (4)整理式(4)，可以得到：(g(rd))^2 = a^2/r^2 - (b^2/a^2)(1-(b^2/a^2)(rd)^2)将式(3)和上式代入式(1)，可以得到参数方程：(x, y, z) = (b/sqrt(1-(b^2/a^2)(rd)^2)cosθ, b/sqrt(1-(b^2/a^2)(rd)^2)sinθ, a√(1-(b^2/a^2)(rd)^2)) (5)5.参数方程的意义式(5)即是椭球面的参数方程，它表示了椭球面上的一点坐标与极径r和极角θ之间的关系。
特别解析：椭圆的参数方程
特别解析：椭圆的参数方程一、复习焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b +=>>焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)y x a b a b+=>>二、椭圆参数方程的推导1. 焦点在x 轴上的椭圆的参数方程因为22()()1x y a b +=，又22cos sin 1ϕϕ+=， 设cos ,sin x ya bϕϕ==，即a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩，这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
2.参数ϕ的几何意义如图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作两个圆。
设A 为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B 。
过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(x, y)。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点A,B 均在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有：||cos cos x OA a ϕϕ==，||sin cos y OB b ϕϕ==。
当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是：a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩ ，这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
()ϕ为参数在椭圆的参数方程中，通常规定参数ϕ的范围为[0,2)ϕπ∈。
思考：椭圆的参数方程中参数ϕ的意义与圆的参数方程r cos y r sin x θθ=⎧⎨=⎩ 中参数θ的意义类似吗？由图可以看出，参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角（称为点M 的离心角），不是OM 的旋转角。
参数θ是半径OM 的旋转角。
3. 焦点在y 轴上的椭圆的参数方程2222y 1,b ax +=三、例题分析例1.把下列普通方程化为参数方程.把下列参数方程化为普通方程例2. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,求椭圆内接矩形面积的最大值.解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为(cos ,sin )a b θθ4cos sin 2sin22S a b ab ab θθθ=⋅=≤ 矩形()224k k Z S ab ππθ∴=+∈=矩形当时，最大。
椭球面参数方程的推导及其参数的几何意义
椭球面参数方程的推导及其参数的几何意义椭球面是一种基本的几何体，具有广泛的应用。
它可以描述很多物理现象，如行星、天体运动、电磁场分布等。
在数学上，椭球面的参数方程是一个二次方程，包含六个参数。
这篇文章将介绍椭球面参数方程的推导及其参数的几何意义。
椭球面的参数方程可以表示为：(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1其中，a、b、c分别是椭球面在x、y、z轴上的半轴长。
为了方便讨论，我们假设a > b > c，这样的一个椭球面被称为长轴在x轴上的椭球面。
首先，我们考虑椭球面上的一个点P，它的坐标为(x,y,z)。
由于P在椭球面上，所以它满足椭球面的方程：(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1我们将这个方程改写为：x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1然后，我们考虑将这个点P沿着x轴旋转一个角度θ，使得P’的坐标为(x’,y’,z’)。
我们可以通过矩阵变换来表示这个旋转： [x’ y’ z’ 1] = [1 0 0 0] [x y z 1] [cosθ sinθ 0 0] [0 -sinθ cosθ 0] [0 0 0 1]这个矩阵变换可以分解为三个步骤：(1)绕z轴旋转θ角度；(2)绕y轴旋转-90°；(3)绕x轴旋转90°。
这三个步骤的矩阵表示分别为：[cosθ sinθ 0 0] [-sinθ cosθ 0 0] [0 0 1 0] [0 -1 0 0] [0 0 0 1] [1 0 0 0] [0 0 1 0] [0 1 0 0] [0 0 0 1]我们将这三个矩阵相乘，可以得到整个矩阵变换的表示：[x’ y’ z’ 1] = [cosθ 0 -sinθ 0] [0 1 0 0] [sinθ 0 cos θ 0] [0 0 0 1] [1 0 0 0] [0 0 1 0] [0 -1 0 0] [0 0 0 1] [x y z 1]我们将这个变换应用到椭球面上的点P上，可以得到旋转后的点P’在新坐标系中的坐标。
椭圆的参数方程 (2)
椭圆的参数方程介绍椭圆是数学中一种重要的曲线，具有许多有趣和实际应用。
在本文档中，我们将讨论椭圆的参数方程，并探讨如何使用这些参数方程来描述和绘制椭圆。
参数方程的定义椭圆的参数方程是指将椭圆上的每一个点的坐标都用一个参数表示出来的方程。
当然，我们也可以使用直角坐标系下的方程来描述椭圆，但是参数方程更加灵活和方便。
椭圆的参数方程通常由以下两个参数表示：•a：椭圆的长轴长度的一半；•b：椭圆的短轴长度的一半。
参数方程的公式椭圆的参数方程的基本形式如下：x = a * cos(t)y = b * sin(t)在这里，参数t表示椭圆上的一个点的位置，取值范围一般是[0, 2π]或[-π, π]。
通过改变参数t的取值，我们可以得到椭圆上的所有点的坐标。
示例为了更好地理解椭圆的参数方程，我们通过一个具体的示例来展示如何求得椭圆上的点坐标。
假设我们有一个椭圆，长轴长度为6，短轴长度为4。
我们可以代入参数方程中的公式，得到椭圆上的点坐标。
让我们令a = 6，b = 4。
首先，我们取一些不同的t值，例如0，π/4，π/2，3π/4，π，并代入公式计算对应的点坐标：t = 0: (x, y) = (6 * cos(0), 4 * sin(0)) = (6, 0)t = π/4: (x, y) = (6 * cos(π/4), 4 * sin(π/4)) = (4.243, 2.829)t = π/2: (x, y) = (6 * cos(π/2), 4 * sin(π/2)) = (0, 4)t = 3π/4: (x, y) = (6 * cos(3π/4), 4 * sin(3π/4)) = (-4.243, 2.829)t = π: (x, y) = (6 * cos(π), 4 * sin(π)) = (-6, 0)通过以上计算，我们得到了椭圆上的五个点的坐标。
绘制椭圆使用参数方程可以方便地绘制椭圆。
我们可以在绘图软件或编程语言中使用这些参数方程来绘制椭圆。
椭球的几何参数与椭球面上有关数学性质
广义弧度测量方程式
sinL
新 新
N新
s(iNnBcHo)Ls (MH) coBscoLs
coLs
(NH) sinBsinL
(MH) coBssinL
0
coBs
(MH)
sinB
X0 Y0 Z0
旧
sinBcosL
sinBsinL cosBx
sinL
cosL
0y
N e2sin2BcosBsinLN e2sinBcosBcosL 0旧 z
x y
x L
（三）空间直角坐标系与大地坐标系的关系
在椭球面上的点：
X xcos L N cos Bcos L
Y xsin L N cos Bsin L
Z y N(1e2)sin B
不在椭球面上的点：
X (N H)cos Bcos L
Y
(N
H)cos
Bsin
L
Z [N(1e2) H]sin B
多点定位的方法过程（对于我国）
利用拉普拉斯点的成果和以有椭球参数求解
1)由广义弧度测量方程采用最小二乘法求椭球参数
采用IUGG 75椭球参数。
(X0 , Y0, Z0)
2)由广义弧度测量方程计算得到大地原点上的: K, K, K
大地原点处80椭球的垂线偏差ξK=-1.9″及ηK=-1.6″，高程 异常值差ζK=-14.2m。 忽略两种椭球坐标轴指向不平行的影
B
N
旧
其未知数是三个平移参数：△X0， △Y0，△Z0，三个旋转参数：εx，εy，
εz，一个尺度比参数m，及椭球大小和
形状参数△a，△α。通常，在实用上
舍去旋转和尺度比参数。
在每个天文大地点上都可以列出如上的弧度方程
最终 椭圆的参数方程
O B
M
x
a
所 以 M A O B 的 面 积 为 S Y M A O B = | O A | • | O B | s i n 2= coxsA•coxsBsin2
=a2(se4cc2 os-2tan2)•sin2=a22•tana22•baa2b.
由 此 可 见 ， 平 行 四 边 形 M A O B 的 面 积 恒 为 定 值 ， 与 点 M 在 双 曲 线 上 的 位 置 无 关 。
双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 ： ybx.
y
则 直 线 M A 的 方 程 为 ： y b t a n b a( x a s e c ) .
① A
将 y =bx 代 入 ① ， 解 得 点 A 的 横 坐 标 a 为
同 设理 A可 a Ox得 =， ,x点 则 A=B ta2（ 的 ans横 ec坐 b标 .t为 anx B ） = a 2 （ .s e c t a n） .
又 O A A A ', O A A A '= 0
oB
A' x
u u u r
A A '= ( x - a c o s, - a s i n)
b
由 又 三 a Q c 角 o 点 s 函 B '( 在 数 x 角 定 a 义 c 的 o 有 s 终 ： ) t边 a n上 ( a ， s in 记b y.) c2 o1 s0 ysbe解cta得 n： xx coa assec
解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则
y
A: (acosφ, a sinφ),
A
B: (bcosφ, bsinφ),
B
M
由已知:
x y
椭球面
y2 16
1与点M
1, 2
23
，
求这个椭圆面的方程
z 0
例2 P162 5
一直线分别交坐标面 yOz, zOx, xOy于 A, B,C三点，当直线变动时，直线上的
三定点 A, B,C也分别在三个坐标面上变动，另外直线上有第四个点 P，它与
A, B,C 三点的距离分别为 a,b, c，当直线按照这样的规定（即保持 A, B,C分别
三、椭球面的参数方程
数学科学学院
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x a cos cos
y
b
sin
sin
z c sin
2
,0
2thematical Science College
四、例题
数学科学学院
例1
x2 已知椭球面的轴与三坐标轴重合，且通过椭圆 9
§4.4 椭球面
椭球面的方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
椭球面
椭球面与 三个坐标面 的交线：
x2 a2
y2 b2
1,
z 0
x2 a2
z2 c2
1 ,
y
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
x
数学科学学院
z o
y
张 之 正 解析几何
Mathematical Science College
§4.4 椭球面
平行截割法： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用z = h截曲面 用y = m截曲面 用x = n截曲面
z
c
o a
数学科学学院
by
椭圆截面的大小随平面位置x的变化而变化，因此椭球面 可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生.
椭圆的参数方程 课件
y P
θ
O
A x
别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
焦点在x轴xy
a b
cos, sin.
焦点在y轴xy
b cos, a sin .
知识归纳 椭圆的标准方程:
x2 y2 1
a2 b2
椭圆的参数方程:
x y
acos bsin
(为参数)
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
（ 3 ）。 2
M B
A
利用几何画板动 画 演 示,理 解 椭 圆 规 工 作 原 理.
图2 9
探 究 椭 圆 规 是 用 来 画 椭 圆 的一 种 器 械,它 的 构 造 如 图2 9 所 示.在 一 个 十 字 形 的 金 属 板上 有 两 条 互 相 垂 直 的 导 槽,在 直 尺 上 有 两 个 固 定 滑块A, B,它 们 可 分 别 在 纵 槽 和 横 槽 中滑 动,在 直 尺 上 的 点M处 用 套 管 装 上 铅 笔, 使 直 尺 转 动 一 周 就 画 出一 个 椭 圆.你 能 说 明 它 的 构 造 原 理 吗?(提 示:可 以 用 直 尺AB和 横 槽 所 成 的 角 为 参 数,求 出 点M的 轨 迹 的 参 数 方 程.)
d
|
3
cos
4 sin
5
10
|
|
5
cos
3 5
sin 5
4 5
10
|
1 5
|
5 cos
0
10
|,
其中0满足cos0
3 5
, sin 0
4 5.
由三角函数性质知,当 0 0, d取最小值 5.
2.2.1椭圆的参数方程
参数 方程
消去参数 代入参数关系
普通 方程
第二章 参数方程 例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥OX，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为 M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系. 设∠XOA=θ
1
3
4
5
例
x2 y 2 3、设椭圆 a 2 b2 1(a b 0) 的左、右顶点分别为 A, B ，点 P
在椭圆上且异于 A, B 两点， O 为坐标原点. 若 |AP|=|OA| ， 证明：直线 OP 的斜率 k 满足 | k | 3 .
解：设 P(a cos , b sin )(0 2 ) , A(a,0) .由 | AP || OA | ， 有 (a cos a ) 2 (b sin ) 2 a ，即 a 2 cos2 2a 2 cos b2 sin 2 0 . 从而 1 cos 0, a2 cos2 2a2 cos b2 sin 2 a2 sin 2 .
（ 为参数） a b 0
表明
2a, 2b
分别是椭圆的长轴长与短轴长， 且焦点在 轴上，参数是椭圆 的离心角，不是旋转角，由例１ 可以可看出，利用椭圆的参数方 程解最值问题会比较简单．
x
第二章 参数方程 作业布置 1、预习课本P29－31《2.双曲线的参数方程》 2、完成课本P34 习题2.2 1、2 3、完成优化设计P23 题型一和题型二
Y y D
解 : 设A 10cos ,8sin
椭圆的参数方程
C、点 (1,3),D、点 (0,)
2
它的焦距是多少？
25
2、已知圆的方程为x2 y2 4x cos 2 y sin 3cos2 0, (为参数)，那么圆心的轨迹的普通
方程为____________________?
解：方x程 2 y2 4xcos 2ysin3co2s 0 可以化(为 x2cos)2 (ysin)2 1 所以圆心的参数{方x程2c为 os (为参数 )
从几何变换的角度看， 通过伸缩变换
x 1 x
{ y
a 1
则椭圆的方程 y
b
x2 a2
y2 b2
1可以变成
x 2＋ y 2 1 .利用圆的参数方程
{ x cos ( 为参数 )可以得到椭圆的参数 y sin
方程为
x {
a cos
y b sin
y
M
o
B
x
A
1、当参变 数化时，P动 (3c点 os,2sin)所
4 5
由三角函数性质知，当 －0＝0时，d取最小值5
此时3cos
3cos0
9 ,2sin
5
2sin0
8 5
所以，当点M位于(9, 8)时，点M与直线 55
x 2y 10 0的距离取最小值5。
3、设 P(x,y)是椭2x圆 23y2 12上的一个动 求x2y的取值范围。
解：椭圆的方程可化为 x2 y 2 1, 64
解：因为椭圆的参数方程为{x 3cos (为参数) y 2sin
所以可设点M (3cos,2sin )
由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离
3cos 4sin 10
几种主要的椭球公式
§6.3 几种主要的椭球公式过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面，法截面同椭球面交线叫法截线（或法截弧）。
包含椭球面一点的法线，可作无数多个法截面，相应有无数多个法截线。
椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于圆球的半径，而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。
6.3.1子午圈曲率半径子午椭圆的一部分上取一微分弧长ds DK =，相应地有坐标增量dx ，点n 是微分弧dS 的曲率中心，于是线段Dn 及Kn 便是子午圈曲率半径M 。
任意平面曲线的曲率半径的定义公式为：dBdS M = 子午圈曲率半径公式为：32)1(W e a M -= 3V c M = 或 2V N M = M 与纬度B 有关．它随B 的增大而增大，变化规律如下表所示：6.3.2卯酉圈曲率半径过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。
在图中E PE '即为过P 点的卯酉圈。
卯酉圈的曲率半径用N 表示。
为了推导N 的表达计算式，过P 点作以O '为中心的平行圈PHK 的切线PT ，该切线位于垂直于子午面的平行圈平面内。
因卯酉圈也垂直于子午面，故PT 也是卯酉圈在P 点处的切线。
即PT 垂直于Pn 。
所以PT 是平行圈PHK 及卯酉圈E PE '在P 点处的公切线。
卯酉圈曲率半径可用下列两式表示：W a N = Vc N = 6.3.3 任意法截弧的曲率半径子午法截弧是南北方向，其方位角为0°或180°。
卯酉法截弧是东西方向，其方位角为90°或270°。
现在来讨论方位角为A 的任意法截弧的曲率半径A R 的计算公式。
任意方向A 的法截弧的曲率半径的计算公式如下：AB e N A N R A 22222cos cos 1cos 1'+=+=η （7-87）6.3.4 平均曲率半径在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在一定范围内，把椭球面当成具有适当半径的球面。
4.4：椭球面1
2
2
2
x2 y2 2 2 1, b a z 0;
与已知椭圆
x2 y2 2 2 1, 9 16 z 0
比较知
a 9, b 16.
2 2
又因为椭球面通过点 M (1,2, 23 )，所以又有
1 4 23 2 1 9 16 c
容易知道两轴的端点分别在椭圆(2)与(3)上.
端点
h2 h2 a 1 ,0, h 与 0,b 1 2 , h , c2 c
2 2 2 x2 z2 1 y z 2 1 分别在主椭圆 (2) 上. , (3) 2 a c b c2 y0 x 0
它是一个长形旋转椭球面.
x2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c
而三轴相等的椭球面就是球面. a b c
x2 y 2 z 2 a2
所以旋转椭球面与球面都是椭球面的特例.由此可以 想到椭球面的大致形状. 椭球面当三轴不等时，叫做三轴椭球面.
下面继续讨论一般椭球面的形状特点.
对称性和顶点已经讨论
3.有界性
x2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c
（4.4-1）
因为椭球面(4.4-1)上任意一点的坐标 ( x, y, z )
总满足
x a, y b, z c,
z
因此椭球面完全 被封闭在一个 长方体的内部， 这个长方体由 六个平面：
x a, y b, z c
如果从(4.4-2)式中消去参数
, ,那么就得到标准方程.例 已ຫໍສະໝຸດ 椭球面的轴与坐标轴重合,且通过椭圆
x2 y2 1, z 0 与点 9 16
椭圆的标准方程的推导方法
椭圆的标准方程的推导方法1、回顾用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤：建系设点、写出动点满足的几何约束条件、坐标化、化简、证明等价性2、建立焦点在轴上的椭圆的标准方程①建系设点：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？——利用椭圆的对称性特征以直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．设焦距为，则．设为椭圆上任意一点，点与点的距离之和为．②动点满足的几何约束条件:③坐标化：④化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号预案一：移项后两次平方法分析的几何含义，令得到焦点在轴上的椭圆的标准方程为预案二：用等差数列法：设得4cx=4at，即t=将t=代入式得③将③式两边平方得出结论。
以下同预案一预案三：三角换元法：设得即即代入式得以下同预案一设计意图：进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神，感受数学的简洁美、对称美(3)建立焦点在轴上的椭圆的标准方程要建立焦点在轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何去做？此时要借助于化归思想，抓住图(1)与图(2)的联系即可化未知为已知，将已知的焦点在轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在轴上的椭圆的标准方程．只需将图(1)沿直线翻折或将图(1)绕着原点按逆时针方向旋转即可转化成图(2)，需将轴、轴的名称换为轴、轴或轴、轴．（1）（2）焦点在轴上的椭圆的标准方程为设计意图：体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复劳动(4)辨析焦点分别在轴、轴上的椭圆的标准方程的异同点区别：要判断焦点在哪个轴上，只需比较与项分母的大小即可．若项分母大，则焦点在轴上；若项分母大，则焦点在轴上．反之亦然．联系：它们都是二元二次方程，共同形式为两种情况中都有。