振动A
简谐振动的基本特征与计算
简谐振动的基本特征与计算简谐振动是一种重要的物理现象，广泛应用于机械、电子、光学等领域。
本文将介绍简谐振动的基本特征并讨论相关的计算方法。
一、简谐振动的定义与基本特征简谐振动是指一个体系在平衡位置附近，以固有频率在一个稳定状态下周期性地前后运动。
其基本特征包括：1. 振动的周期：简谐振动的周期T是指系统从一个极值点到相邻极值点所经历的时间。
周期的计算公式为T = 2π/ω，其中ω为角频率，定义为振动的频率f与2π的乘积，即ω = 2πf。
2. 振幅：振动的振幅A是指物体在振动过程中离开平衡位置的最大位移。
二、简谐振动的数学表达简谐振动可以用如下的数学表达式来描述：x(t) = A*sin(ωt + φ)其中，x(t)为时间t时刻的位移，A为振幅，ω为角频率，φ为初相位。
这个表达式称为简谐振动的位移函数，它描述了振动物体位移随时间的变化规律。
三、简谐振动的计算方法1. 求解振动周期T：已知角频率ω或频率f时，可以通过计算T = 2π/ω或T = 1/f来得到振动周期T。
2. 求解振幅A：已知最大位移x_max时，振幅A等于最大位移x_max的绝对值。
3. 求解角频率ω：已知振动周期T或频率f时，可以通过计算ω = 2π/T或ω = 2πf来得到角频率ω。
4. 求解初相位φ：初相位φ通常需要通过已知初始条件的问题进行求解，例如已知初始位移和初始速度。
四、简谐振动的应用简谐振动在实际中有广泛的应用，包括：1. 机械振动：例如弹簧振子、摆锤等，广泛应用于钟表、车辆悬挂系统等。
2. 电子振动：例如电容器振荡电路中的交流振荡器，可以用于发射和接收无线电信号。
3. 光学振动：例如光波的传播和干涉现象都与简谐振动有关。
总结：简谐振动是一种重要的物理现象，它具有固有频率、周期性、线性回复等特征。
通过数学表达式和相关计算方法，我们可以精确地描述和计算简谐振动的各个特征。
简谐振动在机械、电子、光学等领域都有广泛的应用，对于理解和应用这些领域的相关技术和现象具有重要意义。
振动加速度总级计算公式
振动加速度总级计算公式
振动加速度总级的计算公式
1. 振动加速度公式
振动加速度（a）是指物体在振动运动中，单位时间内速度的增量。
它可以通过以下公式进行计算：
a = ω^2 * x
其中，a表示振动加速度，ω表示角频率， x表示位移。
2. 振动加速度总级公式
若系统中存在多个振动源，且相互独立且方向相同，则振动加速
度的总级（A）可以通过以下公式进行计算：
A = √(a1^2 + a2^2 + … + an^2)
其中，A表示振动加速度总级，a1, a2, …, an分别表示各个振动源的加速度。
示例解释
假设有一个机械系统中，有两个独立的振动源，分别产生的振动
加速度为a1 = 5 m/s^2和a2 = 3 m/s^2。
根据振动加速度总级公式，我们可以计算出振动加速度的总级为：
A = √(5^2 + 3^2) = √(25 + 9) = √34 ≈ m/s^2
因此，机械系统的振动加速度总级为约 m/s^2。
这个示例说明了当系统中存在多个独立的振动源时，我们可以使用振动加速度总级公式来计算系统的总体振动加速度。
通过将各个振动源的加速度平方相加，再进行开方运算，我们可以得到系统的振动加速度总级。
以上是关于“振动加速度总级”的计算公式及示例解释。
通过这些公式，我们可以更好地理解和计算系统的振动加速度总级，从而对系统的振动性质进行分析和评估。
大学物理《普通物理学简明教程》振动、波动和光学习题精解概要
A1 φ0A2
π/4x
O
图10-17
解(1)如图10-17,两矢量间夹角为 ,所以合振动振幅
合振动初相
(2)合振动A再与第三个振动合成.根据振动叠加条件, 时合振动有极大值,即
(k=0,1,2…)
当 时合振动有极小值,即
(k=0,1,2…)
10-19当两个同方向的简谐振动合成为一个振动时，其振动表式为：
3应用同一直线上两个简谐振动的合成规律时，要特别注意它们的相位差和合成的振幅的关系；同向时，合振幅最大，反向时，合振幅最小。
10.4思考题选答
1弹簧振子的无阻尼自由振动是简谐振动，同一弹簧振子在简谐驱动力持续作用下的稳态受迫振动也是简谐振动，这两种简谐运动有什么区别？
答：弹簧振子的无阻尼自由振动是在“无阻尼”，包括没有空气等外界施加的阻力和弹簧内部的塑性因素引起的阻力的情况下发生的，是一种理想情况。由于外界不能输入能量，所以弹簧振子的机械能守恒。这时振动的频率由弹簧振子自身的因素（ ）决定。
解：（1）根据振动方程可知：振幅 ，角率 ，初相 ，周期 =1秒；（2）分析质点运动情况：从t=0时刻起， ；向 轴负方向运动，直到 ,即 为止；质点改变运动方向，向 轴正方向运动到位置P点。最短时间间隔为：
(3) 处的时刻。
第11章机械波基础
答：从质量的意义上来说，质量表示物体的惯性，弹簧本身的质量计入时，系统的质量增大，更不易改变运动状态。对不断地周期性改变运动状态的弹簧振
子的简谐运动来说，其进程一定要变慢。这就是说，考虑弹簧的质量时，弹簧振子的振动周期将变大。
10.5习题解答
10-1质量为10g的小球与轻弹簧组成的系统，按 的规律而振动，式中t以s为单位,试求:
式中t以s为单位。求各分振动的角频率和合振动的拍的周期。
物理机械振动、简谐振动图像讲解
物理机械振动、简谐振动图像讲解物理机械振动、简谐振动图像讲解一. 本周教学内容：机械振动、简谐振动图像二. 总结归纳知识网络：三. 重、难点分析1. 描述振动的量（1）位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段，矢量。
（2）振幅A：振动离开平衡位置的最大距离，标量，表示振动的强弱。
（3）周期T和频率f：物体完成一次全振动所需的时间叫周期，而频率那么等于单位时间内完成全振动的次数，它们是表示振动快慢的物理量，二者互为倒数关系： < "0" 1248287925"> 其中摆长4. 简谐运动的图象（1）如下图为一弹簧振子做简谐运动的图象，它反映了振子的位移随时间变化的规律，而其轨迹并非正弦曲线。
（2）根据简谐运动的规律，利用该图象可以得出以下信息：1°振幅A、周期T以及各时刻振子的位置。
2°各时刻回复力、加速度、速度、位移的方向。
3°某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。
4°某段时间内振子的路程。
5. 振动的类型（1）简谐运动（又称自由振动）：机械能守恒，振幅不变，周期等于固有周期。
（2）阻尼振动：系统机械能不断损耗，振幅不断减小，周期等于固有周期。
（3）受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。
（4）共振：当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时的受迫振动，振幅最大。
【典型例题】例1. （1998年?全国）如下图，两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触。
现将摆球A在两摆球线所在平面内向左拉开一小角度释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动，以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，那么（）A. 如果mA>mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧B. 如果mAC. 无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧D. 无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧解析：碰撞后两球各自做简谐运动，两摆的摆长相等，周期的大小与振幅、质量无关，两摆的周期相等。
大学物理：简谐振动及其表述
简谐振动的运动学方程
证明一个运动是简谐振动的三个判据。
f kx
d x dt
2 2
x 0
2
x A co s t
2
第六章
机械振动
大学 物理
6-1 简谐振动 振幅A： 即振子偏离平衡位置的最大值。 x A co s t
速度：
v dx dt A sin t ;
当物体运动至某点x时，
l
v0
mg k x l m
d x dt
2
2
m m
o
x
整理可得
d x dt
2
2
k m
x0
由此可知物体作简谐振动。
第六章 机械振动
X
11
大学 物理
6-1 简谐振动
d x dt
2 2
k m
x0
k m
10(rad s
1
)
振动方程为
x A co s t ， 速 度 方 程 为
T 2
T
2
1 T
2
2
角频率
3
第六章
机械振动
大学 物理
相位:
t
位相或周相
6-1 简谐振动 x A co s t
v A sin t
确定质点在任一时刻运动状态的物理量 初相位：
为 t 0时 的 相 位 , 称 为 初 相 .
例 . 一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上，弹簧 伸长量l=9.8cm。如果给物体一个向下的瞬时冲击力，使它 具有 1m s 1 的向下的速度，它就上下振动起来。试证明物 体是作简谐振动，并写出其振动方程式。
振动的基本概念
振动的基本概念
振动是指物体在平衡位置附近所做的往复运动。
在机械振动中，物体的位移、速度和加速度等物理量随时间做周期性变化。
如果物体的位移随时间变化的规律遵从正弦函数或余弦函数，这样的振动称为简谐振动。
在简谐振动中，物体的位移与时间的关系可以表示为
x=A\sin(\omega t+\varphi)，其中x表示位移，A表示振幅，\omega 表示角频率，\varphi表示初相位。
振幅表示物体离开平衡位置的最大距离，角频率表示振动的快慢，初相位表示振动开始时物体的位置。
简谐振动的特点是周期性和对称性。
周期性是指物体的位移、速度和加速度等物理量随时间做周期性变化，对称性是指物体在平衡位置两侧的运动是对称的。
振动在自然界和工程中有着广泛的应用。
例如，地震是地球的振动，钟摆的摆动是简谐振动，电子在晶体中的振动可以产生激光等。
在工程中，振动也可以用来检测物体的缺陷、测量物体的质量和弹性常数等。
4《振动》选择题解答与分析
4振动4.1旋转矢量1. 一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为A 21，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为答案：(B)参考解答：简谐振动可以用一个旋转矢量的投影来表示。
这一描述简谐振动的几何方法称为旋转矢量法。
以坐标原点o 为始端作一矢量A，该矢量以角速度ω绕o 点逆时针匀速转动。
0=t 时，旋转矢量与x 轴正向的夹角等于ϕ，则在转动过程中的任意时刻t ，矢量A与x 轴正向的夹角为)(ϕω+t ，其端点M 在坐标轴上的投影P 的坐标为)cos(ϕω+=t A x ,P 所代表的运动正是简谐振动。
本题(B)图中，旋转矢量端点在坐标轴上投影点的坐标与运动方向符合题设的要求，即为答案。
对所有选择，均给出参考解答，直接进入下一题。
2. 一质点作简谐振动，周期为T ．当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12． (B) T /8． (C) T /6． (D) T /4． 答案：(C) 参考解答：根据旋转矢量法，以坐标原点o 为始端作一矢量A ，该矢量以角速度ω绕o 点逆时针匀速转动。
0=t 时，旋转矢量与x 轴正向的夹角等于ϕ，则在转动过程中的任意时刻t ，矢量A与x 轴正向的夹角为)(ϕω+t ，其端点在坐标轴上的投影的坐标为)cos(ϕω+=t A x 所代表的运动正是简谐振动。
本题按题意画旋转矢量图，由,3πωθ==t πω2=T 两式联立，解出.6Tt =对所有选择，均给出参考解答，直接进入下一题。
4.2振动曲线、初相1. 一质点作简谐振动．其运动速度与时间的曲线如图所示．若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为(A) π/6． (B) 5π/6． (C) -5π/6．(D) -π/6． (E) -2π/3．答案：(C)参考解答：令简谐振动的表达式：)cos(ϕω+=t A x ，)(ϕω+t 称为振动系统在t 时刻的位相。
高中物理-机械振动
的整数倍。
C若△t=T，则在t时刻和(t+△t)时刻振
子运动的加速度一定相等
D若△t=T/2，则在t时刻和(t+△t)时刻
弹簧的长度一定相等
练习6、如图所示，一弹簧振子在振 动过程中，经a、b两点的速度相同， 若它从a到b历时0．2s，从b再回到a 的最短时间为0．4s，则该振子的振 动频率B为（ ）
全振动：振动物体往复运动一周 后，一切运动量（速度、位移、加 速度、动量等）及回复力的大小和 方向、动能、势能等都跟开始时的 完全一样，这就算是振动物体做了 一次全振动。
例1．如图弹簧振子在BC间作简谐运动， Ｏ为平衡位置，BC间距离是10 cm ，从 Ｂ到Ｃ运动时间是１s，则（ D ） Ａ．从Ｏ→Ｃ→Ｏ振子完成一个全振动
点评：一般说来，弹簧振子在振动过程中的振幅的求 法均是先找出其平衡位置，然后找出当振子速度为零 时的位置，这两个位置间的距离就是振幅．本题侧重 在弹簧振子运动的对称性．解答本题还可以通过求D 物运动过程中的最大加速度，它在最高点具有向下的 最大加速度，说明了这个系统有部分失重，从而确定 木箱对地面的压力
化，变化周期为振动周期T。
例2．一弹簧振子周期为２s， 当它从平衡位置向右运动了1.8 s时，其运动情况是（ B ）
Ａ．向右减速 Ｂ．向右加速 Ｃ．向左减速 Ｄ．向左加速
练习1.一质点做简谐运动，在
t1和t2两个时刻加速度相同，则
在这两个时刻，下列物理量一
定相同的是;
（）
A、AD 位移 B、 速度
答： f (M m)
k
Mm
kM
练习4.一个质点在平衡位置附近做 简谐振动,在图的4个函数图像中,正 确表达加速度a与对平衡位置的位移
振动力学基础
21 (2 k 1 ) k 0 , 1 , 2 ,
A|A1A2| 称为干涉相消。
A2
A1=A2 时， A=0
A A1
讨论三： 一般情况：
2 1 k
|A 1 A 2| A |A 1 A 2|
A2
A
A1
20
例题
三个谐振动方程分别为
x1
Acos(t)
2
x2
Aco st(7)
6
x3
Aco st(11)
t
26
§5 垂直简谐振动的合成 一、同频率垂直简谐振动的合成 设一个质点同时参与了两个振动方向相互 垂直的同频率简谐振动，即
xA 1cots(1); yA 2cots (2)
A x1 2 2A y2 2 2A 21xA2yco ssi2n
上式是个椭圆方程，具体形状由
(21) 相位差决定。 质点的运动方向与 有关。当 0 时，
体从平衡位置向下拉动4厘米并给予向上的21厘米/秒的
初速度。选X轴向下，求振动的表达式。
解k： m 0g0.19.8N/m l 0.08
k 0.19.8 7.0ra/ds
m 0.08 0.25
x 0 0 .0 m 4 v 0 0 .2 m /1 s
A x02v02/20.0m 5
tg1 v0 0.64rad x0
利用： co s co s2 co s co s
2
2
合成振动表达式：x ( t) A co 1 t s ) A (co 2 t s )(
2 A co ( 2 s 1 )tco ( 2 s [1 )t ]
2
2
当1与2 都很大，且相差甚微时，可将
|2A co2s (1)t/2|视为振幅变化部分，
振动中心在平衡位置A称为振幅
由于机械能守恒(E1=E2)
运输 包装
在自由振动中，振体作简谐运动，振动的规律为：
代入
单自由度线性系统的振动
(4)串联弹簧和并联弹簧的等效刚度
①两弹簧串联
运输 包装
因为两个弹簧所受的压力大小都等于所放置的物体重量 mg，故两个弹簧的静伸长分别为：
则两串联弹簧的总伸长δst应等于两 个弹簧的静伸长之和,即:
运 输 包 装
机电学院 卢杰
第二章 包装动力学理论基础
1
运输 包装
概述
单自由度线性系统的自由振动 单自由度线性系统的强迫振动
2
3
概 述
机械振动——物体在平衡位置附近所作的 周期性往复运动。 振动问题： 1）振动分析 2）环境预测 3）振动特性测定
运输 包装
概 述
运输 包装
包装件一般由结构复杂的内装物、非线性黏弹性 缓冲垫、瓦楞纸箱等外包装等组成。 自由度——描述系统运动的独立坐标的数目。
k1,2=k1+k2=175+87.5 =262.6N/mm
k1,2和k3串联,衬垫的等效刚度k为:
单自由度线性系统的振动
2 有阻尼系统的自由振动
运输 包装
任何缓冲包装材料都是有阻尼的，阻尼的形式很多， 常见的有干摩擦阻尼和材料内阻尼等等。最常见也最简单 的是粘滞阻尼。 当振体以不大的速度在流体介质(如空气、油类等)中 运动时，介质给振体的阻力的大小与振体速度的一次方成 正比，即
单自由度线性系统的振动
令 上式可写为：
运输 包装
这是自由振动微分方程的标准形式，是二阶常系数线性齐 次微分方程。此方程的解为： 代入振体运动的初始条件： 可得：
所以：
单自由度线性系统的振动
检测振动的实验报告
检测振动的实验报告本实验旨在探究振动的基本特性，通过实验测量和分析，学习振动的周期、频率和振幅，并了解振动的形成原因以及振动的应用。
实验原理：振动是物体在平衡位置附近以某种规律往复运动的现象，其中的振幅、频率和周期是振动的基本特性。
振幅（A）：振动最大偏离平衡位置的距离。
周期（T）：一个完整的振动往复运动所需的时间。
频率（f）：单位时间内所完成的振动往复运动的次数。
根据振幅与周期、频率之间的关系，可以得出以下公式：f=1/TT=1/f实验仪器与材料：1. 振动装置2. 实验电路3. 示波器4. 计时器5. 可调谐振子6. 钢球7. 尺子实验步骤：1. 将实验电路连接好，并将振动装置固定在台架上。
2. 通过调节振动装置的频率，使得振动台面上的钢球能够开始振动。
3. 用计时器记录下钢球进行一次完整的振动所需的时间，即一个周期的时间T。
4. 通过示波器观察振动过程，并记录下最大振幅的数值A。
5. 重复步骤2-4，通过调节频率，获得多组不同的T和A的数值。
数据处理与分析：根据实验记录，计算出每组数据的频率f，并计算出振幅与周期、频率之间的关系。
实验结果：试验次数周期（T）/s 频率（f）/Hz 振幅（A）/cm1 0.5 2.0 4.02 0.6 1.67 3.03 0.7 1.43 2.54 0.8 1.25 2.05 0.9 1.11 1.56 1.0 1.0 1.0根据实验数据，绘制频率f与振幅A以及周期T之间的关系图：（插入数据处理图表）根据图表分析得出结论：1. 振幅与频率成反比关系：振幅越大，频率越小；振幅越小，频率越大。
这是因为振动所需的能量是一定的，在振动过程中，能量的转化会导致振幅减小而频率增大，反之亦然。
2. 振幅与周期成正比关系：振幅越大，周期越大；振幅越小，周期越小。
这是因为振幅与物体的振动速度和动能有关，在振动过程中，能量的损耗会导致振幅减小而周期增大，反之亦然。
应用领域：振动在生活中有很多应用，例如：1. 振动传感器：用于感受和测量机械设备的振动情况，可以及时检测到设备的故障和异常，保障设备的正常运行。
振动与波动
0.08 0.04
v
o 0.04
x/m
0.08
x Acos(t ) F kx T=2/ ? 18
已知 m 0.01kg, A 0.08m, T 4s
t 0, x0 0.04m, v0 0
求（1）t 1.0s, x, F
2 简谐振动
简谐运动 最简单、最基本的振动
简谐运动
合成 分解
复杂振动
谐振子 简谐运动物体的代表
3
振动的成因
a 回复力 F = -kx
b 惯性
判据1： F kx ——简谐运动
x : 偏离平衡位置的位移
k :比例系数（弹簧：劲度系数）
4
3 弹簧振子的运动分析
F
m
o
x
x
F kx ma
ak x m
22
旋转矢量法
t 时刻
t
起始时刻
π3
π3
x
0.08 0.04 o 0.04 0.08
t π π rad s1 t 2 0.667s
3
2
3
23
16-4 简谐运动的能量 (以弹簧振子为例)
{ x Acos(t 0) 以平衡位置为坐标原点
x 0.08cos( t )
23
π
3 π
3
19
方法2： 旋转矢量法求
t 0, x0 0.04m, v0 0
t 0 x0 0
A 0.08 π v0 0
3 x(m)
o 0.04 0.08
cos 0.04 1
0.08 2
3
x 0.08cos( t )
23
机械振动机械波知识点精析
机械振动机械波知识点精析一、机械振动质点沿着直线或弧线绕平衡位置往复运动叫做机械振动．机械振动是常见的一种运动形式．1．产生振动的必要条件回复力：振动的质点所受诸外力在指向平衡位置方向（振动方向）上的合力．如图7－1中，弹簧振子m离开平衡位置O处，就受到弹簧的弹力提供振动的回复力作用．如图7－2中，在离开最低点平衡位置O处，摆球m所受重力、细绳拉力（张力）在切线方向上的合力提供振动的回复力F向=mgsinθ的作用．注意：回复力是效果力，因此对质点振动受力分析时，不做独立分析．回复力的方向始终指向平衡位置．2．描述振动的物理量（1）振幅（A）：振动质点离开平衡位置的最大距离振幅是标量，是表示质点振动强弱的物理量．（2）周期（T）：振动质点经过一次全振动所需的时间．全振动：振动质点经过一次全振动后其振动状态又恢复到原来的状态．周期是表示质点振动快慢的物理量．（3）频率（f）：一秒钟内振动质点完成全振动的次数．它与周期（4）相位（拍）：表示质点振动的步调的物理量．如两振动质点同时由平衡位置向同方向运动，同时到达最大位置，这叫同相；如两振动质点同时离开平衡位置向相反方向运动同时到达最大位置，则叫反相．3．简谐振动简谐振动是振动中最简单，最基本的一种形式．弹簧振子、单摆（小振幅条件下的振动）是简谐振动中最典型最常见的例子．（1）简谐振动的特点：1）回复力的特点：F=-kx振动物体所受回复力的大小跟振动中的位移（x）成正比，方向始终与位移方向相反，指向平衡位置．回复力是周期性变化的．注意：位移必须从平衡位置起向外指向．图7－3（a）振子由平衡位置A向B运动过程中，回复力指向左方，在平衡位置右方；图7－3（b）振子由A向C运动过程中，所受回复力指向右方，在平衡位置左方．如图7－4所示，振子由平衡位置A运动到B时位移是AB，方向是由A到B；振子由B向A运动到D时，其位移是AD，方向仍是AD，不要错误地认为这时的位移是BD．F=-kx可作为判别一个物体是否作简谐振动的依据．如图7－2所示，当单摆摆角θ＜5°时，单摆的振动为简谐振动．F回=-mgsinθ振动物体的加速度跟位移大小成正比，方向与位移方向相反．（加速度方向永远指向平衡位置．）振动物体的加速度是周期性变化的．所以，简谐振动是一种变加速运动．3）振动质点速度的特点：v=sin（ωt+ψ）（超纲）振动物体的速度的大小总是随位移的增大而减小，随位移的减小而增大．在平衡位置时，振动物体的速度最大．如表所示．4）振动中位移随时间变化规律：按正弦（或余弦）曲线变化[x=Acos（ωt+ψ）]（超纲）如图7－5所示．5）振动物体能量的特点：振动物体的机械能是一个恒量，即物体做简谐振动过程中动能和势能相互转化，遵守机械能转换和守恒定律．E∝A2，振幅越大，能量越大．（2）简谐振动的规律：1）振动图象：振动位移-时间的函数图象．物理意义：a）从图象上可知振动的振幅A；b）从图象上可知振动的周期；c）从图象上可知质点在不同时刻的位移，如图7－5中t1时刻对应位移x1；t2时刻对应位移x2；d）从图象上可比较质点在各个时刻速度大小及符号（表示方向）；如t1时刻质点速度较t2时刻质点的速度小，t1时刻速度为负，t2时刻速度也为负．（t1时刻是质点由最大位移处向平衡位置运动过程的某一时刻，而t2时刻是质点由平衡位置向负的最大位移运动过程中的某一时刻．）e）从图象上可比较质点在各个时刻加速度的大小及符号．如图7－5中t1时刻的加速度较质点在t2时刻加速度大，t1时刻质点加速度为负，t2时刻加速度符号为正．f）从图象可看出质点在不同时刻间的相差．2）简谐振动的周期：在①式中，m为简谐振动质点的质量，k为简谐振动质点振动的比例系数（回复系数），不同的简谐振动的k值不同，就弹簧振子而言，k为弹簧的劲度系数．由②式可看出：a）单摆的周期与振幅和摆球质量无关；b）L为摆长，由悬点至摆球重心的距离；c）g是单摆所在系统中的“重力加速度”，如单摆在地面或所在系统相对地静止或匀速运动，g=9.8m／s2．若单摆在竖直方向上作匀变速直线运动的升降机中，则g为该升降机中自由下落物体相对升降机的加速度．4．受迫振动（1）受迫振动产生条件：质点在周期性驱动力作用下的振动．（2）受迫振动特点：受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关．振动物体的振幅随时间减小的振动——阻尼振动．振动物体的振幅固定不变的振动——无阻尼振动．形成阻尼振动的原因是，振动物体克服摩擦或其他阻力做功而逐渐减小能量．（3）共振——受迫振动特例．产生条件：f策=f固．周期性策动力的作用方向跟物体振动方向必须相同．共振现象：物体作受迫振动中，开始时兼有自由振动（情况复杂）待达到稳定后，自由振动已衰减为零，只有此时，受迫振动的频率才等于驱动力变化的频率．当策动力的频率等于受迫振动物体本身的固有频率时，受迫振动的振幅达到最大值，这种现象叫做共振．如图7－6所示，即f策=f固时，受迫振动振幅最大．二、机械波机械振动在弹性媒质中的传播运动叫机械波．我们应特别注意，在振动的传播过程中，每个参与传播振动的质点不沿振动传播方向定向移动（质点不随之迁移），它们只在各自的平衡位置附近振动．1．产生条件煤质中各质点间存在相互作用，因此一个质点的振动必然带动相邻的质点振动……于是振源的振动在媒质中传播的同时随之将其能量在媒质中传播出去．所以波动是传播能量的一种形式．2．波的分类（1）横波：质点振动方向与波的传播方向垂直；横波波型有波峰和波谷．（2）纵波：质点振动方向与波的传播方向在一条直线上；纵波波型有密部和疏部．3．描述波的物理量（1）频率（f）：波的频率与波源的振动频率相同．在传播过程中是不变的．只要振源的振动频率一定，则无论在什么媒质中传播，波的频率都等于振源的振动频率．（2）波速（v）：波速是波传播的速度——质点振动状态传播的速度．机械波传播的速度仅取决于媒质的性质．同种媒质传播不同频率的同类机械波时，传播速度是相同的．位移．如图7－7．一列横波当t1=0时波形为Ⅰ，经过Δt波形为Ⅱ．从图可知，Δs为新、旧波形上振动状态相同的两质点间距离（图中所表示的为Δt＜T的情况）（3）波长（λ）：两个相邻的、在振动过程中对平衡位置的位移总是相同的质点间的距离．或者说，在一个周期内波传播的距离的大小．波长是标量．（4）波长、频率和波速的关系：波速v由媒质决定，频率f只由振源决定．某一列横波由A媒质进入B媒质，其传播速度发生变化，但其频率不变．所以波长发生变化．4．波的图象波传播过程中，在某一时刻媒质各质点的位移末端连线如图7－8所示，图线上各质点均为媒质中振动的质点，横坐标表示质点的平衡位置，纵坐标表示质点的位移．物理意义：a）能表示出质点振动的振幅（A）；b）能表示各质点振动的位移（y）；c）能表示出波长（λ）；d）能表示出各质点的振动方向、加速度大小及符号；e）能表示出各质点间的相位关系．特别注意：波的图象与振动图象的区别．5．波的一般性质（1）波的反射：当波到达两种性质不同媒质的分界面时，改变传播方向，但仍在原来媒质里传播的现象．（2）波的折射：当波到达两种性质不同媒质的分界面时，改变传播方向，但进入另一种媒质的现象．（3）波的干涉：1）产生条件：相干波——两列波频率相同；相差恒定；2）现象：在相干区域内，增强区与减弱区相间．其中Δs为该点至两波源的距离差（波程差）．3）对干涉现象应注意：a）增强是指振动质点的能量增大，即振幅增大，并不是指振动速度增大；减弱是指质点合振动的振幅减小．b）增强区或减弱区位置是确定的，即增强点（域）始终增强；减弱区的点始终减弱．c）不论增强区或是减弱区，各质点都作与相干波源周期相同的振动，各质点振动的位移是周期性变化的．d）增强区和减弱区的位置确定，两列波相位相同情况有两列波相位相反情况有（4）波的衍射：波在煤质传播，遇到障碍物或小孔的大小可以和其波长比较时，波可以绕过障碍物或小孔到按直线传播时所要生成的阴影部分．（5）波的共振：波在媒质中传播时，如果遇到的物体的固有周期和波的周期相同时，能够引起物体振幅最大的振动．三、音调、响度和音品这是表征乐音三个特点的物理量．音调决定于声源的频率．响度决定于声源的振幅．音品决定于声源泛音的个数、频率和振幅．。
振动的基本知识
高频
总振动
低ind频ividual vibration signals
combine to form a complex time waveform showing overall vibration
简单时域波形转换到频谱
例子
一般时域波形转换到频谱
频谱与采样
公式
1. 谱线- Line 100 200 400 800 1600 3200 6400线 2. 频宽- Fmax 0-20kHz，可编程
振动周期/频率
频率(Hz)=转速(转每分钟，RPM)/60 频率f(Hz)=1/ 周期T(秒)
振动相位(1)
振动相位-（相位差）
振动相位(2)
振动相位-（相位差）
振动相位应用（1）
振动相位- 例子
振动相位应用（2）
振动相位- 例子
振动时域波型
齿轮啮合
轴承故障
振动幅值
不平衡
总振动
时间
complex time waveform 合成后的时域波形
因传感器输出的是模拟信号，而用计算机处理的 信号必须是数字信号，因此必须对采集的信号进 行模/数转换：包括采样、量化、采样保持等
信号分析系统－数字信号处理器
这是信号分析系统的核心环节，通常是由仪器中 的CPU来执行的，它包括对信号的时域、幅值域 及频域分析，同时它还有运算功能，如时域或频 域的微分、积分等
10
振幅 (mils, in/sec, g’s) 1.0
100 Displacement (mils)
Acceleration (g's)
Velocity (in/sec)
0.1 1
0.01
Common Machinery Operating Range
振幅a的计算公式
振幅a的计算公式
振动的振幅是振动运动中最重要的参数之一。
振幅是振动运动过程中指定点的极值和振动
幅度分量的圆周距离，并定义为一个有限的实数值。
理论上，振动形态的振幅a是极限状
态时，振动椭圆的长轴除以短轴的比值，且是独立于物体振动运动的参数。
通俗地讲，振幅a就代表振动周期内一次振动的最大幅度与最小幅度之差。
它直观地反映
了物体在每一次振动的极值的变化情况，是振动的重要参数。
由振动的基本原理可知，振幅a与振动能量之间存在一定的联系，消息振幅越大，表明振
动能量越大，反之振幅越小，振动能量也就越小。
从物理原理上讲，振幅a的形成方法是
物体本身的初始激活能量和外力之间的一个平衡。
一般情况下，振动越大振幅a也越大，
反之振动振幅a越小。
因此，可以将振幅a理解为激活能量与周期性外力之间的折中结果。
振幅a的计算可以简化为：注入的振动激活能量(E)除以周期性外力的作用过程(F)，即a = E / F 。
这个计算方法可以用来测算不同物理状态下振幅a的大小，对计算振动状态有
很大帮助。
总结来说，振幅a是振动运动过程中指定点的极值之差，是物体激活能量与周期性外力之
间的折中结果，是振动能的重要参数。
振幅a的计算可以通过将物体本身的激活能量除以
周期性外力的作用过程得到，这样可以用来测算物体不同状态下振幅a的大小，也可以用
来帮助计算出振动状态。
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F 0
m
0
F
x
m
即 F kx x 0 ----简谐振动的动力学特征 2.运动学特征
F m d x dt
2 2
kx 令
2
k m
d x dt
2
2
x 0
2
位移 x A cos(t )--简谐振动表达式 dx A sin( t ) 速度 v dt vm sin( t ) 2 d x 2 A cos(t ) 加速度 a 2 dt am cos(t )
F ma m x 0.01 ( ) 0.17 2 3 4.19 10 N
2
(3) t min
2
t min 3 3 0.12 2 3 4 s 0.24 t min 0.24 x 0 3 2 T T 或 tmin T T T 4 12 6 12 4 4 s A x A 0 3
[例5]一水平放置的弹簧振子，质量 为m，弹性系数为k，当它振动时， 在什么位置动能和势能相等？它从 该位置到达平衡位置所需的最短时 间为多少？ 1 1 2 2 解：(1) mv kx
2 2 2 2 2 2 2 mA sin (t ) kA cos (t ) 2 2 即 sin ( t ) cos ( t )
1
2
t /s
设振动表达式为 x A cos( t ) v A sin( t ) t=0时： x 0 即 0 A cos
2
又 v 0 即 A sin 0 sin 0 2 x 2 cos(t ) m
t π
π 3
x
A 2
>0
或
2π 3
o
x 0
x
A
8
t
3π 2 π
2
>0
A
6
A
7
或
x
向正向运动
t
3
x
A 2
>0
678
>0
2） 方便地比较振动步调
x A cos t
A
A
π A cos t 2 a A cos t π
x A cos t
用匀速圆周运动 几何地描述
规定
t
A t
o
以角速度ω 逆时针转
x
x
x A cos( t )
端点在x轴上的投影式
优点
1） 直观地表达振动状态 分析解析式 x A cos t 可知
当振动系统确定了振幅以后 表述振动的关键就是相位 即
A v0 x0
2 2
v0 arctg x 0
固有频率和固有周期：
k m
T
2
2
m k
1 T
1 2
k m
----周期和频率由振动系统本身 的性质所决定，与A和无关
3.旋转矢量描述
A A
( t )
表达式中的余弦函数的综量 而旋转矢量图 A t 可直观地显示该综量 用图代替了文字的叙述
0
xБайду номын сангаасt
x
如 文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点 • 在正的端点
t 0
旋矢与轴夹角为零
意味 x A
o
• 质点经二分之一振幅处 向负方向运动
π 3
A
A
x
讨论： 0 即 2 1 ----同相
0
即 2 1 ----反相 即 2 1 ----第二个谐振动超前 第一个谐振动
[例2]如图的谐振动x-t 曲线，试求其 x/m 振动表达式 2 解：由图知
O
A 2 m, T 2s 2 T
阻尼振动受迫振动共振
机械振动的一般概念
机械振动：物
体在一定位置的 附近作来回往复 的运动(周期性 或非周期性)
成因：物体的惯性和所受的回复力
简谐振动
一.简谐振动的特征 简谐振动:物体距平衡位置的 位移(或角位移)随时间按余弦(或 正弦)函数变化
1.动力学特征 胡克定律:物体所 受弹性力与物体的 位移成正比而反向
2
a
A
2
x
π 2
由图看出：速度超前位移 加速度超前速度
位移与加速度 Δ π 称两振动反相
若 0 称两振动同相
[例1]用旋转矢量法讨论质点初始时 刻位移为以下情况时谐振动的初相 位：A；-A；0，且向负方向运 动；-A/2，且向正方向运动 解： 0 4
解：(1)设振动表达式为
x A cos( t ) 2 其中 A 0.24 m T 4s 2 T
由旋转矢量法得 0
x 0.24 cos
2
t m
0.24
(2) t=0.5s:
0
0.24
x
x 0.24 cos
2
1 2
2
0.17 m
A 2
3
4 3
2
或
2 3
A
2
O
A
x
三.相位差和相位的超前与落后 设 x1 A1 cos(1t 1 ) x2 A2 cos( 2t 2 )
相位差 (2t 2 ) (1t 1 ) ( 2 1 )t ( 2 1 ) 同频率时 2 1 ----初相差与t 无关
t k
4 2 因此 x A cos(t ) A 2 (2) t (t t ) 4 2 t
t
2
4 m
k
4
0
阻尼振动受迫振动共振
2 2 A
4
x
即有 a x ----简谐振动的运动学特征 说明： A ----简谐振动的振幅，为物体离开 平衡位置最大位移的绝对值 ----圆频率(2秒内的振动次数)
2
t ----简谐振动的相位
----简谐振动的初相位
讨论： 由初始条件可确定A和 ： 设 t =0 时， x x0 v v0 x0 A cos v0 A sin 可得
t
意味
x
A 2
<0 0
x
2
1
•质点过平衡位置向负方向运动
t
π 2
x 0
A
A
A
V< 0
π 3
A
同样
t π
x
A 2
o
A
x
< 0
x A
t π
x
5 4
注意到：2 3 4
< 0
3 2
1
向负方向运动
向正方向运动
2
旋转矢量法
2
O
2
x
[例3]质量为0.01kg物体作周期为4s、振 幅 为 0.24m 的 简 谐 振 动 。 t=0 时 , 位 移 x=0.24m 。 求 (1) 谐 振 动 表 达 式 ； (2)t=0.5s时,物体的位置和所受的力；(3) 物体从初始位置运动至x=-0.12m处所需 的最短时间
2
三.谐振动的能量 以弹簧振子为例:
E Ek E p
1 2
2 2 2
k m
1 2
mv
2
1 2
2
kx
2
mA sin (t )
1 2
kA cos (t )
2
1 2
kA
2
1 2
m A
2
2
讨论: 弹簧振子的动能和势能是随时间 (或位移)而变化的 总的机械能保持不变，即动能和势 能相互转化 谐振动系统的总能量与振幅的平方 成正比