甘肃省武威第一中学2017-2018学高一上学期期末考试数学试题(精编含解析)

2017-2018学年甘肃省武威一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.点（1，-1）到直线y =x +1的距离是（ ）A.B.C. D.1232223222.已知圆的方程为x 2+y 2-2x +6y +8=0，那么通过圆心的一条直线方程是（ ）A. B. C. D. 2x ‒y ‒1=02x ‒y +1=02x +y +1=02x +y ‒1=03.已知两条平行直线l 1：3x +4y +5=0，l 2：6x +by +c =0间的距离为3，则b +c =（ ）A. B. 48 C. 36 D. 或48‒12‒124.下列命题中正确的个数是（ ）①若直线a 不在α内，则a ∥α；②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；③若直线l 与平面α平行，则l 与α内的任意一条直线都平行；④若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点；⑤平行于同一平面的两直线可以相交．A. 1B. 2C. 3D. 45.如果AB ＞0，BC ＞0，那么直线Ax -By -C =0不经过的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（ ）A.B. C. D.7.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC =90°，AB =AC =AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于（ ）A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘8.一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、侧视图（又称左视图）如右图所示，则其俯视图为（ ）A.B.C.D.9.已知a ，b 满足a +2b =1，则直线ax +3y +b =0必过定点（ ）A.B.C.D.(‒16,12)(12,‒16)(12,16)(16,‒12)10.过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（ ）A. B. C. D. x +2y ‒5=02x +y ‒4=0x +3y ‒7=03x +y ‒5=011.如果一个正四面体的体积为9dm 3，则其表面积S 的值为（ ）A. B. C. D. 18dm2183dm212dm2123dm212.如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为和．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则π4π6AB ：A ′B ′=（ ）A. 2：1B. 3：1C. 3：2D. 4：3二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．14.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是______．15.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则侧面与底面所成的二面角为______．516.已知两点A （-3，2），B （2，1），点P （x ，y ）为线段AB 上的动点，假设m =，则m 的取值范y +1x 围为______．三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）17.求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．3418.△ABC 中，已知C （2，5），角A 的平分线所在的直线方程是y =x ，BC 边上高线所在的直线方程是y =2x -1，试求顶点B 的坐标．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．20.当0＜a＜2时，直线l1：ax-2y=2a-4与l2：2x+a2y=2a2+4和两坐标轴围成一个四边形，问a取何值时，这个四边形面积最小，并求这个最小值．21.如图所示，正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为6 2（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；⊥（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由.答案和解析1.【答案】D【解析】解：点（1，-1）到直线y=x+1的距离：d==．故选：D．利用点到直线的距离公式直接求解．本题考查点到直线方程的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．2.【答案】C【解析】解：因为圆的方程为x2+y2-2x+6y+8=0，所以圆心坐标（1，-3），代入选项可知C正确．故选：C．求出圆的圆心坐标，验证选项即可．本题考查圆的一般方程，点的坐标适合直线方程；也可认为直线系问题，是基础题．3.【答案】D【解析】解：将l1：3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0，因为两条直线平行，所以b=8．由=3，解得c=-20或c=40．所以b+c=-12或48故选D．将l1：3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0，利用两条直线平行及距离为3，即可求得结论．本题考查两条平行线间距离的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：①若直线a不在α内，则a可能和α相交，所以①错误．②a和α相交时，直线l上有无数个点不在平面α内，但此时l∥α不成立，所以②错误．③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都没有公共点，所以直线可能平行或异面，所以③错误．④根据线面平行的定义可知，若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点，以④正确．⑤根据线面平行的性质可知平行于同一个平面的两两条直线可能相交，可能平行，也可能是异面直线，所以⑤正确．故正确的是：④⑤．故选B．①根据直线和平面的位置关系判断．②利用直线和平面的位置关系判．③利用线面平行的定义判断．④利用线面平行的性质判断．⑤根据线面平行的性质判断．本题主要考查空间直线和平面平行判定和性质，要求熟练掌握线面平行的定义和性质．5.【答案】B【解析】解：由题意可知B≠0，故直线的方程可化为，由AB＞0，BC＞0可得＞0，＜0，由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第二象限，故选：B．化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案．本题考查直线的斜率和截距的几何意义，属基础题．6.【答案】A【解析】解：B是经过正方体对角面的截面；C是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．故选：A．对选项进行分析，即可得出结论．本题考查用过球心的平面去截这个组合体的截面图，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．7.【答案】C【解析】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．本小题主要考查直三棱柱ABC-A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：根据主视图和左视图可知正方体截取的两个角是在同一个面上的两个相对的角，∴它的俯视图是一个正方形，正方形的右下角是以实线画出的三角形，左上角是一个实线画出的三角形，依题意可知该几何体的直观图如图，其俯视图应选C．故选C．正方体截取的两个角是在同一个面上的两个相对的角，它的正视图外围是一个正方形，正方形的左上角是以虚线画出的三角形，右上角是一个实线画出的三角形，看出结果．本题考查简单空间图形的三视图，本题解题的关键是通过两个视图，想象出正方体的形状和位置，注意虚线和实线的区别．9.【答案】B【解析】解：因为a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0化为（1-2b）x+3y+b=0，即x+3y+b（-2x+1）=0恒成立，，解得，所以直线经过定点（）．故选：B．利用已知条件，消去a，得到直线系方程，然后求出直线系经过的定点坐标．本题考查直线系方程的应用，考查直线系过定点的求法，考查计算能力．10.【答案】A【解析】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于-，由点斜式求得所求直线的方程为y-2=-（x-1），化简可得x+2y-5=0，故选A．先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式．本题考查用点斜式求直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．11.【答案】B【解析】解：设正四面体P-ABC，棱长为a，高为PO，O为底面正三角形外心（重心），∴底面正三角形高为AD=，S△ABC=，∵AO=，∴PO=，∴V===9，解得a=3（dm），∴表面积S=4×=18（dm2）．故选：B．先由正四面体的体积为9dm3，计算正四面体的棱长，即可计算表面积S的值．本题考查正四面体的体积、表面积，考查学生的计算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选：A．设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．本题主要考查直线与平面所成的角以及线面的垂直关系，要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系．有一定的难度13.【答案】6【解析】解：如下图示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线有：DE、DG、DF、EG、EF、FG共有6条．故答案为：6本题考查的知识点为空间中直线与平面之间的位置关系，要判断过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线，我们可以利用数型结合的思想，画出满足条件的三棱柱ABC-A1B1C1，结合图象分析即可得到答案．要判断空间中直线与平面的位置关系，有良好的空间想像能力，熟练掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定定理及性质定理，并能利用教室、三棱锥、长方体等实例举出满足条件的例子或反例是解决问题的重要条件．14.【答案】160【解析】解：设直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C=9，BD1=15，∵A1A⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴A1A⊥AC，Rt△A1AC中，A1A=5，可得AC==，同理可得BD===10，∵四边形ABCD为菱形，可得AC、BD互相垂直平分，∴AB===8，即菱形ABCD的边长等于8．因此，这个棱柱的侧面积S侧=（AB+BC+CD+DA）×A1A=4×8×5=160．故答案为：160根据线面垂直的定义，利用勾股定理结合题中数据算出底面菱形的对角线长分别为和10，再由菱形的性质算出底面的边长为8，根据直棱柱的侧面积公式加以计算，可得该棱柱的侧面积．本题给出直棱柱满足的条件，求它的侧面积．着重考查了线面垂直的定义、菱形的性质和直棱柱的侧面积公式等知识，属于中档题．15.【答案】60°【解析】解：过S作SO⊥平面ABCD，垂足为O，则O为ABCD的中心，取CD中点E，连接OE，则OE⊥CD，由三垂线定理知CD⊥SE，所以∠SEO为侧面与底面所成二面角的平面角，在Rt△SOE中，SE===2，OE=1，所以cos∠SEO=，则∠SEO=60°，故答案为：60°．过S作SO⊥平面ABCD，垂足为O，则O为ABCD的中心，取CD中点E，连接OE，则OE ⊥CD ，易证∠SEO 为侧面与底面所成二面角的平面角，通过解直角三角形可得答案．本题考查二面角的平面角及其求法，考查学生推理论证能力，属中档题．16.【答案】（-∞，-1]∪[1，+∞），【解析】解：设C （0，-1），则m==k PC ，表示PC 的斜率观察图形，直线PA 的倾斜角总是钝角，由此可得当P 与A 重合时，k PC ==-1达到最大值；当P 与B 重合时，k PC ==1达到最小值∴k PC ∈（-∞，-1]∪[1，+∞），即m ∈（-∞，-1]∪[1，+∞），故答案为：（-∞，-1]∪[1，+∞），根据直线的倾斜公式，设C （0，-1）得m=，表示PC 的斜率．由此作出图形并观察PC 倾斜角的变化，即可得到m=，的取值范围．本题给出线段AB ，求直线斜率的范围并求距离和的最小值．着重考查了直线的基本量与基本形式、点关于直线对称和两点的距离公式等知识，属于基础题．17.【答案】解：设直线方程为：y =x +b ．34可得此直线与坐标轴的交点（0，b ），（-b ，0）．43由=6，化为：b 2=9，解得b =±3．12×|‒43b|×|b|∴要求的直线方程为：y =x ±3．34【解析】设直线方程为：y=x+b ．可得此直线与坐标轴的交点（0，b ），（-b ，0）．由=6，解得b 即可得出．本题考查了直线方程、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：依条件，由解得A （1，1）．{y =2x ‒1y =x 因为角A 的平分线所在的直线方程是y =x ，所以点C （2，5）关于y =x 的对称点C '（5，2）在AB 边所在的直线上．AB 边所在的直线方程为y -1=（x -1），2‒15‒1整理得x -4y +3=0．又BC 边上高线所在的直线方程是y =2x -1，所以BC 边所在的直线的斜率为-．12BC 边所在的直线的方程是y =-（x -2）+5，12整理得x +2y -12=0．联立x -4y +3=0与x +2y -12=0，解得B （7，）．52【解析】首先求出A 点的坐标，进而求出AB 边所在的直线方程，然后根据两直线垂直求出BC 边所在的直线的斜率和方程，最后联立方程即可求出B 得的坐标．考查了直线的一般方程和直线的截距方程、直线的位置关系等知识，属于基础题．19.【答案】解：（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ．由∠BCD =90°，得CD ⊥BC ，又PD ∩DC =D ，PD 、DC ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ．因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC ．（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则：易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等．又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍．由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ，因为PD =DC ，PF =FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ．易知DF =A 到平面PBC 的距离等于．222（方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ．因为AB ∥DC ，∠BCD =90°，所以∠ABC =90°．从而AB =2，BC =1，得△ABC 的面积S △ABC =1．由PD ⊥平面ABCD 及PD =1，得三棱锥P -ABC 的体积．V =13S △ABC ⋅PD =13因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC ．又PD =DC =1，所以．PC =PD 2+DC 2=2由PC ⊥BC ，BC =1，得△PBC 的面积．S △PBC =22由V A -PBC =V P -ABC ，，得，13S △PBC ⋅ℎ=V =13ℎ=2故点A 到平面PBC 的距离等于．2【解析】（1），要证明PC ⊥BC ，可以转化为证明BC 垂直于PC 所在的平面，由PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=90°，容易证明BC ⊥平面PCD ，从而得证；（2），有两种方法可以求点A 到平面PBC 的距离：方法一，注意到第一问证明的结论，取AB 的中点E ，容易证明DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等，而A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC ⊥平面PCD ，交线是PC ，所以只求D 到PC 的距离即可，在等腰直角三角形PDC 中易求；方法二，等体积法：连接AC ，则三棱锥P-ACB 与三棱锥A-PBC 体积相等，而三棱锥P-ACB 体积易求，三棱锥A-PBC 的地面PBC 的面积易求，其高即为点A 到平面PBC 的距离，设为h ，则利用体积相等即求．本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．20.【答案】解：如图，由已知l 1：a （x -2）-2（y -2）=0，l 2：2（x -2）+a 2（y -2）=0．∴l 1、l 2都过定点（2，2），且l 1的纵截距为2-a ，l 2的横截距为a 2+2．∴四边形面积S =×2×（2-a ）+×2×（2+a 2）=a 2-a +41212=（a -）2+，12154又0＜a ＜2，故当a =时，S min =．12154【解析】根据S 四边形OCEA =S △BCE -S △OAB 即可得出S=（a-）2+，结合二次函数最值的求法解答．本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）取AD 中点M ，连接MO ，PM ，依条件可知AD ⊥MO ，AD ⊥PO ，则∠PMO 为所求二面角P -AD -O 的平面角．∵PO ⊥面ABCD ，∴∠PAO 为侧棱PA 与底面ABCD 所成的角．∴tan ∠PAO =62设AB =a ，AO =，22∴PO =AO •tan ∠POA =a ，32tan ∠PMO ==．PO MO 3∴∠PMO =60°．（2）连接AE ，OE ，∵OE ∥PD ，∴∠OEA 为异面直线PD 与AE 所成的角．∵AO ⊥BD ，AO ⊥PO ，∴AO ⊥平面PBD ．又OE ⊂平面PBD ，∴AO ⊥OE ．∵OE =PD ==，1212PO 2+DO 254∴tan ∠AEO ==；AO EO 2105（3）延长MO 交BC 于N ，取PN 中点G ，连BG ，EG ，MG ．∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN∴平面PMN⊥平面PBC．又PM=PN，∠PMN=60°，∴△PMN为正三角形．∴MG⊥PN．又平面PMN∩平面PBC=PN，∴MG⊥平面PBC．∴F是AD的4等分点，靠近A点的位置．【解析】（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P-AD-O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，则tan∠PAO=，设AB=a，则AO=a，PO=AO•tan∠POA=a，MO=a，tan∠PMO=，∠PMO=60°；（2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB，故△AOE为直角三角形，OE=PD==a，所以tan∠AEO==；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA的中点F，连EF，则四边形MFEG为平行四边形，从而MG∥FE，EF⊥平面PBC，F是AD的4等分点，靠近A点的位置．本题考查二面角及平面角的求法，异面直线所成角的正切值的求法，难度较大，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．。