新高考数学复习第三章 直线与方程单元测试(基础版)附解析
高中直线与方程练习题及讲解
高中直线与方程练习题及讲解### 高中直线与方程练习题及讲解题目一：直线方程的求解题目描述：已知点A(2,3)和点B(-1,-2)，求经过这两点的直线方程。
解题步骤：1. 首先，我们需要找到直线的斜率。
斜率公式为 \( k = \frac{y_2- y_1}{x_2 - x_1} \)。
2. 将点A和点B的坐标代入公式，得到 \( k = \frac{-2 - 3}{-1 - 2} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3} \)。
3. 有了斜率，我们可以使用点斜式方程 \( y - y_1 = k(x - x_1) \) 来写出直线方程。
选择点A代入，得到 \( y - 3 = \frac{5}{3}(x - 2) \)。
4. 最后，将方程化为一般形式 \( Ax + By + C = 0 \)，得到 \( 5x - 3y + 1 = 0 \)。
题目二：直线的平行与垂直题目描述：已知直线 \( l_1: 3x - 4y + 5 = 0 \)，求与 \( l_1 \) 平行且与直线 \( 2x + y - 7 = 0 \) 垂直的直线方程。
解题步骤：1. 平行直线的斜率相同，所以 \( l_1 \) 的斜率为 \( k =\frac{3}{4} \)。
2. 垂直直线的斜率互为相反数的倒数，因此 \( l_1 \) 垂直的直线斜率为 \( -\frac{4}{3} \)。
3. 利用点斜式方程，我们可以选择直线 \( l_1 \) 上的一点，比如\( (0, 5/4) \)，代入 \( y - y_1 = k(x - x_1) \)，得到 \( y - \frac{5}{4} = -\frac{4}{3}(x - 0) \)。
4. 将方程化为一般形式，得到 \( 4x + 3y - 15 = 0 \)。
题目三：直线的交点题目描述：求直线 \( l_1: 2x + 3y - 6 = 0 \) 与直线 \( l_2: x - y + 1 = 0 \) 的交点坐标。
高中数学必修2第三章《直线与方程》单元检测卷含解析
高中数学必修2第三章《直线与方程》单元检测卷含解析必修2第三章《直线与方程》单元检测卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若直线过点(1,2)，(4,2+3)，则此直线的倾斜角是()A。
30° B。
45° C。
60° D。
90°2.如果直线ax+2y+2=与直线3x-y-2=平行，则系数a为()A。
-3 B。
-6 C。
-2/3 D。
2/33.下列叙述中不正确的是()A。
若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应。
B。
每一条直线都有唯一对应的倾斜角。
C。
与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°。
D。
若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα。
4.在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与直线y=x+a的图象（如图所示）正确的是（选项不清晰，无法判断）5.若三点A(3,1)，B(-2,b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于()A。
2 B。
3 C。
9 D。
-96.过点(3，-4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是()A。
x+y+1=0 B。
4x-3y=0 C。
4x+3y=0 D。
4x+3y=0或x+y+1=07.已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(-2，-3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A。
4 B。
13 C。
15 D。
178.设点A(2，-3)，B(-3，-2)，直线过P(1,1)且与线段AB 相交，则l的斜率k的取值范围是()A。
k≥3/4或k≤-4/3 B。
-4/3≤k≤3/4 C。
-3≤k≤4 D。
以上都不对9.已知直线l1：ax+4y-2=与直线l2：2x-5y+b=互相垂直，垂足为(1，c)，则a+b+c的值为()A。
-4 B。
20 C。
完整版)直线与方程测试题及答案解析
完整版)直线与方程测试题及答案解析1.若过点(1,2)和(4,5)的直线的倾斜角是多少？A。
30° B。
45° C。
60° D。
90°2.如果三个点A(3,1)。
B(-2,b)。
C(8,11)在同一直线上，那么实数b等于多少？A。
2 B。
3 C。
9 D。
-93.过点(1,2)，且倾斜角为30°的直线方程是什么？A。
y + 2 = (3/√3)(x + 1) B。
y - 2 = 3/2(x - 1) C。
3x - 3y + 6 - 3 = 0 D。
3x - y + 2 - 3 = 04.直线3x - 2y + 5 = 0和直线x + 3y + 10 = 0的位置关系是？A。
相交 B。
平行 C。
重合 D。
异面5.直线mx - y + 2m + 1 = 0经过一定点，则该点的坐标是多少？A。
(-2,1) B。
(2,1) C。
(1,-2) D。
(1,2)6.已知ab < 0，bc < 0，则直线ax + by + c = 0通过哪些象限？A。
第一、二、三象限 B。
第一、二、四象限 C。
第一、三、四象限 D。
第二、三、四象限7.点P(2,5)到直线y = -3x的距离d等于多少？A。
√(23/2) B。
√(2/23) C。
√(23+5) D。
√(22)8.与直线y = -2x + 3平行，且与直线y = 3x + 4交于x轴上的同一点的直线方程是什么？A。
y = -2x + 4 B。
y = (1/2)x + 4 C。
y = -2x - 3 D。
y = (2/3)x - 39.如果直线y = ax - 2和直线y = (a+2)x + 1互相垂直，则a 等于多少？A。
2 B。
1 C。
-1 D。
-210.已知等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是3x - y + 2 = 0，直角顶点是C(3,-2)，则两条直角边AC，BC的方程是什么？A。
3x - y + 5 = 0.x + 2y - 7 = 0 B。
高中数学必修二第三章直线与方程知识点与常考题(附解析)
必修二第三章直线与方程知识点与常考题(附解析)知识点：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k tan k α=当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ； （ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。
新高考数学复习第三章 直线与方程单元测试(基础版)
21．（2020 全国高二课时练）求连接下列两点的线段的长度和中点坐标：
(1) A7, 4, B 3, 2 ； (2) M 3,1, N 2,1 ； (3) P 6, 4,Q 2, 2 .
22．已知两条直线 l1 : a 1 x 2 y 1 0,l2 : x ay 3 0 ．
（1）若 l1 / /l2 ，求实数 a 的值；
（2）若 l2 l1 ，求实数 a 的值.
如何学好数学
1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致 k 算不出，这时你可以取特殊值 法强行算出 k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解 的表达式，就 ok 了 2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差 2 倍的小的 就是答案，体积找到差 3 倍的小的就是答案，屡试不爽！ 3.三角函数第二题，如求 a(cosB+cosC)/(b+c)coA 之类的先边化角然后把第一题算
16．（2020 上海高二课时练习）若直线 2a2 4a x a2 4 y 5a2 0 的倾斜角是 ，则实数 a 是 4
_______________.
三、解答题 共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（2020 全国高二课时练）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的 倾斜角 α. (1)A(2,3)，B(4,5)； (2)C(－2,3)，D(2，－1)； (3)P(－3,1)，Q(－3,10)．
数学无耻得分综合篇！ 做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇 到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特 殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证
2020年高一下学期人教版必修二第三章 直线与方程(单元检测)含答案
第三章 直线与方程单元测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．135°2．若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝⎛⎭⎫12，m 三点共线，则m 的值为( ) A ．12 B ．－12C ．－2D ．23．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则系数a 为( ) A ．－3 B ．－6 C ．－32D ．234．过点P (4，－1)，且与直线3x －4y ＋6＝0垂直的直线方程是( ) A ．4x ＋3y －19＝0 B ．4x ＋3y －13＝0 C ．3x ＋4y －16＝0D ．3x ＋4y －8＝05．已知直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，所有直线都通过定点( ) A ．⎝⎛⎭⎫－12，3 B ．⎝⎛⎭⎫12，3 C ．⎝⎛⎭⎫12，－3D ．⎝⎛⎭⎫－12，－3 6．已知A (2,4)与B (3,3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y －6＝0D ．x －y ＋1＝07．两平行直线5x ＋12y ＋3＝0与10x ＋24y ＋5＝0之间的距离是( ) A ．213B ．113C ．126D ．5268．与直线l ：3x －5y ＋4＝0关于x 轴对称的直线的方程为( ) A ．3x ＋5y ＋4＝0 B ．3x －5y －4＝0 C ．5x －3y ＋4＝0D ．5x ＋3y ＋4＝09．若点A (－2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．k ≤34或k ≥43B ．k ≤－43或k ≥－34C ．34≤k ≤43D ．－43≤k ≤－3410．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A．－4 B．－2 C．0 D．211．如图1，已知点A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程为()图1A．210 B．10C．2 3 D．3 312．直线l过点P(1,3)，且与x，y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是()A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知点A(2,1)，B(－2,3)，C(0,1)，则△ABC中，BC边上的中线长为________.14．直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为________.15．经过两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程为________．16．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P(1,1)．(1)求直线l的方程；(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A′的坐标．18．（(本小题满分12分)已知两条直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合.19． (本小题满分12分)在x 轴的正半轴上求一点P ，使以A (1,2)，B (3,3)及点P 为顶点的△ABP 的面积为5.20． (本小题满分12分)如图2所示，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程.图221． (本小题满分12分)如图3，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．图3(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积.22． (本小题满分12分)已知点M (3,5)，在直线l ：x －2y ＋2＝0和y 轴上各找一点P 和Q ，当△MPQ 的周长最小时，求点P ，Q 的坐标．第三章 直线与方程单元测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．135°【答案】D [由题意可知，直线l 的斜率为－1，故由tan 135°＝－1，可知直线l 的倾斜角为135°.] 2．若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝⎛⎭⎫12，m 三点共线，则m 的值为( ) A ．12 B ．－12C ．－2D ．2【答案】A [由－2－33－(－2)＝m ＋212－3，得m ＝12.选A.]3．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则系数a 为( ) A ．－3 B ．－6 C ．－32D ．23【答案】B [两直线平行，斜率相等，所以－a2＝3，所以a ＝－6.选B.]4．过点P (4，－1)，且与直线3x －4y ＋6＝0垂直的直线方程是( ) A ．4x ＋3y －19＝0 B ．4x ＋3y －13＝0 C ．3x ＋4y －16＝0D ．3x ＋4y －8＝0【答案】B [因为3x －4y ＋6＝0的斜率为34，所以与其垂直的直线的斜率为－43.故所求方程为y ＋1＝－43(x －4)，即4x ＋3y －13＝0.]5．已知直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，所有直线都通过定点( ) A ．⎝⎛⎭⎫－12，3 B ．⎝⎛⎭⎫12，3 C ．⎝⎛⎭⎫12，－3 D ．⎝⎛⎭⎫－12，－3 【答案】D [直线2x －my ＋1－3m ＝0可化为2x ＋1－m (y ＋3)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－3.即当m 变动时，所有直线都通过定点⎝⎛⎭⎫－12，－3. 选D.]6．已知A (2,4)与B (3,3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y －6＝0D ．x －y ＋1＝0【答案】D [k AB ＝4－32－3＝－1，故直线l 的斜率为1，AB 的中点为⎝⎛⎭⎫52，72， 故l 的方程为y －72＝x －52，即x －y ＋1＝0.]7．两平行直线5x ＋12y ＋3＝0与10x ＋24y ＋5＝0之间的距离是( ) A ．213B ．113C ．126D ．526【答案】C [5x ＋12y ＋3＝0可化为10x ＋24y ＋6＝0.由平行线间的距离公式可得d ＝|6－5|102＋242＝126.]8．与直线l ：3x －5y ＋4＝0关于x 轴对称的直线的方程为( ) A ．3x ＋5y ＋4＝0 B ．3x －5y －4＝0 C ．5x －3y ＋4＝0D ．5x ＋3y ＋4＝0【答案】A [因为点(x ，y )关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，所以只需将已知直线中的变量y 变为－y 即可，即为3x ＋5y ＋4＝0.]9．若点A (－2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．k ≤34或k ≥43B ．k ≤－43或k ≥－34C ．34≤k ≤43D ．－43≤k ≤－34【答案】C [如图．计算得：k P A ＝43，k PB ＝34，由题意得34≤k ≤43.]10．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2【答案】B [因为l 的斜率为tan 135°＝－1，所以l 1的斜率为1，所以k AB ＝2－(－1)3－a ＝1，解得a ＝0.又l 1∥l 2，所以－2b＝1，解得b ＝－2，所以a ＋b ＝－2.]11．如图1，已知点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到点P ，则光线所经过的路程为( )图1A ．210B ．10C ．2 3D ．3 3【答案】A [设点P 关于直线AB 的对称点为P 1，点P 关于y 轴的对称点为P 2，则|P 1P 2|即为所求路程．又直线AB 的方程为x ＋y －4＝0，所以P 1(4,2)，P 2(－2,0)，故|P 1P 2|＝210.]12．直线l 过点P (1,3)，且与x ，y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋3y －10＝0C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0【答案】A [设直线方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝12，1a ＋3b＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.∴x 2＋y6＝1.化为一般式为3x ＋y －6＝0.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________. 【答案】10 [BC 中点为(－1,2)，所以BC 边上中线长为(2＋1)2＋(1－2)2＝10.]14．直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为________. 【答案】－23 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 22＝－1，又y 1＝1，∴y 2＝－3，代入方程x －y －7＝0，得x 2＝4，即B (4，－3)，又x 1＋x 22＝1，∴x 1＝－2，即A (－2,1)， ∴k AB ＝－3－14－(－2)＝－23.]15．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为________．【答案】2x ＋3y －2＝0 [由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得交点A (－2，2)，因为所求直线垂直于直线3x －2y ＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23，由点斜式得所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.]16．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________． 【答案】(2,4) [设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 即为所求．又k AC ＝6－23－1＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M (2,4)．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． (本小题满分10分)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)．(1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标． 【答案】(1)∵k ＝tan 135°＝－1， ∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设A ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．18． (本小题满分12分)已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2： (1)相交；(2)平行；(3)重合.【答案】当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2. 当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0， ∴l 1与l 2相交．当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m 23m ，得m ＝－1或m ＝3，由1m －2＝62m ，得m ＝3.故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．19． (本小题满分12分)在x 轴的正半轴上求一点P ，使以A (1,2)，B (3,3)及点P 为顶点的△ABP 的面积为5. 【答案】设点P 的坐标为(a,0)(a ＞0)，点P 到直线AB 的距离为d . 由已知，得S △ABP ＝12|AB |·d ＝12(3－1)2＋(3－2)2·d ＝5，解得d ＝2 5.由已知易得，直线AB 的方程为x －2y ＋3＝0， 所以d ＝|a ＋3|1＋(－2)2＝25， 解得a ＝7或a ＝－13(舍去)， 所以点P 的坐标为(7,0)．20． (本小题满分12分)如图2所示，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程.图2【答案】由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3， 所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.21． (本小题满分12分)如图3，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．图3(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积.【答案】(1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为y －2＝x －3， 即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ，∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2.22． (本小题满分12分)已知点M (3,5)，在直线l ：x －2y ＋2＝0和y 轴上各找一点P 和Q ，当△MPQ 的周长最小时，求点P ，Q 的坐标．【答案】如图，作点M 关于直线l 的对称点M 1，再作点M 关于y 轴的对称点M 2，连接M 1M 2，M 1M 2与直线l 及y 轴分别交于P ，Q 两点，由轴对称及平面几何的知识，知这样得到的△MPQ 的周长最小． 由点M (3,5)及直线l ，可求得点M 1的坐标为(5,1)， 点M 关于y 轴的对称点M 2的坐标为(－3,5)， 可得直线M 1M 2的方程为x ＋2y －7＝0. 令x ＝0，得M 1M 2与y 轴的交点Q ⎝⎛⎭⎫0，72. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －7＝0，x －2y ＋2＝0，得交点P ⎝⎛⎭⎫52，94. 综上，点P ⎝⎛⎭⎫52，94，Q ⎝⎛⎭⎫0，72即为所求．。
高中数学 人教A版 必修2 第三章 直线与方程 高考复习习题(解答题1-100)含答案解析
高中数学 人教A 版 必修2 第三章 直线与方程 高考复习习题（解答题1-100）含答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题 1．设椭圆的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 .（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程； （2）设 为坐标原点，证明： . 2．如图，圆 ： ． （1）若圆 与 轴相切，求圆 的方程； （2）求圆心 的轨迹方程；（3）已知 ，圆 与 轴相交于两点 （点 在点 的左侧）．过点 任作一条直线与圆 ： 相交于两点 ．问：是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出实数 的值，若不存在，请说明理由。
3．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点()()5,1,1,5A B .（1）若A 为ABC ∆的直角顶点，且顶点C 在y 轴上，求BC 边所在直线方程； （2）若等腰ABC ∆的底边为BC ，且C 为直线:23l y x =+上一点，求点C 的坐标. 4．过点()2,1P 作直线l 分别交,x y 轴的正半轴于,A B 两点. 取最小值时，求出最小值及直线l 的方程； 取最小值时，求出最小值及直线l 的方程； 取最小值时，求出最小值及直线l 的方程.5．在直角坐标系 中，椭圆的离心率为，点在椭圆 上． （1）求椭圆 的方程；（2）若斜率存在，纵截距为 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，若直线 的斜率均存在，求证：直线 的斜率依次成等差数列． 6．设 、 分别是椭圆的左、右焦点.若 是该椭圆上的一个动点，的最大值为1. （1）求椭圆 的方程；（2）设直线 与椭圆 交于 两点，点 关于 轴的对称点为 ( 与 不重合)，则直线 与 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.7．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等边三角形，且1AA ⊥平面ABC , D 为AB 的中点，(Ⅰ) 求证：直线1//BC 平面1ACD ； (Ⅱ) 若12,AB BB E ==是1BB 的中点，求三棱锥1A CDE -的体积；8．如图，三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ， AB BC ⊥，点,D E 在线段AC 上，且2AD DE EC ===， 4PD PC ==，点F 在线段AB 上，且//EF 平面PBC .（1）证明： //EF BC ； （2）证明： AB ⊥平面PEF ；（3）若四棱锥P DFBC -的体积为7，求线段BC 的长.9．（题文）（题文）已知两条直线 ． （1）若 ，求实数 的值； （2）若 ，求实数 的值．10．已知直线l 经过点P （2，2）且分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于A 、B 两点，O为坐标原点.(1)求AOB ∆面积的最小值及此时直线l 的方程； (2)l 的方程.11．为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况，对他们的 次数学测试成绩（满分 分）进行统计，作出如下的茎叶图，其中 处的数字模糊不清,已知甲同学成绩的中位数是 ，乙同学成绩的平均分是 分.甲 乙（1）求 和 的值;（2）现从成绩在 之间的试卷中随机抽取两份进行分析,求恰抽到一份甲同学试卷的概率.12．在平面直角坐标系中，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线 的极坐标方程为：，点 ，参数 .（1）求点 轨迹的直角坐标方程； （2）求点 到直线 距离的最小值.13．如图，四棱锥P ABCD -中， PA ⊥平面A B C D ， AD BC ，3AB AD AC ===， 4PA BC ==， M 为线段AD 上一点， 2AM MD =， N为PC 的中点.（1）证明： MN 平面PAB ；（2）求异面直线AN 与CD 所成角的余弦值.14．已知圆 ，圆 的圆心为 ， 与 交于点 ，过点 且斜率为 的直线 分别交 、 于点 ． （1）若 且 ，求的方程；（2）过点 作垂直于 的直线 分别交 、 于点 ，当 为常数时，试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．15．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱2AB =， ,D E 分别为棱11,AC B C 的中点， ,M N 分别为线段1AC 和BE 的中点.（1）求证：直线//MN 平面ABC ； （2）求二面角C BD E --的余弦值.16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，右顶点分别为A ， B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ， Q 两点(点P 在x 轴上方)．（1）若2QF FP =，求直线l 的方程；（2）设直线AP ， BQ 的斜率分别为1k ， 2k ．是否存在常数λ，使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．17（1）求椭圆C 的方程；（2）设12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，不经过1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B ，如果直线1AF 、l 、1BF 的斜率依次成等差数列，求焦点2F 到直线l 的距离d 的取值范围.18．已知圆 与圆 ：关于直线 对称，且点在圆 上． （1）判断圆 与圆 的公切线的条数；（2）设 为圆 上任意一点，，， 三点不共线， 为 的平分线，且交 于 ，求证： 与 的面积之比为定值．19 2F 为椭圆C 的右焦点，12,A A 分别为椭圆C 的左，右两个顶点.若过点()4,0B 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且线段12,MA MA 的斜率之积为 （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线1A M 与2A N 相交于点G ，证明： 2,,G P F 三点共线.20．已知 = ，- ， =，若存在非零实数k ，t 使得 ， ，且 ⊥,试求：的最小值． 21．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＝8，当2≤x ≤3时，求yx的最大值与最小值． 22．设点()11A --，， ABC ∆是正三角形，且点B C 、在曲线10xy x =（＞）上． （1）证明：点B C 、关于直线y x =对称； （2）求ABC ∆的周长． 23．已知椭圆的左右顶点分别为 、 ， 为椭圆 上不同于 ， 的任意一点.(1)求 的正切的最大值并说明理由；(2)设 为椭圆 的右焦点，直线 与椭圆 的另一交点为 ， 的中点为 ，若 ，求直线 的斜率.24．（双鸭山）已知圆22:4230P x y x y +-+-=和圆外一点(4,8)M -． （1）过点M 作圆的割线交圆于,A B 两点，若||4AB =，求直线AB 的方程； （2）过点M 作圆的两条切线，切点分别为,C D ，求切线长及CD 所在直线的方程． 25．已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-. （1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ,时，求k 的值.（2是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线,PC PD ，切点为,C D ，探究：直线CD 是否过定点；（3）若,EF GH 为圆22:2O x y +=边形FGFH 的面积的最大值.26．（题文）在直角坐标系中，椭圆 ：的左、右焦点分别为 ， ，其中 也是抛物线 ： 的焦点，点 为 与 在第一象限的交点，且． （1）求椭圆的方程；（2）过 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于 、 两点，若线段 上存在定点 使得以 、 为邻边的四边形是菱形，求 的取值范围．27．如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形， 且 ， 分别为 的中点． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求证：平面 平面 ； （Ⅲ）求三棱锥 的体积．28．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线上横坐标为12的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等。
2021-2022学年高中数学 第三章 直线与方程测评作业(含解析)新人教A版必修2
第三章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线x-√3y-1=0的倾斜角α的大小为( )A .30°B .60°C .120°D .150°x-√3y-1=0的斜率为k=√33,故tan α=√33.∵0°≤α<180°,∴α=30°.2.若直线l 1:2x-ay-1=0过点(1,1),则直线l 1与l 2:x+2y=0的位置关系为( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直D.相交于点(2,-1)解析因为直线l 1:2x-ay-1=0过点(1,1),所以2-a-1=0,解得a=1,所以直线l 1的方程为2x-y-1=0,其斜率k 1=2,因为l 2:x+2y=0,其斜率k 2=-12,所以k 1·k 2=2×-12=-1,所以l 1与l 2垂直,故选C .3.如图,在同一直角坐标系中,表示直线y=ax 与y=x+a 正确的是( )a>0时,A,B,C,D 均不成立;当a<0时,只有C 成立,故选C .4.过点P (1,2),且与原点距离最大的直线方程是( ) A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=0:因为选项的四条直线都过P 点,且原点到选项A 、B 、C 、D 所表示的直线的距离分别为d A =√5=√5,d B =√5,d C =√10,d D =√10,所以d D <d B <d C <d A ,故选A . 方法二:因为过点P (1,2),且与原点距离最大的直线方程必与直线OP 垂直,k OP =2,所以所求的直线的斜率为-12,根据直线的点斜式方程,得y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0,故选A .5.与直线2x+y-3=0平行,且距离为√5的直线方程是 ( )A .2x+y+2=0B .2x+y-8=0C .2x+y+2=0或2x+y-8=0D .2x+y-2=0或2x+y+8=02x+y+C=0,则√5=√5,解得C=2或C=-8.所以所求直线方程为2x+y+2=0或2x+y-8=0.6.若直线x m +y n =1与直线5x-7y+1=0相互平行,则mn 等于( )A.-75B.75C.-57D.57解析直线x m +y n =1的斜率为-n m ,由两直线平行得-n m =57,即m n =-75.7.若直线l 1:y=kx+1与l 2:x-y-1=0的交点在第一象限内,则k 的取值范围是( ) A.k>1B.-1<k<1C.k<-1或k>1D.k<-1{y =kx +1,x -y -1=0,解得{x =21-k ,y =1+k 1-k,∵两直线的交点在第一象限,∴{21-k>0,1+k 1-k>0,解得-1<k<1.8.设点A (-2,3),B (3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB 没有交点,则a 的取值范围是( )A.(-∞,-52]∪[43,+∞)B.(-43,52)C.(-52,43)D.(-∞,-43]∪[52,+∞),直线ax+y+2=0恒过点C (0,-2),k AC =-52,k BC =43,故-52<-a<43,即-43<a<52.9.过点P(1,3),且与x,y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是()A.3x+y-6=0B.x+3y-10=0C.3x-y=0D.x-3y+8=0解析设所求直线的方程为xa +yb=1(a>0,b>0),则有12ab=6,且1a+3b=1.由{12ab=6,1a+3b=1,解得{a=2,b=6.故所求直线的方程为x2+y6=1,即3x+y-6=0.10.过点(2,4)可作在x轴,y轴上的截距相等的直线条数为()A.1B.2C.3D.4x轴,y轴上的截距相等且为0时,直线过原点,方程为y=2x;当截距不为0时,设直线方程为xa +ya=1,又直线过点(2,4),所以方程为x+y-6=0;所以有两条直线满足题意.故选B.11.将一张坐标纸折叠一次,使点(10,0)与(-6,8)重合,则与点(-4,2)重合的点是()A.(4,-2)B.(4,-3)C.(3,32)D.(3,-1)(10,0)和(-6,8)为端点的线段的垂直平分线的方程为y=2x,则(-4,2)关于直线y=2x的对称点即为所求点.设所求点为(x0,y0),则{y0-2x0+4=-12,y0+2 2=2·x0-42,解得{x0=4,y0=-2.12.若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),下面四个结论正确的个数是()①AB ∥CD ;②AB ⊥AD ;③|AC|=|BD|;④AC ⊥BD.A .1B .2C .3D .4k AB =-4-26+4=-35,k CD =12-62-12=-35, ∴AB ∥CD ;②∵k AB =-35,k AD =12-22+4=53, ∴k AB ·k AD =-1,∴AB ⊥AD ;③∵|AC|=√(12+4)2+(6-2)2=4√17,|BD|=√(2-6)2+(12+4)2=4√17,∴|AC|=|BD|;④∵k AC =6-212+4=14,k BD =12+42-6=-4,∴k AC ·k BD =-1,∴AC ⊥BD.综上知,①②③④均正确.故选D .二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.直线y=5x+3绕其与y 轴的交点旋转90°的直线方程是 .x=0时,y=3,因为旋转后的直线的斜率k=-15,所以直线方程为y=-x5+3,即x+5y-15=0.5y-15=014.若倾斜角为45°的直线m 被平行线l 1:x+y-1=0与l 2:x+y-3=0所截得的线段为AB ,则AB 的长为 .,直线m 与直线l 1,l 2垂直,则由两平行线间的距离公式得|AB|=√12+12=√2.√215.已知光线通过点M (-3,4),被直线l :x-y+3=0反射,反射光线通过点N (2,6),则反射光线所在直线的方程是 .光线通过点M (-3,4),设点M 关于直线l :x-y+3=0的对称点K (x ,y ),∴{y -4x+3=-1,x -32-y+42+3=0,解得{x =1,y =0,即K (1,0).∵N (2,6),∴直线NK 的斜率为6,∴反射光线所在直线的方程是6x-y-6=0.x-y-6=016.在函数y=4x 2的图象上求一点P ,使P 到直线y=4x-5的距离最短,则P 点的坐标为 .4x-y-5=0.设P (a ,4a 2),则点P 到直线的距离为d=2√42+(-1)=|-4(a -12)2-4|√17=4(a -12)2+4√17.当a=12时,点P (12,1)到直线的距离最短,最短距离为4√1717. (12,1) 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)在△ABC 中,已知A (5,-2),B (7,3),且AC 边的中点M 在y 轴上,BC 边的中点N 在x 轴上,求: (1)顶点C 的坐标.(2)直线MN的方程.解(1)设C(x0,y0),则AC边的中点M的坐标为x0+52,y0-22,BC边的中点N的坐标为x0+7 2,y0+32,因为点M在y轴上,所以x0+52=0,解得x0=-5.又因为点N在x轴上,所以y0+32=0,所以y0=-3.即点C的坐标为(-5,-3).(2)由(1)可得M0,-52,N(1,0),所以直线MN的方程为x1+y-52=1,即5x-2y-5=0.18.(本小题满分12分)已知两条直线l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0,当m为何值时,l1与l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合?m=0时,l1:x+6=0,l2:x=0,故l1∥l2.当m=2时,l1:x+4y+6=0,l2:3y+2=0,故l1与l2相交.当m≠0,且m≠2时,由1m-2=m23m,得m=-1或m=3;由1m-2=62m,得m=3.故(1)当m≠-1,且m≠3,且m≠0时,l1与l2相交.(2)当m=-1或m=0时,l1∥l2.(3)当m=3时,l1与l2重合.19.(本小题满分12分)已知直线l的方程为2x-y+1=0.(1)求过点A(3,2),且与l垂直的直线的方程;(2)求与l 平行,且到点P (3,0)的距离为√5的直线的方程.直线l 的斜率为2,故所求直线的斜率为-12,因为所求直线过点A (3,2),故所求直线方程为y-2=-12(x-3),即x+2y-7=0.(2)依题意设所求直线方程为2x-y+c=0, 点P (3,0)到该直线的距离为√5, 有√22+(-1)=√5,解得c=-1或c=-11,故所求直线方程为2x-y-1=0或2x-y-11=0.20.(本小题满分12分)已知方程(m 2-2m-3)x+(2m 2+m-1)y+6-2m=0(m ∈R ). (1)求该方程表示一条直线的条件;(2)当m 为何实数时,方程表示的直线斜率不存在?求出这时的直线方程; (3)已知方程表示的直线l 在x 轴上的截距为-3,求实数m 的值; (4)若方程表示的直线l 的倾斜角是45°,求实数m 的值.当x ,y 的系数不同时为零时,方程表示一条直线,令m 2-2m-3=0,解得m=-1或m=3; 令2m 2+m-1=0,解得m=-1或m=12.所以方程表示一条直线的条件是m ∈R 且m ≠-1.(2)由(1)易知,当m=12时,方程表示的直线的斜率不存在, 此时的方程为x=43,它表示一条垂直于x 轴的直线. (3)依题意,有2m -6m 2-2m -3=-3,所以3m 2-4m-15=0, 所以m=3或m=-53,由(1)知所求m=-53.(4)因为直线l 的倾斜角是45°,所以直线l 的斜率为1,故由-m 2-2m -32m 2+m -1=1,所以3m 2-m-4=0,解得m=43或m=-1(舍去).所以直线l 的倾斜角为45°时,m=43.21.(本小题满分12分)等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x-y=0,一条直角边所在的直线l 的斜率为12,且经过点(4,-2),且此三角形的面积为10,求此等腰直角三角形的直角顶点的坐标.C ,C 到直线3x-y=0的距离为d.则12·d ·2d=10,解得d=√10.∵直线l 的斜率为12,∴直线l 的方程为y+2=12(x-4), 即x-2y-8=0.设l'是与直线3x-y=0平行且距离为√10的直线,则l'与l 的交点就是点C.设l'的方程是3x-y+m=0,则√32+(-1)=√10,解得m=±10,∴l'的方程是3x-y ±10=0,由方程组{x -2y -8=0,3x -y -10=0及{x -2y -8=0,3x -y +10=0,得点C 坐标是(125,-145)或(-285,-345).22.(本小题满分12分)为了绿化城市,拟在如图所示的矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪,其中在△AEF 区域内有一文物保护区不能被占用.经测量AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应如何设计才能使草坪面积最大?并求出草坪的最大面积.,则E (30,0),F (0,20),线段EF 的方程为x 30+y20=1(0≤x ≤30).在线段EF 上取点P (m ,n ),作PQ ⊥BC 于点Q ,作PR ⊥CD 于点R ,设矩形草坪PQCR 的面积为S m 2,则S=|PQ|·|PR|=(100-m )(80-n ).又m 30+n 20=1(0≤m ≤30),所以n=20-23m ,于是S=(100-m )80-20+23m=-23(m-5)2+180503(0≤m ≤30), 所以当m=5时,S max =180503, 此时|EP|=30-55|PF|=5|PF|.故当矩形草坪的一组邻边分别在BC ,CD 上,其中一个顶点P 在线段EF 上,且满足|EP|=5|PF|时,面积最大,最大面积为180503m 2.。
高中数学必修二第三章《直线与方程》单元测试卷及答案
高中数学必修二第三章《直线与方程》单元测试卷及答案(（2套）单元测试题一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则必有（）A．k1<k3<k2 B．k3<k1<k2 C．k1<k2<k3 D．k3<k2<k12．直线x＋2y－5＝0与2x＋4y＋a＝0之间的距离为5，则a等于（）A．0 B．－20 C．0或－20 D．0或－103．若直线l1：ax＋3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则a的值是（）A．－3 B．2 C．－3或2 D．3或－24．下列说法正确的是（）A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示C．不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示5．点M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)，则（）A．m＝－3，n＝10 B．m＝3，n＝10C．m＝－3，n＝5 D．m＝3，n＝56．以A(1，3)，B(－5，1)为端点的线段的垂直平分线方程是（）A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝07．过点M(2，1)的直线与x轴，y轴分别交于P，Q两点，且|MP|＝|MQ|，则l的方程是（）A．x－2y＋3＝0 B．2x－y－3＝0C ．2x ＋y －5＝0D ．x ＋2y －4＝08．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该点的坐标是（ ） A ．(－2，1)B ．(2，1)C ．(1，－2)D ．(1，2)9．如果AC <0且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是（ ） A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0D ．2x ＋3y ＋8＝011．已知点P (a ，b )和Q (b －1，a ＋1)是关于直线l 对称的两点，则直线l 的方程是（ ） A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝012．设x ＋2y ＝1，x ≥0，y ≥0，则x 2＋y 2的最小值和最大值分别为（ ） A ．15，1B ．0，1C ．0，15D ．15，2二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．不论a 为何实数，直线(a ＋3)x ＋(2a －1)y ＋7＝0恒过第________象限． 14．原点O 在直线l 上的射影为点H (－2，1)，则直线l 的方程为______________． 15．经过点(－5，2)且横、纵截距相等的直线方程是____________________． 16．与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且在两坐标轴上截距之和为73的直线l 的方程为______________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)已知直线2x ＋(t －2)y ＋3－2t ＝0，分别根据下列条件，求t 的值： （1）过点(1，1)；（2）直线在y 轴上的截距为－3．18．(12分)直线l 过点(1，4)，且在两坐标轴上的截距的积是18，求此直线的方程．19．(12分)光线从A(－3，4)点出发，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过D(－1，6)点，求直线BC的方程．20．(12分)如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1，2)，B(4，0)，一条河所在的直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最省，那么供水站P应建在什么地方？21．(12分)已知△ABC的顶点A为(3，－1)，AB边上的中线所在直线方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在直线方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程．22．(12分)已知直线l过点P(3，1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长度为5，求直线l的方程．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】A【解析】由于直线1l 向左倾斜，故10k <，直线2l 与直线3l 均向右倾斜，且2l 更接近y 轴，所以：1320k k k <<<，故选A ． 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】D【解析】斜率有可能不存在，截距也有可能不存在．故选D ． 5．【答案】D【解析】由对称关系462n =+，239m -=-，可得m ＝3，n ＝5．故选D ． 6．【答案】B【解析】所求直线过线段AB 的中点(－2，2)，且斜率k ＝－3， 可得直线方程为3x ＋y ＋4＝0．故选B ． 7．【答案】D【解析】由题意可知M 为线段PQ 的中点，Q (0，2)，P (4，0)， 可求得直线l 的方程x ＋2y －4＝0．故选D ． 8．【答案】A【解析】将原直线化为点斜式方程为y －1＝m (x ＋2)， 可知不论m 取何值直线必过定点(－2，1)．故选A ． 9．【答案】C【解析】将原直线方程化为斜截式为A Cy x B B=--，由AC <0且BC <0，可知AB >0，直线斜率为负，截距为正，故不过第三象限．故选C ． 10．【答案】D【解析】所求直线与已知直线平行，且和点(1，－1)等距， 不难求得直线为2x ＋3y ＋8＝0．故选D ． 11．【答案】D 【解析】∵k PQ ＝11a bb a+---＝－1，∴k l ＝1．显然x －y ＝0错误，故选D ．12．【答案】A【解析】x 2＋y 2为线段AB 上的点与原点的距离的平方，由数形结合知， O 到线段AB 的距离的平方为最小值，即d 2＝15，|OB |2＝1为最大值．故选A ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】二【解析】直线方程可变形为：(3x －y ＋7)＋a (x ＋2y )＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＋7＝0x ＋2y ＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1． ∴直线过定点(－2，1)．因此直线必定过第二象限． 14．【答案】2x －y ＋5＝0【解析】所求直线应过点(－2，1)且斜率为2，故可求直线为2x －y ＋5＝0． 15．【答案】y ＝－25x 或x ＋y ＋3＝0【解析】不能忽略直线过原点的情况． 16．【答案】3x ＋4y －4＝0【解析】所求直线可设为3x ＋4y ＋m ＝0，再由－3m －4m ＝73，可得m ＝－4．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）3；（2）95．【解析】（1）代入点(1，1)，得2＋(t －2)＋3－2t ＝0，则t ＝3．（2）令x ＝0，得y ＝232t t --＝－3，解得t ＝95．18．【答案】2x ＋y －6＝0或8x ＋y －12＝0． 【解析】设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，则18141ab a b=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得36a b =⎧⎨=⎩或3212a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 则直线l 的方程2x ＋y －6＝0或8x ＋y －12＝0． 19．【答案】5x －2y ＋7＝0． 【解析】如图所示，由题设，点B 在原点O 的左侧，根据物理学知识，直线BC 一定过(－1，6)关于y 轴的对称点(1，6)，直线AB 一定过(1，6)关于x 轴的对称点(1，－6)且k AB ＝k CD ， ∴k AB ＝k CD ＝4631+--＝－52．∴AB 方程为y －4＝－52(x ＋3)． 令y ＝0，得x ＝－75，∴B 7,05⎛⎫- ⎪⎝⎭．CD 方程为y －6＝－52(x ＋1)． 令x ＝0，得y ＝72，∴C 70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∴BC 的方程为75x -＋72y＝1，即5x －2y ＋7＝0．20．【答案】见解析． 【解析】如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ， 若P ′(异于P )在直线上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |． 因此，供水站只有在P 点处，才能取得最小值，设A ′(a ，b )， 则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ，即1221002221112a b a a ++⎧+⨯-=⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⋅-=- ⎪⎪-⎝⎭⎩解得36a b =⎧⎨=⎩即A ′(3，6)．所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得38113611x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫3811，3611．故供水站应建在点P ⎝⎛⎭⎫3811，3611处． 21．【答案】2x ＋9y －65＝0． 【解析】设B (4y 1－10，y 1)，由AB 中点在6x ＋10y －59＝0上，可得：114716+1059=22y y --⋅⋅-0，y 1＝5， 所以B (10，5)．设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则有3141002211134x y y x ''''⎧+--⋅+=⎪⎪⎨+⎪⋅=-⎪-⎩⇒A ′(1，7)，∵点A ′(1，7)，B (10，5)在直线BC 上，∴51075110y x --=--，故BC ：2x ＋9y －65＝0． 22．【答案】x ＝3或y ＝1．【解析】若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与直线l 1，l 2的交点分别为A (3，－4)，B (3，－9)．截得的线段AB 的长为|AB |＝|－4＋9|＝5，符合题意． 若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1．解方程组()311y k x x y ⎧=-+⎪⎨++=0⎪⎩得321411k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩所以点A 的坐标为3241,11k k k k --⎛⎫- ⎪++⎝⎭．解方程组()316y k x x y ⎧=-+⎪⎨++=0⎪⎩得371911k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩，所以点B 的坐标为3791,11k k k k --⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为|AB |＝5，所以2232374191=251111k k k k k k k k --⎡--⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 解得k ＝0，即所求直线为y ＝1．综上所述，所求直线方程为x ＝3或y ＝1．单元测试二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l 经过两点()()1,2,2,1P Q -，那么直线l 的斜率为（ ）A ．3-B ．13-C ．13D ．32．直线l 过点P (－1,2)，倾斜角为45°，则直线l 的方程为（ ） A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x －y －3＝0D ．x －y ＋3＝03．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则a 的值为（ ） A ．－3 B ．－6C ．32D ．234．直线2x a －2y b ＝1在y 轴上的截距为（ ） A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b5．已知点A (3,2)，B (－2，a )，C (8,12)在同一条直线上，则a 的值是（ ） A ．0B ．－4C ．－8D ．46．如果AB <0，BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0， 则实数m 的值是（ ）A ．－2B ．－7C ．3D ．18．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＝5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是（ ） A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．3x ＋19y ＝0D ．19x －3y ＝09．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点（ ） A ．(0,0)B ．(17，27) C ．(27，17) D ．(17，114) 10．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是（ ） A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝011．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于（ ） A ．－4B ．－2C ．0D ．212．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A ，C 的坐标分别为(0,4)，(3,3)， 则点B 的坐标可能是（ ） A ．(2,0)或(4,6)B ．(2,0)或(6,4)C ．(4,6)D ．(0,2)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为 M (1，－1)，则直线l 的斜率为_________．14．点A (3，－4)与点B (5,8)关于直线l 对称，则直线l 的方程为_________．15．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为_________．16．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°，其中正确答案的序号是_________．(写出所有正确答案的序号)三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)已知直线l 经过点P (－2,5)且斜率为－34，（1）求直线l 的方程；（2）若直线m 平行于直线l ，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．18．(12分)求经过两直线3x －2y ＋1＝0和x ＋3y ＋4＝0的交点，且垂直于直线 x ＋3y ＋4＝0的直线方程．19．(12分)已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，求一点P ， 使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离等于2．20．(12分)△ABC 中，A (0,1)，AB 边上的高CD 所在直线的方程为x ＋2y －4＝0，AC 边上的中线BE 所在直线的方程为2x ＋y －3＝0． （1）求直线AB 的方程； （2）求直线BC 的方程； （3）求△BDE 的面积．21．(12分)直线过点P (43，2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件： （1）△AOB 的周长为12； （2）△AOB 的面积为6．若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．22．(12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；（2）当－2＋3≤k≤0时，求折痕长的最大值．答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】C【解析】根据斜率公式可得，直线l的斜率121213k-==--，故选C．2．【答案】D【解析】由题意k＝tan45°＝1，∴直线l的方程为y－2＝1·(x＋1)，即x－y＋3＝0，故选D．3．【答案】B【解析】由题意得a·(－1)－2×3＝0，∴a＝－6，故选B．4．【答案】B【解析】令x＝0，则y＝－b2，故选B．5．【答案】C【解析】根据题意可知k AC＝k AB，即12283--＝223a---，解得a＝－8，故选C．6．【答案】D【解析】Ax＋By＋C＝0可化为y＝－ABx－CB，由AB<0，BC<0，得－AB>0，－CB>0，故直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选D．7．【答案】C【解析】由已知条件可知线段AB 的中点(12m+，0)在直线x ＋2y －2＝0上， 把中点坐标代入直线方程，解得m ＝3，故选C ． 8．【答案】C【解析】解340250x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得19737x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线l 1，l 2的交点是(－197，37)，由两点式可得所求直线的方程是3x ＋19y ＝0，故选C ． 9．【答案】C【解析】直线方程变形为k (3x ＋y －1)＋(2y －x )＝0，则直线通过定点(27，17)． 故选C ． 10．【答案】D【解析】将“关于直线对称的两条直线”转化为“关于直线对称的两点”：在直线x －2y ＋1＝0上取一点P (3,2)，点P 关于直线x ＝1的对称点P ′(－1,2)必在所求直线上，故选D ． 11．【答案】B【解析】因为l 的斜率为tan135°＝－1，所以l 1的斜率为1，所以k AB ＝()213a---＝1，解得a＝0．又l 1∥l 2，所以－2b＝1，解得b ＝－2，所以a ＋b ＝－2，故选B ． 12．【答案】A【解析】设B (x ，y )，根据题意可得1AC BC k k BC AC ⋅=-⎧⎪⎨=⎪⎩，即3431303y x --⎧⋅=-⎪--=⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝6， 所以B (2,0)或B (4,6)．故选A ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】－23【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 22＝－1，又y 1＝1，∴y 2＝－3，代入方程x －y －7＝0，得x 2＝4，即B (4，－3)，又x 1＋x 22＝1，∴x 1＝－2，即A (－2,1)，∴k AB ＝()3142----＝－23．14．【答案】x ＋6y －16＝0【解析】直线l 就是线段AB 的垂直平分线，AB 的中点为(4,2)，k AB ＝6， 所以k l ＝－16，所以直线l 的方程为y －2＝－16(x －4)，即x ＋6y －16＝0．15．【答案】3 2【解析】依题意，知l 1∥l 2，故点M 所在直线平行于l 1和l 2，可设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式，得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝32．16．【答案】①⑤【解析】两平行线间的距离为d ＝|3－1|1＋1＝2，由图知直线m 与l 1的夹角为30°，l 1的倾斜角为45°， 所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）3x ＋4y －14＝0；（2）3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0． 【解析】（1）直线l 的方程为：y －5＝－34(x ＋2)整理得3x ＋4y －14＝0．（2）设直线m 的方程为3x ＋4y ＋n ＝0， d|3245|n ⨯-+⨯+＝3，解得n ＝1或－29．∴直线m 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0． 18．【答案】3x －y ＋2＝0．【解析】解法一：设所求直线方程为3x －2y ＋1＋λ(x ＋3y ＋4)＝0， 即(3＋λ)x ＋(3λ－2)y ＋(1＋4λ)＝0，由所求直线垂直于直线x ＋3y ＋4＝0， 得－13·(－3＋λ3λ－2)＝－1，解得λ＝310，故所求直线方程是3x －y ＋2＝0．解法二：设所求直线方程为3x －y ＋m ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＋1＝0，x ＋3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即两已知直线的交点为(－1，－1)． 又3x －y ＋m ＝0过点(－1，－1)，故－3＋1＋m ＝0，m ＝2． 故所求直线方程为3x －y ＋2＝0．19．【答案】P (1，－4)或P (277，－87)．【解析】解法1：设点P (x ，y )．因为|P A |＝|PB |，① 又点P 到直线l 的距离等于2，所以|4x ＋3y －2|5＝2．②由①②联立方程组，解得P (1，－4)或P (277，－87)．解法2：设点P (x ，y )．因为|P A |＝|PB |，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上．由题意知k AB ＝－1，线段AB 的中点为(3，－2)，所以线段AB 的垂直平分线的方程是y ＝x －5，所以设点P (x ，x －5)． 因为点P 到直线l 的距离等于2，所以()|4352|5x x +--＝2，解得x ＝1或x ＝277，所以P (1，－4)或P (277，－87)．20．【答案】（1）2x －y ＋1＝0；（2）2x －y ＋1＝0；（3）110．【解析】（1）由已知得直线AB 的斜率为2，∴AB 边所在的直线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0．（2）由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，2x ＋y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.即直线AB 与直线BE 的交点为B (12，2)．设C (m ，n )，则由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n －4＝0，2·m 2＋n ＋12－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，∴C (2,1)．∴BC 边所在直线的方程为y －12－1＝x －212－2，即2x ＋3y －7＝0．（3）∵E 是线段AC 的中点，∴E (1,1)．∴|BE |＝52，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x ＋2y －4＝0得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝95，∴D (25，95)，∴D 到BE 的距离为d ＝|2×25＋95－3|22＋12＝255，∴S △BDE ＝12·d ·|BE |＝110． 21．【答案】）存在，3x ＋4y －12＝0．【解析】设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，若满足条件(1)，则a ＋b ＋a 2＋b 2＝12 ① 又∵直线过点P (43，2)，∵43a ＋2b＝1．②由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝125，b ＝92，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y9＝1，即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0，若满足条件(2)，则ab ＝12，③ 由题意得，43a ＋2b＝1，④由③④整理得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或x 2＋y6＝1，即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0．综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x ＋4y －12＝0． 22．【答案】（1）y ＝kx ＋k 22＋12；（2）2(6－2)．【解析】(1)①当k ＝0时，A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程为y ＝12．②当k ≠0时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为G (a,1)， ∴A 与G 关于折痕所在的直线对称，有k OG ·k ＝－1⇒1a·k ＝－1⇒a ＝－k ，故G 点坐标为(－k,1)，从而折痕所在直线与OG 的交点坐标(即线段OG 的中点)为M (－k 2，12)．故折痕所在的直线方程为y －12＝k (x ＋k 2)，即y ＝kx ＋k 22＋12．由①②得折痕所在的直线方程为y ＝kx ＋k 22＋12．(2)当k ＝0时，折痕的长为2．当－2＋3≤k ＜0时，折痕所在直线交直线BC 于点E (2，2k ＋k 22＋12)，交y 轴于点N (0，k 2＋12)．则|NE |2＝22＋[k 2＋12－(2k ＋k 22＋12)]2＝4＋4k 2≤4＋4(7－43)＝32－163．此时，折痕长度的最大值为32－163＝2(6－2)．而2(6－2)＞2，故折痕长度的最大值为2(6－2)．。
福建省三明一中2021高中数学 第三章 直线与方程系统化单元综合检测（含解析）
第三章直线与方程一、选择题1．以下直线中与直线x－2y＋1＝0平行的一条是( )．A．2x－y＋1＝0 B．2x－4y＋2＝0C．2x＋4y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝02．已知两点A(2，m)与点B(m，1)之间的距离等于13，那么实数m＝( )．A．－1 B．4 C．－1或4 D．－4或13．过点M(－2，a)和N(a，4)的直线的斜率为1，那么实数a的值为( )．A．1 B．2 C．1或4 D．1或24．若是AB＞0，BC＞0，那么直线Ax―By―C＝0不通过的象限是( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．已知等边△ABC的两个极点A(0，0)，B(4，0)，且第三个极点在第四象限，那么BC边所在的直线方程是( )．A．y＝－3x B．y＝－3(x－4)C．y＝3(x－4) D．y＝3(x＋4)6．直线l：mx－m2y－1＝0通过点P(2，1)，则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角的一条直线方程是( )．A．x―y―1＝0 B．2x―y―3＝0C．x＋y－3＝0 D．x＋2y－4＝07．点P(1，2)关于x轴和y轴的对称的点依次是( )．A．(2，1)，(－1，－2) B．(－1，2)，(1，－2)C．(1，－2)，(－1，2) D．(－1，－2)，(2，1)8．已知两条平行直线l1 : 3x＋4y＋5＝0，l2 : 6x＋by＋c＝0间的距离为3，那么b＋c＝( )．A．－12 B．48 C．36 D．－12或489．过点P(1，2)，且与原点距离最大的直线方程是()．A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝010．a ，b 知足a ＋2b ＝1，那么直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( )．A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ，61 －B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛61 － ，21C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛61 ，21D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21 － ，61 二、填空题11．已知直线AB 与直线AC 有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a ，1)，那么实数a 的值是____________．12．已知直线x －2y ＋2k ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么实数k 的取值范围是____________．13．已知点(a ，2)(a ＞0)到直线x －y ＋3＝0的距离为1，那么a 的值为________．14．已知直线ax ＋y ＋a ＋2＝0恒通过一个定点，那么过这必然点和原点的直线方程是____________________．15．已知实数x ，y 知足5x ＋12y ＝60，那么22 ＋ y x 的最小值等于____________．三、解答题 16．求斜率为43，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程．17．过点P(1，2)的直线l 被两平行线l1 : 4x ＋3y ＋1＝0与l2 : 4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB|＝2，求直线l 的方程．18．已知方程(m2―2m―3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)．(1)求该方程表示一条直线的条件；(2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；(3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为－3，求实数m的值；(4)假设方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值．19．△ABC中，已知C(2，5)，角A的平分线所在的直线方程是y＝x，BC边上高线所在的直线方程是y＝2x－1，试求极点B的坐标．参考答案一、选择题1．D 解析：利用A1B2－A2B1＝0来判定，排除A ，C ，而B 中直线与已知直线重合．2．C解析：因为|AB|＝ 1 －＋ － 222)()(m m ＝13，因此2m2－6m ＋5＝13． 解得m ＝－1或m ＝4．3．A 解析：依条件有2 ＋ － 4a a ＝1，由此解得a ＝1．4．B解析：因为B ≠0，因此直线方程为y ＝B A x －B C ，依条件B A ＞0，B C＞0．即直线的斜率为正值，纵截距为负值，因此直线只是第二象限．5．C解析：因为△ABC 是等边三角形，因此BC 边所在的直线过点B ，且倾斜角为3π，因此BC 边所在的直线方程为y ＝3(x －4)．6．C解析：由点P 在l 上得2m ―m2―1＝0，因此m ＝1．即l 的方程为x ―y ―1＝0．因此所求直线的斜率为－1，显然x ＋y －3＝0知足要求．7．C解析：因为点(x ，y)关于x 轴和y 轴的对称点依次是(x ，－y)和(－x ，y)，因此P(1，2)关于x 轴和y 轴的对称的点依次是(1，－2)和(－1，2)．8．D解析：将l1 : 3x ＋4y ＋5＝0改写为6x ＋8y ＋10＝0，因为两条直线平行，因此b ＝8． 由228 ＋ 6 － 10c ＝3，解得c ＝－20或c ＝40． 因此b ＋c ＝－12或48．9．A解析：设原点为O ，依条件只需求通过点P 且与直线OP 垂直的直线方程，因为kOP ＝2，因此所求直线的斜率为－21，且过点P ．因此知足条件的直线方程为y －2＝－21(x －1)，即x ＋2y －5＝0．10．B解析：方式1：因为a ＋2b ＝1，因此a ＝1－2b ．因此直线ax ＋3y ＋b ＝0化为(1－2b)x ＋3y ＋b ＝0．整理得(1－2x)b ＋(x ＋3y)＝0．因此当x ＝21，y ＝－61时上式恒成立．因此直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛ 61 ，－21 ． 方式2：由a ＋2b ＝1得a －1＋2b ＝0．进一步变形为a ×21＋3×⎪⎭⎫ ⎝⎛61 －＋b ＝0．这说明直线方程ax ＋3y ＋b ＝0当x ＝21，y ＝－61时恒成立．因此直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛ 61 ，－21 ． 二、填空题11．251±．解析：由已知得1 － 20 － a ＝1 － 0－ 1a ，因此 a2―a ―1＝0． 解得a ＝251±．12．－1≤k ≤1且k ≠0． 解析：依条件得21·|2k|·|k|≤1，其中k ≠0(不然三角形不存在)．解得－1≤k ≤1且k ≠0． 13．2－1．解析：依条件有221 ＋ 13 ＋ 2 － a ＝1．解得a ＝2－1，a ＝－2－1(舍去)．14．y ＝2x ． 解析：已知直线变形为y ＋2＝－a(x ＋1)，因此直线恒过点(―1，―2)．故所求的直线方程是y ＋2＝2(x ＋1)，即y ＝2x ．15．1360．解析：因为实数x ，y 知足5x ＋12y ＝60，因此22 ＋ y x 表示原点到直线5x ＋12y ＝60上点的距离． 因此22 ＋ y x 的最小值表示原点到直线5x ＋12y ＝60的距离．容易计算d ＝144 ＋ 2560＝1360．即所求22 ＋ y x 的最小值为1360．三、解答题16．解：设所求直线的方程为y ＝43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ，因此直线与y 轴的交点为(0，b)；令y ＝0，得x ＝－34b ，因此直线与x 轴的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛0 ，34 －b ． 由已知，得|b|＋b 34 －＋2234 － ＋ ⎪⎭⎫ ⎝⎛b b ＝12，解得b ＝±3． 故所求的直线方程是y ＝43x ±3，即3x －4y ±12＝0．17．解：当直线l 的方程为x ＝1时，可验证不符合题意，故设l 的方程为y －2＝k(x －1)，由⎩⎨⎧0 ＝ 1 ＋ 3 ＋ 4 － 2 ＋ ＝ y x x y k k 解得A ⎪⎭⎫ ⎝⎛4 ＋ 38 ＋ 5 － ，4 ＋ 37 － 3k k k k ； 由⎩⎨⎧0 ＝ 6 ＋ 3 ＋ 4 － 2 ＋ ＝ y x x y k k 解得B⎪⎭⎫ ⎝⎛4 ＋ 301 － 8 ，4 ＋ 321 － 3k k k k ． 因为|AB|＝2，因此 4 ＋ 35＋ 4 ＋ 3522⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛k k k ＝2． 整理得7k2－48k －7＝0．解得k1＝7或k2＝－71．故所求的直线方程为x ＋7y －15＝0或7x ―y ―5＝0．18．解：(1)当x ，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m2―2m ―3＝0，解得m ＝－1，m ＝3；令2m2＋m －1＝0，解得m ＝－1，m ＝21．因此方程表示一条直线的条件是m ∈R ，且m ≠－1．(2)由(1)易知，当m ＝21时，方程表示的直线的斜率不存在，现在的方程为x ＝34，它表示一条垂直于x 轴的直线．(3)依题意，有3 － 2 － 6－22m m m ＝－3，因此3m2－4m －15＝0．因此m ＝3，或m ＝－35，由(1)知所求m ＝－35．(4)因为直线l 的倾斜角是45º，因此斜率为1．故由－1 － ＋ 23 － 2 － 22m m m m ＝1，解得m ＝34或m ＝－1(舍去)．因此直线l 的倾斜角为45°时，m ＝34．19．解：依条件，由⎩⎨⎧x y x y ＝1 － 2 ＝ 解得A(1，1)．因为角A 的平分线所在的直线方程是y ＝x ，因此点C(2，5)关于y ＝x 的对称(第19题)点C'(5，2)在AB 边所在的直线上．AB 边所在的直线方程为y －1＝1 － 51－ 2(x －1)，整理得x －4y ＋3＝0．又BC 边上高线所在的直线方程是y ＝2x －1，因此BC 边所在的直线的斜率为－21．BC 边所在的直线的方程是y ＝―21(x －2)＋5，整理得x ＋2y －12＝0．联立x －4y ＋3＝0与x ＋2y －12＝0，解得B ⎪⎭⎫ ⎝⎛25 ，7．。
高一数学第三章直线与方程测试题及答案解析
第三章 直线与方程A 组一、选择题1．若直线x ＝1的倾斜角为 α；则 α( )． A ．等于0B ．等于πC ．等于2π D ．不存在2．图中的直线l 1；l 2；l 3的斜率分别为k 1；k 2；k 3；则( )． A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 23．已知直线l 1经过两点(－1；－2)、(－1；4)；直线l 2经过两点(2；1)、(x ；6)；且l 1∥l 2；则x ＝( )．A ．2B ．－2C ．4D ．14．已知直线l 与过点M (－3；2)；N (2；－3)的直线垂直；则直线l 的倾斜角是( )．A ．3π B ．32π C ．4π D ．43π 5．如果AC ＜0；且BC ＜0；那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．设A ；B 是x 轴上的两点；点P 的横坐标为2；且|P A |＝|PB |；若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0；则直线PB 的方程是( )．A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝07．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )． A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．19x －3y ＝ 0D ．3x ＋19y ＝08．直线l 1：x ＋a 2y ＋6＝0和直线l 2 : (a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点；则a 的值 是( )．(第2题)A ．3B ．－3C ．1D ．－19．将直线l 沿y 轴的负方向平移a (a ＞0)个单位；再沿x 轴正方向平移a ＋1个单位得直线l'；此时直线l' 与l 重合；则直线l' 的斜率为( )．A ．1＋a a B ．1＋－a aC ．aa 1＋ D ．aa 1＋－10．点(4；0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点是( )． A ．(－6；8) B ．(－8；－6)C ．(6；8)D ．(－6；－8)二、填空题11．已知直线l 1的倾斜角 1＝15°；直线l 1与l 2的交点为A ；把直线l 2绕着点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为60°；则直线l 2的斜率k 2的值为 ．12．若三点A (－2；3)；B (3；－2)；C (21；m )共线；则m 的值为 ． 13．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0；1)；B (1；0)；C (3；2)；求第四个顶点D 的坐标为 ．14．求直线3x ＋ay ＝1的斜率 ．15．已知点A (－2；1)；B (1；－2)；直线y ＝2上一点P ；使|AP |＝|BP |；则P 点坐标为 ．16．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行；且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是 ．17．若一束光线沿着直线x －2y ＋5＝0射到x 轴上一点；经x 轴反射后其反射线所在直线的方程是 ．三、解答题18．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6(m ∈R ；m ≠－1)；根据下列条件分别求m 的值：①l 在x 轴上的截距是－3；②斜率为1．19．已知△ABC 的三顶点是A (－1；－1)；B (3；1)；C (1；6)．直线l 平行于AB ；交AC ；BC 分别于E ；F ；△CEF 的面积是△CAB 面积的41．求直线l 的方程．20．一直线被两直线l 1：4x ＋y ＋6＝0；l 2：3x －5y －6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点；求该直线方程．.21．直线l 过点(1；2)和第一、二、四象限；若直线l 的横截距与纵截距之和为6；求直线l 的方程．第三章 直线与方程(第19题)参考答案A 组 一、选择题 1．C解析：直线x ＝1垂直于x 轴；其倾斜角为90°． 2．D解析：直线l 1的倾斜角 α1是钝角；故k 1＜0；直线l 2与l 3的倾斜角 α2；α3 均为锐角且α2＞α3；所以k 2＞k 3＞0；因此k 2＞k 3＞k 1；故应选D ．3．A解析：因为直线l 1经过两点(－1；－2)、(－1；4)；所以直线l 1的倾斜角为2π；而l 1∥l 2；所以；直线l 2的倾斜角也为2π；又直线l 2经过两点(2；1)、(x ；6)；所以；x ＝2． 4．C解析：因为直线MN 的斜率为1－＝2－3－3＋2；而已知直线l 与直线MN 垂直；所以直线l 的斜率为1；故直线l 的倾斜角是4π． 5．C解析：直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝B A-＜0；在y 轴上的截距BC D ＝－＞0；所以；直线不通过第三象限．6．A解析：由已知得点A (－1；0)；P (2；3)；B (5；0)；可得直线PB 的方程是x ＋y －5＝0． 7．D 8．D 9．B解析: 结合图形；若直线l 先沿y 轴的负方向平移；再沿x 轴正方向平移后；所得直线与l 重合；这说明直线 l 和l ’ 的斜率均为负；倾斜角是钝角．设l ’ 的倾斜角为 θ；则tan θ＝1＋－a a． 10．D解析：这是考察两点关于直线的对称点问题．直线5x ＋4y ＋21＝0是点A (4；0)与所求点A'(x ；y )连线的中垂线；列出关于x ；y 的两个方程求解．二、填空题 11．－1．解析：设直线l 2的倾斜角为 α2；则由题意知： 180°－α2＋15°＝60°；α2＝135°；∴k 2＝tan α2＝tan (180°－45°)＝－tan45°＝－1． 12．21． 解：∵A ；B ；C 三点共线； ∴k AB ＝k AC ；2＋213－＝2＋33－2－m ．解得m ＝21． 13．(2；3)．解析：设第四个顶点D 的坐标为(x ；y )； ∵AD ⊥CD ；AD ∥BC ； ∴k AD ·k CD ＝－1；且k AD ＝k BC ． ∴0－1－x y ·3－2－x y ＝－1；0－1－x y ＝1． 解得⎩⎨⎧1＝0＝y x (舍去)⎩⎨⎧3＝2＝y x所以；第四个顶点D 的坐标为(2；3)． 14．－a3或不存在． 解析：若a ＝0时；倾角90°；无斜率． 若a ≠0时；y ＝－a 3x ＋a 1 ∴直线的斜率为－a3． 15．P (2；2).解析：设所求点P (x ；2)；依题意：22)12()2(-++x ＝22)22()1(++-x ；解得x ＝2；故所求P 点的坐标为(2；2)．16．10x ＋15y －36＝0．(第11题)解析：设所求的直线的方程为2x ＋3y ＋c ＝0；横截距为－2c ；纵截距为－3c；进而得 c = －536． 17．x ＋2y ＋5＝0．解析：反射线所在直线与入射线所在的直线关于x 轴对称；故将直线方程中的y 换成 －y ．三、解答题 18．①m ＝－35；②m ＝34． 解析：①由题意；得32622---m m m ＝－3；且m 2－2m －3≠0． 解得 m ＝－35． ②由题意；得123222-+--m m m m ＝－1；且2m 2＋m －1≠0． 解得 m ＝34． 19．x －2y ＋5＝0．解析：由已知；直线AB 的斜率 k ＝1311++＝21． 因为EF ∥AB ；所以直线EF 的斜率为21． 因为△CEF 的面积是△CAB 面积的41；所以E 是CA 的中点．点E 的坐标是(0；25)． 直线EF 的方程是 y －25＝21x ；即x －2y ＋5＝0． 20．x ＋6y ＝0．解析：设所求直线与l 1；l 2的交点分别是A ；B ；设A (x 0；y 0)；则B 点坐标为 (－x 0；－y 0)．因为A ；B 分别在l 1；l 2上；所以⎪⎩⎪⎨⎧0＝6－5＋3－0＝6＋＋40000y x y x①＋②得：x 0＋6y 0＝0；即点A 在直线x ＋6y ＝0上；又直线x ＋6y ＝0过原点；所以直线l 的方程为x ＋6y ＝0．21．2x ＋y －4＝0和x ＋y －3＝0．①②解析：设直线l 的横截距为a ；由题意可得纵截距为6－a ．∴直线l 的方程为1＝－6＋aya x ．∵点(1；2)在直线l 上；∴1＝－62＋1a a ；a 2－5a ＋6＝0；解得a 1＝2；a 2＝3．当a ＝2时；直线的方程为142=+y x ；直线经过第一、二、四象限．当a ＝3时；直线的方程为133=+yx ；直线经过第一、二、四象限．综上所述；所求直线方程为2x ＋y －4＝0和x ＋y －3＝0．。
高中数学 第三章 直线与方程单元质量测评(含解析)新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题
第三章 单元质量测评对应学生用书P77 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．斜率为2的直线的倾斜角α所在的X 围是( ) A ．0°＜α＜45° B．45°＜α＜90° C ．90°＜α＜135° D．135°＜α＜180° 答案 B解析 ∵k＝2＞1，即tanα＞1，∴45°＜α＜90°． 2．在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．y ＝－x ＋2 B ．y ＝－x －2 C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝x －2 答案 A解析 由题可知直线方程为y ＝tan135°·(x－2)，即y ＝－x ＋2． 3．若三点A(4，3)，B(5，a)，C(6，b)共线，则下列结论正确的是( ) A ．2a －b ＝3 B ．b －a ＝1 C ．a ＝3，b ＝5 D ．a －2b ＝3 答案 A解析 由k AB ＝k AC 可得2a －b ＝3，故选A ．4．若实数m ，n 满足2m －n ＝1，则直线mx －3y ＋n ＝0必过定点( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－13D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－13答案 D解析 由已知得n ＝2m －1，代入直线mx －3y ＋n ＝0得mx －3y ＋2m －1＝0，即(x ＋2)m＋(－3y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－3y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－13，所以此直线必过定点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－13，故选D ．5．设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值X 围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 答案 B解析 直线ax ＋y ＋2＝0过定点C(0，－2)，k AC ＝－52，k BC ＝43．由图可知直线与线段没有交点时，斜率－a 的取值X 围为－52＜－a ＜43，解得a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52．6．和直线5x －4y ＋1＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．5x ＋4y ＋1＝0 B ．5x ＋4y －1＝0 C ．－5x ＋4y －1＝0 D ．－5x ＋4y ＋1＝0 答案 A解析 设所求直线上的任一点为(x′，y′)，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x′，－y′)．因为点(x′，－y′)在直线5x －4y ＋1＝0上，所以5x′＋4y′＋1＝0，即所求直线方程为5x ＋4y ＋1＝0．7．已知直线x ＝2及x ＝4与函数y ＝log 2x 图象的交点分别为A ，B ，与函数y ＝lg x 图象的交点分别为C ，D ，则直线AB 与CD( )A ．平行B ．垂直C ．不确定D ．相交 答案 D解析 易知A(2，1)，B(4，2)，原点O(0，0)，∴k OA ＝k OB ＝12，∴直线AB 过原点，同理，C(2，lg 2)，D(4，2lg 2)，k OC ＝k OD ＝lg 22≠12，∴直线CD 过原点，且与AB 相交．8．过点M(1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P ，Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为 ( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y －4＝0C ．x ＋2y ＋3＝0D ．x －2y －5＝0 答案 B解析 设P(x 0，0)，Q(0，y 0)．∵M(1，－2)为线段PQ 的中点，∴x 0＝2，y 0＝－4，∴直线PQ 的方程为x 2＋y－4＝1，即2x －y －4＝0．故选B ．9．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n)到原点的距离的最小值为( )A ． 5B ． 6C ．2 3D ．2 5 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.把(1，2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得m ＋2n ＋5＝0， ∴m＝－5－2n ，∴点(m ，n)到原点的距离d ＝ m 2＋n 2＝5＋2n 2＋n 2＝5n ＋22＋5≥5，当n ＝－2时等号成立，此时m ＝－1．∴点(m ，n)到原点的距离的最小值为5．故选A ．10．点F(3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为( ) A ． 3 B ．3m C ．3 D ．3m 答案 A解析 由点到直线的距离公式得点F(3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为3·3m ＋33m ＋3＝3．11．若直线l 经过点A(1，2)，且在x 轴上的截距的取值X 围是(－3，3)，则其斜率的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，15 B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析 在平面直角坐标系中作出点A(1，2)，B(－3，0)，C(3，0)，过点A ，B 作直线AB ，过点A ，C 作直线AC ，如图所示，则直线AB 在x 轴上的截距为－3，直线AC 在x 轴上的截距为3．因为k AB ＝2－01－－3＝12，k AC ＝2－01－3＝－1，所以直线l 的斜率的取值X 围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞．12．已知△ABC 的边AB 所在的直线方程是x ＋y －3＝0，边AC 所在的直线方程是x －2y ＋3＝0，边BC 所在的直线方程是2x －y －3＝0．若△ABC 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A ．355B ． 2C ．322D ． 5答案 B解析 联立直线方程，易得A(1，2)，B(2，1)．如图所示，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A ，B ，又两平行直线的斜率为1，直线AB 的斜率为－1，所以线段AB 的长度就是过A ，B 两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知直线l 的倾斜角是直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，则直线l 的方程为________．答案 x ＝3解析 直线y ＝x ＋1的斜率为1，倾斜角为45°．直线l 的倾斜角是已知直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，所以直线l 的倾斜角为90°，直线l 的斜率不存在，所以直线l 的方程为x ＝3．14．直线x 3＋y4＝t 被两坐标轴截得的线段长度为1，则t ＝________．答案 ±15解析 直线与x ，y 轴的交点分别为(3t ，0)和(0，4t)，所以线段长为3t2＋4t2＝1，解得t ＝±15．15．已知点A(2，4)，B(6，－4)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足|PA|2＋|PB|2＝λ的点P 有且仅有1个，则实数λ的值为________．答案 58解析 设点P 的坐标为(a ，b)．∵A(2，4)，B(6，－4)，∴|PA|2＋|PB|2＝[(a －2)2＋(b －4)2]＋[(a －6)2＋(b ＋4)2]＝λ，即2a 2＋2b 2－16a ＋72＝λ．又∵点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，∴3a－4b ＋3＝0，∴509b 2－803b ＋90＝λ．又∵满足|PA|2＋|PB|2＝λ的点P 有且仅有1个，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8032－4×509×(90－λ)＝0，解得λ＝58．16．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．答案 －12解析 因为y ＝|x －a|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －1，x≥a，－x ＋a －1，x<a ，所以该函数的大致图象如图所示．又直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则2a ＝－1，即a ＝－12．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知Rt△ABC 的顶点坐标A(－3，0)，直角顶点B(－1，－22)，顶点C 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求斜边所在直线的方程．解 (1)解法一：依题意，Rt△ABC 的直角顶点坐标为B(－1，－22)， ∴AB⊥BC，∴k AB ·k BC ＝－1．又∵A(－3，0)，∴k AB ＝0＋22－3－－1＝－2，∴k BC ＝－1k AB ＝22，∴边BC 所在的直线的方程为y ＋22＝22(x ＋1)，即x －2y －3＝0． ∵直线BC 的方程为x －2y －3＝0，点C 在x 轴上，由y ＝0，得x ＝3，即C(3，0)． 解法二：设点C(c ，0)，由已知可得k AB ·k BC ＝－1，即0＋22－3－－1·0＋22c ＋1＝－1，解得c ＝3，所以点C 的坐标为(3，0)． (2)由B 为直角顶点，知AC 为直角三角形ABC 的斜边． ∵A(－3，0)，C(3，0)，∴斜边所在直线的方程为y ＝0．18．(本小题满分12分)点M(x 1，y 1)在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x 1∈[2，5]时，求y 1＋1x 1＋1的取值X 围． 解y 1＋1x 1＋1＝y 1－－1x 1－－1的几何意义是过M(x 1，y 1)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．点M 在直线y ＝－2x ＋8的线段AB 上运动，其中A(2，4)，B(5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y 1＋1x 1＋1≤53，∴y 1＋1x 1＋1的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53． 19．(本小题满分12分)已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ．解 (1)联立两直线方程⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，则两直线的交点为P(－2，2)．∵直线x －2y －1＝0的斜率为k 1＝12，所求直线垂直于直线x －2y －1＝0，那么所求直线的斜率k ＝－112＝－2，∴所求直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0．(2)对于方程2x ＋y ＋2＝0，令y ＝0则x ＝－1，则直线与x 轴交点坐标A(－1，0)， 令x ＝0则y ＝－2，则直线与y 轴交点坐标B(0，－2)， 直线l 与坐标轴围成的三角形为直角三角形AOB ， ∴S＝12|OA||OB|＝12×1×2＝1．20．(本小题满分12分)一条光线经过点P(2，3)射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q(1，1)，求：(1)入射光线所在直线的方程； (2)这条光线从P 到Q 所经路线的长度．解 (1)设点Q′(x′，y′)为点Q 关于直线l 的对称点，QQ′交l 于点M ．∵k l ＝－1，∴k QQ′＝1， ∴QQ′所在直线的方程为y －1＝1·(x－1)， 即x －y ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－12，∴交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x′2＝－12，1＋y′2＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－2，y′＝－2，∴Q′(－2，－2)．设入射光线与l 交于点N ，则P ，N ，Q′三点共线， 又∵P(2，3)，Q′(－2，－2)，∴入射光线所在直线的方程为y －－23－－2＝x －－22－－2，即5x －4y ＋2＝0．(2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′| ＝[2－－2]2＋[3－－2]2＝41，即这条光线从P 到Q 所经路线的长度为41．21．(本小题满分12分)设直线l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程．解 设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点分别为C(x C ，y C )，D(x D ，y D )，则⎩⎪⎨⎪⎧x C ＋2y C －1＝0，x C －y C －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x C ＝1，y C ＝0，∴C(1，0)⎩⎪⎨⎪⎧x D ＋2y D －3＝0，x D －y D －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝53，y D＝23，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，23． 则C ，D 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13， 即直线l 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13． 又直线l 经过点(－1，1)，由两点式得直线l 的方程为 y －131－13＝x －43－1－43，即2x ＋7y －5＝0． 22．(本小题满分12分)已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510．(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶5．若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解 (1)直线l 2的方程等价于2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋－12＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72．又因为a ＞0，解得a ＝3．(2)假设存在点P ，设点P(x 0，y 0)，若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，解得c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0．若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 得|2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0． 若点P 满足条件①，则3x 0＋2＝0不合适． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12.不符合点P 在第一象限，舍去．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.符合条件①．所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．。
2022版高中数学第三章直线与方程1、2两条直线平行与垂直的判定基础训练含解析新人教A版必修2
两条直线平行与垂直的判定基础过关练题组一两条直线平行1.有下列说法:①若直线l1和l2的斜率相等,则l1∥l2;②若l1∥l2,则两直线的斜率相等;③若两条直线l1和l2中有一条斜率不存在,另一条斜率存在,则l1与l2相交;④若直线l1与l2的斜率都不存在,则l1∥l2.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.42.(2020广东珠海高二月考)经过点P(-2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线,则m的值是()A.4B.1C.1或3D.1或43.若直线l1∥l2,且l1的倾斜角为45°,l2过点(4,6),则l2还过下列各点中的()A.(1,8)B.(-2,0)C.(9,2)D.(0,-8)4.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为()A.(3,4)B.(4,3)C.(3,1)D.(3,8)5.(2020重庆广益中学校高二期末)已知直线l1的斜率是2,直线l2过点A(-1,-2),B(x,6),且l1∥l2,则lo g19x=.6.已知直线l1的倾斜角为60°,直线l2经过点A(1,√3),B(-2,-2√3),则直线l1,l2的位置关系是.7.(2021安徽合肥高二期中)已知直线l1经过点A(0,-1)和点B(-4a,1),直线l2经过点M(1,1)和点N(0,-2),若l1与l2没有公共点,求实数a的值.题组二两条直线垂直8.已知直线l1的倾斜角为30°,直线l2⊥l1,则直线l2的斜率为()A.√3B.-√3C.√33D.-√339.已知点A(0,1),点B的横坐标与纵坐标满足x+y=0.若AB⊥OB(O为坐标原点),则点B的坐标是.10.(2020陕西西安高一期末)已知点M(2,2)和N(-6,-2),试在y轴上找一个点P,使∠MPN为直角.题组三两条直线平行与垂直的应用11.(2020四川泸州高二月考)若点P(a,b)与Q(b-1,a+1)关于直线l对称,则l的倾斜角α为.12.(2021陕西宝鸡高二月考)已知A(1,0),B(3,2),C(0,4),点D满足AB⊥CD,且AD∥BC,求点D的坐标.能力提升练一、选择题1.()若直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,且l1⊥l2,则有()A.α1-α2=90°B.α2-α1=90°C.|α2-α1|=90°D.α1+α2=180°2.()若直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是()A.平行B.重合C.相交但不垂直D.垂直3.()已知直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,其中l1∥l2,且k1,k3是方程2x2-3x-2=0的两根,则k1+k2+k3的值是 ()A.1B.32C.72D.1或724.(2021湖南长沙高二上月考,)若直线l1的斜率k1=34,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,则实数a的值为()A.1B.3C.0或1D.1或35.()已知点A(0,1),B(4,2),若点P在坐标轴上,则满足PA⊥PB的点P的个数是()A.1B.2C.3D.46.()已知△ABC的顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则顶点A的坐标为()A.(-19,-62)B.(19,-62)C.(-19,62)D.(19,62)二、填空题7.()已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2+2√2),B(0,2-2√2),C(4,2),则△ABC是.(填△ABC 的形状)8.()光线从点A(-3,4)射出,到x轴上的点B后,被x轴反射到y轴上的点C,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),则光线BC所在直线的斜率为.三、解答题9.(2021陕西咸阳高一期末,)如图所示,在平面直角坐标系中,已知矩形OABC的长OC为3,宽OA为2,边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,O为坐标原点.线段AB上是否存在一点P,使得CP⊥OP?若存在,求出线段AP的长度;若不存在,请说明理由.10.(2020四川成都七中高三一诊,)已知点A(1,m-1),B(m,2),直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l 上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,试求m的值.11.()已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C,D两点.(1)证明:点C,D和原点O在同一条直线上;(2)当直线BC平行于x轴时,求点A的坐标.3.1.2两条直线平行与垂直的判定基础过关练1.A2.B3.B4.A 8.B1.A ①④错误,忽略了l 1与l 2重合的情况;②错误,忽略了斜率不存在的情况;③正确.故选A .2.B 由题意,知4-aa -(-2)=1,解得m =1.3.B 设直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2,因为l 1的倾斜角为45°,所以k 1=1.又因为l 1∥l 2,所以k 2=1.结合选项可知当l 2过点(4,6),(-2,0)时,k 2=1.故选B .4.A 设顶点D 的坐标为(m ,n ),由题意得AB ∥DC ,AD ∥BC ,则有k AB =k DC ,k AD =k BC , 所以{0-11-0=3-a4-a ,a -1a -0=3-04-1,解得{a =3,a =4. 所以顶点D 的坐标为(3,4). 5.答案 -12解析 ∵直线l 1与直线l 2平行, ∴2=-2-6-1-a,解得x =3,∴log 19x =lo g 193=-12.6.答案 平行或重合解析 由题意可知直线l 1的斜率k 1=tan60°=√3,直线l 2的斜率k 2=-2√3-√3-2-1=√3,则k 1=k 2,所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合.7.解析 由题意得l 1∥l 2,所以a a 1=a a 2.因为a a 1=k AB =1-(-1)-4a -0=-a 2,a a 2=k MN =-2-10-1=3,所以-a2=3,所以a =-6.经检验,当a =-6时,直线AB 与直线MN 不重合,故满足题意. 8.B 解法一:∵直线l 1的倾斜角为30°, ∴a a 1=tan30°=√33,∵l 1⊥l 2,∴a a 1·a a 2=-1,∴a a 2=-√3.解法二:∵直线l 1的倾斜角为30°,直线l 2⊥l 1,∴直线l 2的倾斜角α=30°+90°=120°,∴直线l 2的斜率k =tan120°=-√3.故选B .9.答案 (-12,12)解析 设点B 的坐标为(a ,-a ).由题意知a ≠0,因为AB ⊥OB ,所以-a -1a·-a a =-1,解得a =-12.经检验,a =-12满足题意,所以点B 的坐标为(-12,12).10.解析 因为点P 在y 轴上,所以设点P 的坐标为(0,y ).因为∠MPN 为直角,所以PM ⊥PN.设直线PM 的斜率为k PM ,直线PN 的斜率为k PN , 则k PM ·k PN =-1,即a -20-2·a -(-2)0-(-6)=-1,解得y =±4. 所以点P 的坐标是(0,4)或(0,-4). 11.答案 45° 解析 由题意知PQ ⊥l , ∵k PQ =a +1-aa -1-a=-1,∴k l =1,即tan α=1,又0°≤α<180°,∴α=45°.12.解析 设D (x ,y ),则k AB =2-03-1=1,k BC =4-20-3=-23,k CD =a -4a ,k AD =aa -1. ∵AB ⊥CD ,AD ∥BC ,∴{a aa ·a aa =-1,a aa =a aa ,即{1×a -4a =-1,a a -1=-23,解得{a =10,a =-6,故点D 的坐标为(10,-6).能力提升练1.C2.D3.D4.D5.C6.A一、选择题1.C 由题意,知α1=α2+90°或α2=α1+90°,所以|α2-α1|=90°.2.D 设直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,由一元二次方程根与系数的关系得k 1·k 2=-1,所以l 1⊥l 2.3.D 因为k 1,k 3是方程2x 2-3x -2=0的两根,所以解方程得{a 1=-12,a 3=2或{a 1=2,a 3=-12.又l 1∥l 2,所以k 1=k 2,所以k 1+k 2+k 3的值是1或72.4.D∵l 1⊥l 2,∴k 1·a a 2=-1,即34×a 2+1-(-2)0-3a =-1,解得a =1或a =3.经检验,a =1和a =3均满足题意.5.C 当点P 在x 轴上时,设其坐标为P (x ,0), 由PA ⊥PB 可得0-1a -0×0-2a -4=-1,即x 2-4x +2=0, 由于Δ=(-4)2-4×1×2=8>0,故方程有两个不相等的实数根,即在x 轴上有两个点符合题意;当点P 在y 轴上时,PA 的斜率不存在,故当PB 的斜率为0时,满足题意,此时点P 的坐标为(0,2). 综上,满足PA ⊥PB 的点P 的个数是3.6.A 设顶点A 的坐标为(x ,y ),由已知得,AH ⊥BC ,BH ⊥AC ,且直线AH ,BH 的斜率存在, 所以{a aa ·a aa =-1,a aa ·a aa =-1,即{a -2a +3×(-14)=-1,-15×a -3a +6=-1,解得{a =-19,a =-62,即顶点A 的坐标为(-19,-62).二、填空题 7.答案 直角三角形解析 因为AB 边所在直线的斜率k AB =2-2√2-(2+2√2)0-2=2√2,CB 边所在直线的斜率k CB =2-2√2-20-4=√22,AC 边所在直线的斜率k AC =2-(2+2√2)4-2=-√2,所以k CB ·k AC =-1,所以CB ⊥AC ,所以△ABC 是直角三角形.8.答案 52解析 设B (a ,0),C (0,b ),过点B ,点C 分别作x 轴,y 轴的垂线,交于一点E ,如图,则∠BEC =90°,所以∠ECB +∠EBC =90°, 所以2∠ECB +2∠EBC =180°.又反射角等于入射角,所以∠DCB +∠ABC =180°,所以AB ∥CD , 所以k AB =k CD ,即0-4a -(-3)=a -60-(-1)①.由反射角等于入射角,可得直线AB 的倾斜角与直线BC 的倾斜角互补, 所以k AB =-k BC ,即0-4a -(-3)=-a -00-a②. 联立①②,解得{a =-75,a =72.所以B (-75,0),C (0,72). 所以k BC =72-00-(-75)=52.三、解答题9.解析 不存在点P ,使得CP ⊥OP ,理由如下:假设线段AB 上存在点P (2,a )(0≤a ≤3),使得CP ⊥OP ,显然直线CP 与直线OP 的斜率都存在,分别记作k CP ,k OP , ∴k CP ·k OP =-1. ∵k CP =a -32-0=a -32,k OP =a -02-0=a 2,∴a -32·a2=-1,即a 2-3a +4=0,∵Δ=(-3)2-4×4<0,∴方程无解, ∴线段AB 上不存在点P ,使得CP ⊥OP.10.解析 如图,直线l 1的倾斜角为30°+30°=60°,∴直线l 1的斜率k 1=tan60°=√3.当m =1时,直线AB 的斜率不存在,此时线段AB 的垂直平分线l 2的斜率为0,不满足l 1∥l 2. 当m ≠1时,直线AB 的斜率k AB =a -1-21-a =a -31-a, ∴线段AB 的垂直平分线l 2的斜率k 2=-1a aa=a -1a -3. ∵l 1与l 2平行,∴k 1=k 2,即√3=a -1a -3,解得m =4+√3.11.解析 (1)证明:设A ,B 的横坐标分别为x 1,x 2.则由题意,知x 1>1,x 2>1,A (x 1,log 8x 1),B (x 2,log 8x 2),C (x 1,log 2x 1),D (x 2,log 2x 2),且log 8a 1a 1=log 8a 2a 2,又k OC =log 2a 1a 1=3log 8a 1a 1,k OD =log 2a 2a 2=3log 8a 2a 2,所以k OC =k OD ,即点O ,C ,D 在同一条直线上. (2)由(1)知B (x 2,log 8x 2),C (x 1,log 2x 1). 由直线BC 平行于x 轴,得log 2x 1=log 8x 2. 所以x 2=a 13,将其代入log 8a 1a 1=log 8a 2a 2,得a 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,由x 1>1,知log 8x 1≠0,故a 13=3x 1, 所以x 1=√3,于是A (√3,log 8√3).。
2022版高中数学第三章直线与方程2、1直线的点斜式方程基础训练含解析新人教A版必修2
直线的方程3.2.1直线的点斜式方程基础过关练题组一直线的点斜式方程x的斜率的2倍的直线方程是() 1.(2021安徽池州一中高二上期中)经过点(-1,1),斜率是直线y-2=√22A.y-1=√2(x+1)B.y-1=2√2(x+1)C.x=-1D.y=12.(2020安徽合肥高二期末)已知直线的方程是y+2=-x-1,则该直线()A.经过点(-1,2),斜率为-1B.经过点(2,-1),斜率为-1C.经过点(-1,-2),斜率为-1D.经过点(-2,-1),斜率为13.直线y=k(x-2)+3必过定点,则该定点为()A.(3,2)B.(2,3)C.(2,-3)D.(-2,3)4.已知两点A(-1,2),B(m,3),求直线AB的点斜式方程.题组二直线的斜截式方程5.(2020重庆万州高二月考)下列说法错误的是()A.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则点(k,b)在第二象限B.直线y=ax-3a+2过定点(3,2)C.过点(2,-1)且斜率为-√3的直线的点斜式方程为y+1=-√3(x-2)D.斜率为-2,在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x±36.直线y-b=2(x-a)在y轴上的截距为()A.a +bB.2a -bC.b -2aD.|2a -b |7.方程y =ax +1a 表示的直线可能是( )题组三 直线的点斜式、斜截式方程的简单应用 8.过点(-1,3)且平行于直线y =12(x +3)的直线方程为 ( )A.y +3=12(x +1) B.y +3=12(x -1)C.y -3=12(x +1) D.y -3=12(x -1)9.将直线y =3x 绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,得到的直线的斜截式方程为 ( )A.y =-13x +13 B.y =-13x +1 C.y =3x -3D.y =13x +110.在y 轴上的截距为2,且与直线y =-3x -4平行的直线的斜截式方程为 .11.(2021广东深圳南山高一上期末)斜率为34,且与坐标轴所围成的三角形的面积为6的直线的斜截式方程是 . 12.求满足下列条件的m 的值.(1)直线l 1:y =-x +1与直线l 2:y =(m 2-2)x +2m 平行; (2)直线l 1:y =-2x +3与直线l 2:y =(2m -1)x -5垂直.13.(2020广东东莞高一期末)已知△ABC 的三个顶点都在第一象限,A (1,1),B (5,1),∠A =45°,∠B =45°,求: (1)AB 边所在直线的方程; (2)AC 边和BC 边所在直线的方程.能力提升练一、选择题1.(2019山西运城中学、芮城中学期中联考,)直线l :x sin30°+y cos150°+1=0的斜率为 ( )A.√33B.√3C.-√3D.-√332.(多选)()已知点M 是直线l :y =√3x +3与x 轴的交点,将直线l 绕点M 旋转30°,则所得到的直线l'的方程为 ( )A.y =√33(x +√3) B.y =√33x +√3 C.x +√3=0 D.x +√33=03.()若原点在直线l 上的射影是P (-2,1),则直线l 的方程为( )A.x +2y =0B.y -1=-2(x +2)C.y =2x +5D.y =2x +34.()直线l 1:y =ax +b 与直线l 2:y =bx +a (ab ≠0,a ≠b )在同一平面直角坐标系内可能是 ( )5.(2021浙江杭州学军中学自招模拟考试,)若函数y =a |x |的图象与直线y =x +a (a >0)有两个公共点,则a 的取值范围是( )A .a >1 B.0<a <1 C.⌀ D.0<a <1或a >1 6.(2021上海奉贤中学高二期末,)如图,平面上过点P (1,2)的直线与x 轴正半轴交于点A ,与y 轴正半轴交于点B.过点P 分别作直线垂直于x 轴与y 轴,垂足分别为M ,N.则满足S △PAM -S △PBN =2020的直线的条数为( )A.0B.1C.2D.3二、填空题7.(2021四川成都高二上期末,)将直线l :y =-12x -52绕点A (1,-3)逆时针旋转90°得到直线m ,则直线m 与两坐标轴围成的三角形面积为 . 8.(2019北京师范大学附属中学期末,)已知点A (-7,4),点B (-5,6),则线段AB 的垂直平分线的方程为 . 三、解答题9.(2021安徽六安高二上期末,)已知直线l :(a -2)y =(3a -1)x -1不过第二象限,求实数a 的取值范围.10.()已知等腰三角形ABC 的顶点A (-1,2),B (-3,2),AC 边所在直线的斜率为√3,求直线AC ,BC 及∠A 的平分线所在直线的斜截式方程.11.(2021河南许昌高一上期末,)如图,射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成30°角和45°角,过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点,当AB 的中点C 恰好落在直线y =-12x 上时,求直线AB 的方程.3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程基础过关练1.A2.C3.B 5.D 6.C7.B 8.C 9.A1.A易知所求直线的斜率是√2,则直线的点斜式方程是y-1=√2(x+1).2.C直线方程y+2=-x-1可化为y-(-2)=-[x-(-1)],故直线经过点(-1,-2),斜率为-1.3.B由y=k(x-2)+3,得y-3=k(x-2),故直线过定点(2,3).4.解析因为A(-1,2),B(m,3),所以当m=-1时,直线AB的方程为x=-1,没有点斜式方程;,当m≠-1时,直线AB的斜率k=1a+1直线AB的点斜式方程为y-2=1(x+1).a+15.D对于A,由于直线y=kx+b过第一、二、四象限,所以直线的斜率k<0,截距b>0,故点(k,b)在第二象限,所以A中说法正确;对于B,方程y=ax-3a+2可化为a(x-3)+(-y+2)=0,所以无论a取何值,点(3,2)都在直线上,所以B中说法正确; 对于C,由点斜式方程,可知过点(2,-1)且斜率为-√3的直线的点斜式方程为y+1=-√3(x-2),所以C中说法正确;对于D,斜率为-2,在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x+3,所以D中说法错误.故选D.6.C由y-b=2(x-a),得y=2x-2a+b,故直线在y轴上的截距为b-2a.7.B 直线y =ax +1a的斜率是a ,在y 轴上的截距是1a.当a >0时,直线在y 轴上的截距1a>0,此时直线y =ax +1a过第一、二、三象限;当a <0时,直线在y 轴上的截距1a<0,此时直线y =ax +1a过第二、三、四象限,只有选项B 符合.8.C 由题意可得所求直线的斜率为12,又直线过点(-1,3),所以其方程为y -3=12(x +1),故选C .9.A 将直线y =3x 绕原点逆时针旋转90°,得到直线y =-13x ,再向右平移1个单位,得到的直线为y =-13(x -1),即y =-13x +13.10.答案 y =-3x +2解析 ∵直线y =-3x -4的斜率为-3,且所求直线与此直线平行, ∴所求直线的斜率为-3,又∵所求直线在y 轴上的截距为2, ∴其斜截式方程为y =-3x +2. 11.答案 y =34x ±3解析 设所求直线的方程为y =34x +b ,令x =0,得y =b ;令y =0,得x =-43b ,由已知得12b ·-43b=6,即23b 2=6,解得b =±3.故所求直线的斜截式方程是y =34x ±3. 12.解析 (1)∵l 1∥l 2, ∴m 2-2=-1且2m ≠1,∴m =±1. (2)∵l 1⊥l 2,∴2m -1=12,∴m =34.13.解析 (1)因为A (1,1),B (5,1),所以直线AB 平行于x 轴,所以直线AB 的方程为y =1. (2)由题意知,直线AC 的倾斜角等于∠A =45°,所以k AC =tan45°=1. 又直线过点A (1,1),所以直线AC 的方程为y -1=1×(x -1),即y =x. 同理可知,直线BC 的倾斜角等于180°-∠B =135°,所以k BC =tan135°=-1. 又直线过点B (5,1),所以直线BC 的方程为y -1=-1×(x -5),即y =-x +6.能力提升练1.A2.AC3.C4.D5.A6.B1.A 直线方程即12x -√32y +1=0,整理为斜截式方程,即y =√33x +2√33,据此可知直线的斜率为√33.故选A .2.AC 在y =√3x +3中,令y =0,得x =-√3,即M (-√3,0).因为直线l 的斜率为√3,所以其倾斜角为60°.若直线l 绕点M 逆时针旋转30°,则得到的直线l'的倾斜角为90°,此时直线l'的斜率不存在,故其方程为x +√3=0;若直线l 绕点M 顺时针旋转30°,则得到的直线l'的倾斜角为30°,此时直线l'的斜率为tan30°=√33,故其方程为y =√33(x +√3).综上所述,所求直线l'的方程为x +√3=0或y =√33(x +√3). 易错警示解答本题时易忽略对直线旋转方向分顺时针和逆时针进行讨论而漏解. 3.C 易得直线OP (O 为坐标原点)的斜率为-12,又OP ⊥l ,∴直线l 的斜率为2.∴直线l 的点斜式方程为y -1=2(x +2),化简得y =2x +5.故选C .4.D 对于A 选项,由l 1得a >0,b <0,而由l 2得a >0,b >0,矛盾;对于B 选项,由l 1得a <0,b >0,而由l 2得a >0,b >0,矛盾;对于C 选项,由l 1得a >0,b <0,而由l 2得a <0,b >0,矛盾;对于D 选项,由l 1得a >0,b >0,由l 2得a >0,b >0,符合.故选D .5.A y =x +a (a >0)表示斜率为1,在y 轴上的截距为a (a >0)的直线,y =a |x |表示关于y 轴对称的两条射线.如图,当x <0时,函数y =a |x |的图象与直线y =x +a 必有一个交点,所以当x >0时,也应有一个交点,故a >1.故选A .6.B 因为直线AB 过点P (1,2),且斜率存在,所以设直线AB 的方程为y =k (x -1)+2(k <0),令x =0,得y =2-k ;令y =0,得x =a -2a. ∴Aa -2a,0,B (0,2-k ),∴|AM |=-2a ,|PM |=2,|PN |=1,|BN |=-k ,由S △PAM -S △PBN =2020,得12×-2a ×2-12×1×(-k )=2020,即k 2-4040k -4=0, ∵k <0,∴k 的值只有1个, 故这样的直线有1条. 故选B .7.答案254解析 易知点A (1,-3)在直线l 上.由直线l :y =-12x -52绕点A (1,-3)逆时针旋转90°得到直线m , 可知直线m ⊥l ,可得k m ·k l =k m ×-12=-1,解得k m =2,又直线m 过点A (1,-3),所以直线m 的方程为y -(-3)=2(x -1),即y =2x -5,令x =0,得y =-5;令y =0,得x =52.所以所求三角形的面积为12×52×5=254. 8.答案 x +y +1=0解析 由点A (-7,4),B (-5,6),可得线段AB 的中点坐标为(-6,5),k AB =6-4-5-(-7)=1,则线段AB 的垂直平分线的斜率为-1,∴线段AB 的垂直平分线的方程为y -5=-(x +6),即x +y +1=0. 三、解答题9.解析 若a -2=0,则a =2,此时直线l 的方程为x =15,该直线不过第二象限,满足题意;若a -2≠0,则a ≠2,直线l 的斜截式方程为y =3a -1a -2x -1a -2,因为直线l 不过第二象限, 所以{3a -1a -2≥0,-1a -2<0,解得a >2.综上所述,a ≥2.故实数a 的取值范围是[2,+∞).10.解析 由A (-1,2),直线AC 的斜率为√3,得直线AC 的方程为y -2=√3(x +1),即y =√3x +2+√3. 由已知得AB ∥x 轴,直线AC 的倾斜角为60°, ∴直线BC 的倾斜角α=30°或α=120°.当α=30°时,直线BC 的方程为y -2=√33(x +3),即y =√33x +2+√3, 此时∠A 的平分线所在直线的倾斜角为120°,∴∠A 的平分线所在直线的方程为y -2=-√3(x +1),即y =-√3x +2-√3.当α=120°时,直线BC 的方程为y -2=-√3·(x +3),即y =-√3x +2-3√3,此时∠A 的平分线所在直线的倾斜角为30°,∴∠A 的平分线所在直线的方程为y -2=√33(x +1),即y =√33x +2+√33. 11.解析 由题意可得k OA =tan30°=√33,k OB =tan(180°-45°)=-1,所以直线OA 的方程为y =√33x ,直线OB 的方程为y =-x. 设A (√3m ,m ),B (n ,-n ),m ≠0,n ≠0, 则AB 的中点C (√3a +a 2,a -a2). 由点C 在y =-12x 上,且A 、P 、B 三点共线得{a -a2=-12·√3a +a2,√3a -1=-a -0a -1,解得{a =2√3-3,a =√3,所以B (√3,-√3).又P (1,0),所以k AB =k BP =√3-√3-1=-3+√32,所以直线AB 的方程为y =-3+√32(x -1),。
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13．（2020·靖西市二中高二）若直线过点 ，则此直线的倾斜角是_________.
【答案】
【解析】直线过点 则直线的斜率
设倾斜角为 ,根据斜率与倾斜角关系可得 由直线倾斜角 可得
14．已知 ， ， ，点 满足 ，且 ，则点 的坐标为______
【答案】
【解析】设 ，则 ， ， ，
， ，解得： ，即：
【答案】C
【解析】由两直线平行得,当k−3=0时 ,两直线的方程分别为y=−1和 ，显然两直线平行。
当k−3≠0时,由 ，可得k=5.综上，k的值是3或5，本题选择C选项
12．若直线 与 平行，则实数 的值等于( )
A. 1或 B. 1C. D.不存在
【答案】C
2、填空题共4小题，每小题5分，共20分。
第三章直线与方程单元测试卷（基础版）
一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（2020山东泰安实验中学高二月考）已知直线l：x ，则直线l的倾斜角为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，直线l：x ，是与x轴垂直的直线，其倾斜角为 .故选：B.
求： 顶点C的坐标；
直线MN的方程．
【解析】（1）设点C（x，y），
∵边AC的中点M在y轴上得 =0，
∵边BC的中点N在x轴上得 =0，
解得x=﹣5，y=﹣3．故所求点C的坐标是（﹣5，﹣3）．
（2）点M的坐标是（0，﹣ ），点N的坐标是（1，0），
直线MN的方程是 = ，即5x﹣2y﹣5=0．
20．（2020全国高二课时练）根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：
C．在直线 与 中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则 与 定相交
D．若直线 与 的斜率都不存在，则
【答案】C
【解析】对于A,若直线 与 的斜率相等，则 或 与 重合；对于B，若直线 与 互相平行，则它们的斜率相等或者斜率都不存在；对于D，若 与 的斜率都不存在，则 或 与 重合.
4．（2020山东泰安一中高二期中）经过点（ ，2），倾斜角为60°的直线方程是（）
5.立体几何中第二问叫你求余弦值啥的一般都用坐标法！如果求角度则常规法简单！
6.高考选择题中求条件啥的充要和既不充分也不必要这两个选项可以直接排除！考到概率超小
7.选择题中考线面关系的可以先从D项看起前面都是来浪费你时间的
7.选择题中求取值范围的直接观察答案从每个选项中取与其他选项不同的特殊点带入能成立的就是答案
理科如果考数列题的话，注意等差、等比数列通项公式、前n项和公式；证明数列是等差或等比直接用定义法（后项减前项为常数/后项比前项为常数），求数列通项公式，如为等差或等比直接代公式即可，其它的一般注意类型采用不同的方法（已知Sn求an、已知Sn与an关系求an（前两种都是利用an=Sn-Sn-1，注意讨论n=1、n>1）、累加法、累乘法、构造法（所求数列本身不是等差或等比，需要将所求数列适当变形构造成新数列lamt，通过构造一个新数列使其为等差或等比，便可求其通项，再间接求出所求数列通项）；数列的求和第一步要注意通项公式的形式，然后选择合适的方法（直接法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等）进行求解。如有其它问题，注意放缩法证明，还有就是数列可以看成一个以n为自变量的函数。
或 （舍）
三、解答题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（2020全国高二课时练）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2,3)，B(4,5)；
(2)C(－2,3)，D(2，－1)；
(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．
A.30°B.45°C.60°D.90°
【答案】B
【解析】由x-y+2=0,得y=x+2.其斜率为1,倾斜角为45°.
7．（2020上海高二课时练）“ ”是“直线 和直线 平行且不重合”的（）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【解析】当 时，两直线分别为： ， ，∴两直线斜率相等，则平行且不重合；若两直线平行且不重合，则 ，∴ ，综上所述， 是两直线平行且不重合的充要条件，故选：C.
(1)斜率是 ，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(－2,0)，且与x轴垂直；
(3)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(4)经过点A(－1,8)，B(4，－2)．
(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；
(6)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.
【解析】(1)由点斜式，得y＋2＝ (x－8)，化简，得 x－3y－8 －6＝0.
(2)直线方程为x＝－2，即x＋2＝0.
(3)由斜截式，得y＝－4x＋7，化成一般式为4x＋y－7＝0.
(4)由两点式，得 ＝ ，化成一般式为2x＋y－6＝0.
(5)由两点式方程得 ＝ ，整理得2x＋y－3＝0；
(6)由截距式方程得 ＋ ＝1，整理得x＋3y＋3＝0.
21．（2020全国高二课时练）求连接下列两点的线段的长度和中点坐标：
【解析】(1)存在．直线AB的斜率kAB＝ ＝1，即tanα＝1，
又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
(2)存在．直线CD的斜率kCD＝ ＝－1，即tanα＝－1，
又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.
(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
18．（2020湖南衡阳五中高二月考）已知在平行四边形ABCD中， .
【解析】由于 的面积等于 面积的 ，故 ，设 ，由 得 ，解得 ，即 ，
所以 .故选A.
10．（2020甘肃武威八中高二期中）原点到直线 的距离为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由点到直线距离可知所求距离 .故选： .
11．已知直线 与 平行，则 的 值是( )
A. 1或3B. 1或5C. 3或5D. 1或2
(1) ；
(2) ；
(3) .
【解析】(1) ，中点坐标 .
(2) ，中点坐标 .
(3) ，中点坐标 .
22．已知两条直线 ．
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的值.
【答案】（1）2，-1 ；（2） .
【解析】试题分析：（1）本小题考查两直线平行的性质，当两直线的斜率存在且两直线平行时，他们的斜率相等，注意截距不相等；由 ，得 或-1，经检验，均满足；（2）本小题考查两直线垂直的性质，当两直线斜率存在时，两直线的斜率之积为 ，注意斜率不存在的情况；由于直线 的斜率存在，所以 ，由此即可求出结果.
试题解析：
(1)因为直线 的斜率存在，
又∵ ，
∴ ，∴ 或 ，两条直线在 轴是的截距不相等，
所以 或 满足两条直线平行；学科&网
如何学好数学
1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok了
2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！
3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。省时省力！
4.空间几何证明过程中有一步实在想不出把没用过的条件直接写上然后得出想不出的那个结论即可。如果第一题真心不会做直接写结论成立则第二题可以直接用！用常规法的同学建议先随便建立个空间坐标系，做错了还有2分可以得！
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由直线的倾斜角为 ，得到直线的斜率 ，又直线过点
则直线的方程为 ，故选
5．（2020全国高二课时练）经过 与 两点的直线的方程为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 两点的坐标可知，直线 与 轴平行，所以直线的方程为 .
6.直线x-y+2=0的倾斜角是()
15．（2020福建莆田一中高二月考）已知两点 ， ，则直线 的方程为______.
【答案】 或
【解析】当 时，直线 的方程为 ；当 时，直线 的方程为 ，即 .
16．（2020上海高二课时练习）若直线 的倾斜角是 ，则实数 是_______________.
【答案】
【解析】因为直线 的倾斜角是 ，所以直线 的斜率为 ，因此
大题文科第一题一般是三角函数题，第一步一般都是需要将三角函数化简成标准形式Asin（wx+fai）+c，接下来按题做就行了，注意二倍角的降幂作用以及辅助角（合一）公式，周期公式，对称轴、对称中心、单调区间、最大值、最小值都是用整体法求解。求最值时通过自变量的范围推到里面整体u=wx+fai的范围，然后可以直接画sinu的图像，避免画平移的图像。这部分题还有一种就是解三角形的问题，运用正弦定理、余弦定理、面积公式，通常有两个方向，即角化成边和边化成角，得根据具体问题具体分析哪个方便一些，遇到复杂的题就把未知量列成未知数，根据定理列方程组，然后解方程组即可。
2．（2020山东菏泽三中高二期中）已知直线斜率的绝对值等于1，则此直线的倾斜角（）