江苏省如皋市薛窑中学高考数学总复习第一章第一节集合的概念与运算教案

第一章集合与简易逻辑●网络体系总览●考点目标定位1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义.2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义.4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质.●复习方略指南本章内容在高考中以考查空集与全集的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，集合的交、并、补运算为重点，以上内容又以集合的运算为重点考查内容.逻辑联结词与充要条件这部分，以充要条件为重点考查内容.本章内容概念性强，考题大都为容易的选择题，因此复习中应注意：1.复习集合，可以从两个方面入手，一方面是集合的概念之间的区别与联系，另一方面是对集合知识的应用.2.主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系，弄清有关的术语和符号，特别是对集合中的元素的属性要分清楚.3.要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，二者相互对照可加深对双方的认识和理解.4.复习逻辑知识时，要抓住所学的几个知识点，通过解决一些简单的问题达到理解、掌握逻辑知识的目的.5.集合多与函数、方程、不等式有关，要注意知识的融会贯通.1.1 集合的概念与运算知识梳理一、集合中元素的特性 确定性、互异性、无序性 二、集合的表示方法列举法、描述法、文氏图法三、元素与集合、集合与集合之间的关系（1）元素与集合：若元素x 是集合A 的元素，则x ∈A,否则x ∉A. （2）集合与集合之间的关系：子集：若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作()A B B A ⊆⊇或真子集：若A B ⊆且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A ØB （或B ÙA ） 相等：若A B B A ⊆⊆且,则称集合A 与B 相等，记作A=B 四、集合的运算（1）交集：A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B }. （2）并集： A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B }.（3）补集：UA ={x |x ∈U 且x ∉A }.五、.熟记以下重要结论：（1）U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.（2）,AB A A B A B A A B =⇔⊆=⇔⊇（3）德摩根公式：(),()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. （4）容斥原理：()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+.（5）集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有21n-，非空子集有21n-个，非空真子集有22n-个．课前预演1.已知集合A={x∈R|x＜5－2}，B={1，2，3，4}，则（R A）∩B等于A.{1，2，3，4}B.{2，3，4}C.{3，4}D.{4}解析：R A={x∈R|x≥5－2}，而5－2∈（3，4），∴（R A）∩B={4}.答案：D2.设集合P={1，2，3，4，5，6}，Q={x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是A.P∩Q=PB.P∩Q QC.P∪Q=QD.P∩Q P解析：P∩Q={2，3，4，5，6}，∴P∩Q P.答案：D3.设U是全集，非空集合P、Q满足P Q U，若求含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集∅，则这个运算表达式可以是_______________.解析：构造满足条件的集合，实例论证.U=｛1，2，3｝，P=｛1｝，Q=｛1，2｝，则（U Q）=｛3｝，（U P）={2，3}，易见（U Q）∩P=∅.答案：（U Q）∩P4.已知集合A＝｛0，1｝，B＝｛x｜x∈A，x∈Ｎ*｝，C＝｛x｜x⊆A｝，则A、B、C之间的关系是___________________.解析：用列举法表示出B＝｛1｝，C＝｛∅，｛1｝，｛0｝，A｝，易见其关系.这里A、B、C是不同层次的集合，C以A的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是从属关系.答案：B A，A∈C，B∈C课堂讲练例1设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M－N={x|x∈M且x∉N}，则M－（M －N）等于A.NB.M∩NC.M∪ND.M分析：M－N={x|x∈M且x∉N}是指图（1）中的阴影部分.(1) (2)同样M －（M －N ）是指图（2）中的阴影部分.答案：B评述：有关集合之间关系的题目常用文氏图求解。

[变式训练]１.设全集{}|010,U x x x N *=<<∈，若{}3AB =，{}1,5,7U AC B =，{}9U U C A C B =，则A ={}1,3,5,7，B ={}2,3,4,6,8．分析：画出文氏图。

例2 函数f （x ）=⎩⎨⎧∈-∈,,M x xP x x其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f （P ）={y |y =f （x ），x ∈P }，f （M ）={y |y =f （x ），x ∈M }.给出下列四个判断，其中正确判断有①若P ∩M =∅，则f （P ）∩f （M ）=∅ ②若P ∩M ≠∅，则f （P ）∩f （M ）≠∅ ③若P ∪M =R ，则f （P ）∪f （M ）=R ④若P ∪M ≠R ，则f （P ）∪f （M ）≠RA.1个B.2个C.3个D.4个 分析：由题意知函数f （P ）、f（M ）的图象如下图所示.设P =［x 2，+∞），M =（－∞，x 1］，∵|x 2|＜|x 1|，f （P ）=［f （x 2），+∞），f （M ）=［f （x 1），+∞），则P ∩M =∅.而f （P ）∩f （M ）=［f （x 1），+∞）≠∅，故①错误.同理可知②正确.设P =［x 1，+∞），M =（－∞，x 2］，∵|x 2|＜|x 1|，则P ∪M =R .f （P ）=［f （x 1），+∞），f （M ）=［f （x 2），+∞）， f （P ）∪f （M ）=［f （x 1），+∞）≠R ，故③错误.同理可知④正确. 答案：B评述：分段函数类题目往往借助函数图象解决。

[变式训练]1．已知集合2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2{|1}E x y x ==+，2{(,)|1}F x y y x ==+，{|1}G x x =≥，则 （ D ）()A P F = ()B Q E = ()C E F = ()D Q G =解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简． 2.设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是A.P QB.Q PC.P =QD.P ∩Q =Q分析：Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}， 对m 分类：①m =0时，－4＜0恒成立；②m ＜0时，需Δ=（4m ）2－4×m ×（－4）＜0，解得m ＜0. 综合①②知m ≤0，∴Q ={m ∈R |m ≤0}. 答案：A评述：本题容易忽略对m =0的讨论，应引起大家足够的重视.例3 已知A ={x |x 3＋3x 2＋2x ＞0}，B ={x |x 2＋ax ＋b ≤0}且A ∩B ={x |0＜x ≤2}，A ∪B ＝｛x ｜x ＞－2｝，求a 、b 的值.分析：先将各个集合化简解：A ={x |－2＜x ＜－1或x ＞0}， 设B =［x 1，x 2］，由A ∩B =（0，2］知x 2＝2，且－1≤x 1≤0， ① 由A ∪B =（－2，+∞）知－2≤x 1≤－1. ② 由①②知x 1＝－1，x 2＝2，∴a ＝－（x 1＋x 2）＝－1，b ＝x 1x 2＝－2.评述：本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法. [变式训练]设集合{},,P x y x y xy =-+，{}2222,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、Q ．解：∵P Q =且0Q ∈，∴0P ∈．（1）若0x y +=或0x y -=，则220x y -=，从而{}22,0,0Q x y =+，与集合中元素的互异性矛盾，∴0x y +≠且0x y -≠；（2）若0xy =，则0x =或0y =．当0y =时，{},,0P x x =，与集合中元素的互异性矛盾，∴0y ≠； 当0x =时，{,,0}P y y =-，22{,,0}Q y y =-，由P Q =得220y y y y y -=⎧⎪=-⎨≠⎪⎩ ① 或220y y y y y -=-⎧⎪=⎨≠⎪⎩ ②由①得1y =-，由②得1y =，∴{01x y ==-或{01x y ==，此时{1,1,0}P Q ==-．故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是（－∞，－2］∪［21，1） 例４.已知集合A ={（x ，y ）|x 2+mx －y +2=0}，B ={（x ，y ）|x －y +1=0，0≤x ≤2}，如果A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围.分析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线x 2+mx －y +2=0与线段x －y +1=0（0≤x ≤2）有公共点，求实数m 的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质.解：由⎩⎨⎧≤≤=+-=+-+),20(01,022x y x y mx x 得x 2+（m －1）x +1=0.①∵A ∩B ≠∅，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.首先，由Δ=（m －1）2－4≥0，得m ≥3或m ≤－1.当m ≥3时，由x 1+x 2=－（m －1）＜0及x 1x 2=1知，方程①只有负根，不符合要求； 当m ≤－1时，由x 1+x 2=－（m －1）＞0及x 1x 2=1＞0知，方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间（0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.综上所述，所求m 的取值范围是（－∞，－1］.评述：上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x 2+mx －y +2=0与线段x －y +1=0（0≤x ≤2）的公共点在线段上，本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m 的不等式来解[变式训练]记函数f （x ）=132++-x x 的定义域为A ，g （x ）= lg ［（x －a －1）（2a －x ）］（a ＜1）的定义域为B .（1）求A ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.解：（1）由2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0， ∴x ＜－1或x ≥1，即A =（－∞，－1）∪［1，+∞）. （2）由（x －a －1）（2a －x ）＞0，得（x －a －1）（x －2a ）＜0. ∵a ＜1，∴a +1＞2a .∴B =（2a ，a +1）.∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2.而a ＜1，∴21≤a ＜1或a ≤－2.误区特别警示设A={x|x 2－8x ＋15=0},B={x|ax －１=0}，若B ØA,求实数a 组成的集合的子集有多少？错解：化简集合A={3，5}，化简集合B={x|x=1a} ∵B ØA,∴1a =3或1a =5,∴a=1135或, ∴实数a 组成的集合为{11,35},它的子集共有4个。