重庆市大学城第一中学校人教版高中数学必修二导学案第二章第一节两条直线平行与垂直的判定

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人教版数学高一必修2学案两条直线平行与垂直的判定

3.1.2两条直线平行与垂直的判定基础梳理1．两条直线平行的判定．两条不重合的直线平行的条件是(斜率都存在)：它们的斜率相等．即：α1＝α2⇔l1∥l2⇔k1＝k2.上述结论的前提是两条直线不重合并且斜率都存在．例如：已知两不重合直线的倾斜角都为0°，则这两直线平行．已知两不重合直线的倾斜角都为90°，则这两直线平行．2．两条直线垂直的判定．探究两直线l1，l2垂直时，它们的斜率k1，k2的关系．(1)l1，l2的倾斜角α1＝90°，α2＝0°时，斜率k1不存在；k2＝0，此时两直线垂直．(2)两直线的斜率都存在时，两直线垂直，则它们的斜率k1，k2的乘积k1k2＝－1.反之亦然，即：l1⊥l2⇔k1k2＝－1．例如：已知直线l1的斜率为3，l2的斜率为－13，则l1⊥l2.►思考应用1．当两条直线的斜率相等时，两条直线一定平行吗？解析：一定，课本说“两条直线时，一般是指两条不重合的直线”．2．当直线l1⊥l2时，它们的倾斜角α1，α2的关系是什么(α1<α2)? 解析：α2＝90°＋α1.自测自评1．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(B)A．－3 B．3 C．－13D.132．过点A(1，2)和B(－3，2)的直线与直线y＝0的位置关系是(B) A．相交B．平行C．重合D．垂直3．直线l1的倾斜角为60°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(D) A. 3 B．－ 3C.33D．－334．经过点(m，3)和(－2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是2．题型一两条直线平行与垂直的关系(1)若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－a3，题型二两直线平行与垂直的应用基础达标1．下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；②如果两直线平行，则它们的斜率相等；③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；④如果两直线垂直，则它们斜率之积为－1.其中正确的为(B )A ．①②③④B ．①③C ．②④D ．以上全错2．给定三点A(1，0)、B(－1，0)、C(1，2)，则过A 点且与直线BC 垂直的直线经过点(A )A ．(0，1)B ．(0，0)C ．(－1，0)D ．(0，－1)解析：∵k BC ＝2－01－（－1）＝1， ∴过A 点且与直线BC 垂直的直线的斜率为－1.又∵k ＝1－00－1＝－1， ∴直线过点(0，1)．3．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)，(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝(A )A ．2B ．－2C ．4D ．14．设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论： ①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④RP ⊥QS.正确的个数是(C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由斜率公式知k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35，k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4·k PR ＝6－212＋4＝14，∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，RP ⊥QS.而k PS ≠k QS ，所以PS 与QS 不平行，故①②④正确，选C .5．下列各对直线不互相垂直的是(C )A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4，3)B ．l 1的斜率为－23，l 2过点A(1，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12C ．l 1的倾斜角为30°，l 2过点P(3，3)，Q(4，23)D ．l 1过点M(1，0)，N(4，－5)，l 2过点A(－6，0)，S(－1，3)6．以A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是(D )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 为直角顶点的直角三角形D ．以B 为直角顶点的直角三角形7．确定l 1与l 2的位置关系(填“∥”或“⊥”)(1)l 1过点A(2，3)，B(－1，0)，l 2过点P(1，0)且斜率为1，则l 1________l 2.(2)l 1过点C(3，1)，D(－2，0)，l 2过点M(1，－4)且斜率为－5，则l 1________l 2.解析：(1)∵kl 1＝3－02＋1＝1，∴l 1∥l 2. (2)kl 1＝15，∴kl 1·kl 2＝－1，∴l 1⊥l 2. 答案：(1)∥ (2)⊥ 巩固提升8．直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________．解析：由根与系数的关系可知k 1＋k 2＝32，k 1·k 2＝－b 2，则当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－b 2＝－1，解得b ＝2；当l 1∥l 2时，k 1＝k 2＝34，解得b ＝－2k 1·k 2＝－98. 答案：2 －989．△ABC 的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即－12·m －12－1＝－1，得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋1－3·m －12－1＝－1，得m ＝±2.综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.10．已知四边形MNPQ 的顶点M(1，1)，N(3，－1)，P(4，0)，Q(2，2)，求证：四边形MNPQ 为矩形．证明：∵k MN ＝1＋11－3＝－1，k PQ ＝2－02－4＝－1，∴MN ∥PQ.又∵k MQ ＝2－12－1＝1，k NP ＝0＋14－3＝1，MQ ∥NP ，∴四边形MNPQ 为平行四边形．又∵k MN·k MQ＝－1，∴MN⊥MQ.∴四边形MNPQ为矩形．1．对垂直与平行关系的理解应注意，当两直线的斜率相等时，并不一定两直线平行，还要注意判断一下两直线是否重合．2．无论是判断两条直线平行还是垂直，都需注意对特殊情况的讨论，即注意分类讨论思想方法的运用．3．利用这两个关系判断三角形或四边形形状时首先根据各点坐标求出各边斜率，再根据斜率判断各边所在直线的位置关系，进而得知形状．在求斜率、求点的坐标等问题时经常用到这两类关系．。

教案高一数学人教版必修二 3.1.2两条直线平行与垂直的判定最新修正版

双峰一中高一数学必修二教案
科目：数学
课题
§3.1.2两条直线平行与垂直的判定课型新课Fra bibliotek教学目标
(1)理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
(2)通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力. (3)通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.
教学过程
教学内容
备注
一、
自主学习
二、
质疑提问
三、
问题探究
四、
课堂检测
五、
小结评价

【人教A版】高中数学必修二：第2章《点、直线、平面之间的位置关系》导学案设计第二章 2.3.1

2.3.1直线与平面垂直的判定[学习目标] 1.掌握直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题.知识点一直线与平面垂直画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直思考直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？答定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直.知识点二直线与平面垂直的判定定理思考线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗？答用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的.知识点三直线和平面所成的角思考若直线l与平面α所成的角是0°角，则必然有l∥α吗？答不一定.若直线l与平面α所成的角是0°角，则l∥α或l⊂α.题型一直线和平面垂直的定义例1直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A.l和平面α平行B.l和平面α垂直C.l在平面α内D.不能确定答案D解析如图所示，直线l和平面α平行，或直线l和平面α垂直或直线l在平面α内都有可能.故正确答案为D.反思与感悟 1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.A.若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB.若l⊥α，l∥m，则m⊥αC.若l∥α，m⊂α，则l∥mD.若l∥α，m∥α，则l∥m答案B解析对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m 异面；对于D，l，m还可能相交或异面.题型二线面垂直的判定例2如图所示，已知P A垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.证明∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.反思与感悟证线面垂直的方法有：(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.跟踪训练2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.证明∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BB 1O ，又EF 是△ABC 的中位线， ∴EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BB 1O .题型三直线与平面所成的角例3 如图所示，已知正四面体ABCD 的棱长a ，E 为AD 的中点，连接CE .(1)求AD 与平面BCD 所成角的余弦值； (2)求CE 与平面BCD 所成角的正弦值.解 (1)如图所示，过点A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为点O ，连接OB ，OC ，OD .则OB ，OC ，OD 分别是AB ，AC ，AD 在平面BCD 上的射影. ∴∠ADO 为直线AD 与平面BCD 所成的角. 又∵AB ＝AC ＝AD ，∴OB ＝OC ＝OD . ∴O 为△BCD 的外心.∵△BCD 为正三角形，∴点O 为重心. 又正四面体棱长为a ，∴OD ＝32a ×23＝33a . ∴cos ∠ADO ＝OD AD ＝33，∴AD 与平面BCD 所成角的余弦值为33. (2)取OD 的中点F ，连接EF ，CF .∵E ，F 分别为△DAO 的边AD ，OD 的中点， ∴EF 为△DAO 的中位线. ∴EF ∥AO .又AO ⊥平面BCD ，∴EF ⊥平面BCD . ∴FC 为EC 在平面BCD 上的射影. ∴∠ECF 为CE 与平面BCD 所成的角. 在Rt △EFC 中，EF ＝12AO .而AO ＝AD 2－OD 2＝ a 2－⎝⎛⎭⎫33a 2＝63a ， ∴EF ＝66a . ∵E 为AD 的中点，∴CE ＝32AD ＝32a .∴sin∠ECF＝EFCE＝66a32a＝23.∴CE与平面BCD所成角的正弦值为2 3.反思与感悟 1.求直线和平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.2.在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口.跟踪训练3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点.(1)求D1B与平面AC所成的角的余弦值；(2)求EF与平面A1C1所成的角的大小.解(1)如图所示，连接DB.因为D1D⊥平面AC，所以DB是D1B在平面AC内的射影.所以∠D1BD即为D1B与平面AC所成的角.在Rt△D1DB中，DB＝2AB，D1B＝3AB，所以cos∠D1BD＝DBD1B＝63.故D1B与平面AC所成的角的余弦值为6 3.(2)因为E是A1A的中点，A1A⊥平面A1C1，所以∠EF A1是EF与平面A1C1所成的角.在Rt△EA1F中，因为F是A1D1的中点，所以∠EF A1＝45°.故EF与平面A1C1所成的角的大小为45°.分类讨论思想例4 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a ＞0)，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，问：BC 边上是否存在点Q ，使得PQ ⊥QD ？并说明理由. 分析由于矩形是变动的，在BC 边上是否存在点Q ，使得PQ ⊥QD 与a 有关，故应对a 进行分类讨论.解因为P A ⊥平面AC ，QD ⊂平面AC ，所以P A ⊥QD .又因为PQ ⊥QD ，P A ∩PQ ＝P ，所以QD ⊥平面P AQ .所以AQ ⊥QD .①当0＜a ＜2时，由四边形ABCD 是矩形，且AB ＝1，知以AD 为直径的圆与BC 无交点，即对于BC 上任一点Q ，都有∠AQD ＜90°，此时BC 边上不存在点Q ，使PQ ⊥QD ； ②当a ＝2时，以AD 为直径的圆与BC 相切于BC 的中点Q ，此时∠AQD ＝90°，所以BC 边上存在一点Q ，使PQ ⊥QD ；③当a ＞2时，以AD 为直径的圆与BC 相交于点Q 1，Q 2，此时∠AQ 1D ＝∠AQ 2D ＝90°，故BC 边上存在两点Q (即Q 1与Q 2)，使PQ ⊥QD .解后反思应注意到矩形是变动的，所以应对a 进行分类讨论.分类的依据是直线与圆的位置关系的几种情况，从而划分a 的取值范围，然后进行讨论. 线面垂直例5 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：OE ⊥平面ACD 1.分析根据线面垂直的判定定理，要证明OE ⊥平面ACD 1，只要在平面ACD 1内找两条相交直线与OE 垂直即可.证明如图，连接AE ，CE ，D 1O ，D 1E ，D 1B 1.设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，易证AE ＝CE . 因为AO ＝OC ，所以OE ⊥AC . 在正方体中易求出：D 1O ＝DD 21＋DO 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝62a ， OE ＝BE 2＋OB 2＝⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝32a ，D 1E ＝D 1B 21＋B 1E 2＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝32a .因为D 1O 2＋OE 2＝D 1E 2，所以D 1O ⊥OE .因为D1O∩AC＝O，D1O⊂平面ACD1，AC⊂平面ACD1.所以OE⊥平面ACD1.解后反思在立体几何的垂直关系的证明中，通过勾股定理及其逆定理计算证明线线垂直是一种常用的技巧.1.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为()A.75°B.60°C.45°D.30°答案C解析如图，连接AC，BD，两线相交于O，连接SO，则∠SBO就是侧棱与底面所成的角.易得OB＝22.因为SB＝1，所以SO＝SB2－OB2＝2 2.所以∠SBO＝45°.2.下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是()A.l与平面α内的两条直线垂直B.l与平面α内的无数条直线垂直C.l与平面α内的某一条直线垂直D.l与平面α内的任意一条直线垂直答案D解析根据线面垂直的定义可知，l垂直于α内的所有直线时，l⊥α.3.已知P A⊥矩形ABCD，下列结论中，不正确的是()A.PB⊥BCB.PD⊥CDC.PD⊥BDD.P A⊥BD答案C解析如图，由P A⊥矩形ABCD，得BC⊥平面P AB，DA⊥平面P AB，DC⊥平面P AD，AB⊥平面P AD，则有PB⊥BC，PD⊥CD，P A⊥BD均正确，而PD⊥BD错，故选C.4.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.A.①③B.②C.②④D.①②④答案A解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.5.矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，P A⊥平面ABCD，P A＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________.答案30°解析tan∠PCA＝P AAC＝13＝33，∴∠PCA＝30°.1.直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2.线线垂直的判定方法：(1)异面直线所成的角是90°；(2)线面垂直，则线线垂直.3.求线面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)；(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).一、选择题1.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A.有且只有一个B.至多一个C.有一个或无数个D.不存在答案B解析若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在.2.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.120° 答案 C解析如图，AC ⊥α，AB ∩α＝B ，则BC 是AB 在平面α内的射影，则 BC ＝12AB ，所以∠ABC ＝60°，它是AB 与平面α所成的角.3.空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交答案 C解析取BD 中点O ，连接AO ，CO ，则BD ⊥AO ，BD ⊥CO ， ∴BD ⊥面AOC ，BD ⊥AC ，又BD 、AC 异面，∴选C.4.如图所示，P A ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 A解析 ∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AC ，P A ⊥AB ，P A ⊥BC .又∵BC ⊥AC ，AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC .5.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC 和CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿着AE 和AF 及EF 把正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H .那么，在四面体A －EFH 中必有( )A.HG ⊥△AEF 所在平面B.AG ⊥△EFH 所在平面C.HF ⊥△AEF 所在平面D.AH ⊥△EFH 所在平面答案 D解析 ∵AD ⊥DF ，AB ⊥BE ，∴AH ⊥HF ，AH ⊥HE .又∵EH ∩FH ＝H ，∴AH ⊥面EFH .6.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( ) A.63 B.265 C.155 D.105答案 D解析如右图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接A 1C 1，与B 1D 1交于O 点，连接OB ，由已知A 1B 1C 1D 1是正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1. 又∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，OC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴OC 1⊥BB 1.而BB 1∩B 1D 1＝B 1， ∴OC 1⊥平面BB 1D 1D .∴OB 是BC 1在平面BB 1D 1D 内的射影. ∴∠C 1BO 是BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角. 在正方形A 1B 1C 1D 1中， OC 1＝12A 1C 1＝12×22＋22＝ 2.在矩形BB 1C 1C 中，BC 1＝BC 2＋CC 21＝4＋1＝ 5. ∴sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝25＝105.二、填空题7.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝CC 1，当底面A 1B 1C 1满足条件________时，有AB 1⊥BC 1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况) 答案 A 1C 1⊥B 1C 1解析如图所示，连接B 1C .由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C .因此，要得AB 1⊥BC 1，则需BC 1⊥平面AB 1C ，即只需AC ⊥BC 1即可.由直三棱柱可知，只要满足AC ⊥BC 即可.而A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要满足A 1C 1⊥B 1C 1即可.8.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝________. 答案 90°解析 ∵B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，MN ⊂平面ABB 1A 1，∴B 1C 1⊥MN .又∵MN ⊥B 1M ，B 1M ∩B 1C 1＝B 1，∴MN ⊥平面C 1B 1M ，∴MN ⊥C 1M ，即∠C 1MN ＝90°. 9.已知△ABC 的三条边长分别是5,12,13，点P 到A ，B ，C 三点的距离都等于7，则点P 到平面ABC 的距离为____.答案 332解析由点P 到△ABC 三个顶点的距离相等可知，P 在面ABC 上的投影为△ABC 的外心.又∵△ABC 为直角三角形，∴其外心是斜边的中点，即P 在面ABC 上的投影是△ABC 斜边的中点D ，如图.∴点P 到平面ABC 的距离为PD ＝72－⎝⎛⎭⎫1322＝32 3.10.如图所示，P A ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的正投影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确结论的序号是________.答案 ①②③解析 ∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，P A ∩AC＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB .又∵AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF ，∴PB ⊥EF .故①②③正确.三、解答题11.如图，AB 为⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.(1)求证：AN ⊥平面PBM .(2)若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB .证明 (1)∵AB 为⊙O 的直径，∴AM ⊥BM .又P A ⊥平面ABM ，∴P A ⊥BM .又∵P A ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面P AM .又AN ⊂平面P AM ，∴BM ⊥AN .又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ，∴AN ⊥平面PBM .(2)由(1)知AN ⊥平面PBM ，PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB .又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ，∴PB ⊥平面ANQ .又NQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥NQ .12.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高. (1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积；(3)证明：EF ⊥平面P AB .(1)证明 ∵AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ，∴AB ⊥PH .又∵PH ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ，∴PH ⊥平面ABCD .(2)解 ∵PH ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点，PH ＝1，∴点E 到平面ABCD 的距离h ＝12PH ＝12. 又∵AB ∥CD ，AB ⊥AD ，∴AD ⊥CD ，∴S △BFC ＝12·CF ·AD ＝12×1×2＝22， ∴V E －BCF ＝13S △BCF ·h ＝13×22×12＝212. (3)证明如图，取P A 的中点G ，连接GE ，DG .∵DA ＝DP ，∴DG ⊥P A .∵AB ⊥平面P AD ，DG ⊂平面P AD ，∴AB ⊥DG .又∵AB ∩P A ＝A ，∴DG ⊥平面P AB .∵GE ∥AB ，GE ＝12AB ，DF ∥AB ，DF ＝12AB ， ∴GE ∥FD ，GE ＝FD ，∴四边形DFEG 为平行四边形，∴DG ∥EF ，∴EF ⊥平面P AB .。

高中数学必修二导学案14.两条直线的平行与垂直

．两条直线的平行与垂直周峻民学习目标．熟练掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能根据两条直线平行或垂直的条件确定直线的某些要素．．通过两直线平行或垂直的条件的讨论，培养运用已有知识解决新问题的能力以及数形结合能力．一、夯实基础基础梳理．两直线的位置关系平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．．两直线平行对于直线：，：，．对于直线：，：（），．．两直线垂直对于直线：，：，则．对于直线：，：，则．基础达标．以为端点的线段的垂直平分线方程是（）．．．．．．设，记：，：直线与直线平行．那么与的关系为（）．能推出，不能推出．能推出，不能推出．能推出，也能推出．不能推出，也不能推出．根据条件求的值；（）过点和的直线与直线平行，则的值为．（）直线与直线平行，则值为．．已知两条直线：，：，为何值时，与（）平行；（）垂直二、学习指引自主探究．两条直线的位置关系对于直线：，：，（）与平行或重合由（）可以得到；（）与相交．．有特殊位置关系的直线方程己知直线：，研究下列问题：（）与平行的直线可设为．（）与垂直的直线可设为．（）过且与平行的直线为．（）过且与垂直的直线为．（）过原点且与平行的直线为．（）过原点且与垂直的直线为．．将下列问题等价转化直线的位置关系（）三条直线可以围成三角形，等价于．（）三条直线不能围成三角形，等价于．注意以上两个问题正好相反．．证明下列问题，并总结方法：（）点关于的对称点的坐标为，（）点关于的对称点的坐标为．案例分析．求过点且与直线平行的直线方程．【解析】方法一：已知直线的斜率为，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是根据点斜式，得到所求直线的方程是，即．方法二：设与直线平行的直线的方程为（）．经过点，，解之得，所求直线方程为．．求过点，且与直线垂直的直线的方程．【解析】方法一：已知直线方程的斜率为，所以，所求直线方程为即．方法二：由于与直线垂直的直线的斜率互为负倒数，故可得其方程为，这是常常用到的解题技巧．设与直线垂足的直线方程为．。

重庆市大学城第一中学校人教版高中数学必修二导学案：第二章第二节直线与平面平行的判定

第二章第二节直线与平面平行的判定三维目标1.理解直线与平面平行的判定定理；2.会用线面平行的判定定理解决相关的问题；3.养成观察、发现问题的习惯.________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1*问题1.请观察以下图形，直线与平面具有几种位置关系？图1 图2 图3*问题2.有一块木料如图5-4所示，P为平面BCEF内一点，要求过点P在平面BCEF内作一条直线与平面ABCD平行，应该如何画线？*问题3.直线外一条直线和平面内一条直线平行，能否保证直线和平面平行并证明直线与平面平行的判定定理？结论： .符号语言表示为： .*作用： .【学做思2】1.已知：如图2.2-5，在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的中点，求证：EF//平面BCD图2.2-52. 如图1，四棱锥A-DBCE 中，O 为底面正方形DBCE 对角线交点，F 为AE 的中点，求证：AB//平面DCF.图1达标检测1.如图，在长方体ABCD-1111D C B A 中（1）与AB 平行的平面是 ;（2）与面AA'平行的平面是 ; （3）与AD 平行的平面是 .BDAC A 1 B 1C 1D 1EA2.如图，正方体ABCD-1111D C B A 中，E 为1DD 的中点，试判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由。

*3.正方形ABCD 与正方形ABEF 交于AB ，M 和N 分别为AC 和BF 上的点，且AM FN，如图所示.求证：MN ∥平面BEC .。

重庆市大学城第1中学校人教版高中数学必修二导学案：第2章第1节两条直线平行与垂直的判定

第二章第|一节两条直线平行与垂直的判定三维目标1．理解从代数的角度判定两直线平行或垂直的方法；2．会运用条件判定两直线是否平行或垂直；3. 通过本节课的学习 ,学会用 "联系〞的观点看问题 ,进一步认识代数与几何的联系.________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1问题1.上节课我们学习了影响直线倾斜程度的两个量：倾斜角和斜率,其定义、公式及其相互关系是什么 ?问题2.如果两条直线平行 ,这两条直线的倾斜角相等吗 ?斜率一定相等吗 ?问题3.两条直线的倾斜角 (斜率 )相等 ,那么一定平行吗 ?1l 、2l 平行与斜率之间的关系 ?问题5.你能否从向量的角度 ,对自学内容中例题3和例题4进行解决呢 ?1l ⊥2l 时 ,1k 与2k 需要满足的关系 ?【学做思2】1.判断以下各小题中的直线1l 与2l 是否平行或垂直.(1)1l 经过点A (0,1) ,B(1,0) ,2l 经过点M(－1,3) , N(2,0)；(2)1l 经过点A(－3,2) ,B(－3,10) ,2l 经过点M(5 ,－2) ,N(5,5)．(3)1l 的斜率为－10 ,2l 经过点A(10,2) ,B(20,3)；(4)1l 经过点A(3,4) ,B(3,100) ,2l 经过点M(－10,40) ,N(10,40)．【变式】此题中 ,假设直线1l 与2l 分别满足以下条件 ,那么两直线的位置关系分别是什么 ?(1)1l 的斜率为1 ,2l 经过点A (1,1) ,B(2,2)；(2)1l 经过点A(－1 ,－2) ,B(1,2) ,2l 经过点M(－2 ,－1) ,N(2,1).2．四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(0,1) ,B(1,0) ,C(3,2) ,D(2, 3),试判断该四边形的形状.*【变式】在平面直角坐标系下 ,有三个点A (2 ,2 ) ,B (－5 ,1 ) ,C (3 ,－5 ) ,(1 )试求第四个点D 的坐标 ,使得四边形ABCD 构成平行四边形.(2 )试求第四个点D 的坐标 ,使得这四个点构成平行四边形.达标检测1．以下说法正确的选项是( )A ．假设直线1l 与2l 斜率相等 ,那么1l ∥2lB ．假设直线1l ∥2l ,那么12l l k kC ．假设直线1l ,2l 的斜率都不存在 ,那么1l ∥2lD ．假设两条直线的斜率存在且不等 ,那么两直线不平行.2. 顺次连结A(1 ,－1) ,B(2 ,－1) ,C(0,1) ,D(0,0)四点所组成的图形是________．3. 长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0,1) ,B(1,0) ,C(4,3) ,那么第四个顶点D 的坐标为________．4. 直线1l 的斜率为2 ,直线2l 上有三点A(3,5)、B(x,7)、C( -1,y),假设1l ⊥2l ,求值：x , y5. 试确定m 的值 ,使过点A(2m,2)、B(－2,3m)的直线与过点P(1,2)、Q(－6,0)的直线(1)平行；(2)垂直．。

高中数学二 3.1.2两条直线平行与垂直的判定导学案

3.1.2两条直线平行与垂直的判定学习目标:1、明确直线平行于垂直的条件。

2、利用直线的平行与垂直解决有关问题。

学习重点难点: 两条直线的平行与垂直的判定方法。

教学过程：一：回顾预习案：为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度,我们学习了直线的 ,进而学习了直线的斜率—-—- ，斜率的计算公式为：。

即把转化为。

那平面直角坐标系中两条直线的平行或垂直时，它们的斜率什么关系呢？1：两条直线平行的条件(1) 如图：如果21//l l ,它们的斜率都存在,那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系? 21//l l 1α⇒ 2α⇒1tan α ⇒2tan α1k 2k上述结论反过来成立吗？所以：●当两条直线斜率都存在时当两条直线的斜率都为0时，上式也满足，请在坐标系中画出图（2)特殊情况下的两直线平行条件●当两条直线中有一条直线没有斜率时，若要平行,另一条直线的斜率 ,它们的倾斜角都为 .请在坐标系中画出图2：两条直线垂直的条件(1)两条直线都有斜率,如果它们互相垂直，则它们的斜率；反之，如果它们的斜率互为负倒数,则它们互相垂直。

(证明过程略）即12l l ⊥⇔121k k =-⇔121k k =-当两条直线的斜率有一个为0时成立吗?（2)当有一条直线的斜率为0时,这条直线的倾斜角为，若要垂直另一条直线的倾斜角为，斜率请在坐标系中画出图（3）当有一条直线斜率不存在时,倾斜角为 ,若要垂直另一条直线的倾斜角和斜率如何呢？二、例题【例1】已知(2,3),(4,0),(3,1),(1,2)A B P Q ---，试判断直线BA 与PQ 的位置关系，并证明你的结论．【例2】已知四边形ABCD的四个顶点0,0(DCBA-试判断四边形ABCD),,2()3,2(),2,4(),1的形状，并给出证明．【例3】已知平行四边形ABCD中，顶点(1,1)B，A--，(2,0) C,求顶点D的坐标．(3,2)【例4】已知)6,6(),3,0(),6,3(),0,6(-A，试判断直线AB与-QBPPQ的位置关系。

人教版高中数学必修二导学案：第二章第二节直线与平面平面与平面平行的性质

第二章第二节直线与平面平面与平面平行的性质三维目标1.理解并能证明直线与平面平行的性质定理，会用定理解决相关问题；2.理解并能证明两个平面平行的性质定理，会用定理解决相关问题.________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1问题1. 回答教材第58页思考题.*问题2.直线与平面平行的性质定理是什么?作用是什么？如何证明两个平面的性质定理？请用符号语言表示?问题3.如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么样的位置关系？思考：长方体ABCD-A’B’C’D’的平面AC内哪些直线与B'D'平行？怎么找？*问题4.两个平面平行的性质定理是什么?作用是什么？如何证明两个平面的性质定理？请用符号语言表示?【学做思2】*1. 长方体''''D C B A ABCD -中，点1P BB ∈（异于'B B 、），1PA BA M =I ，1PC BC N =I ，求证：//MN 平面ABCD .* 2.已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一个平面内，Q P 、分别是对角线BD AE 、上的点，且DQ AP =，如图求证：PQ //平面CBE 。

达标检测*1.判断正误。

（1）过直线外一点只能引一条直线与这条直线平行；（2）若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；（3）若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行.*2.下列命题中，错误的是（）A. 平行于同一条直线的两个平面B. 平行于同一个平面的两个平面平行C. 一个平面和两个平行平面相交，交线平行D. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个P面ABCD，过BC作平面BCEF交AP于E，交DP于F，3.四边形ABCD是矩形，∉求证：四边形BCFE是梯形*4.如图，两条异面直线AC、DF与三个平行平面α、β、γ分别交于A、B、C与D、E、F，又AF、CD分别与交于G、H，求证：四边形HEGB为平行四边形。

高中数学3.1 两条直线平行与垂直的判定教案1人教版必修2

“两条直线平行与垂直的判定”教学设计一、教材分析.本节课内容选自普通高中新课程标准实验教科书人教版数学必修2的3.1.2介绍的两条直线平行与垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别。

值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明。

新课改对必修课程最突出的要求是：“力求体现数学知识中蕴涵的基本思想方法和内在联系，体现数学知识的发生、发展过程和实际应用”.而解析几何本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要数学思想.对于本节内容是在学习直线的倾斜角与斜率的基础上，重点是通过代数方法得到两条直线的平行与垂直的几何结论，正体现了用代数方法研究几何问题的思想。

本节的知识结构是 ↓二、课标的分析<<普通高中数学课程标准>>明确指出将直线的倾斜角代数化，在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线的几何要素；能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

从课标中这部分内容标准的要求，可看出：在教学中，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时应注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力。

三、教学对象的分析学生在学习本节课之前，已经在初中学过平面内两条直线平行的判定，在前面也学过了空间中直线与直线平行的判定，为本节课的学习奠定了一定的基础。

因此，学生学习本节课的困难不是很大，但是也该预见到学生的基础参差不齐，并且没有形成良好的学习习惯，不愿意动手、动脑，这也给教学带来了一定的难度。

四、教学目标的设计1．知识与技能：掌握斜率存在的两条直线平行或垂直的充要条件；能用解析法解决平面几何问题。

2．过程与方法：在初中平面几何的直线平行或垂直关系的基础上，本节将从新的角度来研究平面内两条直线的平行或垂直关系，理解数形结合的数学思想。

人教版高一数学必修二导学案：2.2直线、平面平行的判定及其性质完美版

2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面的判定一、考纲要求1．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m l a a a ËÞØ．二、自主学习二、自主学习问题1:如图，1.直线a 与直线b 共面吗？b 2.直线a 与平面a 相交吗？相交吗？ a问题2: 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行则该直线与此平面平行.. 判定定理告诉我们，判定直线与平面平行的条件有三个分别是(1)a 在平面a 外，即a Ëa (面外) (2)b 在平面a 内，即b Ìa (面内) (3) a 与b 平行，即a ∥b(平行)符号语言:////a b a a b a a aËüïÌÞýïþ思想: 线线平行Þ线面平行线面平行三、考点突破三、考点突破典型例题典型例题例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。

求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。

分析：先把文字语言转化为图形语言、符号语言，要求已知、求证、证明三步骤，要证线面平行转化为线线平行BD EF //已知:如图,空间四边形ABCD 中,,E F 分别是,AB AD 的中点. 求证:.EF//平面BCD 。

证明:连接BD ,因为因为 ,,AE EB AF FB ==a所以所以 BD EF //（三角形中位线定理）（三角形中位线定理）因为因为,,EF BCD BD BCD ËÌ平面平面由直线与平面平行的判定定理得由直线与平面平行的判定定理得BCD EF 平面// 点评：该例是判定定理的应用，让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。

高中数学3.1 两条直线平行与垂直的判定教案2人教版必修2

课题：两条直线平行与垂直的判定单位：青铜峡市高级中学
姓名：张志进
课题：两条直线平行与垂直的判定
教学目标：
1.知识目标
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 使学生初步了解平面解析几何的研究方法．
2.能力目标
通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生数形结合能力、运用已有知识分析问题、解决问题的能力．使学生体会数学中代数与几何的相互联系．
3.情感目标
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．通过演示归纳，加强学生对知识的理解和应用．
教学重点：1、根据斜率判定两条直线平行和垂直．
2、初步了解平面解析几何的研究方法．
教学难点：1、对学生运用知识分析、解决问题的能力的培养．
2、两直线中有斜率不存在的情况时，两直线平行和垂直的判定．
教具准备：计算机、投影仪、三角板．
教学方法：讲解、练习、演示、探究
教学基本流程：略
教学情景设计：
教学反馈：。

人教新课标版数学高一A版必修2导学案两条直线平行与垂直的判定

3．1.2 两条直线平行与垂直的判定1．能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直．2．能根据两条直线的平行或垂直关系确定两条直线斜率的关系．1．平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2k ．1．＝．k ．2．.(1)当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．(2)直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，当k 1＝k 2时，l 1∥l 2或l 1与l 2重合．(3)对于不重合的直线l 1，l 2，其倾斜角分别为α，β，有l 1∥l 2α＝β. 【做一做1】已知直线l 1∥l 2，直线l 2的斜率k 2＝3，则直线l 1的斜率k 1等于( )A ．可能不存在B ．3 C.13 D ．－132．垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果两条直线的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．【做一做2】已知直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＝2，l 1⊥l 2，则k 2＝__________.答案：【做一做1】 B【做一做2】－12平面上两条直线的位置关系剖析：平面上两条直线的位置关系共有三种：平行、相交和重合．我们知道，确定一条直线需要两个基本量，一个是确定直线倾斜程度的量——倾斜角，另一个是确定直线位置的量——直线上一点，所以在研究直线位置关系时可以从这两个基本量入手．(1)平行：倾斜角相同，所过的点不同；(2)重合：倾斜角相同，所过的点相同；(3)相交：倾斜角不同．垂直关系是相交关系的一种特殊情况，从倾斜角来看，两条直线如果垂直，那么它们的倾斜角相差90°，在相交关系中，除了垂直这种特殊情况外，更多的情况是两条直线相交成一个非直角的角度，这时就需要用两条直线的夹角来研究了．当然，如果两条直线的斜率都存在，以上位置关系也可以用直线的斜率和直线上一点来加以说明．题型一：判断两直线平行或垂直【例1】判断下列各小题中的不同直线l1与l2是平行还是垂直：(1)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；(2)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(0，－2)；(3)l1经过点A(1,3)，B(1，－4)，l2经过点M(2,1)，N(2,3)；(4)l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)．反思：判断两条直线l1与l2平行还是垂直时，当它们的斜率都存在时，若k1k2＝－1，则l1⊥l2；若k1＝k2，再从l1和l2各取一点P，Q，并计算k PQ，当k PQ≠k1＝k2时，l1∥l2，当k PQ＝k1＝k2时，l1与l2重合；当它们有一条直线不存在斜率时，画出图形来判断它们是平行还是垂直，如本题(3)和(4)．题型二：平行条件的应用【例2】已知ABCD的三个顶点分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，求顶点D的坐标．反思：解决与平行有关的问题时，常借助于它们的斜率之间的关系来解决，即不重合的两条直线l1与l2平行k1＝k2或k1与k2都不存在．题型三：垂直条件的应用【例3】已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．反思：解决与垂直有关的问题时，常借助于它们的斜率之间的关系来解决，即l1⊥l 2k 1k 2＝－1或k 1与k 2中一个为0，一个不存在．题型四：易错辨析易错点判断两条直线位置关系时常忽视重合【例4】已知直线l 1经过点A(－3，－5)，B(0,1)，直线l 2经过点C(－1，－1)，D(4,9)，则l 1与l 2的位置关系是__________．错解：∵直线l 1的斜率k 1＝1＋50＋3＝2，直线l 2的斜率k 2＝9＋14＋1＝2，∴k 1＝k 2， ∴l 1∥l 2，故填平行．错因分析：当k 1＝k 2时，有l 1∥l 2或l 1与l 2重合．反思：已知两条直线l 1与l 2的斜率相等，不能确定它们平行，还可能重合．此时，可画图来进一步确定，也可以分别在l 1与l 2上取两点，求出过这两点的直线的斜率．若这个斜率与k 1，k 2相等，则l 1与l 2重合；若这个斜率与k 1，k 2不相等，则l 1∥l 2.答案：【例1】解：(1)直线l 1的斜率k 1＝0－11－0＝－1，直线l 2的斜率k 2＝3－0－1－2＝－1，故k 1＝k 2.又直线AM 的斜率k AM ＝3－1－1－0＝－2≠k 1，故l 1∥l 2. (2)直线l 1的斜率k 1＝2＋21＋1＝2，直线l 2的斜率k 2＝－1＋2－2－0＝－12，则k 1k 2＝－1.故l 1⊥l 2.(3)直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率也不存在，画出图形，如图所示，则l 1⊥x 轴，l 2⊥x 轴，故l 1∥l 2.(4)直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率k 2＝1－12－1＝0. 画出图形，如图所示，则l 1⊥x 轴，l 2⊥y 轴，故l 1⊥l 2.【例2】解：设点D (m ，n )，由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0－11－0＝3－n 4－m ，n －1m －0＝3－04－1，解得m ＝3，n ＝4.所以顶点D 的坐标为(3,4)．【例3】解：由题意知l 2的斜率k 2一定存在，l 1的斜率可能不存在．(1)当l 1的斜率不存在时，3＝a －2，即a ＝5，此时k 2＝0，则l 1⊥l 2，满足题意．(2)当l 1的斜率k 1存在时，a ≠5，由斜率公式，得k 1＝3－aa －2－3＝3－a a －5，k 2＝a －2－3－1－2＝a －5－3. 由l 1⊥l 2，知k 1k 2＝－1，即3－a a －5×⎝ ⎛⎭⎪⎫a －5－3＝－1，解得a ＝0. 综上所述，a 的值为0或5.【例4】重合1．已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，则直线AB与直线CD()A．平行B．垂直C．重合D．以上都不正确2．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形3．直线l1经过点A(3,4)，B(5,8)，直线l2经过点M(1，－2)，N(0，b)，且l1∥l2，则实数b＝__________.4．已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝__________.5．已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(1,2)，B(－4,6)，C(－8,5)，D(－3,1)，试判断四边形ABCD是否是平行四边形．答案：1．A 2.C 3.－4 4.5 25．解：AB边所在直线的斜率k AB＝624 415 -=---，DC边所在直线的斜率k DC＝5183--+＝－45，BC边所在直线的斜率k BC＝561 844 -=-+，AD边所在直线的斜率k AD＝121 314 -=--.∵k AB＝k DC，k BC＝k AD，∴AB∥DC，BC∥AD.∴四边形ABCD是平行四边形．。

人教版高中数学必修2教案课题：两条直线的平行与垂直

课题：两条直线的平行与垂直课型：新授课教学目标：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.教学重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．教学难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．教学过程：(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系) ∴tgα1=tgα2．即 k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．，可以推出: α1=90°+α2． L1⊥L2．结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.例题分析：例1已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,因为 k1=k2=0.5, 所以直线BA∥PQ.例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.例3．已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.例4.已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略) 课堂练习P89 练习 1. 2.归纳小结：(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.(3)应用直线平行的条件, 判定三点共线. 作业布置：P89-90 习题3.1：A组 5. 8；课后记:。

高中数学两条直线平行与垂直的导学案

yx o a§3.1.2两条直线平行与垂直的判定学习目标：1、掌握两条直线平行、垂直的判定条件，并会判断两条直线是否平行、垂直；2、会利用直线平行、垂直的条件解决一些相关的简单问题3、理解两条直线平行、垂直的推导过程，注意解题思想的渗透和表述的标准性，培养学生的自主探索和自我概括能力二、学习过程复习回忆：1、直线倾斜角的定义: 当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角。

直线倾斜角α的取值范围：2、直线的倾斜角(90)οαα≠，则直线的斜率k= ；3、直线上两点1122(,),(,)A x y B x y 且12x x ≠，则直线的斜率k= . 自主探究,合作交流知识探究：两条直线平行的判定〔小组自主探究，并尝试推导结论〕问题：设两条不重合的直线1l ，2l 的斜率分别为21,k k 。

探究1：如果21//l l ，则它们的斜率1k 和2k 满足什么关系？1、由⇒21//l l = (两条直线平行，同位角相等)⇒ 1tan α= 〔相同角的正切值相等〕⇒ = 〔)90(tan≠=ααk 〕结论1：探究2：假设21k k =，直线1l ，2l 是否平行？2、由⇒=21k k = 〔)90(tan ≠=ααk 〕又 18001＜α≤， 18002＜α≤∴1α =⇒ 〔同位角相等，两直线平行〕结论2：综上所述，对于两条不重合的直线1l ，2l ，其斜率分别为21,k k ，则⇔21//l l思考：当两条直线1l ，2l 重合时，它们的斜率21,k k 会怎样？因此，假设直线1l ，2l 斜率存在时，21k k =⇔⎪⎩⎪⎨⎧__________________________________________或例题分析例1：)2,1(),1,3(),0,4(),3,2(---Q P B A , 试通过斜率判断直线AB 与PQ 的位置关系。

【人教A版】高中数学必修二：第2章《点、直线、平面之间的位置关系》导学案设计第二章 2.1.2

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系[学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题.知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行.②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然有a ⊂α，b ⊂β，即a ，b 分别在两个不同的平面内，但是因为a ∩b ＝O ，所以a 与b 不是异面直线.(2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a 与b 为异面直线.(3)判断方法方法内容定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)按两条直线是否有公共点分类⎩⎨⎧有且仅有一个公共点——相交直线无公共点⎩⎪⎨⎪⎧平行直线异面直线思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二公理4(平行公理)知识点三空间等角定理 1.定理判断或证明两个角相等或互补2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 思考如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？答不一定.这两条直线可能相交、平行或异面知识点四异面直线所成的角1.概念：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).2.异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.3.如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b.4.异面直线所成的角的两种求法(1)在空间任取一点O，过点O分别作a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)为异面直线a与b所成的角，然后通过解三角形等方法求角.(2)在其中一条直线上任取一点(如在b上任取一点)O，过点O作另一条直线的平行线(如过点O作a′∥a)，则两条直线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如b与a′所成的角)，然后通过解三角形等方法求角(如图).题型一空间两条直线的位置关系的判定例1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面答案D解析可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面.反思与感悟 1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断.2.判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.跟踪训练1如图所示，在正方体ABCD－A 1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.答案(1)平行(2)异面(2)相交(4)异面解析序号结论理由(1)平行因为A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C(2)异面A1B与B1C不同在任何一个平面内(3)相交D1D∩D1C＝D1(4)异面AB与B1C不同在任何一个平面内题型二公理4、等角定理的应用例2E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点，求证：四边形B1EDF 是平行四边形.证明设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.因为E是AA1的中点，所以EQ綊A1D1.又因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C1.所以四边形EQC1B1为平行四边形.所以B1E綊C1Q.又因为Q，F分别是矩形DD1C1C两边D1D，C1C的中点，所以QD綊C1F.所以四边形DQC1F为平行四边形.所以C1Q綊FD.又因为B1E綊C1Q，所以B1E綊FD.所以四边形B1EDF为平行四边形.反思与感悟 1.空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.2.求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似.跟踪训练2 如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD . 证明 (1)在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH ∥BD .同理FG ∥BD ，则EH ∥FG . 故E ，F ，G ，H 四点共面.(2)由(1)知EH ∥BD ，同理AC ∥GH . 又∵四边形EFGH 是矩形， ∴EH ⊥GH .故AC ⊥BD .题型三异面直线所成的角例3 如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角. 解如图，取BD 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点， AB ＝CD ，所以EG ∥CD ，GF ∥AB ，且EG ＝12CD ，GF ＝12AB .所以∠GFE 就是EF 与AB 所成的角或其补角，EG ＝GF . 因为AB ⊥CD ，所以EG ⊥GF .所以∠EGF ＝90°. 所以△EFG 为等腰直角三角形.所以∠GFE ＝45°，即EF 与AB 所成的角为45°.反思与感悟 1.异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O 常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点.2.求异面直线所成的角的一般步骤为： (1)作角：平移成相交直线.(2)证明：用定义证明前一步的角为所求.(3)计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围.跟踪训练3 空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小. 解取AC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EG 綊12AB ，GF 綊12CD .故直线GE ，EF 所成的锐角即为AB 与EF 所成的角，直线GE ，GF 所成的锐角即为AB 与CD 所成的角. ∵AB 与CD 所成的角为30°，∴∠EGF ＝30°或150°. 由AB ＝CD ，知EG ＝FG ，∴△EFG 为等腰三角形. 当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°；当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝15°. 故EF 与AB 所成的角为15°或75°.转化与化归思想例5 在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2a ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF ＝3a ，求异面直线AD ，BC 所成的角.分析要求异面直线AD ，BC 所成的角，可在空间中找一些特殊点，将AD ，BC 平移至一个三角形中.此题已知E ，F 分别为AB ，CD 的中点，故可寻找一边中点，如BD 的中点M ，则∠EMF (或其补角)为所求角.解如图，取BD 的中点M .由题意，知EM 为△BAD 的中位线，所以EM ∥AD 且EM ＝12AD .同理，MF ∥BC 且MF ＝12BC .所以EM ＝a ，MF ＝a ，且∠EMF (或其补角)为所求角. 在等腰△MEF 中，取EF 的中点N ，连接MN ，则MN ⊥EF . 又因为EF ＝3a ，所以EN ＝32a . 故有sin ∠EMN ＝EN EM ＝32.所以∠EMN ＝60°，所以∠EMF ＝2∠EMN ＝120°. 因为∠EMF ＝120°＞90°，所以AD ，BC 所成的角为∠EMF 的补角，即AD 和BC 所成的角为60°.解后反思在求异面直线所成的角的过程中要注意：(1)通常将空间中的两条异面直线通过平移的方法，转化到同一个三角形中，将空间问题转化为平面问题求解；(2)要特别注意平移所得的角可能是异面直线所成的角的补角，这是由异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2决定的.反证法的合理应用例6 如图，三棱锥P －ABC 中，E 是PC 上异于点P 的点.求证：AE 与PB 是异面直线.分析利用定义直接证明，即从不同在任何一个平面内中的“任何”开始入手，一个平面一个平面地寻找是不可能实现的，因此必须找到一个间接证法来证明，反证法即是一种行之有效的方法.证明假设AE 与PB 不是异面直线，设AE 与PB 都在平面α内，因为P ∈α，E ∈α，所以PE ⊂α. 又因为C ∈PE ，所以C ∈α. 所以点P ，A ，B ，C 都在平面α内.这与P ，A ，B ，C 不共面(P －ABC 是三棱锥)矛盾. 于是假设不成立，所以AE 与PB 是异面直线.1.若空间两条直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系是( ) A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面答案 D解析若直线a 和b 共面，则由题意可知a ∥b ；若a 和b 不共面，则由题意可知a 与b 是异面直线.2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( ) A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交答案 B解析如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1与BC 是异面直线，又AA 1∥BB 1，AA 1∥DD 1，显然BB 1∩BC ＝B ，DD 1与BC 是异面直线，故选B.3.设P 是直线l 外一定点，过点P 且与l 成30°角的异面直线( ) A.有无数条 B.有两条 C.至多有两条 D.有一条答案 A解析我们现在研究的平台是锥空间.如图所示，过点P 作直线l ′∥l ，以l ′为轴，与l ′成30°角的圆锥面的所有母线都与l 成30°角.4.如图所示，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________.(填序号)答案 ②④解析 ①中，∵G ，M 是中点，∴AG 綊BM ，∴GM 綊AB 綊HN ，∴GH ∥MN ，即G ，H ，M ，N 四点共面；②中，∵H ，G ，N 三点共面，且都在平面HGN 内，而点M 显然不在平面HGN 内，∴H ，G ，M ，N 四点不共面，即GH 与MN 异面；③中，∵G ，M 是中点，∴GM 綊12CD ，∴GM 綊12HN ，即GMNH 是梯形，则HG ，MN 必相交，∴H ，G ，M ，N 四点共面；④中，同②，G ，H ，M ，N 四点不共面，即GH 与MN 异面.5.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与A 1B 1所成角的余弦值为________. 答案 13解析设棱长为1，因为A 1B 1∥C 1D 1，所以∠AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角.在△AED1中，cos∠AED1＝D1EAE＝1232＝13.1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角为θ，且0°<θ≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小.一、选择题1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A.一定平行B.一定相交C.一定异面D.相交或异面答案D解析可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).2.已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β等于()A.60°B.120°C.30°D.60°或120°答案D解析由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°.3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°答案B解析如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥CC1，故∠B1BA1就是异面直线BA1与CC1所成的角，故为45°.4.下面四种说法：①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；③若a∥b，则a、b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是()A.4B.3C.2D.1 答案 D解析若a 、b 异面，b 、c 异面，则a 、c 相交、平行、异面均有可能，故①不对.若a 、b 相交，b 、c 相交，则a 、c 相交、平行、异面均有可能，故②不对.若a ⊥b ，b ⊥c ，则a 、c 平行、相交、异面均有可能，故④不对.③正确.5.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( )A.梯形B.矩形C.平行四边形D.正方形答案 D解析如图，因为BD ⊥AC ，且BD ＝AC ，又因为E ，F ，G ，H 分别为对应边的中点，所以FG 綊EH 綊12BD ，HG 綊EF 綊12AC .所以FG ⊥HG ，且FG ＝HG .所以四边形EFGH 为正方形.6.若空间四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的长分别是8,12，则过AB 的中点E 且平行于BD ，AC 的截面四边形的周长为( ) A.10 B.20 C.8 D.4 答案 B解析设截面四边形为EFGH ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，∴EF ＝GH ＝12AC ＝4，FG ＝HE ＝12BD ＝6，∴周长为2×(4＋6)＝20. 7.如图，三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是( ) 1与B 1E 是异面直线 B.C 1C 与AE 共面 C.AE 与B 1C 1是异面直线 D.AE 与B 1C 1所成的角为60° 答案 C解析由于CC 1与B 1E 都在平面C 1B 1BC 内，故C 1C 与B 1E 是共面的，所以A 错误；由于C 1C 在平面C 1B 1BC 内，而AE 与平面C 1B 1BC 相交于E 点，点E 不在C 1C 上，故C 1C 与AE 是异面直线，B 错误；同理AE 与B 1C 1是异面直线，C 正确；而AE 与B 1C 1所成的角就是AE 与BC 所成的角，E 为BC 中点，△ABC 为正三角形，所以AE ⊥BC ，D 错误.综上所述，故选C.二、填空题8.在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对.答案8解析以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线.9.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的序号为________.答案①③解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确.10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为______.答案60°解析连接BC1，A1C1，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.三、解答题11.如图所示，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点，求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值.解取AC 的中点F ，连接EF ，BF ，在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点，∴EF ∥CD ，∴∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角).在Rt △ABC 中，BC ＝2，AB ＝AC ，∴AB ＝AC ＝1，在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52. 在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22. 在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52. 在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010， ∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. 12.如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且有AE ∶EB ＝AH ∶HD ＝m ，CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝n .(1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)m ，n 满足什么条件时，四边形EFGH 是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC ⊥BD ，试证明：EG ＝FH .(1)证明因为AE ∶EB＝AH∶HD ，所以EH ∥BD .又因为CF ∶FB ＝CG ∶GD ，所以FG ∥DB .所以EH ∥FG .所以E ，F ，G ，H 四点共面.(2)解当且仅当EH ∥FG ，EH ＝FG 时，四边形EFGH 为平行四边形.因为EH BD ＝AE AE ＋EB ＝m m ＋1，所以EH ＝m m ＋1BD . 同理FG ＝n n ＋1BD ，由EH ＝FG ，得m ＝n . 故当m ＝n 时，四边形EFGH 为平行四边形.(3)证明当m ＝n 时，AE ∶EB ＝CF ∶FB ，所以EF ∥AC .又因为AC ⊥BD ，而∠FEH 是AC 与BD 所成的角，所以∠FEH ＝90°，从而平行四边形EFGH 为矩形，所以EG ＝FH .。

人教版高中数学(必修二)导学案：3.1.2两条直线平行和垂直的判定(无答案)

2高二数学 SX-G2-B2-U3-L3.1.23.1.2 《两条直线平行与垂直的判定》导学案编写人：审核：高二数学组编写时间：一、教学目标：1. 掌握两条直线平行与垂直的充要条件2. 会判断两条直线是否平行、垂直二、教学重、难点：重点：两条直线平行与垂直的充要条件难点：斜率不存在时，两直线垂直情况的讨论三、使用说明及学法指导:1．引导学生课前做好预习，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。

2．要求学生把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，用双色笔进行整理，便于复习记忆。

3．A 级是自主学习，B 级是合作探究，C 级是提升四、知识链接:1. 已知直线的倾斜角α（α≠90°），则直线的斜率为_________________；已知直线上两点A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)且x 1≠x 2,则直线的斜率为_____________________.2. 已知直线l 过（—2，3）和（6，—5）两点，则直线l 的斜率为________，倾斜角为_____________.3. 已知1l 、2l 的斜率都不存在且1l 、2l 不重合，则两直线的位置关系是_________________4．已知一直线经过两点A(ｍ,2),(﹣ｍ，2ｍ-1),且直线的倾斜角为600，则ｍ=_______五、教学过程：探究1、特殊情况下的两条直线平行与垂直当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为_____，两直线的位置关系是____.(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为______，另一条直线的倾斜角为_ ，两直线的位置关系是____________.探究2、两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直设直线1l 、2l 的斜率分别为12k k 和（1）两条直线互相平行(不重合)的情形，如果1l ∥2l ，那么它们的倾斜角与斜率有怎样的关系？反过来成立吗？结论:两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率__ __;反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即________________________.注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.判断：①如果12k k = , 那么一定有1l ∥2l ； ②如果1l ∥2l ，那么12k k =.（2）两条直线垂直的情形．如果1l ⊥2l ，那么它们的倾斜角与斜率是什么关系？反过来成立吗？结论：两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为________；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相 __.即_________________________ _____.注意结论成立的条件.判断下列命题的真假：①如果121k k =-g , 那么一定有1l ⊥2l ； ②如果1l ⊥2l ，那么121k k =-g .知识巩固：A1、已知A(2,3), B （-4，0）, P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA 与PQ 的位置关系, 并证明你的结论.A2、已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD 的形状,并给出证明.A3、已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB 与PQ 的位置关系B4、已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3)三点, 试判断三角形ABC 的形状.能力提升C1已知点(1,1),(2,2),(3,0)A B C -三点，求点D 的坐标，使得直线CD AB ⊥，且//CB AD六、当堂检测：A1、过点(1,2)和点(3,2)-的直线与x 轴的位置关系是（）（A ）相交（B ）平行（C ）重合（D ）以上都不对B2、已知直线l 与过点(的直线垂直，则直线的倾斜角是（）（A ）060 （B ）0120 （C ）045 （D ）0135A3、课本P89练习1B4、课本P89练习2七、小结与反思：1. 1l ∥2l ⇔12k k = 或 1l 、2l 的斜率都不存在且不重合2. 1l ⊥2l ⇔121k k =-g 或 10k = 且2k 的斜率不存在或 2k =0 且1k 的斜率不存在.教学反思：。

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第二章第一节两条直线平行与垂直的判定
三维目标
1．理解从代数的角度判定两直线平行或垂直的方法；
2．会运用条件判定两直线是否平行或垂直；
3. 通过本节课的学习，学会用“联系”的观点看问题，进一步认识代数与几何的联系.
________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1
问题1.上节课我们学习了影响直线倾斜程度的两个量：倾斜角和斜率,其定义、公式及其相互关系是什么？
问题2.如果两条直线平行，这两条直线的倾斜角相等吗？斜率一定相等吗？
问题3.两条直线的倾斜角（斜率）相等，则一定平行吗？
问题4.如何概括两直线1l 、2l 平行与斜率之间的关系？
问题5.你能否从向量的角度，对自学内容中例题3和例题4进行解决呢？
问题6.探索当直线1l ⊥2l 时，1k 与2k 需要满足的关系？
【学做思2】
1.判断下列各小题中的直线1l 与2l 是否平行或垂直.
(1)1l 经过点A (0,1)，B(1,0)，2l 经过点M(－1,3)， N(2,0)；
(2)1l 经过点A(－3,2)，B(－3,10)，2l 经过点M(5，－2)，N(5,5)．
(3)1l 的斜率为－10，2l 经过点A(10,2)，B(20,3)；
(4)1l 经过点A(3,4)，B(3,100)，2l 经过点M(－10,40)，N(10,40)．
【变式】本题中，若直线1l 与2l 分别满足下列条件，则两直线的位置关系分别是什么？
(1)1l 的斜率为1，2l 经过点A (1,1)，B(2,2)；
(2)1l 经过点A(－1，－2)，B(1,2)，2l 经过点M(－2，－1)，N(2,1).
2．已知四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，D(2, 3),试判断该四边形的形状.
*【变式】
在平面直角坐标系下，有三个点A （2，2），B （－5，1），C （3，－5），
（1）试求第四个点D 的坐标，使得四边形ABCD 构成平行四边形.
（2）试求第四个点D 的坐标，使得这四个点构成平行四边形.
达标检测
1．下列说法正确的是( )
A ．若直线1l 与2l 斜率相等，则1l ∥2l
B ．若直线1l ∥2l ，则12l l k k
C ．若直线1l ，2l 的斜率都不存在，则1l ∥2l
D ．若两条直线的斜率存在且不等，则两直线不平行.
2. 顺次连结A(1，－1)，B(2，－1)，C(0,1)，D(0,0)四点所组成的图形是________．
3. 已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则第四个顶点D 的坐标为________．
4. 直线1l 的斜率为2，直线2l 上有三点A(3,5)、B(x,7)、C(-1,y),若1l ⊥2l ，求值：x , y
5. 试确定m 的值，使过点A(2m,2)、B(－2,3m)的直线与过点P(1,2)、Q(－6,0)的直线
(1)平行；
(2)垂直．。