2020届广东省广深珠三校高三第1次联考数学(文)试卷

2020届广东省广深珠三校高三第1次联考数学（文）试卷一．选择题：本题共12小题，每小题5分．1．集合{|(1)(2)0}A x x x =-+<，集合{|lg 0}B x x =≤，则A B =A ．()21,-B ．(]01,C ． ()01,D ．(]21,-2．下列函数中，既是奇函数，又在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是A ．2sin xy x =- B ．122xxy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin y x x =-D ．cos y x x =-3．1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式cos sin ix e x i x =+，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，2i e 表示的复数所对应的点在复平面中位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．过点(0,1)的直线l 被圆22(1)4x y -+=所截得的弦长最短时，直线l 的斜率为 A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．下列说法中，错误的是A ．若命题:p x R ∀∈，20x ，则命题200:,0p x R x ⌝∃∈<B ．“1sin 2x =”是“56x π=”的必要不充分条件C ．“若4a b +，则a ，b 中至少有一个不小于2”的逆否命题是真命题D ．函数2sin(2)3y x π=+的图象关于3x π=对称6．已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差为2，等比数列{}n b 的公比为2-，则 A ．14n n a a b b --= B ．14n n a a b b --=-C ．14n n a a b b -= D ．14n n a a b b -=-7．函数2()()x f x x x e =-+的图象大致是A ．B ．C ．D ．8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12n n a S +=+，则9a 的值为 A. 768 B. 384 C. 192 D. 96 9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差0d >，8595()()0S S S S --<，则 A. 70a =.B ．78a a =C ．78a a >D ．78a a <10．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，若3AF =，则△AOB 的面积为 A.2B. 2C.32D ．22 11．函数()ln f x x x =，正确的命题是 A ．值域为 B ．在 是增函数 C ．有两个不同的零点D ．过点的切线有两条12．如图，在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且3PA =,2PB =，1PC =．设M 是底面ABC内一点，定义()(f M m =，n ，)p ，其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积．若1()(2f M =，x ，)y ，且18a x y +恒成立，则正实数a 的最小值为A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数1235,(1)()1,(1)x x f x log x x +<⎧⎪=⎨-⎪⎩，则((22))f f = __________14．已知双曲线C ：2218y x -=的左右焦点分别是1,2F F ，过2F 的直线l 与C 的左右两支分别交于,A B 两点，且11AF BF =，则AB =_____________15．已知曲线32()3f x x =在点()1,(1)f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos -+ααααα的值为__________16．已知函数()(ln )xe f x k x x x=--，若()f x 只有一个极值点，则实数k 的取值范围是__________三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知5b =，()sin 2sin()a b A b A C +=+． （1）证明：ABC ∆为等腰三角形；（2）点D 在边AB 上，2AD BD =，CD =AB ．18．(12分）已知某班的50名学生进行不记名问卷调查，内容为本周使用手机的时间长，如表：（1）求这50名学生本周使用手机的平均时间长；（2）时间长为[0,5)的7名同学中，从中抽取两名，求其中恰有一个女生的概率；（3）若时间长为[0,10)被认定“不依赖手机”，[]10,25被认定“依赖手机”，根据以上数据完成22⨯列联表：能否在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系？20()P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++）19．(12分）在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，112AD AB DC BC ====，E 是PC 的中点，面PAC ⊥面ABCD .（1）证明：//ED PAB 面；（2）若2PB PC ==，求点P 到面ABCD 的距离.20．(12分）设1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点． （1）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且1254PF PF ⋅=-，求点P 的坐标； （2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点）， 求直线l 的斜率k 的取值范围．21．(12分）已知()ln xe f x a x ax x=+-． （1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式1()()0x f x bx b e x x+---≥在[1，)+∞上恒成立，求b 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做和，则按所做的第一题记分。

做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22． [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C ：340x y +-=，曲线2C ：cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）曲线3C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t >，02πα<<）分别交1C ，2C 于A ，B 两点，当α取何值时，OBOA取得最大值.23．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分) 函数()|1|||f x x x a =-+-的图象关于直线2x =对称． （1）求a 的值；（2）若2()f x x m +的解集非空，求实数m 的取值范围．文科数学参考答案一、选择题（每题5分，共60分）二、填空题（每题5分，共20分）13．52- 14．4 15． 3516． (],e -∞三、解答题（第17题10分，18-22题每题12分，共70分） 17．【解答】（本题满分为12分）解：（1）()sin 2sin()2sin a b A b A C b B +=+=，1⋯分∴由正弦定理sin sin a bA B=，可得：2()2a a b b +=，整理可得(2)()0a b a b +-=， 20a b +>，a b ∴=，ABC ∆为等腰三角形，得证6⋯分（2）设BD x =，则2AD x =， 由余弦定理可得：2cosCDA ∠=，2cos CDB ∠=，10⋯分CDA CDB π∠=-∠，∴22=2x =，6AB ∴=．12⋯分18【解答】（本题满分为12分）.（1）1(2.577.52812.5917.5522.51)950⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以，这50名学生本周使用手机的平均时间长为9小时． …3分（2）时间长为[0,5)的有7人，记为A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ，其中女生记为A 、B 、C 、D ，从这7名学生中随机抽取两名的基本事件有：{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},A G ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，{},B F ，{},B G ，{},C D ，{},C E ，{},C F ，{},C G ，{},D E ，{},D F ，{},D G ，{},E F ，{},E G ，{},F G 共21个．…5分设事件M 表示恰有一位女生符合要求的事件有：{},A E ，{},A F ，{},A G ，{},B E ，{},B F ，{},B G ，{},C E ，{},C F ，{},C G ，{},D E ，{},D F ，{},D G 共12个．…6分所以恰有一个女生的概率为24()217P M 1==．…7分 （3）…9分2250(1510520)0.397 2.07215352030K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，…11分不能在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系．…12分19【解答】（本题满分为12分） 解法一：（Ⅰ）证明：取PB 的中点F ，连接,AF EF . （1分）因为EF 是PBC ∆的中位线，所以1//2EF BC . （2分）又1//2AD BC ，所以//AD EF ，所以四边形ADEF 是平行四边形. （3分）所以//DE AF ，又,DE ABP ⊄面,AF ABP ⊂面所以//ED PAB 面. （5分） （Ⅱ）取BC 的中点M ，连接AM ，则//AD MC ，所以四边形ADCM 是平行四边形. 所以AM MC MB ==，所以A 在以BC 为直径的圆上. （6分） 所以AB AC ⊥，可得AC =（7分）因为面PAC⊥面ABCD ，且面PAC面ABCD =AC ，所以AB ⊥面PAC ， （8分） 即AB PA ⊥，可得PA =（9分）在面PAC 内做PH AC ⊥于H ，又面PAC ⊥面ABCD ，且面PAC面ABCD =AC ，所以PH ⊥面ABCD .（10分）由余弦定理可得2221cos 23PA CA PC PAC PA CA +-∠==，所以sin 3PAC ∠=.（11分）sin PH PA PAC =∠=，即P 到面ABCD . （12分） 解法二：（Ⅰ）证明：延长,BA CD 交于点K ，连接PK . （1分）因为1//2AD BC ，所以AD 是KBC ∆的中位线. （2分）1KA KD ==，所以ED 是KPC ∆的中位线，所以//ED PK . （3分）又,DE ABP ⊄面,AF ABP ⊂面所以//ED PAB 面. （5分） （Ⅱ）易得KBC ∆是等边三角形，所以AB AC ⊥. （6分） 因为面PAC ⊥面ABCD ，且面PAC 面ABCD =AC ， 所以AB ⊥面PAC ，所以AB PA ⊥. （7分） 所以=2PB PK =，三棱锥P KBC-是正四面体. （8分） 所以P 在底面KBC 的投影H是底面的中心，可得3CH =. （10分）PH ==，P 到面ABCD . （12分） 20.【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）易知2a =，1b =，c =∴1(F ，2F ．设(,)P xy (0,0)x y >>．则22125(,,)34PF PF x y x y x y ⋅=---=+-=-，．．．．．．2分又2214x y +=，联立22227414x y xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211342x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，P ．．．．．．．5分（Ⅱ）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩∴1221214x x k =+，1221614kx x k+=-+．．．．．．6分由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅>22163(14)0k k -+>，2430k ->，得234k >．①．．．．．．7分 又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>， ∴12120OA OB x x y y ⋅=+>．．．．．．8分又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++∴1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414kk k k k =+⋅+⋅-+++22212(1)21641414k k k k k +⋅=-+++224(4)014k k -=>+ ∴2144k -<<．②．．．．．．10分综①②可知2344k <<，∴k 的取值范围是3(2,(,2)-．．．．．．．12分 21.【解答】（本题满分为12分）（1）()f x 的定义域为(0,)+∞⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）2(1)()(),0x x e ax f x a x --'=<，⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）∴当(0,1)x ∈时，()0f x '<；(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，∴函数()f x 在(0,1)上单调递减；在(1,)+∞上单调递增． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）（2）当1a =-时，1()()(1)x x f x bx b e x b x e lnx x+---=--，由题意，(1)0x b x e lnx --在[1，)+∞上恒成立①若0b ，当1x 时，显然有(1)0x b x e lnx --恒成立；不符题意．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ②若0b >，记()(1)x h x b x e lnx =--，则1()x h x bxe x'=-．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分） 显然()h x '在[1，)+∞单调递增， 当1be时，当1x （3）时，()h x h ''（1）10be =-（4） [1x ∴∈，)+∞时，()h x h （1）0=⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） 当10b e<<（6），h '（1）1be =-<（7）0，11()10bh e b e b'=->->（8） ∴存在01x >，使()0h x '=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）当0(1,)x x ∈时，()0h x '<，0(x x ∈，)+∞时，()0h x '>，()h x ∴在0(1,)x 上单调递减；在0(x ，)+∞上单调递增 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）∴当0(1,)x x ∈时，()h x h <（1）0=，不全题意⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）综上所述，所求b 的取值范围是1[,)e+∞⋯⋯⋯⋯⋯⋯22. [参数方程]（本题满分为10分）解：（Ⅰ）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，1Ccos sin 40θρθ+-=，…2分2C 的普通方程为()2211x y +-=，即2220x y y +-=，对应极坐标方程为2sin ρθ=.…4分（Ⅱ）曲线3C 的极坐标方程为θα=（0ρ>，02πα<<）设()1,A ρα，()2,B ρα，则1ρ=22sin ρα=，…5分所以21OB OA ρρ==)12sin sin 4ααα⨯+)12cos 214αα=-+12sin 2146πα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，…8分 又02πα<<，52666πππα-<-<， 所以当262ππα-=，即3πα=时，OB OA取得最大值34.…10分23.[不等式选讲] （本题满分为10分）解：（Ⅰ）由函数()|1|||f x x x a =-+-的图象关于直线2x =对称，则()(4)f x f x =-恒成立， 令0x =得(0)f f =（4），即||2|4|a a =+-，等价于024a a a ⎧⎨-=+-⎩，或0424a a a <<⎧⎨=+-⎩，或424a a a ⎧⎨=+-⎩；解得3a =，此时()|1||3|f x x x =-+-，满足()(4)f x f x =-，即3a =；…5分（Ⅱ）不等式2()f x x m +的解集非空，等价于存在x R ∈使得2()f x x m -成立， 即2[()]max m f x x -，设2()()g x f x x =-，由（Ⅰ）知，22224,1()2,1324,3x x x g x x x x x x ⎧--+⎪=-+<<⎨⎪-+-⎩，…7分当1x 时，2()24g x x x =--+，其开口向下，对称轴方程为1x =-，()(1)1245g x g ∴-=-++=；…10分。