高中数学必修4 三角恒等变换

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高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习题及答案

解：（1）原式 =
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式描述：两角差的余弦公式对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ．两角和的余弦公式对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ．两角和的正弦公式对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ．两角差的正弦公式对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ．两角和的正切公式对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式对于任意角α，β 有tan(α − β) =

北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》三角函数的积化和差与和差化积

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师：现在暂停读书，这几个公式形式比我们过去学过的其他三角公式要复杂一些，记好用好这些公式得有一段过程，当然，千万不要死记硬背，适当做一些练习，掌握这些公式的实际应用，是可以逐步掌握它们的．让我们看看以下的例题．例题求sin75°·cos15°的值．请同学们想想有什么办法可以解决这个问题？生1：考虑到75°±15°都是特殊角，所以想到使用积化和差公式解决之．
2． cos37.5°·cos22.5°
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而sin20°·sin40°·sin80°
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(四)课堂小结
本节课，我们学习了三角函数的积化和差公式，虽然这些公式是新出现的，但它和过去学习的一些三角公式有密切的关系，所以首先应理清他们的内在联系，这组公式的功能可以把三角函数的积的形式转化为和差的形式，通过例解及课堂练习，同学们也开始发现这组公式的作用，希望同学们在今后的学习中记好、用好这一组公式
五、作业
P．231中3；P．236中1、2．
六、教后反思：
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第二课时三角函数的和差化积
一、教与学过程设计 (一)复习积化和差公式 1．请学生复述积化和差公式，教师板书
2．部分作业选讲 ① 证明 cos2αcosα—sin5αsin2α=cos4α·cos3α．利用积化和差公式，可得
间是有紧密关系的．
师：和、差、倍、半角的三角函数是一组十分重要的公式，它
们在解决三角恒等变换等方面有许多重要应用．但是，光是这
些关系还不足以解决问题，今天我们还要进一步把握它们的内
在联，寻求新的关系式．
(二)引入新课
请学生说出正、余弦的和差完角整版公课件式pp(t 板书)

高一数学人教A版必修4课件：第三章三角恒等变换

理网络·明结构
当 t＝12时，ymax＝54；
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
∴函数的值域为－
2－1，54.
理网络·明结构
跟踪训练2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及
取到最值时x的值.
解设sin x＋cos x＝t，
则 t＝sin x＋cos x＝
＝右边. 2x
∴tan
32x－tan
2x＝cos
2sin x x＋cos
. 2x
理网络·明结构
跟踪训练 3 已知 cosπ4＋x＝35，1172π<x<74π，求sin12－x＋ta2nsxin2x的值.
解
sin
2x＋2sin2x sin ＝
2x＋2sinco2xscxos
x
1－tan x
1＋tan x
理网络·明结构
例 1 已知 α、β 为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求 cos β 的值. 解 ∵α 是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34. ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，故 cos β＝95010.
理网络·明结构
例2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解令sin x－cos x＝t，则由 t＝ 2sinx－π4知 t∈[－ 2， 2]，又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2. ∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2 ＝－t－122＋54.
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数学必修4教学案：3.2 简单的三角恒等变换(教学案)

数学必修4教学案：3.2 简单的三角恒等变换（教学案）数学必修4教学案：3.2简单的三角恒等变换（教、学案）3.2简单三角恒等式变换【教学目标】能够用所学公式简化、评估和证明三角函数公式，引导学生推导半角公式、和差公式和和差积公式（公式不需要记忆），使学生进一步提高运用变换、变换、方程等数学思想解决问题的能力。

【教学重点、难点】教学重点：引导学生学习三角变换的内容、思想和方法，了解三角变换的特点，在现有公式的基础上提高其推理和计算能力，并以半角公式、和差公式和和差积公式的推导为基础训练。

教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。

【教学过程】回顾介绍：回顾角度倍增公式s2?、c2、t2?首先，让学生写下三倍角度的公式，注意等号两侧角度之间的关系，并特别注意C2？。

既然我们可以用单角度来表示双角度，我们可以用双角度来表示单角度吗？半角公式的推导和理解：例1、试以cos?表示sin2?2,cos2?2,tan22?2．分析：我们可以通过双角度cos？？2cos角度公式？第二代？，21和cos??1?2sin2?2来做此题．（二倍（一代人？）22解决方案：cos？？1.因为什么？？2cos2？2.你能得到sin2吗？2.1.余弦？；2.2.1.你能得到Cos2吗？2.1.因为？。

2.你能用两个公式除以Tan 2吗？2.2.1.因为？。

？1.余弦？cos22sin2？Sin评论：⑴ 上述结果也可以表示为：21cos21cos2cos2tan21cos1cos并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2角的象限决定。

⑵ 在三角函数公式的简化、求值和证明中，广泛使用了降幂和增幂公式以及降幂和增幂公式。

⑶ 代数变换通常侧重于公式的子结构形式的变换。

三角恒等式变换通常首先寻找公式中包含的角度之间的联系，并在此基础上选择合适的公式来联系它们，这是三角恒等式变换的一个重要特征。

三角函数三角恒等变换知识点总结

高中数学苏教版必修4 三角函数三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合：；与α角终边关于x 轴对称的角的集合：；与α角终边关于y 轴对称的角的集合：；与α角终边关于x y =轴对称的角的集合：；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合：；终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上角的集合：；终边在四个象限的平分线上角的集合：；（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ；（5）由α的终边所在的象限，通过来判断2α所在的象限。

来判断3α所在的象限（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl=||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

（7）弧长公式：；半径公式：；扇形面积公式：；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αs in ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。

注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系：。

高中数学必修(4)第三章三角恒等变换(知识点汇总)

必修4第三章三角恒等变换三角恒等变换-两角和与差的正弦、余弦和正切公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-三角恒等变换-二倍角的正弦、余弦和正切公式αααcos sin 22sin = 2cos2sin2sin ααα=ααα22sin cos 2cos -= 2sin 2cos cos 22ααα-=1cos 22cos 2-=αα 12cos 2cos 2-=αααα2sin 212cos -= 2sin 21cos 2αα-=ααα2tan 1tan 22tan -=2tan 12tan2tan 2ααα-=三角恒等变换-半角公式2cos 12sin 2αα-=22cos 1sin 2αα-=2cos 12cos 2αα+= 22cos 1cos 2αα+=αααcos 1cos 12tan 2+-= ααα2cos 12cos 1tan 2+-=αααsin cos 12tan -= ααα2sin 2cos 1tan -=αααcos 1sin 2tan += ααα2cos 12sin tan +=三角恒等变换-万能公式ααα2tan 1tan 22sin +=2tan 12tan2sin 2ααα+= ααα22tan 1tan 12cos +-= 2tan 12tan 1cos 22ααα+-= ααα2tan 1tan 22tan -= 2tan 12tan2tan 2ααα-= 三角恒等变换-辅助角公式(1))sin()cos sin sin (cos )cos sin (cos sin 2222222222ϕααϕαϕαααα±+=±+=+±++=±b a b a ba b ba ab a b a（其中a b b a b b a a =+=+=ϕϕϕtan ,sin ,cos 2222）； (2))cos()cos cos sin (sin )cos sin (cos sin 2222222222ϕααϕαϕαααα b a b a ba bba ab a b a +±=±+=+±++=±（其中ba b a b b a a =+=+=ϕϕϕtan ,cos ,sin 2222）；（3）)cos()sin sin cos (cos )sin cos (sin cos 2222222222ϕααϕαϕαααα b a b a ba b ba ab a b a +=±+=+±++=±）其中a bba bb a a =+=+=ϕϕϕtan ,sin ,cos (2222；（4）)sin()sin cos cos (sin )sin cos (sin cos 2222222222ϕααϕαϕαααα±+±=±+=+±++=±b a b a ba b ba ab a b a）其中b aba bb a a =+=+=ϕϕϕtan ,cos ,sin (2222；三角恒等变换-升幂、降幂公式升幂公式：αα2cos 22cos 1=+ αα2s i n 22c o s -1= 降幂公式：22cos 1cos 2αα+= 22c o s -1s i n 2αα=三角恒等变换-积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=三角恒等变换-和差化积公式2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2cos 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-。

高中数学《必修4》专题复习之《三角恒等变换》

第二部分：三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos αβ-= ；⑵()cos αβ+= ； ⑶()sin αβ-= ；⑷()sin αβ+= ； ⑸()tan αβ-= ⇒ tan tan αβ-= ； ⑹()tan αβ+= ⇒tan tan αβ+= ．2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 2α= 1sin 2α⇒±= 。

⑵cos 2α= = = 。

⇒降幂公式2cos α= ，2sin α= ，αα=sin cos ． ⑶tan 2α= ．3、辅助角公式：sin cos a b θθ±= （其中0,0,a b >> ）4、三角变换中对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍； ②2304560304515oo o o o o =-=-=；③ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+； ⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=。

三角恒等变换专项训练知识点1：两角和差的余弦、正弦1．cos 15= ；sin 105= 。

2．sin70cos25cos65sin 20-= ；cos82.5cos52.5cos7.5cos37.5+= 。

3．cos()αβ+=13，cos()αβ-=15，则tan tan αβ⋅= 。

4．已知,αβ为锐角，sinαβ==，求（1）cos()αβ-（2）αβ-知识点2：拆角与凑角1．已知3cos(),0,,653ππαα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭求sin α.2．已知3123,cos(),sin()24135ππβααβαβ<<<-=+=-，求cos 2β.3．求值：（1）2cos 5sin 25cos 25-；（2）sin 9cos15sin 6cos9sin 15sin 6+-.知识点3：两角和差的正切1．tan 42tan 181tan 42tan 18+-= ；cos15sin 15cos15sin 15-+= 。

高中数学人教A版必修4三角恒等变换的方法与技巧讲义

三角恒等变换的方法与技巧一、三角变换的基本题型：化简、求值、证明二、常用的三角变换方法：变换角度、变换名称、变换结构三、三角函数式的变换遵循“三看”原则：一看“角”，即异角化同角；二看“函数名称”，即异名化同名；三看“结构特征”，即寻求化简方向和目标.题型一公式的“正用”1、已知cos α－π6＋sin α＝435，则sin α＋7π6的值是2、设α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α的值为3、已知21sin(),sin()33，则tantan4、[2014·广东卷] 已知函数f(x)＝Asin x ＋π4，x ∈R ，且f 5π12＝32，若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2. 则f 3π4－θ=题型二公式的“逆用”〖方法点拨〗按公式的形式从左往右用从而使问题得以解决如cos cos sin sin cos()；2sin 21cos sin ，221cos21cos2cos ,sin 221、已知11sin sin ,cos cos 22，求cos()的值2、在ABC 中，3sin 4cos 6,3cos 4sin 1A B A B ，则C3、sin 6sin 42sin 66sin 78o o o o .=4、33tan1533tan15oo =5、函数y ＝sin(π2＋x)cos(π6－x)的最大值为________．题型三公式的“变形用”〖方法点拨〗常用的变形公式有：tan tan tan()(1tan tan)m 1、计算：tan10tan 20o o 3(tan10tan 20)o o =2、已知tan tan 4、（-）是方程02q px x 的两根，求p q 的值. 题型四角的变换注意观察未知角与已知角的关系，常通过角度变换. 如：1()()()()2、()()244.1、已知35cos(),sin 513，且(0,),(,0)22，则sin2、已知5cos(),04134x x ，则cos2sin()4x x 的值为3、已知,0cos 5)2cos(8则tan )tan(4、sin 40sin 80cos40cos80o oo o = .5、5sin 30sin 25cos 5sin 30cos 25sin .6、已知3sin()65，则2cos()3.题型五结构的变换1、已知0cos 2sin ，则2sin 42cos 3=2、已知tan α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos α－π4等于3、求值：2sin 50sin10(13tan10)sin80o o o o4、求值：tan20+4cos70.5、已知函数f(x)＝tan(2x ＋π4)，设α∈(0，π4)，若f(α2)＝2cos 2α，求α的大小．。

高中数学必修四三角恒等变换

第三章三角恒等变换§3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1 两角差的余弦公式课时目标1.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.2.掌握两角差的余弦公式．两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝____________________________，其中α、β为任意角．一、选择题1．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝()A．－12 B.12C．0 D．12．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得()A．cos αB．cos βC．cos(2α＋β) D．sin(2α＋β)3．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得()A.12B．－12 C.32D．－324．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为()A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π65．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是()A．－55 B.55 C.11525 D. 56．若sin α＋sin β＝1－32，cos α＋cos β＝12，则cos(α－β)的值为()A.12B．－3C.3D．1二、填空题7．cos 15°的值是________．8．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.9．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．10．已知α、β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β的值为________．三、解答题11．已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．12．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．能力提升13．已知cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos α＋β2的值．14．已知α、β、γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值．3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)课时目标1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用．1．两角和与差的正切公式(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________.(2)T (α－β)：tan(α－β)＝______________________________________________________. 2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝____________________________________________________________. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________. tan α·tan β＝______________________________________________________________. (2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝______________________________. tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________.tan αtan β＝______________________________________________________________.一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )A.43 B ．－43 C ．－7 D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．tan 10° D.3tan 20°6．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.537.1＋tan 75°1－tan 75°＝________.8．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为________． 9．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________.10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.三、解答题11．在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状．12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求tan(α＋β)的值．能力提升13．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．14．已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝35，sin(A－B)＝15.(1)求证：tan A＝2tan B；(2)设AB＝3，求AB边上的高．3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)课时目标1.在两角差的余弦公式的基础上，会推导两角和与差的正弦、余弦公式.2.灵活运用两角和与差的正、余弦公式进行求值、化简、证明．1．两角和与差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝__________________. C (α＋β)：cos(α＋β)＝__________________. 2．两角和与差的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝__________________________. S (α－β)：sin(α－β)＝____________________________. 3．两角互余或互补(1)若α＋β＝________，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：π4－α与__________互余，π6＋α与________互余． (2)若α＋β＝________，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：π4＋α与______________互补，____________与23π－α互补．一、选择题 1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32 2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.323．若锐角α、β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则sin β的值是( )A.1725B.35C.725D.154．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．±15．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2C ．1＋ 3D ．2＋ 3 6．在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．正三角形二、填空题7．化简sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α的结果是________． 8．函数f (x )＝sin x －cos x 的最大值为________．9．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β的值是__________．10．式子sin 68°－cos 60°sin 8°cos 68°＋sin 60°sin 8°的值是________．三、解答题11．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．12．证明：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.能力提升13．已知sin α＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是________． 14．求函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，x ∈R 的最值及取到最值时x 的值．3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课时目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin α2cos α2＝12sin α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1 ＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.2．倍角公式常用变形 (1)sin 2α2sin α＝__________，sin 2α2cos α＝__________； (2)(sin α±cos α)2＝__________；(3)sin 2α＝______________，cos 2α＝______________.一、选择题1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.322．函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( )A ．－13B ．－79 C.13 D.794．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－125．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( )A ．－105 B.105 C ．－155 D.1556．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)等于( )A.2B.7C.14 D ．－2二、填空题 7.3－sin 70°2－cos 210°的值是________． 8．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______．9．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______.10．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，则α＝________.三、解答题11．求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A .12．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45，5π4<x <7π4，求sin 2x －2sin 2x 1＋tan x的值．能力提升13．求值：cos 20°cos 40°cos 80°.14．求值：tan 70°·cos 10°·(3tan 20°－1)．§3.2简单的三角恒等变换课时目标1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．1．半角公式(1)S α2：sin α2＝____________________；(2)C α2：cos α2＝____________________________；(3)T α2：tan α2＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)．2．辅助角公式使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2B. 1－cos α2C ．－1＋cos α2 D. 1＋cos α22．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最大值是( ) A ．2 B ．1 C.12D. 33．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值为( ) A ．－2 B ．－ 3 C ．－ 2 D ．－14．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π35．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0 D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－1 B.1C ．2D ．－27．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______．8．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________．9．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________．10.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____．三、解答题11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．12．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8的值．能力提升13．当y＝2cos x－3sin x取得最大值时，tan x的值是()A.32B．－32 C.13 D．414．求函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值．。

必修四-第三章-三角恒等变换

必修四第三章三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、教学设想：（一）导入：问题1：我们在初中时就知道2cos 452=，3cos 302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示。

思考1：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=- （三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos 75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=+=-=⨯-⨯=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=-=+=⨯=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值. 解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===- 又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===- 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：本题中没有),2ππα⎝⎛∈，呢？（四）练习：1.不查表计算下列各式的值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（解:︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ 2160cos )2080cos(=︒=︒-︒=2．教材P127面1、2、3、4题（五）小结α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用. （1）牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系．（六）作业：《习案》作业二十九3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、教学设想：（一）复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．（2）cos sin =α？（二）新课讲授问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-．探究3、我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈5、将)(βα+S 、)(βα+C 、)(βα+T 称为和角公式，)(βα-S 、)(βα-C 、)(βα-T 称为差角公式。

高中数学必修四第三章三角恒等变换

必修四第三章：三角恒等变换【知识点梳理】：考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式两角差的余弦：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 两角和的余弦：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 两角和的正弦：()sin αβ+sin cos cos sin αβαβ=+ 两角差的正弦：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- 两角和的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-两角差的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+注意：对于正切,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．【典型例题讲解】：例题1.已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.例题2.利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值。

例题3.已知()sin αβ+=32，)sin(βα-=51，求βαtan tan 的值。

例题4.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（）A ．12B ．33C ．22D ．32例题5.已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.例题6.已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____例题7.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 225（1）求tan()αβ+的值；（2）求2αβ+的值。

例题8.设ABC ∆中，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A =，则此三角形是____三角形【巩固练习】练习1. 求值（1）sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-；练习2.0sin 45cos15cos 225sin15⋅+⋅的值为（A ） -2 1（B ） -2 1（C ）2 （D ）2练习3.若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（）Ａ．3-Ｂ．13-Ｃ．3Ｄ．13练习4. 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin 10β=，求2αβ+.考点二：二倍角公式及其推论：在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24αα是的二倍，332αα是的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．二倍角公式的推论升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-=降幂公式：ααα2sin 21cos sin =； 22cos 1sin 2αα-=； 22cos 1cos 2αα+=.【典型例题讲解】例题l. ） A ．2sin15cos15 B ．22cos 15sin 15- C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+例题2.．已知1sin cos 5θθ+=，且432πθπ≤≤，则cos 2θ的值是．例题3.化简0000cos10cos 20cos30cos 40••• 例题4.23sin 702cos 10-=-（）A ．12B ．2C ．2D例题5.已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+.例题6.若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为。

[高一数学必修三角恒等变换函数公式总结]高一数学必修4公式

《[高一数学必修三角恒等变换函数公式总结]高一数学必修4公式》摘要：了助高学生学三角函数公式下面编给带高数学必修三角恒等变换函数公式希望对你有助，()常用拆角、拼角技巧如(+)+()(+)()+++是二倍角等，数学习题无非就是数学概念和数学思想组合应用弄清数学基概念、基定理、基方法是判断题目类型、知识围前提是正确把握题方法依据三角恒等变换是高数学三角函数重要组成部分了助高学生学三角函数公式下面编给带高数学必修三角恒等变换函数公式希望对你有助高数学必修三角恒等变换函数公式高数学必修三角恒等变换函数知识三角函数式化简是指利用诱导公式、角基关系式、和与差三角函数公式、二倍角公式等将较复杂三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子结化简三角函数式基要是()能出数值要出数值;()使三角函数式项数少、次数低、角与函数种类少;(3)分式分母尽量不含根式等值主要有三类值问题()给角值般所给出角都是非特殊角从表面看是很难但仔细观察非特殊角与特殊角总有定关系题要利用观察得到关系结合公式化特殊角并且消除非特殊角三角函数而得()给值值给出某些角三角函数式值另外些角三角函数值题关键变角使其角相或具有某种关系(3)给值角实质是化给值值关键也是变角把所角用含已知角式子表示由所得函数值结合该函数单调区得角三角恒等变换常用方法、技巧和原则()化简值和证明常用如下方法切割化弦法升幂降幂法和积化法辅助元素法代换法等()常用拆角、拼角技巧如(+)+()(+)()+++是二倍角等(3)化繁简变复角单角变不角角化非名函数名函数化高次低次化多项式单项式化无理式有理式()消除差异消除已知与知、条件与结论、左端与右端以及各项次数、角、函数名称、结构等方面差异高数学学习方法抓基础是关键数学习题无非就是数学概念和数学思想组合应用弄清数学基概念、基定理、基方法是判断题目类型、知识围前提是正确把握题方法依据只有概念清楚方法全面遇到题目就能很快得到题方法或者面对新习题就能想到我们平做习题方法达到迅速答弄清基定理是正确、快速答习题前提条件特别是立体几何等节复习对基定理熟悉和灵活掌握能使习题答条理清楚、逻辑推理严密反会使题速慢逻辑混乱、叙述不清严防题海战术做习题是了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力学数学要做定量习题但学数学并不等做题各种考试题有相当习题是靠简单知识堆积利用公理化知识体系演绎而就能这些习题是要通做定量习题达到对题方法展移而实现但随着高考改革高考已把考重放创造型、能力型考上因要精做习题知识理和灵活应用当你做完道习题不访问题考了什么知识?什么方法?我们从得到了题什么方法?这类习题有什么题通性?实现问题完全我应用了怎样题策略?只有这样才会培养己悟性与创造性开发其创造力也将遇到即将临期末考试和高考题目那些综合性强题目可以有科学方法它归纳数学思维数学学习其主要目是了培养我们创造性培养我们处理事情、问题能力因对处理数学问题策略、思维掌握显得特别重要平学习应重归纳它平听课明知学生应该听老师对该题目分析和归纳但还有不少学生不教师分析往往沉静老师讲每步计算、每步推证程听课是认真但费力听完是满脑子计算程支离破碎老师分析是引导学生思考启发学生己设计出处理这些问题策略、思维当教师答习题学生要用己计算和推理已知道老师要干什么另外当题目答案给出并不代表问题答完毕还要花定认真总结、归纳理记忆要把这些题策略全部纳入己脑海成永久地记忆变己这类型问题验和技能也了学生会听课而不会做题目坏毛病积累考试验学期每月初都有考试加每单元单元测验和模拟考试有十几次抓住这些机会积累定考试验掌握定考试技巧使己应有水平考试得到充分发挥其实考试是单兵作战它是考验人承受能力、接受能力、问题等综合能力战场这些能力只有平考试得到培养和训练猜你感兴趣高数学必修三角函数诱导公式高必修数学三角恒等变换知识总结3高数学必修四三角恒等变换知识高必修数学三角函数公式总结5高必修数学三角函数知识归纳6高年级数学三角函数公式。

数学4(必修)第三章：三角恒等变换练习题A

（数学4必修）第三章三角恒等变换练习题A [基础训练A 组] 一、选择题1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724-2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（）A .5πB .2πC .πD .2π3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定4．设00sin 14cos14a =+，00sin 16cos16b =+，2c =，则,,a b c 大小关系（） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b <<5．函数)cos[2()]y x x ππ=-+是（）A .周期为4π的奇函数 B .周期为4π的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期为2π的偶函数6．已知cos 23θ=44sin cos θθ+的值为（） A ．1813 B ．1811 C ．97 D ．1-二、填空题1．求值：000tan 20tan 4020tan 40++=_____________。

2．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα+= 。

3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。

4．已知sincos223θθ+=那么sin θ的值为 ,cos 2θ的值为。

5．A B C ∆的三个内角为A 、B 、C ，当A 为时，cos 2cos 2B C A ++取得最大值，且这个最大值为。

三、解答题1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.2．若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围。

高中数学——必修四-简单的三角恒等变换61页PPT

45、法律的制定是为了保证每一个人自由发挥自己的才能，而不是为了束缚他的才能。—— 罗伯斯庇尔
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利

高中数学——必修四-简单的三角恒等变换
41、实际上，我们想要的不是针对犯罪的法律，而是针对疯狂的法律。 ——马克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就像影子跟随着身体一样。— —贝卡利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进步。— —杰弗逊 44、人类受制于法律，法律受制于情理。— —托·富勒

人教A版高中数学必修四(3.2-3简单的三角恒等变换)

►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
►Living without an aim is like sailing without a compass. 生活没有目标，犹如航海没有罗盘。
►A man is not old as long as he is seeking something. A man is not old until regrets take the place of dreams. 只要一个人还有追求，他就没有老。直到后悔取代了梦想，一个人才算老。
例5 求cos10 3 sin10 tan 70 2cos 40 的值.
tan 20
2
例6 求 2
6
64 cos2 10 的值.
1 cos 20 1 cos 20
－32
例7 求 cos cos 2 的值.
5
5
1
2
作业： P146复习参考题A组：
4，5，8.
►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander. 如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。
3.2 简单的三角恒等变换
第三课时含非特殊角的求值问题（习题课）
例1 求 sin(－340°)cos400°＋ sin830°cos50°的值.
3 2
例2 求 (tan10
3) cos10 的值. sin 50
－2
例3 求 4 cos101 ຫໍສະໝຸດ an 10的值.3
例4
求
1 2 sin10
4 sin2 10 的值. 3

高中数学必修四简单的三角恒等变换

3 4 1 2
当 0即a 0时
a 2
sin x 0时 f ( x)大
1 2 3 4
a 4
1 a ( a 2 ) 2 a2 a 1 即M (a) 4 4 2 (0 a 2) 1 a (a 0) 2 4
(2)当M (a) 2时, 解得a
例2．化简：
2
1 sin sin cos cos cos 2 cos 2 2
2 2 2
2 2 2 2
解法1：
1 原式 sin sin cos cos (2 cos 2 1)( 2 cos 2 1) 2
1 sin sin cos cos cos cos 2 1 2 2 2 2 2 sin sin cos sin cos 2
2
练习1.已知函数f(x)=log (sinx-cosx) （1）求它的定义域与值域（2）求它的单调区间
（3）判断奇偶性
（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期
解 : (1) sin x cos x 2 sin( x 4) 0 2 k 4 x 2 k
2 2 2 2 2 2
1 sin cos 2
2 2
解法2：
1 1 原式 (1 cos 2 )(1 cos 2 ) (1 cos 2 )(1 cos 2 ) 4 4 1 cos 2 cos 2 2
பைடு நூலகம் 1 (1 cos 2 cos 2 ) cos 2 cos 2 2 2

5 4
kz
5 定义域为：（2k ， 2 k 4 4 ）k z