2015-2016(2)线性代数B复习资料
线性代数B复习资料
线性代数复习资料1．dcb a0430021000=（ ）(A) （bc －ad ） (B ) 2（bc －ad ） (C) 2（bc+ad ） (D) （bc+ad ）2．1111111111111111--+---+--x x x x =（ ）(A) －4x (B) 3x (C) 24x (D ) 4x4．0000000004321a a a a =（ ）(A) 4321a a a a (B ) －4321a a a a (C) 24321a a a a (D)－24321a a a a 6．设A 为n 阶行列式，则kA =（ ） (A)A k (B)Ak⋅ (C ) A kn(D) A kn⋅7．设A ，B 均为n (n>2) 阶行列式，则（ ）(A)B A B A +=+ (B) B A B A -=-(C ) B A AB ⋅= (D) B A OBA O ⋅=8．下列行列式哪一个不等于零（ ）(A)11011000111001(B )11011000111001-(C)11011000111001-- (D)11011000111001----9．已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，则232333132222321221123111352352352a a a a a a a a a a a a ---=（ ） (A) 18 (B ) －18 (C) －9 (D)2710．41332211000000a b a b b a b a =（ ）(A) 4321a a a a －4321b b b b (B) 4321a a a a +4321b b b b (C) (21a a －21b b )(43a a －43b b ) (D ) (41a a －41b b )(32a a －32b b )11．记行列式347534453542333322212223212---------------x x x xx x x x x x x x x x x x 为f(x)，则方程f(x)=0根的个数为(A) 1 (B ) 2 (C) 3 (D)4 12．设A 为n 阶方阵，则A =0的必要条件是 (A) A 的两行元素对应成比例(B ) A 中必有一行为其余行的线性组合 (C) A 中有一行元素全为零(D) A 中任一行为其余行的线性组合13．是A 三阶矩阵，A =2，A 的伴随矩阵为*A ，则*A2=（ ）(A) 4 (B) 8 (C) 16 (D ) 3215．如果D=333231232221131211a a a a a a a a a =M ≠0， 2322213332311312111222222222a a a a a a a a a D =，那么1D =（ ） (A) 2M (B)－2M (C) 8M (D ) －8M16． 如果D=333231232221131211a a a a a a a a a =1，1D = 333231312322212113121111324324324a a a a a a a a a a a a ---，那么1D =（ ） (A) 8 (B )－12 (C) 24 (D) －2417．已知11111321--x 是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为（ ） (A) -1 (B) 2 (C) 3 (D ) 118．行列式=200220012000199919981997199619951994(A) -1 (B) 2 (C) 1 (D ) 019．已知a ，b 为整数，且满足081100000=-a bb a，则（ ） (A) a=1，b=0 (B )a=0，b=0 (C)a=0，b=1 (D) a=1，b=1 20．设A 为三阶矩阵，A =a, 则其伴随矩阵*A 的行列式*A=（ ）(A) a (B ) 2a (C) 3a (D) 4a 21．设A ，B ，C 为n 阶方阵，且ABC=I ，则（ ）(A) ACB=I (B)CBA=I (C) BAC=I (D ) BCA=I 22．设A 为n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则（ ） （A ）A A =* （B ）1-*=n AA （C ）nA A=*（D ）1-*=AA23．设A ，B 均为n ×n 阶矩阵，则必有（ ）（A ）B A B A +=+ （B ）AB=BA（C ）BA AB = （D ）111)(---+=+B A B A24．设A ，B 为n 阶方阵，且AB= O ，则必有（ ）（A ）若r(A)=n, 则B=O （B ）若A ≠O, 则B=O （C ）或者A= O , 或者B=O （D ）O B A =+25．设A 是n ×m 阶矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，r(A)=r ，B=AC ，r(B)= 1r ,则( ) （A ） r >1r （B ） r<1r（C ） r =1r （D ）1r 和r 的关系依而定 26．若A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（ ） （A ）112)2(--=A A （B ）O AA ≠*（C ）AAA 11)(--*=（D ）T T T A A ])[(])[(111---=27．设A ，B 均为n 阶非零矩阵，且AB ＝Ｏ，则A 和B 的秩（ ） (A) 必有一个等于零 (B)一个等于n ，一个小于n (C) 都等于n (D ) 都小于n28．设n 阶方阵A 经初等变化后所得方阵记为B ，则（ ） (A) B A = (B) B A ≠(C) B A ⋅>0 (D ) ，若0=A 则0=B 29．A ，B 均为n 阶矩阵，下列各式中成立的为（ ） (A) 2222)(B AB A B A ++=+ (B) T T T B A AB =)((C) O B O A O AB ===或则, (D ) ，若0=+AB A 则00=+=B I A ，或30．设A ，B ，B A +，11--+B A 均为n 阶可逆矩阵，则111)(---+B A 等于（A ）11--+B A （B ）B A + （C ）B B A A 1)(-+ （D ）1)(-+B A31．设n 元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX=0有非零解的充分必要条件是（ ）(A) r=n (B ) r<n (C) r ≥n (D) r>n 32．设A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 伴随矩阵，则（ ） (A ) 1-*=n AA(B) A A=*(C) nA A=*(D) 1-*=AA33．设n 阶矩阵A 非奇异(n ≥2)，*A 是A 伴随矩阵，则（ ） (A ) ()A A A n 2-**= (B) ()A A A n 1+**= (C) ()A AAn 1-**= (D) ()A AAn 2+**=34．设n 维向量⎪⎭⎫⎝⎛=21,0,0,21 α, 矩阵A=I －αα'，B=I+2αα'，其中I 为n 阶单位矩阵，则（A ）0 （B ）－Ｉ （C ）I （D ）I+αα'35．设A ，B 为同阶可逆矩阵，则 (A) AB=BA(B) 存在可逆矩阵P 使得B AP P =-1 (C) 存在可逆矩阵C 使得B AC C =' (D) 存在可逆矩阵P 和Q 使得B PAQ = 36．下列命题中不正确的是( ) (A) 初等矩阵的逆也是初等矩阵 (B ) 初等矩阵的和也是初等矩阵 (C) 初等矩阵都是可逆的(D) 初等矩阵的转置仍初等矩阵38．设A 是任一阶方阵，*A 是A 伴随矩阵，又k 为常数，且k ≠0，±1，则必有()*kA =(A) *A k (B ) *-A k n 1 (C) *A k n (D) *-A k 1 39．设A ，B ，C 为n 阶方阵，若AB=BA ，AC=CA ，则ABC 等于（A ） BAC （B ）CBA （C ）BCA （D ）CAB40．622211211=a a a a 若，则12020221221112--a a a a 的值为（ ） (A) －12 (B )12 (C) 18 (D) 041．设A ，B 都是n 阶矩阵，且AB ＝Ｏ，则下列一定成立的为（ ） （A ）A= O , 或者B=O （B ）A ，B 都不可逆 （C ）A ，B 中至少有一个不可逆 （D ）A+B=O42．设A ，B 均为n 阶矩阵，且满足等式AB ＝Ｏ，则必有（ ） （A ），0=A 或0=B （B ）A= O , 或B=O （C ）A+B=O （D ）O B A =+43．D=01110212=-k k的充分必要条件是（ ） (A) k=2 (B) k=0 (C ) k=3 (D) k=－344．设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则AB 的伴随矩阵*)(AB = (A) **B A (B) 11--B A AB(C) 11--A B (D ) **A B45．行列式A==84703362205010（ ）(A) －12 (B) －24 (C) －36 (D ) －7246．设A ，B 均为n 阶矩阵，且22))((B A B A B A -=-+，则必有（ ） （A ）A= B （B ）A=I （C ）AB=BA （D ）B=I 47．设A 为n 阶矩阵，且0≠=a A ，*A 是A 的伴随矩阵，则*A=（ ）（A ）1-n a （B ）1+n a （C ）n a （D ）a。
线性代数期末考试复习资料
基本概念下方是正文1. 余子式ij M 和代数余子式ij A ，(1)i j ij ij A M +=-，(1)i j ij ij M A +=-。
2. 对称矩阵：T A A =。
3. 伴随矩阵111*1n n nn A A A A A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，组成元素ij A ，书写格式：行元素的代数余子式写在列。
4. 逆矩阵AB BA E ==，称A 可逆。
若A 可逆，则11AA A A E --==.5. 分块对角阵12A O A O A ⎛⎫=⎪⎝⎭，12A A A =⋅，11112A O A O A ---⎛⎫= ⎪⎝⎭。
6. 初等行（列）变换：① 对换两行或两列；② 某行或某列乘以非零常数k ；③ 某行（列）的k 倍加到另一行（列）。
7. 等价矩阵：① 初等变换得来的矩阵；② 存在可逆矩阵,P Q ，使得PAQ B =。
8. 初等矩阵：初等变换经过一次初等变换得来的矩阵，① (,)E i j ；② (())E i k ；③(,())E j i k 。
9. 矩阵的秩：最高阶非零子式的阶数。
1()0,0k k r A k D D +=⇔∃≠∀=。
10. 线性表示：存在12,,,n k k k 使得1122n n k k k βααα=+++，等价于非齐次方程组Ax β=有解12,,,n k k k 。
11. 线性相关：存在不全为0的数12,,,n k k k ，使得11220n n k k k ααα+++=，等价于齐次方程组0Ax =有非零解。
12. 线性无关：11220n n k k k ααα+++=成立120n k k k ⇒====，等价于齐次方程组0Ax =仅有零解。
13. 极大无关组：12,,,n ααα中r 个向量12,,,r βββ满足：① 线性无关；②12,,,n ααα中任意向量可由其表示或12,,,n ααα中任意1r +个向量线性相关，则称12,,,rβββ为12,,,n ααα的极大无关组。
线性代数B(赵树嫄)+期末复习
10、理解向量组的线性相关、线性无关的定义，会构造矩阵 判断向量组的线性相关、线性无关。 11、会构造矩阵，用初等行变换，求向量组的秩、极大无关组， 用极大无关组表示其他向量。 12、理解向量组的秩与线性无关的联系，并会用线性无关的 定义来证明向量组的线性无关性。 13、会用消元法解线性方程组（含字母系数），判断线性方程 组解的情况，并用基础解系表示线性方程组的一般解。
补3 设方阵A与B满足A－B=AB，证明A+I可逆, 且求出它的逆阵.
2 1 1 例 求矩阵A 0 2 0 的特征值和特征向量。 4 1 3
例5 设 是方阵A的特征值，证明 : (1) 2是A2的特征值，一般地， m 是Am的特征值。 (2)对任意数k，k 是kI A的特征值。 (3)若A可逆，则 一定不等于零，且 1是A1的特征 | A| 值， 是A*的特征值.
r ( 1 , 2 , , s ) s 向量组 1 , 2 , , s 线性相关 r ( 1 , 2 , , s ) s
1 , 2 , , t
线性, , s 可以由向量组
r ( 1 , 2 , , s ) r ( 1 , 2 , , t )
A
(6 )若 A 可 逆 ， 则 ( A B )* B * A * ， ( A k )* ( A * ) k . (其 实 这 两 式 对 任 意 矩 阵 都 成 立 ) (7 ) ( A 1 )* ( A * ) 1， ( A * )T ( A T )* (用 定 义 证 明 ).
1 A
T T
A;
2 A B T AT BT ; 3 A AT ;
T
4 AB BT AT .
大学线性代数复习资料
线性代数是数学的一个分支，它研究的是向量空间和线性变换等概念。
在大学数学课程中，线性代数是一门重要的基础课程。
本文将为大家提供一份详细的线性代数复习资料，包括定义和常用公式，希望能够帮助大家复习线性代数知识。
1. 向量空间的定义向量空间是指一个非空集合V，其中定义了两个运算：向量的加法和数乘运算，满足以下条件：（1）对于任意两个向量u、v∈V，它们的和u+v∈V。
（2）对于任意一个向量u∈V和一个标量a，它们的积au∈V。
（3）加法满足交换律和结合律。
（4）存在一个零向量0∈V，使得对于任意一个向量u∈V，都有u+0=u。
（5）对于任意一个向量u∈V，存在一个负向量−u∈V，使得u+(−u)=0。
（6）数乘满足分配律和结合律。
2. 线性变换的定义线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它满足以下条件：（1）对于任意两个向量u、v∈V，有T(u+v)=T(u)+T(v)。
（2）对于任意一个向量u∈V和一个标量a，有T(au)=aT(u)。
（3）对于任意一个向量u∈V，有T(0)=0。
3. 矩阵的定义矩阵是一个由m行n列的数构成的矩形阵列，通常用大写字母A、B、C等表示，其中Aij 表示第i行第j列的元素。
4. 矩阵的加法和数乘矩阵加法和数乘的定义如下：（1）矩阵加法：设A和B是两个m×n的矩阵，则它们的和A+B是一个m×n的矩阵，其中每个元素为Aij+Bij。
（2）数乘：设A是一个m×n的矩阵，k是一个标量，则kA是一个m×n的矩阵，其中每个元素为kAij。
5. 矩阵乘法设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积AB是一个m×p的矩阵，其中第i行第j列的元素为∑k=1nAikBkj。
6. 行列式的定义行列式是一个函数，它将一个n×n的矩阵映射到一个实数上。
行列式的定义如下：（1）n=1时，行列式为矩阵中唯一的元素。
线性代数（理）综合复习资料
线性代数（理）综合复习资料《线性代数（理）》综合复习资料第一章 n 阶行列式一、选择填空题：1、排列542163的逆序数为______________。
2、行列式315412231---中，元素4的代数余子式为。
3、设行列式11 12132122233132333a a a a a a a a a =，则313233212223111213232323a a a a a a a a a --=- 。
4、设行列式1112132122233132333a a aa a a a aa =，则3132332131223223111213222222222222a aaa aa a a a a aa +++=。
5、n 个方程、n 个未知量的齐次线性方程组0Ax =有非零解的充要条件是。
6、设,A B 均为3阶方阵，且3,2A B ==，则2B A A += 。
7、设,A B 均为3阶方阵，且2,3A B ==-，则13A B *-= 。
8、已知多项式111213212223313233()a xa x a xf x a xa x a x a x a x a x+++=++++++，则()f x 的最高次数是。
9、设A 为3阶矩阵且行列式0A =，则下列说法正确的是（）（1）矩阵A 中必有一列元素等于0；（2）矩阵A 中必有两列元素对应成比例；（3）矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合；（4）矩阵A 中任一列向量是其余列向量的线性组合。
10、下列说法错误的是（）（1）若n 阶线性方程组Ax b =的系数矩阵行列式0A ≠，则该方程组存在唯一解；（2）若n 阶线性方程组0Ax =的系数矩阵行列式0A ≠，则该方程组只有零解；（3）一个行列式交换两列，行列式值不变；（4）若一个行列式的一列全为零，则该行列式的值为零。
二、计算下列行列式1、1534131202115133D ---=---；2、14916491625916253616253649D =3、222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b D c c c c d d dd ++++++=++++++；4、123 (10)3 (12)0..............123 0nn n D n -=-----； 5、122 (22)22 (22)23...2...........222...nD n=；6、120000132000013200 (000032000013)nD =； 7、111222121212n n n n x x x n x x x nD x x x n++++++=+++8、n x a a ax aD aa x=；9、111111222212333123111231n D n n n n =--- ；10、000000000000000n y x y x y x D y x xy=；第二章矩阵一、选择填空题1、设112311131111A --=----??，则A 的秩()r A = 。
《线性代数复习资料》习题二答案和提示
求矩阵 X .
AX B X AX X B ( A E ) X B
A E | B) 0 1 0 1 2 0 1 0 1 2 1 0 2 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1 2 0 1 0 1 2 X 1 2 0 0 1 0 0 0 0
13.设n阶矩阵A,B,C满足ABC=E ，则C－1=（ A ） （A）AB （B）BA
（C）A－1B－1
（D）B－1A－1
ABC=E ，即：(AB)C=E ，所以C－1=AB 14.设n阶可逆矩阵A,B,C满足ABC=E，则B－1=（ D ）
（A） A－1C－1
（C） AC
（B） C－1A－1
（D）CA
9.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中不正 确的是( B ) 1 1 1 T T T ( A B ) A B （A）( A B) A B （B） T T T 1 1 1 ( AB ) B A （ D ） （C） ( AB) B A
反例：A=E，B=−E，则A+B=O不可逆
1 0 0 0 1 0 （D） 0 0 3
对矩阵进行初等行变换，相当于用同类型的初等方 阵左乘该矩阵。
1 3 0 A 2 1 2 18.下列矩阵与矩阵 同秩的矩阵是（ D ） 4 0 1 2 4 0 （A） 3 1 6 （B） 1 5 1
A* | A | A1
1 1 | (3 A) 2 A || A 2 | A | A1 | 3 2 1 1 1 1 | A A | | A | 3 3
1 *
2 2 1 1 | A | | A| 3 3
大学线性代数必过复习资料.doc
复习重点：第一部分 行列式1． 排列的逆序数（P .5例4；P .26第2、4题）2． 行列式按行（列）展开法则（P .21例13；P .28第9题） 3． 行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题）第二部分 矩阵 1． 矩阵的运算性质2． 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P .56第17、18题；P .78第5题） 3． 伴随阵的性质（P .41例9；P .56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P .116） 4． 矩阵的秩的性质（P .69至71；P .100例13、14、15）第三部分 线性方程组1． 线性方程组的解的判定（P .71定理3；P.77定理4、5、6、7），带参数的方程组的解的判定（P.75例13；P .80第16、17、18题）2． 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） 3． 非齐次线性方程组的解的结构（通解）第四部分 向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换） 1．向量组的线性表示 2．向量组的线性相关性 3．向量组的秩第五部分 方阵的特征值及特征向量 1．施密特正交化过程2．特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10；P.135第7至13题）3．矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P .135第15、16、19、23题）要注意的知识点：线性代数1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-g⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值 5. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O，则： Ⅰ、12s A A A A =L ；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nE OF OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ :； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X :，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ； ③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x :，则A 可逆，且1x A b -=；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭Oλλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k-=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B :，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A -=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话） ②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L ； ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M O M M M L（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭LM （全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ）； ④、1122n n a x a x a x β+++=L （线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m αααL 构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =L ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T Tm βββL 构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14) 4. ()()T r A A r A =；(101P 例15) 5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关 ⇔0α=；②、,αβ线性相关⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s αααL 线性相关，则121,,,,s s αααα+L 必线性相关；若12,,,s αααL 线性无关，则121,,,s ααα-L 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤； 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔= 向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P L ，使12l A P P P =L ；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价：~c A B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯L 可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯L 线性表示为：1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =L L （B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=Q ；充分性：反证法） 注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；。
中国农业大学2015-2016(秋)《线性代数》期末考试试题解析
2015~2016学年秋季学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1．设123,,2a a a =，则1321223,43,a a a a a -+=．解析：132121312131231231212323,43,23,3,=323,,=33,,=9,,=9(1)(1),,18a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+=-------=-.注释本题知识点：行列式的性质（1）行列式的某一列乘以一个倍数加到另一列；（2）行列式的某一列提一个公因数；（3）行列式某两列互换.答案：-182.已知向量组1(1,2,3)Tα=,2(,2,3)Tk α=,3(1,,1)Tk α=，0k >，如果向量组123,,a a a 线性相关，则常数k =．解析：由123,,a a a 线性相关有，1122(1)(32)0331=--=k k k k 得21,3或k k ==.注释本题知识点：n 个n 维列向量组线性相关的充分必要条件是，由他们组成的行列式等于0.答案：21,3或k k ==,结果不唯一.3.已知三阶矩阵A 的特征值互不相同，且0=A ，又123,,ηηη是非齐次方程组=Ax b 的三个不同解向量，则方程组0=Ax 的通解为．解析：由1230=A λλλ=得特征值123,,λλλ至少有一个为0.由A 的特征值互不相同，得123,,λλλ中一个为0另两个不为0，所以由A 的秩为2.从而0=Ax 的基础解系含一个向量.由123,,ηηη是非齐次方程组=Ax b 的三个不同解向量，得1213--ηηηη，或为0=Ax的基础解系。
所以，方程组0=Ax 的通解为11221312()(),,k k k k --，或为任意实数ηηηη.注释本题知识点：（1）矩阵行列式的值等于它的所有特征值的乘积；（2）齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数等于未知量的个数减去系数矩阵的秩；（3）非齐次方程组和齐次方程组解之间的关系.答案：11221312()(),,k k k k --，或为任意实数ηηηη.4．设1(1,0,1)T α=和2(0,1,0)T α=都是方阵A 对应于特征值3的特征向量.又(3,2,3)T β=，则A β=．解析：11223, 3A A αααα==.1232βαα=+12123296(9,6,9)T A A A βαααα=+=+=.注释本题知识点：（1）矩阵特征值、特征向量的定义；（2）把一个向量表示成其它向量的线性组合.答案：(9,6,9)T.5．若二次型123(,,)f x x x 222123122335224=---+-x x x ax x x x 为负定二次型，那么a 的取值范围是．解析：二次型的矩阵3052022-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭aA a .A 负定当且仅当-A 正定，当且仅当-A 的所有顺序主子式都大于0；当且仅当22150,90->->a a ，当且仅当33-<<a 或(3,3)∈-a .注释本题知识点：（1）二次型的矩阵；（2）矩阵正定与负定的关系；（3）矩阵正定的充分必要条件。
2015-2016-1线性代数 B卷参考答案
拟题学院（系）： 数理学院适用专业： 全校 2015-2016学年 1 学期 线性代数（必修）B 卷 试题标准答案（答案要注明各个要点的评分标准）一、填空题（每小题3分，共15分）1. -2M2.11B A --3.111,,336- 4. 0 5. 2k >二、选择题（每小题3分，共15分）1. C2. D3. A4. B5. B三、计算题(每小题10分，共20分)1.解：888811111511151181151115111151115==原式——————————————————————5分11110400851200400004==2. 解：()22AX B X A E X B =+⇒-=1112012,002A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ————————————3分()1111101001112,012102~010100,002202001101A E B ⎛⎫⎛--⎫⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭———————————— 8分所以111100101X --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
—————————————————————— 10分四、计算题(第1题10分，第2题15分，第3题15分，共40分)拟 题 人： 周红燕书写标准答案人： 周红燕1.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=00000100000120011221~10000500000120011221~13600512000240011221~46063332422084211221),(b A ————————————8分3)(,2)(==B R A R 因此 ——————————————————10分2. 解：111111101152321130012263(,)01226300000054331200000B A b ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭————8分基础解系为123115226,,100010001ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，特解为23000η-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，—————————————13分通解为112233x k k k ξξξη=+++。
线性代数B(第一章)
二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11
a12
a21
a22
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
若记 系数行列式
D
a11 a21
a12 a22
,
.
6
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
( 32514) 2 1 2 0 0 5 .
24
例题与讲解
例：判断排列135…(2k-1)246…(2k）的奇偶性。 解：(2k)的前一个数是(2k-2),故,(2k-1)与246…(2k-2)
k (k 1) =t 0 1 2 3 (k 1) 2 当k=4n时， t = 2n(4n-1)为偶数 当k=4n+1时, t =2n(4n+1)为偶数 当k=4n+2时, t =(2n+1)(4n+1)为奇数 当k=4n+3时, t =(2n+1)(4n+3)为奇数
经济数学基础(二)
线性代数
第一章
行列式
§1.1 n阶行列式 §1.2 行列式的性质 §1.3 行列式按行（列）展开 §1.4 克莱姆法则
1
§1.1 n阶行列式
一. 二、三阶行列式 二. 排列与逆序数 三. n阶行列式 行列式的概念来源于解线性方程组的问 题。中学里曾用二、三阶行列式解二、三元 线性方程组。在一定条件下,该方法可推广 到解n元线性方程组。同时行列式也是研究 线性代数的一个重要工具。 在这一章，我们从二、三阶行列式的复 习开始，进一步探讨更一般的n阶行列式定 义及性质。 .
《线性代数(理)》综合复习资料.doc
《线性代数（理）》综合复习资料填空题a x 1入 C]2冏 b 、 c x +勺1、已知行列式 a 2 b 2 c 2=4,则 2a 2 b 2 c 2 + b 2a 3b 3c 32a 3 伙 c 3 + h 3（1 1、2、2阶方阵力=的逆矩阵为A"二 ______________匕3丿4、行列式D =<0>々）、0 ,&2 = 20 ,则Q =1 9<o >1用线性表示的表达式 5=2,/表示B 的转置，贝卜Q 2 6、已知4= 0 3 J °0、2 ,齐次方程组Ar = 0有非零解，贝畀=a tb 、c }4舛 2$ - q C]7、若 a 2 b 2 c 2—1 ,则 4a 22b 2 一 c 2 c 2a3 ”3 C34曲 2b 3 — c 3 C3兀-10 x 行列式0 0a b0 -1 Xc的第4行第3列元素C 的代数余子式-1439、若徐冬是线性方程组Ax = b的两个解，则A（5+$2）= ______________alb\q2a {2b { 2q 10、设 a 2 b 2C2=a ,则 2a 22b 2 2c 2a3 /?32禺 2优 2C 3二.选择题<1 1 1 )/ 、 (1 >1、要使非齐次方程组 0 11 兀2 — 1 有无穷多个解，必须<0 0<7-2, /丿3一3丿A. a = 2, b = 3B. a = 2, b 主3C. a H 2, b = 3D. d H 2，b 壬 32、假设人B 皆为〃阶可逆方阵，则卜•列式子不成立的是 ______ A. （AB ）'1=8 ^~]B. （仙尸=川矿】 c. \AB \ = \A \\B D. \AB\^O3、设4阶方阵A 的秩为3,则下列说法正确的是 _________ A. A 的所有3阶子式都为零 B. A 的所有3阶子式都不为零 c. |A |HO% 11、设 a 2a. b 、 b 22a1 1 1<1 0 -n / 、12、齐次方程组0 1i 兀2<o 0 o 丿0 的通解（即所有解）可表示*b2$a3为 _________________D・|A|= O,但至少有一个3阶子式不为零4、设A为“阶可逆方阵，则A的秩厂必定满足_________ ；A.r = nB.r = n-lC.r <nD.r <n-\5、设为农阶方阵，则下列等式成立的是______________ ；A.AB — BAB.\A + B\=\A\+\B\C.若AB = 0则A = 0或B = 0D.若\AB\ = 0则|A| = 0或0| = 06、设3维向量ma j9a2,a3线性相关，则下列说法不正确的是______________A.其中的任意两个向量都线性相关B.对于任意一个3维向量0,向量组0,少,42，^3必线性相关C.6^,03小必有一个向量可以用其余两个线性表示D.存在不全为零的你込,心，使得k{a{ + k2a2 + k3a3 = 07、设A,B为同阶方阵，则必有_______ :A.\A + B\=\A\+\BB.AB = BAC.\AB\=\A\\BD.(A + B)-1 = A_1+5_,8、若A为”阶方阵，且同乂0,贝ij非齐次方程组Ax = b的解的情况为—A.无解B.不能断定冇解C.有唯一解D.有无穷多个解r l 1 1 r9、矩阵 2 2 2 2 的秩为<3 3 3 3/A. 1B. 2C. 3D. 41()、设A为加x n阶矩阵，则线性方程组Ax = b有解的充分必要条件为 _______ ；A.7?(A) = mB./?(A) = nC.R(A,b) = mD.R(A,b) = R(A)这里R(A), R(A,b)分别表示矩阵A,增广矩阵(A,b)的秩11、___________________________________________________________ 设4是斤阶可逆矩阵，4*是伴随矩阵，则下列等式成立的是_____________________ ；A.\A\ = A*B.|矿c. |A|H=A*D. WW12、设A是斤阶方阵，则它的〃个列向量匕，也,・・・,色线性无关的充分必要条件为_______ :A.列向量组中任何一个向量都不能由其余的兀一1个向量线性表示B.a v a2,...,a n均不为零向量C.列向量组中任何两个向量的对应分量不成比例D.|A| = 0三、计算题2 4 11 4 3-11 1、计算行列式D =0 02 40 013<1 1 P3、已知A = 1 2 1<1 1 3丿<-4 -1() ()、了-2、 2>已知A =1 30 '*51 --1'§2 - 1<36 1；k _3><0>（1）求码,街2<r©了3、已知向最组© =-i ,也=30 ,&4 =-i/丿<0>（1）求向量组的秩;（2）给出分别与爲,§2对应的特征值人,人;求矩阵X ,使得4（E + X ） = E ；4、3 3 3 02 2 0 2 5、计算行列式D = 10 110 111‘1 -1 7、已知4= 2 -1<-3 4‘1〕〔1)8、已知向量组Q]= 1 ,也=-1 心=3 ,夠=-1 ,（1）求向量组的秩;（2）求向量组的一个授大无关组; -1 -1 -1 -11 -1 -1 1-1)-3 ,求-1 -1< 1 -1 —1 16、已知A = 求屮;2 10 00 2 10 9、计算行列式0=“0 0 2 1 10 0/1<1 2、'a b'10、己知矩阵A =与3 =可交换，即AB = BA,求a, b ；L 1 -1; 3 2；\1 -n11、已知A = 0 1 1,且满足 A~ + AX — E = 0 ,<0 （）—i丿(1)求A -1；(2) 求矩阵X ；<1 -1 1 -1、12、已知矩阵人= 1 2 3 1<3 3 7 1 )7（1）求A 的秩;(2) 求A 的列向最组的一个最人无关组;1 0 0— 0 2 013、已知£)=0 0 3 1 2 3求其第4行元素的代数余了式Z 和，即求A 41 + A 42 + A43 + A44 ；<01 0、14、已知人= -11 ,求从屮+2A ：<0 -1 0><0 1 2、15、已知A = 1 1 4 , 求4二<2 -1°丿‘1 -13 1 -32 16、已知矩阵人=-1 0 -1 4-2、 -61()21 5 -1《线性代数(理)》综合复习资料参考答案填空题1、8(3 —1)2、1-2 14、-245、486、——37、88、X29、2b10> Sa11、-2a212、Jt(l,-l,l)r选择题题目 1 ? 3 4 5 6 答案 A B D A D A 题目7 8 9 1() 11 12 答案 C C A D B A 三、计算题2 44 3 1、计算行列式D =0 00 01-12111431 12 4 4 13 -解:D =0 0 20 0 1 1 2 41 0 -54 ~ 0 03 0 01-3211-5-3 -12 4 =-201 3一0、解：（1）対=23丿'-2、<-4 -10 ()、<5> 了-2、2、己知人= 1 3 0 -1 '§2 - 1<3 6 1丿<_3> <0>（1）求码,街2（2）给出分别与§2对应的特征值人,人；(1 1 3、已知A= 1 2J 1 1)1 ,求矩阵X ,使得A(E + X) = E；3;/解：X =A~[-E⑵码=—2鼻% 1(A£) =(11所以 X =A^]-E5 2 -1 ~2 '3 2 :-1-1-1 7~2 0 1 2)_n ~2_丄~2>< 1、 （0）r 、已知向量组© =-1= 3 s =,&4 =-i/丿<0>0 ~2a0 31、<1 0 3 1 ) 解：3 0 -1 T0 3 3 0<42 14 0丿<0 2 2 一4丿‘1 0 3 1、 t 01 1 0 ()00 —2,\7所以，（1）向量纟R 的秩为3（2） a ly a 2,a 4 （或）为其一个最大无关组 3 3 3 02 2 0 2 5、计算行列式D = 10 11 0 111解：对行列式进行初等变换，然后展开化为3阶行列式所以，A 10=(A 2)5=210E(1 -1 -1]7 > 已知A= 2 —1 -3曰44丿3 3 2 2 D = 1 00 11 0110 2 -2 00 3 0 -30 1 113 0 1 12 =-3 1 -2 0 0 -3 =-181 16、 -1 -1-1 -1 -1-1 1 -1 -1 1< 1 -1—1 1已知A =求屮;<1-1 解：A 2=-1 1 _1-1<-1-1-1 _1)-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1-1-1 1丿 —-1-1 -1 1 -1—1、-1 -10、 0 =4E求川;< 1 -1 -1 1 0 0><1 -1 -1 1 0 ()) 解:(A,E) =2 -1 -3 0 1 00 1 -1 -2 1 0<-344 0 0 1丿<0 113 00 1i_ 丄2 2 j_ 1 ~2 Lp 0所以丄11 2(5 _1丁<1><08、已知向量组e = 1 ,&2 =-1 S =3 ,也= -1 ,丄<1；.-1 \ 7(1)求向量组的秩;(2)求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这个最大无关组线性表示;仃 1 1 1、< 1 0 2 0>继续初等行变换得1-13-1—>0 1-1()J 1 1 T 丿J) 00 1丿由此，= 2a x - a 22 01 2 0 1 0 09、计算行列式D =•0 0 A 1<1 1 1 1、q1 1 1 ) 解： 1 -13 -10 -2 2 -2J 11 -1<0 0 0 -2/所以，向量组的秩为3a^a 2.a 4为其一个最大无关组2、 11 0 0 2解：利用性质进行行变换后再展开，化为3阶行列式(a + 6 b + 4、解：AB =— 3 b _ 2丿(a + b 2a-b\ BA =54比较，得a-3 = 5./?-2 = 4,所以Q=&b = 611、已知A -1]1 , FL满足+ AX — E = O , (1)求A 1；-I求矩解：(1) (A,E) =<1 0 <0 -1-1—2、所以，A-1r l<0‘0T丿-2-roo>2 10 A D =0 01 0 0 0 01 0 _ 0A 1 - 00 A 110 -才2 1 00 2 10 0 210 -才2 1 0 =A4-1 0 2 1(\ 1()、已知矩阵4 =11 b\可交换，即AB = BA f求Q, b 2丿p -1 1 -1] 12、已知矩阵A = 12 3 1、3 3 7 1 丿<1 一1 1 -1、<1 -1 1 -1]解：A：二 1 2 3 1 T 0 3 2 23 7 1 <0 64 4丿7 \7<1 —--1 1 -1、T 0 3 2 2<o 0 0 0丿(1)求A的秩; (2)求A的列向量组的一个授大无关组;所以，A的秩为2A的任意两列都是列向量组的一个最大无关组10 0-10 2 0 013、已知/)=0 0 3 -112 3 4求其第4行元素的代数余子式之和, 即求A4I + A42 + A43 + A44；1 0 02 解：A41 + A42 + A43 + = 0 -1 0 0 3 -1 1 11 11 0 按第2行展开= 20 31 1 -1 -1 1<0 1 014、已知A = -1 0 1<0 -1 0 求A?, A’ +24 ；=14了0 1 0、厂0 1 0、<-l 0 解：A2 =-1 0 1 -1 0 1 =0 -2 0 <o -1 0> -1 0丿<1 0 -b15、已知A -1 (3 (1)求A 的秩；(2)求A 的列向量组的一个最大无关组; <1 -1 3 -2、 <1 -1 3 -2、1 -32 -6 0 -2 -1 -4解：A = 1 5 -I 10 0 6 -4 12<3 1 4 2丿<0 4 -5 8丿 ’ 0 1 ()、(-1 0 1 、 ‘0-2 0、 川= -1 0 10-2 0 = 2 0-2<0 -1 」 o i 丿<0 2 0 , -2A 所以 A 3+2A = O O'所以,A"1 12><1—2、 已知矩阵4=10 解:(A,E)=-1-1-1-1-212>‘1-1 3 0-2 -1 T 00 1 、0 0 0 所以，（1） A 的秩为3 （2）第1,2,3列（或第1,3,4列）为列向量组的一个最大无关组 -2、 -4 0。
线性代数考试复习提纲、知识点、例题PDF.pdf
（1） 扩充法
（2） 子式法
1
2
...
m
mn
(1,2
,...,m
) n m
最高阶非 0 子式的阶数就是矩阵的秩，也就是这个向量组
的秩，并且这个子式的行（列）对应的原向量组的向量就
是这个向量组的一个极大无关组。
（3）初等变换法 同法二构成矩阵，对矩阵进行初等变换。
例 9、设向量组
（1） 1,...,t 线性无关， （2） AX = 0 的每一个解都可以由1,...,t 线性表示。 则1,...,t 叫做 AX = 0 的基础解系。 定理 1、设 Amn ，齐次线性方程组 AX = 0 ，若 r(A) = r n ，则该方程组
的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个
2x − y + z = 0
例
7、已知线性方程组
−2x1x−1 +2
x2 x2
+ +
x3 x3
= =
−2
，问当
为何值时，它有唯一
x1 + x2 − 2x3 = 2
解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。
五、向量组的线性相关性
1,2,...,s 线性相关 1,2,...,s (s 2) 中至少存在一个向量能由其余 向量线性表示。
=s2,...,n 线性相关
1,2 , ...,n
= 0或 2
...
=0。
n
1
n 个 n 维向量1,2,...,n 线性无关
1,2 , ...,n
0或 2
...
0。
n
例 8、已知向量组1 = (t,2,1) ，2 = (2,t,0) ，3 = (1,−1,1) ，
线性代数知识点大全(强化记忆版)【推荐】
D (j=1、2⋯⋯n)线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和a ij n =∑(-1)τ(j1j2..j n)a a...a1j12j2j1j2jnnjn （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式D=D T）②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式M、代数余子式A=(-1)i+j Mij ij ij定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式D≠0时，有唯一解：x=j 齐次线性方程组：当系数行列式D=1≠0时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D等于零特殊行列式：Dja11①转置行列式：a21a31a12a22a32a13a23a33a11→a12a13a21a22a23a31a32a33②对称行列式:a=aij ji③反对称行列式:a=-aij ji奇数阶的反对称行列式值为零a11④三线性行列式:a21a31a12a22a130方法：用k a把a化为零，。
化为三角形行列式12221a33⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、m *n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵)ij m *n---------分配、结合律= (∑ a b )等价标准形矩阵 D = r O ⎫⎪⎪ ⎝ O O ⎭第二章 矩阵矩阵的概念： A矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律数乘 kA = (ka )乘法A *B = (a ) ik m *l*(b )kj l*nl 1ik kj m *n注意什么时候有意义一般 AB=BA ，不满足消去律；由 AB=0，不能得 A=0 或 B=0 转置 ( A T )T = A( A + B)T = A T + B T(kA)T = kA T ( AB)T = B T A T (反序定理)方幂： A k 1 A k 2 = A k 1 +k 2( A k 1 )k 2 = A k 1 +k 2几 种 特 殊 的 矩 阵 ： 对 角 矩 阵 ： 若 AB 都 是 N 阶 对 角 阵 ， k 是 数 ， 则 kA 、 A+B 、AB 都是 n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方都是 0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆 矩 阵 ： 设 A 是 N 阶 方 阵 ， 若 存 在 N 阶 矩 阵 B 的 AB=BA=I 则 称 A 是 可 逆 的 ，A -1 =B (非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)初 等 变 换 1 、 交 换 两 行 （ 列 ） 2. 、 非 零 k 乘 某 一 行 （ 列 ） 3 、 将 某 行 （ 列 ） 的 K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵 倍乘阵 倍加阵）⎛ I r矩阵的秩 r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若 A 可逆，则满秩若 A 是非奇异矩阵，则 r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1 定义 2 转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵 (ka ij )n = k (a ij )n ，行列式 ka ijn=k n a ij n逆矩阵注： ①AB=BA=I 则 A 与 B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则 A 与 B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若 A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
大学线性代数最全知识点
D2
a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
3 D
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
(2)
(1)a22:
a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,
(2)a12:
a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,
两式相减消去x2, 得 (a11a22 – a12a21) x1 = b1a22 – b2a12;
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
线性代数
第一章 行列式 第二章 矩阵及其运算 第三章 矩阵的初等变换及线性方程组 第四章 向量组的线性相关性 第五章 相似矩阵及二次型
第一章 行列式
§1.1 二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元(一次)线性方程组:
线性代数B总复习
第五章
相似矩阵
用施密特正交化法将线性无关 向量组化为正交向量组 求特征值与特征向量 求方阵多项式的特征值及 行列式
★向量的内积，正交性 ★方阵的特征值的定义 ★方阵的特征值的性质 ★方阵可相似对角化的条件
会求含参数的方阵的相似对角化问题 会将实对称阵正交相似对角化
6
注1：矩阵乘法一般不满足交换律，即 AB BA. 注2： 矩阵乘法一般不满足消去律, 即
AX AY X Y .
注3： AB O A O, or B O.性方程组
逆矩阵 求解 矩阵方程 矩阵的秩
★矩阵的初等变换
会判别初等矩阵 ★初等矩阵 会求初等矩阵的逆矩阵 讨论秩的问题
★矩阵秩的性质（8条） ★线性方程组解的判定条件
讨论含参数的线性方程组的解的存在问题
4
第四章
向量组的线性相关性
★用矩阵的初等变换 求解向量组的线性表示 判别向量组的线性相关性 求最大无关组及线性表示 求线性方程组的基础解系，通解 ★线性方程组的解的结构 讨论解的问题 （课本109页：27,30）
5
线性代数复习
(1)中心课题：求解多元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
空间为体，矩阵为用
(2)主要内容：行列式理论与矩阵论 (3) 研究对象：向量
研究工具：矩阵运算（矩阵的初等变换）
1
第一章
行列式
★行列式的性质(6条) 计算行列式 ★行列式按行(列)展开
2
第二章
矩阵及其运算
高数B2总复习2015级
⑵
a
b
|
a||
b|
cos
a uv
b
a v
x
bx
a yby
azbz
x a
06下学期A卷
08下学期B卷
ur x {4, 2, 4}
⑶
例. 求直线：x 2 y 3z 与平面：
6x 2 y 15z 9 0 的位置关系。
直线与平面的位置关系
(1)
L
x0
1
)
x2 x y
x
1
y1
y1
y1
x2
lim[(1
x0
1 x
)
x2 x y
]
1 x lim[( ) x0 x
x2 x y
]
lim[(1
x0
x) xy
x2
]
y1
y1
y1 ( x) x y
x2
1 x3
lim(1 x) x y lim[(1 x) x ] x y e0
x0
x0
y1
y1
x2
x2 ln x
ABC mn p
(2) L // Am Bn Cp 0
⑶
例. 求直线：x 2 y 3z 与平面： 6x 2 y 15z 9 0 的位置关系。
解： 直线的方向向量：
a {m, n, p} {1, 1/ 2, 1/ 3}
平面的法向量：
b {A, B,C} {6, 2, 15}
lim( x2 y )2 x2 y2 e0 1
x0 y0
（4）.
sin xy2
lim
x2
y2
2
y0
x2 ey
线性代数B复习资料
一一、选择题1.下列4个矩阵中是行最简形的矩阵有【 】101100101101(1)000(2)001(3)011(4)012010000000001--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（A ）(1)、(2)；（B ）（2）、（3）； （C ）（3）、（4）；（D ）（2）、（3）、（4）. 2.设A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =的导出方程组，则下列4个命题不正确的有【 】（1）若有唯一解，则仅有零解。
（2）若有非零解，则有无穷多解。
（3）若无解，则仅有零解。
（4）若有无穷多解，则有非零解； （A ）（1）、（3）； （B ）（1）、（4） ；（C ）（2）、（3） ；（D ）（2）、（4）. 3.设12121010,,,24000021B C P A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=，则变A 为C 的初等变换过程2121121210(2)(2)240000r r c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦可用矩阵乘法表示为【 】 （A ）PAP BP C == ; （B ）T T T P AP BP C == ; （C ）T T PAP BP C == ; （D ）T P AP BP C ==.4.设,,A B C 矩阵均为3阶可逆矩阵，则下列6个等式中成立的有【 】111(1)()();(2)()(3)()T T TAB C A BC AB A B AB B A ---===(4)(5)(6)(2)2T A AAB A BA A =-=⋅-=-（A ）(1)、(3)、(5) ；（B ）（2）、（3）、（6）；（C ）（4）（5）（6）；（D ）（2）、（4）、（6）.5.设[]1,0,2Tξ=是线性方程组0Ax =的解，则下列4个矩阵中，A 有可能是【 】[]011102201(1)2,1,1;(2);(3);(4)422.011010011⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（A ）（1）、（2） ； （B ）（1）、（3）； （C ）（2）、（3）； （D ）（2）、（4）.6.设123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax b =的3个不同解，则123,,ηηη的下列线性组合组合，【 】也是Ax b =的解。
《线性代数B》各章知识点整理
《线性代数B 》各章知识点整理第一章 行列式§1-1 二阶、三阶行列式的计算（对角线法） P2：例1n 阶行列式的定义（含排列的逆序数）§1-2、1-3 四阶行列式的计算 P11：例8理解余子式、代数余子式和行列式按行或列展开的概念（其中代数余子式在A *和1A -也用到）§1-4 理解P16有关的定理，特别是齐次方程组的定理5和定理6 习题P17: 3、4、7第二章 矩阵§2-1 认识常用矩阵：零矩阵、方阵、单位矩阵、对角阵矩阵的运算1. 矩阵的线性运算（和差、数乘）2. 矩阵的乘法：满足结合律和分配律，不满足交换律3. 矩阵的转置：()TT T AB B A =4. 方阵 ① 方阵的幂 k A②对称阵A ：T A A = P27③方阵的行列式 三条性质P28④方阵的伴随矩阵 A * P29§2-2 逆矩阵 1A -的概念、计算和相关的定理P31例12 （解法二，P46例21）有关n 阶方阵A 概念整理（含后续矩阵的秩和向量组的相关性）： ① 0A ≠⇔方阵A 是可逆矩阵⇔方阵A 是非奇异矩阵⇔方阵A 是满秩矩阵 ()R A n =⇔A 的列向量组 线性无关⇔~r A E① 0A =⇔方阵A 不可逆⇔方阵A 是奇异矩阵⇔方阵A 是降秩矩阵()R A n < ⇔A 的列向量组 线性相关 §2-4 熟练掌握把矩阵初等行变换成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵P42 ~r A 行阶梯形矩阵 ~r行最简形矩阵 P41例19§2-6 矩阵秩的定义及相关的结论 P49例24习题P50：2、10、11、14 、28、30第三章 向量组与线性方程组§3-3 熟练掌握线性方程组有关解的定理（包括非齐次和齐次）P56 定理1 定理3 P58 例2、3、4 P77 定理4、5、6§3-2 1.线性表示的相关定义和定理 (P63定义、 P64定理7 )2.向量组的线性相关、无关的定义P663.讨论向量组的线性相关与无关的定理 P67定理10、定理11 P69 例11）§3-3 向量组的秩P70-71定义、P71例13）P93 例11（书上解法过于繁琐，可简化）§3-4 理解齐次方程组的基础解系的概念、基于基础解系如何表示齐次方程组的通解（P74-75）、P77例15理解非齐次方程组的通解（P78-79）例17、例18习题P82： :7、9、13、14、18、20第四章 相似矩阵及其二次型§4-1 1. 内积的定义与性质P852. 正交的定义及施密特正交化方法P863. 正交阵的概念：P87-88A 是正交阵⇔T AA E =或T A A E =⇔1T A A -=⇔A 的列向量组都是单位向量且满足两两正交⇒21A =（ 即1A =或1- ） §4-2 方阵的特征值与特征向量的概念、性质与计算P88-89有关的概念和性质 P89 例2、例3、例4§4-3 相似矩阵的概念及其对角化的方法P92-93 定义和定理 例6§4-4 了解二次型、其标准形及其二次型的矩阵等概念习题P102： 2、3、7、11、23。
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一一、选择题1.下列4个矩阵中是行最简形的矩阵有【 】101100101101(1)000(2)001(3)011(4)012010000000001--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（A ）(1)、(2)；（B ）（2）、（3）； （C ）（3）、（4）；（D ）（2）、（3）、（4）. 2.设A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =的导出方程组，则下列4个命题不正确的有【 】（1）若有唯一解，则仅有零解。
（2）若有非零解，则有无穷多解。
（3）若无解，则仅有零解。
（4）若有无穷多解，则有非零解； （A ）（1）、（3）； （B ）（1）、（4） ；（C ）（2）、（3） ；（D ）（2）、（4）. 3.设12121010,,,24000021B C P A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=，则变A 为C 的初等变换过程2121121210(2)(2)240000r r c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦可用矩阵乘法表示为【 】 （A ）PAP BP C == ; （B ）T T T P AP BP C == ; （C ）T T PAP BP C == ; （D ）T P AP BP C ==.4.设,,A B C 矩阵均为3阶可逆矩阵，则下列6个等式中成立的有【 】111(1)()();(2)()(3)()T T TAB C A BC AB A B AB B A ---===(4)(5)(6)(2)2T A AAB A BA A =-=⋅-=-（A ）(1)、(3)、(5) ；（B ）（2）、（3）、（6）；（C ）（4）（5）（6）；（D ）（2）、（4）、（6）.5.设[]1,0,2Tξ=是线性方程组0Ax =的解，则下列4个矩阵中，A 有可能是【 】[]011102201(1)2,1,1;(2);(3);(4)422.011010011⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（A ）（1）、（2） ； （B ）（1）、（3）； （C ）（2）、（3）； （D ）（2）、（4）.6.设123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax b =的3个不同解，则123,,ηηη的下列线性组合组合，【 】也是Ax b =的解。
（A ）12322ηηη-+； （B ）123ηηη++； （C ）1232ηηη-+ ； （D ）123ηηη--. 7.下列向量组中，能构成2R 的标准正交基的是向量组【 】 （A ）[][]121,1,1,1:TTA αα=-= ; （B ）[]]121,0,1,1:TTA αα=-= ;（C）]]121,1,1,2:TTA αα=-=; （D）]]121,1,1,1:TTA αα=-=.8.已知3阶方阵A 的特征值为0、1、2，则下列结论不正确的是【 】 （A ）A 是不可逆矩阵； （B ）以0、1、2为特征值的3阶矩阵都与A 相似； （C ）A 与对角阵(0,1,2)diag Λ=相似 （D ）A 可正交对角化为(0,1,2)diag Λ=. 二、填空题9.甲、乙两个人掷硬币游戏，双方各出示一枚钱币，在不让对方看见的情况下，将钱币放在桌上.若两枚钱币都呈现正面或都呈现反面朝上，则甲得1分，乙得-1分；若两枚钱币一枚呈现正面朝上、另一枚呈现反面朝上，则甲-1分，乙得1分.甲的得分矩阵为： .10. 0A B EC D ME ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦; 11. 1200011000110001-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ ;12.矩阵1234511122,,,,1112211111A ααααα---⎡⎤⎢⎥=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥---⎣⎦=，则矩阵A 的秩为 ；列向量组12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为 ：13.设2维列向量α在2R 的基[][]112:1,1,1,1TTB αα==-下的坐标为(1，2)，则α在2R的基[][]212:1,2,1,1TTB ββ==-下坐标为 ；14.设[][]2,2,1,1,1,1T Tαβ=-=-，则α到β的向量投影γ为 ； 15.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则行列式2A A E ++的值为 ; 16.设二次型222(,,)3924f x y z x y z xy xz =++-+，则该二次型的矩阵为 ，且该二次型为 （正定/负定）的。
三、判断下列命题的真假，并说明理由。
17.若3R 中向量组123:,,A ααα线性相关，123:,,B βββ线性相关，则向量组112233:,,C αβαβαβ+++线性相关.18.设1121220,,x S x x x x R x⎧⎫⎡⎤⎪⎪=⋅=∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭，则S 构成2R 的子空间。
四、计算题： 19.给定矩阵423212,,228521B C A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=，解下列矩阵方程： (1) AX B X =+ ; (2) AXB C =.20.设3112213121111213D --=----,D 的(),i j 元的代数余子式记作ij A ，求11121314A A A A +--.21.设α为n 维非零列向量。
E 为n 阶单位矩阵，并设2T T A E αααα=-，（1）证明：A 为对称阵 ； （2）证明：A 为正交阵； （3）若取[]1,1,1Tα=，计算矩阵A .22.问,λμ取何值时，线性方程组1234123412341234231363510123153x x x x x x x x x x x x x x x x μλ+++=⎧⎪+++=⎪⎨--+=⎪⎪-++=⎩，（1）有唯一解？ （2）无解？ （3）有无穷多解？（注：不需要求出解） 23.设3阶实对称阵A 的特征值为1231,1λλλ=-==，且[]11,1,1Tp =为与特征值11λ=-对应的特征向量，[]4,1,1Tβ=,（1）求A 的与特征值 231λλ==对应的线性无关的特征向量23,p p ； （2）利用123,,p p p 线性表示β； （3）用123,,p p p 表示1A β-； （4）求()100A β*，其中A *为方阵A 的伴随矩阵.五、应用题：24.建造一个大的公寓楼将用模块构造技术：每一个楼层的房间安排将从3个基本的楼层计划中选择。
计划A 的一层楼中3个三室套房、7个两室套房和8个一室套房；计划B 的一层楼中有4个三室套房、5个两室套房和9个一室套房；计划C 的一层楼中有5个三室套房、3个两室套房和10个一室套房，建设单位要求设计出含有73个三室套房、88个两室套房和163个一室套房的公寓楼，请利用线性方程组的知识解决以下问题：（1）建立解决该问题的线性方程组；（2）建造单位的要求能够满足吗？如何安排楼层计划？二一．是非题（对的打 “√” 错的打 “⨯”）1．若两个n 阶矩阵,A X 的乘积AX O =，且()R A n <，则一定有X O =；（ ）2．若向量组12,,,(2)m m ααα≥ 线性相关的充要条件是12,,,m ααα 中每一个向量都能由其余向量线性表示； （ ）3．若A 是一个n 阶方阵且非齐次线性方程组 Ax b = 有无穷多解，则 0A ≠（ ）；4．二次型 2221231231213(,,)3924f x x x x x x x x x x =++-+ 是正定二次型（ ）； 5．若向量组 12:,,,m A ααα 线性无关，则向量组A 是正交向量组（ ）；6．设111220,,(,,,)|,,ni i n n ix x V x x x x x x R =⎧⎫=⎨⎬⎩⎭==∈∑ ，则 V 是向量空间 （ ）；7．设,A B 为n 阶方阵，则有 ()nn n AB A B = ( )；8．已知矩阵A 的秩 ()R A n =，则矩阵A 伴随矩阵A *的秩 ()R A n *= （ ） ； 9．设 n 阶方阵A 的行列式2A =，且A 的每行元素之和均为1，则A 的第1列元素的代数余子式之和112ni i A ==∑（ ）；10．设矩阵,n m m n A B ⨯⨯，若n m >时，则线性方程组()AB x O =只有零解（ ）． 二、选择题：11．若矩阵 12312323k k k ⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 的秩为2，则k 的取值为 （ ）；(A) -2 (B) 6 (C) 4 (D) 012．已知3阶方阵 A 有特征值 1，2，-3，则2A A *+= （ ）； （A ） 1 （B ）55 （C ）-55 （D ）-1 13．设A 为3阶矩阵，且12A =，则 1(2)3A A -*-= （ ）； (A) -2 (B) 2 (C) -8 (D) 814．已知123(1,0,0,0),(0,1,,0),(0,0,1,0)T T T βββ===是4元非齐次线性方程组Ax b =的三个不同的解，()2R A =．则Ax b =的通解为（ ）；（A ）1212(1,1,0,0)(0,1,1,0)(1,0,0,0),，其中：T T T x c c c R c R =-+-+∈∈； （B ）12(1,1,1,1)(1,1,1,0)(1,1,0,0),,12其中c c R T T T x c c R =++∈∈；（C ）1212(0,0,0,1)(0,0,1,0)(1,1,0,0),,;其中：T T T x c c c R c R =++∈∈； （D ）12(1,1,0,0)(0,0,1,0)(1,1,1,1).，其中 c R,c T T T x c c R =++∈∈15．已知12324369P t =⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，Q 为3阶非零矩阵，且0PQ =，则下列叙述正确的是 ( ) ．(A) 6t = 时，Q 的秩必为 1 ； (B) 6t = 时，Q 的秩必为 2 ； (C) 6t ≠ 时，Q 的秩必为 2 ； (D) 6t ≠ 时，Q 的秩必为 1．三、计算题：16．计算行列式 44333343333433334D =17．设200030004A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=，且矩阵B 满足关系式2A B A B E -=+，求矩阵B ．18．求下面向量组的秩及一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示：()()()()12342143,1166,1127,2449T T T Tαααα==--=-= 19．λ 为何值时，非齐次线性方程组21123123232222x x x x x x x x x λλ⎧⎪⎪-+⎨⎪+-⎪⎩+-+=-==（1）有惟一解； （2）无解； （3）有无穷多组解？20．求 一 个 正 交 变 换x Py =，把 二 次 型 1213123232(,,)22x x f x x x x x x x +=-+ 化 为 标 准 形 ．。