第7章 保真度准则下的信源编码(ok)

7.5 联合有失真信源信道编码定理
定理7.3 （信息－传输定理）离散无记忆信源的S的信息 率失真函数为R(D)，离散无记忆信道的信道容量C，若满 足 C R( D ) 则信源输出的信源序列能在此信道输出端重现，其失真 小于等于D。 定理7.4 离散无记忆信源S的信息率失真函数为R(D)， 每秒钟输出 1/ Ts 个信源符号，离散无记忆信道的信道容量C， 每秒输出 1/ TC 个信源符号，若满足
例2：删除信源
s r 1
0 i j d (ui , v j ) 1 i j (除j=s以外的所有i和所有j） 1/ 2 j s(所有i )
对于二元删除信源r=2,s=3
0 1/ 2 1 D 1 1/ 2 0
7.1 失真度和平均失真度
例3：对称信源r=s，定义失真度为：
7.1 失真度和平均失真度
1、失真度
信 源 信 源 编 码 信 道 编 码 调 制 信道 干扰 解 调 信 道 译 码 信 源 译 码 信 宿
根据信道编码定理，我们可以把信道编码、信道和信道译 码等价成是一个没有任何干扰的广义信道，这样收信者收到 消息后，所产生的失真只是由信源编码带来的。我们也可以 把信源编码和信源译码等价成一个信道, 称此信道为试验信 道。
C R( D ) TC TS
则信源输出的信源序列能在此信道输出端重现，其失真 小于等于D。
7.6
例：
有失真信源编码定理的实用意义
1 U 0 P(u) 1/ 2 1/ 2
要对此信源进行无失真编码，每个信源符号必须用一个二 元符号来表示，信源的信息输出率为R=H=1。若允许失真 存在，并定义失真函数为汉明失真，即
0 1 D 1 0
因而最小失真度 Dmin 0 。并能找到满足该最小失真的试 验信道，且是一个无噪无损信道，其信道矩阵为：
1 0 P 0 1
R(0) I (U ;V ) H ()
7.3 二元信源和离散对称信源的R(D)函数
Dmax min P(u)d (u, v )
例： 0.4
D 0.2
R( D) H (0.4) H (0.2) 0.249
7.3 二元信源和离散对称信源的R(D)函数
对于离散对称信源，在汉明失真条件下：
1 log r D log( r 1) H ( D ) 0 D 1 r R( D ) 1 0 D 1 r
7.2 信息率失真函数及其性质
1、信息率失真函数 当信源和失真函数给定后，我们总希望在满足保真度准则 下寻找平均互信息的最小值。也就是在 BD 中找一个信道，使 平均互信息取极小值。这个最小值就是在 D D 的条件下， 信源必须传输的最小平均信息量。
R( D) min{I (U ;V )}
d (C ) 1 N
P(U )d [u, f (u)]
U
信息率为1/3，而平均失真为1/4，根据香农第三定理， 若允许失真D=1/4时，总可以找到一种编码，使信息输出 率达到极限R(1/4)
到？与什么有关。
6、平均互信息量是否有最大值和最小值分别表示什么？ 7、说明信道容量与信息率失真函数的对偶性？
第7章 保真度准则下的信源编码
前面介绍的是无失真信源编码,适用于离散信源,只要 满足R<C,总能做到寻找一种编码方法做到无失真编码,但实 际信源有些是模拟信源,其熵为无穷大,,此时无论如何也找 不到一种编码方法做到无失真.在实际生活中，人们不一定 要求完全无失真的恢复消息，也就是允许有一定的失真。 那么在允许一定程度失真的条件下，能够把信源信息 压缩到什么程度，也就是，允许一定程度失真的条件下， 如何能快速的传输信息，这就是本章所要讨论的问题。本 章所讨论的内容是量化、数模转换、频带压缩和数据压缩 的理论基础。
7.2 信息率失真函数及其性质
2)、 R(D)函数的单调递减性和连续性 R(D)
0
Dmin
Dmax
D
7.3 二元信源和离散对称信源的R(D)函数
1、二元对称信源的R(D)函数 设二元信源U={0,1}，其分布概率 P(u) [,1 ] ， 1 2 而接收变量v={0,1}，设汉明失真矩阵为：
BD
改变试验信道求平均互信息的最小值，实质上是选择一种 编码方式使信息传输率为最小。
7.2 信息率失真函数及其性质
2、信息率失真函数的性质
1)、R(D)的定义域是 (0, Dmax ) (1)、Dmin 和 R( Dmin ) 允许失真度D的最小值为0，即不允许有失真，这要求失真 矩阵中每行至少有一个为0。 R(0)的最小值为H(U)，即信息传输率至少为信源的信息熵 例：
n
定理7.2（信源编码逆定理）不存在平均失真度D，而平 均信息传输率 R' R( D)的任何信源编码。即对任意码长n的信 源码C，若码字个数 M 2n[ R ( D )] ，一定有 d (C ) D 该定理告诉我们：如果编码后平均每个信源符号的信息 传输率 R' 小于信息率失真函数 R( D) ，就不能在保真度准 则下再现信源的消息。
Q(v ) V U Q(v ) V
可以这样选 Q ( v ) ，当 d ' (v ) 最小时，取
V V U
Q ( v )等于1，则：
Dmax min d ' (v) min P(u)d (u, v)
当D Dmax 时，R( D) 0, 而当 Dmin D Dmax时
H (U ) R( D) 0
第7章 保真度准则下的信源编码
7.1 失真度和平均失真度
7.2 信息率失真函数及其性质
7.3 二元信源和离散对称信源的R(D)函数
7.4 保真度准则下的信源编码定理 7.5 联合有失真信源信道编码定理 7.6 有失真信源编码定理的实用意义
思考
1、什么是信息传输率及信息传输速率？ 2、信道容量的概念及几种表述？（几个单位？） 3、平均互信息量的物理意义？ 4、平均互信息量与信息传输率的关系？画图说明。 5、平均互信息量是否有最大值和最小值，这两个值如何找
P( v / u ) Q ( v )
失真度函数变为：
D P(u)Q(v)d (u, v)
U ,V
7.2 信息率失真函数及其性质
所以， Dmax 就是在R(D)=0的情况下，求 D 的最小值
Dmax min P(u)Q(v)d (u, v)
Q(v ) U ,V
上式可改写为
Dmax min Q(v) P(u)d (u, v) min Q(v)d ' (v)
失真度定义: 设离散无记忆信源变量为 U {u1, u2 ,...ur }， 其概率分布为 P(u) [ P(u1 )...P(ur )] 接收端变量为 V {v1 , v2 ,...vs }， 对于每一对(u,v)，我们指定一个非负的函数
d (ui , v j ) 0
称为单个符号的失真度（或称失真函数）
d (ui , v j ) (v j ui )2
当r=s=3时， U 0 1 2 失真矩阵为：
0 1 4 D 1 0 1 4 1 0
V 0 1 2
7.1 失真度和平均失真度
4、平均失真度
D E[d (ui , v j )]
若已知试验信道的传递概率，则平均失真度为：
u5 111 u6 110 v2 111 1 u7 101 u8 011
7.6
有失真信源编码定理的实用意义
这种编码方法，可以看成是一种特殊的试验信道
1 v j C , v j f (ui ) P(v j / ui ) v j f (ui ) 0
D P(u, v)d (u, v) P(ui ) P(v j / ui )d (ui , v j )
U ,V i 1 j 1 r s
若平均失真度 D 不大于我们所允许的失真D，我们称此为 保真度准则。 凡满足保真度准则的这些试验信道称为D失真许可的试验信道。 把所有D失真许可的试验信道组成一个集合，用符号 BD 表示。
7.1 失真度和平均失真度
试验信道模型: 信源 试验信道 信宿
现在我们要研究在给定允许失真的条件下，是否可以设 计一种信源编码使信息传输率为最低。即I(X,Y)最小. 即:在保证一定失真度情况下,寻找信息传输率的最小值,(信 道中平均每个符号携带的最少的信息量),为此,首先讨论失 真的测度.
7.1 失真度和平均失真度
0 ui v j d (u, v ) 1 ui v j
可以设想这样一种信源编码：
7.6
有失真信源编码定理的实用意义
0 000
u1 000 u2 001 v1 000 0 u3 010 u4 100
无噪无损 信道传输
1 111
7.4 保真度准则下的信源编码定理
定理7.1 保真度准则下的信源编码定理 设R(D)为一离散无记忆信源的信息率失真函数，并且有有 限的失真测度。对于任意的 D 0, 0, 0 ，以及任意足够长 的码长n，则一定存在一种信源编码C，其码字个数为
M e
{n[ R ( D ) ]}
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而编码后的平均失真度 d (C ) D 如果用二元编码，则：
M 2{n[ R ( D ) ]}
该定理称为香农第三定理。
7.4 保真度准则下的信源编码定理
该定理称为香农第三定理。它告诉我们，对于任何失真度 D，只要码长足够长，总可以找到一种编码C，使编码后的 每个信源符号的信息传输率 R ' log M R( D )
7.1 失真度和平均失真度
2、物理意义：失真函数用来表征信源发出一个符号 ui ， 而在接收端再现成符号 v j 所引起的误差或失真。d越小表 示失真越小，等于0表示没有失真。 可以将所有的失真函数排列成矩阵的形式：