椭圆与双曲线离心率专题
椭圆、双曲线的离心率问题值得关注
椭圆、双曲线的离心率问题值得关注江西临川二中 何泉清解几是高考重点考查的内容，故椭圆、双曲线的离心率问题依然是高考数学的热点和重点．一、求离心率的值 求解椭圆、双曲线离心率的值的方法：一是直接利用其定义；二是利用直线与其位置关系，转化到一个关于离心率e 的方程来求解．例1 已知P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线2222by a x -=1上的一点，1PF ·2PF =0，且tan ∠P F 1F 2=21，则此双曲线的离心率e = ． 解：如图1，∵1PF ·2PF =0，∴△P F 1F 2为直角三角形．∵tan ∠P F 1F 2=21，∴12PF PF =21，即| P F 1|=2| P F 2|． 又| PF 1|-| PF 2|=2a ，| PF 1|2+| PF 2|2=（2c ）2， 图１∴| PF 2|=2a ,5| PF 2|2=4c 2,20a 2=4c 2， ∴22ca =5，则e =c a =5．例2 已知椭圆的短轴长为 6,F 1、F 2分别为它的左、右焦点，CD 是过F 1的弦，且与x 轴成α角（0＜α＜)π，若△F 2CD 的周长为20，则椭圆的离心率e =．解：如图2，∵| CF 1|+| CF 2|=2a ，|DF 1|+|DF 2|=2a ，∴两式相加，得：| CF 1|+| CF 2|+|DF 1|+|DF 2|=20=4a ．∴a =5，又b =3，∴c =4, 则e =a c =54． 图２ 点评：例1、例2是直接利用双曲线、椭圆的一义来求离心率的．例3 设双曲线2222by a x -=1（0＜a ＜b ＝的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（b ，0）两点．已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．2或332 解：由l ： by a x -=1，得bx +a -yab =0 原点到直线l 的距离为22b a ab+-=43c ，又a 2+b 2=c 2， ∴ab =43c 2，∴a 2b 2= 163c 4，即a 2c 2-a 4=163c 4，两边同除以a 4，则e 2-1=163e 4，解得e =2或e =332． 又b ＞a ＞0，∴ab ＞1，即e 2-1＞1，e 2＞2． ∴e =2．故选A ．例4 已知椭圆C 的方程为2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），若直线y =22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F 2，则椭圆的离心率e 的（ ）A ．21B ．22C ．23D ．2-1解：设半焦距为c ，则F 2（c ,0）．∵M 在轴上的射影恰好是右焦点F 2，∴M （c , 22c ）． ∴22a c +22)22(bc =1，又a 2-c 2=b 2， ∴22ac +)(2222c a c -=1， 整理得，2c 4-52a c 2+2a 4=0，即2e 4-5e 2+2=0．∴e 4=21，故选B ． 点评：例3、例4求离心率的方法是有相同的特点：先根据条件得到一个关于a 、c 的齐次等式，然后等式两边同除以a 的方幂，得到一个关于离心率的方程，解出e 并注意条件即得到所求．二、求离心率的取值范围其方法可以利用椭圆、双曲线的变化范围，直线与椭圆、双曲线的三种位置关系建立的一元二次方程存在实根的条件，图形的直观性，实数的非负性或已知变量的取值范围（隐含条件的不等关系）等来确立含离心率e 的不等式，从而获解．例5 已知椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 、B ，如果椭圆上存在点P ，使得∠APB =1200，求椭圆的离心率e 的取值范围．解法一：设P （x 0，y 0），由椭圆的对称性，不妨令0≤x 0＜a , 0＜y 0≤b ．∵A （-a ，0），B （a ，0）， ∴PA k =a x y +00，PB k =ax y -00． ∵∠APB =1200，∴tan ∠APB =-3，又tan ∠APB =1PB PA PB PA k k k k -+=2202002a y x ay -+， ∴2202002a y x ay -+=-3，……① 而点P 在椭圆上，∴b 2x 02+a 2y 02=a 2b 2……②由①、②得 y 0=)(32222b a ab -．∵0＜y 0≤b ，∴0＜)(32222b a ab -≤b ．∵a ＞b ＞0，∴2ab ≤3（a 2-b 2），即4 a 2b 2≤3 c 4，整理得，3e 4+4e 2-4≥0．考虑0＜e ＜1，可解得36≤e ＜1． 解法二：以AB 为弦，含0120的角且在x 轴上方的弓形弧与上半椭圆的交点除A 、B外至多有两个，至少有一个，所以上顶点D （0，b ）在弓形内，即∠ADB ≥0120， ∴∠ODB ≥600（点O 为坐标原点），∴ba ≥3，即a 2≥3b 2=3(a 2-c 2)， 则e 2≥32． ∴33≤e ≤1． 点评：椭圆、双曲线上点的横、纵坐标的取值范围往往可以确立含离心率e 的不等式．解法二是考虑到几何性质运用数形结合的思想方法建立了含e 的不等式，简化了求解过程．下面再看例6对这一方法漂亮的应用．例6 已知椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）上有点P ，使∠F 1PF 2为直角，求椭圆离心率的取值范围．解：依题意知，以F 1F 2为直径的圆Ｃ与椭圆必有公共点P ，则椭圆短轴上端点B 必在圆Ｃ的内部或圆上，即|OB |≤r =c （r 为圆Ｃ的半径），∴b ≤c ，∴a 2- c 2≤c 2, 即2 c 2≥a 2，则22≤e ＜1． 点评：本题还有其他多种解法，请同学们试试．例7 过双曲线2222by a x -=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 且倾斜角为045的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点．求双曲线离心率的取值范围．解：设F （c ,0），则直线AB 的方程为y =x -c ，且c 2= a 2+ b 2 由⎪⎩⎪⎨⎧-==-c x y b y a x 12222，消去y ，得2222)(b c x a x --=1， 即（a 2- b 2）x 2-2 a 2cx + a 2 (b 2 -c 2)=0．∵直线AB 与双曲线有两个交点，∴a 2- b 2≠0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2222b a c a -，x 1x 2=22222)(ba cb a -+． 又∵A 、B 分别在双曲线的右支上， ∴⎪⎩⎪⎨⎧〉-+=≠-0)(022*******b a c b a x x b a ，即a 2＞ b 2，a 2＞c 2- a 2， ∴e 2＜2，则1＜e ＜2．点评：本题是以直线与双曲线的位置关系来确立含e 的不等式，亦可由图形上根据角度的大小关系确立含e 的不等式来求解．例8 已知梯形ABCD 中，|AB |=2|CD |，点E 满足=λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当32≤λ≤43时，求双曲线e 的取值范围． 解：以AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图3，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．设A （-c ,0）， C （2c ,h ）， E （x 0,y 0）,其中c =21|AB |，h 是梯形的高． ∵=λ， 图３∴（x 0+c ，y 0）=λ（2c -x 0，h -y 0）， ∴x 0=)1(2)2(+-λλc ，y 0=λλ+1h ． 设双曲线方程为2222by a x -=1， ∵C 、E 在双曲线上，并考虑e =a c ， ∴222222221,(1)42()() 1.(2)411e h b eh b λλλλ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪++⎩ 由(1)得22bh =42e -1，代入(2)，得42e （4-4λ）=1+2λ， ∴λ=1-132+e ，由32≤λ≤43，得32≤1-132+e ≤43， 解得7≤e ≤10． 故双曲线离心率的取值范围为[7，10]．点评：本题依据已知变量的范围来确立含e不等式从而获解．―――原载《广东教育》2005年第18期。
求椭圆及双曲线的离心率的习题
求椭圆的离心率1、已知F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率． e ＝53.2、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．解析：答案：333、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF＝2FD ，则C 的离心率为________．如图，设椭圆的标准方程为22x a ＋22y b＝1(a ＞b ＞0)不妨设B为上顶点，F 为右焦点，设D (x ，y )．由BF ＝2FD ，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，即2()2c x c b y =-⎧⎨-=⎩，解得322c x by ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，D (32c ，－2b )．由D 在椭圆上得：22223()()22b c a b -+＝1， ∴22c a＝13，∴e ＝ca.4、设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o,2AF FB =.椭圆C 的离心率 ；解：设1122(,),(,)Ax y B x y ，由题意知1y ＜0，2y＞0.直线l 的方程为)y x c =-，其中c =联立2222),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)30a b y cy b ++-=解得12y y ==因为2AFFB =，所以122y y -=. 即2= 得离心率 23c e a ==.5．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于________．6、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，M为线段AB 的中点，若∠MOA ＝30°，则该椭圆的离心率为________． 答案：637．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为( )A.15B.25C.45D.215，故选B. 8、设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．e ＝33.9．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点分别为F 、2F ，以1F 、2F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e 为 （ B ）A B 1 C ．4(2- D 10、已知F 是椭圆的左焦点，A ，B 分别是其在x 轴正半轴和y 轴正半轴上的顶点，P 是椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，那么该椭圆的离心率为( )A.22B.24C.12D.3211、如图所示，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．易知直线B 2A 2的方程为bx ＋ay －ab ＝0，直线B 1F 2的方程为bx －cy －bc ＝0.联立可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ac a ＋c ，b （a －c ）a ＋c .又A 2(a ，0)，B 1(0，－b )，所以PB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2ac a ＋c ，－2ab a ＋c ，P A 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a （a －c ）a ＋c ，－b （a －c ）a ＋c . 因为∠B 1P A 2为钝角，所以P A 2→·PB 1→<0， 即－2a 2c （a －c ）（a ＋c ）2＋2ab 2（a －c ）（a ＋c ）2<0.化简得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1>0即e 2＋e －1>0，. 而0<e <1，所以5－12<e <1求双曲线的离心率1、已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．由三角形相似或平行线分线段成比例定理得26＝a c ，∴ca ＝3，即e ＝32、已知F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该双曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A.3＋1B.2＋1 C ．2 3 D ．22 选B 3、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±12x ，则该双曲线的离心率e 等于( )A ．5 B.5 C.52 D.54选C 2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A B C D 【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭，因此222,4,ABBC a b e =∴=∴= C4、设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( )A. 3 B ．2 C. 5 D ．2 3 如图，设P 为右支上一点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，最小角∠PF 1F 2＝30°， 由余弦定理得：(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×4a ×2c ·cos 30°， 解得e ＝ca＝ 3.5、过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________． 解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，。
椭圆和双曲线离心率
椭圆和双曲线离心率
椭圆和双曲线是数学中常见的曲线形状，它们在几何学和物理
学中有着广泛的应用。
其中，离心率是描述这两种曲线形状的重要
参数之一。
首先，让我们来看看椭圆。
椭圆是一个闭合曲线，其形状类似
于圆形，但在一个方向上被拉长。
离心率是描述椭圆形状的一个重
要参数，它表示椭圆的偏离程度。
当离心率为0时，椭圆退化成为
一个圆；而当离心率接近于1时，椭圆的偏离程度越大。
离心率的
大小决定了椭圆的形状，对于行星轨道、椭圆运动等现象有着重要
的物理意义。
接下来，我们来谈谈双曲线。
双曲线是另一种常见的曲线形状，其形状类似于两个分离的开口。
与椭圆类似，双曲线也有离心率这
一重要参数。
离心率描述了双曲线的形状，当离心率为1时，双曲
线的两支曲线将无限延伸；而当离心率小于1时，双曲线的形状更
加紧凑。
椭圆和双曲线的离心率不仅在数学中有着重要的意义，而且在
物理学和工程学中也有着广泛的应用。
例如，在天体运动研究中，
椭圆轨道描述了行星和卫星的运动规律；在通信工程中，双曲线的
形状被用来描述信号的传播特性。
因此，离心率作为描述椭圆和双
曲线形状的重要参数，对于理解和应用这些曲线形状具有重要意义。
总之，椭圆和双曲线离心率是描述这两种曲线形状的重要参数，它们在数学、物理和工程学中都有着广泛的应用。
通过对离心率的
理解，我们可以更深入地理解和应用椭圆和双曲线这两种曲线形状，为我们的学习和工作带来更多的启发和帮助。
《椭圆的离心率公式》专题
《椭圆的离心率公式》专题椭圆的离心率公式专题简介本文档将重点介绍椭圆的离心率公式以及其应用。
椭圆是一种特殊的曲线，其形状在数学和物理学中具有重要的意义。
离心率是描述椭圆形状的一个关键参数，它决定了椭圆的偏心程度。
椭圆的定义椭圆是一个平面上的闭合曲线，其所有点到两个焦点的距离之和保持不变。
椭圆由两个主要的特性定义：焦点和长轴。
焦点是确定椭圆形状的关键点，长轴是连接两个焦点的直线段，通过椭圆的中心。
离心率的定义椭圆的离心率（eccentricity）是一个无单位的常数，通常用字母e表示。
离心率的值介于0和1之间，其中0表示圆形，1表示完全扁平的曲线。
离心率决定了椭圆的形状，离心率越大，椭圆越扁平。
离心率的计算公式椭圆的离心率可以使用以下公式计算：e = √(1 - (b^2 / a^2))其中，e表示离心率，a表示椭圆的长轴长度，b表示椭圆的短轴长度。
离心率的应用离心率是椭圆的一个重要参数，它在许多领域有广泛的应用。
以下是一些离心率的应用场景：- 天体轨道：离心率可以描述行星或其他天体的轨道形状，可用于确定行星与太阳的距离关系。
- 椭圆轨道：离心率可以描述卫星的轨道形状，对于卫星通信和导航系统设计非常重要。
- 工程设计：离心率可以用于设计椭圆形的建筑物或其他结构，以满足特定的视觉和功能要求。
- 数学研究：离心率是椭圆研究中的重要参数，涉及到许多数学定理和公式的推导。
总结椭圆的离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它决定了椭圆的偏心程度。
离心率可以使用特定公式计算，并在许多领域中有广泛的应用。
理解离心率的概念和计算方法，可以帮助我们更好地理解和应用椭圆相关的知识。
圆锥曲线系统班11、 椭圆、双曲线焦点三角形下的离心率公式
第11讲椭圆、双曲线焦点三角形下的离心率公式知识与方法1．如图1所示，在焦点三角形背景下求椭圆的离心率，一般结合椭圆的定义，关键是运用已知条件研究出12PF F 的三边长之比或内角正弦值之比.公式：1212121221sin 22sin sin F F F PF c ce a a PF PF PF F PF F ∠====+∠+∠2.如图2所示，在焦点三角形背景下求双曲线的离心率，一般结合双曲线的定义，关键是运用已知条件研究出12PF F 的三边长之比或内角正弦值之比.公式：1212122112sin 22sin sin F F F PF c ce a a PF F PF F PF PF ∠====∠-∠-.典型例题【例1】（2018·新课标Ⅱ卷）已知1F 、2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是椭圆C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（）A.1B.21【解析】解法1：如图，12PF PF ⊥，2160PF F ∠=︒，故可设122F F =，则1PF =，21PF =，所以C的离心率12121F F e PF PF ==+.解法2：如图，2112126030PF F PF F PF PF ∠=︒⎧⇒∠=︒⎨⊥⎩121221sin sin 901sin sin sin 30sin 60F PF e PF F PF F ∠︒⇒===∠+∠︒+︒.【答案】D 变式1设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 在C 上且1PF x ⊥轴，若1230F PF ∠=︒，则椭圆C 的离心率为_______.【解析】如图，1230F PF ∠=︒且1PF x ⊥，故可设22PF =，则13PF =，121F F =，所以椭圆C 的离心率121212323F F e PF PF ===-++.解法2：如图，12211123060F PF PF F PF F F ∠=︒⎧⇒∠=︒⎨⊥⎩121221sin sin 3023sin sin sin 90sin 60F PF e PF F PF F ∠︒⇒===-∠+∠︒+︒【答案】23变式2在ABC 中，AB AC ⊥，1tan 3ABC ∠=，则以B 、C 为焦点，且经过点A 的椭圆的离心率为_______.【解析】如图，不妨设3AB =，1AC =，则10BC =104BC e AB AC ==+.解法2：如图，110310tan sin sin 31010ABC ABC ACB ∠=⇒∠=∠=sin 10sin sin 4BAC e ABC ACB ∠⇒==∠+∠.【答案】变式3过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，椭圆的右焦点为2F ，若2ABF 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_______.【解析】解法1：如图，2ABF 是等腰直角三角形12AF F ⇒ 也是等腰直角三角形，不妨设1121AF F F ==，则2AF =所以椭圆的离心率12121F F e AF AF ==+.解法2：如图，由题意，121245F AF F F A ∠=∠=︒，所以椭圆的离心率121221sin 1sin sin F AF e AF F AF F ∠==∠+∠.【答案】1-变式4过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，椭圆的右焦点为2F ，若21cos 8AF B ∠=，则椭圆的离心率为_______.【解析】解法1：如图，122212121211cos cos 212sin sin 88AF AF B AF F AF F AF F AF ∠=∠=⇒-∠=⇒∠∠==不妨设1AF =24AF =，则123F F =，所以1212F F e AF AF ==+.解法2：如图，2211cos cos 28AF B AF F ∠=∠=221211712sin sin 84AF F AF F ⇒-∠=⇒∠=12213sin cos 4F AF AF F ⇒∠=∠=1212213sin 474sin sin 3F AF e AF F AF F ∠∠==∠+∠.变式5在ABC 中，2AB =，1BC =，且6090ABC ︒≤∠≤︒，若以B 、C 为焦点的椭圆经过点A ，则该椭圆的离心率的取值范围为_______.【解析】解析：如图，设()6090ABC θθ∠=︒≤≤︒则2222cos 54cos AC AB BC AB BC ABC θ=+-⋅⋅∠=-，160900cos 2AC θθ︒≤≤︒⇒≤≤⇒≤而12BC e AB AC AC==++22e ≤≤-.【答案】2,2-【反思】从上面几道题可以看出，焦点三角形下求椭圆的离心率，要么研究焦点三角形的三边长之比，要么研究焦点三角形的内角正弦值之比.【例2】已知1F 、2F 是双曲线2222:1x y C a b -=的左、右焦点，点P 在C 上，12PF PF ⊥，且1230PF F ∠=︒，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】解法1：如图，由题意，不妨设21PF =，则1PF =，122F F =，所以12121F FePF PF==-.解法2：如图，由题意，2160PF F∠=︒，1290F PF∠=︒，所以121221sin1sin sinF PFePF F PF F∠==∠-∠.【答案】1+变式1（2016·新课标Ⅱ卷）已知1F、2F是双曲线2222:1x yEa b-=的左、右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，211sin3MF F∠=，则E的离心率为（）B.32D.2【解析】解法1：如图，不妨设11MF=，23MF=，则12F F=，所以1212222F FePF PF===-.解法2：21121sin sin33MF F F MF∠=⇒∠=12122122sin31sin sin13F MFeMF F MF F∠⇒===∠-∠-.【答案】A变式2已知1F、2F是双曲线2222:1x yCa b-=的左、右焦点，过1F且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点，若2ABF是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为_______.【解析】解法1：2ABF 是等腰直角三角形12AF F ⇒ 也是等腰直角三角形，不妨设1121AF F F ==，则2AF =双曲线C的离心率12211F F e AF AF ==-.解法2：2ABF 是等腰直角三角形12AF F ⇒ 也是等腰直角三角形，所以121221sin sin 451sin sin sin 90sin 45F AF e AF F AF F ∠︒===∠-∠︒-︒.【答案】1+变式3在ABC 中，AB AC ⊥，1tan 3ABC ∠=，则以B 、C 为焦点，且经过点A 的双曲线的离心率为_______.【解析】如图，不妨设1AC =，则3AB =，BC =所以双曲线的离心率1010312BC e AB AC ===--.【答案】变式4已知1F 、2F 是双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 在C 上，1230PF F ∠=︒，212PF F F =，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】如图，由题意，121230PF F F PF ∠=∠=︒，12120F PF ∠=︒，所以121221sin sin sin F PF e PF F PF F ∠==∠-∠.【答案】12+强化训练1.（★★★）在PAB 中，PA AB ⊥，12tan PBA ∠=，则以A 、B 为焦点，且经过点P 的椭圆的离心率为_______.【解析】如图，由题意，不妨设1PA =，则2AB =，PB =512AB e PA PB-===+.2.（★★★）设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在C 上，且1245PF F ∠=︒，214cos 5PF F ∠=，则椭圆C 的离心率为_______.【解析】如图，212143cos sin 55PF F PF F ∠=⇒∠=，12122121180135F PF PF F PF F PF F ∠=︒-∠-∠=︒-∠，所以()1221212172sin sin 135sin135cos cos135sin 10F PF PF F PF F PF F ∠=︒-∠=︒∠-︒∠=，故121221sin 5sin sin F PF e PF F PF F ∠==-∠+∠【答案】5-3.（★★★）已知1F 、2F 是双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 在C 上，1PF x ⊥轴，且211tan 2PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】如图，不妨设11PF =，122F F =，则2PF =双曲线C的离心率122112F F e PF PF +==-.4.（★★★）在ABC 中，30ABC ∠=︒，AB =，1BC =，若以B 、C 为焦点的椭圆经过点A ，则该椭圆的离心率为_______.【解析】2222cos 1AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=1AC ⇒=⇒椭圆的离心率12BC e AB AC ==+.【答案】312-5.（★★★）过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A 、B 两点，若ABO 是等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率为_______.【解析】如图，设椭圆C 的右焦点为1F ，ABO 是等腰直角三角形AFO ⇒ 也是等腰直角三角形，不妨设1AF OF ==，则12FF =，1AF =，所以椭圆C的离心率121F F e AF AF ==+.解法2：ABO 是等腰直角三角形AFO ⇒ 也是等腰直角三角形，⇒22b AF OF c b ac a=⇒=⇒=2222210102a c ac c ac a e e e ⇒-=⇒+-=⇒+-=⇒=.6.（★★★）已知1F 、2F 是双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，过1F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若2ABF 是正三角形，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】解法1：如图，2ABF 是正三角形，不妨设11AF =，则22AF =，12F F =离心率1221F F e AF AF ==-.解法2：如图，2ABF 是正三角形1260F AF ⇒∠=︒，2130AF F ∠=︒，1290AF F ∠=︒，所以双曲线C的离心率121221sin sin sin F AF e AF F AF F ∠==∠-∠.7.（★★★）过双曲线2222:1x y C a b-=的左焦点1F 作x 轴的垂线交C 于A 、B 两点，C 的右焦点为2F ，若21cos 8AF B ∠=，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】如图，2221211cos cos 22cos 18AF B AF F AF F ∠=∠=∠-=1221233cos 44F F AF F AF ⇒∠=⇒=，不妨设123F F =，24AF =，则1AF ==所以离心率1221F F e AF AF ==-.8.（★★★）过双曲线2222:1x y C a b-=的左焦点F 作x 轴的垂线交C 于A 、B 两点，若ABO是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】如图，设双曲线C 的右焦点为1F ，ABO 是等腰直角三角形AFO ⇒ 也是等腰直角三角形，不妨设1AF FO ==，则12FF =，1AF =，所以C的离心率1112FF e AF AF+==-.【答案】5129.（★★★）设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过1F且斜率为的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，212AF F F ⊥，则椭圆C 的离心率为_______.【解析】解法l ：如图，直线AB的斜率为1260AF F ⇒∠=︒，又212AF F F ⊥，所以2190AF F ∠=︒，1230F AF ∠=︒，不妨设121F F =，则12AF =，2AF =，所以椭圆C的离心率12122F F e AF AF ==-+解法2：如图，直线AB1260AF F ⇒∠=︒，又212AF F F ⊥，所以2190AF F ∠=︒，1230F AF ∠=︒，故椭圆C的离心率121221sin 2sin sin F AF e AF F AF F ∠==-∠+∠【答案】210.（★★★）设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆的4个交点和1F 、2F 恰好构成一个正六边形，则椭圆E 的离心率为_______.【解析】如图，由题意，21ABF CDF 是正六边形，所以1260AF F ∠=︒，2130AF F ∠=︒，1290F AF ∠=︒，故椭圆E的离心率121221sin 1sin sin F AF e AF F AF F ∠==∠+∠.【答案】1-11.（★★★★）已知P 、Q 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上关于原点对称的两点，点P 在第一象限，1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，2OP OF =，若1133QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为_______.【解析】如图，2121212OP OF OP F F PF PF =⇒=⇒⊥显然四边形12PF QF 是矩形，所以12QF PF =，由题意，1133QF PF ≥，所以2133PF PF ≥，设12PF F α∠=，则21tan PF PF α=≥30α≥︒，又点P 在第一象限，所以21PF PF <，故tan 1α<，即45α<︒，所以3045α︒≤<︒，椭圆C 的离心率()121221sin 11sin sin sin sin 90sin cos F PF e PF F PF F αααα∠====∠+∠+︒-+，由3045α︒≤<︒可得754590α︒≤+︒<︒，所以()62sin 4514α≤+︒<，故212e <≤-.【答案】212⎤-⎥⎝⎦。
椭圆双曲线共焦点离心率结论
椭圆双曲线共焦点离心率结论
椭圆双曲线：
1. 定义：椭圆双曲线是一种数论对象，它可以用$y^2=x^3+ax+b$的形
式表示，又称做Weierstrass椭圆双曲线，其中a、b是常数。
2. 特点：和椭圆类似，椭圆双曲线也具有两个焦点和长短轴，但与传
统的椭圆不同，它由一系列点组成，而不是单一点。
3. 离心率：椭圆双曲线的离心率常用$e=\frac{2c^2}{a^2+b^2}$来表示，其中a、b、c是椭圆双曲线的长短轴、重心距等参数，它的取值范围在
1到无穷大之间，如果离心率e=1，则该椭圆双曲线称为椭圆形椭圆双
曲线，1<e<无穷大时，椭圆双曲线称为双曲线椭圆双曲线。
4. 共焦点：椭圆双曲线有两个焦点，对称轴有两个共焦点，即它们之
间的距离相等，可以用公式$2c^2=a^2+b^2$来表示。
5. 结论：椭圆双曲线的参数a、b、c以及离心率e与共焦点之间存在特定关系，即$2c^2=a^2+b^2$,$e=\frac{2c^2}{a^2+b^2}$，离心率的值可
以用来判断这类椭圆双曲线是否为椭圆形双曲线或双曲线椭圆双曲线。
离心率问题的7种题型15种方法(教师版)
目录题型一:椭圆离心率的求值 2方法一：定义法求离心率 2方法二：运用通径求离心率 3方法三：运用e=e=1+k2λ-1λ+1求离心率 4方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα+sinβ求离心率 4方法五：运用k OM⋅k AB=-b2a2求离心率 5方法六：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 6方法七：运用相似比求离心率 6方法八：求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 7方法九：运用几何关系求离心率 7题型二:双曲线离心率的求解 9方法一：定义法关系求离心率 10方法二：运用渐近线求离心率 10方法三：运用e=1+k2λ-1λ+1求离心率 11方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα-sinβ求离心率 11方法五：运用结论k OM•k AB=b2a2求离心率 12方法六：运用几何关系求离心率 13题型三:椭圆、双曲线离心率综合运用 15题型四:根据已知不等式求离心率的取值范围 17题型五:根据顶角建立不等式求离心率范围 18题型六:根据焦半径范围求离心率范围 19题型七:题型七根据渐近线求离心率的取值范围 21离心率问题的7种题型15种方法1离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式椭圆公式1:e =ca 公式2:e =1-b 2a2证明：e =c a=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1-b 2a 2公式3:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =sin (α+β)sin α+sin β证明：∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,由正弦定理得：F 1F 2 sin (180o −α−β)=PF 2 sin α=PF 1sin β由等比定理得：F 1F 2 sin (α+β)=PF 1 +PF 2 sin α+sin β，即2c sin (α+β)=2a sin α+sin β∴e =c a =sin (α+β)sin α+sin β。
求椭圆、双曲线离心率
2
2 2 c c ,
2
e 2e 1 0
2
e 2 -1
5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ,叫做 （1）定义： a 双曲线的 离心率。
（2）e的范围：
c>a>0
2 2
e >1
2
（3）e的含义：
e
c 2 a
2
a b b 1 2 2 a a
椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比： c 叫做椭圆的离心率。 e [1]离心率的取值范围： 因为 a > c > 0，所以0<e<1 [2]离心率对椭圆形状的影响：
c e a a 2 b2 a b 2 1 ( ) , a
4、椭圆的离心率
a
y
O
x
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就 越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就 越圆 3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合， 椭圆方程变为（？）
x 2 y2 B. 1 9 8 y2 x 2 D. 1 9 8
【解析】选C.由于c=1,所以离心率最大即为长轴最小. 点F1(-1,0)关于直线x-y+3=0的对称点为F′(-3,2),设点P为直 线与椭圆的公共点,则2a=|PF1|+|PF2|=|PF′|+|PF2|≥|F′F2|
双曲线的一个焦点到一条渐近 线的距离等于其虚半轴长
x y 1、过双曲线 2 2 1的一个焦点F作它的渐近线 a b 的垂线，垂足为 A，延长FA交y轴于点B, 若A为 FB的中点，则双曲线的离 心率是
2
2014届椭圆与双曲线的离心率专题——经典
16．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ,点P在双曲线的右支上，且 ,则此双曲线的离心率e的最大值为
17．双曲线 （a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲
12．设 和 为双曲线 ( )的两个焦点,若 ， 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为
13．设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ,如果直线 别是双曲线 的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使 ，且
|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为
线离心率的取值范围为
18．如图， 和 分别是双曲线 的两个焦点，
和 是以 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个
交点，且△ 是等边三角形，则双曲线的离心率为
19．已知双曲线 (a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
8．已知F1、F2是双曲线 的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是
9．设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是
10．已知双曲线的渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为
11．过双曲线 (a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．
2014届高考复习——离心率
在椭圆中，0〈 〈1，
在双曲线中， >1，
1.已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为 。
离心率专题
椭圆离心率专题1.求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．2.求离心率范围的常用思路(1)通过几何方法如点的坐标、三角形中的不等关系等转化为离心率的取值范围．(2)通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的范围．题型一:分类讨论 1．若椭圆2215x y m+=的离心率为e =，则m 的值为 题型二：利用正余弦定理1．已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>， 1F ， 2F 是椭圆C 的两个焦点，点P 在椭圆C 上，且1230PF F ∠=︒， 2190PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率是2.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，焦距为2c ，若直线()3y x c =+与椭圆交于点，且满足12212MF F MF F ∠=∠ ，则椭圆的离心率是（ ）B ．1C ．．3.椭圆C 的焦点为F 1(-1,0），F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A,B 两点，若AF 2=2F 2B,AB=BF 1，椭圆的离心率为题型三：焦点弦的定比分弦问题1．倾斜角为4π的直线经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ）A ． 32B ． 23C ． 22D ． 33 2．设12F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过点()1,F c o -的直线交椭圆E 于,A B 两点，若113AF F B =，且2AB AF ⊥，则椭圆E 的离心率是（ ）A ． 12B ． 52C ． 32D ． 22 3．已知焦点在x 轴的椭圆222:13x y C b+= (0)b >的左、右焦点分别为，直线AB 过右焦点2F ，和椭圆交于,A B 两点，且满足223AF F B =， 0160F AB ∠=，则椭圆的离心率为题型四：利用中位线和相似1．如图，设椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的右顶点为A ，右焦点为F ， B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ）A ． 12B ． 13C ． 23D ． 142．已知椭圆的左焦点为1F ，右焦点为2F .若椭圆上存在一点P ，且以椭圆的短轴为直径的圆与线段2PF 相切于线段2PF 的中点，则该椭圆的离心率为（ ）A ． 13B ． 23C ． 36D ． 53 题型五：椭圆的中点弦问题1．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:x y C a b+=1(0)a b >>与不过坐标原点O 的直线:l y = kx m +相交于A B 、两点,线段AB 的中点为M ,若AB OM 、的斜率之积为34-,则椭圆C 的离心率为____ ___.12,F F C2．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>，且AB ， AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆Ω离心率的取值范围是（ ）A ． 12⎛ ⎝⎭B ． 2⎝⎭C ． 14⎛ ⎝⎭D ． 11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3．已知椭圆C ： 22221x y a b+= （0a b >> ），点M ， N 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H ，使102MH NH k k ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭， ，则离心率e 的取值范围为（ ）A ． 12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ． 02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，C ． 12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ． 02⎛ ⎝⎭， 题型六：张角最值1．已知F 1、F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，椭圆C 上不存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ． [√22，1)B ． [12，1)C ． (0，√22]D ． (0，12] 2．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的上动点P ,左、右焦点分别为F 1、F 2，当P 点运动时，∠F 1PF 2的最大角为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为___ __． 题型七：利用椭圆的焦半径范围1．已知F 1，F 2分别是椭圆C : 22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ． 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ． 1,32⎡⎢⎣⎦ C ． 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ． 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦2．已知椭圆22221(0)x y a b c a b+=>>>的左、右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心， b c -为半径作圆2F ，过椭圆上P 作此圆的切线，切点为T ，且PT )a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是3．椭圆M ： ()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ， P 为椭圆上任一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c =则椭圆M 的离心率e 的取值范围是A ． 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ． 1,22⎡⎢⎣⎦C ． ,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ． 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4．已知以两坐标轴为对称轴的椭圆E 的一个长轴端点M 及一个短轴端点N 在直线24y x =-+上.（1）求椭圆E 的离心率.（2）若P 是椭圆C 上一点，（异于M ，N ），试求PMN 面积的最大值.。
椭圆及双曲线的离心率 专题
圆锥曲线离心率专题离心率问题有三种思路，一是求出,,a b c 三个量中的任何两个，然后利用离心率的计算公式求解；二是求出,a c 或,a b 或,c b 之间关系，然后利用离心率的计算公式求解；三是构造出关于离心率e 的方程来求解.此题中关键是灵活的应用椭圆和双曲线的定义构造出方程即可求解,一般是依据题设寻求一个关于,,a b c 的等量关系，再利用,,a b c 的关系消去b ，得到关于,a c 的等式，再转化为关于离心率e 的方程，解方程求出e 的值，最后根据椭圆或双曲线的离心率的取值范围,给出离心率的值.已知双曲线:E 22221x y a b-=()0,0a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率是_______.【解析】 由题意，2BC c =，又因为23AB BC =，则3AB c =，于是点3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线E 上，代入方程22221x y a b -=，得2222914c c a b -=，再由2c b a =+22得E 的离心率为2ce a==. 考点1.利用题设条件求出,a c 的值【例1】已知双曲线22219x y b-=(0)b >，过其右焦点F 作圆229x y +=的两条切线，切点记作C ，D ,双曲线的右顶点为E ,0150CED ∠=，其双曲线的离心率为( ) 23 B.32323 【解析】由题意3a =，易得OD OE =，075CEO OCE ∠=∠=,所以030=∠COE ，在Rt OCF ∆中，⇒=+=0230cos 93bOF OC 33212322==⇒=⇒=a c e c b 【例2】已知抛物线24y x =的准线与双曲线22214x y a -=交于,A B 两点，点F 为抛物线的交点，若FAB ∆为正三角形，则双曲线的离心率是 ．【解析】根据已知条件画出图形（如右图），FAB ∆Rt AKF ∆中，30,2,AFK KF ∠=︒=2323tan 30,1,33AK KF A ⎛⎫∴=︒=∴- ⎪ ⎪⎝⎭22233114a ⎛⎫⎪⎝⎭∴-=，解得234a =，又24b =，19,4=故双曲线离心率19357223c e a ==÷=．考点2.根据题设条件直接列出,,a b c 的等量关系【例3】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆22(3)9x y -+=相变于A.B两点，若||2AB =，则该双曲线的离心率为（ ） A.8 B. 22 C 3 D.4考点3.借助直角三角形的边角关系【例4】【2012全国新课标，理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P为直线32ax =上一点，12F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【解析】12F PF ∆是底角为30的等腰三角形，22132()22PF F F a c c ⇒==-=， 则34c e a ==【例5】设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ）A.13B.23C.233D.33【解析】由条件1PF PQ =，则PQ ⊥x 轴，而0160F PQ ∠=，∴1F PQ ∆为等边三角形，而周长为4a ，∴ 等边三角形的边长为43a ，焦点在直角三角形12PF F ∆中，14||3aPF =，22||3a PF =，12||2F F c =， ∴22242()()(2)33a a c -=，即223a c =，∴22213c e a ==， 考点4. 借助与其它曲线的关系求离心率【例6】点A 是抛物线21:2(0)C y px p =>与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的交点（异于原点），若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线2C 的离心率等于（ ）A ．2B ．2C ．5D ．4【解析】 点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，∴⎪⎭⎫⎝⎛p p A ,2适合x a b y =，∴422=a b ，∴5=e【例7】如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，且这两条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为________．【解析】如图，设F ′为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在x 轴上方的交点为A ，连接AF ′，所以|FF ′|＝2c ＝p ，因为|AF |＝p ，所以|AF ′|＝2p .因为|AF ′|＋|AF |＝2a ，所以2a ＝2p ＋p ，所以e ＝c a＝2－1.考点5. 利用椭圆或双曲线的定义求离心率【例8】椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF ^BF ,设6π=∠ABF ，则该椭圆的离心率为 （ ）A ．22 B ．13- C ．33 D ．231- 【解析】取椭圆右焦点M ，连接BM AM ,，由椭圆对称性以及AF ^BF 知四边形AFBM 为矩形，由6π=∠ABF 得c AF =，c AM 3=，由椭圆定义知a AM AF 2=+，32c c a +=，13-=∴e .【例9】设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的离心率为___.【例10】 F 1，F 2是双曲线2222:1(,0)x y C a b b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是（ ）A 3B 15C ．2D 13【解析】画出图形，在2ABF ∆中，根据题意可设223,4,5(0)AB t BF t AF t t ===>，222222,AB BF AF ABF +=∴∆为直角三角形．设1AF m =，由双曲线的定义知1221BF BF AF AF -=-，即345t m t t m +-=-，∴3m t =，∴212532a AF AF t t t =-=-=．在12Rt BF F ∆中， 22221212(6)(4)213F F BF BF t t t =+=+=，∴13ce a==，故选D ． 考点6. 借助双曲线的渐近线求离心率【例11】已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.则双曲线E 的离心率为_______________.【解析】因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5.【例12]已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线的倾斜角的余弦值为31010，该双曲线上过一个焦点且垂直于实轴的弦长为3，则双曲线的离心率等于（ ）A ．3 D ． 3【解析】双曲线22221x y a b-=所以110e =，即3e =， 故选C. 考点7. 利用弦中点坐标，代点相减求离心率【例13】过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为。
秒杀题型离心率(椭圆与双曲线)
=2c 说明：离心率在高考中属于高频考点，部分考题难度较大，要求考生熟练掌握以下类型。
秒杀题型一：利用焦点三角形求离心率。
2c 秒杀思路：利用定义，求出e 。
2a秒杀公式：椭圆：设椭圆焦点三角形两底角分别为α、β，则e = sin(α+ β) sin α+ sin β(正弦定理)。
双曲线：利用焦点三角形两底角α,β来表示: e =sin(α+ β) 。
1.(高考题)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ∆ABC 顶点 A (-4, 0) 和C (4, 0) ,顶点 B 在椭圆 x y 2+ = 1上,则sin A + sin Csin B= .25 9【解析】：秒杀公式：sin A + sin C = 1 = 5。
sin B e 4x 2 y 22.(2013 年新课标全国卷 II) 设椭圆 C : + a 2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 , P 是 C 上的点, PF 2 ⊥ F 1F 2 , ∠PF 1F 2 = 30,则C 的离心率为 ( )A. 361 1 B.C.32D. 33【解析】：设 PF 2 = t ， PF 1 = 2t ，则 F 1F 2 = 3t ，即 2a = 3t ， 2c = 3t ，e = = 2a ，选 D 。
3秒杀公式： e =sin (90︒ + 30︒) = sin 90︒ + sin 30︒，选 D 。
33.(高考题)已知 F 1 , F 2 是椭圆的两个焦点,过 F 1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 AB 两 ∆ABF 2 点,若是正三角形,则这个椭圆的离心率是 ( ) A.3 B.32 C. 32D.322【解析】： ∆AF 1F 2 与上题完全相同，选 A 。
x 2 y 24.(高考题)双曲线 - a 2 b 2= 1( a > 0 , b > 0 )的左、右焦点分别是 F 1 , F 2 ,过 F 1作倾斜角为30︒ 的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF 2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为 ()sin α- sin β3 326 3 2 22 2 2 c + 2c2 2 2c 10 5A. B. C. D. 33【解析】：设 PF = t ， PF = 2t ，则 F F = 3t ，即 2a = t ， 2c = 3t ， e =2c =，选 B 。
椭圆与双曲线共焦点的离心率公式
椭圆与双曲线共焦点的离心率公式椭圆和双曲线这两个家伙，在数学的舞台上可是相当重要的角色。
咱们今天就来好好聊聊它们共焦点时的离心率公式，这可是个有趣又有点小复杂的话题。
我记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小同学瞪着大眼睛一脸迷茫地问我：“老师，这椭圆和双曲线怎么就共焦点了，它们不应该各玩各的吗？”这问题把我给逗乐了，我跟他说：“这就好比两个人都在一个操场上跑步，只不过跑的轨迹不一样，但出发点是一样的。
”咱们先来说说椭圆。
椭圆就像是一个被压扁的圆，它的形状是由两个焦点决定的。
而离心率呢，就是衡量椭圆扁平程度的一个重要指标。
离心率越大，椭圆就越扁；离心率越小，椭圆就越接近圆。
比如说，离心率为 0 的时候，椭圆就变成了一个正圆。
再看看双曲线，它长得就像两个背靠背的抛物线，同样也有焦点。
双曲线的离心率总是大于 1 的，这说明它的形状比椭圆更“奔放”。
当椭圆和双曲线共焦点的时候，它们的离心率之间就有着特殊的关系。
假设椭圆的半焦距为 c，长半轴长为 a₁，短半轴长为 b₁，离心率为 e₁；双曲线的实半轴长为 a₂，虚半轴长为 b₂，离心率为 e₂。
那么就有这样一个公式：e₁² + e₂² = 2 。
这个公式怎么来的呢？咱们来推导一下。
对于椭圆，离心率 e₁ = c / a₁；对于双曲线，离心率 e₂ = c / a₂。
然后把它们平方相加，经过一番复杂但有趣的运算，就能得到 e₁² + e₂² = 2 。
在实际解题的时候，这个公式可太有用啦！比如说，给你一个椭圆和双曲线共焦点的条件，再告诉你其中一个的离心率，让你求另一个的离心率，这时候这个公式就能大显身手。
有一次在课堂上，我出了一道这样的题目：已知椭圆的离心率为0.6，椭圆和双曲线共焦点，求双曲线的离心率。
同学们一开始都有点懵，不知道从哪里下手。
我就引导他们回忆咱们讲的这个公式，然后大家慢慢地就找到思路了。
有的同学算得很快，答案一出，那种成就感满满的表情，真是让人欣慰。
例析椭圆、双曲线离心率的求法
例析椭圆、双曲线离心率的求法
椭圆和双曲线都是非常重要的数学曲线，从古代就有了历史。
它们的运用十分
广泛，比如天文学、力学等多种领域。
此外，椭圆和双曲线的离心率也是一个重要的概念，因此了解它们求法也是十分重要的。
首先，椭圆的离心率求法。
根据弦长定理，椭圆的离心率ε可表示为：ε＝c
／a，其中a为椭圆长轴，c为短轴，由此乘以ε即可求出离心率。
其次，双曲线的离心率求法。
根据常见的双曲线方程：x2/a2-y2/b2＝1，其中
a为椭圆长轴，b为短轴，把中间的数学符号μ代入公式：μ＝a2/b2;由此乘以
μ即可求出离心率。
另外，椭圆和双曲线的离心率也可以通过数学计算的方式进行求解，比如把它
们的方程式代入特殊函数求解，或者调用计算器进行计算，这些都有很多种方法。
为了解椭圆和双曲线的离心率，我们可以利用尺规、直角三角形等工具求解；
也可以通过计算机程序解出精确的实际结果。
有时候，采用抽象的思维能够获得更准确的结果。
但无论哪种方法，了解椭圆和双曲线的离心率都有它自身的优劣之处，希望大家可以按自己的意愿选择合适的方法。
关于椭圆,双曲线及抛物线离心率的几何性质
关于椭圆,双曲线及抛物线离心率的几何性质
离心率是一个几何性质，是指一个图形它的焦点到曲线上任意点的距离与另一个焦点到这一点的距离的比值。
这个几何性质经常用于椭圆，双曲线和抛物线描述，从而有助于理解它们的几何特征。
下面对这三种曲线的离心率进行详细介绍。
（1）椭圆的离心率
椭圆是一种经典的曲线，其离心率的定义如下：椭圆的离心率是焦点到曲线上任意点的距离与两焦点之间的距离的比值。
也就是说，椭圆的离心率就是两个焦点之间距离与任意点到其中一个焦点之间距离的比值。
椭圆的离心率一般大于0，但小于1。
（2）双曲线的离心率
双曲线属于几何图形，它的离心率的定义如下：双曲线的离心率是焦点到曲线上任意点的距离与两焦点之间的距离之比。
双曲线的离心率一般大于1，但小于无限大。
（3）抛物线的离心率
抛物线也称为二次曲线，它的离心率定义为：抛物线的离心率是焦点到曲线上任意点的距离与两焦点之间的距离之比。
抛物线的离心率总是等于1，两个焦点之间的距离总是等于任意点到其中一个焦点之间的距离。
以上就是椭圆，双曲线和抛物线的离心率的相关几何特征。
它们的离心率是一个重要的几何属性，可以帮助我们更好地理解这三种曲线的几何结构。
共顶点的椭圆和双曲线离心率关系
共顶点的椭圆和双曲线离心率关系【导言】在数学中，椭圆和双曲线是两种常见的几何曲线，它们在各个领域都起到重要的作用。
在本文中，我们将探讨共顶点的椭圆和双曲线之间的离心率关系。
通过深入剖析这一关系，我们可以更好地理解这两种曲线的性质和特点。
【第一部分：椭圆】1. 了解椭圆的基本定义椭圆是平面上一点到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的轨迹。
这个常数称为椭圆的离心率，通常用符号e表示。
对于一个椭圆来说，离心率e的取值范围是0<e<1。
2. 探究离心率为0的椭圆当离心率e为0时，两个焦点重合于一点，此时的椭圆就变成了一个圆。
在圆中，任意一点到圆心的距离都相等，这与椭圆的定义相符。
3. 研究离心率为1的椭圆当离心率e为1时，椭圆的性质发生了变化。
此时的椭圆被称为狭义椭圆，它的特点是两个焦点离圆心相等。
离心率为1的椭圆是一个特殊的情况，它与双曲线之间存在着一种联系。
【第二部分：双曲线】1. 了解双曲线的基本定义双曲线是平面上一点到两个固定点（焦点）的距离之差为常数的轨迹。
与椭圆不同的是，双曲线的离心率e大于1。
具体地说，离心率e越大，双曲线的形状越扁平。
2. 探究离心率大于1的双曲线当离心率e大于1时，双曲线的性质变得更加有趣。
与椭圆不同，双曲线的拟焦点是在曲线的两边，离圆心同等距离。
双曲线可以分为左右两支，两支之间存在着一定的对称性。
3. 研究离心率等于1的双曲线当离心率e等于1时，我们可以得到一种特殊的双曲线，称为狭义双曲线。
与离心率为1的椭圆类似，狭义双曲线也具有对称性。
由于其特殊的形态，狭义双曲线在物理学和工程学领域有着广泛的应用。
【第三部分：共顶点的椭圆和双曲线离心率关系】1. 比较椭圆和双曲线的离心率通过以上对椭圆和双曲线的研究，我们可以得出一个重要的结论：共顶点的椭圆和双曲线的离心率之和恒为2。
也就是说，对于任意一个椭圆和双曲线，它们的离心率之和总是等于2。
2. 离心率关系的几何意义这一结论有着深远的几何意义。
共焦点的椭圆和双曲线离心率关系
共焦点的椭圆和双曲线离心率关系椭圆和双曲线是两种常见的二次曲线，在几何学、物理学和工程学等领域有着重要的应用。
两者都具有一个共同的重要性质，即离心率（eccentricity）。
离心率是描述椭圆和双曲线形状的一个重要参数，它反映了曲线的偏离程度和形状特征。
通过深入研究椭圆和双曲线的离心率之间的关系，我们可以更好地理解它们的性质和特点。
首先，让我们回顾一下椭圆和双曲线的基本定义。
椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的所有点的轨迹，这两个给定点称为焦点。
而双曲线是平面上到两个给定点的距离之差等于常数的所有点的轨迹，同样也有两个焦点。
这两种曲线都可以通过一个参数——离心率来描述。
椭圆和双曲线的离心率e是一个非常重要的参数，它定义为焦点到准线（椭圆）或渐近线（双曲线）的距离与长轴或半轴的比值。
在椭圆和双曲线中，离心率的取值范围是0到1之间，离心率为0时，实际上是一个圆，而当离心率趋近于1时，曲线的形状趋近于一条直线。
椭圆和双曲线的离心率之间存在着密切的联系。
首先，我们可以通过数学推导得到椭圆和双曲线的离心率与长轴、短轴之间的关系。
对于椭圆而言，离心率e的定义为焦点到准线的距离与长轴的比值，即e=c/a，其中c为焦点到准线的距离，a为长轴的一半。
而对于双曲线而言，离心率e的定义为焦点到渐近线的距离与长轴的比值，即e=c/a，其中c为焦点到渐近线的距禯，a为长轴的一半。
从上述定义可以看出，椭圆和双曲线的离心率都与长轴有关。
一般情况下，长轴越长，曲线形状越扁平，离心率也就越小。
当离心率接近于0时，曲线形状接近于圆；而当离心率接近于1时，曲线形状接近于直线。
因此，我们可以通过离心率的大小来判断椭圆和双曲线的形状，离心率越小，曲线的形状越接近于圆；离心率越大，曲线的形状越接近于直线。
此外，椭圆和双曲线的离心率还与焦点之间的距离有关。
在椭圆中，焦点之间的距离为2a，其中a为长轴的一半；而在双曲线中，焦点之间的距离为2a，同样也是长轴的一半。
2022年高考复习 椭圆、双曲线的离心率
过关检测
2.已知 A,B 为双曲线 E 的左、右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶
角为 120°,则 E 的离心率为 (
(A) 2
(B)2
A
)
(C) 3
(D) 5
x2 y2
设双曲线方程为 2 - 2 =1(a>0,b>0) ,如图所示,|AB|=|BM|,∠ABM=120°,
a b
2022
高考复习
椭圆、双曲线的离心率
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核心考点
离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据
椭圆标准方程中 a,b,c 的关系是 b2=a2-c2,离心率 e=
c
∈(0,1),
a
双曲线标准方程中 a,b,c 的关系是 b2=c2-a2,离心率 e=
a
b
对称,且满足 FA ·FB =0,|FB|≤|FA|≤ 3 |FB|,则椭圆 C 的离心率的取值范围为(
(A)[
2
,1)
2
化简得到 c=
所以 α+
(B)[
2
, 3 -1]
2
(C)[ 3 -1,1)
(D)[
故 sin(α+
3
2
,
]
2
2
a
a
c
π π
,故椭圆离心率为 e= =
.因为 α∈[ , ],
π
a b
则 A(a,0)到直线 bx-ay=0 的距离为
又∠MAN=60°,故 d=
ab
a 2 b2
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一、直接利用椭圆、双曲线的方程式和离心率公式计算。
二、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）
三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
三、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系
余弦定理：
四、利用圆锥曲线中、x y 的范围建立不等关系
例1：双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则
双曲线离心率的取值范围是（ ）
A ．(1,3)
B ．(1,3]
C ．(3,)+∞
D ．[3,)+∞
归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点P 在双曲线1b y a x 2222=-的左支上则a x -≤；若点p 在双曲线1b y a x 22
22=-的右支上则a x ≥。
五、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系
例2、已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在
点P 使
1221sin sin PF F a
PF F c
∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
六、利用判别式建立不等关系
例5、已知双曲线)0a (1y a
x 222
>=-与直线l ：1y x =+交于P 、Q 两个不同的点，求双曲线离心
率的取值范围。
七、利用均值不等式建立不等关系
均值不等式：
练习2、已知点P 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的右支上，双曲线两焦点为21F F 、，|
PF ||PF |221最
小值是a 8，则双曲线离心率的取值范围 。
八、利用二次函数的性质建立不等关系
例7、设1
a >，则双曲线2
2
22
1(1)x y a a -
=+的离心率e 的取值范围是（
） Ａ．2) Ｂ． Ｃ．(2,5) Ｄ．
1、设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足∠F 1PF 2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A ．[
1) B.（，1) C.(0，2、设点P 在双曲线)0b ,0a (1b
y a x 22
22>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求
双曲线离心率的取值范围。
3、一个圆经过椭圆22
1164
x y +
=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 4、已知方程
x 2
m 2+n –
y 2
3m 2–n
=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是
（ ）
（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)
5、已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2
212
x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF ∙2MF ＜
0，则y 0的取值范围是（ ）
（A ）（ （B ）（
（C ）（3-
，3） （D ）（3-，3
） 6、 已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）
A B .3 C D .3m
7、已知双曲线E 1：22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点
为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______ .
8、平面直角坐标系x O y 中，双曲线22
122:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的渐近线与抛物线
2
2:2(0)C x p y p =>交于点,,O A B ，若O A B ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率
为 .
9、已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，
若4FP FQ =，则||QF =（ ）
A .72
B .5
2
C .3
D .2
10、在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =2
4
x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点，当k =0时，分
别求C 在点M 和N 处的切线方程；
11、已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22
221x y a b
-=，1C 与2C 的离心率
之积为
2
，则2C 的渐近线方程为（ ）
（A ）0x = （B 0y ±= （C ）20x y ±= （D ）20x y ±=
12、以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=，
|DE|=C 的焦点到准线的距离为（ ）
（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8
13、已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线
的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A.22154x y -
= B. 22145x y -= C. 22136x y -= D. 22163
x y -= 14、已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙的最小值为（ ）
A 4-+3- C 4-+3-+
15、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ， 且
→
→=FD BF 2，则C 的离心率为 .
3、一个圆经过椭圆22
1164
x y +
=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为
4、已知方程x2
m2+n –
y2
3m2–n
=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
（）
（A）(–1,3) （B）(–1,3) （C）(0,3) （D）(0,3)
5、已知M（x
0，y
）是双曲线C：
2
21
2
x
y
-=上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若1
MF∙
2
MF＜
0，则y
的取值范围是（）
（A）（（B）（
（C）（）（D）（）
6、已知F是双曲线C：223(0)
x my m m
-=>的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）
A B.3 C D.3m
7、已知双曲线E 1：22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点
为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______ .
8、平面直角坐标系x O y 中，双曲线22
122:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的渐近线与抛物线
2
2:2(0)C x p y p =>交于点,,O A B ，若O A B ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率
为 .
9、已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，
若4FP FQ =，则||QF =（ ）
A .72
B .5
2
C .3
D .2
10、在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =2
4
x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点，当k =0时，分
别求C 在点M 和N 处的切线方程；
11、已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22
221x y a b
-=，1C 与2C 的离心率
2C 的渐近线方程为（ ）
（A ）0x = （B 0y ±= （C ）20x y ±= （D ）20x y ±=
12、以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=，
|DE|=C的焦点到准线的距离为（）
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
13、已知双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的两条渐近线均和圆22
:650
C x y x
+-+=相切，且双曲线
的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）
A.
22
1
54
x y
-= B.
22
1
45
x y
-= C.
22
1
36
x y
-= D.
22
1
63
x y
-=。