椭圆与双曲线离心率专题

一、直接利用椭圆、双曲线的方程式和离心率公式计算。

二、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）

三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 三、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系

余弦定理：

四、利用圆锥曲线中、x y 的范围建立不等关系

例1：双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则

双曲线离心率的取值范围是（ ）

A ．(1,3)

B ．(1,3]

C ．(3,)+∞

D ．[3,)+∞

归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点P 在双曲线1b y a x 2222=-的左支上则a x -≤；若点p 在双曲线1b y a x 22

22=-的右支上则a x ≥。 五、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系

例2、已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在

点P 使

1221sin sin PF F a

PF F c

∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．

六、利用判别式建立不等关系

例5、已知双曲线)0a (1y a

x 222

>=-与直线l ：1y x =+交于P 、Q 两个不同的点，求双曲线离心

率的取值范围。

七、利用均值不等式建立不等关系

均值不等式：

练习2、已知点P 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的右支上，双曲线两焦点为21F F 、，|

PF ||PF |221最

小值是a 8，则双曲线离心率的取值范围 。

八、利用二次函数的性质建立不等关系

例7、设1

a >，则双曲线2

2

22

1(1)x y a a -

=+的离心率e 的取值范围是（

） Ａ．2) Ｂ． Ｃ．(2,5) Ｄ．

1、设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足∠F 1PF 2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）

A ．[

1) B.（，1) C.(0，2、设点P 在双曲线)0b ,0a (1b

y a x 22

22>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求

双曲线离心率的取值范围。

3、一个圆经过椭圆22

1164

x y +

=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 4、已知方程

x 2

m 2+n –

y 2

3m 2–n

=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是

（ ）

（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)

5、已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2

212

x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF ∙2MF ＜

0，则y 0的取值范围是（ ）

（A ）（ （B ）（

（C ）（3-

，3） （D ）（3-，3

） 6、 已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）

A B .3 C D .3m

7、已知双曲线E 1：22

221x y a b

-=（a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点

为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______ .

8、平面直角坐标系x O y 中，双曲线22

122:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的渐近线与抛物线

2

2:2(0)C x p y p =>交于点,,O A B ，若O A B ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率

为 .

9、已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，

若4FP FQ =，则||QF =（ ）

A .72

B .5

2

C .3

D .2

10、在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =2

4

x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点，当k =0时，分

别求C 在点M 和N 处的切线方程；

11、已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22

221x y a b

-=，1C 与2C 的离心率

之积为

2

，则2C 的渐近线方程为（ ）

（A ）0x = （B 0y ±= （C ）20x y ±= （D ）20x y ±=

12、以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=，

|DE|=C 的焦点到准线的距离为（ ）

（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8

13、已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线

的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）

A.22154x y -

= B. 22145x y -= C. 22136x y -= D. 22163

x y -= 14、已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙的最小值为（ ）

A 4-+3- C 4-+3-+

15、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ， 且

→

→=FD BF 2，则C 的离心率为 .

3、一个圆经过椭圆22

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x y +

=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为