【配套K12】江苏省前黄高级中学国际分校2016-2017学年高一数学下学期期末统考模拟试题(1)

江苏省前黄高级中学国际分校2016-2017学年高一数学下学期期末统
考模拟试题（1）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1．不等式
02
1
≥-+x x 错误！未找到引用源。

的解集为 ▲ ．
2.在△ABC 中， 已知4a =
，b =0
60B =，则角A 的度数为 ▲ ．
3.已知直线04=--y mx 与直线2)1(=-+y m m x 垂直，则m 的值为 ▲ ．
4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若252,16a a ==，则5S = ▲ ．
5.已知变量,x y 满足02240x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪--≤⎩
，则32z x y =++的最大值是 ▲ ．
6.已知ABC ∆的面积为
1
2
，cos A =，则12b c +的最小值为 ▲ ．
7. 已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题： ①若l α⊂，m α⊂，//l β，//m β，则//αβ； ②若l α⊂，//l β，m α
β=，则//l m ；
③若//αβ，//l α，则//l β； ④若l α⊥，//l m ，//αβ，则m β⊥.
其中真命题是 ▲ ．(写出所有真命题的序号)．
8.经过点(3,1)A -且到原点的距离等于3的直线方程为 ▲ ．
9.已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为 ▲ . 10.设关于x 的不等式2
*
2()x x nx n -<∈N 的解集中整数的个数为n a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列1
{
}n
S 的前100项的和为 ▲ ． 11.已知函数)R b ,a (b ax x )x (f ∈++=2
的值域为[)+∞-,1，若关于x 的不等式c x f <)(的
解集为()3,+t t ，则实数c 的值为 ▲ ．
12.对于正项数列
{}n a ，定义
12323n n n
H a a a na =
+++
+为{}n a 的“光阴”值，现知某数
列的“光阴”值为
2
2n H n =
+，则数列{}n a 的通项公式为 ▲ ．
13.已知函数()|lg |f x x =,0a b >>,()()f a f b =,则22
a b a b
+-的最小值等于
▲ ．
14设数列{}n a 的前n 项和为Sn ，且1
14()2
n n a -=+-，若对任意*n N ∈，都有
1(4)3n p S n ≤-≤，则实数p 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
15.已知△ABC 满足cos sin a b C c B =+；
（1）求角B 的大小；（2）若2,b =求△ABC 面积的最大值.
16.如图，矩形ABCD 所在平面与直角三角形ABE 所在平面互相垂直，BE AE ⊥，点N M ,分别是CD AE ,的中点．
（1）求证： MN ∥平面BCE ； （2）求证：平面⊥BCE 平面ADE ．
17.如图，在C 城周边已有两条公路12,l l 在点O 处交汇，现规划在公路12,l l 上分别选择A ，B 两处为交汇点（异于点O ）直接修建一条公路通过C 城，已知OC
045AOC ∠=，设,OA xkm OB ykm ==
（1）求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； （2）试确定点A 、B 的位置，使AOB ∆的面积最小；
18.已知函数2
(),f x ax x a a R =+-∈ （1）若不等式()f x 有最大值
17
8
，求实数a 的值； （2）若不等式2()231-2f x x x a >--+对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）若0a <，解不等式()1f x >．
19.已知一条直线l 经过点()3,2P ，
⑴ 求直线l 在两坐标轴正半轴上截距之和最小时的直线方程；
⑵ 若直线l 与x 、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，且△AOB 的面积最小（O 为坐标原点），求直线l 方程.
(3)若直线l 与x 、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，且PB PA ⋅最小时，求直线l 方程.
20.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知*
112,22()n n a a S n N +==+∈
（1）求数列}{n a 通项公式；
（2）在n a 与1+n a 之间插入n 个数，使这2+n 个数组成一个公差为n d 的等差数列。

（Ⅰ）求证：
)(16
151......111*321N n d d d d n ∈<++++ （Ⅱ）在数列}{n d 中是否存在三项p k m d d d ,,（其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．
2019届高一期末数学模拟卷答案
一
、
填
空
题
1.),2(]1,(+∞--∞
2.︒30
3.20或
4. 31
5. 18
6. 2
7.②④ 8.015343=+--=y x x 或 9.
π33 10.101
100 11.45 12.n
n a n 21
2+= 13.22 14.]3,2[ 二
、
解
答
题
15
.
(
1
)
（2）
4
45cos 2cos 22
2
222=︒-+-+=ac c a B ac c a b 可得由余弦定理得
分
分分得由正弦定理74
),0(1tan 0sin 4sin sin sin cos sin sin cos sin )sin(2sin sin cos sin sin ,sin cos ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
∴∈=∴>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∴+=+∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=∴+=π
πB B B C C B C B C B C B C B c B C B A B
c C b a
化简可
得分9422
2
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-+ac c a
ac
ac c a ac
c a )22(2422
2
22-≥-+=∴≥+
分时等号成立，当且仅当122242
24
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+=-≤
∴c a ac
分14124
2sin 21⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≤==
∴ac B ac S 综上
，
当且
仅
当224+==c a 时，面积有最大值12+ 1
6
.证：（1）取BE 中点F ，连接,CF MF ，
又M 是AE 中点，则1
//,2
MF AB MF AB =， 又N 是矩形ABCD 边CD 中点，
所以//,MF NC MF NC =，则四边形MNCF 是平行四边形， 所以//MN CF ，分4⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
又MN ⊄面BCE ，CF ⊂面BCE ，所以MN ∥平面BCE 分7⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
（2）因为平面ABCD ⊥平面ABE ， BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABE ，分9⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 因为AE ⊂平面ABE ，所以BC AE ⊥，分11⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
又BE AE ⊥，BC BE B ⋂=，所以AE ⊥平面BCE ，分13⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 而AE ⊂平面ADE ，所以平面⊥BCE 平面ADE ． 分14⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 17. （1）︒=︒++︒+=
75sin 2
1
30sin )62(2145sin )62(21xy y x S 4
6221)62(22)
62(+=+++∴xy y x ),2(,2
22+∞∈-=
∴x x x
y 分6⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ （2）2
21375sin 212
-⋅+=︒=x x xy S
2,0,2+=>-=t x t x t 则令
)
13(4)442(2134421322132
+=+⋅⋅+≥⎪⎭
⎫
⎝⎛++⋅+=+⋅+=∴t t t t t t S ）（分10⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
当且仅当42==x t 即时等号成立，此时24=y 分12⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
故当2134k 24,4km m OB km OA ）（
时，面积有最小值+==分14⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 18.（1）由题意8
17
414,02=--<a a a 且
解得8
1
,2-
=-=a a 或分4⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ （2）由2
()231-2f x x x a >--+ 得014)2(2
>-+++a x x a
当2-=a 时，不等式恒成立，舍去不对一切实数
x x 034>-分5⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 当2-≠a 时，⎩
⎨⎧<-+-=∆>+0)1)(2(4160
2a a a ，解得2>a 分7⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
综上，2>a 分8⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(3)不等式为
0)1)(1(,012<++->--+a ax x a x ax 即分10⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 0)1
)(1(0<++
-∴<a
a x x a a a a a 1
2)1(1+=+-
- )1,1(,11021a a a a a +-+-<<<-∴解集为时，当分12⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
∅+-=-=解集为时，当,1
121a a a 分14⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
)1,1
(,1121a
a a a a +-+->-<解集为时，当分16⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
19.法一：设横截距为a
，纵截距为b ，则0,0>>b a
设直线方程为1=+b y a x 即123=+b a
6252325235)23)((+=⋅+≥++=++=+∴b
a
a b b a a b b a b a b a
当且仅当62,63+=+=b a 时，等号成立，
故当直线l 在两坐标轴正半轴上截距之和最小时的直线方程为
16
263=+++y
x 分5⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
（2）时等号成立
，当且仅当462462
231==≥∴≥+=
b a ab ab
b a 122
1
≥=
∴ab S 故当△AOB 的面积最小时直线l 方程为01232=-+y x .分10⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ （3）BP PA PB PA ⋅=⋅
因为)2,3(),2,3(b a -=--=
所以时等号成立
当且仅当5126613)23)(23(1323==≥+=-++=-+=⋅b a b
a
a b b a b a b a 故当PB PA ⋅最小时，直线l 方程为05=-+y x 分16⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 法二：由题可得，直线斜率必存在，且0<k 设直线方程为)3(2-=-x k y 令k y x 32,0-==得
k
x y 23,0-
==得令 （1）625)2
(325235+=-⋅-+≥-
-=+k
k k k y x 当且仅当6-=k 时等号成立。

故当直线l 在两坐标轴正半轴上截距之和最小时的直线方程为2636++-=x y
分5⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
（2）12))4(9212(21491221233-221=-⋅-+≥--=-⋅=
k
k k k k k S ）（ 当且仅当2
3
-
=k 时，等号成立 故当△AOB 的面积最小时直线l 方程为01232=-+y x .分10⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ （3）2
2
2
2
44,99k PB k PA +
=+= 12363672)44(992
2
22≥++=+
+=⋅∴k k k k PB PA ）（ 当且仅当1-=k 时等号成立
故当PB PA ⋅最小时，直线l 方程为05=-+y x 分16⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
20.（1）由）（得222,2211≥+=+=-+n S a S a n n n n
两式相减得)2(31≥=+n a a n n 分
2⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
又因为112322a a a =+=分
3⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列
故
132-⨯=n n a 分
4⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
（2）
n
n n n a a 323211⨯=⨯=+-，
113
41
1134--⨯+=+⨯=∴n n n n n d n d ，分6⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ n n n n n n n T n T 3413434434334231341
3443433421
3211
210⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=∴⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=
∴-- 两式相减得
16
15
316)52(31615<
⨯+-=
n n n T 分10⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ （3）假设在数列
{}n d 中存在三项成等比数列成等差数列其中),,(,,p k m d d d p k m ，
则p m k
d d d ⋅=2
即1
34134)1(316134134134112221121+⨯⋅+⨯=+⨯+⨯⋅+⨯=+⨯------p m k p m k p m k p m k 即）（分12⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
K12教育资源学习用资料
K12教育资源学习用资料 因为m ，k ，p 成等差数列，所以k p m 2=+ 又由上式得mp k =2，解得p k m ==，矛盾 所以数列{}n d 中不存在三项成等成等差数列其中),,(,,p k m d d d p k m 分16⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅。