云财大随机过程
随机过程-平稳过程
FX () S（） , d X
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
对平稳时间序列有相类似的结果.
设X={Xn, n=0, ±1, ±2,…}是平稳时间序列,则其 相关函数可以表示为 1 jm R（m） X e dFX (), m 0, 1, () 2
1 t T s( )s( )d T t
只与 有关系.
所以X是平稳过程.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例2 对复随机过程 Z t=Xt +jYt 若mZ(t)是复常数， RZ(t,t+τ )=RZ(τ ),则称 Z={Zt, -∞<t<+ ∞}为复平稳过程. 设Ak和ω k分别是实随机变量和实常数(k=1,2…,n),
随机过程西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解平稳过程的谱分解随机过程西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解定理551是均方连续的平稳过程则其相关函数可以表示为上非负有界单调不减右连续且f随机过程西安电子科技大学数学系冯海林所以f是某个随机变量w的特征函数即存在分布函数g随机过程西安电子科技大学数学系冯海林随机过程西安电子科技大学数学系冯海林称函数f为平稳过程x相关函数的谱展开式或谱分解式
k 1
E[Ak ]=0时，上式与t无关.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
R（t , t ) E[Zt Z t ] Z E[ Ak e jk t Ak e jk ( t ) ]
k 1 k 1 n n
= E[ Ak Al ]e j (l k )t e jl
令
Zt Ak e
k 1
n
jk t
随机过程教学大纲
《随机过程》教学大纲一、课程信息课程代码：060148课程名称：随机过程英文名称：Stochastic Processes课程类别：专业核心课适用专业: 应用统计学总学时：48 学时理论学时：40 学时实践学时：8学时学分：3 学分（理论2.5学分，实践0.5学分）开设学期：第4学期考核方式：考试先修课程：概率论、高等数学二、课程简介《随机过程》是统计学专业的专业必修课程。
随机过程通常被视为概率论的动态部分，即研究的是随机现象的动态特征。
着重对随时间和空间变化的随机现象提出各种不同的模型并研究其内在的性质与相互联系，具有较强的理论性。
该学科在社会科学、自然科学、经济和管理等各个领域中都有广泛的应用。
课程性质为选修课，主要讲述随机过程的基本知识，课程的主要教学教学目的是培养学生运用随机过程分析和解决问题的能力，使学生掌握主要几种随机过程的基本概念与处理随机现象的方法。
课程内容包括：随机过程基本概念、Poisson过程、更新过程、Markov链、鞅、布朗运动。
三、教学内容及要求第一章预备知识教学重点和难点：重点和难点是概率空间，矩母函数和特征函数的定义及性质、条件期望、收敛性、极限定理等。
实践环节：无建议使用的教学方法与手段：多媒体与板书结合教学学时：（理论学时3学时）（实践学时0学时）教学目标和要求：通过本章的学习，复习并扩展概率论课程的内容，为学习随机过程打下良好的基础，提供必备的数学工具。
第一节概率空间1. 概率空间定义2. 概率的性质第二节随机变量与分布函数1. 随机变量2. 常见概率分布第三节数字特征、矩母函数与特征函数1. Riemann-Stieltjes积分2. 数字特征3. 关于概率测度的积分4. 矩母函数5. 特征函数第四节收敛性1. 收敛性2. 积分号下取极限的定理第五节独立性与条件期望1. 独立性2. 独立随机变量和的分布3. 条件期望第二章随机过程的基本概念和基本类型教学重点和难点：重点和难点是随机过程的概念，有限维分布族，柯尔莫哥洛夫存在定理。
2.2随机过程的分布律和数字特征
2.2随机过程的分布律和数字特征
任 意 有 限 个 时 刻 过 程 各个 状 态 的 联 合 概 率 分 布 : 给定随机过程 { X (t), t T }.
对任意n (1)个不同的时刻 t1, ,tn T , 相应
的状态可由 n维随机变量 X (t1), X (t2), , X (tn)
描述 .
a cost
,t
,
其中a
0,
且P1
2 3
,
P2
1 3
,
试求随机过程 X (t)，t (,)
的数字特征。
解
mX
EX t a cos t 1 a cos t 2 1 cos t，
3
33
t (,)
RX s,t EX sX t
a coss a cost 1 a cossa cost 2
示一条固定的曲线。如图蓝色曲线
2.2随机过程的分布律和数字特征
2.称 BX(s,t) = E{[X(s) - mX(s)][X(t) - mX(t)]},s,t T
为 XT 的协方差函数；
3.称 DX (t) BX t,t E[X (t) mX (t)]2 ,t T 为 XT
的方差函数；
4.称 RX (s,t) E[X (s)X (t)]，s,t T 为 XT
2019级研究生课程
彭晓华
辽宁工大基础部数学教研室
第2章 随机过程的基本概念
2.1随机过程的基本概念 2.2随机过程的分布律和数字特征 2.3 复随机过程 2.4几种重要的随机过程
本章小结 思考题与作业
复习2.1 1.怎样理解随机过程？它与函数及随机变量有何不同？
2.随机过程的五个要素都是什么？
《应用随机过程》课程教学大纲 - 南京财经大学教务处
《随机过程》课程教学大纲适用专业：数学与应用数学执笔人：肖丽华审定人：王宏勇系负责人：张从军南京财经大学应用数学系《随机过程》课程教学大纲课程代码：300069英文名：Stochastic Processes课程类别：专业选修课适用专业：数学与应用数学前置课：数学分析、线性代数、概率论、数理统计后置课：学分：2学分课时：54课时主讲教师：孙春燕等选定教材：刘次华,随机过程（第二版）[M]，武汉：华中科技大学出版社，2001.课程概述：随机过程是数学与应用数学专业继数学分析、线性代数、概率论、数理统计后的一门专业课程。
随机过程是研究客观世界中随机演变过程的规律性，是以概率论为基础且是概率论的深入与发展的一门学科。
它在控制、经济、金融和管理等方面应用极为广泛。
教学目的：通过随机过程理论知识的学习，达到培养学生解决实际问题，特别是解决具体随机规律现象的问题能力，学生学习这门课程应该达到三个目标。
（1）建立随机过程的思维方法。
（2）掌握随机问题的统计特性及数学模型。
（3）通过经济、金融及管理等专业相关例题的讨论，初步掌握应用随机过程理论来分析问题和解决问题的能力。
教学方法：本课程采用“引出问题，建立模型，理论分析，课堂讨论，实际应用，总结提高”的教学方式，使学生在掌握随机过程基本理论、思想和方法的基础上，力求活跃思考，理论结合实际地进行学习、分析、归纳、提炼和解决问题，提高他们的数学素质和数学修养，提升他们开展科技活动和社会实践的能力以及开展科研工作的能力。
各章教学要求及教学要点第一章预备知识学时分配：6学时教学要求：补充和加强概率论知识。
理解母函数的概念，掌握母函数的方法；掌握特征函数的定义及性质，了解特征函数与分布函数一一对应的关系。
教学内容：第一节概率空间一、随机试验。
二、样本空间。
三、事件及概率空间的定义。
第二节随机变量及其分布一、分布函数。
二、联合分布函数及其性质。
第三节随机变量的数字特征一、随机变量的数学期望及其性质。
09-10下学期随机过程B卷及答案
7. 对于有有限二阶矩的随机过程来说, 其严平稳性与宽平稳性是( a. 等价的; b. 不等价的.
8. 设 { X (t ), t 0} 为一 Brown 运动, 则对任意 0 r s t , 随机变量 N ( s) N (r ) 与 N (t ) N ( s) ( a. 独立; ). b. 不独立.
t 的 Poisson 分布.
5. 设 {N (t ), t 0} 是一强度为 的 Poisson 过程, 则发生第 n 次事件的时刻 Wn 的均
值为
n
, n 1, 2, .
6. 若以 P ( n ) 表示时齐离散时间 Markov 链 { X n , n 0} 的 n 步转移概率矩阵, 则
).
a. 常返状态的平均总返回次数有限; b. 瞬过状态的平均总返回次数有限. 5. 时齐 Markov 链状态间的互达性( a. 是; 6. 时齐 Markov 链在某时刻之后( a. 平均在有限时间内; )等价关系. b. 不是. )返回正常返状态 i 的平均总次数为 . b. 平均在无限时间内. ).
2. 设 { X n , n 1, 2,} 是一独立同分布随机变量序列, P ( X 1 1) p , P ( X 1 1) q , p q 1 , 令 S n {Sn , n 1, 2,} 的自协方差函数为 1 ( X 1 X n ) , n 1, 2, , 则随机序列 n min{m, n} [1 ( p q) 2 ] . mn
-1-
矩阵, 则 P ( m n ) 与 P ( m ) 和 P ( n ) 之间的关系是
, m, n 1, 2, .
7. 设 { X n , n 0,1, 2,} 是一状态空间为 {0,1, 2} 的时齐 Markov 链, 其转移概率
随机过程第三章-PPT
总之,若随机过程处处均方连续,则它得自相关函数所 在上也处处连续,反之也成立。
性质3、1 若随机过程X(t)就m是 s 则它得数学期望也必定连续,即:
lim E[ X (t t)] E[ X (t)]
t 0
连续得,
E [| X (t t) X (t) |2 ]≥ E2[ X (t t) X (t)]≥ 0
性质3、2 如果自关函数RX (t1,t2 ) 在 t1 t2 时连 续,且存在二阶偏导数
2R t1t2 t1 t2
则随机过程在均方意义下存在导数(证明略)
应当指出,随机过程有导数,首先过程必须就是连
续得,但随机过程得连续性不能保证过程一定有
导数。
2、 随机过程得均方导数X (t) 得数学期望
E
lim
t1 0
X
(t1
t1 )
Y (t2 ) t1
X
(t1 )Y
(t2
)
lim E[ X (t1 t1)Y (t2 )] E[ X (t1)Y (t2 )]
t1 0
t1
lim RXY (t1 t1, t2 ) RXY (t1, t2 )
t1 0
t1
RXY (t1, t2 ) t1
x满足
lim E
n
xn x 2
0
则称随机变量序列xn依均方收敛于随机变量x,并记
为
lim
n
xn
x
或 xn m s (xm·s——就是英文Mean—Square缩写)
1、 两个均方收敛性判据
里斯—菲希尔定理:对随机变量序列
构造柯西序列
如果满足
精品文档-随机过程——计算与应用(研究生)(冯海林)-平稳过程1
平稳过程的定义 定义 5.1.1 设X={Xt,t∈T}是随机过程,如果对任意的
n 1, t1, t2 , , tn T和实数，当t1 ,t2 , , tn T时，
n维随机变量 (Xt1 , Xt2 , , Xtn )和 (Xt1 , Xt2 , , Xtn ) 有相同的联合分布函数,即
则
mX (t)
xdFt (x)
xdF (x)与t无关，为常数
RX (s,t )
x1x
2d
Fs,t (x1, x2 )
x1
x2
dF0,t
s
(
x1,
x2
)，仅与时间间隔有关系
随机过程引论——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
用定义判断一个过程的严平稳性是困难的. 在理论与应用上多的是宽平稳过程.
Ft1,t2 , ,tn (x1, x2 , , xn ) Ft1 ,t2 , ,tn ( x1, x2 , , xn )
则称X是严平稳过程.
随机过程引论——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
例5.1.1 设N={Nt,t≥0}是参数为λ 的泊松过程，对任意固定 的常数a>0,令
Xt =Nta Nt ,
例5.1.6 设{An,n=1,2,…N} 和{Bn,n=1,2,…N}是两列实值 随机变量序列.且
E[An ] E[Bn ] 0, E[AnBm ] 0,
E[AnAm ] E[BnBm ] n2mn , 设n >0,定义随机过程：
N
Xt [Ak cos(kt) Bk sin(kt)], t (, ), k 1
2[a 2 min(0, ) min(a, ) min(0, a)]
云南财经大学本科学生学籍管理实施细则(修订)
云南财经大学本科学生学籍管理实施细则(修订)院教发〔2005〕222号为维护学校正常的教育教学秩序和生活秩序，树立勤奋学习、奋发向上、诚实守信、敢于创新的学风，不断提高教育和教学质量，保障学生的合法权益，促进学生全面发展，培养复合应用型人才，依据教育部《普通高等学校学生管理规定》制定本细则。
第一章入学与注册第一条按照国家招生规定录取的新生，持我校录取通知书及有关证件按规定日期到校办理入学手续。
因故不能按期入学者，须事先书面向学校招生办公室请假，请假须经学校招生办公室批准方为有效。
假期一般不得超过两周。
未请假或者请假逾期者，除因不可抗力等正当事由以外，视为放弃入学资格。
第二条新生入学后，学校在三个月内按照国家招生规定及招生体检标准进行复查。
复查合格者予以注册，即取得学籍；复查不符合招生录取条件者，学校区别情况予以处理直至取消入学资格。
新生入学后但尚未取得学籍而要求退学者，按退档处理。
凡属徇私舞弊被录取者，无论何时发现，一经查实，由院长（系主任）提出意见，教务处审核批准，立即取消其入学资格或学籍，退回父母或抚养人所在地。
情节恶劣的，提请有关部门查究。
第三条新生进行体检复查患有疾病者（包括入学后新患疾病者），经学校医院证明短期内治疗可达到健康标准的，由本人申请，经院长（系主任）同意，学校批准，可准许保留入学资格一年，并回家治疗。
保留入学资格期间不享受在籍生待遇。
因病保留入学资格一年的学生，应于下一个学年开学前向学校招生办公室申请入学，经县级以上医院证明病愈，学校复查合格，按当年新生重新办理入学手续；复查不合格或逾期不办理复查手续者，取消入学资格。
第四条新生入学按专业编班(专业班),并由所在院(系)根据本专业的培养目标和培养方案配备指导教师和班主任。
指导教师一般由专业教师担任，负责了解学生的学习情况，指导学生选课、学习以及拟定个人培养计划。
班主任负责班级日常管理工作。
第五条每学期开学时，学生必须到所属院(系)办理注册手续。
2020-2021概率论理工类试卷+答案
)B >且,0二、单项选择题（把四个备选答案中正确的填在括号内，本大题共6个小题，每小题2分，满分12分）7．1. 设A 、B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是（ D ）。
（A ）()()P A B P A = （B ）()()P AB P A = （C ）(|)()P B A P B = （D ）)()(B P A P ≥8. 设随机变量X 的密度函数为220()0x e x f x -⎧≤<+∞=⎨⎩其它，}20{>X P =（ A ）。
(A) 40-e (B) 120e -- (C) 20e - (D) 110e -9.设随机变量(,)X Y 的密度函数为1,01,01(,)0,x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其它，则{0.5,0.6}P X Y <<为（ B ）。
（A ）0.5 （B ）0.3 （C ）78（D ）0.4 10.已知随机变量X 服从二项分布，且() 2.4E X =，() 1.44D X =，则二项分布的参数,n p 的值为（ B ）。
（A ）4,0.6n p == （B ）6,0.4n p == （C ）8,0.3n p == （D ）24,0.1n p == 11.设12,,X X 为相互独立具有相同分布的随机变量序列，且(1,2,)i X i =服从参数为2的指数分布，则下面结论正确的是（ C ）。
（A）lim ()n i n X n P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑ （B ）2lim ()n i n X P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑（C）2lim ()n i n X n P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑ （D）2lim ()n i n X P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑12.设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本，令221234()(),Y X X X X =++- 则当C = C 时CY ～2(2)χ．（A ）0.5 （B ）0.3 （C ）81（D ）0.4三、判断题（正确的请在题号前的括号内打√，错误的打×，本大题共6个小题，每小题2分，满分12分）（ × ）13．若事件A 、B 、C 两两独立，必有A 、B 、C 相互独立．（ √ ）14．若X 服从参数3λ=泊松分布，则()3,()3E X D X ==．（ × ）15．由关于X 和关于Y 的边缘分布，就能确定二维随机变量的（X ，Y ）的联合分布.（ √ ）16．若cov(,)0X Y =，X 和Y 不一定独立．（ × ）17．已知n X X X ,,,21 是来自总体的样本，则1153X aX ++是统计量．（ × ）18．如果θˆ是θ的无偏估计量，)(θg 是θ的函数，就能推出)ˆ(θg 是)(θg 的无偏估计量.四、计算题（要写解答过程，本大题共5个小题，每题8分，满分40分）19.某电子设备厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件厂提供的，所占份额为3:16:1，各厂的次品率分别为3%、1%、2%，产品在仓库是均匀混合的，且无区别的标志。
应用随机过程学习心得
竭诚为您提供优质文档/双击可除应用随机过程学习心得篇一：随机过程知识点总结第一章：考试范围1.3,1.41、计算指数分布的矩母函数.2、计算标准正态分布x~n(0,1)的矩母函数.3、计算标准正态分布x~n(0,1)的特征函数.第二章：1.随机过程的均值函数、协方差函数与自相关函数2.宽平稳过程、均值遍历性的定义及定理3.独立增量过程、平稳增量过程，独立增量是平稳增量的充要条件1、设随机过程Z(t)?x?Yt，t??.若已知二维随机变量(x,Y)的协方差矩阵为??12??，求Z(t)的协方差函数.?22?2、设有随机过程{x(t),t?T}和常数a，Y(t)?x(t?a)?x(t)，t?T，计算Y(t)的自相关函数（用Rx(s,t)表示）.3、设x(t)?Z1cos?t?Z2sin?t，其中Z1,Z2~n(0,?2)是独立同分布的随机变量，?为实数，证明x(t)是宽平稳过程.4、设有随机过程Z(t)?xsint?Ycost，其中x和Y是相互独立的随机变量，它们都分别以0.5和0.5的概率取值-1和1，证明Z(t)是宽平稳过程.第三章：1.泊松过程的定义（定义3.1.2）及相关概率计算2.与泊松过程相联系的若干分布及其概率计算3.复合泊松过程和条件泊松过程的定义1、设{n(t),t?0}是参数??3的poisson过程，计算：(1).p{n(1)?3}；(2).p{n(1)?1,n(3)?3}；(3).p{n(1)?2n(1)?1}.2、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数.假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程.(1)．试求到某时刻t时到达商场的总人数的分布；(2).在已知t时刻有50人到达的条件下，试求其中恰有30位女性的概率，平均有多少个女性顾客？3、某商店顾客的到来服从强度为4人/小时的poisson过程，已知商店9：00开门，试求：(1).在开门半小时中，无顾客到来的概率；(2).若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。
云财大随机过程
6. 在强度为 的泊松过程中，相继事件发生的间隔时间是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
7.
是强度为 的泊松过程，
间间隔.则对
，
表示第
个事件与第 个事件发生的时 。
8.
是强度为 的泊松过程，
间间隔.则
。
表示第
个事件与第 个事件发生的时
9. 设
，
是速率为 的泊松过程. 则对于
，
。
10. 设
5. 重复地抛掷一枚均匀的硬币，第 次抛掷结果为
，它取值 0 或 1 的概率均为 。用
表示第 次和第 次抛掷出的结果中 1 的个数。问
是一个
Markov 链吗？为什么？
答：
不是 Markov 链。
因为
的取值由现在 的取值和下一步
的取值时，并不能确定 的取值，还需要知道
定 的取值，故
不是 Markov 链。
程；当过程为正态过程时，严平稳和宽平稳等价。
严平稳过程一定是平稳增量过程，反之不然。
宽平稳过程未必平稳增量过程，平稳增量过程也未必是宽平稳过程。
Poisson 过程是平稳增量过程，但不宽平稳过程，也不是严平稳过程。
随机过程
正态分布
。该过程
，其中 与 相互独立，且都服从标准 是宽平稳过程，但不是平稳增量过程，也不是严平稳过程。
根据状态返回的间隔步数规律划分，状态分为周期的和非周期的。即设 为集合
的最大公约数，若
，称状态 为周期的，若
，称状态 为非
周期的.
称正常返的且非周期的状态为遍历状态。
8. 设马尔可夫链
的状态空间为
，转移概率矩阵为
(1)
是否为遍历链？说明理由；
云南财经大学《数理统计》2022-2023学年第一学期期末试卷
云南财经大学《数理统计》2022-2023学年第一学期期末试卷考试课程：数理统计考试时间：120分钟专业：统计学总分：100分---一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪种方法不属于估计参数的方法？A. 最小二乘法B. 极大似然法C. 最小绝对偏差法D. 析因分析法2. 在假设检验中，犯第一类错误的概率是：A. 显著性水平B. 功效C. P值D. 自由度3. 在正态分布中，标准正态分布的均值和方差分别是：A. 0 和 1B. 1 和 0C. 0 和 0D. 1 和 14. 当样本量增加时，样本均值的标准误：A. 增加B. 减少C. 不变D. 先增加后减少5. 在假设检验中，双侧检验的拒绝域位于：A. 均值两侧B. 均值一侧C. 均值中间D. 均值右侧6. 在相关分析中，相关系数的取值范围是：A. -1 到 1B. 0 到 1C. -1 到 0D. -∞ 到 ∞7. 在回归分析中，决定系数 \( R^2 \) 的取值范围是：A. -1 到 1B. 0 到 1C. -1 到 0D. -∞ 到 ∞8. 对于样本容量较小的样本，下列哪种分布更适合用来进行均值比较的假设检验？A. t分布B. F分布C. 卡方分布D. 正态分布9. 下列哪项不是方差分析（ANOVA）中需要计算的？A. 总变异B. 组间变异C. 组内变异D. 标准差10. 在回归分析中，多重共线性问题会导致：A. 回归系数估计不准确B. 残差平方和增加C. 决定系数下降D. 自由度增加---二、判断题（每题2分，共20分）11. 假设检验中的备择假设是指研究者希望证明的假设。
（ ）12. 样本均值是总体均值的无偏估计量。
（ ）13. 在置信区间中，置信水平越高，区间越窄。
（ ）14. 标准正态分布的概率密度函数是对称的。
（ ）15. 若两个变量的相关系数为0，则它们完全不相关。
（ ）16. 在回归分析中，调整后的 \( R^2 \) 可以超过 1。
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. “1”表示系统运行良好，“2”表示运行正常，“3”表
示系统失效. 以 表示系统在时刻 的状态，并设
是一马尔可夫链. 在没有维
修及更换条件下，其自然转移概率矩阵为
则系统初始处于运行正常状态，在
内运行的概率为 0.64
20. 如果状态 是零常返的，则从 出发再回到 的平均回转时间
21. 如果状态 是正常返的，则从 出发再回到 的平均回转时间
A. 0.33
B. 0.37
12. 设系统有三种可能状态
C. 0.39
D. 0.29
. “1”表示系统运行良好，“2”表示运行正常，“3”表
示系统失效. 以 表示系统在时刻 的状态，并设 修及更换条件下，其自然转移概率矩阵为
是一马尔可夫链. 在没有维
则系统初始处于运行良好状态，在
A. 0.81
B. 0.79
5. 重复地抛掷一枚均匀的硬币，第 次抛掷结果为
，它取值 0 或 1 的概率均为 。用
表示第 次和第 次抛掷出的结果中 1 的个数。问
是一个
Markov 链吗？为什么？
答：
不是 Markov 链。
因为
的取值由现在 的取值和下一步
的取值时，并不能确定 的取值，还需要知道
定 的取值，故
不是 Markov 链。
的取值决定，而已知现在 的取值，才能确
事实上，注意到 独立同分布，由于
故
即
从而，
不是 Markov 链。
6. 简述 Markov 链状态之间的可达和互通关系与状态的分类性质的联系
答：Markov 链状态之间的可达和互通关系：状态 可达状态 ，指的是从 出发的过程最终
可能到达状态 ，即存在
，使
；状态 与状态 互通，指的是状态 与状态 相互
存在的条件，并给出其极限。
答：(1) 当 为非常返状态时，对
，
；
(2) 当 为零常返状态时，对
，
；
(3) 当 为遍历状态时，对
，
；
(4) 当 为遍历状态且 时，
；
(5) 当 为周期的正常返状态时，极限
不一定存在。
四、计算题
1. 设 ，
是参数为 的泊松过程，计算
.
解
2. 设 ，
是速率为 的泊松过程. 对于 ，求
，即该链是可
(2) 因过程从状态 4 出发就不再返回状态 4，过程从状态 3 出发将以 的概率不再返回状 态 3，所以，状态 3 和状态 4 为非常返状态。
该链是有限状态空间的马氏链，一定存在正常返状态。于是，由
及
状态 1 和 2 都是正常返状态，且非周期，从而状态 1 和 2 是遍历状态.
知，
9. 简述极限
18. 设顾客以每分钟 5 人的平均速率进入某商场，这一过程可以用泊松过程来描述．又设 表示
进入该商场的第 位顾客在该商场所花费的金额（单位：元），且有
，且每位
顾客是否买东西互不影响，也与进入该商场的顾客数无关．则该商场一天（10 小时）的平均
营业额为 360000 元。
19. 设系统有三种可能状态
可达。互通关系是状态空间 上的等价关系，而可达关系不是 上的等价关系。因此，按互通关
系，可将状态空间 划分为若干互通等价类。 Markov 链状态的分类有非常返、常返；正常返和零常返；周期的和非周期的。 若状态 与状态 是互通的，则状态 与状态 具有相同的分类性质，即 和 同为常返状
态或非常返状态；若同为常返状态，则它们同为正常返状态或同为零常返状态； 和 的周期相 等。
C.1 和 2 是遍历状态，3 和 4 是非常返状态； D.1 和 2 是非常返状态，3 和 4 是遍历状态。
15. 设马尔可夫链的状态空间
，转移概率矩阵为
则
．
三、简答题 1. 简述严平稳过程、宽平稳过程和平稳增量过程之间的关系
解答：二阶距存在的严平稳过程一定是宽平稳过程，但宽平稳过程不一定是严平稳过程；但 不存在低阶矩的严平稳过程不满足宽平稳条件，例如服从柯西分布的严平稳过程就不是宽平稳过
， 表示从状态 出发再回到状态 的平均回转时间，若
，则称 为( D ).
A. 遍历状态
B. 非常返状态
C. 零常返状态 D. 正常返状态
10. 设 为状态 的周期，则下列论述错误的是（ B ）。
A.如果 不能被 整除，则必有
； B.对所有的 ，
；
C.即使 能被 整除，也可能有
； D.当 充分大之后一定有
发生的事件，并以概率 计数．以
记直到时间 为止被计数的事件个数，则计数过
程
的均值函数
。
14. 设
是一个速率为 的泊松过程，并且假设在时间 发生的一个事件独立于 前
发生的事件，并以概率 计数．以
记直到时间 为止被计数的事件个数，则计数过
程
是一个强度函数为
的非时齐的泊松过程。
15. 设
和
．如果过程
概率
是独立的非齐次的泊松过程，分别具有强度函数 和
，称 为非常返状态。
（或者，根据状态返回的平均次数划分，状态分为非常返状态和常返状态。即若状态 返回 的平均次数为有限次，则称 为非常返状态；若状态 返回的平均次数为无限次，则称 为常返 状态。）
根据常返状态返回的平均时间划分，常返状态又分为正常返状态和零常返状态。即若常返状 态 返回的平均时间有限，则称 为正常返状态；若常返状态 返回的平均时间无限，则称 为 零常返状态。
一、选择题：
1. 已知随机变量 的二阶矩存在，且 的矩母函数为 ，则
。
2. 已知随机变量 的二阶矩存在，且 的特征函数为 ，则
。
3. 设 一个充分条件：
是平稳过程，其协方差函数为 。
，请给出 的均值具有遍历性的
4. 设 性的一个充分条件：
是平稳序列，其协方差函数为 。
，请给出 的均值具有遍历
5. 对于具有常数均值的二阶矩过程 只与
(3) 齐次泊松过程事件发生的速率为常数
数
；
，而非齐次泊松过程事件发生的速率为变
(4) 齐次泊松过程的增量
量
服从均值为
服从均值为 的泊松分布，而非齐次泊松过程的增 的泊松分布；
(5) 齐次泊松过程是非齐次泊松过程的特例，事件发生的速率为常数的非齐次泊松过程就是 齐次泊松过程。但非齐次泊松过程也可以转换为齐次泊松过程。
13. 设 Markov 链的状态空间为
内运行的概率为( B ).
C. 0.70
D. 0.68
，转移概率矩阵为：
按状态互通关系，该链的状态可分为以下等价类( B )．
A.
和
B. ， 和
C.
，和
D.
，和
14. 设 Markov 链的状态空间为
，转移概率矩阵为：
则该链的状态分类为( C )．
A.1 和 2 是零常返状态，3 和 4 是正常返状态； B. 1 和 2 是遍历状态，3 和 4 是零返状态；
2. 已知 A. C.
是维纳过程，则下面错误的是(
是独立增量过程
B.
是平稳过程
D.
C
).
是平稳增量过程
是正态过程
3. 设
是泊松过程，下述结论不正确的是（ A ）.
A.
宽平稳过程
B.
是平稳独立增量过程
C.
二阶矩过程
D.
是独立增量过程
4. 设
是强度函数为 的非齐次泊松过程，则下面错误的是( D ).
5. 设
。
11. 在任意给定的一天，加里的心情或者是快乐的(cheerful，C)，或者是一般的(so-so，S)，或 者是忧郁的(glum，G). 如果今天他是快乐的，则明天他分别以概率 0.5，0.4，0.1 是 C，S， G．如果今天他感觉一般，则明天他分别以概率 0.3，0.4，0.3 为 C，S，G．如果今天他是忧 郁的，则明天他分别以概率 0.2，0.3，0.5 为 C，S，G．假定加里今天的心情是快乐的，则他 后天的心情仍是快乐的概率为（ C ）．
2. 述
是一速率为 的齐次泊松过程， 为第 次与第 次事件发生的时间间隔，简
的性质。若
为非齐次的泊松过程，其事件发生的时间间隔
是否具有这些性质？
答：对齐次的泊松过程，事件发生的时间间隔
具有以下性质：
(1)
相互独立；
(2)
同分布；
(3)
均服从参数为 的指数分布。
对非齐次的泊松过程，事件发生的时间间隔
均不具有这些性质。
9. 设
，
是速率为 的泊松过程. 则对于
，
。
10. 设
是强度为 的泊松过程，
时间间隔，则
表示第 .
个事件与第 个事件发生的
11. 设
是强度为 的泊松过程， 表示第 个事件发生的时刻，则
。
12. 设 ，
是速率为 的泊松过程. 对于
，
。
13. 设
是一个速率为 的泊松过程，并且假设在时间 发生的一个事件独立于 前
程；当过程为正态过程时，严平稳和宽平稳等价。
严平稳过程一定是平稳增量过程，反之不然。
宽平稳过程未必平稳增量过程，平稳增量过程也未必是宽平稳过程。
Poisson 过程是平稳增量过程，但不宽平稳过程，也不是严平稳过程。
随机过程
正态分布
。该过程
，其中 与 相互独立，且都服从标准 是宽平稳过程，但不是平稳增量过程，也不是严平稳过程。
服从参数为 的泊松分布． 是强度函数为 的非齐次泊松过程，则下面错误的是( A )。
是平稳增量过程；
是独立增量过程；
是一个泊松随机变量
．
6. 设
是强度为 的泊松过程，