mjt-导数应用练习
mjt-高三年级第二学期开学月考(物理)
13．如图所示，曲线表示一列横波的传播，其中实线是t1＝1s时的波形，虚线是t2=2.5s时的波形，且(t2- t1)小于一个周期，由此可以判断：①波长一定为40cm②此波一定是向x轴方向传播；③振幅为10cm④周期可能为6s，也可能为2s．其中正确的是A.只有②和③B.只有①和④C.只有①和②D.只有①、②和③【答案】B【解析】14．一理想变压器原、副线圈匝数比1:2:21aa，原线圈与正弦交变电源连接，输入电压u随时间t变化的规律如图所示，副线圈接一个R=10Ω的电阻，则（）A．电阻R两端电压的有效值为50V2B．电阻R中电流的频率为0.25HzC．1分钟内电阻R产生的热量为1.5－3JD．变压器的输入功率为250W【答案】D【解析】15．假设地球是一个质量均匀分布的球体，半径为R．在离海平面不同高度的位置，物体所受的重力也略有不同，有人利用这个特点来确定山的高度．他用单摆在海平面处测出摆的周期是T0．在某山顶上测得该单摆周期为T，不考虑地球自转的因素，可求得该山顶离海平面的高度为( )A．(T－T0)R/T B．(T0＋T)R/TC．T/(T＋T0)R D．(T－T0)R/T0【答案】D16．质量为2kg的物体在xoy平面上运动，在x方向的速度—时间图像和y方向的位移—时间图像如题18图所示，下列说法正确的是：A．前2s内质点做匀变速曲线运动B．质点的初速度为8m/sC．2s末质点速度大小为8m/s D．质点所受的合外力为16N【答案】A【解析】17．下表是一辆电动自行车的部分技术指标，参考表中数据判断以下说法正确的是（）A．自行车每秒钟消耗的电能为180JB．电动机每秒钟消耗的电能为180JC．电动机的内电阻为6ΩD．电动机的内电阻为1Ω【答案】D18．如图所示连接电路，电源电动势为6V。
先使开关S与1端相连，电源向电容器充电，这个过程可在瞬间完成。
然后把开关S掷向2端，电容器通过电阻R放电，电流传感器将测得的电流信息传人计算机，屏幕上显示出电流随时间变化的I –t 曲线如图2所示。
mjt-电磁技术应用题目
电磁技术应用1、如图所示为某种电子秤的原理示意图，AB 为一均匀的滑线变阻器，阻值为R ，长度为L ，两边分别有P 1、P 2两个滑动头，与P 1相连的金属细杆可在被固定的竖直光滑绝缘杆MN 上保持水平状态，金属细杆与托盘相连，金属细杆所受重力忽略不计。
弹簧处于原长时P 1刚好指向A 端，若P 1、P 2间出现电压时，该电压经过放大，通过信号转换后在显示屏上显示出质量的大小．已知弹簧的劲度系数为k ，托盘自身质量为m 0，电源的电动势为E ，电源的内阻忽略不计，信号放大器、信号转换器和显示器的分流作用忽略不计．求：(1)托盘上未放物体时，在托盘的自身重力作用下，P 1距A 端的距离x 1；(2）在托盘上放有质量为m 的物体时，P 1,距A 端的距离x 2；(3)在托盘上未放物体时通常先校准零点，其方法是：调节P 2，从而使P 1、P 2间的电压为零．校准零点后，将被称物体放在托盘上，试推导出被称物体的质量m 与P 1、P 2间电压U 的函数关系式．2、电磁炉专用平底锅的锅底和锅壁均由耐高温绝缘材料制成．起加热作用的是安在锅底的一系列半径不同的同心导电环．导电环所用的材料单位长度的电阻R=0.125πΩ/m,从中心向外第n 个同心圆环的半径为r n =(2n-1) r 1(n 为正整数且n ≤7)，已知r 1=1.0 cm ．当电磁炉开启后，能产生垂直于锅底方向的变化磁场，已知该磁场的磁感应强度B 的变化率为t t B ωπsin 2100=∆∆，忽略同心导电圆环感应电流之间的相互影响．(1)求出半径为r n 的导电圆环中产生的感应电动势瞬时表达式；(2))半径为r 1的导电圆环中感应电流的最大值I 1m 是多大？（计算中可取2π=10 )(3)若不计其他损失，所有导电圆环的总功率P 是多大？3、某同学设计了一种测定风力的装置，其原理如图所示，迎风板与一轻弹簧的一端N 相接，穿在光滑的金属杆上．弹簧是绝缘材料制成的，其劲度系数k = 1 300 N/m ，自然长度L 0= 0. 5 m ，均匀金属杆用电阻率较大的合金制成，迎风板面积为S=0.5 m 2，工作时总是正对着风吹来的方向．电路中左端导线与金属杆M 端相连，右端导线接在N 点并可随迎风板在金属杆上滑动，且与金属杆接触良好．限流电阻的阻值R=1Ω，电源电动势E=12 V ，内阻r=0.5Ω．合上开关，没有风吹时，弹簧处于原长，电压表的示数U 1=3.0 V ；如果某时刻由于风吹使迎风板向左压缩弹簧，电压表的示数变为U 2=2.0V ,求：(1)金属杆单位长度的电阻；(2)此时作用在迎风板上的风力；(3)若风（运动的空气）与迎风板作用后速度变为零，已知装置所在处的空气密度为1. 3 kg/m 3 ,求风速为多大？4、磁流体发电技术是世界上正在研究的新兴技术，它有效率高（可达45％-55％，火力发电效率为30％）、污染少等优点，将一束等离子体（高温下电离的气体，含有大量带正电和带负电的微粒）以声速的0.8～2.5倍的速度喷射入匀强磁场中，磁场中有两块金属板A，B （相当于电源的两个极，并与外电阻R相连），这时A，B上就积聚电荷产生电压，设粒子所带电量为q，进入磁场的喷射速度是v，磁场的磁感应强度为B，AB间的距离为d．（1）说明磁流体发电中能量的转换关系，求出两极间电压的最大值．（2）设磁流体发电机内阻为r，当外电阻R是多少时输出功率最大?并求最大输出功率．（3）磁悬浮现象是指将某种低温液态物质倒入金属盘后，能使金属盘达到转变温度从而产生超导现象，在金属盘上方释放一永磁体，当它下落到盘上方某一位置时即产生磁悬浮现象，试分析说明产生磁悬浮现象的原因．（4）利用磁悬浮现象，人们已经设计制成磁悬浮高速列车，此种列车车厢下部装有电磁铁，运行所需槽形导轨的底部和侧壁装有线圈，其作用是什么?这种列车的运行速度是一般列车的3～4倍，简述能达到这样高速的原因．5、如图所示，充电的两平行金属板间有场强为E的匀强电场，和方向与电场垂直(垂直纸面向里)的匀强磁场，磁感应强度为B，构成了速度选择器．氕、氘、氚核以相同的动能(E K)从两极板中间，垂直于电场和磁场射入速度选择器，且氘核沿直线射出．则射出时()A．动能增加的是氚核B．动能增加的是氕核C．偏向正极板的是氚核D．偏向正级板的是氕核6、如图13所示为一质谱仪的构造原理示意图，整个装置处于真空环境中，离子源N可释放出质量相等、电荷量均为q（q＞0）的离子。
mjt高一数学函数经典习题及答案
函 数 练 习 题班级 姓名一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域：⑴33y x =+-⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 。
4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
二、求函数的值域 5、求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥⑸y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =-⑼y ⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
三、求函数的解析式1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _()f x 在R 上的解析式为5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间：⑴223y x x =++ ⑵y = ⑶ 261y x x =--7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是8、函数236xy x -=+的递减区间是 ；函数y =间是 五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
2023年苏教版数学导数高级应用练习题及答案
2023年苏教版数学导数高级应用练习题及答案导数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
为了帮助学生提高导数应用的能力，苏教版数学教材特别设计了一套高级应用练习题。
本文将为大家介绍2023年苏教版数学导数高级应用练习题，并提供相应的答案。
一、函数极值问题1. 某建筑师需要设计一个长方形的游泳池，其中一侧将沿着河岸，需要围起来。
如果游泳池的长边是沿着河岸的，而另外三边由篱笆围起来，求游泳池的最大面积。
解答：设游泳池的长为x，宽为y，面积为S，由题意可知：周长P = x + 2y根据题意，得出 y = (1/2)(P - x)所以，游泳池的面积为：S = xy = x(1/2)(P - x) = (P/2)x - (1/2)x^2对S求导，令导数等于0，可以求得极值点。
dS/dx = 0P/2 - x = 0x = P/2因此，当x等于P/2时，游泳池的面积取得最大值。
2. 某公司生产商品的总成本C（单位：万元）与生产数量x（单位：件）之间的关系由函数C(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 20给出，问多少件商品时，生产成本最低？解答：对C(x)求导，令导数等于0，可以求得极值点。
dC/dx = 06x^2 - 30x + 36 = 0x^2 - 5x + 6 = 0(x - 2)(x - 3) = 0得到x = 2或x = 3，对应生产数量为2件或3件。
因此，当生产数量为2件或3件时，生产成本最低。
二、相关变化率问题1. 某矩形铁皮的长和宽均以1cm/s的速度减小，若此刻矩形的长为10cm，宽为6cm，求此刻矩形的边长之比。
解答：设矩形的长为L，宽为W，边长之比为k。
则有 L/W = k根据题意，L和W均以1cm/s的速度减小，则有 dL/dt = dW/dt = -1。
根据导数的定义，有 dL = (dL/dt)dt = -dt，dW = (dW/dt)dt = -dt。
代入边长之比的表达式中，得到 L/W = -dt/-dt = 1。
1mjt-数列的综合应用(第一课时)
数列的综合应用知识回顾⎧⎧数列的分类数列⎪⎪⎪的概念⎨数列的通项公式←函数角度理解⎪数列的递推关系⎪⎩⎪⎧⎧等差数列的定义a n -a n -1=d (n ≥2)⎪⎪⎪等差数列的通项公式a =a +(n -1)d ⎪n 1⎪⎪⎪⎪⎪等差数列⎨n n (n -1)⎪等差数列的求和公式S =(a +a )=na +d ⎪n 1n 1⎪⎪22⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩等差数列的性质a n +a m =a p +a q (m +n =p +q )⎪两个基⎪⎧等比数列的定义a n =q (n ≥2)⎪本数列⎨a n -1⎪⎪⎪⎪等比数列的通项公式a =a q n -1⎪⎪n 1数列⎨⎪⎪a 1-a n q a 1(1-q n )⎪⎧⎪等比数列⎨=(q ≠1)⎪⎪⎪等比数列的求和公式S n=⎨1-q ⎪1-q ⎪⎪⎪⎪⎩na 1(q =1)⎪⎪⎪⎩等比数列的性质a n a m =a p a q (m +n =p +q )⎩⎪⎪⎧公式法⎪⎪分组求和⎪错位相减求和⎪数列⎪⎪⎪⎨裂项求和求和⎪⎪倒序相加求和⎪⎪累加累积⎪⎪⎩归纳猜想证明⎪⎪⎩典题解析知识点一数列与不等式应用例题1.已知α为锐角，且tan α=22-1，函数f (x )=x tan 2α+x ⋅sin(2α+π4)，数列{a n }的首项a 1=1,a n +1=f (a n ).2⑴求函数f (x )的表达式；⑵求证：an +1>a n；⑶求证：1<111+++<2(n ≥2,n ∈N *)1+a 11+a21+an分析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。
解：⑴tan 2α=2tan α2(2-1)==1又∵α为锐角1-tan 2α1-(2-1)2∴2α=π4∴sin(2α+π4)=1f (x )=x 2+x2⑵an +1=a n+an∵a 1=1∴a 2,a 3, a n都大于022∴a n>0∴an +1>an⑶1an +1=1111111==-=-∴21+a na nan +1a n+ana n(1+a n)a n1+a n∴111111111++ +=-+-+ +-1+a 11+a 21+a na 1a 2a 2a 3a nan +1111-=2-a 1a n +1an +1=∵a 2=()+1221333=,a 3=()2+>1 ,又∵n ≥2an +1>a n 24441an +1<2∴an +1≥a 3>1∴1<2-∴1<111++ +<21+a 11+a 21+an点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式的证明更具有一般性。
mjt-库仑定律习题课
“库仑定律”习题课教学目标：1.加深对库仑定律的理解.2.掌握用库仑定律解决共点力平衡问题的分析方法.教学重点：掌握用库仑定律解决共点力平衡问题的分析方法.教学难点：应用库仑定律解决综合性问题.教学方法：复习、讨论、总结.教学过程一、复习引入1．库仑定律的内容和适用条件是什么？2．共点力的平衡条件是什么？总结：1.两带电体间的库仑力是一对大小相等，方向相反，在同一直线上的分别作用于两个带电体的作用力和反作用力. 2.共点力的平衡条件是：F 合=0，或 二、例题分析【例1】对于库仑定律，下列说法正确的是（C ）A .凡计算两个点电荷间的相互作用力，就可以使用公式221rQ Q K F B .两个带电小球相距非常近时，也能用库仑定律C .相互作用的两个点电荷，不论它们的电量是否相同，所受的库仑力大小一定相等D .两个点电荷的电量各减为原来的一半，它们之间的距离保持不变，则它们之间的库仑力减为原来的一半【例2】两个带电小球半径均为r 两球心间距离为L ，带电量分别为Q 1和Q 2,，把它们放在真空中，它们之间的作用力为F ，静电力常数为k ，分析静电力F 与221LQ Q K 的大小关系（L 不是远大于r ）.【例3】相距l 的点电荷A 、B 的带电量分别为+4Q 和-Q ，要引入第三个点电荷C ，使三个点电荷在库仑力作用下都处于平衡状态，求C 电荷的带电量和应放的位置.（+4Q ，在B 的的右侧l 处）【例4】如图所示，把大小可以不计的带有同种电荷的小球A 和B 互相排斥，静止时，绝缘细线与竖直方向的夹角分别为α和β，且α<β，由此可知（D ）A ．B 球受到的库仑力较大，电荷量较大B ．B 球的质量较大C ．B 球受到细线的拉力较大D ．两球接触后，再静止时，A 球的悬线与竖直方向的夹角仍然小于B 球的悬线与竖直方向的夹角【例5】两个质量都是m 的小球（可看成质点），用长都为l 的绝缘细线悬挂在同一点，使它们带上等量同种电荷，平衡时两悬线夹角为2θ，求每个小球所带电量.三、作业：课本P 120 习题：A 组（1）、（2）；B 组：（1）F x =0 F y=0。
2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率——导数(一)习题 苏教版选修2-2
1.1.2 瞬时变化率——导数(一)明目标、知重点 1.理解曲线的切线的概念，会用逼近的思想求切线斜率.2.会求物体运动的瞬时速度与瞬时加速度．1．逼近法求曲线上一点处的切线斜率如图，设曲线C 上一点P (x ，f (x ))，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点Q (x ＋Δx ，f (x ＋Δx ))，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝f x ＋Δx －f x x ＋Δx －x ＝f x ＋Δx －f x Δx.当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当Δx 无限趋近于0时，f x ＋Δx －f xΔx无限趋近于点P (x ，f (x ))处的切线的斜率．2．瞬时变化率与瞬时速度、瞬时加速度(1)一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S t 0＋Δt －S t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．(2)一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v t 0＋Δt －v t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．[情境导学]平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么，如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？平均速度反映了物体在某段时间内运动的快慢程度，那么，如何精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度呢？本节内容将解决这一问题．探究点一 曲线上一点处的切线斜率思考1 如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？答 当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置．这个确定的位置的直线PT 称为过点P 的切线．思考2 怎样求切线的斜率？答 可以用逼近的方法来计算切线的斜率， 设P (x ，f (x ))，Q (x ＋Δx ，f (x ＋Δx ))， 则k PQ ＝f x ＋Δx －f xΔx，当Δx 无限趋近于0时，f x ＋Δx －f xΔx无限趋近于曲线f (x )在点P (x ，f (x ))处切线的斜率．例1 已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，求： (1)点P 处的切线斜率； (2)点P 处的切线方程．(提示：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3) 解 (1)∵y ＝13x 3，∴Δy Δx ＝13x ＋Δx 3－13x 3Δx ＝13×3x 2Δx ＋3x Δx 2＋Δx3Δx＝13[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]， 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于x 2，∴点P 处的切线的斜率等于4.(2)在点P 处的切线方程是y －83＝4(x －2)．即12x －3y －16＝0.反思与感悟 解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想．即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当Δx 无限趋近于0时，可得到割线的斜率逼近切线的斜率．跟踪训练1 已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程． 解 Δy Δx＝＋Δx 2－2Δx＝4Δx ＋Δx 2Δx＝4＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于4，∴曲线y ＝2x 2在点(1,2)处切线的斜率为4. ∴所求直线的斜率为k ＝－14.∴y －2＝－14(x －1)，即x ＋4y －9＝0.探究点二 瞬时速度与瞬时加速度思考1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？答 不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，易知h (6549)＝h (0)，v ＝h6549－h 6549－0＝0，而运动员依然是运动状态．思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？答 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态． 思考3 瞬时速度与瞬时加速度和函数的变化率有什么关系？答 瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率． 例2 一质点按规律S ＝2t 2＋2t (位移单位：m ，时间单位：s)做直线运动．求： (1)该质点在前3 s 内的平均速度； (2)该质点在2 s 到3 s 内的平均速度； (3)该质点在3 s 时的瞬时速度． 解 (1)v ＝S－S 3－0＝2×32＋2×3－03＝8 (m/s)．∴该质点在前3 s 内的平均速度为8 m/s.(2)v ＝S－S 3－2＝2×32＋2×3－2×22－2×2＝12 (m/s)．∴该质点在2 s 到3s 内的平均速度为12 m/s. (3)∵s＋Δt －sΔt ＝＋Δt2＋＋Δt －2＋Δt＝2Δt ＋14.当Δt 无限趋近于0时，Δt ＋14无限趋近于14. ∴该质点在3 s 时的瞬时速度为14 m/s.反思与感悟 平均速度可反映物体在某一段时间内的平均变化状态，而瞬时速度反映物体在某一时刻的运动变化状态，瞬时速度是平均速度当Δt 趋于0时的极限值．跟踪训练2 一辆汽车按规律S ＝3t 2＋1作直线运动，求这辆车在t ＝3 s 时的瞬时速度．(时间单位：s ，位移单位：m)解 设这辆车从3 s 到(3＋Δt )s 这段时间内位移的增量为ΔS ，则ΔS ＝3(3＋Δt )2＋1－28＝3(Δt )2＋18Δt ， 又ΔSΔt＝3Δt ＋18， ∴当Δt 无限趋近于0时，3Δt ＋18无限趋近于18， ∴这辆车在t ＝3 s 时的瞬时速度为18 m/s.1．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为________． 答案 8 解析 ∵f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－8Δx＝8＋2Δx ，当Δx 无限趋近于0时，8＋2Δx 无限趋近于8， ∴曲线f (x )在点A 处的切线斜率为8.2．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16.则P 点坐标为________． 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，当Δx 无限趋近于0时，f x 0＋Δx －f x 0Δx＝Δx2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4＋2Δx ，无限趋近于4x 0＋4，令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3,30)．3．任一作直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则物体的初速度是________． 答案 3 解析 ΔS Δt＝S Δt －SΔt＝3Δt －Δt 2Δt＝3－Δt ，当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt无限趋近于3.4．一质点做加速直线运动，其速度与时间的关系是v ＝t 2＋t ＋2 (速度单位：m/s ，时间单位：s)，求质点在t ＝2 s 时的瞬时加速度． 解 ∵v＋Δt －vΔt＝＋Δt 2＋＋Δt ＋2－2＋2＋Δt＝Δt ＋5，∴当Δt 无限趋近于0时，Δt ＋5无限趋近于5，即质点在t ＝2 s 时的瞬时加速度为5 m/s 2. [呈重点、现规律]1．曲线的切线斜率是割线斜率的极限值，是函数在一点处的瞬时变化率．2．瞬时速度是运动物体的位移对于时间的瞬时变化率，可以精确刻画物体在某一时刻运动的快慢.一、基础过关1．一质点运动的方程为S ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1，1＋Δt ](Δt >0)内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是________． 答案 －62．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率的值为________．(已知(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3) 答案 6 解析 Δy Δx＝＋Δx 3－2Δx＝6＋6Δx ＋2(Δx )2，∴Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于6，∴所求切线斜率为6.3．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为________．答案 45°解析 Δy Δx ＝12x ＋Δx 2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2Δx＝x ＋12Δx ，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于x ，∴曲线在点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处切线斜率为1，倾斜角为45°.4．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程为______________．(已知(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3) 答案 x －y －2＝0 解析 ΔyΔx＝x ＋Δx －x ＋Δx3－4x ＋x3Δx＝4－(Δx )2－3x 2－3x (Δx )，当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于4－3x 2，x ＝－1时，ΔyΔx无限趋近于1， 所以在点(－1，－3)处的切线的斜率为k ＝1， 所以切线方程是x －y －2＝0.5．一物体的运动方程为S ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 答案114解析 ΔS Δt ＝t ＋Δt2＋8－t 2＋Δt＝7Δt ＋14t ，∴Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于14t .∵14t ＝1，∴t ＝114.6．一物体的运动方程是S ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度为________．答案 at 0 解析ΔS Δt＝S t 0＋Δt －S t 0Δt ＝12a Δt ＋at 0，当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于at 0.7．求曲线f (x )＝3x 2－2x 在点(1,1)处切线的斜率．解 ∵Δy Δx ＝f ＋Δx －fΔx＝＋Δx2－＋Δx －2－Δx＝Δx 2＋4ΔxΔx＝3Δx ＋4.∵当Δx 无限趋近于0时，3Δx ＋4无限趋近于4， ∴曲线f (x )＝3x 2－2x 在点(1,1)处切线的斜率为4. 二、能力提升8．已知物体运动的速度与时间之间的关系：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________． 答案 4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v＋Δt －vΔt＝Δt ＋4，当Δt 无限趋近于0时，ΔvΔt无限趋近于4.9．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 答案 14解析 Δy Δx＝a x ＋Δx 2－ax 2Δx＝2ax ＋a Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2ax ＋a Δx 无限趋近于2ax ， 设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1， 且y 0＝x 0－1＝ax 20，解得x 0＝2，a ＝14.10．有一作直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度是________． 答案 －1解析 物体在t ＝2到t ＝2＋Δt 时间内，位移的改变量 ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2.∴该时间段内的平均速度v ＝ΔSΔt ＝－1－Δt ，∴Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于－1，∴此物体在t ＝2时的瞬时速度为－1.11．以初速度v 0 (v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时间的高度为S (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度．解 ∵ΔS ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20 ＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴ΔS Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于v 0－gt 0.故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0.12．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解 令t 0＝6598，Δt 为增量．则h t 0＋Δt －h t 0Δt＝－4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt 2＋6.5×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt ＋10＋4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5Δt Δt＝－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5， ∴Δt 无限趋近于0时，h t 0＋Δt －h t 0Δt无限趋近于0.即运动员在t 0＝6598 s 时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高点处． 三、探究与拓展13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)S ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t①29＋t －2 t②求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为ΔS ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为 ΔS Δt ＝482＝24 (m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 ΔS Δt ＝f ＋Δt －fΔt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt＝3Δt －18，∵当Δt 无限趋近于0时， ΔSΔt＝3Δt －18无限趋近于－18， ∴物体的初速度v 0为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度，即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 ΔS Δt ＝S ＋Δt －SΔt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt＝3Δt －12.当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt ＝3Δt －12无限趋近于－12，∴物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。
【教育学习文章】瞬时变化率---导数学案练习题
瞬时变化率---导数学案练习题
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瞬时变化率——导数
一、知识要点
.瞬时变化率与导数关系；
2.导数的定义，以及当时，求导数方法；
3.理解导数的几何意义。
二、问题情境
.平均变化率、瞬时变化率；
2.在区间上有定义、可导、导数概念；
3.在处导数的表示法；函数的导函数。
三、例题
例1.已知
⑴求在处的导数；⑵求在处导数。
例2.求函数在时的导数。
四、课堂练习
.求下列函数在已知点处的导数
⑴，在处；
⑵在处；
⑶在处。
2.求曲线在点处切线的方程。
3.若，求时的瞬时速度。
五、小结
六、课后反思。
2mjt-匀变速直线运动同步练习
匀变速直线运动双基训练★1.在匀变速直线运动中，下列说法中正确的是( ).【1】 (A )相同时间内位移的变化相同 (B )相同时间内速度的变化相同 (C )相同时间内加速度的变化相同 (D )相同路程内速度的变化相同. 答案:B★2.下图是作直线运动物体的速度-时间图像，其中表示物体作匀变速直线运动的是图( ).【1】答案:BCD★★3.由静止开始作匀加速直线运动的火车，在第10s 末的速度为2m ／s ，下列叙述中正确的是( ).【1】(A )头10s 内通过的路程为10m (B )每秒速度变化0.2m ／s (C )10s 内平均速度为1m ／s (D )第10s 内通过2m 答案:ABC★★4.火车从车站由静止开出作匀加速直线运动，最初1min 内行驶540m ，则它在最初10s 内行驶的距离是( ).【1】(A )90m (B )45m (C )30m (D )15m 答案:D★★5.物体沿一直线运动，在t 时间通过的路程为s ，在中间位置2s处的速度为v 1，在中间时刻2t时的速度为v 2，则v 1和v 2的关系为( ).【2】(A )当物体作匀加速直线运动时，v 1>v 2 (B )当物体作匀减速直线运动时，v 1>v 2 (C )当物体作匀加速直线运动时，v 1<v 2 (D )当物体作匀减速直线运动时，v 1<v 2 答案:AB★★6.质点作匀加速直线运动，初速度是5m ／s ，加速度是1m ／s 2，那么在第4秒末的瞬时速度是______m ／s ，第4秒内的位移是______m .【1】 答案:9,8.5★★7.物体从光滑的斜面顶端由静止开始匀加速下滑，在最后1s 内通过了全部路程的一半，则下滑的总时间为______s .【2】 答案:22★★★8.火车的速度为8m ／s ，关闭发动机后前进70m 时速度减为6m ／s .若再经过50s ，火车又前进的距离为( ).【3】(A )50m (B )90m (C )120m (D )160m 答案:B★★★9.一个从静止开始作匀加速直线运动的物体，从开始运动起，连续通过三段位移的时间分别是1s 、2s 、3s ，这三段位移的长度之比和这三段位移上的平均速度之比分别是( ).【3】(A )1:22:32，1:2:3 (B )1:23:33,1:22:32 (C )1:2:3,1:1:1 (D )1:3:5，1:2:3 答案:B 纵向应用★★10.一物体作匀变速直线运动，速度图像如图所示，则在前4s 内(设向右为正方向)( ).【1】 (A )物体始终向右运动(B )物体先向左运动，2s 后开始向右运动(C )前2s 物体位于出发点的左方，后2s 位于出发点的右方 (D )在t =2s 时，物体距出发点最远 答案:BD★★11.A 、B 两个物体在同一直线上作匀变速直线运动，它们的速度图像如图所示，则( ).【2】 (A )A 、B 两物体运动方向一定相反 (B )头4s 内A 、B 两物体的位移相同 (C )t =4s 时，A 、B 两物体的速度相同 (D )A 物体的加速度比B 物体的加速度大 答案:C★★12.一质点作初速度为零的匀加速直线运动，它在第1秒内的位移为2m ，那么质点在第10秒内的位移为______m ，质点通过第三个5m 所用的时间为______s .【2】 答案:38，)5230(21- ★★13.沿平直公路作匀变速直线运动的汽车，通过连续A 、B 、C 三根电线杆之间间隔所用的时间分别是3s 和2s ，已知相邻两电线杆间距为45m ，求汽车的加速度和通过中间电线杆时的速度.【2】答案:a =3m /s 2,v B =19.5m /s★★★14.如图所示，光滑斜面AE 被分成四个相等的部分，一物体由A 点从静止释放，下列结论中不正确的是( ).【4】 (A )物体到达各点的速率2:3:2:1v :v :v :v E D c B = (B )物体到达各点所经历的时间:D C B E t 32t 22t t ===(C )物体从A 到E 的平均速度B v v =(D )物体通过每一部分时，其速度增量D E C D B C A B v v v v v v v v -=-=-=- 答案:D★★★15.一物体由静止开始作匀加速运动，它在第n 秒内的位移是s ，则其加速度大小为( ).【3】 (A )12n 2s- (B )1n 2s- (C )2n2s (D )1n s +答案:A★★★16.A 、B 、C 三点在同一直线上，一个物体自A 点从静止开始作匀加速直线运动，经过B 点时的速度为v ，到C 点时的速度为2v ，则AB 与BC 两段距离大小之比是( ).【3】(A )1:4 (B )1:3 (C )1:2 (D )1:1 答案:B★★★17.一列火车由静止从车站出发作匀加速直线运动.一位观察者站在这列火车第一节车厢的前端，经过2s ，第一节车厢全部通过观察者所在位置；全部车厢从他身边通过历时6s .设各节车厢长度相等，且不计车厢间距离，则这列火车共有______节车厢；最后2s 内从他身边通过的车厢有_____节；最后一节车厢通过观察者 需要的时间是______s .【4】 答案:9,5,0.34★★★18.如图所示，物体自O 点由静止开始作匀加速直线运动，A 、B 、C 、D 为其轨道上的四点，测得AB =2m ，BC =3m ，CD =4m ，且物体通过AB 、BC 、CD 所用的时间相等，求OA 间的距离.【3】 答案:m 89OA★★★★19.在正常情况下，火车以54km ／h 的速度匀速开过一个小站.现因需要，必须在这一小站停留，火车将要到达小站时，以-0.5m ／s 2的加速度作匀减速运动，停留2min 后，又以0.3m ／s 2的加速度出小站，一直到恢复原来的速度.求因列车停靠小站而延误的时间.【5】答案:△T =160s 横向拓展★★20.如图所示，有两个光滑固定斜面AB 和BC ，A 和C 两点在同一水平面上，斜面BC 比斜面AB 长，一个滑块自A 点以速度v A 上滑，到达B 点时速度减小为零，紧接着沿BC 滑下，设滑块从A 点到C 点的总时间是t c ，那么下列四个图中，正确表示滑块速度大小v 随时间t 变化规律的是( ).(1998年上海高考试题)【2】答案:C★★21.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m ／s 2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m ／s 的速度匀速驶来，从后边赶过汽车，则汽车在追上自行车之前两车相距最远距离是______m ，追上自行车时汽车的速度是______m ／s .【3】 答案:6,12★★22.一打点计时器同定在斜面上某处，一小车拖着穿过打点计时器的纸带从斜面上滑下，如图所示.下图是打出的纸带的一段.已知打点计时器使用的交流电频率为50Hz ，利用图220给出的数据可求出小车下滑的加速度a ______.答案:0.40★★★23.某同学在测定匀变速直线运动的加速度时，得到了几条较为理想的纸带，已知在每条纸带每5个计时点取好一个计数点，两个计数点之间的时间间隔为0.1s，依打点时间顺序编号为0、1、2、3、4、5，由于不小心，纸带被撕断了，如下图所示.请根据给出的A、B、C、D四段纸带回答:(1)在B、C、D三段纸带中选出从纸带A上撕下的那段应是______.(2)打A纸带时，物体的加速度大小是m／s2.【3】答案:(1)B(2)6.6m/s2★★★24.为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离.已知某高速公路的最高限速v=120km／h.假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间(即反应时间)t=0.50s.刹车时汽车受到的阻力的大小f为汽车重力的0.40倍.该高速公路上汽车间的距离s至少应为多少?g取10m／s2.(1999年全国高考试题)p.17【5】答案:156m★★★25.物体在斜面顶端由静止匀加速下滑，最初4s内经过的路程为s1，最后4s内经过的路程为s2,且s2-s1=8m，s1:s2=1:2，求斜面的全长.【6】答案:18m★★★26.摩托车以速度v1沿平直公路行驶，突然驾驶员发现正前方离摩托车s处，有一辆汽车正以v2的速度开始减速，且v2<v1，汽车的加速度大小为a2.为了避免发生碰撞，摩托车也同时减速，问其加速度a1，至少需要多大?【5】答案:2s )vv(aa2 2121++=★★★★27.利用打点计时器研究一个约1.4m高的商店卷帘窗的运动.将纸带粘在卷帘底部，纸带通过打点计时器随帘在竖直面内向上运动.打印后的纸带如下图所示，数据如表格所示.纸带中AB、BC、CD……每两点之间的时间间隔为0.10s，根据各间距的长度，可计算出卷帘窗在各间距内的平均速度v平均.可以将v平均近似地作为该间距中间时刻的即时速度v.(1)请根据所提供的纸带和数据，绘出卷帘窗运动的v-t图像.(2)AD段的加速度为______m／s2，AK段的平均速度为______m／s.(2001年上海高考试题)【8】卷帘运动数据答案:(1)如图所示(2)1.39★★★★28.如图所示，甲、乙、丙三辆车行驶在平直公路上，车速分别为6m ／s 、8m ／s 、9m ／s .当甲、乙、丙三车依次相距5m 时，乙车驾驶员发现甲车开始以1m ／s 2的加速度作减速运动，于是乙也立即作减速运动，丙车驾驶员也同样处理，直到三车都停下来时均未发生撞车事故.问丙车作减速运动的加速度至少应为多大?【8】答案:1.45m /s 2★★★★29.有一架电梯，启动时匀加速上升，加速度为2m ／s 2，制动时匀减速上升，加速度为-1m ／s 2，楼高52m .问:(1)若上升的最大速度为6m ／s ，电梯升到楼顶的最短时间是多少?(2)如果电梯先加速上升，然后匀速上升，最后减速上升，全程共用时间为16s ，上升的最大速度是多少?【8】 答案:(1)13.17(2)4m /s★★★★30.A 、B 两站相距s ，将其分成n 段，汽车无初速由A 站出发，分n 段向B 站作匀加速直线运动，第一段的加速度为a .当汽车到达每一等份的末端时，其加速度增加na，求汽车到达B 站时的速度.【8】 答案:as n)13n ( ★★★★31.如图所示，两等高光滑的斜面AC 和A ′B ′C ′固定.已知斜面总长AC =A ′B ′+B ′C ′，且θ>θ′.让小球分别从两斜面顶端无初速滑下，到达斜面底部的时间分别为t 和t ′.若不计在转折处的碰撞损失，则t 和t ′应当是什么关系? 答案:t >t ′★★★★★32.如图所示的滑轮组，物体1、2分别具有向下的加速度a 1和a 2，物体3具有向上的加速度a 3，求a 1、a 2、a 3之间的关系. 答案:)a a (21a 213+=。
苏教版高中数学选修2-2高二第二学期滚动练习---导数在函数中的应用
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）导数在函数中的应用1、 若函数42()f x ax bx c =++满足(1)2f '=，则(1)f '-= ．2、 曲线3()2f x x x =+-在0P 处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点的坐标为 ．3、 函数()ln f x x x =的单调递减区间为 ．4、 已知函数32()f x ax x bx =++ (其中常数a ,b ∈R )，()()()g x f x f x '=+是奇函数，则()f x 的表达式 ．5、 若函数2()1x af x x +=+在x ＝1处取得极值，则a ＝ ．6、 设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点（1，g (1)）处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线()y f x =在点（1，f (1)）处切线的斜率为 ．7、 （2011浙江文）设函数()()2,,f x ax bx c a b c =++∈R ，若1x =-为函数()e x f x 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是 ．8、 函数3()3(0)f x x ax b a =-+>的极大值为6，极小值为2,则()f x 的减区间是 ．9、 ()()2f x x x c =-在x ＝ 2处有极大值，则常数c 的值为 ．10、方程076223=+-x x 在（0，2）内根的个数是 ．11、已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 ．yO x－1① yO x－1②yOx－1③yO x－1④12、设函数()y f x =在（-∞，＋∞）内有定义．对于给定的正数k ，定义函数(),();(),()k f x f x k f x k f x k ⎧=⎨>⎩≤，取函数()2x f x x e -=--．若对任意的(,)x ∈-∞+∞，恒有()()k f x f x =，则k 的最 值为 ．答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3、 4、 5、 6 、 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、设函数f （x ）＝14x 4＋bx 2＋cx ＋d ，当x ＝t 1时，f （x ）有极小值． （1）若b ＝－6时，函数f （x ）有极大值，求实数c 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若存在实数c ，使函数f （x ）在闭区间［m －2，m ＋2］上单 调递增，求实数m 的取值范围．1．2-； 2．(1,0)和(－1,－4)； 3．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭；4．1,03a b =-=；5．3； 6．4； 7．①；8．(1,1)-； 9．6；10．1；11．9万件；12．小，1．1．解析：3()42,f x ax bx '=+则此函数为奇函数，所以(1)(1)2f f ''-=-=-． 6．提示：由已知(1)2g '=，而()()2f x g x x ''=+，所以(1)(1)214f g ''=+⨯=． 7． 因为函数()y f x =的导函数．．．()y f x '=在区间[],a b 上是增函数，即在区间[],a b 上各点处的斜率k 是递增的，由图易知选①，注意③中y k '=为常数．8．/2()6,()2,1,4,()330f a f a a b f x x -====-=-<可求得解所以得减区间是(1,1)-． 9．注意c ＝2时，2不是极值．10．记32()267f x x x =-+，由/2()6126(2)0f x x x x x =-=-<知()(0,2)f x 在是减函数，又(0)(2)0f f <所以只有一个根．11．解析：令导数'2810y x =-+>，解得09x <<；令导数2810y x '=-+<，解得9x >，所以函数31812343y x x =-+-在区间(0,9)上是增函数，在区间(9,)+∞上是减函数，所以在9x =处取极大值，也是最大值．12．提示：由()10x f x e -'=-+=知x ＝0，所以(,0)x ∈-∞时，()0f x '>，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以max ()(0)1f x f ==即()f x 的值域是(],1-∞，而要使()()k f x f x =在R上恒成立，结合条件取不同的k 值，可得k 取最小值为1时符合，此时()()k f x f x =． 13．解：（1）因为 f （x ）＝14x 4＋bx 2＋cx ＋d ，所以h （x ）＝f ′（x ）＝x 3－12x ＋c ．由题设，方程h （x ）＝0有三个互异的实根．考察函数h （x ）＝x 3－12x ＋c ，则h ′（x ）＝0，得x ＝±2．x (－∞,－2) －2 (－2,2) 2 (2,＋∞)所以160,160.cc+>⎧⎨-<⎩故－16<c<16．（2）存在c∈(－16，16)，使f′(x)≥0，即x3－12x≥－c，（*）所以x3－12x>－16，即（x－2）2（x＋4）>0（*）在区间［m－2，m＋2］上恒成立．所以［m－2，m＋2］是不等式（*）解集的子集．所以24,22,mm->-⎧⎨+<⎩或m－2>2，即－2<m<0，或m>4．h′(x) ＋0 －0 ＋h(x) 增c＋16(极大值) 减c－16(极小值) 增。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率及其导数同步练习(含解析)新人教A版选修2-2(20
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1.1变化率及其导数1、曲线3123y x =-在点 （1，53） 处切线的斜率为（ )1 C 。
—1 D 。
答案：B解析：分析:函数在某一点的导数值是该点切线的斜率，这就是导数的几何意义. 2. 设()cos3()f x x x R =∈，则曲线y=f （x ）在4x π=处的切线的斜率为( ）B. 2-C.2D 。
2答案：B解析：解答：因为()3(sin 3)3sin 3f x x x '=-=-，根据导数的几何意义可知，曲线y=f （x)在4x π=处的切线的斜率为()3sin 44f ππ'=-=B ．分析:函数在某一点的导数值是该点切线的斜率，这就是导数的几何意义。
3. 若曲线3y x ax =+在坐标原点处的切线方程是2x-y=0，则实数a=( ） A ．1 B ． —1 C ．2 D ． —2答案：C解析：解答：根据题意，由于曲线3y x ax =+在坐标原点处的切线方程是2x —y=0，则根据导数公式可知，23y x a '=+，将x=0代入可知，y'=2,故可知a=2,因此答案为C. 分析：主要是考查由于导数求解曲线的切线方程的运用，属于基础题。
6mjt-函数的实际应用
函数的实际应用例3 经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．[解析] (1)y ＝g (t )·f (t )＝(80－2t )·(20－12|t －10|)＝(40－t )(40－|t －10|)⎩⎪⎨⎪⎧30＋t 40－t 0≤t <10，40－t50－t10≤t ≤20.(2)当0≤t <10时，y 的取值范围是[1 200,1 225]， 当t ＝5时，y 取得最大值为1 225；当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600,1 200]， 在t ＝20时，y 取得最小值为600.答：总之，第5天日销售额y 取得最大值为1 225元；第20天日销售额y 取得最小值为600元．『规律总结』函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序(1)常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．(2)应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答(3)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．G 跟踪训练en zong xun lian(2018·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ [解析] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．A 组1．(文)函数f (x )＝－1x＋log 2x 的一个零点落在区间( B )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[解析] ∵f (1)·f (2)<0，∴选B ．(理)在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( D )A ．(1.4,2)B ．(1.1,4)C ．(1，32)D ．(32，2)[解析] 令f (x )＝x 3－2x －1，则f (1)＝－2<0，f (2)＝3>0，f (32)＝－58<0，∴选D ．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( D )A ．12，0B ．－2,0C ．12D ．0[解析] 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0.3.已知函数f (x )＝(12)x －cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 作出g (x )＝(12)x 与h (x )＝cos x 的图象，可以看出其在[0,2π]上的交点个数为3.故选C ．4．已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( A )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个[解析] 在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图象，如图．又lg 10＝1，由图象知选A ．5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( D )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油[解析] 对于A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L ，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A 错误．对于B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C 选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L ，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L 汽油，所以C 错误．对于D 选项，当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D 正确．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －22，x >2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点的个数为( A )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 当x <0时，f (2－x )＝x 2，此时函数f (x )－g (x )＝－1－|x |＋x 2的小于零的零点为x ＝－1＋52；当0≤x ≤2时，f (2－x )＝2－|2－x |＝x ，函数f (x )－g (x )＝2－|x |＋x －3＝－1无零点；当x >2时，f (2－x )＝2－|2－x |＝4－x ，函数f (x )－g (x )＝(x －2)2＋4－x －3＝x 2－5x ＋5大于2的零点有一个．因此函数y ＝f (x )－g (x )共有零点2个．7．已知函数f (x )＝(15)x －log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<x 1<x 0，则f (x 1)>0(填“>”、“<”、“≥”、“≤”)．[解析] 方法一：∵f (x )＝(15)x －log 3x 在(0，＋∞)上为减函数，且0<x 1<x 0，∴f (x 1)>f (x 0)．方法二：如图知，f (x 1)>f (x 0)．8．(文)函数f (x )对一切实数x 都满足f (12＋x )＝f (12－x )，并且方程f (x )＝0有三个实根，则这三个实根的和为32.[解析] 函数图象关于直线x ＝12对称，方程f (x )＝0有三个实根时，一定有一个是12，另外两个关于直线x ＝12对称，其和为1，故方程f (x )＝0的三个实根之和为32.(理)(2015·四川卷，13)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b ＝192，e22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14，e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝18×192＝24. 9．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k (1≤k ≤4，且k ∈R )个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放在浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为y ＝k ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧248－x －1，0≤x ≤4，7－12x ，4<x ≤14.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次k 个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k 的值．(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．[解析] (1)由题意知k (248－2－1)＝3，所以k ＝1. (2)因为k ＝4，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧968－x －4，0≤x ≤4，28－2x ，4<x ≤14.当0≤x ≤4时，由968－x－4≥4，解得－4≤x <8，所以0≤x ≤4.当4<x ≤14时，由28－2x ≥4，解得x ≤12， 所以4<x ≤12.综上可知，当y ≥4时，0≤x ≤12，所以只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟． (3)在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为2×(7－12×12)＋1×[24812－10－1]＝5(克/升)，又5>4，所以在第12分钟时还能起到有效去污的作用．B 组1．已知函数f (x )＝e x ＋x ，g (x )＝ln x ＋x ，h (x )＝ln x －1的零点依次为a ，b ，c ，则( A ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <a <c[解析] 由f (a )＝e a ＋a ＝0，得a ＝－e a <0；b 是函数y ＝ln x 和y ＝－x 图象交点的横坐标，画图(图略)可知0<b <1；由h (c )＝ln c －1＝0知c ＝e ，所以a <b <c .2．(2018·湖北武昌1月调研)已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1,1)，f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( A )A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－3,1)D ．(1，＋∞)[解析] 函数f (x )＝2ax －a ＋3，由∃x 0∈(－1,1)，f (x 0)＝0，可得(－3a ＋3)(a ＋3)<0，解得a ∈(－∞，－3)∪(1，＋∞)．3．利民工厂某产品的年产量在150t 至250t 之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (t)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为( B )A ．240B ．200C ．180D ．160[解析] 依题意得每吨的成本是y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x10＝4000x ，即x ＝200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200t ，选B ．4．(2017·郑州质量预测)设函数f (x )＝e x ＋2x －4，g (x )＝ln x ＋2x 2－5，若实数a ，b 分别是f (x )，g (x )的零点，则( A )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0[解析] 依题意，f (0)＝－3<0，f (1)＝e －2>0，且函数f (x )是增函数，因此函数f (x )的零点在区间(0,1)内，即0<a <1.g (1)＝－3<0，g (2)＝ln 2＋3>0，函数g (x )的零点在区间(1,2)内，即1<b <2，于是有f (b )>f (1)>0.又函数g (x )在(0,1)内是增函数，因此有g (a )<g (1)<0.所以g (a )<0<f (b )．故选A ．5．(2017·湖北宜昌模拟)某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数y ＝f (x )的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( C )A ．上午10：00B ．中午12：00C ．下午4：00D ．下午6：00[解析] 当x ∈[0,4]时，设y ＝k 1x ，把(4,320)代入，得k 1＝80，∴y ＝80x . 当x ∈[4,20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4,320)，(20,0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k 2＋b ＝320，20k 2＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，b ＝400，∴y ＝400－20x .∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ，0≤x ≤4，400－20x ，4<x ≤20，由y ≥240，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤4，80x ≥240，或⎩⎪⎨⎪⎧4<x ≤20，400－20x ≥240.解得3≤x ≤4或4<x ≤8， ∴3≤x ≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00. 故选C ．6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3x ， x ≤013x 3－4x ＋a ， x >0在其定义域上只有一个零点，则实数a 的取值范围是( A )A ．a >163B ．a ≥163C ．a <163D ．a ≤163[解析] 当x ≤0时，函数y ＝－x 与函数y ＝3x 的图象有一个交点， 所以函数y ＝f (x )有一个零点；而函数f (x )在其定义域上只有一个零点， 所以当x >0时，f (x )没有零点． 当x >0时，f ′(x )＝x 2－4，令f ′(x )＝0得x ＝2，所以f (x )在(0,2)上递减，在(2，＋∞)上递增，因此f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝a －163>0，解得a >163.故选A ．7．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则[x 0]＝2.[解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且易判断函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝ln 2－1<0，f (e)＝ln e －2e>0，知x 0∈(2，e)，所以[x 0]＝2.8．定义域为R 的偶函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，若函数y ＝f (x )－log a (|x |＋1)在(0，＋∞)上至多有三个零点，则a的取值范围是(5，1)∪(1，＋∞).[解析] 对于偶函数f (x )，f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，令x ＝－1，则f (1)＝f (－1)－f (1)，因为f (－1)＝f (1)，所以f (－1)＝f (1)＝0，所以f (x )＝f (x ＋2)，故f (x )的图象如图所示，则问题等价于f (x )的图象与函数y ＝log a (|x |＋1)的图象在(0，＋∞)上至多有三个交点，显然a >1符合题意；若0<a <1，则由图可知，只需点(4，－2)在函数y ＝log a (|x |＋1)图象的上方，所以log a 5<－2＝log a 1a 2⇒5>1a 2⇒55<a <1.综上，实数a 的取值范围是(55，1)∪(1，＋∞)．9．已知函数y ＝f (x )，若在定义域内存在x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则称x 0为函数f (x )的局部对称点．(1)若a ∈R 且a ≠0，证明：函数f (x )＝ax 2＋x －a 必有局部对称点；(2)若函数f (x )＝2x ＋b 在区间[－1,2]内有局部对称点，求实数b 的取值范围；(3)若函数f (x )＝4x －m ·2x ＋1＋m 2－3在R 上有局部对称，求实数m 的取值范围．[解析] (1)由f (x )＝ax 2＋x －a 得f (－x )＝ax 2－x －a ，代入f (－x )＝－f (x )得ax 2＋x －a ＋ax 2－x －a ＝0，得到关于x 的方程ax 2－a ＝0(a ≠0)，其中Δ＝4a 2，由于a ∈R 且a ≠0，所以Δ>0恒成立，所以函数f (x )＝ax 2＋x －a 必有局部对称点．(2)f (x )＝2x ＋b 在区间[－1,2]内有局部对称点，所以方程2x ＋2－x ＋2b ＝0在区间[－1,2]上有解，于是－2b ＝2x ＋2－x ，设t ＝2x ，12≤t ≤4，所以－2b ＝t ＋1t ，其中2≤t ＋1t ≤174， 所以－178≤b ≤－1. (3)因为f (－x )＝4－x －m ·2－x ＋1＋m 2－3， 由f (－x )＝－f (x )，所以4－x －m ·2－x ＋1＋m 2－3＝－(4x －m ·2x ＋1＋m 2－3)， 于是4x ＋4－x －2m (2x ＋2－x )＋2(m 2－3)＝0…(*)在R 上有解， 令t ＝2x ＋2－x (t ≥2)，则4x ＋4－x ＝t 2－2， 所以方程(*)变为t 2－2mt ＋2m 2－8＝0在区间[2，＋∞)内有解，需满足条件： ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4m 2－8m 2－40，2m ＋48－m 22≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧ －22≤m ≤22，1－3≤m ≤22，化简得1－3≤m ≤2 2.。
mjt-汽车问题练习
1、（2002年上海）铁路提速，要解决许多技术问题.通常，列车阻力与速度平方成正比，即f =kv 2.列车要跑得快，必须用大功率机车来牵引.试计算列车分别以 120 km/h 和40 km/h 的速度匀速行驶时，机车功率大小的比值.（1）试计算列车分别以120 km/h 和40 km/h 的速度匀速行驶时，机车功率大小的比值（提示：物理学中重要的公式有F =ma ，W =F s ，P =Fv ，s =v 0t +21at 2）． （2）除上题涉及的问题外，还有许多其他技术问题需要解决．例如：为了减少列车在高速行驶中的振动，需要把原先的有接缝轨道改为无接缝轨道．请你再举一例，并简要说明．解析：（1）列车匀速运动时牵引力F 与受阻力F f 相等，且F =F f ，而F f =kv 2，则P =F ·v =k v 3，代入v 1=120 km/h ，v 2=40 km/h 可得P 1/P 2=27/1（2）在轨道（弯道）半径一定的情况下，火车速度越大，所需向心力越大，通过增大弯道半径可以减小向心力．2、额定功率为80 kW 的汽车，在平直的公路上行驶的最大速度为20 m/s.已知汽车的质量为2×103 kg ，若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度的大小为2 m/s 2.假定汽车在整个运动过程中阻力不变.求：（1）汽车受到的阻力F f ；（2）汽车在3 s 末的瞬时功率；3、质量为m =4×103 kg 的汽车发动机的额定功率P 0=40×103 W ，汽车从静止开始，以a =0.5 m/s 2的加速度做匀加速直线运动，所受阻力恒为F f =2×103 N ，求：（1）汽车匀加速运动所用的时间t ；（2）汽车可达的最大速度v m ；（3）汽车速度为2v m /3时的加速度a ′4、汽车质量为5 t ，其发动机额定功率为37.5 kW ，汽车在水平道路上从静止开始起动，开始一段时间内，以加速度1.0 m/s 2做匀加速运动，最后匀速运动的速度为15 m/s.求：（1）汽车做匀加速运动的时间.（2）汽车匀速运动后关闭发动机，还能滑多远？5、一辆电动汽车的质量为1×103 kg ，额定功率为2×104 W ，在水平路面上由静止开始做直线运动，最大速度为v 2，运动中汽车所受阻力恒定.发动机的最大牵引力为3×103 N ，其行驶过程中牵引力F 与车速的倒数1/v 的关系如图所示.1）v2（2（3）当汽车的速度为10 m/s 时，发动机的功率.【解析】（1）图线AB 牵引力F 不变，阻力f 不变，汽车作匀加速直线运动，图线BC 的斜率表示汽车的功率P ，P 不变，则汽车作加速度减小的变加速直线运动，直至达最大速度v 2，此后汽车作匀速直线运动。
mjt-电场练习题目
电场1、图18所示为美国物理学家密立根测量油滴所带电荷量装置的截面图，两块水平放置的平行金属板间距离为d 。
油滴从喷雾器的喷嘴喷出时，由于与喷嘴摩擦而带负电。
油滴散布在油滴室中，在重力作用下，少数油滴通过上面金属板的小孔进入平行金属板间。
当平行金属板间不加电压时，由于受到气体阻力的作用，油滴最终以速度v 1竖直向下匀速运动；当上板带正电，下板带负电，两板间的电压为U 时，带电油滴恰好能以速度v 2竖直向上匀速运动。
已知油滴在极板间运动时所受气体阻力的大小与其速率成正比，油滴密度为ρ，已测量出油滴的直径为D （油滴可看做球体，球体体积公式V =16πD 3），重力加速度为g 。
（1）设油滴受到气体的阻力f =kv ，其中k 为阻力系数，求k 的大小； （2）求油滴所带电荷量。
2、图18为示波管的示意图，竖直偏转电极的极板长l ＝4.0 cm ，两板间距离d ＝1.0 cm ，极板右端与荧光屏的距离L ＝18 cm 。
由阴极发出的电子经电场加速后，以v=1.6×107 m ／s 的速度沿中心线进入竖直偏转电场。
若电子由阴极逸出时的初速度、电子所受重力及电子之间的相互作用力均可忽略不计，已知电子的电荷量e ＝1.6×10-19 C ，质量m ＝0.91×10-30 kg 。
（1）求加速电压U 0的大小； （2）要使电子束不打在偏转电极的极板上，求加在竖直偏转电极上的电压应满足的条件；（3）在竖直偏转电极上加u ＝40 sin100πt （V ）的交变电压，求电子打在荧光屏上亮线的长度。
3、在图17所示为一真空示波管，电子从灯丝K 发出（初速度不计），经灯丝与A 板间的加速电压U 1加速，从A 板中心孔沿中心线kO 射出，然后进入两块平行金属板M 、N 形成的偏转电场中（偏转电场可视为匀强电场），电子进入M 、N 间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P 点。
6mjt-导数的简单应用与定积分(理)
导数的简单应用与定积分(理)本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)理解并掌握求导公式和求导法则及定积分的计算公式及性质．(2)熟练掌握利用导数研究曲线切线问题、函数的单调性、极(最)值问题的方法和规律． 预测2019年命题热点为：(1)根据曲线的切线的斜率大小、方程或切线的性质求参数的取值问题．(2)利用导数研究含有参数的高次式、分式、指数式(主要含e x )，对数式(主要含ln x )及三角式(主要含sin x ，cos x )函数的单调性、极(最)值问题．Z 知识整合hi shi zheng he1．基本初等函数的八个导数公式(1)[f(x)±g(x)]′＝f_′(x)±g′(x).(2)[f(x)·g(x)]′＝f_′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x).(3)[f xg x]′＝f x g x f x g x[g x](g(x)≠0)．(4)(理)若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝a·y′u.3．切线的斜率函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f_′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f_′(x0)(x－x0).4．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f_′(x0)>0(f_′(x0)<0)，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增(单调递减)．5．函数的极值设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点x，都有f(x)<f(x0)，那么f(x0)是函数的一个极大值，记作y 极大值＝f (x 0)；如果对x 0附近的所有的点都有f (x )>f (x 0)，那么f (x 0)是函数的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)．极大值与极小值统称为极值．6．函数的最值将函数y ＝f (x )在[a ，b ]内的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．7．(理)(1)定积分的性质 ①⎠⎜⎛a b kf(x)d x ＝k ⎠⎜⎛ab f(x)d x ；②⎠⎜⎛a b [f 1(x)±f 2(x)]d x ＝⎠⎜⎛a b f 1(x)d x ±⎠⎜⎛ab f 2(x)d x ；③⎠⎜⎛ab f(x)d x ⎠⎜⎛ac f(x)d x ＋⎠⎜⎛cb f(x)d x(其中a<c<b)．(2)微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且f ′(x)＝f(x)，那么⎠⎜⎛ab f(x)d x ＝F(b)－F(a)．Y 易错警示i cuo jing shi1．判断极值的条件掌握不清：利用导数判断函数的极值时，忽视“导数等于零，并且两侧导数的符号相反”这两个条件同时成立．2．混淆在点P 处的切线和过点P 的切线：前者点P 为切点，后者点P 不一定为切点，求解时应先设出切点坐标．3．关注函数的定义域：求函数的单调区间及极(最)值应先求定义域． (理)4.对复合函数求导法则用错．1．(2018·全国卷Ⅰ，5)设函数f ()x ＝x 3＋()a －1x 2＋ax .若f ()x 为奇函数，则曲线y ＝f ()x 在点()0，0处的切线方程为( D )A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x[解析]因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(0)＝1，所以切线方程为y＝x.2．(2017·全国卷Ⅱ，11)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点，则f(x)的极小值是( A )A．－1 B．－2e－3C．5e－3D．1[解析]函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1则f′(x)＝(2x＋a)e x－1＋(x2＋ax－1)·e x－1＝e x－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．由x＝－2是函数f(x)的极值点得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)e x－1，f′(x)＝e x－1·(x2＋x－2)．由e x－1>0恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且x<－2时，f′(x)>0；－2<x<1时，f′(x)<0；x>1时，f′(x)>0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点．所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.故选A．3．(2017·浙江卷，7)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( D )[解析] 观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增． 观察选项可知，排除A ，C ．如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 确，故选D ．4．(文)(2018·全国卷Ⅱ，13)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为y ＝2x －2. [解析] y ′＝2x ，k ＝21＝2，所以切线方程为y －0＝2(x －1)即y ＝2x －2.(理)(2018·全国卷Ⅱ，13)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x . [解析] y ′＝2x ＋1，k ＝20＋1＝2， 所以切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x .5．(2018·天津卷，10)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为e. [解析] 因为f (x )＝e x ln x ，所以f ′(x )＝(e x ln x )′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ·ln x ＋e x ·1x，f ′(1)＝e 1·ln 1＋e 1·11＝e. 6．(2018·江苏卷，11)若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值的和为－3.[解析] 令f (x )＝2x 3－ax 2＋1＝0⇒a ＝2x ＋1x 2，令g (x )＝2x ＋1x 2，g ′(x )＝2－2x3>0⇒x >1⇒g (x )在(0,1)上单调减，在(1，＋∞)上单调增．因为有唯一零点，所以a ＝g (1)＝2＋1＝3⇒f (x )＝2x 3－3x 2＋1， 求导可知在[－1,1]上，f (x )min ＝f (－1)＝－4，f (x )max ＝f (0)＝1，所以f (x )min ＋f (x )max ＝－3.7．(文)(2018·北京卷，19)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围． [解析] (1)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ，f ′(2)＝(2a －1)e 2， 由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)方法一：由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x若a >1，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1时，f ′(x )<0.当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)． 方法二：f ′(x )＝(ax －1)(x －1)e x . ①当a ＝0时，令f ′(x )＝0得x ＝1.f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )在②当a >0时，令f ′(x )＝0得x 1＝1a，x 2＝1.(ⅰ)当x 1＝x 2，即a ＝1时，f ′(x )＝(x －1)2e x ≥0， 所以f (x )在R 上单调递增， 所以f (x )无极值，不合题意．(ⅱ)当x 1>x 2，即0<a <1时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：(ⅲ)当x 1<x 2，即a >1时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：③当a <0时，令f ′(x )＝0得x 1＝1a，x 2＝1.f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：综上所述，a 的取值范围为(1，＋∞)．(理)(2018·北京卷，18)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . (1)若曲线y ＝ f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． [解析] (1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0，所以a 的值为1. (2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值． 若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是(12，＋∞)．8．(文)(2018·天津卷，20(1)(2))设函数f (x )＝(x －t 1)(x －t 2)(x －t 3)，其中t 1，t 2，t 3∈R ，且t 1，t 2，t 3是公差为d 的等差数列．(1)若t 2＝0，d ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)若d ＝3，求f (x )的极值．[解析] (1)由已知，可得f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＝x 3－x ，故f ′(x )＝3x 2－1，因此f (0)＝0，f ′(0)＝－1，又因为曲线y ＝f (x )在点(0, f (0))处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)(x －0)，故所求切线方程为x ＋y ＝0.(2)由已知可得f (x )＝(x －t 2＋3)( x －t 2) (x －t 2－3) ＝( x －t 2)3－9 ( x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x － t 32＋9t 2. 故f ′(x )＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9. 令f ′(x )＝0，解得x ＝ t 2－3，或x ＝ t 2＋3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：＋3)＝(3)3－9×3＝－63.(理)(2018·天津卷，20(1)(2))已知函数f (x )＝a x ，g (x )＝log a x ，其中a >1. (1)求函数h (x )＝f (x )－x ln a 的单调区间；(2)若曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线与曲线y ＝g (x )在点(x 2，g (x 2))处的切线平行，证明x 1＋g (x 2)＝－2ln ln a ln a.[解析] (1)由已知，h (x )＝a x －x ln a ，有h ′(x )＝a x ln a －ln a . 令h ′(x )＝0，解得x ＝0.由a >1，可知当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如表：所以函数(2)由f′(x)＝a x ln a，可得曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线斜率为ax1ln a.由g′(x)＝1x ln a，可得曲线y＝g(x)在点(x2，g(x2))处的切线斜率为1x2ln a.因为这两条切线平行，故有ax1ln a＝1x2ln a，即x2ax1(ln a)2＝1.两边取以a为底的对数，得log a x2＋x1＋2log a(ln a)＝0，所以x1＋g(x2)＝－2ln ln aln a.。
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第一章 导数及其应用
[综合训练]
一、选择题
1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000
()()
lim
h f x h f x h h
→+--
的值为（ ）
A ．'0()f x
B ．'02()f x
C ．'
02()f x - D ．0
2．一个物体的运动方程为2
1t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A ．7米/秒
B ．6米/秒
C ．5米/秒
D ．8米/秒
3．函数3
y x x =+的递增区间是（ ）
A ．),0(+∞
B ．)1,(-∞
C ．),(+∞-∞
D ．),1(+∞
4．3
2
()32f x ax x =++,若'
(1)4f -=,则a 的值等于（ ）
A ．319
B ．316
C ．313
D ．3
10
5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．必要非充分条件
6．函数344
+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）
A ．72
B ．36
C ．12
D ．0 7．函数()3
2
3922y x x x x =---<<有（ ）
A ．极大值5，极小值27-
B ．极大值5，极小值11-
C ．极大值5，无极小值
D ．极小值27-，无极大值
8．曲线3
()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(2,8)
C ．(1,0)和(1,4)--
D ．(2,8)和(1,4)--
9．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足'
'
()()f x g x =,则
()f x 与()g x 满足（ ）
A ．()f x =()g x
B ．()f x -()g x 为常数函数
C ．()f x =()0g x =
D ．()f x +()g x 为常数函数
10．若函数2
()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'
()f x 的图象是（ ）
11．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，
则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'
(1)()0x f x -≥，则必有（ ）
A ． (0)(2)2(1)f f f +
< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C.
(0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +>
二、填空题
1．若3'
0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；
2．曲线x x y 43
-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin x
y x
=
的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数552
3
--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。
6．函数2cos y x x =+在区间[0,
]2
π
上的最大值是 。
7．函数3
()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________。
8．若3
2
()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数，则,,a b c 的关系式为是 。
9．函数3
2
2
(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为________。
三、解答题
1．求函数3
2
()23121f x x x x =+-+的极值:
2．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3
2
35y x x =+-相切的直线方程。
3．求函数()()()y x a x b x c =---的导数。
4．求函数5
4
3
()551f x x x x =+++在区间[]4,1-上的最大值与最小值。
5．已知函数2
3
bx ax y +=，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值； （2）求函数y 的极小值。