校数学(理)试题金卷10套：(第11卷)河北省唐山市2019届高三上学期第一次调研统考理数试题解析(原卷版)
唐山市2018-2019学年第一学期高三年级一模考试理科数学含答案
x y （10）已知双曲线 C： － 2＝1（b＞0），F1，F2 分别为 C 的左、右焦点，过 F2 的直线 l 交 C 的 16 b 左、右支分别于 A，B，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝ A．4 B．8 C．16 D．32 （11）设函数 f (x)＝aex－2sin x，x∈[0，π]有且仅有一个零点，则实数 a 的值为 A． 2e4 C． 2e2
A
（20） （12 分） 为了保障全国第四次经济普查顺利进行， 国家统计局从东部选择江苏， 从中部选择河北、 湖北， 从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基 层的普查小区． 在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致 入户登记不够顺利， 这为正式普查提供了宝贵的试点经验． 在某普查小区， 共有 50 家企事业单位， 150 家个体经营户，普查情况如下表所示： 普查对象类别 顺利 不顺利 合计 企事业单位 40 10 50 100 50 150 个体经营户 140 60 200 合计 （1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法； （2）根据列联表判断是否有 90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的 类别有关” ； （3）以频率作为概率，某普查小组从该小区随机选择 1 家企事业单位，3 家个体经营户作为普 查对象，入户登记顺利的对象数记为 X，写出 X 的分布列，并求 X 的期望值． 附：K2＝ n(ad－bc)2 (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
π π π － 4 － π 2
B． 2e
D． 2e
（12） 一个封闭的棱长为 2 的正方体容器， 当水平放置时， 如图， 水面的高度正好为棱长的一半． 若 将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为 A．1 B． 2 2 3 C． 3 D． 3
河北省唐山市2019届高三上学期第一次摸底考试数学(理)试题+扫描版含答案
唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：ADBCD DACCB CB B 卷：ADBBD DACABCB二．填空题： （13）2（14）12（15）2 6 （16）(1，3)三．解答题： 17．解：（1）由已知可得，2S n ＝3a n －1， ① 所以2S n －1＝3a n －1－1 （n ≥2）， ② ①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，化简为a n ＝3a n －1（n ≥2），即a na n －1＝3（n ≥2）， …3分在①中，令n ＝1可得，a 1＝1， …4分 所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n ＝3n －1． …6分（2）b n ＝(n －1)·3n －1，T n ＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n －1)·3n －1， ③则3T n ＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n． ④③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)·3n ， …8分＝3－3n 1－3－(n －1)·3n＝(3－2n )·3n －32． …10分 所以，T n ＝(2n －3)·3n ＋34． …12分 18．解：（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品， 所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率 P ＝4×5＋6×510×10＝12． …5分（2）X 可取0，1，2，3． …6分P (X ＝0)＝C 04C 36C 310＝16； P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝12；P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝310； P (X ＝3)＝C 34C 06C 310＝130； …10分X 的分布列为∴随机变量X 的期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65． …12分 19．解：（1）∵直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，D 为AC ∴BD ⊥CD ，又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ， ∴CD ⊥平面PBD ， ∴CD ⊥PD ， 又∵AD ⊥BD ， ∴PD ⊥BD ．又因为BD ∩CD ＝D ， ∴PD ⊥平面BCD ． …5分（2）以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (2，0，0)，B (0，2，0)，C (－2，0，0)，P (0，0，2)，PA →＝(2，0，－2)，PB →＝(0，2，－2)，CB →＝(2，2，0)设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由PB →·n ＝0，CB →·n ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，2x ＋2y ＝0，取n ＝(1，－1，－1)．…9分cos 〈PA →，n 〉＝PA →·n |PA →||n |＝63，∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为63． …12分20．解：（1）由已知可得，y 1＝x 21，y 2＝x 22，所以y 1－y 2＝x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(x 1－x 2)，此时，直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2．…4分（2）因为OB ⊥l ，所以k OB ＝－1k ，又因为k OB ＝y 2x 2＝x 22x 2＝x 2，所以，x 2＝－1k ，…6分又由（1）可知，x 1＋x 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝k ，从而有，x 1＝k －x 2＝k ＋1k ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|k ＋ 2k |，|OB |＝x 22＋y 22＝x 22＋x 42＝1k 2＋1k 4＝1＋k 2k 2，…9分因为|AB |＝3|OB |，所以1＋k 2|k ＋2k |＝31＋k 2k 2，化简得，|k 3＋2k |＝3， 解得，k ＝±1，所以，|AB |＝1＋k 2|k ＋ 2k |＝32．…12分21．解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝ln x ＋1x ，所以f '(x )＝1x －1x 2．…1分设切点为(x 0，f (x 0))，曲线y ＝f (x )与y ＝m 相切，得f '(x 0)＝0， 解得x 0＝1，所以切点为（1，1）． …3分 所以m ＝1． …4分 （2）依题意得f (1)≥ea ，所以1≥ ea ，从而a ≥e ．…5分因为f '(x )＝x －ln ax 2ln a ，a ≥e ，所以当0＜x ＜ln a 时，f '(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞ln a 时，f '(x )＞0，f (x )单调递增，所以当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值log a (ln a )＋1ln a ．…7分设g (x )＝eln x －x ，x ≥e ， 则g '(x )＝ex －1＝e －x x ≤0，所以g (x )在[e ，＋∞)单调递减， 从而g (x )≤g (e)＝0，所以eln x ≤x ．…10分又a ≥e ，所以eln a ≤a ，从而1ln a ≥ea ，当且仅当a ＝e 时等号成立．因为ln a ≥1，所以log a (ln a )≥0， 即log a (ln a )＋1ln a ≥ea ．综上，满足题设的a 的取值范围为[e ，＋∞)． …12分22．解：（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π4)－4＝0得， ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0． 所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6． …5分（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得， t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0．||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋ π4)|因为0≤α＜π，所以π4≤α＋π4＜5π4，从而有－2＜22sin (α＋ π4)≤22．所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]． …10分23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|, 所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2， 故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}． …5分（2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 12，－2x ＋2， x ＞ 12，由g (x )的单调性可知，x ＝12时，g (x )取得最大值1， 所以a 的取值范围是[1，＋∞）．…10分----------------------------------------------- 学好语文的方法和技巧一、培养良好的阅读习惯良好的阅读习惯对形成阅读能力、保证阅读质量、提高阅读效率、顺利达到阅读目的有着重要作用。
2019-2020学年河北省唐山市高三(上)期末数学试卷(理科)
2019-2020学年河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合{|15}A x x =剟，2{|280}B x x x =--<，则(A B =U ) A ．{|14}x x <„ B ．{|12}x x <„C ．{|45}x x -<„D ．{|25}x x -<„2．（5分）3(13i i+=-+ )A ．i -B ．2i -C ．3i -- D ．312i -+ 3．（5分）图（1）是某品牌汽车2019年月销量统计图，图（2）是该品牌汽车月销量占所属汽车公司当月总销量的份额统计图，则下列说法错误的是( )A ．该品牌汽车2019年全年销量中，1月份月销量最多B ．该品牌汽车2019年上半年的销售淡季是5月份，下半年的销售淡季是10月份C ．2019年该品牌汽车所属公司7月份的汽车销量比8月份多D ．该品牌汽车2019年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳 4．（5分）已知12()log 2f x x x =-，则满足(1)1f x +…的x 的取值范围是( )A ．3(,]4-∞-B ．3(1,]4--C ．3[,)4-+∞D ．5(1,]45．（5分）25(2)ax x-的展开式中，含7x 项的系数为40，则(a = )A ．12 B ．12-C ．2D ．2-6．（5分）如图为函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图象，将其向左平移14个单位长度后与函数()g x 的图象重合，则()g x 可以表示为( )A ．sin 2x πB ．sin2x π-C ．sin x πD ．sin x π-7．（5分）圆222:O x y r +=与抛物线2:4y x Γ=交于A ，B 两点，与Γ的准线交于C ，D 两点，若四边形ABCD 为矩形，则该矩形的面积为( ) A ．2B ．4C ．8D ．168．（5分）一个几何体的三视图如图所示，小正方形的边长为1，则这个几何体的表面积是()A ．11πB ．9πC ．7πD ．5π9．（5分）若cos 2sin 1θθ-=，则tan (θ= ) A ．43B ．34C ．0或43D ．0或3410．（5分）在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，CD 的中点，AF 与BE 相交于点M ，则(AM =u u u u r)A ．3144AB AE +u u ur u u u rB ．4155AB AE +u u ur u u u rC ．1344AB AE +u u ur u u u rD ．1455AB AE +u u ur u u u r11．（5分）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，渐近线上存在一点M ，使得12F MF ∠为直角，2MF 交双曲线于点N ，若1//ON F M ，则该双曲线的离心率为()A1B1C2D12．（5分）已知直线l 与曲线()x f x e =和()g x lnx =分别相切于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．有以下命题：①90(AOB O ∠>︒为原点）；②1(1,1)x ∈-；③当10x <时，211)x x ->， 则正确命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数()f x 满足()2(4)3f x f x x +-=，则f （1）= ．14．（5分）学校在周一至周五的5天中安排2天分别进行甲、乙两项不同的活动，若安排的2天不相邻且甲活动不能安排在周一，则不同的安排方式有 种． 15．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，.2c C A π-=，1sin 3A =，3a =，则b = ．16．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1B B ，CD 的中点，有以下命题：①//MN 平面1A BD ；②1MN CD ⊥；③平面1A MN ⊥平面1A AC ，则正确命题的序号为 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22），（23）题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）记1n nn b a +=，求{}n b 的前n 项和n T ． 18．（12分）如图，P ABC -是一个三棱锥，AB 是圆的直径，C 是圆上的点，PC 垂直圆所在的平面，D ，E 分别是棱PB ，PC 的中点． （1）求证：DE ⊥平面PAC ；（2）若二面角A DE C --是45︒，4AB PC ==，求AE 与平面ACD 所成角的正弦值．19．（12分）河北省高考综合改革从2018年秋季入学的高一年级学生开始实施，新高考将实行“312++”模式，其中3表示语文、数学、外语三科必选，1表示从物理、历史两科中选择一科，2表示从化学、生物、政治、地理四科中选择两科．某校2018级入学的高一学生选科情况如表：选科组合 物化生 物化政 物化地 物生政 物生地 物政地 史政地 史政化 史生政 史地化 史地生 史化生 合计 男 130 45 55 30 25 15 30 10 40 10 15 20 425 女10045 50 35 35 35 40 20 55 15 25 20 475 合计 23090105656050703095254040900（1）完成下面的22⨯列联表，并判断是否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与学生的性别有关”？（2）以频率估计概率，从该校2018级高一学生中随机抽取3名同学，设这三名同学中选择物理的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．选择物理不选择物理合计 男 425 女 475 合计900附表及公式：2K =20()P K k …0.150 0.100 0.050 0.010 0k2.0722.7063.8416.63520．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，P 为椭圆E 上一点．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(1,0)Q 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，直线l 与直线4x =相交于点C ，求证：直线PA ，PC ，PB 的斜率成等差数列．21．（12分）设函数2()cos 2x f x x x =+．（1）讨论()f x 在[π-，]π上的单调性； （2）证明：()f x 在R 上有三个零点．（二）选考题：共10分.请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在直角坐标系xOy 中，圆22:(1)1C x y -+=，直线:2l y =．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）设A 、B 分别为圆C 和直线l 上的点，且满足AO AB ⊥，设AOB α∠=，求tan α的最小值．23．已知a 、b 、c 、d 是正实数，且23a b +=，1c d +=． （1）证明：213a b+…；（2）当ac取得最大值？2019-2020学年河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合{|15}A x x =剟，2{|280}B x x x =--<，则(A B =U ) A ．{|14}x x <„B ．{|12}x x <„C ．{|45}x x -<„D ．{|25}x x -<„【解答】解：Q 集合{|15}A x x =剟，2{|280}{|24}B x x x x x =--<=-<<， {|25}A B x x ∴=-<U „．故选：D ． 2．（5分）3(13i i+=-+ )A ．i -B ．2i -C ．3i -- D ．312i -+ 【解答】解：3(3)(13)4413(13)(13)i i i ii ii i ++---===--+-+--． 故选：A ．3．（5分）图（1）是某品牌汽车2019年月销量统计图，图（2）是该品牌汽车月销量占所属汽车公司当月总销量的份额统计图，则下列说法错误的是( )A ．该品牌汽车2019年全年销量中，1月份月销量最多B ．该品牌汽车2019年上半年的销售淡季是5月份，下半年的销售淡季是10月份C ．2019年该品牌汽车所属公司7月份的汽车销量比8月份多D ．该品牌汽车2019年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳【解答】解：由图（1）可知该品牌汽车2019年全年销量中，1月份月销量最多，所以A 正确；该品牌汽车2019年上半年的销售淡季是5月份，下半年的销售淡季是10月份，所以B 正确；该品牌汽车2019年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳，所以D 正确； 由图（2）可知2019年该品牌汽车所属公司7月份的该品牌汽车销量占所属汽车公司当月总销量比8月份多，不一定2019年该品牌汽车所属公司7月份的汽车销量比8月份多，所以C 不正确， 故选：C ．4．（5分）已知12()log f x x =-，则满足(1)1f x +…的x 的取值范围是( )A ．3(,]4-∞-B ．3(1,]4--C ．3[,)4-+∞D ．5(1,]4【解答】解：Q 12()log f x x =-，12(1)(1)f x log x ∴+=+-． 由(1)1f x +…，得12log (1)1x +-，得12log (1)10x +--，11221log (1)log 02x ∴+--，也就是12log [2(1)]0x +-．令12()log [2(1)]g x x =+-12log [2(1)]y x =+Q与y =-均为(1,)-+∞上的减函数，12()log [2(1)]g x x ∴=+-(1,)-+∞上的减函数．而1233()[2(1)]044g log -=--=．∴满足(1)1f x +…的x 的取值范围是(1-，3]4-．故选：B ．5．（5分）25(2)ax x-的展开式中，含7x 项的系数为40，则(a = )A ．12 B ．12-C ．2D ．2-【解答】解：25(2)a x x -的展开式中通项公式：52535155()(2)(2)r rr r r r r r a T x a x x---+=-=-痧， 令357r -=，解得4r =． Q 含7x 项的系数是40，445(2)40a ∴-=ð， 解得12a =． 故选：A ．6．（5分）如图为函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图象，将其向左平移14个单位长度后与函数()g x 的图象重合，则()g x 可以表示为( )A ．sin 2x πB ．sin2x π-C ．sin x πD ．sin x π-【解答】解：函数的周期512()244T =⨯-=，即22πω=，则ωπ=，由五点对应法得14πϕπ+=，得34πϕ=，即3()sin()4f x x ππ=+，将其向左平移14个单位长度后与函数()g x 的图象重合， 则13()sin[()]sin()sin 44g x x x x πππππ=++=+=-，故选：D ．7．（5分）圆222:O x y r +=与抛物线2:4y x Γ=交于A ，B 两点，与Γ的准线交于C ，D 两点，若四边形ABCD 为矩形，则该矩形的面积为( ) A ．2B ．4C ．8D ．16【解答】解：由2:4y x Γ=，得其直线方程为1x =-，联立2221x x y r=-⎧⎨+=⎩，解得2(1,1)D r --， 由四边形ABCD 为矩形，得2(1,1)A r -， 把A 代入24y x =，得214r -=，即5r =． (1,2)A ∴，则该矩形的面积为248S =⨯=． 故选：C ．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，小正方形的边长为1，则这个几何体的表面积是()A ．11πB ．9πC ．7πD ．5π【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为球的18份．故2213422584S πππ=⨯+⨯=g g g ，故选：D ．9．（5分）若cos 2sin 1θθ-=，则tan (θ= ) A ．43B ．34C ．0或43D ．0或34【解答】解：cos 2sin 1θθ-=Q ，且22sin cos 1θθ+=， 25sin 4sin 0θθ∴+=，∴405sin θ=-或， ∴315cos θ=-或， 则tan 0θ=或43， 故选：C ．10．（5分）在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，CD 的中点，AF 与BE 相交于点M ，则(AM =u u u u r)A ．3144AB AE +u u ur u u u rB ．4155AB AE +u u ur u u u rC ．1344AB AE +u u ur u u u rD ．1455AB AE +u u ur u u u r【解答】解：如图，作//EK DF 交AF 与点F ；////EK DF AB Q ，EF 分别为边AD ，CD 的中点；1124EK DDF AB ∴==； 14EM MB ∴=；∴1114()5555AM AE EM AE EB AE AB AE AB AE =+=+=+-=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．故选：D ．11．（5分）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，渐近线上存在一点M ，使得12F MF ∠为直角，2MF 交双曲线于点N ，若1//ON F M ，则该双曲线的离心率为()A 51B 51C 52D 5【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为b y x a =，设0(M x ，0)bx a，00x >，由1290F MF ∠=︒， 所以||OM c =，所以2200()b x x c a+=，解得0x a =，所以(,)M a b ，由1//ON F M ，则N 为2MF 的中点，所以(2a c N +，)2b， 代入双曲线的方程2222()441a c b a b +-=，即a c +=，1)c a =，所以1ce a=， 故选：A ．12．（5分）已知直线l 与曲线()x f x e =和()g x lnx =分别相切于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．有以下命题：①90(AOB O ∠>︒为原点）；②1(1,1)x ∈-；③当10x <时，211)x x ->， 则正确命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：AB Q 为公切线，故112212211x x e x e lnx x x x ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，21lnx x ∴=-．∴11111x x x e x e x e -+=-，∴11111x x e x +=-． Q 10x e >，∴11101x x +>-，故11x >或11x <-，故②错误． 当1x <-时，令12()111x x x g x e e x x +=-=----， 则22()0(1)x g x e x '=+>-，故()g x 在(,1)-∞-上为增函数，而21(2)03g e --=-<，3231()25g e --=-，2.5 2.8e <<Q ，故315.62521.952e <<，故325e <，故325e <即3215e->，故3()02g ->，∴1322x -<<-， 令3(),(2,)2x h x e x x -=-∈--，则()10x h x e -'=--<，()h x ∴在3(2,)2--为单调减函数，∴32333()()52222h x h e >-=+>+>，故③成立．又1111221()x x x OA OB x x e lnx x e e -=+=-u u u r u u u rg， 如果11x <-，则0OA OB <u u u r u u u r g ；若11x >，则0OA OB <u u u r u u u r g ，90AOB ∴∠>︒，∴①成立，综上，正确命的题为①③． 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数()f x 满足()2(4)3f x f x x +-=，则f （1）= 5 ． 【解答】解：根据题意，已知函数()f x 满足()2(4)3f x f x x +-=， 令1x =可得：f （1）2f +（3）3=，① 令3x =可得：f （3）2f +（1）9=，② 联立①②可得：f （1）5=； 故答案为：514．（5分）学校在周一至周五的5天中安排2天分别进行甲、乙两项不同的活动，若安排的2天不相邻且甲活动不能安排在周一，则不同的安排方式有 9 种．【解答】解：若甲安排在周二，则乙从周五，周四这两天中选一天，有两种安排方式； 若甲安排在周三，则乙从周一，周五这两天中选一天，有两种安排方式； 若甲安排在周四，则乙从周一，周二这两天中选一天，有两种安排方式； 若甲安排在周五，则乙从周一，周二，周三这三天中选一天，有三种安排方式； 所以：共有22239+++=种安排方式． 故答案为：9．15．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，.2c C A π-=，1sin 3A =，3a =，则b = 7 ． 【解答】解：Q 2C A π-=，1sin 3A =，3a =， 2C A π∴=+，C 为钝角，A ，B 为锐角，sin sin()cos 2C A A π∴=+==，可得1cos sin 3C A =-=-，117sin sin()sin cos cos sin ()339B AC A C A C ∴=+=+=⨯-+=，∴由正弦定理sin sin a bA B=可得73sin 971sin 3a Bb A ⨯===g ．故答案为：7．16．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1B B ，CD 的中点，有以下命题：①//MN 平面1A BD ；②1MN CD ⊥；③平面1A MN ⊥平面1A AC ，则正确命题的序号为 ①②．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则(2A ，0，0)，(0D ，0，0)，(0C ，2，0)，(2B ，2，0)， 1(2A ，0，2)，1(0D ，0，2)，1(0C ，2，2)，1(2B ，2，2)，故(2M ，2，1)，(0N ，1，0)， ∴(2,1,1)MN =---u u u u r ，1(0,2,2)CD =-u u u u r， 故10MN CD =u u u u r u u u u rg，1MN CD ∴⊥，故②正确． 又(2,2,0)DB =u u u r ，1(2,0,2)DA =u u u u r ，设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z =r，由100n DB n DA ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u u rr g ，得00x y x z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则(1,1,1)n =--r ， Q 0MN n =u u u u r rg 且MN ⊂/平面1A BD ，故//MN 平面1A BD ，故①正确．又1(0,2,1)A M =-u u u u r ，设平面1A MN 的法向量为(,,)m x y z =r，由100m MN m A M ⎧=⎪⎨=⎪⎩g g ，得2020x y z y z ---=⎧⎨-=⎩，取1y =，则3(,1,2)2m =-r ，平面1A AC 的法向量为(2,2,0)a =r ，则0m a ≠r rg故平面1A MN ⊥平面1A AC 不成立，故③错．故答案为：①②．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22），（23）题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）记1n nn b a +=，求{}n b 的前n 项和n T ．【解答】解：（1）数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-， 可得112a S ==，12n n n n a S S -=-=，(2)n …， 综上可得2n n a =，(*)n N ∈； （2）11(1)()2n n n n b n a +==+g ， 前n 项和11123(1)()242n n T n =++⋯++g g g ，1111123(1)()2482n n T n +=++⋯++g g g ， 相减可得1111111()(1)()24822n n n T n +=+++⋯+-+g1111(1)1421(1)()1212n n n -+-=+-+-g ，化简可得13(3)()2n n T n =-+g ．18．（12分）如图，P ABC -是一个三棱锥，AB 是圆的直径，C 是圆上的点，PC 垂直圆所在的平面，D ，E 分别是棱PB ，PC 的中点． （1）求证：DE ⊥平面PAC ；（2）若二面角A DE C --是45︒，4AB PC ==，求AE 与平面ACD 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：P ABC -Q 是一个三棱锥，AB 是圆的直径，C 是圆上的点，PC 垂直圆所在的平面，AC BC∴⊥，PC BC⊥，AC PC C=Q I，BC∴⊥平面PAC，DQ，E分别是棱PB，PC的中点，//DE BC∴，DE∴⊥平面PAC．（2）解：DE⊥Q平面PAC，AE DE∴⊥，CE DE⊥，AEC∴∠是二面角A DE C--的平面角，Q二面角A DE C--是45︒，45AEC∴∠=︒．PCQ垂直圆所在的平面，4AB PC==，122AC CEPC∴===，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，(0A，2，0)，(0E，0，2)，(0C，0，0)，(0P，0，4)，(23B，0，0)，(2D，0，2)，(0EA=u u u r，2，2)-，(0CA=u u u r，2，0)，(2CD=u u u r，0，2)，设平面ACD的法向量(n x=r，y，)z，则20220n CA yn CD x z⎧==⎪⎨=+=⎪⎩u u u rrgu u u rrg，取1x=，得(1n=r，0，1)-，设AE与平面ACD所成角为θ，则||1sin2||||82EA nEA nθ===u u u r rgu u u r rg g．AE与平面ACD所成角的正弦值为12．19．（12分）河北省高考综合改革从2018年秋季入学的高一年级学生开始实施，新高考将实行“312++”模式，其中3表示语文、数学、外语三科必选，1表示从物理、历史两科中选择一科，2表示从化学、生物、政治、地理四科中选择两科．某校2018级入学的高一学生选科情况如表：（1）完成下面的22⨯列联表，并判断是否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与学生的性别有关”？（2）以频率估计概率，从该校2018级高一学生中随机抽取3名同学，设这三名同学中选择物理的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附表及公式：2K =【解答】解：（1）根据题意填写22⨯列联表如下，根据表中数据，计算2900(300175300125) 5.573 6.635600*********K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， 所以不能在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与学生的性别有关”；（2）由题意知，2~(3,)3X B ；所以03311(0)()327P X C ===g ， 123122(1)()339P X C ===g g ， 223124(2)()339P X C ===g g ，33328(3)()327P X C ===g ； 所以X 的分布列为：数学期望为1248()01232279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>，P 为椭圆E 上一点．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(1,0)Q 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，直线l 与直线4x =相交于点C ，求证：直线PA ，PC ，PB 的斜率成等差数列． 【解答】（1）解：由题意，c e a ==故2222222314c a b b a a a -==-=， ∴2214b a =，即224a b =． 将点P 为椭圆E 方程，得 221314a a +=，即2221341a aa +==，24a ∴=，21b =．∴椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）证明：由题意，可知直线l 斜率存在，设斜率为k ，则直线:(1)l y k x =-． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．(4,3)C k ．1121PAy k x =-，2221PBy k x =-，323PC k k k ==-．联立22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y ，整理得2222(41)84(1)0k x k x k +-+-=．2122841k x x k ∴+=+，21224(1)41k x x k -=+g ．12122211PA PB y y k k x x +=+--122112(1)(1)22(1)(1)y x y x x x --+--=--122112[(1)1)[(1)1)22(1)(1)k x x k x x x x ---+---=--121212122(2)22()1kx x k x x k x x x x -+++=-++222222224(1)82(22412414(1)814141k k k k k k k k k k k --++++=--+++g g2(2PC k k =-=g g ． ∴根据等差中项的知识，可知：直线PA ，PC ，PB 的斜率成等差数列．21．（12分）设函数2()cos 2x f x x x =+．（1）讨论()f x 在[π-，]π上的单调性； （2）证明：()f x 在R 上有三个零点．【解答】解：（1）()sin sin )f x x x x x x '=+-， 由()0f x '=，[x π∈-，]π，得30,,44x ππ=，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表，()f x ∴的单调递减区间为3[,0),(,)44π-，单调递增区间为3(0,),(,]44π；（2）证明：当[x π∈-，]π，由（1）得，()f x 的极小值分别为23(0)0,()()0428f f f πππ=<=；极大值()(0)04f f π>=，又2()02f ππ=>，()f x ∴在[π-，0]上仅有一个零点0，在33(0,),(,]44πππ上各有一个零点，当x π<-时，2()2x f x x +…，令2()2x g x x =+，则()g x x x '=，显然当3(,)2x ππ∈--时，()g x '单调递增，()()0g xg ππ'<'-=<； 当3(,]2x π∈-∞-时，3()02g x π'-+<„，； 从而x π<-时，()0g x'<，()g x 单调递减， 因此2()()02g x gππ>-=>，即()()0f x g x >…，()f x ∴在(,)π-∞-上无零点；当x π>时，2()2x f xx…，令2()2x h x x=，则()h x x x '=-，显然当3(,)2x ππ∈时，0x >，()0h x '>； 当3[,)2x π∈+∞时，3()02h x π'-…； 从而x π>时，()0h x '>，()h x 单调递增， 因此2()()02h x h ππ>=>，即()()0f x h x >…，()f x ∴在(,)π+∞上无零点；综上，()f x 在R 上有三个零点．（二）选考题：共10分.请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在直角坐标系xOy 中，圆22:(1)1C x y -+=，直线:2l y =．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）设A 、B 分别为圆C 和直线l 上的点，且满足AO AB ⊥，设AOB α∠=，求tan α的最小值．【解答】解：（1）圆22:(1)1C x y -+=，整理得：2220x x y -+=，转换为极坐标方程为2cos ρθ=．直线:2l y =．转换为极坐标方程为sin 2ρθ=．（2）设A 、B 分别为圆C 和直线l 上的点，且满足AO AB ⊥，所以设(A A ρ，)θ，(B B ρ，)()22ππθαθ+-<<，所以2cos A ρθ=，sin()2B ρθα+=，cos B A ραρ=，从而得到：2cos sin()2cos θθαα+=，即2cos sin cos cos sin cos θθαθαα+=， 由于22ππθ-<<，所以cos 0θ≠，所以2222221cos sin sin cos cos sin 13tan tan tan 1(tan )cos cos 24θθθθθθαθθθθθ-+-===-+=-+，当1tan 2θ=时，tan α的最小值为34．23．已知a 、b 、c 、d 是正实数，且23a b +=，1c d +=． （1）证明：213a b+…；（2）当ac取得最大值？ 【解答】解：（1）证明：a 、b 是正实数，且23a b +=，211211221(2)()(5)(53333b a a b a b a b a b +=++=+++=…，当且仅当1a b ==，取得等号；（2）a 、b 、c 、d 是正实数，且23a b +=，1c d +=，可得22222(2)()]a b c d ++=++，，当且仅当23a bc d==取得等号，即有当32ac=第21页（共21页）。
精品2019届高三数学上学期第一次教学质量检查考试试题 理(含解析)
蚌埠市2019届高三年级第一次教学质量检查考试数学（理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.2. 设是复数的共轭复数，且，则（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】，故.3. 若满足约束条件则的最小值为（）A. -3B. 0C. -4D. 1【答案】A【解析】画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点处取得最小值为.4. “直线不相交”是“直线为异面直线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B5. 已知等差数列的前项和为，且满足，，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】设等差数列的公差为,,联立解得，则，故选B.6. 已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，由于角为第三象限角，故，.7. 已知，则（）A. 18B. 24C. 36D. 56【答案】B【解析】，故，.8. 已知，下列程序框图设计的是求的值，在“”中应填的执行语句是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨设，要计算，首先，下一个应该加，再接着是加，故应填.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体由半个圆锥和一个三棱锥组合而成.故体积为.10. 已知为双曲线的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵点，关于直线对称，，又∵直线经过点，∴直线的方程为，的中点坐标为，∴，化简整理得，即，，解得，（舍去），故选C.11. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当正弦值等于余弦值时，函数值为，故等边三角形的高为，由此得到边长为，边长即为函数的周期，故.【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质.首先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等边三角形的边长即可.再根据可知等边三角形的高，由此求得边长即函数的周期，再由周期公式求得的值.12. 定义在上的奇函数满足：当时，（其中为的导函数）.则在上零点的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】构造函数，，由于当时，，故当时，为增函数.又，所以当时，成立，由于，所以，由于为奇函数，故当时，，即只有一个根就是.【点睛】本题考查了零点的判断，考查了函数的奇偶性，和利用导数来研究函数的单调性.本题的难点在于构造新函数，然后利用导数来判断新函数的最值，进而判断出的取值.如何构造函数，主要靠平时积累，解题时要多尝试.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，是两个不同的平面向量，满足：，则__________．【答案】【解析】，，解得，当时，两个是相同的向量，故舍去，所以.14. 已知函数图象关于原点对称.则实数的值为__________．【答案】【解析】依题意有，，，故.15. 已知是抛物线的焦点，是上一点，是坐标原点，的延长线交轴于点，若，则点的纵坐标为__________．【答案】【解析】由于三角形为直角三角形，而，即为中点，设，而，故，代入抛物线方程得，即点的纵坐标为.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直角三角形斜边的中线等于斜边一半这一几何性质.首先根据题目所给的条件画出图像，突破口就在题目所给条件，这就联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半这一几何性质，可得是的中点，设出坐标，代入抛物线方程即可得到所求的结果.16. 已知满足，，，则__________．（用表示）【答案】【解析】依题意，与已知条件相加可得.....................三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角的对边分别为，且，（1）求的面积；（2）若，求的周长.【答案】(1) （2）的周长为【解析】【试题分析】（1）根据余弦定理，由得到，，在利用三角形面积公式可求得面积.（2）利用三角形内角和定理，有,展开后结合已知条件可求得.利用正弦定理求得，利用配方法可求得由此求得周长为.【试题解析】（1）∵，∴，即，∴；（2）∵，∴由题意，∴，∵，∴，∴∵，∴．∴的周长为．18. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，，.（1）求证：平面平面；（2）若直线与所成角的大小为60°，求二面角的大小.【答案】(1)见解析（2）90°【解析】【试题分析】（1）由于是等边三角形，结合勾股定理，可计算证明三条直线两两垂直，由此证得平面，进而得到平面平面.（2）根据（1）证明三条直线两两垂直，以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用和所成角为计算出点的坐标，然后通过平面和平面的法向量计算二面角的余弦值并求得大小.【试题解析】（1）∵，且是等边三角形∴，，均为直角三角形，即，，∴平面∵平面∴平面平面（2）以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．令，，∴，，，．设，则，．∵直线与所成角大小为60°，所以，即，解得或（舍），∴，设平面的一个法向量为．∵，，则即令，则，所以．∵平面的一个法向量为，∵，，则即令，则，，∴．∴，故二面角的大小为90°．19. 为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位：）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布. （1）假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：①计算这一天平均值与标准差；②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位：）：85,95,103,109,119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？参考数据：，，，，，，，.【答案】(1) （2）①②生产线异常，需要进一步调试【解析】【试题分析】（1）依题意可知满足二项分布，根据二项分布的公式计算出，然后用减去这个值记得到的值.利用二项分布的期望公式，直接计算出的值.（2）分别计算出均值和标准差，计算的范围，发现不在这个范围内，根据原理可知需要进一步调试.【试题解析】（1）由题意知：或，，∵，∴；（2）①所以②结论：需要进一步调试．理由如下：如果生产线正常工作，则服从正态分布，零件内径在之外的概率只有0.0026，而根据原则，知生产线异常，需要进一步调试．20. 已知椭圆经过点，离心率.（1）求的方程；（2）设直线经过点且与相交于两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.【答案】(1) （2）见解析【解析】【试题分析】（1）依题意可知，解方程组可求得椭圆的标准方程.（2）当直线斜率斜率不存在时，不符合题意.当斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，计算的值，化简后结果为，由此证明结论成立.【试题解析】（1）因为椭圆，经过点，所以．又，所以，解得．故而可得椭圆的标准方程为：．（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与椭圆相切，不符合题意．设直线的方程为，即，联立，得．设，，则所以为定值，且定值为-1．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系，考查一元二次方程根与系数关系.椭圆标准方程的参数有两个，要确定这两个参数，需要有两个条件，结合恒等式，列方程组来求的椭圆的标准方程.考查直线和圆锥曲线位置关系，要注意直线斜率不存在的情况.21. 已知函数，（其中为自然对数的底数，）.（1）若函数的图象与函数的图象相切于处，求的值；（2）当时，若不等式恒成立，求的最小值.【答案】(1) ，（2）【解析】【试题分析】（1）依题意求得切点为，斜率为，由此列方程组可求得的值.（2）将原不等式等价变形为，构造函数，利用导数求得的最大值为，由此求得的最小值. 【试题解析】（1），．（过程略）（2）令，则，当时，单调递增，而，∴时，不合题意当时，令，则，∵为减函数，∴时，，单调递增，时，，单调递减，∴，即．（△）但，等号成立当且仅当且．故（△）式成立只能即．【点睛】本题主要考查导数与切线有关的知识.考查利用导数解不等式恒成立问题.解决导数与切线有关的问题，关键点在于切点和斜率，联络点在于切点的横坐标，以此建立方程组，求得未知参数的值.不等式恒成立问题往往可以考虑构造函数法，利用函数的最值来求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，的参数方程为（为参数）.（1）将曲线与的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）若与相交于两点，求.【答案】(1) （2）【解析】【试题分析】（1）对方程两边乘以，由此求得曲线的普通方程.对的参数方程利用加减消元法可求得的普通方程.（2）将的参数方程代入，利用韦达定理和直线参数的几何意义，来求的弦长的值. 【试题解析】（1）曲线的普通方程为，曲线的普通方程为（2）将的参数方程代入的方程，得，得：解得，∴．23. 选修4-5：不等式选讲已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数与的图象恒有公共点，求实数的取值范围.【答案】(1) （2）【解析】【试题分析】（1）利用零点分段法，去绝对值，分别求解每一段的解集.由此计算不等式的解集.（2）先求得函数的最小值，求得函数的最大值，比较这两个数值的大小，即可求得有公共点时，实数的取值范围. 【试题解析】（1）当时，，由得，；（2），该二次函数在处取得最小值，因为函数，在处取得最大值故要使函数与的图象恒有公共点，只需要，即．。
河北唐山2019高三第一次重点考试-数学理(扫描版)
河北唐山2019高三第一次重点考试-数学理（扫描版）〔18〕解：〔Ⅰ〕记一名职工所享受的路途补贴为X〔元〕、X的可能值为200，240，280，320，360、X的分布列为X的均值为E(X)＝200×0.25＋240×0.5＋280×0.15＋(320＋360)×0.05＝246、…5分该公司每月用于路途补贴的费用总额约为E(8000X)＝8000E(X)＝1968000〔元〕、…7分〔Ⅱ〕依题意，当60≤t≤100时，y＞300、1名职工中路途补贴超过300元的概率p＝P(60≤t≤100)＝0.1，…8分记事件“4名职工中至少有2名路途补贴超过300元”为A，那么P(A)＝C24×0.12×0.92＋C34×0.13×0.9＋0.14＝0.0523、…12分〔19〕解：〔Ⅰ〕因为四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，因此CD ⊥AD ，又侧面PAD ⊥底面ABCD ，因此CD ⊥PA 、又∠APD ＝ π 2，即PA ⊥PD ，而CD ∩PD ＝D ，因此PA ⊥平面PCD 、因为PA ⊂平面PAB ，因此平面PAB ⊥平面PCD 、 …4分〔20〕解：〔Ⅰ〕由⎩⎪⎨⎪⎧x24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0、 由于l 与C 1有唯一的公共点A ，故Δ1＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝0，从而m 2＝1＋4k 2、 ① …2分 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝r 2，y ＝kx ＋m ，得(1＋k 2)x 2＋2kmx ＋m 2－r 2＝0、 由于l 与C 2有唯一的公共点B ，故Δ2＝4k 2m 2－4(1＋k 2)(m 2－r 2)＝0，从而m 2＝r 2(1＋k 2)、 ② …4分由①②〕得k 2＝r 2－14－r 2、由k 2≥0，得1≤r 2＜4，因此r 的取值范围是[1，2)、…6分〔注：由图形直截了当看出r 取值范围而未做代数推理的只给1分〕〔Ⅱ〕设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由〔Ⅰ〕的解答可知x 1＝－4km 1＋4k 2＝－4k m ，x 2＝－km 1＋k 2＝－kr 2m 、|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·k 2(4－r 2)2m 2＝1＋k 2m 2·k 2·(4－r 2)2＝1r 2·r 2－14－r 2·(4－r 2)2＝(r 2－1)(4－r 2)r 2，因此|AB |2＝5－(r 2＋4r 2)〔1≤r ＜2〕、…10分 因为r 2＋4r 2≥2×2＝4，当且仅当r ＝2时取等号，因此当r ＝2时，|AB |取最大值1，如今C 2的方程为x 2＋y 2＝2、 …12分〔23〕解：〔Ⅰ〕依题意，|OA|＝4cosφ，|OB|＝4cos(φ＋π4)，|OC|＝4cos(φ－π4)，…2分那么|OB|＋|OC|＝4cos(φ＋π4)＋4cos(φ－π4)＝22(cosφ－sinφ)＋22(cosφ＋sinφ)＝42cosφ，＝2|OA|、…5分〔Ⅱ〕当φ＝π12时，B，C两点的极坐标分别为(2，π3)，(23，－π6)、化为直角坐标为B(1，3)，C(3，－3)、…7分C 2是通过点(m ，0)，倾斜角为α的直线，又通过点B ，C 的直线方程为y ＝－3(x －2)，…9分 因此m ＝2，α＝2 3、 …10分。
河北省唐山市2019届高三上学期第一次摸底考试数学(理)试题+
唐山市 2018— 2019 学年度高三年级摸底考试理科数学参照答案一． ：A 卷： ADBCD DACCB CB B 卷： ADBBD DACABCB二．填空 ：（ 13）2（14）1（ 15）2 6（16） (1， 3)2三．解答 ： 17． 解：（ 1）由已知可得， 2S n ＝3a n － 1， ① 因此 2S n －1 ＝3a n － 1－ 1 （ n ≥ 2），②①－②得， 2(S n － S n － 1)＝ 3a n － 3a n － 1，化 a＝3a － （n ≥2），即a n＝ 3（ n ≥ 2），⋯ 3 分nn 1a n－1在①中，令 n ＝ 1 可得， a 1＝ 1， ⋯ 4 分因此数列 {a n }是以 1 首 ， 3 公比的等比数列，进而有 a n ＝3 n －1．⋯ 6 分（ 2） b n ＝ (n －1)· 3n －1，0 12n － 1，③T n ＝ 0· 3 ＋ 1· 3＋ 2·3 ＋⋯＋ (n － 1)· 33T n ＝ 0·31＋ 1· 32＋ 2· 33＋⋯＋ (n － 1)· 3n． ④③－④得，－ 2T n ＝3 1＋3 2＋ 33＋⋯＋ 3n －1－ (n － 1)· 3n ，⋯ 8 分＝3－3 n－ (n －1)· 3n1－3(3－ 2n)· 3n －3⋯10 分＝ ．2(2n － 3)·3n ＋ 3⋯12 分因此， T n ＝4．18．解：（ 1）由茎叶 可知，甲当日生 了 10 个部件，此中 4 个一等品， 6 个二等品；乙当日生 了 10 个部件，此中 5 个一等品， 5 个二等品，因此，抽取的 2 个部件等 互不同样的概率 P ＝ 4× 5＋6× 5＝ 1 ．⋯ 5 分10×10 2（ 2）X 可取 0， 1，2， 3．⋯ 6 分0 3 112C 4C 6；P(X ＝1)＝ C 4C 6 1；3 ＝ 63 ＝2P(X ＝0)＝ C 10C 10C 42C 61 3P(X ＝3)＝ C 43C 601⋯10 分3＝ ；3 ＝；P(X ＝2)＝ C 1010C 1030X 的散布列X 0 1 2 3 P1 1 3 1 6 2103011316∴随机 量 X 的希望 E(X)＝ 0× 6 ＋ 1× 2＋2× 10＋ 3× 30＝ 5．19．解：（ 1）∵直角三角形 ABC 中，AB ＝ BC ＝ 2， D AC 的中点，∴ BD ⊥ CD ，⋯12 分zPCDxAB y又∵ PB ⊥ CD ， BD ∩ PB ＝ B ， ∴ CD ⊥平面 PBD ， ∴ CD ⊥ PD ， 又∵ AD ⊥ BD ， ∴ PD ⊥ BD ．又因 BD ∩CD ＝ D ， ∴ PD ⊥平面 BCD ．⋯5 分（ 2）以 D 坐 原点， DA ，DB ， DP 所在直 分 x ， y ， z ，成立空 直角坐 系 D － xyz ， A(2， 0，0)， B(0，2， 0)，C(－2， 0， 0)，P(0， 0，2)，→( 2， 0，－ →2，－ →2，2， 0)PA ＝ 2)， PB ＝ (0， 2)， CB ＝( 平面 PBC 的法向量 n ＝ (x ， y ，z)，→ → 2y － 2z ＝0，由 PB · n ＝ 0， CB · n ＝0 得 2y ＝ 0，2x ＋取 n ＝ (1，－ 1，－ 1)． → →6PA · ncos PA ， n ＝→＝，3| PA || n |∴直 PA 与平面 PBC 所成角的正弦6 3．20．解：（ 1）由已知可得， y 1＝ x 21 ，y 2 ＝x 22，因此 y 1－ y 2＝ x 21－ x 22＝ (x 1＋ x 2)(x 1－ x 2)＝ 2(x 1 －x 2)，y 1－ y 2 此 ，直l 的斜率 k ＝ x 1－ x 2 ＝ 2．1（ 2）因 OB ⊥ l ，因此 k OB ＝－ k ，y 2 x 22又因 k OB ＝ x 2＝ x 2＝ x 2，1因此， x 2＝－ k ，y 1－ y 2又由（ 1）可知， x 1＋x 2＝ x 1－ x 2＝k ，1 进而有， x 1＝ k － x 2＝ k ＋ k ，因此|AB|＝1＋ k 2| x 1－ x 2| ＝ 1＋ k2|k ＋ k 2 |，| OB| ＝ x 2＋ y 2＝ x 2＋x 4＝111＋ k 22 4 ＝k 2，2222k ＋ k3 1＋k 2因 | AB| ＝ 3| OB| ，因此 1＋ k 2|k ＋2k |＝ k 2，化 得， | k 3 ＋2k| ＝ 3， 解得， k ＝± 1，因此， | AB| ＝1＋ k2|k ＋ 2k |＝ 32．21．解：⋯ 9 分⋯ 12 分⋯ 4 分⋯ 6 分⋯ 9 分⋯ 12 分1（ 1）当 a ＝ e ， f (x)＝ ln x ＋ x ，1 1⋯ 1 分因此 f (x)＝ － 2．x x切点 (x 0， f (x 0))，曲 y ＝ f (x)与 y ＝ m 相切，得 f (x 0)＝ 0，解得 x 0＝1，因此切点 （ 1， 1）． ⋯ 3 分 因此 m ＝ 1．⋯ 4 分（ 2）依 意得 f (1)≥ e ，因此 1≥ e，进而 a ≥ e ．⋯ 5 分aax － ln a因 f (x)＝ x 2 ln a ， a ≥ e ，因此当 0＜ x ＜ ln a ， f (x)＜ 0， f (x) 减；当 x ＞ ln a ， f (x)＞ 0，f (x) 增，因此当 x ＝ ln a ， f (x)获得最小 log a (ln a)＋1． ⋯ 7 分ln ag (x)＝ eln x －x ， x ≥ e ， g (x)＝ e － 1＝e － x≤ 0，x x因此 g (x)在 [e ，＋∞ ) 减，进而 g (x)≤ g (e)＝ 0，因此 eln x ≤ x ．⋯10 分又 a ≥ e ，因此 eln a ≤a ，进而1≥ e，当且 当 a ＝ e 等号成立．ln aa因 ln a ≥1，因此 log a (ln a)≥ 0，1e即loga (ln a)＋ln a ≥ a．上， 足 的 a 的取 范 [ e ，＋∞ ) ．⋯12 分22．解：2π （ 1）由 ρ－2 2ρsin (θ＋ 4 )－4＝0 得，2 －ρ－ 2ρcosθ 2ρsin θ－ 4＝ 0．因此 x 2＋ y 2－ 2x － 2y －4 ＝0．曲 C 的直角坐 方程(x － 1)2 ＋(y － 1)2＝ 6． ⋯ 5 分（ 2）将直 l 的参数方程代入 x 2＋ y 2－ 2x － 2y － 4＝ 0 并整理得，t 2－2(sin α＋ cos α)t － 4＝0，t 1＋t 2＝ 2(sin α＋ cos α)， t 1t 2＝－ 4＜0．|| OA| － | OB| |＝ || t 1| － | t 2| |＝| t 1＋ t 2| ＝ | 2(sin α＋ cos α)| ＝ | 22sin (α＋4π)|π π 5π因 0≤α＜ ，因此 ≤ α＋ ＜，4 44进而有－ 2＜ 2 2sin (α＋π4)≤ 22．因此 || OA| － | OB| |的取 范 是[0，2 2]．⋯10 分23．解：（ 1）由 意得 | x ＋ 1| ＞ | 2x － 1|, 因此 | x ＋1| 2 ＞| 2x － 1| 2,整理可得 x 2－ 2x ＜ 0，解得 0＜ x ＜ 2， 故原不等式的解集 {x| 0＜ x ＜ 2}．（ 2）由已知可得， a ≥ f (x)－ x 恒成立，⋯ 5 分－ 2，x＜－ 1，1g (x)＝f (x)－x， g (x)＝2x，－ 1≤x≤2，1－ 2x＋ 2，x＞2，1由 g (x)的性可知， x＝2， g (x)获得最大1，因此 a 的取范是 [ 1，＋∞）．⋯10 分。
河北唐山高三上学期期末考试数学(理)试题含答案
唐山市2019—2020学年度高三年级第一学期期末考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：DACBA BCDCD ACB 卷：DACBD BCDCA AC 二．填空题：13．5 14．9 15．7 16．①②三．解答题：17．解：（1）在S n ＝2n ＋1－2中，令n ＝1，得a 1＝S 1＝21＋1－2＝2， 当n ≥2时，S n －1＝2n －2，则a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n ． 又因为a 1＝2符合上式， 所以，a n ＝2n ．…4分（2）由（1）得b n ＝n ＋1a n＝n ＋12n ，则T n ＝ 2 2＋ 3 4＋…＋n2n －1＋n ＋12n ①，则1 2T n ＝2 4＋3 8＋…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1 ②， ①－②，得 1 2T n ＝1＋ 1 4＋ 1 8＋…＋12n －n ＋12n ＋1＝ 3 2－n ＋32n ＋1， 则T n ＝3－n ＋32n ． …12分18．解：（1）因为AB 是圆的直径， 所以BC ⊥AC ，因为PC 垂直圆所在的平面， 所以PC ⊥BC ，又因为AC ∩PC ＝C ， 所以BC ⊥平面PAC ．因为D ，E 分别是棱PB ，PC 的中点， 所以BC ∥DE ，从而有DE ⊥平面PAC ． …4分（2）由（1）可知，DE ⊥AE ，DE ⊥EC ， 所以∠AEC 为二面角A －DE －C 的平面角， 从而有∠AEC ＝45°，则AC ＝EC ＝ 12PC ＝2，又BC ⊥AC ， AB ＝4，得BC ＝23．…7分以C 为坐标原点，CB →，CA →，CP →方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ． 则C (0，0，0)，A (0， 2，0)，E (0，0，2)， B (23，0，0)，P (0，0，4)，D (3，0，2)，AE →＝(0，－2，2)，CA →＝(0，2，0)， CD →＝(3，0，2)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA →＝0，n ·CD →＝0，即⎩⎨⎧y ＝0，3x ＋2z ＝0．可取n ＝(2，0，－3)． …10分 故cos 〈n ，AE →〉＝n ·AE →__________|n |·|AE →|＝－4214．…11分 所以直线AE 与平面ACD 所成角的正弦值为4214．…12分19．解：（1将列联表中的数据代入公式计算得k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝900(300×175－300×125)2600×300×425×475≈5.573＜6.635， …5分所以，不能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“选择物理与学生的性别有关”．…6分（2）由（1）可知，从该校2018级高一学生中任取一名同学，该同学选择物理的概率P ＝600900＝23，X 可取0，1，2，3．P (X ＝0)＝C 03×(1－ 23)3＝ 127， P (X ＝1)＝C 13× 2 3×(1－ 23)2＝ 29， P (X ＝2)＝C 23×( 2 3)2×(1－ 23)＝ 49， P (X ＝3)＝C 33×( 2 3)3＝ 827．…10分 XE (X )＝0× 1 27＋1×29＋2×49＋3× 827＝2．…12分20．解：（1）由已知可得，⎩⎨⎧1－b 2a 2＝ 34，1a 2＋34b 2＝1．解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1．故E 的方程为x 24＋y 2＝1． …4分 （2）设直线PA ，PB ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．由题意设l ：y ＝k (x －1)，则C (4，3k )，k 3＝3k －324－1＝k －36． …6分将y ＝k (x －1)，代入x 24＋y 2＝1得 (1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2． …8分而k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32(1x 1－1＋1x 2－1)＝2k －32×x 1＋x 2－2(x 1－1)(x 2－1)＝2k －33．…10分 则k 1＋k 2＝2k 3，所以，直线PA ，PC ，PB 的斜率成等差数列．…12分21．解：（1）f '(x )＝x ＋2cos x －2x sin x －2cos x ＝2x (22－sin x )，…2分由f '(x )＝0及x ∈[－π，π]，得x ＝0或 π 4或3π4．…5分所以f (x )的单调递减区间为[－π，0)，( π 4，3π4)； f (x )的单调递增区间为(0， π 4)，(3π4，π]．…6分（2）当x ∈[－π，π]时，由（1）得，f (x )的极小值分别为f (0)＝0，f (3π4)＜f ( π 2)＝π28－2＜0；极大值f ( π4)＞f (0)＝0．又f (π)＝π22－2π＞0，所以f (x )在[－π，0]上仅有一个零点0；在(0，3π4)，(3π4，π]上各有一个零点． …8分当x ＜－π时，f (x )≥x 22＋2x －2sin x ，令g (x )＝x 22＋2x －2sin x ，则g '(x )＝x ＋2－2cos x ，显然x ∈(－3π2，－π)时，g '(x )单调递增，g '(x )＜g '(－π)＝22－π＜0； 当x ∈(－∞，－3π2]时，g '(x )≤－3π2＋22＜0， 从而x ＜－π时，g '(x )＜0，g (x )单调递减，因此g (x )＞g (－π)＝π22－2π＞0，即f (x )≥g (x )＞0，所以f (x )在(－∞，－π)上没有零点． …10分当x ＞π时，f (x )≥x 22－2x －2sin x ，令h (x )＝x 22－2x －2sin x ，则h '(x )＝x －2－2cos x ，显然x ∈(π， 3π2)时，－2cos x ＞0，h '(x )＞0； 当x ∈[3π2，＋∞)时，h '(x )≥3π2－22＞0， 从而x ＞π时，h '(x )＞0，h (x )单调递增，因此h (x )＞h (π)＝π22－2π＞0，即f (x )≥h (x )＞0，所以f (x )在(π，＋∞)上没有零点． 故f (x )在R 上仅有三个零点．…12分22．解：（1）因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以圆C ：ρ＝2cos θ，直线l ：ρsin θ＝2．…4分（2）设A (ρA ，θ)，B (ρB ，θ＋α)，－ π 2＜θ＜ π2．依题意可得，ρA ＝2cos θ，ρB sin (θ＋α)＝2，ρB cos α＝ρA ． 所以2cos θsin (θ＋α)＝2cos α，从而cos θsin θcos α＋cos 2θsin α＝cos α，所以tan α＝1－cos θsin θ cos 2θ＝tan 2θ－tan θ＋1＝(tan θ－ 12)2＋ 34， 所以tan θ＝ 1 2时，tan α取得最小值 34．…10分23．解：（1）因为(2 a ＋ 1 b )(2a ＋b )＝2b a ＋2ab ＋5≥9，又2a ＋b ＝3，故此， 2 a ＋ 1 b ≥3，当且仅当 b a ＝ ab ，即a ＝b ＝1时等号成立． …4分（2）因为(2a ＋b )(c ＋d )＝2ac ＋bd ＋bc ＋2ad ≥2ac ＋bd ＋22acbd ＝(2ac ＋bd )2， 所以2ac ＋bd ≤3，当且仅当bc ＝2ad 时等号成立，此时2a c ＝ b d ＝2a ＋b c ＋d＝3，故当 a c ＝ 32时，2ac ＋bd 取得最大值． …10分注：试题有其他解法，参照答案赋分．。
河北唐山2019年高三上学期年末考试数学(理)试题(word版)
河北唐山2019年高三上学期年末考试数学（理）试题（word 版）数学〔理〕试题说明：【一】本试卷分为第I 卷和第II 卷，第I 卷为选择题；第II 卷为非选择题，分为必考和选考两部分，【二】答题前请认真阅读答题卡上的“考前须知”，按照“考前须知”的规定答题、 【三】做选择题时，每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑、如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案， 【四】考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回、 参考公式：样本数据nx x x ,,,21 的标准差；x x x x x x x ns n 其中],)()()[(122221-+-+-=为样本平均数； 柱体体积公式：为底面面积其中S Sh V ,=、h 为高； 锥体体积公式：hS Sh V ,,31为底面面积其中=为高； 球的表面积、体积公式：,34,432R V R S ππ==其中R 为球的半径。
【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求、 1=ABCi Di2、以下函数中，满足22()[()]f x f x =的是 A 、()ln f x x = B 、()|1|f x x =+ C 、3()f x x =D 、()x f x e =3、执行右边的程序框图，输出的结果为 A 、 15 B 、 16 C 、 64 D 、 654、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，以FA 为直径的圆通过椭圆的上顶点，那么椭圆韵离心率为 ABC、2D5、设x ，y 满足4,21,21,x y x y z x y x +≤⎧⎪-≤-=+⎨⎪≥⎩则的最大值为A 、3B 、5C 、163D 、1936、一个三棱锥的三视图如图，那么该三棱锥的体积为 A 、13B 、12C 、23D 、167、等比数列132423{},17,68,n a a a a a a a +=+=中则=A 、 32B 、 256C 、 128D 、 64A 、〔—∞，-2]B 、[2，+∞〕C 、〔—∞，-2〕D 、〔2，+∞〕9、△ABC 中，点P 满足(),AP t AB AC BP AP CP AP =+⋅=⋅，那么△ABC 一定是A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、等边三角形D 、钝角三角形10、函数x xe x y e x+=-〕的一段图象是11、已如点M 〔1，0〕及双曲线2213x y -=的右支上两动点A ，B ，当∠AMB 最大时，它的余弦值为A 、12B 、—12C 、13D 、—1312、四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，AC=，那么该球的表面积为 A 、14πB 、15πC 、16πD 、18π第II 卷【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填写在题中横线上、13、3位数学教师和3位语文教师分配到两所不同的学校任教，每校3位，且每所学校既有数学教师，也有语文教师，那么不同的分配方案共有种、 14、tan()2,cos 24παα+=则=。
河北唐山2019高三一考试试-数学理
河北唐山2019高三一考试试—数学理唐山市2012—2013学年度高三年级第一次模拟考试理科数学说明：一、本试卷分为第I 卷和第II 卷.第I 卷为选择题；第II 卷为非选择题，分为必考和选考两部分。
二、答题前请仔细阅读答题卡上旳“注意事项”，按照“注意事项”旳规定答题. 三、做选择题时,每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目旳标号涂黑。
如 需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案.四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出旳四个选项中， 有且只有一项符合题目要求。
（1)设集合A= ｛1，2｝，则满足A B=｛1,2, 3, 4｝旳集合B 旳个数是 （A ） 2 (B) 3 （C ） 4 （D ） 5（2）若复数)(12R a iia ∈+-为纯虚数，则｜3—ai ｜ = （A ） 13 (B) 13(C) 10（D ） 10（3) 已知22)6cos(),,0(=+∈ππa a ,则 tan2α= （A ）33 （B ）- 33 (C) 13 (D ）— 13。
（4)求三个不相等旳实数a ， b ， c 最大值旳程序框图如图所示,则空白判断框内应为 （A ） a 〉b? （B ） a 〉c ？ (C) d 〉b 或 a>c ？ （D) a 〉b 且 a 〉c?（5）已知向量a ， b 满足:（a+2b ）•(a －b ）=—6，且 ｜a ｜=1,|b|=2，则 a 与b 旳夹角为（A)6π （B) 3π (C ） 32π (D ）65π（6)函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 旳图象如图所示,为了得到函数)6cos(ωω+=x y 旳图 象，只需将y=f(x )旳图象（A ）向左平移3π个单位 （B ）向右平移3π个单位（C)向左平移6π个单位（D)向心平移6π。
个单位（7） 学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科旳专题 讲座，每科一节课，每节至少有一科,且数学、理综不安排在同一节,则不同旳安 排方法共有（A) 36 种（B) 30 种（C ） 24 种(D) 6 种（8）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-++-0202201a y ax y x y x 表示旳平面区域旳面积为. 215,则a=(A)74 (B ） 1 (C) 2 （D ） 3（9） 如图I,边长为2旳d 正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 旳中点，将ΔADE,ΔCDF ，ΔBEF 折起，使A ，C ，B 二点重合于G ，所 得二棱锥G-DEF 旳俯视图如图2，则其正视 图旳面积为(A ）21 (B ） 32 （C) 322 （D) 22(10） （10）己知直线l 旳斜率为k ，它勾抛物线y 2=4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线旳焦点, 若FB AF 2=，则|k ｜=(A) 22 （B ） 3 (C ）42（D) (11)x 0函数f (x ）=2s i n x —πl n x （x ∈ （O , π))旳零点，x 1〈x 2，则①x 0∈（1,e ） ②x 0∈（1,π)： ③f(x1）—f(x2）<0④f(x1）—f （x2)〉0.其中正确旳命题为（A) ①③ (B) ①④（C ） ②③）(D ）②④(12）三棱柱ABC —A 1B 1C 1,旳底面是正三角形，侧棱垂直于底面，所有棱长都是6，则四 面体A 1ABC ， B 1ABC ， C 1ABC 旳公共部分旳体积等于（A ） 318 (B ） 312 (C ) 39 （D ） 36第II 卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分,把答案填写在题中横线上。
河北省唐山一中2019届高三上学期期中考试 数学理
唐山一中2019～2019学年度第一学期期中考试高三年级数学（理科）试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．平面向量a 与b 的夹角为60°，(2,0),1,==a b 则2+=a b （ ） （A（B）（C ）4 （D ）122．若集合{}{}2540;1,A x x x B x x a =-+=-＜＜则“(2,3)a ∈”是“B A ⊆”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件3．已知平面向量,m n u r r 的夹角为,6π23==，在ABC ∆中，22AB m n =+uu u r u r r ， 26AC m n =-uu u r u r r，D 为BC 中点，则AD =( )A.2B.4C.6D.84．某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆）， 则该几何体的表面积为（ ）（A ）9214+π （B ）8214+π （C ）9224+π （D ）8224+π 5．已知等差数列{}n a 中，37101140,4a a a a a +-=-=，记12n n S a a a =+++，S 13=( )A ．78B ．68C ．56D ．526．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（ ）A ．221169x y -= B ．22134x y -= C ．221916x y -= D ．22143x y -=侧视正视图俯视图7．在△ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足sin cos a B b A =,cos B C -的最大值是( ) A ．1 B. 3 C. 7 D. 27 8．若函数1()e (0,)axf x a b b=-＞＞0的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是（ ）（A ）4 （B）（C ）2 （D9. 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，12,F F 分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点P 使得122PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围是( )A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦10．已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ﹣ABC 的高为2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，则球O 的表面积为（ ）A ．24π B. 32π C. 48π D. 192π11．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（ ）（A ）10,5,5+∞（]（） （B ）10,[5,5+∞（））（C ）11,]5,775（（） （D ）11,[5,775（））12．对于定义域为的函数和常数，若对任意正实数，使得恒成立，则称函数为“敛函数”．现给出如下函数：①； ②；③ ； ④.其中为“敛1函数”的有 高考资源网()1x f x x -=()2log f x x =()()112xf x x Z ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭()()f x x x Z =∈c ()y f x =0|()|f x c ξ<-<,x D ∃∈ξc ()y f x =DA ．①②B ．③④C ． ②③④D ．①②③Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13. 过点(1,1)-的直线与圆2224110x y x y +---=截得的弦长为，则该直线的方程为 。
河北唐山一中2019高三上第一次抽考--数学(理)
河北唐山一中2019高三上第一次抽考--数学（理）【一】选择题：〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
〕 1.集合{}1A x x =>，{}B x x m =<，且A B =R ，那么m 的值能够是〔 〕A.1-B. 0C. 1D. 2 2.假设sin2<θ，那么角θ是〔 〕A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第二或第四象限角 3、在ABC ∆中，6A π=，1,a b ==B = ( ) A.4π B. 43π C.4π或43π D.6π 或65π4.为了得到函数2log y =2log y x =的图象上所有的点的〔 〕A.纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B.纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度 5.“3πθ≠”是“21cos ≠θ”的 〔 〕A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C .充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 设12log 3a =，3.031⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，πln =c ，那么 〔 〕A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b a c << A.假设n m n m //,//,//则αα B.假设βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂ C.假设βαβα⊥⊂⊥m m 则,, D.假设ααββα//,,,m m m 则⊄⊥⊥ 8.函数sin(),(0,||)2y x πωϕωϕ=+><的简图如下图，那么ωϕ的值为()A.6πB.6πC.3πD.3π9、假设函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间 (k －1，k ＋1)内不是．．单调函数，那么实数k 的取值范 围是()A 、[1，＋∞)B 、[1，32)C 、[1,2)D 、[32，2)10.如右图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝3，D 、E 分别是AC 1和BB 1的中点，那么直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为()A.π6B.π4C.π3D.π211、()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()0xf x f x x ->，且(2)0f -=，那么不等式()0f x x >的解集是()A.(2,0)-∪(0,2)B.(,2)-∞-∪(2,)+∞C.(2,0)-∪(2,)+∞D.(,2)-∞-∪(0,2) 12.点(,)P x y 是曲线1:(0)C y x x=>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点.给出三个命题：①PA PB=；②OAB ∆的周长有最小值4+；③曲线C 上存在两点,M N ，使得OMN ∆为等腰直角三角形、其中真命题的个数是A.１B.２C.３D.０ 【二】填空题：〔本大题共4小题，每题5分，共20分。
唐山市度高三年级第一学期期末考试(图片)——数学理数
参考答案一、选择题：A 卷：BCADB ACDBA ADB 卷：BCADD ACDBA AB二、填空题：（13） 5 12 （14）1 （15） x 29＋ y 26＝1 （16）255三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由正弦定理得：2sin B cos B ＝sin A cos A cos B －sin B sin 2A －sin C cos A＝sin A cos (A ＋B )－sin C cos A＝－sin A cos C －sin C cos A＝－sin (A ＋C )＝－sin B ，∵sin B ≠0，∴cos B ＝－ 1 2，B ＝2π3．…6分 （Ⅱ）由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，b ＝7a ，cos B ＝－ 12得c 2＋ac －6a 2＝0，解得c ＝2a ， …10分 由S △ABC ＝ 12ac sin B ＝32a 2＝23，得a ＝2．…12分 （18）解：（Ⅰ）k ＝200(5×115－35×45)250×150×40×160＝256≈4.167＞3.841，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”． …6分 （Ⅱ）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为 15，将频率视为概率，所以X 可取0，1，2，3，且X ~B (3， 15)．P (X ＝k )＝C k 3×( 1 5)k (1－ 15)3－k （k ＝0，1，2，3），10分 E (X )＝3× 1 5＝ 3 5．…12分 （19）解：（Ⅰ）证明：连接AC ，则△ABC 和△ACD都是正三角形．取BC 中点E ，连接AE ，PE ，因为E 为BC 的中点，所以在△ABC 中，BC ⊥AE ，因为PB ＝PC ，所以BC ⊥PE ，又因为PE ∩AE ＝E ，所以BC ⊥平面P AE ，又P A ⊂平面P AE ，所以BC ⊥P A ．同理CD ⊥P A ，又因为BC ∩CD ＝C ，所以P A ⊥平面ABCD ．…6分（Ⅱ）如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A -xyz ，则B (3，－1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)， PD →＝(0，2，－2)，BD →＝(－3，3，0)，设平面PBD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧PD →·m ＝0，BD →·m ＝0，即⎩⎨⎧2y －2z ＝0，－3x ＋3y ＝0， 取平面PBD 的法向量m ＝(3，1，1)，…9分 取平面P AD 的法向量n ＝(1，0，0)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝155， 所以二面角A -PD -B 的余弦值是155． …12分（20）解：（Ⅰ）由题意得F (1，0)，从而有C ：x 2＝4y ．解方程组⎩⎨⎧x 2＝4y ，x 2＋y 2＝1，得y A ＝5－2，所以|AF |＝5－1． …5分 （Ⅱ）设M (x 0，y 0)，则切线l ：y ＝x 0p(x －x 0)＋y 0， 整理得x 0x －py －py 0＝0．…6分 由|ON |＝1得|py 0|＝x 20＋p 2＝2py 0＋p 2，所以p ＝2y 0y 20－1且y 20－1＞0， …8分 所以|MN |2＝|OM |2－1＝x 20＋y 20－1＝2py 0＋y 20－1＝4y 20y 20－1＋y 20－1＝4＋4y 20－1＋(y 20－1)≥8，当且仅当y 0＝3时等号成立， 所以|MN |的最小值为22，此时p ＝3．…12分（21）解：（Ⅰ）f ′(x )＝1－ln x x 2（x ＞0），当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以当x ＝e 时，f (x )取得最大值f (e)＝ 1 e． …4分 （Ⅱ）g ′(x )＝ln x －ax ＝x (ln x x－a )，由（Ⅰ）及x ∈(0，e]得： ①当a ＝ 1 e 时，ln x x－a ≤0，g ′(x )≤0，g (x )单调递减， 当x ＝e 时，g (x )取得最小值g (e)＝h (a )＝－ e 2． …6分 ②当a ∈[0， 1 e )，f (1)＝0≤a ，f (e)＝ 1 e＞a ， 所以存在t ∈[1，e)，g ′(t )＝0且ln t ＝at ，当x ∈(0，t )时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，当x ∈(t ，e]时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，所以g (x )的最小值为g (t )＝h (a )． …9分令h (a )＝G (t )＝t ln t 2－t ， 因为G ′(t )＝ln t －12＜0，所以G (t )在[1，e)单调递减，此时G (t )∈(－ e 2，－1]． 综上，h (a )∈[－ e 2，－1]． …12分 （22）解：（Ⅰ）C 1：ρ(cos θ＋sin θ)＝4，C 2的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以ρ＝2cos θ．…4分 （Ⅱ）设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，－ π 4＜α＜ π 2， 则ρ1＝ 4 cos α＋sin α，ρ2＝2cos α， …6分 |OB ||OA |＝ ρ2 ρ1＝ 1 4×2cos α(cos α＋sin α) ＝ 1 4(cos 2α＋sin 2α＋1)＝ 1 4[2cos (2α－ π 4)＋1]， …8分 当α＝ π 8时，|OB ||OA |取得最大值 1 4(2＋1)． …10分（23）解：（Ⅰ）f (x )＝2|x －1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4，x ＜1，x ，1≤x ≤2，3x －4，x ＞2． 所以，f (x )在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，又f (0)＝f ( 8 3)＝4，故f (x )≤4的解集为{x |0≤x ≤ 8 3}． …4分 （Ⅱ）①若a ＞1，f (x )＝(a －1)|x －1|＋|x －1|＋|x －a |≥a －1，当且仅当x ＝1时，取等号，故只需a －1≥1，得a ≥2． …6分 ②若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，f (1)＝0＜1，不合题意． …7分 ③若0＜a ＜1，f (x )＝a |x －1|＋a |x －a |＋(1－a )|x －a |≥a (1－a )，当且仅当x ＝a 时，取等号，故只需a (1－a )≥1，这与0＜a ＜1矛盾． …9分综上所述，a 的取值范围是[2，＋∞)． …10分 解法2f (x )≥1⇒f (1)＝|1－a |≥1且a ＞0，解得a ≥2. …6分当a ≥2时，f (x )＝a |x －1|＋|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)x ＋2a ，x ＜1，(a －1)x ，1≤x ≤a ，(a ＋1)x －2a ，x ＞a ．所以，f (x )在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，则f (x )≥f (1)． …8分 f (x )≥1⇔f (1)＝a －1≥1，解得a ≥2．综上所述，a 的取值范围是[2，＋∞)． …10分。
河北省唐山市2019届高三上学期第一次摸底考试数学(理)试题+扫描版含答案
唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：ADBCD DACCB CB B 卷：ADBBD DACABCB二．填空题： （13）2（14）12（15）2 6 （16）(1，3)三．解答题： 17．解：（1）由已知可得，2S n ＝3a n －1， ① 所以2S n －1＝3a n －1－1 （n ≥2）， ② ①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，化简为a n ＝3a n －1（n ≥2），即a na n －1＝3（n ≥2）， …3分在①中，令n ＝1可得，a 1＝1， …4分 所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n ＝3n －1． …6分（2）b n ＝(n －1)·3n －1，T n ＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n －1)·3n －1， ③则3T n ＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n． ④③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)·3n ， …8分＝3－3n 1－3－(n －1)·3n＝(3－2n )·3n －32． …10分 所以，T n ＝(2n －3)·3n ＋34． …12分 18．解：（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品， 所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率 P ＝4×5＋6×510×10＝12． …5分（2）X 可取0，1，2，3． …6分P (X ＝0)＝C 04C 36C 310＝16； P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝12；P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝310； P (X ＝3)＝C 34C 06C 310＝130； …10分X 的分布列为∴随机变量X 的期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65． …12分 19．解：（1）∵直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点， ∴BD ⊥CD ，又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ， ∴CD ⊥平面PBD ， ∴CD ⊥PD ， 又∵AD ⊥BD ， ∴PD ⊥BD ．又因为BD ∩CD ＝D ， ∴PD ⊥平面BCD ． …5分（2）以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (2，0，0)，B (0，2，0)，C (－2，0，0)，P (0，0，2)，PA →＝(2，0，－2)，PB →＝(0，2，－2)，CB →＝(2，2，0)设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由PB →·n ＝0，CB →·n ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，2x ＋2y ＝0，取n ＝(1，－1，－1)．…9分cos 〈PA →，n 〉＝PA →·n |PA →||n |＝63，∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为63． …12分20．解：（1）由已知可得，y 1＝x 21，y 2＝x 22，所以y 1－y 2＝x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(x 1－x 2)，此时，直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2．…4分（2）因为OB ⊥l ，所以k OB ＝－1k ，又因为k OB ＝y 2x 2＝x 22x 2＝x 2，所以，x 2＝－1k ，…6分又由（1）可知，x 1＋x 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝k ，从而有，x 1＝k －x 2＝k ＋1k ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|k ＋ 2k |，|OB |＝x 22＋y 22＝x 22＋x 42＝1k 2＋1k 4＝1＋k 2k 2，…9分因为|AB |＝3|OB |，所以1＋k 2|k ＋2k |＝31＋k 2k 2，化简得，|k 3＋2k |＝3， 解得，k ＝±1，所以，|AB |＝1＋k 2|k ＋ 2k |＝32．…12分21．解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝ln x ＋1x ，所以f '(x )＝1x －1x 2．…1分设切点为(x 0，f (x 0))，曲线y ＝f (x )与y ＝m 相切，得f '(x 0)＝0， 解得x 0＝1，所以切点为（1，1）． …3分 所以m ＝1． …4分 （2）依题意得f (1)≥ea ，所以1≥ ea ，从而a ≥e ．…5分因为f '(x )＝x －ln ax 2ln a ，a ≥e ，所以当0＜x ＜ln a 时，f '(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞ln a 时，f '(x )＞0，f (x )单调递增，所以当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值log a (ln a )＋1ln a ．…7分设g (x )＝eln x －x ，x ≥e ， 则g '(x )＝ex －1＝e －x x ≤0，所以g (x )在[e ，＋∞)单调递减， 从而g (x )≤g (e)＝0，所以eln x ≤x ．…10分又a ≥e ，所以eln a ≤a ，从而1ln a ≥ea ，当且仅当a ＝e 时等号成立．因为ln a ≥1，所以log a (ln a )≥0， 即log a (ln a )＋1ln a ≥ea ．综上，满足题设的a 的取值范围为[e ，＋∞)． …12分22．解：（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π4)－4＝0得， ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0． 所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6． …5分（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得， t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0．||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋ π4)|因为0≤α＜π，所以π4≤α＋π4＜5π4，从而有－2＜22sin (α＋ π4)≤22．所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]． …10分23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|, 所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2， 故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}． …5分（2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 12，－2x ＋2， x ＞ 12，由g (x )的单调性可知，x ＝12时，g (x )取得最大值1， 所以a 的取值范围是[1，＋∞）．…10分------------------------------------------------------------------------ 怎样才能学好数学一、把握好课堂的每一分钟如今的数学教师，都比较重视课堂教学的效益，所以，老师最期盼的事情就是：学生能够专心听讲，眼睛时刻盯在老师身上，或者盯在黑板上。
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河北省唐山市2019届高三上学期第一次调研统考理科
数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合{}5,4,3,2,1⊆A ，且{}{}2,13,2,1= A ，则满足条件的集合A 的个数是（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
2.已知复数z 满足i z i 3)31(=+，则=z （ ）
A ．i 2323+
B ．i 2323-
C ．i 4
343+ D ．i 4
343- 3.某班学生一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示，数据分组依次为
]150,130[),130,110[),110,90[),90,70[，若成绩大于等于90分的人数为36，则成绩在
)130,110[的人数
为（ ）
A ．12
B ．9
C ．15
D ．18
4.设函数R x x f y ∈=),(，“)(x f y =是偶函数”是“)(x f y =的图像关于原点对称”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.设21,F F 是双曲线14
22
=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面
积为（ ）
A ．1
B ．2
C ．25
D ．5
6.要得到函数R x x x x f ∈=,cos sin 2)(，只需将函数R x x x g ∈-=,1cos 2)(2的图像（
）
A ．向左平移2π个单位
B ．向右平移2π
个单位
C ．向左平移4π个单位
D ．向右平移4π
个单位
7.执行如图所示的程序框图，若输入2,1==b a ，则输出的=x （ ）
A ．25.1
B ．375.1
C ．4375.1
D ．40625.1
8.设0x 是方程x x =)31
(的解，则0x 所在的范围是（ ）
A ．)31,0(
B ．)21,31(
C ．)32,21(
D ．)1,32(
9.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）
A ．6226++
B ．226+
C ．3
D ．3
8
10.把长为cm 80的铁丝随机截成三段，则每段铁丝长度都不小于cm 20的概率是（ ）
A ．
161 B ．81 C ．41 D ．16
3 11.在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，⊥PA 底面ABCD ，
H F E AB PA ,,,4==
分别是棱PD BC PB ,,的中点，则过H F E ,,的平面截四棱锥ABCD P -所得截面面积为（ ）
A ．62
B ．64
C ．65
D ．6432+
12.设函数a x a x x x f ---+-=
5)8(331)(23，若存在唯一的正整数0x ，使得0)(0<x f ，则a 的
取值范围是（ ）
A ．]61,151(
B ．]41,151(
C ．]4
1,61(
D ．]15
8,41( 第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.已知向量)75sin ,75(cos ),15sin ,15(cos ==14.在n x
x )12(3-的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是_______. 15.已知抛物线y x 42=与圆)0()2()1(:222>=-+-r r y x C 有公共点P ，若抛物线在P 点
处的
切线与圆C 也相切，则=r ______.
16.一艘海监船在某海域实施巡航监视，由A 岛向正北方向行驶80海里至M 处，然后沿东偏南 30方向行
驶50海里至N 处，再沿南偏东 30方向行驶330海里至B 岛，则B A ,两岛之间距离是_____海里.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，240,1101510==S S .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令11+++=
n n n n n a a a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，PB BC ⊥，BCD ∆为等边三角形，3==BD PA ，
AD AB =，E 为PC 的中点.
（1）求AB ；
（2）求平面BDE 与平面ABP 所成二面角的正弦值.
19.（本小题满分12分）
甲将要参加某决赛，赛前D C B A ,,,四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知B A ,选择
甲的概率均为m ，D C ,选择甲的概率均为)(n m n >，且四人同时选择甲的概率为1009，四人均未选择 甲的概率为25
1. （1）求n m ,的值；
（2）设四位同学中选择甲的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.
20.（本小题满分12分）
如图，过椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x E 上一点P 向x 轴作垂线，垂足为左焦点F ，B A ,分别为E 的右
顶点，上顶点，且OP AB ∥，12+=
AF .
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过原点O 做斜率为)0(>k k 的直线，交E 于D C ,两点，求四边形ACBD 面积S 的最大值.
21.（本小题满分12分） 已知函数2ln )(-+=x
a x x f . （1）讨论)(x f 的单调性；
（2）若函数)(x f y =的两个零点为)(,2121x x x x <，证明：a x x 221>+.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，ABC ∆与ABD ∆都是以AB 为斜边的直角三角形，O 为线段AB 上一点，BD 平分ABC ∠，且
BC OD ∥.
（1）证明：D C B A ,,,四点共圆，且O 为圆心；
（2）AC 与BD 相交于点F ，若62==CF BC ，求D C ,之间的距离.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程是2=ρ.矩形ABCD 内接
于曲线1C ，B A ,两点的极坐标分别为)6,
2(π和)6
5,2(π.将曲线1C 上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短
为原来的一半，得到曲线2C . （1）写出D C ,的直角坐标及曲线2C 的参数方程；
（2）设M 为2C 上任意一点，求2222MD MC MB MA +++的取值范围.
24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数11)(-++=mx x x f .
（1）若1=m ，求)(x f 的最小值，并指出此时x 的取值范围；
（2）若x x f 2)(≥，求m 的取值范围.。