巴蜀中学2015届高三上学期一模考试数学理试卷和答案

巴蜀中学2015届高三上学期一模考试数学（理）试卷5. 已知点(,)P x y 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域上运动，则z x y=-的取值范围是（ ）A.[]2,1--B.[]2,1-C.[]1,2-D.[]1,26. 已知向量AB 与AC 的夹角为0120，且||2,||3AB AC ==，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为（ ） A ．73 B ．13 C ．6 D ．712 7. 化简=︒-︒︒40sin 125cos 40cos （ ）A.1C. D. 28. 过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一个焦点F 向其一条渐近线作垂线l ，垂足为A ，l 与另一条渐近线交于B 点，若2FB FA =，则双曲线的离心率为（ ） A.29. 已知,a b 都是负实数，则2a ba b a b+++的最小值是（ ） A.56B. 1)C. 1-D. 1)+10. 已知函数52log (1)(1)()(2)2(1)x x f x x x ⎧-<=⎨--+≥⎩，则关于x 的方程1(2)f x a x +-=的实根个数不可能．．．为（ ） A.5个 B.6个 C.7个 D. 8个 二．填空题（每小题5分，共5小题25分）11. 已知复数ii z 1-=（i 为虚数单位），则z =______________。

12. 已知不等式a x x >-++|2||1|的解集为R ，则实数a 的取值范围是 。

13. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线24⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩x y 经过曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>的焦点，则实数a 的值为___________。

14. 将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，则一共有__________种放法。

15. 已知ABC ∆中的内角为,,A B C ，重心为G ，若2sin 3sin 3sin 0A GA B GB C GC ⋅+⋅+⋅=，则cos B = 。

三. 解答题(共6小题75分,16,17, 18每小题13分,19,20,21每小题12分) 16.（13分） 已知函数22()(sin cos )2cos 2f x x x x =++-． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）当3[,]44x ππ∈时，求()f x 的值域．17.（13分）已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，21=a ，且964,,a a a 成等比数列. （1）求通项公式n a ；（2）令n n n a b 21++=，*∈N n ，求数列{}n b 的前n 项的和n T .18.（13分）如图所示，已知点)3,(a M 是抛物线x y 42=上一定点，直线AM 、BM 的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A 、B 两个不同的点。

（1）求点M 到其准线的距离； （2）求证：直线AB 的斜率为定值。

19.（12分） 已知函数()ln f x x x =⋅，2()3g x x ax =-+-。

（1）求函数()f x 的最小值；（2）若存在1[,]x e e∈（e 是自然对数的底数）使不等式2()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围。

20. （12分）已知21F ,F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，O 为坐标原点，点)22,1(-P 在椭圆上，且0211=⋅F F PF ，⊙O 是以21F F 为直径的圆，直线l ：m kx y +=与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点.,B A （1）求椭圆的标准方程； （2）当λ=⋅OB OA ，且满足4332≤≤λ时，求弦长||AB 的取值范围。

21.（12分）已知函数()2ln ,(1)0bf x ax x f x=--=，其导函数为'()f x 。

（1）若函数()f x 在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围；（2）若'(1)0f =且'211()11n n a f n a n +=-+-+，已知14a =，求证：22n a n ≥+；（3）在（2）的条件下，试比较12311111111na a a a +++⋅⋅⋅+++++与25的大小，并说明你的理由。

一、16.解：（1）2()12sin cos2cos2sin2cos2)4f x x x x x x xπ=++-=+=+故的单调增区间为（2）∴∴当时，的最大值为1,最小值为17.解：（1）)8()3()5(11219426dadadaaaa+⋅+=+⇒⋅=，dad12=，因为0≠d，则21==ad.所以=na nn22)1(2=⋅-+（2）因为nnnb212++=，所以=nT)222()321(221nnn+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++21)21(22)1(2--+++=nnnn22212-++=+nnn18．解：（1）∵)3,(aM是抛物线xy42=上一定点∴ a 432=，49=a∵抛物线x y 42=的准线方程为1-=x∴ 点M 到其准线的距离为413)1(49=--（2）由题知直线MA 、MB 的斜率存在且不为0， 设直线MA 的方程为：)49(3-=-x k y ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=-xy x k y 4)49(32 091242=-+-k y k y ∵k y A 43=+ ∴43A y k =- ∵ 直线AM 、BM 的斜率互为相反数∴ 直线MA 的方程为：)49(3--=-x k y 同理可得：34--=ky B ∴ 323434444422-=-+--=+=--=--=k k y y y y y y x x y y k A B AB A B A B A B AB ∴ 直线AB 的斜率为定值23-19.（1）易知，()f x 定义域为(0,)+∞，且'()ln 1f x x =+， 当1(0,)x e∈时，'()0f x <，此时()f x 单调递减， 当1(,)x e∈+∞时，'()0f x >，此时()f x 单调递增。

所以min 11()()f x f e e==-； （2）由题意知22ln 3x x x ax ⋅≥-+-，即32ln a x x x≤++， 设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则'2223(3)(1)()1x x h x x x x +-=+-=当1[,1)x e∈时，'()0h x <，此时()f x 单调递减；当(1,]x e ∈时，'()0h x >，此时()f x 单调递增。

所以max 1()max{(),()}h x h h e e =，因为存在1[,]x e e ∈使不等式2()()f x g x ≥成立，所以max ()a h x ≤，又113()23,()2h e h e e e e e =-++=++，故1()()h h e e>所以132a e e≤+-。

20.解:（1）依题意，可知211F F PF ⊥，∴ 22222,1211,1c b a ba c +==+= ，解得1,1,2222===cb a ∴椭圆的方程为.y x 1222=+ （2）直线l ：m kx y +=与⊙221O x y +=：相切，则112=+k m ，即122+=k m ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y y x 1222，得()022421222=-+++m kmx x k ， ∵直线l 与椭圆交于不同的两点.,B A 设()().y ,x B ,y ,x A 2211 ∴0002≠⇒>⇒>k k ,∆，,km x x ,k km x x 22212212122214+-=+-=+ ()()22222121212122221+()1212m k k y y kx m kx m k x x km x x m k k--=++=++==++， ∴λ=++=+=⋅222121211k k y y x x OB OA ∴432113222≤++≤k k ∴1212≤≤k ，=设4221(1)2u k k k =+≤≤，则243≤≤u，3||,24AB u ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦∵()||AB u 在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增4||3AB ≤≤.21.21.（1）'22(1)0,()2ln ,()a a f a b a b f x ax x f x a x x x=-=⇒=∴=--∴=+-。

要使函数()f x 在定义域(0,)+∞内为单调函数，则在(0,)+∞内'()f x 恒大于0或恒小于0，当0a =时，'2()0f x x=-<在(0,)+∞恒成立； 当0a >时，要使'2111()()0f x a a x a a =-+-≥恒成立，则101a a a -≥⇒≥；当0a <时，'22()0a f x a x x=+-≤恒成立；所以a 的取值范围为[1,)(,0]+∞-∞。