《3.1空间中向量的概念和运算》同步练习

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2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第3章 3.1 空间中向量的概念和运算含解析

3．1空间中向量的概念和运算第一课时　空间中向量的概念和线性运算[读教材·填要点]1．向量的概念既有大小又有方向的量称为向量．2．用有向线段表示向量要表示向量a，可以从任意一点A出发作有向量线段AB，使AB的方向与a相同，长―→度|AB|等于a的模，则有向线段AB表示向量a，记为a＝.AB3．空间向量加法的运算律(1)a＋b＝b＋a.(加法交换律)(2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．(加法结合律)4．向量与实数相乘(1)向量与实数相乘：任何一个向量a都可以看作某个平面上的向量，它与实数λ相乘可以按照平面向量与实数相乘的法则进行．(2)①λ(a＋b)＝λa＋λb.(对向量加法的分配律)②(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a.(对实数加法的分配律)[小问题·大思维]1．空间向量的定义及表示方法，同平面向量的定义及表示方法有区别吗？提示：空间向量与平面向量没有本质区别，定义及表示方法都一样．2．在空间中，所有单位向量平移到同一起点后，终点轨迹是什么图形？提示：因为单位向量的模均等于1，那么当所有向量移到同一起点后，终点轨迹是一个球面．3．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全相同吗？提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一平面内，所以空间向量与平面向量均可用三角形或平行四边形法则，是相同的．4．两个向量a ，b 共线是两个向量共面的什么条件？提示：a ，b 共线时，这两个向量一定共面；若a 与b 共面，a 与b 所在的直线可能相交，所以a 与b 共线是a 与b 共面的充分不必要条件．空间向量的线性运算已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值：(1)＝＋x ＋y ；O Q ―→ P Q ―→ PC ―→ PA ―→ (2)＝x ＋y ＋.PA ―→ PO ―→ P Q ―→ PD ―→ [自主解答]　如图，(1)∵＝－O Q ―→ P Q ―→ PO―→ ＝－(＋)P Q ―→ 12PA ―→ PC ―→ ＝－－，P Q ―→ 12PA ―→ 12PC ―→ ∴x ＝y ＝－.12(2)∵＋＝2，∴＝2－.PA ―→ PC ―→ PO ―→ PA ―→ PO ―→ PC ―→ 又∵＋＝2，∴＝2－.PC ―→ PD ―→ P Q ―→ PC ―→ P Q ―→ PD ―→从而有＝2－(2－)＝2－2＋.PA ―→ PO ―→ P Q ―→ PD ―→ PO ―→ P Q ―→ PD ―→ ∴x ＝2，y ＝－2.本例中，若＝x ＋y ＋z ，则x ，y ，z 为何值？P Q ―→ BA ―→ BC ―→ BP ―→解：∵＝＋＋＝－＋＋P Q ―→ PB ―→ BC ―→ C Q ―→ BP ―→ BC ―→ 12CD―→＝－＋＋＝＋－，BP ―→ BC ―→ 12BA ―→ 12BA ―→ BC ―→ BP ―→∴x ＝，y ＝1，z ＝－1.12利用多边形法则是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握．1.如图所示，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1) ＋；CB ―→ BA 1―→ (2) ＋＋；AC ―→ CB ―→ 12AA 1―→ (3)－－.AA 1―→ AC ―→ CB ―→ 解：(1)＋＝.CB ―→ BA 1―→ CA 1―→ (2)因为M 是BB 1的中点，所以＝.BM ―→ 12BB 1―→又＝，所以＋＋＝＋＝.AA 1―→ BB 1―→ AC ―→ CB ―→ 12AA 1―→ AB ―→ BM ―→ AM ―→ (3)－－＝－＝.AA 1―→ AC ―→ CB ―→ CA 1―→ CB ―→ BA 1―→ 向量，，如图所示．CA 1―→ AM ―→ BA 1―→共线问题空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别在边CB ，CD 上，且＝，＝.判断与是否共线？若共线，并判断四边形EFGH 的CF ―→ 23CB ―→ CG ―→ 23CD ―→ EH ―→ FG ―→形状．[自主解答]　根据题意，∵＝－，＝－，EH ―→ AH ―→ AE ―→ BD ―→ AD ―→ AB ―→ 又∵＝，∴＝.AH ―→ 12AD ―→ AE ―→ 12AB ―→ ∴＝.①EH ―→ 12BD ―→∵＝－，＝－，FG ―→ CG ―→ CF ―→ BD ―→ CD ―→ CB ―→ 又∵＝，＝，CG ―→ 23CD ―→ CF ―→ 23CB ―→ ∴＝(－)＝.②FG ―→ 23CD ―→ CB ―→ 23BD ―→ 由①②得，＝.EH ―→ 34FG ―→ ∴与共线．EH ―→ FG ―→∴EH ∥，且||≠||.FG ―→ EH ―→ FG ―→ 又∵点F 不在直线EH 上，∴EH ∥FG 且|EH |≠|FG |.∴四边形EFGH 为梯形．判断空间图形中两个向量共线的步骤为：(1)作出空间图形；(2)结合空间图形，充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示a 与b ；(3)化简得出a ＝xb ，从而得出a ∥b ，即a 与b 共线．本例中，如果F ，G 分别是边CB ，CD 的中点，你能判断出EFGH 是什么四边形吗？解：若F ，G 分别是边BC ，CD 的中点，∵＝－，＝－，EH ―→ AH ―→ AE ―→ BD ―→ AD ―→ AB ―→ ＝，＝，AH ―→ 12AD ―→ AE ―→ 12AB ―→ ∴＝.①EH ―→ 12BD ―→∵＝－，＝－，FG ―→ CG ―→ CF ―→ BD ―→ CD ―→ CB ―→ 又∵＝，＝，CG ―→ 12CD ―→ CF ―→ 12CB ―→ ∴＝(－)＝.②FG ―→ 12CD ―→ CB ―→ 12BD ―→ 由①②，得＝，EH ―→ FG ―→ ∴∥且||＝||.EH ―→ FG ―→ EH ―→ FG ―→又∵点F 不在直线EH 上，∴EH ∥FG 且|EH |＝|FG |.∴四边形EFGH 是平行四边形．2.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且 A 1E―→ ＝2，F 在对角线A 1C 上，且＝.求证：E ，F ，B 三点共ED 1―→ A 1F ―→ 23FC ―→ 线．证明：设＝a ，＝b ，＝c .AB ―→ AD ―→ AA 1―→ ∵＝2，＝，A 1E ―→ ED 1―→ A 1F ―→ 23FC ―→∴＝，＝.A 1E ―→ 23A 1D 1―→ A 1F ―→ 25A 1C ―→ ∴＝＝b ，A 1E ―→ 23AD ―→ 23＝(－)A 1F ―→ 25AC ―→ AA 1―→ ＝(＋－)25AB ―→ AD ―→ AA 1―→ ＝a ＋b －c .252525∴＝－EF ―→ A 1F ―→ A 1E―→＝a －b －c 2541525＝.25(a －23b －c )又＝＋＋＝－b －c ＋aEB ―→ EA 1―→ A 1A ―→ AB ―→ 23＝a －b －c ，23∴＝.EF ―→ 25EB ―→所以E ，F ，B 三点共线．共面问题已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足＝＋＋OM ―→ 13OA ―→ 13OB ―→ 13.OC ―→(1)判断，，三个向量是否共面；MA ―→ MB ―→ MC ―→(2)判断M 是否在平面ABC 内．[自主解答]　(1)∵＋＋＝3，OA ―→ OB ―→ OC ―→ OM ―→∴－＝(－)＋(－)＝＋.OA ―→ OM ―→ OM ―→ OB ―→ OM ―→ OC ―→ BM ―→ CM ―→∴＝＋＝－－.MA ―→ BM ―→ CM ―→ MB ―→ MC ―→ ∴向量，，共面．MA ―→ MB ―→ MC ―→(2)由(1)向量，，共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，MA ―→ MB ―→ MC ―→∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．利用向量法解决向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．向量共面的充要条件的实质是：共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值．3．已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面．(2)BD ∥平面EFGH .证明：如图，连接EG ，BG .(1)因为＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝EG ―→ EB ―→ BG ―→ EB ―→ 12BC ―→ BD ―→ EB ―→ BF ―→ EH ―→＋，由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面．EF ―→ EH ―→(2)因为＝－＝－＝，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，EH ―→ AH ―→ AE ―→ 12AD ―→ 12AB ―→ 12BD ―→BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .解题高手妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图，已知斜三棱柱ABC A ′B ′C ′中，点M ，N 分别在面对角线AC ′，棱BC 上，且AM ＝kAC ′，BN ＝kBC (0<k ≤1)．求证：MN ∥平面ABB ′A ′.[巧思]　要证明MN ∥平面ABB ′A ′，只要证明向量可以用MN ―→平面ABB ′A ′内的两个不共线的向量线性表示即可，但要注意指明MN 不在平面ABB ′A ′内．[妙解]　因为M 在AC ′上，且AM ＝kAC ′，所以＝k ＝k ＋k ，AM ―→ AC ′―→ AC ―→ AA ′―→又＝＋＝＋k ＝＋k (－)＝(1－k )＋k ，AN ―→ AB ―→ BN ―→ AB ―→ BC ―→ AB ―→ AC ―→ AB ―→ AB ―→ AC ―→ 所以＝－＝(1－k )＋k －k －k ＝(1－k )－k .MN ―→ AN ―→ AM ―→ AB ―→ AC ―→ AC ―→ AA ′―→ AB ―→ AA ′―→ 因为与不共线，由共面向量定理，可知，，共面．AB ―→ AA ′―→ MN ―→ AB ―→ AA ′―→ 因为0<k ≤1，所以MN ⊄平面ABB ′A ′，所以MN ∥平面ABB ′A ′.1．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCDAO ―→ OB ―→ DO ―→ OC ―→ 是( )A ．平行四边形 B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形解析：∵＋＝＋，AO ―→ OB ―→ DO ―→ OC ―→∴＝.AB ―→ DC ―→∴∥且||＝||.AB ―→ DC ―→ AB ―→ DC ―→ ∴四边形ABCD 为平行四边形．答案：A2．已知向量，，满足||＝||＋||，则( )AB ―→ AC ―→ BC ―→ AB ―→ AC ―→ BC ―→ A ．＝＋B ．＝－－AB ―→ AC ―→ BC ―→AB ―→ AC ―→ BC―→C ．与同向D ．与同向AC ―→ BC ―→AC ―→ CB ―→解析：由条件可知，C 在线段AB 上，故D 正确．答案：D3.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列各式：①(＋)＋；AB ―→ BC ―→ CC 1―→②(＋)＋；AA 1―→ A 1D 1―→ D 1C 1―→ ③(＋)＋；AB ―→ BB 1―→ B 1C 1―→④(＋)＋中，运算结果为向量的共有( )AA 1―→ A 1B 1―→ B 1C 1―→ AC 1―→A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①(＋)＋＝＋＝；AB ―→ BC ―→ CC 1―→ AC ―→ CC 1―→ AC 1―→ ②(＋)＋＝＋＝；AA 1―→ A 1D 1―→ D 1C 1―→ AD 1―→ D 1C 1―→ AC 1―→③(＋)＋＝＋＝；AB ―→ BB 1―→ B 1C 1―→ AB 1―→ B 1C 1―→ AC 1―→ ④(＋)＋＝＋＝.AA 1―→ A 1B 1―→ B 1C 1―→ AB 1―→ B 1C 1―→ AC 1―→ 答案：D4．对于空间中任意四点A ，B ，C ，D 都有＋－等于________．DA ―→ CD ―→ CB ―→解析：由向量加(减)法的三角形法则可知＋－＝＋＝.DA ―→ CD ―→ CB ―→ DA ―→ BD ―→ BA ―→答案：BA ―→5．已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′，则下列三个式子中：①－＝；AB ―→ CB ―→ AC ―→ ②＝；AA ′―→ CC ′―→③＋＋＋＝.AB ―→ BB ′―→ BC ―→ C ′C ―→ AC ′―→ 其中正确的有________．解析：①－＝＋＝，正确；②显然正确；③＋＋＋AB ―→ CB ―→ AB ―→ BC ―→ AC ―→ AB ―→ BB ′―→ BC ―→ ＝(＋)＋(＋)＝＋0≠，错误．C ′C ―→ AB ―→ BC ―→ BB ′―→ C ′C ―→ AC ―→ AC ′―→答案：①②6.如图，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点．证明：直线EE 1∥平面FCC 1.证明：由题意知＝2，∵F 是AB 的中点，AB ―→ DC ―→∴＝＝，AF ―→ 12AB ―→DC ―→∴四边形AFCD 是平行四边形，∴＝.AD ―→ FC ―→ ∵E ，E 1分别是AD ，AA 1的中点，∴＝－＝－＝－，EE 1―→ AE 1―→ AE ―→ 12AA 1―→ 12AD ―→ 12CC 1―→ 12FC ―→又与不共线，根据共面向量定理可知，，共面．CC 1―→ FC ―→ EE 1―→ CC 1―→ FC ―→ ∵EE 1不在平面FCC 1内，∴直线EE 1∥平面FCC 1.一、选择题1．已知空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则＋(＋)等于( )AB ―→ 12BD ―→ BC ―→A ． B ．AG ―→CG―→C ．D.BC ―→12BC ―→解析：＋(＋)＝＋×(2)＝＋＝.AB ―→ 12BD ―→ BC ―→ AB ―→ 12BG ―→ AB ―→ BG ―→ AG ―→答案：A2.如图所示空间四边形ABCD ，连接AC ，B D ，设M ，G 分别是BC ，C D 的中点，则－＋MG ―→ AB ―→等于( )AD ―→A. B ．332DB ―→ MG―→ C ．3D ．2GM ―→MG―→解析：－＋＝－(－)MG ―→ AB ―→ AD ―→ MG ―→ AB ―→ AD ―→＝－＝＋MG ―→ DB ―→ MG ―→ BD―→＝＋2＝3.MG ―→ MG ―→ MG ―→ 答案：B3．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；AB ―→ BC ―→ CD ―→ DA ―→②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；③若，共线，则AB ∥CD ；AB ―→ CD ―→④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若＝x ＋y ＋z (其OP ―→ OA ―→ OB ―→ OC ―→ 中x ，y ，z ∈R)，则P ，A ，B ，C 四点共面．其中不正确命题的个数是( )A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：显然①正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a |－|b ||，故②错误；若，共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C AB ―→ CD ―→四点才共面，故④错误．故选C.答案：C4．已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R 且λ2＋μ2≠0)，则( )A ．a ∥e 1B ．a ∥e 2C ．a 与e 1，e 2共面D ．以上三种情况均有可能解析：当λ＝0，μ≠0时，a ＝μe 2，则a ∥e 2；当λ≠0，μ＝0时，a ＝λe 1，则a ∥e 1；当λ≠0，μ≠0时，a 与e 1，e 2共面．答案：D二、填空题5．化简：－＋－－＝________.AB ―→ AC ―→ BC ―→ BD ―→ DA ―→解析：原式＝(－)＋(－)－AB ―→ AC ―→ BC ―→ BD ―→ DA ―→＝＋－＝－＝.CB ―→ DC ―→ DA ―→ DB ―→ DA ―→ AB ―→答案： AB ―→6．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知＝e 1＋ke 2，＝5e 1＋4e 2，＝－e 1AB ―→ BC ―→ DC ―→－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值是________．解析：∵＝5e 1＋4e 2，＝－e 1－2e 2，BC ―→ DC ―→∴＝＋＝(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝6e 1＋6e 2，BD ―→ BC ―→ CD ―→∵A ，B ，D 三点共线，∴＝λ，∴e 1＋ke 2＝λ(6e 1＋6e 2)，AB ―→ BD ―→∵e 1，e 2是不共线向量，∴Error!∴k ＝1.答案：17.如图，已知空间四边形ABCD 中，＝a －2c ，＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD AB ―→ CD ―→的中点分别为E ，F ，则＝________(用向量a ，b ，c 表示)．EF ―→解析：设G 为BC 的中点，连接EG ，FG ，则＝＋EF ―→ EG ―→ GF ―→＝＋12AB ―→ 12CD ―→＝(a －2c )＋(5a ＋6b －8c )1212＝3a ＋3b －5c .答案：3a ＋3b －5c8．在空间四边形OABC 中，＝a ，＝b ，＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，OA ―→ OB ―→ OC ―→N 为BC 的中点，给出以下向量：①3a －4b ＋3c ；②－4a ＋3b ＋3c ；③3a ＋3b －4c ；④a －b －c .43其中与平行的向量是________(只填相应序号即可)．MN ―→解析：由已知得＝－＝(＋)－＝－a ＋b ＋c .MN ―→ ON ―→ OM ―→ 12OB ―→ OC ―→ 23OA ―→ 231212所以＝(－4a ＋3b ＋3c )＝－，故②④适合．MN ―→ 1612(43a －b －c )答案：②④三、解答题9.如图，H 为四棱锥P ABCD 的棱PC 的三等分点，且PH ＝HC ，点G 在AH 上，AG ＝mAH .四边形ABCD 为平行四边12形．若G ，B ，P ，D 四点共面，求实数m 的值．解：连接BD ，BG ，∵＝－且＝，AB ―→ PB ―→ PA ―→ AB ―→ DC ―→∴＝－.DC ―→ PB ―→ PA ―→∵＝＋，PC ―→ PD ―→ DC ―→∴＝＋－PC ―→ PD ―→ PB ―→ PA ―→＝－＋＋.PA ―→ PB ―→ PD ―→∵＝，PH HC 12∴＝＝(－＋＋)PH ―→ 13PC ―→ 13PA ―→ PB ―→ PD ―→ ＝－＋＋PD .13PA ―→ 13PB ―→ 13又∵＝－，AH ―→ PH ―→ PA ―→∴＝－＋＋.AH ―→ 43PA ―→ 13PB ―→ 13PD ―→∵＝m ，AG AH∴＝m ＝－＋＋.AG ―→ AH ―→ 4m 3PA ―→ m 3PB ―→ m 3PD ―→∵＝－＋＝－＋，BG ―→ AB ―→ AG ―→ PA ―→ PB ―→ AG ―→∴＝＋＋.BG ―→ (1－4m 3)PA ―→ (m 3－1)PB ―→ m 3PD ―→ 又∵B ，G ，P ，D 四点共面，∴1－＝0，∴m ＝.4m 33410.如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．(1)证明：四边形AEC 1F 是平行四边形；(2)试判断A 1D 1是否平行于平面AEC 1F .解：(1)证明：∵E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点，∴＝＋＝＋，AE ―→ AD ―→ DE ―→ AD ―→ 12DD 1―→＝＋＝＋.FC 1―→ FB 1―→ B 1C 1―→ 12BB 1―→B 1C 1―→ 又＝，＝，AD ―→ B 1C 1―→ DD 1―→ BB 1―→∴＝，即AE 綊FC 1，AE ―→ FC 1―→∴四边形AEC 1F 是平行四边形．(2)设A 1D 1平行于平面AEC 1F ，则存在x ，y ，使得＝x ＋y ，又＝＋A 1D 1―→ AE ―→ AF ―→ AE ―→ AD ―→，＝＋＝＋，12DD 1―→ AF ―→ AB ―→ BF ―→ AB ―→ 12BB 1―→∴＝x (＋)＋y (＋)A 1D 1―→ A D ―→ 12DD 1―→ A B ―→ 12BB 1―→即(x －1)＋y ＋(x ＋y )＝0.A 1D 1―→ AB ―→ 12BB 1―→ ∵，，不共面，∴不存在实数x ，y 使得上式成立，故不存在实数x ，y 可A 1D 1―→ AB ―→ BB 1―→以使得＝x ＋y ，A 1D 1―→ AE ―→ AF ―→∴A 1D 1不平行于平面AEC 1F .第二课时　空间向量的数量积[读教材·填要点]空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫作a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)运算律：①(λa )·b ＝λ(a ·b )；②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .(3)数量积的性质：(1)若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(2)若a 与b 同向，则a ·b ＝|a |·|b |；若反向，则a ·b ＝－|a |·|b |.特别地：a ·a ＝|a |2或|a |＝.a ·a (3)若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝.a ·b |a |·|b |两个向量数量积的性质(4)|a ·b |≤|a |·|b |.[小问题·大思维]1．已知三个非空向量a ，b ，c ，若a ·b ＝a ·c ，那么b ＝c 成立吗？提示：不一定有b ＝c .当a ⊥b ，a ⊥c 时，a ·b ＝a ·c ＝0，此时不一定有b ＝c .2．已知向量a ，b ，对于|a ·b |＝|a |·|b |成立吗？提示：|a ·b |＝|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|≤|a ||b |.∴当a 与b 共线时，|a ·b |＝|a ||b |，否则不成立．数量积的计算如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求值：(1)·；EF ―→ BA ―→(2)·；EF ―→ BD ―→(3)·；EF ―→ DC ―→(4)·.AB ―→ CD ―→[自主解答]　(1)·＝·EF ―→ BA ―→ 12BD ―→BA ―→ ＝||||·cos 〈，〉12BD ―→BA ―→ BD ―→ BA ―→ ＝cos 60°＝.1214(2)·＝·＝||2＝.EF ―→ BD ―→ 12BD ―→ BD ―→ 12BD ―→ 12(3)·＝·＝||·||cos 〈，〉＝cos 120°＝－.EF ―→ DC ―→ 12BD ―→ DC ―→ 12BD ―→ DC ―→ BD ―→ DC ―→ 1214(4)·＝·(－)＝·－·＝||||cos 〈，〉AB ―→ CD ―→ AB ―→ AD ―→ AC ―→ AB ―→ AD ―→ AB ―→ AC ―→ AB ―→ AD ―→ AB ―→ AD ―→－||||cos 〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0.AB ―→ AC ―→ AB ―→ AC ―→空间向量数量积的计算要充分利用向量所在的图形，巧妙地进行向量的分解与合成，分解时要充分利用图形的特点以及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知模的向量．1．已知a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，p 和q 是相互垂直的单位向量，则a ·b ＝( )A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：∵p ⊥q 且|p |＝|q |＝1，∴a ·b ＝(3p －2q )·(p ＋q )＝3p 2＋p ·q －2q 2＝3＋0－2＝1.答案：A2．已知正四面体OABC 的棱长为1，求：(1)·；(2)(＋)·(＋)．OA ―→ OB ―→ OA ―→ OB ―→ CA ―→ CB ―→解：(1)·＝||||cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝.OA ―→ OB ―→ OA ―→ OB ―→ 12(2)(OA ＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)OB ―→ CA ―→ CB ―→ OA ―→ OB ―→ OA ―→ OC ―→ OB ―→ OC ―→＝(＋)·(＋－2)OA ―→ OB ―→ OA ―→ OB ―→ OC ―→＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1. 利用数量积求两点间的距离如图，已知线段AB ⊥平面α，B C ⊂α，C D ⊥BC ，D F ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，求A ，D 两点间的距离．[自主解答]　∵＝＋＋，AD ―→ AB ―→ BC ―→ CD ―→∴||2＝·＝(＋＋)·(＋＋)＝||2＋||2＋|AD ―→ AD ―→ AD ―→ AB ―→ BC ―→ CD ―→ AB ―→ BC ―→ CD ―→ AB ―→ BC ―→ CD ―→ |2＋2·＋2·＋2·.①AB ―→ BC ―→ BC ―→ CD ―→ AB ―→ CD ―→∵AB ＝BC ＝CD ＝2，∴||＝||＝||＝2.②AB ―→ BC ―→ CD ―→又∵AB ⊥α，BC ⊂α，∴AB ⊥BC .∴·＝0.③AB ―→ BC ―→∵CD ⊥BC ，∴·＝0.④CD ―→ BC ―→把②③④代入①可得||2＝4＋4＋4＋2·＝12＋2||·||cos 〈，〉AD ―→ AB ―→ CD ―→ AB ―→ CD ―→ AB ―→ CD ―→＝12＋8cos 〈，〉．⑤AB ―→ CD ―→∵∠DCF ＝30°，从而∠CDF ＝60°.又∵AB ⊥α，DF ⊥α，∴AB ∥DF .∴〈，〉＝〈，〉＝60°.AB ―→ DC ―→ DF ―→ DC ―→∴〈，〉＝120°.AB ―→ CD ―→代入⑤式得到||2＝12＋8cos 120°＝8，AD ―→∴||＝2.AD ―→2即A ，D 两点间的距离为2.2求两点间的距离或线段长度的方法如下：(1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用|a |＝，通过计算求出|a |，即得所求距离．a 23．如图所示，在▱ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝6，求线段PC 的长．解：∴＝＋＋，PC ―→ PA ―→ AD ―→ DC ―→∴||2＝(＋＋)2PC ―→ PA ―→ AD ―→ DC ―→＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2|||PA ―→ AD ―→ DC ―→ PA ―→ AD ―→ AD ―→ DC ―→ DC ―→ PA ―→ AD ―→ |cos 120°DC ―→＝61－12＝49.∴||＝7，即PC ＝7.PC ―→利用数量积解决垂直问题如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .[自主解答]　设＝a ，＝b ，＝c ，则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0，A 1B 1―→ A 1D 1―→ A 1A ―→|a |＝|b |＝|c |.∵＝＋A 1O ―→ A 1A ―→ AO ―→＝＋(＋)＝c ＋a ＋b ，A 1A ―→ 12AB ―→ AD ―→ 1212＝－＝b －a ，BD ―→ AD ―→ AB ―→＝＋＝(＋)＋OG ―→ OC ―→ CG ―→ 12AB ―→ AD ―→ 12CC 1―→＝a ＋b －c .121212∴·＝·(b －a )A 1O ―→ BD ―→ (c ＋12a ＋12b )＝c ·b －c ·a ＋a ·b －a 2＋b 2－b ·a 12121212＝(b 2－a 2)＝(|b |2－|a |2)＝0.1212于是⊥，即A 1O ⊥BD .A 1O ―→ BD ―→同理可证⊥，即A 1O ⊥OG .A 1O ―→ OG ―→于是有A 1O ⊥平面GBD .用向量法证明垂直关系的操作步骤(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题．4.如图，在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC .求证：OA ⊥BC .证明：在△OAC 和△OAB 中，OB ＝OC ，AB ＝AC ，∴△OAC ≌△OAB .∴∠AOC ＝∠AOB .∵·＝·(－)OA ―→ BC ―→ OA ―→ OC ―→ OB ―→＝·－·OA ―→ OC ―→ OA ―→ OB ―→＝||·||cos ∠AOC －||·||cos ∠AOB ＝0，OA ―→ OC ―→ OA ―→ OB ―→∴OA ⊥BC .解题高手妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．[巧思]　求B ，D 间的距离可以转化为求向量的模，但向量的模无法直接求出，BD ―→ BD ―→可以转化为其他向量，注意折起后AB 与AC ，CD 与AC 的垂直关系没有发生改变，可以充分利用这种关系．[妙解]　∵∠ACD ＝90°，∴·＝0.同理·＝0.AC ―→ CD ―→ AC ―→ BA ―→∵AB 与CD 成60°角，∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°.BA ―→ CD ―→ BA ―→ CD ―→又＝＋＋，BD ―→ BA ―→ AC ―→ CD ―→∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·BD ―→ BA ―→ AC ―→ CD ―→ BA ―→ AC ―→ BA ―→ CD ―→ AC ―→ CD ―→＝3＋2×1×1×cos 〈，〉．BA ―→ CD ―→∴当〈，〉＝60°时，||2＝4，BA ―→ CD ―→ BD ―→此时B ，D 间的距离为2；当〈，〉＝120°时，||2＝2，BA ―→ CD ―→ BD ―→此时B ，D 间的距离为.21．设a ，b 为空间的非零向量，下列各式：①a 2＝|a |2；②＝；③(a ·b )2＝a 2·b 2；④(a －b )2a ·b a 2b a＝a 2－2a ·b ＋b 2；⑤(a ·b )·c ＝b ·(a ·c )＝(b ·c )·a ；⑥向量a 在向量b 的方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由向量数量积的性质可知①正确；向量的数量积不满足消去律，故②不正确；(a ·b )2＝a 2·b 2·cos 2〈a ，b 〉≤a 2·b 2，故③不正确；由向量数量积的运算律知④正确；数量积不满足结合律，⑤不正确；|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 的方向上的投影，可正可负，⑥正确．答案：C2.已知正四面体A BCD 中，AE ＝AB ，CF ＝CD ，则直线DE 和BF 夹角的余弦值为1414( )A. B.413313C ．－D ．－413313解析：设正四面体的棱长为4.∵正四面体A BCD 中，相邻两棱夹角为60°，对棱互相垂直．又＝＋＝＋，ED ―→ EA ―→ AD ―→ 14BA ―→AD ―→ ＝＋＝＋，BF ―→ BC ―→ CF ―→ BC ―→ 14CD ―→∴·＝·＋·＝4，ED ―→ BF ―→ 14BA ―→ BC ―→ 14AD ―→CD ―→ ||2＝＋·＋＝1－4＋16＝13.ED ―→ 116BA ―→ 212BA ―→AD ―→ AD ―→ 2||＝，同理||＝.ED ―→ 13BF ―→13∴cos 〈，〉＝＝.ED ―→ BF ―→ ·| |||413答案：A3．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设＝a ，＝b ，＝c ，则a ·(b ＋c )AB ―→ AD ―→ AA 1―→的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2解析：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ＝0.答案：B4．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝，则cos 〈，〉的值π3OA ―→ BC ―→ 为________．解析：cos 〈，〉＝OA ―→ BC ―→ ·||·||＝·(－)||·||＝＝0.||||cos π3－||||cos π3||·||答案：05．已知向量a ，b ，c 两两夹角都是60°，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则|a －2b ＋c |＝________.解析：∵|a －2b ＋c |2＝a 2＋4b 2＋c 2－4a ·b －4b ·c ＋2a ·c＝1＋4＋1－4×cos 60°－4×cos 60°＋2×cos 60°＝3，∴|a －2b ＋c |＝.3答案：36．已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求：(1)·；BC ―→ ED 1―→(2)·.BF ―→ AB 1―→解：如图所示，设＝a ，＝b ，＝c ，AB ―→ AD ―→ AA 1―→则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)·BC ―→ ED 1―→＝b ·[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16.(2)·＝·(a ＋c )BF ―→ AB 1―→ (c －a ＋12b )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.一、选择题1．下列各命题中，不正确的命题的个数为( )①＝|a |；a ·a ②m (λa )·b ＝(mλ)a ·b (m ，λ∈R)；③a ·(b ＋c )＝(b ＋c )·a ；④a 2b ＝b 2a .A ．4 B ．3C ．2D ．1解析：∵a ·a ＝|a |2，∴＝|a |，故①正确．a ·a m (λa )·b ＝(mλa )·b ＝mλa ·b ＝(mλ)a ·b ，故②正确．a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ，(b ＋c )·a ＝b ·a ＋c ·a ＝a ·b ＋a ·c ＝a ·(b ＋c )，故③正确．a 2·b ＝|a |2·b ，b 2·a ＝|b |2·a ，故④不一定正确．答案：D2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对解析：由已知c ＝－(a ＋b )，所以|c |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ，即a ·b ＝.32∴cos 〈a ，b 〉＝＝.a ·b |a |·|b |14答案：D3.已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．6 B ．62C ．12D ．144解析：∵＝＋＋，PC ―→ PA ―→ AB ―→ BC ―→∴2＝2＋2＋2＋2·PC ―→ PA ―→ AB ―→ BC ―→ AB ―→ BC ―→＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.∴|PC |＝12.答案：C4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝AB ―→ AC ―→ AC ―→ AD ―→ AB ―→ AD ―→0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：∵＝－，＝－，BD ―→ AD ―→ AB ―→ BC ―→ AC ―→ AB ―→∴·＝(－)·(－)BD ―→ BC ―→ AD ―→ AB ―→ AC ―→ AB ―→＝·－·－·＋||2＝||2>0，AD ―→ AC ―→ AD ―→ AB ―→ AB ―→ AC ―→ AB ―→ AB ―→∴cos ∠CBD ＝cos 〈，〉＝>0，BC ―→ BD ―→ ·||·||∴∠CBD 为锐角，同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．答案：B二、填空题5．在棱长为1的正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，·＝________.AD ′―→ BC ′―→解析：由正方体知BC ′∥AD ′，∴〈，〉＝0，又||＝||＝，AD ′―→ BC ′―→ AD ′―→ BC ′―→2所以·＝··1＝2.AD ′―→ BC ′―→22答案：26．在四面体OABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，G为△ABC 的重心，则·(＋＋)＝________.OG ―→ OA ―→ OB ―→ OC ―→解析：由已知·＝·＝·＝0，OA ―→ OB ―→ OA ―→ OC ―→ OB ―→ OC ―→且＝，OG ―→ ＋＋3故·(＋＋)＝(＋＋)2OG ―→ OA ―→ OB ―→ OC ―→ 13OA ―→ OB ―→ OC ―→ ＝(||2＋||2＋||2)13OA ―→OB ―→ OC ―→＝(1＋4＋9)＝.13143答案：1437．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是________．解析：＝＋＋，∴·＝(＋＋)·＝·＋AB ―→ AC ―→ CD ―→ DB ―→ AB ―→ CD ―→ AC ―→ CD ―→ DB ―→ CD ―→ AC ―→ CD ―→2＋·＝0＋12＋0＝1，又||＝2，||＝1.CD ―→ DB ―→ CD ―→ AB ―→ CD ―→∴cos 〈，〉＝＝＝.AB ―→ CD ―→ ·| |·||12×112∴a 与b 所成的角是60°.答案：60°8.如图所示，在▱ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝6，则线段PC 的长为________．解析：∵＝＋＋.PC ―→ PA ―→ AD ―→ DC ―→∴||2＝(＋＋)2PC ―→ PA ―→ AD ―→ DC ―→＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2|||PA ―→ AD ―→ DC ―→ PA ―→ AD ―→ AD ―→ DC ―→ DC ―→ PA ―→ AD ―→ |cos 120°＝61－12＝49.DC ―→∴||＝7，即PC ＝7.PC ―→答案：7三、解答题9.如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.求证：BD ⊥平面ADC .证明：不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝.2·＝(－)·＝·－·，BD ―→ AC ―→ AD ―→ AB ―→ AC ―→ AD ―→ AC ―→ AB ―→ AC ―→由于·＝·(＋)＝·＝1，AD ―→ AC ―→ AD ―→ AD ―→ DC ―→ AD ―→ AD ―→·＝||·||cos 60°＝××＝1.AB ―→ AC ―→ AB ―→ AC ―→ 2212∴·＝0，即BD ⊥AC ，又已知BD ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，∴BD ⊥平面ADC .BD ―→ AC ―→10.如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面边长为.2(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1；(2)设AB 1与BC 1的夹角为，求侧棱的长．π3解：(1)证明：＝＋，＝＋.AB 1―→ AB ―→ BB 1―→ BC 1―→ BB 1―→ BC ―→∵BB 1⊥平面ABC ，∴·＝0，·＝0.BB 1―→ AB ―→ BB 1―→ BC ―→又△ABC 为正三角形，∴〈·〉＝π－〈·〉＝π－＝.AB ―→ BC ―→ BA ―→ BC ―→ π32π3∵·＝(＋)·(＋)AB 1―→ BC 1―→ AB ―→ BB 1―→ BB 1―→ BC ―→＝·＋·＋2＋·AB ―→ BB 1―→ AB ―→ BC ―→ BB 1―→ BB 1―→ BC ―→＝||·||·cos 〈，〉＋2＝－1＋1＝0，AB ―→ BC ―→ AB ―→ BC ―→ BB 1―→∴AB 1⊥BC 1.(2)结合(1)知·＝||·||·cos 〈，〉＋2＝2－1.AB 1―→ BC 1―→ AB ―→ BC ―→ AB ―→ BC ―→ BB 1―→ BB 1―→ 又||＝＝＝||.AB 1―→ 2＋22＋2BC 1―→∴cos 〈，〉＝＝，AB 1―→ BC 1―→ 2－12＋212∴||＝2，即侧棱长为2.BB 1―→。

3.1 空间中向量的概念和运算

加法交换律：
对实数加法的分配律：
(1 2 )a 1 a 2 a
C
空间向量的数量积及运算律
向量的数量积：
a b a b cos b 1.( a) b (a b)
请牢记
B

2.a b b a 3.a (b c) a b a c
2.a b b a 0, a 0 a总与a平行
课程讲授 ——空间向量
向量的概念：既有大小又有方向的量称为向量。 a, b, c,... 有向线段表示向量的：
A B
D
a AB CD AB
D
C 方向和长度相同两个向量相等。
向量的加减法：空间中任何两个向量都可以看成同一个平面内的向量。所以其加减法与平面向量相同。
如图AB BC CD与 AD有什么关系？
AB BC CD AD
C A A、B、C共面 A、C、D共面 B
与平面向量相同！
空间向量的运算律
ab ba 加法结合律： (a b) c a (b c) 对向量加法的分配律： (a b) b a
(1) AB AC 2 2 cos 600 2B (2) AD BD 2 2 cos 60 2
0
D G C
(3)GF AC 1 2 cos180 2
0
(4) EF BC 1 2 cos 60 1
0
注意：两向量的夹角！
复习回顾
平面向量
1.向量的相关概念
(1)定义:既有大小,又有方向的量叫做向量.
(2)模:向量的长度叫做向量的模,记作 a 或 AB
(3) 零向量和单位向量:长度为零的向量叫做零向量, 长度为1个长度单位的向量叫做单位向量. (4)共线向量与相等向量:方向相同或相反的向量是共线向量; 长度相等且方向相同的向量是相等向量. 零向量方向不确定,它与任何向量共线.

高中数学选修2-1 同步练习专题3.1.1空间向量及其加减运算、空间向量的数乘运算(原卷版)

第三章空间向量与立体几何3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1AB AD AA ++= A ．1AC B ．1CA C ．1BCD ．1CB2．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若2CP CA CB =+，则下列结论正确的是 A ．22OP OA OB OC =+- B ．23OP OA OB OC =--+ C ．23OP OA OB OC =+-D ．22OP OA OB OC =+-3．若OA ，OB ，OC 是空间不共面的三个向量，则与向量OA OB +和OA OB -不共面的向量是 A ．BA B ．OA C ．OBD ．OC4．如图，已知AB =c ，AC =b ，若点D 满足2BD DC =，则AD =A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c 5．如图，已知空间四边形ABCD 的对角线为AC ，BD ，设G 是CD 的中点，则1()2AB BD BC ++=A ．BCB ．CGC ．12BC D ．AG 6．如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,是与的交点,若,则下列向量中与相等的向量是A ．1122-++a b c B ．1122++a b c C ．1122-+a b c D ．1122--+a b c 7．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，向量，，是A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量8．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有(),OP xOA yOB x C z zO y ∈=++R ,，则1x y z ++=是P ，A ，B ，C 四点共面的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：请将答案填在题中横线上． 9．给出下列命题： ①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同、终点也相同； ③若空间向量a ，b 满足=|a ||b |，则=a b ；④若空间向量a ，b ，c 满足=a b ，=b c ，则=a c ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题为________________（填序号）． 10．在四面体O-ABC 中，=a ，=b ，=c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则= .(用a ,b ,c表示)11．在空间四边形ABCD 中，连结AC 、BD ,若BCD △是正三角形，且E 为其中心，则的化简结果为________．12．在长方体1111ABCD A B C D ﹣中，下列各式运算结果为向量1BD 的是________________．（填序号）①111()A D A A AB --；②111()BC BB DC +-；③1()AD AB DD --；④1111()B D A A DD -+． 13．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量1243OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A ，B ，C 共面，则λ=________________．14．已知两非零向量12,e e ,且1e 与2e 不共线，若12λμ=+a e e (λ,μ∈R ,且λ2+μ2≠0),则下列三个结论有可能正确的是_______.①a 与1e 共线；②a 与2e 共线；③a 与12,e e 共面. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知a =3m -2n -4p ,b =(x+1)m +8n +2y p ,且a ≠0,b ≠0,若a ∥b ,求实数x ,y 的值.16．如图，在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，E ，F 分别是边AC ，BD 的中点，设2AB =-a c ，568CD =+-a b c ，试用a ，b ，c 表示向量EF ．17．如图所示的多面体是以长方形ABCD 为底面的长方体的一部分,其中AB =4,BC =2,BE =2,CF =3,DG =1,求证:A ,E ,F ,G 四点共面..18．（1）已知向量1e ，2e 不共线，122=+a e e ，122=+b e e ，试判断a 与b 是否共线；（2）如图所示，已知空间四边形ABCD ，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且2CF FB =，2CG GD =．求证：四边形EFGH 是梯形．19．如图所示，已知几何体1111ABCD A B C D ﹣是平行六面体．（1）化简11223AA BC AB ++，并在图上标出结果；（2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且C 1N =14C 1B ，设1MN AB AD AA αβγ=++，求α，β，γ的值．。

高中数学第3章空间向量与立体几何 3.1 空间中向量的概念和运算学案湘教版选修2-1-湘教版高

3．1 空间中向量的概念和运算1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法和字母表示方法．2.掌握空间向量的线性运算，数量积．3．能运用运算法则及运算律解决一些简单几何问题．1．空间向量 (1)空间向量的定义在空间，把具有大小和方向的量叫作空间向量，向量的大小叫作向量的长度或模． (2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记作|AB →|或|a |.2．空间向量的加减法如图，从任意一点O 出发作OA →＝a ，OB →＝b .并且从A 出发作AC →＝b ，则a ＋b ＝OC →，a －b ＝BA →．3．空间向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ．(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 4．空间向量与实数相乘(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量． (2)向量a 与λa 的关系λ的范围方向关系模的关系λ>0 方向相同λa 的模是a 的模的|λ|倍λ＝0λa ＝0，其方向是任意的λ<0方向相反(3)空间向量与实数的乘法运算律①λ(a ＋b )＝λa ＋λb (对向量加法的分配律)． ②(λ1＋λ2)a ＝λ1a ＋λ2a (对实数加法的分配律)．5．空间向量的数量积(1)定义：从空间任意一点O 出发作OA →＝a ，OB →＝b ，则θ＝∠AOB 就是a ，b 所成的角，a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |·cos__θ.(2)空间向量数量积的运算律向量与实数相乘和向量数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a·b )交换律 a·b ＝b·a 分配律a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c1．下列命题错误的是( )A ．空间向量AB →的长度与向量BA →的长度相等 B ．零向量没有长度，所以它不是空间向量C ．同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c解析：选B.A 中的两个向量互为相反向量，所以它们长度相等；空间向量并不是一个立体图形，只要是存在于立体空间内的向量都是空间向量，所以B 错误；C 是相等向量定义的另外一个说法；我们研究的向量是自由向量，只要向量相等都可以移动到同一起点，所以D 正确．2．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则a·(b ＋c )的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2解析：选B.a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c ＝0.3．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，向量AA 1→与CC 1→是______向量，向量AC →与C 1A 1→是________向量．答案：相等相反空间向量的加减运算如图所示，已知长方体ABCD A ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1)AA ′→－CB →；(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→.【解】 (1)AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→. (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→ ＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→. 向量AD ′→，AC ′→如图所示．试把本例(2)中长方体中的体对角线所对应向量AC ′→用向量AA ′→，AB →，AD→表示．解：在平行四边形ACC ′A ′中，由平行四边形法则可得AC ′→＝AC →＋AA ′→，在平行四边形ABCD 中，由平行四边形法则可得AC →＝AB →＋AD →，故AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．1.化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 法二：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →－AC →)＋BD →－CD →＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0. 答案：02．如图，在四棱锥V ABCD 中，化简VA →－VC →＋AB →＋BC →.解：VA →－VC →＋AB →＋BC →＝CA →＋AC →＝0.空间向量的线性运算如图所示，已知空间四边形ABCD 中，向量AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，若M 为BC 中点，G 为△BCD 的重心，试用a 、b 、c 表示下列向量：(1)DM →；(2)GM →；(3)AG →.【解】 (1)连接AM ，在△ADM 中，DM →＝DA →＋AM →，由线段中点的向量表示知 AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，由相反向量的概念知DA →＝－AD →＝－c ，所以DM →＝DA →＋AM → ＝12(a ＋b )－c ＝12(a ＋b －2c )． (2)在△BCD 中，GM →＝13DM →＝13·12(a ＋b －2c ) ＝16a ＋16b －13c .(3)在△ADG 中，由三角形重心的性质，得 AG →＝AD →＋DG →＝c ＋23DM →＝c ＋13(a ＋b －2c )＝13(a ＋b ＋c )．(1)有限多个空间向量a 1，a 2，a 3，…，a n 相加，可以从某点O 出发，逐一引向量OA 1→＝a 1，A 1A 2→＝a 2，…，A n －1A n ＝a n .如图，于是以所得折线OA 1A 2…A n 的起点O 为起点，终点A n 为终点的向量OA n →就是a 1，a 2，…，a n 的和，即OA n→＝OA 1→＋A 1A 2→＋…＋A n －1A n ――→＝a 1＋a 2＋…＋a n .此即为空间向量的多边形法则．(2)用折线作向量的和时，若折线的终点与起点重合，则和向量为零向量．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各式中x 、y 的值：(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yPA →； (2)PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →. 解：如图， (1)因为OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →，所以x ＝y ＝－12.(2)因为PA →＋PC →＝2PO →，所以PA →＝2PO →－PC →. 又因为PC →＋PD →＝2PQ →，所以PC →＝2PQ →－PD →.从而有PA →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →. 所以x ＝2，y ＝－2.向量的数量积及应用已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积． (1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→.【解】如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝BC →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋AA 1→) ＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c ) ＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.若本例的条件不变，计算EF →·FC 1→.解：EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（AA 1→－AB →）＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →＋AB →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a＝－12|a |2＋14|b |2＝2.(1)空间向量运算的两种方法①利用定义：利用a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉并结合运算律进行计算．②利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．(2)在几何体中求空间向量数量积的步骤①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． ③代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．已知|a |＝3，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则(3a －2b )·(a ＋2b )＝________．解析：(3a －2b )·(a ＋2b )＝3|a |2＋4a ·b －4|b |2＝3|a |2＋4|a ||b |cos 120°－4|b |2＝3×9＋4×3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4×16＝27－24－64＝－61. 答案：－611．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，运用运算法则，化简到最简为止．2．证明两向量共线的方法为：首先判断两向量中是否有零向量．若有，则两向量共线；若两向量a ，b 中，b ≠0，且有a ＝λb (λ∈R )，则a ，b 共线．3．两向量的数量积，其结果是实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．4．当a ≠0时，由a ·b ＝0不能推出b 一定是零向量，这是因为任一个与a 垂直的非零向量b ，都有a ·b ＝0，这由向量的几何意义就可以理解．1.如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＋D 1C 1→－BB 1→＝( )A.AB 1→B.DC →C.AD →D.BA →解析：选B.因为D 1C 1→＝A 1B 1→，所以AA 1→＋D 1C 1→－BB 1→＝AA 1→＋A 1B 1→－BB 1→＝AB 1→＋B 1B →＝AB →. 又AB →＝DC →，所以AA 1→＋D 1C 1→－BB 1→＝DC →.2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________．解析：因为AP →·AC →＝AP →·(AB →＋BC →)＝AP →·AB →＋AP →·BC →＝AP →·AB →＋AP →·(BD →＋DC →)＝AP →·BD →＋2AP →·AB →，因为AP ⊥BD ，所以AP →·BD →＝0.因为AP →·AB →＝|AP →||AB →|cos ∠BAP ＝|AP →|2，所以AP →·AC →＝2|AP →|2＝2×9＝18. 答案：183.如图所示，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列向量表达式．(1)AA 1→＋A 1B 1→； (2)AA 1→＋A 1M →－MB 1→； (3)AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→； (4)AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1A 1→＋A 1A →. 解：(1)AA 1→＋A 1B 1→＝AB 1→.(2)AA 1→＋A 1M →－MB 1→＝AA 1→＋A 1M →＋MD 1→＝AD 1→. (3)AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→＝AA 1→＋A 1C 1→＝AC 1→. (4)AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1A 1→＋A 1A →＝0.[A 基础达标]1．若向量a 、b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则“c·a ＝0且b·c ＝0”是“l ⊥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当a ∥b 时，由c·a ＝0且c·b ＝0得不出l ⊥α；反之，l ⊥α一定有c·a ＝0且c·b ＝0.故选B.2．如图，在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13C ．－13D ．－23解析：选A.因为CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.3.如图，已知空间四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，设G 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 解析：选A.AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →.4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列选项中化简后为零向量的是( ) A.AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→ B.AB →－AC →＋BB 1→ C.AB →＋AD →＋AA 1→D.AC →＋CB 1→ 解析：选A.在A 选项中，AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→＝(AB →＋AD →)＋CA →＝AC →＋CA →＝0. 5．如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c解析：选A.注意到AM →＝12AC →＝12A 1C 1→＝12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝12(a ＋b )，B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝－a＋c ＋12(a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .6．如图，已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则直线AB 1和BM 的位置关系是________．解析：因为AB 1→＝AA 1→＋AB →，BM →＝BC →＋12CC 1→＝BC →＋12AA 1→，设三棱柱的各棱长均为a ，则AB 1→·BM →＝(AA 1→＋AB →)·(BC →＋12AA 1→)＝AA 1→·BC →＋12AA 1→2＋AB →·BC →＋12AB →·AA 1→＝0＋12a 2＋a 2cos 120°＋0＝0.所以AB 1→⊥BM →. 答案：垂直7．如图，已知四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3，∠BAA 1＝60°，E 为棱C 1D 1的中点，则AB →·AE →＝________．解析：AE →＝AA 1→＋AD →＋12AB →，AB →·AE →＝AB →·AA 1→＋AB →·AD →＋12AB →2＝4×3×cos 60°＋0＋12×42＝14.答案：148．命题：①向量a 、b 、c 共面，则它们所在的直线也共面；②若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA →＋13OB→＋13OC →，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部．上述命题中的真命题是________．解析：①中a 所在的直线其实不确定，故①是假命题；②中当a ＝0，而b ≠0时，则找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；③中M 是△ABC 的重心，故M 在平面ABC 上且在△ABC 内，故③是真命题．答案：③9．已知正四面体O ABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)；(3)|OA →＋OB →＋OC →|.解：(1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB＝1×1×cos 60°＝12. (2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.(3)|OA →＋OB →＋OC →|＝（OA →＋OB →＋OC →）2 ＝12＋12＋12＋2（1×1×cos 60°）×3＝ 6.10．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →.并在图中标出化简结果的向量．解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)因为E 、F 、G 分别为BC 、CD 、DB 的中点，所以BE →＝EC →，EF →＝GD →.所以AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋BE →＋EF →＝AF →.故所求向量AD →，AF →，如图所示．[B 能力提升]11.正四面体A BCD 的棱长为a ，点E 、F 、G 分别为棱AB 、AD 、DC 的中点，则四个数量积：①2BA →·AC →；②2AD → ·BD →；③2FG →·AC →；④2EF →·CB→中结果为a 2的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选B.①2BA →·AC →＝2·a ·a cos 120°＝－a 2.②2AD →·BD →＝2·a ·a ·cos 60°＝a 2.③2FG →·AC →＝2·a 2·a ·cos 0°＝a 2. ④2EF →·CB →＝2·a 2·a ·cos 120°＝－a 22. 12．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．解析：因为A ，B ，C 三点共线，所以存在唯一实数k 使AB →＝kAC →，即OB →－OA →＝k (OC →－OA →)，所以(k －1)OA →＋OB →－kOC →＝0.又λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，令λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ，则λ＋m ＋n ＝0.答案：013．已知平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式．(1)AB →＋BC →；(2)AB →＋AD →＋AA ′→；(3)AB →＋AD →＋12CC ′→； (4)13(AB →＋AD →＋DD ′→)．解：如图所示，(1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→.(3)设M 是线段CC ′的中点，则 AB →＋AD →＋12CC ′→＝AC →＋CM →＝AM →.(4)设G 是线段AC ′的三等分点，则 13(AB →＋AD →＋DD ′→)＝13(AC →＋CC ′→)＝13AC ′→＝AG →.14.(选做题)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .证明：设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则a·b ＝0，b·c ＝0，a·c ＝0. 而A 1O →＝A 1A →＋AO →＝A 1A →＋12(AB →＋AD →)＝c ＋12(a ＋b )， BD →＝AD →－AB →＝b －a ，OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→＝12(a ＋b )－12c .所以A 1O →·BD →＝(c ＋12a ＋12b )·(b －a ) ＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝12(|b |2－|a |2)＝0.所以A 1O →⊥BD →，所以A 1O ⊥BD .同理可证：A 1O →⊥OG →，所以A 1O ⊥OG .又因为OG ∩BD ＝O ，且A 1O ⊄平面BDG ，所以A1O⊥平面GBD.。

空间向量及其运算测试题答案

新课标高二数学同步测试（2－1第三章3.1）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（）A ．c b a ++-2121B ．c b a ++2121C ．c b a +-2121D ．c b a +--21212．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A ．OC OB OA OM --=2 B ．OC OB OA OM 213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 03．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（）A ．85B ．85C ．52D ．504．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（） A ．（31，1，1）B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．已知空间四边形ABCD 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（） A ．cb a 213221+- B ．c b a 212132++-C ．c b a 212121-+D ．c b a 213232-+7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=•=•=•AD AB ，AD AC ，AC AB ，则BCD 是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定图8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，AOB=AOC=600，则cos BC ，OA = （）A ．21B ．22 C ．21 D ．09．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则∆ABC 的面积为（）A ．3B ．32C ．6D ．2610．已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（）A ．55 B ．555 C ．553 D ．511 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为． 12．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG =x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为． 13．已知点A(1，2，11)、B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC 的形状是．14．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长． 16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是 )0,21,23(，点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°. （1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值O'N MD'C'B'A'C BADzy x 图17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直． 18．（12分）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}. （1）求证：PA ⊥底面ABCD ；（2）求四棱锥P —ABCD 的体积； 19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.（1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M .20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.（1）证明：C 1C ⊥BD ；（2）假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；（3）当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.参考答案一、1．A ；解析：)(21111BC BA A A BM B B M B ++=+==c +21（－b a +）=－21a +21b +c ．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2．A ；解析：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 既可．只有选项A ．3．B ；解析：只需将A A AD AB C A '++='，运用向量的内即运算即可，2||C A C A '='．4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b a b a b λ=⇔≠//,0． 5．C ；解析：||||cos b a b a ⋅⋅=θ，计算结果为－1．6．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 7．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．8．D ；解析：建立一组基向量OC OB OA ,,，再来处理BC OA ⋅的值． 9．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒>=<AC AB AC AB AC AB AC AB ,sin ||||,cos ，从而得><=AC AB AC AB S ,sin ||||21． 10．C ；二、11．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ba b a ，得753,sin >=<b a ，可得结果．12．OC OB OA 313161++；解析：OC OB OA OA OC OB OA OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：222||||||AC BC AB +=．14．39-；解析：219132||||,cos 2-=+=⋅⋅>=<k k b a b a b a ，得39±=k ．三、15．解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=． 16．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23.OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121=. ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD [TX →]的坐标为{0，－23,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==OC OB OA ，所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ，则cos θ=222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅⋅BC AD BC AD 1051-=. 17．证：如图设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EH=GH=MN 得： 223123212132)2()2()2(rr r r r r r r r -+=-+=-+ 展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠0，23r r -≠0， ∴1r ⊥（23r r -）即SA ⊥BC ．同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．18．（1）证明：∵AB AP ⋅=－2－2+4=0，∴AP ⊥AB . 又∵AD AP ⋅=－4+4+0=0，∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD . （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则 cos θ=1053416161428||||=+⋅++-=⋅⋅AD AB AD ABV =31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |=161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍.猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.19．如图，建立空间直角坐标系O —xyz . （1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA . （3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M . 图评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20．（1）证明：设CB =a ，CD =b ，1CC =c ，则|a |=|b |，∵CB CD BD -==b －a ， ∴BD ·1CC =（b －a ）·c =b ·c －a ·c =|b |·|c |cos60°－|a |·|c |cos60°=0， ∴C 1C ⊥BD .（2）解：连AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，连OC 1，则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角. ∵21)(21=+=CD BC CO （a +b ），2111=-=CC CO O C （a +b ）－c∴CO ·211=O C （a +b ）·［21（a +b ）－c ］=41（a 2+2a ·b +b 2）－21a ·c －21b ·c =41（4+2·2·2cos60°+4）－21·2·23cos60°－21·2·23cos60°=23. 则|CO |=3，|O C 1|=23，∴cos C 1OC =33||||11=⋅⋅O C CO O C CO （3）解：设1CC CD=x ，CD =2，则CC 1=x 2.∵BD ⊥平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥A 1C ∴只须求满足：D C C A 11⋅=0即可. 设A A 1=a ，AD =b ，DC =c ， ∵C A 1=a +b +c ，D C 1=a －c ，∴D C C A 11⋅=（a +b +c ）（a －c ）=a 2+a ·b －b ·c －c 2=xx 242+－6，令6－242xx -=0，得x =1或x =－32（舍去）.评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.。

空间向量及其运算同步练习

空间向量及其运算同步练习（一）选择题1.对空间任意两个向量→-a ，→-b （→-b ≠→-0），→-a ∥→-b 的充要条件是A 、→-b =λ→-aB 、→-a =λ→-bC 、→-a =→-bD 、→-a =-→-b2.下列命题正确的是A 、如果向量→-a ，→-b 与任何向量不能构成空间的基底，那么→-a ，→-b 不共线B 、如果→-a ，→-b ，→-c 是三个基向量，那么→-a +→-b ，→-b +→-c ，→-c +→-a ，不能构成空间的一个基底C 、若→--OA ，→--OB ，→--OC 不构成空间的一个基底，那么O ，A ，B ，C 四点共面D 、空间中的基底只有有限个 3.在空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则21AB +→--(→--BD +→--BC )等于 A 、→--AD B 、→--GA C 、→--AG D 、→--MG4.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都是a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，那么下列运算结果为正值的是A 、 →--AD ·→--DB B 、→--GF ·→--ACC 、→--FG ·→--BAD 、→--GE ·→--GF（二）填空题5、如果两个向量→-a ，→-b 不共线，则→-p 与→-a ，→-b 共面的充要条件是____________。

6、平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，+→--AB →--11C B +→--1DD =____________ 。

7、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=4，AD=3，AA 1=5，∠BAD=900，∠BAA 1=∠DAA 1=600，则A 1C 等于____________。

8、已知G 为△ABC 的重心，O 为空间任意一点，则→--OG 用→--OA ，→--OB ，→--OC 表示为____________。

3.1空间向量及其运算测试题(答案)

精心整理新课标高二数学同步测试（2－1第三章3.1）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（）A ．c b a ++-2121B ．c b a ++2121C ．c b a +-2121D ．c b a +--21212．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A ．OC OB OA OM --=2 B ．OC OB OA OM 213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 03．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（）A ．85B ．85C ．52D ．504．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（） A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1） D ．（2，－3，－22）5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．已知空间四边形ABCD 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（）A ．c b a 213221+-B ．c b a 212132++-C ．c b a 212121-+D ．c b a 213232-+7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=•=•=•AD AB ，AD AC ，AC AB ，则?BCD 是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，?AOB=?AOC=600，则cos BC ，OA = （）图A ．21 B ．22 C ．?21D ．09．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则∆ABC 的面积为（）A ．3B ．32C ．6D ．2610．已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（）A ．55 B ．555 C ．553 D ．511 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为．12．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG =x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为．13．已知点A(1，?2，11)、B(4，2，3)，C(6，?1，4)，则?ABC 的形状是． 14．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．15．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长． 16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是 )0,21,23(，点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°. （1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．18．（12分）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}. （1）求证：PA ⊥底面ABCD ；（2）求四棱锥P —ABCD 的体积；19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.（1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M .20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.O'N MD'C'B'A'C B ADzy x 图（1）证明：C 1C ⊥BD ；（2）假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；（3）当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明. 参考答案一、1．A ；解析：)(21111BC BA A A BM B B M B ++=+==c +21（－b a +）=－21a +21b +c ．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2．A ；解析：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 既可．只有选项A ．3．B ；解析：只需将A A AD AB C A '++='，运用向量的内即运算即可，2||C A C A '='．4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b a b a b λ=⇔≠//,0． 5．C ；解析：||||cos b a b a ⋅⋅=θ，计算结果为－1．6．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 7．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．8．D ；解析：建立一组基向量OC OB OA ,,，再来处理BC OA ⋅的值． 9．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒⋅>=<AC AB AC AB AC AB AC AB ,sin ||||,cos ，从而得><=AC AB AC AB S ,sin ||||21． 10．C ；二、11．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ba b a ，得753,sin >=<b a ，可得结果．12．OC OB OA 313161++；解析：13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：222||||||AC BC AB +=． 14．39-；解析：219132||||,cos 2-=+=⋅>=<k k b a b a b a ，得39±=k ．三、15．解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=． 16．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23.OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121=. ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD [TX →]的坐标为{0，－23,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==OC OB OA ，所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ，则cos θ=222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅⋅BC AD BC AD 1051-=. 17．证：如图设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EH=GH=MN 得：展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠0，23r r -≠0， ∴1r ⊥（23r r -）即SA ⊥BC ．同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．18．（1）证明：∵AB AP ⋅=－2－2+4=0，∴AP ⊥AB .又∵AD AP ⋅=－4+4+0=0，∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD . （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则 cos θ=1053416161428||||=+⋅++-=⋅⋅AD AB AD AB V =31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |=161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍.猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力. 19．如图，建立空间直角坐标系O —xyz .（1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2）∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5 ∴cos<1BA ，1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA .（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M . 评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20．（1）证明：设CB =a ，CD =b ，1CC =c ，则|a |=|b |，∵CB CD BD -==b －a ， ∴BD ·1CC =（b －a ）·c =b ·c －a ·c =|b |·|c |cos60°－|a |·|c |cos60°=0， ∴C 1C ⊥BD .（2）解：连AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，连OC 1，则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角. ∵21)(21=+=CD BC CO （a +b ），2111=-=CC CO O C （a +b ）－c 图∴CO ·211=O C （a +b ）·［21（a +b ）－c ］ =41（a 2+2a ·b +b 2）－21a ·c －21b ·c =41（4+2·2·2cos60°+4）－21·2·23cos60°－21·2·23cos60°=23.则|CO |=3，|O C 1|=23，∴cos C 1OC =33||||11=⋅⋅O C CO O C CO （3）解：设1CC CD=x ，CD =2，则CC 1=x 2.∵BD ⊥平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥A 1C ∴只须求满足：D C C A 11⋅=0即可. 设A A 1=a ，AD =b ，DC =c ， ∵C A 1=a +b +c ，D C 1=a －c ，∴D C C A 11⋅=（a +b +c ）（a －c ）=a 2+a ·b －b ·c －c 2=xx 242+－6，令6－242xx -=0，得x =1或x =－32（舍去）.评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.。

高中数学选修2-1(人教B版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习题及答案

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④若 a = b ， b = c ，则 a = c ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数是（）
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中，必有 AC = A 1 C1 ；
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A．4 B．3 C．2 D．1 解：C．当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，由于向量可以平移，故两个向量相等，不一定有起点相同、终点相同，故命题①错误；两个向量的模长相等，两个向量不一定相等，还要考虑方向因素，故命题②错误；命题③④正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为 1 ，但是方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．在长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 中，下列各式运算结果为 BD 1 的是（
− − − → − − − → −→ − −→ − A 1 N = A 1 A + AB + BN − → → 1 −→ = − a + b + BC 2 − → → 1 −→ = − a + b + AD 2 → → 1→ = −a + b + c. 2
（3）因为 M 是 AA 1 的中点，所以
− → −→ − − − → − MP = MA + AP − − → −→ − 1− = A 1 A + AP 2 1→ → → 1→ = − a + (a + c + b) 2 2 1→ 1→ → = a + b + c; 2 2 − − − → −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1→ → NC1 = NC + CC1 = BC + AA 1 = AD + AA 1 = c +a 2 2 2

3.1空间向量及其运算测试题(答案).docx

新课标高二数学同步测试（2－1第三章3. 1）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 50 分）．．在平行六面体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中， M 为 AC 与 BD 的交点，若 A 1B = a ，1A 1 D 1 =b ， A 1 A =c . 则下列向量中与B 1 M 相等的向量是（）A ． 1 a1 b cB ． 1a1b c2 222C ． 1a1b cD ． 1 a1b c图2 2222．在下列条件中，使 M 与 A 、B 、C 一定共面的是（）A ． OM2OA OB OCB ． OM1OA1OB1OC532C ． MA MBMC 0D ． OM OA OBOC 03．已知平行六面体 ABCD A ' B 'C ' D ' 中， AB=4，AD=3， AA '5， BAD900 ，BAA 'DAA ' 600 ，则 AC ' 等于（）A ．85B ． 85C ．5 2D ．50r(1, 3, 2) 平行的一个向量的坐标是（）4 ．与向量 aA ．（ 1，1，1） B ．（－ 1，－ 3， 2）3 C ．（－ 1 ， 3，－1） D ．（ 2 ，－ 3，－2 2 ）2 2uuur uuur5．已知 A （－ 1，－ 2， 6）， B （ 1， 2，－ 6）O 为坐标原点，则向量 OA,与OB 的夹角是（）A ．0B ．C ．D ．3226．已知空间四边形 ABCD 中，，点 M 在 OA 上，且 OM=2MA ，N 为 BC 中点，则MN =OA a ，OB b ，OC c（）A ． 1 a 2 b 1 c． 21 12 32322 C ． 1 a 1 b 1 c． 2 2 12 223327．设 A 、B 、 C 、D 是空间不共面的四点，且满足 AB ? AC0，AC ? AD0，AB ? AD 0 ，则 BCD 是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定OA ，BC =（）8．空间四边形 OABC中， OB=OC， AOB=AOC=60，则cosA ．1B ．2C ．1D ．022 29．已知 A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则 ABC 的面积为（）A ． 3B ．2 3C ． 6D ．6210．已知 a(1 t,1 t, t ), b (2, t, t) ，则 | a b |的最小值为（）A ．5B ．55C ．3 5D ．115 5 55二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分）．11．若 a (2,3, 1) ， b ( 2,1,3) ，则 a,b 为邻边的平行四边形的面积为．12．已知空间四边形 OABC ，其对角线为 OB 、 AC ，M 、N 分别是对边 OA 、 BC 的中点，点 G 在线段 MN上，且 MG2GN ，现用基组 OA,OB,OC 表示向量 OG ，有 OG =x OA yOB zOC ，则 x 、y 、z 的值分别为．13．已知点 A(1， 2，11) 、B(4，2，3) ，C(6， 1，4) ，则 ABC 的形状是．14．已知向量 a (2, 3,0) ， b (k,0,3) ，若 a, b 成 1200 的角，则 k=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76分) ．15．（ 12 分）如图，已知正方体 ABCD A'B 'C ' D ' 的棱长为 a ，M 为 BD '的中点，点 N 在 AC ' '上，且 | A'N | 3| NC ' | ，试求 MN 的长．BC ，原点 O 是 BC 的z中点，16．（ 12 分）如图在空间直角坐标系中 D'C'=2O'N点 A 的坐标是(3 , 1,0) ，点 D 在平面 yOz 上，且∠ BDC=90°，∠ DCB=30° .22（1）求向量 OD 的坐标；（2）设向量 AD 和 BC 的夹角为 θ，求 cos θ的值A'B'MDCyA B17．（12 分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这体的对棱两两垂直．x个四面18．（ 12 分）四棱锥 P — ABCD 中，底面 ABCD 是一个平行四边形， AB ={2 ，－1，－ 4} ， AD ={4 ， 2， 0} ， AP ={ －1，2，－ 1}.图（1）求证： PA ⊥底面 ABCD ；（2）求四棱锥 P —ABCD 的体积； 19．（ 14 分）如图所示，直三棱柱 ABC — A B C 中， CA=CB=1，∠ BCA=90°，棱 AA=2，M 、N 分别是1 1 1 1A 1B 1、A 1A 的中点 .（1）求 BN 的长；（ 2）求 cos< BA 1 ,CB 1 >的值；（3）求证： A 1B ⊥ C 1M. 20．（ 14 分）如图，已知平行六面体 ABCD — A 1 B 1C 1 D 1 的底面 ABCD是菱形且∠ C 1CB C 1CD BCD=∠ =∠ =60°. （）证明： C 1C ⊥ BD ；（）假定 CD ，CC 3 ，记面 C BD 为面α，12=21=12CBD 为 β，求二面角 α—BD —β的平面角的余弦值；（ 3）当CD的值为多少时，能使 A 1C ⊥平面CC 1C 1BD ？请给出证明 .参考答案一、1．A ；解析： B 1M B 1 B BM A 1 A1(BA BC) = c + 1（－ a b ）=－ 1a + 1b +c ．评述：22 2 2用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法 . 考查学生的空间想象能力 .2．A ；解析：空间的四点 P 、A 、B 、C 共面只需满足 OP xOA yOB zOC, 且 xy z 1 既可．只有选项 A ．3．B ；解析：只需将 ACAB ADAA ，运用向量的内即运算即可， | AC | 2AC ．4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即 b 0,a // bab ．5．C ；解析： cos a b，计算结果为－ 1．| a | | b |6．B ；解析：显然 MNONOM1(OB OC)2OA ．237．B ；解析：过点 A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．8．D ；解析：建立一组基向量 OA,OB, OC ，再来处理 OA BC 的值．9．D ；解析：应用向量的运算，显然cosAB, ACAB ACsin AB, AC，|AB||AC |从而得 S 1| AB || AC | sin AB, AC．10． C ； 2二、11． 6 5 ；解析： cosa,ba b2，得 sina, b3 5，可得结果．| a || b |7712． 1OA1OB1OC ；633解析：13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得： |AB|2 |BC|2 | AC |2．14．39；解析： cos a,ba b2k 1，得 k39 ．| a | | b | 13 9 k 22三、15．解：以 D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以 B （ a ， a ， 0）， A'（ a ，，a ），C ' （， a ， a ），D ' （，， a ）．0 0由于 M 为BD ' 的中点，取A'C ' 中点O' ，所以 M （ a ，a， a ），（ a ，a，a ）．因为 | A' N | 3| NC '|，2 2 2 O' 2 2所以 N 为 A'C' 的四等分，从而 N 为 O'C ' 的中点，故 N （ a ， 3，）． 44根据空间两点距离公式，可得 |MN |(aa )2 ( a3a ) 2 ( aa)26a ．2 42 42416．解：（1）过 D 作 DE ⊥ BC ，垂足为 E ，在 Rt △BDC 中 , 由∠ BDC=90°, ∠DCB=30°，BC=2，得 BD=1，CD3，∴ DE CD ·sin30 °=3 OE OB －BE OB － BD ·cos60 ° －11==2. ===1.2 2∴D 点坐标为（ 0，－ 1 ,3），即向量 OD[TX → ] 的坐标为 {0 ，－ 1 ,3}.2 22 2（）依题意：OA3 1 ,0},OB{0, 1,0}, OC { 0,1,0} ，2{,2 2所以 ADOD OA {3, 1,3}, BCOC OB{0,2,0} .22设向量 AD 和 BC 的夹角为 θ ，则ADBC3 0 ( 1) 23 012210 .cos θ=5|AD| |BC|3 )2 ( 1)2( 3)2 0222(022217．证：如图设 SA r 1 , SB r 2 , SC r 3 ，则 SE, SF, SG, SH , SM, SN 分别为 1 r 1 ，1 (r 2 r 3 ) ，1(r 1 r 2 ) ，2 2 21r 3 ， 1(r 1 r 3 ) ， 1r 2 ，由条件 EH=GH=MN 得：222展开得 r 1 r 2 r 2 r 3 r 1 r 3∴r 1 (r 3 r 2 ) 0，∵ r 1 ≠ ， ≠ ，0 r 3 r 2 0∴ r 1 ⊥（ r 3 r 2 ）即 SA ⊥BC ．同理可证 SB ⊥ AC ， SC ⊥ AB ．18．（ 1）证明：∵ AP AB =－2－2+4=0，∴ AP ⊥ AB.又∵ AP AD =－4+4+0=0，∴ AP ⊥ AD.∵AB 、AD 是底面 ABCD 上的两条相交直线，∴ AP ⊥底面 ABCD.（2）解：设AB与AD的夹角为θ，则AB AD8 23cosθ=4 116164105|AB| |AD|V1AB·|AD·sinθ·|AP2105191411610533（3）解： | （AB×AD）·AP |=| －4－32－ 4－ 8|=48 它是四棱锥 P—ABCD体积的 3 倍 .猜测： | （AB×AD）·AP | 在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、 AD、AP为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等 .主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力 .19．如图，建立空间直角坐标系O— xyz .（1）依题意得 B（0，1，0）、 N（1，0，1）∴| BN |= (10)2(01) 2(10)2 3 .图（2）依题意得A1（，，）、B（，，）、C（，，）、B1（，，）1020 1000 0012∴ BA1={－1，－1，2}， CB1={0，1，2，}， BA1· CB1=3，|BA1|= 6 ，| CB1|=5∴cos< BA1，CB1 >=BA1 CB1130 . | BA1 | |CB1 |10（）证明：依题意，得C1（，，）、M（11，），AB={－，，2}，C M 1 1，0}.002222∴A1 B · C1 M =－1 1+0=0，∴ A1 B ⊥ C1 M ，∴A1B⊥C1M. 2 2评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识. 考查空间两向量垂直的充要条件. 20．（ 1）证明：设CB = a，CD =b，CC1 =c，则 | a |=| b | ，∵BD CD CB =b－a，∴BD · CC1=（b－a）·c=b·c－a·c=|b|·|c|cos60°－|a|·|c|cos60°=0，∴C1C⊥BD.（2）解：连 AC、BD，设 AC∩BD=O，连 OC1，则∠ C1OC为二面角α— BD—β的平面角 .∵ CO 1(BC CD)1（ a +b ），C1O CO CC11（ a +b ）－ c 222∴ CO· C1O 11（a +b ）－c ］（ a +b ）·［22=1（ a 2+2a · b +b 2）－1a · c －1b ·c 422=1（4+2· 2· 2cos60°+4）－1·2·3cos60°－1·2·3cos60°=3. 422222则| CO |=3，| CO|=3，∴ cosC1 OC=CO C1O312|CO | |C1O |3（3）解：设CD=x，CD=2，则 CC1=2. CC1x∵BD⊥平面 AAC C，∴ BD⊥ AC111∴只须求满足： A1 C C1 D=0 即可.设 A1 A =a， AD =b， DC =c，∵ A1 C =a+b+c， C1 D =a－c，∴ A1 C C1 D =（a+b+c）（a－c）=a2+a·b－b·c－c2=42－6，x2x令6－24，得或－2（舍去） . x x2=0x=1x=3评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题 .。

高中数学 3.1 空间中向量的概念和运算同步精练湘教版

高中数学 3.1 空间中向量的概念和运算同步精练湘教版选修2-11对空间非零向量AB u u u r ，BC uuur ，AC u u u r ，下列各式中一定不成立的是( )．A ．AB u u u r ＋BC uuur ＝AC u u u rB ．AB u u u r －AC u u u r ＝BC uuu r C ．|AB u u u r|＋|BC uuu r |＝|AC u u u r |D ．|AB u u u r|－|AC u u u r |＝|BC uuu r |2已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于( )． A ．97 B ．97 C ．61 D ．613如图，已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )．A ．6 2B ．6C ．12D ．1444如图，已知空间四边形ABCD 每条对角线的长和每条边长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )．A ．2BA u u u r ·AC u u urB ．2AD u u u r ·BD u u urC ．2FG u u u r ·CA u u u rD ．2EF u u u r ·CB u u ur5已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则a 与b 的夹角为( )． A ．30° B．45° C．60° D．90°6已知i ，j ，k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a ·b 等于________．7在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简向量表达式AB u u u r －CD uuu r ＋BC uuu r －DA u u u r的结果是________．8已知平行四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，并且PA ＝6，则PC 的长为__________．9如图，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，计算：(1)EF u u u r ·BA u u u r ；(2)EF u u u r ·BD u u ur ；(3)EF u u u r ·DC u u ur .10已知空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC ．M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC ．参考答案1. 解析：AB u u u r －AC u u ur ＝CB u u u r ，故B 项错误．答案：B2. 解析：|2a －3b|2＝4a 2＋9b 2－12a·b＝4×4＋9×9－12×|a||b |cos 60°＝97－12×2×3×12＝61.答案：C3. 解析：∵PC uuu r ＝PA u u u r ＋AB u u u r ＋BC uuur ， ∴2PC u u u u r ＝2PA u u u u r ＋2AB u u u u r ＋2BC u u u u r ＋2AB u u u r ·BC uuu r ＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.∴PC ＝12. 答案：C4. 解析：2BA u u u r ·AC u u u r ＝－2AB u u u r ·AC u u u r ＝－2a 2cos 60°＝－a 2；2AD u u u r ·BD u u u r ＝2DA u u u r ·DB u u u r ＝2a 2cos 60°＝a 2； 2FG u u u r ·CA u u u r ＝AC u u u r ·CA u u u r ＝－a 2；2EF u u u r ·CB u u u r ＝BD u u u r ·CB u u u r ＝BD u u u r ·BC uuu r ＝－12a 2.答案：B5. 解析：∵a ·(2b －a )＝0，∴2a ·b ＝a 2＝4. ∴a ·b ＝2.∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22.∴a 与b 的夹角为45°. 答案：B6. 解析：a ·b ＝(2i －j ＋k )·(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2. 答案：－27. 解析：AB u u u r －CD uuu r ＋BC uuu r －DA u u u r ＝(AB u u u r ＋BC uuu r )－(CD uuu r ＋DA u u u r)＝AC u u u r －CA u u u r ＝2AC u u u r .答案：2AC u u u r8. 解析：如图，∵PC uuu r ＝PA u u u r ＋AC u u u r ＝PA u u u r ＋AD u u u r ＋DC u u ur ，∴|PC uuu r |2＝PC uuu r ·PC uuu r ＝(PA u u u r ＋AD u u u r ＋DC u u ur )2＝|PA u u u r |2＋|AD u u u r |2＋|DC u u u r |2＋2PA u u u r ·AD u u u r ＋2PA u u u r ·DC u u u r ＋2AD u u u r ·DC u u u r＝62＋42＋32＋2|AD u u u r ||DC u u u r |·cos 120°＝61－12＝49. ∴PD ＝7. 答案：79. 解：(1)EF u u u r ·BA u u u r ＝12BD u u u r ·BA u u u r＝12|BD u u ur |·|BA u u u r |cos 〈BD u u u r ，BA u u u r 〉＝12×1×1×cos 60°＝14. (2)EF u u u r ·BD u u ur ＝12BD u u u r ·BD u u u r ＝12|BD u u u r |2＝12×12＝12.(3)EF u u u r ·DC u u ur ＝12BD u u u r ·DC u u u r＝12|BD u u u r |·|DC u u u r |cos 〈BD u u u r ，DC u u u r 〉＝12×1×1×cos 120°＝－14. 10. 证明：如图，连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA =u u u r a ，OB =u u u r b ，OC =u u u rc ，则|a |＝|b |＝|c |，∵()12OG OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ＝()111222OA OB OC ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦u u ur u u u r u u u r ＝14(a ＋b ＋c )，BC uuu r ＝c －b ，∴OG u u u r ·BC uuu r ＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c )＝ (|a |2cos θ－|a |2cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG ⊥BC ．。

《空间向量及其运算》同步练习1(苏教版选修2-1)

高中苏教选修（2-1）3.1空间向量及其运算测试题一、选择题1．对空间任意两个向量的充要条件是（）A．B．C．D．答案：D2．已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与点一定共面的是（）A．B．C．D．答案：D3．已知正方体中，点为底面的中心，若，则的值分别为（）A．1，1 B．，1 C．，D．，答案：C4．已知两个非零向量不共线，如果，，，则（）A．四点共面B．四点不共面C．四点可共面也可不共面D．四点共线答案：A5．已知，，当取最小上值时，的值等于（）A．19 B．C．D．答案：C6．在正方体中，分别是的中点，则直线与直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面不垂直D．异面垂直答案：D二、填空题7．已知是平面内的一条直线，直线，直线的方向向量分别为，则．答案：08．已知正方体棱长为1，则．答案：29．若，三点共线，则．答案：010．已知，若，且，，则向量的坐标为．答案：或11．已知是空间两个向量，若，则与的夹角为．答案：12．在空间平移到，连结对应顶点，设，是中点，是的中点，则，．答案：，三、解答题13．已知向量，向量满足以下三个条件：（2）；（3）与向量垂直．求向量．解：设，由已知得解得或故或．14．设及分别是异面直线上的三点，而分别是线段的中点．求证：四点共面．证明：，，，．又，①及分别共线，，．代入①式，得．共面，四点共面．15．如图所示，，原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，．（1）求向量的坐标；（2）求向量与的夹角的大小．解：（1）过点作轴的垂线，垂足为，则，，又由已知，得，；（2），，，故向量与的夹角为．高中苏教选修（2-1）3.1空间向量及其运算测试题一、选择题1．为平面内的两个不相等向量，在直线上，，则“且”是“直线平面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案：B2．已知向量，若，则（）A．B．C．D．答案：D3．下列命题中假命题的个数是（）①若是空间任意四点，则有；②是共线的充要条件；③若共线，则与所在直线平行；④对空间任意点与不共线的三点，若（其中），则四点共面．A．1 B．2 C．3 D．44．空间四边形中，分别是的中点，点在线段上，且，设，则（）A．B．C．D．答案：D5．在棱长为1的正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（）A．B．C．D．答案：B6．已知的顶点，则边上的高的长等于（）A．4 B．5 C．6 D．7答案：B二、填空题7．在平面内若一直线垂直于轴，则的单位方向向量可表示为在空间若一直线垂直于平面，则的单位方向向量可表示为．答案：8．已知平行六面体中，cm，cm，cm，，，则的长为．答案：cm9．长为4的向量与单位向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为．答案：10．已知力，，，若共同作用于一物体，使物体从点移到点，则合力所做的功是．答案：11．在空间四边形中，，，则．答案：012．如图1，已知是异面直线，，，，，且，，则与所成的角是．答案：三、解答题13．沿着正四面体的三条棱的方向有大小等于1，2和3的三个力，试求此三个力的合力的大小及此合力与三条棱夹角的余弦．解：用分别代表棱上的三个单位向量，则，则，．，即所求合力之大小为5．且．同理可得．14．已知点为空间直角坐标系的原点，向量，且点在直线上运动，当取得最小值时，求的坐标．解：点在直线上，可设点的坐标为，其中为实参数，则，．．当且仅当时，取最小值，此时．15．如图2，直三棱柱，底面中，，，棱，分别是的中点．（1）求的长；（2）求的值；（3）求证：．解：（１）以射线分别为轴建立坐标系（如图），则，；（2），，，；（3），，，．。

苏教版高中数学选修空间向量及其运算同步练习

第3章空间向量与立体几何作业23 共面向量定理【基础平台】 1.在以下命题中，正确命题的个数为（）①若,a b r r共线，则a r 与b r 所在直线平行；②若,a b r r所在直线是异面直线，则a r 与b r 一定不共面； ③若,,a b c r r r 三向量两两共面，则,,a b c r r r三向量共面；④若,,a b c r r r 三向量共面，则由,a b r r 所在直线所确定的平面与由,b c r r所在直线确定的平面是同一个平面A ．0B ．1C ．2D ．32．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列所给三个向量，不共面的一组是（）A ．1111,,AB A D DC u u u r u u u u r u u u u r B ．11,,AB DD DC u u u r u u u u r u u u u r C ．1,,BC A B AD u u u r u u u r u u u r D ．111,,AB DC B D u u u r u u u r u u u u r３．在平行六面体ABCD EFGH -中，AG xAC y AF z AH =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则x y z ++=_____________；４．已知向量,αβu r u r 不共线，设向量a k αβ=+r u r u r ，b k αβ=-r u r u r ，若,a b r r不共线，则实数k 的范围是__________________；【自主检测】１．O 为空间任意一点，,a b r r 为不共线向量，,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，(,)OC ma nb m n R =+∈u u u r r r，若A 、B 、C 三点共线，则m,n 满足（）A ．1m n +＝－B ．1m n +=C ．0m n +=D ．1m n -= ２．O 为空间任意一点，使A 、B 、C 三个点共线的一个条件是（）A ．1123OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r B ．1233OC OA OB =+u u u r u u u r u u u rC ．1134OC OA OB =+u u u r u u u r u u u rD ．1124OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r３．设空间任意一点O 和不共线三点A 、B 、C ，OP mOA nOB lOC μ=++u u u r u u u r u u u r u u u r(,,,0)m n l R μμ∈≠且，若P 、A 、B 、C 四点共面，则（）A ．1m n l ++=B ．0m n l ++=C ．m n l μ++=D ．1m n l μ+++=４．已知四个点A 、B 、C 、D （无三点共线）在一个平面内，O 是空间任意一点，如果0OA OB OC OD αβγσ+++=u u u r u u u r u u u r u u u r r，则αβγσ+++=____________；５．已知正方体''''ABCD A B C D -，点E 是上底面''AC 的中心，且'AE AA xAB yAD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，则x =_____________，y =_______________；６．若123,,e e e u r u u r u r 是三个不共面向量，则向量12332a e e e =++r u r u u r u r ，1233b e e e =-++r u r u u r u r ， 12324c e e e =--r u r u u r u r是否共面？请说明理由．７．已知斜三棱柱'''ABC A B C -，设',,AB a AC b AA c ===u u ur u u u r r u u u r r r ，在面''AACC 的对角线'AC 上和棱BC 上分别取点M 、N ，使'AM k AC =u u u u r u u u u r ，BN k BC =u u u r u u u r (01)k ≤≤，求证：MN u u u u r 与向量a r 和c r共面．【拓展延伸】设ABCD 为空间四边形，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，并且DH CFHA FBλ==，DG AEGC EBμ==，求证：E 、F 、G 、H 四点共面．参考答案【基础平台】1 ． A ．2 ． D ．3 ．32． 4． R ．【自主检测】１．Ｂ．２．Ｂ．３．Ｃ．４． 0 ．５．11,22x y ==．６． ,,a b c r r r 共面．７．略．【拓展延伸】设,,AD a AB b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，111EH a b λλμ=-++u u u r r r ，()111EF b c μλλμλλ=-++++u u u r r r ，令EG mEH nEF =+u u u r u u u r u u u r ，得(1)1,(1)(1)m n μλλλμλμ++==++，所以E 、F 、G 、H 四点共面。

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算课后训练新人教B版选修2-1

3.1.1 空间向量的线性运算课后训练1．已知λ∈R ，a 为非零向量，则下列结论正确的是( )A ．λa 与a 同向B ．|λa |＝λ|a |C ．λa 可能是0D ．|λa |＝|λ|a2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量1AC u u u u r 的共有( )①1AB BC CC ++u u u r u u u r u u u u r ②11111AA A D DC ++u u u r u u u u r u u u u r③111AB BB BC ++u u u r u u u r u u u u r ④11111AA A B BC ++u u u r u u u u r u u u u rA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 为平面BB ′C ′C 的中心，N 为直线CC ′的中点，则1122AB AD CC'++=u u u r u u u r u u u u r ( ) A ．AC u u u r ’ B ．AN u u u rC ．AM u u u u rD ．2MN u u u u r4．已知空间四边形ABCD ，连AC ，BD ，设M 是BC 的中点，G 为CD 上一点，则12AB BC MG ++u u u r u u u r u u u u r 等于( ) A ．AG u u u r B ．CG u u u rC ．BC uuu rD ．12BC u u u r 5．已知点G 是正方形ABCD 的中心，P 为正方形ABCD 所在平面外的一点，则PA PB PC PD +++u u u r u u u r u u u r u u u r 等于( )A ．3PG u u u rB ．2PG u u u rC ．PG u u u rD ．4PG u u u r6．化简：(AB u u u r －CD uuu r )－(AC u u u r －BD u u u r )＝__________.7．化简：1212(23)+53(2)=2323⎛⎫+--+--+ ⎪⎝⎭a b c a b c a b c __________. 8．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG u u u r ＝x AC u u u r ＋y AF u u u r ＋z AH u u u r ，则x ＋y ＋z ＝__________.9．已知ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体，AA ′的中点为E ，点F 为D ′C ′上一点，且23D'F D'C'. (1)化简：12AA'u u u u r ＋BC uuu r ＋23AB u u u r . (2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN u u u u r ＝αAB u u u r ＋βAD u u u r ＋γAA'u u u u r ，试求α，β，γ的值．参考答案1. 答案：C2. 答案：D3. 答案：C4. 答案：A5. 答案：D6. 答案：07. 答案：597626+-a b c 8. 答案：32因为AG u u u r ＝AB uuu r ＋AD u u u r ＋AE uuu r ，所以AG u u u r ＝AB uuu r ＋AD u u u r ＋AE uuu r ＝x (AB uuu r ＋AD u u u r )＋y (AB uuu r ＋AE uuu r )＋z (AE uuu r ＋AD u u u r )，所以AG u u u r ＝(x ＋y )AB uuu r ＋(x ＋z )AD u u u r ＋(y ＋z )AE uuu r ，所以x ＋y ＝x ＋z ＝y ＋z ＝1，所以x ＋y ＋z ＝32. 9. 答案：解：(1)由AA ′的中点为E ，得12AA'u u u u r ＝EA'u u u r ，又BC uuu r ＝A'D'u u u u r ，D ′F ＝23D ′C ′，因此23AB u u u r ＝23D'C'u u u u u r ＝D'F u u u u r . 从而12AA'u u u u r ＋BC uuu r ＋23AB u u u r ＝EA'u u u r ＋A'D'u u u u r ＋D'F u u u u r ＝EF uuu r . (2)MN u u u u r ＝MB u u u r ＋BN uuu r ＝12DB u u u r ＋34BC'u u u u r ＝12(DA uuu r ＋AB u u u r )＋34(BC uuu r ＋CC'u u u u r )＝12(－AD u u u r ＋AB uuu r )＋34(AD u u u r ＋AA'u u u u r )＝12AB uuu r ＋14AD u u u r ＋34AA'u u u u r ，因此1=2α，β＝14，γ＝34.。

高中数学3-1-1空间向量的线性运算同步练习新人教B版选修2-1

一、选择题→→→1．如下图，在平行六面体ABCD－ A1B1C1D1中，AB＝ a，AD＝ b，AA1 →＝c，则 D1B等于()A．a＋b＋cB．a＋b＋cC．a－b－cD．－a＋b＋c[答案] C[分析] → →→ →D1B＝ D1A1 ＋A1A＋ AB＝－ b＋(－ c)＋a＝a－ b－ c.应选C→→→2．在平行六面体ABCD－A′ B′ C′D′中，向量 AB′、 AD′、BD是( A．有同样起点的向量B．是等长的向量C．是共面向量 D ．是不共面向量[答案] C[分析]→→→→∵ AB1－AD1＝ D1B1＝ BD，∴共面．应选 C.3．如下图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以下各式中运算结果为向→量AC1的共有()→→→(1)( AB＋ BC) ＋ CC1(2)( →→1)＋→1＋ 1 1 1 AA A D DC →→→(3)( AB＋BB) ＋BC1 1 1→→→(4)( AA＋AB) ＋BC.1 1 1 1 1A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个[答案] D[分析] 代入查验知选 D.4．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，有以低等式，此中不正确的选项是(→→→→A. DB＝DD＋DA ＋ DC1 1 1 1 1 1→→→→B. DB＝DC＋B B＋CB1 1 1 1→→→→C. D1B＝D1A1＋A1B＋A1AD. →1 ＝→1 1＋→1 ＋→DB DC CD DB ))1[答案] C →→→→ → →[ 分析 ]D 1A 1＋ A 1B ＋A 1 A ＝ D 1B ＋ A 1A ≠ D 1B .应选 C.5．如下图的空间四边形ABCD 中， M ， G 分别是 BC ， CD 的中点，→ → →则MG － AB ＋ AD 等于 ( )3→→A. 2DB B ．3MG→ → C ． 3GM D ． 2MG[答案] B[分析]→→→→→→ → MG － AB ＋AD ＝ MG ＋BD ＝ MG ＋ 2 MG→ ＝ 3MG .6．平行六面体 ABCD － A 1B 1C 1D 中， O 为 BD 1与 AC 1的交点，以下说法正确的选项是 ( )→ 1→→→A. AO ＝ 2( AB ＋ AD ＋AA 1)→1→B. AO ＝ 3AC 1→ 1→→→C. BO ＝ ( BA ＋ BC ＋BD 1) 2→1→ →D. BO ＝ 4( AC 1＋ BD 1)[答案] A[分析]→ → → → → →AB ＋ AD ＋AA 1＝ AC ＋AA 1＝ AC 1.应选 A.7．如下图，空间四边形 →→→→→OABC 中， OA ＝ a ，OB ＝ b ， OC ＝c, 点 M 在 OA 上，且 OM ＝2MA ，→ )N 为 BC 中点，则 MN 等于(1 2 1A. 2a －3b ＋ 2c211B ．－ 3 a ＋ 2b ＋ 2c11 2C. 2a ＋2 b － 3c22 1D. 3a ＋3b － 2c [答案]B2→ → → 1 → → 2→[分析] MN ＝ ON －OM ＝ 2 ( OB ＋ OC ) －3OA 12211＝ 2×(b ＋ c ) － 3a ＝－ 3a ＋ 2b ＋2c . ∴应选 B.→ → →8．已知 G 是正方形 ABCD 的中心，点 P 为正方形 ABCD 所在平面外一点，则 PA ＋ PB ＋ PC ＋→PD ＝( )→ → A ． 4PG B ． 3PG→ → C ． 2PG D. PG[答案]A[分析]→→→→→→→→→→→→→→→→PA ＋ PB ＋ PC ＋ PD ＝ PG ＋ GA ＋ PG ＋ GB ＋ PG ＋GC ＋ PG ＋ GD ＝4PG ＋ ( GA ＋ GC ) ＋( GB→ ＋GD ) ，∵ 是正方形， G 是它的中心，ABCD→ → → → → ∴ GA ＋GC ＝ GB ＋ GD ＝ 0，故原式＝ 4PG .9．设有四边形 ABCD ， O 为空间随意一点，且→ → → → ABCD 是AO ＋ OB ＝ DO ＋ OC ，则四边形( )A ．空间四边形B ．平行四边形C ．等腰梯形D ．矩形[答案]B[ 分析 ]绘牟利用空间向量的运算法例首尾相接→ → → → → →AO ＋ OB ＝AB ， DO ＋OC ＝ DC ，→ →∴ AB ＝DC . 应选 B.10．已知正方体 ABCD －A ′ B ′ C ′ D ′ ，点 E 是 A ′ C ′的中点，点 F 是 AE 的三平分点， 1→且 AF ＝ 2EF ，则 AF 等于 ()→1→ 1→A. AA ′＋ 2AB ＋ 2AD 1 →1→1→B. 2AA ′ ＋ 2AB ＋ 2AD 1 →1→1→C. 2AA ′ ＋ 6AB ＋ 6AD1 →1→1→D. 3AA ′ ＋ 6AB ＋ 6AD[答案] D3→ 1→ 1 →→[分析]AF ＝3AE ＝3( AA ′ ＋A ′ E ) 1 →1 1 →＝ 3AA ′ ＋ 3× 2A ′C ′1 → 1 →→＝ AA ′ ＋ ( A ′ B ′＋ A ′ D ′)361 →1 → 1 →＝ 3AA ′ ＋ 6A ′ B ′＋ 6A ′ D ′. 应选 D.二、填空题11．设，，，为空间随意四点，则 →－→＋→＝ ________.A B C DAC BC BD[答案]→AD[分析] → →→→→→→AC － BC ＋BD ＝ AC ＋CB ＋ BD ＝ AD 。

高中数学 3.1.1空间向量及其线性运算课时作业苏教版选修21

高中数学 3.1.1空间向量及其线性运算课时作业苏教版选修21 课时目标 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义．1．空间向量中的基本概念(1)空间向量：在空间，我们把既有________又有________的量，叫做空间向量．(2)相等向量：________相同且________相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量．(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线______________或________，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．2．空间向量的线性运算及运算律类似于平面向量，我们可以定义空间向量的加法和减法运算及数乘运算：OB →＝OA →＋AB →＝________，CA →＝OA →－OC →＝________，OP →＝λa (λ∈R )．空间向量加法的运算律(1)交换律：______________.(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝____________.(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R )．3．共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使__________．规定：零向量与任意向量共线．一、填空题1．判断下列各命题的真假：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为________．2.已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则下列叙述正确的是________．(写出所有正确的序号)①AB →＝AC →＋BC →；②AB →＝－AC →－BC →；③AC →与BC →同向；④A C →与CB →同向．3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是________．4.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 中，用向量AB →，AD →，AA 1→来表示向量AC 1的表达式为________________________________________________________________________．5.四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)化简的结果是________． 6．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，下列结论中正确的有________．(写出所有正确的序号)①EF →＋GH →＋PQ →＝0；②EF→－GH →－PQ →＝0； ③EF→＋GH →－PQ →＝0；④EF →－GH →＋PQ →＝0. 7.如图所示，a,b 是两个空间向量，则AC →与A ′C ′→是________向量，AB →与B ′A ′→是________向量．8.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 中，化简向量表达式AB →＋CD →＋BC →＋DA →的结果为________．二、解答题9．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连结AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →，(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．10．设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．能力提升11.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝______________________.12．证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．1．在掌握向量加减法的同时，应掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．共线向量定理包含两个命题，特别是对于两个向量a 、b ，若存在惟一实数λ，使b ＝λa (a ≠0)⇒a∥b ，可作为以后证明线线平行的依据，但必须保证两线不重合．再者向量共线不具有传递性，如a∥b ，b∥c ，不一定有a∥c ，因为当b ＝0时，虽然a∥b ，b∥c ，但a 不一定与c 平行．3．运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．第3章空间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算3．1.1 空间向量及其线性运算知识梳理1．(1)大小方向 (2)方向长度 (3)互相平行重合2．a ＋b a －b (1)a ＋b ＝b ＋a (2)a ＋(b ＋c )3．b ＝λa作业设计1．3解析 ①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．2．④解析由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →同向．3.BD 1→解析如图所示，∵DD 1→＝AA 1→，DD 1→－AB →＝AA 1→－AB →＝BA 1→，BA 1→＋BC →＝BD 1→，∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.4.AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→解析因为AB →＋AD →＝AC →，AC →＋AA 1→＝AC 1→，所以AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→.5.AM →解析如图所示，因为12(BD →＋BC →)＝BM →，所以AB →＋12(BD →＋BC →) ＝AB →＋BM →＝AM →.6．① 解析观察平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1可知，向量EF →，GH →，PQ →平移后可以首尾相连，于是EF→＋GH →＋PQ →＝0.7．相等相反8．0解析在任何图形中，首尾相接的若干个向量和为零向量．9．解 (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点．∴BE →＝EC →，EF →＝GD →.∴AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋BE →＋EF →＝AF →.故所求向量AD →，AF →，如图所示．10．证明连结BG ，延长后交CD 于E ，由G 为△BCD 的重心，知BG →＝23BE →. ∵E 为CD 的中点， ∴BE →＝12BC →＋12BD →. AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BC →＋BD →) ＝AB →＋13[(AC →－AB →)＋(AD →－AB →)] ＝13(AB →＋AC →＋AD →)． 11.23a ＋13b解析 AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD → ＝a ＋13(b －a ) ＝23a ＋13b . 12．证明如图所示，平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点，则AO →＝12AC ′→ ＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD ′→ ＝AB →＋12(BA →＋BC →＋BB ′→) ＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA ′→) ＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→) AN →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．由此可知O ，P ，M ，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．。

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的数乘运算练习含解析新人教A版选修21102941

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的数乘运算练习含解析新人教A 版选修211029414[学生用书P133(单独成册)][A 基础达标]1．设a ，b 是不共线的两个向量，λ，μ∈R ，且λa ＋μb ＝0，则( ) A ．λ＝μ＝0 B ．a ＝b ＝0 C ．λ＝0，b ＝0D ．μ＝0，a ＝0解析：选A .因为a ，b 不共线，所以a ，b 均为非零向量，又因为λa ＋μb ＝0，所以λ＝μ＝0.2．已知空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B ．CG → C.BC →D ．12BC → 解析：选A .AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋12×(2BG →)＝AB →＋BG →＝AG →.3．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解析：选A.因为AB →＝a ＋2b .BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，所以AB →∥BD →，由于AB →与BD →有一个公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．4．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝3OA →－2OB →－OC → B.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＝14OB →－OA →＋12OC →解析：选C.因为MA →＋MB →＋MC →＝0，所以MA →＝－MB →－MC →，所以M 与A ，B ，C 必共面． 5．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ③若AB →，CD →共线，则AB ∥CD ；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面．其中不正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.显然①正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a |－|b ||，故②错误；若AB →，CD →共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故④错误．故选C.6．化简：12(a ＋2b －3c )＋5(23a －12b ＋23c )－3(a －2b ＋c )＝________．解析：原式＝(12＋5×23－3)a ＋(12×2－5×12＋3×2)b ＋(－3×12＋5×23－3)c ＝56a ＋92b －76c .答案：56a ＋92b －76c7．在三棱锥A BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则化简AB →＋12BC →－32DE →－AD →的结果为________．解析：如图，延长DE 交边BC 于点F ，则AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.答案：08．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA→＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．解析：因为A ，B ，C 三点共线，所以存在唯一实数k 使AB →＝kAC →，即OB →－OA →＝k (OC →－OA →)，所以(k －1)OA →＋OB →－kOC →＝0. 又λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，令λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ，则λ＋m ＋n ＝0. 答案：09.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．解：因为AE →＝AB →＋BC →＋CE →＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC →＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →)＝－OA →＋12(OD →＋AB →)＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →)＝－32OA →＋12OD →＋12OB →，所以x ＝12，y ＝－32.10．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．证明：因为A 1B →＝AB →－AA 1→，A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→，AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)，所以A 1N →＝AN →－AA 1→＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AA 1→＝23A 1B →＋23A 1M →. 所以A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[B 能力提升]11．对于空间一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( ) A ．O ，A ，B ，C 四点共面 B ．P ，A ，B ，C 四点共面 C ．O ，P ，B ，C 四点共面D ．O ，P ，A ，B ，C 五点共面解析：选B.由6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，得OP →－OA →＝2(OB →－OP →)＋3(OC →－OP →)，即AP →＝2PB →＋3PC →，故AP →，PB →，PC →共面，又它们有公共点P ，因此，P ，A ，B ，C 四点共面．12．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝________．解析：根据P ，A ，B ，C 四点共面的条件，知存在实数x ，y ，z ，使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →成立，其中x ＋y ＋z ＝1，于是15＋23＋λ＝1，所以λ＝215.答案：21513．在平行六面体ABCD EFGH 中，已知M ，N ，R 分别是AB ，AD ，AE 上的点，且AM ＝MB ，AN →＝12ND →，AR ＝2RE ，求平面MNR 截体对角线AG 所得线段AP 与PG 的比．解：如图，设AP →＝mAG →，因为AG →＝AB →＋AD →＋AE →＝2AM →＋3AN →＋32AR →，所以AP →＝2mAM →＋3mAN →＋32mAR →.由于P ，M ，R ，N 四点共面，所以2m ＋3m ＋32m ＝1，从而得m ＝213，即AP AG ＝213，所以AP PG ＝211.14.(选做题)如图，已知OE 是平行六面体OADB CFEG 的体对角线，点M 是△ABC 的重心，求证：点M 在直线OE 上．证明：如图，连接AM 并延长交BC 于点H ，因为M 是△ABC 的重心，所以H 为BC 的中点，所以AH →＝12(AB →＋AC →)．所以AM →＝23AH →＝13(AB →＋AC →) ＝13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝13OB →＋13OC →－23OA →. 所以OM →＝OA →＋AM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．又因为OE →＝OA →＋AD →＋DE →＝OA →＋OB →＋OC →，所以OM →＝13OE →，所以点M 在直线OE 上．。

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《3・1空间中向量的概念和运算》同步练
习
f f f f f
AB = c , AC = b ,若点 D 满足 BD = 2DC ，则 AD 等
1 2 D.3b + 3C
f f f 2 f
又BD = 2DC ,• BD = 3BC. f f f
•/ BC= AC — AB= b — c .
f f 2 f 2 2 1 ••• AD = AB + 3BC= C + 3(b — c )= 3b + 3c .
答案 A
2•若a , b 均为非零向量，则ab = |a||b |是a 与 b 共线的
解析 |2a — 3b|2= 4a 2 + 9b 2
— 12a b = 4X4+ 9X9— 12申| 为|cos 60°= 97- 12X2X3込
=61.
所以 |2a — 3b |=Q6T 答案 C
f f f f
4.在正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，化简向量表达式AB + CD + BC + DA 的结果为
2 1
A. 3b + 3c 5 2
B.S c — 3b 解析如图，在
C
△ABC 中，AD = AB + BD.
基础达标
（限时20分钟）
1.在△ABC 中, 2 1 C.3b — A .充分不必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件
D .既非充分也非必要条件
解析 a b = |a||b |cos < a , b 〉= |a||b |? cos 〈 a , b 〉= 1? 〈 a , b 〉= 0, 当a 与 b 反向时, 不能成立.
答案 A
3•已知 |a |= 2, |b|= 3,
B . 97 a , b = 60°,则 |2a — 3b |等
于 C. D . 61
7777 77 77 77
AB+ CD + BC + DA = (AB + BC) + (CD + DA) = AC+ CA = 0. 解析
答案
5. a, b是两个非零向量，现给出以下命题:
① a b>0? a, b
② a b= 0?
③ a b<0? a, b
④|a b|= |a||b? a, b = n.
其中正确的命题有
解析利用向量数量积公式可对以上四个命题的真假作判断.
••• a, b为非零向量，••• |a|韦，|b|韦.
又••• a b= |a||b|cos a, b 且0< a, b勺,
于是a b>0? COS a, b >0? a, b
a b= 0? WS a,
b = 0? a,
€任n]
a b<0? C05 a,
b <0? a,
因此，命题①②③均为真命题.
•/ |a b|= |a||b|? |C05 a, b |= 1? a, b = 0或n.
•••|a b|= |a||b? a, b =7不正确, 即命题④为假命题.
答案①②③
6.设A是△BCD所在平面外的一点, G是ABCD的重心.
求证：AG = 3(AB + AC + AD).
X
r
证明如图所示，连结BG,延长后交CD于E,
由BCD的重心,
7 2 7
知BG= 3BE.
••• E为CD的中点,
7 17 17
二BE= 2BC + 2BD.
111 A. 6OA + 3OB + 3OC 1
B.4(OA + OB + OC) 1
C.3(OA + OB + OC) 111
D. 6OB + 3OA + 3OC
答案 B
9.已知 |a | = 3迈,|b = 4, m = a + b , n = a + b 〈 a , b 〉= 135 ° m 丄 n ,贝U =
解析由 m 丄 n ，得(a + b ) (a + ?b)= 0，即 a 2
+ 圧 + ( H 1)a b = 0.
•••(3磁)2 + 42
•入+ (入+ 1) 3迈 >4 xcos 135 °= 0.
7 7 7 7 2 7 7 1 7 7 AG= AB + BG= AB+ 3B E= AB + 3(BC + BD) 7 1 7 7 7 7 =AB+ 3[(AC — AB)+ (AD — AB)] 1 7 7 7 =3(AB+ AC + AD).
综合提高（限时25分钟）
7.已知空间四边形 ABCD ，连结AC 、BD ,
+ AD 等于
设M 、G 分别是BC 、CD 的中点,
则 MG — AB
3 7 A.2DB 3MG 7
C. 3GM
2MG
7777 77 777 7 7
解析 MG — AB + AD = MG — (AB — AD)= MG — DB = MG + 2MG = 3MG.
答案 B
&如图，已知空间四边形 OABC ，其对角线为AC 、OB , M 、N 分别是OA 、
BC 的中点,
点G 是MN 的中点，贝U OG 等于
( ).
A
3
3 解得b=— 2.
10.已知在平行六面体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于
1,且
彼此的夹角都是60°则此平行六面体的对角线 AC i 的长为
解析•/ AC 1 = AB + AD + AA 1
••• ACK 2= (AB + AD + AA I )2
= AB K 2+ AD K 2
+ AAK 1+ 2AB AD + 2AB AA i + 2AD AA 、= 1 + 1 + 1 + 2(cos 60°+ cos 60°+ cos 60°)= 6,• |AC 1|=/6.
11.已知正四面体 OABC 的棱长为1.求: (1)0A 0B ； (2)(0A + 0B) (CA + CB)； (3)|0A +0B + 0C|.
解如右图所示.
(1) 0A 0B = |0A| | 0B| cos / AOB 1
=1 X1 X cos 60° = 2. (2) (OA + 0B) (CA + CB)
=(0A + 0B) (0A - 0C + 0B — 0C) =(0A + 0B) (0A + 0B — 2 0C)
(3) |0A + 0B+ 0C|=^ (OA + 0B + 0C
)2
=P 12+12+12+ 2 (1X1 as 60° X3)=76.
12.（创新拓展）如右图，已知E 是正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1的中点，试求向量AQ
与DE 所成角的余弦值.
解设正方体的棱长为m ,
AB = a , AD = b , AA i = c ,贝U |a |= |b |
2
=1 + 1X1 Xcos 60° — 2X1 X1 2
+ 1 X1 X cos 60° +1 — 2X1X1 Xcos C
3
=|c|= m.a b= b c= c a = 0.
又；A1C1= A1B1+ B1C1= AB+ AD = a+ b,
_ i
DE = DD i + D i E= DD i + 2D I C I =C+ 2 a.
厂 f i) i 2 i i 2 i 2
••• A i C i DE = (a + b)匕+ 2a丿=a c+ b c+ 2a + 2a b= 2a = 2m . 又••• |A i C i|= V2m, |DE|= 2 m.
A i C i, DE
••• cos〈A i C i, DE > = f
|A i C i, | |DE|
2m2
10 ,
••• A i C i与DE所成角的余弦值为i0 .。