陕西省延安市宝塔区第二中学人教版高中数学必修四 231 平面向量基本定理 教案
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理教案 新人教A版必修4
2.3.1 平面向量基本定理
1.知识与技能
(1)了解平面向量基本定理.
(2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决实
际问题的重要思想方法.
(3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.
2.过程与方法
通过对定理的探究,培养学生发现数学规律的思维方法和能力;通过对定理的证明和应用,培养学生分析问题、解决问题的能力,体会化归与转化和数形结合的思想方法.
3.情感、态度与价值观
通过对定理的学习和运用,体会数学的科学价值、应用价值.
重点:平面向量基本定理.
难点:平面向量基本定理的理解与应用.
1.在△ABC中,=a,=b,AD为BC边的中线,G为△ABC的重心,以a,b为一组基
底来表示向量=.
解析:∵D是BC的中点,G是重心,
∴)
=a+b,
即a+b.
答案:a+b
2.如图,在平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,点F在BC上,且BF=BC,以a,b为基底分解向量.
解:由题意得
==b+a,
=
=
=a-b.。
高中数学必修四人教版2.3.1平面向量基本定理10ppt课件
1．平面向量基本定理 如果 e1、e2 是同一平面内的两个_不 __共 __线 ___向量，那么对于 这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1 ＋λ2e2，其中不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向 量的一组_基 __底 ____．
[破疑点](1)这个定理告诉我们，在平面内任一向量都可以 沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯 一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而 零向量的分解式是唯一的，即 0＝λ1e1＋λ2e2，且 λ1＝λ2＝0.
与
→ CA
的夹角，
→ AC
与
→ CB
的起点不同，
则∠ACB不是夹角．
[思路分析]
当且仅当a与b的起点相同，且a＝
→ OA
，b＝
O→B时，∠AOB才是向量a与b的夹角．
谢谢观看！
[正解]
如图所示，延长AC到D，使AC＝CD，则
→ AC
＝
C→D，∠BCD是A→C与C→B的夹角，
由于∠BCD＋∠ACB＝180°，∠ACB＝60°， 则∠BCD＝180°－60°＝120°，即θ＝120°.
试指出图中向量的夹角． [解析] ①∠AOB＝θ为两向量O→A与O→B的夹角； ②O→A与O→B的夹角为0°，两向量同向； ③O→A与O→B的夹角为180°，两向量反向； ④两向量O→A与A→B的夹角为θ.
名师辨误作答
1.忽略两个向量作为基底的条件
已知 e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则 a 与 b 共线的条
[答案] A
新课引入
音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌 曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们 不同的享受、不一样的感觉．事实上，音乐有 7 个基本音符：
高中数学必修四 2.3.1 平面向量基本定理 人教课标版40精品公开PPT课件
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面向量的一组基底e1,e2一定都是非零向量.( ) (2)在平面向量基本定理中,若a=0,则λ1=λ2=0.( ) (3)在平面向量基本定理中,若a∥e1,则λ2=0;若a∥e2,则 λ1=0.( ) (4)表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.( )
【解析】1.如图所示，作
u u u r u u u r O A a， O B b ,
以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,
则
u u u r u u u r B A a b ， O C a b ,
所以∠AOC是a与a+b的夹角,
因为|a|=|b|=|a-b|，
所以△OAB是等边三角形，平行四边形OACB是菱形,
(3)体现的数学思想 这个定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问 题时，我们可以选择恰当的基底，将问题中涉及的向量用基 底化归，使问题得以解决.
2.正确理解向量的夹角
(1)向量夹角的几何表示.
依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点
移到同一点，这样它们所成的角才是两向量的夹角.如图①，
u u ur B E；
向量 BuuD在ur b方向上的分向量是
uur B F.
(2)因为 A D 所3 以,
DC 4
A所D 以 3 ,
AC 7
uuur AD
3
uuur AC,
7
所以 B uuD urB uuA urA uuD urB uuA ur3A uuC ur
7
B uuA ur3A uuB urB uuC ur a3ab4a3b.
因为 O uuP u 与r O u共uM uu r线，故可设 O uuP ur＝ tO uuM uur＝ta＋2tb.
【人教.高中.数学】必修四：2.3.1《平面向量的基本定理》 【PPT课件】
A
er1
er2
1 2
er1
1 2
er1
er2
N
er1
B
uuuur uuuur uuur uuur
MN MD DA AN
1 4
er1
er2
1 2
er1
1r 4 e1
r e2
课堂小结：
本节学习了：（1）平面向量基本定理： 平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量 来表示.即 ar 1er1 2er2. 这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.
4er1
O
C
O
r
1.如图，已知向量 e1
r 、 e2 求作下列向量：
(1) 3er1 2er2 ; (2) 4er1 er2 ;
2er1
O
2er1
1 2
er2 ;
2er1
(3)
2er1
1 2
er2
.
er1
er 2
O C
A
1 2
r e2
B
A B
2.如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是
2.3.1平面向量的基本定理
一、创设情境、引入新课：
如何求此时竖直和水平 方向速度？
二、自主学习、合作探究：
自学教材：P93—P94
1、知道平面向量基本定理；
2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向 量来表示，初步应用向量解决实际问题；
3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能 够用基底来表示.
人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.3.1平面向量基本定理》教案(4)
《平面向量基本定理》的教学设计一 教学目的：1 了解平面向量基本定理及其意义；2 理解平面上任意一个向量都可以由这个平面内两个不共线的向量21,e e 线性表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3 通过作图体会基底的不唯一性；二 教学重点与难点1 重点：平面内的任意向量可以由两个不共线的向量表示2 难点：平面向量基本定理的理解3 教学方法：教师主要引导、学生主体思维为主线，学生动手操作。
4 教学手段：使用多媒体辅助教学，使书本的图形“动”起来，加强了教学的直观性。
使用方格纸让学生画图，使学生能更加直观的理解平面向量的基本定理。
三 教学过程1 复习以提问的方式复习旧知：求向量和的方法，向量的数乘运算；设计意图：让学生思考并回答这两个问题，为这节课的内容做准备。
2 新课引入在学生复述了上述知识之后，让学生在方格纸上画出212,3e e ，并画出2123e e +； 设计意图：让学生通过自己动手做图，再对向量的求和和数乘进行复习，加强学生对旧知的巩固；教师活动：动画演示刚刚所做的图，设计意图：从动画演示上可以让学生从直观上对利用平行四边形法则来求向量的和有了更加直观的印象和理解，同时，利用平行四边形法则来求两个向量的和向量也是这节课在解决问题的主要方法之一。
教师活动：提出问题：“既然我们给定了212,3e e，那么很容易就可以画出1232e e a +=，如果我们给出a ，能否用21,e e 表示a 呢？”3 新课讲解教师活动：让学生在所给的方格上画出,a b ，,c d ，,f g ，并分别用21,e e 来表示，为了方便起见21,e e 是两个互相垂直的向量。
学生活动：分小组来讨论并画出所给向量。
设计意图：让学生初步体会到平面内的任意向量都可以分解成两个向量的和向量。
教师活动：在幻灯片上打出两个不共线的向量21,e e ，和第三个向量a，让学生讨论怎样由21,e e 来表示向量a 。
高一数学人教A版必修四第二章2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示教案
《平面向量的基本定理及坐标表示》教案（人教A必修4第2章第3节）教材简析：本节前面由实际问题引入平面向量概念，研究向量的线性运算，包括运算的几何意义，特别是加法的平行四边形法则，较集中地反映了向量的几何特征，本节后面主要是研究向量的代数运算。
向量的优势更多地体现在于沟通几何与代数的联系，进而通过代数运算来研究几何和其它的问题,而连接两者的关健就是基本定理；所以在向量知识体系中这个定理具有核心地位，起到承前启后的的作用。
另外，它充分地展现了数学结构体系的严谨性和逻辑性，有助于学生体会数学的思维方式方法，帮助学生进行数学的思考和说理，对学生的数学能力发展是十分重要的。
教学目的简析：1.理解平面向量的基本定理，体验在解决问题过程中选择适当的基底带来的便捷,帮助理解基底的作用，运用已有知识研究平面向量基本定理，经历给定的向量在一组基底上唯一分解的过程，奠定了建立向量坐标的基础，体会数学中的问题转化，及定理的深刻涵义.2.会将给定的向量正交分解；通过向量正交化、坐标化的探索，激发学生探索、合作交流的意识，体会从一般到特殊的研究规律，逐步培养求简思维与模型化思想．3.通过体验平面向量的基本定理的探究过程，激发学生的探索精神，通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能力，体会数学的思维方式方法，感受数与形的和谐统一。
重点、难点简析：研读多遍教材后，我认为应该将本课的理论学习置于教学重点，不能对定理进行平铺直叙后,即将重心快速转向坐标的表示与运算，决不能让学生的主体参与被削弱,对定理的理解与领悟被剥夺,而难以产生真正意义上的思想共鸣,也为向量的本质理解与数形结合的运用埋下了隐患。
难点是熟悉平面向量的基本定理，选择适当的基底，在一组基底上唯一分解，特别是正交分解及坐标表示，通过定理的探究过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识，提高学生从一般到特殊的归纳能力，感受数与形的和谐统一。
人教课标版高中数学必修四《平面向量基本定理及坐标表示》教案(1)-新版
（2）向量夹角：已知两个非零向量a和b，作 ＝a， ＝b，则∠AOB＝ 叫作向量a与b的夹角.向量夹角的取值范围是 .当a与b同向时，夹角 ＝ ；当a与b反向时，夹角 ＝ .如果向量a与b的夹角是 ，我们说a与b垂直记作a⊥b.
【知识点】向量夹角、向量加减的几何意义．
【解题过程】如图，
作 ， ，且∠AOB＝60°，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则 ， ， ，因为 ，所以△OAB为正三角形，所以∠OAB＝60°＝∠ABC，即a－b与a的夹角为60°；因为 ，所以平行四边形OACB为菱形，所以OC⊥AB，∠COA＝ ，即a+b与a的夹角为30°．
【解题过程】过C作 与 的平行线与它们的延长线相交，得平行四边形．
由∠BOC＝90°，∠AOC＝30°， ， 可得平行四边形的边长为2和4，所以 ＝2＋4＝6．
【思路点拨】过C作 与 的平行线与它们的延长线相交，得平行四边形，然后将 用向量 与 表示即可．
【答案】6
●活动⑤强化提升，灵活应用
例3如图，在△ABC中，点M是AB的中点，且 ，BN与CM相较于点E，设 ， ，试用基底 ， 表示向量 ．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务：阅读教材第93页至第95页，填空：
（1）平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数 ， ，使a＝ .我们把不共线的向量 ， 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
（2）向量夹角：已知两个非零向量a和b，作 ＝a， ＝b，则∠AOB＝ 叫作向量a与b的夹角.向量夹角的取值范围是 .当a与b同向时，夹角 ＝ ；当a与b反向时，夹角 ＝ .如果向量a与b的夹角是 ，我们说a与b垂直记作a⊥b.
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理、正交分解与坐标表示教案 新人教A版必修4(
高中数学第二章平面向量2.3.1 平面向量基本定理、正交分解与坐标表示教案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量2.3.1 平面向量基本定理、正交分解与坐标表示教案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.3.1 平面向量基本定理2。
3.2平面向量的正交分解及坐标表示教材分析本节内容是数学必修 4 第二章第三节的第一课,平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进一步研究向量问题的基础；是进行向量运算的基本工具，是解决向量或利用向量解决问题的基本手段. 掌握了平面向量基本定理及坐标表示，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一,所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点.另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解平面向量基本定理、向量的坐标表示．教学目标1.了解平面向量的基本定理及其意义,理解掌握平面向量的的正交分解及其坐标表示。
2.经历平面向量基本定理的形成探究过程，掌握正交分解下向量的坐标表示,认识平面向量基本定理是实现向量由几何形式过渡到代数形式的桥梁。
3.通过本节课的学习，了解先关数学知识的来龙去脉，认识其作用和价值,培养学生的探索研究能力。
重点: 正交分解下向量的坐标表示.难点：平面向量的基本定理,正交分解下向量的坐标表示。
高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
srofdoog§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面1e 2e 内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2a a1e 2e (1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量a1e 2e 二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为x y i j 基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得a x y …………yj xi a +=○1我们把叫做向量的（直角）坐标，记作),(y x a …………),(y x a =○2其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与x a x y a y ○2相等的向量的坐标也为.a ),(y x 特别地，，，.)0,1(=i )1,0(=j )0,0(0=如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作，则点的位a OA =A 置由唯一确定.a 设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标yj xi OA +=OA ),(y x A A 也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一),(y x OA 对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1）若，，则，),(11y x a =),(22y x b =b a +),(2121y y x x ++=ba -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为、，则i j b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即，同理可得b a +),(2121y y x x ++=b a -),(2121y y x x --=（2） 若，，则),(11y x A ),(22y x B ()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.=-=( x 2， y 2) -(x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)AB OB OA （3）若和实数，则.),(y x a =λ),(y x a λλλ=实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为、，则，即i j a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=),(y x a λλλ=第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平x y i j a 面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得x y yjxi a +=把叫做向量的（直角）坐标，记作),(y x a ),(y x a =其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，x a x y a y ，，.)0,1(=i )1,0(=j )0,0(0=2．平面向量的坐标运算若，，),(11y x a =),(22y x b =则，，.b a +),(2121y y x x ++=b a -),(2121y y x x --=),(y x a λλλ=e bn garego c aCaeC≠0ａ。
人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.3.1平面向量基本定理》教案(5)
《平面向量基本定理》的教学设计一、教学课题：普通高中课程标准实验教科书必修4、§2.3.1平面向量基本定理、第一课时。
二、教学目标：1知识与技能(1) 了解平面向量基本定理及其意义,会利用向量基本定理解决简单问题； (2) 培养学生分析、抽象、概括的推理能力。
2过程与方法(1) 通过平面向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的思维方法； (2) 通过本节学习,体会用基底表示平面内任一向量的方法。
3情感.态度与价值观（1）通过本节学习,培养学生的理性精神，培养学生独立思考及勇于探求、敢于创新的精神、培养主动学习的意识；（2）通过平面向量基本定理的探求过程,培养学生观察能力、抽象概括能力、合作 交流能力，激发学生学习数学的兴趣。
三、教学重点、难点重点：平面向量基本定理的应用难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程,数学思想的渗透。
四、教学方法与手段探求式教学法、多媒体手段 五、教学过程1、作图观察，引发思考2、数学探究探究一 给定一个向量是否一定可以用两个已知向量表示？探究二 学生作图,发现问题将给定向量a 分解为与1e 、2e 平行的两个向量提问：比较分解后与1e 、2e 平行的两个向量的方向和长度是否对应一致,即观察分解的结果是否唯一?学生观察并讨论。
提问:既然a 可以分解成与1e 、2e 平行的两个向量,那么a 是否可以用含有1e 、2e 的式子表示出来? OA =1e OM =1a 1eOB =2e ON =2a 2eOC =a =OM +ON =1a 1e +2a 2e 再问:：一对实数1a 、2a 是否惟一?(学生讨论并回答)点评:由作图中分解结果的惟一,决定了两个分解向量的惟一。
由平行向量基本定理,有且只有一个实数1a ,使得OM =1a 1e 成立,同理2a 也惟一,即一组数1a 、2a 惟一确定。
学生进一步尝试概括定理:如果1e 和2e 是平面内的两个不平行的向量,那么对于该平面内的给定向量a 存在惟一的一对实数1a 、2a ,使a =1a 1e +2a 2e探究三： “给定”换成“任一”让学生猜想验证 课件演示平面内一动向量，两定向量，每次变化动向量a ，都可以用给定的两个向量表示。
高中数学必修四教案-2.3.1 平面向量基本定理(1)-人教A版
平面向量基本定理教材分析：“平面向量的基本定理与坐标运算”是人教版高中数学必修4中第二章第三节的教学内容，共需2个课时。
在实际教学中，许多教师并未将平面向量基本定理的学习置于教学的中心，在对定理进行“平铺直叙”后，即将教学“重心”快速转向坐标的表示与运算。
究其原因，是教师认为坐标运算更为重要，对基本定理的理解不到位，对定理所蕴涵的思想内涵领悟不足，教学立意不高。
尤其是在解决平面向量的有关问题时，许多学生就会偏向于代数解决（坐标化），有时会由于代数推理能力的不足，半途而废。
而一旦问题偏离了习惯性的思维方向，需要通过几何构图来解决，则往往因无从下手而“望题兴叹”。
为此，对于“平面向量基本定理与坐标运算（第1课时）”的教学应特别关注如下两点。
首先，要理解“平面向量基本定理”之所以为“基本”的意义与作用，通过几何作图与归纳探究，经历定理的形成过程，在向量的形象化到数量化的转化过程中认识“平面向量基本定理”是实现向量由几何形式过渡到代数形式的重要桥梁。
其次，通过向量正交化、坐标化的探索，理解平面向量坐标的概念，激发学生探索、合作与交流的意识，进一步提高观察、联想、抽象思维与探索能力，逐步培养求简思维与模型化思想。
教学目标：知识与技能目标：掌握平面向量基本定理，理解平面向量基本定理的证明，能用基底进行向量的表示，理解平面向量基本定理中系数、系数和所对应的几何意义。
过程与方法：通过平面向量基本定理的证明，体验“一维”到“二维”的推理过程。
通过平面向量基本定理的应用，逐步培养“数”“形”结合的思想、模型化思想及求简思维。
情感态度价值观：通过平面向量基本定理的证明，激发学生探索、合作与交流的意识，进一步提高观察、联想、抽象思维与探索能力。
通过本节课的学习培养学生的理性思维能力。
教学重点：1、掌握平面向量基本定理2、掌握平面向量基本定理的“数”“形”的应用 教学难点1、平面向量基本定理的证明，需要说明选取向量的任意性2、平面向量基本定理中“数”“形”结合的理解 教学过程1、复习回顾、温故知新平面向量不同于物理中的矢量，它可以自由平移，是自由向量。
人教版高中数学必修四2.3.1《平面向量的基本定理》精品课件
3.定理的价值何在？
例1. 已知： ABCD的两条对角线相交于点M，
试一试：请同学们自选基底 表示向量MA和MD.
D
C
M
A
B
例1. 已知： ABCD的两条对角线相交于点M，
且 AB = a ,AD = b ,用 a ,b 表示 MA和 MD
分析：为了求MA和MD， D
C
关键是先求AC,DB. b
P B A
结
若A、B是直线Ｌ上任意两点，Ｏ是Ｌ外一点。
则对直线Ｌ上任一点Ｐ，存在实数ｔ，使 OP 关于基底
论 ｛OA ，OB ｝的分解式为OP =（1－t）OA＋t OB （*） 并且满足（*）式的点一定在L上
P
说明：
B
（1）向量等式（*）叫做直线L的向量参数方程式. 其中实数ｔ叫做参变数，简称参数.
数形结合 、转化思想、 方程思想
类比归纳：特殊
一般
作业 课本第105页练习A第5题、B第2题
思考 任意向量运算
基底向量运算
？ 实数运算
记为： e1，e2
如果 e1 , e2 是同一平面内的两个 不共线的向量，那么对于这一平面内
的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a1
、a 2 ，使 a = a1e1 + a2e2
» 探究定理 1. 基底 e1、e2 条件： 不共线向量
内涵
基底组数： 无数组
2.定理中a1，a
的值是否唯一？
2
M A
（2）特殊：当ｔ＝ 1 2
时，点M
是中点，
O L
则OM＝ OA OB (线段AB中点的向量表达式） 2
例2.设e1,e2是不共线的非零向量，
且a = e1 - 2e2,b = e1 + 3e2 （1）证明：a,b可以作为一组基底；
高中数学必修四 第二章平面向量 2.3.1平面向量基本定理
第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
教学目标
1.了解基底的含义,理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表示 平面内的任一向量.
2.掌握两个向量夹角的定义以及两个向量垂直的定义.
12
知识梳理
1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内 的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中不共线的 向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 名师点拨对于固定的e1,e2(向量e1与e2不共线)而言,平面内任一确 定的向量的分解是唯一的,但平面内的基底却不唯一,只要平面内 的两个向量不共线,就可以作为基底,它有无数组.
作为平面内所有向量的一组基底的是
.(写出所有满足条
件的序号)
题型一 题型二 题型三 题型四
解析:①设 e1+e2=λe1,则
������ 1
= =
1, 0,
无解,
∴e1+e2 与 e1 不共线,即 e1 与 e1+e2 可作为一组基底;
②设 e1-2e2=λ(e2-2e1),则(1+2λ)e1-(2+λ)e2=0,则
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 2】 (1)
如图,平行四边形 ABCD 中, ������������ =a, ������������ =b,M 是 DC 的中点,以
a,b 为基底表示向量������������ =
.
题型一 题型二 题型三 题型四
(2)
已知△ABC 中,D 为 BC 的中点,E,F 为 BC 的三等分点,若 ������������ =a, ������������ =b,用 a,b 表示������������, ������������, ������������.
人教版高中数学必修4第二章平面向量 2.3.1 平面向量基本定理
C
e2
A 3e2
e1 2.5e1
·O
例1.如图梯形ABCD中，AB / /CD，AB 2CD， E、F是DC，BA中点，AD a，AB b, 试以a , b为基底表示DC, BC, EF
DEC
a
A
Fb B
能力提升：
例3设e1,e2是两个不共线向量，a e1 e2 ， b 2e1 3e2
e e e e e (2)定理的代数表达形式：若
1e2 ,不共线， 1
1
a b
22
1
2
则
a且 =b
1
2
e （3） 设 1e2,
是平面内的一组基底，当 1e1 2e2 0
恒有1 2 0,
思考 若基底选取不同，则表示同一
向量的实数 1 、2 是否相同？
122 1 1 32 2
解得，1
1 5
,
2
3 5
c 1 a 3b 55
变式训练
设e1,e2是两个不共线向量，请根据平面向量基本定理，
以 a ，b为基底表示 c .
a 2e1 e2 , b e1 e2 , c 4e1 e2
c 3a 2b
B
c
e2
O
A
e1 a
C
c 1e1 2 e2
平面内任一向量是否都可以用形如 1e1 2 e2 的向量表示呢？
N
C
e2
a
B
O
M e1
A
a OM ON
a 1e1 2 e2
(2021年整理)高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
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第1课时§2.1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别:数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向，大小，双重性,不能比较大小. 2.向量的表示方法:①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作｜AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度。
向量与有向线段的区别:(1）向量只有大小和方向两个要素,与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同,尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段。
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问题1、利用向量的表示，从景点O 到景点A 的位移为OA ，从景点A 到景点B 的位移为AB ，那么经过这两次位移后游艇的合位移是OB （如图）
这里，向量OA ，AB ，OB 三者之间有什么关系？
1、向量加法的定义________________________________________________________
2、向量加法的三角形法则___________________________________________________ 具体步骤：
（1）把两个向量平移后，使两个向量的一个起点与另一个起点相连。
（2）将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量为两个向量的和。
简记为“首尾相连，首是首，尾是尾”
3、向量加法的平行四边形法则_______________________________________
4、对于零向量和任一向量a 有 a a a =+=+00，对于相反向量有()()0 =+-=-+a a a a
5、向量加法的运算律
交换律____________________________ 结合律______________________________
6、如果平面内有n 个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这n 个向量的和是什么？
例题剖析
例1、作出下列向量的和：
O B
A a b b b a a (1) (2) (3)
例2、如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量： （1）OC OA + （2）FE BC + （3）FE OA +
例3、在长江南岸某渡口处，江水以h km /5.12的速度向东流，渡船的速度为h km /25。
渡
船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
巩固练习
1、化简 =++++FA BC CD DF AB ________________________________。
2、已知点O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，则下面结论中正确的是 （ ）
A 、AC C
B AB =+
B 、A
C A
D AB =+
C 、B
D CD AD ≠+ D 、0 ≠+++OD OB CO AO 3、在△ABC 中，求证；0 ≠++AC BC AB
4、一质点从点A 出发，先向北偏东 30方向运动了cm 4，到达点B ，再从点B 向正西方向运动了cm 3到达点C ，又从点C 向西南方向运动了cm 4到达点D ，试画出向量CD BC AB ,,以及CD BC AB ++。
课堂小结
1、向量加法的定义。
2、向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
3、向量加法的运算律。
C
课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题 1、已知正方形的边长为1，,,,c BC b AC a AB ===则=++c b a （ ）
A 、0
B 、3
C 、2
D 、22 2、设点O 是△ABC 内一点，若0 =++OC OB OA ，则必有 （ ）
A 、点O 是△ABC 的垂心
B 、点O 是△AB
C 的外心
C 、点O 是△ABC 的重心
D 、点O 是△ABC 的内心
3、当b a ,________时，b a b a +=+；b a ,________时，b a +平分b a ,之间的夹角。
4、在四边形ABCD 中，若AD AB AC +=，则四边形ABCD 一定是___________。
5、向量b a ,满足8||,4||==b a ，则||b a +的最大值和最小值分别为_____________。
6、飞机从甲地按南偏东 10的方向飞行km 2000到达乙地，再从乙地按北偏西 70的方向飞行km 2000到达丙地，那么丙地在甲地的什么方向？丙地离甲地多远？
二、提高题
7、一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，试求飞机飞行的路程和位移。
三、能力题 8、已知作用在同一质点上的两个力21,F F 的夹角是直角，且它们的合力F 与1F 的夹角是 60，N F 10||= ，求1F 和2F 的大小。