3.4函数的奇偶性

3、思想与方法：
形（图象对称） 点（点对称） 数
（坐标）相等
式相等（f (x) f (x)）。
课后练习 课后习题
YOU
请同学们考察：图象关于原点中心对称的函 数与函数式有怎样的关系？
奇函数及其性质
y 1 (x 0), y 2x.
xy
y
o
Байду номын сангаас
x
o
x
结合偶函数的定义，你能总结出奇函数的定义吗？
一般地，如果对于函数 f (x)的定义域内的任
意一个 x ，都有 f (x) f (x),那么称函数是奇
函数（odd function）；
【探究】
图象关于 y 轴对称的函数满足：对定义域
内的任意一个 x ,都有 f (x) f (x).
反之也成立吗？
从以上的讨论，你能够得到什么？ 一般地，如果对于函数 f (x) 的定义域内的任意
一个x ，都有 f (x) f (x),那么称函数 y f (x)
是偶函数（even function）；
f ( 3)有意义，则f ( 3)有意义；
……
-----定义域关于数“0”对称.
例题展示
例1、判断下列函数是否为奇函数或偶函数：
(1) f ( x) x2 1;
(2) f ( x) x2 (1 x 1);
(3) f ( x) x 12 .
解：（1）f (x) 的定义域是 R，
意味着定义域关于 数“0”对称
因为对任意的 x R,都有
验证
f (x) x2 1 x2 1 f (x),
下结论
所以函数 f (x) x2 1是偶函数。
例 2 函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x>0 时， f(x)＝－x＋1，求当 x<0 时，f(x)的解析式．
解 设 x<0，则－x>0， 学.科.网 ∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， 又∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1， ∴当 x<0 时，f(x)＝－x－1.
（1） y x2 , y 2 | x |;
y
y
o
x
o
x
再观察表，你看出了什么？
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y 2| x| … 6 4 2 0 2 4 6 …
——当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
..
1.3 函数的基本性质
1.3.2 奇偶性
通过杭州西湖断桥美景，通过断桥的对称美，引入 研究函数的对称性，进而讲解函数的奇偶性，奇偶性的 特点，然后详细讲解了如何判断函数的奇偶性，并运用 奇偶性解决相关方面的问题。
在讲述的过程中，老师应注重从图像入手直观先让 学生感知对称关系，感知在这样的对称关系下横纵坐标 之间的关系。讲解判断函数的奇偶性的时候应规范学生 的解题步骤，形成一个良好的习惯。
右图为美丽的杭 州西湖断桥风景， 空中的断桥与水中 的断桥相映成趣， 分不清哪个为空中 的，哪个为水中的 ，别有一番风味， 这么优美的图片， 真是令人陶醉，那 么，函数是否也具 有这么优美的对称 呢？这就是本节课 需要探讨的主要问 题。
偶函数与其性质
请观察以下两组函数的图象，从对称的角度，你发 现了什么？
【想一想】具有奇偶性函数的图象的对称如何？
——偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象 关于原点对称。
奇偶性的分类
例如： 例如： 例如： 例如：
【探索】
具有奇偶性的函数，满足 f (x) f (x)或 f (x)，
意味着其定义域满足怎样的条件？
f (1)有意义，则f (1)有意义；
f (2)有意义，则f 2 f (2)有意义；
例3
范围是
（D ）
规律总结
求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化为－x，此时－x 成为了已知区间上的解 析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推 导，即可得所求区间上的解析式．
1、知识结论： 函数的奇偶性及其简单应用；
2、学习过程： 观察→思考→探索→交流 →建构→应用→引申；